автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Квазипериодические режимы в математических моделях с малым отклонением

на правах рукописи

I

Чихачева Ольга Александровна

КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ С МАЛЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САРАНСК- 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного педагогического университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Терехин Михаил Тихонович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Малышев Юрий Валентинович

кандидат физико-математических наук Шаманаев Павел Анатольевич

Ведущая организация-

Тульский государственный университет

Защита состоится "15" июня 2005 г в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета КМ 212.117.07 при Мордовском государственном университете им Н.П Огарева по адресу: 430000, г Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева.

Автореферат разослан " 3 " мая 2005 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Л/93 8 Sir

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Последние десятилетия характерны интенсивными исследованиями математических моделей с малым отклонением, стимулируемые многочисленными приложениями дифференциальных уравнепий с отклоняющимся аргументом.

Одно из актуальных современных применений теории математического моделирования связано с экологией В частности, не решена проблема выбора математического аппарата, который необходимо использовать при описании динамики численности изолированной популяции в различных ситуациях. В ряде этих моделей скорость изменения численности популяции представляется в виде суммы трех слагаемых, первое из которых определяется рождаемостью, второе - смертностью, третье - миграцией. Изменение численности популяции не мгновенно сказывается на скорости. Математически это означает, что в дифференциальных уравнениях, описывающих это явление, появляются члены с запаздыванием.

Настоящая работа посвящена исследованию математических моделей, описываемых однородной и неоднородной системами дифференциальных уравнений с малым отклонением. Изучены математические модели, представленные системой дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от параметра и вектор - функцией, содержащей параметр и представленной в виде тригонометрического многочлена. Задачей исследования является разработка методов, при которых рассматриваемые математические модели имеют ненулевые квазипериодические режимы.

Значительный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом внесли Хейл Дж. К., Эльсгольц Л.Э., Красовский H.H., Азбелев Н.В., Мышкис А.Д., Норкин С Б., Зверюга А.М., Каменский Г.А., Рожков В.И., Рубаник В.П., Рябов Ю.А., Шиманов С.И и многие другие.

Обилие приложений способствовало увеличению интереса к теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. В настоящее время диапазон задач, в которых приходится учитывать запаздывание, стал весьма широким. Поскольку область приложения обширна, то естественны сложность и многообразие получаемых математических моделей. В силу этих причин общего решения поставленной проблемы пока не найдено. В частности, имеются пробелы в изучении квазипериодических решений, когда отклонение находится в окрестности нуля. Следовательно, задача поиска условий, при которых математические модели, описываемые как однородными, так и неоднородными системами дифференциальных уравнений, имеют ненулевые квазипериодические режимы, является актуальной.

Цель работы. Рассматриваются математические модели, описываемые следующими системами

1) линейной системой дифференциальных уравнений с малым отклонением вида

ЩО + Ax(t - /(£-)) + Bx(t) + Cx{t - f{B)) = 0, (0.1)

где x(t)eR", Г, й - (n x л) - матрицы, ДС-(лхд)- матрицы, f(e)~ многочлен степени d по е, s- малый вектор-параметр,

*с -т)=(*! «-Гиш-л с-л™, WV-■*,(!■-fa m,

2) частным случаем системы (0.1), когда отклонение линейно

Щ1)+ (ф, е))+ &(/)+CMJ - (ф, е))= 0, (0.2)

где, x(t-(<fe))=(xj£)X...,x}(f-(ф^,e)),...,xn(t-(фл,£)), ,.,x„(r-,s))),

фвИ4.

3) неоднородной системой дифференциальных уравнений

Tm+AWx(t-f<.e))+Bx(t)+C(X)x(t-f(e))+v(t,rt = 0, (0.3) где *(/), х(/- /(г)), Де),Т,В -те же, <рЦ,ц)~ квазипериодическая по t вектор-функция, малые параметры, esR4l,XeRqi, ftçR4},

M(IV) - спектр рассматриваемых тригонометрических многочленов.

Ставится задача - получить качественные методы исследования математических моделей на предварительном этапе математического моделирования, а также пайти условия, при которых математические модели, описываемые системами (0.1) - (0.3) имеют квазипериодические режимы (решения).

Методика исследования. Проблема поиска условий, при которых математические модели с малым отклонением (0.1)- (0.3) имеют квазипериодические режимы, сводится к проблеме разрешимости системы недифференциальных уравнений с алгебраической главной частью. С этой целью, с помощью собственных элементов вспомогательного оператора, соответствующих его нулевому собственному значению, и некоторых базисных векторов, конечномерное векторное пространство разбивается на сумму трех подпространств. В частном случае системы (0.1) (для системы (0 2)) строится оператор и доказывается существование неподвижной точки этого оператора. Для нелинейных систем, полученных при рассмотрении систем (0 1) и (0.3), с помощью метода неподвижной точки строится алгоритм нахождения ненулевого решения.

Научная новизна. В диссертации найдены новые необходимые и достаточные условия, при которых математические модели, описываемые системами дифференциальных уравнений с малым отклонением, имеют ненулевые квазипериодические режимы (решения).

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в работе результаты представляют собой развитие методов качественной теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании конкретных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, являющихся моделями реальных процессов, протекающих в природе и социуме.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Построение спектра рассматриваемых тригонометрических рядов. Сведение отыскания квазипериодических режимов в математических моделях с малым отклонением к исследованию разрешимости недифференциальной системы уравнений с алгебраической главной частью.

2. Необходимые и достаточные условия, при которых нелинейная система уравнений с алгебраической главной частью имеет ненулевые решения.

3.Влияние членов, не содержащих фазовых переменных, на нахождение квазипериодических режимов в математических моделях, описываемых системой дифференциальных уравнений с малым отклонением. Ненулевые решения недифференциальной системы уравнений, нелинейная часть которой - конечная сумма вектор-форм порядка не мепее двух.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на третьей Всероссийской молодежной школе - конференции «Лобачевские чтения - 2003» в г. Казань, па международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» в г. Казань, на VI и X Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на семинаре Средневолжского математического общества, научный руководитель, профессор Е.В. Воскресенский (г. Саранск, 2005г.)

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в четырнадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка литературы, включающего 118 наименований. Общий объем диссертации -109 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, краткое описание методики исследования и содержания работы.

В главе 1 найдены достаточные условия, при которых математические модели, описываемые системами дифференциальных уравнений с малым отклонением, имеют ненулевые квазипериодические режимы (решения).

§ 1 главы 1 содержит постановку задачи и построение спектра рассматриваемых многочленов. Рассматривается система дифференциальных уравнений

Щ1) + Ax(t- fie)) + Bx(t)+Cx(t - /(s)) = 0, (1.1)

где х(0еЛ", Т,В-(ихл)-матрицы, A,C-(nxq)~ матрицы,матрица Т может быть особенной, /(£)- вектор-форма степени d по е, б- малый вектор-параметр, lim f{e) = 0,

с—►О

х(Г - /(*)) = (I,(f- /„(*)),...,x,(f- /Ц (*)),...,х„(Г- /„,(«)),...,x„(t-fnm„ (*)))-

Символом Dj обозначим множество, элементами которого являются векторы pj ,,kj„) при любом jeN, любом ;е{1Д ..,m),k^ eZ*,N-множество всех натуральных чисел, Z*-множество всех целых неотрица-

т m

тельных чисел, W ={O^kfa^kf = j,j eN), а>1,...,тт - действительные ра-1=1 i=i

ционально независимые числа, и пусть MÇW)- множество тригонометрических рядов, спектром каждого из которых является множество W, то есть множество рядов вида

*(0 = <*o+E 2 Va <х>ККР],(о))+Ьп sin(r(pyj<D))], (1.2)

J=ln'epj

в котором а0, при любом pj apj ,bpJ-n- мерные векторы (коэффициенты ряда (1.2)), (pj,a)-скалярное произведение векторов pj,a>, j-некоторое натуральное число.

Нулевым элементом множества M(W) назовем ряд с нулевыми коэффициентами. Для любого x(t) е M(W) определим х(/) 00

*С')= 2 ZbPj0>j ' ^,ai))-an(Pj>a)Sin{t{P],m)).

Положим \а\- max{|a,|}, где а = (ах,..,ап)-произвольный вектор, при 1=1,. ,я

любом ie{l,...,n},a, еR, тогда под нормой элемента x(t)aM(W) будем понимать Н = |ао|+2 S ¡¿Vjl+^pjj] Для произвольной матрицы A = {atJ),

т

/ = ],...,ч, j - l, .-,m, норму матрицы определим как ||Л||= тах 2 п» .

Ставится задача - найти условия, при которых математические модели, описываемые системой (1.1) имеют квазипериодические режимы (решения), спектр которых есть множество W.

Элемент x(t)eM(W) подставим в систему (1.1) и, приравнивая коэффициенты рядов при соответствующих Cos(t(pj,a>)), Sin(t(pj,a)), p}eD}, jeN, Получим систему недифференциальных уравнений относительно коэффициентов тригонометрического ряда

(S+C*)ao = 0, (1.3)

(1.5)

где при любом pjeDj, уп

( В + С* (T + A*XPj,a>)

ня =

Gpj(e)=

-(Т+А Хрра>) В+С

С*Со</-(сХ^. »))■+ , ®)ЯИ(Л* ХР;, »))•- С*

С*8т^{еХрг^Ъ-А\рга)УСо^{еХрга>))+А\р],ф)

ССоШеХР],»))+ю)Йя(/(гХР/, ®)) - С* )'

• г т т->

С* = (С!;>=1, ,и ,Су = ¿е? ,т] е{щ,...,т„), с? - элементыматрицы С,

■/=1- р=1

Л* = (Лу >=1,. ,„ , = ¿Лу", б{?ль...,от„}, элементы матрицы А М -л р=1

Далее будем предполагать, что найдутся числа j еМ и с/ >0 такие,

что при любом }>)* у&Ну^Л. Фиксируем некоторое у0 > *. Тогда

&&Н т 0. Множество О]0 конечное. Поэтому = 0 равномерно

е->о

на множестве . А это значит, что найдется число е0 >0 такое, что при любом йеЦНр^ + СПй (е)) ф 0 на множестве ¿>;о. Поэтому далее

множество М(1У) будем рассматривать состоящим не из рядов (1.2), а из

тригонометрических многочленов вида *

1=\тЦ

Замечание. С целью упрощения выкладок ограничимся рассмотрением системы (1.5). Если разрешима система (1.3), то увеличится число собственных векторов оператора Я. В остальном ход рассуждений сохраняется. Поэтому, не уменьшая общности, будем полагать, что л0уже найдено и фиксировано.

