автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ устойчивости линейных систем с запаздывающим аргументом

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

0ОЧО А " ■ -

Чашников Михаил Викторович

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 1 ОКТ 2010

Санкт-Петербург 2010 г.

004610973

Работа выполнена на кафедре теории управления факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор Харитонов Владимир Леонидович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Александров Александр Юрьевич, (Санкт-Петербургский государственный университет)

кандидат технических наук, доцент Чечурин Леонид Сергеевич (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет)

Защита состоится 27 октября 2010 г. в часов на заседании совета Д 212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Автореферат размещён на сайте www.spbu.ru.

Автореферат разослан «_»_ 2010 г.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Институт Проблем Управления РАН (Москва)

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Г. И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из основных типов систем автоматического управления является система управления с обратной связью. В случае, когда обратная связь имеет запаздывание по времени, замкнутая система описывается уравнением с запаздыванием.

Начиная с середины прошлого века, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом были описаны и исследованы во многих работах Р. Беллмана, К. Кука, Н. Н. Красовского, Дж. Хейла, В. Б. Колмановского, А. Д. Мышкиса, В. Р. Носова.

При стабилизации управляемой системы становится актуальным вопрос устойчивости описывающих её системы дифференциальных уравнений, понимаемой как близость возмущённого решения к номинальному при малых возмущениях начальных данных.

При исследовании устойчивости линейных стационарных систем широко применяются два основных подхода. Первый подход состоит в анализе спектра — множества характеристических чисел системы, являющихся в случае запаздывающих систем корнями характеристического квазиполинома. Знание расположения элементов спектра на комплексной плоскости позволяет легко сделать вывод об устойчивости исходной системы. Основная трудность данного подхода заключается в том, что характеристические числа, вообще говоря, не могут быть получены в явном виде как функция параметров системы.

Второй подход называётся методом Ляпунова-Красовского и состоит в обобщении классического второго метода Ляпунова на случай систем с запаздывающим аргументом. Основная идея подхода заключается в том, что вместо функции Ляпунова берётся функционал, определённый на множестве вектор-функций, и потому аргументом для него является не текущее состояние системы, а её предыстория на промежутке, равном наибольшему запаздыванию.

После успешного обобщения второго метода Ляпунова для запаздывающих систем стала актуальной проблема построения положительно-определённых функционалов с отрицательно-определённой производной. Для линейных систем вопрос по-

строения функционала Ляпунова был рассмотрен Ю. М. Репиным, искомый функционал строился по наперёд заданной производной. Показано, что функционал определялся некоторым набором матричных функций, для которых были получены соответствующие совокупности дифференциальных и функционально-разностных уравнений с граничными условиями. Были также предложены упрощения, после которых для определения функционала требуется только одна матрица, называемая матрицей Ляпунова. Исследования в этом направлении продолжили R. Datko, V. В. Castelan и Е. F. Infante, J. Louiseil.

Первоначально формула матрицы Ляпунова представляла собой несобственный интеграл, включающий фундаментальную матрицу исходной системы — на практике нахождение фундаментальной матрицы затруднительно, кроме того, в случае неустойчивости системы интеграл оказывался расходящимся и формула не имела смысла. Освободиться от этого ограничения позволило новое определение матрицы Ляпунова1, не требующее ни знания фундаментальной матрицы, ни экспоненциальной устойчивости исходной системы. Согласно новому определению, матрица Ляпунова является решением дифференциально-разностной системы с дополнительными граничными условиями. Было показано, что существование матрицы Ляпунова равносильно отсутствию у исходной системы характеристических чисел, расположенных симметрично относительно начала координат.

В ряде случаев вопрос построения матрицы Ляпунова сводится к отысканию решения специальной граничной задачи без запаздываний. Для случая одного дискретного запаздывания был доказан критерий единственности, условие которого совпало с условием существования — отсутствие симметричных относительно начала координат характеристических чисел.

Цель работы. Целью настоящей работы является разработка нового подхода анализа системы линейных дифференциальных уравнений с запаздываниями, позволяющего обобщить критерий единственности матрицы Ляпунова для более широкого класса запаздывающих систем. Основное содержание работы составляют четыре главы, включающие десять параграфов со сквозной нумерацией, а также иллюстрация

1 Huang W. Generalization of Liapunov's theorem in a linear delay system. //J. Math. Anal. Appl. 1989. P. 83-94.

применения полученного подхода в практическом приложении.

Научная новизна. В диссертационной работе предложен новый подход к доказательству критерия единственности матрицы Ляпунова. Этот подход позволяет распространить критерий на случай систем с произвольным числом кратных запаздываний, а также систем с распределённым запаздыванием.

