автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамических систем с запаздыванием на основе интегрального квадратичного критерия

Введение.

Глава 1. Оптимальная стабилизация системы автоматического регулирования, описываемая уравнением запаздывающего типа n-го порядка при наличии интегрального слагаемого.

1.1 .Задача оптимальной стабилизации динамических систем с запаздыванием по времени.

1.2. Синтез оптимального управления динамических систем с запаздыванием, описываемых уравнением n-го порядка при наличии интегрального слагаемого.

1.3. Оценка коэффициентов оптимального управления.

1.4. Ограниченность функционалов в оптимальном управлении.

Глава 2. Линейные модели оптимальных регуляторов систем с запаздыванием.

2.1 .Построение моделей линейных систем первого порядка с запаздыванием по воздействию регулятора.

2.2.Построение линейной модели регулятора системы первого порядка с запаздыванием по состоянию.

2.3. Модель линейного оптимального регулятора для систем, описываемых уравнением n-го порядка с запаздыванием по времени.

2.4. Информационная технология моделирования систем с запаздыванием.

ГлаЬа 3. Математическое моделирование процессов с запаздыванием по времени в прикладных технических задачах

3.1. Анализ процесса неустойчивого горения компонентов топлива в камере жидкостного ракетного двигателя.

3.2. Математическая модель стабилизации горения топлива в ЖРД.

3.3. Решение задачи автоматического регулирования горения топлива в ЖРД.

3.4. Метод вычисления параметров системы автоматического регулирования температуры дизелей тепловозов ТГМ8, ЧМЭ2,

ЧМЭЗ.

3.5.Анализ результатов численного моделирования.

Математическое моделирование и численный эксперимент широко используются при решении различных задач математической физики, в частности для верификации результатов синтеза динамических систем. Использование математических методов дает возможность проводить теоретические исследования в более тесной связи с экспериментальными исследованиями. Как отмечает А.А. Самарский [77], основу математического моделирования составляет триада «модель-алгоритм-программа». На первом этапе аналитическими средствами прикладной математики исследуется математическая модель изучаемого процесса. Второй этап связан с разработкой аналитического алгоритма для реализации модели на компьютере. На третьем этапе создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере.

Эта работа посвящена исследованию математических моделей, ядро которых составляют дифференциальные уравнения с запаздыванием по времени, используемые для описания многих процессов из физики, биологии, физической кинетики, экономики и других отраслей [30, 72, 76]. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений для этих процессов не являются удовлетворительной математической моделью, так как при появлении последействия число степеней свободы механической системы становится бесконечным и, следовательно, решение дифференциальных уравнений, описывающих ее движение, не выражается в конечных комбинациях известных функций. Это обстоятельство порождает ряд специфических проблем при моделировании, которые могут быть устранены применением качественно иного математического аппарата. Более адекватное математическое описание дают дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, основные результаты в изучении которых получены в работах Н.Н. Красовского [31-35], В.Б. Колмановского и В.Р.

Носова [10,91], А.Д. Мышкиса [64], Ю.С. Осипова [68], Л.Э. Эльсгольца [20, 82], Р. Беллмана, К. Кука [12], С.Н. Шиманова и Е.М. Маркушина [61-63], Н.В. Азбелева [2,3].

Теория систем с запаздыванием широко используется при разработке методов стабилизации многих процессов. Однако до сих пор большой интерес представляет задача разработки различных аспектов теории стабилизации таких систем [ 1,6,7,8,76].

В частности в теории оптимальной стабилизации существенную роль играет использование квадратичного критерия качества [28, 86, 93]. Для динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, такой подход играет особую роль для построения стабилизирующих воздействий, так как коэффициенты матрицы усиления легко вычисляются на основе решения алгебраического уравнения Риккати [28].

Однако теория интегрально-квадратичной стабилизации систем с запаздыванием, инициированная Н.Н. Красовским [33] и продолженная в [29, 59, 88, 90], не является до сих пор завершенной.

