автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Кинетически-согласованные разностные схемы для расчета газодинамических течений на криволинейных сетках и сетках нерегулярной структуры

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова

На правах рукописи

Жохова Алла Викторовна

УДК 519.63

КИНЕТИЧЕСКИ-СОГЛАСОВАННЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ НА КРИВОЛИНЕЙНЫХ СЕТКАХ И СЕТКАХ НЕРЕГУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЫ

Специальность 05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В Ломоносова и в Институте математического моделирования РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Б.Н.Четверушкин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Ф.Тишкин

в Московском государственном университете по адресу: 119899, Москва, Воробьёвы Горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВМиК МГУ.

доктор физико-математических наук, профессор Ю. Д.Шевелев

Ведущая организация: Московский физико-техиический

институт

"¿У " МОиРа.. 1998

Автореферат разослан". М - 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

Говоров В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность. В последнее время интенсивно развивается новое направление в науке — вычислительная гидродинамика. Многие современные проблемы, стоящие перед наукой и техникой в той или иной мере связаны с решением уравнений газовой динамики. Полное решение большинство актуальных задач аэродинамики и, прежде всего, получение количественных характеристик предполагает использование новейших численных методов и их реализацию на быстродействующих вычислительных машинах.

Одним из численных алгоритмов, используемых для моделирования течений вязкого теплопроводного газа, являются кинетически-согласованные разностные схемы (КСРС). В отличии от традиционных подходов, в которых вычислительныё алгоритмы для расчета газодинамических течений строятся на основе полной или определенным образом упрощенной системы уравнений Эйлера и Навье-Стокса, кинетически-согласованные разностные схемы учитывают тот факт, что сами уравнения гидродинамики могут быть получены как следствие более сложного уравнения переноса для одночастичной функции распределения.

В последнее время на основе КСРС были получены результаты моделирования различных течений вязкого сжимаемого газа, течений умеренно разреженного газа, задач аэроупругости и аэроакустики. Кинетически-согласованные разностные схемы показали свою эффективность при решении задач газовой динамики. Однако, эти схемы ранее использовались для расчетов на прямоугольных декартовых сетках. Это исключало возможность исследования с помощью КСРС ряда гидродинамических задач в областях, форма границы которых отличалась от прямолинейной. В связи с этим возникает необходимость обобщения процедуры построения КСРС на случай криволинейных сеток и сеток нерегулярной структуры.

При построении КСРС на прямоугольных сетках свободно-молекулярный перенос осуществляется не по направлению вектора скорости молекул, а по х- и у-составляющим данного вектора. Такое рассмотрение не вполне корректно, так как сужает область влияния функции распределения, заданной в конкретной точке. При обобщении кинетической модели для функции рас-

пределения, кусочно-постоянной по пространству в двумерном случае, более правильно было бы проводить разбиение области не на прямоугольные ячейки, а на ячейки, грани которых ортогональны локальному вектору скорости. Но из этого следует, что сетка должна быть адаптивной к решению, то есть перестраиваться в зависимости от направления вектора скорости. Очевидно, что такого типа адаптация разностной сетки к решению осложняет расчет. Альтернативным подходом является применение сеток нерегулярной структуры, позволяющих более точно учесть направление скорости и более полно описать влияние функции распределения в конкретной ячейке на соседние области.

В тоже время, неструктурированные сетки позволяют при той же ошибке аппроксимации решения дифференциальной задачи использовать меньше узлов по сравнению со структурированными сетками и точнее рассчитывать реальные газодинамические течения.

Целью диссертации является обобщение кинетического подхода построения разностных схем для расчетов газодинамических течений на криволинейных сетках и сетках нерегулярной структуры. Моделирование течений вязкого теплопроводного газа около тел с криволинейной границей.

Научная новизна

— рассматривается один из возможных подходов к построению КСРС в обобщенной системе координат, а именно запись квазигазодинамической системы уравнений в строго консервативной форме и дальнейшая центрально-разностная аппроксимация обобщенных потоков;

— проведено построение КСРС в обобщенной криволинейной системе координат, основанное на методе расщепления вектора потока для уравнения Больцмана, записанного в строго консервативной форме. Такой подход к построению КСРС в обобщенной системе координат позволяет обойти сложности, которые возникают при осреднении схемы с направленными разностями для уравнения Больцмана, записанного в произвольной системе коор-

динат и позволяет получать КСРС непосредственно из разностной аппроксимации уравнения Больцмана;

