автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование течений жидкости и газа в каналах сложных геометрических форм на базе численного метода контрольного объема

На правах рукописи

Виноградова Ирина Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В КАНАЛАХ СЛОЖНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ НА ВАЗЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА КОНТРОЛЬНОГО ОБЪЕМА

Специальность 05.13.18 -"Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (технические науки)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кацдидата технических наук

Москва 2003

Работа выполнена на кафедре общей и прикладной математики Московского государственного индустриального университета

Научный руководитель:

доктор технических наук, доцент

Зубков В.Г.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор доктор технических наук, профессор

Шейпак А. А.

Феоктистов Н.А.

Ведущая организация - Центральный НИИ химии и механики (ЦНИИХМ)

Защита состоится 31 октября 2003 года в 14 часов на заседания диссертационного совета КР 212.129.16 при Московском государственном индустриальном университете по адресу г.Москва, ул. Автозаводская, 16, МГИУ, ауд.1605.

С диссертационной работой можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного индустриального университета.

Автореферат разослал сентября 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета КР 212.129.16 доктор технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи, связанные с течением жидкости и газа играют важнейшую роль во многих видах техники. Почти все способы производства энергии в качестве своих составляющих испольауют процессы гидродинамики и теплообмена. Очевидно, наиболее эффективным направлением исследования таких процессов является постановка вычислительного эксперимента, базирующегося на математической модели течения.

Особую актуальность проблема математического моделирования приобретает в связи с необходимостью сокращения затрат на экспериментальную доводку различных энергетических установок. При этом компьютерная модель з значительной степени заменяет дорогостоящие и трудоемкие экспериментальные исследования, позволяя в ряде случаев получить информацию, недоступную для натурного эксперимента.

Численное моделирование течений жидкости и газа в проточных частях энергетического оборудования позволяет детально исследовать характеристики потока в любой его точке, а также определять величины гидродинамических потерь, связанных с образованием пограничных слоев, возникновением отрывных зон и т.п. Кроме того, последовательно и целенаправленно видоизменяя форму канала, в процессе численного эксперимента можно найти такую его конфигурацию, которая в наибольшей степени будет отвечать требованиям энергосбережения.

Значительная часть работ, в которых применяются вычислитель-

ные методы, посвящена исследованию п )

Й геплооб-

мена в областях простейшей фор мы.Такие задачи имеют определенное прикладное значение и обычно являются тестовыми для проверки работоспособности построенной математической модели.

Реальные области движения, встречающиеся на практике, далеко не всегда имеют простую форму. К таким областям можно отнести, в первую очередь, каналы с наличием препятствий на стенках (каналы с одиночным препятствием, с противоположно расположенными препятствиями, с набором последовательных препятствий).

Особый практический интерес представляют каналы, имеющие нерегулярную криволинейную границу (диффузоры, криволинейные и волновые каналы). Ранее расчеты подобных каналов провод ились с использованием криволинейных координат к расчетных сеток, адаптированных к 1раиицам области течения. Но задача построения криволинейной сетки сама по себе является достаточно сложной, В настоящее время проблема генерации расчетных сеток образует самостоятельный раздел вычислительной гидродинамики. Поэтому на первое место выходит задача создания инженерного метода расчета и комплекса программ по математическому моделированию газодинамических процессов в областях сложных 1,ео метрических форм с использованием относительно простых расчетных: сеток, не сопряженных с геометрическими границами иссле/туемых каналов.

Таким образом, математическое моделирование процессов гидродинамики и теплообмена, и каналах сложных геометрических форы, которому посвящена, данная диссертационная работа, представляется весьма актуальным.

Целью работы является решение научной проблемы математического моделирования тепломассообмена в теплоэнергетических установках со сложными геометрическими конфигурациями каналов.

Поставленная цель и сформулированные проблемы потребовали решения следующих теоретических и прикладных задач:

• разработка комплекса программ для численного исследования течения жидкости и газа в каналах сложных геометрических форм на основе математического моделирования физического процесса;

• проведение вычислительного эксперимента на базе разработанного комплекса программ для исследования структуры течений, описания тепловых и гидродинамических эффектов в плоских каналах сложных геометрических форм;

• на основе проведенных вычислительных экспериментов изучение влияния геометрических параметров исследуемых каналов на гидродинамические характеристики течений.

Методы исследования. В качестве основных методов исследования используются метод математического моделирования процессов гидродинамики и теплообмена и численные методы решения систем дифференциальных уравнений. В качестве численного метода исследовйг-ния течений жидкости и газа использован метод контрольного объема.

Научная новизна. Разработан комплекс программ по математическому моделированию процессов гидродинамики и теплообмена в каналах сложных геометрических форм, позволяющий проводить теоретическое исследование широкого класса сложных течений и более обо-

скованно подходить к проектированию реальных конструкций газодинамических трактов теплоэнергетических установок.

Доказана возможность использования относительно простых регулярных ортогональных сеток для получения достоверных результатов при расчетах гидродинамических параметров в каналах сложных геометрических форм. Показано, что использование расчетных сеток, не сопряженных с границами области течений, и метода заблокированных областей позволяет создать универсальный программный комплекс для описания течений в областях произвольной конфигурации.

Рассмотрены и проанализированы различные варианты конечно-разностной аппроксимации конвективных членов дифференциальных уравнений математической модели.

В результате вычислительного эксперимента описана физическая картина и установлены причинно-следственные связи процессов, протекающих в каналах газодинамических трактов сложных геометрических форм, а также проведена оценка и анализ факторов, влияющих на параметры течения, исследуемые с помощью предложенной математической модели.

Практическая ценность работы.

В результат« выполнения диссертационной работы разработан комплекс программ по математическому моделированию гидродинамики и теплообмена в каналах сложных геометрических форы для описания структуры и характеристик рассматриваемых течений.

Представленные в работе математические модели, комплексы программ и результаты вычислительных экспериментов апробируются на

б

ПО ГРЦАС "СЕВМАШ" (г. Северодвинск).

На защиту выносятся:

• математическая модель и алгоритм расчета гидродинамических параметров ламинарных и турбулентных течений жидкости и газа в плоских каналах сложных геометрических форм;

• комплекс программ, разработанный на основе математического моделирования тепломассообмена в теплоэнергетических установках на базе численного метода контрольного объема;

• данные, полученные на основании проведенного вычислительного эксперимента, о влиянии численной диффузии, возникающей из-за ошибок разностной аппроксимации исходных дифференциальных уравнений, а также рекомендации по выбору разностных схем при аппроксимации конвективных потоков;

• обоснование использования относительно простых регулярных ортогональных расчетных сеток, не сопряженных с геометрическими границами области течения, для описания процессов гидродинамики и теплообмена в каналах сложных геометрических форм;

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались: на научно-технических конференциях Московского государственного индустриального университета (г. Москва, 2000 г., 2001 г., 2002 г.); на Третьем украино-российском научно-техническом и методическом симпозиуме "Современные информационные технологии в науке, производстве, образовании и управлении" {г.Хмельницкий, Украина, 2003 г.); на IV Международной конференции "Компьютерное мо-

делироиание 2003" (г.Санкт-Петербург, 2003 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации подставлены в пяти опубликованных работах.

Структура и объем работы- Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 173 источника. Работа, изложена на 154 страницах машинописного текста и содержит 4 таблицы и 59 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведено обоснование актуальности темы, сформулированы основные задачи и цели, дан краткий анализ структуры и содержания диссертационной работы.

В первой главе дан анализ научно-технической литературы, который показал, что математическое моделирование и вычислительный эксперимент являются в настоящее время актуальным направлением исследования процессов гидродинамики и теплообмена в каналах сложных геометрических форм.

Проведена классификация методов моделирования, используемых в настоящее время при решении широкого спектра задач механики жидкости и газа.

Изучена проблема построения расчетных сеток, имеющая особую важность в связи с тем, что точность и скорость сходимости численного метода определяется не только порядком аппроксимации исходных дифференциальных уравнений и эффективностью алгоритма ре-

шения их разностного аналога, но в значительной степени - способом построения разностной сетки. Проведена, классификация расчетных сеток. Показано, что тип сетки определяется, во-первых, особенностями численного метода, который будет использоваться дяя интегрирования уравнений гидродинамики, и, во-вторых, особенностями решаемой задачи.

Представлен анализ существующих мегодов получения дискретных аналогов дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих физический процесс. Рассмотрены особенности метода конечных разностей, метода конечных элементов и метода контрольного объема. На основании отечественных и зарубежных источников проведено сравнение этих методов и даны рекомендации но их использованию при решении широкого класса задач. Проведенный сравнительный анализ этих мегодов во многих случаях позволяет отдать предпочтение численному методу контрольного объема.

