автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Новые условия экспоненциальной устойчивости линейных систем с запаздыванием

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

0055343«и

Егоров Алексей Валерьевич

На правах рукописи

НОВЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

05.13.01 - - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

10 ОКТ 2013

Санкт-Петербург 2013 г.

005534390

Работа выполнена на кафедре теории управления факультета прикладной математики -- процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Харитонов Владимир Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Александров Александр Юрьевич (Санкт-Петербургский государственный университет, заведующий кафедрой управления медико-биологическими системами)

кандидат технических наук, доцент Шамберов Владимир Николаевич (Санкт-Петербургский государственный морской технический университет, профессор кафедры судовой автоматики и измерений)

Ведущая организация: Институт проблем управления

им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)

Защита состоится «30» октября 2013 г. в 10 часов па заседании диссертационного совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский проспект, 35, ауд. 327.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Автореферат размещён на сайте www.spbu.ru.

Автореферат разослан «2^» С£ахтр,с!/?л 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Курбатова Г. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Долгосрочный прогноз поведения технической, биологической, экономической или какой-либо другой системы невозможен, если любые сколь угодно малые отклонения начального положения оказывают существенное влияние на её будущее состояние. Поэтому задача выявления таких систем, названных неустойчивыми, играет важную роль как в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в теории уравнений с запаздывающим аргументом, когда скорость изменения состояния в данный момент зависит от поведения системы в прошлом.

Для исследования устойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, применяются в основном следующие два подхода. Первый основан на том, что для любой линейной системы можно построить характеристическую функцию, по расположению нулей которой на комплексной плоскости может быть сделан вывод об устойчивости системы. Второй подход обобщает широко известный прямой метод Ляпунова. Его роль в случае систем с запаздыванием играет метод функционалов Ляпунова-Красовского. Идея, предложенная в 1956 году Н. Н. Красовским, получила развитие для линейных систем в работах Ю. М. Репина, R,. Datko, Е. F. Infante и W. В. Castelan, W. Huang. В статье В. Л. Харитонова и А. П. Жабко были получены так называемые функционалы полного типа, имеющие отрицательно определённую производную и допускающие квадратичную оценку снизу, когда соответствующая система экспоненциально устойчива. Такие функционалы можно считать аналогом квадратичной формы, используемой для исследования устойчивости линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Как и функции Ляпунова для линейных систем без запаздывания, функционалы полного типа строятся на основе матрицы Ляпунова, которая в случае систем с запаздыванием представляет собой функциональную матрицу, определённую на

некотором отрезке. Проблеме её построения посвящено несколько статей. В частности, показано, что в случае систем с кратными запаздываниями задача определения матрицы Ляпунова сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений со специальными граничными условиями.

Функционалы полного типа нашли применение в исследовании устойчивости возмущённых систем, в получении экспоненциальных оценок решений, в оценке нормы передаточной матрицы системы с запаздыванием, могут быть использованы для вычисления интегральных квадратичных критериев качества. Однако вопрос применения функционалов непосредственно к исследованию устойчивости систем с запаздыванием был рассмотрен мало. Это связано со сложностью проверки положительной определённости функционалов полного типа.

Целью работы является получение условий экспоненциальной устойчивости систем с запаздыванием (как необходимых, так и достаточных), выраженных через матрицу Ляпунова. Иными словами, работа посвящена обобщению известного критерия для уравнений без запаздывания: система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда матрица Ляпунова положительно определена.

Результаты, выносимые на защиту, касаются матрицы Ляпунова и её связи с устойчивостью систем с запаздыванием:

• получены новые свойства матриц Ляпунова для систем с запаздыванием,

• доказан критерий экспоненциальной устойчивости уравнения с одним запаздыванием,

• определены необходимые условия экспоненциальной устойчивости систем с несколькими запаздываниями,

• получен критерий экспоненциальной устойчивости систем с несколькими запаздываниями, выраженный через матрицу Ляпунова.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая значимость. Работа посвящена развитию метода функционалов Лянунова-Красовского для исследования устойчивости систем с запаздыванием.

