автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Качественные и приближенно-аналитические методы и алгоритмы исследования характеристик динамических систем

Голечков Юрий Иванович

КАЧЕСТВЕННЫЕ И ПРИБЛИЖЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

□ ОЗ 1587-94

Тверь - 2007

003158794

Голечков Юрий Иванович

КАЧЕСТВЕННЫЕ И ПРИБЛИЖЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05 13 18—Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тверь-2007

Работа выполнена в Тверском государственном университете

Научный консультант

доктор технических наук ДЕ Пильщиков

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор С И Виницкий доктор физико-математических наук, профессор В А Колдунов доктор физико-математических наук, профессор В Н Щенников

Ведущая организация Вычислительный центр

Защита диссертации состоится 25 октября 2007 г в 1400час на заседании диссертационного совета Д212 263 04 в Тверском государственном университете по адресу 170000, г Тверь, ул Желябова, 33, ауд 52

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТвГУ по адресу 170000, г Тверь, ул Володарского, 44а

им А А Дородницына Российской академии наук

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 263 04 доктор технических наук, профессор

В Н Михно

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Область исследования и актуальность темы. Диссертационная работа посвящена развитию качественных и приближенно-аналитических методов и алгоритмов исследования характеристик динамических систем на различных этапах их математического моделирования, разработке проблемно-ориентированных программ исследования характеристик динамических систем, а также созданию и исследованию новых математических моделей для некоторых классов транспортных задач В диссертации разработаны методы исследования таких характеристик динамических систем, как устойчивость, ограниченность, сходимость, диссипативность и др

Под динамическими системами в диссертационной работе понимаются объекты и явления, эволюция которых происходит под действием силовых полей какой-либо природы и для которых определено понятие пространства состояний как совокупности значений некоторых величин в заданный момент времени и задан оператор, определяющий эволюцию начального состояния во времени

Методология математического моделирования позволяет применить как качественные, так и приближенно-аналитические методы исследования характеристик динамических систем и сочетает в себе достоинства теоретических и экспериментальных исследований

Вопросы моделирования движения нелинейных динамических систем и вопросы, связанные с их устойчивостью, играют важную роль в развитии теории математического моделирования и системного анализа, поскольку они тесно связаны с решением ряда приоритетных задач управления сложными техническими объектами и техническими процессами, а также с разработкой автоматизированных систем управления В связи с возросшими требованиями к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических процессов, а также к управлению указанными объектами и процессами, возникает необходимость изучения новых математических моделей динамических процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями При этом оказывается целесообразным привлечение различных методов математического моделирования, качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, аналитической механики

Необходимость освоения возрастающего объема перевозок пассажиров и грузов при обеспечении безопасности движения и эффективности транспортных средств является актуальным направлением развития транспортных отраслей Решению задач, возникающих в этом направлении, служит разработка адекватных математических методов и эффективной инструментальной среды исследования особенностей поведения технических транспортных систем при высоких скоростях движения Значимость этих задач подтверждается, в частности, примерами высокоскоростного движения пассажирских составов в различных странах мира (Франция, 636 км/ч, Япония, 500 км/ч, Германия, 400 км/ч) Наибольшую сложность для изучения представляют системы, характеризующиеся нерегулярным поведением, вибрациями и ударными возмущениями Исследование подобных систем ведется во всех крупных научно-технических центрах мира и, несмотря на это, все еще остается широкий диапазон нерешенных задач, требующих тщательного моделирования и экспериментальной проверки

Идейной основой полученных в диссертации результатов являются работы А М Ляпунова, А Пуанкаре, Н Н Красовского, Е А Барбашина, В В Не-мыцкого и Ж П ЛаСалля Тема диссертационной работы связана также с работами отечественных и зарубежных ученых Н Н Лузина, С А Чаплыгина, Н П Еругина, В И Зубова, В М Матросова, А.А Шестакова, В Н Щеннико-ва, Н Онучика, 3. Артштейна, Р Баллея, К Пейффера, И Ньютона, С Олеха, Т Важевского, А А Щелкунова, Ж Видоссича, Т Иосидзавы и других ученых В диссертационной работе развиваются качественные, приближенно-аналитические методы и алгоритмы исследования характеристик следующих типов динамических систем

1. Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши

х = /(1,х), хей", х = <Ьс!Ш (1)

Соответствующие математические модели названы моделями типа 1 Конкретные модели типа 1 возникают при определенном выборе пространства и оператора эволюции/(?, х) динамической системы В этом случае актуальной является проблема исследования математической модели пространства состояний моделируемой динамической системы Изучение таких матема-

тических моделей явилось после А Пуанкаре и А М Ляпунова предметом многочисленных работ многих ученых в области естественных наук

Если модель типа 1 является диссипативной открытой системой, то она определяет структуры, называемые «автоволновым процессом» или «автоволной», причем эти структуры возникают независимо от начальных условий Простейшие автоволны были изучены А Н Колмогоровым, И Г Петровским и Н С Пискуновым Режимы локализации, обострения и диффузионной неустойчивости автоволн впервые рассмотрены А А Самарским и С П Курдюмовым

Модели типа 1, порождаемые автономными уравнениями, определяют динамические потоки, зависящие от одного параметра, а порождаемые неавтономными уравнениями-определяют динамические потоки, зависящие от двух параметров В настоящей диссертации для модели типа 1 и ее частных случаев ставятся и решаются задачи 1) получения условий асимптотической устойчивости и условий неустойчивости на основе развития метода локализации предельного множества, 2) получения условий ограниченности решений, 3) приближенного интегрирования на основе развития метода Чаплыгина и 4) построения алгоритма выбора узлов оптимальной сетки численного решения

2. Динамические системы, представимые ньютоновской моделью (моделью типа 2) и описываемые дифференциальным уравнением второго порядка

У + У + уеИ, (?)

где основные условия и ограничения, накладываемые на элементы модели, следующие скалярная фазовая переменная у принимает вещественные значения, постоянная а неотрицательна, функции непрерывны, у g{t,y,y)>0 для всех у, у} е К+ х Я2, функция е ограничена по X Функции /^и е описывают различные характеристики изучаемой динамической системы

Функция/ в (2) называется функцией диссипации До настоящего времени как правило рассматривался лишь случай ограниченной функции дисси-

пации f (г, у, у) В связи с этим для модели типа 2 с неограниченной функцией диссипации в диссертации поставлена и решена задача описания класса неограниченных функций диссипации /(?, у, у), для которого модели типа 2 обладают свойством асимптотической устойчивости Для решения этой задачи развит неклассический (обобщенный) прямой метод Ляпунова, дающий возможность существенно улучшить имеющиеся результаты об асимптотической устойчивости и получить конструктивные условия асимптотической устойчивости решений моделей типа 2 с неограниченной функцией диссипации

Ньютоновская модель типа 2 возникает при описании и изучении нелинейных закономерностей в физике, химии, механике, технике, экономике, социологии, биологии и других науках В истории науки и техники создание каждой модели ньютоновского типа является фундаментальным событием Характерны в этом плане эволюции моделей Солнечной системы, построенные Ньютоном и Эйнштейном и решающие задачу определения планетных орбит Заметный вклад в развитие теории устойчивости ньютоновских моделей внесли работы Н Н Красовского, В А Якубовича, В М Старжинского, Н Левинсона, С Лефшеца и многих других ученых

3. Динамические системы, описываемые матричным дифференциальным уравнением второго порядка

Лх + Вх + Сх = д(?,х,х), хеК" (3)

Это обобщенная транспортная модель или модель типа 3, в которой условия и ограничения, накладываемые на элементы модели, следующие А, В и биквадратные матрицы (соответственно матрицы масс, демпфирования и жесткости), Q(t,x,x} —заданная нелинейная вектор-функция времени, перемещения и скорости (обобщенная возмущающая сила), Я" — евклидово пространство Такие модели возникают при описании и изучении колебательных процессов летательных аппаратов в воздушном потоке, колебаний корпусов кораблей и подводных лодок при волнении в открытом море, колебаний элементов и узлов подвижного состава железнодорожного и автомобильного транспорта при движении по неровному пути Особенностями изучаемой модели типа 3 является рассмотрение нестационарного вектора возмущений

и большая размерность фазового пространства До настоящего времени в динамике колесного транспорта в основном рассматривались модели с относительно небольшим числом фазовых переменных (от двух до двенадцати) Однако в ряде задач, связанных с изучением сложных систем подвижного состава, возникает необходимость рассмотрения существенно большего числа переменных, и здесь сказывается недостаточность разработки математического аппарата В связи с этим возникает необходимость разработки метода исследования модели типа 3 при произвольно большом п Для модели типа 3 в диссертации поставлены и решены следующие задачи 1) определить характеристики вертикальных колебаний в математической модели колесного транспортного средства при движении по неровному пути с заданной формой неровностей, реализовать алгоритмы и программы численных расчетов для различных значений скоростей движения, проанализировать влияние роста скорости на характер колебаний и безопасность движения, определить частоту колебаний сиденья водителя, соответствующую зоне комфортности, 2) исследовать случайные колебания в математической модели автомобильного средства, движущегося по неровному пути, имеющему случайную последовательность выступов и впадин, 3) разработать алгоритмы оптимизации проектных параметров железнодорожного экипажа на основе комбинированного подхода, использующего алгоритм квадратичного программирования и генетический алгоритм Для моделирования движения колесных транспортных средств создан комплекс проблемно-ориентированных компьютерных программ

4. Динамические системы, описываемые скалярным дифференциальным уравнением вида

^ = Р(5)+е(«), (4)

где и — скалярная функция независимой переменной у, Р — непрерывная функция переменной 5, ()— непрерывно дифференцируемая функция переменной и Соответствующая модель (модель типа 4) возникает при изучении вопроса о движении железнодорожного состава Она рассматривалась Н Н Лузиным для изучения вопросов качественного исследования движения поезда В диссертации решена задача о модификации метода Чаплыгина

приближенного интегрирования и о применении указанного метода для интегрирования модели типа 4, описывающей движение железнодорожного состава

5. Динамические системы, описываемые векторным дифференциальным уравнением вида

£ = P(s)+Q(u), (5)

где и - векторная функция от s, и е Rn, se R+, P(s) - непрерывная функция,

Q (и) - непрерывно дифференцируемая функция Соответствующая математическая модель (модель типа 5) используется для изучения вопроса о характеристиках движении подвижного состава железнодорожного транспорта В диссертации поставлена и решена следующая задача провести качественный анализ модели типа 5 с целью установления условий существования периодических решений и оценки зон стабильности движения железнодорожного состава

6. Динамические системы, описываемые матричным уравнением

A'V+VA = -W, (6)

где A, F и W— постоянные квадратные матрицы, а штрих означает транспонирование Это матричная модель Ляпунова или модель типа 6 Модель типа 6 возникает при изучении задач управления, стабилизации движения, при изучении качественных характеристик динамических систем Не смотря на большое число работ, посвященных исследованию модели типа 6, ряд вопросов оказались нерешенными В частности, в диссертации предложен эффективный итерационный метод численного решения матричной модели Ляпунова

