автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование напорно-сдвиговых течений вязких жидкостей в каналах переменной геометрии

На правах рукописи

Корнаева Елена Петровна

Математическое моделирование напорно-сдвиговых течений вязких жидкостей в каналах переменной геометрии

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

- 3 НОЯ 2011

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Елец-2011

4858761

Работа выполнена в Старооскольском технологическом институте (филиале) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Савин Леонид Алексеевич

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Сумин Александр Иванович,

доктор технических наук, профессор Колодежнов Владимир Николаевич

Научно-технический центр «Автоматизированное проектирование машин» г.Королев, Московская обл.

Защита состоится «18» ноября 2011 года в 13^ часов на заседании диссертационного совета Д 212.059.03 при Елецком государственном университете им. И.А. Бунина в конференц-зале по адресу: 399770, Липецкая обл., г. Елец, ул. Коммунаров, д.28.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.

Автореферат разослан «14» октября 2011 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.059.03 кандидат физико-математических наук, доцент В.Е. Щербатых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Математическое моделирование напорно-сдвиговых течений вязких жидкостей в каналах переменной геометрии является важной задачей гидродинамики. Примерами таких течений служат течения жидкостей в уггпотнительных и опорных элементах роторных машин, имеющих широкое применение в машиностроительной, металлургической отрасли, а также в авиа- и ракетостроении, где к таким элементам предъявляют особые требования надежности и долговечности.

Настоящая работа посвящена исследованию течений вязких несжимаемых ньютоновских жидкостей в криволинейных каналах цилиндрическо - конической формы. Не смотря на простоту формы канала, математическая постановка и реализация моделей, описывающих напорно-сдвиговые течения в такого рода каналах даже в базовой постановке является сложной задачей. Принимая во внимание то, что течения характеризуются высокими скоростями вращения и большими градиентами давления в осевом направлении, необходим одновременный учет напорного и сдвигового течения.

В виду того, что рассматриваемая область течения является переменной по пространственным координатам, необходимо построение математической модели трехмерного течения, в связи с чем, большинство методик, основанных на раде допущений о малости толщины слоя жидкости, неприемлемы. Существующие на сегодняшний день работы по исследованию течений вязких жидкостей в криволинейных каналах формы цилиндр - усеченный конус (далее цилиндр-конус) не позволяют в достаточной мере прогнозировать основные характеристики таких течений, т.к. учитывают не все значимые факторы.

В связи с чем, можно констатировать недостаточное развитие надежной теоретической базы, позволяющей оценивать и анализировать поведение основных характеристик течений вязких жидкостей в каналах переменной геометрии типа циливдр - конус при различных значениях конусности и несоосности канала, а также при одновременном наличии осевого перепада давления и вращения одной из границ.

Несомненно, на сегодняшний день существует большое количество программных комплексов, реализующих всевозможные задачи. Однако, нараду с универсальностью, возникает проблема в потере гибкости решения конкретных задач, т.к. от конечного пользователя требуются глубокие знания аппарата математического моделирования и численных методов расчета для корректной постановки задачи и анализа полученных результатов в таких программных комплексах Поэтому разработка и тестирование программного комплекса для расчета конкретного типа задач гидродинамики, обеспечивающего удобство ввода-вывода информации, обладающего высокой скоростью и точностью расчета представляет интерес для пользователей, занимающихся проектированием и эксплуатацией гидродинамических элементов, образованных вращающимся цилиндром и неподвижным конусом с напорно-сдвиговым течением вязкой несжимаемой жидкости.

Таким образом, разработка математических моделей, а также создание эффективного алгоритма и программы расчета напорно-сдвиговых течений вязких несжимаемых жидкостей в каналах переменной геометрии является актуальной задачей.

Настоящая работа выполнялась в рамках гранта фонда «Содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере» по программе «У.М.Н.И.К.» (контракт № 7473р/10256 от 29.01.2010).

Объект исследования. Напорно-одвиговое течение вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости в несоосном канапе цилиндр-конус.

Предмет исследования. Математические модели, методы и программные комплексы для расчета характеристик напорно-сдвиговых течений вязкой несжимаемой жидкости.

Цель исследования. Построение и анализ математических моделей, совершенствование методов расчета и разработка проблемно-ориентированного комплекса программ для анализа напорно-сдвиговых течений в каналах формы цилиндр-конус.

Для достижения сформулированной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1) провести информационный поиск в области моделирования напорно-сдвиговых течений в каналах переменной геометрии;

2) построить математическую модель трехмерного напорно-сдвигового течения вязкой несжимаемой жидкости в несоосном канале цилиндр-конус, учитывающую переменную геометрию расчетной области;

3)разработатъ численный алгоритм расчета построенной математической модели, основанный на методе контрольных объемов;

4) разработать проблемно-ориентированное программное обеспечение для расчета напорно-сдвиговых течений вязких несжимаемых ньютоновских жидкостей в несоосных каналах формы цилиндр-конус;

5) провести комплексные исследования для установления влияния геометрических и физических факторов на основные характеристики напорно-сдвигового течения в несоосном канале цилиндр-конус с применением вычислительного эксперимента;

6) проверить адекватность результатов на асимптотических моделях, результатах, полученных другими исследователями, и на основе тестирования в пакете Агеуз.

Методы исследования. Исследование характеристик течения проводится на основе базовых уравнений гидродинамики: уравнений неразрывности и Навье-Стокса. Построенная математическая модель реализуется с помощью метода контрольных объемов, который обеспечивает точное интегральное сохранение таких величин, как масса, импульс и энергия во всей расчетной области, не зависимо от количества узловых точек, в отличие, например, от метода конечных разностей. Верификация результатов выполнялась путем сравнения с численными решениями, полученными в программном комплексе Агкуэ, а также с аналитическими решениями для асимптотических случаев.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту:

1 построена и реализована математическая модель трехмерною течения вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости в несоосном канале цилиндр-конус, основанная на совместном решении базовых уравнений гидродинамики и учитывающая переменную геометрию зазора, образованного несоосными цилиндром и конусом, позволяющая определять поля давлений, скоростей в напорно-сдвиговых течениях;

2 на основе теории подобия и анализа размерностей произведена оценка значимости инерционных сил и сил вязкости при различных значениях параметра конусности и числа Рейнольдса, определяющая границы применимости допущений об их малости;

3 предложен и реализован эффективный численный алгоритм расчета трехмерного течения вязких несжимаемых жидкостей в несоосных каналах формы цилиндр-конус, основанный на методе контрольных объемов;

4 аналитически обоснован и численно подтвержден эффект возникновения центрирующей силы в несоосном канале цилиндр-конус при напорном течении. Предложен и реализован способ определения приближенного аналитического решения для напорного течения в несоосном канале цилиндр-цилиндр с помощью построения кинематически возможного поля скоростей;

5 разработан комплекс проблемно-ориентированных программ расчета, позволяющий определять поля давлений, скоростей и расходные характеристики напоржкдвиповых течений вязких несжимаемых жидкостей в несоосных каналах формы цилиндр - конус;

6 на основе проведения комплексных исследований выявлены закономерности влияния геометрических, кинематических и статических параметров на основные характеристики напорно-сдвиговых течений в несоосных каналах формы цилиндр-конус.

Достоверность результатов основывается на том, что

- использованы фундаментальные законы механики сплошных сред;

- построенные численные алгоритмы апробированы на асимптотических моделях, имеющих аналитические решения, а так же произведено тестирование результатов в программном комплексе Агеуз;

Практическая значимость работы заключается в том, что разработанные математические модели, алгоритмы расчета и комплекс программ позволяют определять основные характеристики напорно-сдвиговых течений в несоосных каналах формы цилиндр-конус в зависимости от геометрических и физических факторов.

Разработанный программный комплекс имеет ряд преимуществ:

- позволяет получать основные характеристики объекта исследования с более высокой точностью и скоростью сходимости итерационного процесса, т.к. в его основу заложен метод контрольных объемов;

- обеспечивает конечному пользователю простату в постановке задачи и получение адекватных результатов;

- позволяет снизить погрешность округления результатов расчета за счет обезразмеривания геометрических и физических величин;

Отдельные результаты диссертационной работы используются в учебном процессе Сгароосколь-ского технологического института (филиала НИТУ МИСиС) при проведении занятий по дисциплине «Математическое моделирование процессов и объектов в металлургии».

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

Указанная область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические науки), а именно: п. 2- «Развитие качественных и приближенных аналитических методов с применением современных компьютерных технологий»; п. 4 - «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; п. 5 - «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Апробация результатов исследования

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на 5 Международной научно-практической конференции «Современная металлургия начала нового тысячелетия», г. Липецк, ноябрь 2008г; Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», г. Воронеж, июнь 2009п Международной научно-практической конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов «Образование, наука, производство и управление», г. Ст. Оскол, ноябрь 2009п 9ой Международной научно-технической конференции «Вибрация - 2010. Управляемые вибрационные технологии и машины», г. Курск, апрель 201 Ог, 4 Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, образовании и производстве», г. Орел, апрель 2010г; 12ой Международной научно-технической конференции «Seals and sealing technology of machine and devices», Poland, Wroclaw - Kudowa Zdroj, май 2010г.

