автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение уравнений в свертках к решению обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем

На правах рукописи

МО И КО Наталья Валентиновна

ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В СВЕРТКАХ К РЕШЕНИЮ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ И ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ПЕНЗА 2006

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» на кафедре «Высшая и прикладная математика»

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор

Бойков Илья Владимирович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Голованов Олег Александрович; доктор технических наук Иванов Александр Иванович.

Ведущая организация - Военно-воздушная инженерная академия

им. профессора Н. Е. Жуковского, г. Москва.

Защита диссертации состоится 12 октября 2006 г., в_часов,

на заседании диссертационного совета Д 212.186.04 в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» по адресу: 440026, г. Пенза, ул. Красная, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет».

Автореферат разослан 12 сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук,

профессор Смогунов В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Уравнения в свертках являются одним из основных аппаратов математического моделирования большого числа проблем гравиразведки, магниторазведки, астрофизики, квантовой физики и т. д. Уравнения в свертках, начиная с первой работы о таутохроне, принадлежащей Н. X. Абелю, находят широкое применение в различных областях физики и техники. На протяжении XIX и XX вв. были исследованы многочисленные виды интегральных уравнений в свертках, для решения которых предложены аналитические и приближенные методы. Огромный вклад в разработку методов исследования уравнений в свертках внесли Н. Винер и Е. Хопф, Ф. Д. Гахов, Г. Дейч, М. Г. Крейн, И. М. Раппопорт, В. А. Фок, предложившие принципиально различные методы решения этих уравнений. Дальнейшее развитие аналитических и численных методов решения уравнений в свертках связано с именами И. В. Бойкова, Г. И. Василенко, А. Ф. Верланя, Ф. Д. Гахова, И. Ц. Гохберга, В. В. Гласко, Б. Н. Енгибаряна, В. В. Иванова, В. С. Сизикова,

B. И. Старостенко, В. Н. Страхова, А. М. Тараторина, А. Н. Тихонова, 3. Пресдорфа и др.

Параллельно с уравнениями в свертках на протяжении всего XX столетия активно развивались аналитические и численные методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые формально могут рассматриваться как один из типов интегральных уравнений в свертках, но на самом деле являются отдельной областью математики со своими задачами и методами их решения. Основные направления развития численных методов решения сингулярных интегральных уравнений и их приложений отмечены в обзорах и монографиях

C. М. Белоцерковского и И. К. Лифанова; И. В. Бойкова; Г. М. Вайникко, И. К. Лифанова и Л. Н. Полтавского; Т. Г. Гегелиа; В. В. Иванова; А. И. Каландия; И. К. Лифанова; С. Г. Михлина и 3. Пресдорфа; 3. Пресдорфа и др.

В последнее время активно развиваются новые направления, связанные с применением интегральных уравнений в свертках. В связи с этим получили развитие ставшие уже классическими метод регуляризации Тихонова, итерационные методы, проекционные методы

решения уравнений в свертках. Несмотря на активное развитие численных методов решения уравнений в свертках и исследование их многочисленных приложений, остался неисследованным ряд принципиальных моментов:

- в настоящее время отсутствуют приближенные методы решения ряда конкретных классов уравнений в свертках, которыми описываются обратные задачи геофизики, астрофизики и измерительной техники. В частности, весьма актуальным является решение задач одновременного определения формы гравитирующего тела и глубины его залегания; восстановления изображения, искаженного турбулентной атмосферой; одновременного восстановления аппаратной функции и входного сигнала и ряда других аналогичных задач;

— известные в литературе итерационные методы решения уравнений в свертках сходятся лишь при очень жестких условиях;

— уравнения в свертках используются при решении многочисленных задач физики и оптики, в которых требуется обработка информации в режиме реального времени. Для этого необходима разработка параллельных методов решения уравнений в свертках, которые в настоящее время отсутствуют.

Численным методам решения вышеуказанных проблем посвящена данная диссертация.

Цель работы: разработка, обоснование и программная реализация численных методов решения уравнений в свертках, моделирующих задачи гравиметрии и идентификации. Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:

1. Предложены и обоснованы итерационные методы решения уравнений в свертках, уравнений Винера—Хопфа, уравнений с парными ядрами, многомерных сингулярных интегральных уравнений, сходящихся при очень слабых ограничениях.

2. Исследована сходимость итерационно-проекционных методов для перечисленных выше уравнений.

3. Предложены алгоритмы распараллеливания итерационных и итерационно-проекционных методов для перечисленных в первом пункте уравнений.

4. На основе построенных алгоритмов решен ряд обратных задач гравиметрии.

5. Построенные алгоритмы использованы при решении задач

идентификации и гравиметрии.

Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, прикладного функционального анализа, краевых задач теории функции комплексной переменной, теории сингулярных интегральных уравнений, обратных задач идентификации и обратных задач геофизики. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами математического моделирования тестовых задач.

Научная новизна работы состоит в следующем:

— предложены численные методы решения обратных задач гравиметрии для контактной поверхности в двумерном и трехмерном случаях;

— дано приближенное решение задачи восстановления импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения;

— предложено обобщение итерационных методов решения непрерывных и дискретных уравнений в свертках с ядрами различного вида;

— даны итерационные методы решения уравнений Винера— Хопфа, парных уравнений, уравнений с двумя ядрами, сингулярных интегральных уравнений;

— предложены параллельные методы решения широкого класса уравнений в свертках;

— разработан пакет программ: итерационные методы решения одномерных и многомерных уравнений в свертках; итерационные методы решения обратных задач гравиметрии.

Теоретическая и практическая ценность работы. Теоретическая ценность заключается в разработке параллельных итерационных методов, дающих решение следующих классов невырожденных уравнений в свертках (уравнения Винера—Хопфа, парные уравнения, уравнения с двумя ядрами, сингулярные интегральные уравнения).

