автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование переходных и колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями

На правах рукописи

МУЗАФАРОВ САЛИХ МУХАРРАМОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ И КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ СО СЛОЖНЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2004

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Юмагулов М.Г.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Девятов Д.Х.

кандидат физико-математических наук, доцент Коробчинский А.В.

Ведущая организация:

Институт проблем передачи информации РАН, г. Москва

Защита состоится "26" октября 2004 г. в 16ю часов на заседании диссертационного совета ДР 212.013.02 в Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, математический факультет, ауд. 511.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета

Автореферат разослан сентября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

A.M.Болотное

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Динамические системы используют для моделирования различных объектов во многих областях знаний. Одним из основных при изучении динамической системы является вопрос о переходных и колебательных процессах системы. Знание переходных процессов позволяет изучить поведение системы при переходе от одних устойчивых режимов к другим, описать характеристики устойчивости системы. Колебательные процессы являются важнейшим видом функционирования динамической системы, широко распространенным в физике, технике, биологии и др. Моделированию и изучению переходных и колебательных процессов посвящены работы Я.З. Цыпкнна,. Л. Заде, Ч. Дезоера; Е.Н. Розенвассера, Я.Н. Ройтенберга, А.А. Пер-возванского и др.

Реальные явления часто содержат различные запаздывания, и поэтому их моделирование приводит к уравнениям с последействием, содержащим несколько дискретных запаздываний, распределенные запаздывания, случайные запаздывания или их комбинации. Теория дифференциальных уравнений запаздывающего типа,.созданная и.разви-тая благодаря работам А.Д. Мышкиса, Р. Беллмана, Дж. Хейла, Л.Э. Эльсгольца, Н.В. Азбелева и др., стала важной составной .частью современного естествознания.

Переходные и колебательные процессы в системах, содержащих запаздывания, имеют ряд особенностей. Поведение таких систем обладает сложной динамикой, здесь возможны появление незатухающих, в том числе хаотических колебаний, слипание решений и т.д. Вопросы моделирования переходных и колебательных процессов в -системах с запаздываниями изучались в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, Е.Н. Розенвассера и др.

Многие вопросы моделирования переходных процессов и колебательных процессов в системах, содержащих запаздывания, еще далеки от своего окончательного решения. Точные решения модельных урав-

РОС. НАЦИОНАЛЬНОЙ

библиотека

«

нений удается получить лишь в исключительных случаях. Поэтому существенную роль при моделировании объекта играют способы приближенного или численного построения решений. Особенно актуальны разработки методов математического моделирования переходных процессов и колебательных процессов, обладающих той или иной общностью, позволяющие изучать динамику широкого класса систем.

Исследование режимов функционирования динамических систем, содержащих те или иные запаздывания во всей полноте, с учетом всех факторов и параметров, существующих для модели, возможно лишь в исключительных случаях. Поэтому здесь естественным представляется подход, основанный на "упрощении" моделей. При этом возникает цепочка (иерархия) всё более полных моделей, учитывающих всё большее число факторов и таковых, что изучаемая модель будет предельным случаем упрощенных моделей.

Одним из основных преимуществ иерархии упрощенных моделей является возможность простого описания сложного объекта с помощью нескольких основных параметров. Естественно, возникает вопрос о том, какие уровни моделей разумно использовать в тех или иных случаях. Другими словами, необходимо определить оптимальное число параметров, знание которых позволяет с достаточной полнотой описать поведение изучаемого объекта.

Диссертационная работа посвящена обоснованию подхода, основанного на иерархии упрощенных моделей, в задачах моделирования переходных и колебательных процессов динамических систем, содержащих запаздывания сложной природы.

Цель работы. Разработка теоретических аспектов математического моделирования переходных и колебательных процессов в линейных и нелинейных системах со сложными запаздываниями на основе аппроксимации процессов импульсными и переходными функциями, импульсно-частотными характеристиками элементарных звеньев содержащими простейшие запаздывания, а также на основе экспонен-

циальных решений модельных уравнений.

Задачи. Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Для динамических систем, содержащих запаздывания различной природы, построить и обосновать иерархию упрощенных моделей.

2. Разработать процедуры приближенного построения импульсных, переходных и импульсно-частотных характеристик на основе асимптотического приближения соответствующими характеристиками упрощенных моделей.

3. Оценить скорость сходимости аппроксимирующих рядов по решениям модельных задач к решениям основных уравнений.