Личный вклад соискателя. Все представленные в диссертационной работе результаты получены либо лично соискателем, либо при его непосредственном участии.

Публикации _

По теме диссертации опубликованы 22 научные работы, включая 4 статьи в периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и приложений, имеет 149 страниц основного текста, 62 рисунка, 18таблиц. Библиография включает 123 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении содержится обоснование актуальности темы, описаны объект и предмет исследования, сформулированы цели и задачи, показаны научная новизна и практическая ценность работы, приведены сведения об апробации полученных результатов и структура диссертации.

В первой таве представлены примеры областей течений вязких жидкостей в каналах переменной геометрии, образованных двумя поверхностями. Приведены основные уравнения гидродинамики. Проведен анализ результатов существующих работ по исследованию течений вязких жидкостей в каналах переменной геометрии. При изучении работ других авторов в исследуемой области основное внимание было уделено следующим вопросам: теоретические и экспериментальные исследования течений в каналах различной геометрии (рис.1); базовые уравнения, используемые при математическом моделировании; численные методы реализации математических моделей. Проведенный анализ показал, что на сегодняшний день для расчета вязких течений в каналах с постоянным зазором вдоль оси вращения существует надежная теоретическая база, подкрепленная экспериментальными исследованиями, основной вклад был внесен исследователями, представленными на рис.1 а,б.

Что касается течений в каналах формы цилиндр-конус, здесь можно отметить базовые работы ГА Никитина и ВА Марцинковского, однако их исследования проводились при малой конусности с использованием допущений Рейнольдса, которые не учитывают инерционных слагаемых и кривизну области, что делает их применение некорректным при большой конусности.

Цилиндр-Цилиндр Ксмуе-Конуе Цилиндр-Конус

Хирн(1854). Петров H.П.(1883. 1884. 1887). Б.Тауэр(1984, 1985), Жуковский Н.Е.(1886). 0. Рейнольде (1886), А.Зоммерфельд (1921). J. Taylor (1923, 1935, 1936), Лейбензон Л.С. (1934). Wood (1953), Слезкин H.A.. С.М.Тарг (1946-1955), Даусон (1956), Коул (1957, 1962), Дьячков (1959, 1973), Хьюз (1963, 1978), Kamal М.М. (1966), E.S. Kulinskl (1966), J.H. Vohr (1967), Константинеску (1968-1970, 1973, 1982), Cole J.A. (1969), Jantaraki D.F. (1969), DiPrima R.C. (1972. 1979, 1981), Архангельский (1975), Sherwood J.D. (1990), Roberts G.W. (1991), VerSteegen PL, Weinstein M, PL. Versteegen A. Al-Sharif, Sveri A.Z. (1992). Huang (1996), Hird L.D. (1996), R. Kupferman (1998), S. Vedantam (2006), T. Muffin (2000), W.M. J.Batten (2002), Zenglin Guo (2005), M.Bilson (2006), Соломин O.B. (20012006), Савин ЛА. (1987-2011), S. Dong (2007), V. Leplller (2008). Слезкин H.A.{1935) Дрошкин O.A. (1973). Поддубный (1975, 1986.1987), Гаркуша A.B. (1981), Prabhu T.J. (1983), Поспелов Г.А. (1986). Снопов А.И. (1992). Артеменко, Чайка (1982), Максимов ВА. (1997), Vatlstas G.H. (1999), Donne В. (1999), Wimmer М (2000), Nakamura S, (2001), Noui-Mehidi M.N. (2001. 2002, 2004), Савин Л.А.. Корнеев А.Ю. (2004, 2005) Г.А. Никитин! 1982), Wimmer М.(2000), Denne В (1Э99), Abboud М.. Lindsey Childs (2000). ВАМарцинковский(2002), Коржоа E.H..Иванов A.B., Ерофеев И.В. (2009,2010

а б в

Рис. 1 - Исследования в области моделирования течений в каналах с постоянным вдоль оси зазором Из анализа существующих работ (рис.1 в) можно сделать выводы, о том, что недостаточно изучены или вовсе неучтенными остаются ряд факторов и их сочетаний: одновременный учет напорного и сдвигового течения, наличие эксцентриситета, неизотермичностъ процесса, турбулентность при большой конусности (рис.2).

течлки«в сосснои капам

Рис. 2 - Возможные направления исследований в области моделирования течений в каналах формы цилиндр-конус Базовыми уравнениями, описывающими течение в рассматриваемой области, являются уравнения движения жидкости Навье-Стокса и неразрывности, реализация которых даже в простой постановке является сложной задачей. Основные сложности вносят нелинейные инерционные слагаемые. Среди численных методов решения самыми распространенными являются метод конечных разностей (МКР) и конечных элементов (МКЭ). Достоинством первого метода является его универсальность и простота реализации, однако для достижения достаточной точности результатов необходимо увеличивать количество узловых точек, что ведет к увеличению размерности результирующей системы алгебраических уравнений, и как результат - снижению скорости вычислений. МКР чаще всего применим для решения задач с прямолинейными границами. МКЭ позволяет учесть геометрические особенности расчетной области, но также как и МКР обладает низкой скоростью вычисления. К тому же данный метод достаточно сложен в реализации и редко используется для уравнений Навье-Стокса. В последнее время стал развиваться один из перспективных методов - метод контрольных объемов (МКО), который обеспечивает выполнение законов сохранения во всей расчетной области, причем при любом количестве узловых точек, и решение, полученное даже на грубой сетке, удовлетворяет точным интегральным балансам.

Во второй главе производится постановка краевой задачи о трехмерном напорно-одвиговом изотермическом течении вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости в несоосном канале типа цилиндр-конус (рис.3). Цилиндр радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью ш, конус с характерными радиусами ^ и ^ и параметром конусности р=1дв. Жидкость подается под давлением Р,

вдоль оси в направлении сужения канала длиной Ц на противоположном конце канала известно давление слива Р0.

При построении базовой модели (БМ) приняты следующие допущения: канал симметричен относительно оси вращения; смазочный материал является вязкой несжимаемой ньютоновской жидкостью, заполняющей весь канал; режим течения жидкости ламинарный; процесс изотермический; цилиндр вращается в установившемся режиме; движение цилиндра в осевом направлении отсутствует.

Рис. 3 - Расчетная область и ее проекции Для построения модели первого уровня (М1) добавлен фактор несоосносги. Уравнениями, описывающими исследуемый процесс, являются уравнение неразрывности и уравнение Навье-Сгокса. В результате обезразмеривания характерными величинами, система уравнений в цилиндрической системе координат принимает вцц:

др р + В д<р

Р + В др

1 дР I

3 -

__I1_р.

г др р + В д<р В р + В р + В^Р Ке

Ж, У9 д?2

1 дГ

Р + В др (р + В)

I ГГ,

В (.р + В) (р + В)

дУ„

, уй , 1 1 ЭЬ, ЭУг

р+В . р+В д? &

где безразмерные координаты и функции имеют вид: = р-(г-е), ^=г/£ - безразмерные радиальная и осевая координаты соответственно;

И02+е

= <Уг=Уг,/у' - безразмерные радиальная, тангенциальная и осевая компо-

ненты скорости течения жвдкости соответственно; р _ р~ро - безразмерная функция давления;

ДР

' - обезразмеривающая скорость для У^, У~;

V = 0г,

^тах

у

гтах

- безразмерные коэффициенты, составленные из геометрических параметров;

/ .ъ - числа Рейнольдса и Эйлера.

Г

Для анализа математической модели были предложены следующие геометрические безразмерные параметры, приведенные в таблице 1.

л

+ др

->Еи = -

Таблица 1 - Геометрические безразмерные параметры

Критерий Название

„ %z-*oi "" L геометрический параметр конусности, характеризуюи+й отношение разности величин максимального и минимального радиальных зазоров к длине.

Y = r/L геометрический параметр, характеризуют^ отношение радиуса ротора к его дгине.

геометрический параметр, характеризующий отношение величины среднего радиального зазора при малом радиусе конуса к радиусу цилиндра.

Ç = е/Л02 геомеггрический параметр, характеризующий отношение величины эксцентриситета к среднему радиальному зазору при большом радиусе конуса.

