автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Качественные и численные методы исследования математических моделей динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами

На правах рукописи

Пронькин Валентин Семёнович

КАЧЕСТВЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тверь 2006

Работа выполнена в Тверском государственном университете.

Научный консультант доктор физико-математических наук,

профессор A.A. Шестаков

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В. Н. Афанасьев

доктор физико-математических наук, доцент В.А. Колдунов

доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Щенников

Ведущая организация Вычислительный центр им. A.A. Дородницына

Российской академии наук

Защита диссертации состоится «26» декабря 2006г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 в Тверском государственном университете по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33, ауд. 52.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТвГУ по адресу: 170000,

г. Тверь, ул. Володарского, 44а.

Автореферат разослан «_» _2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.263.04

доктор технических наук, профессор

В.Н. Михно

^ЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Область исследования и актуальность. Диссертация посвящена дальнейшему развитию качественных и численных методов исследования математических моделей динамических систем на этапах их математического моделирования, а также усовершенствованию приближенно-аналитических и численных методов Ньютона-Канторовича; Канторовича-Блинова; Калмана-Энглара; Под динамическими системами в диссертации понимаются-любые объекты и явления, эволюция которых'происходит под действием! силовых полей какой-нибудь природы!' идля которых определено понятие состояния как совокупности значений некоторых величин в заданный момент времени и задан оператор, определяющий эволюцию начального состояния во времени. Методология математического моделирования позволяет применить как * качественные, так и численные методы1 исследования математических моделей - от качественного анализа нелинейных математических моделей до современных языков программирования; и сочетает в себе достоинства теоретических и экспериментальнь1х исследований.''При математическом модёлирова-нии динамических систем актуальными задачами являются задача исследования'математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическимичкоэффициентами,- задача качественного исследования и* конструктивного построения почти периодического решения матричной модели Риккати, задача приводимости, задача устойчивости в том или ином смысле,' ' ' '.' "' ' ', ' .'' " ■* ••• "'• '" 'Идейной основой' всех? результатов;'диссертацйи 'являются'- работы А.Н. Колмогорова, Н;Н; Боголюбова, Л:В. Канторовича,* И:Н: Блинова, Ю. Мо-зера/ Тема диссертации связана с работами отечественных й 'зарубежных ученых В:И.!Арнольдщ 'В:Н; Афанасьева,* Ю.Н.Бибикова, Е.А.Гребеникова, Н.П. Еругина, В.И; Зуб6ва, В.В,Козлова, В.В.Немыцкого. Ю.А; Митрополь-СКОГО," и;г: Петровского, Л.НШустыльникова; КХА;Ряб6ва,А;А;. Самарского, 'А.М;*Самойлен"ко, А.Ф.'Филиппова,- А.А". Шестакова,'И13^Штокал6,В.Н.Щен-никова,-К;Л,'Зигеля, Р. Калмана;'?, Фалба; Э; Цендера и других ученых/

Многие задачи естествознания и техники приводят к изучению математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями Риккати.

а) Задача определения коэффициента волнового отражения. Точные решения задачи об отражении волны от неоднородного слоя найдены всего лишь для нескольких случаев. Хотя исследование этих случаев имеет весьма большое значение и раскрывает ряд важных закономерностей, это не снимает вопроса об исследовании отражения волн от слоев, в которых зависимость параметров среды от координаты может быть произвольной.

Существенно также то, что в реальных случаях параметры среды не остаются постоянными, а испытывают с течением времени как систематические изменения, так и изменения флуктуационного характера. Необходимо знать, как эти изменения сказываются на коэффициенте отражения. При этом нельзя обойтись без исследования коэффициента отражения от слоев с произвольным законом изменения параметров. Отметил!, что даже небольшие изменения в этом законе могут существенно сказываться на коэффициенте отражения. Исследование коэффициента отражения плоской волны имеет большое значение также и для решения задачи о поле точечного излучателя в слоисто-неоднородной среде, поскольку сферическая волна может быть разложена на плоские волны.

В общем случае уравнения электромагнитного и акустического полей могут быть удовлетворены только при предположении существования отраженной волны. Задачей будет являться отыскание отношения комплексных амплитуд отраженной и падающей волн, т.е. коэффициента отражения по модулю и фазе. Если нужно знать не поле, а лишь коэффициент отражения, то возможно получить специальную модель, которая является уравнением Риккати. В случае звуковой волны при естественных предположениях коэффициент отражения будет также определяться моделью Риккати.

б) Задача определения матричного коэффициента отражения линии электропередачи. Рассмотрим высоковольтные линии для передачи электроэнергии (на промышленной частоте 50 Гц). Матричный принцип Даламбера, игра-

ющий важную рол^в теории распространения волн в многопроводных линиях, состоит в следующем: решение любой граничной задачи для матричных телеграфных уравнений есть сумма падающих и отраженных волн в любой точке линии.. Математическая модель для матричного входного сопротивления линии получается исключением токов и напряжений из системы матричных телеграфных моделей и применением закона Ома и представляет собой матричную модель Риккати. Математическая модель для матричного коэффициента отражения линии также является матричной моделью Риккати.

• в) Задача определения, входного импеданса системы трубопроводов, находящихся под давлением; Гидравлические линии, которые являются определяющим фактором в вопросах устойчивости и быстродействия гидравлических систем, исследовались многими авторами. Периодические колебания расходов и давления наблюдались всеми исследователями; иногда характеристики наблюдаемых систем оказывались .такими,,что входное возмущение в системе усиливалось и возникали самовозбуждающиеся колебания - почти резонансные явления." .

Волновая связь между давлением и расходом .теоретически описывается с помощью классических; волновых моделей/ Понятие импеданса в применении к резонансным характеристикам оказалось весьма удобным при. оценке резонансных свойств напорных систем. Импеданс является решением модели Риккати. Очевидно, что это решение может быть как периодическим, так и почти периодическим.

г) Задачи оптимального управления, В проблеме приводимости по Ляпунову линейных моделей редукция модели к модели Риккати и линейной модели выявила важность изучения моделей Риккати, в том числе и многомерных аналогов. По существу, наличие решения модели Риккати гарантирует выполнение необходимых недостаточных условий приводимости по Ляпунову,и тем самым сведение системы с переменными коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами. Развитие теории управления привело к многообразию задач, решение которых приводит; к. моделям Риккати и их

многомерным аналогам. Исследование моделей Риккати вызывает принципиальные затруднения и очень важно найти такие методы нахождения решения, которые показывают приемлемые результаты.

д) Задачи теории теплопроводности и диффузии. Роль моделей Риккати в связи с использованием метода прогонки в решении различных задач математической физики общеизвестна. Многие задачи теории теплопроводности, диффузии и динамики процессов в сплошных средах можно описать краевыми задачами для линейных уравнений с частными производными. Численное решении таких задач с использованием метода прогонки существенно облегчает процесс нахождения приближенных решений.

е) Задачи теории солитонов. Редукция модели Шрёдингера к модели Риккати позволяет получить законы сохранения, связанные с задачей рассеивания, и провести всестороннее исследование уравнения Кортевега-де Фриза, которое описывает поведение волн умеренной амплитуды на поверхности неглубокой жидкости.

Изучаемые в диссертации математические модели динамических систем условно разобьем на следующие 16 типов моделей.

1. Моделью типа 1 называется дифференциальная матрично-векторная математическая модель Риккати с нечетными квазипериодическими коэффициентами

где £(<7(0)'' Д-малый параметр,

Х- да-мерный искомый вектор, Ф^"' и 4*'"" - пространства матриц и векторов соответственно, через р обозначена ширина полосы аналитичности, две волны означают нечетность функций, принадлежащих пространству, а 7*"— знак транспонирования.

2. Моделью типа 2 называется линейная дифференциальная операторная математическая модель с нечетными квазипериодическими коэффициентами

1.тХ ,ъХ,+РХХ,_у)Х,=Р(Х „Л, где Р'(и) - производная Фреше оператора Р, X, - т-мерный искомый вектор.

6

3. Моделью типа 3 называется линейная дифференциальная математическая модель с нечетными квазипериодическими коэффициентами

Л'=Л/>(<7(0)Л',

где Л - достаточно малый параметр, Р (д(0)л"'-

4. Моделью типа 4 называется дифференциальная матрично-векторная математическая модель Риккати с квазипериодическими коэффициентами

Р(1,Х)тХ.+Х8О)Х+(.В0+/,(фХ^Лс(О=0„ где Х- /и-мерный искомый вектор,- В 0 =■ сНав(//? 1 ,...,1Р т), Р ,*Р, , Р, - алгебраические числа, несоизмеримые с базисом частот Ф^'.яО)'' аф^"';. / (1(1)) е Фл"1 »с(/)еЧ> л",1 > А- малый комплексный параметр, р0 >0.

5. Моделью типа 5 называется нелинейная дифференциальная математическая модель с квазипериодическими коэффициентами

Р(х,(,Л)щх+^(х,ч(О)+Л/(ч(О)=0,

где ^'(лr,ч'(í))=>£/Л?(0)лí,/,/tвФ(л^ А«2.3...../.,■//».. /3 - алгебраиче-

»•I-

ское число, несоизмеримое с базисом частот /Л - комплексный параметр.-: • ' : , ' ■

6. Моделью типа б называется линейная дифференциальная операторная математическая модель с квазипериодическими коэффициентами

¿,(к)иЛ'+(И()+ А(и))Х=ЛР, где Л, («) - линейный оператор, переводящий элементы искомого вектора Л" в элементы Р б4/^),Л(м)«(я,;(«))бФ(/,",иеЯ - малый параметр, А о - диагональная матрица, элементы которой попарно различны и являются чисто мнимыми числами, несоизмеримыми с базисом частот Ф ^. ■ )

7. Моделью типа 7 называется линейная дифференциальная математическая модель с квазипсриодическими коэффициентами

' , Х^Рь+ХРтЖХ:

Здесь Л(г/(0)еФ Я0-диагональная постоянная матрица порядка т, имею

щая различные характеристические числа х а ), к =1,2Для всех для которых Re(^i(/'0)-^y(/Jo))=0, число = (Р„) --X о))Л , является алгебраическим и не выражается линейно через базис частот матрицы Р(д{f ))бФ'Г', Л— малый комплексный параметр, m<h — натуральное число.

8. Моделью типа 8 называется линейная дифференциальная математическая модель с нечетными почти периодическими коэффициентами

У = Л) Y ,

где Р(1,Л)- нечетная почти периодическая матрица, Y — искомый вектор, ц — малый параметр, Я - комплексный параметр.

9. Моделью типа 9 называется дифференциальная матрично-векторная математическая модель Риккати с нечетными почти периодическими коэффициентами

B(X) = X + Xg(l,A)X+f(t,A)X+/(t,A)=О,

где .V - /я-мерный вектор, g(/,A)r' , / (г,А ) е Ф^"',/(г,Л) е Ф'"', р>о,

т < h - натуральное число.

10. Моделью типа 10 называется линейная дифференциальная операторная математическая модель с нечетными почти периодическими коэффициентами

L„(u)X=X+A(u)X = P, где А(и)— нечетная почти периодическая матрица порядка т, Р — нечетный почти периодический вектор, X— искомый вектор, I т (и) — линейный оператор.

11. Моделью типа 11 называется линейная дифференциальная математическая модель с почти периодическими коэффициентами

Х = (Р0 + РО,А,м))Х ,

где Р0 - диагональная матрица, элементы которой попарно различные числа, несоизмеримые с базисом частот - почти периодическая мат-

рица порядка т, Х - искомый вектор, - комплексные параметры.

12. Моделью типа 12 называется нелинейная дифференциальная математическая модель с почти периодическими коэффициентами"

Р ( X ) т X + Р ( X , I, А ) + /I /• о ('. = 0 ,

где /,.(<чЛ)*», / * е // р, к я 0,2 3, „., Л/; / ]=/ ^ * ,/?-ве-

щественное число; несоизмеримое с базисом частот //р; // - комплексный параметр;

13. Моделью типа 13 называется дифференциальная матрично-векторная математическая модель Риккати с почти периодическими коэффициентами

где Х - /и-мерный искомый вектор, А „ - постоянная диагональная матрица, элементы которой попарно различные мнимые .числа, несоизмеримые с бази-с<^м частот -матрицы, эле-

менты которых: почти периодические функции, /г- малый параметр, р. 0 > 0 •

14. Моделью типа 14 называется линейная дифференциальная операторная математическая модель с почти периодическими коэффициентами

Iт ( и) Х т X-+ + А (I, А , и»-Х =Р( 1)АУ, где ¿„(к) - линейный оператор, переводящий элементы искомого вектораХ

в элементы Р(1,А)еЧ> <Г>, Л(/,Л,м)=(* „ (/,Д,«))е// <,">, ма-

лый параметр, /4;о"<Нав(л-1);Ке(а/-я-у)»0; 1ш(о;-а,и, причем р^ являются;при /*}, несоизмеримыми с базисом.частотН..

