автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмы робастного субоптимального управления для динамических объектов

На правах рукописи £

Галяув Елена Романовна

АЛГОРИТМЫ РОБАСТНОГО СУБОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Специальность 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность, информатика)»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 5 Ш Ш

Астрахань-2012

005014667

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Астраханский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Цыкунов Александр Михайлович

Официальные оппоненты: заведующий кафедрой «Автоматизация технологических

процессов» ФГБОУ ВПО «Астраханский государственный технический университет», доктор технических наук, Профессор

Есауленко Владимир Николаевич

руководитель группы контроля качества диагностических работ и электрохимзащиты Северо-Каспийского управления ООО «Газпром газнадзор», кандидат технических наук Лим Владимир Григорьевич

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский национальный

исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики»

Защита состоится « 29 » марта 2012г. в 13 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 307.001.06 при Астраханском государственном техническом университете по адресу: 414025, г. Астрахань, ул. Татищева, 16, ауд. Г.313.

Ваши отзывы в количестве двух экземпляров, заверенные гербовой печатью организации, просим присылать по адресу: 414025, г. Астрахань, ул. Татищева,16, ученому секретарю диссертационного совета Д 307.001.06.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Астраханского государственного технического университета.

Автореферат разослан «¿М» февраля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета А А. А. Ханова.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Современный этап развития теории автоматического управления характеризуется более полным и глубоким анализом функционирования и эффективности автоматических систем при учете реальных режимов работы и действующих возмущений. Актуальной является проблема разработки алгоритмов управления, обеспечивающих не только устойчивость системы в этих условиях, но и оптимальное ее функционирование по некоторым критериям качества. Решению этих задач посвящено множество работ. Так в условиях полной определенности в теории оптимального управления предложен LQR - подход. Однако при наличии произвольных внешних возмущений, невозможности точно определить параметры модели объекта, изменении динамических свойств системы в процессе функционирования оптимальные системы, синтезированные по квадратичному критерию качества, часто теряют работоспособность. Большими возможностями в этих условиях обладает робастный подход к построению систем управления. К настоящему времени получено достаточно много алгоритмов построения субоптимальных систем для линейных и нелинейных объектов, подверженных параметрическим и внешним возмущениям: #„ -оптимизация, -оптимизация, [М -синтез, £М/-подход и др. Следует отметить, что большинство имеющихся методов синтеза предназначены для стационарных систем. Однако практика в изобилии доставляет объекты управления, которые описываются параметрически неопределенными нелинейными, нестационарными, с запаздыванием по состоянию дифференциальными уравнениями.

Особое внимание на сегодняшний день уделяется робастному и робастно-субоптимальному управлению системами, когда полный вектор состояния не доступен измерению, а измеряется только вектор выходных переменных. Управление по выходу позволяет уменьшить затраты на проектирование и разработку измерительных устройств, которые увеличивают размерность математической модели системы и вносят дополнительные погрешности, связанные с ошибками измерений.

Таким образом, задача разработки простых в реализации алгоритмов робаст-ного и робастного субоптимального управления для широкого класса динамических объектов по выходу, обеспечивающих их функционирование в соответствии с заданными требованиями по качеству при наличии влияния возмущений, остается актуальной в теории и практике автоматических систем.

Объект исследования. Параметрически неопределенные непрерывные динамические объекты, функционирующие в условиях неопределенности.

Предмет исследования. Методы робастного субоптимального управления динамическими объектами с компенсацией внутренних и ограниченных внешних возмущений.

Целью диссертационной работы является синтез алгоритмов робастного субоптимального управления для различных типов непрерывных динамических

объектов, подверженных действию параметрических и внешних ограниченных возмущений для повышения эффективности качества регулирования.

Задачи работы.

1. Синтез робастных субоптимальных алгоритмов управления для линейных стационарных динамических объектов с измеряемым вектором состояния с компенсацией возмущений;

2. Разработка робастной субоптимальной структуры управления для различных типов динамических объектов по выходу в условиях неопределенности;

3. Решение задачи робастного субоптимального управления с эталонной моделью линейными и нелинейными объектами.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались методы робастного и оптимального управления. В работе также использованы общие методы теории автоматического управления, методы функций Ляпунова, алгебры многочленов и теории матриц, теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Достоверность и обоснованность работы. Обоснованность полученных результатов обусловлена корректным применением вышеперечисленных методов. Работоспособность аналитических результатов проиллюстрирована на многочисленных примерах численного моделирования в среде МаЛаЬ/ЗтиНпк.

Научная новизна диссертационного исследования.

1. Разработана алгоритмическая структура робастного субоптимального управления априорно неопределенными линейными объектами с измеряемым вектором состояния.

2. Синтезирован закон управления для различных типов линейных динамических объектов по выходу. Полученный регулятор обеспечивает робастную стабилизацию исследуемой системы в условиях неопределенности и оптимизацию ее функционирования по заданному критерию качества.

3. Для нелинейных объектов управления с запаздыванием по состоянию и без него получена структура алгоритма, обеспечивающая субминимизацию интегрального критерия качества в условиях неопределенности.

4. Получено решение субоптимальной задачи слежения за эталонным сигналом для линейных и нелинейных объектов управления с запаздыванием по состоянию и без него с компенсацией возмущений.

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве: расчет параметров регулятора, теоретическое обоснование функционирования системы управления, анализ устойчивости системы, моделирование синтезированных алгоритмов в [1] - [3], [5] - [7].