В § 2 главы 1 методом разбиения конечномерного векторного пространства на прямую сумму подпространств задача нахождения квазипериодического режима (решения) системы (1.1) сводится к задаче разрешимости недифференциальной системы.

Квадратную матрицу Я порядка Ъщ определим равенством Я +0{е) = <йай{я, + 0,(гг),г = 1,2,..., q}, при этом Цщ (5(г) = 0.

е-*0

Тогда система (1.5) преобразуется в систему

Щг,е)=нг+(}(е)г. (18)

Определение 1.1. Под решением системы уравнений (1 8) будем понимать элемент /0 е Ещ, удовлетворяющий равенству Я(?0,е) = 0.

Рассмотрим множество £/(/0) = {р • \у\ < /0,г е Е^Ь > °}> 'о - некоторое число.

Теорема 1.1. Если оператор Я не имеет собственного элемента, соответствующего нулевому собственному значению, то найдется такое е", что уравнение (1.8) имеет только нулевое решение на множестве Щ1о), при

любом е (\e\ie*).

Поэтому далее предполагаем, что оператор Я имеет ненулевые собственные элементы, соответствующие нулевому собственному значению.

Положим гап% Н = г < 2гщ.

Пусть 1ц,...,И, собственные элементы оператора Я, соответствующие нулевому собственному значению Обозначим линейную оболочку векторов х,у,...,2 символом Цх,у,...,2). Веб 2пд-мерное пространство Е-^щ представляется в виде прямой суммы трех подпространств

Еъц =£Ь®ЦЛ1,......£/)> где Е0 - инвариантное подпространство

относительно оператора Я, для любого ненулевого элемента выполняется условие у г Е0@ЦИ1,...,к1).

Путем неособенных преобразований матрицу я можно свести к жордановой форме. В дальнейшем будем считать, что матрица я имеет 8

вил жордановой нормальной формы. Следовательно, векторы

А].....попарно ортогональны:

Введём линейные функционалы

4, (X) = (*,Л/),<ТИ(Ж) = (*,«„),/ = 1,...,5,1/ = 1,...,/, (1.11)

где (-,-)-скалярное произведение. Нормируем базисные векторы

¿1.....следующим образом —г,...,^,,—г,...,^-. Далее будем

КЧ |«1| |й|

предполагать, что базисные векторы .....нормированы. Тогда

линейные функционалы ¿¡¿(х), ат(х) будут удовлетворять условиям

1. £г(йг) = 1, где/ = 1,

2. где 7=1,...,

3- й(«в) = 0,где/ = 1,...,*,а = 1,...,*,

4. <ги(в„) = 1,где и = 1,...,г,

5. сти(й1) = 0,где и*1, и, 1=1,...,*,

6. «тв(йг) = 0, где / = 1,...,5,и = 1,...,<.

Теорема 1.2. Оператор Н в инвариантом подпространстве Е0 с Е2щ имеет обратный оператор Н который является ограниченным и линейным.

Любой элемент у б , можно представить в виде

$ I

Г = Р7 + £ й(У)к + Хаи(Г)8и =гДе й&,>-,о-; - линейные функционалы,

Ы и-1

заданные по формуле (1.11) и удовлетворяющие условиям 1-6, Р - оператор ортогонального проектирования на инвариантное подпространство Е0. Можно убедиться, что равенство НРу = РНу выполняется для любого элемента /е£-0,||Р||=1. Тогда очевидна

Теорема 1.3. Разрешимость системы (1.8) равносильна разрешимости следующей системы

/>(Д С,г)) = 0, (1.15)

(1.16)

£(Д0%*)) = О, о\(Щу,е)) = 0,

(1.17)

<г,(Л(г,с)) = 0.

г I

Будем искать решение системы (1.8) в виде / = + =

;=1 и=1

в],.. е Я Тогда уравнение (1.15) запишем следующим образом

ЯР/+Р(0(еХ/>/+£а/А;+ = Отсюда

/=1 И=1

Ру = -Н^Р{/Э{е\Ру + ¿«г,*» + £/?„«„)). Пусть у = Ру. 1=1 |/=1

Введем множество /(г0) = {у:[у|<г0,уе £0,г0 >о}, г0-некоторое число. Рассмотрим оператор

1 1 ' V/который, для

краткости записи, будем обозначать 5(а,.....а1,Д,...,/!/,1;) = 5(а,Дг), где

в-(а,0 = и |в|-|в||+...+ |а,|5ц,, Н = |А| + ...+ |/?г|<г0,

< г*, 6 (0,ео].

Теорема 1.6. Найдутся числа г0 >0 е (о,е-0] такие, что при \а\<г0,Щ<г0 и оператор 5(а,Де) на множестве /(г0) имеет един-

ственную неподвижную точку.

Теорема 1.7. Неподвижная точка у оператора 5(а, Д е) удовлетворяет условию Липшица по переменной (а,Д) = и. Перейдем к рассмотрению системы (1.16).

Лемма 1.2. Для любого вектора уеЕ2„д выполняются соотношения

я

ЪРиёи

Учигьшая лемму 1.2 и неравенство |С(«,Х^Г+£аЛ + ¿А Еи)~ <3(^X2«^+ ¿А,

/=1 и=1 /=1 и=1

=<*£!''), где ^ = (и,е),|^| = тах{|4,|4, д = К-ф), получим, что система (1.16) равносильна системе

г, (£**+гГ(*о/?+(Я( )).

и=1

(1.23)

К=1

где при любом ^ е {[,..-,*} Г*(е)-матрицы, ЦтГ/ (е) = 0, 1]тГ*(г) = 0.

е-»0 с—>0

Аналогичные рассуждения можно провести и для системы (1.17) в этом случае получим систему

Щ ЪРиёи

и=\

(1.24)

где при любом к е {!,...,?} Тк{е), Г* (гг)-матрицы, Цт^(г) = 0, ЦтГ^(«-) = 0.

е-*0 е-уО

Учитывая равенства (1.23) и (1.24), получим следующую систему ¡+г уравнений

= О,

(1.25)

Таким образом, проблема поиска условий, при которых математическая модель (1.1) имеет квазипериодические режимы (решепия) свелась к проблеме разрешимости системы недифференциальных уравпений (1.25).

В § 3 главы 1 рассмотрены математические модели, описываемые системой дифференциальных уравнений с малым линейным отклонением (ф,е) следующего вида

ТЦг) +Ах(1-(ф, е))+Вх(г)+Сх{г-(ф, £)) = $, (1.27)

где х(г)еЯ", Г, В-(их л)-матрицы, Д С-(пхд)- матрицы, е- малый вектор-параметр, геЯ™,

. ,с)),...,х„(1—(фя1,е)),...,х„0-,£))), при

любых I,} фу -постоянный вектор, фу е в)-скалярное произведе-

ние.

Здесь проблема поиска условий, при которых математическая модель (1.27) имеет квазипериодические режимы (решения) свелась к проблеме разрешимости следующих недифференциальных уравнений

Fs(u,e) =О, Fs+i(u,s)=0,

(1.36)

где

fUv,e) =M^e)a+M'(e)ß+o(\£\2)-Ц Щ Zßugu

V v«=l

Fs(u, е) =Мг(е)а +M*(e)ß + Ы\£\2)-<f, Fs+\(v,e) = M\ (e)a +M'{t-)ß+o{^\2)-(Tl K+t =M,(e)a +M*(e)ß+o( |i|2) - at

\\

2 ßuSu \ Wi

t

ff

ff

"Lßugu Va=l Jj

t

ZßuSu V.II=1

В главе 2 решается задача о нахождении ненулевых решений нелинейных систем, к которым сведены системы (1.1) и (1.27).

В § 1 главы 2 исследуется нелинейная система второго порядка, содержащая s+t уравнений

= (2.1)

где /^(О-вектор-форма 2-го порядка по £, Q = (v,e),v = (a,ß), тах^|,^|4 а = {ax,a2,...,as\ß = (fr,ß2.....ßt\e =

lim o(\C\2)/i2 =0-

1.Пусть m = s+t и пусть вектор-форма F2(c) порядка два такова, что найдется матрица Ф^, удовлетворяющая равенству

<D2(v>+e(|ff|2)-0. (2.2)

Пусть |v| = max{[v/1} Тогда el=vlf\v\ для любого b=\,...j+t. Следовательно,

v = |j/|e, где е = (еь- - • ,es+t) - единичный вектор, |е| = 1.

Система уравнений (2.2) примет вид Ф2\у\е)е+o^|i|2 j = 0, или

Ф2(е>+о(|4-|2)/М = 0. (2.3)

Теорема 2.1. Если найдутся вектор е и число 3* > 0 такие, что 1е| = 1,<1е1Ф2(е*)*0 и Нт°(|£12УМ = 0 равномерно относительно е(|е|<£*),

V-»*)

то система (2.3) имеет ненулевое решение. 2. Пусть т>л+/. В этом случае

Ф2 (У)е=Ф2 (у)£ + (Н^» (2.6)

где в={Е1„..,е1+,), ¥ = (е3+м,...,ет), С(у)- вектор-форма, зависящая от у

линейно, ф2(у)=

S+t S+t S+t

Z*iV, Z*u", ■•• Z ф'у,

1=1 1^1 1=1

. Тогда система (2.1) за-

S+t S+t S+t

1.ь1+ьу, Zb}+t,y, ... ZO^ v»=i <=i »=1

пишется так (P2(y)e+G(y)g+o(^f)'=0.