.. 15..Моделью типа 15 называется дифференциальная« матричная модель Риккати . .. , < ,. . • . .. . . .'.:

где/1, Л,С, О-матрицы порядка^ 2-искомая матрица порядка«; • ; ■••'>■ " 1 б; Моделью тина 1 б называется матричная модель Риккати •

где Я„ Я, Л - постоянные матрицы порядка п, Р -искомая матрица порядка п, Р(Р) - матричная функция,

' ' '9

Взаимосвязь между изучаемыми математическими моделями можно изобразить в виде следующего графа:

Поясним построение графа. В вершине графа находятся модели типов 7, 11 или 3, 8. Эти модели можно редуцировать в скалярные модели типов 4, 13 или 1, 9 и модели типов б, 14 и 2, 10. Скалярные модели типов 4, 13 и 1, 9 разрешимы. А для моделей типов 6, 14 и 2, 10 записывается итерационный процесс, состоящий из последовательности моделей типов 4, 13 и 1,9. Каждая модель типов 4, 13 и 2, 10 редуцируется в скалярные модели типов 4, 13 или 1, 9 и модели типов 6, 14 и 2, 10, но размерность которых меньше на единицу. Процесс продолжается до тех пор, пока полученную модель можно будет проинтегрировать. Отсюда следует и интегрируемость моделей типов 7, 11 или 3, 8.

-Модели типов I; 4,9,13,Дбмогуг использоваться при решении задачи определения коэффициента волнового отражения. Модели типов 4,13,, 16 могут использоваться,при решении задачи определения входного импеданса системы трубопроводов, находящихся под давлением. Модели типов 1, 4, 9, .13,16 могут использоваться при решении задачи определения матричтого коэффициента отражения линии электропередачи^ Модели.типов 1,4, 9,13,15,16 могут применяться при решении задач теории управления. Модели типов 1,4,9, 13 могут использоваться при решении задачи приводимости по Ляпунову моделей типов 3,7, 8, 11. . . .. . ......

В проблемах нелинейной и небесной механики приходится преодолевать трудности, вызванные появлением малых знаменателей, которые, с одной стороны, препятствуют построению достаточно точных решений уравнений движения классическими методами, а с другой стороны, препятствуют построению точных решений математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в виде сходящихся рядов. Поэтому следует считать весьма актуальными поиски математических методов, которые позволяли бы получать решение математических моделей в виде рядов, сходящихся на неограниченном интервале времени. Основные идеи, которые позволили в последующем получить существенные результаты в проблеме малых знаменателей состояли, во-первых, в том, что малые знаменатели для большинства (по мере Лебега) частот должны удовлетворять некоторым оценкам, во-вторых, в отказе от обычных рядов по степеням малого параметра при построении решений и применении итерационного процесса, основанного на последовательной замене переменных и обладающего ускоренной сходимостью.

Изучение моделей с малыми знаменателями получили развитие и в нашей стране, и за рубежом, однако исследования в этой области весьма далеки до завершения.

Задачи о построении решений и приводимости математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями различного вида с квазипериодическими коэффициентами, рассматривалась в работах отечественных и

зарубежных ученых. Однако до сих пор эти задачи нуждаются в дальнейшей разработке.

Результаты по приводимости линейных моделей с квазипериодическими коэффициентами интенсивно используются в задачах теоретической и математической физики.

Скалярная модель Риккати является важной как сама по себе, так и благодаря ее связи с линейной дифференциальной моделью второго порядка, которая занимает важное место в квантовой механике в связи изучением модели Шрёдингера. Модели Риккати вместе со своими аналогами в многомерном и в функциональном пространствах играют фундаментальную роль в современной теории управления и в математической физике.

Все вышесказанное и обуславливает всестороннее изучение модели Риккати и ее многомерных аналогов, с использованием которых осуществляется математическое моделирование широкого класса динамических систем.

Цель работы состоит в разработке качественных, приближенно-аналитических и численных методов исследования математических моделей динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами; в установлении квазипериодических и существенно почти периодических решений матричных моделей Риккати и моделей, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями с почти периодическими и квазипериодическими коэффициентами; в разработке метода приближенного интегрирования математических моделей, описываемых нелинейными матричными дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами; в установлении классов приводимых по Ляпунову линейных моделей с почти периодическими коэффициентами; в разработке новых и усовершенствовании и модификации существующих приближенно-аналитических и численных методов Ньютона-Канторовича, Канторовича-Блинова, Калмана, Энглара.

Все модели, описываемые дифференциальными уравнениями с почти пе-

риодическими и квазипериодическими коэффициентами, относятся к классу моделей с существенно малыми знаменателями.

Методы исследования. 13 работе использованы, современные методы функционального анализа, математического,! моделирования; и .системного анализа,, современные качественные и ,аналитические, методы теории обыкновенных, дифференциальных уравнений. Использованы разработанные автором/диссертации > модификация и. обобщения ■ метода; Канторовича-Блинова исследования операторных моделей, а также модификация метода Ньютона-Канторовича приближенного; решения нелинейных дифференциальных матричных моделей. , ,■,,

При ¡исследовании математических моделей типов .1-14, связанных с появлением существенно малых знаменателей; на каждом итерационном шаге, при разрешении линейных, операторных моделей, .возникает проблема неограниченности обратного линейного оператора.. Для преодоления этой трудности автором диссертации; обобщен. метод последовательно вложенных метрических пространств с метрикой, зависящей от-итерационного шага как параметра. Вследствие этого удалось рассмотреть свойство ограниченности на каждом шаге, но с растущей нормой в зависимости от номера шага. ,

Для нахождения численных решений математических моделей использована модификация метода РунгегКутта.. ;

Практическое значение. Поскольку резонансные явления.встречаются в радиотехнике, физике,, нелинейной механике и в разных областях г естествознания, то вопрос о методах исследования моделей с малыми знаменателями представляет большую практическую значимость. При выделении характерных параметров линейных систем и анализе соответствующих характеристик роль: математических моделей Риккати определяется содержательностью физической интерпретации их решений, В электродинамике слоистых .сред, в теории многоволновых линий передачи, в гидравлике трубопроводов, в теории;упругих(колебаний; решение- модели.Риккати, дает. основной параметр системы - импеданс, либо, коэффициент отражения, матрицу, рассея-

ния электромагнитных волн, либо стохастическую матрицу диффузионного процесса.

Нахождение непрерывных приближенно-аналитических, в том числе и почти периодических, решений моделей Риккати позволяет определять: коэффициент отражения электромагнитной и акустической волны от неоднородного слоя; матричное входное сопротивление многопроводной линии электропередачи, матричный коэффициент отражения на входе отрезка линии электропередачи; связь между давлением и расходом жидкости, находящейся под давлением в трубопроводе и ряд других характеристик физических и технических систем.

Теоретическое значение. Результаты диссертации имеют большое теоретическое значение. Они могут быть использованы при исследовании устойчивости и приводимости сложных и многосвязных систем. Разработанные методы, в частности, предложенная модификация метода Канторовича-Блинова, может быть применена к исследованию других моделей с малыми знаменателями как в случае конечного, так и бесконечного числа базисных частот.

Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании матричных моделей Риккати в теории оптимального управления. Имеются классы задач теории управления, при решении которых появляются матричные модели Риккати. В каждой такой задаче модель обладает некоторой спецификой, и эта модель имеет те или иные дополнительные свойства, которых нет у общей модели Риккати, чем и вызывается всестороннее исследование математических моделей Риккати различных типов.

Результаты диссертации могут быть также использованы при чтении курсов математического моделирования динамических систем, системного анализа, качественной теории динамических систем, теории нелинейных колебаний.

Научная новнзна. Автором разработаны: I) обобщенный метод Канторовича-Блинова исследования математических моделей, описываемых нели-

нейными,дифференциальными уравнениями с .почти периодическими и квазипериодическими коэффициентами;; 2); метод приближенного интегрирования матрично-векторной модели Риккати с квазипериодическими и почти периодическими коэффициентами; 3)? модифицированный метод Канторовича-Блинова исследования математических моделей, описываемых: нелинейными • дифференциальными уравнениями с почти периодическими и квазипериодическими коэффициентами; 4) метод исследования приводимости по Ляпунову линейных моделейх квазипериодическими ■ коэффициентами на исключительных лучах; 5) метод исследования приводимости по Ляпунову линейных моделей с почти периодическими коэффициентами без • дополнительных условий на малые знаменатели;'6) метод нахождения приближенно-аналитического решения матричной модели Риккати, заключающийся в переходе от дифференциальной матричной модели Риккати к дифференциальной матрич-но-векторной модели.Риккати и позволяющий осуществить применение метода Ньютона-Канторовича; Уточнен подход;к численному исследованию матричной модели' Риккати, а также уточнен подход к применению метода Ньютона-Канторовича нахождения установившегося приближенно-аналитического решения матричной модели Риккати,

Получены новые теоремы о существований квазипериодических и почти периодических решений матрично-векторной модели Риккати с квазипериодическими и почти периодическими коэффициентами. Получены новые условия приводимости по Ляпунову математических моделей с почти периодическими коэффициентами. Установлено, что для математической модели, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, на* исключительных лучах происходит чередование приводимости и неприводимости по Ляпунову. ■

Полученные результаты являются оригинальными, они развивают, обобщают или уточняют результаты.отечественных и зарубежных ученых в направлений развития качественных, приближенно-аналитических и численных методов исследования математических моделей динамических систем.

Достоверность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании качественных и численных методов, на сравнении с результатами, полученными с помощью других методов, на обсуждениях на научных семинарах и конференциях. Для теорем даны строгие и корректные доказательства.

В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры дифференциальных уравнений МГУ им. М.В. Ломоносова (2001 г.), на Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 2001 г.), на второй, четвертой и пятой Международных конференциях «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 1996, 2000, 2002 гг.), на семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН (Москва, 2002, 2006 гг.) на семинаре по асимптотическим методам кафедры общей математики МГУ им. М.В.Ломоносова (1999 г.), на семинаре по нелинейному анализу кафедры высшей математики Ленинградского политехнического института (1987, 1990 гг.), на научном семинаре кафедры кибернетики Московского института электроники и математики (2006 г.), на XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии в Российском университете дружбы народов (Москва, 2006 г.), на совместном заседании кафедры математического моделирования, кафедры общей математики и математической физики и кафедры вычислительной математики ТГУ (Тверь, 2006 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1—19], список которых приведен в конце автореферата и среди которых монография, статьи в научных журналах и межвузовских сборниках научных трудов, труды конференций. Десять работ из этого списка опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК России.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 266 страницах машинописного текста и состоит из введения, шести глав,

приложения,,заключения»и списка литературы из, 1.77 наименований, работ.. В дальнейшем будем придерживаться сквозной нумерации формул,.

СОДЕРЖАНИЕ, РАБОТЫ.

Во ВВЕДЕНИИ дается краткий обзор литературы, даны постановки некоторых проблем по теме диссертации,

В первой главе охарактеризованы задачи,, приводящие к математическим моделям Риккати, дана общая характеристика.диссертации<и даны постановки основных проблем решаемых в диссертации.

Вторая; глава посвящена вопросам^ существования квазипериодических решений матрично-векторной модели Риккати с нечетными квазипериодйче-скими коэффициентами.

Приведем основные результаты второй главы. Применение метода Канторовича-Блинова к модели типа Г не позволяет решить задачу отыскания квазипериодических решений, матричной модели типа 1, так как в этом случае предельное пространство перестает наследовать свойства итерируемых пространств. Во второй главе предложена схема, обобщающая итерационный процесс Канторовича-Блинова, применение которой позволило получить квазипериодическое решение модели типа .1 при достаточно малом Л. Особенностью обобщенного итерационного процесса является сбегание индексов итерируемых .пространств (малые знаменатели),-Однако предельное пространство все еще содержит аналитические, в полосе квазипериодические функции. Во второй главе дано обобщение метода Канторовича-Блинова исследования нелинейных матричных моделей с нечетными. почти периодическими коэффициентами [2]. В обобщенном методе Канторовича-Блинова при доказательстве сходимости итерационного процесса используется идея А.Н. Колмогорова вложенных пространств. Однако запас вложенных пространств при разрешении нелинейных матричных моделей существенно превосходит наличие вложенных пространств, естественно появляющихся, при разрешении нелинейных скалярных моделей, 'Эта проблема в диссертации

17

разрешена и показано, что предельное пространство содержит аналитические в полосе квазипериодические функции [2].