Теоретическая и практическая значимость. Квадратичные функционалы Ляпунова применяются для оценки области устойчивости, оценки робастно-сти, экспоненциальной оценки решений, отыскания оптимальных стабилизирующих управлений, отыскания критических значений запаздываний и параметров. Матрица Ляпунова играет ключевую роль в построении функционалов, вопрос её единственности является существенным при разработке численных методов решения задающих её уравнений.

Апробация работы. Основные положения диссертации и полученные результаты докладывались и обсуждались на XXXVII и ХХХХ научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики и процессов управления (г. Санкт-Петербург, 2006, 2009), международной конференции 3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control (г. Санкт-Петербург, 2009), а также на семинаре кафедры теории управления факультета прикладной математики и процессов управления СПбГУ.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликованы четыре печатные работы, в том числе одна в журнале, входящем в список ВАК. Перечень публикаций приведён в конце автореферата.

В первой главе рассматривается система линейных стационарных уравнений с кратными запаздываниями:

к=0

Здесь х е К", Ак е К"*", к = 0,1,...,т. Решение системы (1.1) определяется начальным моментом Ь0 и начальной вектор-функцией <р(б), в е [¿о - Я, £0], Н = так.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

тп

(i.i)

Определение 1. 2 Система (1.1) называется экспоненциально устойчивой, если существуют 7 > 1 и а > 0 такие, что неравенство

ll*(i.V)ll<7e-,rt|MI//. t - °>

справедливо для каждого решения этой системы. Определение 2. 3 Спектром системы (1.1) называется множество

т

Л = {А е С I det(XE - J2e~khxAk) = 0}. к=0

Элементы спектра называются характеристическими числами системы (1.1). Определение 3. Функционалом будем называть отображение

где РС{~Я,0] — множество кусочно-непрерывных функций, определённых на промежутке [-#, 0].

ТЕОРЕМА 1.1. 4 Пусть известен функционал и(-), удовлетворяющий условиям: 1) существуют ai > 0 и с*2 > 0 такие, что выполняются неравенства

ai||^(0)||2<^)<a2HL vePCl-H,% (1.2)

2) существует /3 > 0 такое, что вдоль любого решения x(t) системы (1.1)

t>o. (is)

Тогда система (1.1) является асимптотически устойчивой.

Зададим положительно определённые матрицы Wj, j = 0,1,...,2m и выберем функционал

т

w{<p) = VT(0)WoV(t) + ]Г xT(t - jh)WiV(-jh)+

m м

+E / ч>Т(тт+мв)м j=i J-ih

2Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М., 1967, 548 с.

3Беллнан Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М., 1967, 548 с.

4 Красивсхий Н. И. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями

времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. С. 315-327.

Поставим задачу отыскания функционала, производная которого вдоль решений системы (1.1) удовлетворяет равенству

^ = -(*,), t>0. (1.5)

ах

Определение 4. Матрицей Ляпунова для системы (1.1), ассоциированной с положительно определённой матрицей IV, будем называть вещественную матричную функцию и(т) размерности п х п, определённую на промежутке т е \-rnh, т/1], удовлетворяющую трём условиям:

1) динамическому условию

т

и'(т) = ^2и{т-ЩАк, т в [0,т/г], (1.6)

к=О

2) условию симметрии

и(-т) = ит(т), те [0,т/г], (1.7)

3) алгебраическому условию

£/'(+0) - У'(-О) = -IV. (1.8)

Положим

т

Ж = ИЬ + + jhWm+j). (1.9)

Рассмотрим функционал

т .«о

«(¥>) = ¥>Т(0)[/(0М0) + 2^т(0) / ^(-6 - зЪ)А&(в)<1е+

«/-771

Шо

3=1 *л /•О

X

сО

и(в 1 + кЪ,-в2- зЬ)А&{вг)в^

<" г О

■ £ / + № + где II(т) — матрица Ляпунова, ассоциированная с И7.

(1.10)

Известно5, что функционал v, заданный формулой (1.10), удовлетворяет вдоль решений системы (1.1) условию (1.5).

Во второй главе ставится вопрос о единственности матрицы Ляпунова для систем с кратными запаздываниями в случае т > 1.