Практическая значимость. Полученные результаты позволяют найти точные области экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров линейных систем с запаздыванием, возникающих, в частности, в задачах автоматического регулирования.

Апробация работы. На основании результатов диссертации были представлены доклады и опубликованы статьи в сборниках трудов трёх конференций: "8-th international conference on electrical engineering, computing science and automatic control", Merida City, Mexico, 2011, "10-th IFAC workshop on time delay systems", Boston, USA, 2012, и "11-th IFAC workshop on time-delay systems", Grenoble, France, 2013.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти печатных работах, четыре из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Перечень публикаций приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Объём составляет 135 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении представлен обзор литературы, касающейся уравнений с запаздыванием, в частности, вопроса устойчивости таких уравнений, рассмотрена постановка задачи, решаемой в диссертационной работе, обоснована актуальность исследования.

В первой главе введена рассматриваемая в работе система линейных

уравнений

tri

±(i) = -л,-). (1)

Здесь х е R", а Ло, А\,..., Ат - вещественные постоянные матрицы размерности п х п. Запаздывания упорядочены следующим образом: 0 = /¿о < h\ < ... < hm — Н. Начальные функции берутся из пространства кусочно-непрерывных вектор-функций, заданных на отрезке [-Н, 0], т.е. из пространства РС{[-Н, 0],R").

Первый параграф вводит понятие начальной функции и соответствующего ей решения системы (1). Второй параграф посвящен методам исследования устойчивости. Для линейных систем с запаздыванием можно выделить два основных метода, аналогичных тем, что применяются для обыкновенных дифференциальных уравнений. Первый основан на известной теореме о том,

тп \

s/- Е e~hjSAj экспо-J=О /

ненциально устойчивой системы лежат на комплексной плоскости строго левее мнимой оси. Второй основан на теореме Ляпунова-Красовского1, обобщение которой, полученное нами в диссертации, имеет следующий вид.

Теорема 1. Существование непрерывных в нуле скалярных функционалов v(ip) и w(<p), ip € PC ([—Н, 0], М"), удовлетворяющих условию v(0) = w(0) = 0 и связанных на решениях системы (1) соотношением

—jj— = -w(xt), (2)

для которых найдутся числа а > 0, ß > 0 и аi, <72 € [0, Н] такие, что

vfr) > аЫ-аг)\\2, w{tp) > /3||<р(-<г2)||2, гарантирует экспоненциальную устойчивость системы (1).

1 Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени

// Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. С. 315-327.

что нули характеристической функции p{s) = det

В третьем параграфе говорится о том, что существуют два пути применения метода функционалов Ляпунова-Красовского. Можно выбрать некоторый функционал у((р), гарантированно удовлетворяющий условиям теоремы 1, продифференцировать его в силу системы (1), а затем проверить, удовлетворяет ли производная условиям теоремы. Или же наоборот, можно задать сначала производную, т.е. ю(у>), найти у((р) из уравнения (2), затем проверить выполнения условий теоремы 1. Второй путь, в частности, привёл* к квадратичным функционалам полного типа

т *

v(tp) = v0{ifi) +J2 VT(0) (Wj + (о + hj)Wm+j) ip(0) do, где W0, W\,..., Wim - некоторые положительно определённые матрицы, а

о

ТII -

здЫ = vr(0№M0) + 2(^т(0) ^ / U(-e-hj)Ajip(e)d9+

mm00

+ Y1J2 / VT(e^Ak lTJ(h + hk-02 - Щ)А^(в2) de2 dßi.

Здесь функциональная матрица U(t), определённая на отрезке [—Я, Я] -так называемая матрица Ляпунова для систем с запаздыванием, ассоции-

т

рованная с матрицей W = WQ + (Wj + hjWm+j). Эта матрица должна

j=i

удовлетворять трём уравнениям:

тп

U>{r) = ^2u{T-hj)Aj, О, j=о

U(r) = Ut(-t),

ТП

[U(—hj)Aj + AjU(hj)] = —W.

j=о

2Kharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach for robust stability of time delay systems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 15-20.

