автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирования течений жидкости и газа в каналах сложных геометрических форм на базе численного метода контрольного объема

На правах рукописи

Виноградова Ирина Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В КАНАЛАХ СЛОЖНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ НА ВАЗЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА КОНТРОЛЬНОГО ОБЪЕМА

Специальность 05.13.18 -"Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (технические науки)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2003

Работа выполнена на кафедре общей и прикладной математики Московского государственного индустриального университета

Научный руководитель:

доктор технических наук, доцент

Зубков В.Г.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор доктор технических наук, профессор

Шейпак А.А.

Феоктистов Н.А.

Ведущая организация - Центральный НИИ химии и механики (ЦНИИХМ)

Защита состоится 31 октября 2003 года в 14 часов на заседании диссертационного совета КР 212.129.16 при Московском государственном индустриальном университете по адресу г.Москва, ул.Автозаводская, 16, МГИУ, ауд.1605.

С диссертационной работой можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного индустриального университета.

Автореферат разослан сентября 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета КР 212.129.16

доктор технических наук

Рййанов Л.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи, связанные с течением жидкости и газа играют важнейшую роль во многих видах техники. Почти все способы производства энергии в качестве своих составляющих используют процессы гидродинамики и теплообмена. Очевидно, наиболее эффективным направлением исследования таких процессов является постановка вычислительного эксперимента, базирующегося на математической модели течения.

Особую актуальность проблема математического моделирования приобретает в связи с необходимостью сокращения затрат на экспериментальную доводку различных энергетических установок. При этом компьютерная модель в значительной степени заменяет дорогостоящие и трудоемкие экспериментальные исследования, позволяя в ряде случаев получить информацию, недоступную для натурного эксперимента.

Численное моделирование течений жидкости и газа в проточных частях энергетического оборудования позволяет детально исследовать характеристики потока в любой его точке, а также определять величины гидродинамических потерь, связанных с образованием пограничных слоев, возникновением отрывных зон и т.п. Кроме того, последовательно и целенаправленно видоизменяя форму канала, в процессе численного эксперимента можно найти такую его конфигурацию, которая в наибольшей степени будет отвечать требованиям энергосбережения.

Значительная часть работ, в которых применяются вычислительные методы, посвящена исследованию процессов динамики и теплооб-

мена в областях простейшей формы.Такие задачи имеют определенное прикладное значение и обычно являются тестовыми для проверки работоспособности построенной математической модели.

Реальные области движения, встречающиеся на практике, далеко не всегда имеют простую форму. К таким областям можно отнести, в первую очередь, каналы с наличием препятствий на стенках (каналы с одиночным препятствием, с противоположно расположенными препятствиями, с набором последовательных препятствий).

Особый практический интерес представляют каналы, имеющие нерегулярную криволинейную границу (диффузоры, криволинейные и волновые каналы). Ранее расчеты подобных каналов проводились с использованием криволинейных координат и расчетных сеток, адаптированных к границам области течения. Но задача построения криволинейной сетки сама по себе является достаточно сложной. В настоящее время проблема генерации расчетных сеток образует самостоятельный раздел вычислительной гидродинамики. Поэтому на первое место выходит задача создания инженерного метода расчета и комплекса программ по математическому моделированию газодинамических процессов в областях сложных геометрических форм с использованием относительно простых расчетных сеток, не сопряженных с геометрическими границами исследуемых каналов.

Таким образом, математическое моделирование процессов гидродинамики и теплообмена в каналах сложных геометрических форм, которому посвящена данная диссертационная работа, представляется весьма актуальным.

Целью работы является решение научной проблемы математического моделирования тепломассообмена в теплоэнергетических установках со сложными геометрическими конфигурациями каналов.

