автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование на нерегулярных сетках в задачах математической физики

РГБ ОД

~ «Л /.-.'¿'¡1 1 »'ч /

На правах рукописи

Колдоба Александр Васильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НА НЕРЕГУЛЯРНЫХ СЕТКАХ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой стеиени доктора физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской Академии наук.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Гулин A.B.

Доктор физико-математических наук Вабищевич П.Н.

Доктор физико-математических наук, профессор Толстых А.И.

Ведущая организация (предприятие):

Институт математики Академии наук Белоруси.

Защита состоится "_"__ 1996 г. на заседании

диссертационного совета Д 003.91.01 в Институте математического моделирования Российской Академии наук по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., дом 4-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математического моделирования Российской Академии наук.

Автореферат разослан "Z 2." 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Н.В.Змитренко

Общая характеристика работы.

Актуальность работы.

В настоящее время идеи и методы вычислительного эксперимента являются общепризнанными. С точки зрения теории численных методов ключевым элементом этого подхода к организации научных исследований является звено "математическая модель" - "вычислительный алгоритм". Проблема состоит в том, как сопоставить выбранной ( на данном этапе исследований ) математической модели явления или процесса эффективный и гибкий вычислительный алгоритм. Под этим имеется в виду следующее. Современные вычислительные мощности не позволяют, как правило, проводить расчеты на подробных разностных сетках в случаях, когда эти расчеты носят многовариантный характер. Если, кроме того, проводимые расчеты генерируют изменения и уточнения самой математической модели, то отдельные блоки вычислительного алгоритма должны быть легко заменяемы и стыкуемы друг с другом.

При этом, с одной стороны, создание эффективных вычислительных алгоритмов возможно лишь на основе достаточно глубоко проработанной теории, а с другой стороны, отсутствие таковой привело к формулировке полуэмпирических принципов и подходов, позволяющих получить качественное решение на достаточно грубых реальных сетках. Утрируя, .можно сказать, что произошло расщепление теории численных методов для уравнений математической физики на два направления. Одно из направлений делает упор на обоснование вычислительных алгоритмов ( аппроксимация, устойчивость, сходимость ) не интересуясь происхождением исходных дифференциальных уравнений и рассматривая проблему абстрактно-математически. Другое направление основное внимание уделяет физическому смыслу аппроксимируемых уравнений н на этой основе формулирует принципы построения разностных схем, выходящие за рамки собственно теории численных методов, такие, как консервативность и полная консервативность.

Дальнейшая эволюция физического направления к построению разностиых схем привела к идее замены сплошной среды, обладающей континуальным числом степеней свободы, ее дискретной моделью, обладающей конечным или счетным числом степеней свободы, и применению к последней тех или иных общефизических принципов. В

рамках такого подхода указанные выше принципы консервативности и полной консервативности получили естественное развитие и привели к формулировке вариационного метода, метода опорных операторов. Сами по себе эти методы не решают проблему построения разностных схем для уравнений математической физики, так как содержат феноменологические коэффициенты, не определяемые свойствами исходной дифференциальной модели.

Указанные направления исследований, взаимно дополняя и обогащая друг друга, позволили разработать высокоэффективные численные методы для широкого круга естественнонаучных и технологических задач. Одной из областей наиболее широкого применения методов вычислительного эксперимента является механика и электродинамика сплошных сред, в частности, газовая динамика и теория потенциала. Для задач такого рода развиты многочисленные методы, позволяющие провести высокоточное члсленное интегрирование соответствующих уравнений, если сама модель не содержит каких-либо специфических особенностей. Одной из таких особенностей может быть геометрический фактор, связанный с необходимостью проведения расчетов в областях, форма которых заранее не известна, а определяется в результате расчетов. Следствием этого обстоятельства является использование разностных схем на нерегулярных разностных сетках, топологическая и геометрическая структуры которых, вообще говоря, не фиксированы.

Уточним смысл, который вкладывается в понятие "нерегулярная сетка" в настоящей работе применительно к двумерной геометрии. Под регулярной будет пониматься разностная сетка, образованная двумя семействами параллельных прямых или, другими словами, полученная из прямоугольной линейным преобразованием координат. Ячейками ( многоугольниками, образованными узлами такой сетки ) являются, очевидно, параллелограммы. Под квазирегулярной будет пониматься сетка, ячейки которой "почти" параллелограммы. Такая сетка получается • из прямоугольной достаточно гладким преобразованием координат. Сегкн, не удовлетворяющие этим признакам, назовем нерегулярными. Отметим, что ни вариационно-разностный метод, ни метод опорных операторов никоим образом не апеллируют к предположениям о структуре разностной сетки и поэтому представляются адекватными подходами к построению разностных схем для указанного класса задач.

Исторически, использование нерегулярных сеток связано с разработкой вычислительных алгоритмов, содержащих блок интегрирования двумерных уравнений лагранжевой газовой динамики. Узлы расчетной сетки при этом могут образовывать достаточно произвольные и непредсказуемые заранее конфигурации. Если при этом на фоне рассматриваемого газодинамического течения протекают дополнительные физические процессы ( например, диффузия ), то возникает необходимость интегрирования на нерегулярной сетке соответствующих уравнений. Возможны и другие ситуации, в которых возникает необходимость использования нерегулярных сеток, например в областях сложной формы.

В связи с этим актуальной является проблема обоснования разностных схем для уравнений математической физики на нерегулярных сетках. В настоящей работе рассматривается более узкая проблема обоснования вариационно-разностных схем и разностных схем метода опорных операторов для уравнеий лагранжевой газовой динамики и эллиптических уравнений. Вопрос, подлежащий исследованию, состоит в следующем: возможно ли построение содержательной теории разностных схем, в которой не делается каких-либо предположений относительно структуры разностной сетки. Существует естественный класс задач, для которых такая теория, по-видимому, может быть развита. Это задачи, которые формулируются в терминах инвариантных операторов векторного анализа div , grad , rot и их комбинаций.

