автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.15, диссертация на тему:Метод опорных операторов и численное моделирование гидродинамических течений с сильными деформациями



МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

МЕТОД ОПОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИИ С СИЛЬНЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (01.01.00 - математика) Специальность 01.01.07 - Вычислительная матжйРо®*.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 519.6:332.5

[ПАШКОВ Михаил Юрьевич

Москва - 1989.

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.В. Гулин

доктор физико-математических наук, профессор Е. П. Жидков

доктор физико-математических наук, профессор В. Ф. Куропатенко

Ведущая организация: Филиал Института атомной энергии

заседании специализированного Совета Д. 033.03.37 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, г.Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библтотеке факультета ВМ и К МГУ.

Автореферат разослан " 19 г.

УЧЕНЬЯ СЕКРЕТАРЬ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО СОВЕТА доктор физико-математических наук,

им. И. В. Курчатова

Защита состоится

19 г. в 13ч. 30м. на

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Быстрое развитие науки и техники постоянно выдвигает ряд новых задач, требующих глубокого и всестороннего теоретического изучения, к таким задачам относится проблема создания управляемых термоядерных реакторов, задачи физики взрыва, и т.д. Особенности математического описания этих задач, такие как нелинейность и связанное с ней появление разрывов в решении, необходимость рассмотрения задач в многомерной постановке, наличие сильных деформаций делает вычислительный эксперимент по существу единственным методом их решения и. одновременно, предъявляет ряд требований к используемым методам построения дискретных моделей , алгоритмам и программам. .

Наиболее развитыми в настоящее время являются методы и алгоритмы решения задач гидро- и газодинамики. Многие идеи, принципы и приемы, предназначенные первоначально для численного моделирования задач гидродинамики, впоследствии были распространены и на другие области математической физики и вошли в арсенал общей теории разностных схем.

Большое количество оригинальных алгоритмов было предложено и разработано в связи с численным решением задач аэродинамики. Здесь следует выделить работы К.И.Бабенко,0.М.Белоцерковского, Г.П.Воскресенского, С.К.Годунова, А.А.Дородницына, А.В.Забродина, Г.П.Про-копова, В.В.Русанова, П.И.Пушкина, Ю.Д.Шмыглевского, Н.Н.Яненко, а такхе ряда других советских и зарубежных авторов. Целесообразным и удобным оказалось здесь использование эйлерова описания движения среды. Во многих случаях, связанных главным образом, с процессом установления стационарных или периодических режимов, эйлеровы

переменные успешно использовались и для расчета нестационарных течений .

В настоящее время существует весьма широкий класс задач, в котором лагранжево описание среды является более предпочтительным. Это задачи в которых происходит быстрое изменение характерных размеров объемов среды, состоящих из одних и тех же жидких частиц, многообластные нестационарные течения при наличии большого числа различных веществ, свободными границами и т.д. Типичными примерами могут служить задачи связанные с проблемой управляемого термоядерного синтеза, исследование взрывных процессов электродинамического ускорения и торможения плазмы.

К настоящему времени создано значительное количество алгоритмов для численного моделирования движения среды в лагранжевых переменных. Среди работ, посвященных разработке лагранжевых методик, следует выделить работы С. М. Бахраха, В. М. Головизнина, В. Я. Гольдина, Н. А. Дмитриева, В. Ф. Дьяченко, В. Л. Загускина, В. Ф. Куропатенко, Ю.П.Попова, А. А. Самарского, И. Д. Софронова, В.Ф. Тишкина, А.П.Фаворского, Р. П. Федоренко, У. Шульца, С. Херта.

Существует широкий класс практически важных задач, для решения которых неприменимы классические схемы использующие лагранжево описание среды. Эти задачи характеризуются наличием сильных сдвиговых деформаций, большим числом различных веществ с существенно различными физическими свойствами, сильным изменением формы контактных и свободных границ. К таким задачам относятся, например, задачи высокоскоростного соударения, расчет процессов, использующих детонацию взрывчатых веществ и т.д.

Применение эйлеровых методик для решения таких задач может приводить к качественно неверный результатам. Это связано с тем,

что эйлеровы методы плохо передаст форму свободных и контактных границ, сильно размазывают тангенциальные разрывы и т.д.

Одним из возможных подходов к решению такого класса задач является подход, основанный на использовании лагранхевых методик, в которых узлы расчетной сетки движутся вместе со средой, а связи между которыми меняются со временем в соответствии со структурой течения.

