автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование турбулентных потоков в кольцевых щелевых каналах переменного поперечного сечения

На правах рукописи

005008655

ЕРОФЕЕВ ИЛЬЯ ВЛАДИМИРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ В КОЛЬЦЕВЫХ ЩЕЛЕВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ЯНВ 2С12

Воронеж 2011

005008655

Работа выполнена на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Шашкин Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Костин Владимир Алексеевич

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Рижских Виктор Иванович

Воронежский государственный технический университет

Защита состоится 25 января 2012 г. в 1510 на заседании диссертационного совета Д 212.038.20 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл, 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 23 декабря 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, Д 212.038.20

кандидат физико-математических наук, доцент

Шабров С. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

В различных отраслях промышленности, например, атомной, авиа-космиче-ской, нефтегазовой, автомобильной и других, используются технические устройства, в которых поток жидких и газообразных сред движется по каналам кольцевого поперечного сечения. Течения в таких устройствах происходят либо за счет перепада давления, либо за счет вращения внутренней поверхности, либо при наличии обеих причин. Исследованию течений в кольцевых каналах посвящено большое число теоретических и экспериментальных работ, значительная часть которых направлена на изучение процессов динамики и теплообмена в кольцевых цилиндрических или конических каналах. Однако при движении жидких и газообразных сред, геометрия канала может быть и другой формы. Одной го возможных геометрических конфигураций является канал кольцевого переменного сечения, образованный цилиндрической и конической поверхностями. Изменение геометрии канала, несомненно, оказывает существенное влияние на характеристики потока. Как показал обзор имеющейся литературы, гидродинамика такого рода систем до сих пор мало изучена.

В связи с вышесказанным задача математического моделирования ламинарных и турбулентных течений в узких кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями, представляется актуальной.

Цель исследования

Цеяыо исследования является разработка методов математического моделирования осевых и спиральных течений в узких кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями, а также построение алгоришов численного решения соответствующих краевых задач на основе метода конечных элементов для выявления основных закономерностей течений и влияния на них определяющих параметров модели.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие основные задачи:

- построение математических моделей для ламинарного и турбулентного режимов течения вязкой несжимаемой жидкости в щелевых кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями;

- применение метода конечных элементов и разработка алгоритма численного решения задач напорного и спирального турбулентных течений в узких кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями для проведения компьютерного эксперимента;

- создание программного комплекса, позволяющего вычислять теплофизи-ческие свойства жидких и газообразных сред для широкого диапазона значений давления и температуры;

- проведение вычислительных экспериментов для комплексного исследования основных характеристик течения и влияния на них параметров модели, аналш полученных результатов и их сопоставление с имеющимися экспериментальными и теоретическими данными.

Методы исследования

Для решения поставленных задач в работе использованы апробированные методы математического моделирования, вычислительной математики и современные методы и технологии программирования.

Научная новизна работы

1. Осуществлена постановка задачи математического моделирования осевых и спиральных ламинарных и турбулентных потоков вязкой несжимаемой жидкости в щелевых кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями.

2. Предложен алгоритм численного решения краевых задач напорного и спирального турбулентных течений в узких кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями.

3. Разработан программный комплекс «открытого типа» для расчета тепло-физических свойств жидких и газообразных сред.

4. На основании вычислительного эксперимента выявлены основные закономерности и особенности ламинарного и турбулентного режимов течения, получены инженерные формулы для расчета коэффициентов гидравлического сопротивления для всех изучаемых видов течения в узких кольцевых каналах, образованных внутренней цилиндрической и внешней конической поверхностями.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты, представленные в диссертационном исследовании, могут быть использованы как в теоретических работах, так и для решения прикладных задач, например, при проектировании подшипников жидкостного трения или уплотнительных систем турбонасосных агрегатов. Также разработанные математические модели и результаты моделирования могут быть применены при дальнейшем исследовании течений в каналах переменного поперечного сечения. Результаты работы используются в ОАО КБ Химавто-матики при расчете теплофизических свойств жидких и газообразных сред (Акт о внедрении программного комплекса).

Достоверность результатов

Все результаты, полученные в диссертации, обосновываются строгим математическим описанием разработанных моделей, использованием апробированных моделей динамики жидкости и сопоставлением численных расчетов с данными экспериментов и известными результатами других авторов.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

Указанная область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические науки), а именно: пункту 1 - «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений», пункту 4 -«Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», пункту 5 - «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Математические модели ламинарного и турбулентного режимов осевых течений жидкости под действием перепада давления в щелевом кольцевом канале, образованном неподвижными цилиндрической и конической поверхностями; турбулентного изотермического и неизотермического спиральных течений

жидкости под действием перепада давления в щелевом кольцевом канале, когда внутренняя цилиндрическая поверхность вращается, а внешняя коническая остается неподвижной.

2. Численный алгоритм решения краевой задач напорного и спирального турбулентных течений в узких кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями.

3. Распределенные характеристики течений (поля скоростей, статического давления и др.) и выявленные закономерности для всех исследуемых видов течения.

4. Инженерные формулы для расчета коэффициентов гидравлического сопротивления ламинарного и турбулентного режимов течения в щелевом кольцевом канале, образованном внутренней цилиндрической и внешней конической поверхностями.

5. Программный комплекс TDSYS для расчета теплофизических свойств жидких и газообразных сред.

