автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование температурных и потенциальных полей в кусочно-однородных средах

На правах рукописи УДК 517 983, 517.968.2

□ОЗОВЭ2ВЗ

тнг! ¿ии/

Елисеева Татьяна Владимировна

Математическое моделирование температурных и потенциальных полей в кусочно-однородных средах

Специальность 05 13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пенза - 2007

003069283

Работа выполнена в Пензенском государственном университете на кафедре высшей и прикладной математики

Научный руководитель

- кандидат физико-математических наук, профессор Олег Эмануилович Яремко

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Борис Владимирович Логинов

- кандидат физико-математических наук, доцент Дмитрий Иванович Бояркин

Ведущая организация - Самарский государственный университет

Защита состоится 23 мая 2007г в 14 00 на заседании диссертационного совета КМ 212 117 07 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Мордовском государственном университете им Н П Огарева по адресу 430000, г Саранск, ул Большевистская, 68, корп 1, ауд 225

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета

Автореферат разослан 18 апреля 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Л А Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы в России принят ряд директивных документов, которые значительно ужесточают нормативные требования к теп-лопотсрям в зданиях различного назначения как вновь проектируемых и строящихся, так и реконструируемых

Для создания более совершенных строительных конструкций с повышенными теплозащитными свойствами необходимо всестороннее изучение механизма теплопереноса в многослойных стенах зданий и сооружений при переменной во времени температуре наружного воздуха

В большинстве инженерных расчетов процессов теплообмена в составных конструкциях тепловой контакт в месте соприкосновения / - го и (/ +1) - го слоев принимается идеальным (равенство температур и тепловых потоков)

Создание новейших нанотехнологий в области экологического очищения и разделения жидкости и газа, а также экологически чистых веществ и продуктов ставит целый ряд задач исследования механизмов кинетики неизотермического массопереноса в адсорбционных средах нанопориспой структуры, требует развития новых методов математического моделирования, которые описывают сложные механизмы внутренней кинетики, условия динамического равновесия и режимы массопереноса в однородных и неоднородных пористых средах

Таким образом, задачи математического моделирования процессов массо- и теплопереноса представляют большой теоретический и практический интерес

Рассмотрим изотропную упругую неограниченную трехслойную пластинку /2 = {х| х е (-да,О)и(0,/)и (/,+оо)}, через боковые поверхности г —±8 которой осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона В точках сопряжения осуществляется идеальный термический контакт Требуется по известному закону распределения температурного поля в трехслойном неограниченном стержне в момент I — р определить распределение температуры в начальный момент времени Моделирование процесса теплопереноса в рассматриваемой среде приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки вида

V-®

/

йк

(1)

+ ¡<р'2({,Л)/2(№+ \<р\{£,Х)Ш<1£

О 1 ^

относительно // (£), ] = 1,2,3

Ранее рассматривались задачи пересчета гравитационного поля в однородном слое осадочных пород (Лаврентьев М М, Романов В Г, Шишатский СП) Моделирование процесса пересчета гравитационного поля, когда в слое осадков существует граница раздела сред, направленная по нормали к поверхности Земли, также приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки

В нашей работе метод итерации и метод регуляризации применены для разработки численных алгоритмов решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений типа свертки, возникающих в задачах интерпретации результатов косвенных наблюдений в кусочно-однородных средах С целью применения указанных численных методов в работе развит метод операторов преобразования для решения прямых и обратных задач математической физики неоднородных структур

Актуальность метода операторов преобразования в том, что он позволяет упростить вычислительные схемы при применении методов итерации и регуляризации для решения задач кусочно-однородных сред С помощью операторного метода задачу для неоднородной среды можно свести к задаче для однородной области Операторный подход дает возможность получить решение в удобном виде, допускающем простую физическую интерпретацию последовательные приближения с помощью отражения от экранов Аналитическая форма получаемого таким методом решения удобна для изучения его асимптотических свойств

Цель исследования. Разработать алгоритмы численного решения систем интегральных уравнений типа свертки теории интерпретации результатов косвенных наблюдений, представляющих обобщение уравнений в свертках. Построить операторы преобразования, позволяющие по известным решениям классических модельных задач математической физики получить решения краевых задач в кусочно-однородных пространстве и полупространстве.

Методы исследования. При разработке численной реализации обратных краевых задач применялись методы итераций и регуляризации Применяются методы теории интегральных преобразований Фурье, метод операторов преобразования

Научная новизна. По мнению автора, новыми являются следующие результаты

- построены операторы преобразования для решения широкого круга задач математического моделирования физических процессов в неоднородных средах прямых и обратных задач моделирования процесса теплопереноса, моделирования стационарного температурного поля, волнового поля,

- найдены граничные операторы преобразования, позволяющие по известному граничному условию Иы{х,0 = /(у), И<0, найти значение функции и на границе области при х = 0, что дает возможность, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой, восстановить характеристики материала на границе (например, температуру),

- получены новые выражения для интегрального преобразования Фурье на оси с одной и двумя точками сопряжения, для двумерного интегрального преобразования Фурье на плоскости с одной линией сопряжения, построены регу-ляризирующие операторы дчя сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки,

- на основе методов итераций и регуляризации и метода операторов преобразования разработаны и обоснованы схемы численного решения ряда задач интерпретации результатов косвенных наблюдений в кусочно-однородных средах, приводящих к сепаратным системам интегральных уравнений типа свертки;

- программно реализованы схемы численного решения следующих задач

а) ретроспективной задачи о структуре нестационарно1 о температурного поля в двухслойном неограниченном стержне и в двухслойной неограниченной пластине,

б) векторной кусочно-однородной обратной задачи теплопроводности,

в) ретроспективной задачи о структуре нестационарного темпера!урного поля в изотропной неограниченной трехслойной пластинке;

г) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном ограниченном стержне,

д) задачи пересчета гравитационного поля в слое осадков с границей раздела сред, направленной по нормали к поверхности Земли

Теоретическая и практическая значимость. В работе с помощью методов итераций и регуляризации, метода операторов преобразования разработаны вычислительные схемы, позволяющие решать прямые и обратные краевые, прямые и обратные смешанные краевые задачи неоднородных структур с высокой точностью. Метод операторов преобразования развит для решения скалярных и векторных краевых задач Данный метод позволил найти точное решение краевых задач теплопроводности, краевых задач для уравнения колебаний и уравнения Лапласа для кусочно-однородных сред

Реализация результатов. Представленные в работе результаты реализованы в виде комплекта программ "Системы интегральных уравнений I рода для неоднородных областей" Данный программный продукт зарегистрирован отраслевым фондом алгоритмов и программ государственного координационного центра информационных технологий

Апробация работы. Различные результаты и разделы диссертации докладывались на Международной конференции по геометрии и анализу (Пенза, 2003 г), на Международных научных конференциях молодых ученых "Ломоносов" в МГУ (Москва, 2002, 2005 гг ), на конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2003, 2004, 2006 гг), на XIV Санкт-Петербургской конференции по математическому анализу (Международный математический институт имени Эйлера, Санкт-Петербург, 2005 г), на VII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 2006 г), на семинарах кафедры математического анализа Пензенского государственного педагогического университета, кафедры высшей и прикладной математики Пензенского государственного университета, на объединенных научных семинарах кафедры прикладной математики МГУ им Н П Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е В Воскресенского (Саранск, 2006,2007 гг)

Публикации. По теме диссертации опубликованы 23 научные работы, список которых приведен в конце автореферата, из них работа, опубликованная в

издании, рекомендованном ВАК "Операторы преобразований и их применение для решения задач о структуре волнового и температурного полей в кусочно-однородном полупространстве" в журнале "Известия ВУЗов. Математика", 2006 - № 9 - С 79-82

На защиту выносятся следующие положения:

1) предложен метод операторов преобразования для решения широкого круга задач математического моделирования физических процессов в неоднородных средах прямых и обратных задач моделирования процесса теплопереноса, моделирования стационарного температурного поля, волнового поля,

2) предложен метод граничных операторов преобразования, позволяющие по известному граничному условию Ии(х,у)+и'х\ й =/{у\ Л<0, найти значение функции и на границе области при х = 0, что позволяет, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой, восстановить характеристики материала на границе,

3) с целью применения метода регуляризации А Н Тихонова и метода итераций И В. Бойкова к численному решению сепаратных систем интегральных уравнений, возникающих при решении обратных задач кусочно-однородных сред, разработан метод интегрального преобразования Фурье на оси с одной и двумя точками сопряжения, двумерного интегрального преобразования Фурье на плоскости с одной линией сопряжения, установлена связь предложенного метода с методом операторов преобразования, построены регуляризирующие операторы для сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки,

4) разработаны и обоснованы схемы численного решения сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки, к которым приводят задачи интерпретации результатов косвенных наблюдений в кусочно-однородных средах,

5) программно реализованы схемы численного решения ретроспективных задач о структуре нестационарного температурного поля в различных кусочно-однородных средах и задачи пересчета гравитационного поля в слое осадков с границей раздела сред, направленной по нормали к поверхности Земли

Структура и объем работы. Основная часть диссертации изложена на 159 страницах, состоит из введения, четырех глав, разбитых на 12 параграфов, и заключения Приложение изложено на 51 странице Список литературы содержит 72 наименования

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертационной работы, цель исследования и формулировку основных результатов

С целью применения метода итерации и метода регуляризации к решению задач теплопроводности, задач распределения колебаний в кусочно-однородных средах, задач о структуре температурных полей неоднородных структур, в работе развита теория операторов преобразования, приводящих задачи неоднородных структур к задачам в однородных средах

Главы 1-3 посвящены теории операторов преобразования, в главе 4 разработаны схемы численного решения обратных задач теплопроводности и задачи пересчета гравитационного поля в неоднородных средах

В главе 1 рассмотрена задача пересчета гравитационного поля Геофизиками было высказано предложение по данным гравитационных измерений на поверхности Земли рассчитать аномальное гравитационное поле на некоторой глубине под поверхностью Земли В случае если на глубине аномалия сохранит вид одною локального минимума, можно с большей достоверностью говорить о том, что аномалия порождена одним телом А если после пересчета появятся два локальных максимума, можно сделать вывод, что тела — два, и соответственно выбрать место бурения

Моделирование описанного процесса пересчета гравитационного поля приводит к следующей математической постановке

Рассмотрен случай, когда в слое осадков существует граница раздела сред, направленная по нормали к поверхности Земли Вне масс, порождающих гравитационное поле потенциал поля и компоненты напряженности удовлетворяют уравнению Лапласа

Пусть функция и(х,у)=в(-х)щ(х,у)+в(х)и2(х,у) - ограниченная в области ={(х,^)|д:е(-<»,0)и(0,+°о); уе(0,+оо)}, где в(х) - единичная функция Хевисайда

Пусть в слое у > Ь (у - глубина под поверхностью Земли) расположены источники аномального гравитационного поля, а при 0<у<И их нет х - горизонтальная координата и{х,у) - вертикальная компонента напряженности гравитационного поля, порожденного этими источниками Тогда функция и(х, у) -решение уравнения Лапласа А (*,>>)= 0, у = 1,2, регулярное в полуплоскости у < Л При этом на прямой х-0 выполняются идеальные условия сопряжения

и1(0,у) = и2(0,у\ ки[х{0,у)=и'2х{0,у\ к> О

На поверхности Земли (у = 0) величина и(х,о)= g(x), £(х)=&(-x)g¡(x)+&(x)gz(x), может быть измерена гравиметром Требуется найти значения функции и}(*,Л) = /(х), J =1.2 Решение поставленной задачи приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки

1 +О0 /0 «о ^

^-ос 4-°° о

С целью подготовить поставленную задачу к численному решению итерационным методом и методом регуляризации построена теория операторов преобразования

В качестве модельной задачи выбрана первая краевая задача для уравнения Лапласа

найти решение дифференциального уравнения А и(х, у) = 0 в полуплоскости О = [(х, у)\х е (0,+°о),у е сю.+со)} по граничным условиям

2(0,У)=/(У), Ни=0

Оператором преобразования будем называть оператор Р к —► и

Для того чтобы стало возможным применение методов итераций и регуляризации к решению задач о структуре стационарных температурных и потенциальных полей в кусочно-однородных средах, построены операторы преобразования для следующих краевых задач.