Практическая и научная значимость работы. Представленные в диссертационной работе результаты могут быть использованы для построения автоматизированных систем управления технологическими процессами, модели которых содержат нелинейные блоки, запаздывания, параметры, известные не точно, либо изменяющиеся во времени. Кроме того, в управляемых процессах могут присутствовать неизвестные внешние возмущения. В этих условиях синтезированный робастный субоптимальный алгоритм управления обеспечивает стабилиза-

4

цию объекта и достижение оптимального по заданному критерию качества функционирование системы. Полученный регулятор прост в технической реализации и применим для широкого класса технологических объектов.

На основе теоретических результатов работы разработано робастное субоптимальное алгоритмическое обеспечение системы управления процессом разделения бинарной смеси в промышленной ректификационной колоше.

Апробация результатов. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на Международной конференции «Проблемы управления, передачи и обработки информации» - АТМ-ТКИ-50 (г. Саратов, 2009), на 7-ой научно-технической конференции «Мехатроника, автоматизация, управление» - МАУ-2010 (г. Санкт-Петербург, 2010), на ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава АГТУ (г. Астрахань, 2008-2011).

Публикации. По результатам выполненных научных исследований опубликовано восемь работ, отражающих основное содержание диссертационной работы. В числе основных - 8 печатных работ, в том числе 5 публикаций, включенных в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 120 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка и приложения. Основная часть работы изложена на 117 страницах, содержит 33 рисунка. Библиографический список включает 118 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор современного состояния методов и алгоритмов робастного и оптимального управления в условиях априорной неопределенности. Обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи управления, методы решения, объект и предмет исследования, определена научная новизна и практическая ценность диссертационной работы.

В первой главе решены задачи синтеза робастных субоптимальных алгоритмов управления для линейных объектов в условиях неопределенности. Класс рассматриваемых объектов управления в общем случае описывается системой дифференциальных уравнений

m = A{t)x(t) + B{t)u(t) + D(t)f(t) , y(t) = Lx(t), x(0) =x0. (1)

Здесь функции x(t)e9î" - вектор состояния объекта; y(t) е 9î - управляемый выход объекта; u(t)e Si - управляющее воздействие; f(t)e9ï - неизмеряемое внешнее ограниченное возмущающее воздействие; Л(г)е , 9Î"*1 и

D(t) е 3î"xl - неизвестные функциональные матрицы, коэффициенты которых зависят от некоторого вектора неизвестных параметров Çe Е ; здесь и далее S -известное ограниченное множество, L=[1,0,...,0], х0 - известное начальное состояние системы.

Требуется определить закон формирования сигнала u(t), который необходим для компенсации неопределенностей объекта (1) и сигнала оптимального управления «о (i), обеспечивающего минимальное значение квадратичному критерию качества

J = \y\i)q + ul(f)w]dt, (2)

о

с q > 0, w>0 - весовыми коэффициентами, выбираемыми разработчиком.

Синтез регулятора осуществляется при следующих предположениях 1:

1) пара (А, В) -управляема, пара (A, L) - наблюдаема;

2) выполнены условия структурного согласования: A(t) = AH +BliyT(t), B(t) = Bll+Bllx%t) и D(t) = BHk(t), где Ане 9Г*\ ВИ е 9Гх1 - произвольные известные номинальные матрицы, \|f(i)e9T, û(i)e9î+, k(t)e3i - ограниченные

неизвестные вектор и функции, - множество положительных действительных чисел;

Ъ) в системе управления недоступны измерению производные сигналов y{t) и

4) для любого фиксированного параметра t объект управления (1) минимально-фазовый.

Задача построения управляющего устройства сначала решается для объектов, описанных уравнениями (1), когда элементы матриц A(t), B{t) и D{t) постоянны.

Для номинального объекта

х. (0 = А„х„ (0 + Вяи0 (i), ун (t) = Lx„ (0, хн (0) = х0, (3)

полученного из (1) при отсутствии внешних и параметрических возмущений, существует оптимальный закон управления

u0(t) = -K0x(t), (4)

который минимизирует функционал (2) и делает замкнутую систему (1), (4) асимптотически устойчивой. При этом в (4) К0 - w xBTHll ; H = HТ > 0 является решением матричного уравнения Лурье-Риккати АТИН + НАн - w'^HB„BthH = —M ; M = qllL.

Однако объект управления (1) функционирует в условиях параметрических и внешних возмущений, информация о которых содержится в функции <p(x,u,t) = \iTx(t) + ûu(t) + kf(t). Для выделения в отдельный сигнал всех нежелательных воздействий введем вспомогательный контур

*у(0 = 4о*»(') + Л.и(0, yv(t)=bcv(t), xv(0) = x0, (5)

где *v(Oe - вектор состояния; A¡¡ = Ан - ВНК0, и составим уравнение рассогласования е(/) = >•(/) — уу (/):

Qo(J>MO = X<>(P)<P¡(x,«,0-Здесь, Qo(Á) и Яо(Л) полиномы, полученные при переходе от уравнений в пространстве состояния к уравнениям в форме «вход-выход»; degQ0(Á) = п; degi?0(A) = »i; 7 = л-w >1; X - комплексная переменная в преобразованиях

Лапласа; cp, (jc,и,t) = <p(x,u,t) + u0(t) ; р~—— оператор дифференцирования.

di

Выбор закона управления

R0(P) RO(P)

где dcgТ0(k) = y, dogAQ0(A) = m-l, позволяет компенсировать все неопределенности системы (1) при условии доступности измерению 7 производных сигнала e(f). Но в силу предположений такая информация об объекте отсутствует. Поэтому закон управления зададим в виде

(6)

До Ср)

где g - вектор, компонентами которого являются коэффициенты оператора Т0(р), записанные в обратном порядке; ^(í) - оценка вектора 6T(t) = [e(f), е'(0> ■ ■ • >(OL полученная с наблюдателя

m=c0m+Fa (ё(о - eco), ¿(o=то. а)

/о /2 f1

Здесь f(0e9íY; G0 =

0

У • FT =

0 0 9 0

ц ' ц2""'

; числа /0,...,/т

такие, что матрица С — О0—П гурвицева; = [/"0,...,/т]; £(/) - оценка сигнала е(/) ; 0 - малое число.