Производная функционала «о (V5) в силу системы (1) \>&ша.—хт{Ь)\¥х{Ь), тогда как производная ь((р) имеет вид

т т ^

-хт(г)1ЛГ0х({) - хт(г - кзЩх(Ь - - / хт{Ь + в)и/т+,х{Ь + в) ¿9.

В первом параграфе второй главы помимо уже существующих результатов, касающихся функционалов полного типа и матриц Ляпунова для систем с запаздыванием, нами доказано следующее утверждение.

Утверждение 1. Производная матрицы Ляпунова р-ого порядка на интервале [0, +оо) может иметь разрывы только первого рода и только в точках множества

= 4 и > О

= aihí > aíе z' 53 iaji ^р ~1 г •

j=1 J=1 J

Если производная р-ого порядка имеет разрыв в точке ш, то она непременно будет иметь разрыв в точке —и!.

Определение 1. Если среди нулей характеристической функции р(в) нет расположенных симметрично относительно начала координат, то говорим, что условие Ляпунова выполнено.

Завершает параграф следующая теорема, полученная в упомянутой уже работе В. Л. Харитонова и А. П. Жабко.

Теорема 2? Система (1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда

1) выполнено условие Ляпунова,

2) при некотором /3 > О

ь(<р) >РМ0)II2, € РС ([-#, 0], Мп).

zKharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach for robust stability of time delay systems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 15-20.

Ключевым результатом второго параграфа является утверждение,

сформулированное и доказанное нами для функционала

о

«1(у>) = здМ + J ч>т(6)УУч>(9) М.

-н

Утверждение 2. Система (1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда

1) выполнено условие Ляпунова,

2) существует число а > 0 такое, что

<реРС([-Н, 0],КП).

Здесь

\

и

1И0)||2 + I ыт2 ¿9.

-H

Третий параграф посвящен преобразованию функционала v0(<p).

Утверждение 3. Функционал v0(<p) может быть представлен в следующей форме:

о

М<Р) = tJo(x) = XT{0)U(0)x(0) + 2ХГ(0) J UT(H + в)х(в) de+

-н о о

+ J ¡Ыть-ьыъъъ,

-н-н

если функцию х Связывает с функцией ¡р соотношение f

V(0), 0 = 0,

AmVW, 0€[-hu 0),

A»_ip(0 + h) + An<p(e), в G [-h2, -ht),

AMO + hm-i) + • • • + Ат<р(в), в 6 [~hm, -Лт_!), 9

x(0) =

где К] = Н — Ит-з, 3 = 0,т-

Полученное преобразование позволяет доказать лемму.

Лемма 1. Пусть матрица Ат системы (1) невырождена. Если система экспоненциально устойчива, то

уо(х)>0, Х£РС({-н,0]Лп)-

В четвёртом параграфе получены несколько важных свойств матрицы Ляпунова. Основные из них могут быть сформулированы в виде следующих двух утверждений.

Утверждение 4. Для любых Т\, Т2 ^ О

7/4. /»

U{t\ + т2) = и(т2)К(тг) + I - в - hj)AjK(T\

+ в) ¿в.

Утверждение 5 (Обобщённое алгебраическое свойство). Для т > 0 выполнено равенство

т

[U(t - hj)Aj + AjU(t + hi)} = -WK(r).

j=о

В приведённых утверждениях К{т) - фундаментальная матрица системы, которая может быть получена как решение уравнения с запаздыванием m

K{t) — — hj), 0,

3=0

со следующими начальными данными:

K(0) = /, K{t) = 0, t < 0.

Третья глава работы посвящена условиям экспоненциальной устойчивости линейной системы с запаздыванием, выраженным через матрицу Ляпунова U(t). В первом параграфе рассматривается скалярное уравнение с

одним запаздыванием

±{і) = ах(і)+Ьх(і-1), і ^ 0.

(3)

Найден новый критерий экспоненциальной устойчивости этого уравнения.

Теорема 3. Уравнение (3) экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда функция Ляпунова и(т) для этого уравнения определена на отрезке [0,1] и

Если же функция и(т) определена на отрезке [0,1], а уравнение (3) неустойчиво, то найдётся точка т Є [0,1], для которой

и(0) < \и(Т)\.

