автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимизация и управление в моделях "власть - общество - экономика" с базовой и коррумпированной иерархиями

10-1

3406

Павлов Александр Александрович

ОПТИМИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ В МОДЕЛЯХ «ВЛАСТЬ - ОБЩЕСТВО - ЭКОНОМИКА» С БАЗОВОЙ И КОРРУМПИРОВАННОЙ ИЕРАРХИЯМИ

05.13.01. - Системный анализ, управление и обработка информации (управление социальной сферой)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 2009

Работа выполнена в Российском государственном социальном университете на кафедре прикладной математики

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Дмитриев Михаил Геннадьевич

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук Петров Александр Пхоун Чжо

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Михайлов Александр Петрович

кандидат физико-математических наук, доцент Комарова Екатерина Владимировна

ГОУ ВПО «Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана»

Защита диссертации состоится «/¿3» 2009 г. в /£- часов

мин на заседании Диссертационного совета Д.212.341.07 при Российском государственном социальном университете (129226, г. Москва, ул. Вильгельма Пика, д. 4, к. 2, в Зале диссертационного совета).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского государственного социального университета.

Автореферат разослан «

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д212.341.07, к.ф.~м.н. Чумакова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Актуальность проблемы формализации задач оптимизации и управления в сложных системах взаимодействия органов государственного управления с экономическими, политическими и социальными структурами общества, определяется большим влиянием таких систем на жизнь каждого гражданина.

В Советском Союзе и затем в России, в работах Л.В.Канторовича, Н.Н.Моисеева, A.A. Петрова, A.A. Самарского, Г.Г. Малинецкого, С.Н.Васильева, Ю.С.Попкова, В.И.Гурмана, И.Г.Поспелова, АЛ. Михайлова,

A.A. Шананина, С.Ю.Малкова и многих других авторов создавались модели и алгоритмы изучения сложных экономических, социальных, экологических систем на основе сочетания подходов, сложившихся в физике, механике, математической экономике, экологии, биологии. Были получены многочисленные результаты по моделированию сложных систем, включающих в состав фазовых переменных и социальные показатели, например, социо-эколого-экономические системы, разработаны основы теории равновесных состояний макросистем, включающие в себя методы математического моделирования и качественного анализа стационарных режимов и их параметрических свойств, предложены новые классы вычислительных алгоритмов, разработаны принципы построения математических моделей неравновесных состояний для макросистем с воспроизведением и распределением ресурсов. При этом исследовались вопросы управления нелинейными динамическими системами, в том числе с неопределенностью, с хаотическим поведением, возникающих при моделировании сложных социально-экономических систем. В западной литературе, начииая с 1970-х годов, в работах

B. Вайдлиха (W. Weidlich), Е. Монтрол (Е. Montroll), В. Бадгера (W. Badger), Д. Хелбинга (D. Helbing) и др. проводились исследования по систематизации и анализу социальных наук с использованием методов математического моделирования, что, в частности, сформировало междисциплинарное научное направление - социодинамика1.

Начиная с работ А.П.Михайлова2 в 90-х годах прошлого века в литературе появились исследования по динамике процессов в системе «власть-общество», где в качестве субъекта власти предлагалось рассматривать властную иерархии упорядоченную по старшинству совокупность инстанций. Данное направление нашло продолжение в исследовании топологии иерархии и ее «властных» характеристик, моделированию коррумпированных иерархий3 и построении

1 Вайдлих В. Социодинамика: Системный подход к математическому моделированию б социальных науках. - М.:

Едиториал УРСС, 2005.

3 Михайлов А.П. Математическое моделирование власти в иерархических структурах // Математическое

моделирование, 1994, т.6, Нв 6, с, 108-138.

5 Михайлов АЛ., Ланкин Д.Ф. Моделирование оптимальных стратегий ограничения коррупции!! Математическое моделирование, 2006, т.18, № 12, с. 115-124.

технологии исследования нелинейных задач «власть-общество» на основе теории контрастных структур в сингулярно возмущенных моделях4.

Очевидно, что процессы, происходящие во властных иерархиях, влияют на те или иные показатели эффективности в экономических системах. После появления работ, в рамках модели «власть-общество» стало возможным построение моделей, в которых может изучаться влияние систем властного управления на экономическое развитие. Этим и определяется актуальность работы. Естественно, что, на первых порах, необходимо изучить такое влияние на макроуровне.

Настоящая работа посвящена построению макромодели «власть-общество-экономика» и решению некоторых задач оптимизации и управления, связанных с этой моделью, как для случая базовой, так и для случая коррумпированной иерархий. В качестве подмодели властного управления используется нелинейная модель «власть-общество» А.П.Михайлова. Экономический блок модели «власть-общество-экономика» в работе представляет динамическая модель роста односекторной экономики Солоу. В модели Солоу экономическая система рассматривается как единое целое, производит один универсальный продукт, который может, как потребляться, так и инвестироваться, модель достаточно адекватно отражает важнейшие макроэкономические аспекты процесса воспроизводства.

Синтез нелинейной модели «власть-общество» А.П.Михайлова и модели экономического роста позволяет сформулировать задачу поиска такой властной иерархии, которая была бы оптимальной с точки зрения того или иного критерия качества, например, максимизации величины удельного потребления.

Цель работы. Основной целью диссертации является решение стационарных и нестационарных задач оптимизации и управления, связанных с определением оптимальных объемов власти с точки зрения повышения эффективности функционирования системы «власть-общество-экономика» в условиях базовой и коррумпированной иерархий.

Методы исследования. Для описания стационарных и нестационарных задач оптимизации и оптимального управления в работе используется язык теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными). При решении указанных задач и исследовании характеристик оптимальных решений применяются асимптотические методы, в частности, метод пограничных функций А.Б.Васильевой5. Задачи оптимизации в стационарных случаях изучаются с помощью методов нелинейного программирования, а задачи

4 Дмитриев М. Г., Петров А.П. Анализ модели "Власть-общество" для случая двух устойчивых распределений власти // Математические методы и приложения. Труды девятых математических чтений МГСУ. - М,: 2002, с.150-154.

5 Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений - М.: Высшая школа, 1990.

оптимального управления, в нестационарных случаях, - с помощью динамического программирования6.

Па защшу выносится:

постановки стационарных и нестационарных задач оптимизации и оптимального управления для макромоделей типа «власть-общество-экономика» в условиях базовой и коррумпированной властной иерархии;

исследование характеристик решений стационарных задач оптимизации для макромодели «власть-общество-экономика» в условиях базовой и коррумпированной властной иерархии;

исследование условий появления контрастных структур при решении нестационарной задачи управления в модели типа «власть-общество»;

приближенное решение задачи оптимального управления для обобщенной модели «власть-общество-экономика» в виде линейной обратной связи.

Научная новизна. В диссертации:

впервые построены и исследованы стационарные и нестационарные макромодели системы «власть-общество-экономика» в условиях базовой и коррумпированной властных иерархий на базе синтеза модели «власть-общество» Л.П.Михайлова и динамической модели роста односекторной экономики Солоу;

получены выражения для оптимальных норм накопления и объемов властных полномочий по критерию максимума удельного потребления для макромодели типа «власть-общество-экономика» в стационарных случаях в различных вариантах влияния объемов власти в иерархии на общую производительность факторов в условиях базовой и коррумпированной властных иерархий;

впервые приведена задача оптимального управления в системе «власть-общество-экономика» и получено ее приближенное решение в форме линейного синтеза, а также предложен алгоритм уточнения управления.

Обоснованность научных положений. Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны.

Практическая ценность. Технологии, разработанные в исследовании, могут быть использованы для решения практических задач при анализе пропорций присутствия институтов власти в экономической деятельности государства, регионов, крупных организаций, могут быть полезными для систем поддержки принятия решений в области экономического и политического управления. Методы и подходы, разработанные в диссертации могут быть полезными при проектировании властных иерархий в социально-экономических

6 Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998.