Такие методы получили название "свободно-лагранжевых" СГгее-Ьадгапде) Впервые основные идеи используемые во всех свободно-лагранжевых методах были изложены в работах Паста и Улама. В Советском Союзе впервые метод такого типа - метод свободных точек был предложен в работах В.Ф.Дьяченко . В это же время коллективом авторов во главе с И. Д. Софроновым была создана методика "Медуза" , при помощи которой был решен ряд практически важных задач. В дальнейшем разработкой таких методик занимались А. П. Фаворский, У. Кроули, Н. В. Арделян, В. В. Рассказова .

Идеологически к методам, использующим нерегулярную сетку, примыкают различные модификации метода частиц в ячейках, предложенного в работах Ф. Харлоу . Здесь следует отметить работы Н.Н.Анучиной, В.Л.Загускина, Б.П.Крюкова, А.П.Фаворского .

Необходимость решения новых актуальных задач постоянно стимулирует развитие вычислительной математики, так как несмотря на рост парка ЭВМ и увеличение их производительности,, сложность и объем задач выдвигаемых практикой, опережает прогресс в развитии вычислительной техники.

Одна из возникающих проблем состоит в том, что объем вычислений необходимых для решения многомерных нестационарных задач, настолько велик, что возможности современных ЭВМ не позволяют использовать достаточно подробные расчетные сетки, чтобы

можно было с успехом применять оценки точности имеющиеся в теории разностных схем, кроме того для многомерных, нестационарных уравнений газовой динамики эти оценки в большинстве случаев отсутствуют.

Ситуация осложняется тем, что решение ряда практических задач ищется в области сложной формы, меняющейся со временем, что требует использования неортогональньгх криволинейных сеток, кроме того, наличие сильных деформаций делает в ряде случаев необходимым использование нерегулярных сеток, структура которых меняется со временем.

Отмеченные факты выдвигают на первый план задачу построения разностных схем, правильно передающих характерные особенности решения даже на грубых нерегулярных сетках произвольной структуры. Практика вычислений показывает, что этого можно достичь, если потребовать, чтобы используемая дискретная модель воспроизводила законы сохранения основных физических величин, выполнение этого требования привело к формулировке и развитию таких важных понятий как консервативность и полная консервативность разностных схем. Использование полностью консервативных схем для решения ряда задач механики сплошной среды и физики плазмы показало их высокую точность при разумных ограничениях на шаг сетки.

Построение консервативных и полностью консервативных схем представляет из себя сложную задачу. Особенно трудной становится эта задача при использовании криволинейных четырехугольных сеток и нерегулярных сеток произвольной структуры, состоящих из многоугольников. Важным вопросом, с точки зрения теории численных методов и проведения практических расчетов, является вопрос о точности получаемых разностных схем, исследование вопросов аппроксимации и сходимости разностных схем на нерегулярных сетках

произвольной структуры является весьма актуальной задачей.

Построение разностных схем на нерегулярных сетках для многомерных уравнений математической физики связано с обработкой большого объема символьной информации. Проведение этих выкладок вручную на бумаге и програмирование полученных формул сопряжено с появлением ошибок. Поэтому актуальным является вопрос о формализации процесса построения разностной схемы и использование ЭВМ для проведения соответствующих выкладок и получение программы.

Таким образом, разработка общих подходов к построению полностью консервативных разностных схем для решения многомерных задач механики сплошной среды при наличии сильных деформаций, исследование точности построенных схем, создание алгоритмов получения разностных схем на ЭВМ представляет собой актуальную научную проблему.

Цель работы. Целью диссертации является:

- разработка общих подходов к построению полностью консервативных разностных схем для решения многомерных задач механики сплошной среды.

- теоретическое исследование точности некоторых построенных разностных схем.

- разработка алгоритмов и специального языка для построения разностных схем на ЭВМ в символьной форме

- разработка нового подхода к моделированию гидродинамических течений с сильными деформациями на лагранжевой сетке переменной структуры.

Научная новизна. В диссертации дано всестороннее описание метода опорных операторов и построены разностные схемы для широкого класса уравнений математической физики. Метод опорных операторов позволяет получать консервативные и полностью

консервативные разностные схемы. Сущность этого метода состоит в том, что разностные аналоги инвариантных дифференциальных операторов первого порядка, входящие в уравнения математической физики, такие как div, rot, grad и т.д. строятся исходя из требования выполнения разностных аналогов основных интегральных тождеств, обеспечивающих выполнение законов сохранения. Метод опорных операторов можно использовать в любой системе координат, для сеток произвольной структуры и при любой дискретизации скалярных и векторных величин.

В диссертации проведено изучение свойств аппроксимации и сходимости некоторых разностных схем, полученных методом опорных операторов, рассмотрены как случай квазиравномерной сетки, так и случай сетки с существенной неравномерностью.

Проведена формализация процесса построения разностной схемы методом опорных операторов. Такая формализация служит основой для создания алгоритмов, позволяющих строить разностные схемы на ЭВМ в символьной форме, предложен специальный язык, удобный для построения и исседования разностных схем в символьной форме на 4 произвольных четырехугольных сетках.