1) Общая краевая задача для уравнения Лапласа

Найти решение уравнения Лапласа А и(х, у) = 0 в области й по граничному условию Г[«]|10 = й(0,у), где Г - действительный перестановочный с

<1 „ „

граничныи линеинык оператор

dx

Рассмотрены частные случаи поставленной задачи

а) Задача со спектральным параметром для уравнения Лапласа с граничным

г , d , d

оператором вида Г = h+—■ +h,-

dx dx2

где коэффициенты h < 0, h\ > 0 При

А, = 0 - это третья краевая задача

б) Задача Дирихле со сдвигом с граничным оператором вида Г = Е + ИТ,, 0<й<1, где Е - тождественный оператор, 7) - оператор сдвига Т1[и{х,у)]=и{х + 1,у)

2) Первая краевая задача для уравнения Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости

найти ограниченное решение уравнения Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости £>,+ = {(*,хе (0,/)и(/,+а>), (~оо,+оо)}, удовлетворяющее граничному условию и(0, у) = й(0, у) и условиям сопряжения

иХКу)-иЛу\ к> О

о* ох

Оператор преобразования по переменной х имеет вид

й{21 -x+Uj,у) |, 0<х</,

оператор преобразования по переменной у задается формулой

уМУ] Щ

г<(х,у) = П\й} =

й{21-х,у-?]) |dtj,

О <х<1,

[йШ^Ъ^^-^ х>1

3) Построены операторы преобразования для решения задач с неоднородными условиями сопряжения

4) Решена общая краевая задача сопряжения для уравнения эллиптического типа

82и, , д2и, ,

_ + ву -О, У = 1,.,«+1,

на кусочно-однородной полуплоскости

- >'). ^ е 7;, ^ е (- оо,+оо)},

где Г* =|л]х€ и(/^/7„),/0 SO,/„+1 =оо,/у+1 -/, </,+2-lJ+uj = 0, ,«-l|,no

краевым условиям Г0!^] =ü(l0,y), U'„+]|| <со, и условиям контакта

I X~lQ Х-У:

в точках сопряжения интервалов Г^] = Г/,[иJ+l], Г/2]= Г/2], х =

у = 1, , и, где Г°, , /, к = 1,2, _/ = 1, , и, - действительные перестановочные с d

— линеиные операторы dx

Построены операторы преобразования для следующих задач на кусочно-однородной плоскости:

5) Уравнение Лапласа на плоскости с одной линией сопряжения

6) Уравнение Лапласа на плоскости с двумя линиями сопряжения Требуется найти решение уравнения Лапласа в области

D2=lx,y} хб(-оо,0)и(0;/)и(/,+со),уе(-со,+со)}, удовлетворяющее условиям сопряжения

дх ох

u_(i,yhu+(hy), кг>о

ох ох

Получен оператор преобразования П х й(х, у) -> и(х, у) Структура оператора преобразования позволяет изучать асимптотические свойства решения по х на бесконечности и в любой фиксированной точке х.

Операторы преобразования по у позволяют изучить зависимость решения от у при фиксированном значении х.

Теоретически обоснованы свойства операторов преобразования Определение 1. Пусть функция / = fix,у) задана в D. Скажем, что / = f{x,у) принадлежит пространству A{d\ если / = fix,у) - ограниченной вариации, непрерывно дифференцируемая, абсолютно интегрируемая в D функция, причем предельное значение /(О, j>) - oi раниченно

Определение 2. Пусть функция и = и(х, у) задана в Д+ Скажем, что и = и{х, принадлежит пространству a(d ¡"), если и = и(х, у) - ограниченной вариации, непрерывно дифференцируемая, абсолютно интегрируемая в D\

функция, причем предельное значение и(0,у) - ограниченно, и выполнены условия сопряжения вида и_(!,у) = и+(1,у\ к—-(/,>>)=—~0,у), к>0, где

дх дх

и (I,у), и. О,у), (/,у), -~(1,у) - предельные значения функции дх дх

и = и(х, у) и ее производных при х = 1 слева и справа соответственно

Теорема 1. Оператор преобразования П й(х, у) —> и(х, у) осуществляет непрерывное отображение пространства А(о) в пространство Обратный оператор ГГ1 :и(х, _у)-> й{х,у) осуществляет обратное отображение

Вид, в котором получены точные формулы для решения прямых краевых и смешанных краевых задач, удобен для разработки вычислительных схем

Для обратных краевых задач разработан алгоритм численного решения, основанный на применении метода операторов преобразования, методов итераций и регуляризации

В главе 2 рассмотрено моделирование процесса теплопереноса в изотропной упругой неограниченной трехслойной пластинке (задача 1)

/2 = {х| х е (-оо,0) и (0,/) и (/,+<»)}, через боковые поверхности г = ±д которой осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. В точках сопряжения осуществляется идеальный термический контакт Математическая постановка данной модели приводит к сепаратной системе уравнений теплопроводности

, ди д2и.

где функция , х) = в(~ х)иу (/, х)+в(х)в(1 -х)и2 (г, х)+в(х)и3 (/, х) ограниченная в области П2 ~ {(Лх)|' б (0,+=о).х е /2], в(х) - единичная функция Хевисай-да, с идеальными условиями сопряжения

«,(г,0)=м2(/,0), А:, > О,

и2(и)=«з(<Л кги'2х (1,1)= и'г% {1,1), *2>°> начальными условиями uJ(p,x) = /,(*), у = 1,2,3, хе12, где а^ - коэффици-

2 а /

ент температуропроводности, X] =-> - коэффициент теплоотдачи с боковых поверхностей пластинки (г = ±<5), Х] - коэффициент теплопроводности изотропного тела. Если поверхности г = ±6 пластинки теплоизолированы, то а] = 0

Рассмотрим задачу найти закон распределения температуры /(х)=в(-х)/1(х)+в(х)в(1-х)/2(х)+в(х)/}(х) в начальный момент по извест-

ному закону распределения температуры и(/3,х) в момент времени Г = р Поставленная задача приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки

Для получения численного решения поставленной задачи итерационным методом и методом регуляризации, построена теория операторов преобразования

Операторы преобразования построены также для решения смешанных краевых задач для уравнений теплопроводности и уравнений колебаний в кусочно-однородных средах В первом случае в качестве модельной задачи выбрана

дй 67й _

первая краевая задача для уравнения теплопроводности — = в области

П = {(/, д:) | / 6 (0,+со); х е (0,-кя)} по граничным условиям м(/,0) = /(/), |й|| =0, и по начальному условию к(0,дг) = 0.

Все операторы преобразования по переменной дг, приведенные в главе 1, позволяют также решать краевые задачи с соответствующими граничными условиями для уравнений теплопроводности и колебаний в кусочно-однородных средах.

Кроме этого, получены операторы преобразования по переменной /, решающие следующие задачи

1) Третья краевая задача для уравнения теплопроводности в области П по граничному условию Ли(/,0)+ и'х(/,0) = /(?), Л < 0, и по начальному условию м(0,л) = 0

2) Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в кусочно-однородной области П* = {(/, х] I е (0,-юо);х е (0,/)и(/,+со)} по граничному условию «(/,0) = м(/,0) и идеальным условиям сопряжения

к>о

ох дх

Оператор преобразования по переменной х определен в главе 1, а оператор попеременной/ П, «(/,*)—дг) имеет вид

«М =

Выражения для операторов преобразования по переменной I содержат конечные суммы и собственные интегралы Решения получены в виде, позволяющем изучить изменение величины во времени при фиксированном значении д:

Возвращаясь к ретроспективной задаче теплопереноса для трехслойной неограниченной пластинки, отметим, что с помощью операторов преобразования решение этой задачи сводится к решению сепаратной системы интегральных уравнений типа свертки (1) относительно /,(£); 7 = 1,2,3 Выражения для

выбрана первая краевая задача для уравнения = в области О по

функций (рг(р* получены в работе Схема численное решение полученной

системы рассматривается в главе 4

Для случая задач о распределении колебаний в качестве модельной задачи

дги _дги 8(2 ~ дх2

граничным условиям й(/,0) = /(/), (¿'¡[^ ^ =0, и по начальным условиям

и(0, х) = 0, — (0,х) = 0 3/

Получены операторы преобразования но переменной /, решающие основные краевые задачи с идеальными условиями сопряжения

1) Представим пример третьей краевой задачи о распределении колебаний в области с идеальными условиями сопряжения и начальными условиями

и(0,х) = 0, — (0,х) = 0

<Э/

Получены оператор преобразования по переменной х

и(1,х) м(г,дг)

п- (- + 2 и)-

ГтХС-^ГГгтТ Я((,х + е + 2х>1,

1 + к_,=о \1 + к) %

где Ь](х) = —ех-^—у(х1е~х} - полиномы Чебышева - Лагерра, и оператор преобразования по переменной / вида

П, м(г,х)-> и{$,х)

,=0

и(1-т-21],21-хШт, 0<х<1,

1 -к \ + к

— М-1У 1ттт1 й{1~т-И],х)с1г, х>1

\+к

и+<и

2) Получен оператор преобразования по переменной /

П, Й(/,АГ)-»И(/,лг)

для задачи о распределении колебаний неограниченного стержня с двумя точками сопряжения П2 = е (0,+<»);* е (-оо,0)и(0,/)и(/,+оо)} по условиям сопряжения

и_ (' ,0)-и+ (/ ,0) = и(( ,0), = к,>0,

ох ох

«.(/,') = «+('Л = кг > О,

ах дх

который имеет вид

u(t,x) =

i+*J \+k2)

f1-*1! Vl-O

Ii+*jJ

\-к.

u(l - 2lj-x)+—^ u{t -2lj,2l~x)\,

\ + к.

