автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Устойчивость линейных периодических моделей с запаздыванием

На правах рукописи

□03491Б46

•у

Ульянов Евгений Валерьевич

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 655

Екатеринбург 2010

003491646

Работа выполнена на кафедре теоретической механики ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им. A.M. Горького».

доктор физико-математических наук, профессор Долгий Юрий Филиппович

доктор физико-математических наук Ким Аркадий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Ряппсо Лев Борисович

ГОУ ВПО «Пермский государственный университет»

Защита состоится «17» февраля 2010 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.286.10 по защите докторских и кап-дидатских диссертаций при ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им. A.M. Горького» по адресу: 620000, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им. A.M. Горького».

Автореферат разослан января 2010 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

В.Г. Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом находят приложения при математическом моделировании технических1 2 3, биологических4 и многих других систем5.

В конце сороковых - начале пятидесятых годов XX века в связи с потребностями ряда прикладных наук началось усиленное систематическое изучение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Толчком к развитию этой теории в Советском Союзе послужили работы А.Д. Мышкиса6. Обобщая идеи и методы обыкновенных дифференциальных уравнений, важные результаты в теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом получили Н.В. Азбелев7, Р. Беллман8, М.А. Зверкин, Г.А. Каменский, Ю.С. Колесов, К. Кук, В.П. Максимов, Д.И. Мартынюк, Ю.А. Митропольский,

B.C. Разумихин, Л.Ф. Рахматуллина, Д-Я. Хусаинов, Л.Э. Эль-сгольц и другие математики.

Начало нового этапа в исследовании дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом связано с работами H.H. Красовского, предложившего рассматривать решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в функ-

1 Элъясберг М.Е. Расчет металлорежущих стапков па устойчивость процесса резания // Станки и инструмент. 1959. №3. С. 3-7.

2Элъясберг М.Е. Основы теории автоколебаний при резании металлов // Станки и инструмент. 1962. №10. С. 3-8.

3Городецкий Ю.И., Грезина A.B. О самовозбуждении колебаний при точении валов // Станхоинструмент. М., 1999. № 8. С. 1-18.

4Gopahaty К. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Dortrecht: Kluwer Academic Publishers. 1972. 502p.

^ Колмаповский В.В., Мышкис А.Д., Носов В.Р. Современная теория уравнений с последействием с позиций ее приложения // Совр. проблемы математической физики, Труды Всес. симпозиума, Тбилиси. 1987.

C. 280-290.

6 Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М., 1972. 352с.

7Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384с.

8 Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548с.

циональном пространстве состояний9. Такой подход создал условия для эффективного привлечения к исследованию дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом методов функционального анализа. С этих позиций значительный вклад в теорию дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом внесли Ю.Г. Борисович, A.B. Ким10, В.Б. Колманов-ский11, H.H. Красовский, А.Б. Куржанский, В.И. Максимов, Г.Н. Милыптейн, В.Р. Носов, Ю.С. Осипов, В.Г. Пименов, Ю.М. Репин, Дж.К. Хейл12, С.Н. Шиманов и другие.

Цель работы. Разработка конструктивных методов нахождения областей асимптотической устойчивости для линейных периодических моделей с постоянными запаздываниями, которые позволяют находить аналитические достаточные признаки асимптотической устойчивости, вычислять бифуркационные значения параметров и использовать численные методы для построения границ областей асимптотической устойчивости. Приложение предложенных методов исследования асимптотической устойчивости к задаче нахождения областей асимптотической устойчивости и бифуркационных значений параметра для математической модели процесса фрезерования.

Методы исследования. В основе теоретических исследований лежит первый метод Ляпунова для линейных периодических систем дифференциальных уравнений с последействием, описывающий свойство асимптотической устойчивости этих систем в терминах спектра оператора монодромии. Его реализация связана с решением сложной математической задачи оценки расположения спектра оператора монодромии. Для линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздываниями соизмеримыми с периодом этот спектр определяется собствен-

9Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиэ, 1959. 211с.

10Ким A.B., Пименов В.Г. i - Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 256с.

11 Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448с.

12Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421с.

ными числами специальной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

В первой главе обобщается на периодические системы с запаздываниями кратными периоду метод исследования автономных систем с запаздываниями на абсолютную устойчивость. Он сводит исследование на асимптотическую устойчивость периодической системы с запаздываниями к аналогичной задаче для однопараметрического семейства периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. При нахождении коэффициентных достаточных условий асимптотической устойчивости линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздываниями кратными периоду использовались методы построения квадратичных функций Ляпунова для линейных периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений, предложенные В. А. Якубовичем.

Несамосопряженность краевых задач определяющих собственные числа оператора монодромии сильно осложняет оценку расположения его спектра. Последняя задача во второй главе заменяется оценкой сингулярных чисел оператора монодромии, для определения которых строится специальная самосопряженная краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений. При оценке расположения спектра самосопряженной краевой задачи используются бифуркационные методы. При нахождении достаточных условий асимптотической устойчивости линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием вычисляется бифуркационное значение параметра. Теоретические результаты, полученные в первых двух главах, позволяют найти часть области устойчивости в пространстве параметров, от которых зависят коэффициенты системы.