Так как границы расчетной области переменны по пространственным координатам, были определены их уравнения. Центр цилиндрических координат помещен в центр неподвижного конуса, тогда безразмерные функции внешней и внутренней границ были получены в виде:

R(î)=-Èz +1, jr(.P)=^(0+>/r)(l+cos(<p-a)hr+ylr2-Ï2(P+Vу)2sin2^-«)j Тогда функция зазора, фафически представленная на рис.4, определяется как Л(<г>,г) = д(г) - г(<р).

4 *

Рис. 4 - Функция зазора: а - при нулевой конусности; б - при ненулевой конусности Учитывая условия прилипания, граничные условия для компонент скорости на поверхности цилиндра и конуса записаны в виде:

Рр<7(4>),4>,2)=0, У^Ш-Ъ^ог/г', Гх(г(<>),<?,z) = 0,

Vp(R(z),ç,?)=О, Vç(R(z),ç,T:)= О, Pz(R(J),ç,z)=0.

(3)

Граничные условия для каждой компоненты скорости на торцах определены следую-

щим образом:

¡-(р,<р, 0) = 0,

(4)

dV-

-gf(P.<Pr 1) = 0.

Граничные условия для функции давления:

Р(Р,<Р,0) = 1, Р(РЖ 1) = 0. (5)

Т.к. область течения замкнута, то для неизвестных функций справедливо условие периодичности по тангенциальной координате:

Fj(pfi,z) = Ft(р,2л,z\ 85<аО,?) = dFf(p,2x,z) (6)

dip dip

Таким образом, математическая модель, описывающая процесс течения вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости в несоосном канале цилинцр-конус в условиях ламинарного установившегося изотермического течения имеет вид (1), (3)-(6), и состоит из четырех нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, включающих четыре неизвестные функции: три компоненты скорости и функцию давления.

Проведен анализ размерностей, порядки слагаемых членов уравнений (1) приведены в табл. 2, на основании которых сделаны выводы о том, что допущения Рейнольдса справедливы только при

Силы давления,

V?

Силы вязкого трения, у^

Уравнение неразрывности

значении конусности 0 3, что практически соответствует случаю с нулевой конусностью. Для рассматриваемой конфузорной области течения в виде несоосного канала формы цилиндр-конус необходимо использовать полные уравнения Навье-Стокеа.

2 - Оценка влияние слагаемых в базовых уравнениях_

Уравнение Навье-Стокса_

Инерционные слагаемые,

где <?~[1СГ4;10 '] - величина малого порядка. В тензорной форме система уравнений (1) имеет вид:

IV-(V ® V^-V ® V^ = -ЕиУР,

(17

(у-Р = о.

Для получения дискретного аналога уравнения (1') проинтефированы по контрольным объемам (КО) О = (р + В)с(рс1(р(Е , которые построены по принципу «шахматной сетки» (рис.5), т.е. КО для проекций уравнения Навье-Стокса смещены на N2 по соответствующей оси, величина граней которых по оси Ор переменная, а по двум другим координатам постоянная:

_ Л, -?(«>)

4Р1 = 1' 4Р2: "р

> А<р=

2л

Ко

N.

узловые точки (расчет Р) о-промежуточные точки (расчет Ур, Уф,

1 - КО для проекции Навье-Стокса на ось Ор

2 - КО для проекции Навье-Стокса на ось О?

3 - КО для проекции Навье-Стокса на ось 02

4 - КО для уравнения неразрывности

Рис. 5 - КО для интегрирования уравнений Применяя ф. Остроградского для левой части уравнения Навье-Стокса и уравнения неразрывности, и раскрывая оставшиеся интегралы, полученный дискретный аналог нелинейной системы (1) преобразован к веду.

АV :(р+В)| д9 '

- - Г Мке _|Е

дфдф + в)у У2|к=о.

А Ь 2 |ш |т

В проекциях уравнения Навье-Стокса (7) выражения для компонент скорости аппроксимированы

Кс « II р 2 |к<о р

экспоненциальными функциями, например в первой скобке компонента v на отрезке [ре-,рее] имеет вид:

V № \нее «I ехр(ЛЯеКрДр)-1

После замены в уравнении Навье-Стокса всех компонент скорости соответствующими экспоненциальными функциями, проекции преобразованы к виду:

yS yS

+ B pse + В

!1к__

-s/«f+1 14/4+1+ +Д)2 +д)2 (ff-ff)

pN+B p p + B

2

(8)

Расчет компонент скорос™ и давления на шаге в проводится по итерационной схеме, предложенной Б. Ра1апкаг. Приращения же рассчитываются путем совместного решения уравнений Навье-Стокса и неразрывности:

-аЛ

5+1 ,

uS+1

S+1

+<Чш^'

, 5+1 'PN

-Нр^У 0,

W +SkAekl+~dkohSA ЧЛм' ЧА&1 fka+B)

Sffii-aji;

'Ре -Л1' Ч^'Ч^/' Ч^'-Ь»УР^-(Ьп%п

Процедура определения компонент скорости и давления является итерационной, сначала при заданном приближенном поле давлений определяется приближенное поле скоростей, после чего рассчитываются их приращения путем совместного решения уравнения Навье-Стокса и неразрывности (9). В коэффициенты уравнений входят компоненты скорости на предыдущем шаге.

В качестве начального приближения были приняты известные аналитические решения для асимптотических случаев, при отсутствии эксцентриситета и нулевой конусности.

Для систем алгебраических уравнений (8), (9) произведена численная оценка чисел обусловленности для матриц коэффициентов и показано, что системы уравнений являются хорошо обусловленными.

В результате вычислительного эксперимента на модели (1), (ЗН6) было установлено, что при наличии конусности области максимальной скорости осевой поток достигает в конце канала, причем с увеличением эксцентриситета значение максимума увеличивается и перемещается в зону большего радиального зазора; давление в слое жидкости по длине канала изменяется нелинейно и достигает максимального значения внутри канала (рис.6а); по тангенциальной координате давление принимает максимальное значение перед минимальным радиальным зазором (рис.6б).

В третьей главе результаты решения представлены в порядке возрастания сложности краевых задач, начиная с частных случаев течений в каналах переменной геометрии. Проводится оценка адекватности результатов на основе асимптотических случаев и тестирования в пакете Апэуз.

Построена и реализована методом контрольных объемов математическая модель плоского ламинарного изотермического течения вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости в конфузорном канале длиной I- (рис.6). Минимальная и максимальная ширина канала составляет Ии и Им соответственно, |Ид0 характеризует угол наклона области. Жидкость подается с широкого торца под давлением Р1 в направлении сужения канала и вытекает с противоположного торца под давлением Р0.

ю

.гт ---

(9)

О 001 002 0 03 CW 0 05 0Л6 0.07

Рис. 6 - Профили давления: а - по осевой; б - по тангенциальной координате

Система уравнений приведена к безразмерному ввду в декартовых координатах:

Рис. 6 - Течение в конфузоре

дх

9

Зх ■ ЯеС^ я2 ■ ;

дУу Ей ЭР ! 1 (С2 г2Уу (10)

9 (2ду Яес^ аг2 ;

Эх су

где г = */£ , у^у/ъ02 , гх=ух/и*, уу=уу/(.си*), ? =

р-р0

- безразмерные координаты и функции;

дри1

= - геометрический параметр; и* _ ^тах =

02 - обезразмеривающая скорость.

Граничные условия для вектора скорости на границах и торцах имеют вид соответственно:

С(х,0) = [[0 0]], К(Зг,А(г)) = [[0 0]],

дУ, йс

х=0 '

Х=1

(11)

где Ь(х) = -Р£ + 1 - уравнение верхней границы.

Граничные условия для функции давления определяются на торцах как давление подачи и слива соответственно:

т?) = 1, Р(1 ,у) = 0. (12)

Дискретный аналог математической модели (10Н12) был получен МКО с использованием экспоненциальной схемы и схемы со степенным законом. В качестве результатов приводятся поля скоростей, распределение давления, расход жидкости в зависимости сгт различных значений факторов. На рис. 8 изображены контурные поля скоростей при различной величине угла наклона. В случае малости угла наклона (р->0) поле скоростей распределено по параболическому закону по толщине слоя (рис 8а), что соответствует течению Пуазейля мехзду двумя параллельными границами. На рисунке 86 представлены скорости для случая (3=0.08, величина скорости растет в направлении сужения канала, а нормальная компонента скорости отлична от нуля в отличие от случая плоско-параллельного течения, причем скорость патока заметно падает по отношению к случаю течения между параллельными границами.

Рис. 8 - Зависимость поля скорости от угла наклона: а- при (3=8-1СГ8; б- при |3=0,08

На рис. 9 изображены графики давлений и расхода для различных значений угла наклона. С увеличением угла наклона, при фиксированной толщине канала на входе давление становится нелинейным по длине канала, по толщине давление изменяется не более, чем на 1%. Расход жидкости уменьшается при увеличении угла наклона при фиксированной толщине канала на входе.