4. Разработать алгоритмы и программы численного построения импульсных, переходных и импульсно-частотных характеристик для динамических систем со сложными запаздываниями, допускающие эффективные реализации в прикладных задачах при анализе процессов функционирования систем.

Методы исследования. Используются методы математического моделирования, методы теории функционально-дифференциальных уравнений, теории обобщенных функций, теории управления, теории систем, методы приближенного исследования операторных уравнений.

Научная новизна предложенного метода состоит в построении и обосновании иерархии упрощенных моделей для динамических систем со сложными запаздываниями на основе разложения передаточных функций в ряды по простейшим дробям. Получены новые условия, при которых возможны указанные разложения и которые позволяют свести исследование переходных и колебателных процессов динамических систем с запаздыванием к изучению простейших дифференциальных уравнений, не содержащих запаздываний.

Практическая и теоретическая ценность. В работе предлагается теоретическое обоснование метода математического моделирования переходных и колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями. Предлагаемый метод целесообразно использовать в задачах приближенного построения переходных и колебательных процессов широкого класса динамических систем, содержащих запаздывания различной природы. Полученные результаты доведены до расчетных формул, позволяющих эффективно изучать динамику переходных и колебательных процессов. Предложены алгоритмы численного исследования эволюции динамической системы при различных входных сигналах, программно реализованные в среде МАТГАВ. Предложенные схемы, процедуры и программы апробированы при решении ряда практических задач: автоматическое регулирование технологических процессов, дистанционное управление удаленными объектами и др.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 9 параграфов, списка цитируемой литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 114 страниц, включая 30 рисунков. Библиография содержит 73 наименования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на второй Всероссийской научной конференции ''Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЬАВ" (г. Москва, ИПУ РАН, 25-26 мая 2004 г.), на Международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы" (г.Стерлитамак, 24-28 июня 2003г.), на Международной научной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (г.Воронеж, 30 июня - 4 июля 2003г.), на VIII Уральской региональной научно -практической конференции "Проблемы физико-математического образования в вузах России на современном этапе" (г.Магнитогорск, МаГУ, 18-19 марта 2004 г.). на Региональной научно-технической конференции "Новые программные средства для предприятий Урала" (г.Магни-

тогорск, 9-11 декабря 2003 г.), на Региональной конференции "Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике" (г.Уфа. 1-2 июня 2001г.), на научных семинарах $ашгосуниверситета (руководитель - д-р.ф.-м.н,. профессор Султанаев Я. Т.), на научных семинарах Сибайского института БГУ (руководитель - д-р.ф.-м.н., профессор Юмагулов М.Г.).

Публикации. Основные работы опубликованы в работах [1]-[9].

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 состоит из трех параграфов и посвящена вопросам математического моделирования линейных звеньев со сложными запаздываниями. Основным объектом исследования в первой главе является линейное звено с одним скалярным входом ы(() и одним скалярным выходом хкоторые связаны уравнением

где а;(4) и (3]{£) - функции ограниченной вариации на [0,г] и интегралы понимаются в смысле Лебега-Стилтьеса. Функции и /?,(£) определены при всех значениях ? и носители мер Лебега -Стильтеса, порожденных функциями и , содержатся в отрезке [0,г].

Линейное стационарное звено, вход ы{() и выход х(1) которого связаны уравнением (1), называется линейным звеном W со сложными запаздываниями.

Стандартные определения передаточной функции линейного звена приводят к необходимости рассмотрения следующих функций.

Если положить

то Ж(р) будет передаточной функцией звена Ж и в обычных обозначениях имеем

Ь(р)х = М(р)и, х = I¥(р)и.

(5)

Первый параграф главы 1 носит вводный характер. В нем приводятся необходимые сведения из общей теории систем, системного анализа, теории управления и теории дифференциальных уравнений. Приводится описание функционирования различных динамических систем, вводится понятие состояния системы.

Во втором параграфе главы. 1 даются основные сведения о линейных звеньях, содержащих запаздывания различной природы. Приводится ряд примеров систем, содержащих запаздывания. Описывается схема перехода от простейших уравнений к уравнению вида (1).

Основные результаты первой главы содержатся в третьем параграфе. В нем последовательно дается описание функционирования звена в различных классах входных функций: для гладких входов, для непрерывных, локально суммируемых входов и др.