Предложен новый метод расчета двумерных газодинамических течений с сильными деформациями на сетке переменной структуры -метод "частиц Дирихле". Использование метода опорных операторов позволяет получить полностью консервативные разностные схемы в декартовой и цилиндрической системе координат. При этом разностная схема в цилиндрической системе координат сохраняет плоскую, цилиндрическую и сферическую симметрию газодинамических течений. Использование сетки из ячеек Дирихле обеспечивает непрерывное изменение газодинамических величин при изменении структуры сетки. Методика является чисто лагранжевой: перетоков массы, энергии и

импульса между ячейками не происходит, отсутствует также переинтерполяция сеточных величин. Показан первый порядок аппроксимации операторов разностной схемы при естественных предположениях о расположении узлов.

Научная и практическая ценность. Метод опорных операторов, описанный в диссертации, может быть использован и используется для построения полностью консервативных разностных схем для широкого класса уравнений математической физики.

Использование разработанного алгоритма для построения разностных схем на ЭВМ в символьной форме позволяет избежать ошибок при получении и программировании разностных схем.

Метод "частиц Дирихле", предложенный в диссертации, позволяет производить численное моделирование широкого класса практических задач гидродинамики с сильными деформациями произвольного вида.

Апробация.

Основные результаты докладывались и обсуждались на ряде Всесоюзных и Международных конференций и совещаний, в том числе:

Всесоюзная конференция "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики" - Москва, МГУ, 1979,1981,1989г.

Международная школа-семинар "Математическое моделирование, аналитические и численные методы в теории переноса", Минск, 1982.

Всесоюзная школа молодых ученых "Теоретические и прикладные программы вычислительной математики и математической физики" -Рига,1982.

Семинар по численному моделированию физических процессов-Ленинград, ЛФТИ, 1983.

Международное совещание по системам и методам аналитических

вычислений на ЭВМ и их применению в теоретической физики.- Дубна, ОИЯИ, 1982г.

Всесоюзная конференция "Системы для аналитических преобразований в механике" - Горький, 1984г.

Научная конференция "Ломоносовские чтения" - Москва, МГУ,

1985г.

Всесоюзная школа молодых ученых и специалистов "Вычислительные методы и математическое моделирование" - Шушенское, 1986г.

Всесоюзная школа-семинар "Математическое моделирование в науке и технике" - Пермь, 1986г.

VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. - Ташкент, 1986г.

Рабочее совещание по методам построения сеток и их приложениям. Свердловск, 1987г.

Результаты диссертации также докладывались на научно-исследовательских семинарах Института прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР, кафедры вычислительной математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, научных семинарах в ВЦ АН СССР, ФИАН, ИАЭ, ВНИИП, ВНИИЭФ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 40 работ.

Структура диссетрации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 239 наименований. ,Полный объем диссертации 396 с.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дана характеристика направления развиваемого в

диссератции и кратко излагаются результаты работы. Основная часть диссертации состоит из пяти глав.

В первой главе диссертации дано подробное описание метода опорных операторов. Выбор уравнений, на примере которых излагается метод опорных операторов, определяется участием автора в разработке алгоритмов для решения ряда задач управляемого термоядерного синтеза и задач физики взрыва.

В §1 дано описание общей схемы метода опорных операторов и рассмотрена последовательность действий при построении разностных схем этим методом. Введено понятие определяющего оператора, который аппроксимируется непосредственно и определяемых операторов, которые строятся по определяющему оператору на основе разностных аналогов некоторых интегральных тождеств, тесно связанных с законами сохранения для соответствующих уравнений математической физики. Приведены основные интегральные тождества, которые используются при построении разностных схем. На примере уравнений теплопроводности, диффузии .магнитного поля, газовой динамики в лагранжевых и эйлеровых переменных, уравнений динамики сплошной среды рассмотрены принципы выбора определяющих операторов.

В §2 дано подробное описание четырехугольных косоугольных сеток. Рассмотрены различные пространства сеточных функций. В частности рассмотрены способы сеточного описания вектор-функций, в которых используются местные косоугольные системы координат, связанные с линиями сетки. Введено понятие формальных и неформальных скалярных произведений, которые оказываются полезными при выяснении структуры разностного оператора сопряженного к данному.

Как уже отмечалось, одним из важных этапов метода опорных

операторов является этап непосредственной аппоксимации дифференциальных операторов первого порядка. Этот этап подробно описан в §3, при этом рассмотрены различные способы дискретизации скалярных и векторных величин. Описаны способы непосредственной аппроксимации операторов: градиент, дивергенция, ротор. Проведена интерпретация выражений для разностных операторов на языке тензорного исчисления.

