автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование течения в каналах жидкостей с пределом применимости ньютоновской модели

ое^ь18785

КАПРАНЧИКОВ СЕРГЕЙ СЕРГЕЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ ЖИДКОСТЕЙ С ПРЕДЕЛОМ ПРИМЕНИМОСТИ НЬЮТОНОВСКОЙ МОДЕЛИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 3 ДЕК 2010

Воронеж-2010

004618785

Работа выполнена на кафедре теоретической механики ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия».

Научный руководитель: заслуженный работник высшей школы РФ доктор технических наук, профессор

Колодежнов Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Дорняк Ольга Роальдовна (ГОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия»)

кандидат физико-математических наук Коржов Евгений Николаевич (ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет»)

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Защита диссертации состоится «29» декабря 2010 г. в 13 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 при ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия» по адресу: 394036, г. Воронеж, проспект Революции, д. 19, конференц-зал.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу: 394036, г. Воронеж, проспект Революции, д. 19, ГОУ ВПО ВГТА, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.035.02.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия».

Автореферат размещен на официальном сайте ВГТА www.vgta.vrn.ru «29» ноября 2010 г.

Автореферат разослан «29» ноября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, к.т.нХаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В различных отраслях промышленности, например, химической и пищевой, распространены процессы напорного течения реологически сложных сред в каналах технологического оборудования.

Важной особенностью таких процессов является то, что, как правило, такие среды обладают высокой вязкостью, и их течение сопровождается саморазогревом, обусловленным диссипацией механической энергии. Эксперименты свидетельствуют, что вязкая жидкость при одних скоростях сдвига может вести себя как ньютоновская, а при других - как неньютоновская. Следовательно, при течении таких сред в каналах возникают зоны течения с различным реологическим законом. Не учет этих обстоятельств может привести к погрешностям в расчете параметров технологического процесса и, как следствие, нарушению свойств готового продукта.

Механическое поведение таких жидкостей может бьггь описано в рамках реологических моделей неньютоновских жидкостей смешенного типа.

Однако анализ современного состояния вопросов математического моделирования процессов течения и теплопереноса в каналах, и в частности цилиндрических каналах технологического оборудования таких жидкостей показал недостаточную изученность данного вопроса.

В этой связи разработка математических моделей гидродинамики и теплопереноса в цилиндрических каналах технологического оборудования для сред типа неньютоновских жидкостей смешенного типа с учетом дис-сипативного разогрева актуальна.

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Воронежской государственной технологической академии в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ № г.р. 01.200.1.16986 по теме: «Инженерно-математические методы расчета механических и гидромеханических систем применительно к оборудованию химической и пищевой промышленности», а также в рамках тематического плана по заданию Министерства образования и науки Российской Федерации по теме «Исследование закономерностей течения неньютоновских жидкостей в каналах различной геометрии» № г.р. 01.200.6.04058.

Цель работы: синтез и анализ математических моделей диссипа-тивного разогрева неньютоновских жидкостей смешенного типа в цилиндрических каналах технологического оборудования, а также разработка г-предметно-ориентированного комплекса программ для прогнозирования ' ^ характеристик процесса конвективного теплопереноса и идентификации границы корректности ньютоновской модели вязкости.

В работе были поставлены следующие задачи:

- синтезировать математическую модель напорного течения и теплопереноса в цилиндрическом канале жидкости с пределом применимости

ньютоновской модели, а также жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке;

- предложить алгоритмы поиска значений определяющих констант предложенных реологических моделей вязкости и разработать программы для их численной реализации;

- разработать алгоритмы и комплексы программ по расчету температурного поля, средней и максимальной температуры при течении в цилиндрическом канале жидкости с пределом применимости ньютоновской модели, а также жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке;

- реализовать численные эксперименты с предложенными моделями и проанализировать их результаты с точки зрения влияния входных параметров на характеристики процесса течения и диссипативного разогрева;

- провести сравнительный анализ адекватности предложенных моделей.

Научная новизна.

1. Предложена методика математического моделирования течения жидкостей смешенного типа, учитывающая сопряжение ее реологического поведения в различных областях изменения скорости сдвига.

2. Предложены математические модели конвективного теплопере-носа в цилиндрическом канале с учетом диссипации механической энергии для жидкостей с реологическими моделями смешенного типа с учетом зависимости вязкости от скорости сдвига за пределом применимости ньютоновской модели.

3. Разработан численный метод определения констант реологической модели вязкости для жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке, а также прикладная программа для его реализации, позволяющие определять границу применимости составных частей общей модели в форме порогового значения скорости сдвига для зон ньютоновского и неньютоновского течений.

4. Разработан пакет прикладных программ для расчета температурного поля при течении жидкости внутри цилиндрического канала, учитывающий ограниченность области применения ньютоновской модели вязкости и эффект диссипации механической энергии.

5. На основе численных экспериментов проведен анализ влияния входных параметров математических моделей, представленных в форме безразмерных критериев подобия, на выходные характеристики, позволяющий определить степень их воздействия на максимальный разогрев среды при ее течении в цилиндрическом канале.

Практическая значимость состоит в:

- разработке комплекса программ по определению границы применимости ньютоновской модели вязкости на основе обработки результатов эксперимента;

- разработке алгоритма по расчету параметров процесса конвективного теплогтереноса с учетом диссипации механической энергии при тече-

нии в цилиндрическом канале жидкостей смешенного типа и его реализации в виде комплекса проблемно-ориентированных программ в системе компьютерной математики, которые позволяют повысить эффективность технологического процесса путем прогнозирования и оценки влияния входных параметров на разогрев среды.

Прикладная программа для определения реологических констант модели вязкости для жидкости с мешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке передана в отдел технологического сервиса кондитерской отрасли ООО «ЭФКО Пищевые Ингредиенты» для практического использования.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационного исследования доложены и обсуждены на Н-ой международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007г.); на XX, XXI, XXII, XXIII - Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» -ММТТ-20 (Ярославль, 2007г.), ММТТ-21 (Саратов, 2008г.), ММТТ-22 (Псков, 2009г.), ММТТ-23 (Саратов, 2010г.); на Воронежских весенних математических школах «Понтрягинские чтения - XIX, XX» (Воронежский государственный университет, 2008 - 2009 годы); на IX, X, XI Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике -(Кисловодск, Волгоград, Волжский - 2008г., Санкт-Петербург, Дагомыс -2009г., Кисловодск - 2010г.); отчетных научных конференциях ВГТА за 2007-2009 годы.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 25 работах, из них 6 в реферируемых журналах из списка ВАК РФ. Получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Основной материал изложен на 199 страницах и содержит 92 рисунка и 19 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе приводятся результаты анализа современного состояния методов математического моделирования процесса течения жидкостей в каналах технологического оборудования. Проводится также обзор литературы по вопросам, посвященным экспериментальным результатам, отражающим реологическое поведение рабочих сред, как жидкостей смешенного типа, а также моделированию гидродинамики и теплопереноса

при напорном течении такого рода жидкостей в каналах с различным поперечным сечением.

Обоснована необходимость создания новых методов математического моделирования движения жидкостей с пределом применимости ньютоновской модели в каналах технологического оборудования с учетом диссипации механической энергии.

На основе проведенного обзора поставлена цель исследования и определены задачи для ее достижения.

Во второй главе изложены результаты математического моделирования гидродинамики напорного течения жидкости с пределом применимости ньютоновской модели в цилиндрическом канале, предложены методики определения параметров реологических моделей и проведена проверка адекватности модели.