Полагая, как и ранее, |v| = max{|v;|}, / = 1,.. ,s+t и учитывая, что v=\v\e, е = (ex,...,eSJrt\\e\ = 1 систему (2.6) можно представить равенством Ф2 Ще)ё+С(Ще)ё+о(\£\2) = 0, или равенством

Ф2(в)г + 0(е)?+ф2]^ = 0. (2.7)

Теорема 2.2. Если найдутся вектор е и число 8* > 0 такие, что е | = l,det<i>2(e*)*0 и 1цп°(!£12УМ = 0 равномерно относительно е(\с\<б'),

v->0

то система (2.7) имеет ненулевое решение.

Определим условия, при которых найдется вектор е*(|е*| = 1), удовлетворяющий неравенству det<I>2(e*) / 0.

Теорема 2.4. nycTbdet®^)^*^ ¿„ерер> гДе

(еь... ,e,4-t) |е) = 1, при любом i g {1,2,.. + - целое неотрицательное число, к\+кг+ ..+&,+, = s+f, Cfcjjfc2> - постоянная величина, и существует набор чисел kbk2,...,ks+l такой, что с^ ^ *0 • Тогда найдется вектор е*, = 1, удовлетворяющий неравенству deti>2(e*) ф 0.

В § 2 главы 2 найдены необходимое и достаточные условия, при которых нелинейная система порядка d, содержащая s+t уравнений, имеет ненулевые решения

^Нф^-О, (2.14)

где FXO - вектор-форма порядка ¿ по £ = (v,e),v =(а,р), aeRs,

fieR', eeRm,¿lsmn v . ПуСТЬ p = j+í + m.

Теорема 2.4. Если найдется вектор е0,[е0| = 1, такой, что F¿(e0)* О, то любая окрестность точки f = О содержит множество, в котором нет решений системы (2.14).

Пусть найдена точка е0, такая, что | е01= 1, F¿(e0)=0. Тогда, полагая £ = ре, р> 0, v = e-e0 и применяя формулу Тейлора, систему (2.14) запишем так

d

DFd(e0)v+ v)+0(/») = 0, (2.17)

t=г

где DF¿(е0)- значение матрицы Якоби вектор — формы F¡¡(e)B точке е=е0,

Р, («о ■v) - форма порядка ; относительно v, lim - 0 равномерно отно-

р-> о

сительно е (|е|<Й, й>1).

Для матрицы DFd(e0) возможны случаи:

1) rangDF¿ (е0 )=j+í;

2) DFd(e0)=O-

3) 0< rangDF¿(e(¡)<s+t.

Теорема 2.5. Если rangDFd(e0)=s +1, то система (2.14) имеет хотя бы одно ненулевое решение.

Рассмотрим случай 2). Пусть г - наименьший номер такой, что Pr(eÍJ,v) не равно нулю тождественно при любом v , следовательно, система (2.17) имеет вид

d

РЛе0.v)+ 2^(e0,v)-40(pe) = 0. (2.18)

i=r+i

Теорема 2.6. Если найдется вектор v,|v| = l, такой, что Pr{e0,v)*0, то любая окрестность точки = 0 содержит множество, в котором нет решений системы (2.14).

Следовательно, далее предполагаем, что найдена точка v=v0, удовлетворяющая равенству Pr (е0, v0) = 0.

Тогда применяя формулу Тейлора, систему (2.18) запишем в виде

DPr{e0,v0Xv-v0)+Z^(v0,v-v0)+ Zp,(eo>v)+O(p) = 0, (2 19) j=2 i=r+1

где DPr (eQ, vq ) - значение матрицы Якоби вектор-формы Pr(e0,v) в точке v=vo, Pj(v0,v-v0) - форма порядкаj относительно v-v0.

Для матрицы DPr(e0,v0) возможны случаи:

а) rang £>/>r(e0,v0)=j+/;

б) DPr(e0,VQ) =0;

в) 0 < rang DPr(eg,Vg) =q<s+t.

Теорема 2.7. Если rang DPr(e0,v0)= s+t, то система (2.14) имеет, по крайней мере, одно ненулевое решение.

Предположим теперь, что 0 < rang DFd(e0) =q<s+t (случай 3)).

Тогда элементарными преобразованиями матрицу DFd(e0) можно свести к виду j^1 j, где Щ -(qx(s+i)) матрица, rang NI = q,N2- нулевая матрица. Следовательно, система (2.17) разбивается па две системы

^iv+2^>o.v)+oV)=0, (2.20)

1=2

¿/r(eo,v)+0*V)=0 • (2.21)

i=2

Введем замену v = Ru, где R-(p*((s+t)-q)) - матрица, столбцами которой являются линейно независимые решения системы A^v = 0. Тогда системы (2.20)-(2.21) преобразуются в систему

¡Pi (еоМ+О W=°- (2-22)

1=2

Эту систему рассматриваем аналогично системе (2.18) в случае 2).

Случай в) для системы (2.19) рассматривается так же, как и случай 3) для системы (2.17). В результате или будут найдены решения системы (2.14) или алгоритм будет бесконечным.

В главе 3 § 1 ставится задача - определить влияние членов, не содержащих фазовых переменных, на нахождение квазипериодических режимов в математических моделях, описываемых системой дифференциальных уравнений с малым отклонением (1.1).

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Щ1) + А(Я)Ц1 - /(<?)) + Ях( 0 + С{Х)х(1 - f{e)) + q^t, /4 = 0, (3.1) где x(t) eRn, Г,В-(ихи)-матрицы, А(А),С(Л)-(пхд)~ матрицы, f(s)~ многочлен степени d по е, е- малый вектор-параметр,

*('-/(*)) = (*1('-/п(*)).....*l(f-/im, (*)),-• f„x(e)l...,xn{t- f^ (*))),

квазипериодическая по г вектор-функция, ip{t,/i)eM(iV),X,fi- малые параметры, е е , Я е Л92 ./¿е л?3.

Пусть функция qHf,ii)bM<W) имеет вид

4Kf,M) = äоС«)+2 2«и(ß^osWPj,®))+bpj(ji)Sirit(pj,со)), (3.2)

где äf0(//) при любом р} apjifiXbpjirf-n-мерные векторы такие, что

lim 5n(/0=0, при любом Pj Щп0и(/«) = 0,1т1Ьи(^) = 0. ,u-*o ц-*о

Положим

Л(Л)=^о (^о)+Л] (Д!), lim ^ (Д,)=о, С(Я)=с0 )+Cj ), lim Q )=о, Л) ->0 ¿1 -»о

Л] = Л— .

Представим R(x{t),e,X,ß) в виде

ЛШ,е,Л,м) = Тх{1)+Вх(1)+М*о)* Ю+С0(Ло)х (0 +

-^,(/1<))х*(0-С0(^)х*(г), (3.3)

где х*(р = (х1(Г),.;.,х1(0,...,д;я(0,.;.,хл(0).

т1 "я

Элемент *(/) е А/(Ж) подставим в систему (1.1) и, приравнивая коэффициенты рядов при соответствующих 5гл(?(р;,®)), р1вй], ] еЫ, получим систему недифференциальных уравнений относительно коэффициентов тригонометрического многочлена

(В+С0\А0))а0 =-а0(М), (34)

ии ■ УР1+СР1 <-с' Д>' ?к = 7 п > (З б)

где при любом уп =(аи,Ьв),/р1(м) = {-ар]{ц\-Ъп(м)),

^ ( й+Со(Л)) (^(АоЗ + ГХ^,^ ® В+СоШ

(Со(л0)+С*(А, ))Cos{f(e)(pJ, ©» + ^Al^J^<>)+A'^л^)xpj, «>х/(*Х/>1, т

(Ао(Хо)+А (МЖPj,<»)Slт^f(вXpJ,ю)) -(Со(Л,)+С1 (А,j,®))

(Со (!<,) + с" и, ))См(/(еХ/>,,о>)) + (Ло (Яо) + (¿1 )ХРу, ю)С<и(/(*Х/>.,, <а)) (Ад ^, »^/(еХ^,«))

-Со(Ло)

Далее будем полагать -Зо = 0. При этом ^ =Я, = =

Замечание. С целью упрощения выкладок ограничимся рассмотрением системы (3.6). Будем считать, что система (3.4) разрешена.

Квадратную матрицу Н +0{е,Х) порядка 2гщ определим равенством Н+С(е,Л) = сИа$^1г + Л),/ = 1Д...,?}, ПрИЭТОМ Цщ в(е,Л) = 0.

Тогда система (3.6) преобразуется в систему

Ё(у,еЛр>Нг+С(е,Л)г-г(М)- (3.9)

С помощью тех же методов, что и в главе 1, система (3.9) сводится к нелинейной системе, содержащей г+г уравнений

= (3.18)

г<*

где 1*2 (О-вектор-форма порядка I по не содержащая ц, Ф(/*)- вектор-функция переменной ц, 1ип= = (П,£,Л), и еЯ!+',

Составлен алгоритм, в результате которого будут найдены ненулевые решения системы (3 18) или алгоритм будет бесконечен.

Полагая г = систему (3.18) запишем в виде Ф* (г)+о(|2|^') = 0, в

котором Ф* (г)- вектор-форма порядка у/е N, ^ =0. Для

вновь

полученной системы будут справедливы соответствующие теоремы, аналогичные теоремам 2.4-2.7 §2 главы 2.

В § 2 главы 3 исследована система недифференциальных уравнений, нелинейная часть которой - конечная сумма вектор-форм порядка не менее двух.

Рассмотрим систему (3.9) в виде

(Я + С(8,Я))г = гМ (3.29)

Предположим, что &ъ\Н = 0 и гап&1 = г. В этом случае система уравнений (3.29) элементарными преобразованиями может бьггь сведена к системе, содержащей г строк и 2п-г строк соответственно

в2(е,Л)г =г2(м),

(3.30)

где Л^1 - (г х 2я) - матрица, гагщЫх = г.