Цель работы. Целью диссертационной работы является развитие качественных, приближенно-аналитических и численных методов и алгоритмов исследования математических моделей динамических систем типов 1-6, опи-

сываемых нелинейными неавтономными и автономными дифференциальными уравнениями первого порядка типа Коши, ньютоновских моделей динамических систем, описываемых нелинейными скалярными дифференциальными уравнениями второго порядка, а также математическое моделирование движения технических транспортных средств

Методы исследования. В диссертации широко использованы современные методы качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости движения, методы функционального анализа, а также методы математического моделирования и технологии вычислительного эксперимента Использованы разработанные автором диссертации модификация метода локализации предельного множества для качественного анализа математических моделей типа 1, приближенно-аналитические и численные методы исследования модели типа 1 и ньютоновских моделей типа 2, а также универсальный способ изучения характеристик движения технических транспортных средств

Научная новизна диссертации заключается в следующем Разработан качественный метод локализации предельного множества автономной модели типа 1 Разработанный метод позволяет получить новые условия об асимптотической устойчивости движения моделей типа 1 при знакопеременной производной функции Ляпунова Развиты приближенно-аналитические классические методы Ньютона, Чаплыгина для исследования моделей типа 1 Уточнен метод Ньютона для моделей типа 1 и установлена тождественность последовательностей в методах Ньютона и Чаплыгина для этих моделей Полученные результаты развивают и обобщают исследования Т Важевско-го,АА Щелкунова Условие сходимости последовательности Чаплыгина на всем отрезке обобщает результаты Н Н Лузина, С Олеха и Ж Видоссича Развиты численные методы исследования модели типа 2 и матричной модели Ляпунова типа 6 Установлено существование на заданном отрезке асимптотически оптимальной сетки с минимальном числом шагов для численного решения модели типа 1 при заданной погрешности Получены достаточные условия асимптотической устойчивости без требования знакоопределенности производной функции Ляпунова, что является обобщением и дальнейшем развитием классических результатов Результаты об устойчивости математических моделей могут применяться в задачах численного интегрирования

дифференциальных уравнений при решении многих прикладных задач Для оптимизации расчета характеристик транспортных динамических систем на основе первого метода Ляпунова предложен универсальный способ исследования влияния параметров диссипации и жесткости, инерционных параметров, а также геометрических параметров проектируемого экипажа на устойчивость движения транспортных динамических систем, разработано соответствующее программное обеспечение Полученные результаты обобщают, уточняют и развивают результаты Н Н Лузина, С А Чаплыгина, Н А Панькина, Ю И Першица, И П Исаева, А X Викенса, Е П Королькова, ТА Тибилова, Ю.М Черкашина

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для качественного анализа характеристик многих механических, физических, химических, биологических, технических и социальных динамических систем Анализ устойчивости и качественных свойств необходим для обеспечения безопасности и оптимальных режимов функционирования сложных моделей динамических систем Практическая значимость результатов диссертации состоит также в том, что разработанные диссертантом методы и алгоритмы позволили решить ряд теоретических и прикладных задач теории математического моделирования и явились основой для создания комплекса проблемно-ориентированных компьютерных программ, содержащего реализации как численных методов, так и программ расчета динамических характеристик транспортных средств

В диссертации разработаны следующие программы расчета характеристик динамических моделей движения колесных транспортных средств 1) программа численного решения специальной модели типа 2 на основе специальной последовательности целых функций, 2) программа численного решения матричной модели Ляпунова типа 6,3) программа численного расчета динамических характеристик колесных транспортных средств на основе модели типа 3,4) программа графической иллюстрации результатов расчета динамических характеристик колесных транспортных средств, 5) программа исследования влияния характеристик демпфирования, геометрических и инерционных характеристик колесных транспортных средств на устойчивость их вертикальных колебаний

С помощью разработанных диссертантом методов исследованы модели

движения железнодорожного экипажа, изучена устойчивость вертикальных колебаний колесного транспортного средствам' жёлезнодорожного вагона

Результаты диссертации, касающиеся устойчивости и управления систем железнодорожного транспорта, могут найти применение при решении задач снижения износа гребней колес, снижения износа рельсов, задач оптимизации критических скоростей движения железнодорожного подвижного состава Кроме того, результаты могут быть использованы при изучении устойчивости установившихся движений экипажа в кривых участках пути и вопросов установки двухосной тележки при ее движении в кривых

В диссертационной работе получен ряд результатов, которые составляют основу практической методики для оценки критической скорости движения железнодорожного экипажа и для управления движением в условиях высоких скоростей В этих методиках существенную роль играют методы моделирования на основе использования первого метода Ляпунова и генетических алгоритмов Автором предложены алгоритмы вычисления критических скоростей движения Отметим, что пред ложенные алгоритмы могут быть реализованы в виде компьютерных программ в одной из сред программирования, что позволяет широко использовать их при решении многочисленных технических задач, связанных с разработкой и внедрением новых технических средств и технологических процессов

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-исследовательской работе, проводимой в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения, при выполнении научно-исследовательской темы «Устойчивоподобные свойства траекторий динамических систем Приложения к изучению математических моделей транспортных динамических процессов» (2001 -2006 гг ) Результаты использованы также при выполнении работ по плану НИОКР ОАО «Российские железные дороги» по темам «Устойчивоподобные свойства технических систем» (2003 г) и «Математическое моделирование и оптимизация параметров технических систем железнодорожного транспорта» (2004 г)

Результаты диссертации могут быть также использованы при чтении курсов математического моделирования, системного анализа, теории устойчивости движения, теории нелинейных колебаний, динамики подвижного состава транспортных динамических систем

Достоверность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании аналитических и качественных методов, на сравнении с результатами, полученными с помощью других методов, на результатах моделирования в широком диапазоне условий Для утверждений даны строгие и корректные доказательства

Публикации. По теме диссертации опубликовано 40 научных работ, список которых приведен в конце автореферата Десять работ из этого списка опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК России Опубликованные работы полно отражают содержание диссертационной работы

Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту В совместно опубликованных работах с соавторами последним принадлежат результаты по техническим деталям

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались

— на научном семинаре по качественной теории и теории устойчивости динамических процессов Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 1995-2005 гг),

— на международном научном семинаре «Applications of the «Mathematica» system to social processes and mathematical physics» в Брестском государственном университете (Брест, 2003 г),

— на научном семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра РАН (Москва, 2004,2007 гг),

— на научном семинаре «Нелинейные задачи» Московского отделения Академии нелинейных наук (Москва, 2004 г),

— на научном семинаре по вариационным принципам и методам в математике и естествознании Российского университета дружбы народов (Москва, 2002 г),

— на межвузовских научно-методических конференциях «Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 1996 г, 1997 г, 1998 г),

— на ХЬ Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химйи в Российском университете дружбы народов (Москва, 2004 г),

— на Всероссийской конференции «Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения» в Рязанском государственном университете им С А Есенина (Рязань, 2006 г),

— на научно-практической конференции «Современные проблемы взаимодействия подвижного состава и пути Колесо-рельс-2003» (Щербинка, 2003 г),

— на Международной конференции «Высшее профессиональное заочное образование на железнодорожном транспорте настоящее и будущее» (Москва, 2001 г),

— на совместном заседании кафедры математического моделирования, кафедры общей математики и математической физики и кафедры вычислительной математики Тверского государственного университета (Тверь, 2007 г)

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы Общий объем диссертации 250 с , список литературы включает в себя 186 наименований работ отечественных и зарубежных авторов

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

В настоящей диссертации дано развитие качественных, приближенно-аналитических и численных методов и алгоритмов исследования математических моделей динамических систем, моделируемых дифференциальными уравнениями в форме Коши и ньютоновского типа С помощью названных методов изучаются качественные, асимптотические и количественные характеристики математических моделей динамических систем типов 1-6

Во Введении содержится обоснование актуальности темы диссертации и характеристика области исследований Дан обзор и сравнительный анализ научных результатов, относящихся к теме диссертации, приведены основные цели и задачи исследований, охарактеризованы методы реше-

ния задач, основные результаты, отмечены их научная новизна и практическая ценность Приведено краткое содержание работы, а также представлена общая характеристика диссертации

Первая глава «Качественные методы исследования характеристик динамических систем» диссертации посвящена качественному и асимптотическому изучению характеристик решений математических моделей динамических систем типов 1—5 В частности, приведены изучаемые математические модели (модели типов 1 - 5) и предварительные сведения

В первой главе развиты качественные методы исследования характеристик динамических систем Здесь разработан обобщенный прямой метод Ляпунова исследования математических моделей, описываемых многомерными нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши Эти модели являются моделями пространства состояний динамической системы и названы моделями типа 1 Для модели типа 1 установлены предложения о локализации положительного предельного множества, из которых вытекают новые условия об асимптотической устойчивости Для модели типа 1 получен также признак об эвентуальной ограниченности решений и рассмотрены некоторые качественные свойства решений В данной главе проведен качественный анализ ньютоновской модели (модели типа 2) с неограниченной функцией диссипации и обобщенной матричной модели (модели типа 3) Кроме того, проведен качественный анализ скалярной и векторной моделей (моделей типов 4 и 5), а именно, установлены условия существования периодических решений и дана оценка зон стабильности движения железнодорожного состава Результаты первой главы служат теоретической основой для первого этапа математического моделирования широкого класса динамических систем нелинейной механики, в частности, в тех случаях, когда рассматривается неограниченная диссипация

Пусть У(х) есть функция Ляпунова автономной модели типа 1, £2 - положительное предельное множество решений ф(г) автономной модели типа 1, Ус - множество с-уровня функции У, 2С - множество нулей производной функции Ляпунова Vв силу автономной модели типа 1 для Ух е Ус Показано, что если множество Ус ограничено и У(х)< 0, Ухе Ус то 1) множество Ус положительно инвариантно, 2) имеют место включения

£2(С( р))с2исг(, 3) для каждого р&Ус справедливо соотношение

Этот результат является обобщением и модификацией теоремы А А Шес-такова о локализации предельного множества относительно всех фазовых переменных автономной модели типа 1 на базе сходимости в хаусдорфовой метрике Кроме того, в главе установлен аналогичный результат для случая не всех, а части переменных Полученные в главе 1 результаты позволяют проводить качественный анализ и исследовать динамические характеристики, что проиллюстрировано на примерах двумерной и четырехмерной динамических систем

В главе также рассмотрен вопрос о сохранении свойства ограниченности решений при возмущении неавтономной нелинейной модели типа 1 Наряду системой (1) рассмотрена возмущенная система

х = Д*,дс) + Л(/,х) , (7)

где / А непрерывны на X К" Показано, что если для системы (1) выполнено обобщенное условие Липшица, решения системы (1) ограничены и если для возмущенной системы (7) выполнено условие интегральной сходимости, то решения возмущенной системы ограничены

Указанный результат обобщает исследования Т Иосидзавы и позволяет изучать свойства ограниченности решений широкого класса моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в форме Коши