Апробация работы

Основные результаты были представлены на III Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж; 2009); VII, VIII, IX, X Международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы, методологии, технологии» (Воронеж; 2007, 2008, 2009, 2010); VII, X Международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии» (Воронеж; 2006, 2009); Российской научно-технической конференции «Ракетно-космическая техника и технология» (Воронеж; 2009, 2010, 2011); XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер; 2011); Всероссийской научно-практической конференция «Образование, наука, производство и управление» (Старый Оскол; 2011); ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета (Воронеж; 2009,2010, 2011).

Публикации

По материалам выполненных исследований опубликовано 13 научных работ, из них работы [10, 12] в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, зарегистрирована программа в федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и заключения. Диссертационная работа содержит 124 страницы основного текста, 48 рисунков, 13 таблиц. Библиографический список включает 132 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели и задачи. Дано общее описание основных направлений, методов и способов исследования, приведены данные о структуре, объеме работы и научных публикациях автора

Первая глава посвящена анализу публикаций по теме исследования и состоит из четырех разделов. В первом и втором разделах представлен обзор публи-

кации по теоретическим, экспериментальным и численным исследованиям ламинарного и турбулентного режимов напорных и вращательных течений в кольцевых каналах и проведен анализ основных характеристик процесса течения. В третьем разделе представлен исторический обзор изучения проблемы спирального течения в кольцевом канале, проанализированы полученные результаты и представлены математические модели, используемые при решении задачи. В четвертом разделе по результатам обзора сделан вывод об актуальности проблемы, связанной со спиральным течением в кольцевом канале с переметам сечением, сформулированы цели и задачи исследования.

Вторая глава посвящена математическому моделированию ламинарного и турбулентного режимов течения вязкой жидкости под действием перепада давления в кольцевом канале, образованном внутренней цилиндрической и внешней сужающейся и расширяющейся конической поверхностями.

В первом разделе второй главы рассматривается ламинарный режим стационарного течения, когда цилиндр и конус являются соосными и неподвижными, а движущаяся среда несжимаема.

Физическая модель представляет собой течение вязкой несжимаемой жидкости в кольцевом канале, ограниченном двумя соосными, неподвижными поверхностями. Внутренняя поверхность представляет собой цилиндр радиусом /•( и длиной /. Внешняя - сужающийся конус с радиусом на входе г2, углом раствора а и длиной I (рис. 1). Течение в каналах происходит под действием перепада давления. Предполагается, что в канал поступает однородный поток с равномерно распределенной скоростью г_. На твердых поверхностях выполняется условие прилипания частиц.

Ламинарный режим течения в канале, образованном соосными поверхностями цилиндра и конуса описывается Рисунок 1. Схема канала с разрезом

г, поверхности конуса

уравнениями Навье-Стокса. *

Граничные условия определяются следующим образом: на входе в канал задается однородное распределение скорости, на цилиндрической поверхности и поверхности конуса компоненты вектора скорости обращаются в ноль в силу условия прилипания; на выходе из канала задается распределение давления, соответствующее постоянной величине, равной давлению в окружающей среде, а также условие сохранения массы, входящей и выходящей из канала жидкости.

В результате приведения уравнений к безразмерному виду, получены следующие безразмерные параметры модели:

I г2 V

На основе построенной модели были проведены расчеты с помощью ко-нечно-элеменгного пакета программ в заданных диапазонах изменений параметров: число Рейнольдса - 0.01 < 11е < 100; угол раскрытия конуса - 1.5° < а < 5°;

6

отношение радиусов на входе - 0.6 < ц < 0.9; отношение ширины зазора к длине канала - 0.33 < <5 <0.5.

На рис. 2 показаны поля распределения осевой компоненты скорости. Из рисунков видно, что при течении в конфузорном канале скорость потока возрастает вдоль всего канала, тогда как в диффузорном канале наблюдается падение скорости. Для обоих видов канала давление монотонно убывает вдоль всей длины канала.

мшмшммия

а

ш с

ш . ««s-aa

111

в .7781-Sî

а) б)

Рисунок 2. Распределение осевой компоненты вектора скорости для сужающегося (а) и расширяющегося (б) каналов в продольном сечении при 1*е = 9.88, т] = 0.9, а= 3.176, 5= 0.83

Одной из важных характеристик потока является коэффициент гидравлического сопротивления, представляющий собой отношение потерянного полного давления, осредненного по массовому расходу, к динамическому давлению в условленном сечении (2). Все гидравлические потери энергии делятся на два типа - потери на трение и местные потери:

Л/? +С ■

о м т? тр

(2)

р*Ц2

По результатам расчетов с помощью методов анализа компьютерного эксперимента были получены выражения для расчета коэффициента гидравлического сопротивления для ламинарного режима течения в кольцевом канале, образованном внутренней цилиндрической и внешней конической поверхностями:

68,78 п2'01 <52

- расширяющейся коническои С, ■

- сужающейся конической Ç = -

Re (tga) 243

Re

(3)

(4)

Яе(&«)0'35 Яе0'25' На рис. 3 представлены графики логарифмической зависимости коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса для кольцевых конфузорно-го и диффузорного каналов, полученные с помощью предложенных выражений (2)-(3). Разница между значениями коэффициента сопротивления, полученными с помощью компьютерного эксперимента и вычисленными по формулам (2)-(3), не превышает 12 %.

Зависимость ко»4ф|1||енг1 пцржяпесюто сопротивления от числа Рейнольде*

.............................

\

\

\

- по Формуле ksi мест.

- по формуле ksi мест.+ksl тр. комп.акспер.