системах, с точки зрения, достижения окрестности заданных значений различных показателей эффективности таких систем.

Апробация результатов работы. Основные положения исследования докладывались и обсуждались на 8-й Международной научной конференции «Модернизация экономики и государства» (Москва, Высшая школа экономики при участии Всемирного банка и Международного валютного фонда, 2006 год), на 3-й Международной конференции по проблемам управления (Москва, Институт проблем управления РАН им. В.А. Трапезникова, 2006 год), на 6-м и 8-м Международных социальных конгрессах (Москва, РГСУ, 2006 и 2008 годы), на 2-й Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики (MMSED-2007)» (Москва, 2007 год), на 20-й Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-20)» (Ярославль, 2007 год), на 2-й, 3-й, 5-й и 6-й Всероссийской научной конференции с международным представительством «Сорокинские чтения» (Москва, МГУ им. М.В, Ломоносова, 2005, 2006, 2008 и 2009 годы), на 4-й международной конференции по проблемам управления (январь 2009 г. ИЛУ РАН), на ежегодных Зимних математических чтениях РГСУ в 2006-2009 гг., на семинарах кафедры прикладной математики РГСУ, на семинаре «Асимптотические методы» кафедры математики физического факультета МГУ.

Реализация результатов работы. Результаты диссертации использованы при выполнении проектов 05-06-80237-а, 06-01-00426-а, 08-06-00302-а Российского фонда фундаментальных исследований.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 18 работ, из которых 5 работ в журналах, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук, в том числе 1 работа в журнале, рекомендованном экспертным советом ВАК Минобрнауки России по управлению ([11]).

Личный вклад. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Из работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены результаты, полученные автором лично.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 134 страницы. Библиографический список включает 64 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы, научная новизна, практическая ценность, апробация и достоверность полученных результатов, приводится краткое содержание результатов диссертации.

В первой главе строится макромодель «власть-общество-экономика» для различных вариантов влияния власти на общую производительность факторов используемой модели экономического роста в условиях базовой и коррумпированной властных иерархий, находятся выражения для вычисления оптимальных по критерию максимизации удельного потребления стационарных объемов власти и приводится задача построения властной иерархии, отвечающей экономическим интересам общества. Для такой задачи доказывается теорема о достижимости (реализуемости) значений оптимального стационарного количества власти, описывается класс начальных распределений власти, для которых, при выбранном постоянном значении управления происходит стабилизация к стационарному распределению власти, отвечающему оптимальному количеству власти.

В § 1.1 формулируется постановка задачи «власть-общество-экономика». Макромодель «власть-общество-экономика» строится как синтез сингулярно возмущенной модели «власть-общество» и модели экономического роста Солоу с производственной функцией Кобба-Дугласса7. В последней модели имеется пять эндогенных переменных: X - валовой продукт, С - фонд непроизводственного потребления, I - инвестиции, Ь - число занятых, К - фонды. Также здесь используются следующие экзогенные показатели р - годовой темп прироста числа занятых, /л - доля выбывших за год основных производственных фондов, а - коэффициент прямых затрат (доля промежуточного продукта в ВВП), и - норма накопления. Экзогенные параметры находятся в следующих границах8: -1 < < 1, 0</а<1, 0 < <я < 1, 0 < и < 1. Экзогенные переменные - от времени не зависят, норма накопления является управляющим параметром.

Состояние властной иерархии описывает переменная р(х,/) - уровень реальных властных полномочий. Предполагается, что функция реакции гражданского общества /{р,х, () достаточно гладкая по всем переменным в области 0<х< 1, 0</?<П, 0</<оо, где П>0 некоторая положительная константа, а также, что встречающие начально-краевые задачи имеют достаточно гладкие решения. Основные предположения, введенные А.П.Михайловым при конструировании модели «власть-общество», сохраняются.

Предполагается, что влияние власти на общую производительность экономических факторов определяется по закону Ч^С?) = Чу0Р(0 - . Здесь

1

р = Р(г)= \р{х, ^сЬс - общий объем власти, находящейся в распоряжении О

властной иерархии, ^»Ч^О, й>е(0,1) - доля административных расходов на содержание властной иерархии ([10],[11]).

7 В работе [2] для примера рассмотрены некоторые решения уравнений модели для производственных функций. Леонтьева и линейной производственной функции.

8 Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.

Удобнее рассматривать макромодель «власть-общество-экономика» в

А.' С

удельных переменных к,с, где к = — капиталовооруженность, с = —

Ь Л,

удельное потребление.

Макромодель «власть-общество-экономика» в удельных переменных задается начально-краевой задачей для системы дифференциальных уравнений

dp(x,t) д2р Л

dt

сх~

dk_ dt

-(/ü + p)it + w[(l-fl)-ü>-P]-[4'0 -P-HVP2]-^

CD

dp

dx

X 0

°P dx

0, p(x,tQ) = p0(x), k(tQ) = kc

X 1

(2)

I NK

где y>0 - коэффициент влияния отношения ---, tp = .

С Ч^

Далее рассматривается стационарная задача, т.е. выполняется условие политической стабильности власти, которое обеспечивается выполнением

Ф Л условия ^-sO.

В § 1.2 в стационарной задаче «власть-общество-экономика» решается задача оптимизации объема властных полномочий но критерию удельного потребления.

Лемма 1.1. Для стационарной задачи «вяасть-общество-экономша» установившееся значение капиталовооруженности кст и соответствующее ей значение удельного потребления сст имеют следующие представления

?/[(! - Ö) - ¿у • Р] • • Р - -Р2]У

N V

\ 1 Ö

сст(и) = (\-и)[{\-а-а)?}

{м + р)

[^qP-^JP2]

Лемма 1.2. (обобщение «золотого правила» Солоу). Для стационарной задачи «властъ-общество-жопомика» максимум сст, соответствующий кст, достигается при управлении и* = а. Более того, максимум сст достигается при

* „ {\ + у)-^(\ + у)2-3-у . . 1 -а.

значении объема власти Рл ^(р- ------------ -- ....... .——- (здесь у -).

3 со-(р

Из леммы 1.2 легко получается верхняя оценка для такого значения 1 -а

потенциала власти Р0: Р0 <--и Р0 < (р.

со

В § 1.3 задача оптимизации объема властных полномочий по критерию удельного потребления для стационарной задачи «власть-общество-экономика» решается при различных вариантах влияния власти на общую производительность экономических факторов ¥(Р). Исследуются случаи Т = В и ^ =В + (Лемма 1.3 и Лемма 1.4). Интересным является рассмотрение ситуации, когда ^(сй,Р) = %(сй)Р-Ц(сй)Р2 или Ща>>Р) = (р(а>)Р-Р2, ¥0(й;))Ч/1И>0 для любых 0 <со <1(| 13],[14]). Для данного случая устанавливается обобщение «золотого правила» Солоу (Лемма 1.5). В § 1.4 модель «власть-общество-экономика» обобщается на случай коррумпированной властной иерархии при предположениях А.П.Михайлова ([16],[17]), Макромодель «власть-общество-экономика» в условиях коррумпированной иерархии при записи в удельных переменных имеет вид

др(х^)

д(

дх

1 + ■

д+(х^)-д_(х,р \ + д0(х,1) + д_(х,()

др дх

+ /(р,х,г)

йк К-Р-^-Р2!

~ = ~(!Л + р)к + 4(1 - а) - © • Р(о - к2др(ф--]-ка

т 1 + к3()

(3)

с = (1-и)-[(\-а)-а>-Р(Ъ~к2йР(1)}

1 + *30

др дх

= др X О дх

:0, р(х,^) = р0(х), к(10) = к°

X 1

(4)

Коэффициенты к2,к3 > 0 отражают влияние коррупции на экономическую деятельность, <?0(х,О> <?+ОЛ<7-(лО - степени коррумпированности института х

1 (\ ^ властной иерархии в момент времени I, \р(х^)сЬс

О >

уровень (степень) коррумпированности властной иерархии в целом.