При нахождении границы области асимптотической устойчивости на плоскости параметров для математической модели процесса фрезерования в третьей главе используются численные методы. Краевая задача для спектра оператора монодромии позволяет построить характеристическое уравнение, содержащее функцию неявно определяемую краевой задачей. При выводе дифференциальных уравнений, определяющих границу области асимптотической устойчивости используется метод Д - разбиения, в случае единичного круга. Начальные значения для ре-

шений этих дифференциальных уравнений находятся методом Ньютона. Предложен корректный метод вычисления частных производных неявно определенной в характеристическом уравнении функции, которые используются при численном интегрировании дифференциальных уравнений и численной реализации метода Ньютона в задаче нахождения границы области асимптотической устойчивости. При построении приближенного полиномиального характеристического уравнения используется интерполяционный многочлен Лагранжа. Вычисления проводились в программном пакете МАТНЕМАТПСА 5, который позволяет эффективно реализовать предложенные вычислительные алгоритмы и выполнить визуализацию результатов расчетов.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

- на основе второго метода Ляпунова для лилейных периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений разработан конструктивный метод нахождения достаточных условий асимптотической устойчивости линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздываниями кратными периоду;

- для линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием соизмеримым с периодом предложен метод позволяющий находить оценку спектрального радиуса оператора монодромии, вычисляя собственные числа самосопряженных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений;

- на основе метода Д - разбиения для единичного круга предложен корректный численный метод построения границы области асимптотической устойчивости для математической модели процесса фрезерования.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая значимость разработанных методов заключается в том, что они могут быть использованы для нахождения областей асимптотической устойчивости для линейных периодических моделей с запаздыванием. Практическая значимость исследования заключается в том, что результаты диссертации могут быть использованы специалистами по математическому моделированию при ка-

чественном исследовании конкретных динамических моделей с

запаздыванием.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором и обсуждались на 34-й, 35-й, 36-й, 37-й региональных молодежных конференциях «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2003, 2004, 2005, 2006 гг.); XXVII Юбилейной конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ "Ломоносов-2005"(Москва, 12.04-16.04.2005); IX международном семинаре им. Е. С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 31.05-02.06.2006); международном научном семинаре "Устойчивость, управление и моделирование динамических систем"(Екатеринбург, 15.11-17.11.2006); международной конференции "Динамические системы; устойчивость, управление, оптимизация" (Минск, 29.09-04.10.2008) и научном семинаре кафедры теоретической механики УрГУ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 126 страниц. Библиографический список включает 177 наименований.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14].

Во введении дается краткий обзор истории вопроса исследования дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, определяется объект исследования, излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается периодическая система дифференциальных уравнений с запаздываниями

где ж : й —» Кп, ш > 0, Ак {к — 0, ..., т) — ш-периодические кусочно-непрерывные матричные функции.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

Системе (1) поставим в соответствие однопараметрическос семейство систем обыкновенных дифференциальных уравнений

(2)

где Л(£, г) = £ £ 1, г £ С. Здесь С обозначает

множество комплексных чисел.

При нахождении коэффициентных достаточных условий асимптотической устойчивости системы (2) использовались методы построения квадратичных функций Ляпунова, предложенные В. А. Якубовичем13.

Для линейного периодического дифференциального уравнения второго порядка с запаздываниями:

т

х{Ь) + '*Г(РЖ)х(1-ки)-ЬС}к(Ь}х(Ь-кы)) = 0, , (3)

к=О

гдех : Ш—>Ж,РкИ.С2к{к = 0, т) — кусочно-непрерывные, ^-периодические функции, справедливо утверждение.

Теорема 1. Для асимптотической устойчивости уравнения (3) достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1 1 "г

1) '-(РОтах ~ РОср) + ' ^-У, / Ы*)|Л <

¿у/РОтах ¿Му/ротах ~ У

и

< ¿ /~ ё ПРи Ротах+Р0ср > О,

1 2т "г

2) |А<

к—1 о

^ т

< / ~ 1Р|кПри РОтах + РОсР ~ 0'

13ЛГкубович В.Л., Стармсинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720с.

Ш т

< /(лад -

при кусочно-непрерывно дифференцируемой функции ро,

Ро(*) >0, « е к.

Здесь р*(«) = - - Й =

Ы*) = к = ш+ 1,2т, 4 € К,

и

Роср — ЬIРота! = тах ро(4), ¿х",---,^ точки максиму-0 46[0,Ы|

.мое, а £5",..., точки минимумов функции ро на полуоткрытом

отрезке [0, си).

Для периодической системы дифференциальных уравнений второго порядка с запаздываниями

¡ь=о

где и : Е —> М", и > 0, Вк (к = 0, ..., т) — ^-периодические . кусочно-непрерывные матричные функции, и0 — положительное число, справедливо утверждение.

Теорема 2. а) Пусть С — произвольная и-периодическая кусочно - непрерывная матричная функция, С({), £ 6 К, — положительно определенные эрмитовы матрицы. Тогда для асимптотической устойчивости системы (4) достаточно, чтобы выполнялось следующие условие

т и \

I«,(<)*+£ I ) < г/0, (5)

о А:-1 о /

где до (¿) — норма матрицы

В частном случае постоянной матрицы С неравенство (5) принимает вид

dt+

< Vq.

(u>

о

m ш \

+ E /1C-bBk(t)C-b\dt\ <u0.

k=l{ J

б) Пусть Bo{t), t G R,

— эрмитовы матрицы и Pomin{t), t G R, — их наименьшие собственные значения, Bk(t) (к = 1, ..., m), t G Ж, — положительно определенные эрмитовы матрицы и Pkmaxit) (к = 1, • • •, rn), t G R, их наибольшие собственные значения. Предположим, что Bait) < a2In, t G R, где а > 0 — некоторое число. Тогда для асимптотической устойчивости системы (4) достаточно, чтобы выполнилось условие

№ и> \

Pominit) ~ ^g) dt + YlJ Pkmax{t)dt^

в) Пусть Bo(t), t G R, — эрмитовы матрицы и Рйтах(t), t G R, — их наибольшие собственные значения, Bk(t) (fc = 1, ..., m), t G R, — положительно определенные эрмитовы матрицы. Тогда для асимптотической устойчивости системы (4) достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

при А) + < о,

3) +Ж (г°2+Р^) <1/0 npu *+>0'

__j m \

4) \J-PôcP + -7= + E^cp < при Po + /30-cp < 0. yJ-Pocp V fc=l /

Здесь 00= max /?0max(i), J Pomax{t)dt,

QStS^ Q

/AwWd^p = £ f Pkmax{t)dt (к = 1, . . . , m).