Поставленная цель и сформулированные проблемы потребовали решения следующих теоретических и прикладных задач:

• разработка комплекса программ для численного исследования течения жидкости и газа в каналах сложных геометрических форм на основе математического моделирования физического процесса;

• проведение вычислительного эксперимента на базе разработанного комплекса программ для исследования структуры течений, описания тепловых и гидродинамических эффектов в плоских каналах сложных геометрических форм;

« на основе проведенных вычислительных экспериментов изучение влияния геометрических параметров исследуемых каналов на гидродинамические характеристики течений.

Методы исследования. В качестве основных методов исследования используются метод математического моделирования процессов гидродинамики и теплообмена и численные методы решения систем дифференциальных уравнений. В качестве численного метода исследования течений жидкости и газа использован метод контрольного объема.

Научная новизна. Разработан комплекс программ по математическому моделированию процессов гидродинамики и теплообмена в каналах сложных геометрических форм, позволяющий проводить теоретическое исследование широкого класса сложных течений и более обо-

сновагаю подходить к проектированию реальных конструкций газодинамических трактов теплоэнергетических установок.

Доказана возможность использовании относительно простых регулярных ортогональных сеток для получения достоверных результатов при расчетах гидродинамических параметров в каналах сложных геометрических форм. Показано, что использование расчетных сеток, не сопряженных с границами области течений, и метода заблокированных областей позволяет создать универсальный программный комплекс для описания течений в областях произвольной конфигурации.

Рассмотрены и проанализированы различные варианты конечно-разностной аппроксимации конвективных членов дифференциальных уравнений математической модели.

В результате вычислительного эксперимента описана физическая картина и установлены причинно-следственные связи процессов, протекающих в каналах газодинамических трактов сложных геометрических форм, а также проведена оценка и анализ факторов, влияющих на параметры течения, исследуемые с помощью предложенной математической модели.

Практическая ценность работы.

В результате выполнения диссертационной работы разработал комплекс программ по математическому моделированию гидродинамики и теплообмена в каналах сложных геометрических форм для описания структуры и характеристик рассматриваемых течений.

Представленные в работе математические модели, комплексы программ и результаты вычислительных экспериментов апробируются на

ПО ГРЦАС "СЕВМЛШ" (г. Северодвинск).

На защиту выносятся:

• математическая модель и алгоритм расчета гидродинамических параметров ламинарных и турбулентных течений жидкости и газа в плоских каналах сложных геометрических форм;

« комплекс программ, разработанный на основе математического моделирования тепломассообмена в теплоэнергетических установках на базе численного метода контрольного объема;

• данные, полученные на основании проведенного вычислительного эксперимента, о влиянии численной диффузии, возникающей из-за ошибок разностной аппроксимации исходных дифференциальных уравнений, а также рекомендации по выбору разностных схем при аппроксимации конвективных потоков;

• обоснование использования относительно простых регулярных ортогональных расчетных сеток, не сопряженных с геометрическими границами области течения, для описания процессов гидродинамики и теплообмена в каналах сложных геометрических форм;

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались: на научио-техническнх конференциях Московского государственного индустриального университета (г. Москва, 2000 г., 2001 г., 2002 г.); на Третьем украино-российском научно-техническом и методическом симпозиуме "Современные информационные технологии в науке, производстве, образовании и управлении" (г.Хмельницкий, Украина, 2003 г.); на IV Международной конференции "Компьютерное мо-

делирование 2003" (г.Санкт-Петербург, 2003 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в пяти опубликованных работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 173 источника. Работа изложена на 154 страницах машинописного текста и содержит 4 таблицы и 59 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведено обоснование актуальности темы, сформулированы основные задачи и цели, дан краткий анализ структуры и содержания диссертационной работы.

В первой главе дан анализ научно-технической литературы, который показал, что математическое моделирование и вычислительный эксперимент являются в настоящее время актуальным направлением исследования процессов гидродинамики и теплообмена в каналах сложных геометрических форм.

Проведена классификация методов моделирования, используемых в настоящее время при решении широкого спектра задач механики жидкости и газа.