Построение системы согласованных разностных аналогов операторов градиента, дивергенции и ротора приводится в §4. Рассмотрены свойства построенных операторов, показана возможность образования повторных операций.

В §§5-10 приведены примеры построения разностных схем для уравнения Лапласа, теплопроводности, диффузии магнитного поля, газовой динамики в лагранжевых и эйлеровых переменных, уравнений динамики сплошной среды. При этом рассмотрены следующие вопросы: выбор способа сеточного описания величин и принципы выбора определяющего оператора, связь между свойствами операторов и законами сохранения .процесс построения определяемых операторов.

Рассмотрены свойства полученных разностных схем, обсуждаются вопросы, связанные с реализацией разностных схем, приведены ссылки на работы, в которых построенные схемы используются для решения практических задач. Разностная схема для уравнения Пуассона, рассмотренная в §5, строится на треугольных сетках, полученных из четырехугольных путем проведения диагоналей, неизвестная функция считается заданной в узлах. При такой дискретизации оказывается удобным в качестве определяющего выбрать оператор градиента. При построении разностной схемы для уравнения теплопроводности в §6 температура задается в ячейках, а тепловой поток описывается своими нормальными компонентами на сторонах ячейки. Такой выбор

дискретизации связан с желанием сохранения непрерывности нормальной составляющей потока при переходе через границу ячеек. При используемой дискретизации естественным является выбор оператора дивергенции в качестве определяющего. Описана реализация неявной схемы, при которой сохраняется консервативность при итерационном решении уравнений.

При рассмотрении уравнения Пуассона и теплопроводности участвуют только два оператора: дивергенции и градиент.

При построении разностной схемы для уравнения диффузии и магнитного поля - §7, возникает необходимость аппроксимации оператора ротор. При этом для описания вектора напряженности магнитного поля используются нормальные к границе ячейки компоненты вектора, а для вектора напряженности электрического поля - касательные компоненты. Такой выбор дискретизации обусловлен тем, что именно эти компоненты остаются непрерывными при переходе через границу между ячейками.

Разностная схема для уравнений газовой динамики в лагранжевых переменных рассмотрена в §8. Плотность, внутренняя энергия и давление относятся к центрам ячеек, а компоненты скорости к вершинам. Новым здесь, по сравнению с предыдущими параграфами, является появление умножения функции на оператор. Это приводит к необходимости введения оператора усреднения действующего на плотность заданную в ячейках и дающего плотность в узле. Вид определяющего оператора дивергенции автоматически получается из закона сохранения массы при лагранжевом описании среды и из требования, чтобы разностная схема имела вид, аналогичный дифференциальному случаю. Приведем явный вид разностных аналогов законов сохранения.

В §9 рассмотрена разностная схема для уравнений газовой

динамики в эйлеровых переменных. В этих уравнениях участвуют все три оператора : дивергенция, градиент, ротор, так как оператор (A,v)B выражается через них следующим образом

CA,v)B= 0.5 [grad СА,Ю - A*rot В - B*fot А -rot (А*В) + A div В - В div А].

Определяющим в таком случае является оператор дивергенции, по которому последовательно стррятся операторы градиент и ротор. Установлены требования к определяющему оператору, выполнение которых обеспечивает полную, консервативность разностной схемы. Рассмотрен явный вид операторов в случае произвольной четырехугольной сетке, когда все величины относятся к узлам.

Процесс построения разностной схемы для уравнений механики сплошной среды в цилиндрической системе координат рассмотрен в §10. Здесь возникает необходимость аппроксимации тензорных операций : дивергенция тензора и градиент вектора. Определяющим в данном случае служит оператор дивергенции вектора, по которому последовательно строятся два разностных анагалога градиента для скалярных функций из разных пространств, дивергенции тензора и градиента вектора. Вид определяющего оператора такой же как в случае уравнений гидродинамики. Установлено, что в частном случае, когда тензор напряжений имеет шаровой вид, построенная схема переходит в схему для уравнений газовой динамики.

Вторая глава диссертации посвящена изучению свойств аппроксимации и сходимости некоторых разностных схем, построенных в гл. I. Основная цель второй главы - показать, что в ряде случаев при исследовании сходимости разностных схем, полученных методом опорных операторов, можно существенно использовать свойства операторов, которые автоматически следуют из способа построения.