Кроме того, в главе 1 дан качественный анализ обобщенной матричной модели движения колесных транспортных средств, описываемой матричным дифференциальным уравнением (3) Рассмотрена модель колебаний грузового вагона и модель движения колесной пары На основе использования первого метода Ляпунова изучена устойчивость и асимптотическая устойчивость состояний равновесия

В этой же главе рассмотрены модели типов 4 и 5, описываемые соответственно уравнениями (4) и (5) Известно, что модель, описываемая уравнением движения железнодорожного состава, имеет вид

V

Л

* /М-яМ-Ц-

4УЛ

(8)

(к '

где V — скорость движения, л — длина пути по данному криволинейному профилю, /(у)—¿(у) — сила, движущая состав и зависящая только от скорости, с1у/с1з — синус угла наклона касательной профиля пути к горизонту, |1 - постоянная Нетрудно показать, что с математической точки зрения модель, описываемая уравнением (8), эквивалентна модели типа 4, описываемой уравнением (4)

Для моделей типов 4 и 5 изучены вопросы существования периодических решений и дана оценка зон стабильности движения Для векторной модели типа 5 показано, что если выполнены условия 1) Р («) - непрерывная ограниченная функция и @ (и) - непрерывно дифференцируемая функция, 2) сим-метризованная матрица Якоби (и) функции Q (и) является знакоопреде-ленной Тогда существует единственное ограниченное на Я решение и*(.у) матричной модели типа 5, к которому стремится произвольное решение и (л) Ф м*(л) при 5 —» +оо или при л —» —

Во второй главе «Приближенно-аналитические методы и алгоритмы исследования характеристик динамических систем» рассмотрены вопросы, связанные с дальнейшим развитием и модификацией приближенно-аналитического метода Чаплыгина исследования математических моделей динамических систем Результатом второй главы является модификация метода Чаплыгина, следствием которой является единообразие метода Чаплыгина для моделей типа 1 в конечномерном и бесконечномерном пространствах Это дает возможность применять приближенно-аналитический метод Чаплыгина для исследования моделей, описываемых уравнениями с частными производными В главе показано совпадение последовательности Ньютона для модели типа 1 и последовательности Чаплыгина для оператора, сопоставляемого с этой моделью, и выполнено обобщение метода Чаплыгина, позволяющее накладывать более слабые ограни-

чения на модели по сравнению с предыдущими исследованиями Указанное обобщение использовано для интегрирования модели, описывающей движение рельсового экипажа (модели типа 4) В главе предложен упрощенный итерационный алгоритм численного решения алгебраической матричной модели Ляпунова (модели типа 6)

Дана оценка ошибки сходимости последовательности Чаплыгина к единственному решению х интегрального уравнения

t

x(0 = <p(0 + Jg(M,*(*))<&» (9)

о

сопоставляемого с уравнением ( 1 ) Пусть выполнены условия 1 )U— открытое множество в пространстве Л", 2) функция g хВ —» R" непрерывна, причем такая, что существует непрерывная gx и ||g(i,s,x)||<M, Igj(t, s, jc)|| < N Vt,s,x, где M, N— положительные постоянные, 3) существует 0 < 8 < b такое, что для любой функции <р, щ е С([а, а + 8], U) при ф(а) = и0(а) последовательность Чаплыгина

t t "я+1 (0 = ф(0 + J g(t> s, Un (s))ds + j gx (t, s, u„ (s)) (u„+l (s)-u„ (s))ds, о 0

отвечающая интегральному уравнению (9), определена на отрезке \а, а + 8] и совпадает с последовательностью Ньютона для оператора

t

G(x)(t) = x(t) - ф(0 - J g(t, s, x(s))ds, о

начинающегося в точке u0

При перечисленных условиях показано, что последовательность ми+1 (г)

сходится равномерно на отрезке \а, а + б] к единственному решению х интегрального уравнения (9) с ошибкой

где а = 2Шеёы

Установлена сходимость последовательности Чаплыгина в большом, т е на всем отрезке [а, ¿], обобщающая результаты Н Н Лузина, С Олеха, Ж Видоссича Полученные результаты дают возможность получить точную оценку интервала сходимости

Разработана модификация метода Чаплыгина на основе преобразования Лапласа и приведен соответствующий алгоритм Модифицированный метод Чаплыгина применен для интегрирования модели типа 4, описывающей движение железнодорожного состава

Доказано также существование на заданном отрезке асимптотически оптимальной сетки с минимальным числом шагов для численного решения задачи Коши модели типа 1 при заданной погрешности вычислений и предложен соответствующий алгоритм Приведен иллюстрирующий пример

Построен алгоритм численного решения задачи Коши модели типа 2, основанный на использовании специальной последовательности целых функций, показана улучшенная сходимость предложенного метода Установлена связь между задачей численного интегрирования и устойчивостью численного решения задачи Коши для неавтономной скалярной модели типа 1

Разработан упрощенный алгоритм численного решения матричной модели Ляпунова типа 6, где матрица Л устойчива, а матрица Асимметрична Показано, что решение Ук модели типа 6 находится по рекуррентной формуле следующего вида ¥к+1 =¥к +/гА'к Ш Кк, где У1=Н [ж + Л'^Л],

И > О Приведен иллюстрирующий пример

Результаты, полученные во второй главе, дают возможность применять приближенно-аналитический метод Чаплыгина для исследования моделей, описываемых уравнениями с частными производными Обобщение метода Чаплыгина, выполненное в главе 2, позволяет накладывать более слабые ограничения на исследуемые модели Модифицированный метод Чаплыгина интегрирования скалярной модели типа 4, описывающей движение железнодорожного состава, может быть легко распростра-

II*-и«'11 *

а

1-а

м1-мо||

нен на многомерное дифференциальное уравнение (5) Построенный в главе алгоритм выбора узлов оптимальной сетки численного решения задачи Коши для модели типа 1 доказывает существование асимптотически оптимальной сетки, обеспечивающей минимальный объем вычислительной работы численного решения задачи Коши для модели типа 1 при наперед заданной погрешности вычислений 8 > О В главе разработан алгоритм численного решения специальной модели типа 2 на основе последовательности целых функций Соответствующая программа обладает быстрой сходимостью и полезна при численном решении дифференциальных уравнений на больших промежутках изменения независимой переменной без существенной потери точности вычислений В главе 2 предложен также упрощенный алгоритм численного решения алгебраической матричной модели Ляпунова (модели типа 6)

Третья глава диссертации «Проблемно-ориентированные программы исследования характеристик динамических систем» посвящена разработке проблемно-ориентированных программ расчета характеристик динамических транспортных систем, моделируемых матричными дифференциальными уравнениями (модели типа 3) и содержит описания и тексты программ в интегрированной математической среде Maple Указанные программы позволяют производить расчет характеристик вертикальных колебаний элементов конструкций колесных транспортных систем при движении по неровному пути с заданной формой неровностей, учитывать влияние характеристик демпфирования и жесткости на частоту колебаний кузова и других деталей подвижного состава железнодорожного транспорта В третьей главе разработаны программы численного решения задачи Коши специальной модели типа 2 с помощью целых функций, а также численного решения матричной модели Ляпунова типа 6, написанные в интегрированной математической среде Mathcad согласно алгоритмам, предложенным в главе 2

Комплекс программ, содержащийся в этой главе, позволяет проводить исследования математических моделей при решении задач динамики подвижного состава железнодорожного и автомобильного транспорта В частности, разработанный комплекс программ включает в себя следующие программы программу численного решения специальной модели типа 2 на основе специальной последовательности целых функций, программу чис-

ленного решения матричной модели Ляпунова типа 6, программу численного расчета динамических характеристик колесных транспортных средств на основе модели типа 3, программу графической иллюстрации результатов расчета динамических характеристик колесных транспортных средств и программу исследования влияния характеристик G, I и У колесных транспортных средств на устойчивость вертикальных колебаний железнодорожного экипажа

Программа численного решения специальной модели типа 2 составлена согласно алгоритму, предложенному в главе 2 В ней использованы операторы simplify, expand, collect, for, while и др среды Mathcad Она позволяет

вычислять значения уj к уj в точках tj на промежутках At, с определенным шагом, а также производить учет заданного числа точек Т,, в которых находится решение исходной математической модели, и обладает улучшенной сходимостью, которая достигается за счет использования специальной последовательности целых функций Gn Перед запуском данной программы необходимо указать число (N) членов степенного ряда, число (М) функций Gn, вычисляемых на каждом шаге, число (Р) и значения точек Tt, в которых находится решение математической модели, величину шага (А) вычислений Решение представляется в виде матрицы, содержащей три столбца Т„ у, и у, Особенность программы состоит также в том, что для больших значений независимой переменной te [0,1000] точность вычислений в конце промежутка задания независимой переменной уменьшается примерно на один знак

Программа численного решения матричной модели Ляпунова типа 6 также написана в соответствии с алгоритмом из главы 2 Достаточно простые итерационные вычисления организованы с помощью оператора while среды Mathcad Итерационный процесс завершается при выполнении неравенства H^i+il—е, гдеI I — евклидова норма матрицы, е — заданная погрешность вычислений Для запуска этой программы необходимо задать матрицы А и Wyi погрешность вычислений 8 > 0

Программа расчета динамических параметров колесных транспорт-

ных средств написана в среде Maple в соответствии с алгоритмами, приведенными в главе 3 диссертации Данная программа состоит из трех проблемно-ориентированных подпрограмм подпрограмма 1, подпрограмма 2 и подпрограмма 3 Подпрограмма 1 предназначена для расчета собственных частот колебаний, перемещений, скоростей и ускорений перемещений узлов колесного транспортного средства при движении по заданному профилю неровностей пути Подпрограмма 2 позволяет определить характеристики случайных колебаний колесного транспортного средства при движении по пути, поверхность которого имеет случайную последовательность выступов и впадин Подпрограмма 3, наконец, осуществляет вычисление собственных частот колебаний, перемещений, скоростей и ускорений перемещений элементов железнодорожного вагона в вертикальной плоскости при его движении по неровному железнодорожному пути

Указанные подпрограммы состоят из вспомогательных программных модулей и основной программы Вспомогательные программные модули можно разделить на три группы модули для ввода данных, для расчета и для вывода результатов Исходные данные моделируемых транспортных динамических систем в соответствии с решаемыми задачами предварительно должны быть помещены в файлы data l, data_2 и data_3 соответственно Результаты расчетов выводятся на дисплей ПЭВМ и записываются в принимающие файлы rez_l, rez_2, rez_3 и rez_A

Строки с командами программы пронумерованы в порядке возрастания Текст подпрограммы 1 содержится в строках с номерами 1—172, подпрограммы 2-в строках 173-326, подпрограммы3-встроках 327-467 Запуск подпрограмм 1,2 и 3 осуществляется соответственно в строках с номерами 158,317 и450