Предлагается реологическая модель вязкости жидкости от

скорости сдвига у в виде

где /(, - динамическая вязкость для ньютоновского режима течения; и -скорость жидкости в канале, представляющая собой функцию радиальной координаты г; у„ - пороговое значение скорости сдвига; ¡лг (/) - динамическая вязкость при превышении скоростью сдвига (по модулю) порогового значения.

Представление вязкости в форме (1) предполагает разбиение области течения на две зоны.

Моделирование проводилось в безразмерной форме, с учетом соотношений:

г' = г/Д; г' = г/А; ?' = (/>-/{)/(/>-/;); и' = и/и5; Я'^^Ш; ^ = тп/(Р0-Р1); Кс=2Я/1; у' = у/у3] Г^п'Ъ', (2)

где г'- радиальная и продольная координаты; Р' - давление жидкости в канале; и' - скорость жидкости; Я' - радиус цилиндрической границы

раздела двух зон течения жидкости, подлежащий определению; Ка - геометрический параметр канала; у5 - характерное значение скорости сдвига жидкости; и8 - характерное, принимаемое в качестве масштабного, значение скорости жидкости; Яе, Ей, Ьа - критерии подобия Рейнольдса, Эйлера, Лагранжа.

Здесь и далее верхним штрихом отмечены безразмерные значения соответствующих величин.

С учетом (2) и ряда общепринятых допущений исходная система уравнений, описывающая динамику жидкости, принимает следующий вид:

<Ы Кг. г• ¿гЛ Т">'

¡к &

г=0; т'^мЧУУУ.

с граничными условиями:

при г' = 0; = 0; приг' = 1; 4(0 = 0;

<1г'

(3)

при г'= Л'; М['(г') = ^(г');

(4)

(5)

с1г' с1г'

при г' = 0; Р' = 1; при г' = 1; Р' = 0,

где и,'(г), и[ (г) - соответственно, скорость среды в зоне ньютоновского

течения в центральной части канала, а также скорость в зоне неньютоновского течения.

1 Рассмотрим течение в цилиндрическом канале жидкости с реологической моделью вида:

г, =ЪГ_ |1, о<-г'<К,

Ьа \\+ц'й{2+Г1Г0+Гй1Г), ~Г>Г1 где ц'а - реологическая константа, от знака которой зависит поведение реологической кривой на неньютоновском участке.

Реологическая модель (5) имеет ограничения на область её использования. Эти ограничения следуют из условия положительности динамической вязкости и записываются следующим образом:

если /^>0; [-(2ц'й +1)-^ +1 ]/Ы <УIг'0 <-1;

если//* <0; у7й<-1; -1/42/4 <0.

Решая систему уравнений (3), с учетом (5) и используя поставленные граничные условия (4), было получено выражение для распределения скорости при течении жидкости с пределом применимости ньютоновской модели в цилиндрическом канале:

и\г-)-

0 < г' < В!

(7)

где

1+Л+

/4 6-и)2

(В)

8-Г; ■ д_К( 1 + 2/0. , _(*)'г1+ 1 V . - ^

К"-Ьа.Ка'Р- 2«; 4-КУ

Знак в выражениях (7) и (8) определяется из условий:

- если ц'0 > 0, то выбирается верхний знак (т.е. «+»); ^

- если < 0, то выбирается нижний знак (т.е.«-»). Анализируя выражение для Я', можно видеть, что существует критическое значение критерия подобия Лагранжа

Ьасг11=Ъ-Г01Ка

выше уровня которого (¿а > Ьа^) в канале возникают две зоны течения. Если же выполняется условие Ьа < Ьа^,, в канале реализуется лишь одна зона, соответствующая жидкости с ньютоновской моделью вязкости.

Принимая во внимание (7) и (8), выражение для средней скорости

и течения запишется в виде:

-с(1)-я'2 Ж I

2 " 4 3 3-Л2

~ 15 -А\ ~ 21 -А\ '

где Q - объемный расход жидкости через канал.

На основе численных экспериментов с моделью был проведен анализ влияния основных параметров системы на характеристики течения. Так на рис. 1 представлено распределение безразмерной скорости течения по радиальной координате. Граница раздела зон течения г' = Я'м показана на этом и нижеследующих рисунках штриховой линией.

Как видно из рисунка, по мере увеличения значения геометрического критерия подобия, скорость течения при фиксированном значении радиальной координаты возрастает. При этом зона ньютоновского течения сокращается, а соответственно неньютоновского - возрастает.

Распределение безразмерного расхода жидкостей с различным пороговым значением скорости сдвига представлено на рис. 2.

Из рис. 2, видно, что до определенного значения критерия подобия Лагранжа Ьа = Ьат1, отмеченного символом «О» наблюдается линейная зависимость между расходом и критерием Ьа. Это говорит о том, что в

этом диапазоне изменения критерия Лагранжа в канале наблюдается течение Пуазейля.

50 100 150 200 250 300 350 1л

Рис. 1 Распределение скорости тече- Рис. 2. Распределение расхода жид-

ния жидкости по радиальной коор- кости при Ка =0,1, /л'0 =-0,1 и

динате при ^ = 0,01, Ьа = 167 , ^ = 005 (1). 01 (2); 05 (3). 10 (4);

у'0 =0,5 и Кв =0,16 (1); 0,14 (2); 2,0 (5). Здесь Ьасг11 = 4 (1); 8 (2); 40

0,12 (3); 0,10 (4); 0,08 (5); 0,06 (6); (3). 80 (4). 160(5)

0,04 (7); 0,03 (8). ^

2°. Реологическая модель (5), имеет ограничения (6) на использование. Поэтому, рассмотрим еще одну модель жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке, свободной от ограничений такого рода:

" Ьа \1/2.(\Г\/г'0+г'0/\?\), -г'>у'0. ( }

Решение задачи о течении в цилиндрическом канале проводилось на основе уравнений (3), с учетом (11) и использовании граничных условий (4). В результате было получено распределение скорости в цилиндрическом канале для жидкости с реологической моделью (11):

1а'Кг-(г')2+С?\ 0 </<*';

и'(г') =

16

К

где

Я'„ = -

3-Я1

-■К

V Гв.

1а-Кг.

С?> =

К' - у'

"и /о

2'Уо г< уЧ

к,

(12)

, К<г'< 1>

3-й2

V К

-п

-Го

Расход жидкости определяется аналогично случаю 1° и окончательно записывается в виде:

£Г = £а-АГс/6 4;

если Ьа<Ьаг,

1-я;2

2 3-У'2

Г2-Гг ^

-пг

к

- в

если Ьа > ЬасИ1 (13)

К

где В= "

4-Го4

-■\<р2-К

2-Я

К

. На основе численных экспериментов с моделью проведен анализ влияния основных параметров системы на характеристики процесса течения жидкости в цилиндрическом канале.

На рис. 3 представлено распределение скорости, в цилиндрическом канале, для жидкостей с реологической моделью (11). Из представленных данных видно, что для жидкостей с более высоким пороговым значением скорости сдвига характерна более широкая граница ньютоновского течения.

Представление о влиянии порогового значения скорости сдвига на зависимость безразмерного расхода от критерия подобия Лагранжа дают кривые на рис. 4. Символом «О» на этом рисунке отмечены точки ветвления, соответствующие границе раздела линейного и нелинейного участков зависимости ()'(Ьа).

СГО-аУ-

Рис. 3. Распределение скорости течения жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке в зависимости от радиальной координаты при ¿а = 167, Кс =0,1 и ^ =1,0 (1); 0,7 (2); 0,5(3); 0,3 (4); 0,1 (5).

Подобным образом был проведен анализ влияния других параметров системы на гидродинамические характеристики течения.