Наиболее общей ситуацией, по-видимому, является та, когда входы ы(() звена Ж принадлежат классу В' обобщенных функций, т.е. ы(() представляют собой линейный непрерывный функционал на некотором основном пространстве В. Пусть основное пространство В - это пространство бесконечно дифференцируемых и финитных на числовой оси скалярных функций с обычным понятием сходимости. Обозначим через В'+ совокупность всех обобщенных функций из В, обращающихся в ноль при ? < 0. Уравнение (1) может быть записано в виде сверточного уравнения

Л(0*г(<) = В(0 *«(*). (6)

где A(t) и B(t)- обобщенные фукции:

п-1

,=0

т

я(0 = ХУ+,Д(0-

(8)

;=о

Решение уравнения * х(Ь) = (если оно существует) называют фундаментальным решением сверточного опера т Л(<)* и обозначают л_1(<). Здесь <5(<) - функция Дирака.

Основным утверждением в главе 1 является следующая Теорема 1. При любых пит существует и причем единственное фундаментальное решение уравнения (1). Для любых обобщенных входных сигналов и{1) 6 линейное звено (1} имеет единственный обобщенный выходной сигнал ;т(£) €. П'+ , представимый в виде

Глава 2 посвящена вопросам моделирования переходных процессов в системах со сложными запаздываниями. Глава состоит из четырех параграфов.

В четвертом параграфе приводятся необходимые сведения и понятия о переходных процессах в динамических системах В частности, приводятся понятия импульсной и переходной характеристики линейного звена.

Пусть И' - это линейное звено с одним скалярным входом и одним скалярным выходом x(t).

Импульсной характеристикой ) линейного звена W называют нормальную реакцию звена на входной сигнал При этом под нормальной реакцией звена понимается обобщенный выход ) звена таким, что носитель обобщенной функции ^^ содержится на полуоси

1>0 .

С помощью импульсной характеристики может быть найдена реакция на любое входное воздействие ы(() по формуле:

о

Переходной характеристикой к (¿) линейного звена IV называют нормальную реакцию звена на воздействие вида - это функция Хевисайда:

Пусть на вход линейного звена IV подаётся сигнал u(t) = ¿(f) или u(t) = и h(t) - нормальная реакция звена. Переходным процессом для линейного звена W будем называть поведение системы на промежутке [0, т£), где те - время стабилизации системы. Другими словами, переходным процессом называют поведение функции h(t) на промежутке [0,те).

Основными во второй главе являются пятый и шестой параграфы. В них даются основные положения предлагаемого метода моделирования переходных процессов линейном звене W.

Базовым является то положение теории управления и общей теории систем, которое подчёркивает важность возможности представления изучаемой системы или звена как соединения типовых или элементарных звеньев, порядок дифференцирования уравнений которых не выше второго. В работе обсуждаются вопросы такого представления. Основное внимание уделяется изучению случая n > да и связанной с ним возможностью разложения передаточной функции (4) в ряды по простейшим дробям.

Пусть числа:

- это нули квазиполинома (2J, расположенные в порядке возрастания модулей. Будем считать квазиполином L{p) простым, т.е. !/(д.) ф 0.

1, если t ^ 0, О, если t < 0.

П,Т2,...,Тк,... (|г*|-Юо)

(10)

Общая ситуация требует более громоздких построений и поэтому здесь не приводится.

Звенья, передаточные функции которых имеют вид

с\

сг

Ск

(И)

р-Т\р-Т2 Р~Ч

назовем элементарными для звена Ж Звено Ж может быть представлено как параллельное соединение счетного числа элементарных звеньев Ж\, Ж,— с передаточными функциями вида (11) (см. рис.1).

Рис. 1

Описанное структурное разложение звена со сложными запаздываниями на элементарные звенья указывает на то, что анализ процессов функционирования простейших звеньев с запаздыванием может быть сведен к анализу, процессов функционирования простейших звеньев, не содержащих запаздываний.

Предполагается, что каждая из функции квазиполинома (2)

удовлетворяет условию:

Ш либо а}{{) - абсолютно непрерывная функция, либо -

функция скачков с конечным или счетным числом точек разрыва. 3 последнем случае предполагается, что множество точек разрыва $ь€2|— функции О;(<) имеет максимальный элемент: £о = тах{£,}.

Одной из основных во второй главе является следующая

Теорема 2. Пусть выполнено условие и 1 . Тогда передаточная функция Ж(р) звена (1) может быть разложена в ряд

равномерно сходящийся на любом компакте комплексной плоскости.