Изучена проблема построения расчетных сеток, имеющая особую важность в связи с тем, что точность и скорость сходимости численного метода определяется не только порядком аппроксимации исходных дифференциальных уравнений и эффективностью алгоритма ре-

шения их разностного аналога, но в значительной степени - способом построения разностной сетки. Проведена классификация расчетных сеток. Показано, что тип сетки определяется, во-первых, особенностями численного метода, который будет использоваться для интегрирования уравнений гидродинамики, и, во-вторых, особенностями решаемой задачи.

Представлен анализ существующих методов получения дискретных аналогов дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих физический процесс. Рассмотрены особенности метода конечных разностей, метода конечных элементов и метода контрольного объема. На основании отечественных и зарубежных источников проведено сравнение этих методов и даны рекомендации по их использованию при решении широкого класса задач. Проведенный сравнительный анализ этих методов во многих случаях позволяет отдать предпочтение численному методу контрольного объема.

Проведен обзор существующих пакетов прикладных программ для решения задач механики жидкости и газа. На основе анализа преимуществ и недостатков рассмотренных программных комплексов сделан вывод о целесообразности создания комплекса программ для решения широкого спектра задач течений жидкости и газа в каналах сложных геометрических форм.

Во второй главе описана математическая постановка задачи, которая включает систему уравнений Навье-Стокса и энергии для случая стационарного двумерного течения вязкой несжимаемой жидкости:

дх

дх ду дх

дх ду дх

дх ду дх

дРЦ | дрУ = 0

ду

ди 1 д г вил

ду

ЗУ" д г дул

ду

др дх

др ду

Рг дх

+

д_ ду

Рг ду

(1) (2)

(3)

(4)

где ¿7, V - составляющие скорости; х, у - оси координат; р - давление, р - плотность, ¡г - динамическая вязкость. Система уравнений дополняется соответствующими начальными и граничными условиями.

Представленные уравнения показывают, что зависимые переменные подчиняются некоторому обобщенному закону сохранения. Если обозначить зависимую переменную через Ф, то обобщенное дифференциальное уравнение примет вид:

сИу(р11 Ф) = сИь<(Гдга(1Ф) + 5

(5)

где и - вектор скорости, Г - коэффициент диффузии, 5 - источниковый член.

В данной работе при решении уравнений Навье-Стокса предпочтение отдано конечно-разностному методу контрольного объема на сетке с шахматным хранением информации. Описаны методы аппроксимации конвективных и диффузионных членов уравнений переноса, полученных в результате интегрирования обобщенного дифференциального уравнения по каждому контрольному объему расчетной сетки. Решение

системы алгебраических уравнений в настоящей работе осуществляется комбинацией итерационного метода Гаусса-Зейделя и метода прогоню! по поперечным линиям сетки.

Применяемый вычислительный алгоритм основан на процедуре

БШРЬЕ.

Для описания каналов со сложной геометрией в настоящей работе используется метод заблокированных областей. Его суть состоит в том, что из построенной регулярной сетки выключают (блокируют) часть контрольных объемов таким образом, чтобы оставшиеся контрольные объемы полностью описывали рассматриваемую нерегулярную область. При этом истинная граница области аппроксимируется с помощью набора прямоугольных ступенек.

В третьей главе проведен сравнительный анализ разностных схем, используемых при аппроксимации конвективных потоков. Эффективность разностной аппроксимации определяется степенью минимизации как "одномерной" численной диффузии, так и численной диффузии "скоса". Недостаточная эффективность в этом отношении разностной аппроксимации заставляет проводить расчеты на экстремально мелкой сетке, чтобы избежать погрешностей в получаемых результатах. Это, в свою очередь, ведет к увеличению временных и вычислительных затрат.

Таким образом, выбор оптимальной в отношении минимизации численной диффузии и экономичности расчетов разностной схемы представляется одним их важнейших этапов при получении точных и устойчивых решений в задачах гидродинамики.