1 -к.

* <0,

u(t - 21],х)--- u(t -2lj,2l - jc) ,

1 + к.

2 кхк2

I-/+1

где суммирование по всем целым ]- 0.

fi-O j fi-кЛ

li+^J

u(t-21j,x\

0 <х<1, х>1,

В главе 3 построены граничные операторы преобразования, позволяющие по известному граничному условию граничному условию третьего типа найти значение функции и на границе области при х = 0. Применяя полученные операторы, можно восстановить характеристики материала (например, температуру) на границе, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой Подобные задачи решены для моделей стационарных и нестационарных температурных полей, для модели волнового поля в однородной и кусочно-однородной полуограниченной пластине

В качестве примера рассмотрена задача о распространении колебаний кусочно-однородной полуограниченной струны

, . 8ги д2и

наити решение дифференциального уравнения —- = —- на границе об-

dt дх

ласти Q,+ х = 0 по граничному условию Ли(/,0)+—(*,0) = /(/), h< 0, усло-

дх

виям сопряжения м_(/,/) = и+ (/,/), = —-~(7,/), к > 0, и по началь-

дх дх

ным условиям u(0,jc)=0, — (0,*)=0

dt

Применяя операторы преобразования, полученные в этой главе, выпишем решение поставленной задачи

I

«М)= ЕНГ'СтттТ /{(-т-И^т-

7=0 + о

Ьг1 Л_гЛ-'+1 ,~2'С'+1)

7-0

Полученные граничные операторы применяются и к решению обратных задач Рассмотрим задачу о структуре стационарного температурного поля в полуограниченной двухслойной пластине . Требуется на границе 1=0 по известному значению температуры и(0,у) пластины найти температурное поле

окружающей среды Ии^{0, у)+^-(0, у) = /(у\ й<0, при условии идеально-

дх

го теплового контакта на линии сопряжения слоев х = /.

Применяя граничные операторы преобразования, полученные в работе, приходим к интегральному уравнению Фредгольма I рода

„(0,Т7/(?-п)еап-г Г',10'^/ , ¿4 >

V ( ^ + 1 "И* к ~ 1 -)д|(2/-х) где У}(х,\Я\)=-^-е 1 ' + ^ е 1 11 , численное решение которого может

бьпь получено методами итераций и регуляризации

В главе 4 на основе метода операторов преобразования, итерационного метода и метода регуляризации разработаны алгоритмы численного решения сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки, к которым приводят задачи интерпретации результатов косвенных наблюдений Рассмотрим уравнение вида

= (2)

Применив к нему преобразование Фурье, имеем К{Х)/(Л)=и{Л) Введем сеткА

ку узлов Лк =-А +—, А: = 0,1, , 2 Л', где А - достаточно большое число

N

Пусть К(Лк ) * 0, к = 0,1, , 2N Рассмотрим итерационный процесс

7,- (я* )=ЛМ- ук (к(лк )/„ (лк )-и{лк)), (3)

¿ = 0,1, ,2М, « = 0,1, , где ук подбирается из требования, чтобы Чк ^ = 0,1, ,2N При налагаемых на функцию К(Лк) ус-

ловиях это всегда возможно

Видно, что при каждом к (к = 0,1, , 2 Л') итерации сходятся со скоростью Ац"к Затем по квадратурным формулам преобразования Фурье находим функцию /(х). Обоснование итерационного процесса и исследование погрешности реализации этой вычислительной схемы приведено в работах И В Бойкова.

Приближенное решение уравнения (2) методом регуляризации изучено в работах А Н Тихонова, В Я Арсенина

Если уклонение правой части уравнения (2) оценивать в метрике ¿2(-оо,оо),

а уклонение решения /(х) - в метрике С. и полагать, что /(Л)е /^(-00,00), то справедлива

Теорема 2. Если функция г(Л,а) является стабилизирующим множителем, то определенный с ее помощью оператор Я(и,а)= ■ | и (Л)е,Лх йЛ

является регуляризирующим оператором для уравнения (2)

Таким образом, функция /(х) = Я(и,а) является регуляризованным решением уравнения (2)

В работе указанные методы решения уравнения в свертке (2) распространены на случай сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки Разработанные схемы численного решения применены к решению ретроспективных задач теплопереноса и задачи пересчета потенциального поля Были найдены новые выражения для прямого и обратного интегральных преобразований Фурье на действительной оси с одной и двумя точками сопряжения, для двумерных прямого и обратного преобразований Фурье на плоскости с одной линией сопряжения

Покажем схему численного решения на примере ретроспективной задачи теплопереноса в трехслойной неограниченной пластинке (задача 1) С помощью операторов преобразования решение этой задачи сводится к решению сепаратной системы интегральных уравнений типа свертки (1)

Схема численного решения

1) Действуем на систему (1) интегральным преобразованием Фурье на оси с двумя точками сопряжения

л/2ж

/ -ЮС

+\<р\ (<Г, л)е2 (№+ \<Р\ (<Г, л)8 з

В образах Фурье получим

и(р,Л) = е-^/(Л) 2 2 №

2) Итерационный метод Так как К{Л)=е'р^+с\ то К{Л)-> 0 при Я +оо и К(л) ф О при конечных значениях Я Значит, к уравнению (4) применимы последовательные приближения (3) Находим приближенное решение

№

Метод регуляризации Дня рассматриваемой задачи выбран стабилизирующий множитель

1, Щ<~-

г(Я,а) =

о, Щ>\,

где h - величина шага сетки, на которой ищется решение системы (1) Образ Фурье регуляризованного решения имеет вид

3) Действуем обратным преобразованием Фурье

fj (*) = №) J (*• 7 = 1,2,3, xel2

-v 2яг

Интефалы в преобразованиях Фурье аппроксимированы по формуле прямоугольников Получено приближенное решение поставленной задачи 1

Все программы, реализующие численное решение рассмотренных в работе моделей, написаны в программной среде BORLAND DELPHI 7.

В работе рассмотрены математические модели нестационарного теплопере-носа, модели распределения стационарного температурного поля и волн в неограниченных и полуограниченных неоднородных средах Построена модель потенциального поля в многослойной области. Впервые получены аналитические решения таких моделей в виде, связывающем решение задач для неоднородных сред с решением соответствующих задач для однородных структур Разработаны, обоснованы и программно реализованы алгоритмы численного решения сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки, возникающих в обратных ретроспективных задачах теплопереноса и в задаче пересчета гравитационного поля в неоднородных структурах Результаты, полученные в работе, позволяют реализовать эффективные процедуры проверки на адекватность параметров моделирования и физического эксперимента, что является одним из перспективных направлений исследований

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Елисеева Т В Операторы преобразований и их применение для решения задач о структуре волнового и температурного полей в кусочно-однородном полупространстве // Известия ВУЗов Математика - 2006 - № 9 - С 79-82 2. Публикации в других изданиях

1 Елисеева Т В Преобразование Фурье на декартовой полуоси со спектральным параметром в граничных условиях // Гуманитарные науки в системе высшего образования Материалы студенческой межвуз науч конф СГУ. -Пенза, 2000 - С 311

2 Елисеева Т. В Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно-однородных сред // Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания Межвуз сб науч тр - Пенза ПГПУ, 2001 -С 17-21

3 Елисеева Т В Операторный метод в теории краевых задач для кусочно-однородных сред // Движения в обобщенных пространствах Межвуз сб науч тр -Пенза ПГПУ, 2002 -С 75-81

4 Елисеева Т В Операторный метод решения краевых задач для кусочно-однородной полуплоскости // Сб тез Международной науч конф студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2002". - М МГУ, 2002 -41-С 352

5 Елисеева Т В Преобразование Фурье на действительной полуоси // Вестник молодых ученых ПГПУ им В Г Белинского - Пенза ПГПУ, 2002 -№ 1 - С 62-65

6 Елисеева Т В Операторный метод решения обобщенных задач сопряжения для уравнения Лапласа // Вестник молодых ученых ПГПУ им В Г Белинского -Пенза ПГПУ,2003 - №2 - С 49-51

7 Елисеева Т В Задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для кусочно-однородного полупространства // Комплексный анализ и математическая физика Сб науч тр , посвященный 100-летию со дня рождения профессора А А Темлякова - М МГОУ, 2003 - С 136-142

8 Елисеева Т В Дробные степени оператора А + — // Сб тр Международ-

дх

ной конф по геометрии и анализу. - Пенза ПП1У, 2003 - С 26-29

9 Елисеева Т В. Операторы преобразований для решения обобщенной задачи Дирихле для уравнения колебаний в кусочно-однородном полупространстве // Инженерно-физические проблемы новой техники Материалы 7-го Всероссийского научно-технического Совещания-семинара - М : МГТУ им Н Э Баумана, 2003 -С 115-116

10 Елисеева Т В Общая краевая задача сопряжения для кусочно-однородного полупространства // Сб тез Международной науч конф студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2004" - М МГУ, 2004 -Т 1 -С 270-271.

11 Елисеева Т В Задача сопряжения для уравнения Пуассона // Молодежь и наука XXI века Материалы V Всероссийской научно-практической конф студентов, аспирантов и молодых ученых - Красноярск РИО КГПУ, 2004 -С 8-9.

12 Елисеева 'Г В Решение общих краевых задач в кусочно-однородном полупространстве методом операторов преобразования // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н В Ефимова -Ростов-на-Дону ЦВВР, 2004 - С 100-102

13. Елисеева Т В Смешанная краевая задача для сепаратной эллиптико-параболической системы уравнений в кусочно-однородной полуплоскости / Яремко О Э, Елисеева Т. В // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н В Ефимова - Ростов-на-Дону ЦВВР, 2004 - С 166-167

14 Елисеева Т В Метод операторов преобразования для решения общей краевой задачи сопряжения // Труды XXVI конф молодых ученых механико-математического факультета М1"У им. M В Ломоносова - М. МГУ, 2004 -Т 1.-С 90-92.

