автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей равновесного и стабильного развития социальных систем

На правах рукописи

Злобина Светлана Леонидовна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАВНОВЕСНОГО И СТАБИЛЬНОГО РАЗВИТИЯ СОЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

05.13 18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Томск-2003

Работа выполнена в Кемеровском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Данилов Николай Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кошкин Геннадий Михайлович

кандидат физико-математических наук, допет' Змеева Елена Евдокимовна

Ведущая организация:

Якутский ордена Дружбы народов государственный университет имени М.К. Аммосова (г. Якутск)

Защита состоится «16» октября 2003 г. в 10 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, ул Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан « 28 » августа 2003 г

Учёный секретарь

диссертационного совета, к. т. н., доцент

Актуальность темы связана с всё возрастающим вниманием общества к социальным проблемам. Социальные программы находят свое место в государственной политике, становятся объектом серьёзных научных исследований и разработок. В проблеме сбалансированного развития всех сфер человеческой деятельности в рамках глобальной задачи устойчивого развития, наряду с экономическими и экологическими, приобретают большое значение вопросы стабильного и эффективного функционирования социальной сферы. В контексте этой проблемы важную роль играет понятие социального равновесия, которое имеет глубокое нормативное содержание. Оно определяет контуры совершенного развития социального организма, становится весомым фактором при принятии решений в области управления социальной системой.

Не смотря на то, что в социологии понятия социального равновесия и стабильности являются одними из ключевых, средства математического моделирования этих нормативных условий нуждаются в дальнейшем развитии. Для исследования вопросов равновесного и стабильного развития социальной системы необходима разработка адекватных реальным условиям моделей, а также механизмов их реализации, существенно учитывающих динамический аспект этих понятий. Этим и объясняется актуальность выбранной темы диссертационной работы.

Состояние проблемы

Математическое моделирование социальных процессов в настоящее время оформилось в отдельное направление исследования социальных систем. Дискретные динамические математические модели с приложениями к социальным задачам , разрабатывались в работах Бартоломью Дж., И.В. Бестужев-Лада, В.Н. Варыгина, , В.И. Паниот-то, Ф С. Роберто и других авторов. Иллюстрацией моделей, которые получили практическое применение, могут служить многопериодные модели планирования трудовых ресурсов ОСММ (U. S. Navy Office of Civilian Manpover Management), предложенные A. Чарнсом и В. Купером.

К настоящему времени имеется ряд работ, посвящённых изучению сугубо нормативных условий развития, в которых социальное равновесие, а также стабильность понимаются на содержательном уровне (Т. Парсонс, Э. Шилз, В. Парето, П.А. Сорокин и др). Исследования с применением некоторых формул вычислительного и описательного характера нашли свое отражение в трудах В.И. Гурмана, У. Изарда У. С.А. Кузьмина, Ю.М. Плотинского, Т.Н. Померанцевой, Е.В. Рюминой и др. В работах Б.А. Ефимова и А Я. Кируты рассмотрена статическая модель социального равновесия, связанная с обобщённой игрой двух лиц.

Во всех этих исследованиях динамические модели равновесия и стабильности представляются в виде простой совокупности статических явлений в отдельные изолированные моменты времени. При подобной формализации за рамками модели остаются сугубо динамические проблемы и не учитывается «связь времён».

Цель работы

Диссертационная работа посвящена исследованию равновесных и стабильных траекторий в математических моделях социальных систем, рассматриваемых на конечном дискретном интервале времени. Её цель - выявление условий существования, признаков равновесности и стабильности оптимальных траекторий развития, а также разработка качественно и количественно оцениваемых механизмов их реализации в виде

' , , . „..оНАЛЬНАЯ 1 ,„ ¡ИОТЕКА 1 Петербург trlç-i

03 акт/AO^J

теоретических закономерностей и вычислительных алгоритмов на основе различных моделей функционирования социальных систем.

На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Математическая модель развития социальной системы в виде многошаговой задачи оптимального управления.

2. Формализованные понятия социального равновесия и социальной стабильности, достаточные условия существования равновесной и стабильной траектории и необходимые и достаточные условия равновесия в социальной системе.

3. Определение, а также необходимые и достаточные условия динамической устойчивости траекторий, отвечающих таким нормативным требованиям как равновесность, стабильность. I

4. Структура трёх множеств реально достижимых состояний: оптимальных в ! смысле равномерной минимизации отклонений от целей; оптимальных в смысле лек- I сикографического предпочтения; наилучших с точки зрения сближения с утопическим множеством.

5. Вычислительная схема построения динамически устойчивой равновесной и ста- ' бильной траекторий социальной системы. !

Методика исследований

Диссертационные исследования проводились с применением математического моделирования как метода научного познания, с использованием аппарата теории оптимального управления (принципа максимума Понтрягина, метода динамического программирования), многокритериальной оптимизации (оптимальность по Пар его, лексикографический принцип, целевое программирование), а также математического анализа, линейной алгебры, математической статистики, численных методов решения экстремальных задач. При исследовании моделей социального равновесия, в работе использовалась концепция динамической устойчивости (предложенная в теории дифференциальных игр Л.А. Петросяном), которая является обобщением принципа оптимальности Р. Беллмана.

Научная новизна работы заключается как в методологическом подходе, так и в < полученных результатах. В диссертационной работе предлагается ряд подходящих к рассматриваемым задачам по содержанию и адекватных по сложности математических моделей, позволяющих формализовать и исследовать различные сценарии развития социальных процессов. При описании стабильного развития общества впервые предпринята попытка его рассмотрения как с позиций достижимости заданного желаемого так и поддержания достигнутого состояния социальной системы. На базе этого подхода в диссертации построены новые динамические оптимизационные модели социальных систем, получены новые теоретические результаты, разработаны алгоритмы вычисления равновесных и стабильных траектории развития социальных систем.

Теоретическая и практическая ценность работы

Теоретическая ценность работы заключается в том, что в ней заложена методика исследования динамических аспектов развития социальных систем. Полученные новые теоретические результаты могут быть положены в основу дальнейшего развития

-4-

равновесных моделей в теории социальной динамики.

В целом работа носит теоретический характер, однако некоторые результаты диссертации представляют и определённую практическую значимость. Предложенные алгоритмы построения стабильной траектории социальной системы, вычислительная схема построения динамически устойчивой равновесной траектории, а также построения парето-оптимального множества в задаче достижения заданных структурных характеристик могут быть использованы при решении задач управления в социальных системах.

Реализация и внедрение полученных результатов

Часть диссертационных исследований включена в отчёты важнейших НИР и грантов, выполненных на кафедре математической кибернетики КемГУ (программа Госкомитета ВШ (наряд-заказ №35 КемГУ) «Статистическое и теоретико-игровое моделирование социально-политического взаимодействия в Кузбассе», грант Министерства образования РФ по фундаментальным исследованиям в области естественных наук № Е00-2.0-46 год 2001-2002 «Принципы согласования интересов в математической модели управляемой агрегированной системы»). Отдельные результаты включены в программу спецкурса для студентов Кемеровского государственного университета, обучающихся по специальности «Прикладная математика и информатика».

Апробация работы

Основные результаты кандидатской диссертации обсуждались на научном семинаре кафедры математической кибернетики КемГУ. Отдельные результаты докладывались на пяти научных конференциях: 10-й Байкальской школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (г. Иркутск, 1995 г.); Республиканской научно-практической конференции «Социальное взаимодействие и политические процессы на территории» (г. Кемерово, 1996 г.); XXIX научной конференции студентов и молодых учёных Кемеровского государственного университета (г. Кемерово, 2002 г.); Международной научной конферен1(ии «Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем» (г.Таганрог, 2002 г.); Всероссийской научной конференции «Наука и образование» (г. Белово, 2003г.).

Структура и объём работы

Диссертация, объёмом в 185 страниц, состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 79 наименований, и приложений.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель и основные положения, выносимые на защиту, приводится краткий обзор литературы по теме диссертации.

Первая глава, состоящая из пяти параграфов, посвящена исследованию условий равновесия и стабильности социальных процессов.

В §1 построена классификационная модель социальной системы. На конечном множестве fi социальных объектов определим А признаков как отображения хр\П^>Вр, /7 = 1,..,h, ставящие в соответствие каждому объекту аей значение

хр{ет)в Вр , где Вр - конечное множество значений признака хр. Это могут быть социальные показатели, позволяющие разделить (сегментировать) общество на различные слои. Под классом понимается множество социальных объектов, обладающих одним и тем же сочетанием значений некоторого фиксированного набора признаков. Социальная система представлена множеством классов и отношений между ними, характеризующих структуру этой системы. Изменение во времени численности объектов в классах называется социальным процессом.