— на основе аппроксимации уравнения переноса для функции распределения на нерегулярной сетке получена система разностных уравнений для определения макроскопических газодинамических величин, которую можно рассматривать как обобщение уравнений Эйлера для численных расчетов на нерегулярной треугольной сетке. Нерегулярность сетки позволяет учитывать большее число направлений молекулярных скоростей при моделировании газодинамических течений;

— получена система разностных макроскопических газодинамических уравнений для описания течений вязкого теплопроводного газа на нерегулярной расчетной сетке. В отличии от КСРС для невязких течений в данной системе присутствует разностная аппроксимация диссипативных потоков. Для аппроксимации производных, стоящих в выражениях вязких потоков, рассматривается дополнительная расчетная ячейка, являющаяся четырехугольником, состоящим из двух треугольников с общей стороной;

— построены КСРС с коррекцией для расчетов на нерегулярной сетке, где потоки вычисляются по формулам, не вносящим дополнительной искусственной сдвиговой вязкости в численное решение, что позволяет более точно моделировать течения вязкого теплопроводного газа;

— рассмотрены задачи стационарного вязкого сверхзвукового обтекания двумерных тел, в том числе и в областях со сложной геометрией, для которых, собственно, и разрабатываются схемы на неструктурированных сетках.

Практическая ценность

— построены монотонные консервативные однородные разностные схемы для расчетов на криволинейных сетках и сетках нерегулярной структуры, которые могут быть использованы при численном решении широкого класса газодинамических задач;

— приведен полный вид разностной системы уравнений для определения макроскопических газодинамических параметров,

записанной в потоковом виде. Такой вид записи разностной схемы упрощает ее программную реализацию на вычислительной технике, в том числе и на параллельных вычислительных комплексах. Тем самым, появляется реальная возможность моделирования течений вязкого теплопроводного газа на неструктурированных сетках с использованием высокопроизводительных параллельных вычислительных систем;

— на примере расчета сверхзвукового вязкого обтекания многокомпонентного крылового профиля показана возможность использования полученных в диссертации разностных схем для моделирования течений около тел сложной формы.

Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

— на международной конференции "Parallel CFD-96", (Италия, Капри, май 1996 г.);

— на конференции "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике ММТ'96", (г. Ижевск, февраль 1996 г.);

— на VII Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования", (пос. Абрау-Дюрсо, сентябрь 1997 г.).

Публикации. Список публикаций по теме диссертации включает 7 печатных работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Текст изложен на 125 страницах, диссертация содержит 40 рисунков. Список литературы включает 88 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации. Формулируются цели и задачи диссертации и приводится краткое содержание её глав.

Первая глава просвещена построению КСРС в обобщенной криволинейной системе координат в двумерном случае. Рассмотрен метод построения криволинейных сеток на основе решения сис-

темы эллиптических уравнений. Приведен вывод КСРС в обобщенной системе координат путем аппроксимации нулевого дифференциального приближения КСРС в декартовых координатах, а также методом расщепления вектора потока для кинетического уравнения Больцмана. Работоспособность данных схем проанализирована на примерах расчетов сверхзвуковых течений около тел различной формы.

В первом параграфе рассматривается задача построения криволинейной сетки в некоторой ограниченной многосвязной области, лежащей на плоскости. Математически эта задача соответствует нахождению однозначного преобразования физического пространства к пространству обобщенных криволинейных координат так, чтобы искривленная в физическом пространстве область отобразилась на прямоугольную в обобщенных координатах и при этом, граница обтекаемого тела совпала с координатными линиями в расчетной области.

При решении граничной задачи для определения положения внутренних точек сетки используется метод решения системы эллиптических уравнений. Такой способ построения сетки имеет ряд преимуществ: во-первых, сетка изменяется гладко, даже если граница области имеет излом; во-вторых, решение эллиптических уравнений удовлетворяет принципу максимума, что гарантирует однозначность решения, и наконец, этот способ позволяет лучше контролировать сгущение сетки во внутренних точках области.

Дискретизация системы эллиптических уравнений с помощью центральных разностей приводит к нелинейной алгебраической системе уравнений. Для ее решения применяется метод простой итерации. В зависимости от граничных условий, замыкающих систему разностных уравнений, получено два типа сеток: О-сетки и С-сетки.

Во втором параграфе рассматривается один из возможных подходов к построению КСРС в обобщенной системе координат, а именно запись квазигазодинамической системы уравнений в строго консервативной форме и дальнейшая центрально-разностная аппроксимация обобщенных потоков.