Проведен обзор существующих пакетов прикладных программ для решения задач механики жидкости и газа. На основе алализа преимуществ и недостатков рассмотренных программных комплексов сделан вывод о целесообразности создания комплекса программ для решения широкого спектра задач течений жидкости и газа в каналах сложных геометрических форм.

Во второй главе описана математическая постановка задачи, которая включает систему уравнений Навье-Стокса и энергии для случая стационарного двумерпого течения вязкой несжимаемой жидкости:

дх

пви „аи д ттдУ эу д ,,дт ..дт

ду мг

1 дх

сЖ 1 дх

+

ду

ш

1 ду

д_ г

ду 1ду_

др дх

др ду

А ' ¡1 &Г' д ' ц 9Т'

дх Рг дх ду Рт ду

Ш (2)

(3)

(4)

где и, V - составляющие скорости; ж, у - оси координат; р - давление, р - плотность, /г - динамическая вязкость. Система уравнений дополняется соответствующими начальными и граничными условиями.

Представленные уравнения показывают, что зависимые переменные подчиняются некоторому обобщенному закону сохранения. Если обозначить зависимую переменную через Ф, то обобщенное дифференциальное уравнение примет вид:

<1ю{ри Ф) = сИу(ГдгаёФ) + 5

(5)

где V - вектор скорости, Г - коэффициент диффузии, 3 - источниковый член.

В данной работе при решении уравнений Навье-Стокса предпочтение отдано конечно-раз постном у методу контрольного объема на сетке с шахматным хранением информации. Описаны методы аппроксимации конвективных и диффузионных членов уравнений переноса, полу-чепных в результате интегрирования обобщенного дифференциального уравнения но каждому контрольному объему расчетной сетки. Решение

системы алгебраических уравнений в настоящей работе осуществляется комбинацией итерационного метода Гаусса-3ейделя и метода нро-гонки го поперечным линиям сегки.

Применяемый вычислительный алгоритм основан на процедуре SIMPLE.

Для описания каналов со сложной геометрией в настоящей работе используется метод заблокированных областей. Его суть состоит в том, что из построенной регулярной сетки выключают (блокируют) часть контрольных объемов таким образом, чтобы оставшиеся контрольные объемы полностью описывали рассматриваемую нерегулярную область. При этом истинная граница области аппроксимируется с помощью набора прямоугольных ступенек.

В третьей главе проведен сравнительный анализ разностных схем, используемых при аппроксимации конвективных потоков. Эффективность разностной аппроксимации определяется степенью минимизации как "одномерной" численной диффузии, так и численной диффузии "скоса". Недостаточная эффективность в этом отношении разностной аппроксимации заставляет проводить расчеты на экстремально мелкой сетке, чтобы избежать погрешностей в получаемых результатах. Это, в свою очередь, ведет к увеличению временных и вычислительных затрат.

Таким образом, выбор оптимальной в отношении минимизации численной диффузии и экономичности расчетов разностной схемы представляется одним их важнейших этапов при получении точных и устойчивых решений в задачах гидродинамики.

Выли исследованы следующие разностные схемы: центрально-разностная, прот и во поточная, гибридная, схема с квадратичной интерполяцией против потока, схема со степенным законом. Сравнение исследуемых аппроксимаций иных схем было проведено на тестовой задаче течения жидкости между параллельными пластинами.

Проведенный анализ полученных результатов позволил сделать следующие выводы:

1. Результаты, получаемые при использовании схемы со степенным законом и схемы с квадратичной интерполяцией против потока (QUICKE), отличаются высокой точностью по сравнению с остальными исследуемыми схемами. При этом они затрачивают примерно одинаковое время для достижения сходящегося решения: относительный коэффициент затраченного машинного времени равен 0.700 и 0.769 для схемы со степенным законом и схемы QIUCKE соответственно.

2. Использование схемы с квадратичной интерполяцией против потока и ее модификаций сопряжено со значительными трудностями (сложности алгоритмизации, проблема постановки условий на границе).

Таким образом, проведенный вычислительный эксперимент позволил сделать вывод о целесообразности использования схемы со степенным законом для аппроксимации конвективных членов.

В четвертой главе представлены результаты проведенных вычислительных экспериментов с использованием построенной математический модели.

Для оценки работоспособности математической модели были про ведены некоторые тестовые расчеты. Во-первых, это расчет течения в плоском прямолинейном канале. На примере этой задачи рассмотрены два случая постановки граничных условий на выходе го капала. Показано, что при заданном параболическом профиле продольной составляющей скорости на выходе, тртбуется достаточно большая длина расчетного участка для выхода течения на установившийся режим. Второй способ постановки граничных условий па выходе ("мягкие" граничные условия - равенство нулю производных скоростей по длине канала) позволяет существенно сократить длину расчетной области.

Полученные в обоих случаях результаты хороню согласуются с большим количеством результатов других авторов, что позволяет говорить о работоспособности описанной математической модели.

Для моделирования простейших течений с наличием рециркуляционных зон были исследованы течения в плоских прямолинейных каналах с наличием препятствий на стенке. Были рассмотрены каналы с одиночным и двумя противоположно расположенными препятствиями. Рассчитанные значения скоростей хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами.

Каналы со многими препятствиями (перегородками) на стенках представляют большой практический интерес. Наличие некоторого количества экспериментальных данных по исследованию таких течений позволяет проводить вычислительный эксперимент, который при этом будет серьезным тестом для математической модели.

Были исследованы течения в плоском прямолинейном канале с дву-

мя препятствиями на стенке для двух различных случаев расположения второго препятствия (3/г. и: 7/г, где к ~ высота препятствия). На рис.1 показаны изолинии рассчитанной скорости.

Рис. 1. Изолинии скорости при обтекапии двух препятствий.

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы о характере и особенностях образовавшихся вихревых зон:

- при достаточно малых расстояниях между препятствиями каверна между препятствиями полностью занята областью вихревого течения;

- для больших расстояний между препятствиями наблюдается независимое их обтекание. При этом картина течения для каждого препятствия практически совпадает с ранее рассмотренным случаем обтекания одиночного препятствия.

Проведен анализ состояния проблемы моделирования турбулентных течений.

Подход к рассмотрению турбулентности основан на идее Рейнольд-са об осреднении уравнений Навье-Отокса. Полученные таким образом осреднснные уравнения оказываются незамкнутыми- Для их замыкания, они дополняются уравнениями для характеристик турбулентно-

ети.

Из всех моделей наибольшее распространение при расчете турбулентных течений получила двухпараметрическая модель, в которой используются уравнения для кинетической энергия турбулентности к и скорости диссипации энергии турбулентности е (семейство -моделей турбулентности).

В настоящей работе расчет турбулентного обтекания препятствий был проведен на основе стандартной (&-£■)-модели.

Исследовано турбулентное течение в канале при значении числа Рейнольдса Нек = 1230.

На рис.2 представлены расчетные и измеренные профили кинетической энергии турбулентности к по длине канала с двумя последовательными препятствиями.

Рис. 2. Профили кинетической энергии турбулентности; — - расчет по предложенной модели, о - эксперимент.

Полученные результаты позволяют о говорить о некотором рассогласовании расчетных данных с экспериментом. Это, очевидно, объясняется тем, что в настоящей работе использована стандартная (&-£)-

модель турбулентности без поправок, учитывающих особенности течения.

Хорошее, в целом, согласование полученных результатов с экспериментальными данными позволяют сделать вывод о возможности расчета турбулентных течений по описанной математической модели.

Проведены исследования по расчету ламинарных режимов течения в криволинейных каналах с постоянным значением радиуса кривизны. Результаты были получены при использовании двух различных систем координат - декартовой и полярной. При расчете в декартовой системе координат использован метод заблокированных областей.

Получено, что при прочих равных условиях при использовании полярной системы координат время счета является наименьшим. При этом, как показали результаты, использование двух схем расчета фактически дает одинаковый результат. В этом случае целесообразнее использовать метод заблокированных областей и декартову систему координат, т.к. простота алгоритмизации метода является более весомым достоинством нежели недостатки, связанные с затратами на хранение в памяти и обработку точек, не принадлежащих области канала.

Особый практический интерес представляют каналы, имеющие сложную криволинейную границу. Для описания газодинамических параметров в таких каналах было рассмотрено течение в плоском волновом канале постоянной ширины (рис. 3).

