автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Динамика уравнений первого порядка с большим запаздыванием

На правах рукописи

Кащенко Илья Сергеевич

ДИНАМИКА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С БОЛЬШИМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2006

Работа выполнена на кафедре компьютерных сетей Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Майоров Вячеслав Владимирович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация: Московский государственный университет

им, М.В. Ломоносова

диссертационного совета 1\ ¿, iz.uuz.u4 при ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г, Демидова по адресу: г. Ярославль, ул. По-лушкина роща, д. 1.

доктор физико-математических наук, профессор Малинецкий Георгий Геннадьевич, доктор физико-математических наук, профессор Дмитриев Александр Сергеевич

Д. 14.

Автореферат разослан « ^ » М-^р У 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Глызин С.Д.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

В настоящее время одним из наиболее активно разбивающихся направлений Atarew атн ческого анализа являются исследования динам п к и систем с распределенными параметрами. Эти исследования стимулируются появлением большого числа прикладных задач, для моделирования которых используют. такие объекты, как дифференциальные уравнения <; запаздыванием. Уравнения такого типа возникают, например, в лазерной оптике, (Gibbs Н.М., Hopf F. А., Kaplan D.L., Shoemakcr R.L., Ikeda К') электротехнике, (Schwarz W,. Moegel A., Kilias Т., Kutzer К.). радиофизик«, (Дмитрием A.C., Кисло» В.Я., Ланда П.С.), медицине, (Mapпук Г.И., Петров Р.В.), математической экологии, (Горя чей ко В. Д.. Колесов Ю.С.). теории нейроинг.тх систем. (Малипец-кий Г.Г., Майоров В.В,), при описании процесса реоапия металлов (Эльяс-берг М.Е.. Клушии М.И.) и др..

Изучению уравнений с запаздыванием посвящено значительное и бурно увеличивающееся число, публикаций как теоретического, так и прикладного характера. Для многих уравнений, содержащих запаздывание, хорошо зарекомендовали себя классические асимптотические методы, такие как методы усреднения Крылова-Боголюбова, методы пограничных функций в случае сингулярных возмущений (Васильева А.Б., Бутузов В.Ф,),

Тем не менее, развитие аналитических методов для систем с запаздыванием явно недостаточно. В силу принципиальной сложности систем с бесконечномерным фазовым пространством особую значимость как для общетеоретических вопросов, так и для решения конкретных прикладных задач приобретает разработка новых асимптотических методов исследования динамических свойств решений.

В работе исследуется динамика уравнений первого порядка с запаздыванием одного из следуюнщх видов

Фазовым пространством таких уравнений удобно считать пространствоС[_т-,и) непрерывных на [— Т, 0] функций то стандартной нормой. В этом смысле эти уравнения существенно сложнее обыкновенного скалярного дифференциал ь-нот уравнения, которое получается, если положить!1 = 0,

Замечено, что даже незначительное увеличение времени запаздывания приводит к кардинальным изменениям в динамике системы. Поэтому воп!>ос

х + х = f(x,x(t-T)), х + х = f(x,x(t-T),x{t-Ti)) (Г,<Т).

(1) №

и

(3)

-г

о динамо кс уравнений: с большим запазд(>1вашгем явлжггея очень важным. С другой стороны, как пока;!Ы11:»к>т численны« расчеты для ряда уравнений (например, для уравнения Хягчинсона), нее эффекты большого запаздыва-иии можно наблюдать уже лрп небольших его значениях. Поэтому особую важность имеет исследование динамики уравнений вида (1)-(3) при условия, что запаздывание является достаточно большим.

Уравнение Стюарта-Л а [ I дау

¿ = + +

является типичным [|рсдставителсм систем с запаздыванием. Кроме того, оно часто встречается в реальныхзадачах физики, техники, биологии, медицины. В предлагаемой работе предпринята попытка описать динамику уравнения Стюарта-Ландау с использованием разработанных методов. Также, развитые в диссертации алгоритмы позволяют провести локальный анализ динамики уравнения Стюарта-Ландау с отклонением пространственной переменной и малой диффузией (0 < е «С 1):

й-" г аРх

= (я + ь\г\2)г + с I г((,х + 5)с1ф) + еЧ2-^, =г((,аг + 1).

о.

Цель работы

Основной целью данной диссертационной работы является:

- разработка ноиых методов и алгоритмов исследования сложной дина-микн дифференциальных уравнений с большим запаздыванием;

- применение методики для изучения конкретных видов уравнений;

- исследование динамики уравнения Стюарта-Ландау, представляющего большой практический интерес.

Методы исследования

В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории сингулярных возмущений, метод нормальных форм.

Научная новизна работы

Все результаты диссертации явллюта новыми.

Разработан метод исследовании сложной динамики дифференциальных уравнений С большим запаздыванием

Расширены и дополнены результаты исследования поведения решений дифференциальных уравнений с одним большим запаздыванием в случаях, близких к критичес ким.

Получены результаты, иставоляющда судить о динамике уравнений с длу-мя запаздываниями в случаях, когда только одно запаздывание является большим, оба запаздывания большие од нога порядка, а также в случае когда оба запаздывания велики, но одно из них по порядку больше другого.

Получены результаты, описывающие динамику уравнений с большим линейно и периодически распределено мм запаздыванием.

Для уравнения Стюарта-Ландау исследована локальная динамика, а также тучен вопрос существования и устойчивости у этого уравнения решений в виде бегущих волн.

Исследована локальная динамика уравнения Стюарта-Ландау с малой диффузией и отклонением пространстве!нюй переменной.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод построения асимптотического приближения решений уравнений с большим запаздыванием в случаях, близких к критическим.

2. Результаты исследования динамики уравнений с большим запаздыванием.

3. Классификация критических случаев для различных систем с двумя запаздываниями и с распределенным запаздыванием.

4. Результаты исследования динамики уравнения Стюарта-Ландау (обычного и с отклонением пространственной переменной).

Теоретическая и практическая ценность работы

Полученные и диссертации результаты имеют как теоретическое, так и практическое значение. Они могут быть применены при исследовании динамики дифференциальных уравнений с запаздыванием и также для изучения прикладных задач, например, радиофизики, электроники, лазерной оптики.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

1. XXVI Конференция молодых ученых мехапико-математнческого факультета Московского государствекноп) университета км. Ломоносова, Москва, 2004 г.;

2. II Международная конференция .-Математические идеи П.Л. Чобышева и их приложения к современным проблемам естествознаний'. Обнинск, 2004;

3. XXVII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Москва, 2005;

4. Международная научная конференция "Современные проблемы прикладной математики н ми-рематического моделирования", Воронеж, 2005:

5. Международная конференция "Тихонов н еовременшея математика", Москва, МГУ. 2006.

Кроме того, результаты диссертации докладывались на ряде семинаров кафедр м математического моделирования Ярославского государстЕ5<энного у ни-верептегг» им. П.Г. Демидова, на семинаре „Моделиро ван ие и исследование нейронных сетейкафедры компьютерных сечей Ярославской) государ<:твеи-ного университета им. П.Г. Демидова, а также на семинаре кафедры математики физического факультета Московского государстнем нош университета им. М.В. Ломоносова.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 10 работ: 5 статей. 4 теуиса докладов и одно учебное пособие. И;} р;1бот, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные котором.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, содержащего 40 наименований. Диссертация содержит 4 рисунка и два приложения.

Общий объем диссертации составляет 110 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы, обсуждается актуальность темы диссертации, приводится краткий обзор литературы по данной тематике.

Первая глава посвящена локальному анализу уравнений вида (1)-(3) в окрестности состояния равновесия. Наибольший интерес в этой части подставляет изучение поведения решений этих уравнений при условии, когда запаздывание Т достаточно велико.

В первом параграфе первой главы приводятся общие сведения и хорошо известные базовые результаты о поведении решений нелинейного уравнения с запаздыванием

х + х = - Т) 4- Р{х(Ь - Г)). (4)

Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнения (4) имеет место теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Рассмотрим линеаризованное на нулевом состоянии равновесия уравнения (4) уравнение

х + х = ах(1~Т).

Положим в нем х = ехр(—А(). В результате получим характеристическое уравнение

А + 1 = ое_АТ. (5)

Утверждение X. Пусть все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. Тогда нулевое решение (4) асимптотически устойчиво. Если же характеристический квазиполином (5) имеет корень Ао с положительной вещественной частью, то нулевое решение уравнения (4) неустойчиво.