15 Елисеева Т В О некоторых обобщениях преобразования Хартли Ч Сб тез XII Международной конф студентов, аспирантов и молодых >ченых "Ломоносов" -М. МГУ, 2005 - Г 1 - С 354-355

16 Елисеева Т В Операторы преобразования в теории смешанных краевых задач кусочно-однородных структур / Яремко О Э, Елисеева ТВ// Труды СВМО - 2005 -Т 7 - № 1 - С 223-231

17 Елисеева Т В Граничные операторы преобразования в краевых задачах // IV Всесибирский конгресс женщин - математиков Материалы конф / Под ред к ф-м н Г M Рудаковой. - Красноярск РИО СибГТУ, 2006 - С 55-56

18 Елисеева Т В. О некоторых приложениях теории операторов преобразования к решению краевых задач кусочно-однородных структур // Труды СВМО - 2006 - Т 8 - № 1 - С 212-217

19 Елисеева Т В Операторный метод решения задач гравиметрии / Яремко О Э, Елисеева Т. В // Груды СВМО - 2006 - Т 8 - № 2 -С 222-224

20 Елисеева Т. В О некоторых обобщениях формулы Рейнбоу для кусочно-однородной полуплоскости // Дифференциальные уравнения и их приложения-Тез докл Международная конф - Черновцы Рута, 2006 - С 46

21 Елисеева Т. В Математическое моделирование температурных и потенциальных полей в кусочно-однородных средах / Препринт № 98 - Саранск СВМО, 2007 - 32 с

22 Свидетельство о государственной регистрации комплекта программ для ЭВМ № 50200601996 Выдано отраслевым фондом алгоритмов и программ государственного координационного центра информационных технологий 16 ноября 2006 года

Подписано к печати 9 04 2007 г Формат 60x84 '/16 Бумага ксероксная Печать трафаретная Уел печ. л 1 Тираж 100 Заказ 9/04

Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО «Типография Тугушева» 440600, г Пенза, ул. Московская, 74, к 220, тел 56-37-16

Введение.

Глава 1. Прямые и обратные задачи о структуре стационарного температурного и потенциального полей в кусочно-однородной полуплоскости

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Задачи о структуре стационарного температурного поля на кусочно-однородной плоскости.

2.1. Случай плоскости с одной линией сопряжения.

2.2. Случай плоскости с двумя линиями сопряжения.

2.3. Сепаратная система интегральных уравнений типа свертки в задаче о пересчете гравитационного поля.

§ 3. Задачи о структуре стационарного температурного поля на однородной и кусочно-однородной полуплоскости.

3.1. Общая краевая задача для однородной полуплоскости.

3.2. Применение операторов преобразования к решению задач математической физики.

3.3. Случай полуплоскости с одной линией сопряжения.

3.4. Применение операторов преобразования к решению задач о структуре стационарного и нестационарного температурных полей, о структуре распределения колебаний.

3.5. Краевая задача Штурма-Лиувилля для кусочно-однородной полупрямой.

3.6. Общая краевая задача сопряжения для уравнения эллиптического типа.

3.7. Смешанная краевая задача для кусочно-однородного полупространства для уравнения Лапласа.

3.8. Метод Винера - Хопфа в теории смешанных краевых задач кусочно-однородных структур.

Глава 2. Прямые и обратные задачи о структуре нестационарного температурного и волнового полей в кусочно-однородных средах

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Задачи о структуре нестационарного температурного поля на кусочно-однородной прямой.

2.1. Случай прямой с одной точкой сопряжения.

2.2. Случай прямой с двумя точками сопряжения.

2.3. Сепаратная система интегральных уравнений типа свертки.

§ 3. Задачи о структуре нестационарного температурного поля на однородной и кусочно-однородной полупрямой.

3.1. Случай однородной полупрямой.

3.2. Случай кусочно-однородной полупрямой.

§ 4. Задачи о структуре волнового поля на кусочно-однородной прямой.

4.1. Случай прямой с одной точкой сопряжения.

4.2. Случай прямой с двумя точками сопряжения.

§ 5. Задачи о структуре волнового поля на однородной и кусочно-однородной полупрямой.

5.1. Случай однородной полупрямой.

5.2. Случай кусочно-однородной полупрямой.

Глава 3. Обратные граничные краевые задачи.

§ 1. Граничные операторы преобразования для однородных полуограниченных сред.

1.1. Обратная граничная задача о структуре стационарного температурного поля.

1.2. Обратная граничная задача о структуре нестационарного температурного поля.

1.3. Обратная граничная задача о структуре волнового поля.

§ 2. Граничные операторы преобразования для кусочно-однородных полуограниченных сред.

2.1. Обратная граничная задача о структуре стационарного температурного поля.

2.2. Обратная граничная задача о структуре нестационарного температурного поля.

2.3. Обратная граничная задача о структуре волнового поля.

В последние годы в России принят ряд директивных документов, которые значительно ужесточают нормативные требования к теплопотерям в зданиях различного назначения как вновь проектируемых и строящихся, так и реконструируемых.

Для создания более совершенных строительных конструкций с повышенными теплозащитными свойствами необходимо всестороннее изучение механизма теплопереноса в многослойных стенах зданий и сооружений при переменной во времени температуре наружного воздуха. В большинстве инженерных расчетов процессов теплообмена в составных конструкциях тепловой контакт в месте соприкосновения / - го и (/ +1) - го слоев принимается идеальным (равенство температур и тепловых потоков). На современном этапе в связи с широким применением композиционных материалов возникла острая потребность в решении достаточно широкого класса задач моделирования физических процессов в неоднородных структурах. Последнее обстоятельство требует с одной стороны усовершенствования и модифицирования существующего математического аппарата, а с другой стороны создания новых методов.

Кроме того, создание новейших нанотехнологий в области экологического очищения и разделения жидкости и газа, создание экологически чистых веществ и продуктов ставит целый ряд задач исследования механизмов кинетики неизотермического массопереноса в адсорбционных средах нанопористой структуры, требует развития новых методов математического моделирования, которые описывают сложные механизмы внутренней кинетики, условия динамического равновесия и режимы массопереноса в однородных и неоднородных пористых средах.

Таким образом, задачи математического моделирования процессов массо- и теплопереноса представляют большой теоретический и практический интерес.

Рассмотрим изотропную упругую неограниченную трехслойную пластинку /2 = {х| х е (- оо,0)и(0,/)и(/,+оо)}, через боковые поверхности г = ±д которой осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. В точках сопряжения осуществляется идеальный термический контакт. Требуется по известному закону распределения температурного поля в трехслойном неограниченном стержне в момент / = определить распределение температуры в начальный момент времени. Моделирование процесса теплопереноса в рассматриваемой среде приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки вида и,.{Р,х) = ^-"\л<р1 (х,Л)е-^0[ )<р](#,Х)/,ш + -СО \-<ю

I +00 N

О / у относительно /)•(£), у = 1,2,3.

Ранее рассматривались задачи пересчета гравитационного поля в однородном слое осадочных пород (Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П.). Моделирование процесса пересчета гравитационного поля, когда в слое осадков существует граница раздела сред, направленная по нормали к поверхности Земли, также приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки.

Возникает вопрос о численном решении подобных задач. В нашей работе метод итерации и метод регуляризации применены для разработки численных алгоритмов решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений типа свертки, возникающих в задачах интерпретации результатов косвенных наблюдений в кусочно-однородных средах. С целью применения указанных численных методов в работе развит метод операторов преобразования для решения прямых и обратных задач математической физики неоднородных структур.

Актуальность метода операторов преобразования в том, что он позволяет упростить вычислительные схемы при применении методов итерации и регуляризации для решения задач кусочно-однородных сред. С помощью операторного метода задачу для неоднородной среды можно свести к задаче для однородной области. Операторный подход дает возможность получить решение в удобном виде, допускающем простую физическую интерпретацию: последовательные приближения с помощью отражения от экранов. Аналитическая форма получаемого таким методом решения удобна для изучения его асимптотических свойств.

Цель работы: разработать алгоритмы численного решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений типа свертки теории интерпретации результатов косвенных наблюдений, представляющих обобщение уравнений в свертках. Построить операторы преобразования, позволяющие по известным решениям классических модельных задач математической физики получить решения краевых задач в кусочно-однородных пространстве и полупространстве.

По мнению автора, новыми являются следующие результаты:

- построены операторы преобразования для решения широкого круга задач математического моделирования физических процессов в неоднородных средах: прямых и обратных задач моделирования процесса теплопереноса, моделирования стационарного температурного поля, волнового поля;

- найдены граничные операторы преобразования, позволяющие по ди известному граничному условию ки + дх /(у), Л<0, найти значение х=0 функции и на границе области при х = 0, что позволяет, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой, восстановить характеристики материала на границе (например, температуру);

- получены новые выражения для интегрального преобразования Фурье на оси с одной и двумя точками сопряжения; для двумерного интегрального преобразования Фурье на плоскости с одной линией сопряжения; построены регуляризирующие операторы для сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки;

- на основе методов итераций и регуляризации и метода операторов преобразования разработаны и обоснованы схемы численного решения ряда задач интерпретации результатов косвенных наблюдений для кусочно-однородных сред, приводящих к сепаратным системам интегральных уравнений типа свертки;

- программно реализованы схемы численного решения следующих задач: а) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном бесконечном стержне; б) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойной бесконечной пластине; в) векторной кусочно-однородной обратной задачи теплопроводности; г) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в трехслойном бесконечном стержне; д) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном ограниченном стержне; е) задачи пересчета гравитационного поля в слое осадков с границей раздела сред, направленной по нормали к поверхности Земли.

Дадим характеристику основных результатов диссертационной работы, состоящей из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Главы 1 - 3 посвящены теории операторов преобразования, в главе 4 разработаны схемы численного решения обратных задач теплопроводности в неоднородных средах.

В главе 1 рассмотрена задача пересчета гравитационного поля, когда в слое осадков существует граница раздела сред, направленная по нормали к поверхности Земли. Моделирование данного процесса приводит к следующей математической постановке.

Пусть функция и(х,у) = в(- х)щ (х,у)+в(х)и2 (х,у) - ограниченная в области = х е (-со,0)и(0,+оо),у € (0,+оо)}, где в(х) - единичная функция

Хевисайда.

Пусть в слое у>к, у - глубина под поверхностью Земли, расположены источники аномального гравитационного поля, а при 0<у<И их нет. х - горизонтальная координата. и{х, у) - вертикальная компонента напряженности гравитационного поля, порожденного этими источниками. Тогда функция и(х, у) - решение уравнения Лапласа д2и, д2и,

1 + —¿ = о / = 1? Эх2 Зу2 ' ; ' ' регулярное в полуплоскости у < к. При этом на прямой х = 0 выполняются идеальные условия сопряжения щ(0,у) = и2(0,у), к^(0,у) = ^(0,у), к> 0. ох ох

На поверхности Земли {у = 0) величина и(х,0) = £(:*:), = может быть измерена гравиметром. Требуется найти значения функции и](х,к) = / = 1,2. Решение поставленной задачи приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки

21 М = л

10 к-\ х-^У+к1 к +1 (х + %)2+к х<0, 7

82М = к ж

00

2к °г к + \1(х-^У+к1 1 к — \ I 1 х> 0.

С целью подготовить поставленную задачу к численному решению итерационным методом и методом регуляризации построена теория операторов преобразования для решения смешанных краевых задач для уравнения эллиптического типа в кусочно-однородных средах.