Таким образом, полученный закон управления (6) является технически реализуемым, поскольку содержит измеряемые и Известные величины.

Далее рассмотрена линейная нестационарная система, а также решена задача слежения за эталонным сигналом ут. В каждом из этих случаев система управления, состоящая из вспомогательного контура, закона управления и наблюдателя производных позволяет выделить и скомпенсировать сигнал, несущий информацию о параметрических и сигнальных неопределенностях системы (1). Полученный робастный субоптимальный регулятор с неизменной структурой обеспечивает стабилизацию объектов исследуемого класса по выходу или ошиб-

ке слежения и гарантирует минимальное значение заданному интегральному критерию качества.

Результаты численного моделирования показали, что максимальная относительная погрешность отклонения функционалов качества (2) для номинального (3) и реального (1) объектов исследуемого класса составляет Л/ « 0.2%. То есть, влияние параметрических и внешних возмущений в (1) практически не сказываются на результатах переходных процессов.

Во второй главе формулируются и решаются задачи синтеза робастных субоптимальных систем управления линейными объектами с запаздыванием по состоянию с компенсацией параметрических и сигнальных неопределенностей.

Рассматривается класс линейных объектов управления с запаздыванием по состоянию, динамические процессы в которых в общем случае описываются в пространстве состояний уравнениями:

¿(f) = A{t)x{t) + C{t)x(t - т(0) + B{t)u{t) + £>(0/(0, >'(0 = Lx(t), х(0) = х0, (8) где х(0, y(t), u(t), Л0 и матрицы A{t), B{t), D(t) и L - такие же, как в (1);

Го ... 0

C(t) б - неизвестная функциональная матрица, С(0 = : : :

с,(0 ... с,(О

коэффициенты которой зависят от некоторого вектора неизвестных параметров Ç е H ; т(0 е 9t+ - неизвестное время запаздывания.

Требуется получить алгоритм функционирования системы управления, который обеспечит минимум функционалу (2) для объектов рассматриваемого класса при следующих предположениях 2:

1) выполнены пункты 1-4 предположений 1;

2) время запаздывания x(t) - ограниченная функция, удовлетворяющая ус-

di{t) Л

ловию —-< 1.

dt

3) выполняется условие структурного согласования C(t) = B„G (t),

c(t)e 9Î" - ограниченный неизвестный вектор.

Чтобы получить субоптимальную систему управления для нестационарного объекта (8) управление u(t) формируется в виде суммы двух сигналов:

u(t) = u0(t) + uk(t). (9)

Сигнал uk(t) необходим для компенсации неопределенностей в объекте. Слагаемое и0(0 определяет оптимальный закон управления с обратной связью, минимизирующий критерий качества (2).

В силу того, что вектор состояния x(t) недоступен измерению, построим наблюдатель

x(t) - A„x(t) + B„u(t) + S(y-y) + BHv(t) , НО = Щ0 , *(0) = х0,

где 5с(0 е - вектор состояния наблюдателя, который является оценкой вектора х(7); у(/) - сигнал управления, компенсирующий влияние возмущений на процесс наблюдения; Я - матрица коэффициентов усиления такая, что Ац=Аи—БЬ - гурвицева.

Тогда оптимальную составляющую управления сформируем следующим образом:

Введем в рассмотрение вектор ошибки $■(*) = х(/)—х(0 :

ф) = Айф) + Д„ф(х,и, г) - Д„у(0, е(0 = ¿<;(/), <;(/) = х0-х0.

Здесь функция <р (х, к, 0 = Ч,г(0^(0 + ог'(0^-,с(0) + ^(0 "(0 + ^(0/(0 содержит все возмущающие воздействия системы и слагаемое с запаздыванием;

<?(0=у(0-Я0-

Применяя предложенный выше алгоритм, введем вспомогательный контур

ЯМ) = МЛ0~ВХ0, еу(0 = £дг(0, СД0) = 0, (11)

где $"у(0е - вектор состояния, и составим уравнения относительно сигнала рассогласования = £■(/) - ((), которое в переменных «вход-выход» примет вид

во (р) £(0 = ^о (Р)Ф, и, 0, е(0 = е(0 - еу (/). Поскольку 7 производных выходного сигнала объекта управления недоступны измерению, использование вспомогательного контура (11) позволяет выбрать закон управления в виде

=

Л» (р) (12)

Здесь все обозначения такие же, как в (6).

Обеспечить стабилизацию неопределенного стационарного объекта с запаздывающим аргументом позволяет контур управления, состоящий из вспомогательного контура (5), закона управления (6) и наблюдателя производных (7). А оптимальное управление (4) минимизирует интегральный критерий качества (2) для рассматриваемого класса объектов. Подобную структуру имеет система слежения за эталонным сигналом для линейного нестационарного объекта управления с запаздыванием по состоянию (8).

Результаты аналитических расчетов и численного моделирования показали, что наибольшая относительная погрешность отклонения функционалов качества (2) для номинального объекта, функционирующего в идеальных условиях, и возмущенного объекта составляет Л/ = 2%.