Структура социальной системы представляется в виде графа О = (¿\/г), где -множество его вершин, соответствующих классам, а Р - множество дуг. Возможность перехода из класса Л, в класс определяется наличием дуги (», 7) е Р Граф переходов й = (Б, Г) задается с помощью матрицы смежности А^ = Ця^Ц

Классификационная модель социальной системы, функционирующей на конечном временном интервале [0,7], разбитом дискретными точками 0,1,2,...,7", строится как дискретная задача оптимального управления:

г,(0 = гМ- 1)+1аЛ((0-1«Л(0, 1 = 1,..,И, 1=1.....Т, (1)

¡А

Г,(0) = Г?, 1 = 1(2)

а',1Ы < г,(0 / Nу I = 1,..., Т, 1 = 1,...,т; (3)

¿Ку(/)<г,(Г-1), / = 1,...,7\ / = 1,..,/я; (4)

¿с^/о^с;/^, 1 = 1,...,г, I = 1.....ж; (5)

У-1

цДО^О, 7 = 1,...,«, < = 1.....Г, ( = 1,(6)

= ХУ (!■(« -1),и(0)-»пмк. (7)

Здесь Л' - общее число объектов в системе; гД() - доля (от общего количества Л?) объектов в классе Л, в момент времени I ; г(<) = (г,(/),...,/•„(/)) - вектор фазового состояния социальной системы в момент времени I; иу(/) - доля (от общего количества Л') объектов класса Я,, которые в момент времени / переходят в класс RJ, ы(/) = - матрица, составленная из управляющих параметров в момент I:

- известное состояние системы в момент / = 0; а'п р,' - фиксированные числа, выражающие ограничения на численность класса Л,; с у >0- затраты на переход одного объекта из класса Л, в класс Л; С,' - затраты в момент времени I для

класса Л,; у'(-) - заданная функция, характеризующая качество / - го шага социального процесса.

Предполагается, что в начальный момент 1 = 0 каждый объект системы относится

к какому-либо классу, т е. £/,(0) = 1. С учетом (I), условие нормировки £r,(0 = I вы-

нолпяется автоматически и, поэтому оно не включается в модель как ограничение.

Любую последовательность и(-) = {м(1),...,и(7')}, удовлетворяющую условиям (4>-(6), будем называть допустимым управлением системой (1)-(7).

Последовательность /•(•) = {/-(О),г(1),...,г(Г)} решений системы (1)-(3), соответствующую допустимому управлению «(•), будем называть допустимой траекторией системы (1)-(6). Допустимое управление к*(0 = {«'(1),—,"'(Т)}, доставляющее максимальное значение критерию (7), будем называть оптимальным управлением, а траекторию /■*(■)= {r*(0),r*(l),...,r*(7')}, соответствующую оптимальному управлению и'(-) - оптимальной траекторией системы (1)-(7).

Для задачи (1 )-{7) доказывается существование оптимального решения.

Теорема 1. Пусть функции v', í = 1,...,7\ непрерывны na Rm x Rm . Тогда в задаче (1}-(7) существует оптимальный процесс (л"(•),«*(•))■

В §2 на множестве оптимальных траекторий задачи (1 )-(7) вводится понятие равновесия как такого состояния социальной системы, отклонение от которого нецелесообразно как с точки зрения индивидуальных, так и общественных интересов. В основу принятой в диссертационной работе формализации понятия социального равновесия положены следующие теореггико-социальные постулаты.

1. Подвижность состояния равновесия в социальных системах, т.е. в любой момент времени происходят процессы перегруппировок социальных объектов. Состояние системы можно рассматривать как равновесное, если в процессе перехода объектов «линии социального расслоения» остались прежними, объём (число объектов) групп не изменился, ни одна из них не исчезла, и не появилась вновь, поменялись местами только объекты.

2. Максимально возможное снятие ограничений на переход элементов из одного системного состояния (статуса) в другое.

3. Достаточность у общества средств и методов сохранения общественно полезной социальной Сфукгуры. Масштабы материальных потерь при переходе системы в равновесное состояние являются наиболее наглядными (измеримыми) показателями степени устойчивости социальной системы.

4 Неизменность системы ценностей в обществе на рассматриваемом промежутке времени.

Определение 1. Оптимальную траекторию /(•) задачи (1Н7), вдоль которой выполняется условие

£i>X(o=£í>x«>1=1.....т> <8>

1=1/=1 (=1;=1

будем называть равновесной траекторией социальной системы.

Доказано существование равновесной траектории в модели (1)-(6) с лилейным функционалом качества

K(r°,r) = t¿£w,;(/)«v(/). (9)

ы ¡«i i

Для этого с помощью условий дискретного принципа максимума JI. С. Поптрягина формулируется вспомогательная статическая задача (в момент I)

EX>v(<4(0-*max, (10) t^AO-t^jW^^/N-nU-n, i=l.....т, (Щ

У»1 /«1

.....т>

I /«I

fv)=s /¡(/-J), /-/.....я: (13)

¿c,A(r)<c;/jV, iW.....и; (И)

7--I

h„(/)S0, ./ =1,...,да, /-/.....т, (15)

где (11), (12) есть аналог условий (3).

Теорема 2. Если хотя бы для одного момента времени / в статической задаче (10)-(15) существуют альтернативные оптимальные решения, то равновесная траектория системы (1}-{6) с линейным критерием качества (9) существует.

В §3 сформулированы и доказаны необходимые и достаточные признаки равновесности оптимальной траектории в задаче ОМ?)-

Обозначим через и (/) = (и"' (г),й'5(0,---,«""(')) - тг-мерный вектор, соответствующий оптимальному управлению системой (I )-{1) в момент /, а чере)

# I I 1 II

А =(Л' А2 ...А" ) -матрицу размера т х т1, где А' = а'и , / = 1,..., т, - матрица,

тхт

элементы которой получены го элементов матрицы смежности Ас по правилу

- а,,, если k = i,l*k,l = l.....да,

alh если k*i,l- к, k,l = I,...,т, 0, если к I * к, к,1 = 1, ,.,т или I = /', к=\,.,т

tit I

Пусть й' = (?/* (1) и" (2) ...и" (Т)) - матрица размера тгхТ, столбцами которой

являются векторы и (i), I = 1,. .,Г; >1" - матрица размера яхт2, полученная из А исключением линейно зависимых строк; е - Г- мерный единичный вектор. Определим вектор

f

♦ .• 1 у .

<р -и е (16)

ч II п

Матрицу А" представим в виде А" = (Д ¡.4, ), где Д - невырожденная подмат-" " ?

рица матрицы А размера пх п, А, - матрица размера их (щ - и). Координаты вектора <р* разобьем на две группы ф* = (Ф*/!^), Ф* е Л", ф* е R"2'", соответствующие

и и

столбцам матриц Л, и .

!

Теорема 3. Пусть в задаче < 1")—(7> функции у', {= 1.....Т непрерывны на Л"х Я*',

а («*(■) ,г'( ) ) - оптимальный процесс. Траектория г'(-) тогда и только тогда является равновесной в задаче (1}~(7), когда для вектора <р', полученного в соответствии с (16),

выполняется условие = -(/*, ^ Аг ср^.

Четвёртый параграф посвящен исследованию динамической устойчивости равновесных траекторий в модели (1)47) Обозначим исходную задачу ОМ7) символом £(г°, Т). Вдоль оптимальной траектории /•*(•) определим семейство (по <) текущих задач {2(г*(0, Т-1), 05/< Г}. Каждая текущая задача Цг*(0, Т-г) отличается от исходной Цг°,Т) только начальным состоянием и продолжительностью.

Определение 2. Равновесная траектория г'(-), удовлетворяющая условиям

1>»=2»-1), '=/.....т, М.....Т, (17)

Т-/ Т-1

где т - текущее время, называется динамически устойчивой траекторией системы (1)~

(7).

Смысл принципа динамической устойчивости применительно к моделям социальных процессов можно сформулировать следующим образом. Сценарий развития социальной системы, принятый в начале рассматриваемого периода времени (в начальном состоянии) как оптимальный на весь период, должен оставаться таковым в каждый момент времени (в каждом текущем состоянии) вплоть до конца планового периода В >том смысле принцип динамической устойчивости является обобщением известного принципа оптимальности Р. Беллмаиа для неклассических задач принятия решений. Найдены необходимые и достаточные условия динамической устойчивости равновесной траектории.