Неравенство (4) эквивалентно матричному неравенству

Замечание. Здесь и далее запись <2 > 0 (<2 ^ 0) означает, что симметричная матрица <3 положительно определена (положительно полуопределена).

Во втором параграфе показано, как с помощью леммы 1 получить необходимые условия экспоненциальной устойчивости линейной системы с несколькими запаздываниями, подобные тем, что были получены только что для уравнения с одним запаздыванием.

Утверждение 6. Пусть с!е1;Лт ф 0. Если система (1) экспоненциально устойчива, то матрица Ляпунова удовлетворяет неравенствам:

и(0) > 0,

и(0)>|и(т)|, г є (0,1].

(4)

г Є (0,1].

И

Показано, что эти условия позволяют отбросить значительную часть заведомо неустойчивых систем, однако же найдены контрпримеры, доказывающие, что они не являются достаточными условиями устойчивости.

Подход, описанный в третьем параграфе, позволяет, во-первых, снять ограничение на матрицу Ат, а во-вторых, значительно усилить необходимые условия экспоненциальной устойчивости.

Введём блочную функциональную матрицу размерности пг х пг:

ХТ(ти.--,тг) = {и(-п + т])}[.=1. (5)

Теорема 4. Если система (1) экспоненциально устойчива, то для любого натурального г и любых попарно различных т,- € [О, Я], ] - 1 ,г,

эсг(п,. - -, 7>) >0.

Доказательство этого результата основано на представленных во второй главе новых свойствах матрицы Ляпунова. На примерах показана эффективность полученных необходимых условий устойчивости даже при небольших значениях г.

В следующем параграфе доказано, что полученные необходимые условия являются также и достаточными, причём показано, что условия теоремы 4 можно значительно ослабить.

Теорема 5. Система (1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда выполнено условие Ляпунова и для любого натурального г блочная матрица

Более того, если условие Ляпунова выполнено и система (1) неустойчива, то найдётся натуральное г, для которого

Последний параграф иллюстрирует использование полученных результатов для определения точных областей экспоненциальной устойчивости системы в пространстве её параметров. При этом параметрами могут быть как элементы матриц системы, так и запаздывания. На примерах показано, что, хотя условия следующей полученной нами теоремы и являются избыточными по сравнению с условиями теоремы 5, так как содержат непрерывный параметр т, на практике эта теорема даёт значительно лучший результат за меньшее число шагов.

Теорема 6. Система (1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда выполнено условие Ляпунова и для любого натурального к и для любых

где X2к - матрица, определённая под номером (5).

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Работа посвящена исследованию устойчивости линейных стационарных систем с несколькими сосредоточенными запаздываниями с помощью метода функционалов Ляпунова-Красовского. Основные результаты касаются матрицы Ляпунова и её связи с устойчивостью систем с запаздыванием:

• получены новые свойства матриц Ляпунова для систем с запаздыванием,

• доказан критерий экспоненциальной устойчивости уравнения с одним запаздыванием,

• определены необходимые условия экспоненциальной устойчивости систем с несколькими запаздываниями,

• получен критерий экспоненциальной устойчивости систем с несколькими запаздываниями, выраженный через матрицу Ляпунова.

Статьи в журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1) Mondie S., Egorov A. Some necessary conditions for the exponential stability of one delay systems //8th International Conference on Electrical Engineering, Computing Science and Automatic Control. Merida City, Mexico. 2011. P. 1-6.

2) Mondie S., Cuvas C., Ramirez A., Egorov A. Necessary conditions for the stability of one delay systems: a Lyapunov matrix approach //10th IFAC Workshop on Time Delay Systems. Boston, USA. 2012. P. 13-18.

3) Egorov A., Mondie S. Necessary conditions for the exponential stability of time-delay systems via the Lyapunov delay matrix //Int. Journal of Robust and Nonlinear Control. 2013. DOI: 10.1002/rnc.2962.

4) Egorov A., Mondie S. A stability criterion for the single delay equation in terms of the Lyapunov matrix //Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2013. Вып. 1. С. 106-115.