В третьей главе предложено решение задач робастного субоптимального управления для нелинейных систем. Класс исследуемых нелинейных объектов в общем случае задан уравнениями:

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + C, (t)S(y) + £>(0/(0, y(t) = Ijc(t), X(0) = x0, (13) где x(t), y(t), u(t), ДО и матрицы A(t), B(t), D{t) и L~ такие же, как в (8);

C,(f)e 9Г*1, 5(;y)e 9t - неизвестная нелинейная функция.

Закон управления синтезируется при следующих предположениях 3:

1) выполнены все пункты предположений 1;

2) выполняется условие структурного согласования Cl(t) = Bmn(t), n(t)e 9Î — ограниченная неизвестная функция;

3) нелинейность Ъ{у) удовлетворяет условию Липшица или ограниченна;

4) для любого фиксированного параметра t при отсутствии нелинейности ô(y) объект управления (13) минимально-фазовый.

Для априорно неопределенного нелинейного нестационарного объекта управления решается задача слежения за эталонным сигналом с требованием получить алгоритмическое обеспечение, гарантирующее минимум критерию качества

J = ][(у(0 - Ут (О)2 q + «о (0 w[dt, (14)

о

коэффициенты q> 0, w > 0 выбираются разработчиком.

Требуемое качество переходных процессов задается уравнением эталонной модели

хт (О = Атхт (t) + Bmr(t) , >-m (0 = Lxm (0, х„ (0) = х0, где xm(t)e4Rn - вектор состояния эталошюй модели; jm(i)e9î - выход эталонной модели; r(i)e 3J - ограниченное задающее воздействие; Вт = [0;0;...;Ь].

Учитывая структурные ограничения предположения 1, где вместо матриц Ан и Вн выбраны Ат и Вт, составим уравнение для ошибки ф) = x(t) -

(0:

ф) = А„ф) + Вт<() + ВшЧ>Лх,и,0, е(0 = Lq(t), ç(t) = 0, (15)

параметрические и сигнальные неопределенности которого, а также нелинейность §(>>) содержатся в функции.

<р, (*,«,0 = V г(О*(0 + <К0«(0 + п(08(у) + Ht)/О) - КО

Решением задачи оптимального управления с критерием качества (14) является закон вида

«o(0 = -*oÇ.(0-

Управление ы0(0 найдено для номинальной системы, полученной из (15) если ф,(*,и,0 = 0- Однако в общем случае составляющая ф^х.ы.О^О. Следуя при-

веденному выше алгоритму для выделения этого сигнала введем вспомогательный контур

Ш = Aaqv(t) + B„u(t), ev(t) = Lqv(t), çv(0) = 0, где çv(/)e 9î" - вектор состояния, и составим уравнение рассогласования e(t) = e(t)-ev(t):

Q0(p)t(t) = R0(p)<f>l(x,u,t).

Тогда закон управления (6) с наблюдателем (7) позволяет компенсировать действие внешних и параметрических возмущений системы (13), влияние нелинейных слагаемых.

Концепция построения системы робастного субоптималыюго управления для нелинейных стационарных и нестационарных объектов рассматриваемого класса (13) аналогична случаю линейных систем. При выборе управления в виде (6) для стационарных или (12) для нестационарных объектов удается скомпенсировать влияние всех неопределенностей, обусловленных неточностью математической модели, действием внешних возмущений, наличием нелинейных блоков.

Результаты моделирования подтвердили теоретические выводы и показали хорошую работоспособность систем в условиях неопределенности и при наличии нелинейности, а также хорошую робастность по отношению к этим факторам. Максимальная относительная погрешность отклонения функционалов качества (2) для априорно неопределенного объекта (1) и номинального объекта управления составляет ДI ~ 0.9%.

В четвертой главе на основании теоретических исследований, проведенных в предыдущих главах, разработано робастное субоптимальное алгоритмическое обеспечение систем управления процессом ректификации бинарной смеси в промышленной колонне с целью повышения эффективности процесса разделения в условиях неопределенности. Показателями эффективности являются составы выходных потоков (кубовая жидкость, дистиллят), содержащих целевой продукт. Неопределенность процесса объясняется изменением состава и объема питающего потока, температуры потоков флегмы, пара, свойств теплопередающих поверхностей, перепадами давления и т.п.

При синтезе закона управления использована математическая модель ректификационной колонны, описанная в работе Skogestad S., Morari M., Doyle J. «Robust control of ill-conditioned plants: high-purity distillation»:

yD(t)

= G(p)(I + A,)

L(t) V(t)

+ K(p)f(t),

где / - единичная матрица; С(^) - номинальная передаточная матричная функция с относительной степенью 7 ; К(к) - передаточная матричная функция по возмущениям. В качестве входных воздействий выбраны обратный расход дистиллята (флегма) - Ц/) и обратный расход кубового продукта - К(/). Управляемыми выходами являются хв (г) - концентрация легкой фракции в ку-

бовом продукте -5(0 и yD(t) - концентрация легкой фракции в дистилляте D(t). Поток исходного сырья F(t) с концентрацией легкой фракции zf(t) рассматривается как внешнее возмущающее воздействие fit), кроме того, состав и температура сырья могут изменяться. Информация о внутренних возмущениях системы (перепадах давления, изменении температуры потоков флегмы и пара и т.п.) содержится в диагональной матрице А,.

Схематическое представление ректификационной колонны представлено на рисунке 1. Блоки ДВ представляют собой вентильные двигатели постоянного тока, преобразующие сигнал, поступающий с регулятора в механический сигнал, поступающий на исполнительный механизм ректификационной колонны.

акхухупхтор

О

\ конденсатор

S

флгги^^

3>

F.z,

—{ЖН сигьс О

±ТТ

ДВ

дисгшплш

D.y„

_L

рагуплтор

>-

w7

пар

t

-С&-

В,х.

