автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование потенциальных полей методом операторов преобразования для областей со сферической симметрией

На правах рукописи

Парфёнова Юлия Алексеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ МЕТОДОМ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005050385

р МАР 2013

Самара - 2013

005050385

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет»

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Яремко Олег Эмануилович Официальные оппоненты:

Осипов Олег Владимирович, доктор физико-математических наук, ФГОБУ ВПО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики», профессор кафедры основ конструирования и технологии радиотехнических систем;

Никишов Виктор Николаевич, кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет», доцент кафедры математики и бизнес-информатики

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский государственный областной университет»

Защита состоится 20 марта 2013 г. в 13.00 на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет» по адресу:

443011, г. Самара, ул. акад. Павлова, 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СамГУ

Автореферат разослан «// » 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.218.08

В.В. Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Однородные и неоднородные задачи математического моделирования потенциальных полей в областях со сферической симметрией представляют большой теоретический и практический интерес. Этими задачами в разное время занимались Лаврентьев М.М., Мусхелишвили Н.И., Страхов В.Н., Уфлянд Я.С. Для их решения Лаврентьевым М.М. и Уфляндом Я.С. разработан метод интегральных преобразований. Методы теории функций комплексного переменного успешно использовал Мусхелишвили Н.И.. Моделирование процессов граничного управления методом конечных элементов описано в работах Сергиенко И.В., Дейнека B.C.

В диссертационной работе предлагается метод векторных операторов преобразования, который дополняет классические методы и дает ряд преимуществ, в .частности, позволяет найти решение задачи в замкнутом виде. Замкнутый вид решений открывает новые возможности в исследовании моделей потенциальных полей и процессов граничного управления. Применение разработанного нами нового метода моделирования позволило найти в замкнутой форме структуру потенциальных полей неоднородных сред со сферической симметрией, интерпретировать гравитационные и магнитные аномалии полей. Наличие замкнутого выражения для решения модельной задачи важно с теоретической и практической точек зрения, так как возникает возможность сравнить в модельном случае теоретическое значение потенциала со значением, полученным с помощью численных методов.

Метод операторов преобразования позволяет также:

— упростить вычислительные схемы итерации и регуляризации при решении задач кусочно-однородных сред;

— редуцировать исследование неоднородных потенциальньгх полей к однородным;

— получить решение в удобном виде, допускающем простую физическую интерпретацию: слагаемые интерпретируются как последовательные отражения от экранов;

— изучать асимптотические свойства решения.

Целью работы является построение моделей потенциальных полей в сферически-симметричных областях. Для ее достижения были поставлены следующие задачи:

— построить векторные операторы преобразования;

-найти в замкнутой форме структуру потенциальных полей кусочно-неоднородных сред со сферической симметрией;

-найти математическую интерпретацию гравитационных и магнитных аномалий полей;

-разработать вычислительные алгоритмы, основанные на полученных аналитических формулах, реализовать алгоритмы в виде комплекса

проблемно-ориентированных программ для моделирования потенциальных полей.

Методы исследования

Поставленные задачи решались разработанным автором методом векторных операторов преобразования. Наряду с ним использовался аппарат действительного и комплексного анализа: гармонический анализ; интегралы, зависящие от параметра; регуляризирующие алгоритмы.

Научная новизна

Основные результаты диссертации получены впервые:

-для моделирования потенциальных полей в однородных и неоднородных средах сконструированы векторные операторы преобразования в круге и в шаре;

- сконструированы граничные операторы преобразования - новое средство для интерпретации граничных наблюдений потенциальных полей в однородных и неоднородных средах;

- предложены регуляризирующие алгоритмы в математическом моделировании потенциальных полей;

- разработан новый единый подход к математическому моделированию кусочно-однородных потенциальных полей, заключающийся в интерпретации этих полей как возмущений однородных полей с аналитическим представлением этих возмущений.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая ценность работы заключается в создании векторного варианта метода операторов преобразования для математического моделирования неоднородных потенциальных полей: полей напряжений в твердом теле, гравитационных и магнитных полей аномалий, фильтрационных течений.

Практическая ценность работы заключается в применении найденных формул для исследования математических моделей неоднородных сред при создании регуляризирующих операторов, позволяющих интерпретировать результаты граничных наблюдений полей напряжений, гравитационных и магнитных полей аномалий, фильтрационных течений.

Обоснованность результатов диссертационной работы состоит в использовании аппарата классического действительного и комплексного анализа. Достоверность научных положений, результатов и выводов диссертации подтверждается сравнением полученных результатов с ранее известными.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся:

- векторные операторы преобразования для областей с круговой симметрией;

- модели фильтрационных течений и доказательство фильтрационной теоремы об окружностях;

-аналитическое представление граничного управления в шаре и его реализация в среде MatLab;

- новые выражения для скалярных потенциалов и их нормальных градиентов в моделях гравитационных и магнитных аномалий;

— аналитическое выражение для интерпретации полей напряжений в круглой пластине.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:

1. III, IV и V Международные научно-технические конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» -Пенза, 2009-2011.