3°. Использование реологической модели (11) предполагает, что должны быть известны реологические параметры ¡л{ и /0.

Рассмотрим методику их определения.

Рис. 4. Распределение расхода жидкости с реологической моделью (11) при Кс =0,1 и Й=1,0 (1); 0,7 (2); 0,5 (3); 0,3 (4); 0,1 (5). Здесь Ч„,=80 (1); 56(2); 40 (3); 24 (4); 8 (5).

Допустим, что экспериментальные данные зависимости касательного напряжения ге)1р от скорости сдвига для данной жидкости на нелинейном участке достаточно хорошо описываются функцией вида:

=-Ь2-/г-Ьа-, у< 0; гС1ф < 0, (17)

где Ь0,Ь2 - эмпирические константы.

Тогда, учитывая вид функции (11) записанной в размерном виде, определение реологических констант рассматриваемой модели можно было бы проводить из следующих уравнений

М/(2-Го) = 62; = (18)

при условии что b0-b2> 0 .

Определение Ьй и Ь2 будем проводить из условия минимума следующей функции невязки

N 2

"max р

Н*» ьо Ь Z[(-v/,2-M+r<] > (19)

i=k

где N^ — число точек в полном массиве экспериментальных данных; yt < 0, г, < 0 - экспериментальные значения скорости сдвига и соответствующие им значения касательного напряжения; к - номер экспериментальной точки с которой начинается отсчет экспериментальных данных, задействованных в обработке для нелинейного участка.

Однако априори неизвестно, какая часть экспериментальных точек, начиная с номера к, соответствует нелинейному участку кривой течения по модели (11) и должна быть принята во внимание при определении Ь0 и Ь2. В этой связи окончательное нахождение уа и //, предлагается проводить с помощью ПЭВМ в соответствии с алгоритмом, представленном на рис. 5.

Вычисление средней относительной погрешности ¿'(.отклонения расчетных значений от экспериментальных проводилось по соотношениям:

- если уок =-100 и julk =-100, то принимали 8к = 100 % (что интерпретируется, как невозможность описывать экспериментальные данные моделью (II));

- если fiJ t > 0 и тк = М^ , то граница раздела зон ньютоновского

и неньютоновского течений лежит дальше, чем максимальное по модулю значение скорости сдвига из данного массива экспериментальных данных и 8к будет вычисляться по формуле:

I

! th'T,

Ш% (20)

нет

г

-100 и

-100

| Блок вычисления средней относительной

---? погрешности Зк отклонения расчетных

| значений от экспериментальных

> Блок определения минимального значения | средней относительной погрешности <5^ и

1 его номера ] в массиве значений бк »

1.-

Рис. 5. Блок-схема алгоритма обработки экспериментальных данных по определению реологических констант у0 и .

- если //, к > 0 и тк = О, то граница раздела зон ньютоновского и неньютоновского течений лежит левее минимального по модулю значения скорости сдвига из данного массива экспериментальных данных и 6к будет вычисляться по формуле:

I-

М,

■+Го

100%

(21)

2т, и»

- если Мц>0 и 0 < тк < Лггаах, относительную погрешность <5;. будет вы числяться по формуле:

1-

МгГ,

1-

л.

2-Т,

ги

Го

+ Го

100%

(22)

Обрабатывая полученный массив значений для 1 < £ < Л^ - 2, находим вариант выбора параметра Л обработки экспериментальных данных, которому соответствует минимум средней относительной погрешности.

51 = штК} •

(23)

По найденному значению 5) (лучшему, в смысле минимума средней относительной погрешности) окончательно определяем реологические параметры модели из условий:

Уо=Уо,/, /Ч = • (24)

Предложенный алгоритм реализован в виде программы для ПЭВМ на языке С++. Получено свидетельство о регистрации.

Также разработан алгоритм определения параметров реологической модели (5).

Во второй главе была проведена проверка адекватности модели течения жидкости смешенного типа. Показано, на примере кукурузного сиропа, что средняя относительная погрешность расчетных данных по расходу, по отношению к экспериментальным составляет 6 = 4,3%.

В третьей главе рассмотрена математическая модель теплоперено-са при течении жидкости с пределом применимости ньютоновской модели и жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке в цилиндрическом канале с учетом диссипации механической энергии.

Основу математических моделей теплопереноса при напорном течении жидкостей такого рода с учетом диссипации составляет уравнение конвективного теплопереноса

Ке-Кп , дТ' 11 д ( , ЪГ\ (¿и'(гУ

4-Ее

: * &' Рг £с г' йгЧ. дг') О-' )

Рг = я-с/Л; Ее = и23/[с-(Г..-Г.)]; Г = (Г-Г.)/(Г„-Г.),

при г'=л;, т;=т;,

с граничными условиями ЯТ'

при г' = 0; —|- = 0; (7;' * оо); при г' = 1, Г2' = 7;' = сога/; Эг

приг' = 0, Г=7>'), где /"г, Ее - критерии подобия Прандтля и Эккерта, соответственно; К - некоторые характерные значения температуры среды в канале; - температура стенки цилиндрического канала; - температура среды на входе в канал; Т{, Тг - распределение температуры в зоне ньютоновского и неньютоновского течения, соответственно.

Диссипативную составляющую уравнения теплопереноса на неньютоновском участке интерполировали с учетом (7) или (12) в зависимости от вида реологической модели полиномом вида

д;<г-<1, (27)

где I - число узлов интерполяции, в качестве которых принимались: граница раздела зон течения, стенка канала, а также несколько промежуточных точек из интервала .

Аналитически было получено общее решение поставленной задачи:

Т\г\г') = /(/)+ 1С„ ./0 (£п ^, (28)

Я=1

где П = 4/(Ке^с-Рг-и;);

Рг- Ее ■ Ьа2 -Ка ,

1024

Нг'У+сГ;

0<г'<К;

/(2) (г')=К+Рг. & • +сГ • 1п (,'); ^ < л' < 1;

/=о (/ + 2)

¿30 /=о I + ±

('+2)г

Гя

/=0

,2.1-2

С.»

к

Здесь еп - корни характеристического уравнения У0(е„) = 0.

Решения задачи для реологической модели (5) и (11) по форме записи идентичны. Различия заключаются только в представлении диссипа-тивной составляющей (27) уравнения (25), а также средней скорости.

Точку г' = Я^-тах максимального перегрева жидкости в выходном сечении канала определяли из условия экстремума (максимума) функции распределения температуры:

эту,г') _п

что приводит к уравнениям:

Рг-Ec.LS.Kb ^ ,

' + «Гта* и=1

Решение последних уравнений относительно проводилось

численно. После нахождения Л^тах максимально достижимая в результате диссипации температура жидкости определялась из соотношения (28).

Оценку сходимости решения в зависимости от принимаемого числа членов ряда в (28) проводили по относительной погрешности:

5„=--п--100%. (29)

о о

Здесь в качестве «эталонного» принималось выражение (28) для распределения температуры Т'т, включающее достаточно большое число членов ряда. Анализ показал, что с погрешностью не превышающей 2 %, достаточно ограничиваться 10 членами ряда в достаточно широком диапазоне изменения входных параметров системы.

На основе численных экспериментов был выполнен анализ влияния основных параметров системы на диссипативный разогрев при течении в цилиндрическом канале жидкости такого рода.

На рис. 6 представлено распределение температуры в выходном сечении канала при течении в нем жидкости с пределом применимости нью-

тоновскои модели.

Как и следовало ожидать, увеличение значения критерия подобия Рейнольдса приводит к возрастанию температурного экстремума в окрестности стенки канала. При этом для сравнительно небольших значений критерия Яе "пик" температуры наблюдается в зоне ньютоновского течения (кривая 2). По мере же увеличения значения критерия подобия Рейнольдса "пик" смещается в зону неньютоновского течения.