кубовый остаток

G

ребойпер

Рис. 1. Схема ректификационной колонны Целью управления является минимизация Я„ -нормы передаточной функции <?,(/>) ошибки слежения е(0 = у(0~ут(0 выхода колонны у(!) = \у0\хв\Т за эталонным сигналом у„ (/) = \у*в; хв ]г:

||С1(»||„ <6'

5 - малое положительное число, ю - частота колебаний, ] - мнимая единица. Синтез закона управления осуществляется при следующих предположениях 4: 1) неизвестные постоянные элементы матрицы Л7 зависят от некоторого вектора неизвестных параметров £ е 5 ;

2) измерению доступны выходные сигналы ув (/) и хв (/). Выберем номинальную передаточную

1 Г0.878 -0.864 1.082 -1.096

G(p) =

КТ(р) =

4500/»+ 1 1

относительной

функцию степенью 7 = 1;

15р + 1 12/> + 1

0"

; А, =

0 д2_

. Класс неопределенности Н задан

неравенствами: 0 < Д; < I, (= 1,2 ; |/(г)|<7. Желаемое качество разделения бинарной смеси задано эталонным сигналом ут(0 = [0.4;0.б]г.

Реализацию поставленной цели обеспечит система управления, состоящая из:

- вспомогательного контура ey(t) --

1

0.878 -0.864 1.082 -1.096

4500p+ 1

39.942 -31.487 39.432 -31.997

"(0;

- закона управления u(t) = -(4500р +1)

fe(i) = l2(0 + 2^'(E(0-e(0), Ä

т>

- наблюдателя

, т=що,

где e(i) = е„ (*) - e(t); ц = 0.01; А,- =0.2, i = 1,2.

Структурная схема замкнутой робастной субоптимальной системы управления ректификационной колонной представлена на рисунке 2.

Рис. 2. Структурная схема робастаой субоптимальной системы управления ректификационной колонной

Проведен сравнительный анализ переходных процессов предлагаемого роба-стного субоптимального алгоритма управления и регуляторов, описанных в работе Skogestad S., Morari М., Doyle J. «Robust control of ill-conditioned plants: high-purity distillation». В зависимости от типа возмущений авторами строились инверсный, диагональный или ц -оптимальный регуляторы.

В таблице 1 приведены результаты моделирования для параметрически неопределённых объектов при отсутствии внешних возмущений (ДО = 0) и при подаче на вход объекта управления возмущающего воздействия / (/) = 0.5 + 0.2 вт 0.5/.

Таблица 1

Сравнительный анализ результатов

Регулятор Робастный Инверсный Диагональный и-

субоптимальный регулятор регулятор оптимальныи

Показатель регулятор регулятор

качества

/СО = 0

Перерегулирование 0% 146% 9% 1%

Точность

регулирования по уо(0 2 10" 0 3-10" 1.5-10"3

по хв{0 3-Ю"4 0 5-10" 6.1-10"3

/(О = 0.5 + 0.2зт0.5*

Перерегулирование 0% 215% 35% 34%

Точность

регулирования по уо(0 по хв (?) 1.5-10~3 110"3 0.168 0.227 4.2 -10"2 4.6-10"2 3.1-10"2 3.3 10"2

Таким образом, полученный робастный субоптимальный закон управления позволяет достичь наилучшего качества отслеживания эталонной траектории при неизвестных параметрах модели колонны и в присутствии неконтролируемых ограниченных внешних возмущений, что проиллюстрировано данными таблицы. Кроме того, реализация разработанного алгоритма проще рассмотренных аналогов, поскольку структура регулятора не зависит от типа возмущений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Предложен принцип построения робастных субоптимальных систем управления с использованием вспомогательного контура и наблюдателя производных. Неизменность структуры регулятора, позволяющего компенсировать параметрические и внешние неопределенности для широкого класса минимально-фазовых объектов, является главным достоинством синтезированного алгоритма управления.

1. Синтезирована робастная субоптимальная система управления для линейных объектов с измеряемым вектором состояния. Доказана работоспособность предложенной схемы.

2. Разработан робастный субоптимальный алгоритм управления для априорно неопределенных стационарных линейных объектов по выходу при наличии неизвестного запаздывания по состоянию и без него с компенсацией внешних ограниченных возмущений. Обоснована работоспособность полученных систем.

3. Спроектирована робастная субоптимальная система управления нестационарными линейными объектами по выходу с неизвестным запаздыванием по состоянию и без него в присутствии внутренних и ограниченных внешних возмущений.

4. Решена субоптимальная задача слежения выхода за эталонным сигналом для объектов управления как с запаздыванием по состоянию, так и без него, динамика которых описывается линейными дифференциальными уравнениями. Полученная структура алгоритма управления позволяет компенсировать параметрические неопределенности системы и действие внешних ограниченных возмущений.

5. Предложена и обоснована схема построения робастных субоптимальных систем управления для стационарных и нестационарных нелинейных объектов по выходу в условиях постоянно действующих параметрических и внешних ограниченных возмущений.

6. Синтезирована алгоритмическая структура робастно-субоптимальной системы управления с эталонной моделью для нестационарных нелинейных объектов с запаздыванием по состоянию с компенсацией возмущений.

7. Работоспособность всех синтезированных систем исследована путем моделирования в пакете МаЛаЬ/БшиНпк. Результаты моделирования подтвердили теоретические выводы и показали, что полученная структура управления обеспечивает субминимизацию заданного критерия качества, компенсируя действие внутренних и внешних ограниченных возмущений.