Пусть найдена точка ¡7 = (г Д, у) такая, что = 1 и выполнены равенства

= (3.31)

02(еД)/ = 0. (3.32)

а'

Ы][г + С^Д)/=и1?+С (е,Л )у+ (ЛГ'г + ¿х?1 (е,Л )Г>Х + Х\

1=2

у1/

(3.33)

1=2

гделг1/ + ¿Х/1 {ё,Л)у, В02(£,~Л)у- матрицы Якоби в точке г/ = Щ,

веюгор-формы порядка ; относительно х = т)-т}, ^ = (е,л,/),

- некоторое натуральное число.

Учитывая равенства (3.31), (3.32) и (3.33), систему (3.30) можно записать в виде

V

Г »71

+ 1Х?{б,Л)г /Х?2(еД)г

1=2

1,^(4, X) и=2

+ Ф(/0 = 0,

(3.34)

где ФС") = (-г'(А)-?2(у"))-

Для матрицы 1)

1Ю2(ё,Л)Г

возможны случаи:

О^г + ^ЧМ)?

2/= Т\,

ЕК51(]в,кУ?

-2л;

2)

Nxf + DG\ë,X)f DG2(é,I)r

\f7Z

= o;

3) 0 < rang Теорема 3.11. Если rang

<2 п.

'NV +DG\e,AW DG2 {£,%)?

' (Ё,Х)у

1ХР(ё,1)г

ч

имеет хотя бы одно ненулевое решение.

=2л, то система (3 29)

Обозначим

( j*

ZJ}(n,z) 1=2 S .

XJhïï.z)

Ь=2

= 2 J.m.z)-i=2

Рассмотрим случай 2). Пусть г - наименьший номер такой, что •I *Щ>Х) не равно нулю тождественно при любом следовательно, сис-

тема (3.34) имеет вид

(3.35)

J ,(W,z)+ 2-/, (if,z)+®№=0-

г -

i=r +1

далее предполагаем, что найдена точка х-Х(ь ko| = 1 удовлетворяющая равенству J ,(W,Zo) = °-

г

Тогда применяя формулу Тейлора, систему (3 35) запишем в виде

d

DJ .0f,zoXz-zo)+ ?LJkiri,Z-Xo)+ 2-Л 07.*)+Ф(/0 = 0, (3.36)

' *=2 ,=r*+l

где DJ ,{rf,zo)-матрица Якоби вектор - формы J , (if,%) в точке z = Zo>

г г

Jk - вектор-форма порядка к относительно z~Zo-Для матрицы DJ .(jf'Zo) возможны случаи:

г

а) rang DJ ,(i},zo)=2n\

г

б) DJ.{f},zo)= 0;

г

в) (Xrangn/ ,Щ,Хо) <2и.

г

Теорема 3.12. Если rang DJ .{f},zo)= 2л, то система (3.29) имеет, по

г

крайней мере, одно ненулевое решение.

Если Ш .(¡},Хо) = 0, то исследования проводятся аналогично тому,

г

как это сделано в случае 2).

' у+ £ЮХ{£,Х)у

Предположим теперь, что 0 < rang

DG1(s,À)y

< 2п (случай 3)).

Тогда матрицу

Nîy+DGï(s,À)ys DG2(£,Â)y

представляем в виде

, где

.V] -(дх2п) матрица, гагщЛ^ лг2-нулевая матрица. Следовательно, система (3.34) разбивается на две системы

1=2

ä' „

2J,iïï.z)+* (/0-о.

1=2

(3.37)

(3.38)

Введем замену ^ = где Л* -(рх{2п-д)) - матрица, столбцами которой являются линейно независимые решения системы ® Тогда системы (3.34>(3.35) будут равносильны системе

ЕЛОМ« )+Ф(//) = 0. (3.39)

1=2

Эту систему рассматриваем аналогично системе (3.35) в случае 2)

С вариантом в) поступаем также как с вариантом 3) В результате будут найдены решения системы (3.29) или алгоритм будет бесконечным.

Полученные результаты применены для численных примеров, численных расчетов, исследования прикладных задач: математическая модель гонки вооружений, модель иммунной реакции, модель взаимодействия собственных предприятий с генеральной компанией. Составлена программа для определения номера, начиная с которого линейный оператор, рассматриваемый в работе, оказывается неособенным.

Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору М. Т. Терехину за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Романова (Чихачева) O.A. Периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений вида x = A(t,Ä) + f(t,x,Ä) (тезисы доклада) // Новые информационные технологии в научных

исследованиях и в образовании Тезисы докладов во всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов (Рязань, 25-27 апреля 2001 г.) Рязань: Изд-во РГРТА, 2001. С. 7.

2 Чихачева O.A. Влияние малого параметра на существование квазипериодического решения системы дифференциальных уравнений с малым отклонением (тезисы доклада) // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XV» (Воронеж, 3-9 мая 2004 г.). Воронеж: ВГУ. 2004. С. 233.

3. Чихачева О.А К вопросу о существовании ненулевых решений нелинейной системы уравнений в частном случае (тезисы доклада) // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, Тула, 17-18 ноября 2004 г.) Тула 2004. С. 39-40.

4. Чихачева О.А Квазипериодические режимы в математических моделях с малым отклонением // Саранск: Средневолжское матем. общество, 2005, препринт №83- 24с.

5 Чихачева О А Квазипериодические решения системы дифференциальных уравнений с малым отклонением // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2004. №8. С. 113-121.

6. Чихачева О.А Квазипериодические решения линейных систем дифференциальных уравнений II Труды математического центра им. Н И. Лобачевского. Лобачевские чтения - 2003. Материалы третьей всероссийской молодежной научной школы - конференции (Казань, 1-4 декабря 2003 г). Казань: Казанское математическое общество. 2003 Т.21. С. 234-237.

7 Чихачева O.A. Математическая модель гонки вооружений // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Актуальные проблемы математики и механики. Материалы международной научной конференции (Казань, 26 сентября-1 октября 2004 г.). Казань: Казанское математическое общество. 2004. Т.25. С. 279-280.

8. Чихачева O.A. Ненулевые решения нелинейной системы уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2004. №8. С. 122124.

9. Чихачева О.А О квазипериодических решениях линейных систем дифференциальных уравнений // Научный журнал. Аспирантский вестник РГТГУ им. С.А. Есенина. 2003. №3. С. 106-111.

Ю.Чихачева OA. О проблеме существования квазипериодических решений систем дифференциальных уравнений с малым отклонением // Межвузовский сборник научных трудов. Информатика и прикладная математика. Рязань. 2004. С 92-95.

11 Чихачева O.A. Приложение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом к исследованию динамики иммунной реакции // Известия ТулГУ. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». Выпуск 1. Тула. 2004. С.198-201.

12.Чихачева O.A. Существование квазипериодических решений систем дифференциальных уравнений с малым отклонением (тезисы доклада) // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Тезисы докладов во всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов (Рязань, 21-23 апреля 2004 г.). Рязань: Изд-во РГРТА, 2004. С 7.

13.Чихачева О А Условия существования квазипериодических решений систем дифференциальных уравнений с малым отклонением // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Математическая научная конференция Герценов-ские чтения - 2004 (Санкт - Петербург, 12-16 апреля 2004г.). Санкт -Петербург. 2004. С. 101-106.

14.Чихачева O.A. Условия существования ненулевых решений нелинейной системы уравнений порядка d // Межвузовский сборник научных трудов Информатика и прикладная математика Рязань 2004. С 9697.

Чихачева Ольга Александровна

КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ С МАЛЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Подписано к печати 13.04.2005 Формат бумаги 60x84 1/16 Печать ргоографическая Объем 1,0 п.л. Заказ № {б? Тираж 100 экз Бесплатно

Отпечатано в ООО «Интермета» 390000, г. Рязань, ул. Каляева, д 5

»-9808

РНБ Русский фонд

2006-4 4321

Введение.

Глава 1. Квазипериодические режимы в математических моделях с малым отклонением.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Сведение исходной задачи к исследованию разрешимости недифференциальной системы уравнений с алгебраической главной частью.

§ 3. Квазипериодические режимы в математических моделях с малым линейным отклонением.

Глава 2. Ненулевые решения нелинейной системы уравнений.

§ 1. Определение условий, при которых нелинейная система уравнений в частном случае имеет ненулевое решение.

§ 2. Определение условий, при которых нелинейная система уравнений порядка d имеет ненулевое решение.

Глава 3. Квазипериодические режимы в математических моделях, описываемых неоднородной системой дифференциальных уравнений с малым отклонением.

§ 1. Влияние членов, не содержащих фазовых переменных, на условия, при которых математические модели, описываемые системой (1.1) имеют квазипериодический режим.

§ 2. Ненулевые решения недифференциальной системы уравнений, нелинейная часть которой - конечная сумма вектор-форм порядка не менее двух.

Актуальность темы. Последние десятилетия характерны интенсивными исследованиями математических моделей с малым отклонением, стимулируемые многочисленными приложениями дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в математической экономике [27,88,61]. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, находят много приложений в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, радиолокации, при изучение проблем, связанных с горением в ракетном двигателе [3,22,28,59,102]. Указанная теория является одной из составных частей теоретической биофизики и служит основой как химической кинетики, так и теории регулирования [52-53,65].

Область приложения дифференциальных уравнений включает и биологические науки (распространение эпидемий с латентным временем, регенерация живых клеток под действием лучей) [39-40,64,96-97,104-105].

Одно из актуальных современных применений теории математического моделирования связано с экологией. В частности, не решена проблема выбора математического аппарата, который необходимо использовать при описании динамики численности изолированной популяции в различных ситуациях. В ряде этих моделей скорость изменения численности популяции представляется в виде суммы трех слагаемых, первое из которых определяется рождаемостью, второе - смертностью, третье - миграцией. Изменение численности популяции не мгновенно сказывается на скорости. Математически это означает, что в дифференциальных уравнениях, описывающих это явление, появляются члены с запаздыванием.