о 0

aj Пусть Bq(L), 1 6 1, эрмитовы матрицы, Po(t) — -Bq(î) —

-i/q In > 0, t £ R, u существует кусочно-непрерывная производная Во. Тогда для асимптотической устойчивости системы (4) достаточно, чтобы выполнялось условие

О 1

Во второй главе рассматривается линейная периодическая система дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием

+ (6)

где х : II —» И"; ш > 0; А, В — ш-периодические матричные функции, с кусочно-непрерывными элементами. Предполагается, что кусочно-непрерывные функции имеют конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [0,о>]. Запаздывание г (г = о»/т, где т - целое число) рационально соизмеримо с периодом СО.

Оператор монодромии и действует в гильбертовом функциональном пространстве состояний Н = г, 0),11п) х К" со скалярным произведением (р, ф) — 1/>т(0)у>(0)+-ф^{д)'р{д)(1,&. Оператор монодромии является вполне непрерывньш и определяется формулой ({/<£>)— х(ш + $ € [—т, 0], в которой х(-,ф) решение системы (6) с начальным моментом = 0 и начальной функцией <р. В гильбертовом пространстве собственные числа оператора Н — ([/"С/)1/2 называются сингулярными числами вполне непрерывного оператора и.

Теорема 3. Положительное число s тогда и только тогда является сингулярным числом оператора монодромии U, когда следующая краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений

^ = AiW)x1 + zB1(4)B?(4)y1, ^ = Ak{$)xk + Bk(p)xk^u k = 2~т,

= -AlWy* ~ Bt+1(#)yk+1, k = I^T,

dJ^ = -AliV)ym-zxm, (7)

M~T) = m(-r), xk(-T) = xfc_i(0), к = 2~ТП,

Vk{0) = Ук+Л-т), к = l,m — 1, ym(0) = 2xm(0) (8) имеет ненулевое решение при z = s'1. Здесь Ак{д)=А(кт +19), Bfc(t?) = B(fcr + tf), i?e[-r,0], k = TjH.

Краевую задачу (7), (8) можно записать в векторной форме

nil

^ = + (9)

(A + zA2) u(-t) = (Bx + zB2) u(0), (10)

где и = colon(xx, ...,xm,yi,..., ym).

Утверждение 1. При вещественном числе z краевая задача (9), (10) является самосопряженной.

Введем в краевую задачу (9), (10) положительный параметр ц следующим образом

^ = (11) {Ах + гАг) и{-т) = {В! + гВ2) и(0). (12)

Утверждение 2. При ц = 0 собственные числа г краевой задачи (11), (12) являются корнями уравнения

^ (г2Ф^(0)Фт(0) - 1п) = 0. (13)

Здесь Фт — компонента решения системы дифференциальных матричных уравнений

с краевыми условиями т)=1п, г)=Фй_х(0), к = 2,т.

Определение. Значение называется бифуркационным значением параметра р, краевой задачи (11), (12), если при этом значении краевая задача имеет собственное число 2 = 1.

Теорема 4. Пусть все положительные корни уравнения (13) и наименьшее положительное бифуркационное значение параметра краевой задачи (11), (12) больше единицы. Тогда система (6) асимптотически устойчива.

Третья глава посвящена исследованию устойчивости процессов резания в математической модели фрезерования.

Процессы резания металла в работе моделируются дифференциальным уравнением второго порядка14 15

+ 2{ыП ^ + «АДО = F{ х, в), (14)

uSridhar R., Hohn R.E., Long G.W. Contribution to machine tool chatter research - 5,7 // Journ. of Engineering for Industry Trans, of the ASME. 1968. Ser. B. Vol. 90, No. 2. pp. 317-324, 330-334.

15 Hohn R.E., Long G. W., Sridhar R. A stability algorithm for special case of the milling process. Contribution to machine tool chatter research - 6 // Joura. of Engineering for Industry Trans, of the ASME. 1968. Ser. B. Vol. 90, No. 2. pp. 325-329.

где х - отклонение глубины резания от номинального значения в направлении подачи детали, £ - коэффициент вязкого трения, и> - собственная частота колебаний конструкции, П - угловая скорость вращения фрезы, в - угол поворота фрезы.

Величина F(x, в) характеризует процесс фрезерования. Она описывается коэффициентом направления у(в) и характеристикой толщины стружки при резании к°. В линейном приближении

F(x, 0) = ш2^у(в)[-х(0) + х{0 - Д)].

Коэффициент v{6) учитывает геометрические соотношения, а именно: направление режущего усилия, конфигурацию системы «инструмент-деталь», а также число резаний за 1 оборот, V - периодическая функция, с периодом Д.

В работе16 функция v определяется формулой

171—1

v(0)= sin(ai + в + р + кА) sin(ai + 9 + кА), в G [О, Д), (15) fc=0

где /3 - угол, определяющий направление силы резания относительно радиальной линии фрезы, п - число зубьев фрезы, m -число зубьев находящихся в контакте с обрабатываемой деталью. Угол ai определяет положение зуба фрезы в момент входа в материал обрабатываемой детали. В качестве характеристики толщины стружки взят параметр к°, называемый коэффициентом жесткости резания. Коэффициент к характеризует жесткость конструкции.

Математическая модель фрезерования

s^P-++Х(в)=иw - д) - (16)

где /х = к°/к, v — Q/ui, применяется для расчета границы области устойчивости на плоскости параметров (и, fi). Графические изображения границы области устойчивости используют параметры к° и 10fi/u>.