Практическая ценность заключается в полном решении обратных задач гравиметрии и идентификации параметров динамических систем на основе полученных в диссертации теоретических результатов решения уравнений в свертках. В частности, решены следующие задачи: определение границы раздела при известной глубине залегания

и неизвестном интервале залегания рудных тел; определение границы раздела при известных глубине и интервале залегания; определение границы раздела при неизвестных глубине и интервале залегания; восстановление импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения; одновременное восстановление аппаратных функций и входных сигналов — и классические уравнения теории ньютоновского потенциала методом сведения их к гиперсингулярным уравнениям.

На защиту выносятся следующие положения:

— разработаны, обоснованы и программно реализованы численные методы решения обратных двумерных и трехмерных задач гравиметрии в линейной и нелинейной постановках;

— дано обобщение итерационных методов решения одномерных и многомерных непрерывных и дискретных уравнений в свертках с ядрами различного вида;

— предложены итерационные методы решения уравнений Винера— Хопфа, парных уравнений, уравнений с двумя ядрами, многомерных сингулярных интегральных уравнений;

— дано приближенное решение задачи восстановления импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения;

— предложены основанные на краевых задачах теории функции комплексной переменной методы одновременного восстановления аппаратных функций и входных сигналов;

— предложен метод распараллеливания решений уравнений в свертках;

— даны численные методы решения краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца, основанные на сведении к сингулярным и гиперсингулярным интегральным уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международных симпозиумах "Надежность и качество—2001", "Надежность и качество—2003", "Надежность и качество—2005", "Надежность и качество— 2006"(г. Пенза 2001, 2003, 2005, 2006 гг.); XII Международной школе-семинаре "Синтез и сложность управляющих систем"(г. Пенза, 2001 г.); Международной конференции по вычислительной математике 1ССМ— 2002 (г. Новосибирск, 2002 г.); Второй Международной школе-семинаре

"Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"(г. Саранск, 2005 г.); научных конференциях профессорско-преподавательского состава Пензенского государственного университета (2000-2005 гг.).

Пакет программ, реализующих алгоритмы, разработанные в диссертации, зарегистрирован в "Отраслевом фонде алгоритмов и программ"(ОФАП). Выдано "Свидетельство об отраслевой регистрации разработки"за номером №5028. Разработка "Пакет программ решения интегральных уравнений в свертках" зарегистрирована в "Национальном информационном фонде неопубликованных документов". Номер государственной регистрации: 50200501163.

Комплект программ "Приближенные методы решения обратных задач "используется в производственной деятельности ФГУП "Пензенский научно-исследовательский электротехнический

институт"(акт о внедрении прилагается).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 9 статей. Часть работ выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 97-01-00621), Российского гуманитарного научного фонда (проект 01-02-00147 "а").

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитируемой литературы и приложений, изложена на 208 страницах (в том числе 124 страницы текстовой части, 9 страниц списка литературы, 73 страницы приложений). Список литературы к диссертации содержит 97 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении показана актуальность проблемы, обоснованы и сформулированы цели, задачи исследования, обозначены его научная новизна и практическая ценность, основные положения, выносимые на защиту, а также приведены сведения о реализации и внедрении результатов, апробации работы и публикациях.

В первой главе даны постановки прямых и обратных задач гравиразведки и идентификации динамических систем, а также обзор методов решения уравнений в свертках различных видов. Основное внимание уделено решению уравнений в свертках, моделирующих

задачи геофизики и динамические системы.

Во второй главе построены приближенные методы решения уравнений в свертках.

В параграфе 1 рассмотрены итерационные методы решения уравнений

оо

У Н(1-т)х(т)Лг=д{г), (1)

—оо

оо оо

■ J J - ГЪ<2 - Т2,)Х{Т1,Т2)<1Т1<1Т2 - дЦх,^)- (2)

— оо —оо

Построен итерационный метод, допускающий параллельную реализацию на персональных компьютерах (ПК) с ЛГ-процессорами.

В параграфе 2 построены итерационные методы решения уравнения Винера—Хопфа первого и второго рода

оо

! )1{г-т)х{т)<1т = $(«), (3)

о

оо

x{t) + J h{t- T)x(r)dT = g{t). (4)

о

Предположим, что для ядра h(t) выполнены условия А и уравнение (3) имеет единственное решение. Приближенное решение уравнения (3) будем искать в виде итераций

Xn+l,k(t) = Р

ОО

xk,n{t) - jk J hk(t- т)Р{хп,к(т)]йт - gk(t)

(5)

fc = 0,1.....N - 1, n = 0,1.....где hk{t) = F~l(H{u)Ek{oj)),gk(t)

=F~~l {G(u))Ek(<jj)), оператор P определяется по формуле

J J, /(«)> o,

I 0,

m < o.

Приближение к решению уравнения (3), полученное на п -м шаге итерационного процесса, определяется выражением:

N-1

«»(о = (6)

к—0

Теорема 1. Пусть выполнено условие А и уравнение (3) имеет единственное решение. Тогда итерационный процесс (5) —(6) сходятся и справедлива оценка ||x-*(t) — 2;n+i(i)|| < е + Aqn, где x*(t) — решение уравнения (3).

В параграфе 3 рассмотрен следующий класс уравнений:

оо о

x(t) + ±- J hx(t- r)x(r)dr + i- J h2(t - r)x(r)dr = g(t). (7)

0 -oo

Введены операторы

Г x(t), t > 0 p, f 0, i>0 PlX=\ 0, i < 0 ' x(t), t< 0.

Приближенное решение уравнения (7) вычисляется по итерационной схеме

оо

Хп+1 = оспхп + (1 - OnXZn - 7(ж„ + / hi(t - т)хп(т)йт+

(8)

+ 2ТГ I h2(t-r)xn(T)dr-f(t)))l —оо

где 0 < а» < ап < 1 — а* <1, п = 0,1,..., константа 7 определена неравенством:

%/2max( sup |(1 - 7 - 7tf1(w)|, sup |(1 - 7 - 7Я2М|)) < 1 (9)

—оо<ш<оо —оо<ш<оо

Теорема 2. Пусть уравнение (7) имеет единственное решение x*(t),u пусть выполнены условия (9). Тогда итерационный процесс (8) сходится к решению х* (i).