Разложения вида И^(р) = ^^ эффективны и в задачах моде-

лирования импульсных характеристик к(1) звена W. Основой такого моделирования является следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть выполнено условие И1 . Тогда импульсная характеристика к^) звена (1) представляется в виде

где - это решение уравнения первого порядка

при этом ряд (13) равномерно сходится на [0. т>).

Возникает естественный вопрос об оценке сходимости рядов (12) и (13). Изучение этого вопроса при доказательстве теоремы 2 приводит к следующему результату. Для ряда (12) на любом компакте К С. С выполнена оценка

где п - порядок уравнения (1).

Таким образом, предлагается следующая процедура математического моделирования импульсных характеристик звена (1):

1) вычисляются (точно или приближенно) корни Тк квазиполинома

2) в зависимости от требуемой точности импульсная характеристика к(Х) звена (1) моделируется в виде

где кк - это (точное или приближенное) решение простейших уравнений (14).

В шестом параграфе приводятся также иллюстративные примеры. Приведем один из них. Рассматривается задача об управлении дистанционным манипулятором на поверхности Луны (см. Р. Дорф, Р. Бишоп. Современные системы управления. - М: ЛБЗ, 2002). Передаточная функция этой модели имеет вид

0,5е~Тр

а динамика описывается уравнением

х'(<) + х(<) + 0,5х(< - 2Т) = 0,5«(< - Т). (15)

Поскольку среднее расстояние от Земли до Луны составляет 384318 км, то время запаздывания Т, связанное с прохождением сигнала, равно 1,28 с. Эта модель является частным случаем звена (1) при п —

Х(0 - функция Хевисайда.

Воспользуемся теоремой 2 для приближенного построения импульсной характеристики к(Х). С этой целью от уравнения (15) перейдем к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений

Здесь 7> - нули квазиполинома Ь{р) = р + 1 + 0,5е~2,ЪВр. Нормальная реакция рассматриваемого звена при определяется равен-

ством

Тогда приближенное значение Нф в соответствии с теоремой 3 можно получить по формуле

Вычисления по указанной формуле иллюстрируются на рис. 2 при п = 26 (а) и п = 160 (б).

Рис 2. График импульсной характеристики системы управления дистанционным манипулятором на поверхности Луны. Запаздывание Т = 1,28с. Случай (а) соответствует вычислениям импульсной характеристики при п = 26, а случай б - при п = 160.

Седьмой параграф является вспомогательным. В нем приводятся доказательство теоремы 2, а также асимптотические формулы для нулей квазиполиномов.

Глава 3 посвящена моделированию колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями. Глава состоит из двух параграфов.

В восьмом параграфе приводятся необходимые сведения о периодических задачах в системах со сложными запаздываниями. В нем,

в частности, вводится понятие импульсно-частотной характеристики звена (ИЧХ), определяемое как Т-периодическая реакция звена на Т-периодическую последовательность бесконечных мгновенных импульсов. При этом указанная последовательность может быть описана как обобщенная функция

«г(о= £ и*-кт). (16)

Функция (16) может задаваться и в виде ряда Фурье

ад^Е-р(^)- (П)

к=~ оо

Пусть функция (2) удовлетворяет условию отсутствия Г-резонанса:

0 (к = 0,1,2,...). (18)

Тогда единственной Т-периодической реакцией звена Ж на входной сигнал и(<) = 5т(<) будет обобщенная функция (ИЧХ)

ОДП-^и-(«)

В девятом параграфе приводятся основные утверждения третьей главы. Рассматривается задача об условиях, при которых колебательные процессы в системах со сложными запаздываниями можно изучать на основе исследования динамики простейших звеньев.

Основным в главе 3 является следующее утверждение.

Теорема 4- Пусть выполнено условие 1)\. Тогда импулъсно-частотная характеристика G(t,T) линейного звена с передаточной функцией (4) представляется в виде ряда

который равномерно сходится на каждом отрезке 0<о<4<Т и сходится по норме гильбертова пространства Ь2(0,Т) суммируемых. с квадратом на (0,Т) функций.

Теорема 4 является базовой в задаче моделирования колебательных процессов линейных и нелинейных систем, содержащих сложные запаздывания.

Пусть для простоты изучается линейная система

где- и^ + Т) = Пусть выполнено условие (18) отсутствия Т - резонанса. Тогда уравнение (21) имеет единственный Т - периодический выход х{1).