Таким образом, необходимо исследовать поведение решений уравнения (4) в малой окрестности состояния равновесия лишь в тех случаях, когда квазиполином (5) имеет корни с нулевой вещественной частью (или близкой к нулю) и не имеет с положительной.

Такая ситуация возникает в двух случаях. Во-первых, уравнение (5) может иметь один нулевой корень, а все остальные его корни будут иметь отрицательные вещественные части. Во-вторых, (5) может иметь пару чисто мнимых корней ±£и>о, а все остальные корни лежат в левой комплексной полуплоскости.

В первом случае локальная динамика описывается поведением решений скалярного уравнения

ат

а во втором — поведением решений нелинейного комплексного уравнения вада

Во втором параграфе первой главы рассматривается локальная динамика уравнения с большим запаздыванием. Приводятся некоторые известные результаты1 н полученные новые результаты, существенно их дополняющие.

да'чнгстиык >|ч!*?к'мин с мыьш тк'жичт и'м 111*1 / с л кэичрики // дук]гф<|*'ш<и1ыы11.кк

уравнения. — 1Э8Э- — Т. 15. — Ж. — С. 1444-1451.

Основное отличие этого параграфа от предыдущего в том, что в уравнении (4) параметр Г = е-1, где 0 < е 1.

В пункте 2,1 ставится задача и формулируются известные результаты о динамике общего характера. В пункте 2.2 исследуется расположение корней характеристического уравнения.

Лемма 1. Если |а| < 1, то нулевое решение асимптотически устойчиво. Все решения из некоторой малой окрестности стремятся к пулю при t —* оо.

Если |а| > 1, то нулевое решение неустойчиво, о в некоторой его фиксированной окрестности нет устойчивых режимов.

При |а| = 1 и е —* 0 сразу бесконечно число корней характеристического уравнения стремится к мнимой оси, таким образом критические случаи имеют бесконечную размерность. Для корней, стремящихся к мнимой оси, приводятся асимптотические формулы.

В пункте 2.3 описывается динамика при значениях а близких к 1. Пусть а = 1 + Ali. Тогда в окрестности состояния равновесия динамика исходного уравнения описывается краевой задачей параболического типа

du 1 d2U el, , ч , /„ч

От = 2дт2 + aiU + ^ ' u(T'r+ ^ = "(т>г)- (6)

Решения (4) и (С) связываются связываются посредством формулы x{t) = e2u{sh, - е + e2)i)(l + о(1)).

Если а = 1 + £pai (0 < р < 2), то вместо одной краевой задачи мы получаем семейство краевых задач, зависящее от непрерывного положительного параметра

Эи \д2и , , , , / 2тЛ

& " + + fiU > U(T'= U Г + ' W

В этом случае решения исходного уравнения (4) и (7) связываются асимптотической формулой

*(t) = epu(eh,E{bj^2~x + Ö(s) - e?/2w + o(l))i)(l + o(l)).

В пункте 2.4 уравнение изучается при а близких к —1. Если а = — 1 — e'aj, то приходим к уравнению

ё=Ш+а±и++/з)ц3' u(r'r)=_u(r'r+(s)

Решения этой системы связаны с решениями исходного уравнения через равенство

x(t) = eu^t, + £a)i)(l + о(1)}.

Если а = — 1 — spai [0 < р < 2), то опять получим семейство краевых задач параболического типа

_ = __ + + (/I + Ь)и\ и(т, г) = -и(т, г + -). (9)

Решения (4) выражаются через решения (9) следующим образом

x(t) = е^Це^г^2"1 + 0(c) - Л + o(l))t)(l + о(1)).

Следующие четыре параграфа первой главы, е §3 по §6, посвящены локальной динамике уравнений с двумя запаздываниями вида

х + х = ox(i - Т) + bx(t -Ti) + f(x,x(t - T),x{t - 7i)), 0 < T < Tj. (10)

В третьем параграфе изучается уравнение (10) в случае, когда одно запаздывание является большим, а второе имеет порядок 1, т.е. Tj = г"1, а параметры в, Ь и Т как-то фиксированы. Отдельно исследуется ситуация, когда слагаемое с большим запаздыванием входит с малым множителем, т.е. Ь = T~qb\. Описаны известные результаты2, а также ряд новых результатов,

В пункте 3.1 содержится постановка задачи об исследовании локальной динамики уравнения (10).

В пункте 3.2 исследуется расположение корней характеристического уравнения, выделяются критические случаи. Вводятся константы Оо(Т) и К = Ьо(Г,а).

Лемма 2. Пусть а > 1, либо я < ао(Т), либо |Ь| > V. Тогда при всех достаточно малых е > 0 в произвольно фиксированной (но не зависящей от е) окрестности нулевого состояния равновесия уравнения (19) нет устойчивых решений.

Лемма 3. Пусть |Ь| < Ьц, ао(Т) ^ а < 1. Тогда при всех достаточно малых £ все решения (10) из малой (но не зависящей от €) окрестности нуля стремятся к нулю.

Таким образом, критические случаи возникают при условии ао(Т) ^ а ^ 1 иЬ = Ьо(Г,а).

В этом же пункте изучается ситуация oq(T) < о < 1. Полагая параметр Ь близким к критическому значению, получим что локальная динамика (10) описывается одним комплексным параболическим уравнением. Если 6 = t*o + то это уравнение имеет вид

~ = ¿it^j + + d3и + du|u|2, «(г, г) = и(т,г +1). (11)

1 К'Шу ИЪХ!. С.А. bnf]>_V|)K»lllHMMIL,ie IK'vrfV'lirk/r I M CltHJ'yjjH]H)l> «'HWVIltllll'JLT yJH.HH'144 С 1ЛЛаСЧЫ1,»»-НГ»1

I C.A, Кащгако // Сибирский интематпческиП журнал. — Т. 40. — №3, — 1999. — С. 567-572.

Если Ь = Ьо + £pbi (0 < р < 2), то мы получим семейство краевых задач, зависящее от непрерывного параметра и>

~ = dj^ + bxu + du\u\\ и (т, г) = и (г, г + . (12)

Отметим, что в обоих случаях Re di > 0. Формула, показывающая связь решений уравнения (10) и нормализованной формы, имеет вид: для уравнения

(Н)

s(t) = е et(l - е<р'М) + к.с.) (1 + о(1)), а для уравнения (12)

»(«) = ер/2 Л-в-£p/V'(w0))i) + к.с.) (1+о(1)).

В пункте 3.3 исследуется случай, когда коэффициент а близок к ао(Т) или к 1. Тогда Ц = 0. В этом случае структура нормализованных форм резко меняется. Пусть а = 1 + epai, Ь = epb\ (р > 0). ТЪгда динамика исходного уравнения (10) описывается поведением решений скалярного уравнения с одним запаздыванием

(1 4- T)J£ = Bl£(r) + Ъ£(т - г*"1) + Ж2- (13)

Особый интерес представляет то, что при р < 1 это уравнение является уравнением с большим запаздыванием.

Решения (10) выражаются через решения (13) следующим образом:

*(() - ^(£^4(1 + о(1))(1 + 0(1))-

Если же a = ao(T) b — epb\ (р > 0), то аналог уравнения (13) имеет

вид комплексного уравнения с запаздыванием

^-Л^В^т-е*"1)**,!^. (14)

Также, если р < 1, то мы имеем уравнение с большим запаздыванием.

Решения уравнения (10) записываются через решения (14) с помощью формулы

х(() = ^ + (1 + о(1)).

В четвертом параграфе первой главы рассматривается уравнение (10) в случае, когда оба запаздывания являются большими, различающимися иа константу числами

Т = е--1, Тг = Г(1 + ее), 0 < € 1. 10

В пункте 4.1 ставится задача исследовать локальную динамику, а также приводятся некоторые необходимые условия асимптотической устойчивости нулевого решения. Выделяются критические случаи, аналогичные рассмотренным в §2. Они имеют моего, когда величина Ja 4- Ь\ близка к 1.