Целью этой работы является разработка математических моделей управляемых систем на основе интегрального квадратичного критерия и метода вычисления квадратичных функционалов для уравнений с запаздыванием, а также их применение к моделированию работы конкретных устройств.

В основе применяемого автором подхода к исследованию переходных процессов, лежит идея о приведении дифференциального уравнения с запаздыванием к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, выдвинутая С.Н. Шимановым [80] и разработанная Е.М. Маркушиным [59], вследствие чего от анализа системы с последействием, можно перейти к известной задаче A.M. Летова [55] для обыкновенных дифференциальных уравнений.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Разработка метода моделирования управляемых систем с запаздыванием по времени на основе интегрального квадратичного критерия.

2. Разработка численного метода вычисления оптимальных параметров линейных управлений, стабилизирующих работу динамических систем.

3. Применение разработанной модели и созданного на ее основе численного метода к решению прикладных задач.

Научная новизна результатов заключается в следующем:

1. Получено аналитическое выражение для вычисления интегрального квадратичного критерия линейной системы, описываемой дифференциальным уравнением п-то порядка с запаздыванием по времени.

2. Предложено новое решение задачи конструирования оптимального управления для систем автоматического регулирования, описываемых уравнением п-то порядка с запаздыванием по времени при наличии интегрального слагаемого.

3.Предложен алгоритм численного метода для определения оптимальных параметров стабилизируемых систем с запаздыванием по времени.

4.Построена модель и получено новое решение задачи оптимизации процесса горения топлива, в камере сгорания жидкостного реактивного двигателя.

5. Построен новый метод расчета параметров автоматической системы регулирования температуры дизелей тепловозов ТГМ 8, ЧМЭ2, ЧМЭЗ.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на семинарах: в Самарском государственном университете (1999 г); в Уральском государственном университете (г. Екатеринбург, 2000 г); в Удмуртском государственном университете (г. Ижевск, 2001 г.); на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции", посвященной 90-летию со дня рождения профессора С.П. Пулькина в Самарском государственном педагогическом университете (1997 г); на IX-XI межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самарском государственном техническом университете; на межвузовской конференции "Проблемы современной математики" в Казанском государственном педагогическом университете (2001 г.); на Всероссийской конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения" (г. Рязань, 2001 г.); на Втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике в Йошкар-Оле и на весенней математической школе "Понтрягинские чтения" в г. Воронеже (2001 г.). Доклад по материалам диссертации сделан также на научном семинаре НИИ проблем надежности механических систем при Самарском государственном техническом университете.

Теоретическое и практическое значение работы Теоретическое значение работы состоит в том, что получены новые аналитические соотношения для вычисления квадратичных функционалов систем с запаздыванием по времени, которые используются для оптимизации параметров математических моделей.

Полученные результаты значительно упрощают процедуру расчета параметров линейных систем. На основе разработанного метода решены практические задачи стабилизации горения в жидкостном ракетном двигателе и расчета параметров автоматической системы регулирования температуры дизелей тепловозов. На защиту выносятся: 8

1. Теорема об интегральном квадратичном критерии для решения линейного уравнения п-то порядка с запаздыванием.

2. Метод оптимизации параметров динамических систем с запаздыванием по времени в классе линейных управлений на основе интегрального квадратичного критерия.

3. Численный метод оптимизации процесса горения топлива в камере сгорания жидкостного ракетного двигателя.

4. Модель для анализа устойчивости автоматической системы регулирования температуры дизелей тепловозов ТГМ 8, ЧМЭ2, ЧМЭЗ.

Изложение проводится на основе работ [37-53] выполненных автором и в соавторстве с Е.М. Маркушиным и с С.И. Харьковским; идеи из работ которых [59, 60] были использованы в [47-49]. В работе [46] Е.М. Маркушиным осуществлена постановка задачи, кроме того, С.И. Харьковский и Е.М. Маркушин провели большую работу по критике полученных результатов.

