автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Норма передаточной матрицы управляемой системы с запаздыванием

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Сумачева Виктория Александровна

НОРМА ПЕРЕДАТОЧНОЙ МАТРИЦЫ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

16 СЕН 2015

Санкт-Петербург 2015

005562382

005562382

Работа выполнена в ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Харитонов Владимир Леонидович

Официальные оппоненты: доктор технических паук, профессор Розснвассер

Ефим Натанович, заведующий кафедрой корабельных автоматизированных комплексов и информационно-управляющих систем Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»

кандидат физико-математических наук, доцент Косов Александр Аркадьевич, ведущий научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки «Институт динамики систем и теории управления им. В.М. Матросова» Сибирского отделения Российской академии наук (г. Иркутск)

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки «Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова» Российской академии наук (г. Москва)

Защита состоится «30» сентября 2015 г. в 15 часов па заседании диссертационного совета Д 212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 35, ауд. 327.

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах просим направлять по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 35, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.232.50 Г.И. Курбатовой.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9. Автореферат и диссертация размещены па сайте www.spbu.ru.

Автореферат разослан « йТО-,2015 г.

V

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, проф.

Г. И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Теория динамических систем играет важную роль в современной науке, так как является уннвсрсальным способом описания окружающих нас объектов и явлений. Одним из наиболее часто используемых видов описания динамических систем являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Возникшие нз задач механики, они получили широкое применение не только в физике, но и в других областях.

Однако не все процессы могут быть корректно описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями. В сложных системах, где обмен между частями происходит с конечной скоростью, возникают запаздывания. Обычно они достаточно малы, чтобы не принимать их во внимание. Однако возможны случаи, когда даже малое запаздывание приводит к качественному изменению процесса.

Практическая необходимость привела к созданию нового класса динамических систем, описывающих состояние объекта на основе ранее известной информации о нем. Такие системы получили название дифференциально-разностных, или систем с последействием. Запаздывание может возникать как в управляющем или входном сигналах, так и в состоянии системы, являясь неотъемлемой частью объекта.

Часто в приложениях используются методы компенсации запаздывания, позволяющие «избавиться» от запаздывания и вернуться к рассмотрению обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако природа дифференциально-разностных уравнении такова, что они имеют бесконечномерный характер, п прямое перенесение средств и методов классической теории на них невозможно.

Вместо прямого сведения задач с запаздыванием к классическим системам были предприняты попытки распространения основных результатов теории обыкновенных дифференциальных уравнений на случай систем с запаздываниями с учетом их природы. В теории устойчивости ярким примером такого распространения является метод функционалов Ляпунова-Красовского.

Н. Н. Красовскнй 1 предложил учесть бесконечномерную природу систем с запаздываниями и рассматривать вместо функций Ляпунова функционалы, иолучнвише название функционалов Ляпунова-Красовского. На этой основе нм были получены условия устойчивости систем, а также оценки области притяжения. В работе Ю. М. Репина 2 поставлена задача построения функционалов для линейных систем. Им было показано, что нахождение квадратнчно-

1 Красонскпй II. II. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1950. Т. 20. С. 315-327.

2Репин М.Ю. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикладная математика н механнка. 1905. Т. 29. С. 504-560.

го функцнонала с заданной производной сводится к поиску вспомогательных матричных функций, для определения которых необходимо решить систему дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений. Эта идея получила развитие в работах R. Datko, J. Louisell, Е. F. Infante, W. В. Castelan, W. Huang, В. JI. Харитонова, А. П. Жабко и других.

Было показано, что для задания функцнонала достаточно определить лишь одну матричную функцию, получившую название матрицы Ляпунова. Метод ее вычисления сводится к решению матричного дифференциально-разностного уравнения с особыми граничными условиями, являющегося аналогом матричного уравнения Ляпунова. В ряде случаев задача может быть сведена к нахождению решения граничной задачи для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Это позволило использовать теорию функционалов Ляпунова-Красовского в практических задачах, выведя се за пределы исключительно теоретических исследований. В классической теории матрицы Ляпунова позволяют проверить устойчивость системы, оценить характеристики переходных процессов. Они возникают и в теории оптимального управления при синтезе И2 оптимального управления.