При изучении аппроксимации и сходимости на косоугольных сетках

рассмотрен как случай квазиравномерной сетки, полученной путем гладкого отображения прямоугольной сетки в единичном квадрате, так и случай сетки с существенной неравномерностью. Эти два подхода к исследованию аппроксимации и сходимости описаны в §1. В §2 доказана теорема о сходимости разностных схем для уравнений эллиптического типа. Рассмотрено следствие этой теоремы для случая уравнения Пуассона. В этом случае для доказательства сходимости разностной схемы в норме, являющейся разностным аналогом нормы в с некоторым порядком т, достаточно показать, что операторы сЦу и дгас! аппроксимируются в норме с тем же порядком. Данная теорема используется в §2 главы II, а также в главе IV при исследовании разностных схем на сетке из ячеек Дирихле. Исследование аппроксимации определяющих операторов, построенных в гл.1, проводится в §3. Доказано, что на гладких квазиравномерных сетках имеет место второй порядок аппроксимации, а на негладких сетках - первый порядок аппроксимации. В четвертом параграфе исследуется сходимость разностной схемы для уравнения теплопроводности. При этом рассмотрен как случай квазиравномерной сетки, так и случай неравномерной сетки. При доказательстве сходимости существенно используется тот факт, что в разностном аналоге оператора Лапласа можно выделить разностные аналоги операторов градиента и дивергенции. Кроме того важным оказывается свойство взаимной сопряженности с точностью до знака этих операторов. Все эти свойства являются следствием того, что разностная схема получена методом опорных операторов. Установлено, что на квазиравномерных сетках имеет место второй порядок точности, а на неравномерных сетках - первый порядок точности в норме, являющейся разностным аналогом нормы в доказательство

сходимости разностной схемы для уравнения Пуассона на

неравномерной сетке приведено в §5, при этом используется теорема,

доказанная в §2. Рассмотрены различные способы выбора объема,

приписываемого к узлу сетки. Приведено выражение для объема, при

котором и оператор градиент и оператор дивергенции

аппроксимируются соответствующими выражениями. Установлено, что на

сетках с существенной неравномерностью имеет место первый порядок

1

точности в разностной норме в

В третьей главе рассмотрены вопросы, связанные с использованием символьных преобразований на ЭВМ для построения и исследования разностных схнм для уравнений математической физики.

В §1 проведен анализ основных понятий теории разностных схем с точки зрения символьных преобразований. Рассматриваются такие понятия как сеточная функция С векторная и скалярная ), пространства сеточных функций, разностные операторы, различные действия с ними. Особое внимание уделено процессу построения сопряженного оператора. При этом основой являются рассмотрения проведенные в гл. 1. В §2 детально описан специализированный язык Б^АИ и приведены примеры работы его отдельных конструкций. Предложенный язык является удобным при записи заданий на построение и исследование разностных схем в символьной форме на четырехугольных неортогональных сетках. С помощью этого языка возможно исследование таких свойств разностной ' схемы как самосопряженность разностного оператора, локальная аппроксимация, дивергентность и т.д. Для взаимодействия с программами на языке фортран предусмотрена специальная команда, по которой в некотором файле формируется подпрограмма-функция, вычисляющая коэффициенты разностного оператора. Следует отметить , что с формальной точки зрения, построение разностной схемы методом опорных операторов сводится к построению сопряженных операторов, построению

суперпозиции нескольких операторов и арифметическим действиям с ними и сеточными функциями. Тем самым метод опорных операторов допускает формализацию , что позволяет использовать систему Б^АИ , в котрой указанные действия с операторами реализованы, для построения разностных схем на ЭВМ. В §3 приведен пример задания на языке ИЗЬАИ для построения разностной схемы для уравнения Лапласа При этом разностная схема строится методом опорных операторов, изложенным в гл. 1.

В четвертой главе диссертации рассмотрен новый метод, который ниже будем называть методом " частиц Дирихле ", для расчета двумерных газодинамических течений с сильными деформациями произвольного вида. Во введении к данной главе кратко рассмотрена история создания методов " свободно-лагранжевого " типа, к которым относится метод " частиц Дирихле ". Рассмотрены основные характеристики методов этого типа и проведено сравнение метода "частиц Дирихле" с другими известными методами. Делается вывод о новизне методики и наличии ряда преимуществ по сравнению с другими методами. В §1 дано общее описание алгоритма. Во втором параграфе дано определение ячеек Дирихле, подробно рассмотрены их свойства и описан эффективный алгоритм построения ячеек Дирихле. Доказано , что объем ячейки Дирихле является непрерывной функцией координат всех точек. Кроме того получены явные выражения для производных от объема ячейки Дирихле по координатам и доказана их непрерывность. Приведены графики зависимости времени расчета ячеек Дирихле от числа точек, которые свидетельствуют о линейной зависимости этих величин. В §3 описан процесс построения разностной схемы с использованием метода опорных операторов, при этом существенно используются результаты полученные в гл.1. Построенная разностная

