автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методика робастной стабилизации систем в условиях неопределенности моделей при заданных квадратичных критериях качества

На правах рукописи

Челпанов Александр Витальевич

МЕТОДИКА РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ МОДЕЛЕЙ ПРИ ЗАДАННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ КРИТЕРИЯХ КАЧЕСТВА

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Московский государственный университет приборостроения и информатики» на кафедре «Управление и моделирование систем»

Научный руководитель:

доктор технических наук, доцент Е. В. Никульчев

Официальные оппоненты:

доктор технических наук А. И. Дивеев

кандидат технических наук А. Д. Брейман

Ведущая организация:

НИИ Вычислительной математики и процессов управления им. В. А. Зубова СЛбГУ

Защита состоится «17» октября 2006 г. в 13м на заседании диссертационного совета Д 212.119.02 в ГОУ ВПО «Московский государственный университет приборостроения и информатики» по адресу: 107996, Москва, ул. Стромынка, д. 20 (тел. 268-01-01).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУПИ.

Автореферат разослан «I б» сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 212.119.02

Е. В. Никульчев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Синтез управления реальными техническими системами и промышленными объектами определяется как возможностью построения математических моделей управляемых процессов только с некоторой степенью точности в заданном классе, так и необходимостью учета нескольких заданных критериев качества и ограничений.

Моделированию систем по наблюдаемым экспериментальным данным посвящены работы X. Cremers, А. Hubler, J. P. Crutchfield, В. S. McNamara, Т. Kapitaniak, В. В. Астахова, А. Н. Павлова, Н. Б. Янсона, Б. В. Никульчева и др. Применение этих методов позволяет на основе анализа реконструированного фазового портрета, строить эволюционные уравнения в заданном классе систем. Однако эти исследования явно не ориентированы на управление . моделируемыми объектами.

Задачи проектирования систем управления, обеспечивающие сохранение заданного высокого уровня успешного функционирования процессов при возможных изменениях внешних воздействий в рамках некоторого заданного класса, могут быть решены на основе робастной теории. Робастные методы являются альтернативой адаптивным методам в условиях априорной неопределенности моделей. Значительный вклад в развитие робастной теории внесли Я. 3. Цьгакин, Б. Т. Поляк, В. Л. Харитонов, G. Zames, В. A. Francis, J. С. Doyle, К. Glover и др. Решению различных задач на основе робастной теории посвящены результаты многих ученых (П. С. Щербаков, Е. И. Веремей, G. Zames, В. A. Francis, J. С. Doyle, К. Glover, В. R. Barmish, S. P. Bhattacharrya, M Dahleh, P. P. Khargonekar, K. Zhou и др.). При использовании робастной теории в практических приложениях задается, как правило, один критерий качества управления. Использование //«.-теории позволяет минимизировать Яоо-норму передаточной функции замкнутой системы от входов к контролируемым выходам и в результате синтезировать стабилизирующую систему управления с устранением отклонения процесса. Однако к реальным промышленным стабилизируемым системам автоматического управления предъявляется несколько критериев оценки качества функционирования, могут также задаваться и различные ограничения.

Таким образом, задача разработки методики робастной стабилизации систем в условиях неопределенности моделей при заданных критериях качества является актуальной задачей системного анализа и управления в промышленной отрасли. ■ '

Цель диссертационного исследования. Разработка методики построения систем управления, обеспечивающих робастную //»-стабилизацию систем в условиях неопределенности моделей на центральном инвариантном многообразии на основе построения компромиссной зависимости по двум заданным квадратичным критериям.

Задачи, решаемые в работе:

1. Обзор методов синтеза робастяых систем управления и стабилизации.

2. Обоснованный выбор моделей и методов проектирования многокритериальных систем автоматического управления.

3. Разработка методики синтеза регулятора, обеспечивающего робастную //„стабилизацию при двух заданных квадратичных критериях качества.

4. Модификация и реализация в среде MATLAB/Simulink алгоритма расчета параметров робастного регулятора.

5. Тестирование алгоритма и анализ результатов.

6. Разработка технологии регулирования, использующей предложенную методику и аппарат качественного моделирования систем по экспериментальным данным в выбранном классе моделей.

7. Практическое применение предложенных решений в промышленности.

8. Внедрение результатов исследований в учебный процесс.

Методы исследования. В диссертации использованы методы управления многосвязными объектами, робастной теории управления, теории нелинейной динамики, системного анализа и современные информационные технологии.

Объект исследования. Данные наблюдений экспериментального функционирования управляемого процесса промышленной системы; заданные требования к стабилизации и качеству управляемого процесса.

Предмет исследования. Методы обеспечения качества управляемого процесса в условиях неопределенности моделей при заданных критериях.

Научная новизна:

1. Разработана методика робастной //„-стабилизации при двух заданных квадратичных критериях качества, основанная на решении системы линейных матричных неравенств.

2. Модифицирован алгоритм расчета параметров робастного //»-регулятора, ориентированный на использование линеаризованных моделей с параметрической неопределенностью, обеспечивающий стабилизацию на основе построения компромиссной зависимости по заданным критериям качества.

3. Разработана технология стабилизации управляемого процесса, использующая предложенную методику и аппарат качественного моделирования линеаризованных систем, редуцированных на центральное инвариантное многообразие.

Достоверность и обоснованность научных положений, результатов, выводов и рекомендаций, приведенных в диссертационной работе, обеспечивается корректным использованием математических методов и алгоритмов, результатами компьютерного моделирования и экспериментальными исследованиями на реальном промышленном объекте, а также подтверждена апробацией и обсуждением результатов работы на научных конференциях.

Практическая значимость и внедрение. На основе полученных в работе теоретических результатов создана методика, обеспечивающая решение научно-технической задачи, имеющей существенное значение для промышленности — построение систем управления, обеспечивающих робастную стабилизацию при двух заданных критериях качества в условиях неопределенности модели.

Созданная технология внедрена для регулирования процесса изготовления алюминиевых слитков в ОАО «Ступинская металлургическая компания». Результаты диссертационной работы использованы в учебном процессе кафедры «Моделирование систем и информационные технологии» ГОУ ВПО «МАТИ» — Российского государственного технологического университета им. К. Э. Циолковского. Результаты внедрения подтверждены соответствующими актами.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах: VI и VIII Всероссийских научно-технических конференциях «Новые информационные технологии» (Москва, 2003, 2005), XXX Международной молодежной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2004), I Межвузовском семинаре молодых ученых «Задачи системного анализа, математического моделирования и обработки информации» (Москва, 2006).

Дубликапии. Результаты диссертации опубликованы в 6-и печатных работах, включая 3-й статьи в сборниках научных трудов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка использованных источников из 134 наименований, приложения. Общий объем работы 127 е., из них 103 с. — основное содержание, включая 19 рисунков, 6 с. — приложение, 14 с. — список использованных источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность диссертационного исследования, сформулированы цели, задачи, методы, объект и предмет исследования, научная новизна и практическая ценность, приводится общая характеристика работы.

В первой главе проведен аналитический обзор существующих подходов к управлению в системах с неконтролируемыми параметрическими или структурными возмущениями, обоснованно выбраны модели и методы исследования, уточнены задачи работы.