При необходимости с помощью программы, программные модули которой приведены в строках 1—83, возможно произвести графическую иллюстрацию расчетов, выполненных с помощью подпрограмм 1,2 и 3 соответственно Запуск графических подпрограмм осуществляется соответственно в строках 1,45, 57 Перед запуском программы необходимо указать директории расположения принимающих файлов rez_\, rez_2, rez 3 и rez 4

Программа исследования влияния геометрических характеристик С, инерционных характеристик / и характеристик демпфирования и жесткости Околесных транспортных средств на устойчивость вертикальных колебаний железнодорожного экипажа включает строки 1—12 Она используется совместно с подпрограммой 3 программы численного расчета динамических характеристик колесных транспортных средств В построении алгоритма программы исследования влияния характеристик б, / и У колесных транспортных средств на устойчивость вертикальных колебаний железнодорожного экипажа использованы положения первого метода Ляпунова Результаты расчетов выводятся на дисплей в числовом и графическом виде и дают представление о влиянии геометрических в и инерционных / характеристик, а также характеристик демпфирования и жесткости Уна устойчивость вертикальных колебаний железнодорожного экипажа, выраженное в процентах

Глава 3 содержит комплекс проблемно-ориентированных программ расчета характеристик динамических транспортных систем типов 3-5 и численного решения моделей типов 2 и 6

Четвертая глава «Проведение вычислительного эксперимента, анализ результатов моделирования характеристик динамических систем» посвящена проведению вычислительного эксперимента и анализу результатов моделирования характеристик динамических систем В частности, с помощью комплекса проблемно-ориентированных программ расчета характеристик динамических транспортных систем проведен вычислительный эксперимент по математическому моделированию характеристик движения колесного транспортного средства по неровному пути, колесного транспортного средства по неровному пути со случайным характером неровностей и моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона Далее дан анализ результатов моделирования вертикальных колебаний при движении колесных транспортных средств, показателей устойчивости движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами, показателей устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода и устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых Анализ характеристик транспортных динамических систем, оцененных в процессе вычислительного эксперимента, дает возможность вносить усовершенствования в конструкции

транспортных средств, повышать безопасность и комфортабельность передвижения пассажиров и сохранность перевозимых грузов

Математическое моделирование движения колесных транспортных средств, выполненное в главе 4, предусматривает, в частности, решение следующих задач расчет нагрузок, которым подвергаются элементы подвески и само транспортное средство, сохранность перевозимых грузов, безопасность и комфортабельность передвижения пассажиров и тд Для исследования транспортных моделей типа 3 и решения указанных выше задач в диссертационной работе использован комплекс проблемно-ориентированных программ, разработанный в главе 3

Проведен вычислительный эксперимент, в котором рассмотрено движение в вертикальной плоскости автомобильного транспортного средства, состоящего из кабины, водителя, рамы, кузова, подвески и шин, через препятствие заданной формы Общая система уравнений движения данного транспортного средства получается на основе частного случая транспортной модели типа 3

где М, С, К — соответственно матрицы масс, демпфирования, жесткости, <2 - вектор обобщенных сил, г - вектор обобщенных координат, равный

Мг + Сг + Кг = <2,

г

/

, ф — обобщенные перемещения 1-го тела

ПЕРЕМЕЩЕНИЕ Т\ 72 В 23 м (»=60 км/час)

УСКОРЕНИЕ Я , 12", 23", 29" м/с«2 (»=50 ш/час)

Рис 1

Рис 2

На рис 1 и 2 представлены результаты расчетов с помощью комплекса проблемно-ориентированных программ зависимостей перемещений гг,

г3 и г, и линейных ускорений г^г^^ и г9 от времени г для V = 50 км/час

концентрированных масс кабины, рамы, кузова и сиденья водителя моделируемого транспортного средства соответственно (толщина линий увеличивается с ростом номера соответствующей зависимости)

Установлено, что собственная частота колебаний &еяиепсу[12]=0,66 Нг сиденья водителя соответствует зоне комфортности, а при движении через препятствие сиденье подвергается значительным перегрузкам, на скорости V = 60 км/час происходит отрыв колес от поверхности пути

В главе 4 проведено также моделирование движения железнодорожного вагона, состоящего из кузова и двух рам тележек с подбуксовым подвешиванием, вдоль железнодорожного полотна Изучены вертикальные колебания вагона на стыках железнодорожной колеи Закон движения вагона в вертикальной плоскости соответствует частному случаю транспортной модели типа 3

где М, С, К — соответственно матрицы масс, демпфирования, жесткости, Q{t) — вектор обобщенных сил, г — вектор обобщенных координат,

г = , ф!, гг, ф2, 2г, ф3, , г5, г6, г7 ), г,, ф, - обобщенные перемещения г-го тела

Расчеты с помощью комплекса проблемно-ориентированных программ показывают, что перемещение кузова вагона невелико и практически не зависит от скорости движения вагона Частота линейного ускорения возрастает с увеличением скорости вагона от 120 до 200 км/час и не принадлежит зоне комфортабельного передвижения

Изучение влияния параметров С, / и Уна устойчивость вертикальных колебаний вагона показывает, что параметры демпфирования и жесткости доказывают значительно более существенное влияние на устойчивость

вертикальных колебаний вагона, чем инерционные /и геометрические О параметры (см рис 3)

Результаты четвертой главы позволяют дать рекомендации по улучшению конструкции колесных транспортных средств и совершенствованию функционирования транспортных систем с точки зрения устойчивости движения, повышения безопасности и комфортабельности передвижения пассажиров и сохранности перевозимых грузов Кроме того, разработанные методы и алгоритмы расчета позволяют выполнять расчет показателей устойчивости движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами, показателей устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода и устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых

В Заключении диссертации перечислены основные результаты работы, отмечены некоторые нерешенные задачи и перспективные направления, связанные с темой диссертации

Зависимость Ре(1атЬс1а(!)) (%) от ,Н,С(%)

О

10 20 30 40 93

рс

Рис 3

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

На защиту выносятся следующие группы результатов

I Развитие качественных методов исследования характеристик динамических систем

—разработка обобщенного прямого метода Ляпунова исследования моделей типа 1, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши,

— развитие качественного метода исследования модели типа 2 при различных ограничениях на функцию диссипации,

— качественный анализ обобщенной матричной модели типа 3

II Развитие приближенно-аналитических методов и алгоритмов исследования характеристик динамических систем

—установление тождественности последовательностей методов Чаплыгина и Ньютона исследования математических моделей типа 1,

—применение модифицированного метода Чаплыгина для интегрирования модели типа 4, описывающей движение рельсового экипажа,

— разработка оптимального алгоритма выбора сеток численного решения задачи Коши математической модели типа 1, обеспечивающего минимум суммы величин погрешностей на каждом шаге интегрирования в зависимости от заданной точности вычислений,

— численное решение задачи Коши специальной модели типа 2 на основе специальной последовательности целых функций

III Проблемно-ориентированные программы исследования характеристик динамических систем

—разработка комплекса проблемно-ориентированных программ, в котором реализованы численные методы и методы расчета характеристик транспортных динамических систем,

— разработка универсального способа определения влияния параметров транспортных динамических систем на устойчивость их движения

IV Организация и проведение вычислительного эксперимента, анализ результатов моделирования характеристик динамических систем

— проведение серии вычислительных экспериментов и анализ результатов моделирования характеристик транспортных динамических систем при

движении по неровному пути, позволивший дать рекомендации по улучшению функционирования транспортных систем с точки зрения устойчивости, безопасности, комфортабельности,

— разработка блок-схемы алгоритма расчета критической скорости при математическом моделировании поперечной устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода,

— математическое моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона,

— результаты математического моделирования устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах

а) в научных монографиях

1 Голечков Ю И Асимптотические и качественные методы исследования технических систем, моделируемых обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка Монография / Рос гос откр техн ун-т путей сообщения - M РГОТУПС, 2003 -212 с

2 Голечков Ю И Приближенно-аналитические методы исследования ма-

тематических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в конечномерном и бесконечномерном пространствах Научное издание - M Изд-воРУДН, 2006 -61 с

б) в научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ

3 Голечков Ю И О сохранении свойств ограниченности решений при возмущении нелинейной «-мерной дифференциальной системы // Дифференц уравнения 1985 Т XXI №5 С 748-752

4 Голечков Ю И О качественном исследовании движения некоторых технических объектов//НТТ-наука и техника транспорта 2002 №2 С 21-25

5 Голечков Ю И, Шестаков А А Исследование поперечной устойчивости и оптимизация скорости железнодорожного экипажа // Транспорт наука, техника, управление 2004 №4 С 8 — 11

6 Голечков Ю И О численно-аналитических методах изучения решений математических моделей динамических систем // Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем 2005 Вып 9(1) С 66-77

7 Голечков Ю И Исследование качественных и асимптотических свойств математических моделей динамических систем // Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем 2005 Вып 9(1) С 78-84

8 Голечков Ю И Модификация численно-аналитического метода Чаплыгина исследования решения дифференциальных уравнений // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем 2005 Вып 9 (2) С 88-94

9. Голечков Ю И, Корольков ЕП Устойчивость установок двухосной тележки при движении экипажа в кривых // Мир транспорта 2006 №2 С 14-17

10 Голечков Ю И Об алгоритмах оптимизации проектных параметров экипажа //Мир транспорта 2006 №3 С 26-31

11 Шестаков А А , Голечков Ю И Устойчивость и безопасность движения транспортных динамических систем // Наукоемкие технологии 2007 №7 С 56-60

12 Голечков Ю И, Шестаков А А, Ефимов И А О математическом моделировании безопасного движения по неровному пути колесного транспортного средства // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем 2007 Вып 9 С 193-200

в) публикации в других научных изданиях

13 Голечков Ю И, Шестаков А А Математическое моделирование Учебное пособие Ч 1,2 -М ВЗИИТ, 1993

14 Голечков Ю И О предельном режиме решений обобщенного уравнения Льенара // Application of the «Mathematica» system to social processes and mathematical physics Proc of the International Workshop (Brest, 3-6 June 2003) Брестский roc ун-т им AC Пушкина, Wyzsza szkolafinansowizarzadzamawSiedlcach, Polska,2003 С 21-26

15 Голечков Ю И, Шестаков А А Обобщение теорем Ла-Салля и Марач-кова // В сб Проблемы динамики подвижного состава и устойчивости движения динамических систем Сб науч тр -М ВЗИИТ, 1990 С 128-132

16 Голечков Ю И Об экстремальной устойчивости нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Современные проблемы управления, устойчивости и колебаний нелинейных механических систем ж-д транспорта С б науч тр -М ВЗИИТ, 1991 Ч II С 62-67

17 Голечков Ю И Исследование притяжения решений неавтономной дифференциальной системы с неограниченной диссипацией // Управляемые динамические системы Сб науч тр —Саранск Мордовский го с ун-т, 1991 С 108-113

18 Голечков Ю И Об алгоритме Рунге-Кутта четвертого порядка // Оптимальное функционирование, сохранение устойчивости и надежности систем железнодорожного транспорта Межвуз сб научн тр / Рос гос откр техн ун-т путей сообщения - M РГОТУПС,