В отличие от работы [28], где разрабатываются методы построения явных решений задач линейно-квадратичного регулирования на основе выбора параметров функционала качества, в каждой из рассмотренных ниже задач этот критерий считается заданным.

Заключение

Резюмируя содержание диссертационной работы, отметим основные результаты:

1. Полученное аналитическое выражение для вычисления интегрального квадратичного критерия линейной системы, описываемой дифференциальным уравнением п-го порядка с запаздыванием по времени позволяет выбрать оптимальную модель регулятора из возможных линейных управлений.

2. Предложено решение задачи конструирования оптимального управления для систем автоматического регулирования, описываемых уравнением п-го порядка с запаздыванием по времени при наличии интегрального слагаемого в случае, когда корни квазиполинома простые и отличные от нуля.

3. Предложен алгоритм численного метода для определения оптимальных параметров управляемых линейных систем с запаздыванием по времени, основанного на аналитическом выражении квадратичного функционала.

4. Построена расчетная модель задачи оптимизации линейного регулятора процесса горения топлива в камере сгорания жидкостного реактивного двигателя.

5. Разработан метод определения оптимальных параметров автоматической системы регулирования температуры дизелей тепловозов ТГМ 8, ЧМЭ2, ЧМЭЗ в области асимптотической устойчивости.

Автор благодарит [Е.М. Маркушина], С. И. Харьковского,

О.П. Филатова за внимание к работе и за сделанные ими предложения по ее совершенствованию.

1. Абдрахманов В.Г., Сапрыкин Е.Ф., Смолин Ю.Н. Об устойчивости решения задачи Коши для периодического функционально-дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием. // Изв. вузов. Математика. -2001. -№6.-С.З-11.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. -280 с.

3. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом II. // Изв. вузов. Математика. 2000. - № 4. -С. 24-32.

4. Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П. Теория ракетных двигателей. М.: Машиностороение, 1989. - 464 с.

5. Альбрехт Э.Г., Сазанова А.А. Об управлении одной нелинейной дискретной системой. // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения». Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 8-9.

6. Альсевич В.В., Кириллова Ф.М. Задачи оптимального управления и наблюдения для неопределенных систем с последействием. // Автоматика и телемеханика. 1996. -№ 9. - С. 117 - 130.

7. Анашкин О.В. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости для одного класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения. 1998. -Т. 34. - № 7. - С. 867-875.

8. Андреев А.С., Павликов С.В. Об устойчивости по части переменных неавтономно функционально-дифференциальных уравнений. // ПММ. 1999. - Т. 63. - Вып. 1. - С. 3 - 12.

9. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет JI.E. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. - 336 с.

10. Ю.Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М. гВысшая школа, 1989. -447 с.

11. П.Балухов Н.З., Маркушин Е.М. Задача Рауса-Гурвица для квазиполинома в одном случае. // В сб. Кинематика и динамика механизмов летательных аппаратов. Труды КуАИ, Куйбышев, 1973. Вып. 55. - С. 7-11.

12. Беллман Р., Кук K.JI. Дифференциально-разностные уравнения. -М.: Мир, 1967. -548 с.

13. Бойков И.В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с последействием. // ДУ. 1998. - Т. 34. - № 8. - С. 1134 - 1136.

14. Булычев Ю.Г., Бурлат А.В. Оценивание состояния динамических систем с использованием принципа минимума функционала обобщенной работы. // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1993. - № 6. - С. 413-420.

15. Вильяме Ф.А. Теория горения. М. : Наука, 1971 - 616 с.

16. Власов В.В., Иванов С.А. Базисность и оценки решений уравнений с последействием в шкале пространств Соболева. // УМН. 2001. - Т. 56. -вып. 3.-С. 152-153.