Были исследованы следующие разностные схемы: центрально-разностная, противоноточная, гибридная, схема с квадратичной интерполяцией против потока, схема со степенным законом. Сравнение исследуемых аппроксимационных схем было проведено на тестовой задаче течения жидкости между параллельными пластинами.

Проведенный анализ полученных результатов позволил сделать следующие выводы:

1. Результаты, получаемые при использовании схемы со степенным законом и схемы с квадратичной интерполяцией против потока (QUICKE), отличаются высокой точностью но сравнению с остальными исследуемыми схемами. При этом они затрачивают примерно одинаковое время для достижения сходящегося решения: относительный коэффициент затраченного машинного времени равен 0.790 и 0.769 для схемы со степенным законом и схемы QIUCKE соответственно.

2. Использование схемы с квадратичной интерполяцией против потока и ее модификаций сопряжено со значительными трудностями (сложности алгоритмизации, проблема постановки условий на границе).

Таким образом, проведенный вычислительный эксперимент позволил сделать вывод о целесообразности использования схемы со степенным законом для аппроксимации конвективных членов.

В четвертой главе представлены результаты проведенных вычислительных экспериментов с использованием построенной математической модели.

Для оценки работоспособности математической модели были проведены некоторые тестовые расчеты. Во-первых, это расчет течения в плоском прямолинейном канале. На примере этой задачи рассмотрены два случая постановки граничных условий на выходе из канала. Показано, что при заданном параболическом профиле продольной составляющей скорости на выходе, требуется достаточно большая длина расчетного участка для выхода течения на установившийся режим. Второй способ постановки граничных условий на выходе ("мягкие" граничные условия - равенство нулю производных скоростей по длине канала) позволяет существенно сократить длину расчетной области.

Полученные в обоих случаях результаты хорошо согласуются с большим количеством результатов других авторов, что позволяет говорить о работоспособности описанной математической модели.

Для моделирования простейших течений с наличием рециркуляционных зон были исследованы течения в плоских прямолинейных каналах с наличием препятствий на стенке. Были рассмотрены каналы с одиночным и двумя противоположно расположенными препятствиями. Рассчитанные значения скоростей хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами.

Каналы со многими препятствиями (перегородками) на стенках представляют большой практический интерес. Наличие некоторого количества экспериментальных данных по исследованию таких течений позволяет проводить вычислительный эксперимент, который при этом будет серьезным тестом для математической модели.

Были исследованы течения в плоском прямолинейном канале с дву-

мя препятствиями на стенке для двух различных случаев расположения второго препятствия (3/1 и Т/г, где к - высота препятствия). На рис.1 показаны изолинии рассчитанной скорости.

Рис. 1. Изолинии скорости при обтекании двух препятствий.

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы о характере и особенностях образовавшихся вихревых зон:

- при достаточно малых расстояниях между препятствиями каверна между препятствиями полностью занята областью вихревого течения;

- для больших расстояний между препятствиями наблюдается независимое их обтекание. При этом картииа течения для каждого препятствия практически совпадает с ранее рассмотренным случаем обтекания одиночного препятствия.

Проведен анализ состояния проблемы моделирования турбулентных течений.

Подход к рассмотрению турбулентности основан на идее Рейнольд-са об осреднении уравнений Навье-Стокса. Полученные таким образом осредненные уравнения оказываются незамкнутыми. Для их замыкания, они дополняются уравнениями для характеристик турбулентно-

сти.

Из всех моделей наибольшее распространение при расчете турбулентных течений получила двухпараметрическая модель, в которой используются уравнения для кинетической энергии турбулентности к и скорости диссипации энергии турбулентности е (семейство (£-г)-моделей турбулентности).

В настоящей работе расчет турбулентного обтекания препятствий был проведен на основе стандартной (&-г:)-модели.

Исследовано турбулентное течение в канале при значении числа Рейнольдса Reh = 1230.