Пусть U(г) — матрица Ляпунова. Определим матричные функции Zk{r), Ук(т) по формулам

гк{т) = и{т + kh), Vk(r) = U(т — (к + l)h), г 6 [0,/í], к = 0,... ,m — 1. (1.11)

Эти матрицы являются решением системы

к m

4(т) = Х>-ЛФ£ re [0,Л],

¿=o j=k+1

' Ц(т) = - ¿ A]Vk4{r) - ¿ Afz^r), г e [0, /г], (U2)

j=0 j=fc+l

fc = 0,... ,m - 1, с граничными условиями

' 25(0) - V¿(h) = -ж,

' 3,(0) - v0(h) = 0, (1.13)

k Zk^(h) = Zfc(0), vfc-i(0) = Vfc(h), fc = 1,... ,m - 1.

Верно и обратное:

УТВЕРЖДЕНИЕ 1.1. Дели набор матриц (Zm_i(r), ..., Z0(r), У0(т), ..., K,_i(t)) является решением (1.12),(1.13), то матрица U(r), определённая по формуле

Щт) =1 (Zk(r - kh) + VkT((k + 1 )h - г)),

kh <т <{k + l)h, 0 < fc < m - 1, (L14)

U(t)=Ut(-t), ~mh < r < 0, будет решением (1.6)-(1.8).

üKharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time delay systems // Automática. 2003. Vol. 39. P. 15-20.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1.2. Граничная задача (1.12)-(1.13) имеет нетривиальное решение при XV = 0 тогда и только тогда, когда существует А такое, что Л и —Л принадлежат спектру системы (1.1).

Замечание 1. Граничная задача (1.12)—(1.13) имеет только тривиальное решение при XV = 0 тогда и только тогда, когда она имеет единственное решение при любой симметрической матрице XV.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1.3. Матрица Ляпунова для системы (1.1), ассоциированная с положительно определённой матрицей XV, единственна тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение системы (1.1) не содержит корней, расположенных симметрично относительно начала координат.

В третьей главе рассматривается линейная дифференциально-разностная система с распределённым запаздыванием:

Здесь I £ ИГ, А1 е ПГ*П, ] = 0,1, С(0) 6 РС[-к, 0]. Решение системы (2.15) определяется начальным моментом ¿о и начальной вектор-функцией <¿>(0), в 6 [£0 — Мо]-

Через х{р, обозначим решение системы (2.15) с начальной вектор-функцией ¡р, а через Хг обозначим сегмент траектории х(Ь, р) на промежутке [Ь — /г, 4]: (¿>)|£ £

Рассмотрим проблему построения функционала Ляпунова для данного случая.

Определение 5. Матрицей Ляпунова для системы (2.15), ассоциированной с положительно определённой матрицей XV, будем называть вещественную матричную функцию и (г) размерности пхп, определённую на промежутке г е [—Л, Л], удовлетворяющую трём условиям:

■о

(2.15)

[¿-М]).

•о

и{т + в)С(в)М, т е [0, /г], (2.16)

-л

с условием симметрии

Щ-т) = ит(т), т € [0,/г],

(2.17)

и алгебраическим условием

£/'(+0) - и'{-0) = -Ж (2.18)

Выберем функционал

ЛО

п(<р) = Ч>т(0)\У0ф) + 1рт{-к)\У11р(-к)+ / <рт(в)\¥21р(е)<1в (2.19)

з-н

и поставим задачу отыскания функционала V, производная которого вдоль решений системы (2.15) удовлетворяет равенству

^ = * > 0. (2.20)

м

Положим

№ = + + Ъ\У2 (2.21)

и построим функционал

у(<р) = рт(0)[/(ОМО) + 2^(0) 1° (и(-Н - в)Ах+

+ У" </(6,) ^"17(01 - 62)А1+

гН

+ 2 у А\и{Н + 01 - 02 + ЫС(6К2+ + [Н Г ст(ь)ти(е! - в2 - е, + 6)0(6)^^21X

•/-¡I ./-<1

/•0

где [/(г) — матрица Ляпунова д ля системы (2.15), ассоциированная с матрицей (2.21). Функционал (2.22) вдоль решений системы (2.15) удовлетворяет равенству (2.20).