Рис. 9 - Зависимость давления и расхода от конусности На рис. 10а в сравнении представлены профили давления по длине канала, полученные на основе разработанного алгоритма расчета, в который заложен МКО, и с помощью МКЭ (пакет АпвуБ). Отклонение между результатами, полученными указанными методами составляет менее 2% при удовлетворительном количестве КЭ.

Е

>_М(0 -*. р МКЭ

145000

140000 • 135000

130000

120000 L

115000

105000

150000 (40000 £ 1ЭОООО § 120000 110000

, t

*4

Рис. 10 - Профиль давления по длине канала: а - при (5=0,08; б - при [3=0

Для проверки адекватности результаты, полученные МКО и МКЭ, были сопоставлены с аналитическим решением для случая (3=0, зависимость давления от осевой координаты представлены на рис. 106. В табл. 3 приведены погрешности результатов для различного числа итераций (к) и дробности сетки (mxn).

mxn*k 25x10*10 25*10x20 30x15x10 30x15x20

е™, МКО, % 2.36 2.14 1.53 1.1

ew МКЭ, % 3.93 3.79 2,66 2.18

Далее приводятся результаты для ламинарного изотермического напорного трехмерного течения в несоосном канале цилиццр-конус, полученные с помощью модели (1), (ЗН6). Осевая и нормальная компоненты скорости при соосном положении ципицдра в конусе изменяются только по длине и толщине канала. На рис.11 изображены зависимости осевой компоненты скорости от тангенциальной координаты, с увеличением эксцентриситета осевая компонента изменяется нелинейно и имеет максимум в зоне максимального радиального зазора. Максимальной скорости поток достигает в конце конфузорной часта канала. Расход жццкосги падает с увеличением конусности и растет с увеличением несоосносги канала (рис.12). Для малых углов конусности и соосного положения результаты по расходу хорошо согласуются с результатами работы ГА Никитина.

Для соосного случая с нулевой конусностью расчетной

Рис.12 - Зависимость расхода от конусности и эксцентриситета

Рис. 11 - Профиль осевой компоненты скорости по тангенциальной координате при 7=0 и р=0,5Ио1

области результаты сопоставлены с результатами, полученными методом конечных элементов и известным аналитическим решением. Показано, что наибольшая точность при меньшем разбиении расчетной области достигается МКО.

Также с помощью численного эксперимента на модели установлено, что для несоосного канала при напорном течении появляется тангенциальная компонента скорости, разная по знаку относительно

12

линии центре®. Наличие тангенциальной компоненты скорости взаимосвязано с появлением силы, центрирующей внутренний цилиндр относительно конуса. Впервые подобный эффект для случая напорного течения в канапе цилиндр-цилиндр был экспериментально обнаружен СМ Этинпером и теоретически обоснован АА Ломакиным в 1957г. Аналитическое обоснование появления центрирующей силы в канале цилиндр-конус представлено в гл.4.

Далее проведены расчеты с помощью модели (1), (ЗН6) для случая несоосного положения вращающегося цилиндра в конусе при отсутствии перепада давления вдоль оси в условиях ламинарного течения. На рис 13а представлена зависимость давления от тангенциальной координаты на входе в канал. В отличие от случая соосного положения давление имеет максимум, который приходится в область перед минимальным радиальным зазором. Так как нет осевого перепада давления, а на торцах области его значение одинаково внутри появляется максимум давления по длине канала (рис13б).

Для случая оэосного попадания и нулевой конусности результаты оопосгавле-ны с известным аналитическим решением, а таюмэ с результатами, полученными МКР и МКЭ, максимальная погрешность расчетов при разгамной кратности разбиения приведена в табл. 4. Для данной задачи результаты, полученные МКЭ и МКР, становятся адекватными, только при увеличении количества узлов втрое относительной сетей для МКО.

Рис. 13 - Изменение давления по тангенциальной и осевой координатам

Кол-во КО по толщине канала 25 50 75

с max МКР, % 11,33 5,44 3,56

с max МКЭ, % 3,67 2,42 1,51

е_тах_МКО, % 0.002 8.3-10" 2.5-10""

Далее в главе приведено описание программы расчета течений в каналах переменной геометрии типа цилиндр-конус с напорно-сдвиговым течением, основными характеристиками которых являются несущая способность слоя жидкости и ее расход. Расчет указанных параметров производиться на основе математической модели (1), (3)-(6), учитывающей переменную фюрму канала цилиндр-конус. В алгоритм расчета заложен метод контрольных объемов, имеющий ряд преимуществ, описанных ранее. Дискретная модель получена путем интегрирования каждого уравнения по контрольным объемам. На основе полученных полей давлений и скоростей от различных значений входных параметров рассчитываются реакция слоя жидкости и ее расход. На рис. 14 представлен алгоритм расчета. Программа позволяет варьировать основными геометрическими и физическими параметрами исследуемого напорно-одвигового течения в несоосном канале цилиндр-конус. Результаты могут быть представлены как количественно в виде массивов данных, так и в виде графиков.

В четвертой главе рассмотрена задача о напорном течении, приведено теоретическое обоснование возникновения центрирующей силы, действующей на цилиндр в несоосном канале цилиндр-конус, а также предложен способ приближенного аналитического решения задами в случае нулевой конусности.

Область течения (рис 15а) посредством двух конформных отображений, связанных с биполярным и полярным преобразованием координат, приводится к простой форме прямоугольного параллелепипеда (рис 156). Коэффициенты Лямэ преобразования координат имеют вод:

аД

chip, cos(Si)+|-lnfe)J" «*(&)

сИсо5(д)+ - им(А)

где а, кг- постоянные величины, определяемые размерами области и эксцентриситетом.

Предполагается, что скорость жидкости в криволинейных координатах Д имеет Рис.14-Алгориш расчета две ненулевье компоненты У2 и К,, а их траектории расположены на семействе изоповерхностей Д=еои#,

13

что в декартовых координатах х, соответствует трехкомпонентному полю скоростей и траекториям движения жидкости по семейству поверхностей конической формы, крайние из которых совпадают с конической и цилиндрической стенками канала.

Далее приведено теоретическое обоснование того, что результирующая сила от действия давления Р(0) на поверхности цилицдра направлена точно по линии, соединяющей оси цилиндра и конуса.

При допущении о малости маосовых сил и выполнении условия прилипания на поверхности цилицдра

уравнение движения в проекции на ось 02 было преобразовано к ваду:

(13)

Щ

дР _ /л

гр2 и фг

Учитывая, что компонента скорости У2 из соображений симметрии течения обладает свойством нечетности по координате 02: У/0,, & Р^Угф,, 01 тогда вся Рис 15-Расчетная область течения и траектория материальной частиц: правая часть уравнения (13) оба - в декартовых координатах; б - в криволинейных координатах ладает тем ^ свойством. Из

анализа известно, что если производная функции является нечетной, то сама функция является четной. Следовательно, поле давления на поверхности цилицдра симметрично относительно плоскости 02=0, а результирующая сила лежит в той же плоскости, что обуславливает возникновение центрирующей силы при наличии эксцентричного положения осей цилиндра и конуса.

Далее для случая нулевой конусности получено приближенное аналитическое решение задачи. По формуле Гольденблата-Кучеряева, полученной из закона сохранения вещества, в координатах 0, определяется стационарное поле скоростей движения вязкой несжимаемой жидкости через функцию тока Ф.

Г = -(У/?,хУ4'), (14)

Вид функции тока определялся априорными знаниями об исследуемом течении, а также с учетом соображений симметрии течения относительно плоскости 02=О, условия периодичности по 02 (рис. 146) и прилипания. Функция тока была задана как произведение двух функций:

= 1/(02,0зУ(Л)- (15)

Функция ч/(0ъ 03) определяет вид траекторий движения жидкости и определяется как суперпозиция бесчисленного множества равноудаленных на расстоянии 2Н точечных источников одинаковой мощности Ау/=1, расположенных параллельно оси 02, и однородного патока в направлении Д со

скоростью К (рис. 16). Такое течение было предложено Б.В. Куче-ряевым для моделирования процесса прокатки, однако может быть использовано и в данной задаче:

1] и 1 ]

1 ■

| ! р; гп

где

Г(Л> л) - ^агсг (сК^^Х*^;^)) - У.0г <16)

бифуркации,

точки

А»= — Ь

ж

Рис. 16 - Изолинии функции тока у свьделенной исследуемой областью

координата

У„ + Д^/(4 Я))

Функция с(0!) определяет выполнение условия прилипания на поверхностях цилиндров и определяется решением уравнений движения для асимптотического случая соосного положения цилицдров.