Цель работы.

Целью настоящей работы является разработка математического аппарата для исследования разностных схем на произвольных нерегулярных сетках, обоснование и модификация уже используемых в вычислительной практике разностных схем метода опорных операторов и вариационно-разностных схем лагранжевой газовой динамики. Целью является также численное моделирование в ряде задач механики и электродинамики сплошной среды: взаимодействия сильноточного релятивистского пучка с плазмой, термоядерного взрыва сверхновой, подземного тепло-массспреноса.

Научная новизна и практическая ценность.

Научнуя новизна и практическая ценность предлагаемой

диссерации состоят в следующем:

- разработан новый математический аппарат для построения и исследования разностных схем метода опорных операторов на произвольных нерегулярных (неструктурированных) сетках;

- с помощью указанного аппарата дано теоретическое обоснование уже используемых вычислителями разностных схем метода опорных операторов, а также указано расширение этого семейства;

- предложена методика исследования сходимости разностных схем метода опорных операторов в плоской и цилиндрической геометриях на обобщенных решениях из соболевского класса Я (0).

- построены и обоснованы разностные схемы метода опорных операторов для стационарных уравнений линейной теории упругости на нерегулярных сетках;

- дано обоснование полностью консервативных разностных схем газовой динамики на лагранжевых и свободно-лагранжевых сетках в двумерной геометрии (в акустическом приближении);

- построены и исследованы полностью консервативные разностные схемы с тензорными массами узлов;

- разработанные вычислительные алгоритмы реализованы в виде комплексов программ;

- проведено математическое моделирование в актуальных задачах физики плазмы, астрофизики, подземного тепло- массопереноса.

Апробация работы.

Материал диссертации докладывался на следующих семинарах,

совещаниях, конференциях:

- Школе-семинире по применению численных методов в технике (Красный Лиман, 1985);

- Международном совещании по численным методам (Карл-Маркс-Штадт, 1987);

- Международной конференции по численным методам (София, 1982);

- Всесоюзной научной конференции "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики" (Москва, 1989);

- Объединенном семицире по вычислительной физике (Сухуми, 1986);

- Объединенном семинире по численным методам (Минск, 1989);

- Международном симпозиуме по тепло- массообмену (Минск, 1990);

- семинарах ИПМ им.М.В.Келдыша РАН н ИММ РАН.

Публикации по теме диссертации.

Диссертация подготовлена на основе 25 печатных работ автора, приведенных в списке литературы. Из них: монографий - 1, журнальных статей - 7, статей в сборниках или трудах конференций

- 1, препринтов - 16.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, приложений и списка цитированной литературы. Текст диссертации изложен на 270 страницах машинописного текста, включая приложения.

Общая характеристика проблемы.

Техника построения разностных схем для инвариантных уравнений математической физики достаточно хорошо развита в работах школы А.А.Самарского. Это и вариационный подход и метод опорных операторов. Основанием к использованию этих подходов служила, по-видимому, вера в то, что, аппроксимировав некоторый функционал, можно, , после соответствующих формальных выкладок аппроксимировать и исходные дифференциальные уравнения. Однако, почти все исследования аппроксимации в указанных работах опирались на предположение, что разностная сетка квазирегулярна.

Проблему обоснования разностных схем на нерегулярных сетках можно рассматривать на двух уровнях. На первом уровне, "геометрическом", исследуется сходимость разностных схем в зависимости от степени согласования геометрии сетки с шаблонными функционалами, определяющими конкретный вид разностной схемы. При этом ■ предполагается достаточная гладкость решения исходной дифференциальной задачи. На втором уровне, "аналитическом", вопросы сходимости исследуются с учетом гладкости решения и выясняется какой степени указанного выше согласования следует добиваться при заданной гладкости.

Одним из направлений развития исследований в указанном круге проблем является разработка и обоснование разностных схем для эллиптических уравнений на сетках произвольной структуры (с

минимальными разумными ограничениями на форму и размеры ячеек). Инструментом для построения разностных схем на таких сетках является метод опорных операторов, который позволяет автоматически сохранить в дискретной модели такие качества как консервативность уравнений, симметричность (если она была) и положительность эллиптического оператора.

Метод опорных операторов, в том виде как он используется в данной работе, был предложен А. А.Самарским, В.Ф.Тишкиным, А.П.Фаворским, М.Ю.[Пашковым в 1981 г. Применительно к уравнению Пуассона идея этого метода состоит в том, что один из операторов сПу или £гас! аппроксимируется непосредственно, а второй таким образом, чтобы. удовлетворить разностному аналогу интегрального тождества

к-сНур ¿V =

]0

«•рёв - (р^гасЬ)«!!7 . (1)

80 >0

С последующих работах этих и других авторов были построены разностные схемы для различных уравнений математической физики.-

Что касается аналитического уровня исследования разностных схем для эллиптических уравнений, то в этом направлении в 80-е годы был достигнут значительный прогресс благодаря работам А. А. Самарского, Р. Д.Лазарова, В.Л.Макарова. Были установлены согласованные с гладкостью решения оценки точности конкретных разностных схем на равномерных прямоугольных сетках. Под согласованными оценками точности имеются в виду неравенства вида

8 у - \ ■ (2)

Здесь: Л - параметр, характеризующий подробность разбиения расчетной области О разностной сеткой; и - решение исходной дифференциальной задачи, иь - проекция этого решения в пространство сеточных функций, у - разностное решение; ||-|к ^ -норма в соболевском пространстве Як , 11'1к д ~ сеточный аналог

нормы в Н* . При этом числа ¿их могут принимать ограниченное

множество значений. Оценки точности в ¿р ( 1 £ р £ со ) получены

методом разностных мультипликаторов, который существенно опирается на условие равномерности сетки.