Моделирование колебательных выходов х(<) может быть осуществлено по следующей схеме:

1) вычисляются (точно или приближенно) корни квазиполинома ЦР);

2) в зависимости от требуемой точности импульсно-частотная характеристика О0,Т) звена (1) моделируется в виде

¿(р)х(0 = М(р)и(0,

(21)

С^.Т)*^,Г)+ ...+<?„(*. Г),

где Ок{^,Т) - это функции

3) колебательный выход х(() моделируется как сумма

1(0 и Ж1(<) + ... +

т

боты.

В гз^клре

следующие основные результаты ра-

1. Разработаны теоретические основы моделирования переходных и колебательных процессов в динамических системах со сложными запаздываниями. Полученные результаты базируются на иерархии упрощенных моделей, позволяющей получить эффективные разложения передаточной функции в ряд по простейшим дробям. В работе дано обоснование указанного подхода.

2. Предложены и обоснованы процедуры приближенного построения импульсных, переходных и импульсно-частотных характеристик для динамических систем со сложными запаздываниями в различных пространствах входных сигналах.

3. Разработаны алгоритмы численного исследования переходных и колебательных процессов, в динамических системах со сложными запаздываниями, программно реализованные в среде МЛТЬЛБ. Разработанные программы апробированы при исследовании ряда практических задач.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Музафаров СМ. Линейное звено со сложными запаздываниями при обобщенных входных сигналах // Автоматика и телемеханика. - 2002. - №6. - С. 181-183.

2. Юмагулов М.Г., Музафаров СМ. Метод элементарных звеньев в задаче приближенного исследования систем со сложными запаздываниями // Автоматика и телемеханика. - 2003. - .N""12. - С 10-16.

3. Музафаров СМ. Элементарные звенья в системах со сложными запаздываниями // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы / Труды Международной научной конференции, г. Стерлитамак, 24-28 июня 2003 г. Т.2. - Уфа: Изд-во 'Тилем'". 2003. - С. 172-176.

че приближенного исследования дифференциально-разностных урав-

нений //Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений / Тезисы Международной конференции, г. Воронеж, 30 июня-4 июля 2003 г. ВГУ, 2003. - С. 235-239.

5. Музафаров СМ. Моделирование переходных и колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями // Вестник .МаГУ: Периодический научный журнал. Вып.5. Естественные науки. - Магнитогорск: МаГУ, 2004. - С. 152- 154.

6. Музафаров СМ. Математическое моделирование переходных процессов в системах со сложными запаздываниями // Сборник трудов Региональной научно-технической конференции. Новые программные средства для предприятий Урала. - Магнитогорск: МГТУ, 2003. - С. 168- 170.

7. Музафаров СМ. Фундаментальные решения линейных звеньев со сложными запаздываниями // Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Сборник трудов. Т.1. Математика. - Уфа: БГУ, 2001. - С, 147-150.

8. Музафаров СМ. Линейное звено со сложными запаздываниями при обобщенных входных сигналах // Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. - 4.1. Математика. - Уфа: БГУ, 2001. - С. 28.

9. Музафаров СМ. Периодические решения автономных уравнений запаздывающего типа с параметром // Социально-экономические и экологические проблемы развития Уральского региона Республики Башкортостан / Тезисы Региональной конференции. - Т.2. - Сибай: СИБГУ, 2000. - С. 226-227.

Музафаров Салих Мухаррамович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ И КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ СО СЛОЖНЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Сдано в редакцию 21.09.2004. Подписано в печать 22.09.04 г. Формат 60x84/16. Бумага типографская № 1. Компютерный набор. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 636

Редакционно - издательский центр Башкирского государственного университета Печатно - множительный участок Сибайского института БашГУ 453833, РБ, г. Сибай, ул. Маяковского, 5. Тел. (34775) 3-53-26.

»173 1 1

Введение.

Глава 1. Математические модели линейных звеньев со сложными запаздываниями

§ 1 Линейное звено с дробно—рациональной передаточной функцией.

§ 2 Линейные звенья, содержащие запаздывания.

§ 3 Функционирование звена со сложными запаздываниями в различных пространсвах допустимых входов.

Глава 2. Моделирование переходных процессов.

§ 4 Переходные процессы в динамических системах.

§ 5 Метод простых дробей

§ 6 Моделирование импульсных характеристик.

§ 7 Асимптотика нулей квазиполиномов.

Глава 3. Моделирование колебательных процессов.

§ 8 Периодическая задача для линейного звена со сложными запаздываниями.