В случае, если условие (9) не выполняется, возможно изменить итерационную схему (8) таким образом, чтобы условия сходимости выполнялись.

В параграфе 4 предложены итерационные схемы решения парных уравнений

оо

x{t) + —L= [ hx(t - T)x(r)dr = gi(t), 0 < t < 00, v27r J

—00

оо

x(t) + -^= f h2(t - T)x(r)dT = g2{t), -oo.< t < 0. (10) V27T J

—oo

В параграфе 5 приведены итерационные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Построены итерационные методы решения простейших сингулярных интегральных уравнений с характеристикой f{t,Q), не зависящей от t:

к* - «(О + (йрт / (2H(Ce)e)ai(r)dr = (11)

Получены следующие результаты.

Теорема 3. Пусть уравнение (11) имеет единственное решение х*и значения символа Ф(О) расположены внутри угла с вершиной в начале координат и с раствором, меньшим 7г. Тогда существует такая комплексная константа у, что справедливо неравенство

sup | 1-7Ф(0) |=g< 1

-7Г<е<!Г

и итерационная схема xn+l (t) = xn(t) — у [Кхп — U(t)], п = 0,1,... сходится к решению уравнения (11) со скоростью ||ж* — аг«|| < Bqn.

Теорема 4. Пусть уравнение (11) имеет единственное решение х*. Пусть существует такое комплексное число у, что выполняется неравенство q = sup | 1 — 7Ф(0) |< 1. Тогда итерационный процесс

-7Г<е<7Г

xn+i(t) - a„xn(t) + (1 - an)(a:n(i) - у(Кх„ -ff(t))),n =0,1,..., где О < a* < an < a* < 1, сходится к решению х* в метрике пространства L2.

Теорема 5. Пусть уравнение (11) имеет единственное решение ж* (<i, <2) « символ Ф оператора К может обращаться в нуль не более чем в конечном числе точек. Тогда для любого как угодно малого числа е(е > 0) существуют такие константы уы, что итерационная схема xn(ti,t2) — Ejtic^^ZjIfo 1 я?«—i,fei(¿19¿2)> где xn+i,ki(ti,t2) = anxniki(h,t2) 4- (1 - an)(xn>ki(tl7t2) - yki(axn>ki(ti,t2) +

+ II f{V*Ur){t)dr ~ 9ki(t))), n = 0,1.....где 0 < a. < an < a* < 1,

E2

сходится к функции x*(t\,t2), такой, что || x*(ti,t2) — x^(ti,t2) ||< Ae.

Аналогичные итерационные схемы построены и для решения дискретных уравнений в свертках.

В параграфе 6 рассмотрены уравнения

оо

Кф= I 0(«-гМт)Л-= /(*), (12)

— оо

оо

= Л. * = ...,-1,0,1,..., (13)

!=—оо

оо оо

/"■/ -ТЬ-Г')у>(г1,...,77)сгг1 ■••7} = /(¿1.....¿0, (14)

—ОО —ОО

ОО ОО

лч-*!,».^-*!^*!,«.»*! = л = /¡ь».,«» (15)

— ОО АГ2 = —ОО

Ь = ...,-1,0,1,..., ¿ = 1,2,...,/.

В уравнениях (12)—(15) буквой ф обозначены неизвестные функции, буквой / — выходные сигналы, буквой д — ядра уравнений. При решении задач идентификации под <р — подразумевается входной сигнал, под / — выходной сигнал, под д — аппаратная функция.

Предложены методы, позволяющие в ряде случаев получить единственное, с точностью до множителя а, решение уравнений (12)— (15). Этот метод изложен на примере уравнения (13).

Выделено отдельно два случая: 1) последовательность дц удовлетворяет условиям каузальности ' дь = 0 при к < 0; 2) последовательность дк этим условиям не удовлетворяет.

Кроме того, ряд ограничений налагается на входные сигналы. Для получения единственного решения необходима дополнительная информация о решении, которая задается в виде некоторых функционалов от решения. Конкретно вид функционалов задается физическими задачами. Методом решения уравнений (12)—(15) является их приведение к краевым задачам, аналогичным одномерной и многомерной задачам Римана. При этом на ядра уравнений и входные сигналы накладываются достаточно жесткие ограничения. При этих ограничениях предложены и обоснованы аналитические и численные методы решения уравнений (12)—(15).

13 третьей главе результаты, полученные в предыдущей главе, применяются к решению обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности в двумерном и трехмерном случаях. Предлагаются итерационные методы определения формы поверхности при известной глубине залегания и одновременного определения глубины залегания и формы поверхности.

Введем декартову систему координат, у которой ось 02 направлена вертикально вверх. Нелинейная постановка обратной задачи для бесконечно протяженной по оси У контактной поверхности г(х) описывается нелинейным интегральным уравнением

ь

к' - ^ / = т> (16) а

где г(() — форма поверхности тела; Н — глубина залегания;

С? гравитационная постоянная; а — плотность гравитирующего тела.

Линеаризация уравнения (16) приводит к линейному интегральному ь

уравнению 2СаН J ^г^р+ж^С = /(ж)> которое в дальнейшем для

а

удобства представлено в виде:

Л* , уЦааН } {х_*$+н2<К = ^т. (17)

а

В случае, если рудное тело залегает на глубине Н, причем его нижняя поверхность совпадает с плоскостью г — —Н, а верхняя поверхность описывается функцией г(з:,у) — —Н + ф(х,у), функция ф(х,у) неотрицательна и тах ф(х, у) << Н, то гравитационное поле на поверхности Земли описывается уравнением:

оо оо

— оо —оо

В случае, если рудное тело имеет плотность ст(ж, у, г) и занимает объем <5, то гравитационное поле на поверхности Земли описывается (в предположении, что рассматриваемый участок поверхности Земли

плоский и совпадает с плоскостью ХУ) уравнением:

г [[[ -г(Г„п> пы

((*-<)» +(у-„)»+*»)»/> -/(г'г/,0)- (19)

о

В работе предлагаются и обосновываются итерационные алгоритмы решения уравнений (17)—(19) при различной информации о ф и Н.