16Щилъман C.B. Метод производящих функций в теории динамических систем. М.: Наука, 1978. 336с.

Дифференциальное уравнение второго порядка с запаздыванием (16) представим в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка

^ = А(0, и, М)х(0) + В(0, v, ,х)х(0 - Д), в 6 R, (17) гдех= {хх,х2)т,

1 \

-1/-2(1 + /л,(б)) -2ÍI/-1 у

Для асимптотической устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений (17) необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа р оператора монодромии были меньше единицы по модулю. Задача нахождения ненулевых собственных чисел р оператора монодромии сводится к определению собственных чисел z, z € С, специальной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

^ = {A{4,v,n) + zBОбН^О],*^-1, (18) ф(—А) = гф(0),г G С. (19)

Пусть Ф(1?,2,1/,м) = Uij{-d,z,v,n)fitj=l (Ф(-Д,г,1>,ц) = /а), т? е [—Д, 0], z £ С, - нормированная фундаментальная матрица системы (18). Для нахождения собственных чисел z краевой задачи (18), (19) имеем следующее характеристическое уравнение

D{z, v, ц) = exp (-2£Ai/_1) z2 - A(z, v, ц)г + 1 = 0, (20) где A(z, v,[i) = (фи(0,г,и,ц) + ф22(0,г,и,ц)), z <=C.

A(d,i/,/х) =

Согласно методу Д -ний

разбиения, система нелинейных уравне-

(21)

где у? € [тг, 2тг], дает неявное представление границы области устойчивости на плоскости параметров и и ц.

Дифференцируя систему нелинейных уравнений (21) по переменной у? {¡р 6 (тг, 27т)), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно йг'/(кр и ¿ц/й<р. Задача нахождения неявных решений ¡/(у>), р) системы нелинейных уравнений (21), на интервалах для которых определитель линейной алгебраической системы Д(у>, ф 0, ц> е (тг, 2тг), заменяется процедурой численного интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений

где Дх(<£>, и, /х), ДV, у) - определители Крамера линейной алгебраической системы. Используя метод Ньютона для решения системы нелинейных уравнений (21) при ц> — <р* £ (7Г, 2п), находим начальные значения и* и ¡1* для реализации процедуры численного интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений.

При реализации процедуры численного интегрирования системы (22) и метода Ньютона значения функции Л и её частных производных дА(ехр(1!р),1/,^)/ди, дА(ехр(1(р),1>,ц)/дц и дА(ехр(1<р),1/, ц)/д<р находятся путем численного интегрирования специальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

При <р = тг или <р = 2тг система (21) заменяется одним уравнением

ехр (—2£Д1/~1) - А(а, и, ц)а + 1 = 0, а = соэ(^). (23)

йи _ Ах(<р,У,у) йц _ А2((р,у,ц) ¿<р А{<р, V, /х) ' ¿хр А((р,и,ц)' V, /х) ф 0, 6 (тг,2тг),

(22)

В этом случае граница области устойчивости будет описываться функцией ¡1 = /х(^), V 6 К. Задача нахождения неявного решения уравнения (23) заменяется процедурой численного интегрирования нелинейного дифференциального уравнения

dfi _ дА(а, V, p)/dv — 2a£Av~2 exp (—2£Ai>>-1) . dv dA(a,v,ß)/dß '

на интервалах, для которых дА(а, и, fj,)/dfi ф 0. Используя метод Ньютона при некотором /х = из уравнения (23) определяется начальное значение v — v*.

При реализации процедуры численного интегрирования уравнения (24) и метода Ньютона значения функции Л и её частных производных 9А(а, v, n)/dv и дА(а, v, ß)/dfi находятся путем численного интегрирования специальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

На рис. 1, 2 приведены результаты расчета границы области асимптотической устойчивости. Приведенные результаты расчетов свидетельствуют о сильной «изрезанности» области устойчивости, следствием которой является существенное влияние величины угловой скорости вращения фрезы П на устойчивость процесса фрезерования. Это подтверждает тот экспериментальный факт, что при возникновении вибрационных колебаний часто достаточно незначительного изменения числа оборотов, чтобы стабилизировать процесс фрезерования. Полученные результаты согласуются с аналогичными результатами Sridhar R., Hohn R.E., Long G.W.14 и Шильмана C.B.16.

Разработанный комплекс програмных средств позволяет находить границы области асимптотической устойчивости для математической модели процесса фрезерования, а также оценивать влияние параметров на деформацию границы области асимптотической устойчивости.

кс, кгс/мм 600

500

400

300

200

100

0

О 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25

10n/w

Рис:-1: Граница области устойчивости для математической модели фрезерования при п = 40, Д = 9°, ft — 60°, к = 710 кгс/мм, Í = 0.0417, ai = 67°, т = 4.

к", кгс/мм 2000

1500

1000

500

0

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

Ш/ш

Рис. 2: Граница области устойчивости для математической модели фрезерования при п = 10, Д — 36°, ¡3 — 60°, к — 710 кгс/мм, £ = 0.0417, ai = 84°, т = 2.

Публикации по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК:

[1] Долгий Ю.Ф., Ульянов Е.В. Достаточные условия экспоненциальной устойчивости периодической системы с кратными запаздываниями // Изв. Урал. гос. ун-та. Математика и механика. 2006. №44. Вып. 9. С. 54-75.

[2] Dolgii Yu, Ul'yanov Е. V. Singular numbers of the monodromy operator and sufficient conditions of the asymptotic stability of periodic system of differential equations with fixed delay // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2007. V. 259. Suppl. 2. P. 95-110.

Другие публикации:

[3] Долгий Ю.Ф., Ульянов Е.В. Применение сингулярных чисел оператора монодромшг для нахождения достаточных условий экспоненциальной устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием // Труды института математики и механики УрО РАН. 2007. Т.13. №2. С. 66-79.