§ 9 Моделирование импульсно — частотных характеристик и колебательных процессов.

Актуальность работы. Динамические системы используют для моделирования различных объектов во многих областях знаний. Одним из основных при изучении динамической системы является вопрос о переходных и колебательных процессах системы. Знание переходных процессов позволяет изучить поведение системы при переходе от одних устойчивых режимов к другим, описать характеристики устойчивости системы. Колебательные процессы являются важнейшим видом функционирования динамической системы, широко распространенным в физике, технике, биологии и др. Моделированию и изучению переходных и колебательных процессов посвящены работы Я.З.Цыпкина [51], Л.Заде, Ч.Дезоера [18], Е.Н. Розенвассера [41], Я.Н.Ройтенберга [43], А. А. Первозванского [34] и др.

Реальные явления часто содержат различные запаздывания и поэтому их моделирование приводит к уравнениям с последействием, содержащим несколько дискретных запаздываний, распределенные запаздывания, случайные запаздывания или их комбинации. Теория дифференциальных уравнений запаздывающего типа, созданная и развитая благодаря работам А.Д. Мышкиса [31], Р. Беллмана [7], Дж. Хейла [49], Л.Э. Эльсгольца [55], Н.В. Азбелева [1] и др., стала важной составной частью современного естествознания.

Переходные и колебательные процессы в системах, содержащих запаздывания, имеют ряд особенностей. Поведение таких систем обладает сложной динамикой, здесь возможны появление незатухающих, в том числе хаотических колебаний, слипание решений и т.д. Вопросы моделирования переходных и колебательных процессов в системах с запаздываниями изучались в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова [4], Е.Н. Розенвассера [41] и др.

Многие вопросы моделирования переходных процессов и колебательных процессов в системах, содержащих запаздывания, еще далеки от своего окончательного решения. Точные решения модельных уравнений удается получить лишь в исключительных случаях. Поэтому существенную роль при моделировании объекта играют способы приближенного или численного построения решений. Особенно актуальны разработки методов математического моделирования переходных и колебательных процессов, обладающих той или иной общностью, позволяющие изучать динамику широкого класса систем.

Исследование режимов функционирования динамических систем, содержащих те или иные запаздывания во всей полноте, с учетом всех факторов и параметров, существующих для модели, возможен лишь в исключительных случаях. Поэтому здесь естественным представляется подход "упрощенных" моделей. При этом возникает цепочка (иерархия) всё более полных моделей, учитывающих всё большее число факторов и таковых, что изучаемая модель будет предельным случаем упрощенных моделей.

Одним из основных преимуществ иерархии упрощенных моделей является возможность простого описания сложного объекта с помощью нескольких основных параметров. Естественно, возникает вопрос о том, какие уровни моделей разумно использовать в тех или иных случаях. Другими словами, необходимо определить оптимальное число параметров, знание которых позволяет с достаточной полнотой описать поведение изучаемого объекта.

Диссертационая работа посвящена обоснованию подхода основанного на иерархии упрощенных моделей, в задачах моделирования переходных и колебательных процессов динамических систем, содержащих запаздывания сложной природы.

Цель работы. Изучение вопросов математического моделирования переходных и колебательных процессов в линейных и нелинейных системах со сложными запаздываниями на основе аппроксимации процессов импульсными и переходными функциями, импульсно-частотными характеристиками элементарных звеньев, содержащих простейшие запаздывания, а также на основе экспоненциальных решений модельных уравнений.

Методы исследования. Используются методы математического моделирования, методы теории функционально-дифференциальных уравнений, теории обобщенных функций, теории управления, теории систем, методы приближенного исследования операторных уравнений.

Научная новизна. В работе для широкого класса динамических систем со сложными запаздываниями:

1. предложен метод математического моделирования импульсных и переходных характеристик, основанный на иерархии упрощенных моделей;

2. предложен метод математического моделирования импульсно-час-тотных характеристик и колебательных процессов;

3. разработаны алгоритмы построения переходных и колебательных процессов, программно реализованные в среде MATLAB;

4. дано теоретическое обоснование функционирования линейных звеньев в различных пространствах входных сигналах;

5. получены оценки скорости сходимости аппроксимирующих рядов к решениям основных уравнений.