8. Разработано алгоритмическое обеспечение системы робастного субоптимального управления процессом ректификации. Проведен сравнительный анализ робастного субоптимального алгоритма с инверсным, диагональным и р.-оптимальным регуляторами для управления ректификационной колонной. Синтезированный закон управления позволяет достичь наилучшего качества отслеживания эталонной траектории при изменяющихся параметрах системы и в присутствии неконтролируемых ограниченных внешних возмущений.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Публикации в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий:

1. Галяув, Е.Р. Робастное субоптимальное управление линейными объектами с эталонной моделью / Е.Р. Галяув, И.Б. Фуртат // Вестник Астраханского государственного университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - № 2. - С.87-94.

2. Галяув, Е.Р. Робастное оптимальное управление линейными объектами / Е.Р. Галяув, И.Б. Фуртат, А.М. Цыкунов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2010. - №2. - С.22-25.

3. Галяув, Е.Р. Робастное субоптимальное управление линейными объектами по выходу / Е.Р. Галяув, И.Б. Фуртат // Информационно-измерительные и управляющие системы. - 2010. - №8. - т.8. - С.24-31.

4. Галяув, Е.Р. Робастное субоптимальное управление нестационарными объектами по выходу / Е.Р. Галяув // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика.-2011.-№ 1.-С.31-36.

5. Галяув, Е.Р. Субоптимальное управление ректификационной колонной / Е.Р. Галяув, И.Б. Фуртат // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. - 2011. - № 7. - С.29-32.

Публикации в научных журналах и изданиях:

6. Галяув, Е.Р. Робастное субоптимальное управление линейными объектами / Е.Р. Галяув, И.Б. Фуртат // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. - 2009. - № 1.-С.130-136.

7. Галяув, Е.Р. Робастное субоптимальное управление линейными объектами по выходу с запаздыванием по состоянию / Е.Р. Галяув, И.Б. Фуртат // Сборник трудов международной конференции «Проблемы управления, передачи и обработки информации» - АТМ-ТКИ-50. - Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2009. -С.35-39.

8. Галяув Е.Р. Робастное субоптимальное управление нелинейными объектами по выходу / Е.Р. Галяув // Материалы 7-й научно-технической конференции «Мехатроника, автоматизация, управление» (МАУ-2010). - Спб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2010. - С.120-123.

Подписано в печать 28.02.12 г. Тираж 100 экз. Заказ № 156 Типография ФГБОУ ВПО «АГТУ», тел. 61-45-23 г. Астрахань, Татищева 16ж.

АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

АЛГОРИТМЫ РОБАСТНОГО СУБОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Специальность 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность, информатика)»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

61 12-5/2125

На правах рукописи

Галяув Елена Романовна

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Цыкунов А.М.

Астрахань - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Список обозначений.................................................................................................4

Введение...................................................................................................................5

Глава 1. Субоптимальное робастное управление линейными объектами..........16

1.1. Линейные системы с измеряемым вектором состояния................................ 16

1.2. Линейные системы с неизмеряемым вектором состояния............................22

1.3. Системы робастного управления по выходу.................................................27

1.4. Робастные системы для нестационарных линейных объектов.....................37

1.5. Робастные системы слежения.........................................................................46

Выводы....................................................................................................................52

Глава 2. Системы с запаздыванием.......................................................................53

2.1. Робастное управление линейными стационарными объектами с запаздыванием по состоянию.................................................................................................53

2.2. Робастное управление линейными нестационарными объектами с запаздыванием по состоянию.............................................................................................60

2.3. Робастная система слежения для линейных нестационарных объектов с запаздыванием по состоянию...................................................................................67

Выводы....................................................................................................................71

Глава 3. Нелинейные системы...............................................................................72

3.1. Робастное субоптимальное управление нелинейными стационарными объектами......................................................................................................................72

3.2. Робастное субоптимальное управление нелинейными нестационарными объектами................................................................................................................79

3.3. Робастная система слежения для нелинейных нестационарных объектов.. 83

Выводы....................................................................................................................88

Глава 4. Робастное субоптимальное управление ректификационной колонной 89

4.1. Описание технологического процесса ректификации..................................89

4.2. Постановка проблемы управления ректификационной колонной...............91

4.3. Математическая модель процесса ректификации.........................................92

4.4. Алгоритм робастного управления ректификационной колонной................97

4.5. Моделирование и сравнительный анализ результатов..................................99

Выводы..................................................................................................................105

Заключение Список литературы

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

- множество действительных чисел

+ - множество неотрицательных действительных чисел I * | = (Х1 + х2 + • • • + хп )1//2 ~ евклидова норма вектора х е Л - комплексная переменная в преобразованиях Лапласа

р = ~ - оператор дифференцирования ш

т т

Н = Н > О (Н = Н > 0) - симметрическая положительно (неотрицательно) определенная матрица

Л; (Л) - собственные значения квадратной матрицы А

"0 1 о ... о

........................0 - матрица в форме Фробениуса

0 0 ... 0 1

ах а2 ... ... ап

Лпах(')(Лпт (')) _ максимальное (минимальное) собственное значение соответствующей матрицы

1у - единичная матрица порядка уху

||^|| = тах{Л^{Ат А))1!2 - спектральная норма матрицы А

ВВЕДЕНИЕ

Современные технологические процессы по организации и обработке материальных, энергетических и информационных потоков предъявляют высокие требования к надежности и показателям качества систем управления, встраиваемых в техническую среду этих процессов [49]. Для успешной реализации этой цели требуется наиболее полное и точное математическое описание исследуемых процессов и объектов управления. Между тем в реальных задачах все характеристики объекта содержат неизбежную неточность. Это обусловлено невозможностью, в большинстве случаев, точно определить параметры модели объекта, действием внешних неконтролируемых возмущений и т.п. Кроме того, для адекватного описания многих реальных объектов управления в их математические модели необходимо включить нестационарные параметры, изменяющиеся в заданных границах, а также, возможно, нелинейные характеристики и даже целые динамические блоки, которые известны не точно. В связи с этим идея о необходимости учета отсутствия полной априорной информации об объекте и условиях его функционирования является фундаментальной проблемой теории и практики автоматического управления [3, 68, 92].