Следующая значительная трудность заключается в эффективном построении обратного оператора при разрешении линейного операторной модели на каждом шаге итерационного процесса и нахождении оценки нормы обратного оператора.

Через Фобозначено множество {/l(q(i))} квадратных матриц порядка т, 2/т-периодических по векторному аргументу q-( q ¡, ...,q „ ), аналитических в полосе Jlm^lj<р ('^¡Ц? J +.,.+jjqr J|) и ограниченных в полосе 11шq J<р, где q , = г в + т 11, j = 1,2...., п\ со линейно независимые алгебраические числа числового поля степени v. В Ф введена норма

(<7(0)1= max £ sup la,, (<?(/)) | .

t

а через Ф^"' обозначено пространство ф ' ={г: } с нормой

11-11 =IN + I- ■ Определены пространства четных и нечетных относительно t матриц-функций

,z(«7(i))=-(</(-0)} ,

Через V обозначено множество {E(q(t))} векторов размерности т, 2ж-периодичных по векторному аргументу q- (qx,..., с/„), аналитических в полосе "lm<7]|<p |+...+''(7п ) и ограниченных в полосе ||lmr/||<р, где ц j — i О j + со ,t,j = 1,2,..., л; со j- линейно независимые алгебраические числа числового поля степени f. В Ч^"'1 введена норма

т

||£(?(0),|=S sup | e,{q{t))\.

I i •ч 'с

Опишем обобщенный метод Канторовича-Блинова приближенного интегрирования матричной модели типа 1 [2]. Для этого записывается итераци-

онный процесс Канторовича-Блинова, состоящий из последовательности решений линейных операторных моделей типа 2 порядка т:

ЬтХ 1 аХ1 + Р\Х 1_1)Х = Р{Х 1_1), / = 1.2... . (1)

Каждая операторная модель при помощи соответствующей подстановки сводится к системе, состоящей из линейной операторной модели порядка т-1 и линейной модели, коэффициенты которой зависят от квазипериодического решения матричной модели Риккати. К полученной линейной операторной модели порядка т— 1, вновь применяется соответствующая подстановка и т.д. При повторении подстановки т раз приходим к линейной треугольной системе, коэффициенты которой зависят от квазипериодических решений матричных моделей Риккати, размерность которых равна 1. 2.....т-1. Эту линейную модель можно проинтегрировать и тем самым констатировать существование [£;,'] , где [ /,] является обратным оператором для линейного оператора /. ,. При этом на каждом итерационном шаге возникает проблема существенно малых знаменателей. Однако метод последовательно вложенных пространств позволяет доказать сходимость итерационного процесса к квазипериодическому решению модели типа 1 и существование предельного пространства Ч* аналитических в полосе векторов.

С помощью полученных квазипериодических решений во второй главе доказана приводимость но Ляпунову математической модели типа 3.

Результаты второй главы служат теоретической основой для первого этапа математического моделирования широкого класса динамических систем электродинамики и динамики трубопроводов, в частности, в тех случаях, когда используются нечетные квазипериодические коэффициенты.

Третья глава посвящена разработке методов нахождения квазипериодических решений матрично-векторной модели Риккати с квазипериодическими коэффициентами. В этой главе решена задача нахождения квазипериодических решений математической модели типа 4. Для исследования более слож-

ной, по сравнению с моделью типа ^.матричной модели типа 4 необходима! модификация метода Канторовича-Блинова.

Приведем основные результаты третьей главы. В третьей главе решен вопрос о разрешимости уравнения .

. ... Р(х,е}= О ... (2)

в абстрактном банаховом пространстве Яр-+е, где е > 0 - малое число;

' В пространстве Ф введена норма

И* (0)| = £;«Ф (9(0^'.AtiO))еФ<

' ' .. ' 1 Т* /»IIImil*?.' ,■

Пусть/<(^(0)6^5,"'. Обозначим

. • г

В пространстве .Ч7 введена норма

.........,• , . /,| Ртя\йр ^

Вводятся банаховы пространства Н Рв с.Н где />„>/>.- заданные числа. Пусть» для. любого рМр.<Ра\ .задано банахово пространство ¡1 причем если* р<, р,в[ рщ ,р0 Ь-и; р,>р„ то И . с Н- <=Н сн?п

г 0 . г I "«

Последнее означает,' что для*любой последовательности чисел:{р„} такой, что р„ >р, >...>р„ >...>р „Ч определена последовательность>. [■№ }' вложенных друг в друга банаховых " пространств Н ей' с ...с Я с... с Н .

P^ /><■' Р«

Записывается следующий формальный" процесс Канторовича-Блинова для уравнения (2) -

'

хх = х0-Ь}.1(х0)Р(х0,е),

где л:0- центр шара П, ре[р„,р0], 1<~\(.и) - оператор, обратный оператору Р'(и) , / = 1,2,____Ответ на вопрос о построении решения уравнения (2)

дается в следующем основном утверждении [1 ].

Основное утверждение. Пусть выполнены условия: 1) произвольная фиксированная числовая последовательность {/„) (/ „ >0) образует сходящийся рад; 2) существует линейный оператор £ («)е Л —>•# ^ ^ ], п = 0,1, 2,..., такой, что при всех п>п „ >1, «0 е[2,Л], где А - натуральное число, выполнены неравенства

< £

Г...1

(Х„)Р(Х„,£)

где последовательность {р ,„} определяется следующим образом: р „ >0 -произвольное число, р „ =р „ / ,,0<с<1, 5-2"' 2; 3) при

Ф(«) = - яир зир

- ыеЛ

г И Г г

(и)

' п +1

последовательность {/„} выбрана

так, что при достаточно малом гг>0 существует ¿(¿-) (<>'()->0 при «■->()), для которого при всех п, п = 1, 2,..., выполняется неравенство

£ 2"~' \\ср{п-к)г1 <3 2 .

к -О

Тогда, если в достаточно мало, то решение уравнения (2) представимо в виде

оо

х = х0 + ^(х„ -*„-| ),

где д,б£51,_ удовлетворяют соотношениям (3) при п = 1,2, ... , причем каждое из соотношений сходится по метрике Н. , и х е П,

+ Рт>! -

Показано, что с помощью: применения модифицированного метода Канторовича-Блинова [1] к модели типа 5 эта модель при достаточно малых Л имеет квазипериодическое решение,* исключая, быть может, конечное число лучей по Л на комплексной плоскости, выходящих из начала координат [4].

Для разрешимости операторной * модели типа б относительно вектора X проведена ее редукция. Пусть Л^ не лежит.на исключительных лучах, опреде-. ляемыхуравнениями Re(orу;., k-l,2,...,s, s<h, а*0, а - нату-

ральные числа. С помощью подстановки ,Х-М = К'"+Z ,y,tU> , где

- /-мерные векторы, модель типа б приводится к

модели

: (у '**''V f ^'"'Л L,(u,Z„...,Z,.,)Y*AQ , ■ } \ I * б64"",'

где s < И - натуральное число. Если для каждого /1; 2,..., .у—1 существует квазипериодическое решение Z/модели типа 4

¿l+ZigtO)ZjHAlQffl(t))Zl+All(t)«Q, где Z,- /-мерные неизвестные векторы, dlag(/a [(..../а р, /, еЧ7 J,0, гТеЧ'^./^Ч' <,", р> о, I" Ii 2;..., j-1, Л - малый параметр, то для линейного оператора L, (u,Z, ,,..,Z) существует обратный оператор

всюду, за исключением конечного числа лучей, причем

Uf 1»'"N(h\v„n-,уП......;; •••••

N > 1 не зависит от Я; п -> п j, и v,, v, п определены выше, г=rnax{ г, }. Для

модели типа 4 записывается итерационный процесс Канторовича-Блинова, состоящий из последовательности решений модели типа б.

Модель типа б можно разрешить, применяя вышеуказанную редукцию на ■ каждом итерационном шаге, При разрешении модели типа б на каждом шаге возникает проблема ограниченности обратного, оператора X"1 для оператора ¿. Эта проблема вызвана появлением малых знаменателей при интегрирова-

22

нии квазипериодических функций. Особенностью данного итерационного процесса является появление после второго шага при интегрировании квазипериодических функций средних вида â=ifi+a г Л ' +£(Л)Л "', где г>0. Если Re(ct г Лг то задача усложняется тем, что в оценке нормы оператора L'1 появляются дроби с|Я|"г, где г> 0 - целое число, с - постоянная, Л -малый комплексный параметр. Для преодоления возникающих трудностей применяется метод последовательно вложенных метрических пространств Фр'* с метрикой, зависящей от номера шага, как от параметра. Тем самым,

получена ограниченность обратного оператора L'1 на каждом шаге, но с растущей нормой, в зависимости от номера шага. В силу этого показано, что модель типа б имеет квазипериодические решения всюду, за исключением конечного числа лучей. В силу основного утверждения множитель с|Л|"г не влияет на сходимость итерационного процесса к квазипериодическому решению модели типа б всюду, за исключением конечного числа лучей.

С помощью квазипериодических решений модели типа 4 доказана приводимость по Ляпунову всюду, за исключением конечного числа лучей, модели типа 7. Результаты третьей главы позволяют проводить исследования моделей при решении задачи нахождения коэффициента отражения электромагнитной и акустической волн, задачи определения входного импеданса системы трубопроводов, находящихся под давлением, задачи определения матричного коэффициента отражения линии электропередачи.

Четвертая глава посвящена разработке методов нахождения почти периодических решений нелинейных дифференциальных моделей и получению условий приводимости соответствующих линейных дифференциальных моделей с почти периодическими коэффициентами. В четвертой главе результаты второй и третьей глав распространяются на модели, описываемые дифференциальными уравнениями с существенно почти периодическими коэффициентами—функциями с бесконечным базисом частот (модели типов 9-14).

Приведем основные результаты четвертой главы. Через Nобо-

значено множество' {Р(1,Л)} квадратных ' матриц порядка т, ¡ пред-ставимых . в виде Я(/,Л)в2]>»(/,Л)ехр(;М), где /%(/)=

" 2 ' ' ' /"¿"^.«„„[«Kp.í»» Í«»й» .с*,-)«]'-- • матричный'-'три-

> .......... '

гонометрический полином,, Р .....„ >т - постоянные квадратные матрицы

порядкам ту-0■„...,a n(t¡ - конечный, но зависящий, от к \ базис частот

тригонометрического полинома Р & комплексный параметр,

* № •

21| Рк||ехр(кЛ) < оо ■ при КсЛ<р\р>0 . Предполагается, что последовательность {й>} состоит из вещественных чисел,'которые в любой конечной совокупности линейно, независимы, над' рациональным полем или, быть может, последовательность,^,} обрывается. Пусть п(к), N(k) - неубывающие положительные функции натурального аргумента А, причем п(к) принимает лишь натуральные значения,, a N(k) обладает, свойством N(k)kN(kr()+

' ЛГ(0) -0, где 1 á/á/fcv Ь'И '-""введена норма-\\P(f,A)||?máxg.sup^/^^(/»-Д )J. через Ч< обозначено множество1 {Q(/, Я)} векторов размерности т, пред-

Р ' ' ' ' . • - ' -. , •

' '' • - ' «а .... ,

ставимых в виде !2('iÁ)H5jgj. (/)exp(A A),'где ' " !

..... - . . t.Oft . .... . . . . ■ . , • . ' .. ...

в-ио- , .Б: . ' Cm?,i..'.»,,«,I^P*-*т»(*)®w>')''i4''•

Ó ,

....../и,,,,,. .постоянные векторы;

<у,,,..,й>л(1)-базис частот тригонометрического полинома Q t (/), Л- комп-

ео '

лексный.параметр;.2112*||схр(ЛЯ) <оо При RcA<p; ||ß (0¡=XsuPk

кя 1 ■ ■ , i t- '' ■

Пусть п(к), N(k) - неубывающие положительные функции натурального аргумента к, причем и(Л) принимает'лишь натуральные значения, a N(k) обладает свойством //(Ä)äiV(it-/)+A^(7), N(0) где 1 kl ¿к.

( \ т I 1

В пространстве Ч^"1' введена норма <\Q{t, Я)|| = £ sup \q At, Л) . Для

р j~i Rc Я< р, г J ' записи векторов <7(i,A)elFв координатной форме использованы обозначения q{t,A)={q, (t,A),...,q т (i,/l)}; строчные матрицы записаны в виде .....q„{t,A)).