На основе анализа современных работ по решению задач стабилизации в условиях неопределенности моделей выбрана робастная теория управления. Рассмотрены ее основные положения. В значительной степени теорию робастного управления развивали зарубежные школы, однако, общие основы теории были сформулированы в статье А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина, в которой исследовались изменения фазовых траекторий «грубой» динамической системы при малых вариациях параметров дифференциальных уравнений.

Изложены понятия Я»-теории (G. Zames, В. A. Francis, J. С. Doyle, К. Glover), позволяющей рассматривать задачи с неопределенностью в частотной характеристике объекта, ограниченной в //„-норме. Рассмотрены особенности данного подхода. Теория оптимизации (G. Zames) ограничена классом внешних возмущений из пространства ¿2, который представлен исчезающими функциями времени, альтернативой которой является /г теория (Е. Д. Якубович, А. Е. Барабанов, О. Н. Граничил, В. Ф. Соколов, М. Vidyasagar, М. Dahleh, J. Pearson, М. Н. Khammash, М. V. Salapaka, Т. Vanvoorhis и да.). В Л-теории класс внешних возмущений — произвольные ограниченные функции времени, а критерием оптимизации является максимум модуля отклонения регулируемой переменной. Выбран подход, задающий неопределенность моделей в параметрической или ограниченной матричной норме (В. A. Francis).

Рассмотрен математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределенностей — /¿-анализ (J. С. Doyle), в основу которого положено понятие структурного сингулярного числа. Проанализированы результаты разработки вычислительно эффективных алгоритмов для решения матричных уравнений и неравенств (Ю. Нестеров, А. С. Немироаский). Проведен анализ решений, полученных с использованием робастной теории (Я. 3. Цыпкин, Б. Т. Поляк, П. С. Щербаков, Е. И. Веремей, В. R. Barmish, S. P. Bhattachanya, М. Dahleh, P. P. Khargonekar, К. Zhou и мн. др.). Сделан вывод о перспективности эффективного применения робастного управления для решения задач промышленности в условиях неопределенности моделей.

Проведена классификация методов робастного управления с целью выявления класса неопределенности в системах, идентифицируемых по экспериментальным данным.

При решении задач робастного управления принято различать классы параметрических и непараметрических неопределенностей. Модели параметрических неопределенностей отражают неточное знание физических параметров управляемой системы. Непараметриче-

скими называют неопределенности в структуре объекта, наличие которых приводит к изменению порядка системы.

Дискретная Я»-теория управления (P. A. Iglesias,К. Glover, V. Ionescu, M. Weiss, J. С. Geromel, P. L. D. Peres, S. R. Souza и др.) позволяет исследовать свойства стабилизирующего решения модифицированного уравнения Риккати и робастные свойства //„регулятора по отношению к параметрическим неопределенностям математической модели объекта управления.

Робастное управление, представленное в работах И. Н. Круговой, В. Ю. Рутковско-го, А. М. Цыкунова, В. О. Никифорова, О. И. Королевой, А. Л. Фрадкова, M. Krstic, I. Kanellakopoulos, P. V. Kokotovich, R. Smith, G. Dullerud, S. Miller и др., позволяет учитывать нелинейности динамических объектов.

Можно выделить научное направление, связанное с параметрическим представлением класса стабилизирующих регуляторов (M. Vidyasagar, В. A. Francis, В. А. Якубович, А. Е. Барабанов, M. М. Коган и мн. др.) и направление, использующее оптимизационные и минимаксные задачи и связанные с ними матричные уравнения и неравенства типа Лурье-Риккати (T. Iwasaki, R. Е. Skelton, L. Xie, С. E. de Souza, L. Y. Wang, W. Zhan, T. Basar, P. Bernhard, A. A. Первозванский, В. A. Брусин и мн. др.).

Существует решение задач синтеза робастного управления на основе подходов теории дифференциальных игр (I. Е. Petersen, D. С. McFarlane, Р. Colaneri, J. С. Geromel, A. Loca-telli, M. M. Коган).

В заключении делается вывод о том, что наиболее универсальным для использования в технологиях управления в промышленности являются методы //„-стабилизации, использующие матричные неравенства и линеаризованные модели с параметрической неопределенностью.

Вторая глава посвящена теоретической разработке методики стабилизации на основе робастной //«-теории с учетом двух заданных квадратичных критериев качества.

На основе анализа методов синтеза робастных //»-регуляторов для двух заданных критериев качества показана эффективность подхода, предложенного P. Gahinet, P. Apkarian, являющегося альтернативным к 2-Риккати подходу. Особенность подхода заключается в том, что обобщенные алгебраические уравнения Риккати (известные из работ J. С. Doyle, К. Glover, Р. Р. Khargonekar, B.A.Francis по решению стандартных проблем Hz и //«,-управления в пространстве состояний) заменяются неравенствами.

Пусть конечномерный линейный управляемый и наблюдаемый объект может быть идентифицирован по экспериментальным данным в пространстве состояний в виде

(х = Ах+ В^ + В2и,

г = С,лг+/)]1н' + Д2и, (1)

у - Сгх + D2Iw+ D¿u,

где x s R4 — вектор состояний системы, и e R™1 — вектор управлений, wsR*1 — вектор неопределенности, характеризующий неточность модели, у e R'1 — вектор измеряемых выходов, reR'1 —вектор управляемых выходов системы, A,B¡,B1,Cl,Ci,Díi,Dt},D2l постоянные матрицы соответствующих размерностей. Необходимо отметить, что часто выполняется вполне реалистичное требование малости £>ц=0 и D¡x**0. Структурная схема объекта (1) представлена на рис. 1.

Здесь г, — выход реальной системы; Р имеет следующую структуру

А В, V

с, Ai

А. Аз

Робастный регулятор включается в контур подсистемы [Я21 Неконтролируемые сигна-

лы, проходящие по подсистеме [/}, Рп\, должны быть эффективно подавлены.

Рис. 1. Принцип стабилизации при использовании Направления.

Пусть матрица передаточных функций от входа к выходу г (рис. 1) замкнутой системы будет иметь вид

ъ-л+ь ^Mä

Робастное //»-управление ищется в виде обратной связи и = Fy, такое, что H^L минимальна, где HL — //„-норма в функциональном пространстве Харди: =supö:((ff(y'ß))), где

«

fV(jeo) = W(s) |w„ - частотная характеристика системы, ¡j{W(Jm)) - максимальное сингулярное значение матрицы W(ja>).

Будем искать Я«,-регулятор в виде наблюдателя

+ (2)

[и = С„хс,

где Ас б , Вс е К""'1, Се е К"1" - постоянные матрицы.

Согласно известному определению, если задана некоторая величина у > 0, то система (1) стабилизируема через регулятор (2) в обратной связи со степенью у подавления неопределенности w, замкнутая система (1) внутренне устойчива и JtJ^ £ у, где — матрица передаточных функций от вектора w к контролируемому выходу z в замкнутой системе. Величина максимального уровня неопределенности, допускающего робастную стабилизацию у, играет роль параметра. Оптимальное значение /можно найти с помощью методов одномерного поиска.

Пусть заданы интегральные характеристики системы (критерии качества) А = JeУ-у)1 P{y-y)dt -> min,

J2 = ju'Qudt -» min,

о

где у — программное движение; Р > О, Q > О — некоторые заданные матрицы.