Завтииость ко»ффициенга гидравлического сопротивления от числа Рейнольдел

W

\\

\s

ч

--------

>•••• по формуле ksi мест, (••••по формуле ksi мест.+ksi тр. ■ • комп. экспер._

а) б)

Рисунок 3. Зависимости коэффициента гидравлического сопротивления от числа Ие для кольцевого конфузорного канала (а) и для кольцевого диффузор-ного канала (б) при т] = 0.9, а = 3.176, 8= 0.83

Для проверки достоверности полученных результатов было проведено сопоставление коэффициентов сопротивления, рассчитанных с помощью предложенной модели и полученных аналитическим путем для кольцевого цилиндрического канала, которое показало хорошее их согласование.

Во втором разделе второй главы рассматривается турбулентный режим течения вязкой несжимаемой жидкости под действием перепада давления в кольцевом канале, образованном неподвижными цилиндрической и сужающейся конической поверхностями (см. рис. 1).

В качестве математической модели использовались осредненные по Рей-нольдсу уравнения Навье-Стокса. Для замыкания системы уравнений была выбрана двухпараметрическая стандартная к-е модель турбулентности, как наиболее развитая на данный момент и приемлемая с точки зрения вычислительных ресурсов. В общем случае движения изотермического турбулентного потока могут быть записаны в следующем виде:

дрх

~дГ

^ + V-(pv) = 0, ot

+ V-(pvv) = V-P + pF,

дрк dt

+ V-(pkv) = V'

дре

~дГ

+ V-(pfv) = V

Vs

Vk

+ G-

pe,

+ -(C1G-C2pe).

Здесь

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Р = (~р + А ШV V )1 + 2 це(Г Е - тензор полных напряжений турбулентного потока; р - плотность среды; Г -вектор плотности массовых сил; к - кинетическая энергия турбулентных пульсаций единицы массы среды; е - скорость диссипации кинетической энергии турбулентных пульсаций; I - единичный тензор; р - давление; Е - тензор скоростей деформаций, вычисленный через осредненные компоненты вектора

скорости V; ¡лец - эффективный коэффициент турбулентной вязкости, который представляется следующим образом:

+ (17)

где ц - коэффициент «молекулярной вязкости» турбулизованной среды; ц, -коэффициент турбулентной вязкости или «молярная» вязкость турбулентного потока, представляемый в соответствии с формулой Прандтля-Колмогорова:

М, = С р —; (18)

е

С - диссипативная функция турбулентного потока, которая определяется через обычные сдвиговые компоненты тензора напряжений Р и осредненную скорость V:

С=Р-(Уу); (19)

С! =1.44, С2 = 1.92, Ср = 0.09, о* =1.0, <те = 1.3, (20)

- численные значения параметров к- е модели.

Граничные условия представляются в следующем виде. На входе в канал задаются однородное распределение скорости, кинетическая энергия турбулентных пульсаций и скорость её диссипации. На цилиндрической поверхности и поверхности конуса компоненты вектора скорости и кинетическая энергия турбулентных пульсаций обращаются в ноль на обеих поверхностях, однако скорость её диссипации отлична от нуля. На выходе из канала задается распределение давления, соответствующее постоянной величине, равное давлению в окружающей среде, а также условие сохранения массы, входящей и выходящей из канала жидкости.

После приведения уравнений (12)-(15) к безразмерному виду, параметры модели определяются следующим образом (21):

« - "Лз-'О и V. „ к?

, ., , ™ -, н =—-

< Г? V £п/ У£-

= Яе= г4 ^ и = а, (21)

:„/ У£0

где к0 =^(у2/)2и £0 =С^4к$2//„ определяются при заданной интенсивности турбулентности потока I и длины пути перемешивания 1„ Прандтля.

Вблизи твердой поверхности падение скорости в приграничном слое обусловливается вязкостью жидкости. Около стенок задается логарифмический закон распределения скорости и выражение для определения скорости диссипации е.

V.

V'

= £ = 9, л-= 0.4 (22)

е=С?к*/у+к. (23)

Решение задачи выполнено с помощью конечно-элементного пакета программ. Для получения системы алгебраических уравнений (дискретного аналога исходных дифференциальных уравнений) используется метод взвешенных невязок Галеркина. В качестве конечного элемента взят восьми-

угольник с узловыми неизвестными в угловых узлах (рис. 4). Тогда уравнения количества движения для определения поля:

(24)

ИМ=Ы>

дФ .

где [А]= \ФРУ>Ф^У+ \ф^<ф!с!У, [Р])= ¡ФФ]с1У, Ф} =— ,] = х,у,г.

/С.

у 1 /

Ф

\

) 1

- " ^— -у?

Рис. 4. Восьмиугольный элемент

Процедура определения компонент скорости и давления является итерационной, сначала при заданном приближенном поле давлений определяется приближенное поле скоростей, после чего рассчитываются их приращения (25) путем совместного решения уравнения Навье-Стокса и неразрывности (рис. 5).

(25)

II а и

Основные расчеты проводились на сетке 10x100x50 при 100 итерациях, где 10 и 100 - это число разбиений соответственно вдоль радиуса и по окружностям ортогонального сечения канала, 50 - количество разбиений вдоль образующей цилиндрической и конической поверхностей. Для контроля точности результатов были проведены расчеты на более мелкой сетке с разбиением по окружностям ортогонального сечения канала от 200 до 900 узлов и с числом итераций от 50 до 200 (рис. 6). Отличие между значениями перепада давления, коэффициента гидравлического сопротивления и максимального значения скорости, полученными на более мелких сетках -20x300x50 и соответствующими значениями, полученными на основной сетке, не превышает 7 %. Увеличение числа итераций от 100 до 200 для тех же характеристик приводит к разнице, не превышающей 1 %.