В рамках современных требований необходимы математические модели экосистем и математические методы анализа их стабильности. Поэтому математический метод - один из самых мощных методов современного естествознания [67,101].

Настоящая работа посвящена исследованию математических моделей, описываемых однородной и неоднородной системами дифференциальных уравнений с малым отклонением. Изучены математические модели, представленные системой дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от параметра и вектор - функцией, содержащей параметр и представленной в виде тригонометрического многочлена. Задачей исследования является разработка методов, при которых рассматриваемые математические модели имеют ненулевые квазипериодические режимы.

Обилие приложений способствовало увеличению интереса к теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. В настоящее время диапазон задач, в которых приходится учитывать запаздывание, стал весьма широким. Поскольку область приложения обширна, то естественны сложность и многообразие получаемых математических моделей. В силу этих причин общего решения поставленной проблемы пока не найдено. В частности, имеются пробелы в изучении квазипериодических решений, когда отклонение постоянно и находится в окрестности нуля. Следовательно, задача поиска условий существования ненулевых квазипериодических решений как линейных, так и нелинейных систем дифференциальных уравнений является актуальной.

Цель работы. В работе рассматриваются математические модели, описываемые следующими системами:

1) линейной системой дифференциальных уравнений с малым отклонением вида

Tx(t) + Ax(t - f(s)) + Bx(t) + Cx(t - f{e)) = 0, (0.1) где x(t)eR", Т,В -(ихп)-матрицы, А,С -(nxq)- матрицы, /(e)-многочлен степени d по s, б- малый вектор-параметр,

2) частным случаем системы (0.1), когда отклонение линейно

Щ0 + Ax(t - + £*(/) + Cx(t - (ф,е)) = 0, (0.2) где, —С^)) = С*—С^ 1 > .(/—C^imj • • С'—> —С^и^, » ф £ Rq .

3) неоднородной системой дифференциальных уравнений

Tx(t) + A(A)x(t - f{s)) + Bx{t) + C(A)x(t - /(*)) + <p{UjS) = 0, (0.3) где x(t),x(t -/(s)),f(s) ,TyB-tq же,q)(t,ju)-квазипериодическая no t вектор-функция, <p(t,ju) eM(W),A,/j - малые параметры, s e Rqi ,Ле Rqi, и g Rq3, MQV) - спектр рассматриваемых тригонометрических многочленов.

Ставится задача - получить качественные методы исследования математических моделей на предварительном этапе математического моделирования, а также найти условия, при которых математические модели, описываемые системами (0.1) - (0.3) имеют квазипериодические режимы (решения).

Методика исследования. Проблема поиска условий, при которых математические модели с малым отклонением (0.1) - (0.3) имеют квазипериодические режимы, сводится к проблеме разрешимости системы недифференциальных уравнений с алгебраической главной частью. С этой целью, с помощью собственных элементов вспомогательного оператора, соответствующих его нулевому собственному значению, и некоторых базисных векторов, конечномерное векторное пространство разбивается на сумму трех подпространств. В частном случае системы (0.1) (для системы (0.2)) строится оператор и доказывается существование неподвижной точки этого оператора. Для нелинейных систем, полученных при рассмотрении систем (0.1) и (0.3), с помощью метода неподвижной точки строится алгоритм нахождения ненулевого решения.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. В настоящей работе математические модели с малым отклонением описываются соответствующими дифференциальными уравнениями. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе еще в 18 веке в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако еще до совсем недавнего времени не были сформулированы основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в литературе не было даже четкой постановки начальной задачи. Впервые это было сделано А.Д. Мышкисом в диссертации «Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом» (1949 - 1950).

Проблема поиска почти периодических и периодических решений является одной из центральных при изучении любого класса уравнений, в частности, особое внимание этой проблеме уделяется в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом.

Вопросу существования квазипериодических решений посвящен огромный пласт трудов Пронькина В.С.[50-51], Блинова И.Н.[8], Левитана Б.М.[36], Демидовича Б.Щ23] и многих других авторов.

Пронькин B.C. в работе [51] рассматривает нелинейное дифференциальное уравнение т i+£**(0**+A*o(0 = <), (0.4) к=1 где ak{t)~ квазипериодические функции, А-малый комплексный параметр, т -фиксированное натуральное число. Используя итерационный процесс Ньютона, ему удалось показать, что уравнение (0.4) имеет квазипериодические решения при всех достаточно малых Л, исключая, быть может, конечное число «исключительных лучей» (то есть для каждого значения arg/l, кроме конечного числа, найдется такое б , что если |Я| < е, то уравнение (0.4) имеет квазипериодическое решение). В статье [50] рассмотрено дифференциальное уравнение с нечетными квазипериодическими коэффициентами и доказано, что (0.4) имеет ограниченное решение при достаточно малой норме свободного члена.

Для системы i = А(Л)х + Дх,Л) + Mt,x,A), (0.5) в которой х е En,f и fx - п - мерные вектор-функции, А(Л) -пхп-матрица, Л- скалярный параметр, te(-°о;оо), Терехиным М.Т. в статье [69] рассмотрен случай, когда существует такое число S{ е (0, SQ), что при любом ДеЛ(^) матрица А{Л) имеет действительное собственное значение а(Л) и неособенным преобразованием система (0.5) может быть сведена к системе вида z = Я{Л)2 + Fx{y,X) + F2(t,y,A), v = а(Л)у + Щу,Л) + Ч2(1,у,Л), (0.6) где z — (п — 1) - мерный вектор, у = (z,v). В этом случае показано, что имеет место бифуркация почти - периодического решения системы (0.6).

Теорема о существовании почти периодического решения доказана в работе [21] Гребенщиковым Б.Г. и Рожковым В.И. для квазилинейной системы с постоянным запаздыванием вида х(/) = г1 (A(t)x(t)+B(t)x(t - s) + f(t) + vF(t,x(t),x(t — s))). Наличие экспоненциального множителя el в правой части системы существенно влияет на поведение решения.

Результаты, относящиеся к периодическим решениям нелинейных систем Е.В. Воскресенским в работе [17] получены методом, близким методу сравнения, развитым автором в многочисленных работах, основные идеи которых содержатся в статьях [18]-[19]. Суть принципа сравнения заключается в сведении решения сложной задачи к решению известной или простой задачи. Уравнением сравнения в монографии [17] является дифференциальное уравнение, не имеющее Т - периодических решений, за исключением состояния равновесия, которым является начало координат. Близость правых частей сравниваемых уравнений порождает существование однотипных решений. В данной работе рассматриваются уравнения = F(t,x) + f(t,x), (0.7.1) at = F0(t,y), (0.7.2) dt где f ,Fe.C{Rx Rn,Rn)\ F(t + T,x) = F(t,x), F0(t + T9y) = F0(t,y)t f(t + T,x) = f(t,x), F0eC(p'm)(RxRn,Rn), p>0, m>0, Fo(t,0) = 0 при всех

- oo < t < +oo и x e R", T > 0. Ставится задача найти условия, при которых уравнение (0.7.1) в шаре Sr = {к е R" : ||х|| < имеет Т - периодическое решение если ||F(f,х)-F0(f,.x)||<S(t)<S при всех -со <t < +оо и хе KSr,

KSr = : ^ л е 5Г |, k> 1. Задача решается в предположении, что и при всех - оо </ < +оо, хьх2е KSr, К0,К1>0.

Общую теорему об устойчивости «грубого» периодического решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом относительно изменения правой части доказал А. Халанай [82].

Клейменов А.Ф. и Шиманов С.Н. в работе [26] рассматривали систему, описываемую дифференциальными уравнениями с запаздыванием dx

- = -Лу + Х(х,у,х1г.,х„) + //^(f,*,у,.,*„,*(* - T),y(t - r),.,xn(t - r\fS), dt j- = Ax + Y(x,y,xl,.,xn) + {jF2(t,x,y,.,xn,x(t ~ r),y(t - r),.,xn(t - t),/j), (0.8) dt dx "

-&= + Xs(x,y,xx,.,xn) + yFs+1(t,x,y,.,xn,x{t -r),y(t - г),.,xn(t - t),jj), at u=l где ^ = 1 A,ask - постоянные, X,YtXs — аналитические функции 'М переменных х,у,хь.,хп в окрестности точки х = у = х{ =. = хп =0, разложения которых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка; функции Fs аналитичны по отношению к переменным t,x,y,.,xn,x(t -r),y(t -T),.,xn(t -т) в некоторой окрестности начала координат, а также по отношению к малому параметру // в окрестности точки ц = 0; кроме того, Fs непрерывны и периодичны по / с периодом 2л\ т - постоянное запаздывание. Предполагается, что порождающая система является системой Ляпунова. Здесь исследуются вопросы существования и построения периодических решений системы (0.8), обращающихся при // = 0 в порождающее решение. В качестве аппарата tисследования используется метод вспомогательных систем Шиманова С.Н. [92].

Значительный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом внесли Азбелев Н.В. [1-2], Мышкис А.Д. [4344], Эльсгольц Л.Э. [44,94-95], Норкин С.Б. [45-47,95], Шиманов С.Н. [8993]. Этому направлению качественной теории дифференциальных уравнений посвящен целый ряд монографий Митропольского Ю.А. [41-42], Рубаника В.П. [57-60], Фодчука В.И. [60,76-79], Бекларяна Л.А. [5-6] и многих других. Работа Азбелева Н.В. и Максимова В.П. [1] представляет собой обзор л основных идей и результатов теории функционально - дифференциальных уравнений с вольтерровыми операторами. Особое внимание уделяется краевым задачам.

Подход, предложенный Бекларяном Л.А. [5], основан на использовании групповых особенностей дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Он полагает, что gj,j = \,s- гомеоморфизмы, задающие функции отклонения аргумента, Q=< gj,j = \,s>- группа, порожденная w этими гомеоморфизмами. Суть подхода состоит в следующем. Если x(t) - интегральная линия, то z(0 = ^cq(0\q€Q>xq(t) = x(q(t)) в некотором подходящем пространстве бесконечных последовательностей удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению, каноническим образом порожденному исходным дифференциальным уравнением. В рамках такого подхода удается ответить на многие вопросы, в частности, доказать теорему существования и единственности решения, непрерывной зависимости от начальных и краевых условий, теоремы о «грубости» дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом.