[4] Долгий Ю. Ф., Ульянов Е.В. Достаточные условия экспонен- . циальной устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Труды Второй Всероссийской научной конференции, Часть 3. Самарский государственный технический университет. 2005. С. 86-89.

[5] Долгий Ю.Ф., Ульянов Е.В. Краевая задача для сингулярных чисел оператора монодромии периодической системы с постоянным запаздыванием / / Материалы международной научной конференции «Устойчивость, управление и моделирование динамических систем», Екатеринбург. УрГУПС. 2006. С. 37-38.

[6] Ульянов Е.В. Численное построение характеристического уравнения в задаче устойчивости процесса фрезерования //34 Региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2003. С. 129.

[7] Ульянов Е.В. Численная реализация метода краевых задач для исследования устойчивости математической модели фрезерования // Уральский гос. ун-т, Екатеринбург. 2004-18с. Деп. 14.12.04. №1984-В2004.

[8] Ульянов Е.В. Численное построение областей устойчивости для математической модели фрезерования //35 Региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2004. С. 192-194.

[9] Ульянов Е.В. Численная реализация метода Ньютона в задаче построения границы области устойчивости процесса фрезерования //36 Региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2005. С. 212-216.

[10] Ульянов Е.В. Достаточные условия экспоненциальной устойчивости периодического дифференциального уравнения с запаздыванием // XXVII Юбилейной конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ «Ломоносов-2005», Москва, 2005. С. 64-65.

[11] Ульянов Е.В. Использование сингулярных чисел оператора монодромии в задаче устойчивости периодической системы с постоянным запаздыванием // Известия Института математики и информатики, Ижевск, УдГУ. 2006. Вып. 3(37). С. 151-152.

[12] Ульянов Е.В. Достаточные условия экспоненциальной устойчивости линейного периодического дифференциального уравнения второго порядка с запаздываниями // 37 Региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2006. С. 272-276.

[13] Ульянов Е.В. Достаточные условия экспоненциальной устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений второго порядка с запаздываниями //IX Международном семинаре им. Е. С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 2006. С. 270-272.

[14] Ульянов Е.В. Исследование устойчивости движений в математической модели фрезерования // Международная конференция «Динамические системы: Устойчивость, управление, оптимизация», Тезисы докладов, Минск, 2008. С. 153-155.

Ульянов Евгений Валерьевич

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Автореферат

Подписано в печать 13.01.2010. Формат 60 х 84 1/16. Бумага ВХИ. Печать ризограф. Гарнитура «Arial». Тираж 100 экз. Заказ № 4. Отпечатано в ИПЦ «Издательство УрГУ». 620083, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.

ВВЕДЕНИЕ

1 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С КРАТНЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

1.1 Метод функций Ляпунова.

1.2 Дифференциальные уравнения второго порядка

1.3 Система дифференциальных уравнений второго порядка.

2 ПРИМЕНЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ ОПЕРАТОРА МОНО-ДРОМИИ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

2.1 Постановка задачи.

2.2 Краевая задача для оператора монодромии.

2.3 Краевая задача для сопряженного оператора.

2.4 Сингулярные числа оператора монодромии

2.5 Достаточные условия асимптотической устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием

3 ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ФРЕЗЕРОВАНИЯ

3.1 Описание физической модели.

3.2 Математическая модель фрезерования.

3.3 Характеристическое уравнение для математической системы фрезерования

3.4 Система дифференциальных уравнений для определения границы области устойчивости.

3.5 Алгоритм расчета областей устойчивости

3.6 Результаты проведенных расчетов границы области устойчивости и их сравнительных анализ.

3.7 Реализованные процедуры тестирования компьютерной программы построения границы области устойчивости.

3.8 Выбор и влияние метода численного интегрирования при реализации процедуры построения границы области устойчивости.

3.9 Использование многочлена Лагранжа для построения границы области устойчивости, с помощью приближенного характеристического уравнения

История вопроса. Во многих системах регулирования присутствуют линии с задержкой. Поэтому весьма важное значение имеет изучение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Кроме того, такие уравнения находят много приложений в теории автоколебательных систем, в различных экономических, биологических и многих других системах [20, 21, 22, 23, 54, 65, 124, 145, 149, 168, 169, 171].

В конце сороковых - начале пятидесятых годов XX века в связи с потребностями ряда прикладных наук началось усиленное систематическое изучение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Толчком к развитию этой теории в Советском Союзе послужили работы А.Д.Мышкиса [70]. Обобщая идеи и методы обыкновенных дифференциальных уравнений, важные результаты в теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом получили Н. В. Азбелев, М. А. Зверкин, Г. А. Каменский, Ю. С. Колесов, В. П. Максимов, Д. И. Марты-нюк, Ю. А. Митропольский, Б. С. Разумихин, JL Ф. Рахматуллина, Д. Я. Хусаинов, JI. Э. Эльсгольц и другие математики.

Начало нового этапа в исследовании дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом связано с работами Н. Н. Красовского, предложившего рассматривать решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в функциональном пространстве состояний [55]. Такой подход создал условия для эффективного привлечения к исследованию дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом методов функционального анализа. С этих позиций значительный вклад в теорию дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом внесли Ю. Г. Борисович, А. В. Ким, Н. Н. Красовский, А. Б. Куржанский,

B. И. Максимов, Г. Н. Милыдтейн, Ю. С. Осипов, В. Г. Пименов, Ю. М. Репин,

C. Н. Шиманов и другие. Важные результаты, полученные в теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом американскими и румынскими математиками, подытожены в монографиях Р. Беллмана и К. Кука [9], Э. Пинни [74], Дж. К. Хейла [105], А. Халаная[101], В. Резвана[81].