В результате для случая напорного течения в канале цилицдр-цилицдр с относительным эксцентриситетом не более 10% получено приближенное аналитическое решение, удовлетворяющее с высокой темностью результатам эксперимента.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлено решение актуальной научно-практической задачи, связанной с разработкой математических моделей, эффективных вычислительных алгоритмов и программного обеспечения для расчета основных характеристик напорно-едвиговых течений вязких несжимаемых жидкостей в несооо-ном канале цилицдр-конус. Для достижения заданной цели был выполнен рад задач:

14

1 Проведен анализ работ, связанных с моделированием течений в каналах переменной геометрии. В результате чего была обнаружена недостаточность теоретических исследований в области моделирования течений в каналах циличдр-мэнус; что mcpmst объясняться определенными сложностями в постановке и реализации математических моделей, описывающих такие течения;

2 Построена математическая модель трехмерного изотермического ламинарного течения вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости, основанная на совместном решении базовых уравнений гвдродина-мики и учитывающая переменную геометрию зазора, позволяющая определять поля давлений, скоростей в напорно-сдвиговых течениях, а такие интегральные характеристики. С помощью теории подобия произведен анализ размерностей, установлены пределы применимости допущений Рейнолвдса.

3 На основе метода контрольных объемов разработан эффективный алгоритм расчета основных характеристик напорно-едвигового течения вязюй несжимаемой жидкости в несоосном канале цилиццр-конус;

4 Разработано проблемно-ориентированное программное обеспечение для расчета напорно-едвигового течения вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости в несоосном канале формы цилиндр-конус. Произведена серия вычислительных экспериментов и установлены некоторые закономерности;

5 Аналитически обоснован и численно подтвержден эффект возникновения центрирующей силы в несоосном канале цилиндр-конус при напорном течении. Предлоиен и реализован способ определения приближенного аналитического решения для напорного течения в канапе цилиедр-ципиццр с помощью построения кинематически возможного поля скоростей;

6 Произведена оценка адекватности результатов расчета на основе асимптотических моделей, имеющих точное решение; результатов, полученных в памгге Ansys; а таюю результатах экспериментов, полученными другими авторами.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ В периодических издания рекомендованных ВАК:

1 Корнаева ЕП., Савин Л А Моделирование течения жидкости в уплотнении малой конусности II Фундаментальные проблемы техники и технологии, 2011.-№3 (287). - С.54-59.

2 Корнаева ЕЯ Моделирование течения вязкой несжимаемой жидкости в конфузоре II Информационные системы и технологии, 2011. - №5 (67). - С.56-60.

3 Савин ЛА, Корнаева ЕП., Корнаев А.В. Расчет полей скоростей и давлений течения вязкой жидкости в системе ротор-уплотнение цилиндрическо-конической формы методом контрольных объемов II Известия Юго-западного государственного университета, 2011. - №5 (38). - С.19-26.

4 Савин ЛА, Крахг В.Б., Корнаев А В., Корнаева ЕП.Снижение механических колебаний при прокатке за счет демпфирующих свойств гидродинамических подшипников II Производство проката,

2010. - №11. - С. 41-45.

В зарубежных изданиях:

5 Savin LA, Komaeva ЕР. Komaev AV. Modeling of fluid flow in the gap of cone-cylinder seals //XII*1 International Scientific-Technical conference "Seals and sealing technology of machines and devices": Wordaw - Ku-dcwa Zdroj, Poland, 2010,- P. 34-38.

6 Savin LA Komaev A.V., Komaeva EP. Theoretical aspects of modeling fluid film flow in journal bearings and seals //Xll" International Scientific-Technical conference "Seals and sealing technology of machines and devices": Worclaw - Kudowa Zdroj, Poland, 2010.-P. 39-42.

7 Савин ЛА, Корнаева ЕП. Моделирование течения жидкости в конусном уплотнении //XIII Меядуна-родная научно-техническая конференция «Герметичность, вибронадежносгъ и экологическая безопасность насосного и компрессорного оборудования». - Сумы: Сумский государственный университет,

2011.-С.104-112

В российских изданиях:

8 ЕП. Смирнова (Корнаева), ЕН. Коржов. Математическое модепирование неизотермического течения смазки в подшипнике жидкостного трения // Молодые ученые науке и производству: Сборник трудов всероссийской научно-практической конференции: Ст. Оскоп: CTV1 МИСиС, 2008.-Т.4.-С.185-189.

9 ЕП. Смирнова (Корнаева), ЛА Савин, ЕН. Коржов. Исследование течения жццкосги между двумя вращающимися цилиндрами с помощью пакета Ansys. Применение к подшипникам жидкостного трения // Образование, наука, производство и управление: Сборник трудов научно-практической конференции: Ст. Оскоп: СТИ МИСиС, 2008.-Т.5.-С.95-101.

¡р

10 Архипов В.П. Смирнова (Корнаева) Е.П. Применение метода конечных разностей для расчета поля давлений в подшипнике жидкостного трения // Современная металлургия начала нового тысячелетия: сб. науч. тр. Часть 2,-Липецк: ЛГТУ, 2008-С.87-92.

11 Смирнова (Корнаева) ЕП. Постановка задачи о напоржхдвиговом течении вязкой несжимаемой жидкости в канале цилиндр-конус // Инжиниринг-2009. Сборник научных трудов. Орел: «Издательский дом «Орловская литература и книгоиздаггепьство»и К», 2009.-С.149-151.

12 Смирнова (Корнаева) Е.П., Корнаев АВ. Применение теории подобия к задаче о течении жидкости в зазоре между двумя несоосными цилиндрами // Инжиниринг-2009. Сборник научных трудов. Орел: «Издательский дом «Орловская литература и книгоиздагельсгао»и К», 2009.-С.51-55.

13 Корнаев АВ., Смирнова (Корнаева) ЕП. Способ построения плоского соленоцдального поля скоростей в области менаду вращающимися цилиндрами // Инжиниринг-2009. Сборник научных трудов. Орел: «Издательский дом «Орловская литература и книгоиздагельсгоо»и К», 2009.-С.152-155.

14 Савин ЛА, Корнаев АВ., Смирнова (Корнаева) ЕП. Изопериметрическая постановка вариационной задачи для двумерного течения вязкой несжимаемой жидкости в области между вращающимися цилиндрами // Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Сборниктрудов. Воронеж ВГУ, 2009.-С. 153-156.

15 Савин ЛА, Корнаева ЕП. Математическое моделирование стационарного напорносдвипового течения вязких несжимаемых сред в канале цилиндр-конус // Международная научно-практическая конференция преподавателей, сотрудников и аспирантов 'Образование, наука, производство и управление". Сборник научных и научнониетодических докладов на международной научно-практической конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов. Ст. Оскол: СТО НИТУ МИСиС, 2009.-Т.З-С. 237-240.

16 Савин Л А, Корнаев АВ., Корнаева ЕП. Приближенное решение изопериметрической вариационной задачи о двумерном стационарном течении вязкой несжимаемой жидкости в области между врачующимися цилиндрами // Международная научно-практическая конференция преподавателей, сотрудников и аспирантов 'Образование, наука, производство и управление". Сборник научных и научно-методических докладов на международной научнснракгической конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов. Ст. Оскол: СТО НИТУ МИСиС, 2009.-Т.Э-С.232-236.

17 Корнаева ЕП. Расчет полей давлений внутри смазочного слоя в щелевых уплотнениях и подшипниках жидкостного трения формы конуочдилиндр // Материалы IV Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, образовании и производстве. ИТНОП-2010». Орел: ОрепПУ, 2010.-Т.З-С.149-152.

18 Савин ЛА, Корнаев АВ., Корнаева Е.П. Постановка задачи трехмерного стационарного течения несжимаемой среды в зазоре между вращающимися цилиндрами II Сборник научных статей: в 2.ч. по материалам IX научно-технической конференции «Вибрация -2010. Управляемые вибрационные технологии и машины». 4.1. Курский гос техн. Ун-т. Курск, 2010.-С.7&-79.

19 Корнаева ЕП. Анализ численных методов решения задачи о течении жидкости в щелевом канале // «Сборник научных статей: в 2.ч. по материалам IX научно-технической конференции «Вибрация-2010. Управляемые вибрационные технологии и машины». 4.1. Курский гос техн. Ун-т. Курск, 2010.-С.7&&4.

20 Корнаев АВ., Савин ЛА, Корнаева ЕП. Постановка задачи оптимального проектирования гибридной гидродинамической смазки // Образование, наука, производство и управление. Сборник научных и научно-методических докладов научно-практической конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов с международным участием. Ст. Оскол: СТО НИТУ МИСиС, 2010. Т.1.- С.209-211.

21 Корнаева Е.П., Савин Л А Исследование влияние конусности уплотнения на расход смазки II '¡Образование, наука, производство и управление» сборник научных и научно-методических докладов научно-практической конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов с международным участием. Ст.Осхоп: СТО НИТУ МИСиС, 2010. Т.1. -С. 212-214.