Пусть известна глубина залегания Н, но неизвестны интервал (а,Ь) и функция г(£). Так как интервал (а, Ь) неизвестен, то представим уравнение (17) в виде:

.— оо

I Ь Л* + И»« (20)

—оо

Применяя к уравнению (20) преобразование Фурье, представим его в виде:

= ^ м, (21)

где 2 (и), В(ш), ^ (ш) — преобразование Фурье функций Н2),Ь(х) = соответственно. Уравнение

(21) решается итерационным методом на сетке и) к = —О + 2Бк/Ы,

к — 0,1,..., Дг. Каждому значению Шк ставится в соответствие комплексное число 7^, такое, что | 1 — 7кВ(шк) |= 1/2. Итерационный процесс

гп+1(шк) = ЯпШ - 7к{гп(ык)в{шк) - .РхЮ), (22)

к — 0,1,...,АГ, п — 0,1,..., сходится со скоростью (1/2)". Решение г{Ь) находится по последовательности {гп} обратным преобразованием Фурье.

Построенный алгоритм позволяет устойчиво восстанавливать форму гравитирующего тела на глубине до 2 км.

Предположим, что известны глубина залегания Н и интервал (а,Ь), в котором определена функция г(£). Доопределив последнюю вне сегмента [а, Ь] нулем и применив к уравнению

(22) преобразование Фурье, получаем 2(ш)В(о;) = Е\ (ш). Возьмем в качестве начального приближения функцию Zo(uJ), являющуюся преобразованием Фурье функции, локализованной на сегменте (а,Ь), и построим итерационный процесс, состоящий из нескольких этапов.

1-й этап. Последующие значения находятся по формуле

Zn+i(uk) = anZn(uk) + (1 - an)(Zn(uik) - 7k{Zn{uk)B{oJk) - Ft(uk))),

к = 0,1 ,...,N, где шк определяются точно так же, как в предыдущем пункте ,0<а><ак<Р<1-

2-й этап. По значениям Zi(uk),k = 0,1,...,N. обратным преобразованием Фурье определяются приближения Zi(xk),

к - 0,1,..., М.

3-й этап. На вектор (zi(xo),.. ■, zi(xm)) воздействуем

оператором ограничений Р[а,ъ]> действующим по формуле

Г f(x), если х в [о, Ь], „ = (о, если хЦа,Ь). РезУльтате получаем вектор

(^l(xo), ■■■ ,Zi {хм))-

4-й этап. На вектор (zi(xo), •• .,zi(iм)) воздействуем оператором

ограничений Р+, действующим по формуле Р+с = | если с

^ 0, если с < О.

В результате получаем вектор ~z\(xq), ...

5-й этап. Применив к вектору zj(x0),...,~zI(xm)) квадратурные формулы преобразования Фурье, получаем приближение Z2{uk),k =

=0,1,..., N.

6-й этап. Переходим к 1-му этапу.

В компактном виде итерационный процесс описывается выражением Zn+iCw) = a„F(P+(Pte,4(F-1Zn(W))) + (l-o„)(F(P+(^e,4(F-1ZtlM-

Доказана сходимость метода в пространстве суммируемых функций. Результаты численного моделирования приведены в Приложении 2 диссертации.

Неизвестны ни глубина залегания Н, ни интервал залегания (а,Ь). Аппроксимируем уравнение (16) нелинейным уравнением

Ga f 2fxz«fcJPd( = /(x). Так как интервал (a,b) неизвестен, то

л

вместо предыдущего уравнения рассмотрим более общее:

Qg 7 2HZ{Q-Z2{Q „ _ 1

у/2*

J (,_02+Ю dC = (23)

—оо

Итерационный процесс нахождения функции г*(х), описывающий верхнюю часть залегающего тела и глубины залегания Н*, состоит из нескольких этапов.

1-й этап. По нулевому приближению (и последовательно вычисленным приближениям ^„(а;)) находится нулевое Щ (и последующие п—е) приближение к глубине залегания II. Для этого уравнение (23) интегрируется в пределах от — оо до оо. В результате имеем

оо оо оо

ч/2^(2Сатг) I адЖ-Са-Дя"1 / = ^ ] Я*)«*^

—оо —оо —оо

о* У *2(0<гс

Отсюда Нп — -зг-----

2О* / г(С)<*<-£ / /(()</(

— <х> —ОО

2-й этап. От уравнения (23) возвращаемся к уравнению

оо

о«)

—оо

где ¿(¿) = 2Нпг(Ь) — Применим к уравнению (24) преобразование Фурье. В результате получим

= (25)

где Вп(и) = ¿(и) =

Последующее приближение ¿п+1(и)) находится по формуле ¿п+1(ш) = апЙп(и) + (1 - «„)(£„(ы) - 7„(о;)ВпИ^п(ы) + 7пН^1 (и)). Найдя очередное значение ¿п(и), обратным преобразованием Фурье вычисляются значения а затем из уравнения

2Нпг{Ьк) - г^к) ~ ¿(¿*) значения г{Ьк),к = 1,2,...,^У. После этого происходит возврат к 1-му этапу. Доказана сходимость этого метода. Результаты численного моделирования приведены в Приложении 2 диссертации.

В параграфе 7 предложен метод восстановления импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозициошюго изображения. Метод решения указанной проблемы основан на

теории краевых задач, аналогичных краевой задаче Римана. Предложены как аналитический метод решения, так и приближенные методы. Рассматривается следующая задача: найти единственные значения функций x(s) и h(s), удовлетворяющие уравнению

оо

f(s 1) = f x(s)h(s — si)ds и условию J | h(s) | ds — к. Это уравнение

-=-oo

сводится к краевой задаче Римана в билицилиндрической области, которая решается итерационным методом, обладающим свойством фильтрации.