г(гм)

О ОД 0,4 0,6 0,* I*

Рис. 6. Распределение температуры при г' = \,0; Кс= 0,1; //¿=0,01;

Т1 =0,5; Рг = 2,717-Ю8;

Ее = 1,863-10'

£н = 7,143-10 ,

С ОД 0.4 0,6 0,8

Рис. 7. Распределение температуры в выходном сечении канала при £ =0,01; /Ге=0,1;

Рг = 2,717-Ю8; Ей = 7,143-Ю7;

для 11е = 1,12-10"* (1); 1,5-10"6 (2); 2,0' (5).

2,0-Ю-6 (3); 2,5-Ю"6 (4); 3,0-Ю"6

Яе = 1,867-10"6; г;=0,5 для £с = 3-10~8(1); 2,5-Ю-8 (2); 2-Ю-8 (3); 1,5 ■ 10~8 (4); 10"8 (5); 0,5-Ю"8(6); 0,1-Ю"9(7).

Влияние критерия подобия Эккерта на распределение температуры в выходном сечении канала, для жидкости с пределом применимости ньютоновской модели можно проследить по зависимости представленной на рис. 7.

Из этого рисунка видно, что при относительно небольших значениях критерия подобия Эккерта температурный профиль является монотонным (кривая 7). По мере же увеличения числа Ее возникает "пик" температуры (отмечен знаком «Д»). Причем, при дальнейшем его увеличении пик температуры постепенно смещается из зоны неньютоновского, в зону ньютоновского течения (кривые 1-6).

В четвертой главе приводиться описание программы по определению реологических параметров модели вязкости жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке.

В этой же главе, на основе построенных во второй и третьей главах математических моделях, предложена методика и разработаны прикладные программы для ее реализации по расчету гидродинамических, и температурных характеристик при напорном течении жидкостей смешенного

типа с учетом диссипации механической энергии.

Для примера, по предложенной методике с помощью разработанной для ПЭВМ программы был проведен расчет профиля скорости, объемного расхода, распределения температуры и значения максимальной температуры при течении в цилиндрическом канале жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке. В этом случае рассматривалось формование жгутов конфетной массы типа «Кара-Кум» методом выдавливания.

В приложениях к диссертационной работе приведены листинги прикладных программ, а также акты внедрения результатов исследования.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработан алгоритм и комплекс прикладных программ для его численной реализации, предназначенный для интерпретации натурного эксперимента, позволяющий определять параметры границы применимости ньютоновской модели вязкости.

2. Предложена методика математического моделирования конвективного теплопереноса с учетом диссипации механической энергии при течении жидкости смешенного типа с пределом применимости ньютоновской модели в цилиндрическом канале, учитывающая сопряжение ее реологического поведения в различных областях изменения скорости сдвига. В рамках этих моделей получено решение для распределения температуры при напорном течении среды в канале.

3. Разработана прикладная программа для реализации методики по расчету максимальной температуры в цилиндрическом канале при течении жидкостей смешенного типа, позволяющая дать оценку критических режимов, а также рассчитать максимально возможную температуру и сравнить ее с предельно допустимой для данной среды.

4. Проведено сравнение экспериментальных данных с результатами, полученными с использованием математической модели, разработанной на основе предложенной методики, показывающее их удовлетворительное количественное и качественное соответствие, что подтверждает корректность принятых допущений и адекватность разработанных моделей.

5. Проведен анализ моделей с точки зрения влияния основных параметров системы на профиль скорости среды, расход, теплоперенос и максимальную температуру при течении в цилиндрическом канале жидкостей смешенного типа с пределом применимости ньютоновской модели и учетом диссипации механической энергии, позволяющий прогнозировать рациональные режимы, при которых максимальная температура не превышает заданной критической.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Колодежнов, В. Н. Моделирование напорного течения жидкости с пределом применимости ньютоновской модели в цилиндрическом канале [Текст] / В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т. 15, вып. 6,2008. - с. 1092-1093.

2. Колодежнов, В. Н. Моделирование расходно-перепадной характеристики канала для одного случая зависимости вязкости от скорости сдвига [Текст] / В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т. 16, вып. 3, 2009. - С. 530-531.

3. Капранчиков, С. С. Анализ влияния параметров модели диссипа-тивного разогрева при течении неньютоновской жидкости смешанного типа [Текст] / С. С. Капранчиков // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т. 16, вып. 5,2009. - С. 859 - 861.

4. Колодежнов В. Н. Математическое моделирование диссипативного разогрева жидкости смешенного типа в цилиндрическом канале [Текст] / В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков // Вестник Воронежского государственного технического университета, Т. 6, № 1,2010, С. 47-51.

5. Колодежнов, В. Н. Моделирование диссипативного разогрева при течении жидкости для одного частного случая зависимости вязкости от скорости сдвига [Текст] / В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков И Обозрение прикладной и промышленной математики, Т. 17, вып. 1,2010. - с. 117118.

6. Колодежнов, В. Н. Методика определения реологических констант одной модели вязкости жидкости смешенного типа [Текст] / В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т. 17, вып. 3,2010. - с. 422.

статьи и материалы конференций

7. Колодежнов, В. Н. Анализ влияния критериев подобия процесса течения жидкости с пределом применимости ньютоновской модели на распределение ее скорости в цилиндрическом канале [Текст] / В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков // Вестник ВГТА, № 2,2009. - С. 25-29.

8. Колодежнов В.Н. Математическое моделирование гидродинамики вязкой жидкости с пределом применимости ньютоновской модели [Текст] / В.Н. Колодежнов, С.С. Капранчиков - Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-20. Сб. трудов XX Международ, науч. конф.: в 10 т. Т. 5. Секция 11 / под общ. ред. B.C. Балакирева. Ярославль: Изд-во Яросл. гос. техн. ун-та, 2007. - 304 с. С. 8-9.

9. Колодежнов В.Н. Моделирование течения жидкости для одного частного случая кусочно-непрерывной зависимости вязкости от скорости сдвига [Текст] / В.Н. Колодежнов, С.С. Капранчиков - Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы II Междунар. науч. конф. Воронеж: ГОУ ВПО «Воронежская госу-

дарственная технологическая академия», 2007. - С. 99-100.

10. Колодежнов, В. Н. Моделирование течения жидкости с пределом применимости ньютоновской модели [Текст] / В.Н. Колодежнов, С.С. Капранчиков - Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-21. Сб. трудов XXI Международ, науч. конф.: в 10т. Т.5. Секция И / под общ. ред. B.C. Балакирева. Саратов: Сарат. гос. ун-т, 2008. - 332с. С. 244245.

11. Колодежнов, В. Н. Математическая модель течения жидкости с пределом применимости ньютоновской модели [Текст] / В.Н. Колодежнов, С.С. Капранчиков - Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XIX». - Воронеж: ВГУ, 2008. - С. 114.

12. Капранчиков, С. С. Математическая модель диссипативного разогрева жидкости смешанного типа при ее течении в цилиндрическом канале [Текст] / Капранчиков С.С. - Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-ХХ». - Воронеж: ВГУ, 2009. - С. 80.

13. Колодежнов, В. Н. Моделирование течения жидкости для одного случая зависимости вязкости от скорости сдвига [Текст] / В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков - Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы III Междунар. науч. конф. Часть 1. - Воронеж: «Научная книга», 2009. - С. 181-183.