В пункте 4.2 исследуется динамика » случае, близком к критическому, при условии близости л -5- Ь к 1. В предположении

U = «.о + Лц, = ^ + «-0 + ^ = 1, l+ooV-^O, 0 < р < 2

строятся уравнения, играющие роль нормальных форм. Такие уравнения имеют вид параболической краевой задачи

Он 1 + яцЬрС3 0-и , , . , ч . , 2 д? = —-+ («i + h )« + /ги

с некоторыми краевыми условиями. Прнр = 2 они имеют вид

«(т,г) = и(т,г + 1},

а при 0 < р < 2

к(т, J-) = к(т. Г -i---).

Таким образом при 0 < р < 2 нормализованная скорма является семсНетком краевых задач, зависящим от параметрам.

В пункте 4.3 разбирается похожая ситуация, когда а + Ь близко к —1. П1Х1Дполагается, что

a = üQ~£pai, b = «о + í>o = — 1, 1+aoJoc2 > О, U<p<2.

Нормализованные формы, полу чающийся в этом пункте, нрир = 2 имеют вид

I=+(Я1+6i)w+&+^ и{т'r)=r+

Если 0 < р < 2, то получаем сомсйетво краевых задач

ди 1 + а^бос2 02и , , . ,,, . , . тг.

=-f^foZ + + bi í" + № + = r +

зависящее от непрерывной) параметра и-1 > 0.

Пункт 4.4 посвящен критическим случаям на больших модах, которые вшникают при выполнении условий |« + Ь| < 1 и близости «i к н<жоторой конетнте Дэ.

Пусть а = «о + t^Oj, Ь = ¿о + £РЬ\, («а + < 1 и 1ц>Ьц = Д. Тогда в качестве нормализованной формы мы получим комплексное параболическое уравнение (Re di > 0)

д-и ,'ди , i ,2

Краевые условия при р = 2 имеют сад

•и(т,г) = и{т,г+1),

а при 0 < р < 2

м(тгг) = и {г,г --).

и>

Формула, связывающая решения но рмалнтздван и ой с|>ормы и уравнения (10) записывается как;

= £(1 + о(1))0 + к.с.) (1 + о{1)).

Наконец, к пункте 4.5 кратко рассматривается более общая ситуация

Т = €-1, ^-^И-Е'с), 0<е«1, 0 < д < 1,

а = ао + £*'аь Ь = 6о +

Здесь р* некоторым образом выражается через ц. Для этой ситуации исследуется локальная динамика в окрестности нуля, строятся области асимптотической устойчивости и неустойчивости, В критических случаях, которые здесь возникают только когда |а| + ¡¿>| —> 1 при £ —> 0, строятся уравнения, играющие роль нормализованных форм. Оказывается; что существенно различными являются результаты в случаях 0

Если ^ г/ < 1. то в качестве нормализованных форм получаются нелинейные параболические уравнения с периодическими или ангнпериодическими красными условиями, в зависимости от знаков ао и

Если 0 < у < то нормализованные формы имеют вид параболических нелинейных краевых задач с двумя пространственными переменными. Точный их вид, атакже краевые условия :мшисят от знаков «о и 6ц, Так, например, при <К) ^ О, Ьг) > 0 получаем

ди аобос2 {д2ил2 пдги л <Ри\ . ь , , ,

м(т, г, а) = и(т, г + 1,5) = ¡¿(г. г, д + 1).

В пятом параграфе нерпой славы изучается динамика ураннения (10) в ситуации, когда оба запаздывания большие, пропорциональные друг другу величины:

Т = р Т, = + О < а < 1, 0 < г < 1.

В ну н к те 5,1 приводится постановка задачи и разбирается случай ирра-шюналыют значения к(,.

Далее M» предполагается рациональным числим ко = В пункт«; 5.2 описывается ситуации а ^ О, Ь ^ 0. Выделяются критические случаи и строятся н ормал изованн ы е случаи. Как оказывайся, р^чультаты существенно завнгят от значения п. Отдельно рассматриваются случаи п — 1, ^ < « < 1. а = 5 ii 0 < « <

В пункте 5,3 предполагается, что а < 0 л Ь < D. Ситуация 0 < л < 1 разбирается полностью аналогично предыдущему случаю. Если же« = 1, то результаты несколько меняются. В частности, значения а п Ь, при которых реализуете» критический случай зависят от tri и п.

Пункты 5.4 и 5.5 посвящены ситуациям а ^ О, Ь < 0 и а < 0, fi ^ 0 соответственно, Результаты, приведенные здесь, повторяют )>сзультат1>с пункта 5.3.

Два заключительных пункта этого параграфа посвящены выводам и обобщениям. В пункте 5-С делаются выводы и приводятся теоремы, описывающие связь решений построенных нормализованных <(юрм с решениями исходного уравнения, а в пункте 5.7 приводятся обобщения рассмотренной задачи па случай а > 1 и на случай, когда коэффициенты anb отклоняются от критических значений па величину порядка £f (для произвольного р > 0).

Шестой параграф первой главы посвящен ситуации, когда оба запаздывания большие, но различные по порядку. Отдельно там же изучается случай, когда перед слагаемым с самым большим запаздышшнем стоит милый множитель.

В пункте 6.1 рассматривается мучай

= О 0, 0<£Г<1.

s

Hyjieiioe решение уравнении (10) тогда асимптотически устойчиво при [а[ + |6| < 1 и неустойчиво при |й| + |6| > 1. При \a\ + |А>| = 1 возникает критический случай. Положим

а = «о + £2b{,a,, b = Ьо + е2Ь0(>1, |п0| + 1-Ч = 1.

ТЬгда динамика (10) определяется параболическим нелинейным уравнением с двумя п¡>оотранственны ми переменными. Точный вид таких уравнений и краевых условий существенно зависит от знаков а« и Ьп- Например, если «о ^ 0. Ьи > 0, то соответствующее уравнение имеет вид

Ou а»с2д2и 1 -, _ „ iPu «<»с., ,, . 02>1

= Щ1§# + Щ (* ^ + Ж(1 + +

-I- («1 + М" + Ь«2, «(г, г,л) — «(г, г + l,s) = и(т, г. s + 1).

(15)

Здесь 0] = € [0.1) дополняет (ге)-1 до целого числа.

В пункте 6.2 описываются 1>езультлты для более общего случаи. Там предполагается

T--, Л -Г—, с > 0, q> 0.

£ С£У

а = an + ^(íoflj, b = 60 + ^1, |au| + ¡boj = 1, 0 < p < 2q, p < 2.

Нормали-юванные формы, как оказывается, зависит от соотношения между р и q и. как и ранее, от знаков оо и Ьц, Так, если an ^ 0, Ьо > 0, 0 < q < 1, а р = 2q. то нормализованная форма имеет вид уравнения, такого же как и (15), но с другими краевыми условиями:

2тг

tí(r, r,s) = u(r,r Ч--, s) = w(r,r, s +1).

10

Если выполнено 0 < q < 1 и 0 < р < 2q или q > 1 и О < р < 2, то нормализованная форма для уравнения (10) в этом случае принимает вид двупараметрического семейства краевых задач, зависящего от положительных параметров

Qu Oq,<? Oßu , 1 öhi лос (Рп

* = -щж + щ ё? ■+ цыГ*+ ++Лв* tic)

2тг 2T

. «(т,г,в) = u(r,r4--,») = м(т,г,« +—). (17)

Наконец, если q > 1, р — 2, то получаем однопараметрическое семейство краевых задач, зависящее от непрерывного положительного параметра о/. Уравнспио здесь в точности совпадает с уравнением (16), а краевые условия имеют вид

2тг

ы(г, г, $) = ы(т. г + l.s) = и (т, г. ,ч Н--).

LJ

В пунктах С.З и G.4 изучается влияние малого множителя перед слагаемым с самым большим запаздыванием. В п. С.З предполагается, что

1 с

Т = Ti = Ь = е2Ь(ь a = ao(l + £2а()> с > 0 < sc 1.

Критические случаи возникают, когда параметр ао — ±1. Если пц = 1, то нормализованная форма имеет вид одного уравнения параболического типа с запаздыванием и отклонением пространственной переменной

Ir ~ + + bo'a(7"~fi<r+ + "(т, г) = u(r,r+ 1).

Если «о = —lt то соответствующее уравнение имеет вид

= + «i« + М(г - с,г + б,) + (/а + Л)«*> "(т,г) = -ti(r,г + 1). В пункте С.4 полученные ¡»езультаты обобщаются па (случай Т = i, Ti = Ь = а = е > 0, <¡ > 0, 0 < р^ q, р ^ 2.