22 Свидетельство о государственной регистрации программы на ЭВМ № 2011615925. Программа расчета напорных течений вязких жидкостей в конусном конфузоре / Корнаева Е.П., Савин ЛА, Архипов В.П. заявитель и правообладатель ООО «ПЛАЗМИКА», заявл. 10.06.2011, опубл. 28.07.2011г.

Подписано в печать 12.10.2011 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усп. печ. л. 1,0 Тираж 100экз. Заказ № 485 Отпечатано в типографии ООО «Альфа Принт», 309500, г. Старый Оскол, ул. 9 января, д.14а

ВВЕДЕНИЕ.

1 Описание течений в каналах переменной геометрии.

1.1 Течения в каналах переменной геометрии. Основные уравнения.

1.2 Обзор существующих работ и программных комплексов

1.3 Гидродинамическая устойчивость течений.

1.4 Объект, структура, цели и задачи исследования.

2 Моделирование течения жидкости в канале цилиндр-конус.

2.1 Постановка краевой задачи об изотермическом напорно-сдвиговом течении вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости в канале формы конус-цилиндр.

2.2 Исследование математической модели на основе теории подобия.

2.3 Анализ численных методов для реализации математической модели

2.4 Реализация модели методом контрольных объемов.

3 Численное решение краевых задач течения вязких несжимаемых жидкостей в каналах переменной геометрии. Анализ адекватности результатов.

3.1 Напорное течение в плоском конфузорном канале.

3.2 Напорное трехмерное течение в канале цилиндр-конус.

3.3 Сдвиговое трехмерное течение в канале цилиндр-конус.

3.4 Описание программного комплекса для расчета напорно-сдвиговых течений в канале цилиндр-конус.

4 Теоретическое исследование напорного течения в несоосном канале цилиндр-конус.

4.1 Преобразование области течения.

4.2 Аналитическое подтверждение возникновения центрирующей силы в несоосном канале цилиндр-конус.

4.3 Приближенное аналитическое решение задачи о течении в канале цилиндр-цилиндр.

Актуальность. Математическое моделирование напорно-сдвиговых течений вязких жидкостей в каналах переменной геометрии является важной задачей гидродинамики. Примерами течений в каналах переменной геометрии служат течения жидкостей в уплотнительных и опорных элементах роторных машин, имеющих широкое применение в машиностроительной, металлургической отрасли, а также в авиа- и ракетостроении, где к таким элементам предъявляют особые требования надежности и долговечности.

Настоящая работа посвящена исследованию течений вязких несжимаемых ньютоновских жидкостей в криволинейных каналах цилиндрическо - конической формы. Не смотря на простоту формы канала, математическая постановка и реализация моделей, описывающих напорно-сдвиговые течения в такого рода каналах даже в базовой постановке является сложной задачей. Принимая во внимание то, что такие течения характеризуются высокими скоростями вращения и большими градиентами давления необходим одновременный учет напорного и сдвигового течения.

В виду того, что рассматриваемая область течения является переменной по пространственным координатам, необходимо построение математической модели трехмерного течения, в связи с чем, большинство методик, основанных на ряде допущений о малости толщины слоя жидкости, неприемлемы. Существующие на сегодняшний день работы по исследованию течений вязких жидкостей в криволинейных каналах формы цилиндр-конус не позволяют в достаточной мере прогнозировать основные характеристики таких течений, т.к. учитывают не все значимые факторы.

В связи с чем, можно констатировать недостаточное развитие надежной теоретической базы, позволяющей оценивать и анализировать поведение основных характеристик напорно-сдвиговых течений вязкой жидкости в каналах переменной геометрии типа цилиндр - усеченный конус (далее 4 цилиндр-конус) при изменении таких факторов как конусность и несоосность области, одновременный учет напорного и сдвигового течения.

Несомненно, на сегодняшний день существует большое количество программных продуктов для расчета гидродинамических систем, например таких как Апэуз, БоНс^огкз, АРМ \\^1пМазЫпе и т.д., которые обладают широкими возможностями и безусловно являются конкурентоспособными. Однако, из-за того, что они специализируются на широком спектре задач, теряется гибкость решения задачи в конкретной предметной области. От конечного пользователя требуется широкий круг знаний в различных областях. Например, в пакете Апэуз действия пользователя не ограничиваются построением геометрии расчетной области и задания входных параметров, ему также необходимо определить режимы работы объекта, если это задачи гидродинамики, то определение режима течения жидкости, также необходимо корректно определить начальные и граничные условия, построить конечно - элементную модель объекта, определить методы решения. В результате, от конечного требуются глубокие знания аппарата математического моделирования и численных методов расчета для корректной постановки задачи и анализа полученных результатов в таких программных комплексах. Поэтому разработка и тестирование программного комплекса для расчета конкретного типа задач гидродинамики, обеспечивающего удобство ввода-вывода информации, обладающего высокой скоростью и точностью расчета представляет интерес для пользователей, занимающихся проектированием и эксплуатацией гидродинамических элементов, образованных вращающимся цилиндром и неподвижным конусом с напорно-сдвиговым течением вязкой несжимаемой жидкости.

Таким образом, разработка математических моделей, а также создание эффективного алгоритма и программ расчета напорно-сдвиговых течений вязкой несжимаемой жидкости в каналах переменной геометрии является актуальной задачей.

Объект исследования. Напорно-сдвиговое течение вязкой несжимаемой жидкости в несоосном канале цилиндр-конус.

Предмет исследования. Математические модели, методы и программные комплексы для расчета характеристик напорно-сдвиговых течений вязкой несжимаемой среды.

Цель исследования. Построение и анализ математических моделей, совершенствование методов расчета и разработка проблемно-ориентированного комплекса программ для анализа напорно-сдвиговых течений в каналах формы цилиндр-конус.

Для достижения сформулированной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1) провести информационный поиск в области моделирования напорно-сдвиговых течений в каналах переменной геометрии формы цилиндр-конус;

2) построить математическую модель трехмерного напорно-сдвигового течения вязкой несжимаемой жидкости в несоосном канале цилиндр-конус, учитывающую переменную геометрию расчетной области;

3) разработать численный алгоритм расчета построенной математической модели, основанный на методе контрольных объемов;

4) разработать проблемно-ориентированное программное обеспечение для расчета напорно-сдвигового течения вязких несжимаемых ньютоновских жидкостей в несоосных каналах формы цилиндр-конус;

5) провести комплексные исследования для установления влияния геометрических и физических факторов на основные характеристики напорно-сдвигового течения в несоосном канале цилиндр-конус с применением вычислительного эксперимента;

6) проверить адекватность результатов на асимптотических моделях, результатах, полученных другими исследователями, и на основе тестирования в пакете АпвуБ.

Методы исследования. Исследование характеристик течения проводится на основе базовых уравнений гидродинамики: уравнения неразрывности и Навье-Стокса. Построенная математическая модель реализуется с помощью метода контрольных объемов, который обеспечивает точное интегральное сохранение таких величин, как масса, импульс и энергия во всей расчетной области, не зависимо от количества узловых точек, в отличие, например, от метода конечных разностей. Верификация результатов выполнялась путем сравнения с численными решениями, полученными в программном комплексе Албуб, а также с аналитическими решениями для асимптотических случаев.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту;

1) построена и реализована математическая модель трехмерного течения вязких несжимаемых жидкостей в канале цилиндр-конус, основанная на совместном решении базовых уравнений гидродинамики и учитывающая переменную геометрию зазора, образованного несоосными цилиндром и конусом, позволяющая определять поля давлений, скоростей в напорно-сдвиговых течениях;

2) на основе теории подобия и анализа размерностей произведена оценка значимости инерционных сил и сил вязкости при различных значениях параметра конусности и числа Рейнольдса, определяющая границы применимости допущений о их малости;

3) предложен и реализован эффективный численный алгоритм расчета трехмерного течения вязких жидкостей в несоосных каналах формы цилиндр-конус, основанный на методе контрольных объемов;

4) аналитически обоснован и численно подтвержден эффект возникновения центрирующей силы в несоосном канале цилиндр-конус при напорном течении. Предложен и реализован способ определения приближенного аналитического решения для напорного течения в канале цилиндр-цилиндр с помощью построения кинематически возможного поля скоростей;

5) разработан комплекс проблемно-ориентированных программ расчета, позволяющий определять поля давлений, скоростей и расходные характеристики напорно-сдвиговых течений вязких несжимаемых жидкостей в несоосных каналах формы цилиндр — конус;

6) на основе проведения комплексных исследований выявлены закономерности влияния геометрических, кинематических и статических параметров на основные характеристики напорно-сдвиговых течений в несоосных каналах формы цилиндр-конус.