2. XVII Международная конференция «Математика. Образование» -Чебоксары, 2009.

3. XVIII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование» - Ростов на Дону, 2010.

4. II Международная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» - Москва, 2011.

5. Международная научно-практическая конференция «Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы» - Орел, 2011

6. III Международная конференция «Математическая физика и ее приложения» - Самара, 2012

Публикации

По материалам диссертации опубликованы в 22 работы, в том числе 7 статей в изданиях из Перечня ВАК. Получено свидетельство о регистрации электронного ресурса.

Личный вклад автора

Основные результаты диссертации получены лично автором. В работах, выполненных совместно с научным руководителем, Яремко О.Э. принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов. Использованные материалы других авторов помечены ссылками.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованных источников из 138 наименований и приложения. Работа без библиографического списка содержит 117 страниц текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационных исследований, сформулированы их цель и задачи, определена научная новизна и практическая значимость результатов работы, представлены основные положения, выносимые на защиту, дан краткий обзор литературных источников, имеющих наиболее близкое отношение к теме диссертации.

В первой главе введены векторные операторы преобразования в круге, в шаре и внешности шара из 03 для вектор-функций, гармонических в сферически симметричных областях.

В шаре Вк =|(х,,х2,*з)]х|2 + х2 + х3 <Л2| рассмотрена вектор-функция

гармоническая в Вн. Векторный оператор в шаре определен равенством:

¡=1

где Г = (уЛ - заданная квадратная матрица.

В работе построен оператор Ь~г', обратный к Ьг. Если все собственные числа матрицы Г имеют положительные действительные части, то есть Яе Л,. > 0, / = 1, п, то обратный оператор действует по формуле:

Ir' (Xj, х2, х3) ] = jV г~£ v (ex,, ех2, s х3) ¿te,

(1)

где £г"Е=ехр((Г-£)1п£).

В п. 1.2 показано, что математическое моделирование полей напряжений для круглой пластины приводит к третьей векторной краевой задаче. Тогда для описания полей напряжения становится возможным применить формулу (1). Рассмотрен модельный пример.

Для векторного уравнения Лапласа в круге

/

Щ

I И,

= 0

с граничными условиями третьего рода

{-2«[ + 2щ + ru\r = sin3 <р, -6u¡ + 5 и2 + ги2г = 0, точное решение задачи на окружности г = 0,5 получим по формуле (1):

(и,(0,5;<р) щ{0,5;g>))*=- ^ 0,5sin<?--i- ^ 0,5*sin3<?. V н 4 det(r + Е) 4 det(F + ЪЕ)

Для численного решения применена формула, в которой интеграл из (1) заменен частной суммой ряда Фурье:

v2(0,5;<p)

- + £О,5"(Г + пЕ)~

• (/¡с fu„Ycosn(p)

fien /2sJlsÍn«(?J'

где fick,f¡,k,i = 1,2 коэффициенты ряда Фурье вектор-функции:

U (<?)) V

3 . 1 . _ —sm¡p—sin3c>

4 4

(1 + ге),

<5 = 10"-погрешность, в - случайное число от -1 до 1, а число слагаемых выбиралось равным 2И0 = 20.

Вид полученного решения позволяет проводить эксперименты в системе МаИлЬ.

Во второй главе метод векторных операторов преобразования применен для математического моделирования фильтрационных течений, описания полей напряжений в плоской круглой пластине, решения прямой задачи магниторазведки.

В п. 2.1 работы с использованием метода изображений О.В. Голубевой получена фильтрационная теорема для случая двух концентрических сфер или окружностей. Приведен пример, иллюстрирующий фильтрационную теорему: построены линии равных потенциалов для единичного источника в случае источника мощности т, сосредоточенного в точке а = 2.

Потенциал, описывающий фильтрационное течение постоянной проницаемости среды , равен

Построены линии равных потенциалов для невозмущенного поля:

—1п((х-2)2 + у2) = -^-1пг2, Ап ' ' 4п

при 0.5 <г < 6.

На основе обобщенной фильтрационной теоремы при изменении проницаемости среды на к0 внутри круга радиусом г0 = 1 имеем потенциалы возмущенного поля:

х2+/>1.

Для сравнения потенциалов невозмущенного и возмущенного полей построены линии равных потенциалов при значениях радиуса внутренней окружности г, 0,5<г<6:

Ал ^ ' > к,+к0Ап ; > Ап

41 " ' ' / кх + к0 Аж ^х^+у2 х2+у2 ) Ап

х2+/> 1.

В результате исследования видно, что линии возмущенных потенциалов вытягиваются в сторону окружности сопряжения.

В п. 2.2 работы найдена замкнутая форма для структуры полей напряжений в кусочно-однородной круглой пластине. Метод интегральных преобразований Фурье и методы теории функций были рассмотрены Уфляндом Я.С. и Мусхелишвили Н.И. для математического моделирования полей напряжений, при этом решение получается в виде ряда Фурье. Применение метода операторов преобразования позволило найти в замкнутом виде выражения для компонент вектора перемещений и,у в любой внутренней точке области по известным на границе радиальным, окружным, нормальным напряжениям: сгг, тг<р.