Введенные множества очевидно, зависят не только от р, но

еще от п(к), N(k), {&>,}. Для простоты обозначений эта зависимость не выделяется. В то же время предполагается, что для всех функций из пространств И Л1 величины п{к), N{k) и 'и,) фиксированы. Любой числовой последовательности {р „ }:р „>/>,>...> р „ соответствует последовательность вложенных друг в друга банаховых пространств Н с Н c...czH

Пусть <£>(k)=(2N(k)+\) "(А) ( min \m.eo . + ... + тпШа) „,J)"', где

п(к), N(k) - функции натурального аргумента, {со,} - базис частот Нт, -целые числа. Предполагается, что

lim [Ф(£)]1Д = 1. (4)

к -»со

Введены пространства четных и нечетных относительно t матриц и векторов:

нучж^pit,Л) = (-/,Я)}, Ф'/',

)е H™:p(t,A ) = -/*-/, Л )}, Ф';0-

В пространствах Ч* Jf" и ^ введены открытые шары Q , Q J;", центры которых расположены в точке л „ = 0 и радиусы равны It

Применение модифицированного итерационного процесса Канторовича-Блинова для почти периодического случая стало возможным, благодаря новым оценкам оператора интегрирования почти периодической функции, при

выполнении'условия (4).-Пусть' £(/(/,'Л) =■ ¡/(¡,Л)(11> Тогда

Ц/О.Л))в$У1; (,р-У>0);с и справедливо неравенство \L\zMr', где г зависит от у . Весьма актуальной является проблема: всегда ли приводима по Ляпунову линейная математическая модель типа 8? С помощью полученных'почти периодических решений модели типа 9 доказана приводимость модели по Ляпунову при достаточно малых г[б]. При доказательстве существования почти периодических решений модели типа 9 применено обобщение итерационного процесса Канторовича-Блинова. Это применение стало возможным лишь после нахождения новых оценок норм операторов интегрирования [б]. При этом удалось избежать дополнительных условий на малые знаменатели^ кроме условия рациональной несоизмеримости частот, что является необходимым условием во всех задачах подобного рода., С помощью применения модификации итерационного процесса Канторовича-Блинова к модели типа 9 показано, что эта модель имеет бесконечное множество почти периодических решений при достаточно малой норме || 1((,Л) \\Рь ,

Почти-периодическое решение модели типа 9 найдено конструктивным путем, как предел последовательности решений линейных операторных моделей типа 10. При этом возник вопрос: при каких условиях математическая модель типа 10 разрешима относительно й? •

Для решения этого вопроса проведена редукция модели типа 10; При помощи подстановок вида Xш<0 , х =у!Н , /=1,2,..„от-1,, опера! ■ . ■ ' ' ' торная модель типа 10 I „ (и)Х-Р приводится к операторной модели вида

где т < И - натуральное число. Если для каждого / "1,2,..,, т-\ существует почти периодическое решение 2, матричной модели типа 9,

■ ' • ',.+/', ъ;+/¿о-,- ■

то для линейного оператора Л „(и,^, ,,..,Л существует обратный опера-

тор £ ~\и,г 2 „_,), причем \\1.~*\\<М(г,\\г ,\\,т)г" , где М> 1 не зависит от т; г - вещественное число.

С помощью указанной редукции на каждом шаге итерационного процесса показано, что итерационный процесс сходится и модель типа 9 имеет почти периодическое решение Д'еП',"1 при достаточно малой || /(/, Л)!],,,. Полученные почти периодические решения модели типа 9 дали возможность доказать приводимость по Ляпунову линейной модели типа 8 к линейной модели вида ¿ = 0. Показано, что при достаточно малых // модель типа 12 имеет почти периодические решения, исключая, быть может, конечное число лучей на комплексной плоскости [10]. Модификация метода Канторовича—Блинова применена и к модели типа 13. При этом для доказательства существования почти периодических решений модели типа 13 изучен вопрос о разрешимости модели типа 12.

С помощью редукции модели типа 12 показана разрешимость линейной математической модели относительно X. Для доказательства существования почти периодического решения модели типа 13 рассмотрен итерационный процесс, состоящий из линейных операторных моделей:

=0,

1-т X, =Х1+Р'{Х,_1) X, = /•■ ( ) ,

Здесь X, — /и-мерные искомые векторы, Р(Х, где Р ,),

1-1,2,..., F^(X) - производная Фреше оператора Р. Применением редукции к каждой операторной модели удалось разрешить все итерационные уравнения, преодолевая на каждом шаге проблему неограниченности обратного оператора /.. Нетрудно проверить, что

Пусть ^ - Тогда справедлива оценка [4, б]:

' .Л/-(г>¡1 , 1"-3',,

'•'"С помощью этой "оценки доказана , сходимость модифицированного процесса Канторовича-Блинова. Такимобразом, в силу основного утверждения* при достаточно малых я возможно, исключая конечное число лучей; существует почти |периодическое ¿решение Л"еП*,™'. модели типа 13: Поскольку. Л-(/ 0)=0 для любых < 0, то таких решений бесконечно много. Следовательно, ; модель типа 11 приводима по Ляпунову.1 всюду, за исключением конечного ' числа лучей,' "• • ••• : • ■ . . : . .

Таким образом, при .наличии соответствующих оценок норм операторов интегрирования задачи с конечным и бесконечным спектром частот однообразны и неразличимы и соответствующие математические модели можно исследовать одними и теми же методами. . •• . ■ . г. . .1 '"•'■ Результаты четвертой главы позволяют исследовать приводимость по Ля-'пуяову моделей типов 8,11 на основе редукции,исходных линейных дифференциальных моделей к линейным моделям с постоянными коэффициентами без наложения дополнительных условий на малые знаменатели; Полученные результаты могут быть применены'Для нахождения коэффициента волнового отражения, матричного входного сопротивления линии электропередачи, входного импеданса системы трубопроводов, находящихся под давлением.

В пятой главе исследуется> поведение решений»математической модели типа 7,* описываемой системой дифференциальных уравнений второго порядка на исключительных лучах; Показано, что на исключительных лучах математической модели происходит чередование приводимости и неприводимости по Ляпунову. . • - - /

Приведем основные результаты пятой главыгРассмотрена модель типа 7:

Х*Р(()Х - ' " : (5)

где

(-1Р О

Р(° = 1 I ва(,.А,Г

а({,А)= ¿А """ ехр{/7(ла>-ш)}е Я „(«>,!) , р е(0,1) .

п,т~ I

е — вещественный параметр. Пусть ©6(0,1) - алгебраическое число, р - вещественное иррациональное число, несоизмеримое с в> над рациональным полем. Доказано, что можно указать такую функцию а(/,Я)еЯ(,((ы,1), /?е(0,1), что модель (5) обладает свойством: существуют два непересекающихся множества Е, Nс:(0,со), всюду плотные на вещественном луче (0,оо), такие, что при любом е е£ модель (5) приводима, а при любом ее N модель (5) неприводима по Ляпунову [3].

Обобщение этого факта, доказанное в [8], дало положительный ответ на вопрос о существовании областей, свободных от приводимости [8].

А именно, рассмотрена модель типа 7

АТ = (Р0 + гг/Ч7,Я))*, (6)

где ,.т г}- искомый вектор, Р о = сНа§ {р \ 2 }, Ке{р ! - р 2 } = 0>

ОО

X ^ ехр{г'Г(исо-/и)}еЯг, г-малый комплексный параметр. п,т = 1

Пусть ее (0, 1) - алгебраическое число, р — алгебраическое число, несоизмеримое с о) над рациональным полем, г > 0. Доказано, что математическая модель (6) обладает следующим свойством: на исключительных лучах существуют два непересекающихся множества Е и Б такие, что при е б Е математическая модель (6) будет приводима по Ляпунову, а при еей математическая модель (6) будет неприводима по Ляпунову [9].

Результаты пятой главы позволяют получить важную информацию о качественном поведении математической модели в случаях, когда фазовые переменные модели принадлежат области неприводимости по Ляпунову и, тем

29

самым, дают информацию о невозможности упрощения модели в этом случае, Результаты пятой главы можно использовать и при изучении зон неустойчивости уравнения Шрёдингера с квазипериодическим потенциалом.

Шестая глава посвящена усовершенствованию и модификациям приближенно-аналитических ¡ичисленных методов исследования моделей Риккати, В главе рассмотрена возможность применения к моделям Риккати некоторых общих приближенно-аналитических методов исследования нелинейных моделей, В главе предложены некоторые, модификации и усовершенствования приближенно-аналитических методов исследования моделей Риккати.

Приведем основные результаты шестой главы, Разработан метод приближенного интегрирования матрично-векторной модели Риккати

£tX-gítW+f (t) X+l (О'»0.. , (7)

где, *(ОГ?б¥(т>;/,(/),бФ, / (?);еЧ> <"" . . Здесь через Ф «"> обозначено множество {Л(/)} квадратных матриц-функций порядка т, непрерывно дифференцируемых на* отрезке [0, а]; в Ф*"' введена норма

т ■

||/í(í)j|?= rnax52sup|a/y(r)| j через обозначено множество {#(/)} вектор' /«г '

функций размерности от, непрерывно дифференцируемых на отрезке [0, я] и

i \ ■ ' обращающихся в нуль при / 0; в lF введена норма ¡ E(t) ^s»p| е, (í)| .■

i,i , i

С помощью, непрерывного. аналога метода Ньютона-Канторовича noxá-зано, что итерационный процесс, состоящий из решений линейных операторных дифференциальных моделей, сходится к решению модели (7) при А-(/0)=0 [12].

Рассмотрен.метод определения установившегося решения матричной модели Риккати, заключающийся в определении неотрицательно определенной симметричной матрицы Р , которая удовлетворяет уравнению F(P)^0.

Существующий подходок, определению установившегося решения мат-

ротной модели Риккати состоял в составлении итерационного процесса из систем линейных матричных моделей и нахождении последовательности решений систем матричных моделей. При этом оставался открытым вопрос о нахождении производной оператора, без которого говорить о сходимости итерационного процесса не имеет смысла.

В шестой главе предложена схема построения соответствующего итерационного процесса Ньютона-Канторовича, позволяющая находить установившееся решение матричной модели Риккати и конструктивно отличающаяся от существующих. Эта схема заключается в том, что матричная модель Риккати заменяется нелинейной матрично-векторной моделью, что позволяет применить метод Ньютона—Канторовича.

Обобщение этого подхода позволило находить приближенно-аналитическое и численное решение модели типа 15. Численное решение модели типа 15 находится методом Рунге-Кутта. Этот подход является модификацией метода численного решения матричного уравнения Риккати, предложенного Калманом.

Результаты шестой главы позволяют находить решение широкого круга задач оптимального управления, в частности, в случаях, когда управляющий параметр зависит от решения матричной модели Риккати. Разработанные в главе приближенно-аналитические методы можно применять для решения краевых задач теории теплопроводности и диффузии.

ПРИЛОЖЕНИЕ диссертации посвяшено нахождению коэффициента отражения. Оно содержит графики решений модели Риккати для различных значений коэффициентов модели. Приложение иллюстрирует применение приближенно-аналитических методов для нахождения коэффициента отражения электромагнитной волны.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ диссертации перечислены основные результаты, сформулированы некоторые нерешенные задачи и перспективные направления исследования, связанные с темой диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Граф взаимосвязи математических моделей типов 1-16 позволяет основные результаты диссертации упорядочить на четыре группы результатов, •

Первая группа результатов. Обобщение-метода Канторовича-Блинова исследования нелинейных матричных'моделей типов 1,4,: 9,! 13,15,16. Модификация метода Канторовича-Блинова исследования нелинейных матричных моделей типов 4; 5, 12, 13. Модификация и совершенствование стандартных численных методов интегрирования путем представления матричной модели: Риккатив виде п систем нелинейных дифференциальных матричных уравнений первого порядка с использованием модификации метода Рунге-Кутта." Разработка приближенного метода решения модели типа, 15 методом Ньютона-Канторовича. Модификация л метода > Калмана-Энглара и. уточнение • численного метода< решения модели типа 15 методом! Рунге-Кутта; Уточнение. метода-Ньютона-Канторовича определенияустановившегося решения модели типа1б. ' • . ;

Вторая группа результатов. Конструктивное доказательство существования квазипериодических? и почти периодических/ движений в моделях .типов 1,4, 5,9,12,13. Разработка конструктивных методов приближенного интегрирования моделей типов Ц 4; 5,9,* 12;, 13;

Третья группа результатов; Доказательство существования квазипериодических и почти периодических движений в математических моделях типов 2; б, 10; 14.' Разработка приближенно-аналитических методов исследования моделей типов 2; 6; 10,* 14. , .