?Í2 норма передаточной матрицы системы является количественной оценкой влияния внешних воздействий на выходной сигнал системы. В качестве входного сигнала часто рассматривают внешние возмущающие воздействия, такие как порывы ветра или волнение в задачах стабилизации движения летательных аппаратов или морских объектов. Такие возмущения могут отрицательно сказываться на качестве управления, поэтому важной задачей является построение управления, минимизирующего их влияние на выходной сигнал. Уровень подавления оценивается с помощью нормы передаточной матрицы, которая в данной задаче выступает критерием оптимальности.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений нахождение T~¿2 нормы передаточной матрицы сводится к решению вспомогательного матричного уравнения Ляпунова со специально выбранной правой частью. Для решения задачи управления существует метод последовательных приближений Зубова, основанный на решении серии матричных уравнений Ляпунова.

Задача вычисления нормы передаточной матрицы системы с запаздыванием на основе теории матриц Ляпунова впервые была поставлена группой бельгийских математиков 3. Ими было получено явное выражение для нормы передаточной матрицы системы, не содержащей запаздывании во входном и выходном сигналах.

3Jarlebring Е., Vanbiervliet J., Michicls W. Characterizing and computing the II? norm of time-delay systems by solving the delay Lyapunov equation // IEEE Transactions 011 Automatic Control. 2011. Vol. 5G(4). P. 814825.

Целью диссертационного исследования является разработка метода вычисления "Н2 нормы передаточной матрицы линейной стационарной системы с запаздываниями и построение управления, уменьшающего норму передаточной матрицы замкнутой системы. В ходе исследования ставятся и решаются следующие задачи:

• разработка метода вычисления нормы передаточной матрицы систем запаздывающего и нейтрального типов, содержащих произвольное количество запаздываний;

• распространение методов вычисления, позволяющих для системы с запаздывающим аргументом вычислить матрицы Ляпунова, ассоциированные с несимметрическими матрицами;

• построение управления, уменьшающего Нг норму передаточной матрицы системы запаздывающего тина.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе используется теория Ляпунова-Красовского, являющаяся распространенном классического метода матриц Ляпунова на системы с запаздывающим аргументом.

Научная новизна заключается в распространении метода вычисления "Н2 нормы передаточной матрицы на более широкий класс систем с произвольным количеством запаздываний. Метод построения управления, уменьшающего норму передаточной матрицы, с использованием матриц Ляпунова является новым.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии методов анализа и управления системами с запаздывающим аргументом.

Практическая значимость. Разработанные методы могут быть применены- в теории автоматического управления лннейнымн системами с запаздывающим аргументом для оценки качества системы с помощью значения И2 нормы ее передаточной матрицы, а также для построения управления, уменьшающего ее значение, с целью улучшения характеристик системы.

Достоверность научных результатов обеспечивается строгостью доказательств и математических выводов.

Апробация результатов исследования. Результаты работы докладывались на научных конференциях: XLII, XLIII, XLIV международные научные конференцнн аспирантов ■ и студентов «Процессы управления н устойчивость» факультета ПМ-ПУ СПбГУ (Санкт-Петербург, 2011-2013), «International Student Olympiad on Automatic Control» (Санкт-Петербург, 2011) и «Всероссийское совещание по проблемам управления» (Москва, 2014).

Публикации. Основные результаты опубликованы в восьми работах, три из которых являются статьями в изданиях, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 54 наименования, и приложения. Общий объем составляет 93 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследования систем с запаздывающим аргументом, дан краткий обзор существующих проблем и методов нх решения, а также сформулирована решаемая задача.

Первая глава носит вспомогательный характер. В параграфе 1.1 введен объект исследования — линейная стационарная система запаздывающего типа

т ш

x(t) = ^2AjX(t-jh) + ^2Bjw(t-jh), (1)

j=0 j=0 та

y(t) = £<?,■*(*-¿ft), (2)

j= о

где ft > 0 - положительное запаздывание, непрерывные функции x(t) £ R", uu(t) € R', y(t) € Rs являются текущим состоянием системы, входным и выходным сигналами, w(t) - ограниченная функция, An,..., Ат, Вп,..., Вш, Со,..., Ст — вещественные матрицы соответствующих размерностей.