В качестве модельной задачи рассмотрена первая краевая задача для уравнения Лапласа: найти решение дифференциального уравнения д2й д2й 0 ас2 ду2 в полуплоскости О - е (0;+оо);у е (- оо,+оо)| по граничным условиям и(М=/М Ии=0

Оператором преобразования будем называть правило, которое ставит в соответствие функции и = й(х,у) из однородной области В определенную функцию и = и(х,у) из кусочно-однородной области £)*. Область £)* будет уточнена для каждой задачи.

В работе построены операторы преобразования для следующих краевых задач:

1) Общая краевая задача для уравнения Лапласа.

Найти решение уравнения Лапласа = 0 в области £> по граничному условию где Г - действительный перестановочный с оператором — граничный к линейный оператор.

Рассмотрены частные случаи поставленной задачи: а) Третья краевая задача для уравнения Лапласа с граничным оператором

Г = к +—, Н<0. (к

Оператор преобразования по переменной х Рх: й{х, у) -» и(х, у)

00 имеет вид и(х, у) = Рх [й](д:, у) = - \екЕ й{х + £, у)йе. о

Кроме того, был получен оператор преобразования по переменной у.

00 и(х,у) = Ру[й\х,у) = ¡У(т1)й(х,у-?1)с1т],

-00 где л/2 ж

У ел-, где С ¡(у) = -1-ёа, 57(у) = |-с1а. у а о ос б) Задача со спектральным параметром для уравнения Лапласа с граничным 2 оператором вида Г = к + — + /г, —-, где коэффициенты к < 0, к\ > 0. с1х (к

Для этой задачи получен оператор преобразования

00 еРг£ еР\е и(х, у) = /ВДх, у) = ¡-Т-—-т й(х + £, у^е, \-J\-4kk „ 1 + л/1-4 кк где -$2 = ' •

2 кх 2 кх в) Задача Дирихле со сдвигом для уравнения Лапласа с граничным оператором вида Г = Е + кТ1, 0 < к < 1, где Е - тождественный оператор, Т1 -оператор сдвига 7} \и(х, у) ] = и{х + /, у).

Получен оператор преобразования, решающий поставленную задачу и(х, у) = р[й\х, >>)=!(-1)" ккй(х + 1к, у).

4=0

2) Первая краевая задача для уравнения Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости: найти ограниченное решение уравнения Лапласа в кусочнооднородной полуплоскости Д+, удовлетворяющее граничному условию и(0,.у) = м(0,>>) ды Зы и условиям сопряжения и (/, у) = и+ дх дх

Оператор преобразования по переменной х приведен выше; оператор преобразования по переменной у имеет вид й(х,у-7])--—й(21-х,у-т])ш, 1 + к I

0 < х < /,

2* АП-*у-г 41; ^ ь

21 Г"Г 1 ,,2,2 . „2 *Фиу-щЛц, х>1

1 + к^\\ + к) 4/2/2 + 7]г

Решены следующие задачи с неоднородными условиями сопряжения. 3) Найти ограниченное решение уравнения Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости удовлетворяющее граничному условию и(0,у)=0 и условиям сопряжения и(1,у)-и+(1,у)=й(0,у), к>0, кФ\. дх ох

Оператор преобразования, решающий задачу, имеет вид й(х-1 + 2у,у)~ и(х,у) = Ь[й\х,у) =

1 ч х 1 *(\-к У к

1-кн

VI + к;

-—— м(/ — х + 2//, у) 1 + к v ' 0 < х < /, к . + к й(х-1,у)~

2к д, й(х-1 + 2У,у),х>1.

4) Найти ограниченное решение уравнение Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости £>!+, удовлетворяющее граничному условию м(0,у) = 0 и условиям сопряжения и{1,у) = и+(1,у), к>0, к* 1. дх ох ох

Получен оператор преобразования 1 и(х,у) = Ци\х,у) =

1 + к г V и{21-х,у)+-—

1 -км

1 + к

1 — к и(х + 2у,у)--и(21-х + 21/,у) , 0<х<1,

1 + к

1 „ й(х,у)+

2к

1 + к) й(х + 2Ц,у), х>1.

1 + к"у'" 1 -к2р1, 5) Найти ограниченное решение уравнения Лапласа в полуплоскости £>,+ , удовлетворяющее граничному условию и(0,у)+аи(1,у) = и(0,у), 0<а<\, и условиям сопряжения

Ьи(1,у) = и+(1,у), дх дх дх где Ь, с, с1> О, причем с + ас/< тт(д,Л + ас).

Получен оператор преобразования, позволяющий решить задачу:

Я:и(х,у)->и(х,у). и(х,у)= + ] + \)\( 2(с + ас1)ХХ(Ь-(1-ас у=о Л у! сй(х + /(/ + 1)+2/у,д/)+

Ь + а+ас) \Ь + а + ас; + (Ь + ^й(х + Н + 21},у)+сй(1-х + И + 21% у)+ (с1-Ь)й(21 -х + Н + 21},у)), 0<х<1, + ;Ч1)!Г 2(с + аЛ)Ч+[(Ь-с1-ас у=о Л у!

Ь + с1 + ас;

Ь + с1 +ас

Ьсй(х + /(/ +1)+2 /;', .у)+ 2Ъс1 й(х + Н + 21%у)-Ьсй(х-1 + И + 21],.у)), х>1.

6) Решена обобщенная задача Дирихле для кусочно-однородной полуплоскости.

Найти ограниченное решение уравнения Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости £),+, удовлетворяющее граничному условию и(0,у)+ки(11,у) = й(0,у), и условиям сопряжения и(1,у)=и+(1,у\ к>О, дх дх где О < к < гшп г п Рассмотрены два случая, когда 0 </| </ и /¡>/. ч к)

Для случая 0 < /| < / оператор преобразования К :й(х,у)->и(х,у) имеет вид и(х,у) =

I УГ^У. ш=0 fif.pl Х л\ + к){ \ + к)

1 — к й(х + /,/ + 21} + (21 -1х)р,у)--и(21 -х + 1]г + 2 у + (21 - /, )р, у)

1 + к

0<х <1,

2к - (¡ + ] + р + 2)\, 1 + *и!н> И р\ \\ + к){\ + к,

•£(* + /,/+ 2//+ (2/у), х>1.

Если /] >/, то и(х,у) = я[й] = + ./ + 1)!(1-*ЛУ 2кк у=о /.'у! у

1 +

1-А: 1 + £ й(х + 2И + 1^\у)~ й(21 -х + 2Н + 1}],у) 0 <х<1,

1 + 4,,>о ЛУ! и + ^Л 1 + к)

Получены операторы преобразований для частных случаев: =/ и 1\=21, где х = I - линия сопряжения.

7) Решена общая краевая задача сопряжения для уравнения эллиптического типа.

Требовалось определить конструкцию ограниченного на кусочно-однородной полуплоскости д; = х е1+п;уе(- оо,+оо)}, где /я+ = у=о нетривиального решения сепаратной системы дифференциальных уравнений д2и: ■уд2и1 , -^-6,4=0, У = 1,.,« + 1, по краевым условиям х=<ю

00, и условиям контакта в точках сопряжения интервалов

Г12["у ] = Г22["у+11 Х = 7=1,.,«, где Г°, Т/к,1,к -1,2, у = 1,.,«, - действительные перестановочные с Л оператором — линеиные операторы. с1х

Оператор преобразования, связывающий поставленную задачу с модельной, получен в виде:

2 00 (!"> ^ Иу (х,у) = — 3т (х, XI /81п Ц у№ Щ, ) -1,., п +1, л о чо ) где символ Зт обозначает мнимую часть комплексного числа, Vу (х, А) спектральная функция задачи Штурма - Лиувилля о конструкции ограниченного на кусочно-однородной полупрямой I* нетривиального решения сепаратной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с12у х,Л)+{а]Л2 +Ь2\]{х,Л) = О, хеГп,] = \,.,п + \, ах по краевым условиям

1 '1Л=/0 1 й+11*=СО и условиям контакта в точках сопряжения интервалов

Ру ] = Г22 [^-И1 Х = 1,' / = «, с1 где Г°, Г^ - перестановочные с оператором — граничные линейные сЬс операторы, для которых выполняется го ¿/ = гр ск с!х т^/ <1 <* • , 1 Л -1

47 = 74, /Д = 1,2; 7 = 1,.,", ах ах при условиях неограниченной разрешимости задачи [32].

Построены операторы преобразования для следующих задач на кусочно-однородной плоскости:

8) Уравнения Лапласа на плоскости с одной линией сопряжения.

Найти решение дифференциального уравнения Ам(дг,1у) = 0 в области

А = е (- оо;0)и (0;+со);у е (- оо,+оо)}, удовлетворяющее условиям сопряжения иЛо,у)-«Ао,у)=М дх дх

Оператор преобразования и(х,у) = П[й\х,у) =

-й(-х,у), жО, к +1 к й(х,у), х>0, к +1 решает поставленную задачу.

9) Уравнения Лапласа на плоскости с двумя линиями сопряжения. Требуется найти решение уравнения Лапласа в области

А = К*»^ * е и (0;/)и (/;+оо);у е (-оо,+оо)}, удовлетворяющее условиям сопряжения к^{0,у) = ^(0,у), кх > О, ох ох и{1,у) = и+(1,у), к2^(1,у) = ^(1,у), к2> 0. дх дх

Получен оператор преобразования П :и(х,у)-+ и(х, у). и(х,у) = гг2(-«У л , Ул 1 У/

1 + к{ у=о

1 -кх 1 +

1 -к? Ч1 + ки

-к. й(- х + 21), .у)+-- й(21 -х + 2 I], у) К

1 + у'=0

-1Г 1 — А:,У(\-к

1 +

1 + *.

1 -к х<0, й(х + 2Ц, у)--- й(21 - х + 2Ц, у)

1 + к п2

1НУ

1-к^ й(х + 2 Ц, у),

0 <х<1, х>1.

В выражениях операторов преобразования по переменной х, полученных в работе, слагаемые рядов быстро убывают. Вид решения позволяет изучать асимптотические свойства по х на бесконечности и в любой фиксированной точке х.

Операторы преобразования по у позволяют изучить решение при фиксированном значении х.

В качестве примера применения метода операторов преобразования рассмотрена смешанная краевая задача для уравнения Лапласа в правой полуплоскости с линией сопряжения {(*> у)| * € (0,/)и(/,+оо),з/ е (- оо,+оо)} удовлетворяющего граничным условиям: и(0,у) = е~ау (а > 0) при >> >0,

-{0,у) = СеЬу (Ь>0) при >> < 0, дх

ПРИ л: —> оо, и условиям сопряжения и(1,у) = и+(1,у), = к> О, ох ох где и(1,у), и+ (/,у), —-(/,у), —~{1,у) - предельные значения функции дх дх и = и(х,у) и ее производных при х = 1 слева и справа соответственно. В работе теоретически обоснованы свойства операторов преобразования. Определение 1. Определим пространство Щ2 (п) как замыкание множества

С2 (О) по норме =

Ф>у)|2+К|2 +

2 I № |2 «у\ +К\ + и

УУ dydx

Определение 2. Определим пространство ^Г22(/)я+) как замыкание множества

Ф:)

II ||(2) по норме ЦиЦ*

Л*

Шх,у]2+\и'х\2 + и.