В четвертой главе построены приближенные методы решения уравнения Гельмгольца в области П

Дм + к2и = 0, (26)

где волновое число к -ф- 0. Знак к выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие 1т к ^ 0. Уравнение Гельмгольца рассматривается при граничных условиях Дирихле

«1г= /■ (27)

Потенциал простого слоя

u(x) = J $(x,y)<f(y)ds{y), х€Я.3\Г (28)

г

с непрерывной плотностью <р(х) представляет собой решение внутренней и внешней задач Дирихле (27) для уравнения Гельмгольца (26), если (р(х) является решением интегрального уравнения

f $(x,y)<p(y)ds(y) = f(x), яге Г. (29)

г

Здесь Ф(аг, у) — фундаментальное решение уравнения Гельмгольца в R3, которое имеет вид Ф(х,у) = J-аГ ' где Iх ~ У\ — расстояние между точками х = {xi,x2,x3) и у — (У1,У2,Уз),

I1 - У| = [(«1 ~ Уг)2 + (х2 ~ 2/2)2 + (х3 - г/з)2]1/2.

Вычислим производную от обеих частей уравнения (29) по переменной xi. В результате имеем

J h(x,y)<p(y)da{y) - fi(x), х е Г, (30)

г

x (cos — y\ — A;sinfc|a: — 2/| + i(&cos k\x — y\ + sin k\x — j/|)).

Пусть N — целое число. Поверхность Г разбивается на N частей таким образом, чтобы полученные в результате области деления имели примерно одинаковые площади и диаметры.

Обозначим элементы покрытия границы Г через а к, к = 1,2,..., N, а через Мк — (т*, ту, т*) — узлы, достаточно близкие к центрам тяжести областей а к, к = 1,2,..., N(ia.K как точно вычислить центр тяжести Мк области а к невозможно). Такой выбор не повлиял на полученные результаты.

Через М£ = (m**, m**,m**) обозначены узлы, принадлежащие - поверхностям сг*, к = 1,2,...,N, и выбранные таким образом, чтобы расстояние между узлами Мк и было меньше или равно величине Значения /ijy, зависящие от N и постоянные для каждой вычислительной схемы (32), определяются специальным образом. Приближенное решение уравнения (30) находится в виде вектора

компоненты ip(M£), к = 1,2,...,AJ которого вычисляются из системы линейных алгебраических уравнений

где hk,i = Jf h(M¡*,y)dy, к, I = 1,2 ,...,N; означает, что

суммирование проводится по всем областям сгк, за исключением тех, которые касаются области cri. При этом суммирование проводится и по области ai.

Теорема 6. Пусть уравнение (30) имеет единственное решение <рт(у) 6 На, 0 < а < 1. Тогда система (32) однозначно разрешима при достаточно больших значениях N, и справедлива оценка

(31)

N

Y^hMMt) = /(M,*), 1 = 1,2.....N,

(32)

Ир* - vfrll ^ AN-a.

Аналогичные выводы получены и для уравнения Лапласа.

В работе имеются два приложения. Приложение 1 содержит вспомогательный материал, используемый в различных главах работы. Для удобства читателей изложение делается замкнутым, т. е. весь необходимый справочный материал приведен в Приложении 1. В Приложении 2 предложены решения следующих конкретных задач гравиразведки, астрофизики и идентификации параметров:

1) численное решение обратной задачи гравиметрии;

2) численное решение задачи одновременного восстановления входного сигнала и импульсной переходной функции.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Предложены и обоснованы параллельные итерационные методы решения широкого класса уравнений в свертках, позволяющие решать широкий класс невырожденных уравнений следующих видов: уравнения Винера—Хопфа, с двумя ядрами, парные уравнения, . многомерные сингулярные интегральные уравнения.

Предложенные в диссертации численные методы решения уравнений в свертках позволили в общем виде решить ряд задач гравиразведки и идентификации параметров динамических систем. В частности, получено общее решение следующих задач: определение границы раздела при известной глубине залегания Н и неизвестном интервале залегания (а, Ь); определение границы раздела при известной глубине залегания Н и известном интервале залегания (а, 6); определение границы раздела г(х) при неизвестной глубине залегания Н и неизвестном интервале залегания (а, &); восстановление импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения; одновременное восстановление аппаратных функций и входных сигналов — и классических уравнений теории ньютоновского потенциала . методом сведения

их к гиперсингулярным интегральным уравнениям.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бойков, И. В. Об одном итерационном методе решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности/ И. В. Бойков,

Н. В. Мойко// Изв. РАН. Физика Земли. — 1999. - №2. - С. 52-54.

2. Бойков, И. В. Итерационные методы решения интегральных уравнений в свертках/ И. В. Бойков, Н. В. Мойко// Надежность и качество: тр. Междунар. симп,— Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2001. - С. 481.

3. Бойков, И. В. Итерационные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений/ И. В. Бойков, Н. В. Мойко// Синтез и сложность управляющих систем: материалы XII Международной школы-семинара . — М.: Изд-во МГУ, 2001. — Ч. 1,— С. 31—36.

4. Об одном приближенном методе решения уравнений теории рассеивания / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, Н. П. Кривулин, Н. В. Мойко// Надежность и качество: тр. Междунар. симп. — Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2002. — С. 492—494.

5. Войков, И. В. Об одном методе восстановления импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения/ И. В. Бойков, Н. В. Мойко//Надежность и качество: тр. Междунар. симп. — Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. —

С. 401-403.

6. Бойков, И. В. Приближенные методы одновременного восстановления аппаратных функций и входных сигналов/ И. В. Бойков, Н. В. Мойко//Тр. Средневолж. матем. общества. — 2005 — Т. 7. — №1. — С. 78-85.

7. Бойков, И. В. Проекционные методы решения уравнения Гельмгольца/И. В. Бойков, Н. В. Мойко, Д. В. Тарасов// Надежность и качество: тр. Междунар. симп. — Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. — Т. 1. — С. 10—12.

8. Мойко, Н. В. Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа/

Н. В. Мойко// Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: тр. I Междунар. конф. — Пенза, 2006. — С. 92—96.