В п. 2.3 работы метод операторов преобразования применен для исследования математической модели магниторазведки. Ранее эта задача решалась Уфляндом Я.С. и его учениками методом интегральных преобразований. Применение метода операторов преобразования позволило получить выражение для потенциала в замкнутой форме в виде, удобном для анализа асимптотических свойств и допускающем использование пакета символьной математики МаЛСАГ).

Математическая модель магниторазведки приводит к решению сепаратной системы уравнений Лапласа

Ли, =0, (х\,х2,х}) / г* <х* +х1 +х1 <1,

4и7 =0, (х, ,х2, х3) / х^ + х\ + х32 < г02, с известным значением скалярного магнитного потенциала и,, заданным на границе шара и условиями сопряжения на внутренней сфере Б

и, = и,, х е 5 ,

(3)

/"Л, ="':•„> *е5г„-Первое условие в (3) означает непрерывность тангенциальной компоненты напряженности магнитного поля, а второе условие вытекает из непрерывности нормальной компоненты вектора индукции, ¡л = 1 + к, здесь к -безразмерная магнитная восприимчивость. Метод операторов преобразования позволил найти аналитические выражения для скалярного магнитного потенциала в виде:

9 11

м2(г,<р)=—^0 < г0 < 1, 1 + У-

№

где й{г,<р) - значение скалярного магнитного потенциала невозмущенного магнитного поля при ¡х = 1 с нулевой магнитной восприимчивостью к.

Формулы (4) послужили основой для численного решения задачи (2),

-,<Р

1 + И М

Каждое слагаемое вычислялось по формуле Пуассона. При этом

27П

выбирали N = 50, 1 = 0,1,....ДО, г = 0.75, р = 10.

Погрешность вычислений можно оценить по формуле: Ы<(Ь*Г тах/(А.

В третьей главе операторы преобразования применяются для интерпретации результатов наблюдений гравитационных и магнитных потенциалов. Изучена задача Коши для уравнения Лапласа, имеющая важное приложение в гравиразведке н связи с вопросами продолжения потенциальных полей. Классический пример Адамара показывает, что задача Коши для уравнения Лапласа - некорректная задача. Теоретической основой для применения математических методов гравиразведки послужили работы академика Лаврентьева М.М., связанные с проблемой аналитического продолжения и задачей Коши для уравнений эллиптического типа.

В п. 3.1 предложена формула, восстанавливающая гармоническую в единичном шаре функцию по её значениям на внутренней сфере:

и(х) = ~~\ e7°"mЦ'Jll -Авту^(5)

Указанная формула применяется в работе для аналитического продолжения полей внутрь и вне шара. На основании (5) предложен регуляризирующий алгоритм:

I ( 1 Л , —Лси!^ (г Л

и»,(*)= к'М- [е' J^-Xsm\j/ u{^)dSt■dX. (б) 0 V, 2Л(г„) Уго )

Выбрано модельное значение потенциала в шаре, не зависящее от

/ 3 . 1 3 ■ л

долготы: и(г,<р,цг) =—гетр-—гвтЗе/), тогда точное значение потенциала на границе шара г = 1 имеет вид:

и (1, ер, I//) = -^¡п (р - -^¡пЭр.

По наблюдаемым на внутренней сфере г0 =0.5 значениям потенциала

и(гй,<р,ч/) =^г0 втр8тЗ<р|(1 + 5в)

при помощи формулы (6) восстановим значения потенциала и(1,<р,у/) на границе. Расчетная формула была получена из (6):

"рас, {Г,(р) = ^ + ЧГ К С0!5 П(Р + И- 5'П П(Р) '

»»1 Г.

н0

где а„ = п\ - регуляризирующий множитель,

о /

На рис. 1, 2 представлены графики наблюдаемого и теоретического значений потенциала в разных масштабах.

0.5 1

рис. 2.

В п. 3.2 рассмотрено аналитическое описание математической модели граничного управления. Пусть в единичном шаре 5, б □3 определено уравнение Лапласа:

На границе задано третье краевое условие:

дУ

дг

где /г>0. Для каждого управления г/е определено

состояние у = у(и) как решение краевой задачи, заданной уравнением (7) и краевым условием

ду

дг 10

Наблюдение зададим в виде

Z(w) = >>(«), xeS,.

Оптимальное управление определяется условием минимальности уклонения в некоторой метрике решения у от заданного наблюдения zg.

Как показано в работах Сергиенко И.В., Дейнека B.C. для нахождения оптимального управления "(х) имеем третью векторную краевую задачу для системы уравнений Лапласа:

V

= 0, хеЯ, из R

xeSL.

с граничным условием третьего рода:

1 ^

h -1

У -1 I У

dv

Окончательно оптимальное управление задается формулой: и = -р/а,хе 5,.