(За) (36)

Рассмотрены подходы к решению многокритериальных задач. Выделены два основных подхода Первый основан на введении дополнительных гипотез, с целью сведения многокритериальных задач к однокритериальным (Л. Г. Евланов, И. Е. Казаков, Н. Н. Моисеев, В. С. Пугачев и др.). Известно, что при таком подходе не всегда можно гарантировать качественный синтез управления. Второй подход основан на использовании концепции множества точек неулучшаемых решений — оптимальности по Парето. При этом строится область компромиссов, в которую попадают только неулучшаемые решения, т. е. те, в которых улучшение одной из целей приводит к ухудшению другой, а оптимальное решение необходимо искать на границе этой области (И. М. Соболь, Р. Б. Статников, Е. М. Воронов, А. Б. Пиуновский, В. Т. Грумонде, и др.). Обосновано использование проектирования Паре-то-оптимальных систем управления.

Предложено ввести коэффициенты а,,а2> определяющие достижение минимальных значений соответствующих критериев качества при компромиссном решении, при этом О^от, £ 1, 0¿а2 21. Используя метод, предложенный Р. ОаЬте1, Р. Аркапап, получен следующий результат. Для объекта управления (1) регулятор, обеспечивающий выполнение условия ^ у, существует тогда и только тогда, когда существуют симметричные матрицы Я - Кт и 5 = Хт, удовлетворяющие системе неравенств

АГ„ 10

Г^. 0"

0 /

ЛК + ЯАт+а2д ЛС,Т С,Л -у/

В>

А^ + ЗА + а^Р в; 5

5В, -у1

А

-П

Г"» 0"

0 /

<0,

с,т

А*

А, 20,

-у!

0

0 /

<0,

(4а)

(46)

где Л' и N...

(4в)

«и п и,, — базисы нуль-пространств для [й^ £>,тг] и [С2 £>21] соответственно. Известно, что множество решений (4а-4в) не зависит от выбора базисов, т. к. для численной устойчивости базисы выбираются ортонормированными.

Отсюда, используя результат Р. ОаЫпеС, при

Д,=0, Що12 С,] = [/ 0], о12[дт, <] = [/ 0], матрицы регулятора вида (2) имеют вид

АС = А-ВгВхгХ-(/-Г~гУХ)~Х УС1Сг + у~2В^Х, Вс=(1-у-2УХ)'1УС], Сс = -В]Х, где X и У определяются выражением

х-г^к*. ^„Л"1.

Разработана методика синтеза робастного //»-регулятора при двух заданных квадратичных критериях качества, которая включает 9 этапов:

I. Задать критерии качества вида (За, '36).

(5)

(6)

(7)

2. Построить модель объекта управления (I) по экспериментальным данным.

3. Проверить выполнение требований (5).

4. Сформировать систему линейных матричных неравенств (4а-4в).

5. Вычислить множество решений (R, S) системы (4а-4в), используя модифицированный метод, основанный на подходе, предложенном P. Gahinet и P. Apkarian.

6. Построить множество компромиссных решений у(а„аг2).

7. Выбрать оптимальное решение.

8. Вычислить (X, У), используя формулы (7).

9. Вычислить параметры робастного Н^-регулятора по выражению (б).

Таким образом, получено теоретическое решение задачи робастной //«-стабилизации с учетом двух заданных квадратичных критериев качества.

Третья глава посвящена модификации алгоритма синтеза робастного управления линейными (линеаризованными) стационарными динамическими системами с неконтролируемыми параметрическими возмущениями. Приведены модельные примеры, иллюстрирующие применение разработанной методики и алгоритма.

На основе методики модифицирован алгоритм расчета параметров робастного //«>-регулятора, ориентированный на использование в MATLAB 7.0, с пакетами LMI Control Toolbox 1.0.9, Simulink 6.0. Алгоритм включает 17 этапов:

1. Задать матрицы Р е R"1*"1, Q е И"1""1.

2. Задать матрицы АеЖ^.В, е К"""\В2 еК^'-.С, еК''х\С2 е R'1""1 ,D„ eR1"4 , Dn eM''*™1, Д, е R'2""1,022 s R'I,",J.

3. Проверить выполнение требований (5).

4. Вычислить базисы Nn и jV21 .

5. Выбрать точность решения с, задать количество итераций п.

6. Задать начальные значения аг, = 0, аг = 0.

7. Вычислить ог,Р, cc2Q.

8. Сформировать систему линейных матричных неравенств (4а~4в).

9. Задать начальное значение у.

10. Решить систему линейных матричных неравенств, вычислить (R, S).

11. Уменьшить у. Перейти к шагу 10, пока не будет найдено у такое, что у' -у <е, где У — значение у на предыдущем шаге, причем решение (R, S) положительно определено. Присвоить У = у. Если решение (R, S) не найдено при у", то перейти к шагу 5, при этом увеличить количество итераций и/или уменьшить точность решения е.

12. Увеличить а1,а1. Перейти к шагу 7 пока or, S1,аг S1.

13. Построить множество компромиссных решений у(а^аг).

14. Выбрать оптимальное решение.

15. Вычислить решение (X, Y) по выражению (7).

16. Вычислить матрицы Аа Вс, Сс по выражению (6).

17. Провести имитационное моделирование с вычисленными параметрами //«,-регулятора.

Приведены примеры использования разработанной методики и алгоритма синтеза робастного //»-управления, в системах с параметрической неопределенностью.

Рассмотрены модельные примеры. Пусть объект управления задается в виде (1), постоянные матрицы которого равны

-]Т

"-1.3 -1.6 -Г "2.1" "4.2" "1

А = 1 0 0 1.9 . -»2 = 3.5 0

0 10 0.9 2 1

С,=

Д, = А2 = Аг = Е0],

Ai

= [0.1],

заданы два критерия качества

¿1=~\(у-уУ1{у-у)Ж, - ]«т/иЛ, о о

где I — единичная матрица размерности 3x3. Необходимо найти регулятор вида (2) робастно стабилизирующий систему при двух заданных критериях качества. Компромиссная зависимость у(а1,а1), при а,, а2 е[0;1] представлена на рис. 2а, на рис. 26 — при а1 =1

В результате синтеза были рассчитаны постоянные матрицы робастного Нт-регулятора, которые равны следующим значениям

А =

-0.5153-105 -0.7729-105 0.2576-105 0.7625-10! 1.1438-10s -0.3813-105 1.3243-10s 1.9865-105 -0.6622-105

.4 =

-2.5762-104 3.8126-Ю'1 6.6217-104

.С.=

-0.1924-10"' -0.0543-10"* -0.2337-Ю-"

Оптимальное решение выбрано при а, =0.5,аг =0.5. В результате вычисления найдено минимальное значение утт »0.2781.

б)

Рис. 2. Компромиссная зависимость.

Динамика системы в переходном режиме в условиях действующих возмущений представлена на рис. 3. Из графика видно, что неконтролируемые возмущения, действующие на систему, стабилизированную //«--регулятором, эффективно подавлены.

400 у

250 ■ № "А? ууч А/Аи

200 ■ ■ ¥

_______

.100 •

О 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 Время

Рис. 3. Динамика системы в переходном режиме: без регулятора (верхний график), с Н^регулятором (нижний график).

Компьютерное моделирование подтверждает эффективность методики решения дву-критериальной задачи стабилизации.

В четвертой главе разработана технология стабилизации управляемого процесса на основе предложенной методики и аппарата качественного моделирования линеаризованных

систем, редуцированных на центральное инвариантное многообразие; проведен анализ синтеза робастного //«-регулятора для системы управления процессом охлаждения алюминиевых слитков в ОАО «Ступинская металлургическая компания».