Достоверность результатов основывается на том, что

- Использованы фундаментальные законы механики сплошных сред: закон сохранения массы и импульса;

- Построенные численные алгоритмы апробированы на асимптотических моделях, имеющих аналитические решения, а так же произведено тестирование результатов в программном комплексе АшуБ;

Практическая значимость работы заключается в том, что разработанные математические модели, алгоритмы расчета и комплекс программ позволяют определять основные характеристики напорно-сдвиговых течений в несоосных каналах формы цилиндр-конус в зависимости от геометрических и физических факторов.

Разработанный программный комплекс имеет ряд преимуществ:

- позволяет получать основные характеристики объекта исследования с более высокой точностью и скоростью сходимости итерационного процесса, т.к. в его основу заложен метод контрольных объемов;

- обеспечивает конечному пользователю простоту в постановке задачи и получении адекватных результатов;

- позволяет снизить погрешность округления результатов расчета за счет обезразмеривания геометрических и физических величин;

Отдельные результаты диссертационной работы используются в учебном процессе Старооскольского Технологического Института (филиала НИТУ МИСиС) при проведении занятий по дисциплине «Математическое моделирование процессов и объектов в металлургии».

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на 5ой Международной научно-практической конференции «Современная металлургия начала нового тысячелетия» г. Липецк 24-28 ноября 2008г; Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» г. Воронеж 22-24 июня 2009г; Международной научно-практической конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов «Образование, наука, производство и управление» г. Старый Оскол 24-25 ноября 2009г; 9ой Международной научно-технической конференции «Вибрация — 2010. Управляемые вибрационные технологии и машины» г. Курск 13- 14 апреля 2010г; 4ой Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, образовании и производстве» г. Орел 22-23 апреля 20 Юг; 12ой Меяедународной научно-технической конференции «Seals and sealing technology of machine and devices» Poland, Wroclaw - Kudowa Zdroj 26-28 мая 2010г.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

Указанная область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические науки), а именно: п. 2 - «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»; п. 4 — «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; п. 5 -«Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Публикации

По теме диссертации опубликованы 22 научные работы, 4 из них в периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011615925.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и приложений, имеет 149 страниц основного текста, 62 рисунка, 18 таблиц. Библиография включает 123 наименования.

Выводы:

- в результате двукратного конформного отображения исходную область удалось отобразить в прямоугольный параллелепипед, что в дальнейшем упростило кинематическую постановку задачи стационарного изотермического напорного течения вязкой несжимаемой жидкости в канале формы цилиндр-конус;

- теоретически обосновано и ранее (глава 3) подтверждено экспериментально наличие тангенциальной компоненты скорости потока, возникающей в случаях несоосного положении цилиндра и конуса, обуславливающей в частности перепад давления по окружности внутреннего цилиндра;

- для случая напорного течения в канале цилиндр-конус аналитически подтверждено направление результирующей силы от неравномерного по окружности воздействия давления на поверхности внутреннего цилиндра, которая точно совпадает с линией центров и имеет характер центрирующей силы.

- для случая напорного течения в канале цилиндр-цилиндр получено приближенное аналитическое решение, основанное на построении поля скоростей, удовлетворяющего во всей области условию несжимаемости, а также кинематическим и статическим граничным условиям;

- материалы главы отражены в двух публикациях [3, 6]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлено решение актуальной научно-практической задачи, связанной с разработкой математических моделей, эффективных вычислительных алгоритмов и программного обеспечения для расчета основных характеристик напорно-сдвиговых течений вязких несжимаемых жидкостей в несоосном канале цилиндр-конус. Для достижения заданной цели был выполнен ряд задач:

1 Проведен анализ работ, связанных с моделированием течений в каналах переменной геометрии. В результате чего была обнаружена недостаточность теоретических исследований в области моделирования течений в каналах цилиндр-конус, что может объясняться определенными сложностями в постановке и реализации математических моделей, описывающих такие течения;

2 Построена математическая модель трехмерного изотермического ламинарного течения вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости, основанная на совместном решении базовых уравнений гидродинамики и учитывающая переменную геометрию зазора, позволяющая определять поля давлений, скоростей в напорно-сдвиговых течениях, а также интегральные характеристики. С помощью теории подобия произведен анализ размерностей, установлены пределы применимости допущений Рейнольдса.

3 На основе метода контрольных объемов разработан эффективный алгоритм расчета основных характеристик напорно-сдвигового течения вязкой несжимаемой жидкости в несоосном канале цилиндр-конус;

4 Разработано проблемно-ориентированное программное обеспечение для расчета напорно-сдвигового течения вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости в несоосном канале формы цилиндр-конус. Произведена серия вычислительных экспериментов и установлены некоторые закономерности;

5 Аналитически обоснован и численно подтвержден эффект возникновения центрирующей силы в несоосном канале цилиндр-конус при напорном течении. Предложен и реализован способ определения приближенного аналитического решения для напорного течения в канале цилиндр-цилиндр с помощью построения кинематически возможного поля скоростей;

6 Произведена оценка адекватности результатов расчета на основе асимптотических моделей, имеющих точное решение; результатов, полученных в пакете Апбуб; а также результатах экспериментов, полученными другими авторами.

1. Марцинковский В.А. Вибрации роторов центробежных машин: Гидродинамика дросселирующих каналов Текст./ В.А Марцинковский. Суми: СумДУ, 2002.-337с.

2. Белоусов А.И., Зрелов В.А. Конструкция и проектирование уплотнений вращающихся валов турбомашин двигателей летательных аппаратов: Учебн. пособие. — Куйбышев: Изд-во Куйбышевского авиационного института, 1989. — 108 с.

3. Бережной И.С., Постников И.Д., Пшик В.Р. Исследование расходных и динамических характеристик лабиринтных уплотнений // Вестник машиностроения. 1985. - № 11. - С. 15-17.

4. Бондаренко Г.А., Пшик В.Р. Экспериментальное исследование виброактивности уплотнений валов турбомашин.// Энергомашиностроение. — 1982.-№4.-С. 5-8.

5. Иванов A.B., Коробченко В.А., Шостак A.B. Конструкция и проектирование уплотнений проточной части насосов и турбин ТНА ЖРД: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2005. 86 с.

6. Ханович М.Г. Опоры жидкостного трения Текст. / М.Г. Ханович. — М,1963.-300с.

7. Диприма P.C. Течение между неконцентрическими вращающимися цилиндрами Текст. / P.C. Диприма, Ж.Т. Стюарт // Проблемы трения и смазки . -1971. -№3. С.73-81.

8. Кулински. Профили скоростей в подшипниках скольжения при малом эксцентриситете и умеренных значениях видоизмененного числа Рейнольдса Текст. / Кулински, Острач // Прикладная механика. -1967.-С. 19-26.

9. Гидродинамическая теория смазки / Под ред. JI.C. Лейбензона М.:Гостехиздат, 1934. 562с.

10. Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости Текст. / Н.А Слёзкин; Государственное издательство технико — теоретической литературы. — М., 1955. -520с.

11. Слёзкин Н.А. К вопросу об устойчивости решения уравнения Рейнольдса. ДАН СССР, 1964. №2.

12. Слёзкин Н.А. Обобщенное уравнение Рейнольдса Текст. / Слёзкин Н.А., Тарг С.М. ДАН СССР, 1946. - №3.

13. Константинеску В.Н. О влиянии инерционных сил в турбулентных и ламинарных самогенерирующихся пленках. Проблемы трения и смазки, 1970. №3.

14. Кинг, Тейлор. Оценка влияния сил инерции жидкости на характеристики подшипника с наклонным ползуном для случая турбулентной смазки. Проблемы трения и смазки. №1. 1977, с. 135.

15. Константинеску В.Н. Теория турбулентной смазки и ее обобщение с учетом тепловых эффектов. Проблемы трения и смазки, 1973. №2, с.35-43.

16. Takeda Y. Observation of the transient behavior of Taylor vortex flow between rotating concentric cylinders after sudden start Текст. / Y. Takeda, K. Kobashi, W. Fischer // Expirements in Fluid.-1990.-C.317-319.

17. Коровчинский M.B. Теоретические основы работы подшипников скольжения. М.:Машгиз, 1959, 403с.

18. Charnes A., Asterle F., Saibel E. On the solution of Reynolds equestion for slider-bearing lubrication. Effect of temperature of viscosity. Trans. ASME, 1953, №6.

19. Типей H., Ника О. О поле температур в пленках смазки. — Теорет. основы инж. Расчетов, 1967, №4.

20. Snyder H.A., Karlsson S.K. Experiments on the stability of Couette Motion with radial thermal gradient. The physics of fluid, 1964. V.7, N.10.

21. H.А. Слезкин. Движение вязкой жидкости в конусе и между двумя конусами. Математический сборник. Т.42, №1.

22. Kalita W., Rodkiewicz Cz.M., Kennedy J.S. On the laminar flow characteristics of conical bearings // Trans. ASME. Tribol. (Pt.l: analytical approach.). 1986. - 108. - № 1. - P. 53 - 58.