(8)

Ранее данная задача управления решалась Сергиенко И.В., Дейнека B.C. методом конечных элементов (МКЭ) численно. В п. 3.2 получено аналитическое выражение для управления на основе применения оператора

преобразования (1):

[ |

и = р Je"-' s\n(p ln£)v, (Ex)de - P2 js"-' cos(/?ln£)v2 (ex)de, о 0

1 Я'

где — = p , a0 - параметр регуляризации.

В п. 3.2 вычислено граничное управление и, которое дает постоянную температуру на границе zg =10°. Выбирая параметр регуляризации а0 =1(Г2,

найдем неизвестное управление и согласно формуле (1): и =

1СГ2й +1

На рис. 3 приведены графики регуляризированного и нерегуляризированного управлений в зависимости от коэффициента теплопроводности А.

В п. 3.3 с помощью формулы (5) интерпретируются поля напряжений в круглой пластине: по результатам наблюдений значений тензоров напряжений <7г,сгу,гг(Г) на внутренней окружности восстанавливают их значения на граничной окружности.

В п. 3.4 развиты аналитические методы интерпретации результатов граничных наблюдений, когда по одним граничным данным нужно найти другие граничные данные. Подобного рода задачи встречаются в гравиразведке, когда расчет нормального градиента наблюдаемого поля применяется для выделения локальных аномалий. В работе мы предлагаем использовать так называемые граничные операторы преобразования, введенные нами в п. 3.4. При этом удается получить выражения для градиентов в замкнутом виде, позволяющие использовать в расчетах пакет Ма&аЬ. Граничный оператор преобразования задается формулой:

-Ясозу

е'

Л

1

ЛБту/

Г, [«(£)]¿Vя-(9>

г,[.(-а ¿гНЦ*

Оператор (9) позволяет по одним известным характеристикам потенциального поля вычислить другие неизвестные характеристики.

Рассмотрены два модельных примера, в первом по значениям потенциала и на границе восстановить нормальный градиент поля г/ на границе; во втором - по известным значениям нормального градиента на границе определим потенциал поля и на границе.

3 . 1 . ,

Для первого примера взято значение потенциала м = —Бтр-—виир.

имеет

вид

Наблюдаемое значение потенциала на границе /((р) = \ —эшр—втЗр ](1 + <50). Теоретическое значение потока задается

формулой:

Найдем расчетное значение нормального градиента по формуле (9). Для этого по значениям наблюдаемой функции /(<р) находим коэффициенты ряда Фурье /„,/„• Расчетная формула следует из (9). На рис. 4,5 представлены графики наблюдаемой и расчетной зависимости от угла (р нормального градиента потенциала и'й в разных масштабах.

Во втором примере взято поле с нормальным градиентом

3 3

и =—sinr/>--sin3<p. С точностью до произвольной постоянной С

4 4

теоретическое значение потенциала будет иметь вид:

По значениям наблюдаемого нормального градиента

/ (<р) = ^ sin (р - ^ sin 3<р j(l + 5в),

определяется расчетное значение потенциала. Для этого находятся коэффициенты ряда Фурье для функции /(<р): /„>/,„■ Расчетная формула следует из (9) и отличается от последней тем, что внешний интеграл берется по конечному промежутку [0,.W0], N0 - параметр регуляризации.

На рис. 6 представлены графики наблюдаемой и расчетной зависимости от угла (р потенциала и.

Указанная картина подтверждает, что решение во втором примере определяется однозначно с точностью до произвольной постоянной С.

В п. 3.5 предложен новый регуляризирующий алгоритм решения задачи Коши для уравнения Лапласа: по известной величине поля и его нормального градиента на сфере определяется аналитическое продолжение гравитационного или магнитного поля вне шара. Аналитический характер использованной формулы позволяет применить пакет МаНаЬ.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Приложение содержит комплекс программ моделирования потенциальных полей в областях со сферической симметрией.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Сконструированы векторные операторы преобразования в круге и в шаре для моделирования потенциальных полей в однородных и неоднородных средах.

2. Найдено замкнутое описание возмущенных фильтрационных течений в шаре, замкнутое описание полей напряжений в плоской круглой пластине, аналитическое представление для управляющих воздействий в граничной задаче управления.

3. Сконструированы граничные операторы преобразования - новое средство для интерпретации граничных наблюдений потенциальных полей в однородных и неоднородных средах.

4. Разработана техника применения метода граничных операторов преобразования для интерпретации гравитационных и магнитных полей аномалий и полей напряжений в плоской круглой пластине.

5. Предложены регуляризиругощие алгоритмы в математическом моделировании фильтрационных течений, потенциалов полей напряжений в твердом теле, управляющих воздействий граничной задачи теории управления, гравитационных и магнитных полей аномалий.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В журналах из Перечня ВАК

1. Парфёнова Ю.А. Векторные операторы преобразования функций, гармонических в шаре И Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2010. №2(76). С. 48-56.

2. Парфёнова Ю.А. Векторные парные сумматорные уравнения // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2010. №¡18(22). С. 21-25.

3. Парфёнова Ю.А. Оптимальное граничное управление в третьей краевой задаче для уравнения Лапласа в шаре // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2010. №18(22) С. 46-50.