схема является полностью консервативной. Шаблон разностной схемы определяется в соответствии с разбиением расчетной области на ячейки Дирихле. Коэффициенты разностной'схемы представляют из себя отношение производных от объема ячейки Дирихле к самому объему. Такой вид коэффициентов и доказанные в §2 результаты обеспечивают отсутствие флуктуаций газодинамических величин при движении узлов и сиене соседств. Процесс введения искусственной вязкости рассмотрен в §4. При этом основой является процесс неупругого столкновения частицй со своими соседями, что приводит к появлению дополнительных искусственных сил в уравнениях движения. Рассмотрен вопрос о диссипации кинетической энергии и соответствующем изменении уравнения для внутренней энергии с целью сохранения консервативности разностной схемы. Учет граничных условий типа жесткой стенки, движущейся с заданной скоростью и типа свободной границы описан в §5. В §6 рассмотрена схема в цилиндрических координатах, сохраняющая плоскую, цилиндрическую и сферическую симметрию газодинамических течений. Сохранение свойств симметрии достигается за счет выбора специальной приближенной формулы для объема ячейки. Исследованию аппроксимации построенной разностной схемы посвящен §7. Установлено, что для разностного аналога оператора градиента имеет место первый порядок локальной аппроксимации. Для разностного аналога оператора дивергенции имеет место первый порядок аппрокимации в негативной норме. На примере уравнения Лапласа с теми же разностными операторами дивергенции и градиента, что и в уравнениях гидродинамики, исследуются вопросы сходимости. Проведенный численный эксперимент позволяет сделать вывод о втором порядке точности построенной разностной схемы. Проведено также теоретическое доказательство сходимости соответствующей одномерной схемы. В заключительном параграфе

описаны разностные схемы для уравнения теплопроводности на сетке из ячеек Дирихле. Рассмотрены различные способы дискретизации векторных величин. Приведены результаты тестовых расчетов, свидетельствующие о втором порядке точности построенных схем.

Возможности предложенной методики демонстрируются в гл. V , где приведены примеры расчета ряда тестовых задач , а также задач имеющих прикладное значение.

Проведен расчет задачи о падении ударной волны на косую границу раздела двух сред. Результаты расчетов этой задачи сравниваются с имеющимся аналитическим решением. Характерной чертой этой задачи является наличие сильных сдвиговых деформаций на контактном разрыве. Анализ результатов расчетов показывает, что тангенциальный разрыв размазывается минимально, а флуктуации в профиле скорости значительно меньше чем в методе частиц в ячейках.

Выход решения на автомодельный режим в разностном случае исследуется на примере задачи о дифракции ударной волны на тяжелом препятствии в виде прямого угла Эта задача характеризуется наличием сильных сдвиговых деформаций и моделирует реальную ситуацию возникающую при расчете процесса захлопывания щели в стенке при нормальном падении на стенку ударной волны. Анализ конфигурации лагранжевых частиц в автомодельных переменных, показывает, что разностное решение выходит на автомодельный режим. То есть в дискретном случае правильно передается одно из важнейших свойств решения дифференциальных уравнений.

Один из возможных алгоритмов расчета свободной границы демонстрируется на примере решения задачи о разлете газового эллипсоида в вакуум . В процессе разлета соотношение осей эллипсоида меняется и эллипсоид становится вытянутым по другой оси. После выхода на стационарный режим разлета соотношение осей

не изменяется и равно известной величине, а свободная граница имеет форму эллипса. В дискретном случае это свойство непрерывного решения хорошо выдерживается. Эта задача, также как и задача о стационарном течении несжимаемой жидкости в поле силы тяжести, находящейся во вращающемся сосуде, характеризуется гладким распределением нормальной компоненты вектора скорости вдоль свободной границы. Для задач этого класса используется интерполяционный алгоритм расчета свободной границы, описанный в §5 гл.1У. Однако при расчете реальных устройств часто возникают ситуации, когда нормальная компонента вектора скорости терпит разрыв. Это имеет место, например, при расчете движения цилиндра в цилиндрическом канале конечной длины с податливыми стенками. Для задач такого типа предлагается использовать другой алгоритм расчета свободной границы, основанный на введении легкого газа, который заполняет свободное от среды пространство. Пример расчета движения цилиндра показывает, что такой алгоритм позволяет избежать нефизических искажений формы свободной границы вблизи точки, где имеется скачок нормальной составляющей вектора скорости.

С целью изучения влияния начального расположения узлов сетки на качество получаемого решения, был проведен расчет задачи о сходящейся и отраженной сферической ударной волне на различных сетках. Численное моделирование проводилось в цилиндрических координатах. Анализ результатов расчетов показал, что даже на специальном образом искаженной сетке численное решение удовлетворительно описывает известное аналитическое решение. Эта задача является также тестовой с точки зрения проверки качества реализации граничных условна типа криволинейной жесткой стенки движущейся с заданной скоростью, так как волна возбуждается в

покоящейся среде за счет движения сферического поршня к центру.