Лемма 1.6 (обобщение «золотого правила» Солоу). В условиях стационарного случая модели (3),(4) и однородной коррумпированности иерархии справедливы следующие утверждения: 1) и* =а; 2) фк = Ф/ 3) Рок(®) = ро(юк)'' 1

4) ссшк(со)

(1 + к3ч)'-

»(©к)-

Аналогичный результат устанавливается и для случая = И-Р2 + В, где ^о(со)3 ^ (со): ¥0(®) = %(®к)>

(ш) = ^ (шк) - периодические функции (Лемма 1.7).

Таким образом, коррупция в предложенной формализации не сказывается на формулировке «золотого правила» Солоу. Как и в «идеальной» модели «власть-общество-экономика» максимум удельного потребления достигается при и* = а. Более того, в условиях модели, коррупция не вносит каких либо значительных структурных изменений в характер властных и экономических процессов. Она влияет только на изменение значений параметров со, % и Ч^. Поэтому, можно сказать, что коррупцию трудно выявить и отделить от «просто» низкоэффективной деятельности общества, экономики и государства. В конце § 1.4 обобщаются, на случай моделей «власть-общество-экономика» с коррумпированной иерархией, качественные оценки ущерба от коррупции и эффективности мер по противодействию коррупции.

В § 1.5 показывается возможность применения теоремы Бутузова-Неделько к сингулярно возмущенной нелинейной модели «власть-общество», используемой в макромодели «власть-общество-экономика», и в которой функция реакции гражданского общества задана в виде кубической нелинейности /(х, р) ~-к] -(р-щ (х)) • (р - (р2 (*)) -(р-(ръ М), где кх > 0, функции </9, (х),(р2 (х) имеют непрерывные производные и щ (х) < ^С*) < щ{х) ■ Для этого устанавливается соответствие функции /(х, р) четырем условиям теоремы Бутузова-Неделько9.

В § 1.6 формализуется постановка задачи достижимости заданного удельного потребления и исследуется возможность построения такой властной иерархии, которая позволяла бы реализовывать (достигать) значения наперед заданного максимального стационарного удельного потребления.

Рассматривается нелинейную- модель «власть-общество» с нелинейной функцией гражданского общества вида

Др,х^) = -к](х)(р-(р](х))(р-(<р2(х) + ги))(р-<р2(х)), где ¿,(х)>0, функции к{(х),(р{(х),(р2(х)>(ръ(х) имеют непрерывные производные, ^€[-1;1]. Считается, что корни щ{х), (ръ(х) фиксированы, а управление происходит за счет так

что модель «власть-общество» принимает вид

^ = ** ТУ ~ - - Ых) + уи))(р - *,(*)) (9)

а/ дх2

др дх

дР

х=0 дх

о .^-Л-) °0)

Рассматривается следующая задача. Пусть значение потенциала власти в иерархии равно объему власти, оптимальному по критерию удельного потребления (т.е. оптимальному в смысле аналога «золотого правила» Солоу), т.е. равно Р0. Существует ли управление, при котором решение задачи (9),(10) в главном приближении при £ 0, будет порождать это количество власти Р0?

9 Бутузов В.Ф.. Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями // Математический сборник, 2001, т. 192, № 5, с.13-52.

С содержательной точки зрения, подобная постановка имеет следующий смысл. Если из соображений экономического характера следует, что оптимальное стационарное количество власти равно Р0, то можно ли построить (в рамках рассматриваемой модели) политическую систему так, чтобы объем власти в ней был близким к оптимальному объему в стационарной модели.

Снова рассматривается, соответствующее (9), стационарное уравнение

о2

£2-{ = h(Х)(р - Р1(х)Хр - (pq(х) + уи)\р - р3(х)) (11)

дх1

Здесь будем называть значение Pq достижимым (реализуемым), если существуют значение управления и, положительная постоянная С и достаточно малое sQ > 0, такие, что при всех 0 <¿-<c0 количество власти, находящееся в распоряжении властной иерархии (т.е. интеграл от решения поставленной задачи) Р(и,б') удовлетворяет неравенству Р0 ~Се< P(u,s) <PQ+Cs.

Теорема 1.1. Пусть в задаче (10), (11) выполнены следующие условия:

1. кх (х), р, (х), д.ь (х), щ (х) б С1 [0,1].

2. -\<и<\.

3. (рх{х)<ср1{х)-у<(Рг{х) + у<(рг{х).

4. Н\х)< 0, где Щх) = -<р](х) + <р3(х)-2<р2(х).

Тогда множество достижимых (реализуемых) значений Р0 непусто.

При доказательстве теоремы строятся области достижимых значений Р0 для допустимых значений параметров модели. Для параболической задачи (9),(10) доказывается

Теорема 1.2. Пусть

1) выполнены условия Теоремы 1.1,

2) ig является достижимым и реализуется при некотором значении управления и.

*ь i

3) существует х0 е(0,1) такое, что Р0 = J^3(x)c&+ ^(px[x)dx

0 лг0

4) существуют точки xje(0,x0) и х2е(хо,0) такие, что

Р° (X]) > ро (х}) + уи, р° (х2 ) > ро (Х2) + У* ■

Тогда в задаче (9), (10) имеет место lim lim P(í,í:) = Pq .

Теорема 1.2 описывает класс начальных распределений власти, для которых, при выбранном постоянном значении управления, происходит стабилизация при t со к данному стационарному решению. В конце первой главы в § 1.7 приводятся результаты вычислительных экспериментов.

Во второй главе строится обобщенная модель «власть-общество-экономика», в которой, в отличие от моделей, рассматриваемых в главе 1, уже не фигурирует переменная p{x>t). Вместо этой переменной состояния в модель

вводится новая инте1ральная фазовая переменная P(t)~ jp(x,t)dx - объем

о

властных полномочий в иерархии в момент врсмеии t. Для такой обобщенной модели доказывается существование и единственность решения, ставится задача оптимальной стабилизации в нестационарном случае. К решению задачи оптимальной стабилизации строится линейное приближение и доказывается его допустимость, предлагается алгоритм уточнения построенного линейного приближения оптимального управления. Глава состоит из пяти параграфов.

В § 2.1 приводится постановка обобщенной модели «власть-общество-экономика» ([18]), Обобщенная модель «власть-общество-экономика», записанная уже в относительных переменных имеет вид

у_- Ршкш__k(t)'a

dt (1 - и) [1 - а - íoPit)] [чу>(0 - Ч» ХРЦ? }

--(M + p)k(t) + u[\-a-a>P{t)] [чуЧО - ^Р7 (*)] -Щ'

С начальными условиями

Р(0) = Р°, к(0) = к° (6)

Все параметры данной задачи такие же, как и в главе 1, и принадлежат некоторой области D. Предполагается, что правые части в (5) в области D -непрерывно дифференцируемые функции любого порядка. Далее для некоторой D\ , сужения области D, устанавливается

Теорема 2.1. При выборе начальных данных Pq, и параметров задачи из

{1 — а 4х ]

-' TjjJ J такие, что если

Рц е(/?о, Р\), гпо задача (5),(б) имеет единственное непрерывное решение при 0<í<oo и точка покоя {P3a¿aH", kcm} системы является асимптотически

устойчивой по Ляпунову.

Здесь кст, такое же, как в Лемме 1.1. Для всего множества значений параметров из области D\ корни характеристического уравнения Х] и Х2 теоремы 2.1 действительны, различны и отрицательны.

Учитывая, что в модели (5),(6) имеется асимптотически устойчивое положение равновесия, в § 2.2 ставится задача об оптимальном, в смысле некоторого критерия, удержании (стабилизации) системы вблизи положения равновесия на всем интервале [о, оо). В качестве внешнего воздействия или переменной управления рассматривается переменная, связанная, например, с нормой накопления и которая, естественно, является функцией времени и в идеале синтезирующая, т.е. зависит от переменных состояния системы.