Определение ^агнз выражений Г22)-{23) Определение компонент вектора скорости V* черезр

Определение компонент вектора скорости

Рисунок 5. Алгоритм численного решения задачи турбулентного течения в кольцевом канале

На основании построенной математической модели проведен компьютерный эксперимент и проанализированы результаты для пространственных турбулентных течений под действием перепада давления в кольцевом канале, образованном цилиндрической и конической поверхностями. В ходе решения задач получены распределенные характеристики турбулентного режима течения жидкости в кольцевом канале под действием пере- р„Сунокб. Вид сетки 10x900x50 пада давления, установлены основные свойства пространственных течений, определены индивидуальные свойства математической модели, указаны области их применения.

На рис. 7 представлены зависимости безразмерной осевой компоненты вектора скорости от радиальной и продольной координат. Из графиков видно, что с увеличением угла раскрытия конуса безразмерная осевая компонента вектора скорости возрастает. Вдоль всего канала безразмерная осевая компонента вектора скорости также монотонно возрастает для всех значений угла а.

Профиль бе»ра!мернон осевой компоненты скоросш нл выходе

0.4 0,6 (Г-гЩг2-г1)

а) ' б)

Рисунок 7. Зависимость безразмерной осевой компоненты скорости от продольной и радиальной координат (7 = 0.9, Ке = 6000, « = 3°): а) радиальной координаты; 6) продольной координаты

Проведен сравнительный анализ результатов ложенной математической модели с имеющимися для которых исследуемая гидродинамическая система имеет геометрическую конфигурацию, зависящую от перепада давления. На рис. 8 представлен график зависимости угла раскрытия конуса от перепада давления. Данные графики построены на основании экспериментальных данных, полученных в результате проливок уппотнительных систем с четырьмя различными значениями ширины зазора на входе.

На рис. 9 представлены графики зависимостей коэффициента гидравлического сопротивления от числа Рейнольдса, полученного экспериментально и с помощью компьютерного

расчетов, полученных по пред-экспериментальными данными,

»И

азор-0,205 мм и гор =0.198 мм

г

* 1 1 .

Рисунок 8. Зависимость угла раскрытия конуса от заданного перепада давления

моделирования. Принимая во внимание перепад давления на входном и выходном участках, из графиков видно, что расхождение расчетных значений с экспериментальными данными не превышает 20 %.

Зависимость коэффициента сопротивления от числа Реннольдса

—Экспериментальное -»- Статическое давление ••■•»■■■ Полное дарение С учетом В*, и Вых. учэст

-

, а-«

®..........—

Зависимость коэффициента сопротивления от

—*— Экспериментальное -3— Статическое давление Полное дзвение : С учетом В*, и Вых. учэс

___.. .

Т ■

5000 10000 16000 20000 25000 30000

а) б)

Рисунок 9. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от числа Рейиольдса. Зазор между цилиндром и конусом на входе равен: а) 0.215 мм; б) 0.205 мм

С помощью предложенной математической модели проведены численные исследования и выявлены некоторые закономерности и особенности турбулентного течения в кольцевом канале, образованном цилиндрической и конической поверхностями. Анализ полученных результатов исследования показал, что рассчитанные характеристики турбулентных потоков сопоставимы с имеющимися опытными данными экспериментов.

В третьей главе исследована задача о квазистационаром течении в присутствии постоянного продольного градиента давления вязкой несжимаемой жидкости, заключённой между двумя коаксиальными поверхностями, внутренняя из которых является цилиндрической и вращается с постоянной угловой скоростью, внешняя - неподвижная сужающаяся коническая поверхность. „

В качестве математической модели предложены осредненные по Реи-нольдсу уравнения Навье-Стокса, замкнутые стандартной к-в моделью турбулентности и, для сравнения, моделью турбулентности БЫ-Лш-Ьетку. В безразмерной форме для осесимметричного течения уравнения примут вид:

—L+—V„ +—- = 0, дЯ Я дг

(26)

1 8

яр I К) " Ие2 Я2 в2

Я дЯ

* Яе2 5 2(1 + ^ с

1 8Р_

гдЯ + з \ ЯдЯ

Яе ' дЯ

Яе Я

вг

" "> дг[ «"> я 5! л ад

дз/ЛЙЯ7\>''> я

1 3 >г дя

Не

м

Ис

Яе V дЯ

(1+ П/)-

8Г.~ (1 + №)Г„ 8 (1 + т)дГ,

Ке Д2 ' 82 Яе 82

8КV (1 + 3 Г(1+т)дгг1

дЯ Я2 82 Лс 82

(27)

|. (28) I (29)

яед( ' ъгх 1 ' о^дй^е1 >гя} <г, зг^ дг) Iёя) Уя) [ег) дг 5 ел)

+2С„Н — " Е

' Е Яе2

дг\Ш Я

яаяк * ' егк г ' а язвя

' 8Я

| г а

ст, дг Яе 82)

+2 С, С, НК

ЗУ.