Теорема 4. Для того чтобы равновесная траектория /•*(•), порожденная оптимальным управлением м'(-), была динамически устойчива в задаче 0М7), необходимо и

I "V1 " .'

достаточно, чтобы и,' (/) = / Лг и\ (/), 1-1.....Т.

Как показывает определение I, существенным фактором равновесия является оптимальность траектории. В случае отсутствия условий для существования оптимальной траектории естественно ввести менее жесткое нормативное требование к развитию социальной системы, а именно условие стабильности ев траектории.

В §5 вводится определение стабильной траектории развили социальной системы. Доказаны достаточные условия существования стабильной траектории в системе (I)-(6).

Определение 3. Траекторию /-(-) системы (1>—(6), порожденную допустимым управлением и(-), удовлетворяющим условию

¿£«Л(о «!£*#«>(').,=/.....т> <18>

/-1./-1 1-1 ]-1

будем называть сгабильной траекторией социальной системы, а управление и(-) - стабильным управлением.

Обозначим через Q, max, (Q mm) - максимальное (минимальное) значение критерия оптимальности в следующей задаче'

а = 12>Л(0-11>,,«;,(0 -» extr; (19)

при ограничениях (11 >—С1 -5) (/ = 1,...,т).

Теорема 5. Если Q, max >О, а Q, отп <0 для всех i = 1,...,«. то стабильная траектория системы (1)-(6) существует.

Необходимые и достаточные условия стабильности траектории системы (1 Ь{6), а также ее динамической устойчивости, можно получить, заменив в условиях теорем 3 и 4 , оптимальное управление и'(-) на стабильное управление й(-).

В завершении главы предложен алгоритм построения стабильной траектории в системе (1)-(6).

Во второй главе понятие стабильности рассматривается в контексте достижения заданных структурных характеристик в задаче управления (1 >-{6). Одним из важных параметров оценки стабильности развития социальной системы является количество элементов в различных классах или «оптимальное» соотношение между их численно-стями. В данной главе задача достижения заданных структурных характеристик исследована с различных точек зрения, отражающих содержательные аспекты управления социальной системой.

В §1 эта задача сформулирована как многокритериальная задача целевого программирования, в которой исследована структура множества достижимых состояний.

Желаемые структурные характеристики в фазовом пространстве Rm можно описать системой неравенств:

2p(r)>Sp, р = \,...Х (20)

zp{r)<sp, p = k + \,...,q, (21)

где г е Я™ - вектор, характеризующий состояние социальной системы, :р : R" -»/?' -функции, задающие желаемые структурные характеристики, а - «пороговые» числа, определяющие границы таких характеристик. Неравенства (20), (21) называются ((елевыми ограничениями или целями.

Определение 4. Множество точек фазового пространства Л™, которые одновременно удовлетворяют всем целям (20), (21), будем называть утопическим множеством и обозначать У: У = {г е Л" |zp(r) >sp,p = \,...к\ zp(r) <,sp,p-k +1, .4}.

Обозначим D(rl\T) - множество всех достижимых системой (1 >—(6> из состояния

г° за время Т состояний, т.е. множество тех точек г е R"1, для которых существует набор допустимых управлений ы(-), переводящих (в силу системы (1)), фазовую точку из

состояния г° в точку г в момент времени Т.

Лемма 1. Множество достижимых состояний D(r°,T) в задаче управления (1 Н,6) представляет собой многогранник в Л".

Достижимость множества У из состояния г" системой (IW6) представляется в виде следующей задачи динамического целевого программирования (обозначается £(/■",Г)):

найти г е D(r0, Т) такое, что р (г, У) = min р (г, К) < е,

геЩг'.Т)

для некоторого числа е > 0 (р - метрика в Rm).

В §2 задача £(г°,Т) рассматривается в предположении, что реализация всех целевых установок (20), (21) одинаково важна с точки зрения развития социальной системы, т.е. нет «второстепенных» целей. Задача £(/■",У), при условии такой «равноправности» целевых ограничений, называется задачей равномерной минимизации отклонений от утопического множества и формулируется в виде следующей задачи многокри-

териальной оптимизации:

d~ -* min, р = 1,...,к, d* -»min, p=k + l,...,q; (22)

ZpKsJ + dpZSp, P = (23)

zf{rw..,rm)-d*püsp, p = k + \,...,q; (24)

d'pZ0, p = d;*0, p = к+ ..,<)■ (25)

(/■„..„rJeZV.r). (26)

Вектор d = (di,...,dt,db+u...,dq) будем называть вектором отклонений (конечной точки допустимой траектории от утопического множества). Обозначим Z(r) - множество векторов отклонений d&R4, соответствующих точке г е R".

Определение 5. Пусть d е Z(r). Точку г е D(r°,T) назовем эффективной, если не существует другой точки reD(r°,T), которой соответствует вектор отклонений 3 £ Z(r), такой что = 1,..,<7, где хотя бы для одного i это неравенство стро-

гое.

Под оптимальным решением задачи (22>-(26) понимается множество эффективных (парето-огггимальных) точек, которое обозначим Е(г'\Т).

Доказано, что на пересечении множества достижимых состояний D(ra ,Т) и утопического множества У лежат только эффективные точки фазового пространства.

Теорема 6. Если в системе (22)-(26) в точке reD(r°,T) выполняется условие 0 e Z(r), где 0 к Ri, то г е Е(г°, Г).

Предложен алгоритм построения эффективного множества в задаче £(г°,Т) в случае линейных критериев.

В §3 задача целевого программирования £(г°,Т) рассмотрена с позиций приоритетного (в смысле критериев качества) подхода. Необходимость учёта приоритетности рассматриваемых целей в социальных системах позволяет использовать принцип лексикографического предпочтения.

Предположим, что цели упорядочены, и в результате получена последовательность

, :ч с убыванием уровня приоритета.

Определение 6. Пару (r*,d'), удовлетворяющую условиям (23Н26), будем называть оптимальной в смысле лексикографическою предпочтения, если для всех нар(r,d), удовлетворяющих (23)-(26), таких, что {r,d)*(r',d"), выполнено одно из ц +1 условий-

1) df <d{\ * •

2) с/," = d\, d^ < dl;

q) d;' = d;, / = 1.....k, df = i = * +

q+l) d-'^d-, i = l, ..,k, d;'=d;, i=/Ul„ „g

Задачу достижения заданных сгруктурных характеристик в лексикографической форме можно записать в следующем виде.

/«nunU~.....dk,d^lt...,d; j (27)

при ограничениях (23>—(26).

Для решения этой задачи (обозначим ей F(rü,jT)) может потребоваться q этапов оптимизации Задача первого этапа имеет вид:

dy nun, z](r{,...,rm) + dl

<fi.....гм)еСЦг°,Т),

df>0 .

Начиная со второго этапа, решаются статические оптимизационные задачи, допустимым множеством которых являются соответствующие множества оптимальных гра-екгорий предыдущих задач. Допустим, что решение задачи первого и всех последующих к-1 этапов существует. Обозначим D'k ,(г",Т) - множество оптимальных достижимых состояний задачи ¿-1-го этапа, |D£_,(r°,7')j - мощность этого множества Задача к - го этапа имеег вид:

d-1 -» min,

:{(r„...,rj>.s}

.....'m)2^*-! -4Г-Л

zM. Sj + d; ¿st,

d;> о ,

• •

где d{ , .,dlA - оптимальные значения переменных отклонений, найденные в результате к -1 этапа оптимизации.

Нежелательным следствием приоритетного подхода является то, что цели с низким уровнем приоритета могут быть не учтены при решении задачи целевого программирования. Поэтому сформулированы условия, при которых учитываются цели всех уровней (т.е. решение задачи лексикографической минимизации F (г". Г) состоит из q этапов).

Обочначим Äi =

определяющая целевые ограничения :р, р- 1,. ,,к, А - матрица размера /хи, определяющая множество D\ t(r°,T) оптимальных достижимых состояний задачи £ - 1 -го этапа. ек = (0,. .,0,0,1) - к -тый орт пространства Я* ; К* - множество индексов активных в точке (г* ,dk ) ограничений задачи к -го этапа, где (rk ,dk ) - оптимальное решение задачи к -го папа, к = 2.....q.