4. Яремко О.Э., Парфёнова Ю.А. Задача продолжения функции, гармонической в шаре // Вестник МГОУ. 2010. Вып. 3. С. 3-9.

5. Парфёнова Ю.А. Моделирование полей напряжений в кусочно-однородном теле вращения // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2011. №26. С. 160-166.

6. Парфёнова Ю.А. Математическое моделирование фильтрационных течений методом операторов преобразования // Известия ПГПУ им.

B.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2012. №30.

C. 116-122.

7. Парфенова Ю.А. Математическое моделирование потенциальных полей методом граничных операторов преобразования // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2012. №9(100). С. 130-135.

В других изданиях

8. Парфёнова Ю.А. Неоднородные краевые задачи для функций, гармонических в кусочно-однородном шаре // Известия ПГПУ им.

B.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2008. №8(12).

C. 45-49.

9. Яремко О.Э., Парфенова Ю.А. Дифракция скалярной волны на кусочно-однородных решетках. Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2008. №8(12). С. 70-74.

10. Парфёнова Ю.А. Продолжение функции аналитическим образом в единичный круг по значениям на внутренней окружности // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем:

сборник статей III Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. Пенза: Приволжский Дом знаний, 2009. С. 36-39.

11. Парфёнова Ю.А. Формула для аналитического продолжения в круге с внутренней окружности // Математика. Образование: материалы XVII Международной конференции. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2009. С. 297.

12. Парфёнова Ю.А. Векторные операторы для функций, гармонических в шаре // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2009. №13(17). С. 28-34.

13. Яремко О.Э., Парфёнова Ю.А. Метод операторных преобразований для функций, бигармонических в шаре // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки.2009. №13(17), С. 53-57.

14. Парфёнова Ю.А. Метод операторов преобразования для определения оптимального граничного управления для уравнения Лапласа в шаре // Журнал СВМО. 2010. Т. 12. №.2. С. 92-105.

15. Парфёнова Ю.А., Малышев A.A. Распараллеливание вычислительных алгоритмов в методе операторов преобразования // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей IV Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. Пенза: Приволжский Дом знаний, 2010. С. 36-39.

16. Парфёнова Ю.А. Векторные парные сумматорные уравнения // Математика. Экономика. Образование: тезисы докладов XVIII Международной конференции. Ростов на Допу: Изд-во СКНЦ ВШ, 2010. С. 57.

17. Парфёнова Ю.А. Моделирование полей напряжений в задачах теории упругости для круга // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Вып. 14. Москва, 2011. С. 252-258.

18. Парфёнова Ю.А. Обратная задача теории упругости в круге // Моделирование нелинейных процессов и систем: тезисы II Международной конференции. М.: Янус, 2011. С. 279-280.

19. Парфёнова Ю.А., Малышев A.A. Граничные операторы преобразования и их применения в моделировании потенциальных полей //Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей V Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. Пенза: Приволжский Дом знаний, 2011. С. 224-227.

20. Парфёнова Ю.А. Моделирование статических полей напряжений // Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы международной научно-практической конференции. Орел, 2011. С. 81-83.

21. Парфёнова Ю.А. Моделирование потенциальных полей методом операторов преобразования // Математические методы и модели: теория,

приложения и роль в образовании: сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 2011. С. 203-211

22. Парфёнова Ю.А. Метод операторов преобразования для математического моделирования потенциальных полей в сферически-симметричных средах // Математическая физика и ее приложения: тезисы докладов III Международной конференции. Самара, 2012. С. 224.

23. Свидетельство о регистрации электронного ресурса «Моделирование потенциальных полей в МаИ.аЪ» №17164, выданное ИНИМ РАО ОФЭРНиО 07 июня 2011 года.

Подписано в печать 14 декабря 2012 г. Гарнитура Times New Roman. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Усл.-печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,91. Тираж 100 экз. Заказ № 440600, г. Пенза, ул. Володарского 96

Отпечатано ООО «Роста»

Министерство образования и науки Российской Федерации Пензенский государственный университет

Математическое моделирование потенциальных полей методом операторов преобразования для областей со сферической симметрией

Специальность 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

04201354736

На правах рукописи

Парфёнова Юлия Алексеевна

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физико-математических наук профессор О.Э. Яремко

Пенза-2013

Оглавление

Введение.......................................................................................................................5

Глава 1. Векторные операторы преобразования как новый метод математического моделирования потенциальных полей неоднородных сред со сферической симметрией.....................................................................................27

1.1. Операторы преобразования для гармонических и бигармонических функций в шаре..........................................................................................................27

1.2. Метод векторных операторов преобразования для моделирование магнитных и гравитационных полей аномалий в областях с круговой симметрией.................................................................................................................36

1.2.1. Векторные операторы преобразования для описания потенциальных полей в круглой пластине.....................................................36

1.2.2. Векторные операторы преобразования для описания потенциальных полей в областях с круговой симметрией...........................39

1.2.3. Векторные операторы преобразования для описания полей магнитных и гравитационных аномалий в шаре............................................41