На рис.2 представлены расчетные и измеренные профили кинетической энергии турбулентности к по длине канала с двумя последовательными препятствиями.

Рис. 2. Профили кинетической энергии турбулентности; --расчет по предложенной модели, о - эксперимент.

Полученные результаты позволяют о говорить о некотором рассогласовании расчетных данных с экспериментом. Это, очевидно, объясняется тем, что в настоящей работе использована стандартная (к-е)~

модель турбулентности без поправок, учитывающих особенности течения.

Хорошее, в целом, согласование полученных результатов с экспериментальными данными позволяют сделать вывод о возможности расчета турбулентных течений по описанной математической модели.

Проведены исследования по расчету ламинарных режимов течения в криволинейных каналах с постоянным значением радиуса кривизны. Результаты были получены при использовании двух различных систем координат - декартовой и полярной. При расчете в декартовой системе координат использован метод заблокированных областей.

Получено, что при прочих равных условиях при использовании полярной системы координат время счета является наименьшим. При этом, как показали результаты, использование двух схем расчета фактически дает одинаковый результат. В этом случае целесообразнее использовать метод заблокированных областей и декартову систему координат, т.к. простота алгоритмизации метода является более весомым достоинством нежели недостатки, связанные с затратами на хранение в памяти и обработку точек, не принадлежащих области канала.

Особый практический интерес представляют каналы, имеющие сложную криволинейную границу. Для описания газодинамических параметров в таких каналах было рассмотрено течение в плоском волновом канале постоянной ширины (рис. 3).

Общая длина исследуемого канала выбиралась так, чтобы, по крайней мере, в двух блоках канала наблюдалось установившееся периодическое течение жидкости. Поэтому для представления результатов

можно рассматривать только один из повторяющихся блоков канала A-B-C-D (см. рис.3).

Рис. 3. Геометрия волнового канала постоянной ширины.

Здесь основные геометрические характеристики Н - ширина канала, S - перепад высот волны канала в вертикальном направлении, L -длина одного блока канала, а также L/S - степень волнистости канала, Н/S - кривизна канала.

На рис.4 представлены изолинии скорости при значениях характерных параметров L/S = 3, H/S = 1 и различных значениях числа Рей-иольдса (Не = 200, Re = 500).

Из представленных рисунков видно, что при низких числах Рей-нольдса появляются малые рециркуляционные зоны. При увеличении числа Re растет и размер рециркуляционных зон, центр которых смещается далее вниз по потоку. Вне этих зон, в зоне главного течения изолинии практически повторяют геометрию волнового канала (линии

Рис. 4. Изолинии скорости в волновом канале постоянной ширины. 5 и 6).

Осуществлен расчет среднего коэффициента трения для различных геометрических характеристик волнового канала (Н/Б = 1 и £/5 = 3,4,6) - рис.5.

На примере волнового капала постоянной ширины произведен расчет параметров теплообмена путем добавления в исходную систему уравнения энергии. На рис.6 представлены результаты расчета числа Нуссельта для одного блока канала.

Произведено сравнение полученных результатов с результатами других авторов, полученных по методу, использующему расчетную сетку, адаптированную к границам течения (кривая 5). Хорошее согласование представленных данных позволяет говорить о высокой точности настоящего метода и о возможности расчета параметров теплообмена по описанной модели.

Далее представлены результаты расчета течения в плоском волновом канале переменной ширины. При этом, для такого канала (в отличие от предыдущего) нет возможности решить поставленную задачу, применяя комбинацию двух типов расчетных сеток (в полярной и де-

-

-

\ 5

- 2

Чч

_ 3

, 1 \ 4 ^ Y; 1 1 1 1

J_I_I I lili

00 400 600 SOO ]000 '

loo 200 400 fiOO 800 1000 ICO

Рис.5. Зависимость коэффициента Рис.6. Зависимость числа Nu трения от числа Рейнольдса. от числа Рейнольдса.