Вопросам сходимости разностных схем для эллиптических уравнений на обобщенных решениях посвящена также монография [В. Нетс11]. Здесь рассматриваются сетки, составленные из прямоугольников и треугольников, на которых аппроксимируются указанные уравнения. Показана сходимость построенных разностных

о

схем на обобщенных решениях в энергетической, ¿ и С - нормах.

Вариационный подход к построению разностных схем для уравнений лагранжевой газовой динамики был предложен в работах А. Д. Самарского, В. М.Головизнина, А.П.Фаворского в конце 70-х годов и в дальнейшем интенсивно развивался этими и другими авторами. Идея метода состоит в замене непрерывной среды дискретной и применении к последней принципа наименьшего действия, считая независимыми переменными координаты узлов сетки. При этом постулируется сохранение масс и энтропий ячеек, что соответствует лагранжеву описанию сплошной среды. Построенные таким образом схемы оказались консервативными и, более того, -полностью консервативными [А.А.Самарский, Ю.П.Попов].

Отметим, что аналогичные схемы могут быть получены методом опорных операторов и другими методами [О.С.Мажорова, Ю.П.Попов].

Традиционная процедура построения полностью консервативных разностных схем предполагает, что каждой ячейке сетки приписаны неизменная, во времени масса и объем - функция координат вершин ячейки, а каждому узлу - масса, - также неизменная во времени. Аппроксимация таких схем в акустическом приближении исследоТана либо для треугольных сеток, либо квазирегулярных четырехугольных сеток. Для произвольных сеток вопрос об аппроксимации остается открытым, более того высказываются сомнения в ее существовании [Н.В.Арделян, С. В. Черниговский].

Между тем реальные расчеты зачастую приходится проводить на существенно нерегулярных сетках. Даже если сетка в начальный момент являлась регулярной, она может потерять регулярность в результате движения сплошной среды (и вмороженной в нее сетки) с сильными сдвиговыми деформациях. В этом случае происходит потеря аппроксимации и полный "развал" сетки, после чего дальнейший счет становится невозможным.

Указанные обстоятельства приводят к необходимости расширения семейства полностью консервативных разностных схем. Возможных путей для этого несколько, вопрос в том какой из них ведет к

более простым и эффективным вычислительным алгоритмам.

Один из подходов предложен в [Р.А.Волкова, В.М.Головизнин] и состоит в построении разностных схем с мультиплетным числом термодинамических степеней свободы, когда каждой ячейке сетки приписывается несколько масс, объемов и соответственно плотностей, давлений. В основе этого подхода лежит следующее соображение: чем больше в разностной схеме термодинамических степеней свободы, тем более жесткой является сетка (по аналогии с треугольной сеткой).

Другой подход состоит в построении более сложного оператора, определяющего кинетическую энергию дискретной среды [В.Н.Исаев, И.Д.Софронов]. При таком . подходе наиболее простой вариант -считать массы узлов симметричными тензорами, определяемыми колфигурацией сетки.

Альтернативным подходом к численному моделированию динамики газа в рамках лагранжева способа описания является использование свободно-лагранжевых сеток и соответствующих разностных схем. Такие схемы получили широкое распространение в вычислительной практике, т.к., в отличие от традиционных лагранжевых методов, позволяют проводить расчеты течений с сильными сдвиговыми деформациями.

Построению и исследованию свободно-лагранжевых разностных схем посвящено значительное число работ. Идея построения полностью консервативных схем такого типа состоит в следующем. Каждому узлу сетки ставится в соответствие некоторая часть расчетной области, как функция координат узлов сетки. Постулируется, что области соответствия являются жидкими частицами, т.е. между ними отсутствуют конвективные потоки массы, импульса и энергии. Уравнения движения для такой дискретной модели получаются, например, путем варьирования функционала действия при наложенных кинематических и термодинамических связях [Н.В.Михайлова, В.Ф.Тишкин, Н.Н.Тюрина и др.]. Весь произвол при построении полностью консервативных разностных схем такого типа заключается в выборе областей соответствия для узлов сетки. Вариантов этого выбора существует несколько. В данной работе будет рассмотрен случай, когда областью соответствия узла является его ячейка Дирихле.

В этом случае, как показано в [А.В.Соловьев, Е.В.Соловьева,

В.Ф.Тишкин и др.] , уравнение движения узлов аппроксимируется локально с первым порядком по шагу пространственной сетки Н , а аппроксимация уравнения неразрывности и локальном смысле отсутствует. Тем не менее в некоторой "негативной" норме погрешность аппроксимации уравнения неразрывности есть О(Л) Кроме того в [А.В.Соловьев, В.Ф.Тишкин, Л.П.Фаворский и др.] показано, что уравнение неразрывности аппроксимируется в некотором глобальном смысле, а именно: масса газа в произвольном фиксированном объеме изменяется за счет потока через границу объема с точностью 0(/г) .

Содержание диссертации.

Во введении сформулированы проблемы математического моделирования на нерегулярных сетках, дан краткий анализ текущего состояния проблемы и обзор литературы, кратко изложено содержание диссертации.

Глава I посвящена формулировке и описанию математического аппарата метода опорных операторов, а также построению и исследованию алгебраических свойств разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона на классических решениях.

В §1.1 приводятся необходимые для дальнейшего изложения сведения о соболевских пространствах и обобщенных решениях эллиптических уравнений. Даются формулировки некоторых теорем вложения. Формулируются основные теоремы, используемые в дальнейшем при получении оценок точности разностных схем метода опорных операторов на обобщенных решениях: георемы Кальдерона и Жиро, теорема об эквивалентности фактор-нормы //к+1/Я, и полунормы Нк+] .