Другие публикации

5) Egorov A., Mondie S. Necessary conditions for the stability of multiple time-delay systems via the delay Lyapunov matrix //11th IFAC Workshop on Time Delay Systems. Grenoble, France. 2013. P. 12-17.

Подписано к печати 12.09.13. Формат 60x84 'Лб. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00.

Тираж 100 экз. Заказ 5854._

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504 Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043,428-6919

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи СН2иШ3715 ^

Егоров Алексей Валерьевич

НОВЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук.

профессор В. Л. Харитонов

С а.11 кт- Петербу р г 2013 г.

Оглавление

Обозначения и сокращения....................................................4

Введение ........................................................................6

1 Системы линейных уравнений с запаздыванием 11

1.1. Общие сведения ..........................................................11

1.2. Методы исследования устойчивости....................................12

1.3. Постановка задачи........................................................18

2 Квадратичные функционалы Ляпунова-Красовского,

матрица Ляпунова 22

2.1. Функционалы полного типа и .матрица Ляпунова......................22

2.2. Некоторые преобразования функционалов полного типа..............32

2.3. Новая форма функционала ............................................36

2.4. Свойства матрицы Ляпунова............................................43

3 Исследование устойчивости систем с запаздыванием

при помощи матрицы Ляпунова 55

3.1. Скалярное уравнение с одним запаздыванием. Новый критерий устойчивости ..............................................................55

3.2. Необходимые условия устойчивости. Первый подход..................71

3.2.1. Система с одним запаздыванием................................71

3.2.2. Система с несколькими запаздываниями ......................82

3.3. Необходимые условия устойчивости. Второй подход..................87

3.3.1. Система с одним запаздыванием................................88

3.3.2. Система с несколькими запаздываниями ......................94

3.4. Достаточные условия устойчивости. Критерий экспоненциальной устойчивости..............................................................101

3.5. Применение полученных условий устойчивости........................111

Заключение......................................................................121

Литература......................................................................122

Приложение А. Исходный код программы, реализующей проверку представленных в диссертации условий устойчивости в Matlab ..........129

Обозначения и сокращения

» 1- множество вещественных чисел,

• М" — множество векторов, состоящих из п вещественных компонент,

• N — множество натуральных чисел,

• Ъ — множество целых чисел,

• С([а,6],Е/г) — пространство непрерывных вектор-функций, определённых на отрезке [а.Ь],

• С^ ([а, Ь]. К'г) — пространство непрерывных вектор-функций, определённых на [а, Ь] и имеющих на этом отрезке к непрерывных производных,

• РС ({а, Ь]. Кп) — пространство кусочно-непрерывных вектор-функций (т.е. вектор-фуикций, имеющих конечное число точек разрыва первого рода), заданных на отрезке [а.Ь],

• [г] — целая часть числа г, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее г,

• запись С~) > 0 означает положительную определённость, а ф ^ 0 — положительную полуопределённость симметричной матрицы С},

• запись ^ 0 означает, что матрица С} не является положительно полуопре-делёиной,

• через {^г/}'..7=1 обозначается блочная матрица размерности пг х пг, где блоки Ру! - квадратные матрицы размерности п х п,

• / — единичная матрица,

• с^ А — определитель матрицы А,

• \mniQ), Ашах((5) — наименьшее и наибольшее собственное число симметричной матрицы С},

• запись к = р, т означает, что параметр к последовательно принимает все целые значения от р до т (р ^ т),

en - e~°

• sha =----гиперболический синус.

еп + е~п

9 cha =----гиперболический косинус,

п

,2

г=1

• \\х\\ = \ ¡52 ~ евклидова норма вектора х G Шп.

н — sup ||у?(#)|| — равномерная норма кр G PC ([—Я, 0], Мп). ве[-п. о]

- у/1|(^(0)||2 + / У{9)\\40 - норма в пространстве С {[-Н. 0],К"),

(3)Л(7) — объединение условий (уравнений или неравенств) (3) и (7) в систему, запись (2)-(5) эквивалентна объединению (2)Л(3)Л(4)Л(5).