■ Четвертая группа результатов. Разработка нового подхода исследования приводимости по Ляпунову моделей типов 8,11. Исследование приводимости по Ляпунову моделей типов 3, 7 к математическим^оделям, описываемым линейными : системами дифференциальных ■ уравнений ■ с • постоянными коэффициентами. Разработка нового метода исследования. приводимости по Ляпунову моделей типа 7 на исключительных лучах.*. ,

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Пронькин B.C. Приближенно-аналитические и численные методы исследования математических моделей Риккати. Монография. М.: РУДН, 2006. 96 с.

2. Пронькин B.C. Применение метода Ньютона к одной задаче с малыми знаменателями// Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 6. С. 979-986.

3. Пронькин B.C. Об исчезновении явления приводимости у систем с квазипериодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1989. 'Г.25. № 6. С. 1073-1075.

4. Пронькин B.C. О существовании квазипериодического решения нелинейного дифференциального уравнения// Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 8. С. 1339-1346.

5. Пронькин B.C. О квазипериодических решениях матричного уравнения Риккати// Изв. РАН. Сер. Матем. 1993. Т. 57. № 6. С. 64-82.

6. Пронькин B.C. О почти периодических решениях матричного уравнения Риккати// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 34. № 6. С. 755-763.

7. Пронькин B.C. О приводимости по Ляпунову на исключительных лучах // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 5. С. 672-678.

8. Пронькин B.C. О почти периодических решениях уравнения Риккати // Известия РАЕН. Дифференц. уравнения. 2001. № 5. С. 144—146.

9. Пронькин B.C. О приводимости по Ляпунову систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. №12. С. 1323.

10. Пронькин B.C. Приближенное интегрирование одного матричного уравнения Риккати // Труды ин-та системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. Вып. 9(2). 2005. С. 48-57.

11. Пронькин В. С. Приводимость одного класса линейных систем // Труды Средневолжского матем. общества. 1999. Т. 2. № 1. С. 108-110.

12; Лронькин B.C. О приводимостй по Ляпунову систем с почти периодическими коэффициентами // Труды Средневолжского матем. общества, 2002, Т. 2;№'1, С. 20-26; ,

13. Лронькин B.C. О существовании квазипериодического решения инженерной задачи, описываемой нелинейным векторным уравнением// Прикладные задачи строительной механики и высшей математики. М.: Издание военно-инженерной академии, 1983.С.115-120,

14. Лронькин В,С.: О системах,, приводимых по Ляпунову,// Прикладные задачи строительной механики и высшей математики, М,: Издание: военно-инженерной академии,, 1986. С, 47г-49., .. , ,,

, -. 15; Лронькин B.C. О почти периодических решениях нелинейного дифференциального уравнения^' нечетными почти периодическими коэффициентами//,,Труды. международнойконф.по_ дифференц. уравнениям, Саранск: Изд-во Мордовского госуниверситета, 1996. С. 109. .,,..,

. 16. Лронькин B.C. О почти периодических решениях нелинейного дифференциального уравнения //;• Методология и история - математики., Сб., научн. трудов. Т. 2.; СПб.: Ленинградский гос., обл. ун-т: им. A.C. Пушкина,- 2000. с; 121-131. ■ . . . .

. .. 17. Лронькин В, С..О* су шествовании почти периодических движений ^ в. математических моделях, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями //¡Труды ХЫПВсероссийской конф„по проблемам математики, 'инф9рматаки,<фюйки.ихимии<,М,: РУда,200б;.С.'72."..1...

Лронькин B.C. О новом.подходе к численному, решениюматричного уравнения Риккати // Качественное. и численное исследование; математических моделей динамических систем. Межвузовский ,сб.; научн,, трудов, М.: РГОТУПС, 2006.С.26^-28; .;,„;■// ,■.. .... '..,.'• ; „

\9. ЛронькинJ3.С..Модификация мстода,Ньютон^Канторовича!нахождс-ниям', решения матричного уравнения« Риккати.//{Качественное исчисленное исследование математических моделей динамических систем. Межвузовский;, сб/научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2006; С. 79-^81;

Технический редактор Н.М. Петрив Подписано в печать 22.11.2006. Формат 60 х 84 Бумага типографская № 1. Печать офсетная. Усл.печл. 2,25. Тираж 100 экз. Заказ №791. Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: Россия, 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63.

ВВЕДЕНИЕ.7.

ГЛАВА

КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ И ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ПРОБЛЕМ.

§1.1 Задачи физического и технического характера, приводящие к моделям

Риккати.

§ 1.2 Общая характеристика диссертации.

ГЛАВА

СУЩЕСТВОВАНИЕ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ МАТРИЧ-НО- ВЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ РИККАТИ С НЕЧЁТНЫМИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

§2.1 Обобщение метода Блинова- Канторовича.

1. Свойства линейных операторов в банаховых пространствах.

2. Основная теорема.

§ 2.2 Вспомогательные утверждения.

1. Основные понятия.

2. Оценки норм линейных операторов.

§ 2.3 Разрешимость одной операторной модели.

1. Разрешимость операторной модели вида 12(и)х=Р(д(0).

2. Норма одного линейного оператора.

3. Разрешимость операторной модели типа2.

§ 2.4. Приводимость по Ляпунову модели типа 3.

1. Применение обобщенного метода Канторовича-Блинова к доказательству существования квазипериодического решения модели типа 1.

2. Приводимость модели типа 3 по Ляпунову.

ГЛАВА

КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МАТРИЧНО

ВЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ РИККАТИ.

§ 3.1 Модификации метода Канторовича-Блинова.

1. Основные понятия.

2. Сходимость метода Канторовича-Блинова.

§3.2. Существование квазипериодических решений нелинейной дифферен циальной модели.

1. Некоторые утверждения.

2. Свойства некоторых линейных операторов и оценки их норм.

3. Квазипериодические решения одной нелинейной модели.

4. Квазипериодическое решение модели Риккати.

§3.3. Существование квазипериодических решений одной матрично - век торной модели Риккати.

1. Разрешимость модели типа 6.

2. Квазипериодические решения матрично-векторной модели Риккати

§3.4 Приводимость по Ляпунову модели типа 7.

ГЛАВА

ПОЧТИ - ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ В ПРОБЛЕМЕ ПРИВОДИМОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ.

§ 4.1 Приводимость по Ляпунову модели типа 11.

1. Об одном классе почти- периодических функций.

2. Оценки норм некоторых линейных операторов.

3. Почти - периодические решения модели типа 12.

4. Разрешимость модели типа 10.

5. Почти - периодические решения матричной модели типа 9.

6. Приводимость по Ляпунову модели типа 8.

§ 4.2. Приводимость по Ляпунову моделей типа 11.

1. Некоторые свойства линейных операторов и оценки их норм.

2. Почти периодические решения модели типа 12.

3. Разрешимость одного модели типа 14.

4. Почти периодические решения модели типа 13.

5. Приводимость по Ляпунову модели типа 11.

ГЛАВА

ПРИВОДИМОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПО ЛЯПУНОВУ

НА ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ ЛУЧАХ.

§5.1. Интегрируемый случай.

1. Вспомогательные утверждения.

2. Приводимость по Ляпунову модели с треугольной матрицей.

§ 5.2. Неинтегрируемый случай.!.

1. Фундаментальная матрица решений одной линейной дифференциальной модели.

2. Квазипериодическое решение скалярной модели Риккати.

3. Приводимость по Ляпунову на исключительных лучах.

ГЛАВА

ПРИБЛИЖЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ МОДЕЛЕЙ РИККАТИ.

§6.1. Приближенно-аналитические методы решения моделей Риккати.

1. Метод Ньютона-Канторовича.

2. Решение модели Риккати методом квазилинеаризации.

§ 6.2. Модификации и усовершенствования некоторых методов решения моделей Риккати.

1. Приближенное интегрирование одной матричной модели Риккати.

2. Определение установившегося решения матричной модели Риккати с постоянными параметрами.

3. Численно-аналитическое решение матричной модели Риккати.

Диссертация посвящена исследованию и конструктивному нахождению непрерывных, в том числе почти периодических, решений математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с непрерывными и почти периодическими коэффициентами и их некоторым приложениям. Исследование математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами представляет собой весьма сложную проблему. Но использование почти периодических коэффициентов, в описании модели, не является самоцелью. Известно, что важне-ейшим требованием к математической модели является требование адекватности (правильного соответствия) изучаемому реальному объекту относительно выбранной системы его свойств. Для достижения этого требования и вводятся почти периодические и квазипериодические функции, позволяющие осуществить правильное количественное описание свойств объекта с разумной степенью точности. Исследование математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами представляет собой далеко не завершенную проблему, поэтому и приобретают большую важность применяемые к указанным моделям методы их исследования. Общие принципы моделирования динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами пока не разработаны. Одним из важнейших методов исследования линейных дифференциальных моделей с почти периодическими коэффициентами является исследование приводимости по Ляпунову. Приводимость по Ляпунову позволяет выявить структуру фундаментальной матрицы решений исследуемой модели. Кроме того, в зависимости от выбора метода исследования, позволяет не только установить качественные характеристики выбранной модели, но и провести исследования других математических моделей с почти периодическими коэффициентами, в том числе и нелинейные многомерные математические модели.

Определение почти периодических функций и их общая теория изложены, например в [61,62].

Каждой почти периодической функции можно отнести ряд Фурье оо п-1 где Ап - коэффициенты Фурье, а Л„- показатели Фурье. т

Если где 0)1,.0)п рационально независимы, то

-1 (х) называется квазипериодической или условно- периодической, а совокупность чисел о)=(й).,й) я) - называется частотным базисом или спектром частот квазипериодической функции.

Таким образом, квазипериодические функции можно рассматривать как частный случай почти периодических функций, спектр частот которых конечен

Рассмотрим модель, описываемую системой линейных дифференциальных уравнений вида х=Р(ОХ , * (1) где Д0-{р,7(0} переменная матрица порядка п. Модель (1) называют приводимой по Ляпунову, если существует неособенное преобразование

Х = С(ОГ , (2) приводящее (1) в линейную модель вида

У = ВУ где В- постоянная матрица.

Проблема приводимости по Ляпунову моделей вида (1) с почти периодическими коэффициентами впервые была поставлена в [42] Н.П. Еругиным.

Там же были высказаны необходимые и достаточные условия приводимости.

При этом следует отметить, что задача приводимости почти периодических моделей оказалась совсем нетривиальной. Более того, здесь, почти всегда гарантирован отрицательный ответ, если не наложить специальных требований на коэффициенты модели (1). Это связано, в основном, с незамкнутостью класса почти периодических функций с нулевым средним значением относительно операции интегрирования и появления так называемых «малых знаменателей».

При исследовании приводимости по Ляпунову линейных моделей вида (1) в [42.2)] была выявлена связь с приводимостью по Ляпунову и существованием ограниченного решения г модели Риккати вида

Т = Г( р22 о)-Рп (0) - г2 рп (0+ Рп (0 .

Исследование решений скалярных, а тем более матричных моделей Риккати носит и самостоятельный интерес. В задачах математической и теоретической физики, теории управления, естественным образом возникают вопросы исследования решений нелинейных математических моделей, среди которых важное место занимает модель Риккати.

При этом весьма актуальной является проблема интегрирования нелинейных дифференциальных математических моделей.

Нелинейные модели с почти периодическими коэффициентами изучались многими учеными. Среди них следует выделить: а) исследования, в которых проблема малых знаменателей не возникала ( см. работы [22,35,42,46,56,61,62] и их библиографии) б) нелинейные модели с малыми знаменателями.

Работы как первой, так и второй группы в литературе представлены достаточно полно.

Впервые проблема малых знаменателей возникла при исследовании решений в моделях, описываемых системами дифференциальных уравнений в знаменитых мемуарах Анри Пуанкаре по небесной механике.

Основные идеи, которые позволили в последующем получить положительные результаты, были выдвинуты К, Л. Зигелем и А. Н. Колмогоровым

45,55]. Они состояли во- первых в том, что малые знаменатели для большинства (по мере Лебега) частот удовлетворяют некоторым оценкам, во-вторых, в отказе от обычных рядов по степеням малого параметра при построении решений, применение нового итерационного процесса, основанного на последовательной замене переменных и обладающего ускоренной сходимостью.

Исследования моделей с малыми знаменателями в духе идей, высказанных выше, получили развитие и в нашей стране, и за рубежом. В первую очередь это вызвано двумя аспектами проблемы малых знаменателей.

Первый аспект, сугубо практический, состоит в непосредственном исследовании реальных планетных и спутниковых систем, в которых наблюдаются резонансные соотношения. Цель этих исследований заключается в построении таких приближенных решений уравнений движения, которые удовлетворяют астрономов- практиков. Для этого пришлось разрабатывать специальные методы, берущие своё начало в исследованиях Пуанкаре [83].