Теорема 7. Бели |D"(rü,7v)| > 1, а для любого к-2, ,,q среди строк матрицы А,,

соответствующих элементам множества К*, не найдется m +1 линейно независимой, то задача Г(/',7') будет решена за q этапов оптимизации.

В §4 рассмотрена задача £(л",7) как задача сближения с выпуклым утопическим множеством Решение задачи достижения заданных структурных характеристик в такой постановке состоит в поиске компромиссного варианта при достижении различных целей развития социальной системы. Если рассматривать каждое из неравенств целевых ограничений (20), (21) изолированно от других, то в множестве достижимых состояний Л(г°,7') для каждой цели найдётся своя наилучшая точка. Однако если учитывать всю совокупность целевых ограничений (20), (21), т.е. утопическое множе-ciBo, то ни для одной из целей нельзя гарантировать достижения наилучшего резуль-iara. Разумно ограничиться рассмотрением множества точек, заключённых в некотором смысле «между» наилучшими точками.

Под ортогональной проекцией точки г е R" на D(r°yT) будем понимать точку

Предполагается, что утопическое множество У в задаче £(г",Т) выпукло и компактно, следовательно, совпадает с выпуклой оболочкой множества своих крайних точек' У =cow{y',. ,У"} Доказан ряд вспомогательных лемм, с помощью которых поручена теорема о парето-отттимальности проекции утопического множества. У на множество D(r°,T).

Точку rc D(r°,T) будем называть оптимальной по ГТарето в задаче сближения с утопическим множеством У, если для любой точки reD(r°,T) р(л,У ) ^ р (г, У), I = 1,. .,п, и р(г,У) < р(г,У') хотя бы для одного I.

Теорема 8. Пусть D(r°.T)f)Y - 0 Тогда Я(г°,Т) = я „ T)Y .

4

А

- матрицу размера (k + l)x(m +1), где Ак - матрица.

Третья глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена вопросам разработки алгоритмического и программного обеспечения для расчёта равновесной и стабильной траекторий социальной системы, для решения задач формирования признакового пространства при проведении классификации объектов и описания структуры социальной системы путём построения соответствующего графа переходов.

В §1 приведена вычислительная схема построения динамически устойчивой равновесной траектории задачи (1}~(7), включающая процедуру регуляризации динамически неустойчивой равновесной 'фаектории, состоящая из следующих этапов.

1. Найти оптимальное решение /•'(-) задачи 0Н7).

2. Если траектория /■'(•) не является равновесной, то остановиться - решения задачи не существует. Иначе - перейти к шагу 3.

3. Если равновесная траектория г'(-) не является динамически устойчивой, то выполнить процедуру регуляризации равновесной траектории г'(') • Иначе - перейти на шаг 4.

4. Остановиться. г*(•) - динамически устойчивая равновесная траектория.

Первый этап этого алгоритма реализуется методом локальных вариаций в фазовом

пространстве. Для реализации второго этапа можно воспользоваться определением 1 и необходимыми и достаточными условиями равновесности траектории /■'(•), сформулированными в теореме 3. Третий этап предполагает проверку сформулированных в теореме 4 необходимых и достаточных условий динамической устойчивости для этой траектории. Процедура регуляризации осуществляется путём соответствующей модификации элементарной операции метода локальных вариаций и заключается в построении динамически устойчивой равновесной траектории, удовлетворяющей условиям теоремы 4.

В §2 с применением описанного во второй главе подхода рассмотрена задача оптимального распределения средств на трудоустройство в Кемеровском городском центре занятости населения. Формализация этой задачи предполагает выявление системы приоритетов для различных категорий безработных, определение методов регулирования занятости, построение динамической модели достижения заданных структурных характеристик. С использованием этой модели задача об оптимальном распределении средств на трудоустройство решена как задача лексикографической минимизации отклонений от утопического множества.

Общим предварительным этапом построения моделей социальной системы, исследованных в главах 1 и 2 диссертации, является формирование признакового пространства. В §3 рассматривается задача выбора системы признаков для проведения классификации социальных объектов (на примере мониторингового исследования социально-политического взаимодействия в Кемеровской области на основе данных базового опроса «Кузбасс-политика»). Описание структуры взаимосвязей между признаками, а также формирование информативного подпространства исходной системы признаков производится посредством логлинейного анализа Параметры логлинейной модели затем используются для алгоритмического построения графа О = ($, /г), отображающего структуру социальной системы.

Четвёртый параграф содержит описание программной реализации предложенных вычислительных алгоритмов.

Основные результаты работы

1. Построена математическая модель развития социальной системы в виде многошаговой задачи оптимального управления, формализованы понятия социального равновесия и социальной стабильности.

2. Найдены достаточные условия существования равновесной и стабильной траектории и необходимые и достаточные условия равновесия в социальной системе.

3. В качестве механизма реализации траекторий, отвечающих социальным нормативам (равновесность, стабильность), применена концепция динамической устойчивости и доказаны необходимые и достаточные условия динамической устойчивости для таких траекторий.

4. С учётом содержательных аспектов управления социальной системой, задача достижения заданных структурных характеристик формализована в виде динамической задачи целевого программирования. Установлена структура трёх множеств реально достижимых состояний. Доказано, что решения, принадлежащие этим множествам, удовлетворяют условиям оптимальности по Парето. Предложен алгоритм построения парето-оптимального множества в задаче равномерной минимизации отклонений от утопического множества с линейными критериями.

5. Разработана вычислительная схема построения динамически устойчивой равновесной траектории социальной системы, включающая в себя расчёт оптимальной траектории, проверку условий равновесности, проверку динамической устойчивости и процедуру регуляризации динамически неустойчивой равновесной траектории.

Публикации по работе

1. Злобина С.Л., Крутиков В.Н., Бувальцев Н.Ф. Алгоритмы аппроксимации поверхности, заданной значениями в узлах нерегулярной сетки // Математические заметки ЯГУ - 1995,- Том 2,- Вып. 2,- С. 110-120.

2. Злобина С.Л., Крутиков В.Н. Методы приближения поверхности по данным на хаотической сетке на основе алгоритма сдвига штрафов // Методы оптимизации и их приложения: Тезисы докладов 10-й Байкальской школы-семинара. - Иркутск, 1995. -С. 196-197.

3. Злобина С.Л., Милевский В.А., Савельев Е.В. Алгоритмическое и программное обеспечение базового социологического исследования региональных проблем Кузбасса // Социальное взаимодействие и политические процессы на территории. - Кемерово: Кузбассвузиздат, 1997-С. 185-189.

4. Злобина С.Л. Метод оценки взаимосвязей в признаковом пространстве по слабо-заполненной таблице сопряжённости // Вестник КемГУ. - 2000. - Вып.4. - С. 28-35.

5. Злобина С.Л. Математическая модель равновесия в социальной системе // Вестник КемГУ. - 2001. - Вып.З. - С. 32-38.

6. Злобина С.Л. Динамическая модель равновесия в социальной системе // Сб. трудов XXIX конференции студентов и молодых учёных КемГУ. - Кемерово, 2002. - С. 264-265.

7. Злобина С.Л. Существование равновесия в классификационной модели социальной системы И Материалы международной научной конференции «Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем». - Таганрог, 2002 - С. 2025.

8 Злобина СЛ. Достаточные условия существования равновесия в линейной модели социальной системы // Сб. трудов молодых учёных Кемеровского государственного университета: В 2 т. Т.2. - Кемерово, 2002. - С. 126-129.

9. Злобина С.Л. Формирование заданных структурных характеристик в классификационной модели социальной системы // Наука и образование: Материалы Всероссийской научной конференции. В2 ч. Ч 2. - Белово, 2003. - С. 20-23.

10. Злобина С.Л. Динамическая модель формирования заданных структурных характеристик социальной системы // Обработка данных и управление в сложных системах: Сборник статей. - Томск: Изд-во Том. ун-та. - 2003. - С. 32-41.

Подписано к печати 08.08.2003. Формат 60х84'/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 110 экз. Заказ № 699

Издательство «Кузбассвузиздат». 650043, г. Кемерово, ул. Ермака, 7. Тел. 58-34-48

í i»

ß

#13 3 6 2

Введение.

Глава 1. Математическая модель равновесия в социальной системе

§ 1. Классификационная модель социальной системы.

§ 2. Формализация понятия равновесия и его существование.

§ 3. Необходимые и достаточные условия равновесия в социальной системе.