К\ + и

УУ dydx

Теорема 1. Операторы преобразования осуществляют непрерывное отображение пространства Ж? (О) в пространство №2[р+п\

Вид, в котором получены точные формулы для решения прямых краевых и смешанных краевых задач, удобен для разработки вычислительных схем.

Для обратных краевых задач разработан алгоритм численного решения, основанный на применении метода операторов преобразования, методов итераций и регуляризации.

В главе 2 рассмотрено моделирование процесса теплопереноса в изотропной упругой неограниченной трехслойной пластинке (задача 1)

2 = {х| х е (-со,0)и(0,/)и(/,+оо)}, через боковые поверхности z = ±S которой осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. В точках сопряжения осуществляется идеальный термический контакт. Математическая постановка данной модели приводит к сепаратной системе уравнений теплопроводности d2u¡ где функция u(t,x) = x)ux(t,x)+в(х)в(1 -x)u2(t,x)+e(x)u2(t,x) ограниченная в области Q2 = {(/,х)| t е (0,+сс);х е /2), в(х) - единичная функция Хевисайда, с идеальными условиями сопряжения

IM) = u2(í,0), 0) = %(í,0), кх > 0, ох дх u2(t,l) = u3(t,l), k2—±(t,l) = -2-(t,l), к2>0, дх дх начальными условиями «Д0,х) = fj(x), j = 1,2,3, х е/2, где aj г ai коэффициент температуропроводности, %) - — > &¡ - коэффициент

Я jó теплоотдачи с боковых поверхностей пластинки (z = ±S), Я. - коэффициент теплопроводности изотропного тела. Если поверхности z = ±8 пластинки теплоизолированы, то = 0.

Рассмотрим задачу: найти закон распределения температуры f(x) = в{- х) /¡ (х) + в{х)в{1 - x)f2 (х)+в(х) /3 (х) в начальный момент по известному закону распределения температуры «(/?, х) в момент времени t = /3.

Поставленная задача приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки.

Для получения численного решения поставленной задачи итерационным методом и методом регуляризации, построена теория операторов преобразования. В этой главе построены операторы преобразования для решения смешанных краевых задач для уравнений теплопроводности и уравнений колебаний в кусочно-однородных средах. В первом случае в качестве модельной задачи выбрана первая краевая задача для уравнения теплопроводности — = в области О = е (0;+оо),х е (0;+оо)} по дх граничным условиям u(t,0)=f{t), |й| ^ =0, и по начальному условию и(0,*) = 0.

Все операторы преобразования по переменной х, приведенные в главе 1, позволяют также решать краевые задачи с соответствующими граничными ди д2и условиями для уравнения теплопроводности — = —в кусочно-однородных dt дх средах.

Кроме этого, получены операторы преобразования по переменной t, решающие следующие задачи.

1) Третья краевая задача для уравнения теплопроводности в области Q по граничному условию hu(t,0)+—(t,0) = f(t), h< 0, и по начальному условию дх ы{0,*) = 0.

Получен оператор преобразования u(t,x) = Lt[u\t,x) = -\ -jL= + eh2ThErfc(-h4r^\u(t-T,x)dT,

2 °°r ^ где Erfc(u) = —j= \е v dv. Vtf „

2) Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в кусочно-однородной области Qf = {(í,x)(rG(0;+oo),jce(0;/)u(/;+co)} по граничному условию u{t,О) = ü(í,О) и условиям сопряжения u(t,l) = u+(t,l), кд-^(!,1)=Ы,,1\ к>0. дх ох

Оператор преобразования по переменной jc определен в главе 1, а оператор по переменной t П(: ü(t, х) -» u{t, х). имеет вид u(t,x) =

- 1 -kY' И -—( 1 -к ГТ \~Гше 7 Щ-т,х)- — ü(t-T,2l-x) dx,0<x<l,

2к ~ f 1 —>tY 'f lj х , rl :—г u(t-Ttx)dv, х>1 l + kj=o\l + k) оутгт '

Иг ли \

Выражения для операторов преобразования по переменной / содержат конечные суммы и собственные интегралы. Решения получены в виде, позволяющем изучить изменение величины во времени при фиксированном значении х.

Возвращаясь к ретроспективной задаче теплопереноса для трехслойной неограниченной пластинки, отметим, что с помощью операторов преобразования решение этой задачи сводится к решению сепаратной системы интегральных уравнений типа свертки -оо v -оо оо \ dX, о / относительно / = 1,2,3. Выражения для функций (р^, ср* получены в работе. Схема численное решение полученной системы рассматривается в главе 4.

Для случая уравнения колебаний в качестве модельной задачи рассмотрена „ д2й д2й - „ первая краевая задача для уравнения колебании —- = —г- в области £2 по дг дх граничным условиям = /(?), \й\ =0, и по начальным условиям и(0,х) = 0, ^(0,х) = 0.

Все операторы преобразования по переменной х, приведенные в главе 1, позволяют также решать краевые задачи с соответствующими граничными условиями для уравнения колебаний д2и д2и в кусочно-однородных средах.

Кроме этого, получены операторы преобразования по переменной решающие следующие задачи.

1) Третья краевая задача для уравнения колебаний = в области О дх по граничному условию дх и по начальным условиям м(0,*) = 0, —(0,;с)=0. Зг

Оператор преобразования по переменной х определен в главе 1, оператор преобразования по переменной t задан равенством и^,х) = Ц[й]^,х) = -\еНг й^-т,х)с!т. о

2) Первая краевая задача для уравнения колебаний в кусочно-однородной области П}" = б(0;+оо),д:е(0;/)и(/;+оо)} по граничному условию = м(?,0) и условиям сопряжения = и+ (?,/), А: —(г,/) = —-^,1), А: > 0. дх дх

Оператор преобразования по переменной х получен в главе 1, оператор преобразования по переменной / имеет вид ^ ^ и^-21;',х)~-—- й^-2^,21-х) , 0<х<1,

1 + к ) 1

2к

1 + А: Д1 + к где суммирование по всем целым у = О,., Г

27

3) Третья краевая задача для уравнения колебаний в области О^ по граничному условию ди ох условиям сопряжения

П(и1)=Ы+(и1\ = ¿>0, йх ох: и по начальным условиям и(0,*) = 0, ^(0,х) = 0.

Получены оператор преобразования по переменной х

Пх: и (/,*)-» д:). и

М =

00 / ч ■ /1 -£У+С0

К-»Пттт о и + к)

00 /

- 2/1£>)еАе , X + Е + 2Ц)

2к Д/

1 + к 1 г &

К-1 г

Ч1 + *,

- 2ке)е1>е ы(/, х + е + 21^6, х>1, где Ь:(х) = —ех—г{х]е~х) - полиномы Чебышева - Лагерра [15], и оператор у! (Ь} преобразования по переменной I

П, м(/,х) =

1-^У '-2/> .1 + к ¿у(-2/гг)еАг й(^-г-2/у,х)

-к 1 + к й^-т-2Ц,21-х) с1т, 0<х<1,

1 + л ) 1

-к V '~2/у о где суммирование по всем целым у = 0,.,

2/

4) Получен оператор преобразования по переменной /

П, :м(/,л:)-» и(/,х) для задачи нахождения решения уравнения колебаний на прямой с двумя точками сопряжения

П2 = 6 (0;+оо),х е (-оо;0)и(0;/)и(/;+оо)} по условиям сопряжения кх>О, ах: ох и(М)=(г,/), > о, ох ох который имеет вид и(/,х) =

1 + к. ,

1ИУ л 7 Ул / УУ 1

1-*

- 2!/,-х)+—± - 21],21 - х) ,

2 ; х<0,

1 + *, У к'

К-1У М

Л I. УЛ УУ

1 — Лг, у1 + ки

12 к-г

Л /, УУ

1—&

- 2/;, х)--1 к(/ - 2/у,21 - х)

1 + к, 1 V й(/-2/у',х),

О < х < /, х>/, где суммирование по всем целым у = 0,.,

В главе 3 построены граничные операторы преобразования, позволяющие ди по известному граничному условию пи + — дх /{у\ И < 0, найти значение х=0 функции и на границе области при х = 0. Применяя полученные операторы, можно восстановить характеристики материала (например, температуру) на границе, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой. Подобные задачи решены для моделей стационарных и нестационарных температурных полей, для модели волнового поля в однородной и кусочно-однородной полуплоскости.

1) Уравнение Лапласа на однородной полуплоскости.

Пусть функция и = и(х,у) - гармоническая в однородной полуплоскости

И = е (0,оо);у е (- оо,оо)} и удовлетворяет граничному условию

Ии{0,у)^{0,у) = /(у\ И<0, дх где / = /(у) - заданная непрерывная, абсолютно интегрируемая на действительной оси функция. Требуется найти значение функции и = и(х,у) на границе области £): и(0,у). Получен граничный оператор преобразования

00 и(0,у) = фЬ)= РШЬ-Ж??, где

У(г}) = [2соб(к?])а(-И\т]|)+ Бт(кг])(л: sign(r])+ 25г'(/1^))], л/2 ж а(у) = -1-йа, = I-йа [15]. у а ¿а

2) Уравнение теплопроводности на однородной полупрямой. Пусть функция и = и^,х) - ограниченная в однородной области О = € (0,оо),х е (0, со)} и удовлетворяет уравнению теплопроводности ди д2и граничному условию

Ц/,0)+|Цг, 0) = /(>), /г < О, дх и начальному условию м(0, х) = 0.

Граничный оператор преобразования, позволяющий записать решение поставленной задачи, имеет вид:

3) Уравнение колебаний на однородной полупрямой.

Пусть функция и = и(г,х) - ограниченная в однородной области О = е (0,со),хе (0,оо)| и удовлетворяет уравнению колебаний

14 А д и д и граничному условию йс и начальным условиям и(0, х) = 0, ~ (0, х) = 0.

Требуется найти значение функции и = на границе области О: и(/,0). Получен граничный оператор преобразования в виде: о

4) Уравнение Лапласа на кусочно-однородной полуплоскости.