Общая длина исследуемого канапа выбиралась так, чтобы, но крайней мере, в двух блоках канала наблюдалось установившееся периодическое течение жидкости. Поэтому для представления результатов

можно рассматривать только один из повторяющихся блоков канала A-B-C-D (см. рис.3).

-L —-------

/ / у / / / г / / / / / / / / / ✓ / / / /

te / / ^ / / / / / / / / / / /'

/ / / / / / ✓ ✓ / / А

/ < / ^ У / / / У

/ / / / •ч Е, \f / / J ?

/ / 7 / / / / У / /

/ / / / / / / н / у Л А /

/ / / / ✓ г' / / / s '/ / / / V / / X

/ / / /' / / / < ■/ X / / У / / / / /

/ / / / / / / / / I/ / / / F / ✓ / / / / / / / / / / /

Рис. 3. Геометрия волнового канала постоянной ширины.

Здесь основные геометрические характеристики Н - ширина канала, S - перепад высот волны канала в вертикальном направлении, L -длина одного блока канала, а также LjS - степень волнистости канала, H/S - кривизна канала.

На рис.4 представлены изолинии скорости при значениях характерных параметров L/S = 3, H/S = 1 и различных значениях числа Рей-нольдса (Не = 200, Re ~ 500).

Из представленных рисунков видно, что при низких числах Рей-нольдса появляются малые рециркуляционные зоны. При увеличении числа Яе растет и размер рециркуляционных зон, центр которых смещается далее вниз по потоку. Вне этих зон, в зоне главного течения изолинии практически повторяют геометрию волнового канала (линии

Рис. 4. Изолинии скорости в волновом канале постоянной ширины. 5 и б).

Осуществлен расчет среднего коэффициента трения для различных геометрических характеристик волнового канала {Я¡Б = 1 и = 3,4,6) -рис.5.

На примере волнового канала постоянной ширины произведен расчет параметров теплообмена путем добавления в исходную систему уравнения энергии. На рис.6 представлены результаты расчета числа Нуссельта для одного блока канала.

Произведено сравнение полученных результатов с результатами других авторов, полученных по методу, использующему расчетную сетку, адаптированную к границам течения (кривая 5). Хорошее согласование представленных данных позволяет говорить о высокой точности настоящего метода н о возможности расчета параметров теплообмена по описанной модели.

Далее представлены результаты расчета течения в плоском волновом канале переменной ширины. При этом, для такого канала (в отличие от предыдущего) нет возможности решить поставленную задачу, применяя комбинацию двух типов расчетных сеток (в полярной и де-

Рис.5. Зависимость коэффициента Рис.6. Зависимость числа N11 трения от числа Рейнольдса, от числа Рейнольдса,

картовой системах координат).

Общий характер течения хорошо виден на представленных на рис.7 изолиниях скорости для значений геометрических параметров Ь/З — 3, Н/З = 1 и чисел Рейнольдса 500 и 1000.

Рис.7. Изолинии скорости для волнового канала переменной ширины.

Анализ представленных результатов позволяет говорить о том, что при увеличении числа Рейнольдса, а следовательно и при увеличе-

нии скоростных характеристик потока, возрастает и интенсивность возвратных течений.

Сравнение настоящих результатов с результатами, полученным и для волнового канала постоянной ширины, позволяет говорить о том, что

- профили скорости внешне похожи абсолютно для всех рассмотренных случаев. Появление интенсивных возвратных течений наблюдается с ростом числа Рейнольдса при обоих случаях расчета. Однако, размеры рециркуляционных зон больше в волновом канале постоянной ширины.

- значения коэффициента трения в волновом канале переменной ширины меньше, чем для первого канала.

Указанные различия в поведении течений, очевидно связаны с изменением ширины волнового канала во втором случае. При этом происходит естественное замедление потока, вызывающее описанные эффекты.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Описана и реализована в виде комплекса программ математическая модель течения жидкости и газа в теплоэнергетических установках на базе метода контрольного объема.

2. В результате сравнительного анализа конечно-разностных схем, используемых для аппроксимации конвективных членов дифференциальных уравнений математической модели, сделан вывод о целесообразности использования в расчетах схемы со степенным законом.

3. Выполнен цикл сравнительных тестовых расчетов ламинарных

течений в плоских каналах как без, так и с препятствиями на. стенках. Полученные результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом и численными расчетами других авторов, доказали! работоспособность описанной математической модели,

4. На примере плоского криволинейного канала с постоянным значением радиуса кривизны была реализована идея метода заблокированных областей, использование которой позволило с удовлетворительной степенью точности рассчитывать геометрически сложные криволинейные каналы на относительно простых ортогональных сетках, не сопряженных с границами области течения.

5. На основе стандартной (&-е)-модели проведено численное исследование турбулентного обтекания препятствий на стенке плоского канала. Хорошее согласование полученных результатов с экспериментом позволяют сделать вывод о возможности расчета турбулентных течений по описанной математической модели.

6. На примере плоского волнового канала постоянной ширины показана возможность расчета параметров теплообмена с использованием построенной математической модели

7. В результате расчета гидродинамических параметров в волновом канале переменной ширины и сравнения полученных данных с данными расчета для волнового канала постоянной ширины, сделан вывод о влиянии геометрических характеристик волновых каналов на скорость потока и интенсивность возвратных течений.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Виноградова И.А., Зубков В.Г. Математическое моделирование плоских течений жидкости на основе метода контрольного объема // Межвузовский сборник научных трудов. Т.1. Техника, технология и перспективные материалы / Под. ред. А.Д.Шляпина, О .В .Таратынова. - М.: МГИУ, 2000. - С.95-101.

2. Виноградова И.А., Зубков В.Г. Численное исследование двумерного течения в канале с препятствиями // Межвузовский сборник научных трудов. Т.1. Техника, технология и перспективные материалы / Под. ред. А.Д.Шляпина, О.В.Таратынова. - М.: МГИУ, 2001. - С.305-309.

3. Виноградова И.А., Зубков В.Г. Газодинамические процессы в теплоэнергетических установках на базе метода контрольного объема // Математическое моделирование. — 2002. - Т.14, N 6 -С.3-24. •

4. Виноградова И. А. Вычислительный эксперимент в задачах гидродинамики и теплообмена / / Актуальные проблемы современной науки. - 2002. - N 5. - С.243-246.

5. Виноградова И.А. Численное исследование течения жидкости в плоском волновом канале // Естественные и технические науки. -2003. -N1.-0.115-118.

HI Б Русский фонд

2006-4 36502

_. _Издается в авторской редакции,_

Подписано в печать 26.09.2003. Сдано в производство 26.09.2003. Формат бумаги 60 х 90Д6 Бум. множ. Гарнитура Times. Усл.печл. 1,75 Уч.издл. 1,5 Тем. план 2003 г. Тираж 100_Заказ № 1579_

ООП МИИР, 109280, Москва, Автозаводская, 16.

Введение

1 Проблема моделирования газодинамики проточных частей теплоэнергетических установок

1.1 Экспериментальное исследование.

1.2 Математическое моделирование (численное исследование)

1.2.1 Классификация методов моделирования.

1.2.2 Методы получения дискретных аналогов.

1.2.2.1 Метод взвешенных невязок

1.2.2.2 Метод конечных разностей.

1.2.2.3 Метод конечных элементов.

1.2.2.4 Сравнительный анализ метода конечных разностей и метода конечных элементов

1.2.2.5 Метод контрольного объема.

1.2.3 Проблема построения расчетных сеток.

1.2.4 Взаимное расположение узлов сеточных функций

1.2.4.1 Неразнесенные сетки.

1.2.4.2 Частично-разнесенные сетки.

1.2.4.3 Разнесенные сетки.

1.2.5 Обзор методов численного моделирования дозвуковых течений в областях сложной конфигурации

1.2.6 Пакеты прикладных программ.

2 Численное исследование ламинарного течения жидкости и газа в каналах сложных геометрических форм

2.1 Математическая модель.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Численный метод решения - метод контрольного объема

2.1.2.1 Дискретный аналог дифференциального уравнения для двумерных задач.

2.1.2.2 Возможные схемы аппроксимации конвективных членов дискретного аналога

2.1.3 Численная диффузия.

2.1.4 Шахматная сетка

2.1.5 Метод решения нелинейных алгебраических уравнений

2.2 Вычислительный алгоритм.

2.2.1 Процедура SIMPLE.

2.2.2 Модифицированный алгоритм SIMPLER.

2.3 Проблемы сложной геометрии расчетных областей.

2.3.1 Выбор системы координат.

2.3.2 Метод заблокированных областей.

2.3.3 Сращивание различных сеток.