§ 4. Динамически устойчивое равновесие в социальной системе.

§ 5. Условия социальной стабильности.

Глава 2. Формализация социальной стабильности в контексте заданных структурных характеристик

§ 1. Постановка задачи о достижении заданных структурных характеристик.

§ 2. Равномерная минимизация отклонений от утопического множества.

§3. Задача достижения заданных структурных характеристик с упорядоченными критериями.

§4. Задача сближения с выпуклым утопическим множеством.

Глава 3. Вычисление равновесных и стабильных траекторий развития социальных систем. Применение в конкретных задачах

§1. Вычислительная схема построения динамически устойчивой равновесной траектории.

§2. Достижение заданных структурных характеристик социальной системы (на примере задачи о трудоустройстве в Кемеровском городском центре занятости населения).

§3. Алгоритм формирования признакового пространства в классификационной модели социальной системы.

§4. Программная реализация полученных результатов.

Диссертационная работа посвящена исследованию равновесных и стабильных траекторий в математических моделях социальных систем, рассматриваемых на конечном дискретном интервале времени. Её цель — построение математической модели функционирования социальной системы в виде многошаговой задачи оптимального управления, исследование условий существования, признаков равновесности и стабильности траекторий социального развития, а также разработка механизмов их реализации.

Актуальность темы связана с всё возрастающим вниманием общества к социальным проблемам. Социальные программы находят свое место в государственной политике, становятся объектом серьёзных научных исследований и разработок. Решение проблем сбалансированного развития всех сфер человеческой деятельности: социальной, экономической, экологической, приобретает большое значение в связи с необходимостью разрешения глобальной проблемы перехода к устойчивому развитию. В контексте этой проблемы важную роль играет понятие социального равновесия, которое имеет глубокое нормативное содержание. Оно определяет контуры совершенного развития социального организма, становится весомым фактором при принятии решений в области управления социальной системой.

Научная новизна работы заключается в методологическом подходе. Очень мало работ, посвященных проблемам, связанным с равновесием и стабильностью, существенно учитывающих динамический аспект этих понятий. При исследовании моделей равновесия социальных систем используется концепция динамической устойчивости, которая, позволяет применить аппарат теории оптимального управления в математических моделях социальных процессов. При описании стабильного состояния общества впервые предпринята попытка его рассмотрения как с позиций достижимости заданного желаемого так и поддержания достигнутого состояния социальной системы. На базе этого подхода в диссертации были построены новые модели социальных систем, учитывающие различные принципы оптимальности, изучены их свойства.

Перед тем как изложить основное содержание глав диссертации проведём краткий обзор основных результатов, имеющихся в литературе по тематике данной работы.

Проблему формализации и исследования равновесия в социальных системах нельзя рассматривать изолировано от содержательных представлений о социальном равновесии, которые разрабатывались в социальной философии и социологии на основе различных и часто противоречащих друг другу исходных идей о справедливости, социальном порядке, мотивах социального поведения и механизмах поддержания устойчивого состояния общества.

Представления о справедливости эгалитаристов, классических либералов (таких как А.Смит и И.Бентам), марксистов и сторонников органической социальной солидарности или социального согласия (Э. Дюркгейм и его последователи) радикально расходятся между собой. Классические либералы выдвинули идею о том, что свободное взаимодействие индивидов как «общественных атомов» приведёт к установлению некоторого равновесного состояния общества, которое, в конечном счёте, окажется на пользу всем. Инициатор либеральной теории социального равновесия А.Смит доказал, что для достижимости такого состояния необходимо, чтобы все его члены (или, по крайней мере, большинство) справедливо оценивали поступки окружающих людей и своими поступками стремились завоевать их одобрение. Он считал, что такое поведение внутренне присуще людям и, что моральное чувство справедливости будет удерживать их от «пагубных страстей» и побуждать к действиям на благо других людей. Это с течением времени устранит экономическое и социальное неравенство и, в итоге установит социальное равновесие. Внутренние противоречия утилитарной теории И Бентама, опиравшейся на принцип «максимума благосостояния для наибольшего числа людей» стали понятны после создания теории игр (Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн [32]), теории полезности (М. Яари [69]) и теории справедливости (Дж. Роулс [49]).

Понятие социального равновесия, используемое в структурно-функциональном направлении современной социологии (Т. Парсонс [35]) восходит к идеям О. Конта и Э. Дюркгейма, М. Вебера и В. Парето. О. Конт впервые разработал «позитивные» концепции социальной статики, социального порядка и стабилизационного сознания, определил функции социального управления. Он концентрировал своё внимание на механизмах, обеспечивающих инертность, устойчивость и самосохранение социокультурных условий, способность социальной системы сопротивляться внутренним и внешним давлениям. Для определения устойчивого состояния общества часто используются, как равносильные, О понятия «равновесие», и «стабильность» [1, 16]. В принятом здесь понимании термин «стабильность» эквивалентен более специфическому понятию стабильного равновесия, которое может быть как «статичным», так и «подвижным».

К настоящему времени имеется ряд монографий [5, 27, 31, 34, 39, 56, 67] отечественных и зарубежных авторов и большое число журнальных статей [12, 19, 21, 22, 43, 54, 60, 62, 63, 64, 66, 68], посвящённых применению математических подходов и методов в исследовании социальных систем.

Для анализа социальных систем используются многие разделы современной прикладной математики: математическая статистика, /\ исследование операций, теория игр и другие. Некоторые из них имеют многолетнюю историю применения, как, например, регрессионный, кластерный, факторный анализы, теория прогнозирования, распознавание образов, теория предпочтения и теория меры. Эти методы хорошо известны социологам, применяются в задачах построения выборки, классификации объектов, определении близости и однородности групп. Некоторые из названных методов, такие как теория игр, теория оптимального управления только начинают использоваться при изучении социальных явлений. Объясняется это как сложностью природы социальных задач, относящихся к рациональному поведению, так и сложностью моделирования и применяемого математического аппарата.

В работах [8, 12, 25, 19, 39, 43, 51, 52], посвящённых изучению сугубо нормативных условий развития, социальное равновесие, а также стабильность понимаются на содержательном уровне, исследуются с применением некоторых формул вычислительного и описательного характера, т.е. не строятся как таковые поведенческие (оптимизационные) математические модели.

Исключение составляют статьи [21, 22]. Авторами этих работ рассмотрена одна статическая модель социального равновесия, связанная с обобщённой игрой двух лиц, конструкция которой непосредственно восходит к идеям Дж. Роулса [49]. При этом понятие социального равновесия определяется в форме равновесия по Нэшу в бескоалиционной игре, описывающей распределение общественных благ, в предположении отсутствия социального напряжения.

Моделирование социальных процессов в настоящее время оформилось в отдельное направление исследования социальных систем (см., напр., [3, 5, 39, 47, 54 , 29, 65]). В немногочисленных работах [5, 21, 22, 39], посвящённых исследованию социального равновесия, динамические процессы представляются в виде простой совокупности статических явлений по принципу «динамика — всего лишь развёрнутая статика». Таким образом, динамическое равновесие отождествляется с последовательностью равновесий в отдельные изолированные моменты времени. При подобной формализации проблемы за рамками модели остаются сугубо динамические проблемы и не учитывается «связь времён».

Как видно из приведённого краткого обзора, не смотря на то, что в социологии понятия социального равновесия и стабильности являются одними из ключевых, средства математического моделирования этих нормативных условий нуждаются в дальнейшей разработке.

Для исследования вопросов равновесного развития социальной системы необходима методологически иная концепция, которая порождает адекватные реальным условиям модели, существенно учитывает динамический аспект и позволяет строить качественно и количественно оцениваемые механизмы реализации равновесных траекторий.

В диссертации с учётом специфики социальных систем применяется новый подход моделирования социального равновесия, основанный на формализмах теории оптимального управления, фундаментальных принципах максимума JI.C. Понтрягина и оптимальности Р. Беллмана, а также новой концепции реализуемости траекторий, отвечающих тем или иным дополнительным требованиям оптимальности, называемой динамической устойчивостью.

Можно сказать, что исследования, посвящённые проблемам управления социальными системами, находятся в зачаточном состоянии. Существующие работы относятся, в основном, к техническим приложениям [44]. Описание теории, применимой к рассматриваемой задаче встречается в литературе редко. Основные характеристики содержательного аспекта социального управления приведены в [46].