Практическая и теоретическая ценность. В работе предлагается теоретическое обоснование метода математического моделирования переходных и колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями. Предлагаемый метод может быть использован в задачах приближенного построения переходных и колебательных процессов широкого класса динамических систем, содержащих запаздывания различной природы. Полученные результаты доведены до расчётных формул, позволяющих эффективно изучать динамику переходных и колебательных процессов. Предложены алгоритмы и программы численного исследования эволюции динамической системы при различных входных сигналах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 9 параграфов, списка цитируемой литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 114 страниц, включая 30 рисунков. Библиография содержит 73 наименования.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. предложен метод математического моделирования импульсных и переходных характеристик систем со сложными запаздываниями, основанный на иерархии упрощенных моделей;

2. предложен метод математического моделирования импульсно-час-тотных характеристик и колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями;

3. разработаны алгоритмы построения переходных и колебательных процессов, программно реализованные в среде MATLAB;

4. дано теоретическое обоснование функционирования линейных звеньев со сложными запаздываниями в различных пространствах входных сигналах;

5. получены оценки скорости сходимости аппроксимирующих рядов к решениям основных уравнений.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 384 с.

2. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. - 123 с.

3. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1971. 240 с.

4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. для вузов 2-е изд., доп. - М.: Высшая школа, 1998. - 574 с.

5. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с последействием.- В кн.: Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983. С. 383-394. Наука, 1982. - 331 с.

6. Балинский А.И., Подлевский Б.М. Связь между многочленами Эрмита и теории устойчивости многочленов. // ЖВМ. 2002. -т.42. - № 9, С. 1283 - 1289.

7. Белман Р., Кук К. Дифференциально разностные уравнения. -М.: Мир, 1967. - 548 с.

8. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. М.: Наука, 1983. - 328 с.

9. Владимиров А.А., Измайлов Р.Н. Переходные процессы при адаптивном управлении детерминированным авторегрессионным процессом. // АиТ. 1992. - № 6. - С. 14-20.

10. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2000. - 400 с.

11. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. М.: Энергия, 1980. - 309 с.

12. Гелъфанд^И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. - 439 с.

13. Гребенъков Д.С.,Гринин А.П. Численное моделирование переходных процессов мицеллообразования //Вестник Санкт-Петербургского университета. 2001. - Сер.4. - Вып.4(П28).

14. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. Пер. с англ. Б.И. Копылова. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 832с.

15. Дралюк Б.Н., Синайский Г. В. Системы автоматического регулирования объектов с транспортным запаздыванием. М.: Энергия, 1969. - 70 с.

16. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979. - 320 с.

17. Завалишин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991. - 255 с.

18. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. М.: Наука, 1970. - 703 с.

19. Зверкин A.M. Разложение в ряд решений линейных дифференциально-разностных уравнений. I. Квазиполиномы.- Труды семинара по теории дифф. ур-й с отклон. аргум., 1965.- 3. С. 3-38; II. Разложение решений в ряд. - Там же, 1967. - 4.- С. 3-50.

20. Земское А. В. Анализ колебательных переходных процессов в возмущенном движении многомерных систем автоматического управления . // АиТ. 1994. - № 9. - С. 59-62.

21. Калман Р., Фалб П., Арбиб А. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. - 400 с.

22. Колмановский В.Б. Уравнения с последействием и математическое моделирование. // Соросовский образовательный журнал. -1996. № 4. - С. 122-127.

23. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. М.: Наука, 1985. - 256 с.

24. Круглое В. В. Усредненные переходные процессы в цифровой системе регулирования при асинхронном режиме работы ЦВМ. // АиТ. 1992. - № 3. С. 101-107.

25. Кувшинов Г. Е., Новик Ю.Д. Математическое моделирование процесса качки в системе судно-трос-буксируемый подводный объект // Материалы междунар. конф. Кораблестроение и океанотехни-ка. Проблемы и перспективы. Владивосток: ДВГТУ, - 1998. - С. 103-107.

26. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. — 632 с.

27. Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. М.: Гостехиздат, 1951. - 432 с.

28. Мартынов Н.Н. Введение в MATLAB 6. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2002. - 352с.

29. Мухамадиев Э.М., Ю магу лов М.Г. Соотношения "вход-состояние-выход" для звеньев запаздывающего типа. // АиТ. 1995. - № 6. - С. 16-23.

30. Мухамадиев Э.М., Юмагулов М.Г. Операторы типа свертки в пространствах суммируемых функций, порожденных различными мерами. // Доклады Академии Наук. 1997. - том 353. - № 1. - С. 23-25.

31. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 352 с.