Третий параграф дает понятие о методе расщепления вектора потока. В основу данного метода положено представление вектора потока в виде суммы векторов, представляющих собой

произведение расщепленной матрицы Якоби вектора потока на вектор неизвестных. Под расщепленной матрицей Якоби понимается сумма двух матриц, имеющих, соответственно, положительные или отрицательные собственные значения, дающие в сумме собственные значения матрицы Якоби. Рассмотрен метод векторного расщепления потока для одномерного уравнения переноса и гиперболической системы уравнений.

Четвертый параграф посвящен построению КСРС в обобщенной системе координат, основанному на методе расщепления вектора потока для уравнения Больцмана, записанного в строго консервативной форме. Такой подход к построению КСРС в обобщенной системе координат позволяет обойти сложности, которые возникают при осреднении схемы с направленными разностями для уравнения Больцмана, записанного в произвольной системе координат, и позволяет получать КСРС непосредственно из разностной аппроксимации уравнения Больцмана.

В пятом параграфе приведены результаты расчетов некоторых двумерных задач при различных числах Маха в невязкой постановке с использованием сеток, построенных по методике из первого параграфа.

Во второй главе рассматривается построение кинетически-согласованного алгоритма для расчета газодинамических течений на нерегулярных (треугольных) сетках в двумерном случае. На основе аппроксимации кинетического уравнения переноса схемой с направленными разностями на ячейке с произвольным числом граней построена кинетически-согласованная разностная схема и приведена дискретизация Навье-Стоксовских потоков для расчета газодинамических течений на треугольных сетках. Полученные схемы применены для расчета задач внешнего обтекания.

В диссертации не рассматриваются методы построения нерегулярных сеток, что само по себе является отдельной сложной проблемой. Внимание уделяется лишь обобщению КСРС для расчетов на сетках такого вида.

В первом параграфе рассмотрен алгоритм построения многоугольной расчетной ячейки около узла треугольной сетки. Данная ячейка является контрольным объемом для аппроксимации конвективного переноса при построении КСРС. Полученный в

этом параграфе контрольный объем не обязательно выпуклый многоугольник, но с большим числом граней. Это позволяет учитывать большее число направлений молекулярных скоростей при численном решении задач газовой динамики.

Во втором параграфе рассматривается аппроксимация уравнения переноса для функции распределения на нерегулярной сетке. Кинетический подход построения разностных схем состоит в том, что вначале проводится разностная аппроксимация уравнения переноса для одночастичной функции распределения, а затем осреднение полученного разностного уравнения с сумматорными инвариантами по скоростям молекул. Такого типа подход обеспечивает естественное обобщение разностной схемы для линейного уравнения переноса на систему нелинейных газодинамических уравнений. Получающийся при этом класс разностных схем зависит не только от конкретной аппроксимации уравнения переноса, но и от вида функции распределения. От функции распределения требуется, чтобы ее первые моменты совпадали с газодинамическими макропараметрами. В нашем случае рассматривается локально-максвелловская функция распределения. Моментная дифференциальная система уравнений для локально-максвелловской функции распределения есть система уравнений Эйлера. Нерегулярность сетки делает невозможной аппроксимацию производных по координатам, играющую центральную роль в традиционной теории разностных схем. В случае нерегулярной сетки уравнение переноса будем аппроксимировать интегро-интерполяционным методом по контрольному объему.

В третьем параграфе проводится кинетически-согласованная аппроксимация газодинамических уравнений. Интегрируя разностное уравнение переноса для локально-максвелловской функции распределения с сумматорными инвариантами по всем скоростям молекул, получим систему разностных уравнений для определения макроскопических газодинамических величин, которую можно рассматривать как обобщение уравнений Эйлера для численных расчетов на треугольной сетке. В третьем параграфе приведен полный вид данной системы, записанной в потоковом виде. Газодинамические потоки для невязких течений состоят из двух частей — полусуммы и искусственной (схемной) вязкости.

Такой вид записи разностной схемы упрощает ее программную реализацию на вычислительной технике.

В четвертом параграфе рассмотрена система разностных макроскопических газодинамических уравнений для описания течений вязкого теплопроводного газа на нерегулярной расчетной сетке. В отличии от КСРС для невязких течений в данной системе присутствует разностная аппроксимация диссипативных потоков. Вязкие составляющие потоков получены следующим образом. Тензор вязких напряжений записывается в локальной системе координат, полученной из исходной системы координат поворотом на угол наклона соответствующей грани ячейки. Далее, применяя теорему Остроградского к дивергенции тензора получим вязкие потоки, стоящие в разностных уравнениях движения. Для уравнения энергии проводим аналогичные действия, только вместо тензора вязких напряжений рассматриваем скалярную величину, представляющую собой диссипативную функцию в сумме с теплопроводностью.