Содержание социального управления определяется объективными законами социально-экономического развития. Управление социальными системами отличается целенаправленностью воздействия на социальный организм в соответствии с некоторым критерием эффективности развития.

Управление в социальной системе имеет два аспекта - достижимость нужного и поддержание достигнутого состояния. Достижимость включает проверку, может ли быть цель достигнута, и если может, то каким способом. Поддержание достигнутого предполагает определение системы действий направленных на сохранение существующей структуры.

Субъекты социальной системы (индивиды, организации, сообщества) сами участвуют в управлении системой, сами принимают решения в зависимости от своих целей, интересов, предпочтений, состояния информированности, а также сугубо личностных характеристик [14]. Поэтому такие принципы развития социальных процессов, как равновесие, устойчивость, адаптация к внешним воздействиям, являются в социальных системах намного более сложными, чем в биологических и физических системах. Эти характеристики социальной системы существенно динамичны и зависят от структуры общества и существующих в нем общественных отношений. Структура социальной системы определяется той последовательностью свойств компонентов и их отношений или комбинаций, которые для многих аналитических целей логически и эмпирически могут трактоваться как константные [35].

Элементы социальной системы крайне разнообразны и многочисленны. Они варьируются от простейших единичных элементов, до сложнейших групп, которые в структуре общественных отношений могут выступать как некий единый элемент. Простейшим элементом социальной системы является индивид во всем многообразии своих функций, целевых установок, стереотипов поведения.

Особенность социальной системы заключается в том, что число степеней свободы какого-либо элемента не является стереотипным и заданным раз и навсегда, а может меняться в самом широком диапазоне в зависимости от многих факторов, начиная с институционального устройства и организации системы, ее структурных изменений и кончая вариациями в собственных (индивидуальных) свойствах и характеристиках элемента.

Социальным системам свойственна организационная латентность. Латентность проистекает из наличия множества форм объединений индивидов. Поскольку сами эти объединения постоянно меняют свой состав, численность и, в некоторых случаях, целевые установки, это обстоятельство придает ту или иную степень флюидности любой системной структуре в целом. Поэтому, говоря об организационной структуре, следует выяснить характер определяющих ее структурных признаков. Это могут быть половозрастные, материально-духовные, профессионально-творческие, общественно-политические и другие показатели, позволяющие разделить (сегментировать) общество на различные слои. Для сегментирования социальной системы на составляющие необходимо выбрать ракурс или срез (набор признаков), который дает однородную группировку элементов. Выбор такого набора признаков обусловлен конкретными целями исследования социальной системы.

Динамичность общества определяется изменчивостью его элементов во времени - переходом социальных субъектов из одного класса (статуса) в другой. Способы этих переходов могут быть различными. Каждый такой переход требует определенных затрат. Движение будет носить устойчивый, равновесный характер, если социальные субъекты будут действовать на основе общепринятых правил и процедур в соответствии с общими целями, интересами и ценностями.

С учётом всего выше сказанного в диссертационной работе предлагается один из наиболее адекватных подходов математического моделирования процесса изменения положения социальных субъектов в системе общественных отношений. Постановка задачи в виде дискретной задачи оптимального управления позволяет использовать хорошо разработанный в математической теории аппарат [6, 7, 10, 33, 47].

Основные положения, выносимые на защиту, формулируются следующим образом.

1. Построена математическая модель развития социальной системы в виде многошаговой задачи оптимального управления, формализованы понятия социального равновесия и социальной стабильности. Найдены достаточные условия существования равновесной и стабильной траектории и необходимые и достаточные условия равновесия в социальной системе.

2. В качестве механизма реализации траекторий, отвечающих социальным нормативам (равновесность, стабильность), применена концепция динамической устойчивости и доказаны необходимые и достаточные условия динамической устойчивости для таких траекторий.

3. С учётом содержательных аспектов управления социальной системой, задача достижения заданных структурных характеристик формализована в виде динамической задачи целевого программирования. Установлена структура трёх множеств реально достижимых состояний: оптимальных в смысле равномерной минимизации отклонений от целей, оптимальных в смысле лексикографического предпочтения, наилучших с точки зрения сближения с утопическим множеством. Доказано, что решения перечисленных задач удовлетворяют условиям оптимальности по Парето.

4. Разработана вычислительная схема построения динамически устойчивой равновесной траектории, включающая в себя расчёт оптимальной траектории социальной системы, проверку условий равновесности и динамической устойчивости, а также процедуру регуляризации динамически неустойчивой равновесной траектории.

Содержание работы. Работа состоит из настоящего введения, трёх глав и списка литературы.

В первой главе рассматривается социальная система, функционирующая на конечном временном интервале [0,7], разбитом дискретными точками 0,1,2

В §1 построена классификационная модель социальной системы. Под классом понимается множество социальных объектов, обладающих одним и тем же сочетанием значений некоторого фиксированного набора признаков.

Структура социальной системы представляется в виде графа G=(S,F), где S- множество его вершин, соответствующих классам, a F-множество дуг. Анализ социальных сетей - активно развивающееся направление зарубежной социологии [63, 64, 65, 66]. Интерес исследователей к этому направлению связан с тем, что оно предоставляет новый набор объяснительных моделей и аналитических инструментальных средств. В этой области накоплен богатый математический аппарат, позволяющий строить весьма сложные модели социальных взаимодействий.

Социальным процессом называется изменение численности объектов в классах с течением времени. Классификационная модель социального процесса представляет собой дискретную задачу оптимального управления г°,Т). Для задачи £(г°,Т) доказаны достаточные условия существования оптимального решения.

В §2 на множестве оптимальных траекторий задачи £(г°,Т) вводится понятие равновесия. Специфические для социальной системы условия равновесия заключаются в следующем. Во-первых, равновесие в социальных системах имеет характер не «закостенелого», а подвижного состояния. Это значит, что в любой момент времени , с той или иной быстротой происходят процессы перегруппировок социальных объектов. Состояние системы можно рассматривать как равновесное, если в процессе перехода объектов «линии социального расслоения» остались прежними, объём (число объектов) групп не изменился, ни одна из них не исчезла, и не- появилась вновь, поменялись местами только объекты. Во-вторых, условием равновесия в социальной системе можно считать максимально возможное снятие ограничений на переход элементов из одного системного состояния (статуса) в другое. Подобная гибкость создает в системе необходимые условия для маневренности в меняющихся внутренних обстоятельствах, делает все элементы заинтересованными участниками процесса общественного развития. В третьих, достаточность у общества средств и методов сохранения общественно полезной социальной структуры. Масштабы материальных потерь при переходе системы в равновесное состояние являются наиболее наглядными (измеримыми) показателями степени устойчивости социальной системы. Для поддержания равновесного состояния регулирующий орган должен иметь специальные программы и фонды стабилизации. В четвёртых, наличие у общества общей идеологии, объединяющей интересы различных социальных групп. Система ценностей в обществе на рассматриваемом промежутке времени должна оставаться неизменной.

Все эти особенности социального развития отражены в предлагаемой формализации социального равновесия. Доказано достаточное условие существования равновесия в модели Z(r°,T) с линейным функционалом качества.

В §3 сформулированы и доказаны необходимые и достаточные признаки равновесности оптимальной траектории.

В §4 в качестве механизма реализации равновесной траектории предлагается концепция динамической устойчивости и даётся её формальное определение в исходной задаче 1{г°,Т). Смысл принципа динамической устойчивости применительно к моделям социальных процессов можно сформулировать следующим образом. Сценарий развития социальной системы, принятый в начале рассматриваемого периода времени как оптимальный, должен оставаться таковым в каждый момент времени (в каждом текущем состоянии) вплоть до конца планового периода. Динамическая устойчивость отражает то важное свойство реализуемости управленческих решений, согласно которому общество постоянно ориентируется на одни и те же ценности и не имеет основания для отклонения от выбранного поведения. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия динамической устойчивости равновесной траектории.

В §5 вводится определение стабильной траектории развития социальной системы. Доказаны достаточные условия существования стабильной траектории в задаче И{г°,Т). Предложен алгоритм построения стабильной траектории системы Z(rQ,T).

Рассмотрение условий стабильности имеет смысл только тогда, когда траектория развития устраивает всех членов общества, в том смысле, что соответствующее значение критерия качества отражает некоторый приемлемый уровень благосостояния. Стабильное состояние можно интерпретировать как равновесное состояние в том случае, когда у общества нет возможности добиться «максимального» результата развития (например, в переходный период и т.д.).