Одной из основных задач теории дифференциальных уравнений является изучение вопроса устойчивости решений. В рамках первого метода Ляпунова асимптотическая устойчивость автономной линейной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом сводится к проблеме Рауса - Гурвица для левой полуплоскости [55]. В общей постановке она не имеет алгебраического решения [66, 76]. Получению достаточных условий асимптотической устойчивости посвящено много работ [14, 15, 36, 49, 71, 102, 127, 128, 131, 132, 136, 147, 148, 151, 153, 159, 160, 161, 163, 164, 170, 172, 174, 176]. Дальнейший прогресс в задаче аналитического решения проблемы Рауса - Гурвица был достигнут при нахождении условий устойчивости семейств квазиполиномов [72, 103, 104, 114] и в задаче абсолютной устойчивости систем с запаздываниями [45, 57, 58, 59, 82, 85, 86]. При получении достаточных условий асимптотической устойчивости неавтономных линейных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием используются различные методы [19, 27, 68, 70, 73, 89, 119, 130, 133, 134, 135, 139, 143, 144, 146, 155, 156, 166, 173], а в случае периодических линейных систем применяется первый метод Ляпунова [4, 16, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 69, 88, 99, 100, 109, 110, 111, 112, 116, 118, 126, 137, 158, 162, 165]. Использование функций Ляпунова [17, 25, 77, 79, 80, 107] и функционалов Ляпунова-Красовского [3, 5, 43, 47, 51, 52, 55, 67, 108, 113, 117, 125, 129, 138, 142, 154, 167], позволяет находить достаточные условия асимптотической устойчивости. Указанные выше методы применяются при исследовании асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений нейтрального типа [50, 53, 60, 61, 87, 141, 150, 152, 157, 167, 175]. Асимптотическая устойчивость по Ляпунову линейных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием тесно связана со свойством устойчивости решений относительно постоянно действующих возмущений, которое в рамках задачи о накоплении возмущений определяется как принадлежность решений к специальному функциональному пространству [1]. В рамках этой трактовки понятия устойчивости, в работах [1, 2, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 40, 41, 42, 63, 64, 83, 84] предложены методы, позволяющие находить достаточные условия устойчивости для различных классов функционально-дифференциальных уравнений. Численным методам исследования устойчивости линейных систем с последействием посвящены работы [1, 46, 48, 69].

Объект исследования и основные результаты. Изучаются вопросы устойчивости линейных периодических систем с постоянным запаздыванием.

В первой главе рассматривается линейная периодическая система дифференциальных уравнений с запаздываниями. При исследовании устойчивости таких систем используются различные подходы (метод функционалов Ляпунова [47, 53, 55, 56,108, 117], метод производящих функций [63, 84,115], W- метод Азбелева [1,13, 83], первый метод Ляпунова [28, 29, 89, 118]). Первый метод Ляпунова использует понятие характеристического уравнения. Построение характеристического уравнения, определяющего характеристические показатели или мультипликаторы периодической системы дифференциальных уравнений с кратными запаздываниями, связано с интегрируемостью нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [18, 44]. Задачу нахождения мультипликаторов можно заменить задачей нахождения собственных чисел краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. На этом пути удается связать асимптотическую устойчивость периодической системы дифференциальных уравнений с кратными запаздываниями с асимптотической устойчивостью однопараметрического семейства систем обыкновенных дифференциальных уравнений [30]. Это сведение задачи асимптотической устойчивости систем с запаздываниями к аналогичной задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений применяется при изучении абсолютной устойчивости стационарных систем с запаздываниями [58, 82, 86]. В данной главе в рамках рассматриваемого подхода для получения достаточных условий асимптотической устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с запаздываниями используется метод функций Ляпунова.

Во второй главе рассматривается линейная периодическая система дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием рационально соизмеримым с периодом. В этом случае задачу нахождения ненулевых собственных чисел оператора монодромии можно свести к задаче нахождения собственных чисел краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений [18, 44]. В работах [32, 33, 34], при изучении спектральных свойств этих задач, показано, что существует класс периодических систем с запаздыванием, для которых соответствующие краевые задачи становятся самосопряженными, когда собственное число оператора монодромии имеет модуль равный единице. В этом случае эффективно работают бифуркационные методы изучения устойчивости. В настоящей работе при нахождении достаточных условий асимптотической устойчивости используются сингулярные числа оператора монодромии. При нахождении сингулярных чисел используется самосопряженная краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений. Р1сследовано движение собственных чисел этой краевой задачи при изменении параметра. Задача получения достаточных условий асимптотической устойчивости линейной периодической системы с запаздыванием сведена к нахождению бифуркационного значения параметра для краевой задачи.

В третьей главе рассматривается математическая модель процесса резания, учитывающая явление резания по следу. Модель фрезерования описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянным запаздыванием. Для разрешения вопроса устойчивости процесса фрезерования задача нахождения собственных значений и собственных функций оператора монодромии сведена к решению специальной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для нахождения областей устойчивости используется метод Д - разбиения, в случае единичного круга [66]. Граница области устойчивости определяются системой нелинейных уравнений. Задача нахождения неявных решений системы нелинейных уравнений заменяется процедурой численного интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений. Начальные условия для реализации процедуры численного интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений находятся с помощью метода Ньютона. Второй подход к задаче построения границы области устойчивости связан с использованием аппроксима-ционных характеристических уравнений, которые строятся с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Для реализации этого подхода были разработаны процедуры направленные на ускорение процесса построения границы области устойчивости. При анализе результатов проведенных расчетов были изучены факторы, оказывающие существенное влияние на устойчивость процесса фрезерования. Полученные результаты сравнивались с результатами расчетов выполненных R. Sridhar, R. Е. Hohn, G. W. Long в их работе [168], а также с результатами расчетов С. В. Шильмана в его работе [115]. Анализ полученных результатов показал хорошую точность и скорость работы алгоритма численного построения границы области устойчивости.