Пусть функция и(х,у)=^в(х~ 1ИМО ~х)и](*>у)+~КК+1 (Х>>0 И ограниченная на кусочно-однородной полуплоскости К = {(^ °о,+оо)}, где =|х|х€и(/7,/.+1);/0>0,/я+1 =оо,/у+1 -/. < /у+2 - /7+1, У = о,., и -11, и удовлетворяет сепаратной системе дифференциальных уравнений д2и, д2и,

Г + —г = 0> У = 1.я + 1, ах2 V краевому условию

Ищ(0,у)^(0,у) = /(у), ¿<0, дх и условиям контакта в точках сопряжения интервалов где / = /(у) - заданная непрерывная, абсолютно интегрируемая на действительной оси функция. Требуется найти значение функции и = и(х,у) на границе области £>*: и(0,у) = и{(0,у).

Получен граничный оператор преобразования, позволяющий по известной функции / = /(у) найти значение функции и = и(х,у) на границе области: и(0,у)=Ь„[/Ь)=4=17/(у-п¥кц / Гл^/ , <*1> где йГ,(0,|Л|)+Г/,(0,|Л|)*0, ^(о,^), ¥{х(о,Щ) - значения собственной функции задачи Штурма - Лиувилля на границе х = 0.

5) Уравнение теплопроводности на кусочно-однородной полуоси.

Пусть функция ~ Х)и] ~ К )ип+1 (*> *) н ограниченная в кусочно-однородной области 0.+п = {(/,*)( Г е (0,+со),х е I*} и удовлетворяет сепаратной системе дифференциальных уравнений ди,- д2и, краевому условию кщ(и0)+^,0) = /(г), ¿<0, дх условиям контакта в точках сопряжения интервалов и начальному условию и.(0,х) = 0, где / = /(?) - заданная непрерывная, абсолютно интегрируемая на действительной полуоси функция. Требуется найти значение функции и = и^, х) на границе области С1+п: м(/,0) = и, (/,0). Получен оператор преобразования, позволяющий найти решение задачи: о где ф(г) = —ТЯе р > а > О, у{(4р, о) . при условии, что —/ л— Ч —V ,— \ является функциеи-оригиналом.

6) Уравнение колебаний на кусочно-однородной полупрямой.

Пусть функция х)= £ #(х - )#(/. - х)му. х)+в(х - 1п )ип+] (г, х)

7=1 ограниченная в кусочно-однородной области = х)| ^ е (0,+оо),х € } и удовлетворяет сепаратной системе дифференциальных уравнений

О О д и- 3 и, дГ дх2 краевому условию ох условиям контакта в точках сопряжения интервалов

ГпкЬГикЛ ri2k]=ri[«y+ll X = lj> J = l>->n> и начальным условиям иу(0,*) = 0, dt где / = f{t) - заданная непрерывная, абсолютно интегрируемая на действительной полуоси функция. Требуется найти значение функции и = u(t,х) на границе области Q*: u(t,О) = щ (i,0). Получен граничный оператор преобразования в виде: Lh [/КО = )f(t ~ т)Ф(т)&, о где ф(г) = —Те'г /][Р'°\ чф, Re /? > а > О, , при условии, что-т———г является функциеи-оригиналом.

В качестве примера рассмотрена задача о распространении колебаний на кусочно-однородной полупрямой: найти решение дифференциального уравнения —- = —i на граниЦе области Q, х = 0 по граничному условию dt дх hu(t,0)+^{t,0) = f(t), h< 0, ах; условиям сопряжения u(t,l) = u+(i,l), k—=-(t,l) = —±-(t,l), к>0, дх дх и по начальным условиям и(0, х) = 0, — (0, х) = 0. dt

Решение поставленной задачи имеет вид: о и+*У о

- I (-«Пгтт /«-«■ -а(/+1)>1г. у=0 1 г ^

1 и / \ где I. (х) = — —г (д^е-* ] - полиномы Чебышева - Лагерра. у! ¿¿с7

Полученные граничные операторы применяются и к решению обратных задач. Рассмотрим задачу о структуре стационарного температурного поля в полуограниченной двухслойной пластине £>,+. Требуется на границе х = 0 по известному значению температуры и{$,у) пластины найти температурное поле окружающей среды /ш, (0, у)+—- (0, у) = /(у), И <0, при условии идеального дх теплового контакта на линии сопряжения слоев х = I.

Применяя граничные операторы преобразования, полученные в работе, приходим к интегральному уравнению I рода

0,у) = 7/(У"л)еап , , дМйц, щ где + -—-е численное решение которого может быть получено методами итераций и регуляризации.

В главе 4 рассматривается применение операторов преобразования к решению ретроспективных задач теплопроводности. На основе метода операторов преобразования, итерационного метода и метода регуляризации разработаны алгоритмы численного решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений I рода, к которым приводят задачи интерпретации результатов косвенных наблюдений.

Рассмотрим уравнение вида

4=]*(*-(1) у ¿я

Применив к нему преобразование Фурье, имеем К(Л)/(Л) = и(Л). Введем кА сетку узлов Лк = -Л + —, к = 0,1,., 2Ы, где А - достаточно большое число. Пусть К(Лк) * 0, А: = 0,1,., 2 ЛГ. Рассмотрим итерационный процесс

Л+, (Л )=Ш)~ п (к(лк )1 (Л) - и(лк)), к = 0,1,.,« = 0,1,., где % подбирается из требования, чтобы дк=\\-укК(Лк]<~, к-0,1,., При налагаемых на функцию условиях это всегда возможно.

Видно, что при каждом к(к = 0,\,.,2М) итерации сходятся со скоростью

Ад^. Затем по квадратурным формулам преобразования Фурье находим функцию /(*). Обоснование итерационного процесса и исследование погрешности реализации этой вычислительной схемы приведено в работах И. В. Бойкова [10].

Приближенное решение уравнения (1) методом регуляризации изучено в работах А. Н. Тихонова, В. Я. Арсенина [48].

Если уклонение правой части уравнения (1) оценивать в метрике Ь2(- оо,оо), а уклонение решения /(х) - в метрике С, и полагать, что /(Л)е £,(-оо,оо), то справедлива

Теорема 2. Если функция г(Л,а) является стабилизирующим множителем, то определенный с ее помощью оператор 11(и,а)=—?= | / , и(Л)е1Ах с1Л л/2л'00 К\Л) является регуляризирующим оператором для уравнения (1).

Таким образом, функция /(х) = Я(и,а) является регуляризованным решением уравнения (1).

Указанные методы решения уравнения в свертке (1) распространены на случай сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки. Разработанные схемы численного решения применены к решению ретроспективных задач теплопереноса и задачи пересчета потенциального поля. Были найдены новые выражения для прямого и обратного интегральных преобразований Фурье на действительной оси с одной и двумя точками сопряжения, для двумерных прямого и обратного преобразований Фурье на плоскости с одной линией сопряжения.

Покажем схему численного решения на примере ретроспективной задачи теплопереноса в трехслойной неограниченной пластинке (задача 1). С помощью операторов преобразования решение этой задачи сводится к решению сепаратной системы интегральных уравнений типа свертки 1 I 2 2\ { 0 -оо \—оо оо Л

Щ^АШ)^ ¿а, о I )

3) относительно /Д^), у = 1,2,3.

Схема численного решения:

1) Действуем на систему (3) интегральным преобразованием Фурье на оси с двумя точками сопряжения I

42Ж +00 о /

В образах Фурье получим и(РЛ) = е-^7{1). (4)

2) Итерационный метод. Так как К(Л) = е~^л +сто К(Я)-> 0 при Д -> ±оо и К(Л)^ О при конечных значениях Я. Значит, к уравнению (4) применимы последовательные приближения (2). Находим приближенное решение

7(я).

Метод регуляризации. Для рассматриваемой задачи выбран стабилизирующий множитель г (Я,а) =

1, ю4 (<х = к\ О, |Д|>-; где к - величина шага сетки, на которой ищется решение системы (3). Образ Фурье регуляризованного решения имеет вид

3) Действуем обратным преобразованием Фурье

Г 1 1 +<ю

Л (х) = ^ 1Л*) =-ПГ ¡9»(*» Я)/М<И> * < О' г -1 } г(х) = Ру1х) = -к= \(рг{хЛ)1(Л)<1Л, 0 <х<1,

СО +00 зМ = [/](*) = -/== \(ръ(х,Л)/{Л)(1Л, х>1.

Интегралы в преобразованиях Фурье аппроксимированы по формуле прямоугольников. Получено приближенное решение поставленной задачи 1.

Подобные схемы разработаны для следующих математических моделей.

1) Ретроспективная задача теплопереноса в двухслойном неограниченном стержне и в двухслойной неограниченной пластине.

2) Векторная кусочно-однородная обратная задача теплопроводности.

3) Ретроспективная задача о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном ограниченном стержне.

4) Задача пересчета гравитационного поля в слое осадков с границей раздела сред, направленной по нормали к поверхности Земли.

Все программы, реализующие численное решение рассмотренных задач, написаны в программной среде BORLAND DELPHI 7.

Различные результаты и разделы диссертации докладывались на Международной конференции по геометрии и анализу (г. Пенза, 2003 г.), на Международных научных конференциях молодых ученых "Ломоносов" в МГУ (г. Москва, 2002, 2005 гг.), на конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (г. Москва, 2003, 2004, 2006 гг.), на XIV Санкт-Петербургской конференции по математическому анализу (Международный математический институт имени Эйлера, г. Санкт-Петербург, 2005 г.), на VII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Саранск, 2006 г.), на семинарах кафедры математического анализа Пензенского государственного педагогического университета, кафедры высшей и прикладной математики Пензенского государственного университета, на объединенных научных семинарах кафедры прикладной математики МГУ им. Н. П. Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского (г. Саранск, 2006, 2007 гг.).

Основные результаты диссертации изложены в работах [50] - [72].

На защиту выносятся следующие положения:

1) предложен метод операторов преобразования для решения широкого круга задач математического моделирования физических процессов в неоднородных средах: прямых и обратных задач моделирования процесса теплопереноса, моделирования стационарного температурного поля, волнового поля;

2) предложен метод граничных операторов преобразования, позволяющие по ди известному граничному условию пил- — дх

- f{y\ h<0, найти значение о функции и на границе области при х = 0, что позволяет, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой, восстановить характеристики материала на границе;

3) с целью применения метода регуляризации А. Н. Тихонова и метода итераций И. В. Бойкова к численному решению сепаратных систем интегральных уравнений, возникающих при решении обратных задач кусочно-однородных сред, разработан метод интегрального преобразования Фурье на оси с одной и двумя точками сопряжения, двумерного интегрального преобразования Фурье на плоскости с одной линией сопряжения; установлена связь предложенного метода с методом операторов преобразования; построены регуляризирующие операторы для сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки;

4) разработаны и обоснованы схемы численного решения ряда задач интерпретации результатов косвенных наблюдений для кусочно-однородных сред, приводящих к сепаратным системам интегральных уравнений типа свертки;

5) программно реализованы схемы численного решения ретроспективных задач о структуре нестационарного температурного поля в различных кусочно-однородных средах и задачи пересчета гравитационного поля в слое осадков с границей раздела сред, направленной по нормали к поверхности Земли.