В §1.2 описывается разностная сетка и пространства сеточных функций.

В §1.3 даются основные понятия о методе опорных операторов в виде, удобном для последующего изложения.

Рассматривается уравнение Пуассона в ограниченной области О переменных (х^х^) , которое интерпретируется как стационарное уравнение теплопроводности. В области 0 вводится сетка, состоящая из узлов, образованных ими ячеек-многоугольников и граней

сторон ячеек. Относительно взаимного расположение узлов никаких предположенй не делается. Метод опорных операторов рассматривается в канонической форме, когда сеточная функция температур относится к ячейкам сетки, а сеточная функция тепловых потоков к граням. Такая дискретизация физических полей позволяет естественным образом ввести разностный оператор DIV и аппроксимировать уравнение баланса тепла. Для применения метода опорных операторов пространство векторных сеточных функций

снабжается скалярным произведением ( аппроксимирующим

•

интегралы вида (p,q)dV ). Вводится метрический оператор 'S , на О

который накладываются ограничения 3^1 s § ■= §* < y^l Использование разностного аналога . интегрального тождества (1) позволяет ввести разностный оператор GRAD , который формально сопряжен оператору -D1V в смысле скалярного произведения <*,•) . Кроме того вводятся разностные операторы ROT и ROT* , такие что DIV ROT = О, ROT* GRAD = 0 .

В §1.4 вводятся проекторы из пространств функций непрерывного аргумента в пространства сеточных функций. Обсуждается вопрос о классификации и описании проекторов в терминах их моментов.

В §§1.5-1.7 доказывается несколько теорем вложения для сеточных пространств. Под теоремами вложения для сеточных функций как правило понимают оценки вида

11Л11 * (3).

с константой М, не зависящей от функции F и сетки из некоторого рассматриваемого семейства . Здесь (| • || , fl-fl сеточные аналоги норм некоторых соболевских пространств Н5 и Н2 . Однако, возможна ситуация, когда вложение И^ в 3t2 не имеет места. Тем не менее оценки вида (3) для. сеточных функций справедливы с модификацией М = M(h) . Например, слабое вложение ( weak imbedding ) сеточных

rr2 гОЭ

пространств //Q в L не имеет аналога в континуальном случае.

. В §1.5 получен разностный аналог интегрального представления

О

функций из #¡¡(0) , на базе которого строится кусочно-постоянная функция непрерывного аргумента, совпадающая в ячейках с исходной сеточной функцией. В дальнейшем оценивается норма именно этой

функции в Лр, которая равна соответствующей сеточной норме исходной функции. В §1.6 показано, что имеют место вложения

сеточных пространств в Я?! при 1 5 р <■ «> , а в §1.7 показано

со 2 1/2

слабое вложение Ь в //* с константой М к |1п/г| .

Глава II посвящена исследованию сходимости разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона на классических решениях.

В §2.1 исследуются вопросы сходимости разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона на геометрическом уровне. Цель этого исследования - сформулировать условия сходимости рассматриваемых разностных схем и показать их естественность. При этом предполагается достаточная гладкость решения исходной дифференциальной задачи.

Результаты этого исследования можно сформулировать следующим образом. Разностная дивергенция , ошибки вычисления потоков равна нулю. Следовательно эта ошибка есть разностный ротор некоторой сеточной функции ^ . Функция £ удовлетворяет уравнению вида

ROT'ROTC = - ROT(ngrad«) , (4)

где ROT, ROT* - разностные аналоги оператора rot; П - проектор, преобразующий векторные функции непрерывного аргумента в сеточные векторные функции.

Разлагая правую часть этого уравнения в окрестности соответствующего узла, получаем

ROT(ngradu) = А .ы. + /lik«ik + ...

о

где и. = ди/дх. , и., = д и/дх.дх, , ... ; • 1 iik 1 к

А. - разностный аналог интеграла о dx. = 0 ,

- разностный аналог интеграла о (х.^йх^ + д^ах.) = 0 .

Таким образом, отличие от нуля правой части уравнения (4) обусловлено рассогласованием между разностным ротором и проекцией на сетку потенциального векторного поля. Очевидно, что чем больше коэффициентов А , Л.к , ... обратится в ноль, тем меньше будет £

и соответственно выше точность вычисления потоков.

Коэффициенты А. , А-к , ... определяются моментами проектора П, т.е. геометрическими характеристиками сетки , и метрическим оператором <3 , задающим скалярное произведение в пространстве векторных сеточных функций. Если ограничиться рассмотрением только А■ , то геометрические свойства сетки сводятся к ориентированным площадям s граней, и задача состоит в построении оператора § по этим площадям так, чтобы А. =0 для всех узлов сетки, и выяснения, какая точность вычисления потоков при этом достигается.

Оказывается однако, что условие А. =0 недостаточно для сходимости разностных схем. Необходимо дополнительно потребовать, чтобы разностные аналоги дифференциалов йх , которые суть 5s. , были согласованы с размерами ячеек.

Вводится разложение пространства сеточных векторных функций в ортогональную прямую сумму подпространств потенциальных и вихревых полей, таким образом, что ошибка вычисления потока является вихревой функцией.

Ошибка вычисления самой температуры z удовлетворяет уравнению

DIVGRAD2 = DIVt) , (5)

где D1V и GRAD - разностные аналоги соответствующих дифференциальных операторов. Если выполнены вышеупомянутые условия, то величина 7) есть О (/г), и устанавливается оценка для z в энергетической норме !21А = О(Л) . Оказывается, тот факт, что ошибка в потоке есть вихревая функция, позволяет ослабить эти условия и, при выполнении некоторых условий, показать сходимость при г? = 0{1).