Для обобщенной модели «власть-общество-экономика», это может означать, что найдется оптимальная программа модернизации производственных фондов, в смысле вывода системы «власть-общсство-экономика» на равновесие, оптимальное по Солоу. А именно, в каждый момент врсмеии t, может быть

построена такая программа модернизации производственных фондов, реализуя которую, мы, при 1 —> оо, будем близки к показателям максимума среднедушевого потребления, полученного для стационарного случая.

Таким образом, вводится задача оптимальной стабилизации для модели «власть-общество-экономика»10

■I

'2'

/¿И') 0 KJi(»(t) ccf)dt > min

о

dP

-у-

k(t)~a, Р(0) Р°

dt (1 и)[1 a üjF(í)]|

dk (ju + p)k(t) + u[\-a-coP{t)}\4>,P(t)-4\P(tf~\-k(t)\ кф) к0

di

(7)

(В)

О <и(Р(0, к{0)<1 , / е [0, а>) Задача управления (7) с ограничениями на управление (8) решается относительно управления - нормы накопления, как функции отклонения фондов и потенциала власти.

Для полученной задачи выполняется замена переменных

~ Рзадан> ^ (О = ¿(0 ~ "(О = м(0 ~ а' и ПРИ этом исх°Дная система заменяется системой

L dt

'/¡{рлйУ 'Р(О)'

UJ P \K /

(9)

где /^Р^^У /2[Р,к,и) функции правых частей системы (7) после замены переменных, а в функционал вводятся еще весовые коэффициенты ^ и £2, £1, £2 > 0 > т.е. вместо исходного функционала рассматривается

сО 00 / ч

J= др2+£1Р+£2£2/к >° (ю)

о о

Теорема 2.2. Пусть параметры задачи (7), (8) принадлежат области Тогда оптимальное управление существует, единственно и имеет следующее

представление й-й{Р,1с)~М „ +

Здесь M--R ]BTL и при этом L есть симметричная положительно определенная матрица - решение матричного алгебраического уравнения Риккати

-AL-LA1 +LSL-Q = 0 , где все матрицы вычисляются в положении

—1 Т

равновесия, А матрица линейного приближения в

10 Здесь используется техника из работы Lukes D.L. Optimal regulation of nonlinear dynamical systems // SIAM Journal Control, 1969, Vol. 7, Xa 1, pp. 75-100.

(1 о ] Го ^

, -8=

,0 <?ь А;

В § 2.3 изложены свойства линейного приближения

оптимального синтеза в нестационарной модели «власть-общество-экономика». Из теоремы 2.2 вытекает представление для линейной части оптимального синтезирующего управления в задаче (9),(10).

Лемма 2.1. и*(Р,к) = а- <%2 [¿12~ ?задан3+

122[к

кст ]] (И)

и при этом минимальное значение критерия качества представимо в виде J(P0,kQЛ) = /,, [Ро - Рзад}2 + 2/!2 [к0 - кст][Р0 - Рзад] +122 [к0 - кст]2 Здесь /ц, /|2, /22 коэффициенты положительно определенной симметричной матрицы, являющейся решением матричного алгебраического уравнения Риккати.

Приведенное в теореме 2.2 оптимальное управление применимо для задачи без ограничения (8). Поэтому необходимо установить существование допустимого управления.

Теорема 2.3 (основная теорема). Существует некоторая окрестность точки {Рзадт', кст) для которой линейный синтез (11) является допустимым, стабилизирующим управлением в задаче (7), (8).

При доказательстве теоремы 2.3 установлены размеры таких окрестностей точки {Рза()ан; кст) в зависимости от значений параметров задачи.

В § 2.4 применительно к задаче (9),(10) адаптирован алгоритм уточнения линейного синтеза. Результаты численных экспериментов, иллюстрирующих утверждения второй главы приводятся в § 2.5.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

построены стационарные и нестационарные макромодели системы «власть-общество-экономика» в условиях базовой и коррумпированной властных иерархий на базе синтеза модели «власть-общество» А.П.Михайлова и динамической модели роста односекторной экономики Солоу;

получены выражения для оптимальных норм накопления и объемов властных полномочий по критерию максимума удельного потребления для макромодели типа «власть-общество-экономика» в стационарных случаях в различных вариантах влияния объемов власти в иерархии на общую производительность факторов в условиях базовой и коррумпированной властных иерархий;

описан класс начальных распределений власти, для которых происходит притяжение текущих профилей власти к стационарным решениям, с использованием теории контрастных структур;

найдены условия для реализуемости предельными профилями власти оптимального стационарного объема власти по критерию удельного потребления;

получено приближенное решение в форме линейного синтеза для нелинейной задачи оптимальной стабилизации с ограниченным управлением в системе «власть-общество-экономика» для удержания системы вблизи положения равновесия, а также предложен алгоритм уточнения управления/

ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Объединение модели «власть-общество» с моделью Солоу. Математическое моделирование социальных процессов. Вып. 8, М.: МАКС Пресс, 2006, с. 30-36.

2. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров A.II. Развитие модели «власть + общество + экономика». Пленарные доклады и избранные труды III международной конференции по проблемам управления (20 22 июня 2006 года), М.: Институт проблем управления, 2006, с. 568-572.

3. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Исследование модели «Власть-общество» с учетом экономического роста. Тезисы докладов и выступлений Всероссийского социологического конгресса «Глобализация и социальные изменения в современной России 3-5 октября 2006 года». Том 11, М.: Альфа-М, 2006, с. 140-141.

4. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Концепция модели взаимоотношений бизнеса и власти. Материалы VI Международного социального конгресса «Глобализация: настоящее и будущее России (24 25 ноября 2006 года)» в 2-х томах. Том 1, М.: Изд-во РГСУ, 2006, с. 99-100.

5. Павлов A.A. Содержательная трактовка условий теоремы Бутузова-Неделько в условиях нелинейной модели «Власть-Общество». Материалы VI Международного социального конгресса «Г лобализация: настоящее и будущее России (24-25 ноября 2006 года)» в 2-х томах. Том 1, М.: Изд-во РГСУ, 2006, с. 109-110.

6. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Макромодель взаимоотношений бизнеса и власти. Социальная политика и социология. № 3, М.: Изд-во РГСУ, 2007, с. 219-231.

7. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Качественная модель взаимоотношений бизнеса и власти. Труды 2-й международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики -MMSED-2007 (20 - 22 июня 2007 года)», М.: Изд-во РУДН, 2007, с. 63-66.

8. Павлов A.A. Об устойчивых профилях власти в условиях нелинейной модели «Власть-Общество». Труды 2-й международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики -MMSED-2007 (20 - 22 июня 2007 года)», М.: Изд-во РУДН, 2007, с. 202-204.

9. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Нелинейная модель «Власть-Общество» и ее приложения. Труды XX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-20» в 10-ти томах. Том 1, Ярославль: Изд-во Яросл. гос. тех. ун-та, 2007, с. 53-59.

10. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров АЛ. Оптимальный объем властных полномочий в иерархиях по критерию удельного потребления. Математическое моделирование социальных процессов. Вып. 9, М: Изд-во МГУ, 2007, с. 6-14.

11. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Оптимальный объем властных полномочий в социально-экономической иерархии по критерию удельного потребления. Информационные технологии и вычислительные системы. № 4, М.: Изд-во ЖИ, 2007, с. 4-11.

12. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Развитие модели «власть-общество» и ее приложения. Труды V Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2007), посвященной 90-летию со дня рождения ак. H.H. Моисеева (10-14 апреля 2007 года), М.: МАКС Пресс, 2007, с. 218-219.