Аналогично предыдущему, если од = 1, то нормализованная форма исходного уравнения (10) представляет собой однопараиетрнчес кое семейство краевых задач с запаздыванием и отклонением пространственной переменной следующего вида:

Зт = + °1и + ~~ Г + ^ + ~ Г +

Если ац — —1, то соответствующее уравнение записывается а виде

% = ~^ + ^и+Ь0и{т~СЕГ'',г+в1) + (/1 + Г3)и3, «(Г,г) = -«(г.г + 5).

Необходимо отметить, что если р < д, то величина запаздывания по т в этих уравнениях становится асимптотически большой.

В параграфах 7 и 8 рассматривается локальная дикамнка уравнений с распределенным на асимптотически большом отрезке запаздыванием. Седьмой параграф первой главы посвящен уравнениях! с линейно распределенным запаздыванием о

¿ + т = У" (а + Ь^) х(1+ $)<& +/(х), Т= 0<е<£1, (18) -Г

В пункте 7.1 приводится постановка задачи.

Пункт 7.2 посвящен исследованию расположения корней характеристического уравнения а построению асимптотики корней, стремящихся к мин мой оси при е —► 0, в критических случаях.

В последующих пунктах разбираются критические случаи, п строятся нормализованные формы. В пункте 7.3 изучается локальная динамика уравнения (18) при значении Ь близком к нулю. Приведем основные результаты. Если Ь — е?Ьх, то нормализованная форма уравнения (18) имеет вид

с краевыми условиями

1

«(г, г) — и(т, г + 1), J и(т, г) йт = 0. о

Аналогично, если Ь = еЩ, 0 < р < 2, то в качестве нормализованной формы получается уравнение (19) с краев ыш1 условиями

21ГШ"1

2тг Г

ы(т,г) = «{т,гН--), I и(т,г)^г = 0.

В пункте 7.4 исследуется случай, когда параметр Ь = 2а + еЬ\ + е2^. Если ¿»1 ф —2, то нормализованное уравнение получается линейным, следовательно динамика в некоторой окрестности нуля уравнения (18) является очень простой: все решения из некоторой фиксированной окрестности либо стремятся к нулю, либо покидают эту окрестность. В случае 61 = —2 построенная нормализованная форма имеет вид нелинейного параболического уравнения (ЛГ(и) — это среднее значение функции и)

ди 2а + 1д1и ¡>2 2Ьг,,. ,

5? = -2а^+аи + -М(">-

2/г Гди

~ - 2иМ{и) - М(иг) + 2(М(и))2)

с дополнительными краевыми условиями: и принадлежит замыканию линейного пространства, натянутого на функции ехр(гш*г)

где и>к — это решения уравнения (2 + ¿и^) ехр(—го^) = 2 — ¿ш*.

В пункте 7.5 изучается динамика (18) в критическом случае на больших модах. Предполагается, что

а< 0, 2а + 1 <0, Ь = а± + 4а) + еЬг +

При Ь\ ф —1 2ау/—(1 + 4а)-1 нормализованная форма принимает вид следующего уравнения:

¿и = _4а±2(1±Ьй^Ш±Ми + ¡>фрщ

йг 1 + 4а

Здесь и = и(т,г) при каждом г является комплексной периодической функцией параметра г с периодом 1.

Если 61 = —(1 + 4а)-1, то роль нормальной формы в этом случае играет уравнение

^ = (с*! + + № + + (¿5 + + /Ни]1,

с краевыми условиями

и(т,г) = и(т,г 4- 1).

В восьмом параграфе первой главы изучаются уравнения с периодически распределенным запаздыванием

о

х + х = а J сое(^)х(* + + /(х), Г = 0 < € < 1. (20) -т

В пункте 8.1 приведена постановка задачи и выделены критические случаи. В пункте 8.2 разбирается динамика (20) в критическом случае, возникающем при <т = 2тгп. Основной результат состоит в том, что нормализованная форма имеет вид бесконечномерной системы ОДУ (21).

^ = А*а?*-2/|А^ £ б^3.^"'1 " ^ -

(21)

- У,

Пункт 8.3 посвящен критическому случаю, возникающему при условии а ~ (2п — 1)тг. Показано, что нормализованная форма в этом случае имеет вид

ди 2а + 1д2и 1 , я^ЛГ2. , 2/| + 3/3 Л ..

дт 2а? ду2 а2 ду а2 a dy (о<}\

с краевыми условиями

1

и(т, у) = -и(г, у + 1), J cos(7rJVy)u(r, у) dy = 0. (23)

о

1

Здесь обозначено ||«]Р = fu2(r,y)dy, a J{u) — это первообразная функции

о

и по параметру у, удовлетворяющая тем же краевым условиям.

Последний, девятый параграф первой главы содержит итоги, обобщения и сравнение полученных результатов.

Вторая глава посвящена применению разработанных методов и алгоритмов для изучения динамики уравнения Огюарта-Ландау

¿ = [а + 6|гр]г + се"г(1-Г). 1 (24)

Многие результаты этой главы без существенных изменений распространяются на более сложное уравнение

z = [а + (-1 + ib)\z\2\z + 7oz(t - Т) 4- gz2(t - Т). (25)

В первом параграфе второй главы описывается локальная динамика уравнения, (24) как в случае фиксировашюго запаздывания, так и в случае большого запаздывания. В пункте 1.1 строится характеристическое уравнение и исследуется расположение его корней. При большом запаздывании в

выделенных критических случаях приводится асимптотика корней, стремящихся к мнимой оси.

В пунктах 1.2 - 1.4 исследуется динамика в критических случаях при фиксированном значении запаздывания. В пункте 1.2 рассматривается критический случай одного мнимого корня, в пункте 1.3 — критический случай нулевых корней, а в пункте 1.4 разбирается критический случай двух пар чисто мнимых корней.

В пункте 1.5 изучается поведение решений (24) при достаточно большом запаздывании Т = г-1 (0 < г 1). Относительно параметров а, с и б предполагается что

а = оо + («о < 0)) с = -ао + дс|, 6 = ¿о -I- ^¿ь

где 0 < /1 « 1 еще один малый параметр. Далее в пункте последовательно изучается локальная динамика уравнения (24) в этом случае при условиях ¿¡о = 0, ¿¡о = 7г и <?о ^ 0, тг, а также ц = е2 я /л = е.

Показано, что при условии <5о = 0, = е2 уравнение, играющее роль нормальной формы для (24), имеет вид комплексного параболического уравнения

ди 1 д2и \ ди . . , ,, , . ,„..

^ = + Ц ЭГ+^+ и(Т'Г + Х) = и(г'Г)' (2б)

Для уравнения (25) аналогичные построения приводят к уравнению

ди 1 д2и 1 ди й1С1 — аог<$о д 2 , . / \

При условии ¿0 = тг, ^ = еа соответствующее уравнение для (25) принимает вид

(27)

При ¿о 5й 0,тг и {I = £2 нормализованная форма, имеет вид (26). Если {1 = £, то нормализованные формы принимают вид однопараметри-ческого семейства краевых задач, зависящего от непрерывного параметра ы. Уравнения в этих задачах имеют такой же вид, как и прн (I = е2, меняются только краевые условия. Вместо периодических краевых условий, как в задаче (26), появляются условия

, 2зг, , ,

и(г, г Ч--) = к(т, г).

и}

Вместо антипериодических краевых условий, как в задаче (27), имеем

и(т,г-!- —) = — и(т,г). ш

Во втором параграфе второй главы исследуется уравнение Сгюарта-Ландау с отклоняющейся пространственной переменной (0 < г< 1):

1 , ~ + +!+ + 1) = 2(1,х). (28)

о

В качестве трех основных примерок рассмотрены такие кусочно непрерывные функции г(я); при которых интегральная часть краевой задачи (28) принимает вид:

1

1) с! г(1,х + $)<1з\ (29)

о

1

2) — I *((, х + я) нхр(—-) (Ь, а > 0; (30)

(ТЕ J 0

3) + (А>0). (31)

В пункте 2.1 приводится постановка задачи. В пункте 2.2 исследуется уравнение (2$) с интегральной частью (29), Наиболее интересные результаты описываются в пунктах 2.3, 2.4 и 2.5, где изучается динамика (28) с шгте-гральиой частью (30) или (31).