9. Boikov, I. V. Approximate solution of the Helmholtz equation/ • I. V. Boikov,N. V. Moiko// International Conference on computational matematics. part two. — Novosibirsk, 2002. — P. 558—563.

Мойко Наталья Валентиновна

Применение уравнений в свертках к решению обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Редактор О. Ю. Ещина Технический редактор //. В, Иванова

Корректор С. Н. Сухова Компьютерная верстка Н. В. Мойко

ИД №06494 от 26.12.01 Сдано в производство 03,08.06. Формат 60x84'/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,05. Заказ 464. Тираж 120.

Издательство Пензенского государственного университета. 440026, Пенза, Красная, 40.

1 Введение.

1.1 Актуальность темы.

1.2 Цель работы.

1.3 Методы исследования.

1.4 Краткое содержание работы.

1.5 Научная новизна.

1.6 Теоретическая и практическая ценность работы.

1.7 Апробация.

I Постановка задачи, обзор и вспомогательные утверждения

1 Постановка задачи

1.1 Прямая и обратная задачи гравиразведки.

1.2 Решение обратной задачи для контактной поверхности с применением метода регуляризации.

1.3 Метод аналитического продолжения спектра.

2 Обзор аналитических и численных методов решения уравнений в свертках и их приложений

2.1 Исторические сведения

2.2 Понятие корректности и некорректности

2.3 Условная корректность

2.4 Метод регуляризации Тихонова

2.5 Вариационный метод.

2.6 Итерационные методы.

2.7 Метод Ныотопа-Каиторовича.

II Итерационные методы решения уравнений в свертках

1 Введение

2 Приближенное решение уравнений в свертках на векторных компьютерах.

3 Приближенное решение уравнения Винера-Хопфа

4 Итерационный метод решения уравнения с двумя ядрами

5 Приближенное решение парных уравнений

6 Итерационные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений

6.1 Двумерные сингулярные интегральные уравнения.

6.2 Дискретные уравнения в свертках.

7 Приближенные методы одновременного восстановления аппаратных функций и входных сигналов

7.1 Одномерные дискретные системы

7.2 Многомерные дискретные системы.

7.3 Одномерные непрерывные системы

7.4 Многомерные непрерывные системы.

7.5 Приближенное решение краевых задач

III Приближенные методы решения обратных задач идентификации

1 Итерационный метод решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности

1.1 Двумерная задача.

1.1.1 Определение границы раздела при известной глубине залегания Я и неизвестном интервале залегания (а, Ь)

1.1.2 Определение границы раздела при известной глубине залегания Н и известном интервале залегания (а, 6)

1.1.3 Определение границы раздела z(x) при неизвестной глубине залегания Н и неизвестном интервале залегания (а,Ь).

1.2 Трехмерная задача.

2 Восстановление импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения

2.1 Аналитическое решение многомерных урравнений.

2.2 Приближенные методы

IV Приближенное решение граничных интегральных уравнений

1 Приближенный метод решения уравнений теории рассеивания.

2 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

3 Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца

Введение. Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы.

Работа посвящена итерационным методам решения обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем, описываемых уравнениями в свертках различных видов.

Уравнения в свертках, начиная с первой работы о таутохроне, принадлежащей Н. X. Абелю, находят широкое применение в различных областях физики и техники. На протяжении 19 и 20 веков были исследованы многочисленные виды интегральных уравнений в свертках; причем получены как качественные результаты, так и приближенные методы их решения. Огромный вклад в разработку методов исследования уравнений в свертках, к которым относятся и сингулярные интегральные уравнения, принадлежит Н. Винеру и Е. Хопфу, Ф. Д. Гахову, Г. Дечу, М. Г. Крейиу, Н. И. Мусхелишвили В. А. Фоку, И. М. Раппопорту, предложившим принципиально различные методы решения этих уравнений. Дальнейшее развитие аналитических и численных методов решения уравнений в свертках связано с именами И. В. Войкова, Г. И. Василенко, А. Ф. Верлапя, Ф. Д. Гахова, И. Ц. Гохберга, В. В. Гласко, Б. Н. Енгибаряна, В. В. Иванова, И. К. Лифанова, А. Ф. Матвеева, С. Г. Михлина, Б. И. Мусаева, В. С. Сизикова, Д. Г. Саникидзе, А. М. Тараторина, А. Н. Тихонова, В. И. Старостенко, В. Н. Страхова, К. Е. Atrinson, D. U.Jinyan, М. A. Golberg, G. Shmidt, S. Prossdorf и др.

В последнее время активно развиваются новые направления, связанные с применением интегральных уравнений в свертках к решению обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем.

В связи с этим получили развитие ставшие уже классическими метод регуляризации Тихонова, итерационные методы, проекционные методы решения уравнений в свертках. Несмотря на активное развитие численных методов решения уравнений в свертках и на исследование их многочисленых приложений, остался неисследованным ряд принципиальных моментов: известные в литературе итерационные методы решения уравнений в свертках сходятся лишь при очень жестких условиях и не применимы к решению ряда обратных задач гравиметрии; уравнения в свертках используются при решении многочисленных задач физики и оптики, в которых требуется обработка информации в режиме реального времени. Для этого необходима разработка параллельных методов решения уравнений в свертках, которые в настоящее время отсутствуют; в настоящее время также отсутствуют приближенью методы решеиия ряда конкретных классов уравнений в свертках, которыми описываются обратные задачи геофизики, астрофизики, и измерительной техники. В частности, весьма актуальным является решение задач одновременного определения формы гравитирующего тела и глубины его залегания; восстановление изображения, искаженного турбулентной атмосферой; задачи одновременного восстановления аппаратной функции и входного сигнала, и ряд других аналогичных задач.

Разработке, обоснованию и программной реализации числеинымх методов решения перечисленных проблем посвящена данная диссертация.

1.2 Цель работы.