Четвёртая глава рассматривает вопрос единственности матрицы Ляпунова для случаев, когда 6(0) постоянна или линейна. Во втором случае мы имеем 6(0) = В0 + вВи В0,В1е Е"х". Тогда система (2.15) примет вид

¿(0 = А0хЦ) + А&Ц - к) + ( (В0 + ОВ^хЦ + в)<1в, Ь > 0 (2.23) 10

(2.22)

Матрица Ляпунова в этом случае является решением системы

U'(t) = U(t)A0 + U{t - h)Ai + [ U(t + e){B0 + eB1)de, г е [0,/i], (2.24)

J-h

с условием симметрии

U(-t) = Ut(t), те [0,h], (2.25)

и алгебраическим условием

£/'(+0) - f/'(-0) = -W. (2.26)

Определение 6. Под характеристической функцией системы (2.23) будем понимать комплексную функцию

g(s) = det (sE -А0- e-s% - f(s)B0 - /'(s)ßi),

где f(s) =

ТЕОРЕМА 2.2. 6 Для того, чтобы для системы (2.23) и любой симметрической матрицы W существовала ассоциированная с ней матрица Ляпунова, необходимо и достаточно, чтобы характеристическая функция системы (2.23) не имела корней, расположенных симметрично относительно начала координат.

Определим на отрезке т 6 [0,ft] новые матрицы Z(t), V(t), Х0(т), Xi(t), Yo(t), Fi (г) по формуле:

Z(r) = U(t), V(t) = U(t - h),

X0(t)= f U(r + 9)d9, J-h

i(T)= f 9U(r + 9)d9, (2'27)

J-h

*I(T) = ,

-h

Yo(t)=

-h

(r) = J U(t — 6 — h)d9,

K!(r)= f 6U(r — в — h)d6. J-h

6Huang W. Generalization of Liapunov's theorem in a linear delay system. // J. Math. Anal. Appl. 1989. P. 83-94.

Набор этих матриц является решением системы уравнений

' г'{т) = г{т)А0 + у(т)л, + х0(т)в0 + х^в ь У(т) = -А1У(т) - А?2(г) - ВТу0(т) - в1У1(т), Х'о{т) — Z(т) — У(т),

ад = щг)-ад,

уЦт) = г(т)-у(т),

ьУ1'(т) = -Л2(г) + Уо(г)> с граничными условиями

(2.28)

(2.29)

Z'{0) - V'{h) = -W, Z{0) - V{h) = 0, X0(0)= f V{e)de,X1{0)= Г (6-h)V(e)d9

J о J о

Y0(h)= f Z(6)d9, J о

Y\{h) = - f ez(9)d9. J о

И наоборот — из решения граничной задачи (2.28),(2.29) можно получить матрицу Ляпунова:

УТВЕРЖДЕНИЕ 2.4. Если набор матриц Z(r), V(t), X0(r), Х,(т), У0{т), У,(т) является решением (2.28),(2.29), то матрица U(t), определённая по формуле

U(t) = ^ (Z(t) + VT(h - т)) , 0<r<h,

U(t) = Ut{—t), —h < т < О, будет решением (2.24)-(2.26).

(2.30)

УТВЕРЖДЕНИЕ 2.5. Система (2.28)-(2.29) имеет нетривиальное решение при = 0 тогда и только тогда, когда существует А такое, что А и —А принадлежат спектру системы (2.23).

Замечание 2. Граничная задача (2.28),(2.29) имеет только тривиальное решение при \¥ = 0 тогда и только тогда, когда она имеет единственное решение при любой симметрической матрице И'.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2.6. Матрица Ляпунова для системы (2.23), ассоциированная с симметрической матрицей IV, единственна тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение системы (2.23) не содержит корней, расположенных симметрично относительно начала координат.

СЛЕДСТВИЕ 1. Матрица Ляпунова для системы (2.23), ассоциированная с симметрической матрицей IV, единственна, если система (2.28) асимптотически устойчива.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА

ЗАЩИТУ

Для систем линейных стационарных дифференциально-разностных уравнений с произвольным числом кратных запаздываний получены следующие результаты:

1. Получены неоходимые и достаточные условия, при которых специальная граничная задача с нулевыми граничными условиями имеет только тривиальное решение.

2. Доказан критерий единственности матрицы Ляпунова в терминах характеристических чисел исходной системы.

Для систем линейных стационарных дифференциально-разностных уравнений с распределённым запаздыванием, когда весовая матрица постоянна или линейна, получены следующие результаты:

3. Матрица Ляпунова может быть найдена из решения специальной граничной задачи без запаздываний.

4. Получены неоходимые и достаточные условия, при которых специальная граничная задача с нулевыми граничными условиями имеет только тривиальное решение.

5. Доказан критерий единственности матрицы Ляпунова в терминах характеристических чисел исходной системы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК

1. Чашников М. В. К вопросу о единственности матрицы Ляпунова: случай систем с кратными запаздываниями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 2. С. 169-178.

Публикации в других изданиях

2. Чашников М. В. Использование запаздывания в задаче стабилизации колебательной системы // Труды XXXVII международной научной конференции аспирантов и студентов. Изд. СПбГУ. 2006 С. 108-112.