Кардинальный способ разрешения проблемы неопределенности состоит в использовании принципов адаптации [42]. Адаптивные системы восполняют нехватку априорной информации об объекте управления в ходе рабочего функционирования [72] и, как отмечалось в [80], позволяют существенно улучшить качество переходного процесса по сравнению с классическими регуляторами. Основы теории адаптивного управления и некоторые этапы ее развития сформулированы в работах [3, 28, 40, 41, 42, 45, 50, 71, 72, 74, 79, 103, 109]. Однако часто трудности реализации и плохие динамические свойства контура адаптации, становятся непреодолимыми препятствиями для успешного функционирования системы в условиях неопределенности [49]. Кроме того построение адаптивного алгоритма управления для нестационарных систем является

крайне сложной, а иногда и нереализуемой задачей. Вследствие этого представ-

5

ляется перспективным развитие методов синтеза систем, не являющихся адаптивными, но обеспечивающих приемлемое качество работы при нестабильности параметров объекта управления и изменении статистических характеристик воздействий. Такие алгоритмы, обладающие высокой эффективностью при номинальных условиях функционирования и приемлемой эффективностью при отклонении от номинальных в заданных допустимых пределах называют роба-стными [8, 38, 45, 55, 79, 100, 103, 115]. Робастность характеризуется чувствительностью системы к факторам, которые не учитывались на этапах анализа и синтеза: возмущениям, шуму датчика, неотраженным в модели системы параметрам, влияющим на ее динамику. Система должна быть способна противодействовать влиянию этих факторов при выполнении задач, ради которых она проектировалась [67].

Синтез систем высокой точности в условиях неопределенности является классической проблемой в теории управления. Основы ее решения были заложены в начале 1930-х годов Блэком Г.С и Боде Х.У. в связи с анализом чувствительности систем с обратной связью. В [35] удалось построить робастные аналоги основных критериев устойчивости линейных систем. Однако по-настоящему теория робастного управления заинтересовала учёных в 90-е годы прошлого века.

В настоящее время робастная теория является одной из интенсивно развивающихся ветвей теории управления. В решении этой задачи выделяют два основных подхода. Первый заключается в поиске такого алгоритма управления, который обеспечит либо полную инвариантность системы произвольным неизвестным возмущениям, либо минимальную к ним чувствительность [14]. Другой подход теории робастного управления заключается в динамической компенсации внутренних и внешних возмущений [5, 9, 10, 15, 29, 73, 79-81, 96].

Впервые на возможность создания системы регулирования, инвариантной

к произвольным внешним возмущениям, было указано Г.В. Щипановым в 1939

году [85]. Позже этой проблеме свои работы посвятили многие авторы [17, 20,

23, 43, 44, 68, 69, 84]. Так, например, в статье [43] авторами рассмотрено реше-

6

ние задачи о подавлении произвольных ограниченных внешних возмущений на основе метода инвариантных эллипсоидов. Для компенсации влияния произвольных ограниченных внешних возмущений на выход стационарной динамической системы вводится регулятор в виде статической обратной связи по состоянию. Предлагаемый подход к синтезу заключается в том, что искомый оптимальный закон управления, минимизирующий влияние внешних возмущений, задается наименьшим инвариантным эллипсоидом замкнутой системы. В работе [44] на примере простейшей математической модели линейной минимально-фазовой системы управления рассматриваются вопросы физической реализуемости, устойчивости, оценки ошибок управления и слежения, выявление роли внутренних возмущений и частичной нейтрализации внешнего возмущения. Это позволяет сформулировать условия квазиинвариантного управления и возможности сколь угодно точного управления. Задача инвариантности для объекта со скалярным выходом и скалярным возмущением с известной динамикой рассмотрена в [20].

Условием инвариантности систем автоматического управления является тождественное равенство нулю передаточных функций ошибки по задающему и возмущающему воздействиям. Таким образом, инвариантные системы управления представляют собой идеальные системы. Эти системы, как правило, физически нереализуемы. Однако они определяют тот предел, к которому следует приближаться при желании синтезировать высококачественные системы с учетом реальных возможностей и ограничений [68].

К настоящему моменту достаточно полно теория инвариантности изложена в монографии [14]. Автором приведена классификация различных типов возмущений и систем управления, в которых качество функционирования и регулируемые параметры малочувствительны или вообще не зависят от возмущений.

Другой принцип построения систем управления, позволяющих достичь выполнения основных целевых условий при наличии параметрических и внешних возмущений заключается в их динамической компенсации [5, 9, 10, 15, 29,

7

73, 79-81, 96]. Суть подхода заключается в определении структуры и параметров синтезируемого регулятора, с помощью которого той или иной степени можно ослабить или исключить действие неконтролируемых возмущающих воздействий на управляемый выход объекта управления. Одним из распространенных способов компенсации параметрических и внешних детерминированных возмущений является метод внутренней модели [46 - 48]. В соответствии с данным методом, внешнее детерминированное возмущение рассматривается в качестве выхода линейной автономной системы. Для полной компенсации такого возмущения модель этой автономной системы должна быть соответствующим образом учтена в структуре регулятора. При этом встроенная в регулятор модель выполняет роль наблюдателя возмущения. В [79, 80] для выделения сигнала, несущего информацию обо всех неопределенностях системы, предложено введение вспомогательного контура, функционирующего как неявная эталонная модель. А затем строится оценка полученных возмущений и их компенсация.