та .из

дЯ ) [я) \82) 2 { 82 ё 8Я

(31)

-\CCJ1K

Та1 Кс2

<54 дя я] [дг

-и к

где р = С;,Кг/Е-

Граничные условия в безразмерном виде запишутся следующим образом: 2 = 0: ^(Д,0) = И„(Д,0) = 0. Уг(Я,0) = 1, К(Я, 0) = 1, £(Л,0) = 1, (32)

Ц „ „ „ „ ,Л . ^ „ ^ е[

Я =

—!—: Ук (0, 2) = О, Уг (0,2) = О, К, (0,2) = 1, ЛГ(0,2) = 0, £(0,2) = 1-»7 9 е0

Я =

1

1-4"

1

—г

'га

-2^,2 ] = 0, д '

5 ) [1-п д ) —77 ¿> 1

(33)

(34)

(35)

(36)

Ч V е01 уе0 V

Численное решение задачи проведено с помощью конечно-элементного пакета программ, с сеточной областью, характеризующейся сгущением вблизи твердых поверхностей. В ходе численных экспериментов установлена быстрая сходимость итерационного процесса, определены индивидуальные свойства математической модели, указаны области их применения.

Проведен анализ турбулентного спирального течения под действием перепада давления в кольцевом щелевом канале, образованном цилиндрической и конической поверхностями, когда внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью. В ходе решения задачи получены распределенные характеристики течения и установлены основные свойства и закономерности течения (рис. 10).

5

1/(1 -чУъф

г-.: „«.о.* ^ икт--^.

Безразмерные параметры модели запишутся в виде: I Г-, V е01 УЕ0

г) д)

Рисунок 10. Распределение характеристик турбулентного течения в продольном сечении канала при Ке = 6000, Та = 6000, // = 0.95, а=3°: а) осевая компонента вектора скорости; б) тангенциальная компонента вектора скорости; в) статическое давление; г) кинетической энергии турбулентных пульсаций; д) скорость диссипации кинетической энергии

На рис. 11 представлены зависимости безразмерного статического давления и осевой компоненты вектора скорости от продольной координаты. Из графиков видно, что вдоль всего канала идет монотонное падение давления для всех значений числа Тейлора. А также видно, что рост числа Тейлора приводит к возрастанию значения осевой компоненты вектора скорости.

Зависимость бе ¡|>» ¡черного с

давления 01 продольной координаты

ЕЛ

Зависимость безразмерной

скорости от продольной координаты

........" 1

-«~Тэ=в0ОО

""

а) б)

Рисунок 11. Зависимости безразмерного статического давления и осевой компоненты вектора скорости от продольной координаты(7] = 0.9, Не = 6000, а=3°): а) безразмерного статического давления; б) безразмерной осевой компоненты вектора скорости

Четвертая глава посвящена неизотермическому спиральному течению вязкой несжимаемой жидкости, заключённой между двумя коаксиальными поверхностями, внутренняя является цилиндрической и вращается с постоянной угловой скоростью, внешняя - неподвижная сужающаяся коническая поверхность.

В первом разделе исследована задача о неизотермическом течении в присутствии постоянного продольного градиента давления вязкой несжимаемой жидкости, заключенной между двумя коаксиальными поверхностями, внутренняя из которых является цилиндрической и вращается с постоянной угловой скоростью, внешняя - неподвижная сужающаяся коническая поверхность.

Система уравнений, описывающих течения такого рода включает в себя: уравнение неразрывности, динамические уравнения Рейнольдса, замкнутые моделью турбулентности 8Ы-Лш-Ьет1еу и уравнение сохранения энергии. В результа-

14

те определены индивидуальные свойства математической модели и указаны области их применения. Набор безразмерных параметров, определяющих негоотер-мическое течение в кольцевом канале, представлен соответственно (37):

I гг V cj V£0 v ХрСр СрТ0

При нетотермическом течении свойства жидкости, такие как плотность и вязкость перестают быть постояшыми и являются зависимыми величинами от температуры. Поскольку температурные перепады могут быть значительными, то необходимо учитывать переменность теплофизических свойств рабочей среды от температуры. Для определения теплофизических свойств, предпочтительными являются экспериментальные данные, однако, их определение в широких интервалах параметров состояния бывает довольно затруднительно, а иногда и просто невозможна

Во втором разделе представлен программный комплекс для расчета теплофизических свойств жццких и газообразных сред TDSYS.

Разработанный программный комплекс TDSYS (рис. 12) является подготовительным этапом при изучении неизотермических течений в кольцевых каналах. Он предоставляет возможность удобного и быстрого способа расчета широкого набора теплофизических свойств, при высоких температурах и больших значениях перепада давления. При разработке пакета использовалось функциональное наполнение уже существующего пакета GASPAK, опуда взяты константы для рабочих сред, выделены расчетные формулы. Создан новый рабочий интерфейс, приближенный к стандартному Windows интерфейсу. Главная концепция нового универ-

сального комплекса состоит в том, что это про- Pucjwok 12. Алгоритм работы TDSYS дукг «открытого типа», дающий возможность добавлять в программу новые расчетные формулы, изменять уже имеющиеся, а также вводить сведения о новых рабочих средах без изменения программного кода. Всё это делает программу TDSYS эффективным и удобным инструмеотом для работы инженеров-конструкторов.

Автор искренне благодарен к.ф.-м.н., доценту Коржову E.H. за предложенную тему диссертации и помощь в процессе проведения исследований, за постоянное внимание и ценные советы при работе над диссертацией.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Коржов Е.Н, Тюкачев НА, Космачева В.П., Ерофеев HB. Программный комплекс расчета теплофизических свойств жидких и газообразных сред // Авиакосмические технологии «АКТ-2006». - Воронеж: Воронежский гос. техн. ун-т, 2006. - С. 368-371.