Введение

Когда любые сколь угодно малые отклонения начального положения технической. биологической, экономической или какой-либо другой системы оказывают существенное влияние на её будущее состояние, долгосрочный прогноз её поведения невозможен. Поэтому задача выявления таких систем, названных неустойчивыми, играет важную роль как в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в теории уравнений с запаздывающим аргументом, когда скорость изменения состояния в данный момент зависит от поведения системы в прошлом.

Впервые возникнув более двухсот лет назад, теория уравнений с запаздыванием стала бурно развиваться во второй половине XX века, чему поспособствовал возросший интерес к теории автоматического регулирования. Описанию основных результатов, полученных в теории уравнений с запаздыванием, посвящены ставшие классическими монографии [1.3,4.10,22,36,52]. А также более современные книги [19,29.37,40,45]. Исследованию таких систем посвящено множество ела!ей, среди которых можно назвать [5,7,9,11,12,16,20,25.28,30-33,35,38,39,41.46-51,53].

Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, для исследования устойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием применяются два основных подхода. Первый основан на том, что для любой линейной системы можно построить характеристическую функцию, но расположению нулей которой на комплексной плоскости может быть сделан вывод об устойчивости системы. Однако, если для обыкновенных дифференциальных уравнений характеристическая функция является полиномом, то для уравнений с запаздыванием характеристическая функция - квазиполипом, который имеет, вообще говоря, счётное число пулей.

Второй подход обобщает широко известный прямой метод Ляпунова. В конце 50-х годов появились две работы, посвящёпные применению этого метода к системам с запаздыванием (вообще говоря, нелинейным). В статье [49] Б. С. Разумихин

использует метод функций Ляпунова для исследования устойчивости систем. При этом, чтобы расширить область применимости результата, было введено дополнительное ограничение - производная функции Ляпунова вычисляется не вдоль всех решений системы, а только вдоль решений, удовлетворяющих специальному неравенству, названному позднее условием Разумихина. К сожалению, теорема Разумихина не допускает обращения даже для линейных систем, т.е. полученные достаточные условия устойчивости не являются необходимыми, а это значит, что данный подход не всегда позволяет решить вопрос об устойчивости той или ииой системы. А вот результат, полученный H.H. Красовским в работе [5j, такое обращение допускает. Идея заключается в том, чтобы для исследования устойчивости систем с запаздыванием применять не функции, а функционалы, которые принято теперь называть функционалами Ляпунова-Красовского. Естественность этой идеи становится очевидна, если мы обратим внимание на то, что состоянием для системы с запаздыванием является уже не точка, как это было в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, а некоторая дуга кривой.

Вернёмся к линейным стационарным системам. Введённый в [5| метод функционалов Ляпунова-Красовского заключается в том, что для того, чтобы гарантировать экспоненциальную устойчивость системы, надо найти положительно определённый функционал, имеющий отрицательно определённую производную в силу этой системы. И если для линейных уравнений без запаздывания используются преимущественно квадратичные функции, то для систем с запаздыванием -квадратичные функционалы. Очевидно, возможны два пути применения метода. Можно выбрать некоторый положительно определённый функционал, продифференцировать его в силу системы, а затем проверить полученную производную па отрицательную определённость. Другой путь: строим функционал Ляпунова-Красовского по наперёд заданной отрицательно определённой производной и проверяем его на положительную определённость. С применением такого подхода

связана одна проблема. Как построить функционал но наперёд заданной производной? Впервые вопрос был исследован в работе Ю. М. Репина [7]. В построении функционала с известной производной участвуют несколько функциональных матриц, удовлетворяющих некоторому набору уравнений, среди которых есть как алгебраические, так и дифференциально-разностные уравнения и уравнения ^ в частных производных. Развитию подхода были посвящены работы R. Datko [11],

Е. F. Infante и W. В. Castelan [25], W. Huang [23|, J. Louisell [39].