Для аппроксимации производных, стоящих в выражениях вязких потоков, рассматривается дополнительный контрольный объем, являющийся четырехугольником, состоящим из двух треугольников с общей стороной.

Пятый параграф посвящен построению кинетически-согласованных разностных схем с.коррекцией. При расчете вязких газодинамических течений по кинетически-согласованным разностным схемам, построенным на основе аппроксимации уравнения переноса направленными разностями, толщина полученных модельных пограничных слоев, определяемая эффективной вязкостью, зависящей от шага пространственной сетки, а не от длины свободного пробега молекул, как правило, значительно превышает его истинную толщину. Для более точного описания течений вязкого теплопроводного газа используются схемы, где потоки вычисляются по формулам, не вносящим дополнительной искусственной сдвиговой вязкости в численное решение.

Основная идея получения КСРС с коррекцией состоит в следующем. Молекулярная скорость представляется как сумма макроскопической скорости и и тепловой скорости с. Тогда поток функции распределения представляется как сумма двух потоков функции распределения со скоростями и и с, соответственно.

В шестом параграфе в качестве иллюстрации данного подхода рассмотрены задачи стационарного вязкого сверхзвукового обтекания двумерных тел. Правомерность использования КСРС для расчетов газодинамических течений в значительной мере опиралась на сравнение результатов с экспериментальными данными и результатами расчетов по другим методикам.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты работы

— Получены кинетически-согласованные разностные схемы в обобщенной криволинейной системе координат в двумерном случае. Приведен вывод КСРС в обобщенной системе координат путем аппроксимации нулевого дифференциального приближения КСРС в декартовых координатах, а также методом расщепления вектора потока для кинетического уравнения Больцмана.

— Проведено обобщение алгоритма построения кинетически-согласованных разностных схем для расчета газодинамических течений на нерегулярных (треугольных) сетках в двумерном случае. На основе аппроксимации кинетического уравнения переноса схемой с направленными разностями на ячейке с произвольным числом граней построена кинетически-согласованная разностная схема и приведена дискретизация Навье-Стоксовских потоков для расчета газодинамических течений на треугольных сетках. Для более точного описания течений вязкого теплопроводного газа построены кинетически-согласованные схемы с коррекцией, где потоки вычисляются по формулам, не вносящим дополнительной искусственной сдвиговой вязкости в разностное решение.

— Проведены расчеты некоторых плоских двумерных задач при различных числах Маха в вязкой и невязкой постановке с использованием криволинейных сеток и сеток нерегулярной структуры. Результаты расчетов сопоставляются с решениями, полученными по другим методикам, что позволяет судить о точности аппроксимации.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Абалакин И.В., Жохоеа A.B., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы на нерегулярных сетках. — Математическое моделирование, 1997, т.9, № 7, с.44-53.

2. Абалакин И.В., Жохоеа A.B., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованный алгоритм для расчета газодинамических течений на треугольных сетках. — Математическое моделирование, 1998, т.Ю, № 4, с.51-60.

3. Абалакин И.В., Жохоеа A.B., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованная аппроксимация газодинамических уравнений на треугольных сетках. — Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, 1997, с. 1-4.

4. Абалакин И.В., Жохоеа A.B., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы на нерегулярных сетках. — Труды конференции "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике ММТ'96", Ижевск, 1996, с.21-31.

5. Абалакин И.В., Жохоеа A.B. Кинетически-согласованные разностные схемы в обобщенной системе координат в двухмерном случае. — М.: Препринт АО "Диалог-МГУ", 1997, № 3, с.1-16.

6. Абалакин И.В., Жохоеа A.B. Кинетически-согласованные схемы с коррекцией на треугольных сетках. — Дифференциальные уравнения. 1998, т.34, № 7, с.904-910.

7. Abalakin I.V., Antonov М.А., Chetverushkin B.N., Grau г I.A., Zhokhova A.V., Shilnikov E.V. One the opportunity of parallel implementation of the kinetical consistent finite difference schemes for gas d/namic flow simulation. — Parallel computational fluid dynamics. Algorithms and resultts using advanced computers, Elsevier, 1997, North- Holland, pp. 182-188.