1.3. Векторные операторы преобразования для описания полей напряжений в круглой пластине.......................................................................................................44

1.3.1. Определение и основные свойства операторов преобразования.......44

1.3.2. Аналитическое описание полей напряжений в шаре.........................47

1.3.3. Аналитическое описание полей напряжений в шаре с внутренними силами.................................................................................................................52

1.4. Операторы преобразования для функций, гармонических в круге, с граничными условиями четвертого рода на внутренней окружности.................55

1.4.1 Аналитическое описание потенциальных полей в кусочно-однородной круглой пластине.........................................................................56

1.4.2. Аналитическое описание потенциальных полей в кусочно-однородной круглой пластине при известном нормальном градиенте на

границе...............................................................................................................58

1.5. Выводы................................................................................................................61

Глава 2. Мето векторных операторов преобразования для математического моделирования фильтрационных течений и потенциальных полей....................62

2.1. Моделирование фильтрационных течений......................................................62

2.1.1. Задача линейного сопряжения на сфере...............................................62

2.1.2. Фильтрационная теорема о сферах.......................................................69

2.1.3. Фильтрационная теорема об окружностях...........................................74

2.2. Аналитическое описание полей напряжений в круглой пластине................76

2.2.1. Поля напряжений в шаре........................................................................76

2.2.2. Основная задача теории упругости для круглой пластины................79

2.3. Математическая модель магниторазведки с условиями сопряжения на внутренней сфере......................................................................................................84

2.4. Выводы................................................................................................................87

Глава 3. Векторные операторы преобразования для интерпретации граничных наблюдений потенциальных полей......................................................88

3.1. Продолжение потенциальных полей................................................................88

3.2. Аналитическое описание математической модели граничного управления99

3.3. Интерпретация полей напряжений в круглой пластине...............................106

3.4. Аналитические методы интерпретации результатов граничных наблюдений..............................................................................................................109

3.5. Аналитическое продолжение гравитационного или магнитного поля вне шара...........................................................................................................................113

3.6. Выводы..............................................................................................................115

Заключение...............................................................................................................117

Список литературы Приложение

Введение

Однородные и неоднородные задачи математического моделирования потенциальных полей в областях со сферической симметрией представляют большой теоретический и практический интерес. Этими задачами в разное время занимались Лаврентьев М.М., Мусхелишвили Н.И., Уфлянд Я.С. Для решения задач подобного класса Лаврентьевым М.М. и Уфлянд ом Я.С. разработан метод интегральных преобразований. Методы теории функций комплексного переменного успешно применялись Мусхелишвили Н.И. Моделирование процессов граничного управления осуществлялось в работах Сергиенко И.В., Дейнека B.C. методом конечных элементов.

Нами предлагается метод векторных операторов преобразования, который дополняет классические методы и дает ряд преимуществ, в частности, позволяет найти решение в замкнутом виде. Замкнутый вид решений открывает новые возможности в исследовании моделей потенциальных полей и процессов граничного управления. Применение разработанного нами нового метода моделирования позволило найти в замкнутой форме структуру потенциальных полей неоднородных сред со сферической симметрией, интерпретировать гравитационные и магнитные аномалии полей. Наличие замкнутого выражения для решения модельной задачи важно с теоретической и практической точек зрения, так как возникает возможность сравнить в модельном случае точное решение и решение, полученное с помощью выбранного численного метода.

Метод операторов преобразования позволяет:

-упростить вычислительные схемы итерации и регуляризации при решении задач кусочно-однородных сред;

- редуцировать исследование неоднородных потенциальных полей к однородным;

- получить решение в удобном виде, допускающем простую физическую интерпретацию: слагаемые интерпретируются как последовательные отражения от экранов;

- изучать асимптотические свойства решения. Цель работы

Целью работы является построение моделей потенциальных полей в сферически-симметричных областях. Для ее достижения были поставлены следующие задачи:

-построить векторные операторы преобразования;

-найти в замкнутой форме структуру потенциальных полей кусочно-неоднородных сред со сферической симметрией;

-найти математическую интерпретацию гравитационных и магнитных аномалий полей;

-разработать вычислительные алгоритмы, основанные на полученных аналитических формулах, реализовать эффективные численные методы и алгоритмы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для моделирования потенциальных полей.

Перечислим основные новые результаты диссертационной работы.

• конструирование векторных операторов преобразования для областей с круговой симметрией;

• моделирование фильтрационных течений, доказательство фильтрационной теоремы об окружностях;

• метод векторных операторов преобразования для моделирования полей напряжений в круглой пластине и его реализация в среде ММЬаЬ;

• аналитическое представление граничного управления в шаре и его реализация в среде Ма1;ЬаЬ;

• построение новых выражений для скалярных потенциалов и их нормальных градиентов при моделировании гравитационных и магнитных потенциальных полей аномалий;

• аналитическое выражение для интерпретации полей напряжений для круглой пластины;

• аналитическое выражение для продолжения гравитационных и магнитных потенциальных полей аномалий в шаре.