В работе В. Л. Харитонова и А. П. Жабко [35] были получены так называемые функционалы полного типа, имеющие отрицательно определённую производную и допускающие квадратичную оценку снизу, когда соответствующая система экспоненциально устойчива. Такие функционалы можно считать аналогом квадратичной формы, используемой для исследования устойчивости линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Как и функции Ляпунова для линейных систем без запаздывания, функционалы полного типа строятся на основе матрицы Ляпунова, которая в случае систем с запаздыванием представляет собой функциональную матрицу, определённую на некотором отрезке. Проблема её построения была рассмотрена в статьях [17,24-26,40]. В частности, в случае систем с кратными запаздываниями задача определения матрицы Ляпунова сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений со специальными граничными условиями.

Функционалы полного типа нашли применение в исследовании устойчивости возмущённых систем [35], в получении экспоненциальных оценок решений [30], в оценке нормы передаточной матрицы системы с запаздыванием [26], могут быть использованы для вычисления интегральных квадратичных критериев качества [7]. Однако вопрос применения функционалов непосредственно к исследованию устойчивости систем с запаздыванием практически рассмотрен не был. Это связано со сложностью проверки положительной определённости функ-

ционалов полного типа. Можно указать разве что две недавно опубликованные работы [2], [44], посвященные этому вопросу. В первой приведены достаточные условия положительной определённости, основанные на объединении функционалов полного типа с условиями Разумихина. В работе [44] получены необходимые условия положительной определённости функционалов (а значит, необходимые условия экспоненциальной устойчивости) для систем с одним запаздыванием.

Целыо настоящего исследования является поиск условий экспоненциальной устойчивости систем с запаздыванием (как необходимых, так и достаточных), выраженных исключительно через матрицу Ляпунова. Иными словами, работа посвящена обобщению известного критерия для уравнений без запаздывания: система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда матрица Ляпунова положительно определена. Полученное обобщение позволяет находить точные области экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров линейных систем с запаздыванием, возникающих, в частности, в задачах автоматического регулирования.

Работа состоит из трёх глав. Первая глава вводит основные понятия, используемые в диссертации. В этой главе рассмотрены существующие методы исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием, приводится тривиальное обобщение теоремы Красовского об экспоненциальной устойчивости. Вторая глава полностью посвящена методу функционалов Ляпуиова-Красовского полного типа. Здесь приводятся полученные нами вспомогательные результаты, которые касаются преобразований функционалов Ляпуиова-Красовского и свойств матриц Ляпунова. Третья глава, является основной. В первом параграфе этой главы доказывается новый критерий экспоненциальной устойчивости уравнения с одним запаздыванием, выраженный через матрицу Ляпунова. Второй параграф посвящён получению необходимых условий экспоненциальной устойчивости, выраженных также через матрицу Ляпунова, для систем с одним и несколькими запаздывани-

ями. Преимуществом представленного подхода является его относительная простота и наглядность. Подход, описанный в третьем параграфе, усиливает условия из второго параграфа и расширяет класс систем, для которых эти условия верны. Четвёртый параграф посвящён доказательству того, что полученные условия устойчивости являются не только необходимыми, но и достаточными. Пятый параграф иллюстрирует применение полученных результатов для определения точных областей устойчивости систем в пространстве параметров.

На основании результатов диссертации были представлены доклады и опубликованы статьи в сборниках трудов конференций: "8-th international conference on electrical engineering, computing science and automatic control", "10-th IFAC workshop on time delay systems" и "11-th IFAC workshop on time delay systems".

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13-15,42,43].

На защиту выносятся следующие основные положения:

• утверждения 2.15 и 2.31 - новые свойства матриц Ляпунова,

• теорема 3.2 - критерий экспоненциальной устойчивости уравнения с одним запаздыванием,

• теорема 3.20 - необходимые условия экспоненциальной устойчивости систем с несколькими запаздываниями,

• теорема 3.32 - критерий экспоненциальной устойчивости систем с несколькими запаздываниями.

Глава 1

Системы линейных уравнений с запаздыванием

1.1. Общие сведения

В работе рассматривается линейная дифференциально-разностная система с несколькими сосредоточенными запаздываниями

Здесь х £ Ма. а Ао, А\...., Ат - вещественные постоянные матрицы размерности п х г?. Считаем, что запаздывания упорядочены следующим образом:

Выделим частный случай, который неоднократно упоминается в работе. -система с кратными, запаздываниями, т.е. система, запаздывания которой имеют вид ¡13 = ]1г. ,7 = 1, т.