картовой системах координат).

Общий характер течения хорошо виден на представленных на рис.7 изолиниях скорости для значений геометрических параметров Ь/Б = 3, Я/5 = 1 и чисел Рейнольдса 500 и 1000.

10 20 W

50 60 Л* О 10 го 30 40 М> 60 Л*

Рис.7. Изолинии скорости для волнового канала переменной ширины.

t

Анализ представленных результатов позволяет говорить о том, что при увеличении числа Рейнольдса, а следовательно и при увеличе-

нии скоростных характеристик потока, возрастает и интенсивность возвратных течений.

Сравнение настоящих результатов с результатами, полученными для волнового канала постоянной ширины, позволяет говорить о том, что

- профили скорости внешне похожи абсолютно для всех рассмотренных случаев. Появление интенсивных возвратных течений наблюдается с ростом числа Рейпольдса при обоих случаях расчета. Однако, размеры рециркуляционных зон больше в волновом канале постоянной ширины.

- значения коэффициента трения в волновом канале переменной ширины меньше, чем для первого канала.

Указанные различия в поведении течений, очевидно связаны с изменением ширины волнового канала во втором случае. При этом происходит естественное замедление потока, вызывающее описанные эффекты.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Описана и реализована в виде комплекса программ математическая модель течения жидкости и газа в теплоэнергетических установках на базе метода контрольного объема.

2. В результате сравнительного анализа конечно-разностных схем, используемых для аппроксимации конвективных членов дифференциальных уравнений математической модели, сделан вывод о целесообразности использования в расчетах схемы со степенным законом.

3. Выполнен цикл сравнительных тестовых расчетов ламинарных

течений в плоских каналах как без, так и с препятствиями на стенках. Полученные результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом и численными расчетами других авторов, доказали работоспособность описанной математической модели.

4. На примере плоского криволинейного канала с постоянным значением радиуса кривизны была реализована идея метода заблокированных областей, использование которой позволило с удовлетворительной степенью точности рассчитывать геометрически сложные крив0линех1ные каналы на относительно простых ортогональных сетках, не сопряженных с границами области течения.

5. На основе стандартной -модели проведено численное исследование турбулентного обтекания препятствий на стенке плоского канала. Хорошее согласование полученных результатов с экспериментом позволяют сделать вывод о возможности расчета турбулентных течений по описанной математической модели.

6. На примере плоского волнового канала постоянной ширины показана возможность расчета параметров теплообмена с использованием построенной математической модели

7. В результате расчета гидродинамических параметров в волновом канале переменной ширины и сравнения полученных данных с данными расчета для волнового капала постоянной ширины, сделан вывод о влиянии геометрических характеристик волновых каналов на скорость потока и интенсивность возвратных течений.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Виноградова И.А., Зубков В.Г. Математическое моделирование плоских течений жидкости на основе метода контрольного объема / / Межвузовский сборник научных трудов. Т.1. Техника, технология и перспективные материалы / Под. ред. А.Д.Шляпина, О.В.Таратынова. - М.: МГИУ, 2000. - С.95-101.

2. Виноградова И.А., Зубков В.Г. Численное исследование двумерного течения в канале с препятствиями // Межвузовский сборник научных трудов. Т.1. Техника, технология и перспективные материалы / Под. ред. А.Д.Шляпина, О.В.Таратынова. - М.: МГИУ, 2001. - С.305-309.

3. Виноградова И.А., Зубков В.Г. Газодинамические процессы в теплоэнергетических установках на базе метода контрольного объема // Математическое моделирование. - 2002. - Т.14, N 6 -С.3-24.

4. Виноградова И. А. Вычислительный эксперимент в задачах гидродинамики и теплообмена // Актуальные проблемы современной науки. - 2002. - N 5. - С.243-246.

5. Виноградова И.А. Численное исследование течения жидкости в плоском волновом канале // Естественные и технические науки. -2003. - N 1.-С.115-118.