3. Чашников М. В. On the uniqueness problem of Lyapunov matrices: a system with distributed delay // 3rd IEEE Multi-conference Systems and Control, 2009. P. 1214-1217.

4. Чашников M. В. К вопросу о единственности матрицы Ляпунова: случай систем с распределённым запаздыванием // Труды XL международной научной конференции аспирантов и студентов. Изд. СПбГУ. 2009 С. 79-84.

Подписано к печати 13.09.10. Формат 60 *84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4907. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812)428-40-43, 428-69-19

Введение.

Глава I. Метод Ляпунова-Красовского для систем с кратными запаздываниями.

§ 1. Описание системы.

§ 2. Методы исследования устойчивости.

§3. Построение функционалов Ляпунова. Матрица Ляпунова.

Глава II. Существование и единственность матрицы Ляпунова для систем с дискретнымими запаздываниями.

§4. Случай системы с одним запаздыванием.

§ 5. Случай системы с двумя кратными запаздываниями.

§ 6. Случай системы с конечным числом кратных запаздывний

Глава III. Метод Ляпунова-Красовского для систем с распределённым запаздыванием.

§ 7. Описание системы.

§ 8. Построение функционалов Ляпунова.

Глава IV. Единственность матрицы Ляпунова для систем с распределённым запаздыванием.

§ 9. Случай с постоянной весовой матрицей.

§ 10. Случай с линейной весовой матрицей.

Одним из основных типов систем автоматического управления является система управления с обратной связью. В случае, когда обратная связь имеет запаздывание по времени, замкнутая система описывается уравнением с запаздыванием.

Начиная с середины прошлого века, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом были описаны и исследованы во многих работах [1] [5] [14] [10] [3] [2]. Системы с запаздываниями, их различные применения в приложениях рассмотрены в работах [24] [27] [43] [39] [40] [46]. Важность запаздывания в прикладных задачах с транспортными задержками в каналах измерения и управления отмечена в [15], [19]—[23], [28], [33], [35]-[38], [41][42][44][45], [47]-[49].

При стабилизации управляемой системы становится актуальным вопрос устойчивости описывающей её системы дифференциальных уравнений, понимаемой как близость возмущённого решения к номинальному при малых возмущениях начальных данных.

При исследовании устойчивости линейных стационарных систем широко применяются два основных подхода. Первый подход состоит в анализе спектра — множества характеристических чисел системы, являющихся в случае запаздывающих систем корнями характеристического квазиполинома. Знание расположения элементов спектра на комплексной плоскости позволяет легко сделать вывод об устойчивости исходной системы. Основная трудность данного подхода заключается в том, что характеристические числа, вообще говоря, не могут быть получены в явном виде как функция параметров системы.

Второй подход называется методом Ляпунова-Красовского и состоит в обобщении классического второго метода Ляпунова на случай систем с запаздывающим аргументом. Он был предложен Н. Н. Красовским [4][5]. Основная идея подхода заключается в том, что вместо функции Ляпунова берётся функционал, определённый на множестве вектор-функций, и потому аргументом для него является не текущее состояние системы, а её предыстория на промежутке, равном наибольшему запаздыванию.

Отметим, что, помимо оценки области устойчивости, квадратичные функционалы Ляпунова могут также применяться для оценки робастно-сти, экспоненциальной оценки решений, отыскания оптимальных стабилизирующих управлений, отыскания критических значений запаздываний и параметров.

После успешного обобщения второго метода Ляпунова для запаздывающих систем стала актуальной проблема построения положительно-определённых функционалов с отрицательно-определённой производной. Для линейных систем вопрос построения функционала Ляпунова был рассмотрен Ю. М. Репиным в [7], где искомый функционал строился по наперёд заданной производной. Показано, что функционал определялся некоторым набором матричных функций, для которых были получены соответствующие совокупности дифференциальных и функционально-разностных уравнений с граничными условиями. Были также предложены упрощения, после которых для определения функционала требуется только одна матрица, называемая матрицей Ляпунова. Исследования в этом направлении продолжили Я. Datko [18], V. В. Castelan и

E. F. Infante [16][26], J. Louisell [34].

Первоначально формула матрицы Ляпунова представляла собой несобственный интеграл, включающий фундаментальную матрицу исходной системы — на практике нахождение фундаментальной матрицы затруднительно, кроме того, в случае неустойчивости системы интеграл оказывался расходящимся и формула не имела смысла. Освободиться от этого ограничения позволило новое определение матрицы Ляпунова [25], не требующее ни знания фундаментальной матрицы, ни экспоненциальной устойчивости исходной системы. Согласно новому определению, матрица Ляпунова является решением дифференциально-разностной системы с дополнительными граничными условиями. Также в работе [25] было показано, что существование матрицы Ляпунова равносильно отсутствию у исходной системы характеристических чисел, расположенных симметрично относительно начала координат.