Как известно из [1], бесконечно продолжимое вправо решение системы (1.1) однозначно определяется начальным моментом ¿о и начальной вектор-функцией

т

(1.1)

.7=0

0 = Но < /¿1 < ... < Ъ,т = Я.

</?(#); определённой на отрезке [¿о — Н, ¿0]- Функции </? будем брать из пространства кусочно-непрерывных вектор-функций РС ([¿о — Я, £о].М"'). При этом, начиная с момента ¿о, решение системы станет непрерывным. Рассматриваемая система стационарна, поэтому с точки зрения устойчивости начальный момент времени может быть выбран произвольно. Будем считать, что £о = 0.

Решение системы (1.1). соответствующее начальной функции (/?, обозначим через х{1, (р), £ ^ 0:

= <¿>(0). в е [-Я, 0].

А через х^ф) будем обозначать сегмент решения, соответствующий аргументу, изменяющемуся в пределах отрезка [£ — Я. £]. Иными словами, х^ф) ~ функция, заданная на отрезке [—Я, 0], для которой Х1(ф){0) = х(Ь + в,ф)\

хг{(р) : вх{г + е,(р), 0е[-я, о].

Очевидно, что хо(ср) = (р. Для краткости в приведённых обозначениях будем опускать аргумент (/?, когда его значение несущественно.

1.2. Методы исследования устойчивости

Начнём параграф со стандартного определения экспоненциальной устойчивости для линейных систем с запаздыванием.

Определение 1.1. Система (1.1) называется экспоненциально устойчивой, если существуют константы 7 ^ 1 и о > 0 такие, что

для любой начальной функции (р.

Из [1| известно, что экспоненциальная устойчивость линейной системы (1.1) эквивалентна её асимптотической устойчивости, а это значит, что верна следующая лемма.

Лемма 1.2. Система (1.1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда для любого s > 0 существует А = А (с) > О такое, что из неравенства \\(р\\и ^ А следует выполнение условий:

1) < е при t^O,

2) lim x(t.<p) = О.

t-¥ + ОС

Первая группа методов исследования устойчивости систем с запаздыванием основана на следующей теореме.

Теорема 1.3. Система (1.1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда все её характеристические числа, т.е. нули характеристического квазиполином,а

p(s) = det ( si - J2 e~hj"Aj j • (1-2)

лежат в левой открытой комплексной полуплоскости.

Этот критерий обобщает аналогичное утверждение для систем без запаздывания. Основная проблема его применения заключается в том, что характеристический квазиполином имеет, вообще говоря, счётное число нулей.

Вторая группа методов исследования устойчивости основана на обобщении известного из теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго метода Ляпунова. Это обобщение, предложенное H. Н. Красовским [5], называется методом функционалов Лянунова-Красовского, развитию которого посвящена данная работа.

Определение 1.4. Функционал

g: РСЦ-Н, 0],Rn)-»Rp,

где р - некоторое натуральное число, будем называть непрерывным в нуле, если для любого £ > 0 существует Ô = <5(е) > 0 такое, что при < S выполнено

неравенство

\Ш -р(0)|| <£. 13

Теорема 1.5 (Красовский, 1956, [5]). Существование непрерывных в нуле скалярных функционалов uw(ip),ipe PC ([—Н, 0], Ш"), удовлетворяющих условию ■и(О) = w(0) = 0 и связанных на решениях системы (1.1) соотношением

^ = (1-3)

для которых найдутся чист, о- > 0 и ß > 0 такие, что

v(<p) > аУ(0)\\2,

гарантирует экспоненциальную устойчивость системы (1.1).

Сформулируем и докажем обобщение приведённого результата.

Теорема 1.6. Существование непрерывных в нуле скалярных функционалов v(<p) и w((p), с/? Е PC ([—Н, 0], Шп), удовлетворяюищх условию г>(0) = w(0) = 0 и связанных на решениях системы (1.1) соотношением

dv(xt) . , — = -w(xf),

для которых най