Поскольку « резонансные явления » встречаются не только в задачах небесной механики, но и строительной механике, в радиотехнике, физике, нелинейной механике, то вопрос о методах исследования малых знаменателей представляет большой интерес и далеко выходит за пределы какой- либо одной из выше названных наук.

К теоретическому аспекту проблемы малых знаменателей следует отнести: а) качественный анализ решений в математических моделях, описываемых дифференциальными уравнениями, при интегрировании которых появляются малые знаменатели. б) построение рядов, которые сходятся на неограниченном интервале времени.

К большому сожалению, оба аспекта проблемы далеки до завершения.

Остановимся на некоторых результатах, сыгравших важную роль в дальнейшем продвижении исследований.

Прежде всего отметим работы В.И. Арнольда [3]. Им были разработаны новые разновидности метода А.Н. Колмогорова и получены интересные результаты по теории гамильтоновых систем, относящиеся к так называемым вырожденным случаям.

Ю. Мозер [72] распространил методы и идеи А.Н. Колмогорова на случай моделей с дифференцируемыми конечное число раз ( а не с аналитическими правыми частями). Ему удалось получить ряд результатов весьма общего характера при нахождении квазипериодических решений неканонических моделей.

Большой вклад в исследования малых знаменателей внесли работы H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, А. Н. Самойленко [12-14] , в которых рассматривались методы ускоренной сходимости в нелинейных моделях механики. К указанным исследованиям относится и работа [9]. В последнее время появился ряд учебников, монографий и обзоров, посвященный дальнейшему изучению данной проблемы [19,30-34,36,53,78,89-90,97,126,130133].

Кратко остановимся на исследовании почти периодических решений модели Риккати.

Гельман в [27] вводит аппарат соответственно мажорантных рядов, который позволяет оценить коэффициенты ряда Фурье для квазипериодического решения скалярной модели Риккати i=a{j) + br +c(t)r2 , (3) где а (t), с (t) - квазипериодические функции, удовлетворяющие некоторым ограничениям, Ъ- постоянная, Re Ъ ф 0 .

Адрианова [1] распространила этот аппарат на матрично-векторные модели Риккати с квазипериодическими коэффициентами, на которые наложены аналогичные [ 27 ] ограничения.

Если в модели (3) взять в качестве коэффициентов только нечётные функции, рассмотренные в [3.1)] Арнольдом, то метод уже соответственно мажорантных рядов уже не позволяет находить квазипериодические решения модели Риккати, так как сходимость соответствующих рядов доказать не удаётся.

В [11.1)] рассматривается математическая модель, описываемая нелинейным дифференциальным уравнением вида x + F(x,t) + f(q(t)) = 0 , (4) где F(x,t) = Yjfk > / >fk~ нечётные квазипериодические функции из класса функций, рассмотренных в [3.1)], |/| - достаточно мала.

Существование бесконечного числа квазипериодических решений модели (4) удаётся получить с помощью обобщённого метода Ньютона- Канторови-ча[11.1)]. Обобщение заключалось в применении идеи Колмогорова вложенных пространств.

Как известно, при интегрировании квазипериодических функций появляются малые знаменатели. В работах [1], [27] проблема малых знаменателей возникает на последнем шаге. В случае же работы [11.1)] на каждом из последовательных шагов возникает проблема неограниченности операторов.

Эту ситуацию, в отличие от ситуации в работах [ 1],[27] уместно назвать проблемой существенно малых знаменателей.

Для преодоления возникающих трудностей применяется метод последовательно вложенных метрических пространств с метрикой, зависящей от номера шага как параметра.

Применяя метод последовательно вложенных друг в друга пространств, удаётся сделать оператор ограниченном на каждом шаге и с растущей нормой в зависимости от номера шага.

Рассмотрим матрично-векторную модель Риккати вида:

P(X,q(0) =Х + Xg{q{t))X + f{q {t))X + / (q (t)) = 0 , (5) где gr(q(t)),f(q(t)),l(q(t))~ матрицы, элементы которых нечётные квазипериодические функции, рассмотренные в [3.1)], Х - т- мерный неизвестный вектор.

Применение метода Ньютона, в том виде как он применяется в [11.1)], не позволяет решить задачу отыскания квазипериодических решений модели (5), так как в этом случае предельное пространство перестаёт наследовать свойства итерируемых пространств.

В [2*] была предложена схема, обобщающая итерационный процесс Ньютона [11.1)], применение которой позволили получить квазипериодическое решение модели (5) при достаточно малой || /)) ||

Особенностью итерационного процесса [2*] является сбегание индексов итерируемых пространств (малые знаменатели). Однако предельное пространство всё ещё содержит аналитические в полосе квазипериодические функции.

Кратко рассмотрим метод приближённого интегрирования матрично-векторной модели Риккати, предложенный в [2*]. Для этого записываем итерационный процесс Ньютона, состоящий из последовательности решений линейных операторных моделей порядка т:

4 ^ X, + Р'{Х,х )Х = Р(ХМ) , /=1,2 .

Каждую операторную модель при помощи соответствующей подстановки сведём к модели , состоящей из линейного операторной модели порядка т-1 и линейной модели, коэффициенты которой зависят от квазипериодического решения матричной модели Риккати.

К полученной линейной операторной модели порядка т-1 вновь применяем соответствующую подстановку и т. д. Повторяя подстановку т раз, мы приходим к линейной треугольной модели, коэффициенты которой зависят от квазипериодических решений матричных моделей Риккати, размерность которых равна 1,2,т-1. Эту линейную модель можно проинтегрировать и тем самым констатировать существование [ Ь'1 т ]. При этом, на каждом итерационном шаге мы сталкиваемся с проблемой существенно малых знаменателей. Однако, применяя метод последовательно-вложенных пространств, удаётся доказать сходимость итерационного процесса к квазипериодическому решению матричной модели Риккати и существование предельного про

Щ («) странства т аналитических в полосе векторов.

Используя полученные квазипериодические решения, можно доказать приводимость по Ляпунову модели с нечетными квазипериодическими коэффициентами

X=ÄP(q(t))X , (6) где Л- достаточно малый параметр, Р ( q (t) )- матрица порядка ту элементы которой - нечётные функции, введённые в [3. 1)].

Рассмотрим модель, описываемую уравнением вида:

Х=(Р0+ ЛРЦ))Х, (7) где Р (t)- квадратная матрица порядка т, элементы которой - квазипериодические функции; Х- вектор, размерности ш, Л- малый параметр.

Задача приводимости линейной дифференциальной модели (7) при различных предположениях рассматривалась в работах В.И. Арнольда [ 3],

A.Е. Гельмана [27], Л.Я. Адриановой [1] И.Н. Блинова [11.1)], А.Д.Брюно [20], H.H. Боголюбова Ю.А.Митропольского, А.И.Самойленко [14,71],

B.М.Миллионщикова [70] и других авторов.

В [3.1)] была сформулирована четвёртая проблема Арнольда. Рассмотрим модель, описываемую системой т линейных дифференциальных уравнений вида

X=P(q(t))X , где q=( qi, q2q n)- вектор P(q + 2л) = P{q), P{q) - аналитическая матрица- функцияq:q = со = (ü)l,.,0) n) и все О) . - линейно- независимые с рациональными коэффициентами) алгебраические числа. Всегда ли данная система приводима? В [3.2)] и [11.1)] сформулированы другие постановки четвёртой проблемы Арнольда.

А.Е. Гельман [27] для модели (1), где

ДО = 1^(0 к=\ сходится равномерно при - оо < / < оо,

00 р/>\ Y1 Т)(к) ¡l(ffl|®,+.+m,fflJ ч\ч- ¿и» . m1 ,.,/»„ =1 где 5^- постоянные матрицы, убывающие достаточно быстро вместе с к, нашёл достаточные условия приводимости.

Он также показал, условия на частоты должны быть достаточно жёсткими: приводимость может нарушиться при сколь угодно малом изменении одной из частот G)j.

Л.Я. Адрианова[1] обобщила этот случай на модели порядка m >2. И. Н. Блинов [11.1)] доказал приводимость модели (6), коэффициенты которой нечётные квазипериодические функции, введённые в [3].

Методом ускоренной сходимости в [ 30,71.2) ] была доказана приводимость моделей вида (7), где собственные числа матрицы Р о имеют различные вещественные части, Р (t)- квазипериодическая матрица- функция.

Все, только что рассмотренные результаты,додержатся как частный случай работы [5*], где доказывается приводимость по Ляпунову, возможно исключая конечной число лучей, при достаточно малых значениях Л модели

7).

Основной результат [5*] - существование квазипериодического решения, исключая, возможно, конечное число лучей матричной модели Риккати

X + (4 + A{q{t)))X + Xf{q(t))X + M{q{t)) = 0 , где А о - постоянная диагональная матрица, элементы которой попарно различные мнимые числа, коэффициенты A,f,l- матрицы, элементы которых функции, рассмотренные в [3.1)], Я- комплексный параметр. Этот результат содержит в себе, как частный случай, результаты, полученные в работах [1, 27]. При его доказательстве используется итерационный процесс, предложенный в [2*]. Однако задача усложняется появлением, в оценке нормы,

Л Г оператора интегрирования- множителя с / Я , где г - целое, с- постоянная.

Это связано с тем, что после второго шага итерационного процесса, могут возникнуть средние вида: a-i ß + ar Лг + о {Л2')

Однако, несмотря на эти трудности, удаётся доказать сходимость итерационного процесса к квазипериодическому решению.

С данным исследованием органически связана работа [4*], в которой доказывается существование квазипериодических решений нелинейной дифференциальной модели x + ißx + Y f ; (q(t))xk + Äf0(q(0) = 0 , к=2 \ при всех достаточно малых Я, исключая возможно конечное число лучей.

Интерес к изучению моделей Риккати особенно усилился с возникновением теории управления, появлением в связи с этим принципиально новых математических задач, непосредственно связанных с дифференциальными моделями (задачи оптимального управления, задачи оценки параметров системы и ее состояния и т.д.). Их решения зачастую приводят к моделям Риккати и их многомерным аналогам. Поэтому весьма актуальной является задача нахождения приближенно-аналитических и численных решений моделей Риккати. Рассмотрим некоторые методы приближенно-аналитического и численного решения уравнения Риккати, которые имеют исключительно важное значение для задачи синтеза регулятора, а также для задачи оценки состояния.

Рассмотрим матричную модель Риккати -P{t)=Rx{t) -P{t) S(t) P(t) +AT(t) P(t) +P(t)A{t) , P(T)= H (8) где S(t), Дг)-квадратныематрицы порядка« , P(t) -искомая матрица.

Прямой метод решения основан на представлении уравнения в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка и применения численного метода интегрирования уравнений в обратном времени, начиная с момента t{. Наиболее простым методом численного интегрирования является метод Эйлера, по которому вычисляется матрица P{t) в моменты t-t, -Aí, t, -2А/,. . Если решение сходится к постоянной величине, то как это обычно бывает в случае системы с постоянными параметрами, то необходимо ввести условие остановки. Недостатком этого метода является то, что для обеспечения достаточной точности обычно требуется весьма малая величина Лг, приводящая к большому числу шагов. Кроме того, из-за ошибок вычислений нарушается симметрия матрицы, что можно устранить путем симметрирования после каждого шага, т.е. путем заменыP(t) на

P(t)+ Р1 (t) ] . Симметрию матрицы/>(/) можно использовать, заменяя модель Риккати нелинейной дифференциальной моделью получая в результате существенную экономию машинного времени. Более детальный анализ метода прямого интегрирования можно найти в [23,105, 117-119] .

Метод прямого интегрирования применим к системам с переменными и постоянными параметрами. Если требуется найти лишь установившееся решение для задач с переменными параметрами, то более эффективными оказываются методы, рассмотренные в [106,120] .

Интегрирование матричной модели Риккати в реальном масштабе времени с начальным условием P(t 0) обычно приводит к неудовлетворительным результатам в силу неустойчивости решения, что вызывает возрастающие со временем ошибки вычислений.

Если необходимо получить полное решение уравнения Риккати с постоянными параметрами, то используется метод Калмана- Энглара [119]

Рассмотрим метод установившегося решения уравнения Риккати с постоянными параметрами, который существенно отличается от предыдущих методов. Метод основан на многократном решении линейного матричного уравнения вида

0=Я^ + Ат Р+РА = 0, Которое рассматривалось в

Установившееся решение Р уравнения Риккати должно удовлетворять алгебраическому уравнению Риккати

0=Я1-Р8Р+АТ Р+РА-0,

Рассмотрим матричную функцию р(Р )=Я,-РБР+ Ат Р+РА = О, Задача заключается в определении неотрицательно определенной матрицы Р , удовлетворяющей условию

Р{Р)=0. ,

Если начальная оценка выбрана некорректно, то может наблюдаться сходимость к произвольному решению алгебраической модели Риккати или вообще она может не достигаться. В работах[23,106,120] освещается опыт успешного использования метода Ньютона-Рафсона для решения уравнений Риккати в задачах с размерностью до 15.