17. Волков Е.Б., Головков Л.Г., Сырицын Т.А. Жидкостные ракетные двигатели. -М.: Воениздат, 1970. 437 с.

18. Гандер Д., Фриант Д. Стабильность потока в ракетном двигателе. // Вопросы ракетной техники. 1951. - № 1. - С. 92 - 104

19. Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей. М. : Машиностроение, 1989. - 296 с.

20. Гуменникова Ю.В., Маркушин Е.М. Об оптимальной стабилизации уравнения с большим последействием. // В сб.: Математическое моделирование технологических процессов железнодорожного транспорта. Самара, СамИИТ, 1994. - С. 24 - 34.

21. Добровольский М.В. Жидкостные ракетные двигатели, основы проектирования. М.: Машиностроение, 1968. - 396 с.

22. Ким А.В. i-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: УрО РАН, 1996. - 234 с.

23. Ким А.В. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург : Изд-во Уральского университета, 1992.

24. Ким А.В., Ложников А.Б. Линейно-квадратичная задача для систем с запаздыванием по состоянию. Точные решения уравнений Риккати. // А и Т. 2000. - № 7. с. 15-30.

25. Колмановский В.Б. Точные формулы в задаче управления некоторыми системами с последействием. // ПММ. 1973. - Т. 37. - Вып. 2. -С. 228-235I

26. Колокольникова Г.А. Необходимые условия оптимальности для задачи импульсного управления в системах с запаздыванием. // Автоматика и телемеханика. 1999. - № 10. - С. 65 - 76.

27. Красовский Н.Н. Аналитическое конструирование оптимального регулятора в системе с запаздыванием времени. // ПММ. 1962. - Т. 26. -С. 39-42.

28. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

29. Красовский Н.Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздыванием времени. // ПММ. -1962.-Т. 26.-С. 39-51.

30. Красовский Н.Н. Обращение теорем второго метода Ляпунова и вопросы устойчивости движения по первому приближению. // ПММ. -1956.-Т. 20.-С. 255-262.

31. Красовский Н.Н., Осипов Ю.С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования. // Техническая кибернетика. 1963. - №6. - С .3 - 15.

32. Крокко Л., Чжен Синь-и. Теория неустойчивости горения в ракетных двигателях. М.: ИЛ, 1958. - 436 с.

33. Кузнецов В.П. Автоматическое регулирование горения в жидкостном реактивном двигателе на низких частотах. // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды десятой межвузовской конференции. Самара, 2000. - Ч. 2. - С. 53-55.

34. Кузнецов В.П. Интегральная квадратичная оптимизация линейного регулятора горения топлива в жидкостном реактивном двигателе на низких частотах. // Обозрение прикладной и промышленной математики.-М. 2001. - Т. 8.-Вып. 1.-С. 400-401.

35. Кузнецов В.П. Интегральная квадратичная оптимизация системы автоматического регулирования температуры дизелей тепловозов. // Транспорт: наука, техника, управление. М.: ВИНИТИ. - 2001. - № 9. -С. 22-23.

36. Кузнецов В.П. Интегральная квадратичная оценка процессов с последействием. // Сб. научных трудов студентов, аспирантов и молодых ученых СамИИТа. Самара, СамИИТ, 1999. - С. 31 - 32.

37. Кузнецов В.П. Метод ' расчета системы автоматического регулирования температуры дизелей тепловозов. // В сб.: Экономика, эксплуатация и содержание железных дорог в современных условиях. -Самара, СамИИТ, 1999. С. 200 - 201.

38. Кузнецов В.П. Метод расчета параметров автоматического регулятора горения в жидкостных реактивных двигателях. // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 11-ой межвузовской конференции. Самара^ 2001. - Ч. 2. - С. 70-72.

39. Кузнецов В.П. Оптимизация линейных управлений для систем с запаздыванием по времени. // Современные методы в теории краевых задач. «Понтрягинские чтения». Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ. - 2001. - С. 9798.