Во второй главе рассматривается задача достижения заданных структурных характеристик в социальной системе. Специфическим условием стабильности в социальной системе является расстановка сил в обществе и учёт социальных приоритетов. Важным аспектом оценки стабильности развития социальной системы является оптимальное (в том или ином смысле) количество элементов в различных классах или оптимальное соотношение между численностями некоторых классов для данной численности населения.

Происходящие в больших социальных системах изменения сложны и многообразны. Контролировать все переменные этих процессов невозможно. Для сохранения стабильности таких систем важно отслеживать величины основных показателей развития общества. Предельно-критическая величина этих показателей не означает полного распада той или иной сферы жизнедеятельности общества. Их динамика свидетельствует, прежде всего, о высоком уровне рисков функционирования социальных отношений и о необходимости оперативного вмешательства органов управления.

Отсюда возникает понятие оптимальных (в некотором смысле) структурных характеристик социальной системы, для которых одним из целесообразных свойств является инвариантность во времени. В общем случае управление численностью возможно не во всех классах. В то же время реализация желаемых структурных характеристик для некоторых (регулируемых) классов автоматически порождают «сопряжённые» значения этих характеристик для остальных.

В главе II задача достижения заданных структурных характеристик исследована с различных точек зрения, отражающих описанные выше содержательные аспекты управления социальной системой.

В §1 задача достижения заданных структурных характеристик сформулирована как многокритериальная задача целевого программирования £(г°,Г). Под этим названием объединяются модели принятия решений, предусматривающие выбор ближайшей к заранее заданному «целевому состоянию» точки. Введено понятие утопического множества. Исследована структура множества достижимых состояний

D(r°,T) в задаче 27(г°,Т). Установлено, что это множество представляет собой многогранник в пространстве Rm.

В §2 задача £(/-°,Г) рассматривается в предположении, что относительно целей отсутствуют приоритеты. В этом случае реализация всех целевых установок одинаково важна с точки зрения развития социальной системы, т.е. нет «второстепенных» целей. Задача £(г°,Т) при условии такой равноправности целевых ограничений называется задачей равномерной минимизации отклонений от утопического множества.

Доказано, что на пересечении множества достижимых состояний D(r° ,Т) и утопического множества лежат только эффективные (оптимальные по Парето) точки фазового пространства. Предложен алгоритм построения парето-оптимального множества в задаче £(г°,Т) в случае линейных критериев.

В §3 задача целевого программирования £(г°,Г) рассмотрена с позиций приоритетного подхода. Необходимость учёта приоритетности рассматриваемых целей в социальных системах позволяет использовать принцип лексикографического предпочтения для её решения. Как известно [61], нежелательным следствием приоритетного подхода является то, что цели с низким уровнем приоритета могут быть не учтены при решении задачи целевого программирования, поэтому сформулированы условия, при которых учитываются цели всех уровней.

В §4 рассмотрена задача сближения с выпуклым утопическим множеством. Решение задачи достижения заданных структурных характеристик в такой постановке состоит в поиске компромиссного варианта при достижении различных целей развития социальной системы. Доказан ряд вспомогательных лемм, с помощью которых получена теорема об эффективности (оптимальности по Парето) проекции if множества достижимых состояний D(r°,T) на утопическое множество.

Третья глава посвящена вопросам разработки алгоритмического и • программного обеспечения для расчёта равновесной и стабильной траекторий социальной системы, для решения задач формирования признакового пространства при проведении классификации объектов и описания структуры социальной системы путём построения соответствующего графа переходов.

В §1 приведена вычислительная схема построения динамически устойчивой равновесной траектории. Процедура включает в себя расчёт оптимальной траектории системы Е(г°,Т) методом локальных вариаций в фазовом пространстве, проверку условий равновесия и динамической устойчивости на оптимальной траектории. Кроме того, в алгоритм включён механизм регуляризации динамически неустойчивой равновесной траектории. Процедура регуляризации основана на доказанных в первой главе диссертации необходимых и достаточных условиях динамической устойчивости равновесных траекторий.

В §2 с применением описанного во второй главе подхода решается задача оптимального распределения средств на трудоустройство в Кемеровском городском центре занятости населения.

В §3 рассматривается задача формирования признакового пространства для проведения классификации социальных объектов, рассмотренной в первой главе, на примере мониторингового исследования социально-политического взаимодействия в Кемеровской области на основе данных базового опроса «Кузбасс-политика». Для описания структуры взаимосвязей между признаками используется так называемая логлинейная модель. Параметры логлинейной модели затем используются для алгоритмического построения графа G=(S,F), отображающего структуру социальной системы.

В §4 приводится описание разработанного программного комплекса, реализующего основные результаты диссертации. Комплекс состоит из программных модулей, осуществляющих работу экранных операций, математическую обработку данных, расчёт динамически устойчивой равновесной траектории. Комплекс демонстрирует принципиальную реализуемость теоретических построений работы на практике и облегчает проведение расчётов по моделям.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [70-79].

Заключение

Диссертационная работа посвящена исследованию таких нормативных условий развития социальных систем как равновесие и стабильность. При проведении формальных построений существенно учтён динамический аспект этих понятий.

Классификационная математическая модель развития социальной системы построена в виде многошаговой задачи оптимального управления, формализованы понятия социального равновесия и социальной стабильности. Найдены достаточные условия существования равновесной и стабильной траектории и необходимые и достаточные условия равновесия в социальной системе.

Оценивая предложенную математическую модель и подход к её реализации, нужно отметить, что сама по себе структура модели является достаточно общей и гибкой, легко адаптируемой к структурным изменениям в обществе. Адаптация потребует лишь соответствующей модификации содержательного наполнения классов и, возможно, изменение их количества.

В качестве механизма реализации траекторий, отвечающих таким социальным нормативам как равновесность и стабильность, применена концепция динамической устойчивости и доказаны необходимые и достаточные условия динамической устойчивости для таких траекторий.

Сформулированные необходимые и достаточные условия динамической устойчивости равновесной траектории конструктивны. На их основе разработана вычислительная схема, включающая проверку динамической устойчивости равновесной траектории и регуляризацию динамически неустойчивой равновесной траектории.

Стабильное состояние общества рассмотрено также с позиций достижимости желаемого состояния социальной системы. В этом случае модель социальной системы представлена в виде задачи целевого программирования. С учётом содержательных аспектов социального управления, в рамках общей модели исследованы задачи равномерной минимизация отклонений от утопического множества, достижения заданных структурных характеристик с упорядоченными критериями, сближения с выпуклым утопическим множеством. Доказано, что решения перечисленных задач удовлетворяют условиям оптимальности по Парето. Разработан алгоритм построения парето-оптимального множества в задаче с линейными критериями эффективности.

Создан программный комплекс, реализующий разработанные алгоритмы и облегчающий проведение расчётов по моделям. С его помощью рассчитан ряд примеров, отражающих основные положения работы.

1. Аберкромби Н., Хилл С., Тернер Б. Социологический словарь. - М.: Экономика, 2000.-416 с.

2. Аптон Г. Анализ таблиц сопряжённости. М.: Финансы и статистика, 1982. -143 с.

3. Аганбегян А.Г. Некоторые особенности применения математических моделей в социологических исследованиях // Социология и математика. Моделирование социологических процессов. М.: Наука, 1970.-189 с.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.-429 с.

5. Бартоломью Дж. Стохастические модели социальных процессов. — М.: Финансы и статистика, 1985. — 295 с.

6. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.-400 с.

7. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. -М.: Наука, 1973.-446 с.

8. Варыгин В.Н. Математические методы в социологии управления. -М.: ИУНХ, 1977.-162 с.

9. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988.-519 с.

10. Гвишиани А. Д., Гурвич В. А. Динамические задачи классификации и выпуклое программирование в приложениях. М.: Наука, 1992.-356 с.

11. Гидденс Э. Социология. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 704 с.

12. Гурман В.И., Кульбака Н.Э., Рюмина Е.В. Опыт социо-эколого-экономического моделирования развития региона. // Экономика и математические методы. 1999. - том 35, вып. 3. — С. 69-79.

13. Данилов Н.Н. Кооперативные многошаговые игры без побочных платежей // Кибернетика. 1990. - № 5. - С. 72-78.

14. Данилов Н. Н. Формализация принципов оптимального поведения в математических моделях социально-политического взаимодействия // Социальное взаимодействие и политические процессы на территории. В 2 ч. Часть 2. Кемерово: Кузбассвузиздат, 1997. — С. 34-41.