В §2.2 устанавливается, что полученные в §2.1 условия сходимости в ряде случаев связаны с аппроксимацией интегралов

(р, q)dV по ячейкам сетки билинейными формами ёа1,Ра^Ь

Формулируются соответствующие условия аппроксимации, связывающие матричные элементы gab метрического оператора с геометрическими характеристиками сетки.

В §2.3 для треугольных и четырехугольных ячеек построены семейства билинейных форм ( метрических операторов ), удовлетворяющих сформулированным в §2,1-2.2 критериям. Это семейство содержит три свободных параметра на каждую треугольную и шесть на каждую четырехугольную ячейку.

Глава III посвящена исследованию сходимости разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона на обобщенных решениях.

Основная идея этого исследования состоит в следующем. Пространство векторных сеточных функций Н расщепляется в ортогональную прямую сумму подпространств Л © 2 таким, образом, что подпространство d содержит функции вида X = GRADf , а подпространство S - функции такие, что D1V6 = 0 При таком расщеплении разностный градиент ошибки температур лежит в d, а ошибка потока лежит в 2. Следствием этого обстоятельства является тот факт, что разностное решение минимизирует ошибку потоков в подпространстве J.

В §3.1 показано, что если выполнены условия сходимости, сформулированные в главе И, то можно указать сеточную функцию из А , отклоняющуюся на 0(h) от спроектированного на сетку решения исходной дифференциальной задачи, которое предполагается

о

элементом соболевскогр пространства !1 (в).

В §3.2 исследуется сходимость разностных схем метода опорных операторов относительно "температуры" . Рассматривается первая краевая задача для уравнения Пуассона. Показано, что если выполнены указанные выше условия, то имеет место сходимость со скоростью 0(h) в энергетической норме. Более того, используя разложение Н = d ® S можно в ряде случаев ослабить условия сходимости.

■ В §3.3 рассматриваются вопросы аппроксимации интегралов

in лМ!/ ^илинрйнымн гЬппмями a ,

о Ч

при условии р, ц € Н или ¡1 . Устанавливаются условия аппрок симации первого и второго по /г порядка точности.

В §§3.4-3.6 рассматривается альтернативный подход к получения априорных оценок точности разностных схем метода опорных операторов в ¿р - нормах ( 1 < р < со ) при тех же требованиях к гладкости решения исходной дифференциальной задачи. Получение соответствующих оценок опирается на разностный аналог леммы Обена - Нитше, который устанавливается. в §3.4 .

В §3.5 на базе разностного аналога леммы Обена - Нитше показывается сходимость разностных схем метода опорных операторов в L? - нормах для сеток специального вида, а именно состоящих из треугольных и параллелограммных ячеек.

В §3.6 аналогичный результат доказывается для произвольных сеток. При этом на метрический оператор накладываются более жесткие требования, чем в §3.5.

В §3.7 исследуется сходимость разностных схем метода опорных операторов для осесииметричного уравнения Пуассона на обобщенных решениях. устанавливаются условия сходимости, для треугольной сетки строится метрический оператор, удовлетворяющий этим условиям.

Глава IV посвящена построению и исследованию разностных схем метода опорных операторов на нерегулярных сетках для уравнений линейной стационарной теории упругости. Искомой функцией является вектор смещения частиц деформируемого упругого тела. При этом сеточная функция смещений отнесена к узлам расчетной сетки.

В связи с этим в §4.1 предварительно рассматриваются разностные схемы метода опорных операторов для уравнения Пуассона в варианте, когда сеточная функция "температур" определена в узлах сетки. В этом случае в качестве опорного оператора естественно принять оператор grad . Сформулированы условия сходимости на обобщенных решениях. Эти условия по своему смыслу полностью аналогичны условиям полученным в главах II, III, для случая, когда в качестве опорного брался оператор div. Они имеют характер связей между метрическим оператором и геометрическими характеристиками сетки. Каждому ребру сетки ставится в соответствие присоединенная поверхность. Ориентированные площади этих • поверхностей получаются действием метрического оператора на сеточную функцию векторов, соединяющих соседние узлы. Условие сходимости состоит в том, чтобы:

а) построенные вокруг каждого узла присоединенные поверхности

ограничивали некоторый домен,

Ь) правые части разностных уравнений суть интегралы по этим доменам правой части уравнения Пуассона.

В §4.2 приводятся результаты тестовых расчетов двух краевых задач для уравнения Пуассона на сетках различных типов.

В §4.3 рассматриваются стационарные уравнения линейной теории упругости, для которых строится семейство разностных схем метода опорных операторов. Скалярное произведение в пространстве тензорных сеточных функций - компонент тензора деформаций выбирается согласованно с энергией деформированного тела.

В §4.4 формулируются критерий сходимости, построенных в §4.3 разностных схем, и условия аппроксимации введенным скалярным произведением соответствующей континуальной билинейной формы. Построены метрические операторы, удовлетворяющие этим условиям.

В §4.5 устанавливается разностный аналог первого неравенства Корна. .

Главы У-У1 посвящены исследованию полностью консервативных разностных схем для уравнений лагранжевой газовой динамики в двумерной плоской геометрии. Рассматриваются разностные схемы как на сетках с фиксированной топологией, так и на свободно-лагранжевых сетках с областями соответствия - ячейками Дирихле. Несмотря на различия в деталях, указанные схемы обладают рядом общих свойств.

Во-первых, эти схемы полностью консервативны, т.е,. не обладают схемной диссипацией энергии.

Во-вторых, эти схемы не аппроксимируют уравнений газовой динамики (в акустическом приближении). Точнее, разностные схемы с фиксированной топологией не аппроксимируют уравнения движения жидких частиц, а разностные схемы на свободно-лагранжевых сетках не аппроксимируют уравнение неразрывности. В силу бездиссипатив-ности- этих схем отсутствует и сходимость в энергетической норме.