Представление о классе задач для которых возможно использование метода частиц Дирихле даст две демонстрационные задачи.Первая задача о развитии Релей-Тейлоровской неустойчивости в замкнутом сосуде и вторая задача о столкновении летящего тела с преградой конечной толщины.

В диссертации рассмотрены следующие задачи имеющие практическое значение. Первая задача о взаимодействии плоской ударной волны в некоторой среде со сферическим пузырем из другого вещества . Вторая задача об образовании кольцевого вихря при всплывании легкого газа в тяжелом и третья задача о распространении детонационной волны в сходящемся коническом канале.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Предложен и всесторонне исследован новый метод построения разностных схем - метод опорных операторов. В основе метода лежит использование согласованной системы разностных операторов являющихся аналогами основных дифференциальных операторов первого порядка. Рассмотрены способы непосредственной аппроксимации инвариантных операторов первого порядка. Приведены интегральные тождества, лежащие в основе понятия согласованности разностных операторов и тесно связанные с выполнением законов сохранения для уравнений математической физики. Возможности метода продемонстрированы на на широком классе уравнений с использованием сеток различной структуры.

2. Проведено теоретическое исследование аппроксимации и сходимости разностных схем для уравнений Пуассона и теплопроводности, построенных методом опорных операторов. При этом выделение

в разностной схеме разностных аналогов отдельных операторов упрощает исследование вопросов аппроксимации и сходимости и позволяет произвести классификацию разностных схем с точки зрения аппроксимационных свойств входящих в нее операторов. Установлено, что на гладких, квазиравномерных сетках имеет место второй порядок точности, а на неравномерных сетках - первый порядок точности.

3. Проведена формализация процесса построения разностных схем методом опорных операторов. Возможность такой формализации служит основой при использовании ЭВМ для построения разностных схем в символьной форме. Предложен и реализован специальный язык удобный для записи заданий на построение и исследование разностных схем в символьной форме. Итогом выполнения задания является создание подпрограммы функции языка Фортран, которая вычисляет коэффициенты разностного оператора. Такой подход поволяет избежать ошибок при остроении разностных схем и их программирования.

4. При помощи метода опорных операторов построена новая полностью консервативная разностная схема для расчета двумерных газодинамических течений с сильными деформациями на сетке переменной структруы. При этом разностная схема в цилиндрической системе координат сохраняет плоскую, цилиндрическую и сферическую симметрию газодинамических течений. Использование сетки из ячеек Дирихле и введенная искусственная ,вязкость обеспечивают непрерывное изменение газодинамических. величин при изменении структуры сетки.

Методика является чисто лагранжевой: перетоков массы, энергии и импульса между ячейками не происходит, отсутствует также переинтерполяция сеточных величин. Показан первый порядок аппроксимации основных операторов разностной схемы 1 при ' естественных предположениях о расположении узлов.

Проведено детальное теоретическое и экпериментальное исследование методики.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Самарский А. А. , Тишкин В.Ф. , Фаворский А. П. , Шашков М. Ю. О представлении разностных схем математической физики в операторной форме. - ДАН СССР,1981,т.258, N5, с. 1092-1096.

2. Самарский А. А. , Тишкин В. Ф. , Фаворский А. П. , Шашков М. Ю. Операторные разностные схемы. - Дифференц. уравнения, 1981, т.17,И 7, с. 1317-1327.

3. Самарский А. А. , Тишкин В.Ф. , Фаворский А. П. , Шашков М. Ю. Разностные аналоги основных дифференциальных операторов первого порядка. - М., 1981, - 29 с. С Препринт/ИПМ АН СССР : N 8).

4. Коршия Т. К. , Тишкин В. Ф. , Самарский А. А. , Фаворский А. П. , Шашков М.Ю. Вариационно-операторные разностные схемы для уравнений математической физики. - Тбилиси, изд. ТГУ, 1983. - 144 с.

5. Тишкин В. Ф. , Фаворский А. П., Шашков М. Ю. Вариационно разностные схемы для уравнения теплопроводности на нерегулярных сетках. - ДАН СССР, 1979, т.246, N 6, с. 1342 - 1346.

6. Коршия Т. К. , Тишкин В. Ф., Фаворский А. П. , Шашков М. Ю. Вариационный подход к построению разностных схем для уравнения теплопроводности на криволинейных сетках. - ЖВМ и МФ, 1980, т. 20, N 2, с. 401 - 421.

7. Коршия Т. К., Тишкин В. Ф. , Фаворский А. П. , Шашков М. Ю. Вариационно-потоковые разностные схемы для расчета диффузии магнитного поля. - ДАН СССР, 1980, т. 254, N 6, с. 1388-1392.