14. Колодежнов, В.Н. Диссипативный разогрев жидкости смешанного типа при ее течении в цилиндрическом канале [Текст] / В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков - «Инновационные технологии и оборудование для пищевой промышленности (приоритеты развития)» [Текст]: материалы III Международной научно-технической конференции, в 3 т. Т. 2 / Воронеж, гос. технол. акад. Воронеж, 2009. С. 392-394.

15. Колодежнов, В.Н. Моделирование диссипативного разогрева при течении жидкости смешанного типа в цилиндрическом канале [Текст] / В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков - Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронеж, гос. университета, 2009. Ч. 1 - 302с. С. 246-248.

16. Колодежнов, В.Н. О влиянии параметров системы на расходно-перепадную характеристику течения неньютоновской жидкости [Текст] / В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков - Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-22. Сб. трудов XXII Международ, науч. конф.: в 10 т. Т. 9. Секция 10 / под общ. ред. В. С. Балакирева. Псков: Изд-во Псков, гос. политехи, ин-та, 2009.-220 с. С. 197-198.

17. Капранчиков, С. С. Анализ влияния порогового значения скорости сдвига на теплоперенос при течении жидкости в канале [Текст] / С. С. Капранчиков - Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-23. Сб. трудов XXIII Международ, науч. конф.: в 12 т. Т. 8. Секция 9 / под

\

v л

общ. ред. В. С. Балакирева. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2010. - 224 с. С. 109-110.

18. Колодежнов, В. Н. Математическое моделирование саморазогрева неньютоновской жидкости смешанного типа в цилиндрическом канале [Текст] / В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков. - Актуальные проблемы вузовского военного образования, гуманитарных и естественнонаучных дисциплин. - В. 1, Ч. 13.1. Сб. ст. - Воронеж: Военный авиационный инженерный университет, 2010. - С. 204, с. 54-56.

19. Свидетельство о регистрации программной разработки № 2010617542 Российская Федерация. Программа для обработки экспериментальных данных по определению параметров реологической модели вязкости жидкости смешенного типа и дилатантным поведением на неньютоновском участке [Текст] / В. Н. Колодежнов, А. В. Колтаков, С. С. Капранчиков; заявитель и правообладатель Колодежнов В. Н. -№2010615779; заявл. 21.09.2010; опубл. 15.11.2010.

Подписано в печать 25.11.2010г. Формат60x84 '/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № ЧЩ ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия» (ГОУВПО ВГТА) Отдел оперативной полиграфии ГОУВПО «ВГТА» Адрес академии и отдела оперативной полиграфии 394036, Воронеж, пр. Революции, 19

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСОВ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ СЛОЖНОЙ РЕОЛОГИИ В КАНАЛАХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО

ОБОРУДОВАНИЯ

1.1 Техническое приложение течения высоковязких жидкостей в каналах технологического оборудования.

1.2 Фундаментальные основы моделирования гидродинамики и теплопереноса вязких неньютоновских жидкостей.

1.3 Основные реологические модели неныотоновских жидкостей и известные результаты по течению жидкостей смешенного типа.

1.4 Цели и задачи исследования.

ГЛАВА 2 РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ С ПРЕДЕЛОМ ПРИМЕНИМОСТИ НЬЮТОНОВСКОЙ МОДЕЛИ В КАНАЛАХ

2.1 Реологические модели жидкостей смешенного типа. Разработка методик и алгоритмов определения параметров реологических моделей на основе интерпретации результатов натурного эксперимента.

2.2 Математическое моделирование течения в цилиндрическом канале жидкости с пределом применимости ньютоновской реологической модели.

2.3 Анализ модели с точки зрения влияния основных параметров на характеристики процесса течения жидкости с пределом применимости ньютоновской модели.

2.4 Математическое моделирование течения в цилиндрическом канале жидкости смешенного типа с дила-тантным поведением на неньютоновском участке.

2.5 Анализ модели с точки зрения влияния основных параметров на характеристики процесса течения жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке.

2.6 Математическое моделирование течения в плоском канале жидкости с пределом применимости ньютоновской реологической модели. Проверка адекватности модели.

В различных отраслях промышленности (пищевая, химическая и другие) широко распространены и постоянно реализуются процессы напорного течения рабочих сред в каналах технологического оборудования.

Одной из особенностей таких процессов является то, что многие рабочие среды имеют достаточно высокую вязкость. Поэтому процессы их течения в каналах технологического оборудования сопровождаются в ряде случаев достаточно сильным саморазогревом рабочей среды, обусловленным диссипацией механической энергии вследствие действия сил внутреннего трения.

Следует отметить, что многие рабочие среды демонстрируют достаточно сложные реологические свойства. Для неныотоновских жидкостей это относится, прежде всего, к зависимости вязкости от скорости сдвига. Моделированию течения и конвективного теплопереноса неньютоновских жидкостей посвящены труды таких ученых, как: Артюшков Л. С., Астарита Дж., Виноградов Г. В., Литвинов В. Г., Малкин А. Я., Марруччи Дж., Рейнер М., Уилкинсон У. Л., Фройштетер Г. Б., Шульман 3. П. и многих других.

Для некоторых неньютоновских жидкостей характер зависимости вязкости от скорости сдвига в отдельных частях области изменения этой характеристики нередко является существенно различным. На одних участках варьирования скорости сдвига эта зависимость носит линейный характер, а на других — существенно нелинейный. Механическое поведение таких рабочих сред может быть описано в рамках реологических моделей неньютоновских жидкостей смешенного типа.

Изучению реологических свойств и течения таких неньютоновских жидкостей смешенного типа в каналах различной геометрии посвящены труды ряда отечественных и зарубежных ученых, таких как: Анистратенко

В. А., Гудкова Т. И., Кузин В. Г., Литвинов В. Г., Михайлов Н. В., Овчинников П. Ф., Ябко Б. М., Иакашига ТасЫпБа, 11ек1 Маэапоп, Zubieta М. и другие.

Однако, анализ современного состояния вопросов математического моделирования процессов течения и теплопереноса в цилиндрических каналах технологического оборудования для рабочих сред типа неньютоновских жидкостей смешенного типа именно с учетом диссипации механической энергии показал сравнительно малую степень изученности данного вопроса. Хотя именно саморазогрев высоковязких рабочих сред за счет диссипации представляет наибольший практический интерес.

В этой связи актуальным является разработка математических моделей гидродинамики и теплопереноса в цилиндрических каналах технологического оборудования для рабочих сред типа неныотоновских жидкостей смешенного типа с учетом диссипативного разогрева.

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Воронежской государственной технологической академии в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ № г.р. 01.200.1.16986 по теме: «Инженерно-математические методы расчета механических и гидромеханических систем применительно к оборудованию химической и пищевой промышленности», а также в рамках тематического плана по заданию Министерства образования и науки Российской Федерации по теме «Исследование закономерностей течения неньютоновских жидкостей в каналах различной геометрии» № г.р. 01.200.6.04058.

Целью работы: синтез и анализ математических моделей диссипативного разогрева неньютоновских жидкостей смешенного типа в цилиндрических каналах технологического оборудования, а также разработка предметно-ориентированного комплекса программ для прогнозирования характеристик процесса конвективного теплопереноса и идентификации границы корректности ньютоновской модели вязкости.

Для достижения этой цели в диссертационной работе были поставлены следующие задачи:

- синтезировать математическую модель напорного течения и теплопереноса в цилиндрическом канале жидкости с пределом применимости ньютоновской модели, а также жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке;

- предложить алгоритмы поиска значений определяющих констант предложенных реологических моделей вязкости и разработать программы для их численной реализации;

- разработать алгоритмы и комплексы программ по расчету температурного поля, средней и максимальной температуры при течении в цилиндрическом канале жидкости с пределом применимости ньютоновской модели, а также жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке;

- реализовать численные эксперименты с предложенными моделями и проанализировать их результаты с точки зрения влияния входных параметров на характеристики процесса течения и диссипативного разогрева;

- провести сравнительный анализ адекватности предложенных моделей.

Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании апробированных подходов к проведению математического моделирования, фундаментальных законов гидродинамики и теплопереноса, применение математического аппарата дифференциальных уравнений в частных производных, методик интерполяции экспериментальных данных, а также сравнительном анализе результатов, полученных на основе математических моделей, с известными экспериментальными данными.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

1. Предложена методика математического моделирования течения жидкостей смешенного типа, учитывающая сопряжение ее реологического поведения в различных областях изменения скорости сдвига.

2. Предложены математические модели конвективного теплопереноса в цилиндрическом канале с учетом диссипации механической энергии для жидкостей с реологическими моделями смешенного типа с учетом зависимости вязкости от скорости сдвига за пределом применимости ньютоновской модели.

3. Разработан численный метод определения констант реологической модели вязкости для жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неныотоновском участке, а также прикладная программа для его реализации, позволяющие определять границу применимости составных частей общей модели в форме порогового значения скорости сдвига для зон ньютоновского и неньютоновского течений.

4. Разработан пакет прикладных программ для расчета температурного поля при течении жидкости внутри цилиндрического канала, учитывающий ограниченность области применения ньютоновской модели вязкости и эффект диссипации механической энергии.

5. На основе численных экспериментов проведен анализ влияния входных параметров математических моделей, представленных в форме безразмерных критериев подобия, на выходные характеристики, позволяющий определить степень их воздействия на максимальный разогрев среды при ее течении в цилиндрическом канале.

Практическая значимость состоит в:

- разработке комплекса программ по определению границы применимости ньютоновской модели вязкости на основе обработки результатов эксперимента; разработке алгоритма по расчету параметров процесса конвективного теплопереноса с учетом диссипации механической энергии при течении в цилиндрическом канале жидкостей смешенного типа и его реализации в виде комплекса проблемно-ориентированных программ в системе компьютерной математики, которые позволяют повысить эффективность технологического процесса путем прогнозирования и оценки влияния входных параметров на разогрев среды.

Прикладная программа для определения реологических констант модели вязкости для жидкости смешенного типа с дилатантным поведением на неньютоновском участке передана в отдел технологического сервиса кондитерской отрасли ООО «ЭФКО Пищевые Ингредиенты» для практического использования.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования доложены и обсуждены на П-ой международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007г.); на XX, XXI, XXII, XXIII - Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» - ММТТ-20 (Ярославль, 2007г.), ММТТ-21 (Саратов, 2008г.), ММТТ-22, (Псков, 2009г.), ММТТ-23 (Саратов, 2010г.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XIX, XX» (Воронежский государственный университет, 2008 -2009 годы); на IX, X, XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - (Кисловодск, Волгоград, Волжский - 2008г., Санкт-Петербург, Дагомыс - 2009г., Кисловодск — 2010г.); отчетных научных конференциях ВГТА за 2007 - 2009 годы.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 25 работах, из них 6 в реферируемых журналах из списка ВАК РФ. Получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Основной материал изложен на 199 страницах и содержит 92 рисунка и 19 таблиц.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

На основе проведенного исследования можно сформулировать следующие результаты работы и основные выводы:

1. Разработан алгоритм и комплекс прикладных программ для его численной реализации, предназначенный для интерпретации натурного эксперимента, позволяющий определять параметры границы применимости ньютоновской модели вязкости.

2. Предложена методика математического моделирования конвективного теплопереноса с учетом диссипации механической энергии при течении жидкости смешенного типа с пределом применимости ньютоновской модели в цилиндрическом канале, учитывающая сопряжение ее реологического поведения в различных областях изменения скорости сдвига. В рамках этих моделей получено решение для распределения температуры при напорном течении среды в канале.

3. Разработана прикладная программа для реализации методики по расчету максимальной температуры в цилиндрическом канале при течении жидкостей смешенного типа, позволяющая дать оценку критических режимов, а также рассчитать максимально возможную температуру и сравнить ее с предельно допустимой для данной среды.

4. Проведено сравнение экспериментальных данных с результатами, полученными с использованием математической модели, разработанной на основе предложенной методики, показывающее их удовлетворительное количественное и качественное соответствие, что подтверждает корректность принятых допущений и адекватность разработанных моделей.

5. Проведен анализ моделей с точки зрения влияния основных параметров системы на профиль скорости среды, расход, теплоперенос и максимальную температуру при течении в цилиндрическом канале жидкостей смешенного типа с пределом применимости ньютоновской модели и учетом диссипации механической энергии, позволяющий прогнозировать рациональные режимы, при которых максимальная температура не превышает заданной критической.

1. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен Текст. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер // Пер. с англ. Под ред. Г.Л. Подвид-за: В 2 т. — М.: Мир, 1990.-Т. 1.-384 е.; Т. 2.-726 с.

2. Андреев, А. Н. Влияние технологических факторов на реологические свойства слоеного теста Текст. / А. Н. Андреев. Известия Вузов. Пищевая технология, № 2, 1989. - С. 67-69.

3. Анистратенко, В. А. Исследование реологических свойств фильтрационного осадка как объекта транспортирования Текст. / В. А. Анистратенко, В. Н. Кошевая, Б. Н. Валовой // Известия ВУЗов. Пищевая технология, -№1,1992.-С. 54-57.

4. Артюшков, Л. С. Динамика неньютоновских жидкостей Текст. / Л. С. Артюшков. — Лениград.: Ленинградский кораблестроительный институт, 1979.-228 с.

5. Астарита, Дж. Основы гидромеханики неныотоновских жидкостей Текст. / Дж. Астарита, Дж. Марруччи. — М.: Мир. 1978. — 311 с.

6. Бартенев, Г. М. Закономерности и механизм вязкого течения линейных полимеров Текст. / Г. М. Бартенев. — Пластмассы, 1964. № 2, С. 20-31.

7. Белоцерковский, О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред Текст. / О. М. Белоцерковский. М.: Наука, 1984. - 519 с.

8. Битюков, В. К. Гидродинамика и теплоперенос в системах с тонкими несущими слоями вязкой несжимаемой жидкости Текст. / В. К. Битюков, В. Н. Колодежнов. Воронеж: ВГУ, 1999. - 192 с.

9. Битюков, В. К. Теплообмен при термообработке дисков на газовой несущей прослойке Текст. / В. К. Битюков, В. Н. Колодежнов // Промышленная теплотехника, 1988. Т. 10, №4. - С. 58-62.

10. Бухгалтер, В. И. Экструзия Текст. JL: Химия, 1980. - 340 с.

11. Варгафтик, Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. - 110 с.

12. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций / Пер. с англ. B.C. Берма-на. М.: Изд. ин. лит-ры, 1949. - 798 с.

13. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов Текст. / В. М. Вержбицкий. — Изд-во Высшая школа, 2005г. — 840 с.

14. Виноградов, Г. В. Реология полимеров Текст. / Г.В. Виноградов, А .Я. Малкин. М.: Химия, 1977. - 437 с.

15. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики Текст. / В. С. Владимиров, В.В. Жаринов. — Изд-во Физматлит, 2008г. 400 с.

16. Волков, Е. А. Численные методы Текст. / Е. А. Волков. М.: Наука, 1987.-248 с.

17. Гинзбург, А. С. Теплофизические характеристики пищевых продуктов: Справочник / А. С. Гинзбург, М. А. Громов, Г. И. Красовская М.: Аг-ропромиздат, 1990 - 286 с.