Решение задачи Коши в виде бесконечного ряда методами операционного исчисления получено Малышевым Ю.В. [38] для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и постоянным запаздыванием х^+ Yi^ajrx<k"~J'\t-тг) = f( t) и

У=1г=0 к нейтрального типа £ Y,ajrx (t -тг) = f(t), где arj = const, f(t)~ lr=0 оригинал, для которой можно получить разложение в виде бесконечного ряда. Исследование проводится в предположении, что тк =кт, а п характеристический квазиполином уравнения есть Д= Y\{D + a + aje ),

У=1

D - дифференциальный оператор.

В работе Рожкого В.И. [52], посвященной уравнению m = Rt,x(t\x{t -hr{t)\x{t -htm, (0.9) где h> 0- малый параметр и г(/)- некоторая функция, установлено существование со - периодического решения уравнения (0.9), его близость к вырожденному решению д:0. Решен вопрос о построении асимптотического разложения для решения по степеням запаздывания. Рассмотрен случай, когда отклонение аргумента зависит от искомого решения, то есть имеет вид x(t) = f(t,x(t),x(t - hr(t,x(t))),x(t - hT(t,x(t)))). В статье [54] он производит оценку фундаментального решения линейной системы с малым параметром при производной и с малым запаздыванием.

Наиболее полное исследование вопросов, связанных с уравнением x(t) = a{(t)x(t - r^t)) + . + am{t)x(t - rm{t)\rk{t) > 0,k = 1,2, содержится в монографии Норкина С.Б. [47], где рассмотрены также некоторые уравнения с запаздыванием вида т = r{t,x{t)).

Существенно продвинулось вперед изучение линейных уравнений (и систем) с периодическими коэффициентами

0=Jr(r,0*(f-r>/r(r,0, (0.10) о где r(t,t+ T) = r(r,t),T > 0), а также соответствующих неоднородных уравнений с периодической неоднородностью. Наиболее естественный путь состоит в рассмотрении «оператора сдвига» U, ставящего в соответствие каждой начальной функции <p(t) (- N <t <0) функцию x{t + kT) {-N<t<0), где .*(/) - решение, отвечающее начальной функции <p(t), а натуральное число к подобрано так, чтобы kT>N. Оператор U вполне непрерывен и поэтому имеет спектр с единственной возможной предельной точкой в начале координат. Каждой точке спектра отвечает для уравнения (0.10) решение типа Флоке, причем для точек, достаточно близких к нулю, решения сколь угодно быстро затухают (по шкале экспонент). Рассматривая свойства оператора U, в частности, выделяя его инвариантные подпространства, можно установить для уравнения (0.10) аналог теоремы Флоке. Перенесение теории Флоке на дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом содержится в работах Шиманова С.Н. [90],А. Халаная [84], а для более частных случаев в работах Зверкина A.M. [25], Валеева К.Г. [13].

Долгий Ю.Ф. и Колупаева О.С. в статье [24] рассматривают уравнение с запаздыванием = <!>(x(t -//)) в предположении, что при отсутствии dt запаздывания (// = 0) уравнение не имеет периодических решений в малой окрестности нуля. Здесь ц - запаздывание (неотрицательный малый параметр), Ф - голоморфная функция в некоторой окрестности точки

Ф(О) с = 0,Ф(0) = 0, матрица А =-- имеет собственные числа dx = Я2 =/v0,v0 >0, остальные собственные числа матрицы А отличны от чисел вида iv0N,N- целое число. Решается задача Хопфа о бифуркации положения равновесия (х = 0), доказывается существование периодического решения, непрерывно зависящего от ц и вырождающегося при // = 0 в положение равновесия х - 0. Методика исследования данной статьи опирается на метод вспомогательных систем Шиманова С.Н. [92].

Линейные системы с импульсами в матрице системы и с запаздыванием в работе [66] исследовали Сесекин А.Н. и Фетисова Ю.В. В частности, была рассмотрена система дифференциальных уравнений i(/) = A{t)x{t) + B{t)x{t - г) + ДО. (0.11) 111

Предполагается, что A(t) = A{t) + (/)v,-, A(t),B(t)-nxn- матрицы с 1 непрерывными элементами, f(t)~ вектор - функция с суммируемыми элементами, Ц(0 (/ = 1,/я)~ непрерывные пхп- матрицы - функции, v(0 = (vi(0,-,vw;(0)- функции ограниченной вариации, г>0- постоянное запаздывание. С помощью метода шагов показано, что если матрицы Д (0 (/ = 1,т) для каждого t е [^q,00] взаимно коммутативны, то существует аппроксимируемое решение. Получена формула Коши для аппроксимируемых решений уравнения (0.11). В работе под аппроксимирующим решением этой системы в классе функций ограниченной вариации понимается поточечный предел последовательности абсолютно непрерывных решений системы (0.11), порожденной последовательностью абсолютно непрерывных функций vk(t), поточечно сходящейся к вектор - функции ограниченной вариации v(/), если этот предел не зависит от выбора последовательности.

Исследованы многочисленные конкретные квазилинейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом и во многих случаях обнаружено существенное, иногда даже качественное влияние запаздывания на течение описываемых этими уравнениями процессов. Отметим, в частности, показанное Рубаником В.П. и его сотрудниками на ряде примеров [58-59] существенное влияние запаздывания сил связи между взаимодействующими колебательными системами, а также возникновение параметрического резонанса при периодическом запаздывании.

Теорема о бифуркации Хопфа стационарного решения для класса дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом доказана Обросовой Н.К. [48]. Доказательство проводится по следующей схеме. Исходная бесконечномерная задача сводится к двухмерной при помощи теоремы об интегральном многообразии. Затем к полученному двухмерному отображению применяется теорема Хопфа, из которой следует, что при потере устойчивости в системе рождается или гибнет одномерное инвариантное многообразие. На заключительном этапе, с использованием понятия числа вращения доказывается, что найденному одномерному многообразию соответствует периодическая траектория исходного уравнения с запаздыванием.

Большой цикл работ [22,62-63,75-85,32] посвящен применению асимптотических методов и метода усреднения для исследования уравнений с запаздывающим аргументом.

При помощи этих методов Ю.А. Митропольским в работе [42] строятся асимптотические решения как для автономных дифференциальных уравнений с запаздыванием, так и для неавтономных, причем для последних рассматриваются резонансный и нерезонансный случаи. Здесь излагается метод исследования одночастотных колебаний в нелинейных системах с запаздыванием со многими степенями свободы, а также метод усреднения, позволяющий исследовать периодические решения таких систем.

Рябовым Ю.А. [62-63] при изучении систем с запаздыванием применяется метод малого параметра. В качестве параметра выступает запаздывание. Решения ищутся с помощью последовательных приближений, причем за нулевое приближение принимается решение, полученное при отсутствии запаздывания.

Значительное продвижение в изучении дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом содержится в работах Н.Н. Красовского, подытоженных в [32]. Н.Н. Красовский предложил рассматривать решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом как траекторию в пространстве непрерывных функций, для чего надо каждому t>t0 поставить в соответствие функцию x(t-s),s> О, как элемент указанного пространства. На этом пути им получен ряд окончательных (содержащих необходимые и достаточные условия) теорем об асимптотической устойчивости указанных уравнений.

К циклу вопросов о выводе и обосновании асимптотического разложения решений можно отнести работы Фодчука В.И. [78-79], по построению интегральных многообразий для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Вопросом о существовании периодических решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом занимается М.Т. Терехин и его ученики. В работе [71] показаны существование, непрерывная зависимость решения от правой части и начальной функции, а также существование периодического решения системы уравнений i(f) = f(t, x(t), x(t - A(t, x(t),x(t))), x(t-G(t))) в случае, когда вектор-функции / и А удовлетворяют условию Каратеодори, а вектор-функция G измерима. Изучены системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящие от функционального параметра. В основе доказательств лежит метод неподвижной точки нелинейных операторов.

Богатова С.В. в работе [10] исследует систему дифференциальных уравнений x(t) = Nx(t)+Mx(t - т) + f(t,x(t),x(t-T),A) в предположении, что C(x(t),x(t - т),Л) + D(x(t),x(t ~ т),Л) = f(t,x(0Xt ~ г),Л), С(х,у,А) однородная форма порядка s по х,у и Л, D(x, у, Л) - сумма конечного числа форм по ху и Л порядка выше, чем s, и независимо от Л С(0,0,Л) = 0,В(0,0,Л) = 0. Здесь xeRk, матрица,

М -{к х mk) - матрица, т - малый параметр, teRm, ||г||<(5, AeRJ, ||/1]|<J0.

Содержание работы. В диссертации исследуются модели (0.1) - (0.3), содержащие малое отклонение, с целью определения в них квазипериодических режимов. В отличие от работ [43,48,82,93,100] и многих других, где б > 0, в диссертации отклонение - векторная величина, компоненты которой произвольны по знаку в малой окрестности нуля. Причем в качестве отклонения взято не б [9-10], а многочлен некоторой степени по б . Под квазипериодическим режимом (решением) в диссертации понимается тригонометрический многочлен со специальным спектром, что немаловажно при интерпретации квазипериодических режимов в математических моделях [61,88,65 и другие]. Рассматриваемое конечномерное векторное пространство представляется в виде прямой суммы трех подпространств, в отличие от работы [9]. Что позволяет решать более широкий спектр задач. При изучении системы дифференциальных уравнений, которые описывают исследуемые модели, не используется понятия характеристического уравнения - это дает возможность не накладывать дополнительных условий на корни характеристического уравнения, как в работе [46], не использовать собственные числа матрицы -производной вектор - функции в нуле [24].

Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, сжатый обзор результатов других авторов, краткое содержание работы.

Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы.

В первой главе рассматриваются математические модели с отклонением (0.1) - (0.2). Квазипериодические режимы (решения) в моделях отыскиваются в виде тригонометрического многочлена * x(t) = а0 + X X \upj cos(/(p7 ,a>))+bpj sin(f(/?7, &>))], в котором а0 ,при любом j=\pjeDj

Pj apj, bPj - n - мерные векторы.

В §1 главы 1 отклонение есть многочлен некоторой степени по е. Здесь строится спектр рассматриваемых тригонометрических многочленов т т

W = {0, £ kj (Oj, £ = j, j e N). Вводится вспомогательный оператор H, /=i /=1 определенный линейной частью системы дифференциальных уравнений, описывающей математические модели.

В §2 первой главы с помощью собственных элементов оператора Н, соответствующих нулевому собственному значению, и некоторых базисных векторов конечномерное векторное пространство разбивается на прямую сумму трех подпространств, одно из которых (Е0) инвариантно относительно оператора Н. Теорема 1.1 доказывает, что если оператор Н не имеет собственного элемента, то найдется такое б* , что уравнение (0.1) имеет только нулевое решение в достаточно малой окрестности нуля. Доказана теорема 1.2 о наличии обратного оператора для Н на множестве Е0, который оказывается ограниченным и линейным.

С помощью представления элемента у в виде

5 t y = Py+^d^i(y)hl + ^c7u(y)gti, разрешимость системы (0.1) сводится к

1=1 И=1 разрешимости систем

Р(Я(У,Б)) = О, (0.12) l(R(y,e)) = 0,

0.13)

4s(R(y,e)) = 0.

0.14) crt{R{y,e)) = 0.

На основании теорем 1.4 - 1.7 показано, что проблема поиска квазипериодических режимов в математических моделях (0.1) равносильна проблеме разрешимости системы недифференциальных уравнений, получающихся из систем (0.12) - (0.14).

Частному случаю системы (0.1), когда отклонение линейно, посвящен §3 главы 1. В данном случае исследование системы (0.2) сведено к исследованию нелинейной системы, содержащей вектор - функцию не выше второго порядка.

Глава 2 посвящена поиску необходимых и достаточных условий, при которых нелинейная система имеет ненулевые решения. В §1 главы 2 изучается система уравнений вида

2(О+4Г|2)=0, (0.15) в которой F2(£) -вектор-форма второго порядка относительно

С = {а,е),а = {ax,a2,.,as\s = {8bE2,.,sm),\imo(\C\ )/|С| ) = 0. Рассмотрены

Г->о случаи m-s и m>s. В предположении, что m = s, система (0.15) представлена равенством

Ф2(а)8 + о(\£\2) = 0 , (0.16) где Ф2 (or) - матрица, элементы которой являются линейными комбинациями * координат вектора а. Доказано, что если найдется вектор а ,а =1, удовлетворяющий неравенству det02(or )^0, то система (0.16) имеет ненулевое решение. В случае, когда m>sy вектор-функция Ф2(ос)е может быть представлена равенством Ф2(a)s = Ф2(a)s + G(a)s , б = (s1,£2,.,£s), s = {ss+l,.,£m). Установлено, что если найдется вектор ё,\ё\ = ^удовлетворяющий неравенству det02(e) ф 0, то система (0.16) имеет ненулевое решение.

В §2 главы 2 доказаны теоремы об отсутствии решения и о наличии, по крайней мере, одного ненулевого решения системы

Fd{Q + o{\Z\d) = 0, (0.17) в которой Fd{£) -вектор-форма порядка d по Построен алгоритм, в результате которого будут найдены решения системы (0.17) или алгоритм будет бесконечным.

В главе 3 исследуются математические модели, описываемые неоднородной системой дифференциальных уравнений с малым отклонением (0.3). С помощью тех же методов, что в главе 1 и алгоритма главы 2 изучено влияние нелинейных членов на нахождение квазипериодических режимов в математических моделях, описываемых системой (0.1).

В §2 главы 3 рассмотрен случай, когда нелинейная часть, полученной в §1 главы 3 недифференциальной системы есть конечная сумма вектор-форм порядка не менее двух. Найдено необходимое и ряд достаточных условий, при которых нелинейная система в этом случае имеет ненулевые решения.

В диссертации приведены численные примеры, численные расчеты, рассмотрены прикладные задачи: математическая модель гонки вооружений [88], модель иммунной реакции [65], модель взаимодействия собственных предприятий с генеральной компанией [61], составлена программа для определения номера, начиная с которого линейный оператор, рассматриваемый в работе, оказывается неособенным.

Необходимые сведения по теории дифференциальных уравнений взяты из [7,49,86], по функциональному анализу - из [29,33,37,74], по линейной алгебре - из [20-21,34-35], по тригонометрическим рядам - из [73].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Построение спектра рассматриваемых тригонометрических рядов. Сведение отыскания квазипериодических режимов в математических моделях с малым отклонением к исследованию разрешимости недифференциальной системы уравнений с алгебраической главной частью.

2. Необходимые и достаточные условия, при которых нелинейная система уравнений с алгебраической главной частью имеет ненулевые решения.

3.Влияние членов, не содержащих фазовых переменных, на нахождение квазипериодических режимов в математических моделях, описываемых системой дифференциальных уравнений с малым отклонением. Ненулевые решения недифференциальной системы уравнений, нелинейная часть которой - конечная сумма вектор-форм порядка не менее двух.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на третьей Всероссийской молодежной школе - конференции «Лобачевские чтения - 2003» в г. Казань, на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» в г. Казань, на VI и X Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на семинаре Средневолжского математического общества, научный руководитель, профессор Е.В. Воскресенский (г. Саранск, 2005г.).

Основные результаты исследований опубликованы в работах [105-118].

Заключение

В работе рассматривались математические модели, описываемые следующими системами:

1) линейной системой дифференциальных уравнений с малым отклонением вида

7ВД + Ax(t - f(s)) + Bx(t) + Cx(t - f(s)) = 0, (0.1) где x(t)eRn, T,B-(nxri)-матрицы, А,С-(nxq)- матрицы, f(e)-многочлен степени d no s, е- малый вектор-параметр, - yw)=С*1 - C^ - - ш>

2) частным случаем системы (0.1), когда отклонение линейно

Щ) + Ax(t - (фе)) + Bx(t) + Cx(t - (фе)) = 0, (0.2) где, —С^. = С^—С^ 1 • «■)).С^—С^т!».С^—».С—»«)))» еЯ9.

3) нелинейной системой дифференциальных уравнений

7ВД + A(A)x(t - f(e)) + Bx(t) + C(A)x(t - f(e)) + (p(t,p) = 0, (0.3) где x(t),x(t-f(s)),f(c),T,B-те же,<p(t,ju)-квазипериодическая no t вектор-функция, (p(t,n) eM(W),A,ju- малые параметры, eeRqi ,Ле Rqi, jueRK.

Квазипериодический режим в моделях отыскивался в виде тригонометрического многочлена.

Исследование проблемы нахождения квазипериодических режимов в математических моделях (0.1), (0.2), (0.3) сведено к поиску условий, при которых нелинейная недифференциальная система имеет ненулевые решения, в частности, к исследованию проблемы нахождения ненулевых решений систем + + = в которых

- вектор-формы порядка d и d по и £ ■> соответственно, ф(/у) - вектор-функция по /л. Были изучены частные случаи этих систем. Рассмотрены примеры и прикладные задачи.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 12. С. 2027-2050.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.280 с.

3. Бекларян Л. А. Введение в качественную теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и их приложения. М.: Б.и., 1996. 141с.

4. Бекларян Л. А. К теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Украинский математический журнал. 1994. т. 49. №6. С. 193-194.

5. Бекларян Л. А., Шмульян М. Г. О полноте решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом мажорируемых экспоненциальными функциями // Докл. РАН. 1995. т.341. №6. С. 21-27.

6. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991. 303 с.

7. Блинов И. Н. Об одном итерационном процессе Ньютона // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1969. Т. 33. С. 3-14.

8. П.Борисович Ю.Г. О методе Пуанкаре-Андронова в задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием // ДАН СССР. 1963. №152. С. 779-782.

9. Борисович Ю.Г., Субботин В.Ф. Теоремы существования периодических полуположительных решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Труды семинара по функциональному анализу. Воронежский ун-т. 1967. №9. С. 111-115.

10. Валеев К. Г. Исследование устойчивости решений линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами и стационарными запаздываниями аргумента методом Хилла // ПММ. 1962. т. 26. №4. С. 755-761.

11. Валеев К. Г. Об устойчивости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами и запаздыванием аргумента // Изв. АН (мех. и машиностр.). 1963. № 3. С. 161-162.

12. Валеев К. Г. К теории преобразования Лапласа // ИВУЗ (радио -физ.). 1965. №8. С. 424-426.

13. Векуа Н. П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике. М.: Наука, 1991. 255с.

14. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. Саранск: СВМО, 2001. 300с.

15. Воскресенский Е.В. Асимптотическое равновесие, периодические решения и прямой метод Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. №6. С. 729-732.

16. Воскресенский Е.В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений // ИВУЗ (математика). 1991. №1(344). С. 11-14.

17. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 492с.

18. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., 1971.

19. Гребенщиков Б.Г., Рожков В.И. Об асимптотических свойствах решения одной квазилинейной системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1996. т. 32. № 9. С. 1286-1288.

20. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М. Наука, 1967. 472с.

21. Долгий Ю.Ф., Колупаева О.С. Бифуркация Хопфа для дифференциальных уравнений с малым запаздыванием // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь: Перм. госуд. тех. ун-т, 1997. №4. С. 84-90.

22. Зверкин A.M. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами // ДАН СССР. 1959. Т. 128, № 5. С. 882-885.

23. Клейменов А.Ф., Шиманов С. Н. К вопросу о существовании и построении периодических решений систем с запаздыванием, близких к системам Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1968. т. 4. № 7. С. 1199-1211.