13. Павлов A.A. Об эффективности власти в рамках макромодели «Власть-общество-экономика». Ученые записки РГСУ. № 7, М.: Изд-во РГСУ, 2008, с. 197-210.

14. Павлов A.A. О перспективах участия власти в повышении эффективности факторов производства в рамках макромодели «Власть-общество-экономика». Материалы VIII Международного социального конгресса «Россия в глобальном мире: новые реалии и перспективы развития (25 - 26 ноября 2008 года), М.: Изд-во «Крипто-логос», 2009, с. 2053-2056.

15. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Развитие модели «власть -общество - экономика». Математическое моделирование социальных процессов. Вып. 10, М.: КДУ, 2009, с. 17-29.

16. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Моделирование влияния коррупции в системе «власть-общество». Человеческий капитал. №1 (9), М.: Изд-во РГСУ, 2009, с. 208-216.

П.Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Учет действия коррупции в стационарной модели «власть-общество-экономика». Социальная политика и социология. № 5. Часть 1, М: Изд-во РГСУ, 2009, с. 378-387.

18. Павлов A.A. Линейный синтез управления ресурсами в нестационарной модели «власть-общество-экономика». Социальная политика и социология. № 5. Часть 2, М: Изд-во РГСУ, 2009, с. 210-219.

Отпечатано в ООО «Компания Спутник+» ПД № 1-00007 от 25.09.2000 г. Подписано в печать 19.11.2009 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1,0

¡¡- 3 4 3 5

к

, С

2007274814

2007274814

Содержание

Введение.

Глава 1. Задача оптимизации объема властных полномочий по критерию удельного потребления макромодели «власть-обществоэкономика».

1.1. Постановка задачи «власть-общество-экономика».

1.2. Оптимизация объема властных полномочий по критерию удельного потребления в стационарной задаче.

1.3. Влияние различных вариантов взаимодействия властных и экономических механизмов на оптимальный объем властных полномочий.

1.4. Оптимизация, объема властных полномочий в условиях коррупции властной иерархии.

1.5. Трактовка условий теоремы Бутузова-Неделько в нелинейной модели «власть-общество-экономика».

1.6. Решение задачи достижимости заданного удельного потребления.

1.6. Примеры. Вычислительный эксперимент.

Глава 2. Оптимизация и управление в модели «власть-общество-экономика» с агрегированной властью.

2.1. Построение модели «власть-общество-экономика» с агрегированной властью.

2.2. Постановка задачи оптимальной стабилизации в нестационарной системе.

2.3. Свойства линейного приближения оптимального синтеза в нестационарной модели «власть-общество-экономика» с агрегированной властью.

2.4. Алгоритм уточнения линейного приближения.

2.5. Примеры. Вычислительный эксперимент.

За последние годы увеличился интерес к задачам динамики и управления в социальной сфере, в частности при изучении влияния процессов во властной иерархии на социальные процессы и экономическое развитие. Решение таких задач имеет не только теоретическое, но и большое практическое значение. Функционирование власти, ее внутренние механизмы и ее связи с обществом и экономикой всегда привлекают интерес исследователей.

-В Советском Союзе и затем в России, в работах JT.B. Канторовича [31], H.H. Моисеева [48], А.А: Петрова, A.A. Шананина [2], С.Н. Васильева [49], Ю.С. Попкова [55], В.И. Гурмана [9], И.Г. Поспелова [56], A.A. Самарского, А.П. Михайлова [58], Г.Г. Малинецкого [39], С.Ю. Малкова [30], [40] и многих других авторов создавались модели и алгоритмы изучения сложных экономических, социальных, экологических систем на основе сочетания подходов,' сложившихся в физике, механике, математической экономике, экологии, биологии. Были получены многочисленные результаты по моделированию сложных систем, включающих в состав фазовые переменные и социальные показатели, например, социо-эколого-экономические системы, разработаны основы теории равновесных состояний макросистем, включающие в себя методы математического моделирования и качественного анализа стационарных режимов и их параметрических свойств, предложены новые классы вычислительных алгоритмов, разработаны принципы построения математических моделей неравновесных состояний для макросистем с воспроизведением и распределением ресурсов. При этом исследовались вопросы управления нелинейными динамическими системами, в том числе с неопределенностью, с хаотическим поведением, возникающих при моделировании сложных социально-экономических систем. В западной литературе, начиная с 1970-х годов, в работах В. Вайдлиха (W. Weidlich), Е. Монтрол (Е. Montroll), В. Бадгера (W. Badger), Д. Хелбинга (D. Helbing) и др. проводились исследования по систематизации и анализу социальных наук с использованием методов математического моделирования, что, в частности, сформировало междисциплинарное научное направление - социодинамика [7].

Начиная с работ А.П. Михайлова [44] в 90-х годах прошлого века в литературе появились исследования по динамике процессов в системе «власть-общество», где в качестве субъекта власти предлагалось рассматривать властную иерархии - упорядоченную по старшинству совокупность инстанций. Данное направление нашло продолжение в исследовании топологии иерархии и ее «властных» характеристик, моделированию коррумпированных иерархий [45], [47] и построении технологии исследования нелинейных задач «власть-общество» на основе теории контрастных структур в сингулярно возмущенных моделях [12], [26].

Очевидно, что процессы, происходящие во властных иерархиях, влияют на те или иные показатели эффективности в экономических системах. После появления работ, в рамках модели «власть-общество» стало возможным построение моделей, в которых может изучаться влияние систем властного управления на экономическое развитие. Этим и определяется актуальность работы. Естественно, что, на первых порах, необходимо изучить такое влияние на макроуровне.

Настоящая работа посвящена построению макромодели «власть-общество-экономика» и решению некоторых задач оптимизации и управления, связанных с этой моделью, как для случая базовой, так и для случая коррумпированной иерархий. В качестве подмодели властного управления используется нелинейная модель «власть-общество» А.П. Михайлова [46]. Экономический блок модели «власть-общество-экономика» в работе представляет динамическая модель роста односекторной экономики Солоу [33], [60]. В модели Солоу экономическая система рассматривается как единое целое, производит один универсальный продукт, который может, как потребляться, так и инвестироваться, модель достаточно адекватно отражает важнейшие макроэкономические аспекты процесса воспроизводства.

Согласно работе [42], на протяжении полувека, после выхода работ Р. Солоу, модели экономического роста, основанные на производственных функциях, служат одним из основных инструментов экономического анализа. Особое распространение получила функция Кобба-Дугласса

F(K,L) = (AKKyc {ALL^f а, где Ak,AL> 0 - коэффициенты эффективности факторов. В частном случае Ак = Аь= А. Коэффициент А известен как общая производительность факторов (total factor productivity, TFP). Одним из основных направлений развития теории экономического роста является исследование коэффициентов эффективности факторов или коэффициента TFT. Современные исследования по данному направлению проводились Д. Акемоглу (D. Acemoglu, 2002-2003), Д. Адрехом (D. Audretsch, 2007), Е. Гундлахом (Е. Gundlach, 2007), К. Макквином (К. McQuinn, 2007) и др.

Синтез нелинейной модели «власть-общество» А.П.Михайлова и модели экономического роста позволяет сформулировать задачу поиска такой властной иерархии, которая была бы оптимальной с точки зрения того или иного критерия качества, например, максимизации величины удельного потребления.

В модели А.П. Михайлова «власть-общество» количество власти, которое имеет та или иная инстанция, изменяется с течением времени. Эта изменчивость называется динамикой власти. Причины динамики могут быть как внутренними, так и внешними по отношению к самой иерархии. Внутренние причины связаны с организационными процессами внутри иерархии, с перетеканием полномочий от одних инстанций к другим. Внешние причины динамики власти связаны с отношением объекта к субъекту властвования. Именно: предполагается, что гражданское общество доступными ему способами оказывает влияние как на общий уровень властных полномочий, находящийся в распоряжении всей иерархической структуры, так и на распределение полномочий внутри иерархии.