В-третьих, и в том и в другом случае главный член погрешности аппроксимации = 0(1) имеет специальный "градиентный" ("дивергентный") вид, причем "градиеитом" ("дивергенцией") стоит сеточная функция = 0(/г). Это означает, что действие этих членов на связное множество узлов носит поверхностный характер и приводит к возбуждению коротковолновых возмущений. Это обстоятельство позволяет показать сходимость этих схем в более

слабых, чем энергетическая, нормах.

В-четвертых, отсутствие в разностных схемах численной диссипации энергии и наличие значительных паразитных возмущений, связанных с погрешностью аппроксимации, приводит к необходимости введения в уравнения искусственной диссипации. Для эффективного подавления этих возмущений искусственные диссипаторы должны быть согласованы со структурой главного члена погрешности аппроксимации.

В главе V рассматривается семейство разностных схем с ячеисто-узловой дискретизацией, которая предполагает, что часть переменных (координаты и скорости жидких частиц) отнесена к узлам сетки, другая часть (термодинамические величины: плотность, давление,...) - к ячейкам-многоугольникам,. образованным узлами сетки.

Основное внимание сосредоточено' на вопросах аппроксимации полностью консервативных разностных схем. Более . точно, исследуется только пространственная аппроксимация, поэтому дискретизация по времени не проводится и рассматриваются дифференциально - разностные схемы.

Так как на произвольных сетках в семействе традиционных полиостью консервативных разностных схем не содержится схем, аппроксимирующих уравнения движения жидких частиц, необходимо расширение указанного семейства. Возможные пути такого расширения:

a) увеличить количество свободных параметров полностью консервативных разностных схем (мультиплетное число термодинамических степеней свободы; масса узла - не скаляр, а тензор, зависящий от конфигурации сетки).

b) воспользоваться специальным видом погрешности аппроксимации и ввести в уравнения искуственные диссипаторы, эффективно подавляющие возмущения, связанные с погрешностью аппроксимации.

В §5.1 дается описание полностью консервативных вариационно-разностных схем для уравнений лагранжевой газовой динамики и их акустического приближения.

В §5.2 рассматриваются вопросы аппроксимации указанными разностными схемами уравнений акустики. Показано, что уравнение неразрывности аппроксимируется с первым порядком точности на произвольных сетках, а уравнение движения, вообще говоря, нет. Получен критерий аппроксимации уравнения движения: для

проксимации необходимо и достаточно, чтобы движения, храняющие объемы всех ячеек, имели нулевой импульс. Если сетка тырехугольная, то имеющихся свободных параметров схемы достаточно, чтобы удовлетворить этим условиям.

В §5.3-5.4 для двумерных уравнений газовой динамики в гранжевых переменных построены разностные схемы с тензорными [ссами узлов и показана их полная консервативность.

В §5.5 рассмотрен вопрос об инвариантности полученных

зностных схем относительно преобразования Галилея. Показано,

о инвариантность будет иметь место, если существует "потенциал

1сс" Л., такой что 1

ЭЛ.

"¡к.ы = ЗхГ„

к, Ы

е т.к ц - тензорная масса узла и, хк у - координаты узла и. В рминах "потенциала масс" условие аппроксимации гласит: тенциал Л. постоянен на движениях, сохраняющих объемы всех еек.

В §5.6-5.8 рассматривается альтернативный подход к

строению сходящихся (в акустическом приближении) полностью

нсервативных разностных схем лагранжевой газовой, динамики.

"правной точкой служит представление главного члена погрешности

проксимации уравнения движения '= 0(1) в "градиентном" виде.

)авмльнёе было бы сказать, что погрешность аппроксимации имеет

очти вихревую" структуру, так как она "почти ортогональна" (в

тегральном смысле) всем потенциальным сеточным функциям. Здесь

I, однако, опираемся не на физическую интерпретацию, а на

фмальную структуру соответствующей конструкции. Смысл терминов,

ятых в кавычки, будет раскрыт в указанных параграфах.

радиентность" означает, что результирующая сил, действующих со

ороны ячейки на ее вершины-узлы, равна нулю. Следовательно,

ла, действующая на связное множество N узлов имеет

верхностный характер и, нормированная на единицу массы, убывает - 1 /2

к N . Это в свою очередь означает, что движения, вызываемые ими силами носят хаотический характер и содержат в основном ротковолновые возмущения. Так как в полностью консервативных зностных схемах нет численной диссипации эти возмущения не

могут быть подавлены и следует констатировать, что такие схемы не обеспечивают сходимость, если отсутствует локальная аппроксимация. Ясно, что диссипативные члены, вводимые в уравнения для подавления этих коротковолновых возмущений, должны быть согласованы с погрешностью аппроксимации, точнее со структурой ее главного члена. Действительно, так как погрешность аппроксимации и вызываемые ей движения имеют "почти вихревой" характер, т.е. не изменяют объемов ячеек, то очевидно подавить их скалярной вязкостью (добавкой к давлению) , пропорциональной дивергенции скорости, невозможно.

В §5.6 устанавливается, что погрешность аппроксимации уравнения движения имеет "почти вихревой" вид, что позволит показать сходимость разностных схем относительно давлений.

В §5.7 рассматривается структура главного члена погрешности аппроксимации и устанавливается его явный "градиентный" вид.

В §5.8 предлагается искусственный диссипатор для подавления главного члена погрешности аппроксимации и показана сходимость соответствующих разностных схем в энергетической норме сс

1 /9

скоростью О (Л ). Построена нелинейная консервативная разностная схема с предложенными диссипаторами.

Глава VI посвящена исследованию сходимости полностью консервативных разностных схем для уравнений газовой динамики i двумерной плоской геометрии на свободно-лагранжевых сетках. Рассматривается случай, когда областью соответствия узла являете? его ячейка Дирихле.