Краткое содержание работы.

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

- на основе второго метода Ляпунова для линейных периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений разработан конструктивный метод нахождения достаточных условий асимптотической устойчивости линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздываниями кратными периоду;

- для линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием соизмеримым с периодом предложен метод позволяющий находить оценку спектрального радиуса оператора монодромии, вычисляя собственные числа самосопряженных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений;

- на основе метода Д - разбиения для единичного круга предложен корректный численный метод построения границы области асимптотической устойчивости для математической модели процесса фрезерования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 280с.

2. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. — Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. — 230с.

3. Анашкин О.В. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости для одного класса нелинейных уравнений с запаздыванием // Труды мат. факультета Симферопольского гос. университета, Симферополь. — 1997. — С. 39-49.

4. Анашкин О.В. Параметрический резонанс в линейной системе с запаздыванием // Изв. РАЕН. — Сер. ММНИУ. — 1997. — Т.1. — №1. — С. 3-17.

5. Андреев А.С. Метод функционалов Ляпунова в задаче устойчивости функционально-дифференциальных уравнений / / Автоматика и телемеханика. — 2009. — №9. — С. 4-55.

6. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1966. — 544с.

7. Башкиров А.И. Признак экспоненциальной устойчивости уравнения с последействием и с периодическими параметрами // Дифференциальные уравнения. — 1986. Т.22. - №11. - С. 1994-1997.

8. Башкиров А.И., Карнишин С.Г. Об устойчивости уравнения с последействием с периодическими параметрами // Вестник ПГТУ. — Математика и прикладная математика. — 1996. — №3. — С. 5-8.

9. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 548с.

10. Березанский Л.М. Об устойчивости линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с последействием // Краевые задачи, Пермь. — 1989. — С. 12-16.

11. Березанский Л.М., Малыгина В.В., Соколов В.А. Признаки экспоненциальной устойчивости решений уравнений с ограниченным последействием // ДАН СССР. 1986. - Т.29. - Ш. - С. 11-14.

12. Березанский Л.М. Положительность функции Коши и устойчивость дифференциальных уравнений с последействием, j j Дифференциальные уравнения. — 1990.- Т.26. №9. - С. 1490-1500.

13. Верезанский JI.M. Развитие W-метода Н. В. Азбелева в задаче устойчивости линейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1986. — Т. 22. - №5. - С. 739-750.

14. Быкова А.Н., Киръянен А.И. Устойчивость квазиполинома 2-го порядка // Дифференциальные уравнения с частными производными, Ленинград. — 1987. С. 87-89.

15. Быкова А.Н. Устойчивые квазиполиномы // Чуваш, ун-т, Чебоксары. — 1985. — 11с. — Деп. в ВИНИТИ 27.05.85, №3646-85Деп.

16. Вагина М.Ю., Кипнис М.М. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями // Математические заметки. — 2003. — Т.74. — Вып.5 — С. 786-789.

17. Валеев К.Г., Султанбеков Т.С. Оценка роста решений систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с помощью функций Ляпунова // Методы сравнения и методы Ляпунова, Саранск. — 1990. — С. 36-40.

18. Гасилов Г.Л. О характеристическом уравнении системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием // Известия вузов. — Математика. — 1972. — №4. — С. 50-66.

19. Гинчев И. Асимптотическая устойчивость одной линейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Год. ВУЗ. — Приложение математика. — 1981(82). Т. 17. - №2. — С. 193-128.

20. Городецкий Ю.И., Цибовская И.В. К исследованию автоколебаний динамических систем с периодическими коэффициентами и запаздыванием // Тр. средне-волж. мат. об-ва. — 2003. Т.5. — Ж. - С. 30-34.

21. Городецкий Ю.И. Исследование распределенных динамических систем с запаздыванием // Вест. ННГУ. Сер. Механика. 2001. - Вып. 3. - С. 42-45.

22. Городецкий Ю.И., Грезина А.В. О самовозбуждении колебаний при точении валов // Станкоинструмент. М., 1999. - JY2 8. - С. 1-18.

23. Городецкий Ю.И. Создание математических моделей сложных автоколебательных систем в станкостроении // Автомотизация проектирования. Под общ. ред. В.А. Трапезникова. - М.: Машиностроение, 1986. - С. 203-220.

24. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1965. — 448с.

25. Громова П.С. Об обращении теорем Б. С. Разумихина // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т.12. - №2. - С. 375-359.

26. Демиденко Г.В., Матвеева И.И. Об устойчивости решений линейных систем с периодическими коэффициентами j j Сиб. мат. журнал. — 2001. — Т.42. — №2. — С. 332 348.

27. Додкин М.И. Об асимптотическом поведении решений одного класса дифференциально-разностных уравнений // Известия вузов. — Математика. — 2003. №6. - С. 44-49.

28. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. — Екатеринбург: УрГУ, 1996. — 84с.

29. Долгий Ю. Ф. Характеристическое уравнение в задаче устойчивости периодических систем с последействием // Изв. Урал. гос. ун-та. — Математика и механика. — Вып. 1. — 1998. — №10. — С. 34-43.

30. Долгий Ю.Ф. Метод функций Ляпунова в задаче устойчивости дифференциальных уравнений с запаздыванием // Наука и транспорт сегодня: проблемы и решения. — Екатеринбург: УрГАПС, 1997. — Вып. 5. — С.231-237.

31. Долгий Ю.Ф., Шиманов С.Н. Существование зоны устойчивости для одного уравнения с запаздыванием // Устойчивость и нелинейные колебания. — Свердловск : УрГУ, 1988. С. 11-18.