Рассмотрены вопросы моделирования динамических систем по экспериментальным данным. Для построения линеаризованных моделей на основе геометрического анализа аттрактора, используется метод, предложенный Е. В. Никульчевым. Метод использует топологическую эквивалентность восстанавливаемого по наблюдаемым данным фазового портрета и аттрактора динамической системы (теорема F. Takens). Для моделирования используются геометрические свойства решений дифференциальных уравнений: выделяются локальные области фазовых траекторий, близкие к периодическим, и строятся конечно параметрические преобразования, переводящие одну область в другую. В результате параметрической идентификации получаются дифференциальные уравнения систем по теореме Тураева, редуцированные на локальное центральное инвариантное многообразие. Показано, что на основании теоремы Гробмана-Хартмана, можно представить полученные уравнения в виде (1).

Таким образом, разработана оригинальная технология проектирования промышленных систем управления по заданным критериям качества, использующая методы #«>-стабилизации и аппарат качественного моделирования линеаризованных систем, редуцированных на центральное инвариантное многообразие. Технология включает пять этапов.

1. Проведение экспериментов и обработка исходных данных. Включает использование методов предварительной обработки данных и планирования эксперимента.

2. Восстановление фазового портрета системы. Построение методом Паккарда фазового портрета, топологически эквивалентного, по теореме F. Takens, аттрактору динамической системы.

3. Построение системы, редуцированной на центральное инвариантное многообразие и параметрическая идентификация линеаризованной модели. Используется геометрический метод, предложенный Е. В. Никульчевым для качественного моделирования динамических систем. Вычисление параметров линеаризованной модели происходит методом наименьших квадратов, реализованном в System Identification Toolbox 6.0.1 системы MATLAB 7.0.

4. Проектирование системы управления, обеспечивающей И„-стабилизацию и заданные критерии качества. Применяются разработанные во второй и третьей главе методика и алгоритм управления с учетом заданных ограничений и квадратичных критериев качества.

5. Реализация регулятора и внедрение. Обеспечивается ориентированностью модифицированного алгоритма на системы, применяемые в промышленности.

Для анализа эффективности предложеннык решений решалась следующая задача синтеза управления процессом охлаждения алюминиевых слитков. При отливке круглых сплошных слитков расплавленный металл через фильтр по литейному желобу поступает в кристаллизаторы. В каждый кристаллизатор подается вода для охлаждения расплава и газомасляная смесь для получения более качественного слитка. Металл кристаллизуется за счет охлаждения. Для слитков диаметром 190 мм из сплава АД31 (6063) расход охлаждающей воды должен быть в диапазоне от 1,6 до 2 л/с. Изменение расхода воды определяет качество изделия. Воздействие на процесс осуществляется управляемым клапаном. Необходимо с помощью дополнительного регулирующего контура обеспечить расход воды в заданном диапазоне. На рис. 4 представлен исходный процесс расхода воды при охлаждении слитков диаметром 190 мм длиной 4,5 м из сплава АД31 (6063). Видно, что расход воды выходит за пределы диапазона от 1,6 до 2 л/с.

М

9 00 П Ш «00 1200 1600 1700 »00 2200 20М 2ГОО 3000 Вр*ия (О

Рис. 4. Динамика расхода воды при работе промышленной системы охлаждения.

Приведены результаты моделирования. Восстановленный аттрактор имеет вид, показанный на рис. 5.

Рис. 5. Аттрактор системы охлаждения слитков.

В результате построения модели и параметрической идентификации получена система в пространстве состояний. Постоянные матрицы этой системы вида (1) имеют вид

-0.010804 -0.00048258 0.035216 -0.013885 0.099864 " "0.103"

-0.0072319 -0.0067812 0.0084954 0.053016 -0.13152 0.018

-0,029233 -С.016739 -0.014882 0.15751 -0.39779 .4 = 0.791

0.0084642 -0.022258 -0.079118 0.051305 1.4235 1.049

-0.006863 0.017173 0.082373 -0.49043 -1.2685 0.329

"0.001414 "0.302" т "4.7306 Т

-0.0019016 -0.428 2.3108

я2 = -0.0057672 1.676 .с2 = 0.1438

0.019305 0.603 -0.43432

-0.016217 1.035 0.12444

. Я„=£>|2 = 1>г2=[0], -[0.1].

Расхождение выходных значений реального процесса и математической модели системы составляет 2,56%. Такую адекватность модели можно считать достаточной для технических систем. Сравнение динамики модели и процесса охлаждения слитков приведено на рис. 6.

Рис. 6. Сравнение результатов моделирования с исходными данными.

Заданы критерии качества

Л =]иТ/иЛ, о о

где /—единичная матрица размерности 5x5.

Используя построенную математическую модель и алгоритм синтеза робастного //„регулятора при двух заданных квадратичных критериях качества, была решена задача проектирования робастного //«.-регулятора, заданного в пространстве состояний в виде (2). Компромиссная зависимость у(ог„аг2) представлена на рис. 7. Элементы постоянных матриц, для рассчитанного регулятора имеют следующие значения

-0.0794 -0.0345 0.0347 -0.0068 0.0990" 0.0146' ' 0.0398 -Ю 'Т

-0.0155 -0.0109 0.0085 0.0539 -0.1316 0.0018 -0.0565 10'

-0.4284 -0.2153 -0.0152 0.2004 -0.4014 0.0848 . сс = 0.221 МО-1

-0.5064 -0.2786 -0.0790 0.1069 1.4191 0.1095 0.0795-10'1

-0.2609 -0.1084 0.0796 -0.4645 -1.2723 0.0539 0.1366-Ю"5

Оптимальное решение выбрано при а, = 0.25, аг - 0.75. Полученное в результате решения

системы линейных матричных неравенств значение у^ » 0.4853.

Рис. 7. Компромиссная зависимость.

На рис. 8 представлена динамика расхода воды модели системы с //«-управлением с учетом действующих возмущений.

1 | :

1

...... ! ' " 3 ......! ' Г' "" "

1 | :

| • г ?

И |

111! 1

• 399 600 7Ю 1000 1260 ЯОО «40 2000 2200 2000 2700 ЭООО

Вммя (е-)

Рис. 8. Динамика расхода воды модели системы с I ¡^-управлением с учетом действующих возмущений.

Результаты внедрения подтвердили эффективность проведенных в работе исследований.

В заключении диссертации приведены основные результаты и выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В работе получены следующие основные результаты.

1. Проведен обоснованный выбор моделей и методов проектирования двукритери-альных систем автоматического управления на основе анализа методов робастного управления и стабилизации.

2. Разработана методика синтеза робастной стабилизации при двух заданных квадратичных критериях качества, сводящая вычисление параметров регулятора к решению системы линейных матричных неравенств.

3. Модифицирован алгоритм расчета параметров робастного Äo-регулятора, обеспечивающего решение задачи стабилизации на основе построения компромиссной зависимости по заданным квадратичным критериям качества. Алгоритм ориентирован на использование в условиях неопределенности моделей в классе линеаризованных систем, редуцированных на центральное инвариантное многообразие.

4. Предложенная методика реализована в среде МАТЬ AB/Simulink, предоставляющей возможность совместного использования с промышленными контроллерами.