Для определения решения системы необходимо указать начальную функцию <р € PC ([—m/t, 0], R"). Соответствующее ей решение будем обозначать x(t,ip) или x(t), если выбор начальной функции несущественен. Состоянием системы будет являться сегмент

xt(ip) : в ->■ x(t + 9,tp), 0e[-mh, 0].

Для краткости состояние системы также будем обозначать xt.

Определение 1. Фундаментальной матрицей системы (1) называется матричнозначная функция K(t), удовлетворяющая уравнению

т

к{1)=^А3К{1-зН), О, (3)

j= о

и на^юлъным условиям

К(0) = /, К(в) = о„ХП1 в < 0.

В параграфе 1.2 введены функции A'(s) и K(s), являющиеся

преобразованиями Лапласа от функций w(t), y(t), x(t) и K(t) системы при нулевых начальных условиях. С их помощью дан ряд определений.

Определение 2. Передаточной матрицей системы (1)-(2) пазываетпея матпринпозшчпая функция комплексного неременного G(z), удовлетворяющая coomi loiuei two

Y(z) = G(z)W{z).

Определение 3. Прообраз Лапласа H(t) передаточной матрицы системы называется штулъсной передаточной матрицей системы (1)-(2).

В параграфе 1.3 введено понятие нормы передаточной матрицы, являющейся основным предметом исследования.

Определение 4. нормой передаточной матрицы системы (1)-(2) пазываетпея

оо

\\G\\\ = ± J Tr(G*(iw)G(iuj)) dij.

—ОО

Теорема Парссваля позволяет выразить I-L2 норму во временной области через импульсную передаточную матрицу

ОО

\\G\\l = J Tr {HT(t)H(t)) dt. о

Норма передаточной матрицы является показателем того, насколько система усиливает или ослабляет входной сигнал. Например, если система испытывает влияние аддитивного шума (при передаче информации пли измерении физических параметров), И2 норма представляет собой сроднее усиление системой входного сигнала.

Вторая глава посвящена проблеме вычисления И2 нормы передаточной матрицы системы запаздывающего типа, введенной в первой главе. В параграфе 2.1 приведен метод решения аналогичной задачи для системы без запаздывании с использованием матриц Ляпунова.

В параграфе 2.2 для систем -запаздывающего типа введено понятие матрицы Ляпунова, ассоциированной с несимметрической матрицей.

Определение 5. Матрицей Ляпунова, ассоциированной с произвольной квадратной матрицей W, для системы (1) ■называется непрерывная по т матрица U(t, W), удовлетворяющая следующим свойствам:

• динамическое свойство:

, т

-и{т,ЦГ) = ^и{т-зКШ)А^ О, (4)

Т ]=<>

• свойство симметрии:

и(-т,\¥) = иТ{т,\УТ), тЦО, (5)

• алгебраическое свойство:

т

[АЩзН, IV) + и{-зК Ж^] = -Ж (6)

7=п

Для экспоненциально устойчивой системы матрица Ляпунова, определяемая свойствами (4)-(6), существует, единственна и может быть представлена как

оо

Щт, \¥) = J КТ{1)\¥К(1 + т) (П. (7)

п

Следует отметить, что здесь рассмотрена матрица Ляпунова, ассоциированная, в отличие от классического случая, с несимметрической матрицей Это связано со спецификой ее дальнейшего использования.

В подпункте 2.2.1 дано описание алгоритма вычисления матриц Ляпунова, который сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений со специально выбранными матрицами.

В параграфе 2.3 сформулирована и доказана теорема, представляющая основной результат главы — явную формулу для вычисления Н2 нормы передаточной матрицы системы запаздывающего типа.

Теорема 1. 7-1.2 норма передаточной матрицы экспоненциально устойчивой системы (1)-(2) может быть вычислена по формуле

11^112 = Тг(^В]и{Ц-г)НЛ¥а)Вг

\3,г=0

/ Г/1 тп

+2 Тг КЗ В] £ Щи - г - р)Л, ИУД. , (8)

М>г=0 р= 1 /

где матрицы Ляпунова ассоциированы с матрицами

т

т = \ур= £ с1ср+к, Р=1,..:,т.