Однако, применение квадратичного функционала в теоремах Красов-ского подразумевало наличие его квадратичной же оценки, в то время как в [25] была получена лишь локальная кубическая оценка. В. Л. Харитонов и А. П. Жабко предложили модифицированный вариант квадратичного функционала, производная которого, в свою очередь, являлась функционалом, зависящим от предыстории состояния системы [29]. Модификация позволила получить искомую глобальную квадратичную оценку и, таким образом, применять функционал в теоремах Красовеко-го.

В ряде случаев вопрос построения матрицы Ляпунова сводится к отысканию решения специальной граничной задачи без запаздываний [30]. Для случая одного дискретного запаздывания был доказан критерий единственности, условие которого совпало с условием существования в [25] — отсутствие симметричных относительно начала координат характеристических чисел.

Целью настоящей работы является разработка нового подхода к анализу системы линейных дифференциальных уравнений с запаздываниями, позволяющего обобщить критерий единственности матрицы Ляпунова для более широкого класса запаздывающих систем. Основное содержание работы составляют четыре главы, включающие десять параграфов со сквозной нумерацией, а также иллюстрация применения полученного подхода в практическом приложении.

Первый параграф содержит описание системы с конечным числом кратных запаздываний, вводит необходимые обозначения и определение экспоненциальной устойчивости.

Второй параграф описывает два основных метода исследования устойчивости, применяемых к данной системе — исследование характе-рических чисел системы и метод функционалов Ляпунова, также известный как метод Ляпунова—Красовского.

Третий параграф рассматривает различные конструктивные подходы к построению квадратичных функционалов, позволяющие использовать метод Ляпунова—Красовского на практике. Искомые функционалы и их производные должны допускать определённые квадратичные оценки, поэтому возможен выбор: строить сначала функционал и затем искать условия, при которых его производная удовлетворяет нужному неравенству, или же наоборот — по наперёд заданной производной построить искомый функционал. При втором подходе, как выясняется, ключевую роль играет так называемая матрица Ляпунова. Эта матрица является решением матричного дифференциально-разностного уравнения с дополнительными граничными условиями.

В четвёртом параграфе рассматривается случай системы с одним дискретным запаздыванием и ставится вопрос о существовании и единственности матрицы Ляпунова. Подробно разбираются известные ранее результаты — способ сведения задачи нахождения матрицы Ляпунова к решению специальной граничной задачи без запаздываний и доказательство критерия единственности. Далее предлагается альтернативный вариант доказательства критерия единственности. В конце параграфа приводится пример использования полученного критерия в практическом приложении, применительно к исследованной автором механической колебательной системе.

Пятый параграф посвящён случаю с двумя кратными запаздываниями. Выясняется, что ранее известный способ доказательства критерия единственности на данный случай не распространяется. К успеху приводит обобщение предложенного автором альтернативного способа доказательства.

В шестом параграфе полученные результаты обобщаются на случай системы с произвольным конечным числом кратных запаздываний.

Седьмой параграф содержит описание системы с распределённым запаздыванием.

В восьмом параграфе рассматривается проблема построения функционалов Ляпунова в случае систем с распределённым запаздыванием. Приводятся формулировки необходимых теорем и формула квадратичного функционала.

В девятом параграфе для случая с постоянной весовой матрицей строится специальная граничная задача без запаздываний, решение которой позволяет получить матрицу Ляпунова. Доказывается критерий единственности матрицы Ляпунова.

Десятый параграф обобщает полученные результаты на случай распределённого запаздывания с линейной весовой матрицей.

Основные положения диссертации и полученные результаты докладывались и обсуждались на XXXVII и ХХХХ научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики и процессов управления (г. Санкт-Петербург, 2006, 2009) , международной конференции 3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control (г. Санкт-Петербург, 2009), а также на семинаре кафедры теории управления факультета прикладной математики и процессов управления СПб-ГУ.