2. Ерофеев И.В., Коржов E.H., Космачева В.П., Тюкачев H.A. Проектирование и разработка программного комплекса расчета теплофизических свойств жидкостей и газов // Информатика: проблемы, методологии, технологии - 2007. - Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 2007. - С. 121-125.

3. Ерофеев И.В., Коржов E.H., Космачева В.П., Тюкачев H.A. Развитие программного комплекса TDSYS для расчета теплофизических свойств жццких и газообразных сред // Информатика: проблемы, методологии, технологии -2008. - Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 2008. - Т. 1. - С. 215-218.

4. Ерофеев И.В., Коржов E.H., Коемачева В.П., Шашкин А.И. Моделирование теплофюических свойств жидкостей и газов в программном комплексе TDSYS // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. - Воронеж: «Научная книга», 2009. -Ч. I. - С. 101-104.

5. Ерофеев И.В., Коржов E.H., Коемачева В.П., Тюкачев H.A. Универсальный программный комплекс TDSYS для моделирования теплофюических свойств жидкостей и газов // Информатика: проблемы, методологии, технологии -2009. - Т. 1. - Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 2009. - С. 290-293.

6. Ерофеев И.В., Коржов E.H., Коемачева В.П., Шашкин А.И. TDSYS - универсальный программный комплекс моделирования теплофизических свойств жидких и газообразных свойств // Авиакосмические технологии «АКТ-2009» Тезисы - Воронеж: Воронежский гос. техн. ун-т, 2009. - С. 64-66.

7. Коржов E.H., Ерофеев И.В., Иванов A.B. Гидродинамическое сопротивление при течении жидкости между цилиндром и конусом под действием перепада давления // Ракетно-космическая техника и технология - 2009. -Воронеж: Воронежский гос. техн. ун-т, 2009. - С. 48-51.

8. Ерофеев И.В., Коржов E.H., Иванов A.B., Добросоцкая М.В. Изучение особенностей турбулентного течения жидкости в кольцевом конфузоре под действием перепада давления // Ракетно-космическая техника и технология - 2010 - Воронеж: Воронежский гос. техн. ун-т, 2010. - С. 38^44.

9. Самсонов И.Д., Коржов E.H., Коемачева В.П., Ерофеев И.В., Тюкачев H.A. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011610243 от 11.0.1.2011 г. -М: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ.

10. Ерофеев И.В., Коржов Е.Н, Шашкин А.И., Иванов AB., Добросоцкая М.В. Математическое моделирование турбулентного течения жидкости в кольцевом конфузоре под действием перепада давления // Вестник Воронежского государ-сгвенного университета. Серия: Физика. Математика. 2011. —№ 1.-С. 138-146.

11. Ерофеев И.В., Коржов Е.Н, Иванов AB. Компьютерный эксперимент для спирального течения в кольцевом конфузоре // Ракетно-космическая техника и технология 2011: Тезисы.-Воронеж: Воронежский гос. техн. ун-т,2011.-С. 54-55.

12. Ерофеев И.В., Иванов A.B., Коржов E.H., Шашкин А.И. Математическое моделирование турбулентного спирального течения в кольцевом конфузоре // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 2011. - № 3. - С. 30-39.

13. Ерофеев И.В., Москвичев A.B., Иванов A.B., Коржов Е.Н. Моделирование турбулентных течений в кольцевых каналах переменного сечения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Т. 18. - Вып. 3. Работы [10,12] опубликованы в периодических изданиях, рекомендуемых ВАК РФ.

Подписано в печать 20.12.11. Формат 60x84 '/,6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 1620.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

61 12-1/402

ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ В КОЛЬЦЕВЫХ ЩЕЛЕВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

На правах рукописи

ЕРОФЕЕВ ИЛЬЯ ВЛАДИМИРОВИЧ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Шашкин А.И.

Воронеж - 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................... 5

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ В ЩЕЛЕВЫХ КОЛЬЦЕВЫХ КАНАЛАХ.................................................:.................. 10

1.1. Течение в кольцевых каналах под действием перепада давления . 10

1.2. Общие закономерности и особенности течения в кольцевых каналах с вращением.............................................................................. 17

1.3. Спиральное течение в кольцевых каналах под действием перепада давления при наличии вращения внутреннего цилиндра...... 23

1.4. Спиральное течение в кольцевых каналах переменного сечения..... 32

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ В ПРЯМОМ КОЛЬЦЕВОМ КАНАЛЕ, ОБРАЗОВАННОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЯМИ............. 35

2.1. Ламинарный режим течения вязкой жидкости под действием перепада давления в областях, ограниченных внутренней цилиндрической и внешней конической поверхностями ....................................... 36

2.1.1. Физическая модель ламинарного течения .................................. 36

2.1.2. Математическая модель ламинарного течения.......................... 37

2.1.3. Исследование математической модели ...................................... 40

2.1.4. Результаты компьютерного эксперимента для ламинарного режима течения ....................................................................................... 42

2.1.5. Формула коэффициента гидравлического сопротивления для кольцевого канала, образованного цилиндрической и конической поверхностями.......................................................................................... 45

2.2. Турбулентный режим течения вязкой жидкости под действием перепада давления в областях, ограниченных внутренней цилиндрической и внешней конической поверхностями ....................................... 49

2.2.1. Физическая модель турбулентного течения ....................................................................49

2.2.2. Математическая модель турбулентного течения....................................................50

2.2.3. Исследование математической модели....................................................................................55

2.2.4. Применение метода конечных элементов для решения задачи 59

2.2.5. Результаты компьютерного эксперимента для турбулентного режима течения .................................................................................. 65