Таким образом, вычисление "Но нормы сводится к нахождению значений вспомогательных матриц Ляпунова в нескольких точках. Процесс построения нормы проиллюстрирован в параграфе 2.4 на примере системы управления расходом топлива газотурбинного двигателя.

В третьей главе рассмотрена задача управления. В систему запаздывающего типа введено управляющее воздействие м(£) и рассмотрена система следующего вида

711

х(г) = ~ кк) +Вги(1) + (9)

*=П

у{£) = Сх(Ь) + Dv.it), (10)

где к > 0 - положительное запаздывание, х{£) € Е", и{£) е Е'', и;(£) £ М', у{{) € К"', - ограниченная функция, Ао,...,Ат, В, С, Б, Е — вещественные матрицы соответствующих размерностей, матрица ВТБ обратима.

При нулевом управлении и(£) = 0 система экспоненциально устойчива. Очевидно, что И2 норма передаточной матрицы системы (9)-(10) будет зависеть от выбора управления ЦСЩ = ||-

В параграфе 3.1 поставлена задача построения управления, уменьшающего Л2 норму передаточной матрицы системы.

Показано, что задача минимизации нормы передаточной матрицы системы сводится к минимизации квадратичного функционала

оо

J{u) = J(11)

о

где квадратичная форма /(х, и) имеет вид

/(:х, и) = хтСтСх + хтСтОи + игОтСх + итЮтБи.

Управление, минимизирующее функционал (11) при произвольных начальных данных и нулевом входном сигнале,'минимизирует И^ норму передаточной матрицы замкнутой им системы.

В параграфе 3.2 представлен обзор методов "Нг-оитимального управления для линейных систем без запаздываний, в частности, приведено решение задачи оптимизации квадратичного функционала с помощью решения уравнения Рнкаттн и краткое описание метода Зубова.

В параграфе 3.3 поставленная задача решена по аналогии с методом Зубова. Для системы (9) при нулевом управлении и(£) = 0 построена матрица Ляпунова и(т), ассоциированная с матрицей СТС, и введена вспомогатель-

ная функция, зависящая от управления

Ци) = 2хт(1)СтОи + итОтЮи

+2 Г хт{ф{0) + ^ I хт(Ь + в)А1и{кк + 9) йв ) Ей.

Доказано, что точка минимума функции существует, единственна и равна й = -(Я1/))"1 [Ети(0) + £>ТС] х(£) (12)

~(ОтО)-1Ет^2 / и{-кк-в)АкхЦ + в)йв.

Очевидно, что Ь(й) ^ 0 = £(0). .

Затем рассмотрена система (9)-(10), замкнутая управлением Построенного вида (12). Выбрана произвольная начальная функция <р е РС ([—тк, 0], К"), н при нулевом входном сигнале «;(/.) = 0 построено соответствующее этой начальной функции решение х(Ь) = х(1,(р) замкнутой системы.

Для матриц Ляпунова 17(т) построен функционал Лянунова-Красовского 1'а(<р), с помощью которого, сформулировано и доказано вспомогательное утверждение, позволяющее судить об экспоненциальной устойчивости замкнутой системы.

Лемма 1. На решениях системы (9), замкнутой управлением (12), выполнено

(1и0(х¡)

сИ

■ + /(х,и) = Ь(и).

Если квадратичная форма /(х, и) положительно определена, полученная система является экспоненциально устойчивой. Если это не так, устойчивость замкнутой системы потребует дополнительного исследования.

Далее сформулирована и доказана теорема, обосновывающая выбор управления,

Теорема 2. Для управления (12) справедливо следующее неравенство

||С(о)|||<]|С(0)|||..

Таким образом, построенное управление уменьшает значение ~И.2 нормы передаточной матрицы системы н решает поставленную задачу.

В параграфе 3.4 проведен анализ замкнутой системы

7/i m ^

¿•(г) = Âax(t) + Y^Akx{t-kh) + Y^ / Pk{e)x(t +в) dd+ Bw{t), (13) о

"' Г

y(t) = (71(0 +X) Qk(0)x(t + e)de, (14)

ï__i

где

Л, = А) - Я(Г>ТГ>)_1 [Ят[/(0) + £>ТС] ,

Р*(0) = —Е(БТБ)~1 Ет11т(кк + 0)Ак, к = 1,..., тп,

С = С — [Ети(0) + Г>ТС] ,

С}к(в) =-0(0т0у1Етит{Ы1 + в)Ак, к = 1,...,тп.