5. Разработана технология стабилизации управляемого процесса, использующая предложенную методику и геометрический аппарат качественного моделирования систем по реконструированным фазовым портретам.

6. Методика внедрена в ОАО «Ступинская металлургическая компания» для регулирования процесса изготовления алюминиевых слитков.

7. Использование разработанной технологии регулирования позволило обеспечить заданные критерии качества при изготовлении слитков диаметром 190 мм из сплава АД31 (6063).

8. Результаты работы использованы в учебном процессе кафедры «Моделирование систем и информационные технологии» «МАТИ» — Российского государственного технологического университета им. К. Э. Циолковского.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ннкульчев Е, В., Волович М.Е., Челпанов A.B. Идентификация фазовых портретов динамических систем по временным рядам // Научные труды МАТИ им. К. Э. Циолковского. Вып. 4 (76). —М: Изд-во «ЛАТМЭС», 2001. — С. 463-467.

2. Чел па нов А. В. Разработка программных средств проектирования робастных систем управления техническими объектами // Новые информационные технологии: Сб. трудов VI Всероссийской науч.-техн. конф. / Под общ. ред. А. П. Хныкива. — М.: МГАПИ, 2003.—Т. 1.—С. 174-175.

3. Челпанов А. В. Построение робастного квадратичного регулятора системы охлаждения алюминиевых слитков // Гагаринские чтения: Тезисы докл. XXX международной молодежной науч. конф.— М.: «МАТИ» — РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2004.— С. 148-149.

4. Челпанов А. В. Синтез модели управления процессом охлаждения алюминиевых слитков в Simulink // Новые информационные технологии: Сб. трудов VIII Всероссийской науч.-техн. конф. / Под общ. ред. А. П. Хныкина.— М.: МГАПИ, 2005.— С.166-168.

5. Челпанов А. В. Моделирование системы управления процессом охлаждения алюминиевых слитков в Simulink//Научные труды МАТИ им. К. Э. Циолковского. Вып. 9 (81). — М.: ИЦ МАТИ, 2005. — С. 40-44.

6. Челпанов А. В. Проектирование робастного //»-регулятора на основе построения компромиссной зависимости по заданным квадратичным критериям качества // Задачи системного анализа, математического моделирования и обработки информации: Сб. науч. трудов. Вып. 1.—М: МГУП, 2006. — С. 5-15.

ЛР № 020418 от 08 октября 1997 г.

Подписано к печати 14.09.2006 г. Формат 60x84.1/16. Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 152

Московский государственный университет приборостроения и информатики

107996, Москва, ул. Стромынка, 20

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ПОДХОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ И УПРАВЛЕНИЮ В СИСТЕМАХ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ.

1.1. Основные модели описания линейных систем.

1.2. Обзор основных положений робастной теории.

1.2.1. Основные модели описания систем с неопределенностями

1.2.2. Основные подходы к исследованию робастной устойчивости.

1.2.3. Основные положения Ню-теории.

1.2.4. Дискретная Н^-теория.

1.2.5. Основные положения /л-анализа и синтеза.

1.3. Обзор современных подходов для решения задач робастного управления.

1.3.1. Подходы нелинейного робастного управления.

1.3.2. Подходы I[-теории.

1.3.3. Направления, связанные с параметрическим представлением класса стабилизирующих регуляторов и использующие оптимизационные и минимаксные задачи на основе матричных уравнений и неравенств типа Лурье-Риккати.

1.3.4. Робастное управление на основе подходов теории дифференциальных игр.

1.3.5. Робастная стабилизация на основе релейного синтеза.

1.4. Выводы.

ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ СТАБИЛИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ РОБАСТНОЙ Ях-ТЕОРИИ.

2.1. Обзор подходов решения задач многокритериальной оптимизации.

2.1.1. Метод свертывания векторного критерия.

2.1.2. Принципы Парето-оптималъного управления.

2.2. Разработка методики стабилизации на основе робастной ILтеории с учетом двух заданных критериев качества.

2.3. Выводы.

ГЛАВА 3. МОДИФИКАЦИЯ АЛГОРИТМА СИНТЕЗА РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ СТАЦИОНАРНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С НЕКОНТРОЛИРУЕМЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

3.1. Модифицированный алгоритм синтеза робастного управления.

3.2. Модельные примеры.

3.3. Выводы.

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА ТЕХНОЛОГИИ СТАБИЛИЗАЦИИ УПРАВЛЯЕМОГО ПРОЦЕССА.

4.1. Модели систем, редуцированные на центральное инвариантное многообразие.

4.2. Моделирование по экспериментальным данным.

4.3. Технология проектирования промышленных систем управления по заданным критериям качества.

4.4. Выводы.

Актуальность. Синтез управления реальными техническими системами и промышленными объектами определяется как возможностью построения математических моделей управляемых процессов только с некоторой степенью точности в заданном классе, так и необходимостью учета нескольких заданных критериев качества и ограничений.

Моделированию систем по наблюдаемым экспериментальным данным посвящены работы X. Cremers, A. Hubler, J. P. Crutchfield, В. S. McNamara, Т. Kapitaniak, В. В. Астахова, А. Н. Павлова, Н. Б. Янсона, Е. В. Никульчева и др. Применение этих методов позволяет на основе анализа реконструированного фазового портрета, строить эволюционные уравнения в заданном классе систем. Однако эти исследования явно не ориентированы на управление моделируемыми объектами.

Задачи проектирования систем управления, обеспечивающие сохранение заданного высокого уровня успешного функционирования процессов при возможных изменениях внешних воздействий в рамках некоторого заданного класса, могут быть решены на основе робастной теории. Робастные методы являются альтернативой адаптивным методам в условиях априорной неопределенности моделей. Значительный вклад в развитие робастной теории внесли Я. 3. Цыпкин, Б. Т. Поляк, В. JI. Харитонов, G. Zames , В. A. Francis , J. С. Doyle, К. Glover и др. Решению различных задач на основе робастной теории посвящены результаты многих ученых (П. С. Щербаков, Е. И. Веремей, G. Zames , В. A. Francis , J. С. Doyle, К. Glover, В. R. Barmish, S. P. Bhattacharrya, M. Dahleh, P. P. Khargonekar, K. Zhou и др.). При использовании робастной теории в практических приложениях задается, как правило, один критерий качества управления. Использование //«-теории позволяет минимизировать Я^-норму передаточной функции замкнутой системы от входов к контролируемым выходам и в результате синтезировать стабилизирующую систему управления с устранением отклонения процесса. Однако к реальным промышленным стабилизируемым системам автоматического управления предъявляется несколько критериев оценки качества функционирования, могут также задаваться и различные ограничения.

Таким образом, задача разработки методики робастной стабилизации систем в условиях неопределенности моделей при заданных критериях качества является актуальной задачей системного анализа и управления в промышленной отрасли.

Цель диссертационного исследования. Разработка методики построения систем управления, обеспечивающих робастную стабилизацию систем в условиях неопределенности моделей на центральном инвариантном многообразии на основе построения компромиссной зависимости по двум заданным квадратичным критериям.

Задачи, решаемые в работе:

1. Обзор методов синтеза робастных систем управления и стабилизации.

2. Обоснованный выбор моделей и методов проектирования многокритериальных систем автоматического управления.

3. Разработка методики синтеза регулятора, обеспечивающего робастную Яда-стабилизацию при двух заданных квадратичных критериях качества.