3 Анализ аппроксимационных схем для описания конвективных членов дискретного аналога

3.1 Математическая постановка задачи.

3.1.1 Основные уравнения

3.1.2 Конечно-разностная дискретизация.

3.1.2.1 Центрально-разностная схема.

3.1.2.2 Противопоточная схема.

3.1.2.3 Гибридная схема.

3.1.2.4 Схема с квадратичной интерполяцией против потока (QUICK)

3.2 Процедура решения и результаты расчета.

3.2.1 Общая постановка задачи.

3.2.2 Некоторые расчетные данные.

3.2.3 Обсуждение результатов.

3.3 Выводы.

4 Вычислительный эксперимент

4.1 Вычислительный эксперимент и комплексы программ

4.2 Прямолинейный плоский канал.

4.2.1 Практическая значимость задачи.

4.2.2 Постановка задачи.

4.2.3 Результаты расчета.

4.2.3.1 Граничные условия на выходе из канала -параболический профиль U.

4.2.3.2 "Мягкие" граничные условия на выходе из канала

4.2.4 Выводы.

4.3 Прямолинейный плоский канал с препятствиями.

4.3.1 Практическая значимость задачи.

4.3.2 Постановка задачи.

4.3.3 Результаты расчета.

4.3.3.1 Канал с одним препятствием.

4.3.3.2 Канал с двумя противоположно расположенными препятствиями.

4.3.4 Выводы.

4.4 Ламинарное течение в прямолинейном плоском канале с двумя последовательно расположенными препятствиями

4.4.1 Практическая значимость задачи.

4.4.2 Постановка задачи.

4.4.3 Результаты расчета.

4.4.4 Выводы.

4.5 Моделирование плоских турбулентных течений.

4.5.1 Вводные замечания.

4.5.2 Построение основных моделей турбулентности

4.5.2.1 Полуэмпирические гипотезы турбулентности

4.5.2.2 Двухпараметрическая (к-е)-модель.

4.5.3 Численное исследование турбулентного обтекания препятствий в плоском канале.

4.5.3.1 Практическая значимость задачи.

4.5.3.2 Постановка задачи

4.5.3.3 Результаты расчета.

4.5.4 Выводы.

4.6 Криволинейный плоский канал

4.6.1 Практическая значимость задачи.

4.6.2 Постановка задачи.

4.6.2.1 Полярная система координат.

4.6.2.2 Декартова система координат.

4.6.3 Результаты расчета.

4.6.4 Выводы.

4.7 Волновой канал постоянной ширины.

4.7.1 Практическая значимость задачи.

4.7.2 Постановка задачи.

4.7.2.1 Метод, основанный на использовании двух типов расчетных сеток.

4.7.2.2 Метод заблокированных областей.

4.7.3 Результаты расчета.

4.7.4 Выводы.

4.8 Волновой канал переменной ширины.

4.8.1 Практическая значимость задачи.

4.8.2 Постановка задачи и результаты расчета.

4.8.3 Выводы.

Модели реальных объектов, моделирование явлений используются в науке для проверки идей, отработки гипотез, получения экспериментального материала. Любое физическое явление чрезвычайно сложно, т.к. на него влияет неисчислимое количество факторов. Если попытаться учесть их все в математической модели, то получится настолько громоздкая и сложная математическая задача, что решить ее даже на современных быстродействующих вычислительных машинах будет весьма затруднительно. Однако делать это нет необходимости, ведь влияние различных факторов неравноценно. Поэтому, конструируя математическую модель, нужно заранее расставить приоритеты в оценке влияния тех или иных факторов на изучаемое явление [1, 2, 3]. Таким образом, можно утверждать, что математическая модель - это не только уравнения, описывающие физические явления, но и дополнительные условия, устанавливающие границы их применимости [4, 5]. Все полученные с помощью этой модели теоретические результаты будут справедливы только в оговоренных рамках.

Еще некоторое время назад из множества задач, интересовавших практику, можно было решить до конца, довести до конкретного числа в ответе лишь отдельные, удачно сформулированные, причем, как правило, ценой колоссального вычислительного труда. Теперь же постановка вычислительного эксперимента, основой которого является математическое моделирование, - обычная, а зачастую и необходимая процедура.

Вычислительный эксперимент - это не просто расчет. Его существо -экспериментирование с математической моделью, варьирование параметров, "проигрывание" с помощью модели самых разных ситуаций, может быть пока и(безумнь^)с позиций сегодняшних представлений об изучаемом явленииГИ в каждом случае - соблюдение правила "от простого к сложному", от выяснения принципиальной возможности к конкретным цифрам и конструктивным рекомендациям.

Успехи, которые отмечаются в развитии гидродинамики за несколько последних десятилетий, в значительной мере связаны с прогрессом в области вычислительной техники и численных методов. Использование мощных ЭВМ с большим объемом памяти и большой скоростью быстродействия, создание математических моделей для адекватного описания процессов тепло- и массообмена, наконец, разработка высокоэффективных численных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений открывают в настоящее время широкие возможности для проведения численного эксперимента. Его развитие стимулируется потребностями энергомашиностроения, авиации, космической техники, металлургической и химической промышленности, гидротехники, охраны окружат ющей среды, строительной техники, биологии, физики атмосферы и т.д. При этом на одно из первых мест выдвигается проблема исследования тепло- и массообмена в каналах и областях произвольной конфигурации.

Актуальность решения таких задач становится очевидной, например, в ходе создания различных энергетических устройств, принцип действия которых основан на использовании гидродинамических процессов. В связи с ростом мощности таких устройств и одновременным уменьшением их размеров повышаются требования к вопросам энергосбережения, к точности расчетов энергетических потерь. Численное моделирование течений жидкости и газа в проточных частях энергетического оборудования позволяет детально исследовать характеристики потока в любой его точке, а также определять величины гидродинамических потерь, связанных с образованием пограничных слоев, возникновением отрывных зон и т.п. Кроме того, последовательно и целенаправленно видоизменяя форму канала, в процессе численного эксперимента можно найти такую его конфигурацию, которая в наибольшей степени будет отвечать требованиям энергосбережения.

Аналогичные проблемы возникают при совершенствовании конструкций современных технических устройств, в которых используются явления естественно-конвективного теплообмена. Проектирование эффективных по своим параметрам энергетических машин, ядерных энергетических установок, электрических аппаратов и электронных приборов, решение вопросов транспортировки и хранения нефтепродуктов и т.п. невозможно без подробного предварительного изучения вопросов конвекции в емкостях различной формы. Все эти задачи могут быть успешно решены с помощью численного моделирования.

Другим весьма важным источником информации об особенностях течений жидкости и газа в различных областях является физический эксперимент. Однако исследования такого рода становятся все более затруднительными, дорогостоящими, а подчас и просто невозможными. Получаемая в ходе эксперимента информация далеко не всегда обладает достаточной полнотой. Особые сложности возникают при установлении соответствия между натурным объектом и его моделью, выполненной, как правило, в некотором масштабе. Поэтому в ряде случаев единственным средством проведения исследований становится вычислительный эксперимент.

С помощью численного моделирования можно найти решение достаточно сложных практических задач за сравнительно короткое время (даже с учетом времени разработки алгоритма решения, написания программы и ее отладки) при невысокой и постоянно уменьшающейся стоимости расчетов. Это решение будет обладать наибольшей полнотой информации об исследуемых явлениях. Очевидно, численное моделирование течений жидкости и газа не отменяет физический эксперимент и не должно ему противопоставляться. В конечном итоге лишь сопоставление результатов расчета с данными физического эксперимента свидетельствует об адекватности численного моделирования.

Значительная часть работ, в которых применяются вычислительные методы, посвящена исследованию процессов динамики и теплообмена в областях простейшей формы (прямоугольной, цилиндрической и др.). Таг-кие задачи имеют определенное прикладное значение и обычно являются тестовыми для проверки работоспособности построенной математической модели.

Реальные области движения, встречающиеся на практике, далеко не всегда имеют простую форму. К таким областям можно отнести, в первую очередь, каналы с наличием препятствий на стенках (одиночное препятствие, противоположно расположенные препятствия, набор последовательных препятствий).

Особый практический интерес представляют каналы, имеющие нерегулярную криволинейную границу (диффузоры, криволинейные и волновые каналы). Ранее расчеты подобных каналов проводились с использованием криволинейных координат и расчетных сеток, адаптированных к границам области течения. Но задача построения криволинейной сетки сама по себе является достаточно сложной. В настоящее время проблема генерации расчетных сеток образует самостоятельный раздел вычислительной гидродинамики.