40. Кузнецов В.П., Маркушин ,Е.М., Харьковский С .И. Оптимальная стабилизация линейных систем с отклоняющимся аргументом. // В сб.:

41. Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции. Самара: СГПУ, 1997. - С. 82 - 83

42. Кузнецов В.П., Харьковский С.И. Корректировка параметра управления с учетом запаздывания. // Сб. научных трудов молодых ученых и аспирантов СамИИТа. Самара, 1997. - С. 44 - 46.

43. Кузнецов В.П., Харьковский С.И. Ограниченность функционалов в оптимальном управлении. // Сб. научных трудов студентов, аспирантов и молодых ученых СамИИТ. 2001. - Вып. 3.- С. 15-16.

44. Кузнецов В.П., Харьковский С.И. Оптимальное управление динамической системой с запаздыванием по времени. // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды девятой межвузовской конференции. Самара, 1999 - 4.2. - С. 76 - 77.

45. Кузнецов В.П., Харьковский С.И. Синтез оптимального регулятора для систем с запаздыванием по времени. // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. -Рязань- 2001. Вып. 5. - С. 72-73.

46. З.Кузнецов В.П., Харьковский С.И. Синтез оптимального управления линейной системой с запаздыванием. // Сб. научных трудов студентов, аспирантов и молодых ученых СамИИТа. Самара, СамИИТ, 1999.-С. 32-34.

47. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987, - 687 с.

48. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука.- 1981.-256 с.

49. Луков H.M. Автоматическое регулирование температуры. М.: Машиностроение, 1995 - 271 с.

50. Луков Н.М. Основы автоматики и автоматизации тепловозов. М.: Транспорт, 1989. 296 с.

51. Маркушин Е.М. Вычисление асимптотических коэффициентов оптимального управления задачи аналитического конструирования регулятора для уравнения с запаздыванием. // Математические записки. -УрГУ. 1968. - Т. VI. Тетрадь 4. - С. 87 - 94.

52. Маркушин Е.М. Оптимальные системы автоматического регулирования с запаздыванием по времени. Саратов : СГУ, 1971.-92 с.

53. Маркушин Е.М., Шиманов С.Н. О сходимости оптимального управления счетной системы дифференциальных уравнений. // ДУ. 1966. -Т. 2.-№3.-С. 314-323.

54. Маркушин Е.М., Шиманов С.Н. Приближенное решение задачи аналитического конструирования регулятора для • уравнения с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения. 1966. - Т. 2. - № 6. - С. 1018-1026.

55. Маркушин Е.М., Шиманов С.Н. Приближенное решение задачи аналитического конструирования регулятора для систем с запаздыванием. // А и Т. 1968. - № 3. - С. 43 - 51.

56. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука. 1972 - 352 с.

57. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: Физматлит. - 1994. - 236 с.

58. Неустойчивость горения в ЖРД. / Под ред. Д. Т. Харрье, Ф. Г. Рирдона. М. : Мир, 1975. - 869 с.

59. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965 - 356 с.

60. Осипов Ю.С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием. // ДУ. 1963. - Т. 1 - № 5. - С. 605 - 618.

61. Основы теории автоматического управления ракетными двигательными установками / Бабкин А.И, Белов С.И. и др. М.: Машиностроение, 1986.

62. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961. - 248 с.

63. Пеппер С., Дантер П. Проблемы горения в жидкостных реактивных двигателях // В сб. Жидкие и твердые ракетные топлива. М.: ИЛ, 1959. - 436 с.

64. Перцев Н.В. Двусторонние оценки решений интегродифференциальных уравнений, описывающих процесс кровотворения. // Изв. вузов. Математика. 2001. - № 6. - С. 58-62.

65. Разумихин Б.С. Метод исследования устойчивости систем с последействием. // ДАН СССР. 1966. - Т. 167 - № 6. - С. 1234 - 1235.