4. Модификация и реализация в среде MATLAB/Simulink алгоритма расчета параметров робастного регулятора.

5. Тестирование алгоритма и анализ результатов.

6. Разработка технологии регулирования, использующей предложенную методику и аппарат качественного моделирования систем по экспериментальным данным в выбранном классе моделей.

7. Практическое применение предложенных решений в промышленности.

8. Внедрение результатов исследований в учебный процесс.

Методы исследования. В диссертации использованы методы управления многосвязными объектами, робастной теории управления, теории нелинейной динамики, системного анализа и современные информационные технологии.

Объект исследования. Данные наблюдений экспериментального функционирования управляемого процесса промышленной системы; заданные требования к стабилизации и качеству управляемого процесса.

Предмет исследования. Методы обеспечения качества управляемого процесса в условиях неопределенности моделей при заданных критериях.

Научная новизна:

1. Разработана методика робастной Дестабилизации при двух заданных квадратичных критериях качества, основанная на решении системы линейных матричных неравенств.

2. Модифицирован алгоритм расчета параметров робастного Яда-регулятора, ориентированный на использование линеаризованных моделей с параметрическими неопределенностями, обеспечивающий стабилизацию на основе построения компромиссной зависимости по заданным критериям качества.

3. Разработана технология стабилизации управляемого процесса, использующая предложенную методику и аппарат качественного моделирования линеаризованных систем, редуцированных на центральное инвариантное многообразие.

Достоверность и обоснованность научных положений, результатов, выводов и рекомендаций, приведенных в диссертационной работе, обеспечивается корректным использованием математических методов и алгоритмов, результатами компьютерного моделирования и экспериментальными исследованиями на реальном промышленном объекте, а также подтверждена апробацией и обсуждением результатов работы на научных конференциях.

Практическая значимость и внедрение. На основе полученных в работе теоретических результатов создана методика, обеспечивающая решение научно-технической задачи, имеющей существенное значение для промышленности — построение систем управления, обеспечивающих робастную стабилизацию при двух заданных критериях качества в условиях неопределенности модели.

Созданная технология внедрена для регулирования процесса изготовления алюминиевых слитков в ОАО «Ступинская металлургическая компания». Результаты диссертационной работы использованы в учебном процессе кафедры «Моделирование систем и информационные технологии» ГОУ ВПО «МАТИ» — Российского государственного технологического университета им. К. Э. Циолковского. Результаты внедрения подтверждены соответствующими актами.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах: VI и VIII Всероссийских научно-технических конференциях «Новые информационные технологии» (Москва, 2003, 2005), XXX Международной молодежной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2004), I Межвузовском семинаре молодых ученых

Задачи системного анализа, математического моделирования и обработки информации» (Москва, 2006).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6-и печатных работах, включая 3-й статьи в сборниках научных трудов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка использованных источников из 134 наименований, приложения. Общий объем работы 127 е., из них 103 с. — основное содержание, включая 19 рисунков, 6 с. — приложение, 14 с. — список использованных источников.

8. Результаты работы использованы в учебном процессе кафедры «Моделирование систем и информационные технологии» «МАТИ» — Российского государственного технологического университета им. К. Э. Циолковского.

1. Ackerman J., Bartlett A., Kaesbauer D. et al. Robust Control: Systems with uncertain Physical Parameters. London: Springer-Verlag, 1993.

2. Apkarian P., Gahinet P. A convex characterization of gain-scheduled #00 controllers // IEEE Trans. Automat. Control. 1995. V. 40. №5. P. 853-864.

3. Apkarian P., Tuan H. D. Robust control via concave minimization local and global algorithms // IEEE Trans. Automat. Control. 2000. V. 45. №2. P. 299-305.

4. Barmish B. R., Corless M., Leitmann G. A. A new class of stabilizing controllers for uncertain dynamical systems // SIAM J. Contr. Optimiz. .1983. V. 21. P. 246-255.

5. Basar Т., Bernhard P. H*, optimal control and related minimax design problems: a dynamic game approach. Boston: Birkhauser, 1995.

6. Ben-Tal A., Nemirovski A. Lectures on Modern Convex Optimization: Analysis, Algorithms, Engineering Applications.— Technion, Minerva Optimization Center, 2000.

7. Boyd S., Chaoui L. E., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequality in system and control theory. SIAM. Philadelphia, 1994.

8. Brusin V. A. Frequency criteria in the absolute output stabilization problem for infinite dimensional systems. Proc. European Control Conf. Brussels. Belgium. 1997.

9. Colaneri P., Geromel J. C., Locatelli A. Control Theory and Design. An RH2 and ЯД* Viewpoint, Academic Press, 1997.

10. Cremers X., Hubler A. // Z. Naturforschung A.— 1987.— V. 42.— P.797-802

11. Dahleh M. A., Diaz-Bobillo I. J. Control of uncertain systems: a linear programming approach. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995.

12. Doyle J. C. Synthesis of robust controllers and filters with structured plant uncertainty //Proc. IEEE Conf. Decision Control. 1983. San Antonio, TX.

13. Doyle J., Francis В., Tannenbaum A. Feedback Control Theory. N,Y: Macmillan, 1991.

14. Doyle J., Glover K., Khargonekar P., Francis B. State-Space Solution to Standart H2 and Hoo Control Problems // IEEE Trans. Automat. Control. V. 34. №8. 1989. P. 831-847.

15. El Chaoui L., Balakrishnan V., Feron E., Boyd S. P. On maximizing a robustness measure for structured nonlinear perturbations // Proc. American Control Conf. 1992. P. 2923-2924.

16. Feuer A., Morse A. S. Adaptive control of single-input, single-output linear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1978. V. 23. №4. P. 557-569.

17. Francis B. A. A cource in Hoo control theory. New York, Springer-Verlag, 1987.

18. Gahinet P. «Explicit Controller Formulas for LMI-based H*, Synthesis» submitted to Automatica // Proc. Amer. Contr. Conf.— 1994.—P.2396-2400.

19. Gahinet P., Apkarian P. A linear matrix inequality approach to Hoo control // Int. J. Robust and Nonlinear Control. 1994. V. 4. P. 421448.

20. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A., Chilali M. LMI Control Toolbox. For Use with MATLAB. The Math Works Inc. 1995.

21. Geromel J. С., Peres P. L. D., Souza S. R. Hs-control of discrete-time uncertain systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1994. V. 39. No. 5. P. 1072-1078.

22. Gouesbet G, Maquet X. // Physica D.— 1992.— V. 58.— P. 202-215.

23. Gouesbet G., Letellier C. // Phys. Rev. E.— 1994.— V.49.— P. 49554972.

24. Green M., Limebeer D. J. N. Linear robust control. Englewood Cliffs. N.J.: Prentice Hall, 1995.

25. Iglesias P. A., Glover K. State-space approach to discrete-time Hoo control // Int. J. Control. 1991. V. 54. No. 5. P. 1031-1073.

26. Ionescu V., Weiss M. Two-Riccati formulae for the. discrete-time H» control problem // Int. J. Control. 1993. V. 57. No. 57. P. 141-195.

27. Iwasaki Т., Skelton R. E. All controllers for the Ho, control problem: LMI existence conditions and state space formulas // Automatica. 1994. V. 30. №8. P. 1307-1317.

28. Kanellakopoulos I., Kokotovich P. V., Morse A. S. Systematic design of adaptive controllers for feedback linearizable systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1991. V. 36. P. 1241-1253.