Таким образом, можно утверждать, что математическое моделировав ние процессов тепломассообмена в областях сложной конфигурации, которому посвящена настоящая диссертационная работа, является актуальным направлением современной механики жидкости и газа.

Целью настоящей работы является решение научной проблемы математического моделирования тепломассообмена в теплоэнергетических установках со сложными геометрическими конфигурациями каналов.

Поставленная цель и сформулированные проблемы потребовали решения следующих теоретических и прикладных задач:

• разработка комплекса программ для численного исследования течения жидкости и газа в каналах сложных геометрических форм на основе математического моделирования физического процесса;

• проведение вычислительного эксперимента на базе разработанного комплекса программ для исследования структуры течений, описания тепловых и гидродинамических эффектов в плоских каналах сложных геометрических форм;

• на основе проведенных вычислительных экспериментов изучение влияния геометрических параметров исследуемых каналов на гидродинамические характеристики течений.

Научная новизна работы заключается в разработке комплекса программ по математическому моделированию процессов гидродинамики и теплообмена в каналах сложных геометрических форм, позволяющего проводить теоретическое исследование широкого класса сложных течений и более обоснованно подходить к проектированию реальных конструкций газодинамических трактов теплоэнергетических установок.

Доказана возможность использования относительно простых регулярных ортогональных сеток для получения достоверных результатов при расчетах гидродинамических параметров в каналах сложных геометрических форм. Показано, что использование расчетных сеток, не сопряженных с границами области течений, и метода заблокированных областей позволяет создать универсальный программный комплекс для описания течений в областях произвольной конфигурации.

Рассмотрены и проанализированы различные варианты конечно-разностной аппроксимации конвективных членов дифференциальных уравнений математической модели.

В результате вычислительного эксперимента описана физическая картина и установлены причинно-следственные связи процессов, протекающих в каналах газодинамических трактов сложных геометрических форм, * а также проведена оценка и анализ факторов, влияющих на параметры течения, исследуемые с помощью предложенной математической модели.

Основные результаты диссертации представлены в пяти опубликованных работах, а ее материалы докладывались: на научно-технических конференциях Московского государственного индустриального университета (г. Москва, 2000 г., 2001 г., 2002 г.); на Третьем украино-российском научно-техническом и методическом симпозиуме "Современные информационные технологии в науке, производстве, образовании и управлении" (г.Хмельницкий, Украина, 2003 г.); на IV Международной конференции

Компьютерное моделирование 2003м (г.Санкт-Петербург, 2003 г.).

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

4.8.3 Выводы

Рассмотрено периодическое полностью развитое течение жидкости в волновом канале переменной ширины. В этих условиях компоненты скорости подчиняются закону периодичности, что очевидно из проведенных рассуждений и представленных результатов. Доказано, что исследуемую область можно сократить до одного из повторяющихся блоков всего периодического канала. При этом вполне физически реальные решения могут быть получены за конечное время.

Показано, что в поле течения наблюдаются незначительные рециркуляционные зоны. Сравнение результатов, полученных в этом параграфе, с результатами расчетов, проведенных для плоского волнового канала постоянной ширины, позволяет сделать следующие выводы:

1. Профили скорости внешне похожи абсолютно для всех рассмотренных случаев. Появление интенсивных возвратных течений наблюдается с ростом числа Рейнольдса при обоих случаях расчета. Однако, размеры рециркуляционных зон больше в волновом канале постоянной ширины.

2. Значения коэффициента трения в волновом канале переменной ширины меньше, чем для первого канала. При этом его изменение менее значительно при переходе от малых к высоким числам Рейнольдса.

3. Указанные различия в поведении течений, очевидно связаны с изменением ширины канала во втором случае. При этом происходит естественное замедление потока, вызывающее описанные эффекты.

Известно, что течение может переходить в периодический полностью развитый режим не только вследствие периодических изменение в канале переменной ширины, но и в силу некоторых других причин. Например, при введении периодически расположенных шероховатостей или препятствий на гладкую поверхность канала. При этом для развития потока и достижения продольной (по течению) периодичности его характеристик необходима достаточная протяженность канала. Другой пример периодики - последовательность изогнутых одинаковых фрагментов прямого канала.

На основании проведенных вычислительных экспериментов и полученных в них результатов можно утверждать, что во всех рассмотренных или упомянутых случаях периодического течения в каналах сложных геометрических форм целесообразно проводить расчет относительно простыми в реализации методами контрольного объема и "заблокированных областей". При этом эффективность расчета значительно выше, чем при использовании описанного ранее метода с применением периодических граничных условий и расчетных сеток в двух системах координат (полярной и декартовой).

Заключение

1. Описана и реализована в виде комплекса программ математическая модель газодинамических процессов в теплоэнергетических установках на базе метода контрольного объема.

2. Проанализирован порядок точности выбранных конечно-разностных схем аппроксимации диффузионных и конвективных членов дифференциальных уравнений математической модели. Рассмотрены проблемы численной диффузии и так называемых ошибок "скоса", возникающих из-за несовпадения направлений линий тока в конкретном рассматриваемом течении и линий расчетной сетки. Сделан вывод о целесообразности использования в расчетах схемы со степенным законом.

3. Выполнен цикл сравнительных тестовых расчетов ламинарных течений в плоских каналах как без, так и с препятствиями на стенках:. Полученные результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными и численными расчетами других авторов, доказали работоспособность описанной математической модели.

4. На примере плоского криволинейного канала с постоянным значением радиуса кривизны была реализована идея метода заблокированных областей, использование которой позволило с удовлетворительной степенью точности рассчитывать геометрически сложные криволинейные каналы на относительно простых ортогональных сетках, не сопряженных с границами области течения.

5. На основе стандартной (&-£)-модели проведено численное исследование турбулентного обтекания препятствий на стенке плоского каг нала. Хорошее согласование полученных результатов с экспериментом позволяют сделать вывод о возможности расчета турбулентных течений по предложенной математической модели.

6. На примере плоского волнового канала постоянной ширины показана возможность расчета параметров теплообмена с использованием построенной математической модели.

7. Проведен расчет гидродинамических параметров в волновом канале переменной ширины. В результате сравнения полученных результатов с данными расчета для волнового канала постоянной ширины, сделан вывод о влиянии геометрических характеристик волновых каналов на скорость потока и интенсивность возвратных течений.

1. Неймарк Ю.И. Математические модели естествознания и техники. Вып.1. Нижний Новгород: ННГУ, 1994. - 83 с.

2. Неймарк Ю.И. Математические модели естествознания и техники. Вып.2. Нижний Новгород: ННГУ, 1996. - 154 с.

3. Неймарк Ю.И. Простые математические модели и их роль в постижении мира // Соросовский образовательный журнал. 1997. -N 3. - С.139-143.

4. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука, 1997. - 316 с.

5. Головачев Ю.П., Жмакин А.И., Шмидт А.А. Численное моделирование газодинамических явлений // Журнал технической физики. — 1999. Т.69, вып.9. - С.46.-49.

6. Бенидзе Д. IIL, Кавтарадзе Р. 3. Экспериментальное исследование влияния сопротивления выпускных каналов на локальные температуры головки цилиндра и поршня // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1989. - N10. - С.57-60.

7. Манджгаладзе А. А., Кикнавелидзе Г. В., Асатиани 3. Д. и др. Зависимость показателей дизеля от характеристик впускных и выпускных каналов // Автомобильная промышленность. 1986. - N5. -С.9-10.

8. Лашко В. А., Сыркин В. К. Метод "пробных тел" и его применение при профилировании газовоздушных каналов ДВС // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1989. - N10. - С.70-73.

9. Аркоманис С., Вафидис С., Уайтло Д. Течение во впускном клапане и внутри цилиндра серийного дизельного двигателя при закрутке потока спиральным впускным каналом // Теоретические основы инженерных расчетов. 1988. - N3. - С.224-235.

10. Хейвуд Д. 3. Гидродинамика рабочих цилиндров двигателей внутреннего сгорания. Фримановская лекция 1986 г. // Теоретические основы инженерных расчетов. 1988. - N1. - С.171-229.

11. Ильинский Н.Б. Математические методы целенаправленного конструирования инженерных объектов с нужными свойствами // Со-росовский образовательный журнал. 1997. - N 5. - С.122-131.

12. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченов Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. - 544 с.

13. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т. Т.1. М.: Мир, 1991. - 552 с.

14. Ковеня В.М. Некоторые проблемы и тенденции развития математического моделирования // Прикладная механика и техническая физика. 2002. - N 3. - С.3-14.