66. Разумихин Б.С. Устойчивость эридитарных систем. М. : Наука, 1988.- 108 с.

67. Родионов A.M. Об одном способе исследования устойчивости дифференциальных и дискретных уравнений. // А и Т. 1996. - № 12. -С. 38-41

68. Рустамов Г.А. Синтез финитного управления с переменной структурой для регулируемых объектов с запаздыванием. // Теория и системы управления. —2001. № 4. - С. 44-48.

69. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. // Современные методы математического моделирования. Сборник лекций. Самара. - 2001. - С. 4-10.

70. Саммерфильд М. Неустойчивое горение в камере ЖРД // Вопросыракетной техники 1952. - Вып.З. - С. 52 - 61

71. Шаулов Ю.Х., Лернер М.О. Горение в жидкостных ракетных двигателях. -М.: Оборонгиз, 1961. 195 с.

72. Шиманов С.Н. О неустойчивости движения системы с запаздыванием по времени // ПММ. 1960. - Т. 24 - Вып. 1. - С. 55 - 63.

73. Шорин В.П., Жуков А.Е., Малеев А.Ф., Вакулич Е., Свербилов В.Я., Герасимов В.А. Динамические процессы в системах двигательных установок космических аппаратов. Самара : СГАУ, 1998.

74. ЭльсгОльц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М. : Наука, 1971-296 с.

75. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978.- 146 с.

76. Azuma t., Kondo Т., Uchido К. Memory state feedback control synthesis for linear systems with time delay via a finite number of linear matrix inequalities. // Proc. IF AC Workshop Linear Time Delay Systems. Grenoble -1998.-P. 183-187.

77. Bellman R, Glichsberg I., Gross O. Some aspects of the mathematical theory of control processes. Project Nand, 1958.

78. Delfour M.C. The linear-quadratic optimal control problem with delays in state and control variables a state space approach. // SIAM J. Control and Optimization. 1986. - V. 24. - № 5. - P. 835-863.

79. Dzurina J. Oscillation of delay differential equations. // J. Discuss. Math. Differ. Incl. 1997 / - V. 17. - №'1-2. - P. 97-105.

80. Fiagbedzi J.A., Pearson A.E. Output feedback stabilization of delay systems via generalization of the transformation method. // Int. J. Control. 1990. -V. 51.-№4.-P. 801-822.

81. Gomes G., Goodwin G. Generalization of integral constraints on sensitivity to time-delay systems. // IEEE Trans. Autom. Contr. 1998. - V. 43.-№7.-P. 1008-1012.

82. Kubo Т., Shimemura E. Exponential stabilization of systems with a time-delay by optimal memoryless feedback. // Mathematics and Computers in Simulation. 1998. - V. 45.-№ 3-4. P. 319-328.

83. Kolmanovskii V.B., Nosov B.R. Stability of functional differential equations. New York - London. - Academic Press, 1986. - 217 p.

84. Kwon W.H., Kang J.W., Moon J.S. Receding horizon control for state-delay systems with its stability.// Proceeding of Korea-Japan Workshop on Robust and Predictive Control of Time-Delay Systems. Seoul. - 1999. - P. 35-53.

85. Lotfi C., Jamila K. Linear quadratic control problem with fixed state for discrete-time distributed systems. // Int. J. Appl. Math, and Comput. Sci. -2000.-V10.-№ 3.-P. 517-535.

86. Satche M. Discussion of a previous paper // J. Apple Mech. ASME, 1949-№ 16. -P. 419-420.

87. Tishler A., Bellman D. ConbUstion instability in a aced-heptane rocket with a pressurized-gas propellant pumping system USA, NACA, Technical Note. №2936, 1953.

88. Uchida K., Shememura E, Kubo Т., Abe N. The linear-quadratic optimal control approach to feedback control design for systems with delay. // Automatica. 1988. - V. 24. - № 6. - P. 773-780.