29. Khammash M. H. The scaled-Q method for solving l\ optimization problems // Proc. the American Control Conf. 1997. Albuquerque, New Mexico, June 4-6.

30. Khammash M. H., Salapaka M. V., Vanvoorhis T. Synthesis of globally optimal controllers in l\ using linear relaxation // Proc. the 37th Conf. on Decision and Control. December 1998. Tampa, Florida, P. 3315-3320.

31. Khammash M., Pearson J. B. Analysis and design for robust performance with structured uncertainty // Syst. Control Lett. 1993. V. 20. P. 179-187.

32. Khammash M., Pearson J. В. Performance robustness of discrete-time systems with structured uncertainty // IEEE Trans. Automat. Control. 1991. AC-36. No. 4. P. 398-412.

33. Khargonekar P. P., Petersen I. R., Zhou K. Robust stabilization of uncertain linear systems: Quadratic stabilizability and Нда theory // IEEE Trans. Automat. Control. 1990. V. 35. P. 356-361.

34. Kogan M. M. Solution to the inverse problems of minimax control and worst case disturbance for linear continuous-time systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1998. V. 43. №5 P. 670-674.

35. Krstic M., Kanellakopoulos 1., Kokotovich P. V. Adaptive nonlinear control without over-parametrization // Syst. Control Lett. 1992. V. 19. P. 177-185.

36. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovich P. V. Nonlinear and adaptive control design. NY: Wiley, 1995.

37. Kwakernaak H. Robust control and Ho-optimization // Automatica. 1993. V. 29. №2. P. 255-273.

38. Monopoli R. V. Model reference adaptive control with an augmented signal // IEEE Trans. Automat. Control. 1974. V. 19. № 5. P. 474-484.

39. Morse A. S. High-order parameter tuners for adaptive control of nonlinear systems // Systems, Models and Feedback: Theory and Applications / Eds A. Isidori, T.J. Tarn. Birkhauser, 1992.

40. Narendra K. S., Annaswarny A. M. Stable Adaptive Systems. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1989.

41. Narendra K. S., Valavani L. S. Stable adaptive controller design -direct control // IEEE Trans. Automat. Control. 1978. V. 23. №4. P. 570-583.

42. Nesterov Yu., Nemirovskii A. Interior point polynomial methods in convex programming // Studies Appl. Math. V. 13. Philadelphia. PA. 1994.

43. Nikiforov V. О. Robust high-order tuner of simplified structure // Automatica. 1999. V. 35. №8. P. 1409-1415.

44. Packard A., Zhou K., Pandey P., Leonhardson J. et al. Optimal constant I/O similarity scaling for full-information and state feedback control problems // Syst. Control Lett. 1992. V. 19. P. 271-280.

45. Packard, N. H., Crutchfield, J. P., Farmer, J. D., Shaw, R. S. Geometry from a time series // Phys. Rev. Lett — 1980 — V.45.— P.712-716.

46. Petersen I. E., McFarlane D. C. Optimal Guaranteed Cost Control and Filtering for Uncertain Linear Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1994. V. AC-39. P. 1971-1977.

47. Smith R., Dullerud G., Miller S. Model validation for nonlinear feedback systems // Proc. 39th IEEE Conf. Decision Control. 2000. Sydney. P- 1232-1236.

48. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // Dynamical Syst. and Turbulence / Eds.: Rand D.A., Young L.-S.— Berlin: Springer, 1981.—P. 366-381.

49. Ugrinovskii V. A. Robust control in the presence of stochastic uncertainty // Int. J. Cont. 1998. №2. P. 219-237.

50. Vidyasagar M. Control system synthese: a factorization approach: MITPress, 1985.

51. Wang L. Y., Zhan W. Robust disturbance attenuation with stability for Linear systems with norm-bounded nonlinear uncertainties // IEEE Trans. Autom. Control. 1996. V. 41. P. 886888.

52. Xie L., de Souza С. E. Robust H*, control for linear systems with norm-bounded time-varying uncertainty // IEEE Trans. Autom. Control. 1992. V. AC-37. P. 1188-1191.

53. Zhou K. On the parameterization of Hoo controllers // IEEE Trans. Automat. Control. 1992. V. 37. №9. P. 1442-1446.

54. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.

55. Александров В. В., Жермоленко В. Н. Минимаксная стабилизация параметрически возмущаемой колебательной системы // Вестник Московского Университета. Серия математика, механика. 1998. Т. 53. №6. С. 30-41.

56. Андриевский Б. Р., Фрадков A. J1. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 1999.

57. Анищенко В. С., Астахов В. В., Вадивасова Т. Е. и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / Под ред. В. С. Анищенко. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

58. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. -М.: Высшая школа, 1998.

59. Баландин Д. В. Коган М. М. О вычислении минимального уровня гашения внешних возмущений в задаче робастного Ноо-управления по выходу // Автоматика и телемеханика, 2003, №11, с.128-137.

60. Баландин Д. В. Предельные возможности управления линейными системами и оценка минимальной Н«,-нормы // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. №6. С. 50-56.

61. Баландин Д. В., Коган М. М. О необходимых условиях разрешимости многопараметрических уравнений Риккати в задаче робастного Ноо-управления по выходу // Дифференц. уравнения. 2003. №11. с. 1452-1456.г

62. Баландин Д. В., Коган М. М. Оценка предельных возможностей робастного Ям-управления линейными неопределенными системами //Автоматика и телемеханика, 2002, №9, с. 134-141.

63. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез оптимального робастного //"-управления методами выпуклой оптимизации. //Автоматика и телемеханика, 2004, №7, с. 71-81.

64. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств и алгоритма поиска взаимнообратных матриц // Автоматика и телемеханика, 2005, №1, с. 82-99.

65. Барабанов А. Е. Синтез минимаксных регуляторов. СПб: Изд-во СПбУ, 1996.

66. Барабанов А. Е., Первозванский А. А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и телемеханика, 1992, №9, с. 3-33.

67. Бахилина И. М., Степанов С. А. К задаче синтеза дискретных Н«г регуляторов // Автоматика и телемеханика, 2000, №2, с. 86-96.

68. Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов // Автоматика и телемеханика, 1998, №7, с. 96-106.

69. Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез робастных линейных регуляторов при параметрической неопределенности объекта // Автоматика и телемеханика, 2001, №1, с. 118-130.

70. Бесекерский В. А., Небылов А. В. Робастные системы автоматического управления. М.: Наука, 1983.

71. Бобцов А. А. Алгоритм робастного управления в задаче слежения за эталонным сигналом // Автоматика и телемеханика, 2003, №6, с. 104—113.

72. Бобцов А. А. Алгоритм робастного управления неопределенным объектом без измерения производных регулируемой переменной // Автоматика и телемеханика, 2003, №8, с.82-95.

73. БоковаЯ. М., ВеремейЕ. И. Вычислительные аспекты спектрального метода Hinf-оптимального синтеза // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. № 4. С. 88 - 96.

74. Брусин В. А. Метод синтеза класса робастных регуляторов пониженной размерности // Автоматика и телемеханика, 2000, №10, с. 117-124.

75. Брусин В. А. Существование и предельные возможности центральных регуляторов в задачах с Ню-критериями // Автоматика и телемеханика, 2002, №5, с. 97-107.