В пункте 2.3 изучается случай, когда пнтаральная часть (28) имеет вид (30). Критические случаи, возникающие здесь бывают двух типов: на малых и больших модах. В критических случаях на малых модах локальная динамика (5) определяется поведением решений параболического уравнения

~ = (а2 + + а2и + Ы[и|2, и(т, г) =«(т,г+ 1). (32)

В критических случаях на больших модах, нормализованная форма, описывающая локальную динамику уравнения (23), имеет вид следующей краевой задачи

£ = -Щ + + (¡0*4++6(|иР + М'К (И)

ы(г,г) = и(т,г + 2*), 1;(г,г) = ъ'(г,г + 2*). (34)

Здесь (I - вполне определенная константа, действительная часть которой отрицательна.

В пункте 2,4 предполагается, что интегральная часть (28) имеет вид (31), причем отклонение аргумента Л является малым, т.е. к = £2тгЛ |, Здесь также

могут возникать критические случаи на малых модах и на больших модах. Построены уравнения, играющие роль нормализованных форм в этом случае, которые имеют такой же вид, как и в предыдущем пункт*}.

В 2,5 также предполагается, что интегральная часть (28) имеет вид (31), a h = hv + ehi. Оказывается, исследование динамики существенно зависит от алгебраических свойств числа 'Гак, если Лг> иррационально, то провести построение нормализованной формы в критическом случае затруднительно. Еата же Лц рационально, то, как и выше, критические случаи бывают на больших и на малых модах. Приводятся соответствующие построения, во многом повторяющие построения пунктов 2.4 и 2,5.

В пункте 2.6 делаются некоторые замечания. Наиболее важным является то, что даже если в уравнении (28) параметр диффузии ¿ = 0, то во многих случаях нормализованная форма все раин о будет имел» вид краевой задачи параболического типа.

Третий параграф второй главы содержит исследование нелокальной динамики. Изучаются вопросы существования и устойчивости бегущих волн, т.е. решений вида

z(t) = гае**.

В пункте 3,1 разбирается случай фиксированного времени запазды вання. Исследуется, к<ндау уравнения {24) существует бегущая полна. Исследуется ее устойчивость. Подробно описывается простейший критический случай — аналог критического случая Андронова-Хопфа. Показано, что при некоторых условиях бегущая волна теряет устойчивость, и в ее окрестности рождается двумерный устойчивый тор.

В пункте 3,2 описывается случай большого запаздывания. Описываются пары 2о, w. ко'торые определяют бегущую волну уравнения (24), строятся некоторые необходимые условия устойчивости таких решений. Выделяются критические случаи, в них конструируются нормализованные формы, которые имеют вид параболических краевых задач с периодическими краевыми условиями,

В заключении кратко приводятся основные результаты и выводы.

В Приложении А описывается нелокальный метод иоепдаения решений уравнепий с запаздыванием па примере уравнения Стюарта-Лапдау.

В Приложении Б приводится расширение метода пограничных функций для построения асимптотики решений уравнений с запаздыванием.

Список публикаций по теме диссертации

|l[ Кащтко, U.C. Асимптотика решений сингулярно возмущенных уравнений с -малым запаздыванием / И.О. Кащенко /7 Труды XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета им. Ломоносова. Москва — 2004 Т. 1. -■ С. 123.

[2] Кащенко. U.C. Алгоритм постр<хшия асимптотического разложения решений начальной задачи сингулярно возмущенного уравнения с малым запаздыванием / И.С. Кащенко // Сов(>еменпые проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студенток / Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. — Ярославль: Яр ГУ, 2004 -- Вып. G. - С. 47 - 54.

[3] Кащенко, И.С. Локальная динамика у ран иен и il первого порядка с большим запаздыванием j И.С. Кащенко // Математические идеи П.Л. Че-бышева и их приложения к совемшным проблемам естествознания. II М«ждупа|>одная конференция. — Обнинск 24-2GЛ 1.2004. —- С. 45 — 46.

|4] Кащенко, И.С. Динамические свойства одного класса ди<]м]>ерениинль-ш.тх уравнений с рас поделенным запаздыванием / И.С. Кащенко // Современные проблемы математики и иш|юрматики: Сборник иаучпых трудов молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гас. ун-т. им. П.Г. Демидова. -■ Ярославль: ЯрГУ. 2005 ■■■ Вып. 7. - С. 133 ■■■ 145.

[6) Кащенко, И.С. Нормализация системы с периодически распределенным запаздыванием / И.С. Кащенко // Труды XXVII Конференции молодых ученых механ и ко-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. — Москва, 2005. — С. 66.

|6| Кащенко И.С, Локальная динамика уравнения первого порядка с периодически распределенным запаздыванием / И.С. Кащенко // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы конференции. ---- Воронеж: ВГТА, 2005, — С. 113.

[71 Кащенко И.С. Нормализация в системе с периодически распределенным запаздыванием / И.С, Кащенко // Современные проблемы математики и ин<1>орматики-. Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студенток / Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. — Ярославль: ЯрГУ, 2005--■ Вып.'8. - С. 83--97.

[8} Кащенко. U.C. Локальная динамика уравнений с периодически распределенным запаздывмниом / U.C. Кащенко //Международная конференция „Тихонов и современная математика". ■■■■ Москва, МГУ им.

М.В.Ломоносова, 19 - 25 июня 2006 г. — Тезисы докладов секции Асимптотические методы". — Издательский отдел ({»акул¡лета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова. ---- С. 58.

(9] Кащенко, Д.С. Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием: ' учебное пособие / Д.С. Кащенко, U.C. Кащенко; Яросл. гос. ун-т. — Ярославль: ЯрГУ, 2006. — 132 с.

[10] Кащенко. И.О. Особенности локальной динамики уравнений первого порядка с большим запаздыванием / И.С. Кащенко / ИЗВЕСТИЯ РАЕН, серия МММИУ, 200G. - Т. 10, ЛП-2. — С. 5 - 50.

Отпечатано на ризографе

Ярославский 1-осударствен11ый университет 150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

Введение

1. Локальная динамика уравнений с запаздыванием

§1. Общие сведения

§2. Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием

§3. Локальная динамика уравнения с двумя запаздываниями

§4. Динамика уравнения с двумя большими „близкими" друг другу запаздываниями

§5. Динамика уравнения с двумя большими пропорциональными запаздываниями

§6. Динамика уравнения с большим и очень большим запаздыванием

§7. Динамика системы с линейно распределенным запаздыванием

§8. Нормализация в системе с периодически распределенным запаздыванием

В настоящее время одним из наиболее активно развивающихся направлений математического анализа являются исследования динамики систем с распределенными параметрами. Эти исследования стимулируются появлением большого числа прикладных задач, для моделирования которых используют такие объекты, как дифференциальные уравнения с запаздыванием. Уравнения такого типа возникают, например, в лазерной оптике [8, 31, 33, 34, 35], электротехнике, радиофизике [9, 23], медицине [26], математической экологии [6, 7], теории нейронных систем [2, 21], при описании процесса резания металлов [22, 29], в системах управления [39] и др.

Изучению уравнений с запаздыванием посвящено значительное и бурно увеличивающееся число публикаций как теоретического, так и прикладного характера. Для многих уравнений, содержащих запаздывание, хорошо зарекомендовали себя классические асимптотические методы, такие как методы усреднения Крылова-Боголюбова, методы пограничных функций в случае сингулярных возмущений [4].

Тем не менее, развитие аналитических методов для систем с запаздыванием явно недостаточно. В силу принципиальной сложности систем с бесконечномерным фазовым пространством особую значимость как для общетеоретических вопросов, так и для решения конкретных прикладных задач приобретает разработка новых асимптотических методов исследования динамических свойств решений.

В работе исследуется динамика уравнений первого порядка с запаздыванием одного из следующих видов х + х = f(x,x(t-T)), (1) х + х = f(x, x(t - T),x(t - ТО) (Тг < Т), (2) о х + х = f(J x(t + s)dr(s)). (3)

-т

Фазовым пространством таких уравнений удобно считать пространство С[г,о] непрерывных на [—Т, 0] функций со стандартной нормой. В этом смысле эти уравнения существенно сложнее обыкновенного скалярного дифференциального уравнения x + x = f (ж), (4) в которое оно переходит при Т = 0. Обыкновенное дифференциальное уравнение (4), как известно, интегрируется в квадратурах. Его решения стремятся либо к состоянию равновесия, т.е. к решению уравнения х = f(x), либо неограниченно растут по модулю при t —» оо. Решения уравнения (1) тоже вычислить достаточно просто. Так, положив в качестве начального условия функцию ip(s) £ С[т,о] (т.е. x(s) = ip(s) при s £ [—Т, 0]), на отрезке t £ [0, Т] приходим к уравнению x + x = f(ip{t-T)), te[0,T], из которого получаем, что при t £ [0, Т] t x(t) = (р(О)е-* + J e~^f(<p{s - Г)) ds. о

Теперь, зная решение х(t) при t е [0,Т], мы аналогично можем получить формулу для x(t) при t £ [Т, 2Т] и т.д.