1997 С 18-20

19 Голечков Ю И Об устойчивости бесконечномерных дискретных и непрерывных систем // Колебания, прочность и устойчивость движения в задачах механики транспортных систем Межвуз сб науч тр / Рос гос откр техн ун-т путей сообщения - M РГОТУПС,

1998 С 43-45

20 Голечков Ю И Об оценках решений неавтономных дифференциальных уравнений // Современные качественные исследования динамических систем железнодорожного транспорта Межвуз сб научн тр / Рос гос откр техн ун-т путей сообщения - M РГОТУПС, 2000 С 79-80

21 Голечков Ю И О существовании периодических траекторий многомерного стационарного дифференциального уравнения // Вопросы устойчивости, прочности и управляемости динамических систем Межвуз сб научн тр /Рос гос откр техн ун-т путей сообщения — M РГОТУПС,2002 С 42-43

22 Голечков Ю И, Шестаков А А Алгоритм численного решения матричного уравнения Ляпунова // Современные проблемы совершенствования работы ж -д транспорта Межвуз сб науч тр / Рос гос откр техн ун-т путей сообщения — M РГОТУПС, 2003 С 214-216

23 ГолечковЮ И, ШестаковА А О комбинированном методе исследования поперечной устойчивости железнодорожного экипажа // Методы исследования технической устойчивости и качественных свойств систем ж -д трансп Межвуз сб науч тр / Рос гос откр техн ун-т путей сообщения - M РГОТУПС,2003 С 68-73

24 Голечков Ю И, Шестаков А А О практической устойчивости множества решений разностных уравнений // Методы исследования технической устойчивости и качественных свойств систем ж -д трансп Межвуз сб научтр /Рос гос откр техн ун-т путей сообщения—M РГОТУПС,2003 С 17-19

25 Голечков Ю И, Шестаков А А О вертикальных колебаниях при движении транспортного средства по неровному случайному пути // Качественное исследование и устойчивость математических моделей транспортных динамических систем Межвуз сб научн тр /Рос гос откр техн ун-т путей сообщения -М РГОТУПС, 2004 С 79-84

26 ГолечковЮ И Об условиях устойчивости движения железнодорожного средства со многими колесными парами // Качественное исследование и устойчивость математических моделей транспортных динамических систем Межвуз сб научн тр / Рос гос откр техн ун-т путей сообщения - M РГОТУПС, 2004 С 17-20

27 Голечков Ю И О сравнительном анализе численного интегрирования задачи Коши // Математическое моделирование транспортных динамических систем устойчивость и качественный анализ Межвуз сб научн тр /Рос гос откр техн ун-т путей сообщения -М РГОТУПС, 2004 С 62-66

28 Голечков Ю И, Шестаков А А Характеристика Мар1е-программы в задаче о движении вагона по неровному рельсовому пути // Математическое моделирование транспортных динамических систем устойчивость и качественный анализ Межвуз сб научн тр / Рос гос откр техн ун-т путей сообщения - M * РГОТУПС, 2004 С 23-26

29 Голечков Ю И, Миронов С В О качественном исследовании математической модели, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка // Вопросы моделирования и анализа в задачах при-

нятия решений Сб научн тр - M ВЦ им А А Дородницына РАН, 2004 С 23-38

30. Голечков Ю И Об оптимальном алгоритме выбора сеток // Устойчивость и качественный анализ математических моделей динамических систем транспорта Межвуз сб научн тр /Рос гос откр техн ун-т путей сообщения - M РГОТУПС, 2005 С 72-75

31 Голечков Ю И О численном интегрировании задачи Коши для «-мерного обыкновенного дифференциального уравнения // Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта Межвуз сб научн тр / Рос гос откр техн ун-т путей сообщения — M РГОТУПС, 2006 Т1 С 31-37

32 Голечков Ю И Об обобщении метода Пикара интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Качественное и численное исследование математических моделей динамических систем. Межвуз сб научн трудов /Рос гос откр техн ун-т путей сообщения -М РГОТУПС, 2006 С 68-71

33 Голечков Ю И О приближенно-аналитическом методе интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАЕН Дифференциальные уравнения 2006 №11 С 66-67

34 Голечков Ю И О модификации метода локализации предельного множества динамических систем // Качественное и численное исследование математических моделей динамических систем Межвуз сб научн трудов /Рос гос откр техн ун-т путей сообщения — M РГОТУПС, 2007 С 16-20

35 Голечков Ю И Существование рекуррентных движений некоторых классов динамических систем // Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта Тезисы докладов первой межвузовской научно-методической конференции Ч 1 — M РГОТУПС, 1996 С 91-94

36 Голечков Ю И О строгой асимптотической устойчивости динамической системы // Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта Тезисы докладов второй межвузовской научно-методической конференции —M РГОТУПС, 1997 С 36

37 Голечков Ю И О глобальной устойчивости состояния равновесия потенциальной системы // Актуальные проблемы и перспективы развития ж -д транспорта Тезисы докладов третьей межвузовской научно-методической конференции Ч 1 - M РГОТУПС, 1998 С 60-61

38 Голечков Ю И, Шестаков А А Об оптимизации проектных параметров рельсового экипажа // Научно-практическая конференция «Современные проблемы взаимодействия подвижного состава и пути Колесо-рельс 2003» // Сб докл - Россия, Щербинка, 20-21 ноября 2003 С 149-150

39 Голечков Ю И О моделировании движения транспортной динамической системы // XL Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии//Тез докл Секция физики — M Изд-воРУДН-19-23 апреля 2004 С 161-162

40 Голечков Ю И Об устойчивоподобных свойствах решений некоторых классов дифференциальных уравнений // Рос гос откр техн ун-т путей сообщения РФ -Деп в ВИНИТИ РАН 06 09 2000, №2363-В00 -30 с

Подписано в печать 22 08 2007 г Формат 60x84/16 Печ л 2 Тираж 100 экз Заказ 0464

Издательство «Тровант» ЛР 071961 от 01 09 1999 г

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательства «Тровант» 142191, г Троицк Московской обл , м-н «В», д 52 Тел (495) 334-09-67, (4967) 50-21-81 E-mail trovant@ttk ru. http //www tiovant ru/

Введение.

Глава 1. Качественные методы исследования характеристик динамических систем.

§1. Изучаемые математические модели (модели типов 1-5) динамических систем и предварительные сведения.

§2. Качественное исследование автономной модели типа 1.

§3. Исследование свойства ограниченности для модели типа

§4. Качественный анализ ньютоновской модели типа 2 с неограниченной диссипацией.

§5. Качественный анализ обобщенной матричной модели

§6. Качественный анализ скалярной и векторной моделей типов 4 и 5.

Глава 2. Приближенно-аналитические методы и алгоритмы исследования характеристик динамических систем.

§1. Введение.

§2. Метод Чаплыгина.

§3. Сравнение методов Ньютона и Чаплыгина.

§4. Совпадение последовательностей Чаплыгина и Ньютона

§5. О сходимости последовательности Чаплыгина.

§6. Модификация метода Чаплыгина.

§7. Применение модифицированного метода Чаплыгина для интегрирования модели типа 4, описывающей движение рельсового экипажа.

§8. Алгоритм выбора узлов оптимальной сетки численного решения задачи Коши модели типа 1.

§9. Численное решение специальной модели типа 2.

§10. Устойчивость численного решения задачи Коши модели типа 1 .'.

§11. Построение алгоритма численного решения матричной модели Ляпунова типа 6.

Глава 3. Проблемно-ориентированные программы исследования характеристик динамических систем.

§1. Программа численного решения задачи Коши специальной модели типа 2 с помощью целых функций.

§2. Программа численного решения матричной модели Ляпунова типа 6.

§3. Программа расчета динамических характеристик колесных транспортных средств.

§4. Программа графической иллюстрации результатов расчета динамических характеристик колесных транспортных средств

§5. Программа исследования влияния характеристик G, I и / колесных транспортных средств на устойчивость вертикальных колебаний железнодорожного экипажа.

Глава 4. Проведение вычислительного эксперимента, анализ результатов моделирования характеристик динамических систем.

§1. Математическое моделирование вертикальных колебаний при движении колесного транспортного средства.

1.1. Изучение характеристик движения колесного транспортного средства по неровному пути.

1.2. Исследование характеристик движения колесного транспортного средства по неровному пути со случайным характером неровностей.

§2. Математическое моделирование устойчивости продольного движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами

§3. Алгоритм комбинированного метода математического моделирования поперечной устойчивости при движении железнодорожного транспортного средства.

§4. Математическое моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона.

§5. Математическое моделирование устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых.

t Диссертационная работа посвящена развитию качественных, приближенно-аналитических методов и алгоритмов исследования характеристик динамических систем, изучению их качественных и асимптотических свойств, а также созданию комплекса проблемно-ориентированных программ расчета параметров динамических систем типа колесных транспортных средств.

Вопросы моделирования движения нелинейных динамических систем и вопросы, связанные с их устойчивостью, играют важную роль в развитии теории математического моделирования и системного анализа, поскольку они тесно связаны с решением ряда приоритетных задач управления сложными техническими объектами и техническими процессами, а также с разработкой автоматизированных систем управления. В связи с возросшими требованиями к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических процессов, а также к управлению указанными объектами и процессами, возникает необходимость изучения новых математических моделей динамических процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. При этом оказывается целесообразным привлечение различных методов математического моделирования, качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, аналитической механики. > Динамические системы изучаются в конечномерных пространствах состояний Rn и описываются дифференциальными операторами T(t) со свойством

T(t2)T(t,)x = T{t,+t2)x, где tx, t2 > 0 г значения параметра t. Различают операторы линейные, нелинейные, непрерывные, дискретные, а по форме задания дифференциальные, интегральные и т.д. [24]. Для этого разрабатываются соответствующие дифференциальные математические модели второго порядка. Такие модели описывают функционирование многих технических динамических систем, а их разработка представляет фундаментальную научную проблему, которая в работе декомпозирована на шесть математических моделей.

В диссертации изучаются следующие типы динамических систем: 1. Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши x = f{t,x), xeR",x = dx/dt . (0.1) где Rn- евклидово пространство.

2. Динамические системы, представимые ньютоновской моделью и описываемые дифференциальным уравнением второго порядка y + f(t,y,y)\y\ay + g(t,y,y) + gl(y) = e(t,y,y), ye R, (0.2) где функции /, g, gx и е непрерывны; скалярная фазовая переменная х принимает вещественные значения; постоянная ос неотрицательна.

3. Динамические системы, описываемые матричным дифференциальным уравнением второго порядка

Ax+Bx + Cx = Q(t,x,x), xeR". (0.3)

Это обобщенная матричная модель движения колесных транспортных средств, в которой условия и ограничения, накладываемые на элементы модели, следующие: А, В и С - квадратные матрицы (соответственно матрицы масс, демпфирования и жесткости); Q(t,x,x) - заданная нелинейная вектор-функция времени, перемещения и скорости (обобщенная возмущающая сила); R" - евклидово пространство.