Наряду с неопределенностью, большая часть технологических процессов обладает еще одной важной особенностью - наличием запаздывания [25, 87]. Динамика таких процессов определяется не только текущим состоянием системы, но и ее предысторией. Стоит отметить, что пренебрежение эффектом запаздывания во многих случаях приводит не только к количественным, но и к качественным ошибкам в исследовании систем и процессов. Выделение объектов с последействием в отдельный класс вызвано сложностью их исследования по сравнению с объектами, не содержащими запаздывания по состоянию. Вопросы построения робастного управления такими объектами рассматривались недостаточно, а методы, разработанные для объектов без запаздывания трудно применимы для систем с запаздыванием.

Особое внимание в современной теории автоматического управления уделяется робастному и адаптивному управлению системами, когда полный вектор состояния недоступен измерению, а измеряется только вектор выходных переменных [42, 50, 79-81]. Это объясняется тем, что во многих технологических

8

процессах некоторые из координат оказываются недоступными для измерения либо из-за отсутствия соответствующих датчиков, либо из-за особенностей самого процесса. Управление по выходу позволяет уменьшить затраты на проектирование и разработку измерительных устройств, которые еще и увеличивают размерность математической модели системы и вносят дополнительные погрешности, связанные с ошибками измерений.

Однако при решении практических задач актуальной проблемой является выбор среди множества стабилизирующих робастных регуляторов такого, который оптимален с точки зрения некоторого критерия, характеризующего качество управления [2, 11,34, 39, 54, 60, 70, 73, 82].

Для полностью определенных систем одним из основных подходов к решению этой проблемы является задача о линейно-квадратичном регуляторе (ЬСЖ), возникающая при описании систем в пространстве состояний и выборе управления в форме линейной обратной связи по состоянию, которое минимизирует заданный функционал качества [38, 55, 60]. При синтезе алгоритмов оптимального управления для линейных систем, функционирующих в присутствии внешних возмущений в виде гауссовского белого шума применим линейно-квадратичный гауссовский регулятор (ЬСЮ). Также как ЬСЖ. он является линейной системой и минимизирует некоторый квадратичный по управлению и состоянию функционал качества. Линейно-квадратичная задача является частным случаем задачи Н2 -оптимизации, в которой в качестве функционала качества выступает Н2 -норма передаточной функции. Однако такая теория адекватно описывает сравнительно узкий круг практических задач. В реальных системах имеется масса факторов, препятствующих применению математической теории оптимального управления. Так наличие произвольных внешних возмущений, невозможность точно определить параметры модели, изменение динамических свойств системы в процессе функционирования приводит к тому, что оптимальные системы, синтезированные по квадратичному критерию качества, являются чувствительными к параметрам модели реального объекта, и иногда

теряют не только оптимальность, но и работоспособность. Это привело к тому, что в начале 80-х годов стали возникать постановки оптимальных задач управления, которые смогли бы избежать указанных выше недостатков. В работах [94, 118] был предложен новый критерий оптимальности на основе Нж -нормы передаточной функции замкнутой системы. Обоснованность применения этого метода заключается в том, что Нж -норма передаточной функции есть энергия выхода системы при подаче на вход сигнала с единичной энергией. Поэтому если рассматривать возмущение входным воздействием, а выходом сигнал ошибки, то минимизируя -норму передаточной функции, минимизируется и энергия ошибки для наихудшего случая входного возмущения. В частотной области поиск таких регуляторов ведется по теореме Неванлинны-Пика. Однако стандартом решения задач Нх -оптимизации, на сегодняшний день, является «2-Риккати подход» [38, 105, 110]. Суть метода состоит в замене оптимальной задачи субоптимальной. В рамках этого метода постановка задачи осуществляется в частотной области, а искомый оптимальный регулятор определяется на основе решения двух многомерных уравнений Лурье-Риккати для восстановления вектора состояния и оптимального управления в смысле минимума Нж-нормы замкнутой системы. Регуляторы, синтезированные с использованием этого критерия оптимальности, обеспечивают устойчивость замкнутой системы и минимальную чувствительность к возмущениям, либо случайным, либо ограниченным в Ь2 -норме. Основным недостатком предложенного подхода является высокий порядок регулятора, который, к тому же, может быть нереализуем. Его реализуемость достигается заменой на другой регулятор, работающий подобно аналогу лишь в рабочей области частот.

Рассмотренные выше подходы предполагали наличие в системе определенного рода возмущений: случайные, гармонические либо затухающие на бесконечности. Однако во многих случаях известно лишь, что действующие на объект управления ограничены. В этом случае возникает проблема подавления ограниченных возмущений. Выбор наилучшего управления при наихудшем ог-

раниченном возмущении можно сделать с помощью минимизации Ьх -нормы оператора, задающего замкнутую систему (критерий ^-оптимизации) [55, 91, 100]. В ходе решения задачи ищется управление, которое минимизирует Ьсл-норму выхода при любых возмущениях, удовлетворяющих -ограничениям. Далее все полученные стабилизирующие регуляторы параметризуются с последующей Ц -оптимизацией по параметру. Неудобство данного подхода заключается в том, что порядок оптимального регулятора нельзя оценить заранее. В ряде случаев этот порядок очень велик для совсем простых объектов или даже может оказаться бесконечномерным.

Еще один подход к подавлению ограниченных возмущений - сверхстабилизация - помогает избежать этих трудностей [55]. Нахождение сверхстабилизи-рующего регулятора сводится к линейному п