Замечено, что даже незначительное увеличение времени запаздывания приводит к кардинальным изменениям в динамике системы. Поэтому вопрос о динамике уравнений с большим запаздыванием является очень важным. С другой стороны, как показывают численные расчеты для ряда уравнений (например, для уравнения Хатчинсона), все эффекты большого запаздывания можно наблюдать уже при небольших его значениях. Поэтому особую важность имеет исследование динамики уравнений вида (1)-(2) при условии, что запаздывание является достаточно большим.

Уравнение Стюарта-Ландау z= (а + b\z\2)z + cz(t — Т) является типичным представителем систем с запаздыванием. Кроме того, оно часто встречается в реальных задачах физики, техники, биологии, медицины. В предлагаемой работе предпринята попытка описать динамику уравнения Стюарта-Ландау с использованием разработанных методов. Также, развитые в диссертации алгоритмы позволяют провести локальный анализ динамики уравнения Стюарта-Ландау с отклонением пространственной переменной и малой диффузией (0 < е < 1): 1 dz Г d2z = {а + b\z\2)z + с / z(t, x + s) dr(s) + e2d2—, z(t, x) = z(t, x + 1). о

Перейдем к изложению содержания диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и двух приложений.

Заключение

Остановимся кратко на основных полученных в диссертации результатах.

В первой глава изучалась локальная динамика уравнений с запаздыванием в окрестности состояния равновесия. Основное внимание уделялось случаю, когда запаздывание Т достаточно велико.

В §1 были приведены хорошо известные базовые результаты о динамике уравнения с одним фиксированным запаздыванием.

Во втором параграфе первой главы рассматривалась локальная динамика уравнения с большим запаздыванием x + x = ax(t-T) + f2x2 + f3x5 + ., Т = £-\ 0<е<1. (1)

Было показано, что возникающие здесь критические случаи имеют бесконечную размерность. В критических случаях построены уравнения, играющие роль нормальных форм — нормализованные формы. Так, например, если а = 1 +£2alt то в окрестности состояния равновесия динамика исходного уравнения описывается краевой задачей параболического типа. ди 1 д2и „ о / 1 \ / \

Wr = 2dr*+aiU + и(т,г + 1) =и(т,г).

Интересным результатом является то, что если а = 1 + evai (0 < р < 2), то вместо одной краевой задачи мы получаем семейство краевых задач, зависящее от непрерывного положительного параметра ш\ ди 1 д2и . 2 , . / 27г дт 2 дг2 \ w

Следующие четыре параграфа первой главы, с §3 по §6, были посвящены локальной динамике уравнений с двумя запаздываниями вида х t + x = ax{t-T)+bx(t-Tl) + f{x,x{t-T),x{t-T1)), 0<T<Tv (2)

В третьем параграфе изучалось уравнение (2) в случае, когда одно запаздывание является большим, а второе имеет порядок 1, т.е. Т\ = е-1, а параметры a, b и Т как-то фиксированы. Отдельно исследуется ситуация, когда слагаемое с большим запаздыванием входит с малым множителем, т.е. b = T~vbi.

Если параметр Ъ не мал, то в критических случаях локальная динамика (2) описывается одним комплексным параболическим уравнением. Если b = b0 + e2bi, то это уравнение имеет вид ди д^и он + d3u + du\u\2, и(т,г) =и(т,г + 1).

Если b = b0 + evbi (0 < p < 2), то мы получим семейство краевых задач, зависящее от непрерывного параметра и ди , д2и , , . |2 , ч ( 2тг\ — = di—+ hu + du\u\ , и(т,г) =ulr,r + —\.

Важно отметить, что параметры dj зависят от е через специальную функцию 9(e), дополняющую до целого кратного 27т выражение (где ш0 как то определяется). Так что, динамика нормальной формы при различных е может быть, вообще говоря, разной. Однако, т.к. можно указать такую последовательность еп —> 0, что в(еп) — в(еп+х), то при всех £п динамика нормализованной формы будет одинаковой.

Структура нормализованных форм резко меняется, если считать, что параметр b близок к нулю. Пусть а = 1 + epai, b = epbi (р > 0). Тогда динамика исходного уравнения (3.1) описывается поведением решений скалярного уравнения с одним запаздыванием

1 + Т)^ = а1ат) + Ъ1ат-ер-1) + М2.

Особый интерес представляет то, что при р < 1 это уравнение является уравнением с большим запаздыванием.

Если же а — а0(Т) + £ра\, b = epbi (р > 0), то аналог нормальной формы имеет вид комплексного уравнения с запаздыванием

Также, если р < 1, то мы имеем уравнение с большим запаздыванием.

В четвертом параграфе первой главы рассматривалось уравнение (2) в случае, когда оба запаздывания являются большими, различающимися на константу числами, т.е.

Т = £~\ Тг=Т(1+£с), 0<£<1.

Критические случаи, возникающие здесь, похожи на те, что встречались в предыдущих параграфах. Построенные нормализованные формы имеют вид (вещественных или комплексных) параболических краевых задач с некоторыми краевыми условиями. В зависимости от порядка отклонения параметров от критических значений, мы можем получать однопараметрическое семейство краевых задач.

Здесь же кратко рассматривается более общая ситуация

Т = е~1, T1=T(l + £qc), 0<£<1, 0 < g < 1, а = а0 + £p*ai, b = Ь0 = ep*&i, где р* некоторым образом выражается через q. Оказывается, что существенно новыми являются результаты в случаях 0 < q < Тогда нормализованные формы имеют вид параболических нелинейных краевых задач с двумя пространственными переменными. Точный их вид, а также краевые условия зависят от знаков а0 и Ь0. Так, например, при а0>0,Ь0>0 получаем ди a0b0c2 (д2ип2 д2и д2и д 2и д2и д2и\ дт 2 и(т, г, s) = и(т, г + 1, s) = и(т, Г, S + 1).

В пятом параграфе первой главы изучается динамика уравнения (2) в ситуации, когда оба запаздывания большие, пропорциональные друг другу величины:

Т = Тг = (к0 + £акг)Т, 0 < а < 1, 0 < е < 1.

Оказывается, что исследование динамики сильно зависит от алгебраических свойств числа к0, а также величины а. Если к0 иррационально, то построить нормализованную форму в критических случаях невозможно.

Приведем наиболее интересные результаты для рационального к0 = Если 0 < а < 1, то нормализованные уравнения имеют вид вещественных параболических уравнений с двумя пространственными переменными. Причем коэффициенты этих уравнений могут завить от е через функции 0(e), значения которых бесконечное число раз пробегают полуинтервал [0,1) при £ —> 0.

Если а = 1, то значения параметров а и Ъ, при которых возникает критический случай, зависят от четности то и п. Соответственно, зависит от четности шипи вид нормализованных форм: они бывают либо вещественными, либо комплексными параболическими краевыми задачами с одной пространственной переменной.

Шестой параграф первой главы был посвящен ситуации, когда в уравнении (2) оба запаздывания большие, но различные по порядку. Отдельно там же изучался случай, когда перед слагаемым с самым большим запаздыванием стоит малый множитель. Сначала рассматривался случай

Т=~, Т\ — с > 0, 0<е<1.

С£

В критических случаях динамика (2) определяется параболическим нелинейным уравнением с двумя пространственными переменными. Точный вид таких уравнений и краевых условий зависит от знаков а0 и Ь0. Например, если а0 ^ 0, Ь0 > 0, то соответствующее уравнение имеет вид ди а0с2 д2и 1 . д2и айс.л . . д2и (a-i + bi)u + f2u2, и(т, г, s) = и(т, r + l,s)= и(т, r,s + 1).