4. Динамические системы, описываемые скалярным дифференциальным уравнением вида = />«+ Q(u),

0.4) где и - скалярная функция независимой переменной s, Р - непрерывная функция переменной Q - непрерывно дифференцируемая функция переменной и. Соответствующая модель возникает при изучении вопроса о движении железнодорожного состава.

5. Динамические системы, описываемые векторным дифференциальным уравнением вида = P(s)+Q(u), (0.5) as где и - векторная функция от UE Rn, se R ; P(s) - непрерывная функция; Q(u) - непрерывно дифференцируемая функция. Соответствующая математическая модель используется для изучения вопроса о характеристиках движения подвижного состава железнодорожного транспорта.

6. Динамические системы, описываемые матричным уравнением

A'V+VA=-W, (0.6) где А, V и W- постоянные квадратные матрицы; штрих означает транспонирование.

Наряду с вышеупомянутыми фундаментальными являются также задачи математического моделирования движения ряда колесных транспортных средств, в том числе задачи динамики подвижного состава железнодорожного транспорта. Сложность их решения требует разработки соответствующего комплекса проблемно-ориентированных компьютерных программ.

Актуальность разработки названных моделей обусловлена необходимостью обоснования режимов функционирования динамических систем для обеспечения безопасности и устойчивости их работы. Это возможно только посредством математического моделирования в различных условиях их функционирования. В связи с этим возникает и актуальная потребность в разработке соответствующего комплекса проблемно-ориентированных компьютерных программ.

Целью диссертационной работы является разработка качественных и численно-аналитических методов исследования устойчивости и асимптотического поведения неавтономных динамических систем с различными типами затухания процессов для создания математической базы и обеспечения стабильных режимов функционирования и прогнозирования динамики проектируемых систем различного назначения. Целью работы является также реализация единого подхода в исследовании классов динамических систем, задаваемых дифференциальными уравнениями ньютоновского типа, а также пакета программ компьютерной реализации разработанных в диссертации конструктивных методов, открывающих новые возможности для математического моделирования динамических систем и управления их поведением.

Отсутствие точных универсальных методов исследования нелинейных систем обусловило разработку обширного набора качественных, приближенно-аналитических и численных методов исследования динамических систем. Методы исследования устойчивости и качественных свойств динамических систем изучались, начиная с работ А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Н.Е. Жуковского и Дж. Биркгофа, в работах отечественных и зарубежных ученых: Н.Г. Четаева, Е.А. Барбашина, В.В. Немыцкого, В.И. Зубова, В.М. Матросова, А.А. Шестакова, В.В. Румянцева, В.М. Стар-жинского, И.Г. Малкина, X. Массеры, Р. Беллмана, В. Коппела, Ж.П. JTa-Салля, С. Лефшеца, М. Урабе, Л. Чезари и других ученых (см. [1,4, 10 -12,15,16,18 - 20,22,23,27 - 30, 34, 36, 39 - 41,43,44,49, 50, 53, 54,60,63,65, 66, 68 - 70, 73, 75, 76, 78 - 80, 82, 83, 85, 87 - 94, 99, 103, 107, 109, 110- 115, 130, 135]).

Одним из основных методов исследования свойств устойчивости и ограниченности решений является метод функций Ляпунова, получивший к настоящему времени значительное развитие (см., например, [10, 22, 27, 43, 54, 65, 73, 93, 94, 110, 113, 114, 135]). Однако некоторые аспекты этого метода, связанные со снятием ограничений на функции Ляпунова, не получили должного развития и требуют дальнейшей разработки. В сочетании с локализацией предельных множеств динамических систем (проблемы локализации предельных множеств рассматривались в [110а, 112, 130] и других работах) метод обобщенных функций Ляпунова позволяет снять ряд существенных ограничений на функции Ляпунова. В настоящей работе удалось получить новые условия асимптотической устойчивости моделей типа (0.1) при знакопеременной функции Ляпунова.

До настоящего времени малоизученным является случай неограниченного демпфирования для модели (0.2), поэтому изучение устойчивости решений и других свойств таких моделей представляет большой интерес для приложений. В работе для решения указанных задач применен метод обобщенных функций Ляпунова.

На основе развития первого метода Ляпунова предложен универсальный способ исследования влияния параметров диссипации и жесткости, инерционных параметров, а также геометрических параметров проектируемого экипажа на устойчивость движения транспортных динамических систем, разработано соответствующее программное обеспечение. Полученные результаты обобщают, уточняют и развивают результаты Н.Н. Лузина, С.А. Чаплыгина, Н.А. Панькина, Ю.И. Пер-шица, И.П. Исаева, А.Х. Викенса, Е.П. Королькова, Т.А. Тибилова, Ю.М. Черкашина и других ученых (см. работы [42, 61, 62, 67, 100, 106, 108,111,134]).

Качественные методы исследования математических моделей динамических систем, описываемых уравнениями (0.1) - (0.5), развиты в работах автора [1*, 3* - 5*, 7*, 9* , 11*, 12*, 14*, 16*, 23*, 25*, 30*, 33*, 39*, 51*].

Разработанные к настоящему времени численно-аналитические методы охватывают исследования динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Они классифицируются на приближенно-аналитические, графические или машинно-графические и численные методы.

К методам первой группы относятся методы степенных рядов, Ш.Э. Пикара, С.А. Чаплыгина, согласно которым решение y{t) можно находить в виде некоторой функции ср(/), удовлетворяющей тем или иным условиям гладкости.

Для численных расчетов более удобен метод Чаплыгина [106], состоящий из итерационного решения последовательности линейных задач Коши вида

Метод С.А.Чаплыгина был распространен на обыкновенные дифференциальные уравнения в Rn Н.Н. Лузиным [67]. Формальное обобщение, рассмотренное Т. Важевски [132], было применено С.А. Щелку-новым [1281 в задаче расчета антенн и сравнивалось с методом последовательных приближений Ч. Олеха [127]. Развитие методов Чаплыгина и Лузина содержится в [41, 108] и других работах.

По методам второй группы приближенное решение строится на отрезке [t0,b] в виде графика на мониторе аналоговой вычислительной машины и в настоящее время эти методы по существу не применяются.

Третья группа методов содержит различные модификации метода Эйлера, семейство методов Рунге-Кутта различных порядков [24] и целого ряда других одношаговых и многошаговых методов. Эти методы предполагают получение решения задачи Коши в виде числовой таблицы приближенных значений yi искомого решения y{t) на некоторой сетке /, е [tQ, b] значений аргумента / и не требуют вычисления частных производных от правой части заданного дифференциального уравнения.

Однако разработанные к настоящему времени группы методов часто не применимы для исследования фундаментальных свойств динамических систем (0.1) - (0.6), так как необходимость учета сложного поведения решений указанных систем требует дальнейшей разработки, модификации и усовершенствования упомянутых методов. Это обстоятельство составляет основу актуальности темы исследования. Выполненные в диссертации разработка и усовершенствование приближенно-аналитических и численных методов дают, в частности, улучшенную сходимость по сравнению с имеющимися методами.

В работах автора [2*, 6*, 8*, 17*, 18*] даются модификации методов Ньютона, Чаплыгина, Рунге-Кутта, а также метода степенных рядов на основе целых функций, исследования математических моделей динамических систем, обобщающие упомянутые выше результаты.

Итак, областью исследования в настоящей диссертации являются теоретические основы и компьютерные методы исследования математических моделей динамических систем (0.1) - (0.6) и задач эффективного прогнозирования их функционирования с оценкой показателей их динамической безопасности.

Диссертационная работа состоит из настоящего введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Список литературы разделен на две части. В первой помещены работы автора (они помечены звездочками), а во второй - работы отечественных и иностранных ученых.

Первая глава диссертации посвящена качественному и асимптотическому изучению характеристик решений математических моделей динамических систем (0.1) - (0.5). В частности, приведены изучаемые динамические системы и предварительные сведения. В данной главе разработан обобщенный прямой метод Ляпунова исследования математических моделей, описываемых многомерными нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши (уравнениями вида (0.1)). Для указанных моделей установлены предложения о локализации положительного предельного множества, из которых вытекают новые условия об асимптотической устойчивости. Кроме того, получен признак об эвентуальной ограниченности решений и рассмотрены некоторые качественные свойства решений. В данной главе проведен также качественный анализ ньютоновской модели, описываемой уравнением вида (0.2) с неограниченной функцией диссипации, и обобщенной матричной модели движения колесных транспортных средств, описываемой уравнением (0.3). Кроме того, проведен качественный анализ скалярной и векторной моделей, описываемых соответственно уравнениями (0.4) и (0.5), а именно, установлены условия существования периодических решений и дана оценка зон стабильности движения железнодорожного состава. Результаты первой главы служат теоретической основой для первого этапа математического моделирования широкого класса динамических систем нелинейной механики, в частности, в тех случаях, когда рассматривается неограниченная диссипация.

Во второй главе рассмотрены вопросы, связанные с дальнейшим развитием и модификацией приближенно-аналитического метода Чаплыгина исследования математических моделей динамических систем. Одним из результатов второй главы является модификация метода Чаплыгина, следствием которой является единообразие метода Чаплыгина для моделей динамических систем в конечномерном и бесконечномерном пространствах. В главе рассмотрены численные методы решения задачи Коши для моделей динамических систем (0.1) и (0.2); доказана устойчивость численного решения задачи Коши для модели, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Результаты, полученные во второй главе, дают возможность применять приближенно-аналитический метод Чаплыгина для исследования моделей, описываемых уравнениями с частными производными. Обоб

12 щение метода Чаплыгина, выполненное в главе 2, позволяет накладывать более слабые ограничения на исследуемые модели. Модифицированный метод Чаплыгина интегрирования скалярной модели (0.4), описывающей движение железнодорожного состава, может быть легко распространен на многомерное дифференциальное уравнение (0.5). Построенный в главе алгоритм выбора узлов оптимальной сетки численного решения задачи Коши для модели (0, 1) доказывает существование асимптотически оптимальной сетки, обеспечивающей минимальный объем вычислительной работы численного решения задачи Коши для модели (0.1) при наперед заданной погрешности вычислений е > 0. В главе разработан алгоритм численного решения специальной модели (0.2) на основе последовательности целых функций. Соответствующая программа обладает быстрой сходимостью и полезна при численном решении дифференциальных уравнений на больших промежутках изменения независимой переменной без существенной потери точности вычислений. В данной главе предложен также упрощенный алгоритм численного решения алгебраической матричной модели Ляпунова (0.6).

Третья глава диссертации посвящена разработке проблемно-ориентированных программ расчета характеристик транспортных динамических систем (0.3), моделируемых матричными дифференциальными уравнениями, и содержит описания и тексты программ в интегрированной математической среде Maple. Указанные программы позволяют производить расчет характеристик вертикальных колебаний элементов конструкций колесных транспортных систем при движении по неровному пути с заданной формой неровностей, учитывать влияние характеристик демпфирования и жесткости на частоту колебаний кузова и других деталей подвижного состава железнодорожного транспорта. В третьей главе разработаны программы численного решения задачи Коши специальной модели динамической системы (0.2) с помощью целых функций, а также численного решения матричной модели Ляпунова (0.6), написанные в интегрированной математической среде Mathcad согласно алгоритмам, предложенным в главе 2.