На защиту выносятся следующие основные результаты: утверждение 6.1, позволяющее для случая систем с произвольным числом кратных дискретных запаздываний получить матрицу Ляпунова из решения граничной задачи без запаздываний; альтернативный вариант доказательства теоремы 4.3, допускающий обобщение на случай двух и более кратных запаздываний (утвержения 5.2 и 6.2); критерий единственности матрицы Ляпунова для случая систем с кратными запаздываниями (утверждение 6.3); способ получить матрицу Ляпунова для систем с распределённым запаздыванием из решения специальной граничной задачи без запаздываний (утверждения 9.1 и 10.1); утверждения 9.2 и 10.2 об эквивалентности существования только нулевого решения граничной задачи без запаздываний и отсутствия элементов спектра исходной системы, симметричных относительно начала координат; критерий единственности матрицы Ляпунова для случая систем с распределённым запаздыванием (утверждения 9.3 и 10.3).

Заключение

В диссертации предложен новый подход к анализу системы линейных дифференциальных уравнений с запаздываниями, позволивший получить критерий единственности матрицы Ляпунова для случая систем с конечным числом кратных запаздываний и случая систем с распределённым запаздыванием при постоянной или линейной весовой матрице. За основу взята идея доказательства для случая с одним запаздыванием, представленная в [30]. Показан способ получения матрицы Ляпунова из решения граничной задачи без запаздываний в общем случае (утверждение 6.1). Предложен альтернативный вариант доказательства теоремы 4.3, допускающий обобщение на случай двух и более кратных запаздываний (утвержения 5.2 и 6.2). Доказан критерий единственности матрицы Ляпунова (утверждение 6.3), проиллюстрировано его применение в практическом приложении. Для систем с распределённым запаздыванием предложен выбор граничных условий для построенной в [31] системы уравнений без запаздываний, что позволяет из решения граничной задачи получить матрицу Ляпунова (утверждения 9.1 и 10.1). Доказана эквивалентность существования только нулевого решения граничной задачи без запаздываний и отсутствия элементов спектра исходной системы, симметричных относительно начала координат (утверждения 9.2 и 10.2). Доказан критерий единственности матрицы Ляпунова (утверждения 9.3 и 10.3).

Полученные результаты в перспективе могут быть использованы при обобщении на случай более широкого класса систем дифференциальных уравнений.

1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М., 1967, 548 с.

2. Колмановский В.В., Мышкис А.Д. Прикладная теория функционально-дифференциальных уравнений. М., 1992.

3. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость функционально-дифференциальных уравнений. М., 1986.

4. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. С. 315-327.

5. Красовский Н. Н. Некоторые задачи устойчивости движения. М., Государственное изд. физ.-мат. литературы. 1959. 211 с.

6. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 6-е изд. М.: Наука, 1970. 280 с.

7. Репин Ю. М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29. С. 564-566.

8. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной. I. Функционалы полного типа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2005: Прикладная математика, информатика, процессы управления. Вып. 1-2. С. 110-117.

9. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной. II. Матрицы Ляпунова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1-2. С. 199-207.

10. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М., 1984, 512 с.

11. Чашников М. В. Использование запаздывания в задаче стабилизации колебательной системы // Труды XXXVII международной научной конференции аспирантов и студентов. Изд. СПбГУ. 2006 С. 108-112.

12. Чашников М. В. К вопросу о единственности матрицы Ляпунова: случай систем с кратными запаздываниями // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 2. С. 169-178.

13. Чашников М. В. К вопросу о единственности матрицы Ляпунова: случай систем с распределённым запаздыванием // Труды XL международной научной конференции аспирантов и студентов. Изд. СПб-ГУ. 2009 С. 79-84.

14. Эльсгольц Л.Э., Норкин C.B. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1971, 296 с.

15. Boccadoro M., Martinelli F., Vagiri P. Control of supply chain with production and transportation delays // Sixth IFAC Workshop on Time-Delay Systems, 2006.

16. Castelan W.B., Infante E.F. On a functional equation arising in the stability theory of difference-differential equations // Quarterly of applied mathematics., Vol. 35, 1977, P. 311-319.

17. Chashnikov M. On the uniqueness problem of Lyapunov matrices: a system with distributed delay // 3rd IEEE Multi-conference Systems and Control, 2009. P. 1214-1217.

18. Datko R. An algorithm for computing Lyapunov functionals for some differential equations // NRL-MRC conference. Academic press. 1972.

19. Dym H., Georgiou T., Smith M. C. Explict formulas for optimally robust controllers for time-delay systems // IEEE Trans, on Automatic Control, 40, pp. 656-659. 1995.

20. Fridman E., Gouaisbaut F., Dambrine M., Richard J.-P. A descriptor approach to sliding mode control of systems with time varying delays // ECC 03, Cambridge, England. 2003.