18. Глушаков, С. В. Программирование на С++ Текст. / С. В. Глуша-ков, Т. В. Дуравкина. Изд-во ACT, 2008. - 688с.

19. Грачев, Ю. П. Моделирование и оптимизация тепло- и массообмен-ных процессов пищевых производств Текст. / Ю. П. Грачев, А. К. Туболь-цев. М.: Лег. и пищ. пром-ть, 1984. - 216 с.

20. Грей, Э. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике / Э. Грей, Г.Б. Мэтьюз // Пер. с англ. Под ред. С.Я. Коган. — М.: Изд. иностр. лит-ры, 1953. 371 с.

21. Гудкова, Т. И. К вопросу о влиянии структурно-механических свойств печатных красок на их поведение в печатном производстве / Т. И. Гудкова, Л. А. Козаровицкий, Н. В. Михайлов / Коллоид. Журн., 1960, 22, № 6, с. 649-657.

22. Гуськов, К. П. Реология пищевых масс Текст. / К. П. Гуськов, Ю. А. Мачихии, С. А. Мачихии, JI. Н. Лунин. М.: Пищевая промышленность, 1970.-208 с.

23. Гухман, А. А. Введение в теорию подобия Текст. / А. А. Гухман. -Изд-во ЛКИ, 2010. 295с.

24. Гухман, А. А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепло-массообмена, (процессы переноса в движущейся среде) Изд. 2-е перераб. и доп. М.:, «Высш. школа», 1974. 328 с.

25. Дубовик, А. В. Нагревание неньютоновской жидкости при выдавливании через матрицу Текст. // ИФЖ, 1980. Т. XXXIX, № 1. - С. 710 -715.

26. Закгейм, А. Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов Текст. -М.: Химия, 1973.-227 с.

27. Зубченко, А. В. Технология кондитерского производства Текст. / А. В. Зубченко / Воронеж, гос. технол. акад. — Воронеж, 1999. — 432 с.

28. Капранчиков, С. С. Анализ влияния параметров модели диссипа-тивного разогрева при течении неньютоновской жидкости смешанного типа Текст. / С. С. Капранчиков // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т. 16, вып. 5, 2009. С. 859 - 861.

29. Капранчиков, С. С. Моделирование гидродинамики жидкости с переменной реологией в цилиндрическом канале Текст. / Капранчиков С. С. -Материалы студенческой научной конференции за 2007 год / Воронеж, гос. технол. акад. Воронеж, 2007. - С. 16-17.

30. Кафтанова, Ю. В. Специальные функции математической физики. Функции Бесселя Текст. / Ю. В. Кафтанова. в Зт. Т.1 - X.: ЧП Изд-во «Новое слово», 2009. - 179с.

31. Колодежнов, В. Н. Исследование течений вязких жидкостей с пределом применимости ньютоновской модели / Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. УрО РАН, 2001. с. 346.

32. Колодежнов, В. Н. Математическая модель течения жидкости в цилиндрической трубе для гипотетического случая кусочно постоянной зависимости вязкости от второго инварианта тензора скоростей деформаций. // Вестник ВГТА. 2000, № 5. с. 95 -101.

33. Колодежнов, В. Н. Математическое моделирование диссипативного разогрева жидкости смешенного типа в цилиндрическом канале Текст. /

34. В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков // Вестник Воронежского государственного технического университета, Т. 6, № 1, 2010, С. 47-51.

35. Колодежнов, В. Н. Методика определения реологических констант одной модели вязкости жидкости смешенного типа Текст. / В. Н. Колодежнов, С. С. Капранчиков // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т. 17, вып. 3, 2010. с. 422.

36. Колодежнов, В. Н. Моделирование гидродинамики и теплопереноса для неньютоновских жидкостей в каналах кольцевого поперечного сечения Текст. / В. Н. Колодежнов, С. Н. Амзин — Воронеж: Воронеж, гос. технол. акад., 2005. 192 с.

37. Колодежнов, В. Н. Моделирование диссипативного разогрева для сдвиговых течений неньютоновских жидкостей в плоских каналах: анализ частных случаев: монография / В. Н. Колодежнов, А. В. Колтаков. Воронеж: ВГПУ, 2008. - 251 с.

38. Колодежнов, В. Н. Моделирование диссипативного разогрева при течении неньютоновских жидкостей в плоских каналах Текст.: Монография / В. Н. Колодежнов, Д. В. Еремин. Воронеж, гос. технол. акад. - Воронеж: ВГТА, 2006. - 168 с.

39. Колодежнов, В. Н. Теплоперенос в плоском канале для жидкости с ограничением на область применимости ньютоновской модели Текст. / В. Н. Колодежнов // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т. 17, вып. 1,2010. с. 116-117.

40. Коренев, Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971.-287 с.

41. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников) Текст. / Г. Корн, Т. Корн // Изд-во «Наука», М., 1974 г. 832 с.

42. Крашенинников, А. И. Зависимость структурно-механических свойств сополимера акрилонитрила с метилакрилатом от характера поверхности его частиц Текст. / А. И. Крашенинников, JI. В. Ступень, Р. А. Малахов // Коллоид, журн., 1971, 33, № 6, С. 854-861.

43. Кузин, В. Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости в цилиндрическом канале в условиях скольжения. Прикладная механика, Т. XVI, №1, 1980г., с. 106-112.

44. Кузин, В. Г. Движение нелинейно-вязкой среды в цилиндрическом канале произвольного сечения Текст. / В. Г. Кузин // Прикладная механика. Т. XV,№7, 1979.-С. 101-106.

45. Литвинов, В. Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости Текст. / В. Г. Литвинов М.: Наука, 1982. - 376 с.

46. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа Текст. / Л. Г. Лой-цянский. -М.: Наука, 1987. 840 с.

47. Лыков, А. В. Теория тепло- и массопереноса Текст. / А. В. Лыков, Ю. А. Михайлов. -М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. — 536 с.

48. Лыков, А. В. Теория теплопроводности Текст. — М.: Высшая школа, 1967.-599 с.

49. Лыков, А. В. Тегогамассобмен: Справочник Текст. 2-е изд., пере-раб. и доп. М.: Энергия, 1978. - 480 с.

50. Макаров, В. Г. Свойства полипропилена, наполненного тальком Текст. / В. Г. Макаров, В. И. Помещиков, Р. М. Синельникова, Н. Н. Никитина, Е. В. Гипикова, М. В. Дюльдина, Д. Н. Серегин // Пластические массы, 2000. № 12.

51. Макаров, Е. Г. Mathcad Текст. / Е. Г. Макаров. С.-Пб.: Питер, 2009.-384 с.

52. Макаров, Е. Г. Инженерные расчеты в Mathcad Текст. / Е. Г. Макаров. С.-Пб.: Питер, 2004. - 448 с.

53. Максфилд, Б. MathCad в инженерных расчетах Текст. / Б. Макс-филд. Изд-во МК-Пресс, 2010г. - 368с.

54. Маршалкин, Г. А. Технологическое оборудование кондитерских фабрик Текст. / Г. А. Маршалкин. М.: Легкая и пищ. пром-сть, 1984. — 448с.

55. Мачихин, Ю. А. Инженерная реология пищевых материалов Текст. / Ю. А. Мачихин, С. А. Мачихин. М.: Легкая и пищ. пром-сть, 1981. - 216 с.

56. Мачихин, Ю. А. Формование пищевых масс Текст. / Ю. А. Мачихин, Г. К. Берман, Ю. В. Клаповский. — М.: Колос, 1992. — 272 с.