2.2.6. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными ... 70 2.3.Выводы................................................................................................. 74

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СПИРАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ПРЯМОМ КОЛЬЦЕВОМ КАНАЛЕ, ОБРАЗОВАННОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЯМИ..... 75

3.1 Физическая модель турбулентного режима спирального течения в прямом кольцевом канале, образованном цилиндрической и конической поверхностями ............................................................................... 75

3.2. Математическая модель турбулентного режима спирального течения в прямом кольцевом канале, образованном цилиндрической и конической поверхностями................................................................................ 76

3.3. Исследование математической модели............................................. 82

3.4. Результаты компьютерного эксперимента ....................................... 84

3.5. Основные результаты и выводы........................................................ 96

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО СПИРАЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ В ПРЯМОМ КОЛЬЦЕВОМ КАНАЛЕ, ОБРАЗОВАННОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЯМИ.................................................................... 98

4.1. Физическая модель турбулентного режима неизотермического спирального течения .................................................................................. 98

4.2. Математическая модель турбулентного режима спирального неизотермического течения в прямом кольцевом канале, образованном цилиндрической и конической поверхностями............................... 99

4.3. Результаты компьютерного эксперимента ....................................... 104

4.4. Программный комплекс расчета теплофизических свойств жидких и газообразных сред TDSYS .............................................................. 105

4.5. Основные результаты и выводы......................................................... 110

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................. 111

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................................................. 112

ПРИЛОЖЕНИЕ ............................................................................................. 123

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

г\ - радиус внутреннего цилиндра; г2 - радиус внешнего конуса на входе;

отношение радиуса внутреннего цилиндра к радиусу внешнего ^ конуса на входе г/ = гх /г2 ;

/ - длина канала;

у _ -у

§ - отношение ширины зазора к длине канала 8 = 2 1 ;

г, в, г - координаты цилиндрической системы отсчета;

радиальная, тангенциальная и осевая компоненты вектора ско-

г' "Ф ' "г ~

у рости;

р - давление;

р - плотность;

О, - массовый расход;

М-е// - эффективный коэффициент турбулентной вязкости /л^ = ¡л + ¡лг;

№ - коэффициент динамической вязкости;

/л1 - коэффициент турбулентной вязкости потока ^ = С^рк2/<? ;

V - коэффициент кинематической вязкости;

О - диссипативная функция;

У2 - средняя скорость течения вдоль оси канала;

у | -у* _ у 1

Яе - критерий Рейнольдса Яе = ——;

к

^ -т- г1®о(г2~г1)

Та - критерии Тейлора Та = 4 ——;

v

Рг - критерий Прандтля;

к - кинематическая энергия турбулентных пульсаций; е - скорость диссипации кинетической энергии.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования

В различных отраслях промышленности, например, атомной, авиакосмической, нефтегазовой, автомобильной и других, используются технические устройства, в которых поток жидких и газообразных сред движется по каналам кольцевого поперечного сечения. Течения в таких устройствах происходят либо за счет перепада давления, либо за счет вращения внутренней поверхности, либо при наличии обеих причин. Исследованию течений в кольцевых каналах посвящено большое число теоретических и экспериментальных работ, значительная часть которых направлена на изучение процессов динамики и теплообмена в кольцевых цилиндрических или конических каналах. Однако при движении жидких и газообразных сред, геометрия канала может быть и другой формы. Одной из возможных геометрических конфигураций является канал кольцевого переменного сечения, образованный цилиндрической и конической поверхностями. Изменение геометрии канала, несомненно, оказывает существенное влияние на характеристики потока. Как показал обзор имеющейся литературы, гидродинамика такого рода систем до сих пор мало изучена.

В связи с вышесказанным задача математического моделирования ламинарных и турбулентных течений в щелевых кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями, представляется актуальной.

Цель исследования

Целью исследования является разработка методов математического моделирования осевых и спиральных течений в узких кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями, а также построение алгоритмов численного решения соответствующих краевых задач на основе метода конечных элементов для выявления основных закономерностей течений и влияния на них определяющих параметров модели.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие основные задачи:

- построение математических моделей для ламинарного и турбулентного режимов течения вязкой несжимаемой жидкости в щелевых кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями;

- применение метода конечных элементов и разработка алгоритма численного решения задач напорного и спирального турбулентных течений в узких кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями для проведения компьютерного эксперимента;

- создание программного комплекса, позволяющего вычислять теплофизи-ческие свойства жидких и газообразных сред для широкого диапазона значений давления и температуры;

- проведение вычислительных экспериментов для комплексного исследования основных характеристик течения и влияния на них параметров модели, анализ полученных результатов и их сопоставление с имеющимися экспериментальными и теоретическими данными.

Методы исследования

Для решения поставленных задач в работе использованы апробированные методы математического моделирования, вычислительной математики и современные методы и технологии программирования.

Научная новизна работы

1. Осуществлена постановка задачи математического моделирования осевых и спиральных ламинарных и турбулентных потоков вязкой несжимаемой жидкости в щелевых кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями.

2. Предложен алгоритм численного решения краевых задач напорного и спирального турбулентных течений в узких кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями.

3. Разработан программный комплекс «открытого типа» для расчета тепло-физических свойств жидких и газообразных сред.