32. Долгий Ю.Ф. Об устойчивости одной периодической системы с запаздыванием // Краевые задачи. — Пермь: ППИ, 1989. — С. 16-21.

33. Долгий Ю.Ф., Николаев С.Г. Об устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т.35. №10. - С. 1330-1336.

34. Долгий Ю.Ф. Использование самосопряженных краевых задач при исследовании устойчивости периодических систем с запаздыванием // Труды института математики и механики УрО РАН. — 2006. — Т.12. — №2. — С. 78-87.

35. Долгий Ю.Ф., Путилова С.Г. Продолжение назад решений линейного дифференциального уравнения с запаздыванием как некорректная задача // Дифференциальные уравнения. — 1993. — Т.29. — №8. — С. 1317-1323.

36. Долгий Ю.Ф., Ульянов Е.В. Достаточные условия экспоненциальной устойчивости периодической системы с кратными запаздываниями // Изв. Урал. гос. ун-та. — Математика и механика. — 2006. — №44. — Вып. 9. — С. 54-75.

37. Домошницкий А.И., Шеина М.В. Алгебраический признак устойчивости линейной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Функционально-дифференциальные уравнения, Пермь. — 1987. — С. 24-29.

38. Домошницкий А.И., Шеина М.В. Неотрицательность матрицы Коши и устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. — 1989. — Т.25. — №2. — С. 201-209.

39. Домошницкий А.И. Неотрицательность отдельных элементов матрицы Коши и экспоненциальная устойчивость системы с запаздыванием // Функционально-дифференциальные уравнения, Пермь. — 1991. — С. 58-69.

40. Жабко А.П. Построение функционала Ляпунова в стационарной линейной системе с запаздыванием // Вопросы механики и процессов управления, Ленинград. — 1989. — №.11. С. 33-37.

41. Зверкин A.M. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием соизмеримым с периодом коэффициентов. // Дифференциальные уравнения. — 1988. — Т. 24. т. - С. 1481-1492.

42. Кайзер К., Кореневский Д.Г. Алгебраические коэффициентные признаки абсолютной устойчивости линейных разностных систем с непрерывным временем и запаздыванием // Автоматика и телемеханика. — 1998. — №1. — С. 22-27.

43. Картышов С.В., Шярмокас А.В. Численное построение границ устойчивости для систем дифференциальных уравнений высокого порядка с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т.26. — №7. С. 1236-1240.

44. Ким А.В. О методе функционалов Ляпунова для систем с последействием // Автоматика и телемеханика. — 1990. — №2. — С. 24-31.

45. Ким А.В., Пименов В.Г. i Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. — М. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. — 256с.

46. Кирьянен А.И. Об устойчивости и стабилизируемости линейных систем с последействием // Дифференциальные уравнения с частными производными, Ленинград. 1988. - С. 114-120.

47. Кирьянен А.И. Устойчивость решений дифференциальных уравнений нейтрального типа // Математическая физика, Ленинград. — 1984. — С. 50-55.

48. Княжище Л. В., Цеглов В.А. Условия равномерной асимптотической устойчивости уравнений с запаздаванием // Дифференциальные уравнения. — 2001. — Т.37. №5. - С. 628-637.

49. Княоюище Л.Б. Функционалы со знакопостоянной производной для стабилизации систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. — 2009. — Т.45 — №5 С. 689 -697.

50. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Второй метод Ляпунова для систем нейтрального типа // Метод функций Ляпунова и его приложения, Новосибирск. — 1984. — С. 93-98.54,55.56,57,58,59,60,6162,63,64,65,66,67,

51. Колмановский В.Б., Мышкис А.Д., Носов В.Р. Современная теория уравнений с последействием с позиций ее приложения // Совр. проблемы математической физики, Труды Всес. симпозиума, Тбилиси. — 1987. — С. 280-290.

52. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физ-матгиз, 1959. — 211с.

53. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. - 448с.

54. Константинов М.М. Об абсолютной устойчивости линейных систем с запаздыванием // Качественное исследование дифференциально-функциональных уравнений, Киев. — 1980. — С. 55-59.

55. Кореневский Д. Г. Алгебраические коэффициентные критерии абсолютной асимптотической устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений с последействием // Матем. физ. и нелин. мехап, Киев. — 1987. — т. С. 5-9.

56. Кореневский Д.Г., Мазко А.Г. Компактная форма алгебраического критерия абсолютной устойчивости решений линейных дифференциально-разностных уравнений // Укр. мат. жур. 1989. — Т.41. — №. — С.278-282.

57. Кореневский Д. Г. Коэффициентный критерий абсолютной устойчивости систем линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа // Матем. физ. и нелин. механ., Киев. — 1989. — №12. — С. 18-22.

58. Кореневский Д. Г. Критерий устойчивости решений систем линейных детерминированных и стохастических разностных уравнений с непрерывным временем и запаздыванием // Матем. заметки. — 2001. — Т.70. — Вып. 2. — С.213-229.

59. Лаврентьев Н. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1987. — 688с.

60. Малыгина В. В. Некоторые признаки устойчивости функционально-дифференциальных уравнений разрешенных относительно производной // Известия вузов. — Математика. — 1992. — №7. — С. 46-53.

61. Малыгина В. В. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом. // Дифференциальные уравнения. — 1992. — Т.28 — №10. — С. 1716-1723.

62. Матвеев В.Н. Исследование колебаний резца при обработке металлов в рамках одной математической модели // Исследование по устойчивости и теории колебаний, Ярославль. — 1979. — С. 41-62.

63. Мейман Н.Н., Чеботарев Н.Г. Проблема Рауса Гурвица для полиномов и целых функций // Труды математического института им. В.А. Стеклова. — 1949. - Т.26.

64. Мильихтейн Т.Н. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с последействием // Дифференциальные уравнения. — 1981. — Т.17. — №6. — С. 984-993.68