Теоретическая ценность работы заключается в создании векторного варианта метода операторов преобразования для математического моделирования неоднородных потенциальных полей: полей напряжений в твердом теле, гравитационных и магнитных полей аномалий, фильтрационных течений.

Практическая ценность работы заключается в применении найденных

\

формул для исследования математических моделей неоднородных сред при создании регуляризирующих операторов, позволяющих интерпретировать результаты граничных наблюдений полей напряжений, гравитационных и магнитных полей аномалий, фильтрационных течений.

Поставленные в работе задачи решались разработанным автором методом векторных операторов преобразования. При решении задач применялись классические результаты теории рядов Фурье, применялись регуляризирующие алгоритмы.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в диссертационной работе, основывается на использовании классического математического аппарата и подтверждается сравнением полученных результатов с ранее известными.

Перейдем к изложению содержания по главам. Работа состоит из введения, трех глав, списка использованной литературы и приложения.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, формулируются цель и задачи, научная новизна и практическая значимость результатов работы, выносимых на защиту, дается краткое описание и обзор работ Лаврентьева М.М., Мусхелишвили Н.И., Уфлянда Я.С., Сергиенко И.В., Дейнеки B.C., Страхова В.Н. имеющих наиболее близкое отношение к теме диссертации.

В первой главе введены векторные операторы преобразования в круге и в шаре для вектор функций, гармонических в сферически симметричных областях.

Рассмотрена вектор-функция

25X3) ^U\ 5'"^з) ••• и„(Х1>Х2>Хз)) гармоническая в шаре BR = |(xj,x2,jc3)| xf + х\ + х] < i?2|.

Векторный оператор Lv в шаре определен равенством:

з

Z/p I^W ? ? ^ ^^ 1 Ъ1 ^Xj у 5 ^ ^ I ^^ JC^Ы^ ^Xj у Х2 5 | ^

i=i

где Г = (у ) - заданная квадратная матрица.

V J /пхп

Ранее в скалярном случае (у - число) данный оператор изучался И. И. Бавриным в [8, 9]. Темляков A.A. [82] изучал оператор Lr в пространстве аналитических функций двух переменных и бигармонических функций. В работе в пункте 1.1 найдено выражение для обратного оператора L]!. Если все собственные числа матрицы Г имеют положительные действительные части, то есть Re > 0, i-l,n, то обратный оператор действует по формуле:

1

L'rl [v(x,,x2,x3)J = ^st~ev(sxvsx2,sx3)ds, (0.1)

о

где sr~E = ехр((Г-£)1п£-). Получили, что (0.1) в скалярном случае

совпадает с представленным в [8].

В п. 1.3 диссертационной работы показано, что математическое моделирование полей напряжений для круглой пластины приводит к третьей векторной краевой задаче. Тогда для описания полей напряжения становится возможным применить формулу (0.1). Для иллюстрации предлагаемого метода, т.е. формулы (0.1), рассмотрим модельный пример. Для векторного уравнения Лапласа в круге

\U2j

с граничными условиями третьего рода:

-2м, + 2и2 + ru[r - sin3 (р, -6 их + 5 щ + ги2г = 0.

точное решение задачи на окружности г = 0,5 получим по формуле (0.2):

и

со

(х1,х2,х3) = 1р1[у(х1,л:2,хз)] = ^(г + л:£) Рк (х,,х2,х3), (0.2)

к=0

(г,(р)

щ(г,(р)\ 3 (6 6)* . 1 (8 6)* з .

- v 7 rsin<p------—г sin 3(3.

4ск*(Г + £) 4ск*(Г + 3£)

Для численного решения применяем формулу, заменив интеграл из (0.1) частной суммой ряда Фурье:

^расч\

U о

у расч2

(0,5 -,(р)

fr-l 2N0

п=1

f f

J 1 СП

\f2cn f2 sr¡ J

eos П(р sin nep

где fjck, fisk, i = 1,2 коэффициенты ряда Фурье вектор-функции:

им]

J2W) V

3 . 1 . _ —sin ср—sm3©

4 4

0

¿> = 10 4-погрешность, в - случайное число от -1 до 1, а число слагаемых выбиралось равным 2А^0 = 20. Эксперименты проводились в системе Ма1:ЬаЬ. Результаты вычислений представлены на рис. 1.

рис. 1.

Изучению интегральных преобразований посвящены [15; 16; 24; 91; 92; 97; 101; 106]. Рассмотрены основные классы интегральных преобразований, играющие важную роль в решении задач математической физики, при использовании аналитических методов в исследовании математических моделей. Изучению преобразования Фурье посвящены [34,55; 95; 104; 111].

Основной математический аппарат работы - метод векторных операторов преобразования. Операторы преобразования в скалярном случае изучались ранее Бавриным И.И. [8], Куприяновым И.А. [39], Яремко О.Э. [12].

В п.п. 1.1-1.3 построены векторные операторы преобразования для следующих задач в сферически симметричных областях:

1)для моделирование магнитных и гравитационных полей аномалий в круге и шаре;

2) для описания полей напряжений в круглой пластине.