Здесь вг = 0i(e) 6 [0,1) дополняет (се)-1 до целого числа. Разобран и более общей случай:

Т\ = Т2 = Тг— с> 0, q> 0. е c£q а = а0+ £pb0ai, b = b0+ £pb0bi, |а0| + |Ь0| = 1, 0 < р < 2q, р < 2.

Нормализованные формы, как оказывается, зависят от соотношения между риди, как и ранее, от знаков а0 и Ъ0. Новым тут является тот факт, что у возникающих параболических уравнений, которые играют роль нормализованных форм, краевые условия могут завить от одного параметра, как в случае ао ^ 0, 60 > 0, 0 < q < 1, р — 2q, либо от двух положительных параметров, как, например, в случае а0 ^ 0, Ь0 > 0, 0 < q < 1 и 0 < р < 2q.

Также в этом параграфе изучается влияние малого множителя перед слагаемым с самым большим запаздыванием. Предполагается, что

1 с

Т = Тг = —, Ъ = е2Ьо, а = а0(1 + £2аг), с > 0, 0 < е < 1.

Как было показано, критические случаи возникают, когда параметр а0 = ±1. Если а0 = 1, то нормализованная форма имеет вид одного уравнения параболического типа с запаздыванием и отклонением пространственной переменной ди 1 д2и дт = 2drZ +a^u + bou(T ~ с'г+ + Ьи2, и(т,г) = и(т,г + 1). Если а0 = —1, то соответствующее уравнение имеет вид ди 1 д2и dr = 2'dr2+aiU + Ь°и<"Г ~ с'r + + (/2 + h)u3, и{т,г) = -и{т,г + 1). Полученные результаты обобщены на случай

Т1 = -, Т2 = ТА Ь = £pb0, а — а0(1 + £pai), с > 0, q > 0, 0 < р ^ q, р < 2. е £q

Аналогично предыдущему, если а0 = 1, то нормализованная форма исходного уравнения (3.1) представляет собой однопараметрическое семейство краевых задач с запаздыванием и отклонением пространственной переменной следующего вида: ди 1 д2и , . . . . п , , , 2-к

ЙГ = т;^ + а^и + ьоЩг-с£р q,r + d1)+f2u , u r,r = и{т,г + —). дт 2 дг2 ш

Если а0 — — 1, то соответствующее уравнение записывается в виде $'LL 1 CP'XL 7Г

Гт = 2д? + + ~ С£Р~"'г + ^ + + ^ = г +

Необходимо отметить, что если р < q, то величина запаздывания по г в этих уравнениях становится асимптотически большой.

В параграфах 7 и 8 рассматривалась локальная динамика уравнений с распределенным на асимптотически большом отрезке запаздыванием. Седьмой параграф первой главы посвящен уравнениям с линейно распределенным запаздыванием о х + х = J (a + b^Jx{t + s)ds + f(x), Т = 0<е<1. (5)

-т

Приведем вид нормализованных форм, возникающих в критических случаях у этого уравнения. Если b = e2bi, то нормализованная форма уравнения (5) имеет вид ди 2а+ 1 д2и 1 д f дт 2a2 dr2+hlU~ u(T>r)=u(T>r + 1)> Ju{T,r)dr = 0. (6) о

Аналогично, если b = epbi, 0 < р < 2, то в качестве нормализованной формы получается

2тг ш~1 уравнение (6) с краевыми условиями и(т,г) = и(т,г + f u(r,r)dr = 0. Здесь ш — о это произвольное положительное число.

Когда параметр b = 2a+£bi+£2b2 и b\ Ф -2, то нормализованное уравнение получается линейным. В случае Ьг = —2 построенная нормализованная форма имеет вид нелинейного параболического уравнения (М{и) — это среднее значение функции и) ди 2а + 1д2и Ь2 2Ь2^т, . 2/2 (ди^г. , Л , „Л

Т" = ^-^Т + -и+—М(и) - — тМи - 2 иМ(и) - М{и2) + 2 Ми 2 дт 2а2 дг2 а а а \ог J с дополнительными краевыми условиями: и принадлежит замыканию линейного пространства, натянутого на функции ехр(шкг): и £ Lin^xp^u^OK^-oo' гАе — это решения уравнения (2 + iuik) ехр(~шк) — 2 -шк.

В пункте 7.5 изучается динамика (7.1) в критическом случае на больших модах. Предполагается, что а < 0, 2а + 1 < 0, b = а ± + 4а) + еЪ\ + £2Ъ2. При bi ф 2ал/-(1 + 4а)-1 нормализованная форма принимает вид следующего уравнения: du 4a±2(l + b1)J-{l + 4a) . |2 =--——f-и + Du\u\. dT 1 + 4 а 11

Здесь и = и(т, г) при каждом т является комплексной периодической функцией параметра г с периодом 1.

Если bi = -1 + 2ал/-(1 + 4а)-1, то роль нормальной формы в этом случае играет уравнение

9и ,, .,. <д2и ., ., .ди ,. ., , ^ I |2 — = (d1 + + (й3 + — + (й5 + td6)u + Du\u\ . с краевыми условиями и(т,г) = и(т,г + 1).

В восьмом параграфе первой главы изучались уравнения с периодически распределенным запаздыванием 0 х + х = а I cos(^)x(t + s)ds +f(x), Т = 0 < е < 1. (7)

J Т £

-т

В критическом случае, возникающем при а = 2im,нормализованная форма имеет вид бесконечномерной системы ОДУ dik S с „ ,2; с \ " С с ЗЛ/г+тд — ~ Aml dT ~ Afcl " Xml З/зА/ci^ £ imi-m-тпфО,±п

В критическом случае, возникающем при условии а = (2n - l)ir, показано, что нормализованная форма имеет вид ди 2а +1 д2и ldu n2N2 2/| + 3/3 d 2

Т" = О 2 я 2 + +—2~(а + 1)и--тЩ\и + дт 2а2 ду1 а1 ду а1 a dy

7r4iV4 2 тг4Л% 7^(2/1+ 3/з) „ 3 + J(U)-J(U)----JHHI) с краевыми условиями 1 и{т,у) = -u(r,y + 1), I cos{irNy)u{T,y)dy = 0. о 1

Здесь обозначено ||и||2 = f u2{r,y)dy, a J(«) — это первообразная функции и по параметру о у, удовлетворяющая тем же краевым условиям.

Вторая глава посвящена применению разработанных методов и алгоритмов для изучения динамики уравнения Стюарта-Ландау z = [a + b\z\2]z + ceiSz(t-T). (8)

В первом параграфе второй главы описывается локальная динамика уравнения (8), как в случае фиксированного запаздывания, так и в случае большого запаздывания. В критических случаях строятся нормальные формы.

В случае большого запаздывания, в качестве нормальных форм мы получаем комплексные параболические уравнения.

Показано, что при условии 50 = 0, ц = е2 уравнение, играющее роль нормальной формы для (8), имеет вид комплексного параболического уравнения ди 1 д2и 1 ди . , | ,2 / ч / v ь = ' «(г,г+1)=«(т,г).

При условии <50 = 7г, fi — е2 соответствующее уравнение принимает вид ди 1 д2и 1 aiCi — a0i50 . |2 , . . , = -7Г"з^ТТ + -п ~ ■—--—и + ЩЩ и, и{т,г + 1 = ~и(т,г). дт 2% дг1 ад а0

Если у — е, то нормализованные формы принимают вид однопараметрического семейства краевых задач, зависящего от непрерывного параметра и). Уравнения в этих задачах имеют такой же вид, как и при у = е2, меняются только краевые условия. Вместо периодических краевых условий появляются условия и(т, г -\--j = щт, г).

LO

Вместо антипериодических краевых условий имеем 2тгч . и(т,г -|--) = -и(т,г).

LO

Во втором параграфе второй главы исследуется уравнение Стюарта-Ландау с отклоняющейся пространственной переменной (0 < е <С 1): X dz Г d2z = [а + b\z\2]z + / dr(s) z(t, х + s) + z(t, x + l) = z(t, x). (9)

Это уравнение было изучено при нескольких наиболее типичных функциях r(s).

Оказалось, что метод, разработанный для уравнений с большим запаздыванием, применим и для исследования динамики таких уравнений. Интересно отметить, что в некоторых случаях нормализованная форма имеет вид следующей краевой задачи ди 1 д2и ди 1

57 = ^d~ + ied— + (-e2d + a1)u + b(\u\2 + \v\2)u,

Qy 23 v 3v 1

57 = 2dd^ + md^ + i292d + ai)v + m2 + lvl2)v' и(т,г) — и(т,г + 27г), v(t, г) = v(t, г + 27г).