Уровень той или иной инстанции в иерархии обозначается через х, при этом jc = 0 соответствует высшему уровню иерархии, х = 1 - низшему. Подразумевается, что существует числовая характеристика, характеризующая 6 количество власти той или иной инстанции иерархии. Количество власти инстанции х в момент времени ( обозначается через р(х,г). Сама функция /?(х,/) называется распределением или профилем власти в момент времени t. Реакция гражданского общества описывается функцией 17(р,х).

Основным уравнением, описывающим динамику распределения власти в иерархии, является др д дх К др р,—,х,/ дх дх 0, р(х, 0, х', х) • [р(х', 0 - р(х, 0] с1х'

0.1) где р(х,1) - количество власти в точке иерархии х в момент времени /, 0<х</, ¿>¿0 5 ^ " длина иерархии; Ъ<(р(х,(),др/дх,х,() > 0, х{р(х', 0> р(х, 0?х' •> х> 0 > 0" функции, определяющиеся внутренними свойствами иерархической структуры, /(Р,Р\,Р2>Х>*) ~ функция, определяющая реакцию гражданского общества.

Начальные и краевые условия при этом следующие р{х,^) = р0{х)> 0, 0<х</, - К Ф дх 0, -К х=0 др дх 0

Х = 1

0.2)

Здесь ро(х) - начальный профиль власти. Нулевые краевые условия указывают на отсутствие потоков власти через границы иерархии.

При этом А.П. Михайловым изучение властной динамики проводилось для случая линейной реакции гражданского общества. Монография А.П. Михайлова [46], по-видимому, являлась первой книгой, в которой систематически рассматриваются вопросы разработки и применения достаточно сложных математических моделей общей политологии.

В [26] М.Г. Дмитриевым и А.П. Петровым рассматривалась модель

5 Г,/, ф дt дх дх

3 Х) I

ЛФЛ дх /{р,х, О др дх х=0 др дх У 0, р{х,^) = р0(х) х=1

0.3)

0-4) которая, в условиях к = ätq = е = const «1 и / = f(p,x) - достаточно гладкая, принимает вид ff+ (0.5)

St дх 2

Множитель £ при старшей производной есть системный параметр задачи (0.4),(0.5), и в частных случаях является достаточно малым (при большой длине иерархии или безответственной власти или большой величине реакции гражданского общества), поэтому уравнение (0.5) является сингулярно возмущенным [12]. Для задачи (0.4),(0.5) в [26] исследован случай

1 / существования двух устойчивых стационарных распределений власти.

Исследование соответствующей динамики проходило с акцентом на следующие новые моменты. Во-первых, реакция гражданского общества рассматривалась как существенно нелинейная

F(p,х) = ß(x){p - (р\ (х))(р ~ ф2 (х))(р - q>2 (х)), и, во-вторых, системный параметр для многих реальных, протяженных иерархий (государство, регион, большая организация) является малым, а, следовательно, и уравнение Михайлова часто можно рассматривать как сингулярно возмущенное. Краевые условия в данном случае описывают «идеальную» ситуацию, при которой отсутствуют потоки власти через концы иерархии. Надо отметить, что такие граничные условия, как правило, не имеют место на практике, т.к. все страны (регионы, организации) взаимосвязаны между собой системой договоров и таким образом над высшей инстанцией иерархии есть некий «внешний» орган, от которого (или к которому) власть может перетекать от этой высшей инстанции. Математический аппарат, используемый при решении таких сингулярно возмущенных задач основывается на теореме Бутузова-Неделько [б] и теории контрастных структур (см., например, [4], [5]), разработанный в 8090-е годы профессорами А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузовым, H.H. Нефедовым и их учениками. В

Уже в процессе написания данного диссертационного исследования стали появляться работы, расширяющие вопросы исследования модели «власть-общество».

Так, в работе М.Г. Дмитриева, А.П. Петрова и B.C. Пилюгина [27] рассматривались качественные свойства оптимального взаимодействия в системе «власть-общество», формулируются задачи управления «средой». Здесь под «средой» понимается все то, что влияет на поведение и принятие решений конкретного человека в иерархической системе «власть-общество». Например, если речь идет о государстве, то на поведение конкретного человека в системе «власть-общество» оказывает влияние множество факторов. Среди этих факторов можно выделить экономические и экологические показатели состояния, действия СМИ, качество работы властей, качество функционирования социальных систем и другие.

В работе Г.И. Лаптева и H.A. Лаптевой [35] построено решение математической модели «власть-общество», в случае учета механизма команд через голову» и наличия в нем интегрального возмущения

I ^ q2 I p{x,t)dx —--~- = f{x,t)+ \fi(x',x,t)\p(x',t)-p{x,t)\dx' с начальными и dt дх

КО J ил О dp краевыми условиями — дх 0, р(х,0) = р°(х). х=1

Приведенная модель имеет вид нелинейного уравнения теплопроводности. Кроме того, уравнение содержит слагаемые интегрального типа, что не позволяет для ее решения применять готовые теории. Для решения приведенной модели строится специальный аппарат, основанный на методе Галеркина (см., например, [1]) и теории рядов Фурье.

Сравнительно недавно появились работы по моделированию коррупции [36], [37]. Отметим здесь монографию А.П. Михайлова [46], в которой, на мой взгляд, изложен системный подход к противодействию коррупции в иерархических властных системах. Указанный подход был развит в работе [47].

Уравнение для коррумпированной властной иерархии, полученное А.П.Михайловым [45], [46] имеет вид

Г Л /(х,1,рс,р1,р2), О <х<1, />/0 (0.6) дрс д ( , дрс V д1 дх дх у с такими же начально-краевыми условиями, как и в случае «идеальной» иерархии (0.1) и заданными поведенческими свойствами /, 2о,4+,4-образует замкнутую математическую модель коррумпированной иерархии, из которой для всех 0<х</, />/0 однозначно находится решение - функция рс(х,0.

Здесь Ау =

1 + к(х^,рс,р1,р2) включает

1 + 200,0 +4+0,0. коррупционные характеристики властной структуры и отражает наличие в иерархии фиктивных (обязанных коррупции) потоков власти, 200,0,4+0,0, 4-0,0 " степени коррумпированности института х властной иерархии в момент времени 1;, где 2о(х'0 - степень коррумпированности, соответствующая «обычной» коррупции, т.е. действиям, которые «законопослушный» институт х властной иерархии осуществляет в соответствии с положением, но за дополнительное вознаграждение (взятку); д+0,0 - степень коррумпированности, соответствующая коррупции сверхдействия, т.е. действиям, которые выходят за рамки полномочий института х властной иерархии; 2-0,0 - степень коррумпированности, соответствующая коррупции бездействия, т.е. действиям, не совершаемым институтом х властной иерархии вопреки возложенным полномочиям. Общая локальная коррумпированность инстанции х в момент времени / будет определяться, соответственно, значением 20,0 = 4+0,0 + 4-0,0 + 4о0,0 •

Уровнем (степенью) коррумпированности властной иерархии в целом называется функция

1 А о 1о

0.7)

Если = #(*), т-е- коррумпированность одинакова во всех звеньях властной структуры, то <2(/) = <у(0 и средневзвешенная характеристика совпадает с локальной.

При нулевой коррумпированности Ау = к модель (0.6) с начальнокраевыми условиями (0.4) переходит в модель (0.3),(0.4), а /?с(х,0 = /?(х,/). В модели (0.4),(0.6) рс(х,{) = также в случае

7+(х,/) = ^-(х,^) = 0> о > т-е- обычная коррупция не меняет распределение власти (и потоки власти) в иерархии, и в случае (х, ?) = д (х, С) коррупция бездействия и коррупция сверхдействия «уравновешивают» в данном смысле друг друга.