4. На основании вычислительного эксперимента выявлены основные закономерности и особенности ламинарного и турбулентного режимов течения, получены инженерные формулы для расчета коэффициентов гидравлического сопротивления для всех изучаемых видов течения в узких кольцевых каналах, образованных внутренней цилиндрической и внешней конической поверхностями.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты, представленные в диссертационном исследовании, могут быть использованы как в теоретических работах, так и для решения прикладных задач, например, при проектировании подшипников жидкостного трения или уплотнительных систем турбонасосных агрегатов. Также разработанные математические модели и результаты моделирования могут быть применены при дальнейшем исследовании течений в каналах переменного поперечного сечения. Результаты работы используются в ОАО КБ Химавто-матики при расчете теплофизических свойств жидких и газообразных сред (Акт о внедрении программного комплекса).

Достоверность результатов

Все результаты, полученные в диссертации, обосновываются строгим математическим описанием разработанных моделей, использованием апробированных моделей динамики жидкости и сопоставлением численных расчетов с данными экспериментов и известными результатами других авторов.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

Указанная область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические науки), а именно: пункту 1 - «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений», пункту 4 - «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплек-

сов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», пункту 5 - «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Математические модели ламинарного и турбулентного режимов осевых течений жидкости под действием перепада давления в щелевом кольцевом канале, образованном неподвижными цилиндрической и конической поверхностями; турбулентного изотермического и неизотермического спиральных течений жидкости под действием перепада давления в щелевом кольцевом канале, когда внутренняя цилиндрическая поверхность вращается, а внешняя коническая остается неподвижной.

2. Численный алгоритм решения краевой задач напорного и спирального турбулентных течений в узких кольцевых каналах, образованных цилиндрической и конической поверхностями.

3. Распределенные характеристики течений (поля скоростей, статического давления и др.) и выявленные закономерности для всех исследуемых видов течения.

4. Инженерные формулы для расчета коэффициентов гидравлического сопротивления ламинарного и турбулентного режимов течения в щелевом кольцевом канале, образованном внутренней цилиндрической и внешней конической поверхностями.

5. Программный комплекс TDSYS для расчета теплофизических свойств жидких и газообразных сред.

Апробация работы

Основные результаты были представлены на III Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж; 2009); VII, VIII, IX, X Международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы, методоло-

8

гии, технологии» (Воронеж; 2007, 2008, 2009, 2010); VII, X Международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии» (Воронеж; 2006, 2009); Российской научно-технической конференции «Ракетно-космическая техника и технология» (Воронеж; 2009, 2010, 2011); XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер; 2011); Всероссийской .научно-практической конференция «Образование, наука, производство и управление» (Старый Оскол; 2011); ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета (Воронеж; 2009, 2010, 2011).

Публикации

По материалам выполненных исследований опубликовано 13 научных работ, из них работы [10, 12] в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, зарегистрирована программа в федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и заключения. Диссертационная работа содержит 124 страницы основного текста, 48 рисунков, 13 таблиц. Библиографический список включает 132 наименования.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ В ЩЕЛЕВЫХ КОЛЬЦЕВЫХ КАНАЛАХ

Первая глава диссертации посвящена литературному и историческому обзору по теме исследования.

В первом и втором разделах представлен литературный обзор по проблеме теоретического, экспериментального и численного исследований ламинарного и турбулентного напорного и вращательного течений в кольцевых каналах и проводится анализ основных характеристик процесса течения.

В третьем разделе представлен исторический обзор изучения проблемы спирального течения в кольцевых каналах, анализируются полученные ранее результаты и представлены математические модели, используемые при решении задачи.

В четвертом разделе по результатам обзора делается вывод об актуальности проблемы, связанной с изучением вопроса о спиральном течении в кольцевом канале с переменным сечением, сформулированы цели и задачи исследования.

1.1. Течения в кольцевых каналах под действием перепада давления

Одним из наиболее простых видов движения вязкой несжимаемой жидкости является ламинарное течение по цилиндрической трубе произвольного сечения, при котором линии тока - прямые линии параллельные оси трубы.

Как показывают опыты, подобного рода течение осуществляется в цилиндрических трубах с различными формами сечений только в том случае, когда число Рейнольдса не превосходит некоторого определенного критиче-

ского значения, после чего течение перестает быть ламинарным, частицы жидкости приобретают сложные криволинейные траектории.

Уравнения, описывающие ламинарное течение вязкой жидкости между двумя соосными неподвижными цилиндрами под действием перепада давления с радиусами гх и г2, могут быть получены из уравнений Навье-Стокса [21, 42].

Выражения для осевой скорости и для объемного расхода Q в случае, когда на стенках выполняется условие прилипания, имеют вид:

Ар

V; =-

А/л1

( 2 2 Г \\

2 2 Г2~П .[ Г \

гх - г л——Ч-1п

V 1п(л/>0 \Г\))

( / .

д.'-Р

8///

4 4

г2 -Г, -

1п (г2Д])

Приведенные формулы являются аналогами формул, полученных Гаге-ном и Пуайзелем для случая цилиндрической трубы. Для данного случая Пуазейль сформулировал следующий закон: при установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения секундный объемный расход пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени ее радиуса (или диаметра). В формулировке закона Пуазейля подчеркнуто, что движение установившееся. Под этим понимается наличие одинакового распределения скоростей в поперечном сечении трубы по всей его длине. Такой характер движения достигается в части трубы, достаточно удаленной от входа в нее. Тогда как на начальном участке трубы, расположенном за входом, движение неустановившееся и закон Пуазейля несправедлив [23].

Зависимость длины участка, в котором происходит установление движения потока от гидравлического радиуса, отношения радиусов и числа Рей-нольдса для ламинарного течения в кольцевом цилиндрическом канале исследует