8. Коршия Т. К., Тишкин В. Ф., Фаворский А; П. , Шашков М. Ю. Вариационный подход к построению разностных схем для уравнений диффузии магнитного поля.- Дифференц. уравнения, 1982, т.18, N 7,

с. 1229-1239.

9. Самарский А. А., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П., Шашков М. Ю. Построение полностью консервативных разностных схем для уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах на основе операторного подхода. - М. , 1981, 16 с. С Препринт/ИПМ АН СССР : N 63 ).

10. Самарский А. А., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П., Шашков М. Ю. Использование метода опорных операторов для построения разностных аналогов операций тензорного анализа. - Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, N 7, с. 1231 - 1256.

И. Шашков М. Ю. Построение и исследование разностного аналога оператора Лапласа на непрямоугольной сетке. - М., 1977, 28 с. С Препринт/ИПМ АН СССР : N47).

12. Тишкин В. Ф., Фаворский А. П. , Шашков М. Ю. Аппроксимация потоковых разностных схем для уравнения теплопроводности на нерегулярных криволинейных сетках. - М., 1981, 20 с.

( Препринт/ИПМ АН СССР : N 93 ).

13. Шашков М. Ю. , Щенков И. Б. Использование символьных преобразований для построения и исследования разностных схем. -ЖВМ и МФ, 1986, т.26, N 5, с. 756 - 765.

14. Ефимов Г.Б., Тишкин В.Ф., Шашков М,Ю., Щенков И.Б. , Автоматизация программирования операторных разностных схем. - М., 1982, 22 с. С Препринт/ИПМ АН СССР : N 23 ).

15. Шашков М. Ю., Щенков И. Б. Система DISLAN . - М., 1985, 27 с. С Препринт/ИПМ АН GCCP : N 23 ).

16. Михайлова Н. В., Тишкин В. Ф., Тюрина Н. Н., Фаворский А. П., Шашков М. D. Численное моделирование двумерных газодинамических течений на лагранжевой сетке переменной структуры. - М., 1984. -28 с. С Препринт/ИПМ АН СССР : N 156 ).

17. Михайлова Н. В., Тишкин В. Ф., Тюрина Н. Н., Фаворский А. П.,

Шашков М. Ю. Численное моделирование двумерных■ газодинамических течений на сетке переменной структуры. - ЖВМ и МФ , 1986, т.26, N 9, с. с. 1392-14С5.

18. Соловьев А.В., Соловьева Е.В. , Тишкин В.Ф., Тюрина H.H., Фаворский А.П., Шашков М. Ю. Метод ячеек Дирихле для решения газодинамических уравнений в цилиндрических координатах. - М., 1986, 32 с. С Препринт/ИПМ АН СССР : N 80 ).

19. Соловьев А. В., Соловьева Е.В. , Тишкин В. Ф. , Тюрина H.H., Фаворский А. П., Шашков М.В. Od одном алгоритме построения ячеек Дирихле М., 1985, 32 с. С Препринт/ИПМ АН СССР : N 168 ). 20. Соловьев А. В. , Соловьева Е. В., Тишкин В. Ф. , Тюрина Н. Н., Фаворский А. П. , Шашков М. ß. Исследование аппроксимации разностных операторов на сетке из ячеек Дирихле. - Дифференц. уравнения, т.22, N. 7, с. 1227 - 1237.

21. Соловьев А. В. , Соловьева Е. В., Тишкин В. Ф., Тюрина H.H., Фаворский А.П., Шашков М. Ю. Искусственная вязкость в методе частиц Дирихле " - М., 1986, 29 с. С Препринт/ИПМ АН СССР :

22. Соловьев А. В., Шашков М. Ю. Разностная схема метода " частиц Дирихле " в цилиндрических координатах, сохраняющая плоскую, цилиндрическую и сферическую симметрию газодинамических течений. -М. , 1987, 28 с. С Препринт/ИПМ АН СССР : N 188 ).

23. Соловьев А. В. , Соловьева Е. В., Тишкин В. Ф., Тюрина H. Н., Фаворский А. П. , Шашков М. Ю. Расчет нестационарных двумерных газодинамических задач методом " частиц Дирихле ". - М., 1987, 32 с. С Препринт/ИПМ АН СССР : N 97 ).

N 133 ).

Шашков Михаил Юрьевич * Метод опорных операторов и чио-ленное моделирование гидродинамических течений с сильными деформациями

( Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях ( 01.01.00 — математика) Специальность 01.01.07 - Вычислительная математика.

Подписано к печати 23.06.89г. № Т-11308. Заказ № 220. Тираж 100 экз. '

Отпечатаю м ротапраятах в lh.ni>!« пркхладвой математика АН СССР