Четвертая глава посвящена проведению вычислительного эксперимента и анализу результатов моделирования характеристик динамических систем. В частности, с помощью комплекса проблемно-ориентированных программ расчета характеристик транспортных динамических систем, разработанного в главе 3, проведен вычислительный эксперимент по математическому моделированию характеристик движения: колесного транспортного средства по неровному пути, колесного транспортного средства по неровному пути со случайным характером неровностей и моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона. Далее дан анализ результатов моделирования вертикальных колебаний при движении колесных транспортных средств, показателей устойчивости движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами, показателей устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода и устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых. Анализ характеристик транспортных динамических систем, оцененных в процессе вычислительного эксперимента, дает возможность вносить усовершенствования в конструкции транспортных средств, повышать безопасность и комфортабельность передвижения пассажиров и сохранность перевозимых грузов.

В Заключении подведены итоги проведенных в диссертации исследований и на их основе выявлены также другие нерешенные в настоящий момент времени задачи и намечены возможные подходы к их разрешению.

В диссертации

- осуществлена разработка обобщенного прямого метода Ляпунова исследования динамических систем (0.1), описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши;

- развит качественный метод исследования динамической системы (0.2) при различных ограничениях на функцию диссипации;

- проведен качественный анализ обобщенной матричной модели динамической системы (0.3);

- установлена тождественность последовательностей методов Чаплыгина и Ньютона исследования математических моделей динамических систем (0.1);

- применен модифицированный метод Чаплыгина для интегрирования модели динамической системы (0.4), описывающей движение рельсового экипажа;

- разработан оптимальный алгоритм выбора сеток численного решения задачи Коши математической модели динамической системы (0.1), обеспечивающий минимум суммы величин погрешностей на каждом шаге интегрирования в зависимости от заданной точности вычислений;

- построено численное решение задачи Коши специальной модели динамической системы (0.2) на основе специальной последовательности целых функций;

- разработан комплекс проблемно-ориентированных программ, в котором реализованы численные методы и методы расчета характеристик транспортных динамических систем;

- предложен универсальный способ определения влияния параметров транспортных динамических систем на устойчивость их движения;

- проведена серия вычислительных экспериментов и сделан анализ результатов моделирования характеристик транспортных динамических систем при движении по неровному пути, позволивший дать рекомендации по улучшению функционирования транспортных систем с точки зрения устойчивости, безопасности, комфортабельности;

- разработана блок-схем алгоритма расчета критической скорости при математическом моделировании поперечной устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода;

- осуществлено математическое моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона;

- получены результаты моделирования устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых.

Полученные результаты составляют развитие метода обобщенных функций Ляпунова качественного анализа динамических систем при ограниченной и неограниченной диссипации, а также первого и второго методов Ляпунова.

Результаты могут быть использованы для качественного анализа математических моделей многих механических, физических и технических процессов. Анализ устойчивости и качественных свойств является необходимым для обеспечения оптимальных режимов функционирования сложных систем. Результаты качественного анализа и численного моделирования движения колесных транспортных средств, в том числе рельсового экипажа имеют прикладное значение при решении задач динамики железнодорожного транспорта.

Результаты диссертации позволяют дать рекомендации по улучшению конструкций колесных транспортных средств и совершенствованию функционирования транспортных систем с точки зрения устойчивости движения, повышения безопасности и комфортабельности передвижения пассажиров и сохранности перевозимых грузов. Кроме того, разработанные методы и алгоритмы позволяют выполнять расчет показателей устойчивости движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами, показателей устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода и устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых.

Результаты диссертации являются вкладом в математическое моделирование, системный анализ, теорию устойчивости движения, теорию нелинейных колебаний и в методы численного анализа.

Они основаны на строгом использовании аналитических и качественных методов и подтверждены сравнением с результатами полученными с помощью других методов, а также положительными результатами их обсуждений на различных Всероссийских и международных научных конференциях.

По теме диссертации опубликована 51 научная работа [1*-51*], в том числе 2 монографии. Опубликованные работы полно отражают содержание диссертационной работы.

В заключении автор выражает благодарность научному консультанту доктору технических наук Д.Е. Пилыцикову, академику АНН, доктору физико-математических наук профессору А.А. Шестакову, доктору физико-математических наук профессору А.Н. Кудинову за обсуждение диссертационной работы, ценные советы и замечания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации произведена модификация некоторых качественных, приближенно-аналитических и численных методов и алгоритмов исследования характеристик динамических систем, изучен ряд качественных и асимптотических свойств указанных систем, создан комплекс проблемно-ориентированных компьютерных программ расчета динамических параметров колесных транспортных средств, а также проведено математическое моделирование ряда колесных транспортных средств и их узлов.

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:

1) разработан обобщенный прямой метод Ляпунова исследования моделей типа 1, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши; 2) развит качественный метод исследования модели типа 2 при различных ограничениях на функцию диссипации; 3) построен оптимальный алгоритм выбора сеток численного решения задачи Коши для модели типа 1; 4) предложен метод исследования ограниченности решений при возмущениях модели типа 1; 5) развит метод исследования последовательности Чаплыгина для модели типа 1 без дополнительных условий Н.Н. Лузина; 6) разработана блок-схема алгоритма расчета критической скорости при моделировании движения транспортного средства с помощью комбинированного метода на основе генетического алгоритма; 7) разработан комплекс проблемно-ориентированных компьютерных программ, в котором реализованы численные методы и методы расчета характеристик транспортных динамических систем; 8) предложен универсальный способ определения влияния параметров транспортных динамических систем на устойчивость их движения на основе положений первого метода Ляпунова; 9) разработаны алгоритмы исследования качественных характеристик матричной модели движения колесных транспортных средств (модели типа 3) при различных ограничениях, накладываемых на элементы модели; 10) предложен приближенно-аналитический метод исследования скалярной модели Лузина (модели типа 4) и качественный метод исследования векторной модели Лузина (модели типа 5); 11) проведена серия вычислительных экспериментов, по итогам которой сделан анализ результатов моделирования характеристик колесных транспортных динамических систем при движении по неровному пути, позволивший дать рекомендации по улучшению функционирования этих систем с точки зрения повышения устойчивости, безопасности и комфортабельности передвижения пассажиров, а также сохранности перевозимых грузов; 12) получены условия устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых.

Остановимся на некоторых нерешенных проблемах метода функций Ляпунова, теории устойчивости, стабилизации и управления в математических моделях динамических систем.

Следует отметить, что за последние десятилетия развитие метода функции Ляпунова было существенным. Более того, именно в этот период появились дополнительные стимулы к разработке такой теории. Помимо традиционных и не теряющих актуальности задач естествознания и техники, в частности, задач динамики подвижного состава железнодорожного транспорта, частичная устойчивость стала подходящим понятием в бурно развивающихся на стыке естествознания и техники методах управления хаосом, а частичное управление стало систематически исследоваться в задачах высокоскоростного движения железнодорожного транспорта.

Получили развитие и ряд других теоретических и прикладных разделов современной нелинейной динамики, посвященных различным аспектам инвариантности множеста и притягиваемости многомерных объектов, также тесно мвязанных с нахождением частичной устойчивости с помощью метода функции Ляпнова.

Возникла и получила дальнейшее развитие новая теория устойчивости от входа к выходу для математических моделей транспортных динамических систем, заданных в пространстве состояния, опирающаяся на метод функции Ляпунова и его соответствующие модификации, в частности, на обобщенный прямой метод Ляпунова, являющийся эффективным методом изучения прикладных математических моделей.

В значительной степени указанные направления исследований дают возможность по-новому взглянуть как на саму проблематику задач частичной устойчивости с помощью классического и обобщенного методов функций Ляпунова и место этих задач в прикладной теории динамических задач математических моделей, так и на перспективы их развития. Можно ожидать, что задачи частичной устойчивости (стабилизации) для систем обыкновенных дифференциальных уравнений будут оставаться важным звеном дальнейших исследований.

Отметим основные нерешенные вопросы, касающиеся прикладной частичной устойчивости, стабилизации и управления.

1) Актуальны вопросы конструктивного построения решающих задач частичной устойчивости классических и обобщенных функций Ляпунова, как для конкретных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для достаточно общих систем таких уравнений. В этой связи значительный интерес представляют дальнейшие исследования по ослаблению требований к функциям Ляпунова.

2) Потенциал первого метода Ляпунова достаточно высок. На его основе в сочетании с современными достижениями качественной теории и дифференциально-геометрической теории можно было бы выделить общие структурные модели.

3) Целесообразно дальнейшее изучение условий сохранения свойств частичной и полной устойчивости при возмущениях структуры математической модели, а также провести общий анализ изменения фазового потока частично устойчивой математической модели при возмущениях ее структуры. Особенность ситуации состоит в том, что потеря свойства частичной устойчивости может происходить в грубой в смысле Андронова - Понтрягина модели.

4) Необходимо провести анализ того, каким образом в математической модели свойство частичной устойчивости может быть использовано для дальнейшего анализа свойства полной устойчивости этой модели.

5) Необходимо изучить ситуации, когда в математической модели, устойчивой по части переменных, проводится стабилизация по оставшимся переменным с целью ее стабилизации по всем переменным.

6) В исследованиях по разработке конструктивных методов построения законов управления в задачах частичного управления остается много открытых вопросов. Целесообразно, например, решить проблему о расширении возможностей решения задач частичной стабилизации и управления за счет использования позиционных управлений.

7) Заслуживают также внимания задачи частичной устойчивости на конечном промежутке времени при сохранении возмущений данного свойства на рассматриваемом промежутке функционирования изучаемой математической модели. Это даст возможность предложить более стабильную к помехам и возмущениям структуры математической модели концепцию частичной устойчивости.

1. Амелъкин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987.

2. Амелъкин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск: Вышейшая школа, 1982.225

3. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.А. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.

4. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова. Итоги науки и техники. ВИНИТИ, Общ. механика, 1975. Т. 2. С. 53 - 112.

5. Антончцк B.C. Методы стабилизации программных движений.- СПб.: Изд-во СПбУ, 1998.

6. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Комарова Т.Н. Систематизация машинно-зависимых констант для Библиотеки численного анализа и математической статистики НИВЦ МГУ // Вопросы конструирования библиотек программ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

7. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф., Захаров А.Ю., Калиткин Н.Н. О тестировании программ решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Препринт ИПМ АН СССР, № 139. М., 1983.

8. Барбашин Е.А. а) Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.б) Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.в) Метод сечений в теории динамических систем Минск: Наука и техника, 1979.

9. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // ДАН СССР, 1952. Т. 86. № 3. С. 453 456.

10. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 2001. - Изд-во Моск. ун-та, 2006.

12. Беленький В.З. Стандартная программа для интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Адамса // Вычислительные методы и программирование. Вып. III. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1965.

13. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

14. Белова М.М. Об ограниченных решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // ДАН СССР, 1968. Т. 180. № 2. С. 266 268.

15. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1, 2. М.: Физматгиз, 1960.

16. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991.

17. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

18. Боголюбов Н.Н., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, Изд-во физ.-мат. литературы, 1974.

19. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978.

20. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. -Киев: Наукова думка, 1981.227

21. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984.

22. Вержбицкий В.М. Численные методы. М.: Высшая школа, 2001.

23. Воеводин В.В. а) Математические модели и методы в параллельных процессах. М.: Наука, 1986.б) Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.

24. Волков С. В. Методы и проблемно-ориентированные программы моделирования динамических систем по фазовым портретам // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2004.

25. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и стабилизация по части координат фазового вектора динамической системы. М.: Научный мир, 2001.

26. Галиуллин А. С. Аналитическая динамика. М.: Высшая школа, 1989.

27. Галиуллин А.С, Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фура-сов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.

28. Галлиулин А.С., Шестаков А.А. Об асимптотических свойствах движений динамической системы // Сб.межвуз. трудов. М.: РГОТУПС, 1997. С. 76 - 78.

29. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 1981.

30. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава. Под ред. Н.А. Панькина. М.: Транспорт, 1988.

31. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

32. Голечков Ю.И. Устойчивоподобные свойства решений некоторых классов обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Л.:ЛГУ, 1985.

33. Горбунов АД. Разностные методы решения задачи Коши для228системы обыкновенных дифференциальных уравнений (тексты лекций).- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1973.

34. Гребешков Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы небесной механики. М.: Наука, 1973.

35. Гулин А.В., Морозова В.А. Об устойчивости нелокальной разностной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. 2003. Т.39. №7. С. 912-917.

36. Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов C.JI. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. М.: Высшая школа, 1979.

37. Гусаров JI.A. Об ограниченности решений линейных уравнений второго порядка // ДАН СССР. 1949. Т. 68. № 2. С. 217 220.

38. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

39. Дружинина О. В. Критерий асимптотической устойчивости состояния равновесия механической системы с частичной диссипацией // Вестник РУДН. Сер. Прикладная математика и информатика. 1996. № 2. С. 29 31.

40. Дружинина О.В., Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова исследования устойчивости и притяжения в общих временных системах // Матем. сборник, 2002. Т. 193. № 10. С. 17 48.

41. Дружинина О.В., Шестаков А.А., Бочкарев ИМ. Некоторые вопросы теории прочности движения по Жуковскому: Учеб. пос. Саранск: Саранский кооп. ин-т Московского ун-та потреб, кооперации, 1997.

42. Дьяконов В.П. Мар1е7: учебный курс. СПб.: Питер, 2002.

43. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

44. Еругин Н.П. а) Первый метод Ляпунова // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука, 1968. С. 67 - 68.б) Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1979.

45. Жоголев Е.А. Программа интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка методом Штер-мера // Вычислительные методы и программирование. Т. 1. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1962.

46. Жуковский Н.Е. Условия конечности интегралов уравнения cPyldx2 + ру = 01/ Полн. собр. соч. М. - Л.: ОНТИ-НКТП, 1937. Т.1. С. 315 - 324.

47. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физмат-гиз, 2001.

48. Захаров А.Ю. Некоторые результаты сравнения эффективности решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Препринт ИПМ АН СССР № 125. М., 1979.

49. Захарова М.В. Об ограниченности и устойчивости движений механических систем, моделируемых нестационарными дифференциальными уравнениями второго порядка // Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: МАИ, 2002.

50. Ивановский Р.И. Компьютерные технологии в науке и образовании. Практика применения систем MathCAD Pro: Учебное пособие. М.: Высшая школа, 2003.

51. Икрамов Х.Д. Численные методы линейной алгебры. М.: Знание (сер. «Математика и кибернетика»), 1987. № 4.

52. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

53. Карпов Н. В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. -М.: Физматлит, 2005.

54. Катулев А.Н., Северцев Н.А. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. М.: Наука, 2000.

55. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

56. Корольков Е.П. Снижение износа колес железнодорожного подвижного состава при конструктивных изменениях ходовых частей II Дисс. докт. техн. наук. М.: МИИТ, 1997.

57. Корольков Е.П., Бондаренко А.И. Уточнение модели для описания движений экипажа в горизонтальной плоскости // Тез. докл. междунар. симп. «Безопасность перевозочных процессов». М.: 1995. С. 36.

58. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

59. Кудрявцев Е.М. Mathcad 2000 Pro. М.: ДМК Пресс, 2001.

60. Ла-Салль Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

61. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961.

62. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -М. Л.: Гостехиздат, 1950.

63. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1969.

64. Малышева И.А. Исследование асимптотических свойств некоторых классов обыкновенных дифференциальных систем прямым методом Ляпунова // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1980.232

65. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. M.: Изд-во «Филинъ», 1998.

66. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

67. Массера X.JI. К теории устойчивости // Период, сб. перев. ин. статей. Математика. 1957. Т. 1. № 4. С. 81 101.

68. Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1988.

69. Матросов В.М. а) Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.б) К теории устойчивости движения // Труды Казанск. авиац. инта. 1963. Вып. 80. С. 22 23.

70. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980.

71. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электрических систем. Л.: Машиностроение, 1975.

72. Меренков Ю.Н. Математическое моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2003.

73. Михайлов Ф.А. Анализ и синтез нестационарных линейных систем. М.: Машиностроение, 1977.

74. Мухаметзянов Н.А. Об устойчивости программного многообразия // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 5. С. 846 856.

75. Неймарк Ю.И. Математические модели естествознания и техники. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. Вып. 1, 1994; Вып. 2, 1996; Вып. 3, 1997.

76. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.

77. Ортега Д., Рейнболдт В. Интеграционные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

78. Патрушева М.В. Качественный анализ матричных уравнений движения. // Дисс. канд. физ.-мат. наук. СПб.: СПбГУ, 1999.

79. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975.

80. Персидский К.П. Избранные труды. Т.1. Алма-Ата: Наука, 1976.

81. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964.

82. Пуанкаре А. а) Избранные труды. Т.2. М.: Наука, 1971, 1972. б) О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.1. М.-Л.: ГТТИ, 1947.

83. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

84. Романков В.В. Ограниченность, сходимость и устойчивость некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Саранск: Морд. ГУ, 1990.234

85. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

86. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теорииустойчивости. М.: Мир, 1980.

87. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: Наука, 1994.

88. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.

89. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2004.

90. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. -М.: Мир, 1979. 1998.

91. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1953.

92. Тибилов Т.А. Асимптотические исследования колебаний подвижного состава. М.: Транспорт, 1970.

93. Тихонов А.Н., Горбунов А.Д., Гайсарян С.С. Об особенностях графика полной погрешности приближенного решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения // Вычислительные методы и программирование. Т. V. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1966.

94. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.235

95. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1970.

96. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: ИЛ, 1968.

97. Хилле Е., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. -М.: ИЛ, 1962.

98. Чаплыгин С.А. а) Избранные труды по механике и математике. М.: Гостехиздат, 1954.б) Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

99. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

100. Черкашин Ю.М., Шестаков А.А. Об устойчивости движенияжелезнодорожного подвижного состава // Труды ВНИИЖТ. М.:

101. Транспорт, 1982. С. 42 49.

102. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: ГИТТЛ, 1947.

103. Щенников В.Н. Устойчивоподобные свойства решений нелинейных управляемых систем // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1990.

104. Щенникова Е.В. Свойства ограниченности и устойчивости движений некоторых классов динамических процессов. // Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: РУДН, 1977.

105. Щенникова Е.В., Шестаков А.А К теории ограниченности решений относительно части переменных нелинейных систем дифференциальных уравнений // Математическое моделирование, 1995. Т. 5. № 5. С. 84.

106. Яблонский А.А. О прочности извилистого движения локомотива на прямом участке пути // Дисс. докт. техн. наук. Л., 1941.

107. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.1 \ S.Antosiewicz Н.А. Newton's method and boundary value problems // J. Comput. System. Sci., 1968. №2. P.177 202.237

108. Boas R.P., Buck R.C. Polynomial Expansions of Analytic Functions. Berlin: Springer, 1958.

109. Carter F.W. On the stability of running of locomotives// Proc. Roy. Soc. A, 1928.

110. England R. Error estimates for Runge-Kutta type solutions to systems of ordinary differential equations // The Computer Journal, 1969. T. 12. N 2.

111. Gear C.W. The automatic integration of ordinary differential equations // Communications of the ACM, 1971. T. 14. N 3.

112. Kalaba R. On nonlinear differential equations, the maximum operation and monotone convergence // J. Math. Mech., 1959. 8, 4. P. 519 574.

113. Kwapisz M. О zmodufikowanej metodzie kolejnych przyblizen rozwiqzywania zwyczajnych rownan rozniczkowych liniowych rzedu n // Zeszyty Naukowe Politechniki Gdanskiej, Lacznosc, 1960, nr. 3.

114. Lasota A., Olech C. An optimal solution of Nicoletti's boundary value problem //Ann. Polon. Math., 1966. 18. P. 131 139.

115. Olech C.A. A connection between two certain methods of successive approximations in differential equations // Ann. Polon. Math., 1962. 11. P. 237 245.

116. Shelkunoff S.A. Solutions of linear and slightly non-linear differential equations // Quart. Appl. Math., 1945. 3. P. 348 355.

117. Skowronski J., Ziemba S. a) Criteria of oscillation of certain238dynamical systems // Proc. of vibration problems., 1961. Vol. 2. No 4(9). P 441 445.

118. Certain properties of models of mechanical structures // Arch. Mech. Stos., 1959. 2. 11.

119. UraT. On the flow outside a closed invariant set: stability, relative stability and saddle sets // Contr. to Diff. Eqs., 1964. V.3. № 3. P. 249 294.

120. Vidossich G. Global convergence of successive approximations // J. Math. Anal. Appl., 1974. 45. P. 285 492.

121. Wazewski T. Sur la methode des approximations successives // Ann. Soc. Polon., 1937. 16. P. 214 215.

122. Weiguo L., Zuhe S.A. A constructive proof of existence and uniqueness of 2p-periodic solution to Duffing equation // Nonlinear Analysis, 2000. V. 42. P. 1209 1220.

123. Wickens A.H. a) Stability criteria for articulated railway vehicles possessing reflect steering // Vehicle System Dynamics. 1979. V. 7. P. 33 48.

124. Static and dynamic stability of unsymmetric two-axle railway vehicles possessing perfect steering // Vehicle System Dynamics. 1982. V. 11. P. 89 106.

125. Yoshisawa T. Stability Theory by Liapunov's Second Method. -Tokyo: Math. Soc. Japan. Publ., 1966. № 9. 232 p.