21. Fridman L., Strygin V., Polyakov A. Stabilization of amplitude of oscillations via relay delay control // Int. J. Control, 76(8), pp. 770-780, 2003.

22. Gabasov R., Kirillova F.M., Yarmosh O.P. Optimal real-time control of time delay systems // Sixth IFAC Workshop on Time-Delay Systems, 2006.

23. Garvia-Gabin W., Normey-Rico J. E., Camacho E. F. Sliding mode predictive control of a delayed CSTR // Sixth IFAC Workshop on Time-Delay Systems, 2006.

24. Gu K., Nuculescu S.-I., Chen J. On stability crossing curves for general systems with two delays // Fifth IFAC Workshop on Time Delay Systems. 2004.

25. Huang W. Generalization of Liapunov's theorem in a linear delay system // J. Math. Anal. Appl. 1989. P. 83-94.

26. Infante E.F., Castelan W.B. A Lyapunov functional for a matrix difference-differential equation // Journal of differential equations. Vol. 29, 1978, P. 439-451.

27. Keqin G., Kharitonov V. L., Chen J. Stability on time-delay systems. Birkhauser. 2003.

28. Kharitonov V.L., Mondie S., Santos 0. Linear quadratic suboptimal control for time delays systems // Sixth IFAC Workshop on Time-Delay Systems, 2006.

29. Kharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time delay systems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 15-20.

30. Kharitonov V. L., Plischke E. Lyapunov matrices for time-delay systems // Systems & Control Letters. 2006. P. 697-706.

31. Kharitonov V. L. Lyapunov matrices for a class of time-delay systems 11 Systems k Control Letters. 2006. P. 610-617.

32. Kharitonov V. L. Lyapunov-Krasovskii functionals for scalar time delay equations // Systems h Control Letters, pp. 133-149. 2004.

33. Lampe B.P., Rosenwasser E.N. Modal control for sampled-data systems with generalized hidher-order hold and time-delay // Sixth IFAC Workshop on Time-Delay Systems. 2006.

34. Louis ell J. A matrix method for determining the imaginary axis eigenvalues of a delay system // IEEE Trans, on automatic control, vol. 46. 2001.

35. Mahmoud, M. Robust control and filtering for time-delay Systems. Dekker. 2000.

36. Manitus A. Feedback controllers for a wind tunnel model involving a delay: Analytical design and numerical simulation, IEEE Trans, on Automat. Control, Vol. 29, No. 12, pp 1058-1068. 1984.

37. Manitus A., Tran H. Numerical simulation of a nonlinear feedback controller for a wind tunnel model involving a time delay // Optimal Control Application and Methods. Vol 7. 1986.

38. Niculescu S.-I. Delay effect on stability — A robust control approach // LNCS, Springer-Verlag, Heidelberg. 2001.

39. Palumbo P., Panunzi S., De Gaetano A. Stability analysis of a discrete-delay model of the glucose-insulin system // Sixth IFAC Workshop on Time-Delay Systems, 2006.

40. Perdon A.M., Anderlucci M. Geomtric design of observers for linear time-delay systems // Sixth IFAC Workshop on Time-Delay Systems, 2006.

41. Sename 0., Briat C. Observed-based H^ control for time-delay // Sixth IFAC Workshop on Time-Delay Systems, 2006.

42. Verriest E.I., Delmotte F., Egerstedt M. Optimal impulsive control for point delay systems with refractiry period // Fifth IFAC Workshop on Time Delay Systems. 2004.

43. Sipahi R., Olgac N. Stability analysis of multiple time delay systems using the direct method // ASME IMICE, Washington. 2003.

44. Sieberr J. Dynamics of delayed relay control systems with large delays 11 Fifth IFAC Workshop on Time Delay Systems. 2004.

45. Sieber J., Krauskopf B. Bifurcation analysis of an inverted pendulum with delayed feedback control near a triple-zero eigenvalue // Nonlinearity, 17(1): pp. 85-104. 2004.

46. Verriest V. I. Robust stability of differential delay systems // ZAMM, Z. Angew. Math. Mech. 78, pp. 1107-1108. 1998.

47. Verriest E.I. Robust Stability, adjoints and LQ Control of seal-delay systems // Proceeding of the 38th IEEE Conference on Decidion and Control, 209-214. 1999.

48. Zhong Q.-C. Time-delay control and its applications // PhD thesis, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai. 1999.

49. Zhong Q.-C., Hang C.-C. Two-level control of processes with dead time and input constraints // Fifth IFAC Workshop on Time Delay Systems.2004.