32. Ним Ю.А. Основы приближенной теории электрозондирования методом переходных процессов. // Геология и геофизика. 1989.

33. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М.: Высш. шк., 2003. - 583 с.

34. ПервозванскийА.А. Курс теории автоматического управления. -М.: Наука, 1986. 616 с.

35. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. 280 с.

36. Понтрягин Л. С. О нулях некоторых трансцедентных функций. // ИАН СССР (матем.). 1942. - 6:3. - С. 115 - 134.

37. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1982. 331 с.

38. Постников М.М. Устойчивые многочлены М.: Наука, 1981. 176 с.

39. Ричард М., Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах.- М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

40. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием.- М.: Наука, 1969. 287 с.

41. Розенвассер Е.Н. Периодически нестационарные системы управления. М.: Наука, 1973. - 512 с.

42. Розенвассер Е.Н., Воловодов С.К. Операторные методы и колебательные процессы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 312 с.

43. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1992.- 576 с.

44. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

45. Сивокобыленко В. Ф. Математическое моделирование электродвигателей собственных нужд электрических станций (учебное пособие). -Д.: Межвузовское полиграфпредприятие при ДПИ, 1979. -112 с.

46. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. JL: Изд-во ЛГУ, 1950. - 255 с.

47. Тихонов А.Н., Васильева А. В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 231 с.

48. Харитонов В. Л. Семейства устойчивых квазиполиномов // АиТ.- 1991. № 7. - С. 75 - 88.

49. Хэйл Дж. Теория функционально дифференциальных уравне-ний.Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 421 с.

50. Хэссарт Б., Казаринов Н.,Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла : Пер. с англ. М.: 1985. - 280 с.

51. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем М.: Наука, 1977. - 560 с.

52. Чен К., Джиблин П., Ирвинг A. MATLAB в математических исследованиях: Пер. с англ. -М.: Мир, 2001. 346 с.

53. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. I. М.: Наука, 1985336 с.

54. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965. - 412 с.

55. Эльсгольц Л.Э, Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. -296 с.

56. Юмагулов М.Г. Импульсная характеристика линейного звена со сложными запаздываниями. // АиТ. 1993. - № 6. - С. 106-112.

57. Юмагулов М.Г. О разложении периодической функции Грина уравнений с последействием в ряд по экспоненциальным решениям. // -ДАН Респ. Тадж. 1992. - Т. 35. - № 8.

58. Volterra V. Theorie mathematique de la lutte pour la vie. Paris: Gauthier-Villars, 1931.

59. Wright E.M. Solution of the equation zez = a.

60. Bull. Amer. Math. Soc., 65(1959), 89 93; Proc. Roy. Soc. Edinburg, sect. A, 65(1959), 192 - 203.

61. Hutchinson G.E. Circular causal systems in ecology. // Ann. New York Acad. Shi. 1948. V. 50. p. 221 246.

62. Gopalsamy K. Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992.

63. Minorsky N. Self-excited oscillations in dinamical systems processing retarted action. J. Appl. Mech. 9 (1942), 65-71.

64. Parhi N.,Pardhi Seshadev Asymptotic behavior of solutions of delay differential equations of n th order. // Arch, math., 2001, V. 37, №2, p. 81-101.

65. Ruan Shigui, Wei Junjie Periodic solutions of planar systems with two delays. 11 Proc. Roy. Soc. Edinburgh. A. 1999, V. 129, №5, p. 1917-1032.

66. Музафаров C.M. Линейное звено со сложными запаздываниями при обобщенных входных сигналах. // Автоматика и телемеханика. 2002. - т. С. 181-183.

67. Юмагулов М.Г., Музафаров С.М. Метод элементарных звеньев в задаче приближенного исследования систем со сложными запаздываниями // Автоматика и телемеханика. 2003. - №12. - С. 10-16.

68. Музафаров С.М. Моделирование переходных и колебательных процессов в системах со сложными запаздываниями // Вестник МаГУ: Периодический научный журнал. Вып.5. Естественные науки. Магнитогорск: МаГУ, 2004. - С. 152- 154.

69. Музафаров С.М. Фундаментальные решения линейных звеньев со сложными запаздываниями. // Региональная школа- конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов. Т.1. Математика. Уфа: ВГУ, 2001. -С. 147-150.

70. Музафаров С.М. Линейное звено со сложными запаздываниями при обобщенных входных сигналах. // Региональная школа конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. - Уфа: ВГУ, 2001. - 4.1. Математика. - С. 28.