Здесь d - вполне определенная константа, действительная часть которой положительна.

Важным здесь также является и то, что даже если в уравнении (9) параметр диффузии 5 = 0, то во многих случаях нормализованная форма все равно будет иметь вид краевой задачи параболического типа.

Третий параграф второй главы содержал исследование нелокальной динамики. Изучались вопросы существования и устойчивости бегущих волн, т.е. решений вида iuit z(t) = z0e

В случае большого запаздывания описаны пары z0, ш, которые определяют бегущую волну уравнения (8). Были построены некоторые необходимые условия устойчивости таких решений. В критическом случае сконструирована нормализованная форма, которая имеет вид параболической краевой задачи с периодическими краевыми условиями: ди „д2и — 1 + ib. , ,,

57 = rd? + 2Г ( + и')' и^r) = <т'г + ^

1. Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд. — М.: Наука, 1978.

2. Ахромеева, Т.С. Нестационарные структуры и диффузионный хаос / Т.С. Ахромеева, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, А.А. Самарский — М.: Наука, 1992.

3. Брюно, А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений / А.Д. Брюно. М.: Наука, 1979.

4. Бутузов, В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / В.Ф. Бутузов, А.Б. Васильева. — М., 1973.

5. Васильева, А.Б. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией. / А.Б. Васильева, С.А. Кащенко, Ю.С. Колесов, Н.Х. Розов // Матем. сборник. 1986. - 130 (172). - №4(8). - С. 488-499.

6. Горяченко, В.Д. Исследование динамики численности отдельной популяции с учетом последействия. Краткий обзор / В.Д. Горяченко // В сб. Нелинейные колебания и экология. ЯрГУ. — Ярославль, 1984. — С. 66-83.

7. Горяченко, В.Д., Прикладные задачи устойчивости систем с запаздыванием / В.Д. Горяченко, А.Д. Капустин. — Горький, 1988.

8. Григорьева, Е.В. Установившиеся автоколебания в лазерах с запаздывающей обратной связью / Е.В. Григорьева, С.А. Кащенко // ЖЭТФ, 1994. Т.106. - Вып. 1 (7).- С. 79-105.

9. Дмитриев, А.С. Стохастические колебания в радиофизике и электронике / А.С. Дмитриев, В.Я. Кислов. — М.: Наука, 1989.

10. Кащенко, Д.С. Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием: учебное пособие / Д.С. Кащенко, И.С. Кащенко; Яросл. гос. ун-т. Ярославль: ЯрГУ, 2006. -132 с.

11. Кащенко, И.С. Алгоритм построения асимптотического разложения решений начальной задачи сингулярно возмущенного уравнения с малым запаздыванием / И.С. Кащенко // Современные проблемы математики и информатики. Вып.6. Ярославль, 2004. С. 47-54.

12. Кащенко, И.С. Асимптотика решений сингулярно возмущенных уравнений с малым запаздыванием / И.С. Кащенко //Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета им. Ломоносова. Москва, 2004. — Т. I. — С.123.

13. Кащенко, И.С. Динамические свойства одного класса дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием / И.С. Кащенко // Современные проблемы математики и информатики, Вып.7. — Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2005. — С. 138-145.

14. Кащенко, И.С. Нормализация в системе с периодически распределенным запаздыванием / И.С. Кащенко // Современные проблемы математики и информатики Вып.8

15. Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2006. — С. 83-97.

16. Кащенко, И.С. Особенности локальной динамики уравнений первого порядка с большим запаздыванием / И.С. Кащенко / ИЗВЕСТИЯ РАЕН, серия МММИУ, 2006. -Т. 10, № 1-2. С. 5-50.

17. Кащенко, С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной / С.А. Кащенко // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - №8. - С. 1448-1451.

18. Кащенко, С.А. Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций двухком-понентных систем с малой диффузией / С.А. Кащенко //Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - №2. - 9 с.

19. Кащенко, С.А. Уравнения Гинзбурга-Ландау — нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием / С.А. Кащенко // Журнал Вычисл.матем. и матем. физ. — 1998. — Т.38. — №3. С. 457-465.

20. Кащенко, С.А. Бифуркационные особенности сингулярно возмущенного уравнения с запаздыванием / С.А. Кащенко // Сибирский математический журнал. — Т. 40. — №3. 1999. - С. 567-572.

21. Кащенко, С.А. Бифуркации в окрестности цикла при малых возмущениях с большим запаздыванием. / С.А. Кащенко // Журнал Вычисл. матем. и матем. физ. — 2000.- №4.

22. Кащенко, С.А. Об одном дифференциально-разностном уравнении, моделирующем импульсную активность нейрона / С.А. Кащенко, В.В. Майоров // Математическое моделирование. 1993. - Т. 5. - №12. - С. 47-58.

23. Клушин, М.И. Резание металлов / М.И. Клушин. — М.: Машиностроение, 1958.

24. Ланда, П.С. Автоколебания в распределенных системах / П.С. Ланда. — М.: Наука, 1983.

25. Майстренко, Ю.Л. Разностные уравнения и их приложения / Ю.Л. Майстренко, Е.Ю. Романенко, А.Н. Шарковский — Киев: Наук, думка, 1986.

26. Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. — М.: Мир, 1980.

27. Марчук, Г.И. Математическая модель противовирусного иммунного ответа / Г.И. Марчук, Р.В. Петров // Препринт №10, отдел вычислит, математики АН СССР.- Москва. 1981.

28. Халанай, А. Системы с запаздыванием. Результаты и проблемы / А. Халанай // Сб. переводов „Математика" 10:5. — 1966. — С. 85-102.

29. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. — М.: Мир, 1984.

30. Эльясберг, М.Е. Об устойчивости процесса резания металлов / М.Е. Эльясберг // Известия АН СССР, ОТН. №9. - 1958.

31. Bestehorn, М. Order parameters for class-B lasers with a long time delayed feedback. / M. Bestehorn, E.V. Grigorieva, H. Haken, S.A. Kaschenko // Physica D. — Vol. 145(2000) P.111-129.

32. Gibbs, H.M. Observation of Chaos in Optical Bistability / H.M. Gibbs, F.A. Hopf, D.L Kaplan, R.L. Shoemaker // Phys. Rev. Lett. 1981. - V. 46. - №7 - P. 474477.

33. Hauptmann, C. Control of spatially patterned synchrony with multisite delayed feedback / C. Hauptmann, Y. Maistrenko, 0. Omel'chenko, 0. Popovich, P.A. Tass // Phys. Rev. In paper.

34. Ikeda, K. Multiple-Valued Stationary State and Its Instability of the Transmitted Light by a Ring Cavity System / K. Ikeda // Opt. Comm. 1979. - V.30. - №2 - P. 257-261.

35. Ikeda, K. Optical Turbulence: Chaotic Behavior of Transmitted Light from a Ring Cavity / K. Ikeda, H. Daido, 0. Akimoto // Phys. Rev Lett. 1980. - V 45. - №9. - P. 709-712.

36. Ikeda, K. Successive Higher-Harmonic Bifurcations in Systems with Delayed Feedback / K. Ikeda, K. Kondo, 0. Akimoto // Phys. Rev. Lett. 1982. - V. 49. - №20 - P. 1467-1470.

37. Johnston, G.L. Time delay effects on coupled limit cycle oscillators at Hopf bifurcation/ Johnston G.L., D.V. Ramana Reddy, A. Sen // Physica D 129 (1999) - P. 15-34.

38. Johnston, G.L. Dynamics of a limit cycle oscillator under time delayed linear and nonlinear feedbacks / Johnston G.L., D.V. Ramana Reddy, A. Sen // Physica D — 144 (2000) P. 335-357.

39. Kuramoto, Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence / Y. Kuramoto — Springer, Berlin Heidelberg New York, 1984.

40. Mackey, M.C. Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems / M.C. Mackey, L. Glass // Science. 1977. - V.197. - №4300. - P. 287-289.

41. Stokes, A. On the approximation of nonlinear oscillation / A. Stokes // Труды 5-й международной конференции по нелинейным колебаниям, Киев. — 1970. — Т.2. — С. 480-491.