Системы такого вида называют системами с распределенным запаздыванием.

Для системы с распределенным запаздыванием аналогичным образом введено понятие матрицы Ляпунова У(0). С ее помощью сформулирована и доказана теорема, позволяющая найти норму передаточной матрицы и убедиться, что построенное управление не увеличивает ее значение.

Теорема 3. Н2 норма передатпо^шой матрицы систпемы (13)-(14) равна

т "

= Тг[дУ(0)СТ + / У{в)(Щ0)М

к=1-кП О о

7/1 711 Г Г

/ з^) / у{в2-в1)ог]{в2)йв2ав^.

Для вычисления И2 нормы передаточной матрицы системы (13)-(14), замкнутой управлением (12), достаточно найти матрицу Ляпунова У(0) при 0 е [-т/|,тА]. Для систем с распределенным запаздыванием не существует общего алгоритма-нахождения матрицы Ляпунова. Однако в рассматриваемом случае в ядро системы Рк(0),к = 1 ,...,ш, входит ..матрица Ляпунова исходной системы, которая, как было показано, может быть найдена как решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для данного случая известен точный метод построения матрицы Ляпунова У(0).

Подробно механизм построения управления и вычисления 'Н2 нормы передаточной матрицы замкнутой системы проиллюстрирован в параграфе 3.5 на примере системы управления топливом газотурбинного двигателя.

В четвертой главе рассмотрен другой тин систем с запаздываниями - системы нейтрального типа. В параграфе 4.1 представлена исследуемая система

)т

= ^Ajx{t-jh), О, (15)

з=о

где h > 0 - положительное запаздывание, D0 = I, D\,..., Dm, Aq, ..., Am_ — вещественные матрицы соответствующих размерностей. Предполагается, что

711

D}:i:(l — jh)

j=о

непрерывна по t > 0.

Для определения решения системы необходимо ввести начальную функцию

у е РСЧЬтМЬМ"). Для обозначения решения и состояния системы будем по-прежнему использовать x(t,ip) II xt((p).

Для системы нейтрального типа отмечены некоторые особенности но сравнению с системами запаздывающего типа. Если начальная функция имеет точку разрыва 6 [—т/г,0], то решение будет иметь разрывы в точках t-k = 0i + kh, к = 1,2,..., причем величины скачков равны

т

Ax{tk) = -^2ПзАх(1к-з), 3=1

где Д.х-(г0) = Дх(01) = A<p(0i), Ax(tk) = 0, к < 0.

Определение 6. Фундаментальной матрицей системы (15) называется матричпозиачпая функция K(t), удовлетворяющая уравнению

т

= ;Л), t>0, (16)

3=0

П условиям: 1) К{0) = 1, К (в) = 0,1Х„, в < 0,

т

2) DjK(t — jh) непрерывна по t ^ 0.

3=0

В отличие от систем запаздывающего типа, фундаментальная матрица системы нейтрального типа будет кусочно-непрерывной функцией с разрывами в точках tk = kh, k = 0,1,2,....

В параграфе 4.2 для системы нейтрального тина введено понятие матрицы Ляпунова.

с1_ dt

J2DjK(t-jh)

1з=0

Определение 7. Непрерывная по т матрица 17(т, Ш) для системы (15) называется матрицей Ляпунова, ассоциированной с произвольной квадратной матрицей IV, если она удовлетворяет следующим свойствам:

динамическое свойство:

А.

в.г

и=п

= Т^о, (17)

7=0

• свойство симметрии:

и(-т,\¥) = иТ(т,\¥Т), т^О, (18)

• алгебраическое свойство:

т т

£ Е - к)н>иол* + °Тзи(0' - *)А> = (19)

.,=0 А=п

На основе определения матрицы Ляпунова, ассоциированной с несимметрической матрицей, сформулированы и доказаны основные утверждения теории функционалов Ляпунова-Красовского, в том числе существование и единственность матрицы Ляпунова.