Целыо исследования является разработка, обоснование и программная реализация численных методов решения различных классов уравнений в свертках и применение полученных результатов к решению задач гравиметрии и идентификации параметров динамических систем. При этом в работе решены следующие задачи: предложены и обоснованы итерационные методы решения уравнений в свертках Винера-Хопфа, уравнений с парными ядрами, многомерных сингулярных уравнений, сходящиеся при очень слабых ограничениях; исследована сходимость итерационно-проекционных методов для приведенных выше классов уравнений; предложены алгоритмы распараллеливания итерационных и итерационно-проекционных методов решения перечисленных в первом пункте уравнений; численно решен ряд обратных задач гравиметрии; численно решены ряд задач одновременного восстановления аппаратной функции и входного сигнала.

Заключение

Предложены и обоснованы параллельные итерационные методы решения широкого класса уравнений в свертках, позволяющие решать широкий класс невырожденных уравнений следующих видов: уравнения Винера-Хопфа, с двумя ядрами, парные уравнения, многомерные сингулярные интегральные уравнения.

Предложенные в диссертации численные методы решения уравнений в свертках позволили в общем виде решить ряд задач гравиразведки и идентификации параметров динамических систем. В частности, получено общее решение следующих задач:

• определение границы раздела при известной глубине залегания Я и неизвестном интервале залегания (а, Ь);

• определение границы раздела при известной глубине залегания Я и известном интервале залегания (а,Ь);

• определение границы раздела z(x) при неизвестной глубине залегания Я и неизвестном интервале залегания (а,Ь);

• восстановление импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения;

• одновременное восстановление аппаратных функций и входных сигналов;

• решены классические уравнения теории ньютоновского потенциала методом сведения их к гиперсиигулярным интегральным уравнениям.

1. Андреев Б. А. Геологическое истолкование гравитационных аномалий./ Б. А. Андреев , И. Г. Клушин. — М.:Недра, 1965. — 495 с.

2. Арабаджян Л. Г. Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения.//JI. Г. Арабаджян, Н. Б. Енгибарян. Матем. анализ. Итоги пауки и техн. М.:ВИНИТИ АН СССР, 1984. Т. 22. - С. 175-244.

3. Апостериорная пространственная фильтрация искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения.// П. А. Бакут, К. Н. Свиридов, В. Н. Сидельников, Н. Д. Устинов. Оптика и спектроскопия, 1982. Т.53. - №1. - С. 163-166.

4. Бакут П. А. Восстановление формы поверхности по ее полутоновым изображениям.// П. А. Бакут, М.В. Кузнецов, А.Д. Ряхин. Автометрия, 1990. №3. - С. 89-90.

5. Построение трехмерной формы поверхности по оптическому потоку яркостной картинки, обусловленному вращением твердого тела./ Бакут П. А., Кузнецов М.В., Лозин К.Р., Ряхиин А.Д. Автометрия, 1992. — №1. С. 34-37.

6. О возможности восстановления двумерного изображения из дискретизированного уравнения свертки.// П. А. Бакут, Д. В. Макаров, А. Д. Ряхин, К. Н. Свиридов. Радиотехника и электроника, 1988. Т. 33. - М. - С. 2422-2424.

7. Бащт П. А. Адаптивное восстановление неискаженного изображения объекта, наблюдаемого через турбулентную атмосферу.// П. А. Бакут, С. Д. Польских, К. Н. Свиридов. Радиотехника и электроника, 1987. — Т.32. вып.12.

8. Статистический синтез алгоритмов оптимальной обработки изображения, пространственно инвариантных к атмосфернымискажениям.// П. А. Бакут , П. А. Польских, К. Н. Свиридов, Н.Ю. Хомич. Радиотехника и электроника, 1988. — Т.ЗЗ. вып.З.

9. Бакалов В. П. О возможности решения уравнения свертки при неизвестном ядре в случае многомерных пространственно-ограниченных сигналов.// В. П. Бакалов, Н. П. Русских. Автометрия, 1985. т. - С. 92-95.

10. Батыров Б. Е. Оценки уклонения норм регуляризоваппого решения от точного для уравнения типа свертки в пространствах Flpq{Rn)// Б. Е. Батыров, Ж. К. Кайрат. http: //www.nkzu.edu/NKZU/FIT/mat/publister/statyaBBE.htm.

11. Бахвалов Н. С. Численные методы. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. М.: Наука, 1987. - 600 с.

12. Белоцерковский С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях./ С.М.Белоцерковский, И.К.Лифанов. М.: Наука, 1985. — 225 с.

13. Бойков И. В. Аналитические методы идентификации динамических систем./ Пенза, 1992. — 112 с.

14. Бойков И.В. Итерационные методы решения уравнений в свертках// Известия ВУЗов. Математика, 1998. Т.2. - №9. - С. 8-15.

15. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов./ Саратов: Изд-во Саратов, гос. ун-та 1983. 210 с.

16. Бойков И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998. Т. 38. - М. - С. 25-33.

17. Бойков И. В. Оптимальные алгоритмы восстановления функций и вычисления интегралов па одном классе бесконечнодифференцируемых функций // Известия вузов. Математика, 1998. — №9. С. 14-20.

18. Войков И. ^.Оптимальные методы восстановления потенциальных полей // И. В. Бойков, А. И. Войкова. Известия РАН. Физика Земли, 1998. Ш. - С. 70-78.

19. Об одном приближенном методе решения уравнений теории рассеивания //И. В. Бойков, А. И. Бойкова, Н. П. Кривулин, Н. В. Мойко. Надежность и качество: Труды международного симпозиума.-Пепза: Изд-во ПГУ, 2002. С. 492 .

20. Войков И. В. Об одном итерационном методе решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности// И. В. Бойков, Н. В. Мойко. Изв. РАН. Физика Земли, 1999. №2. - С. 52-54.

21. Войков И. В. Итерационные методы решения интегральных уравнений в свертках.// И. В. Бойков , Н. В. Мойко. Надежность и качество: Труды международного симпозиума. Пенза: Изд-во ПГУ, 2001. — С. 481.

22. Войков И. В. Итерационные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений.// И. В. Бойков, Н. В. Мойко. Материалы XII Международной школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем", М.: Изд-во МГУ, 2001. — ч.1, — С. 31-36.