Во второй главе метод векторных операторов преобразования применен для математического моделирования фильтрационных течений.

Теория фильтрации в неоднородных изотропных средах представлена обширной литературой. Общим математическим аппаратом для исследования стационарной линейной двумерной фильтрации жидкости в таких средах служит теория р-аналитических функций, которая была развита

в работах Л. Берса, А. Гельбарта, М.А. Лаврентьева, И.Н. Векуа, Г.Н. Положего и др. в [22]. Двумерными моделями описывают плоскопараллельную фильтрацию, осе-симметричную и плановую фильтрацию в неоднородных средах, и фильтрацию в весьма тонких криволинейных слоях переменной толщины и проницаемости [31, 85].

Другой путь изучения двумерной~ фильтрации в неоднородных средах связан с выбором специальных классов дифференцируемых функций, характеризующих проницаемость к, для которых можно построить течения от всех типов (источник, диполь, мультиполь) особых точек с помощью метода перехода [28, 29, 78, 86]. В работах [20, 28, 29, 67, 68, 70] построены потенциалы течений от всех типов особых точек для проницаемостей к(у). В [29] построены потенциалы течений от источника в средах с проницаемостью к, задаваемой некоторыми цилиндрическими функциями или удовлетворяющей определенным уравнениям.

На практическую важность задач сопряжения для теории фильтрации обратили внимание давно. Ещё в 1942 г. П.Я. Полубаринова-Кочина рассматривала задачу о притоке к скважине в кусочно-неоднородном грунте. Для двух однородных изотропных зон, разделенных окружностью или прямой, О.В. Голубевой в [31, 32] задача сопряжения решена в общем виде методом изображений (теоремы об окружности и прямой). Применение методов изображений, преобразования Лапласа, последовательного применения теоремы об окружности и разложения в ряды Тейлора в [36, 43, 44] привело к общему решению задачи сопряжения в кусочно-однородных зонах с двумя и тремя параллельными прямыми или концентрическими окружностями. Затем полученное решение в [72] В.М. Рад'ыгиным и А.Г. Ярмицким с помощью дробно-линейных отображений и биполярных координат обобщено на две неконцентрические окружности. Общие решения задач сопряжения для двух однородных зон, разделенных кривыми второго порядка, указаны О.В. Голубевой и А.Я. Шпилевым в [33] на основе разработанного ими для этого класса задач метода конформных отображений

с применением вспомогательных течений на римановых поверхностях. М.Ф. Бариновой в [17] методом изображений построено решение для восьми однородных зон, разделенных прямыми и окружностью, с двумя чередующимися значениями проницаемости в зонах. Особые точки течения должны при этом располагаться осесимметрично, а их мощности должны удовлетворять определённым уравнениям связи. В [43] была сделана попытка решить методом изображений задачу сопряжения для произвольного числа однородных зон, разделённых параллельными прямыми, что привело к многократным рядам (с кратностью равной числу зон) и к сложной системе уравнений, оставленной без исследования.

В п. 2.1 рассмотрена пространственная установившаяся фильтрация жидкости в кусочно-однородной пористой среде. Ранее фильтрационная теорема о сфере без условий сопряжения была рассмотрена академиком Голубевой О.В. [31].

Операторный метод позволил доказать фильтрационную теорему для случая двух концентрических окружностей.

Для примера рассмотрим случай единичного источника мощности т, сосредоточенного в точке а = 2. Как известно в этом случае потенциал, описывающий фильтрационное течение постоянной проницаемости среды кх равен

Построим линии равных потенциалов (рис. 2)для невозмущенного поля:

при 0.5 < г < 6.

рис. 2.

Пользуясь методом п. 2.1.2, в случае изменения проницаемости среды внутри круга радиусом rQ = 1 на к0, получим потенциалы возмущенного поля:

^ ^ т 1 /7 2\ к,-кп т , ( 1 4х л\ г 2 л

Ф2=Ф =—In ((х-2) +У1 + ---—In -Т~—-Т + 4 , х + у > 1

2 1 4п \К } У / к, + к04тг [х2+у2 х2+у2 ) У

Построим линии равных потенциалов (рис. 3) для возмущенного поля:

171 1 /7 2\ ^-^о 171 1 Г 1 W 1 п> 2 2i

-lnllJC —2) +v +—--—In —-—-7+4 =—\nR, X + у >1

4ж v 1 / кх + к04тс [х2 + у2 х2 + у2 ) 4 п *

при 0.5 < г <6.

рис. 3.

Как видно, линии потенциалов вытягиваются в сторону окружности сопряжения.

В п. 2.2 работы найдена замкнутая форма для структуры полей напряжений в кусочно-однородной круглой пластине. Задачи теории упругости для многослойных сред рассматривались многими авторами. Подроб^ш обзор таких работ можно найти, например, в монографии Я.С. Уфлянда [87], в работах В.М. Александрова, Е.В. Коваленко, С.М. Мхитаряна [2, 3] и др. Основными методами решения большинства указанных задач являются методы интегрального и дискретного преобразование Фурье, с помощью которых решаемые задачи, как пр