76. Брусин В. А. Частотные критерии в общей задаче об абсолютной стабилизируемости // Автоматика и телемеханика, 2000, №1. с.11-21.

77. Брусин В. А. Частотные условия Нот-управления и абсолютной стабилизации // Автоматика и телемеханика, 1996, №5. с. 17-25.

78. Веремей Е. И. Анализ в среде MATLAB робастных свойств систем стабилизации плазмы // Exponenta Pro: Математика в приложениях: Науч.-практ. журн.-2003 №3 - С. 20 - 27

79. Веремей Е. И., Корчанов В. М., Коровкин М. В., Погожев С. В. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. — СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002.

80. ВеремейЕ.И. Спектральный подход к оптимизации систем управления по нормам пространств Н2 и Я». // Вест. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 10. Вып. 1. С. 48 59.

81. Веремей Е. И., Еремеев В. В., Корчанов В. М. Синтез алгоритмов робастного управления движением подводных лодок вблизивзволнованной поверхности моря // Гироскопия и навигация. 2000.-№2 С. 34 - 43.

82. Воронов К. В., Королева О. И., Никифоров В. О. Робастное управление нелинейными объектами с функциональными неопределенностями // Автоматика и телемеханика, 2001, №2, с.112-122.

83. Галиуллин А. С. Аналитическая динамика. М.:РУДН, 1998.

84. Гелиг А. X., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

85. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.

86. Грумондз В. Т. Некоторые задачи анализа и выбора динамических характеристик нелинейных систем. М.: МАИ, 1992.

87. Джури Е. Н. Робастность дискретных систем. Обзор // Автоматика и телемеханика. 1990. № 5. С. 12-21.

88. Жермоленко В. Н. Робастная стабилизация параметрически возмущаемой системы // Автоматика и телемеханика, 2001, №2, с. 122-134.

89. Коган М. М. Когда линейная система управления является минимаксной? // Докл. РАН. 1998. Т. 360. №2. с. 179-181.

90. Коган М. М. Минимаксный подход к синтезу абсолютно стабилизирующих регуляторов для нелинейных систем Лурье // Автоматика и телемеханика. 1999. №5. С. 78-91.

91. Коган М. М. О новой параметризации Hoo-регуляторов // Автоматика и телемеханика, 2003, №8, с.96-110.

92. Коган М. М. Решение обратных задач о наихудшем возмущении и минимаксном управлении для линейных непрерывных систем // Автоматика и телемеханика. 1997. №4. С. 22-30.

93. Коган М. М. Синтез робастных Hoo-субоптимальных регуляторов как решение дифференциальной игры в условиях неопределенности: прямая и обратная задачи // Автоматика и телемеханика, 2000, №7, с. 109-120.

94. Коган М. М. Теоретико-игровой подход к синтезу робастных регуляторов // Автоматика и телемеханика, 1998, № 5, с. 142-151.

95. Коган М. М. Частотное условие обобщенной возвратной разности в синтезе Hoo-субоптимальных, децентрализованных и робастных регуляторов // Автоматика и телемеханика, 2001, №6, с. 95-110.

96. Коган М. М. Линейно-квадратичная динамическая игра в условиях неопределенности и синтез робастных Ноо-субоптимальных регуляторов // Автоматика и телемеханика,1999, №3, с. 131-143.

97. Королева О. И., Никифоров В. О. Нелинейное робастное управление линейным объектом // Автоматика и телемеханика,2000, №4, с. 117-128.

98. Крутова И. Н., Рутковский В. Ю. Робастность систем управления с нелинейной параметрической коррекцией к некоторым видам возмущений // Автоматика и телемеханика, 1991, №9. с. 145-159.

99. Курдюков А. П. Основы робастного управления. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 1995.

100. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: > Гостехиздат, 1950.

101. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. -М.: Наука, 1981.

102. Небылов А. В. Гарантирование точности управления. М.: Наука. Физматлит, 1998. — 304 с.

103. Никифоров В. О. Робастное управление линейным объектом по выходу // Автоматика и телемеханика, 1998, №9, с. 87-99.

104. Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой // Автоматика и телемеханика, 1994, №9, с. 3-22.

105. Острейковский В. А. Моделирование систем. М.: Наука, 1997.Ш.Павлов А. Н., Янсон Н. Б., Анищенко В. С. Реконструкция динамических систем // Радиотехника и электроника. 1999. Т.44. №9. С. 1075-1092.

106. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. — 303 с.

107. Пугачев B.C., Казаков И. Е., Евланов JI. Г. Основы статистической теории автоматических систем. -М.: Машиностроение, 1974.

108. Соболь И. М., Статников Р. Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. — М.:Наука,1981.

109. Соколов В. Ф. Робастное управление в /гпостановке: верификация модели и оценивание весов возмущений // Автоматика и телемеханика, 2003, №11, с.138-151.

110. Соколов В. Ф. Синтез /рсубоптималъного робастного регулятора для линейного дискретного скалярного объекта со структурированной неопределенностью // Автоматика и телемеханика, 1999, №11, с. 80-99.

111. Соколов В. Ф. Синтез 1\-субоптимального робастного регулятора для линейного скалярного объекта с неструктурированной неопределенностью // Автоматика и телемеханика, 2001, №1, с. 150-163.

112. Теория прогнозирования и принятия решений /Под ред. С. А. Саркисяна. -М.: Высшая школа, 1977.

113. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления М.: Наука, 1981.

114. Фрадков A. J1. Адаптивное управление в сложных системах. -М.: Наука, 1991.

115. Хныкин А. П., Никульчев Е. В., Волович М. Е. Синтез оптимального управления в задачах с несколькими критериями качества //Матер. 3 НТК «Новые информационные технологии». -М.: МГАПИ, 2000, с. 113-115.

116. Цыкунов А. М. Робастное управление нестационарными объектами // Автоматика и телемеханика, 1996, №2, с. 117-125.

117. Честнов В. Н. Синтез робастных регуляторов многомерных систем при параметрической неопределенности на основе круговых частотных неравенств // Автоматика и телемеханика, 1999, №3, с. 229-238.

118. Шильников JI. П., Шильников A. JI., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамики. Часть 1: пер. с англ. М-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

119. Якубович В. А. Оптимальное гашение вынужденных колебаний по заданному выходу системы // ДАН. 1994. Т. 337. №3.

120. Никульчев Е. В., Волович М. Е., Челпанов А. В. Идентификация фазовых портретов динамических систем по временным рядам // Научные труды МАТИ им. К. Э. Циолковского. Вып. 4 (76). — М.: Изд-во «ЛАТМЭС», 2001. — С. 463-467.

121. Челпанов А. В. Построение робастного квадратичного регулятора системы охлаждения алюминиевых слитков // Гагаринские чтения: Тезисы докл. XXX международной молодежной науч. конф.— М.: «МАТИ» — РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2004 — С. 148-149.

122. Челпанов А. В. Синтез модели управления процессом охлаждения алюминиевых слитков в Simulink // Новые информационные технологии: Сб. трудов VIII Всероссийской науч.-техн. конф. / Под общ. ред. А. П. Хныкина.— М.: МГАПИ, 2005.— С. 166-168.

123. Челпанов А. В. Моделирование системы управления процессом охлаждения алюминиевых слитков в Simulink//Научные труды МАТИ им. К. Э. Циолковского. Вып. 9 (81). — М.: ИЦ МАТИ, 2005. —С. 40-44.