15. Ветлуцкий В.Н., Колобов Б.П., Кузнецов Б.Г., Черных Г.Г. Численные методы в динамике вязкой жидкости // Моделирование в механике. 1987. - Tl, N 4. - С.22-45.

16. Воробьев В.Ф., Ковеня В.М., Латыпов А.Ф., Якушев И.К. Численные методы в аэрогазодинамике // Моделирование в механике. -1987. Tl, N 4. - С.46-61.

17. Kutler P., Steger J.L., Bailey F.R. Status of computational fluid dynamics in the United States // AIAA 8th Computational Fluid Dynamics Conf. (Honolulu, June 9-11, 1987): A collection of technical papers. New York, N.Y., s.a., 1987. - P.375-396.

18. Schmidt W. Computational fluid dynamics in West Germany // AIAA 8th Computational Fluid Dynamics Conf. (Honolulu, June 9-11, 1987): A collection of technical papers. New York, N.Y., s.a., 1987. - P.322-335.

19. Vivand H., Lecomte C., Morice Ph. Computational fluid dynamics in France // AIAA 8th Computational Fluid Dynamics Conf. (Honolulu, June 9-11, 1987): A collection of technical papers. New York, N.Y., s.a., 1987. - P.336-351.

20. Громадка Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах. М.: Мир, 1990. - 304 с.

21. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984.285 с.

22. Патанкар С. В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.

23. Бахвалов Н.С. Численные методы. / Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М. -М.: Лаборатория базовых знаний, Физматлит, 2000. 622 с.

24. Андерсон Д., Таннехил ДЖ., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. Т.1. М.: Мир, 1990. - 384 с.

25. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. Л.: Гидрометеоиздат, 1986. - 352 с.

26. Полежаев В.И., Бунэ А.В., Верезуб Н.А. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. - 272 с.

27. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Оценка достоверности численных результатов при наличии нескольких методов решения задачи // Вычислительные технологии. 1999. - Т.4, N 6. — С.77 - 87.

28. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

29. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение (пер. с англ.) М.: Мир, 1999. - 575 с.

30. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. - 1989. -616 с.

31. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. - 352 с.

32. Shih Т.М. Numerical heat transfer. N.Y.: Hemisphere Publ. Corp., 1984. - 563 p.

33. Карякин Ю.Е. Численное моделирование течений и теплообмена в областях произвольной формы: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. С.-Петербург, 1992. 524 с.

34. Пирумов У. Г., Росляков Г. С. Численные методы газовой динамики. М.: Высшая школа, 1987. - 232 с.

35. Мухин А., Блинов О. Что такое конечный элемент // САПР и граг фика. 1998. - N.7. - С.95-96.

36. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. -М.: Мир, 1986. 318 с.

37. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. -428 с.

38. Стренч Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 349 с.

39. Акберов P.P. Численное моделирование внутренних течений методом конечных элементов: Дне. . канд. техн. наук. Казань, 2000. -167 с.

40. Математика и САПР: в 2-х кн. Кн. 1. /Шенен П., Коснар М., Гардан И. и др. М.: Мир, 1988. - 204 с.

41. Белов И. А., Кудрявцев Н. А. Теплоотдача и сопротивление пакетов труб. JL: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1987. - 223 с.

42. Зубков В.Г. Математическое моделирование течений жидкости и газа. М.: МГИУ, 2001. - 191 с.

43. Cai Z. On the finite volume element method // Numer. Math. 1991. -V.58. - P.713-735.

44. Виноградова И.А., Зубков В.Г. Газодинамические процессы в теплоэнергетических установках на базе метода контрольного объема // Математическое моделирование. 2002. - Т.14, N 6. - С.3-24.

45. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. 2-е изд. -М.:Атомиздат, 1978. - 216 с.

46. Weiser A., Wheeler M.F. On convergence of block-centered finite differences for elliptic problems // SIAM J. Numer. Anal. 1988. -V.25, N.2. - P.351-375.

47. Самарский A.A., Фрязинов И.В. О разностных схемах решения задачи Дирихле в произвольной области для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. - T.ll, N 2. -С.385-410.

48. Фрязинов И.В. Метод баланса и вариационно-разностные схемы // Дифференциальные уравнения. 1980. - Т.16, N 7. - С.1332-1343.

49. Cai Z., Mandel J., McCormick S. The finite volume method for diffusion equation on general triangulations // SIAM J. Numer. Anal. 1991. -V.28, N.2. - P.392-402.

50. Cai Z., McCormick S. On the accuracy of the finite volume element method for diffusion equations on composite grids // SIAM J. Numer. Anal. 1990. - V.27, N.3. - P.636-655.

51. Cockburn В., Coquel F., Lefloch P.G. Convergence of the finite volume method for multidimensional conservation laws // SIAM J. Numer. Anal. 1995. - V.32, N.3. - P.687-705.

52. Lazarov R.D., Mishev I.D., Vassilevski P.S. Finite volume methods for convection-diffusion problems // SIAM J. Numer. Anal. 1996. - V.33, N.l. - P.31-55.

53. Vinokur M. An analysis of finite-difference and finite-volume formulations of conservation laws // Journal of Computational Physics. 1989.1. V.81. P.1-52.

54. Baranger J., Maitre J.-F., Oudin F. Connection between finite volume and mixed finite element methods // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 1996. - V.30, N.4. - P.445-465.

55. Thompson J.F. Grid generation techniques in computational fluid dynamics // AIAA Journal. 1984. - V.22, N.ll. - P.1505-1523.

56. Кутлер П. Перспективы развития теоретической и прикладной аэродинамики // Аэрокосмическая техника. -1985. Т.З, N 8. - С.328-341.

57. Прокопов Г. П. Некоторые общие вопросы конструирования алгоритмов построения разностных сеток // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Методики и программы численного решения задач математической физики, 1988. Вып.1. - С.3-13.

58. Томпсон Дж.Ф. Методы расчета сеток в вычислительной аэродинамике // Аэрокосмическая техника. 1985. - Т.З, N 8. -С.141-171.

59. Шенг Дж.-С. Обзор численных методов решения уравнений Навье-Стокса для течений сжимаемого газа // Аэрокосмическая техника. -1986. Т.4, N 2. - С.65-92.

60. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. - Т.36, N 1. - С.3-41.

61. Thompson J.F. A reflection on grid generation in 90-s: trends, needs and influences // Numerical Grid Generation in Computational Fluid Simulations, eds. B.K.Soni, J.F.Thompson, J.Hauser, P.R.Eiseman, Mississippi, 1996. P.1029-1110.

62. Сидоров А.Ф., Ушакова О.В. Об одном алгоритме построения оптимальных разностных сеток и его приложениях // ЧММСС. Новосибирск: ИТПМ, 1985. - Т. 18, N 5. - С.101-115.

63. Saltzman J. Variational methods for generating meshes on surfaces in three dimensions // Journal of Computational Physics. 1986. - V.63, N.l. - P.1-19.

64. Белов И.А., Исаев С.А., Коробков B.A. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. Ленинград: Судостроение, 1989. - 256 с.

65. Maliska C.R., Raithby G.D. A method for computing three dimensional flows using non-orthogonal boundary-fitted co-ordinates // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1984. - N.4. - P.519-537.

66. Issa R.I. Numerical methods for two- and three-dimensional recirculating flows // Computational Methods for Turbulent, Transonic and Viscous Flows. Berlin, e.a., 1983. - P.183-211.

67. Shih T.M., Ren A.L. Primitive-variable formulations using nonstaggered grids // Numerical Heat Transfer. 1984. - V.7, N.4. - P.413-428.

68. Глебов С.Ф., Макаров Д.В., Скибин А.П, Югов В.П. Применение совмещенной сетки для численного решения трехмерных задач гидродинамики и теплообмена методом контрольного объема // Инженерно-физический журнал. 1998. - Т.71, N 4. - С.744-748.

69. Deng G.B., Piqnet J., Queutey P., Visonneau M. A new fully coupled solution of the Navier-Stokes equations // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1994. - V.19. - P.605-639.

70. Вабищевич П.Н., Павлов A.H., Чурбанов А.Г. Методы расчета нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесенных сетках // Математическое моделирование. 1996. -Т.8, N 7. - С.81-108.

71. Фирсов Д.К. Конечно-разностный алгоритм расчета течений несжимаемой вязкой жидкости, основанный на алгебраическом разложении скоростей // Труды Международной конференции RDAM М-2001. 2001. - Т.6, ч.2, Спец.выпуск. - С.658-665.

72. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках // Математическое моделирование. 1997. - Т.9, N 4. - С.85-114.

73. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Мир, 1988. -544 с.