Заключение

Задачи математического моделирования процессов массо- и теплопереноса представляют большой теоретический и практический интерес. На современном этапе в связи с широким применением композиционных материалов возникла острая потребность в решении достаточно широкого класса задач моделирования физических процессов в неоднородных структурах. Последнее обстоятельство требует с одной стороны усовершенствования и модифицирования существующего математического аппарата, а с другой стороны создания новых методов математического моделирования, которые описывают сложные механизмы внутренней кинетики, условия динамического равновесия и режимы массопереноса в слоистых средах.

Ряд вопросов математического моделирования процессов теплопереноса и моделирования потенциальных полей представляют неисследованные проблемы, особенно - численное решение обратных задач в многослойных средах. В работе рассмотрены математические модели нестационарного теплопереноса, модели распределения стационарного температурного поля и волн в неограниченных и полуограниченных неоднородных средах. Построена модель потенциального поля в многослойной области. Впервые получены аналитические решения таких моделей в виде, связывающем решение задач для неоднородных сред с решением соответствующих задач для однородных структур. Разработаны, обоснованы и программно реализованы алгоритмы численного решения сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки, возникающих в обратных ретроспективных задачах теплопереноса и в задаче пересчета гравитационного поля в неоднородных структурах.

Основным математическим аппаратом в работе является метод операторов преобразования, который может быть применен не только в случае двух- или трехслойных сред, но и в общем случае; не только в случае условий идеального контакта, но и в случае условий сопряжения общего вида. В этом заключается особенность и эффективность результатов, полученных для исследования широкого класса реальных процессов, протекающих в кусочно-однородных средах. Результаты, полученные в работе, позволяют реализовать эффективные процедуры проверки на адекватность параметров моделирования и физического эксперимента, что является перспективным направлением исследований.

1. Автеньев Г. К. Интерпретация гравимагнитных аномалий на основе трансформаций. Томск: Изд-во ТПИ, 1991. - 100 с.

2. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М: Мир, 1988. -279 с.

3. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экспериментальные методы решения некорректных задач. М: Наука, 1988. - 274 с.

4. Андреев Б. А., Клушин И. Г. Геологическое истолкование гравитационных аномалий. М: Недра, 1965. - 495 с.

5. Арсенин В. Я. Об одном способе приближенных решений интегральных уравнений первого рода типа сверток. Труды МИАН СССР, 1973,133.

6. Арсенин В. Я. О методах решения некорректно поставленных задач. -М.: МИФИ, 1977. Курс лекций, ротапринт.

7. Арсенин В. Я., Иванов В. В. Об оптимальной регуляризации. -ДАН СССР, 1968,182, №1.

8. Ашурков Е. А., Бураков В. А., Козлов А. Г. и др. Математическое моделирование нестационарных теплофизических процессов в отсеках бортовой аппаратуры космических аппаратов // Известия Вузов, Серия Физика, 1993, 36,№4.-С. 119-128.

9. Баврин И.И., Матросов В.Л., Яремко О.Э. Интегральные преобразования и представления функций в действительной и комплексной областях и их приложения. М.: Прометей, 2000. - 414 с.

10. Бойков И. В. Итерационные методы решения уравнений в свертках // Известия ВУЗов. Математика 1998. - №2. - С. 8-15.

11. Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. -М: Изд-во МГУ, 1989. 160 с.

12. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988,- 512 с.

13. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1977. - 640 с.

14. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978.-296 с.

15. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. -М.: Изд-во иностр. литературы, 1948. 476 с.

16. Задирака В. К. Теория вычисления преобразования Фурье. Киев: Наукова думка, 1983. - 213 с.

17. Иванов В. В., Видин Ю. В., Колесник В. А. Процессы прогрева многослойных тел лучисто-конвективным теплом. Ростов-на-Дону: Изд. Рост, ун-та, 1990.-159 с.

18. Иванов В. В., Карасева JL В., Тихомиров С. А. Влияние термического контактного сопротивления на процесс теплопереноса. // Жилищное строительство, 2001. № 8. - С. 16-17.

19. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 276 с.

20. Калиткин Н. Н. Численные методы. М: Наука, 1978. - 512 с.

21. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1989. - 624 с.

22. Котенко Н. В., Ленюк М. П. О динамической задаче термоупругости // Прикладная математика, 1974. -10. вып. 3. - С. 43-51.

23. Котляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.

24. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. - 456 с.

25. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.-498 с.

26. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988.-Т. 1.-712 с.

27. Кузнецов Г. В., Санду С. Ф. Численное моделирование теплофизических процессов в приборных отсеках современных искусственных спутников Земли // Теплофизика и аэромеханика, 1998, 5, № 3. С. 469 - 477.

28. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. - 432 с.

29. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. СПб.: Лань, 2002. - 688 с.

30. Лаврентьев M. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. - 315 с.

31. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973.-408 с.

32. Ленюк М. П. Интегральные преобразования Фурье для кусочно-однородных неограниченных и полуограниченных сред / Препринт 85.29. -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1985. 60 с.

33. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. -М.: Госэнергоиздат, 1963. 536 с.

34. Малозенов В. В. Тепловой режим космических аппаратов. -М.: Машиностроение, 1980.-232 с.

35. Маргулис А. С. О единственности решения обратной задачи гравиразведки для структурных моделей// Докл. АН СССР, 1984, 275, №2. -С. 342-346.

36. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. 1950. - т. 72, № 3. - с. 457- 460.

37. Мышкис А. Д. Математика для ВТУЗов. Специальные курсы. -М.: Наука, 1971.-632 с.

38. Нобл Б. Применение метода Винера Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. - М.: Изд-во иностр. литературы, 1962. - 280 с.

39. Панкратов Б. М. Тепловое проектирование агрегатов. -М.: Машиностроение, 1984. 176 с.

40. Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Обобщенная термомеханика. Киев: Наукова думка, 1976. - 310 с.

41. Романов В. Г. Обратная задача математической физики. М: Наука, 1984.-263 с.

42. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М: Едиториал УРСС, 2004. - 480 с.

43. Свешников А. Г, Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М: Физматлит, 2001. - 336 с.

44. Сергиенко И. В., Скопецький В. В., Дейнека В. С. Математическое моделирование и исследование процессов в неоднородных средах. -Киев: Наукова думка, 1991. 432 с.

45. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959.-468 с.

46. Страхов В. Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свертки // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1967. - №4. - С. 36-54.

47. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-288 с.

48. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977.

49. Елисеева Т. В. Преобразование Фурье на декартовой полуоси со спектральным параметром в граничных условиях / Гуманитарные науки в системе высшего образования: Материалы студ. межвуз. науч. конф. СГУ. -Пенза, 2000.- С. 311.

50. Елисеева Т. В. Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно-однородных сред / Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания: Межвуз. сб. науч. тр. Пенза: Изд-во ПГПУ, 2001.-С. 17-21.

51. Елисеева Т. В. Операторный метод в теории краевых задач для кусочно-однородных сред / Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Пенза: Изд-во ПГПУ, 2002. - С. 75-81.

52. Елисеева Т. В. Операторный метод решения краевых задач для кусочно-однородной полуплоскости / Сборник тезисов Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2002", ч. 1. М.: Изд-во МГУ, 2002. - С. 352.

53. Елисеева Т. В. Преобразование Фурье на действительной полуоси // Вестник молодых ученых ПГПУ им. В. Г. Белинского. Пенза: Изд-во ПГПУ,2002. -№1.~ С. 62-65.

54. Елисеева Т. В. Операторный метод решения обобщенных задач сопряжения для уравнения Лапласа // Вестник молодых ученых ПГПУ им. В. Г. Белинского. Пенза: Изд-во ПГПУ, 2003. - № 2. - С. 49-51.

55. Елисеева Т. В. Дробные степени оператора h + — II Сб. трудовdx

56. Международной конференции по геометрии и анализу. Пенза: Изд-во ПГПУ,2003. С. 26-29.

57. Елисеева Т. В. Операторы преобразований для решения обобщенной задачи Дирихле для уравнения колебаний в кусочно-однородном полупространстве // Инженерно-физические проблемы новой техники:

58. Материалы 7-го Всероссийского научно-технического Совещания-семинара. -М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. С. 115-116.

59. Елисеева Т. В. Общая краевая задача сопряжения для кусочно-однородного полупространства // Сборник тезисов Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2004", т. 1. М.: Изд-во МГУ, 2004. - С. 270-271.

60. Елисеева Т. В. Задача сопряжения для уравнения Пуассона // Молодежь и наука XXI века: По материалам V Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. -Красноярск: РИО КГПУ, 2004. С. 8-9.

61. Елисеева Т. В. Метод операторов преобразования для решения общей краевой задачи сопряжения // Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, т. 1. -М.: Изд-во МГУ, 2004. С. 90-92.

62. Елисеева Т. В. О некоторых обобщениях преобразования Хартли // Сборник тезисов XII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", т. 1. М.: Изд-во МГУ, 2005. - С. 354-355.

63. Яремко О. Э., Елисеева Т. В. Операторы преобразования в теории смешанных краевых задач кусочно-однородных структур // Труды Средневолжского математического общества, Том 7, № 1,2005. С. 223 - 231.

64. Елисеева Т. В. Граничные операторы преобразования в краевых задачах // IV Всесибирский конгресс женщин математиков: Материалы конференции, 15-19 января 2006 г. / Под ред. к. ф.-м. н. Г. М. Рудаковой. -Красноярск: РИО СибГТУ, 2006. - С. 55 - 56.

65. Елисеева Т. В. О некоторых приложениях теории операторов преобразования к решению краевых задач кусочно-однородных структур // Труды Средневолжского математического общества, Том 8, № 1, 2006. -С. 212-217.

66. Яремко О. Э., Елисеева Т. В. Операторный метод решения задач гравиметрии // Труды Средневолжского математического общества, Том 8, № 2, 2006.-С. 222-224.

67. Елисеева Т. В. Операторы преобразований и их применение для решения задач о структуре волнового и температурного полей в кусочно-однородном полупространстве // Известия ВУЗов. Математика 2006. - №9. -С. 79-82.

68. Елисеева Т. В. О некоторых обобщениях формулы Рейнбоу для кусочно-однородной полуплоскости // Дифференциальные уравнения и их приложения. Международная конференция / Тезисы докладов. Черновцы: Рута, 2006. - С. 46.

69. Елисеева Т. В. Математическое моделирование температурных и потенциальных полей в кусочно-однородных средах / Препринт № 98. -Саранск, СВМО, 2007. 32 с.

70. Свидетельство о государственной регистрации комплекта программ для ЭВМ № 50200601996. Выдано отраслевым фондом алгоритмов и программ Государственного координационного центра информационных технологий 16 ноября 2006 года.