23. Войков И. В. Приближенные методы одновременного восстановления аппаратных функций и входных сигналов.// И. В. Бойков, Н. В. Мойко. Труды Средневолжского матем. общества, 2005. — Т.7. — JV®1. — С. 7885.

24. Бойков И. В. Об одном методе восстановления импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения.// И. В. Бойков, Н. В. Мойко. Надежность и качество: Труды международного симпозиума.- Пенза: Изд-во ПГУ, 2005. — С. 78-85

25. Бойков И. В. Проекционные методы решения уравнения Гельмгольца.// И. В. Бойков, Н. В. Мойко, Д. В. Тарасов. Надежность и качество. Труды международного симпозиума. Т.1 Пенза: Изд-во ПГУ, 2006. С. 10-12.

26. Вайникко Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения./ Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский, М.: "Янус - К", 2001. - 508 с.

27. Василенко Г. И. Теория восстановления сигналов. М.:Сов. радио, 1979.

28. Василенко Г. И., Тараторин А. М.Восстановление изображений. / Г. И. Василенко, А. М. Тараторин. — М.: Радио и связь, 1986. — 304 с. ил.

29. Верланъ А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы./ А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. Справочное пособие. Наукова думка, К., 1986. — 543 с.:ил.

30. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления./ В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. СПб.:БХВ - Петербург, 2002. - 608 с.

31. Ф. Д.Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.:Наука, 1963. 640 с.

32. Гахов Ф. Д. Уравнения типа светрки./ Ф. Д. Гахов, Ю.И.Черский. М., Наука, 1978. 295 с.

33. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. — 576 с.

34. Гласко В. Б. О восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации./ В. Б. Гласко, А. X. Остромогильный, В. Г. Филатов. ЖВМ и МФ. 1970. Т. 10. 5. - С. 1292-1297.

35. Гохберг И. Ц. О сходимости проекционного метода решения вырожденного дискретного уравнения Винера-Хопфа. И. Ц. Гохберг,

36. B. И. Левченко. Матем. исследования, Кишинев, 1971. — Т.6. — №4. —1. C. 20-36.

37. Гохберг И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. М., Наука. 1971.

38. Гравиразведка: Справочник геофизика/ Под редакцией Е. А. Мудрецовой, К. Е. Веселова.// 2-е изд., перераб. и доп. — М.:Недра, 1990. 607 с.

39. Дегтяренко Н. А. Решение в замкнутой форме интегрального уравнения типа свертки в гиперэллиптическом случае.// Известия ВУЗов. Математика. 2000. №1. - С. 20-30.

40. Дейч Г. Методы идентификации динамических объектов. М.:Энергия, 1979.

41. Енгибаряп Н. Б.,Арутюнян А. А. Уравнения на полупрямой с разностными ядрами и нелинейные функциональные уравнения.// Матем.сб., 1975. Т. 97. - М. - С. 35-38.

42. Енгибарян Н. Б. О некоторых задачах факторизации для интегральных операторов свертки.// Н. Б. Енгибарян, JI. Г. Арабаджян. Дифференц. ур-ния, 1990. Т.26. - М. - С.1442-1452.

43. Енгибарян Н. Б. Об одном классе интегральных уравнений восстановления.// Н. Б. Енгибаряп, А. А. Погосян. Матем.заметки. 1990. Т.47. - М. - С.23-30.

44. Енгибарян Н. Б. О некоторых уравнениях типа свертки в кинетической теории.// Н. Б. Енгибарян, А. X. Хачатрян. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998. — Т.38. — №3. — С.466-482.

45. Задирака В. К. Теория вычислений преобразования Фурье. Киев: Наукова думка, 1983. — С.213.

46. Заморев А. А. Решение обратной задачи теории потенциала// Докл.АН СССР, 1941. Т.12. - №8. - С.546-547.

47. Иванов В. В. Теория приближенных методов и еч, применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968. — 287 с.

48. Иванов В. К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения./В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана. М.:Наука, 1978. - 206 с.

49. Какичев В. А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных. Тюмень.: Тюменский госуниверситет. 1978. — 124 с.

50. Канторович Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах./ Канторович JI. В., Акилов Г. П.

51. Колтон Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния./ Д. Колтон, Р. Кресс. М.: Мир, 1987. - 311 с.

52. Конторович М. И. Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях.// -2-е изд., перераб. и доп. — М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1955. — 226 с.

53. Приближенное решение операторных уравнений./ М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий, В. Я. Стеценко. М.:Наука, 1969. — 455 с.

54. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов.// УМН, 1958. №13. — С. 3-120.

55. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.:ТОО "Янус", 1995. — 520 с.

56. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа./ JI. А. Люстерник, В. И. Соболев. — М.:Наука, 1965. — 540 с.

57. Миттра Р. Аналитические методы теории волноводов./ Р. Миттра , С. Ли. М., "Мир", 1974.

58. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.:ГИФМЛ, 1962. - 256 с.

59. Мудрецова Е. А. Определение глубины залегания, формы, избыточной плотности и участка модуляции контактной поверхности./ Е. А. Мудрецова, В. Г. Филатов. Прикладная геофизика. — М.:Недра, 1975.- Вып. 78. С. 153-158.

60. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения в математической физике. — М., Гос. изд-во физико -математической лит-ры, 1968.

61. Натансон И. П. Теория функций вещественного переменного. — М., 1957.

62. Обломская Л. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах.// ЖВМ и МФ, 1968.- Т.8. №2. - С.417-426.

63. Пресдорф 3. Линейные интегральные уравнения.- В кн.: Итоги науки и техники. // Серия:Современные проблемы математики.- М.: Наука, 1988. Т. 27. - С. 5-130.

64. Прудников А. П. Интегралы и ряды./ А. П. Прудников , Ю. А. Брычков, О. И. Марычев. М.:Наука. 1981. 800 с.

65. Раковщик Л. С. О методе Ньютона-Канторовича// Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1988. Т.8. - №6. - С. 1207-1217.66