Как уже отмечалось, в этом случае уравнение движения узло! аппроксимируется локально с первым порядком по шагу пространственной сетки h , а аппроксимация уравнения неразрывности i локальном смысле отсутствует. Идея доказательства сходимости ] негативной норме состоит в представлении главного член; погрешности аппроксимации уравнения неразрывности, имеющеп порядок 0(1) , в "дивергентном" виде, при этом поток, стоящий noj "дивергенцией", имеет порядок 0(h) . "Дивергентность" в даннов случае означает, что сумма "дивергентных" слагаемых по связном; множеству узлов сводится к сумме по границе этого множества. В т< же время такая "дивергенция" (в кавычках) не имеет ничего общеп с дивергенцией, фигурирующей в разностном уравнени: неразрывности. Однако из того, что главный член погрешност:

ппроксимации имеет специальный "дивергентный" вид не следует ходимость в какой-либо "сильной" норме (например, в яергетической). Тем не менее можно показать, что имеет место ходимость к решению дифференциальной задачи в некоторой егативной норме. На качественном уровне это означает, что ошибка меет "дивергентный" вид и разностное решение осциллирует около проектированного на сетку решения дифференциальной задачи. При гом "амплитуда осцилляций", вообще говоря, есть 0(1), а шплитуда" сеточной функции под "дивергенцией" есть 0(h). сдавить эти осцилляции можно вводя в схему искусственную язкость порядка 0(h). Тогда решение разностной задачи будет ходится к решению исходной дифференциальной со скоростью íhX/'\

В §6.1 описывается семейство полностью консервативных азностных схем на свободно-лагранжевой сетке с областями эответствия - ячейками Дирихле и и исследуется вопрос об ппроксимации этими схемами уравнений акустики.

В §6.2 установлен вид главного "дивергентного" члена ошибки ппроксимации уравнения неразрывности и показывается сходимость кустического приближения рассматриваемых разностных схем в егативной норме.

В §6.3 разностные уравнения модифицируются, путем добавления иссипативных членов, таким образом, чтобы получить сходящуюся i акустическом приближении) разностную схему.

Глава VII посвящена математическому моделированию в ряде рикладных задач с использованием описанных выше вычислительных лгоритмов.

В §7.1 рассматривается задача о взаимодействии сильноточного елятивистского электронного пучка ( РЭП ) с плазмой, кспериментальные исследования по использованию мощных РЭП для елей нагрева плотной плазмы привели к необходимости теоретически смыслить и развивать новый раздел физики высоких плотностей нергии - взаимодействие сильноточных пучков заряженных частиц с еществом. Особенностью, отличающей эту область, является сильное братное воздействие плазменной среды на траектории движения аряженных частиц пучка, проявляющееся на макроскопическом уровне форме-"эффекта аномального энерговклада".

Для указанного класса физических задач построена

математическая модель и разработаны вычислительные алгоритмы для ее исследования. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными показывает, что теоретические представления о трехкомпонентной плазменной системе (электрон-ионная плазма и газ "горячих" релятивистских электронов) отражает основные особенности реального процесса, а разработанные математические модели и методики расчетов на ЭВМ дают возможность получить практически весь объем физически интересной информации.

В §7.2 рассматривается термоядерная модель взрыва Сверхновой. Развитие теории этого явления - актуальное направление в астрофизике, которому посвящено большое количество работ, в том числе и с использованием расчетов на ЭВМ.

В настоящей работе учитывается вращение звезды, что делает задачу существенно двумерной. Предполагается, что в результате развития тепловой неустойчивости в центре звезды формируется детонационная волна, которая затем распространяется к периферии. Так как волна выходит на подающий профиль плотности возможен как нормальный ( Чепмена - Жуге ), так и пересжатый режим ее распространения.

Ширина зоны горения в детонационной волне, во всяком случае в центральных областях звезды, много меньше каких-либо приемлемых размеров ячеек расчетной сетки. Поэтому использовать истинную кинетику ядерных реакций не представляется возможным. Предложен метод расчета детонационных волн по однородным схемам.

Проведенные расчеты показали, что вращение звезды может привести к нетривиальной (по сравнению с одномерным случаем) картине разлета остатков Сверхновой и позволили высказать гипотезу о частичном затухании детонационной волны в окрестности оси вращения.

В §7.3 рассматриваются вопросы численного моделирования геотермальных станций. Уравнения подземной гидродинамики в коллекторах рассматриваются в двумерной геометрии (в плоскости коллектора), а уравнение теплопроводности (с учетом конвективного переноса в коллекторах) в трехмерной постановке. Приведены качественные оценки режима функционирования такой станции.

В Приложения вынесены выкладки, имеющие вспомогательное значение и затруднившие бы чтение основного текста.

В заключении суммированы результаты работы.

Публикации по теме диссертации.

. Самарский A.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. -Минск, 1996.

!. Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. Об аппроксимации дифференциальных операторов на неортогональных сетках. // Дифф.уравнения, 1983, т.19, №7, с.1235-1245.

I. Колдоба A.B., Кузнецов O.A., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. Об аппроксимации процессов переноса на неортогональных сетках. -Препринт ИПМ АН СССР, 1984, №66.

L Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. Об одном алгоритме решения уравнения теплопроводности на неортогональных сетках. // Дифф.уравнения, 1985, т.21, №7, с.1273-1276.

I. Колдоба A.B., Кузнецов O.A., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. О сходимости разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона. - Препринт ИПМ АН СССР, 1987, №85.

». Колдоба A.B., Кузнецов O.A., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П., Самарский A.A. Полностью консервативные разностные схемы для уравнений механики сплошной среды в квазилагранжевых переменных при наличии гравитационных и магнитогидродинамическйх процессов. - Препринт ИПМ АН СССР, 1985, №55.