74. Shyy Wei, Vu Thi С. On the adoption of velocity variable and grid system for fluid flow computation in curvilinear coordinates // Journal of Computational Physics. 1991. - V.92, N.l. - P.82-105.

75. Murthy J.Y., Mathur S. Periodic flow and heat transfer using unstructured meshes // International Journal for Numerical Methods in Fluids. -1997. V.25, N.6. - P.659-677.

76. Gjesdal Т., Lossius M. Comparison of pressure correction smoothers for multigrid solution of incompressible flow // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1997. - V.25. - P.393-405.

77. Белоцерковский O.M. Численное моделирование в механике сплошных средств. Москва: Физматлит, 1994. - 448 с.

78. Zijlema М., Segal A., Wesseling P. Finite volume computation of incompressible turbulent flows in general co-ordinates on staggered grids / / International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1995. - V.20. — P.621-640.

79. Tamamadis P., Zhang G., Assamis D.N. Comparison of pressure-based and artificial compressibility methods for solving 3D steady incompressible viscous flows // Journal of Computational Physics. 1996. - V.124, N.l. - P.l-13.

80. Sheu Tony W.H., Lee She-Min. A segregated solution algorithm for incompressible flows in general co-ordinates // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1996. - V.22. - P.515-548.

81. Drikakis D., Iliev О .P., Vassileva D.P. An nonlinear multigrid method for the three-dimensional incompressible Navier-Stockes equations // Journal of Computational Physics. 1998. - V.146. - P.301-321.

82. Владимирова H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко Н.Н. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости // Некоторые вопросы прикладной и вычислительной математики, ВЦ СО РАН, Новосибирск, 1966. С.186-192.

83. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problem // Journal of Computational Physics. 1967. - V.2. -P.12-26.

84. Кузнецов A.E., Стрелец M.X., Шур M.JI. Расчет стационарных трехмерных течений вязких газов и химически реагирующих газовых смесей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. - Т.31, N 2. - С.300-316.

85. Грязин Ю.А., Черный С.Г., Шаров С.В. Численное моделирование течений несжимаемой жидкости на основе метода искусственной сжимаемости // Вычислительные технологии. 1995. - Т.4, N 13. -С.180-203.

86. Patankar S.V., Spalding D.B. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1972. - V.15. - P.1787-1806.

87. Пинчуков В.И. Численные методы аэрогидромеханики высоких порядков аппроксимации. НГУ, Новосибирск, 1997. - 148 с.

88. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 616 с.

89. Bertagnolio F., Daube O. Three-dimensional incompressible Navier-Stockes equations of non-orthogonal staggered grids using the velocity-vorticity formulation // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1998. - V.28. - P.917-943.

90. Leschziner М.А. Practical evaluation of three finite difference schemes for the computation of steady-state recirculating flows // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1980. - V.23, N.3. -P.293-312.

91. Лешцинер M., Роди В. Расчет кольцевых и сдвоенных параллельных струй посредством различных конечно-разностньтх схем и моделей турбулентности // Теоретические основы инженерных расчетов. -1981. Т.103, N 2. - С.299-308.

92. Исаев С.А. О влиянии аппроксимационной вязкости при расчете турбулентных течений с циркуляционными зонами // Инженерно-физический журнал. 1985. - Т.48, N 6. - С.918-921.

93. Han Т., Humphrey J.A.C., Launder В.Е. A comparison of hybrid and quadratic upstream differencing in high Reynolds number elliptic flows // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1981. -V.29. - P.81-95.

94. Raithby G.D. Skew upstream differencing schemes for problems involving fluid flow // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1976. - V.9, N 2. - P. 153-164.

95. Leonard В .P. A stable and accurate convective modeling procedure based on quadratic upstream interpolation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1979. - V.19, N.l. - P.59-98.

96. Паничкин А.В. Алгоритм уменьшения искусственной диффузии в конечно-разностных схемах для многомерных задач / / Тезисы международной конференции "Математические модели и численные методы МСС". Новосибирск, изд-во СО РАН, 1996. - С.426-427.

97. Паничкин А.В. Моделирование течений вязкой жидкости по улучшенным схемам с алгоритмом уменьшения схемной вязкости // Труды Международной конференции RDAMM-2001. 2001. - Т.6, ч.2, Спец. выпуск. - С.485-495.

98. Noh W.F., Protter М.Н. Difference methods and the equations of hydra-dynamics // J. Math. Mech. 1963. - V.12, N.2. - P.149-191.

99. Runchal A.K., Wolfstein M. Numerical integration procedure for the steady-state Navier-Stokes equation // Journal of Mechanical Eng. Sci. -1969. V.ll, N.5. - P.445-453.

100. De Yahl Davis, Mallison G.D. An evaluation of upwind and central difference approximations by a study of recirculating flow // Comput. and Fliuds. 1976. - V.4, N.l. - P.29-43.

101. Spalding D.B. A novel finite difference formulation for differential expressions involving both first and second derivatives // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1972. - V.4, N.4. -P.551-559.

102. Patankar S.V. A calculation procedure for two-dimensional elliptic situations // Numerical Heat Transfer. 1981. - V.4. - P.409-425.

103. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. Т.2. М.: Мир, 1990. - 392 с.

104. Van Doormaal J.P., Raihtby G.D. Enhancement of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flows // Numerical Heat Transfer.1984. V.7, N.2. - P. 147-163.

105. Issa R.I. Solution of the implicity discretised fluid flow equations by operator-slitting // Journal of Computational Physics. 1985. - V.62. -P.40-65.

106. Бенодекар P.B., Годдард А.Дж., Госман А.Д. Численный расчет турбулентного обтекания выступов на плоскости / / Аэрокосмическая техника. 1986. - N 2. - С.125-134.

107. Napolitano М., Orlandi P. Laminr flow in a complex geometry: a comparison // International Journal for Numerical Methods in Fluids.1985. V.5, N.8. - P.667-683.

108. Xin R.C., Tao W.Q. Numerical prediction of laminar flow and heat transfer in wavy channels of uniform cross-sectional area // Numerical Heat Transfer. 1988. - V.14. - P.465-481.

109. Грабовский В.И., Жестков Г.Б. Расчет ламинарного течения сжимаемого газа при наличии теплообмена в плоских криволинейных каналах // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1983. -N.2. - С.20-26.

110. Liou R.J., Clark М.Е., Robertson J.M., Cheng L.C. Bend flow calculational method compared // Journal of Engineering Mechanics.1984. V.110, N.ll. - P.1579-1596.

111. Рогов Б.В., Соколова И.А. Обзор моделей вязких внутренних течений // Математическое моделирование. 2002. - Т.14, N 1. -С.47-72.

112. Thompson J.F., Thames F.C., Mastin C.W. Automatic numerical generation of body-fitted curvilinear coordinate system for field containing any number of arbitrary two-dimensional bodies // Journal of Computational Physics. 1974. - V.15. - P.299-319.

113. Численный метод построения ортогональной сетки, согласованной с криволинейной границей / С.Я. Грабарник, В.К. Ляхов, К.В. Мига-лин и др. // Известия ВУЗов. Авиационная техника. 1991, N 3. -С.31-35.

114. Wang Z.J. A quadtree-based adaptive Cartesian/Quad grid flow solver for Navier-Stokes equations // Comput. and Fluids. 1998. - V.27, N.4. - P.529-549.

115. Грибова E.A., Зубков В.Г. Формирование расчетной сетки, согласованной с границами расчетной области в механике жидкости и газа // Сборник научных трудов Московского государственного индустриального университета. М.: МГИУ. - 2000, т.1. -С.124-129.

116. Пушкина И.Г., Тишкин В.Ф. Адаптивные расчетные сетки из ячеек Дирихле для решения задач математической физики: методика построения, примеры // Математическое моделирование. 2000. -Т. 12, N 3. - С.97-109.

117. Шокина Н.Ю. Численное моделирование на адаптивных сетках двумерных установившихся течений жидкости и газа // Вычислительные технологии. 1998. - Т.З, N 3. - С.85-93.

118. Грабарник С.Я., Цепов Д.С. Численный метод расчета вязкого течения в трехмерном канале произвольной формы // Математическое моделирование 1998. - Т.10, N 10. - С.103-111.

119. Самарский А.А., Вабшцевич П.Н. Разностные методы решения задач математической физики на нерегулярных сетках // Математическое моделирование. 2001. - Т.13, N 2. - С.5-16.

120. Лондер Б.Е., Массей Т. Численный расчет характеристик вязкого течения и теплообмена в пучках труб / / Теплопередача. 1978. -Т.100, N 2. - С.1-8.