Вместе с тем, очевидно, что хороша власть та, которая гармонизирует, уравновешивает процессы в обществе на фоне устойчивого экономического и социально-культурного развития. В качестве равновесия желательно выбирать устойчивые, стабильные, в том или ином смысле, взаимодействия различных социально-экономических и политических процессов, более того, и в условиях подверженности этих процессов коррупционным влияниям.

Все выше сказанное делает актуальной задачу разработки методов оптимизация и управления в моделях «власть-общество-экономика», в том числе - для случая коррумпированной иерархии.

Надо отметить, что согласно [62], современные методы моделирования социальной и экономической динамики, нацелены на решение следующих классов задач: '

- анализ социально-экономических систем (см., например, [28], [57]);

- экономическое и социальное прогнозирование (см., например, [33], [59], [63]); выработка управленческих решений на всех уровнях социально-экономических систем (см., например, [29]).

При этом, при анализе используются самые разнообразные разделы математики: теория графов, теория меры (вероятность, статистика), дифференциальные уравнения, динамические системы, геометрия, вариационное исчисление и т.д.

Оптимизационные задачи связаны с нахождением объектов, которые наилучшие в том или ином смысле. Например, задача об оптимальном экономическом росте, которую можно рассматривать как динамическую задачу рационального ведения хозяйства (задачу управления): оо • maxW= \u(c)(t))dt, k = f(k)-Àk-c to) t0 k(t0) = k0, 0<c<f(k) - задача о неоклассическом (в терминологии [29]) оптимальном росте для агрегированной замкнутой экономики с бесконечным горизонтом планирования и положительной нормой дисконтирования, представляющая собой задачу о выборе траектории потребления на одного рабочего {с(/)}, c(t) -кусочно-непрерывная функция. Единственной фазовой координатой в данной задаче является капиталовооруженность рабочего к, единственным управляющим параметром - потребление на одного рабочего с, а в качестве целевого функционала берется интеграл благосостояния; основное дифференциальное уравнение неоклассического роста служит уравнением движения, а начальное значение капиталовооруженности рабочего - граничным условием. Множеством управлений здесь будут все кусочно-непрерывные функции потребления на одного рабочего, причем значения потребления не могут опускаться ниже нуля и в замкнутой экономике подниматься выше продукции на одного рабочего. Решением этой задачи будет оптимальная траектория потребления на одного рабочего |?*(о) и оптимальная траектория для капиталовооруженности рабочего Эти траектории определяются для всех t>tо. Решение зависит от двух функций: функции полезности U(■) и производственной функции /(•) и от трех неотрицательных параметров: нормы дисконтирования S, нормы амортизации плюс темп роста рабочей силы /2 + п = Л и начального значения капиталовооруженности рабочего Atq. Приведенную выше задачу можно решить, используя принцип максимума. Исследованием решений подобного класса задач занимались в частности А.П. Черняев, В.В. Дикуссар и А.Ю. Меерсон ([11], [43])

Еще одним классом задач оптимального управления являются задачи, модель в которых описывается системой дифференциальных уравнений x = F(x,u) и требуется найти такое значение и = и параметра управления и, что Ъ функционал J = JL(x, u)dt принимает наименьшее значение. а

В работе D. Lukes [38], на основе метода динамического программирования, предложен способ решения задачи оптимального управления с бесконечным горизонтом динамической системы, поведение которой описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, и где управление представляет собой функцию обратной связи.

Целью данной диссертационной работы является решение стационарных и нестационарных задач оптимизации и управления, связанных с определением оптимальных объемов власти с точки зрения повышения эффективности функционирования системы «власть-общество-экономика» в условиях базовой и коррумпированной иерархий.

Для описания стационарных и нестационарных задач оптимизации и оптимального управления в работе используется язык теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными) [13],[61],[64]. При решении указанных задач и исследовании характеристик оптимальных решений применяются асимптотические методы, в частности, метод пограничных функций А.Б. Васильевой [4]. Задачи оптимизации в стационарных случаях изучаются с помощью методов нелинейного программирования, а задачи оптимального управления, в нестационарных случаях, - с помощью динамического программирования [3].

В диссертации: впервые построены и исследованы стационарные и нестационарные макромодели системы «власть-общество-экономика» в условиях базовой и коррумпированной властных иерархий на базе синтеза модели «власть-общество» А.П. Михайлова и динамической модели роста односекторной экономики Солоу; получены выражения для оптимальных норм накопления и объемов властных полномочий по критерию максимума удельного потребления для макромодели типа «власть-общество-экономика» в стационарных случаях, для различных вариантов влияния объемов власти в иерархии на общую производительность факторов, в условиях базовой и коррумпированной властных иерархий; впервые приведена задача оптимального управления в системе «власть-общество-экономика» и получено ее приближенное решение в форме линейного синтеза, а также предложен алгоритм уточнения управления.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, содержащего 64 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе предложены решения некоторых задач оптимизации и управления, возникающие при анализе системы «власть-общество-экономика».

1. Построена модель «власть-общество-экономика», являющаяся объединением модели «власть-общество» А.П. Михайлова и модели экономического роста Солоу, позволяющая взаимно связать макроэкономическую динамику и процессы, происходящие в системе «власть-общество». Для построенной модели изучена задача проектирования властной иерархии, которая обеспечивает максимум удельного потребления.

Для модели «власть-общество-экономика» в стационарном случае вычислены значения оптимального количества властных полномочий с точки зрения максимизации удельного потребления при различных видах влияния власти на общую производительность факторов, а также в случае коррупции во властной иерархии. Описан качественный характер влияния коррупции во власти на макроэкономические показатели.

Установлено, что в нестационарном случае, при выполнении ряда условий, существует управление, при котором решение нелинейной задачи «власть-общество» будет порождать количество власти, оптимальное с позиции максимизации удельного потребления. Определена область начальных распределений власти, для которых происходит стабилизация к вычисленным стационарным значениям оптимального количества власти.

2. Рассмотрена задача оптимальной стабилизации (удержания систехмы «власть-общество-экономика» вблизи равновесия) в нестационарном случае для модели с агрегированной властью. В данной модели в отличие от модели «власть-общество» А.П. Михайлова вместо переменной состояния рассматривается агрегированная переменная - объем властных полномочий в иерархии в момент времени /. В качестве управления выбирается переменная, связанная с величиной нормы накопления.

Для модели «власть-общество-экономика» доказывается существование и единственность решения. К решению задачи оптимальной стабилизации строится допустимое линейное приближение и предлагается алгоритм его уточнения. Приводятся вычислительные эксперименты, иллюстрирующие оптимальность и допустимость предлагаемых приближений.

Таким образом, в настоящей работе предложены и решены новые задачи управления для макромоделей взаимодействия власти, общества и экономики.

1. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие / Издание второе, дополненное. - М.: Издательство МЭИ, 2003. - 596 с.

2. Автухович Э.В., Гуриев С.М., Оленев H.H., Петров A.A. Поспелов И.Г., Шананин A.A., Чуканов C.B. Математическая модель экономики переходного периода: Научное издание. М.: Издательство ВЦ РАН, 1999. - 144 с.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления: Учебник для вузов / Издание третье, исправленное и дополненное. М.: Высшая школа, 2003. - 615 с.

4. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений М.: Высшая школа, 1990. - 208 с.

5. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и прикладная математика. М.: Издательство ЦНИТ МГУ им. М.В.Ломоносова. - 1998. -том 4, выпуск 3. - с. 799-851.

6. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями // Математический сборник. М. : Издательство НАУКА. - 2001. - том 192, номер 5. - с. 13-52.

7. Вайдлих Вольфганг. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках: Пер. с англ./ Под ред. С.Ю. Попкова, А.Е. Семечкина. Издание второе, стереотипное. М.: Едиториал УРСС.-2005.-480 с.

8. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г., Пилюгин B.C. Стационарные задачи оптимального взаимодействия в системе «Власть-общество» // Ученые записки РГСУ. М.: Издательство РГСУ. - 2008. - номер 6. - с. 108-118.