Несмотря на обилие работ по нахождений численно-аналитических решений моделей Риккати (см. библиографию [23,41,43,104-106,117-120],) практическое нахождение решений наталкивается на массу трудноразрешимых проблем и разработка новых методов приближенного интегрирования и числннного решения матричных моделей Риккати становиться весьма актуальной задачей.

В [11.1)] была поставлена проблема: пусть имеется модель (6), где Р($-нечётная почти периодическая матрица существенно отличающаяся от квазипериодической. Всегда ли такая модель приводима при достаточно малых

Я?

Там же предпринимается попытка решения проблемы методом сколь угодно быстрой сходимости, накладывая на малые знаменатели при этом дополнительные условия. При этом высказано предположение, что решение этой задачи недоступно методу последовательных замен Арнольда- Колмогорова из- за относительно медленной сходимости последнего. Это высказывание было опровергнуто в [93.2)], где был применён метод последовательных замен, но от дополнительных условий на малые знаменатели отказаться не удалось.

Приводимость моделей с бесконечным спектром частот, т.е. систем с почти периодическими коэффициентами, рассматривалась в [11.1), 11.6), 82,93]. Но во всех этих исследованиях на малые знаменатели, кроме рациональной несоизмеримости частот, накладывались дополнительные условия. И только при наличии дополнительных условий на малые знаменатели удалось получить положительные результаты.

В [6*,7*] удалось решить проблему приводимости по Ляпунову моделей с бесконечным спектром частот, поставленную в [11.1)], впервые не накладывая дополнительные условия на малые знаменатели. При этом удалось доказать существование почти периодических решений дифференциальной матричной-векторной модели Риккати (5), коэффициенты которой существенно почти периодические функции.

Обойтись без дополнительных условий на «малые знаменатели стало возможным благодаря новой оценке нормы оператора интегрирования. Это позволило вновь применить обобщенный итерационный процесс Канторовича-Блинова , предложенный в [2*].

Таким образом, можно констатировать, что модель, описываемая системой дифференциальных уравнений

Х = еР^,Л)Х приводима по Ляпунову при достаточно малых значениях е .

Как уже отмечалось в [3] была сформулирована четвёртая проблема Арнольда.

В [11.1)] построен пример неприводимой по Ляпунову модели с треугольной матрицей коэффициентов. Все последующие результаты ограничивались только треугольной матрицей коэффициентов.

В [4*] доказана приводимость по Ляпунову при всех достаточно малых X, возможно, исключая конечное число лучей, линейной модели

Х = (Р„ + ЛР(1))Х , (9) где Р (^)- матрица, элементы которой принадлежат к классу функций, описанных в четвёртой проблеме Арнольда, Р ц = diag (р ¡, р - постоянная диагональная матрица, элементы которой удовлетворяют условию :

Мр-р2]=0 М[рх-р 2] = Р > где р - алгебраическое число, несоизмеримое с базисом частот Р (I), Х- малый комплексный параметр.

В [11.6)] была сформулирована проблема Р.Э Винограда. Всегда ли на таких лучах сохраняется неприводимость?

В [3*] было показано, что на лучах модели с треугольной матрицей происходит чередование приводимости и неприводимости. Оказалось, что это явление имеет место и для моделей вида ( 9 ) [8*] . Тем самым можно дать ответ на вопрос, поставленный в [3]. ,

Исследования приводимости по Ляпунову моделей с квазипериодическими коэффициентами кроме самостоятельного практического (решение инженерных задач) и теоретического интереса, находят важные приложения в смежных областях математики и физики. Так можно констатировать, что с середины 70-х годов наблюдается процесс интенсивного использования результатов по приводимости моделей (7) в задачах теоретической и математической физики. Интерес к этой проблеме особенно усилился в связи с изучением уравнения Кортевега де Фриза в работах С.П. Новикова, Б.А. Дубровина, В.Б, Матвеева [38,44] и других. Как было показано в исследованиях С.П. Новикова [79], важную роль в изучении периодической задачи Кортвега де Фриза играют свойства зон неустойчивости одномерного уравнения Шрёдингера с периодическим и квазипериодическим потенциалами. Их изучение удаётся провести, используя теорему приводимости Ляпунова. Для квазипериодической задачи КдФ приходится исследовать зоны неустойчивости моу дели (9) с квазипериодическим потенциалом и е с (т). Это удаётся сделать, опираясь на результаты по приводимости моделей (7) в области больших значений Е. Здесь интересны результаты, полученные в [38]. Возможность получения важных приложений побуждает продолжить изучение приводимости моделей (1.7).

Ю.А. Митропольский и A.M. Самойленко в [71] ставят задачу всестороннего исследования приводимости почти периодических моделей (7), т.е. систем с бесконечным спектром частот. К настоящему времени в этом направлении имеются отдельные результаты [11.1),11.16),82, 93,6*- 8*].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Граф взаимосвязи математических моделей типов 1-16 позволяет основные результаты диссертации упорядочить на четыре группы результатов .

Первая группа результатов. Обобщение метода Канторовича—Блинова исследования нелинейных матричных моделей типов 1,4,9,13,15,16. Модификация метода Канторовича-Блинова исследования нелинейных матричных моделей типов 4,5,12,13. Модификация и совершенствование стандартных численных методов интегрирования путем представления матричной модели Риккати в виде «систем нелинейных дифференциальных матричных уравнений первого порядка с использованием модификации метода Рунге—Кутта. Разработка приближенного метода решения модели типа 15 методом Ньютона-Канторовича. Модификация метода Калмана—Энглара и уточнение численного метода решения модели типа 15 методом Рунге—Кутта. Уточнение метода Ньютона-Канторовича определения установившегося решения модели типа 16.

Вторая группа результатов. Конструктивное доказательство существования кваз и периодических и почти периодических движений в моделях типов 1,4,5,9,12,13. Разработка конструктивных методов приближенного интегрирования моделей типов 1,4,5,9,12.13.

Третья группа результатов. Доказательство существования квазипериодических и почти периодических движений в математических моделях типов 2,6,10,14. Разработка приближенно-аналитических методов исследования моделей типов 2,6,10,14.

Четвертая группа результатов. Разработка нового подхода исследования приводимости по Ляпунову моделей типов 8, 11. Исследование приводимости по Ляпунову моделей типов 3, 7 к математическим моделям, описываемым линейными системами дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Разработка нового метода исследования приводимости по Ляпунову моделей типа 7 на исключительных лучах.

В заключении сформулируем некоторые перспективные направления исследований, выявленные как самостоятельные, при решении проблем связанных с темой диссертации. Решения этих проблем будут продолжением диссертационных исследований, выполненных автором, имеющим важное значение для решения физико - технических проблем, указанных в первой главе,

В диссертации доказывается приводимость по Ляпунову математических моделей вида

X = MP(t)X , (1*) где P(t) ~матрица, элементы которой нечетные квазипериодические функции из класса функций изученных в [3] и почти- периодические функции из класса функций рассмотренных в [11.3)] и математической модели

X=(PQ+MP(t))X, (2') где P(t)~ почти периодические и квазипериодические матрицы , элементы которых , функции упомянутых классов ,Р0- постоянная диагональная матрица , элементы которой попарно различные мнимые числа несоизмеримые с базисами частот Ф (рт) , Н (рт) .Пространства Ф(рт) ,Н (рт) определены выше.

При доказательстве приводимости использовалась идея Еругина Н.П. о связи приводимости с наличием ограниченных решений соответствующих моделей Риккати [35].

В силу вышеуказанного , были получены матричные модели Риккати (2.26), ( 3.24), ( 4.20),(4.51) с почти периодическими и квазипериодическими коэффициентами.

В известной автору литературе, только в [1] рассматривалось матричная модель Риккати с квазипериодическими коэффициентами , при этом наличие квазипериодического решения уравнения Риккати удалось доказать методом соответственно - мажорантных рядов. Особенность этого метода заключается в том , что только один раз применяется операция интегрирования квазипериодических функций. Естественно трудности, возникающие при этом в связи с появлением малых знаменателей - «кажущиеся».

Применять метод соответственно- мажорантных рядов к полученным матричным моделям Риккати (2.26), (3.24), (4.20),(4.51) оказалось невозможным, так как не удается доказать сходимость соответствующих рядов.Для преодоления возникших , при этом ,трудностей используется обобщения метода Канторовича-Блинова [11] , которые рассмотрены в главах 2 и 3. Результаты этих обобщений отражены в работах [2*-5*]. Применяя, предложенный автором диссертации , метод приближенного интегрирования мат-рично-векторной модели Риккати , удается доказать существование почти-периодических решений изучаемых моделей. Полученные результаты позволяют доказать приводимость по Ляпунову линейных моделей (1 ) и (2 ).При этом, доказывая приводимость систем с бесконечным спектром частот, впервые ,удается избежать наличия дополнительных условий на малые знаменатели, которые накладывались в работах [11,82,93] и решить полностью проблемы , сформулированные в [11].

Таким образом , предложенные автором диссертации , подходы к решению задачи приводимости , позволяют справиться с возникающими трудностями, преодоление которых , пока недоступно другим известным мето-дам.Автор диссертации надеется ,что предложенные методы ,можно использовать и при решении других задач с малыми знаменателями.

Приведем формулировки некоторых задач, нерешённых до настоящего времени, и решение которых представляло бы значительный научный интерес.

Проблема № 1. В главе 1 рассматривалась приводимость модели

Х = ЛР(д(0)Х, где Р (я (О) е Ф {р] , Л - малый параметр. Если бы удалось доказать приводимость модели (1), в которой отсутствует малый параметр.

До сих пор нет ни одного положительного результата по приводимости системы общего вида ( 1 ) ( матрица Р (д (0)~ не треугольная ) без малого параметра.

Проблема № 2. В главе 3 доказана приводимость модели типа 6

X = (Р0 + ЛР{д{1)))Х при достаточно малых Л, возможно исключая конечное число лучей. Здесь Р о имеет попарно различные характеристические числа х < > такие что КеС/, - х г) = 0 , 1т(хх-%2) = Р ч . Р и -несоизмеримо с базисом частот

Но в случае кратных характеристических чисел, вопрос о приводимости модели (2 ) остаётся открытым, даже при наличии малого параметра. Проблема № 3. Распространить результат главы 4 на случай произвольной матрицы.

Проблема № 4. Обобщить на почти периодический случай результаты работы [3].

Проблема № 5. Имеются исследования о почти периодических решениях моделей с частными производными [48]. Но в этих исследованиях не возникает проблема « малых знаменателей ». Было бы интересно получить результат о существовании почти периодических решений динамических систем, описываемых, модельными дифференциальныим уравнениями с частными производными, в которых бы преодолевались трудности, вызванные появлением « малых знаменателей ».

Проблема № 6. Численное исследование моделей с малыми знаменателями вызывают серьезные затруднения . В этом направлении имеются единичные и разрозненные результаты [31,90,126].Было бы очень интересно и в такой же мере полезно провести компьютерное исследование моделей типов 1,4,9,13.

255

1. Адрианова Л. Я. Приводимость системы линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Вестник ЛГУ , сер. мат. - мех., 1962, Т. 17, № 7. С. 14- 24.

2. Аносов Д.В. Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений быстроколеблящимися решениями. Изв. АН СССР, сер. ма-тем.,1960.Т.24, №5. С. 721-742.

3. Арнольд В. И. 1) Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике// УМН, 1963,Т. 18, вып. 6. С. 91-192.2) Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : « Наука » , 1978.

4. Атанс М., ФалбП. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.

5. Афанасьев В.Н.,Колмановский В.Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. Школа, 1998.

6. Барабанов А. Т. Полное решение проблемы Рауса в теории регулирования. ДАН СССР, 1988, Т.ЗО, №5, С.1061-1065.

7. Беллман Р. Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.

8. Березин Ю. А, Моделирование нелинейных волновых процессов. Изд-во Наука. Сибирское отделение. Новосибирск. 1982.

9. Бибиков Ю. Н. О существовании квазипериодических движений квазилинейных систем. ПММ //1995, Т. 59, вып. 1. С. 21- 29.

10. Биркгоф Д. Динамические системы. М.-Л., ГТТИ, 1941.

11. Боголюбов Я. Я. О квазипериодических решениях в задачах нелинейной механики // Труды первой летней математической школы. Киев : «Наукова думка», 1964, т. 1.С. И-101.

12. Боголюбов Я. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М : Наука, 1974.