121. Fujii М., Fujii Т., Nagata Т. A numerical analysis of laminar flow and heat transfer of air in an in-line tube bank // Numerical Heat Transfer. -1984. V.7, N.l. - P.89-102.

122. Courant R., Isaacson E., Rees M. On the solution of non-linear hyperbolic differential equations by finite differences // Comm. Pure Appl. Math. -1952. V.5. - P.243.

123. Gentry R.A., Martin R.E., Daly B.J. An Eulerian differencing method for unsteady compressible flow problems // Journal of Computational Physics. 1966. - V.l. - P.87.

124. Pollard A., Siu A.L.-W. The calculation of some laminar flows using various discretisation schemes // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1982. - V.35. - P.293-313.

125. Турбулентные сдвиговые течения /Под ред. Ф. Дурста, Б.Е.Лаундера, Ф.В.Шмидта и Дж.Х.Уайтлоу/ Пер. с англ. М.: Машиностроение. -1982. - 432 с.

126. Leonard В.P. New flash: upstream parabolic interpolation // Proc. 2nd GAMM Conference on Numerical Methods in Fluid Mechanics. Koln, Germany, 1977. - P.97-108.

127. Siu A.L.-W. Numerical calculation of some laminar flows using various differencing schemes. M.A.Sc. Thesis, Department of Mechanics Engineering. - University of Calgary, 1981.

128. Элементы системы автоматизированного проектирования ДВС, Алгоритмы прикладных программ / P.M. Петриченко, С.А. Батурин, Ю.Н. Исаков и др. Под общ. редакцией P.M. Петриченко. Л.: Машиностроение, Ленинградское отд-е, 1990. - 328 с.

129. Жукаускас А. А. Конвективный перенос в теплообменниках. М.: Наука, 1982. - 472 с.

130. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. - 712 с.

131. Булеев Н.И., Тимухин Г.И. Течение вязкой несжимаемой жидкости на входном участке плоского канала / / Журнал прикладной механики и технической физики. 1967. - N 3. - С.126-130.

132. Wang V.L., Longwell P.A. Laminar flow in the inlet section of parallel plates // American Institute Chemical Engineering Journal. 1964. -V.10, N.3. - P.323-339.

133. Виноградова И.А. Вычислительный эксперимент в задачах гидродинамики и теплообмена // Актуальные проблемы современной науки. 2002. - N 5. - С.243-246.

134. Кутепов A.M., Мелихов И.В., Горбачевский А.Я., Булатов М.А., Вабищевич П.Н., Чурбанов А.Г. Процессы образования твердых отложений на поверхностях теплообменных аппаратов // Теоретические основы химической технологии. 1997. - Т.31, N 5. — С.361-364.

135. Crabb D., Durao D.F.G., Whitelaw J.H. Velocity characteristics in the vicinity of a two dimensional rib // Proceedings oh the 4th Brazilian Congress on Mechanical Engineering, Florianopolis, Brazil, 1977. P.415-429.

136. Founti M., Vafidis C., Whitelaw J.H. Shell-side distribution and the influence of inlet conditions in a model of a disc-and-doughnut heat exchanger // Exp. in Fluids. 1985. - V.3. - P.293-300.

137. Тропеа К., Гакштаттер P. Обтекание при низких числах Рейнольдса двумерной преграды, установленной на стенке канала // Теоретические основы инжнерных расчетов. — 1985. N 4. - С.262.

138. Чурбанов А.Г., Горбачевский А.Я., Мароко А.Ю. Численное исследование конвективного течения вязкой жидкости в канале с препятствиями квадратного сечения на стенке // Математическое моделирование. 2002. - Т. 14, N 8. - С.84-90.

139. Дурст Ф., Фаунти М., Оби С. Экспериментальное и численное исследование двумерного течения в канале с двумя последовательно расположенными перегородками / / Теоретические основы инженерных расчетов. 1988. - N 4. - С.256-266.

140. Фрик П.Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть 1. -Перм. гос. техн. ун-т. 1998. - 108 с.

141. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 368 с.

142. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Сер. Физическая. 1942. - Т.6, N 1-2. - С.56-58.

143. Prandtl L., Weighardt К. Uber ein neues formelsistem fiir die ausgebildete turbulenz // Nachr. Acad. Wiss., Gottingen, Math. Phys. 1945. -H.6. - S.6-19.

144. Boussinesque J. Theorie de l'ecoulement turbulent // Memoires presentees par diverses savents a l'Acad. des Sci. Paris, 1877. - V.23. - P.46.

145. Глушко Г.С. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине в несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Механика. 1965. -N 4. - С.13-23.

146. Акатнов Н.И., Кузнецов А.П. Уравнение баланса энергии турбулентности в теории свободного турбулентного пограничного слоя // Изв.

147. АН СССР. МЖГ. 1970. - N 6. - С.75-79.

148. Акатнов Н.И., Тульверт В.Ф. Использование уравнения баланса пуль-сационной энергии в теории пристеночных турбулентных течений // Изв. АН СССР. МЖГ. 1973. - N 3. - С.25-33.

149. Rotta J.С. Statistische theorie nichthomogener turbulenz // Zeitschrift fur Physik. 1951. - Bd.129, H.6. - S.547-572.

150. Глушко Г.С. Дифференциальное уравнение для масштаба турбулентности и расчет турбулентного пограничного слоя на плоской пластине // Турбулентные течения. М.: Наука, 1970. - С.37-44.

151. Глушко Г.С. Некоторые особенности турбулентных течений несжимаемой жидкости с поперечным сдвигом // Изв. АН СССР. МЖГ. -1971. N 4. - С.128-136.

152. Jones W.P., Launder В.Е. The calculation of low-Reynolds number phenomena with a two-equation model of turbulence // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1973. - V.16, N.10. - P.1119-1130.

153. Пейтел В.К., Роди В., Шойерер Г. Модели турбулентности для течений в пристеночной области с малыми числами Рейнольдса: обзор // Аэрокосмическая техника. 1986. - N 2. - С.183-197.

154. Launder В.Е., Sharma B.I. Application of the energy dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disk // Letters in Heat and Mass Transfer. 1974. - V.l. - P. 131-138.

155. Chien K.-Y. Predictions of channel and boundary-layer flow with a low-Reynolds-number turbulence model // AHA J. 1982. - V.20, N.l. -P.33-38.

156. Lam C.K.G., Bremhorst K.A. Modified from of the (fc-e)-model predicting wall turbulence // Journal of Fluids Engeneering. 1981. - V.103. -P.456-460.

157. Wilcox D.C., Rubesin W.M. Progress in turbulence modeling for complex flow fields including effects of compressibility // NASA Tech. Pap. -1980.

158. Турбулентность. Принципы и применения / Под ред. У.Форста и Т.Моудлена / Пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 536 с.

159. Patel V.C., Head M.R. Reversion of turbulent to laminar flow // Journal of Fluid Mechanics. 1968. - V.34. - P.371-392.

160. Chieng C.C., Launder B.E. On the calculation of turbulent heat transfer downstream fron an abrupt pipe extansion // Numerical Heat Transfer. -1980. V.3, N.2. - P. 189-207.

161. Amano R.S. On the calculation of turbulent heat and mass transportdownstream from an abrupt pipe extansion // AIAA Pap. 1982. -N.1269.

162. Douglas J., Gunn J.E. The ADI methods for parabolic and hyperbolic equations // Numeriche Mathematik. 1964. - V.6. - P.428-453.

163. Виноградова И. А. Численное исследование течения жидкости в плоском волновом канале // Естественные и технические науки. 2003. -N 1. - С.115-118.

164. Patankar S.V., Liu С.Н., Sparrow Е.М. Fully developed flow and heat transfer in ducts having streamwise-periodic variations of cross-sectional area // Journal of Heat Transfer. 1977. - V.99. - P.180-186.

165. Amano R.S. A numerical study of laminar and turbulent heat transfer in a periodically corrugated wall channel // Journal of Heat Transfer. -1985. V.107. - P.564-569.

166. Асако Я., Фахри M. Решение задач о ламинарном течении жидкости и теплоотдаче внутри волнистого канала методом конечного объема // Теплопередача. 1988. - N 2. - С.67-74.

167. Webb B.W., Ramadhyani S. Conjugate heat transfer in a channel with staggered ribs // International Journal of Heat and Mass Transfer. -1985. V.28. - P. 1679-1687.

168. Ильин В.П. Сравнительный модульный анализ алгоритмов решения краевых задач. В кн.: Пакеты прикладных программ. Вычислительный эксперимент. - М.: Наука, 1983. - С. 102-117.