9. Гурман В.И. Оптимальное управление природно-экономическими системами. М.: Издательство Наука. - 1980. - 296 с.

10. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, Физматлит. 1967. - 472 с.

11. П.Дикуссар В.В., Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Задачи оптимального распределения ресурсов на примере домашних хозяйств (монография). М.: Издательство Вычислительного Центра им. А. А. Дородницына РАН. - 2004. -58 с.

12. Дмитриев М.Г. От асимптотики к модели власти // Моделирование социальных систем и вопросы преподавания математики в высшей школе. -Труды Международной конференции 26-27 марта 2008 года, Москва. М.: Издательство РГСУ. - 2008. - с. 38-64.

13. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Объединение модели «власть-общество» с моделью Солоу // Математическое моделирование социальных процессов. М.: Издательство МАКС Пресс. - 2006. - выпуск 8. -с. 30-36.

14. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Макромодель взаимоотношений бизнеса и власти // Социальная политика и социология. М.: Изд-во РГСУ. - 2007. - номер 3. - с. 219-231.

15. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Оптимальный объем властных полномочий в иерархиях по критерию удельного потребления // Математическое моделирование социальных процессов. М.: Издательство МГУ. - 2007. - выпуск 9. - с. 6-14.

16. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Развитие модели «власть -общество экономика» // Математическое моделирование социальных процессов. - М.: Издательство КДУ. - 2009. - выпуск 10. - с. 17-29.

17. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Моделирование влияния коррупции в системе «власть-общество» // Человеческий капитал. М.: Издательство РГСУ. - 2009. - номер 1 (9). - с. 208-216.

18. Дмитриев М.Г., Павлов A.A., Петров А.П. Учет действия коррупции в стационарной модели «власть-общество-экономика» // Социальная политика и социология. М: Издательство РГСУ. - 2009. - номер 5, часть 1.-е. 378-387.

19. Дмитриев М. Г., Петров А.П. Анализ модели «Власть-общество» для случая двух устойчивых распределений власти // Математические методы и приложения. Труды девятых математических чтений МГСУ. - М.: Издательство РГСУ. - 2002. - с. 150-154.

20. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. М.: Издательство Мир. -1999.-335 с.

21. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория: Пер. с англ. / Под ред. A.A. Конюса. М.: Издательство Прогресс. - 1975. - 606 с.

22. История и математика: Макроисторическая динамика общества и государства / Отв. ред. С. Ю. Малков, JI. Е. Гринин, А. В. Коротаев. М.: Издательство КомКнига. - 2007. - 184 с.

23. Kantorovich L.V. The best use of economic resources. Oxford, New York: Pergamon Press. - 1965. - xxxiii + 349 p.

24. Кириллов А.И., Морозов K.A., Сливина H.A. Математический пакет ODE Программный продукт. http://www.exponenta.ru/soft/Others/ode/ode.asp.

25. Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем: учебник для студентов вузов М.: Издательство ЮНИТИ-ДАНА. - 2005. - 295 с.

26. Крыгин А.Б. Фазовые портреты динамических систем на плоскости (грубые системы). М.: Издательский дом МЭИ. - 2006. - 56 с.

27. Левин М.И., Цирик М.Л. Коррупция как объект математического моделирования // Экономика и математические методы. М.: Издательство НАУКА. - 1998. - том 34, номер 3. - с. 40-61.

28. Левин М.И., Цирик М.Л. Математические модели коррупции // Экономика и математические методы. М.: Издательство НАУКА. - 1998. -том 34, номер 4. - с. 34-55.

29. Lukes D.L. Optimal regulation of nonlinear dynamical systems // SIAM Journal Control. USA, Philadelphia: SIAM. - 1969. - Volume 7, Number 1. -pp. 75-100.

30. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику / Издание третье, стереотипное М.: Эдиториал УРСС, 2002. - 256 с.

31. Малков С.Ю. Математическое моделирование исторической динамики: подходы и модели // в сб. Моделирование социально-политической и экономической динамики. М.: Издательство РГСУ. - 2004. - с. 76-188.

32. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Издание пятое, дополненное. СПб.: Издательство Лань. - 2003. - 832 с.

33. Матвеенко В.Д. О возможности изменения типа производственной функции: интересы социальных групп и направление технического прогресса //

34. Информационные технологии и вычислительные системы. М.: Издательство ЛКИ. - 2007. - номер 4. - с. 28-37.

35. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Принятие решений при оптимальном управлении при потреблении // Известия Тульского государственного университета. Тула: Издательство Тульского гос. ун-та. - 2007. - Серия Естественные науки. - выпуск 1.-е. 139-150.

36. Михайлов А.П. Математическое моделирование власти в иерархических структурах // Математическое моделирование. М.: Издательство НАУКА. - 1994. - том 6, номер 6.-е. 108-138.

37. Михайлов А.П. Модель коррумпированных властных иерархий // Математическое моделирование. М.: Издательство НАУКА. - 1999. - том 11, номер 1. - с. 3-17.

38. Михайлов А.П. Моделирование системы «власть-общество». М.: Издательство ФИЗМАТЛИТ. - 2006. - 144 с.

39. Михайлов А.П., Ланкин Д.Ф. Моделирование оптимальных стратегий ограничения коррупции // Математическое моделирование. М.: Издательство НАУКА.-2006.-том 18, номер 12.-е. 115-124.

40. Моисеев Никита Николаевич: обзор трудов. М.: Издательство РАН. -2009. - 34 с.

41. Моделирование и управление процессами регионального развития / Под ред. С.Н. Васильева М.: Издательство ФИЗМАТЛИТ. - 2001. - 432 с.

42. Павлов A.A. Об устойчивых профилях власти в условиях нелинейной модели «Власть-Общество» // Математическое моделирование социальной и экономической динамики (MMSED-2007) 20 22 июня 2007 года, Москва.

43. Труды 2-й международной конференции. М.: Издательство РУДН. - 2007. -с. 202-204.

44. Павлов A.A. Об эффективности власти в рамках макромодели «власть-общество-экономика» // Ученые записки РГСУ. М.: Издательство РГСУ. - 2008. - номер 7. - с. 197-210.

45. Павлов A.A. Линейный синтез управления ресурсами в нестационарной модели «власть-общество-экономика» // Ученые записки РГСУ. М: Издательство РГСУ. - 2009. - номер 11. - с. 210-219.

46. Попков Ю.С. Об одном классе динамических моделей макросистем с самовоспроизведением и локально-термодинамическим распределением // Оптимальное управление динамическими макросистемами. М.: Издательство ВНИИСИ. - 1987. - с. 18-27.

47. Поспелов И.Г. Моделирование экономических структур. М.: Издательство Фазис. - 2003. - xiv+194 с.

48. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск: Издательский дом Удмуртский университет. - 2000. - 200 с.

49. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / второе издание, исправленное. М.: Издательство ФИЗМАТЛИТ. - 2001. - 320 с.

50. Стол ерю Л. Равновесие и экономический рост (принципы макроэкономического анализа) / Пер. с франц. под ред. Б. Л. Исаева. М.: Издательство Статистика. - 1974. - 472 с.

51. Solow R. A contribution to the theory of growth // Quarterly Journal of Economist. USA: Cambridge. - 1956. - volume 70. - pp. 65-94.

52. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: учебник для вузов / четвертое издание. М.: Издательство ФИЗМАТЛИТ. - 2005. - 256 с.

53. Трофимов В.В., Тужилин A.A. Математические модели экономики. 5 лекций. М.: Издательство МГУ. - 2005. - 44 с.

54. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учебник. -М.: Издательство ИНФРА-М. 2008. - 844 с.

55. Эрроусмит Д., Плейс К, Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями / Пер. с англ. М.: Издательство Мир. - 1986. - 243 с.