15. Данилов Н.Н. Устойчивое развитие: методология математических исследований // Вестник КемГУ. 2000. - Выпуск №4. - С. 5-15.

16. Джерри Д., Джерри Д. Большой толковый социологический словарь (Collins). Т.2. -М.: Вече. ACT, 1999.-528 с.

17. Закс JI. Статистическое оценивание. -М.: Статистика, 1976. -598 с.

18. Закс Ш. Теория статистических выводов. — М.: Мир, 1975. — 776 с.

19. Згуровский М.З., Померанцева Т.Н. Об использовании методов поддержки принятия решений в управлении сложными социальными системами // Проблемы управления и информатики. 1995. - № 1. — С. 89-97.

20. Изард У. Методы регионального анализа: введение в науку о регионах. М.: Прогресс, 1966. - 659 с.

21. Кирута А.Я., Ефимов Б.А. Социальное равновесие, представление социальных соответствий и голосование // Экономика и математические методы. 1998. -том 34 , вып. 3. - С. 123-139.

22. Кирута А.Я., Ефимов Б.А. О социальном равновесии и социальной справедливости // Математическое моделирование. 1993. — том 5. № 12.-С. 24-37.

23. Кузьмин С.А. Социальные системы: опыт структурного анализа. -М,: Наука, 1996.-191 с.

24. Ладенко И.С. Логические методы построения математическихмоделей. Новосибирск: Наука, 1980. - 192 с.

25. Локосов В.В. Стабильность общества и система предельно-критических показателей его развития // Социологические исследования. — 1998. -№3. -С. 86-94.

26. Математические методы анализа и интерпретация социологических данных / Под. ред. В.Г. Андреенкова, Ю.Н. Толстовой. — М.: Наука, 1989. -175 с.

27. Масленников Е.В. Экспертное знание: Интеграционный подход и его приложение в социологическом исследовании. М.: Наука, 2001.— 226 с.

28. Миркин Б.Г. Анализ качественных признаков и структур. М.: Статистика, 1980.-319 с.

29. Моделирование в социологических исследованиях / И.В. Бестужев-Лада, В.Н. Варыгин, В.А. Малахов. -М.: Наука, 1978. 103 с.

30. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. -М.: Наука, 1971.-424 с.

31. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. -М.: Мир, 1991.-464 с.

32. Фон Нейман Дж., Моргенштейн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970. 329 с.

33. Опыт моделирования социальных процессов / Под ред. В.И. Паниотто.-Киев:Наук, думка, 1989.-200 с.

34. Паниотто В.И., Максименко B.C. Количественные методы в социологических исследованиях. — Киев: Наук, думка, 1989. — 175 с.

35. Парсонс Т. О структуре социального действия. Санкт-Петербург: Академический проект, 2000. - 879 с.

36. Петросян Л. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками // Вестник ЛГУ. — 1977. № 19. — С. 46-52.

37. Петросян Л. А., Данилов Н.Н. Устойчивость решений внеантагонистических дифференциальных играх с трансферабельными выигрышами. //Вестник ЛГУ. 1979. -№ 1. -С. 52-59.

38. Петросян Л.А., Данилов Н.Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1985. - 276 с.

39. Плотинский Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов. — М.: Логос, 1998. 279 с.

40. Подиновский В. В., Гаврилов В. М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. -М: Сов. радио, 1975. 192 с.

41. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. -М: Наука, 1982. 254 с.

42. Полищук Л. И. Анализ многокритериальных экономико-математических моделей. Новосибирск: Наука, 1989. - 347 с.

43. Померанцева Т.Н. Об одном методе моделирования социальных систем // Кибернетика и системный анализ. 1998. - № 3. - С. 171-173.

44. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., МгаценкоЕ.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1983. 392 с.

45. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973. - 255 с.

46. Разумовский О.С. Бихевиоральные системы. Новосибирск: Наука, 1993. -135 с.

47. Роберто Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. — М.: Наука, 1986.-524 с.

48. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 469 с.

49. Роулс Дж. Теория справедливости. Новосибирск: Изд-во Новосибирс. ун-та, 1995.-392 с.

50. Скорняков Л.А. Системы линейных уравнений. — М.: Наука, 1986. -164 с.

51. Сорокин П.А. Система социологии. Социальная аналитика: Учение о строении сложных социальных агрегатов. Т.2. М.: Наука, 1993. -688 с.

52. Социальная статистика / Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001. - 480 с.

53. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. -М: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 160 с.

54. Староверов О.В. Условия жизни и межгрупповая мобильность // Экономика и математические методы. — 1997. том 33, вып. 4. — С. 12-24.

55. Типология и классификация в социологических исследованиях / Под ред. В.Г. Андреенкова. М.: Наука, 1982. — 296 с.

56. Толстова Ю.Н. Измерение в социологии. — М.: Инфра-М, 1998. -222 с.

57. Тятюшкин А.Н. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 1992. - 193 с.

58. Федоренко Р.П. Приближённое решение задач оптимального управления. -М.: Наука, 1978. -488 с.

59. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. -М.: Наука, 1966. — 607 с.

60. Чураков А.Н. Анализ социальных сетей // Социологические исследования. -2001. -№ 1. С. 109-121.

61. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения. — М.: Радио и связь, 1992.

62. Charnes A., Cooper W.W. and Niehaus R.J. Dynamic Multi-attribute Models for Mixedcivilian Manpower Systems // Noval Research Logistics Quarterly. 1975. Vol. 22, №2. - P. 205-220.

63. Cook K.S., Whimeyer M. Two Apporoaches to Social Structure: Exchange Theory and Network Analysis // Annual Review of Sociology. —1992. Vol. 18.-P. 109-127.

64. Davern M. Social Network and Prestige Attainmennt: New Empirical Findings // American Jornal of Economics & Sociology. 1999. Vol. 58. Issue 4.-P. 843-864.

65. Grinold R.C. and Marshall K.T. Manpower Planning Models. New York: North-Holland, 1977.

66. Mehlmann A. An apporoach to optimal recruitment and transition strategies for manpower system using dynamic programming // J. Operat. Res. -1980. Soc. 31.-P. 1009-1015.

67. Wasserman S., Faust K. Social Network Analysis: Methods and Applications. New York: Cambridge University Press, 1994.

68. Wasserman S., Pattison P. Logit models and logistic regressions for social networks: II Multivariate relations // British Jornal of Mathematical and Statistical Psychology. 1999. Vol. 52. - P. 169-193.

69. Yaari M. Rawls, Edgeworth, Sharley, Nash: theories of distributive justige reexamined// Jornal of Economic Theory. 1981. Vol. 24. - P. 1-39.1. Труды автора

70. Злобина C.JI., Крутиков В.Н., Бувальцев Н.Ф. Алгоритмы аппроксимации поверхности, заданной значениями в узлах нерегулярной сетки // Математические заметки ЯГУ. Якутск. - 1995. — С. 110-120.

71. Злобина C.JI., Крутиков В.Н. Методы приближения поверхности по данным на хаотической сетке на основе алгоритма сдвига штрафов // Методы оптимизации и их приложения. Тезисы докладов 10-й Байкальской школы-семинара.-Иркутск. — 1995. -С. 196-197.

72. Злобина C.JI. Метод оценки взаимосвязей в признаковом пространстве по слабозаполненной таблице сопряжённости // Вестник КемГУ. 2000. - Выпуск №4. - С. 29-35.

73. Злобина C.JI. Математическая модель равновесия в социальной системе // Вестник КемГУ. 2001. - Выпуск №3(7). - С. 32-38.

74. Злобина C.JI. Динамическая модель равновесия в социальной системе // Сб. трудов XXIX конференции студентов и молодых учёных КемГУ. Кемерово. - 2002. - С. 274-275.

75. Злобина C.JI. Существование равновесия в классификационной модели социальной системы // Материалы международной научной конференции «Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем». — Таганрог. 2002.- С. 20-25.

76. Злобина C.JI. Формирование заданных структурных характеристик в классификационной модели социальной системы // Наука и образование: Материалы Всероссийской научной конференции. В2 ч. 4.2. — Белово — 2003.-С. 20-23.

77. Злобина C.JI. Динамическая модель формирования заданных структурных характеристик социальной системы // Обработка данных и управление в сложных системах: Сборник статей. — Томск: Изд-во Том. унта.-2003.-С. 32-41.