'. Колдоба A.B., Кузнецов O.A., Повещенко Ю.А. Исследование сходимости разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона на обобщенных решениях. - Препринт ИПМ АН СССР, 1989, №125.

I. Денисов A.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А. О сходимости разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона на обобщенных решениях. - Препринт ИПМ АН СССР, 1988, №46.

Денисов A.A., Колдоба A.B., Повещенко. Ю.А. О сходимости разностных схем метода опорных операторов для осесимметрич-ного уравнения Пуассона на обобщенных решениях. - Препринт ИПМ АН СССР, 1988, №192.

. Денисов A.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А. О сходимости разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона на обобщенных решениях. //ЖВМ и МФ, 1989, т.29, №3, с.371-381.

. Денисов A.A., Колдоба А!В., Повещенко Ю.А. О сходимости

разностных схем метода опорных операторов для осесимметрич-ного уравнения Пуассона на обобщенных решениях. //ЖВМ и МФ, 1990, т. 30, №10, с. 1477-1486.

12. Дремов O.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А. Исследование разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона на нерегулярных сетках. - Препринт ИПМ АН СССР, 1989, №114.

13. Дремов O.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А. Разностные аналоги

некоторых теорем вложения на нерегулярных сетках. - Препринт ИПМ АН СССР, 1990, №77.

14. Дремов O.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А. Сходимость

разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона в ¿р- нормах,- Препринт ИПМ АН СССР, 1991, №17.

15. Дремов O.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А. Исследование разностных схем метода опорных операторов. //ЖВМ и МФ, 1992, т. 32, №9, с. 1433-1446.

16. Колдоба A.B., Кузнецов O.A., Повещенко Ю.А. Исследоваю аппроксимации разностных схем для уравнений акустики нг произвольных сетках. - Препринт ИПМ АН СССР, 1990, №119.

17 Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Самарский A.A., Симус Н.А, Разностные схемы метода опорных операторов для линейны? стационарных уравнений теории упругости. - Препринт ИММ РАН, 1996, №3.

18. Горев В.В., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П., Рудаков Л. И. Численное моделирование прохождения сильноточного пучка релятивистских электронов . чере; вещество. - Препринт ИПМ АН СССР, 1978, №102.

19. Горев В.В., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Попов С.Б., Попо!

Ю.П., Рудаков Л. И. Нагрев и гидродинамический разлег вещества при поглощении сильноточного релятивистского пучк; электронов. - Препринт ИПМ АН СССР, 1980, №132.

20. Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Попов С.Б., Попов Ю.П Численное моделирование динамики нагрева и разлета веществ; при поглощении сильноточного релятивистского пучк< электронов. //Дифф. уравнения, 1980, т.XVI, №7, с. 1235-1244.

21. Горбулин Ю.М., Горев В.В., Григорьев С.Ф., Злотников ДМ. Знаменская И.А., Калинин Ю.Г., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А. Попов Ю.П., Попов С. Б., Рудаков Л. И., Самарский A.A.

Скорюпин В. А., Шашкоз А.Ю. Исследование взаимодействия сильноточного релятивистского электроного пучка с веществом (эффект аномального энерговклада). - Препринт ИПМ АН СССР, 1984, №113.

2. Горев В.В., Григорьев С.Ф., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П., Попов С. Б., Рудаков Л. И., Самарский А. А. Математическое моделирование взаимодействия сильноточного релятивистского электроного пучка с веществом. // Физика плазмы, 1985, т.11, вып.7, с.787-796.

3. Денисов А.А., Колдоба А.В., Новикова Е.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Расчет детонационных волн с модельным уравнением кинетики горения. - Препринт ИПМ АН СССР, 1987, №124.

4. Денисов А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Попов 10.П., Чечеткин В.М. Роль вращения в термоядерной модели взрыва Сверхновой. - Препринт ИПМ АН СССР, 1986, №99.

5. Chechetkin V.M., Denisov A.A., Koldoba A.V., Poveschenko Yu.A., Popov Yu.P. Asymmetric ejection of matter in a thermonuclear model of supernova explosion. - Proceedings of the 101st Colloquim International Astronomical Union,' 1987, Penticton, British Columbia.

Основные результаты работы.

Разработан новый математический аппарат для построения и следования разностных схем метода опорных операторов на оизвольных нерегулярных сетках, позволивший расширить указанное мейство схем и дать их теоретическое обоснование. Введено нятие' метрического оператора, выбор которого определяет нкретную схему, из указанного класса. Получены разностные алоги некоторых теорем вложения на нерегулярных сетках, тановлен критерий сходимости в энергегтической норме разностных ем метода опорных операторов для уравнения Пуассона на оизвольных нерегулярных сетках как на классических, так и на общенных решениях со скоростью 0(/г) и построено семейство одяшихся разностных схем.

Показано, что аналогичный критерий гарантирует сходимость

разностных схем метода опорных операторов для стационарны: уравнений линейной теории упругости на нерегулярных сетках Построено семейство сходящихся разностных схем. Показано, что пр1 выполнении условий сходимости имеет место разностный анало первого неравенства Корна.

3. Исследована сходимость полностью консервативных разноспш. схем газовой динамики на лагранжевых и свободно-лагранжевы: сетках в акустическом приближении в различных нормах. Предложен! искусственные диссипаторы, гарантирущие сходимость этих схе! также и в энергетической норме. Построены полностью консерватив ные разностные схемы с тензорными массами узлов, зависящими о конфигурации сетки, проведено их теоретическое исследование.

4. Проведено математическое моделирование в задачах механики : электродинамики сплошной среды: взаимодействия сильноточного ре лятивистского электронного пучка с плазмой; взрыва сверхновой детонационном термоядерном режиме; подземного массотеплопереноса.