57. Медведева, А. А. Производство конфет и шоколада: технологии, оборудование, рецептуры Текст. / А. А Медведева. СПб.: изд-во ДНК, 2007.-256 с.

58. Мецгер, Т. Реологические кривые и кривые вязкости растворов полимеров Электронный ресурс. / Томас Мецгер, Клаус Воллни. Режим доступа: http://www.paai\ru/catalogl37.html. Дата обращения: 08.09.2010.

59. Михайлов, Н. В. Упруго-пластические свойства нефтяных битумов Текст. /Н. В. Михайлов Коллоид, журн., 1955, Т. 17, №3, с. 243-246.

60. Моделирование и оптимизация полимеров Текст. / В. В. Скачков, Р. В. Торнер, Ю. В. Стунгур и др. Л.: Химия, 1984. - 152 с.

61. Математическое моделирование / P.P. Мак-Лоун, Дж.У. Креггс, Б. Нобл / Пер. с англ. Под ред. Ю.П. Гупало М.: Мир, 1979. - 277 с.

62. Математическое моделирование химических производств / К. Кроу,

63. A. Галилец, Т. Хоффман -М.: Мир, 1973.-391 с.

64. Ничипоренко, С. П. Основные вопросы теории процессов обработки и формирования керамических масс Текст. / С. П. Ничипоренко. Киев, изд-во АН УССР, 1960. - 112с.

65. Овсянников, А. И. Реологические особенности некоторых пищевых сред в вязко-текучем состоянии Текст. / А. И. Овсянников, В. А. Ересько // Известия вузов. Пищевая технология, 1978, №5, с. 96-100.

66. Овчинников, П. Ф. Виброреология Текст. / П. Ф. Овчинников. -Киев: Наукова думка, 1983. 272 с.

67. Остапчук, Н. В. Основы математического моделирования процессов пищевых производств Текст. Киев: Выща школа, 1991. - 368 с.

68. Очков, В. Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров Текст. /

69. B.Ф. Очков, С.-Пб.: БХВ-Петербург, 2009.

70. Пасконов, В. М. Численное моделирование процессов тепло- и мас-сообмена Текст. / В. М. Пасконов, В. И. Полежаев, Л. А. Чудов М.: Наука, 1984.-288 с.

71. Петров, Э. И. Влияние состава дисперсионной среды на реологические свойства суспензий сополимера акрилонитрила с метилакрилатом Текст. / Э. И. Петров, А. И. Крашенинников // Коллоид, журн., 1971, 33, №5, С. 708-715.

72. Петухов, Б. С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах Текст. / Б. С. Петухов. — М.: Энергия, 1967. 411 с.

73. Пирумов, У. Г. Численные методы Текст. / У.Г. Пирумов. Изд-во Дрофа, 2007г.-221 с.

74. Просветов, Г. И. Уравнения в частных производных: задачи и решения Текст. / Г. И. Просветов. Изд-во Альфа-Пресс, 2009г. - 88 с.

75. Ребиндер, П. А. Упруговязкостные свойства тиксотропных структур в водных суспензиях бентонитовых глин Текст. / П. А. Ребиндер, А. А. Абдурагимова, Н. Н. Серб-Сербина. Коллоид, журн., 1955, 17, № 3, с. 184190.

76. Рейнер, М. Реология Текст. / М. Рейнер; пер. с англ. Н. И. Малини-на-М.: Наука, 1965.-224 с.

77. Реометрия пищевого сырья и продуктов: Справочник Текст. / под. Ред. Ю.А. Мачихина. М.: Агропромиздат, 1990. - 271 с.

78. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика Текст. / П. Роуч М.: Мир, 1980.-616 с.

79. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики Текст. / К. Б. Сабитов. Изд-во Высшая школа, 2003г. - 255с.

80. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гу-лин. М.: Наука, 1989. - 432 с.

81. Седов, JI. И. Методы подобия и размерности в механике Текст. / Л. И. Седов. Наука, 1977. - 440с.

82. Сборник основных рецептур сахаристых кондитерских изделий Текст. / сост. Н. С. Павлова СПб: ГИОРД, 2000. - 232 с.

83. Скачков, В. В. Моделирование и оптимизация экструзии полимеров Текст. / В. В. Скачков, Р. В. Торнер, Ю. В. Стунгур, С. В. Реутов. JL: Химия, 1984. - 152 с.

84. Скульский, О. И. Механика аномально вязких жидкостей Текст. / О.И. Скульский, С.Н. Аристов. 2004. — 156с.

85. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ Текст. / Р. Темам; пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 408 с.

86. Теряева, Т. Н. Реологические свойства полипропилена, наполненного охрой Текст. / Т. Н. Теряева, О. В. Касьянова // Пластические массы, № 5, 2007. С. 37-40.

87. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики Текст. / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Изд-во МГУ имени М. В. Ломоносова, 2004. - 798с.

88. Туголуков, Е. Н. Математическое моделирование технологического оборудования многоассортиментных химических производств. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. 100 с.

89. Уилкинсон, У. Л. Неньтоновские жидкости. Гидромеханика, перемешивание и теплообмен. -М.: Мир, 1964. 216 с.

90. Урбанович, Л. И. Распределение температуры и теплообмен в ламинарном потоке несжимаемой жидкости при течении в кольцевом канале с учетом диссипации энергии Текст. / Л. И. Урбанович // ИФЖ, 1968. Т. XIV, №4. -С. 740-742.

91. Фабер, Т.Е. Гидроародинамика. — М.: Постмаркет, 2001. 560 с.

92. Фройштетер, Г. Б. Течение и теплообмен неньютоновских жидкостей в трубах Текст. / Г. Б. Фройштетер, С. Ю. Данилевич, Н. В. Радионова -Киев: Наукова думка, 1990. 216 с.

93. Цой, П. В. Методы расчета задач тепломассопереноса Текст. / П. В. Цой. М.: Энергия, 1984. - 424 с.

94. Чанг Дей Хан. Реология в процессах переработки полимеров. — М.: Химия, 1979. 366 с.

95. Чубик, И. А. Справочник по теплофизическим характеристикам пищевых продуктов и полуфабрикатов Текст. / И. А. Чубик, А. М. Маслов. -М.: Пищевая промышленность, 1970. 184 с.

96. Шилдт, Г. Полный справочник по С++ Текст. / Герберт Шилдт. -Изд-во Вильяме, 2007. 800с.

97. Шрамм, Г. Основы практической реологии и реометрии. Пер. с англ. И. А. Лапыгина. Под ред. В. Г. Куличихина. М.: КолосС, 2003. - 312 с.

98. Шульман, 3. П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей. М.: Энергия, 1975. - 352 с.

99. Янке, Е. Специальные функции. Формулы, Графики, Таблицы. Текст. / Ф. Эмде, Ф. Лёш // Перевод с 6-ого переработанного немецкого издания. Под ред. Л. И. Седова. - М.: Изд-во «Наука», 1964.

100. Nakamura Tadahisa, Ueki Masanori. The high temperature torsional deformation of a 0,06 % С mild steel. Trans. Iron and steel Inst. Jap., 1975, 15, №4, p. 185-193.

101. Skelland, A. H. P. Non-Newtonian Flow and Heat Transfer, Wiley, New York, 1967, 469 p.

102. Steffe F. James Rheological methods in food process engineering. Still Valley Dr., Michigan State University East Lansing, USA, 1996, p. 428.

103. Zubieta, M. A numerical method for determining the shear stress of magnetorheological fluids using the parallel-plate measuring system Текст. / M. Zubieta, M. J. Elcjabarrieta, M. Bou-Ali. Rheologica Acta, Vol. 48, N. 1, p. 89-95.