23. Kalita W., Yegani N., Rodkiewicz Cz.M., Kennedy J.S. On the laminar flow characteristics of conical bearings // Trans. ASME. Tribol. (Pt.II: experimental verification.). 1986. - 108. - № 1. - P. 59 - 64.

24. Kennedy J.S., Sinha Prawal, Rodkiewicz Cz.M. Thermal effects in externally pressurized conical bearings with variable viscosity // Trans. ASME. Tribol. 1988. - 10. - № 2. - P. 201 - 211

25. Галиев P.M., Поспелов Г.А. Стационарная задача конического подшипника с газовой смазкой // Газовые опоры турбомашин: Тр. Всесоюз. межвузовского совещания. Казань, 1975. - С.130 — 131.

26. Галиев P.M., Поспелов Г.А. Динамические коэффициенты смазочного слоя конического подшипника с перепадом давления на торцах. — Деп. в ЦИНТИ химнефтемаш, 1978, № 442.

27. Wimmer M. Taylor vortices at different geometries // Physics of rotating fluids. Berlin: Springer, 2000. 194-212.

28. Кривонос В.К., Поддубный А.И. Теоретический расчет поля давлений в коническом гидростатическом подшипнике с тангенциальными камерами //

29. Исследование гидростатических опор и уплотнений двигателей летательных аппаратов: Сб. науч. тр. Харьков: ХАИ, 1986. - Вып. 2. - С. 79 - 84.

30. Поддубный А.И., Торубара A.M. К расчету характеристик конических гидростатических подшипников // Исследование и проектирование гидростатических опор и уплотнений быстроходных машин: Сб. науч. тр. -Харьков: ХАИ, 1975. Вып.2. - С. 125 - 128.

31. W. Todd Lindsey, Dara W. Childs. The effect of convergine and divergin axial taper on the rotordynamic coefficients of liquid annular pressure seals: Theory versus experiment. ASME. Vol.122, p/126-131.

32. E.H. Коржов, И.В. Ерофеев, A.B. Иванов. Гидродинамическое сопротивление при течении жидкости между цилиндром и конусом под действием перепада давления. Ракетно-космическая техника и технология. 2009, 229с.

33. Richard М. Lueptow. Stability and experimental velocity field in Taylor— Couette flow with axial and radial flow. Physics of Rotating Fluids Springer.Germany, 20-23 July 1999

34. Г.А. Никитин. Щелевые и лабиринтные уплотнения гидроагрегатов. М.: Машиностроение, 1982, 134с.

35. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Государственное издательство технико-технической литературы, 1955. — 519с.

36. Hori Yukio. Hydrodynamic Lubrication. Hardcover, 2006. 250 p.

37. Савин JI.A., Соломин О.В. Моделирование роторных систем с опорами жидкостного трения: монография- М.: Машиностроение-1, 2006. — 444 с.

38. S. Patankar. Numerical heat transfer and fluid flow. Hemisphere Publishing Corporation, New York, 1980. 148p.

39. Белоусов А.И., Зрелов B.A. Конструкция и проектирование уплотнений вращающихся валов турбомашин двигателей летательныхаппаратов: Учебн. пособие. — Куйбышев: Изд-во Куйбышевского авиационного института, 1989. 108 с.

40. Бережной И.С., Постников И.Д., Пшик В.Р. Исследование расходных и динамических характеристик лабиринтных уплотнений // Вестник машиностроения. 1985. — № 11. — С. 15—17.

41. Бондаренко Г.А., Пшик В.Р. Экспериментальное исследование виброактивности уплотнений валов турбомашин.// Энергомашиностроение. — 1982.-№4.-С. 5-8.

42. A.C. Монин, A.M. Яглом. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. Часть 1.М.: «Наука» Физматлит. — 1965,- 640с.

43. A.C. Монин, A.M. Яглом. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. Часть 1.М.: «Наука» Физматлит. — 1967.- 720с.76G.I. Taylor. Stability of viscous liquid contained between two rotating cylinders. 1922. -P.289-344.

44. B.A. Ильин, В.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть II. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2002. - 464с.

45. Жуковский Н.Е., Чаплыгин С.А. О трении смазочного слоя между шипом и подшипником (Н.Е. Жуковский, Собр. Соч., т III, 1949).

46. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1974. - 832 с.

47. L.M. Miln-Thomson. Theoretical hydrodynamic. Fours edition. London: Macmilan and Co LTD, 1960. - 660 p.

48. Д.Джозеф. Устойчивость движений жидкости. Перевод с английского Ю.Н. Беляева, И.М. Яворский, под ред. Г.И. Петрова. М.: Москва. 1981. -632с.

49. Белов И.А., Исаев С.А. Моделирование турбулентных течений. Учебное пособие. Балт.гос.тех.ун-т.СПб.-2001.-108с.

50. Hori Yukio. Hydrodynamic Lubrication Текст./ Hon Yukio. Hardcover, 2006. 250 p.

51. Лойцянский JI.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 870 с.

52. Артемов М.А., Коржов E.H. Математическое моделирование и компьютерный эксперимент. Воронеж: ВГУ. - 2001. — 64с.

53. Седов Л.И. Методы теории подобия и размерности в механике. М.: Наука. -1977.- 438с.

54. Савин Л.А., Корнаева Е.П. Моделирование течения жидкости в конусном уплотнении // XIII Международная научно-техническая конференция «Герметичность, вибронадежность и экологическая безопасность насосного и компрессорного оборудования». С. 104-112.

55. Корнаева Е.П., Савин JI.A. Моделирование течения жидкости в уплотнении малой конусности // Фундаментальные проблемы техники и технологии, 2011. №3 (287). - С.54-59.

56. Архипов В.П. Смирнова (Корнаева) Е.П. Применение метода конечных разностей для расчета поля давлений в подшипнике жидкостного трения // Современная металлургия начала нового тысячелетия: сб. науч. тр. Часть 2.-Липецк: ЛГТУ, 2008 -С.87-92.

57. Бедчер Ф.С., Ломакин А.А. Определение критического числа оборотов ротора насоса с учетом сил, возникающих в уплотнениях. // Паро- и газотурбостроение. — 1957. Вып. 5. - С. 249-269.

58. Этингер С.М. Опыт наладки и освоения в эксплуатации питательных насосов сверхвысокого давления типа СВП-220-280 Черепетской ГРЭС. // Паро- и газотурбостроение. 1957. - Вып. 5. - С. 155-177.

59. Милн-Томсон JI.M. Теоретическая гидродинамика. /Перевод с английского A.A. Петрова и др.// М.: Мир, 1964. - 660 С.

60. Гун Г.Я. Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением Текст. : учеб. пособие / Г. Я. Гун ; под ред. П. И. Полухина. М.: Металлургия, 1983. - 351 с.

61. Костерин С.И., Финатьев Ю.П. К вопросу о структуре турбулентного потока в кольцевом канале при вращении внутреннего цилиндра // Инженерно физический журнал. - 1963. №10.

62. Васильцов Э.А. Бесконтактные уплотнения. Л.: Машиностроение. — 1974.-160с.

63. Камал М. Отрыв течения между неконцентрическими вращающимися цилиндрами // Труды АОИМ, серия Д. — 1966. №4.

64. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физ.-мат.лит.- 1961. — 203с.

65. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебн.: для Вузов. — 4-е издание. М.: Наука. Физматлит. - 1999. - 296с.

66. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы. -М.: Лаборатория Базовых Знаний. 2000. - 624с.

67. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.:Физматлит. -1977.-439с.

68. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир. - 2001. - 430с.

69. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1966. - 576с.

70. Фирсов Д.К. Метод контрольного объема на неструктурированной сетке в вычислительной механике. Учебное пособие. Томский государственный университет. — 2007. — 72с.

71. Норри Д., Ж де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир.-1963.-304с.

72. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. -М.: Мир, 1986.-318с.

73. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными: Пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 216с.

74. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы: Учебн. пособие для Вузов. -М.: Наука. Физматлит. 1989. - 432с.118Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычисленный. 4.2. М.: Физматлит. 1959. - 620с.

75. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы математической физики. М.: Научный мир. — 2003. — 316с.

76. Эльсгольц JI.B. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Эдиториал УРСС. 2000. - 320с.

77. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Щей. Методы. Примеры. -М.:Физматлит. 2001. — 320с.

78. Басов К.А. Ansys в примерах и задачах / Под. общ. ред. Д.Г. Красковского. -М.: КомпьютерПресс. 2002.- 224с.

79. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Алферьева М.А. Ansys в руках инженера: Практическое руководство. — М.: Едиториал УРСС. 2003. - 272с.