13. Боголюбов Я. Я, Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: « Наукова думка », 1969. С. 113-165.

14. Блистанова Л.Д. Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием // Дисс. докт. физ. мат. наук : М.: 2005.

15. Боль П. Г. Избранные труды. Изд-во Латв. АН, Рига, 1961.

16. Брайсон, Хо Ю-Ши . Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

17. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Изд-во АН СССР, 1957.

18. БрурХ. В., Дюмортье Ф., ван Стрин С. , Такенс Ф. Структуры в динамике. Москва-Ижевск. ИКИ, 2002.

19. Брюно А. ДА) Аналитическая форма дифференциальных уравнений. Труды ММО, 1971, т. 25. С. 119- 262. 2) Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

20. Бусленко Я. Я. Моделирование сложных систем. М.; Наука. 1978.

21. Былое Б. Ф. О структуре решений системы линейных дифференциальных уравнений с почти- периодическими коэффициентами// Мат. сборник, 1965, т. 66, №2. С. 215- 229.

22. Валеев КГ. Финин Г. С.Построение функций Ляпунова. Киев: Науковадумка, 1981. Численное решение матричного уравнения Риккати//Доклады АН УССР. Сер А, 1978,№8. С. 730-733.

23. Волков С В. Методы и проблемно-ориентированные программы моделирования динамических систем по фазовым портретам// Дисс. докт. физ.-мат. наук.- Тверь: Тверской гос. ун-т, 2004.

24. Волкова В. И., Денисов A.A. Основы теории систем и системного анализа. СПб: Изд-во СПб ГТУ, 1977.

25. Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем; теория, методы и приложения. М.: Научный мир , 2001.

26. Гельфанд КМ. и Локоцуевский О.В. Метод прогонки для решения разностных уравнений // ГодуновС.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1962.

27. Голечков Ю.И. Приближенно аналитические методы исследования математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в конечномерном и бесконечномерном пространствах.М.: РУДН, 2006.

28. Гребеников Е.А. 1) Введение в теорию резонансных систем. М.: Изд-во МГУ, 1987. 2) Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1986.

29. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. 1)Новые качественные методы в небесной механике. М. : Наука, 1971. 2) Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. М. : Наука, 1978.

30. Гребеников Е. А., Митропольский Ю. А. Метод усреднения в исследованиях резонансных систем. М. : Наука, 1992.

31. Гукенхеймер Д., Холмс Ф. Нелинейные колебания ,динамические системы и бифуркации векторных полей .Москва- Ижевск. ИКИ, 2002.

32. Де ла Яве Р. Введение в KAM — теорию. Москва—Ижевск: ИКИ, 2003.

33. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

34. Джакалья Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979.

35. Джонсон Б.Л., Вэндлинг Д. Е. Передаточные функции и входные импе-дансы систем трубопроводов, находящихся под давлением// Теор. Основы инж. расчетов. 1967.Т.2.С.231-236.

36. Динабург Е. И., Синай Я. Г. Об одномерном уравнении Шрёденгера с квазипериодическим потенциалом// Функциональный анализ и его приложения, 1975, т. 9, №4. С. 8- 24.

37. АО. Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Корвега- де Фриза// УМН, 1976, XXXI, вып.1. С. 55- 136.

38. Егоров А.И. Уравнения Риккати. М.: Физматлит, 2001.

39. Еругин Н. П. 1)Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск. Издательство АН БССР, 1963. 2) Приводимые системы. Труды МИАН им. В. А. Стеклова, 13, 1946.

40. Захаров В. Е., Манаков С.В., Новиков СЛ., Питаевский Л.П. Теория со-литонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

41. Зигель К. Л., Мозер Ю. Лекции по небесной механике. Москва- Ижевск. РХД, 2001.

42. Зубов В. И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979.

43. Зубов H. В. Математические методы и модели исследования динамических систем. Дисс .докт. физ. мат. наук.Тверь: Тверской гос. ун- т. 1999.

44. Иосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркации. М.: Мир, 1983.

45. Канторович JI.B. Функциональный анализ и прикладная математи-ка//УМН. 1948.Т.З. №6. С. 89-185.

46. Канторович Л. В., АкиловГ. П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1973

47. Катулев А. Н., Северцев H.A. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. М.: Наука, 2000.

48. Квакернаак X. , Сиван Р. Линейные оптимальные системы управле-ния.М.: Мир, 1977.

49. Козлов В. В Л) Симметрии топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск : изд- во Удмурдского ГУ, 1995. 2)Методы качественного анализа в динамике твёрдого тела. М;: издательство МГУ, 1980.

50. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.

51. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти -периодические колебания. М. : Наука, 1970.

52. Красносельский М. А. и др. Приближенное решение операторных уравнений . М.: Наука, 1969.

53. Краснощекое П.С., Петров A.A. Принцип построения моделей. М.: Фазис, 2000.

54. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев. Изд- во АН УССР, 1937.

55. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.М.: ГИТТЛ,1957.

56. Левитан Б. М. Почти- периодические функции. М.: ГТТИ, 1953.

57. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти- периодические функции и дифференциальные уравнения. М. : изд- во МГУ, 1978.

58. Лузин H.H. О методе приближенного интегрирования академика Чаплы-ги- на // Собрание сочинений. Т. 3. М.: Гостехиздат, 1959.

59. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М. JI.: ГТТИ, 1950.

60. Матынюк А. А., КатоД., Шестаков А. А. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990.

61. МарчукГ. И. Методы вычислительной математики.-М: Наука, 1977.

62. Матросов В.М. Метод векторных функций динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

63. Меренков Ю. Я.Математическое моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем// Дисс. докт. физ. мат. наук. -Тверь: Тверской гос. ун-т, 2003.

64. Месаривич М., Такара Я. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978.

65. Миллионщиков В. М. О связи между устойчивостью характеристических показателей и почти приводимостью систем с почти- периодическими коэффициентами// Дифференц. уравнения, 1967, т. 3, № 12. С. 2127- 2137.

66. Мозер Ю 1)0 разложении условно периодических движений в сходящиеся числовые ряды // УМН, 1969, т. 24, № 2 . С. 165- 211. 2) KAM теория и проблемы устойчивости. Москва-Ижевск. РХД, 2001.

67. Мороз А.И. Курс теории систем. М.: Высшая школа, 1987.

68. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: УРСС,2004.

69. Нелинейные проблемы теории поверхностных волн. Под редакцией Овсянникова Л.В. и Монахова В.Н. Новосибирск. Изд.-во Наука, Сибирское отделение, 1985.

70. Немыцкий В. В., СтепановВ. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949.

71. Николенко Н. В. Метод нормальных форм Пуанкаре в задачах интегрируе мости уравнений эволюционного типа // УМН, 1986, т. 41, вып. 5. С. 109- 152.

72. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.

73. Новиков С. П. Периодическая задача для уравнений Кортвега- де Фриза 1// Функциональный анализ и его приложения, 1974, т.8, вып. 3. С. 54- 66.

74. Парасюк И. О. О некоторых классах приводимых систем с почти периодическими коэффициентами // Укр. мат. журнал, 1977, т. 29, № 6. С. 833- 868.

75. Пронькин В.С. Применение метода Ньютона к одной задаче с существенно малыми знаменателями. Дисс.канд. физ.- мат. наук. Л.: ЛГУ , 1979.

76. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М. Л.: ГИТТЛ, 1947.2) Новые методы небесной механики. Избранные труды. М.: Наука, 1971,1972.

77. Пустыльников Л.Д. Бесконечномерные нелинейные ОДУ и теория КАМ// УМН, 1997, № 3.

78. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими и электромеханическими системами// Сб. трудов . Институт проблем управления, М.: 1987. С 4-15.

79. Румянцев В.В. Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1985.

80. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. М.: Наука, 1997.

81. Соболь И. М, Граничное решение уравнения Риккати и его применение к исследованию решения линейных дифференциальных уравнений// Ученые записки МГУ. Т.5, вып. 155, 1952.

82. Самошенко A.M. ,Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев Вища школа, 1976.

83. Самошенко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. М.: Наука, 1990.

84. Симо К. Современные проблемы Хаоса и нелинейности. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

85. Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1953.

86. Тарасевич Ю. Ю. Математические модели и компюторное моделирование. М.: УРСС, 2003.

87. Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986.

88. Флеминг X. РашелД. Оптимальное.управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.

89. ХайрерЭ., Нёрсетт С., Ваннер /".Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир,1990.

90. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985

91. Харасахал В. X. Почти -периодические решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Алма-Ата. Изд-во АН Каз. ССР, 1975.

92. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л. : ГТТИ, 1950.

93. ЧеломейВ. Н. Избранные труды. М. : Машиностроение, 1989.

94. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: Физ-матлит, 2003.

95. Шильников Л.П., Шшьников A.JI., ТураевД.В., ЧуаЛ. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва- Ижевск. ИКИ, 2004.

96. Bittanti S., Laub A.J.,Willems J.С. The Riccati Equation. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokio, 1991.

97. Bucy R.S., Joseph P.D., Filtering for Stochastic Processes with Applications to Guidance, Interscience, New York, 1968.

98. Blackburn T.R., Solution of the algebraic Riccati equation via Newton-Raphson iteration, Preprints, 1968 Joint Automatic Control Conference, pp. 940945, University of Michigan, Ann Arbor, Mich., June 26-28, 1968.

99. Chierchia L. and Falcolini C. A note on quasi-periodic solutions of some elliptic systems. Z. Angew. Math. Phys., 47(2): 210-220, 1996.

100. Craig W. and Wayne C.E. Newton's method and periodic of nonlinear wave equations. Comm. Pure Appl. Math., 46(11): 1409-1498,1993.

101. W. Craig and Wayne C.E. Periodic solutions of nonlinear Schrodinger equations and the Nash-Moser method. In. Hamiltonian Mechanics (Torun, 1993), pages 103-122. Plenum, New York, 1994.

102. Eliasson L.H. Reducibility and point spectrum for linear quasi-periodic skew-products. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians,Vol. II pages 779-787 (electronic),Berlin, 1998.

103. Eliasson L.H. Perturbations of stable invariant tori for Hamiltonian sys-tems.Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4), 15(1): 115-147 (1989), 1988.

104. Elisson. L.H. Discrete one-dimensional quasi-periodic Schrodinger operators with pure point spectrum. Acta Math., 179(2): 153-196,1997.

105. Gallavotti G. Quasi-integrable mechanical systems. In Phenomenes critiques, systemes aleatoires de jauge, Part I, II (les Houches, 1984), pages 539624. North-Holland, Amsterdam, 1986.

106. Haydn N. T.A. On invariant curves under renormalization. Nonlinearity, 3(3): 887-912, 1990.

107. Jorba A. and Simo C. On the reducibility of linear differential equationswith quasiperiodic coefficients. J. Differential Equations, 98(1): 111-124, 1992.

108. Jorba A. and Villanueva J. On the persistence of lower-dimensional invariant tori under quasi-periodic perturbations. J. Nonlinear Sei., 7(5): 427-473, 1997.

109. Kaiman R.E., Toward a theory of difficulty of computation in optimal control, Proc. Fourth IBM Scientific Computing Symposium, 1966, pp/ 25-43.

110. Kaiman R.E., Вису R.S., New results in linear and prediction theory, J. Basic Eng., Trans. ASME, Ser. D, 83, 1961) pp.95-108

111. McClamroch N.H., Duality and bounds for the matrix Riccati equation, J. Math. Anal. Appl., 25, pp. 622-627 (1969).

112. Man F.T., Smith H. W., Design of linear regulators optimal for time-multiplied performance indices, IEEE Trans. Autom. Control, 14, 5, pp. 527-529 (1969).

113. Niederman L. Nonlinear stability around an elliptic equilibrium point in a Hamiltonian system. Nonlinearity, 11(6): 1465-1479, 1998.

114. Reid W.T. Riccati differential equations.- Academpress: New York London, 1972.

115. Russmann H. Kleine Nenner. II. Bemerkungen zur Newtonschen Methode. Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math.-Phys. Kl. II, 1-10. 1972.

116. Simo C. Effective computations in celestial mechanics and astrodynamics. In Modern Methods of Analytical Mechanics and Their Applications (Udine, 1997), pages 55-102. Springer, Vienna, 1998.

117. Wayne С. E. Periodic and quasi- periodic solutions of nonlinear wave equations via KAM theory// Comm. Math. Phys. V. 127. P. 479- 528. 1990.

118. Wonham W.M., Cashman W.F., A computational approach to optimal control of stochastic stationary systems, Preprints, Ninth Joint Automatic Control Conference, pp. 13-33, University of Michigan, Ann Arbor, Mich., June 26-28, 1968.