Лемма 2. Для экспоненциально устойчивой системы (15) матрица Ляпунова, ассоциированная с матрицей \¥, существует, единственна и может быть представлена в виде несобственного интеграла

оо

и(т, Ю = J КТ{{)\УК{1 + т) ¿Ь. (20)

о

Так как системы запаздывающего тина являются частным случаем систем нейтрального типа, приведенные доказательства можно распространить и на утверждения, использованные в главах 2 и 3.

В пятой главе поставлена задача вычисления "Но нормы передаточной матрицы системы нейтрального типа

' £

/ VI \ VI Г/1

£>,-х(4 - зк) = £ - ¿Л) + £ ВМЬ - ¿Л), (21)

\7=0 / 7=0 )=а

ТП

»(«) = (22) з=о

где h > 0 - положительное запаздывание, x(t) 6 R", w(L) 6 Ш1, y(t) 6 R'\ w(t) - ограниченная функция, D0 = I,DX,...,D

tin *lQy • • • j ^mi mi

Co,..., Cm — вещественные матрицы соответствующих размерностей.

В параграфе 5.1 дан явный вид передаточной матрицы и импульсной передаточной матрицы системы, и с их помощью сформулирован и доказан основной результат главы.

Теорема 4. Ц2 норма передаточной матрицы экспоненциально устойчивой системы (21)-(22) моэ/сетп быть вычислена по формуле

\\G\\l =-n(jt,BjU{{j-r)h,W0)Br

W=o

/ т rn

+2 7> , (23)

\j,r=0 1 J

где матрицы Ляпунова ассоциированы с матрицами

■ т

Wo = J2CZCk' WP= Y. CkCP+k, P=l,...,m.

k=0 k=0,...,m-p

Как и для систем запаздывающего типа, вычисление нормы передаточной матрицы системы свелось к нахождению матриц Ляпунова, ассоциированных со-специально выбранными матрицами.

В параграфе 5.2 описан метод вычисления матриц Ляпунова, основанный на решении вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Реализация методов, описанных в пятой главе, представлена в приложении. Оно содержит программный код в среде MATLAB, позволяющий вычислить Л2 норму передаточной матрицы системы нейтрального типа.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ

НА ЗАЩИТУ

• Метод вычисления T~Li нормы передаточной матрицы системы запаздывающего типа, содержащей произвольное количество запаздываний;

• алгоритм построения управления, уменьшающего норму передаточной матрицы системы запаздывающего тина;

• метод вычисления ~И.2 нормы передаточной матрицы системы нейтрального типа, содержащей произвольное количество запаздываний.

Тематика диссертации соответствует пунктам 1, 4 и 5 паспорта специальности 05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике п процессам управления).

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Сумачева В. А. И2 норма передаточной функции уравнения нейтрального типа // Вестник С-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. Вып. 4. С. 118-124.

2. Сумачева В. А. О минимизации "Hi нормы передаточной матрицы для систем запаздывающего типа // Вестник С-Петерб. уи-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2014. Вып. 1. С. 128137.

3. Sumacheva V.A., Kharitonov V.L. Computation of the %2-norm of the transfer matrix of a neutral type system // Differential Equations. 2014. Vol. 50. No. 13. P. 1752-1759.

Другие публикации:

4. Сумачева В. А. Вычисление нормы передаточной функции уравнения с запаздываниями с помощью функций Ляпунова // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. А.С.Еремина, Н.В.Смирнова. Спб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. уи-та, 2011. С. 68-73.

5. Sumacheva V. A. The Н2 norm of a transfer function of a scalar time-delay equation // Preprints of 14th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), Saint Petersburg, 2011. P. 105-107.

6. Сумачева В. A. Н2 норма передаточной функции скалярного уравнения нейтрального типа с запаздывающим аргументом // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Еремина, Н.В.Смирнова. Спб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2012. С. 43-48.

7. Сумачева В. А. Системы нейтрального типа: %2 норма передаточной матрицы // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Т.Е.Смирновой. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2013. С. 59-64.

8. Сумачева В. А. Построение управления, уменьшающего И2 норму передаточной матрицы системы с запаздывающим аргументом // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления. М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. С. 1406-1415.

Подписано в печать 25.06.2015 Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 303

Отпечатано в типографии «Адмирал» 199178, Санкт-Петербург, В.О., 7-я линия, д. 84 А