24. Колемаев В. А. Математическая экономика. М.:ЮНИТИ. 1988. 240с.

25. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас, 1979. 146 с.

26. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1982.

27. Красносельский М.А. Альтернативный принцип существования периодических решений у дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // ДАН. 1963. т. 152. № 4. С. 801-804.

28. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука. 1962. 457 с.

29. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1959. 256 с.

30. Крейн С.Г. и др. Функциональный анализ. М., 1972.

31. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ. 1963. 432 с.

32. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Мир, 1978.

33. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М.: Гостехиздат, 1963. 396с.

34. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 510 с.

35. Малышев Ю.В. Символический метод решения линейных дифференциально-разностных уравнений (с запаздывающим аргументом и нейтрального типа) // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2001. № 5. С. 96-104.

36. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1983. 400 с.

37. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М.: Наука, 1991. 304 с.

38. Митропольский Ю. А., Коломиец В. Г. Некоторые вопросы теории нелинейных колебаний квазилинейных систем со случайным запаздыванием//Математическая физика. 1967. вып. 3. С. 91-113.

39. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев. Вища школа, 1979. 247с.

40. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. M.-JL: Гостехиздат, 1951.

41. Мышкис А.Д., Эльсгольц Л.Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи математических наук. 1967. т. 22. в. 2 (134). С. 21-59.

42. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965. 354с.

43. Норкин С.Б. О периодических решениях линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. Математический сборник. 1958. в. 45 (87). № 1. С. 71-104.

44. Норкин С. Б. О периодических движениях одного класса колебательных систем с запаздыванием // Труды межд. симп. по нелинейным колебаниям, изд. АН УССР. 1963. №2. С. 315-321.

45. Обросова Н. К. Бифуркация Андронова Хопфа для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестник Российского ун-та дружбы народов. Серия математическая. 2001. №8. С. 66-102.

46. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965. 332 с.

47. Пронькин В. С. О существовании квазипериодического решения нелинейного дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 8. С. 1339-1346.

48. Пронькин В. С. Применение метода Ньютона к одной задаче с малыми знаменателями // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. №7. С. 979-986.

49. Рожков В.И. Асимптотическое разложение по степеням запаздывания периодического решения уравнения нейтрального типа с малым запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 7. С. 1250-1257.

50. Рожков В.И. О периодических решениях автономных систем уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием // Дифференц. Уравнения. 1971. Т. 7. № 3. С. 446-452.

51. Рожков В.И. Оценка фундаментального решения линейной системы с малым параметром при производной и с малым запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1992. т. 28. № 2. С. 358-360.

52. Романовский Ю.М. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975. 343с.

53. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. 304 с.

54. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 287 с.

55. Рубаник В.П. О параметрическом возбуждении колебаний, обусловленном периодическим изменением запаздывания // Известия АН. Механика и машиностроение. 1963. № 6. С. 141-142.

56. Рубаник В.П. Резонансные явления в квазилинейных колебательных системах с запаздывающим аргументом // Известия вузов. Математика. 1962. № 5. С. 75-86.

57. Рубаник В.П., Фодчук В.И. О существовании и свойствах ограниченного решения системы квазилинейных дифференциально-разностных уравнений // УМЖ. 1962. т. 14. №1. С. 87-92.

58. Рудашевский В. Д., Фурщик М. А. Оптимальная стратегия развития франчайзинговой системы // Экономика и математические методы. 1998. Т. 34. вып. 2. С. 89-104.

59. Рябов Ю.А. Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Тр. сем. по теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом Ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы. 1962. № 1. С.103-113.

60. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра для построения решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // ДАН СССР. 1960. Т. 133, № 2. С. 288-292.

61. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352с.

62. Свирежев Ю. М., Пасеков В. П. Основы математической генетики. М.: Наука, 1982. 511с.

63. Смит Дж.М. Модели в экологии.М.: Мир, 1976. 184 с.

64. Стрыгин В.В. О периодических решениях системы дифференциальных уравнений с «малыми» уклонениями. Труды семинара по функциональному анализу. Воронежский ун-т. 1967. №9. С. 167-169.

65. Терехин М. Т. Бифуркация почти периодического решения системы дифференциальных уравнений. Межвуз. сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Методы топологической динамики. Н. Новгород. 1990. С. 64-68.

66. Терехин М. Т. Почти периодические решения линейных систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2000. №3. С. 121-126.

67. Терехин М.Т. О решениях дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 1983. т. 19. №4. С. 597-603.

68. Терехин М.Т., Насыхова Л.Г. Существование бифуркационного значения параметра системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Украинский математический журнал. 1997. т. 49. №6. С. 799-805.

69. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука. 1980.

70. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Высшая школа, 1980.

71. Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И. и др. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев. 1981. 432с.

72. Фодчук В.И. О построении асимптотических решений для нестационарных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и с малым параметром // Украинский математический журнал. 1962. Т. 14. №4. С. 435-440.

73. Фодчук В.И. К вопросу обоснования принципа усреднения для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Konferenz uber nictlineare Schwingungen, Akademi Verlag. Berlin. 1965. C. 45-50.

74. Фодчук В.И. О существовании и свойствах интегрального многообразия одной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // УМЖ. 1962. т. 14. № 2. С. 227-231.

75. Фодчук В.И. О существовании и свойствах интегрального многообразия для одного класса систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Труды семинара по матем. физике и нелинейным колебаниям. Киев, 1963. т. 1. № 1. С. 111-134.

76. Халанай А. Автономные системы с запаздывающим аргументом и с малым параметром // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1962. т. 7. № 1. С. 81-89.

77. Халанай А. Метод усреднения для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1959. т. 4. № 3. C. 467-483.

78. Халанай А. Некоторые вопросы качественной теории систем с запаздыванием. Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Изд. АН УССР, Киев. 1961. № 2. С. 394-408.

79. Халанай А. О некоторых свойствах периодических и почти-периодических систем с запаздыванием // Rev. Roumaine Math, pures et appl. 1964. т. 9. № 7. C. 667-675.

80. Халанай А. Периодические и почти-периодические решения некоторых сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1963. т. 8. № 2. С. 285-292.

81. Халанай А. Системы канонического типа с отклоняющимся аргументом и с периодическими коэффициентами // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1963. т. 8. № 4. С. 569-573.

82. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

83. Хейл Дж. К. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

84. Шикин Е.В., Чхартишвили Математические методы и модели в управлении. М.: Дело. 2002. 432с.

85. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием // ПММ. 1959. т. 23. № 5. С. 836-844.

86. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // ПММ. 1963. т. 27. №3. С. 450-458.

87. Шиманов С.Н. Колебания квазилинейных автономных систем с запаздыванием // Изв. вузов. Радиофизика. 1960. т. 3. № 3. С. 456-466.

88. Шиманов С.Н. О почти-периодических колебаниях квазилинейных систем с запаздыванием времени в случае вырождения // ДАН СССР. 1960. т. 133. № i.e. 36-39.

89. Шиманов С.Н. Об одном способе получения условий существования периодических решений нелинейных систем // Прикладная математика и механика. 1955. т. 19. № 2. С. 225-228.

90. Эльсгольц Л.Э. Некоторые резонансные явления в системах с отклоняющимся аргументом. Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1963. т. 2. С. 223-224.

91. Эльсгольц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.296 с.

92. Brauer F. Some applications of the theory of ordinary differential equations to population growth problems // Ann. Acad. Brasil. Cienc. 1976. v. 48. № 3. P. 369-385.

93. Goel N.S., Maitra R.S., Montroll R.S. Nonlinear models of interacting populations. New York: Acad. Press, 1971.

94. Grossman L., Berke G. Tumor escape from immune elimination // J. theor. Biol. v. 83. № 2. P. 267-296.

95. Hadeler K.P. Delay equations in biology. In: Lect. Notes Math.: Springer. 1979. v. 730. P. 136-159.

96. Halanay A. Solutions periodiques des systemes lineaires a argument retarde. Paris: C. R. Acad. Sci. 1959. № 249. P. 2708-2709.

97. Hutchinson G.E. Circular causual systems in ecology // Ann. N. Y. Acad. Sci. 1948. v. 50. P. 221-246.

98. Kesh Dipak, Mikherjee Debasis, Sarkar A.K., Roy A.B. Ratio dependent predation. A bifurcation analysis // J. Korean Comput. and Appl. Math. 1998. v. 5. № 2. P. 295-305.

99. MacDonald N. Time lags in biological models. In: Lect. Notes Biomath.: Springer, 1978. 112 p.

100. Marchuk G.I. Mathematical models in immunology and their interpretation. In: Lect. Notes Contr. and Inform. Sci., 1979. v. 18. P. 114129.

101. Чихачева О.А. Квазипериодические режимы в математических моделях с малым отклонением // Саранск: Средневолжское матем. общество, 2005, препринт №83- 24с.

102. Чихачева О.А. Квазипериодические решения системы ^ дифференциальных уравнений с малым отклонением // Известия

103. РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2004. №8. С. 113-121.

104. Чихачева О.А. Ненулевые решения нелинейной системы уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2004. №8. С. 122-124.

105. Чихачева О.А. О квазипериодических решениях линейных систем дифференциальных уравнений // Научный журнал. Аспирантский вестник РГПУ им. С.А. Есенина. 2003. №3. С. 106-111.

106. Чихачева О.А. О проблеме существования квазипериодическихрешений систем дифференциальных уравнений с малым отклонением // Межвузовский сборник научных трудов. Информатика и прикладная математика. Рязань. 2004. С. 92-95.

107. Чихачева О.А. Приложение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом к исследованию динамики иммунной реакции // Известия ТулГУ. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». Выпуск 1. Тула. 2004. С.198-201.

108. Чихачева О.А. Условия существования ненулевых решений нелинейной системы уравнений порядка d // Межвузовский сборник научных трудов. Информатика и прикладная математика. Рязань. 2004. С. 96-97.