автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:КГД уравнения и алгоритмы их решения на неструктурированных сетках

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова

На правах рукописи

СЕРЁГИН Вадим Валерьевич

КГД УРАВНЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ ИХ РЕШЕНИЯ НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Т. Г. Елизарова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Ф. Тишкин

доктор физико-математических наук,

Н. В. Арделян

Ведущая организация: Институт теплофизики экстремальных

состояний Российской Академии Наук

оо

Защита диссертации состоится « J » 2005 г. в

JL

часов на заседании Диссертационного Совета К 501.001.17 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан « / » /РАУ^С^/lJ 2005 г.

Ученый секретарь

Диссертационного СоветаК 501.001.17,

доктор физико-математических наук П.А. Поляков

1&ПЧ

Общая характеристика работы

Актуальность. Разработка новых подходов к численному решению задач газовой динамики является актуальной проблемой. Успех решения задач газовой динамики во многом зависит от качества используемых в расчетах сеток. Исследования газодинамических течений в областях с криволинейной границей около тел сложной формы требуют применения специальных сеточных разбиений расчетной области. В последнее время получили все большее распространение неструктурированные сетки. Такие сетки позволяют хорошо аппроксимировать границы области расчета и характерные особенности течений.

Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов расчета вязких течений является использование квазигазодинамических (КГД) уравнений, которые отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными диссипативными слагаемыми с малым параметром в качестве коэффициента1'2. КГД уравнения расширяют возможность классической модели Навье-Стокса в случае описания течений вязкого сжимаемого газа. В области применимости уравнений Навье-Стокса дополнительная диссипация, входящая в КГД уравнения, слабо влияет на решение, но обеспечивает устойчивость численных алгоритмов.

Цель работы состоит

• в создании численного алгоритма расчета течений вязкого сжимаемого газа, основанных на КГД уравнениях, на неструктурированных (треугольных) сетках;

• в написании комплекса программ, реализующий этот алгоритм;

• в апробации программ на тестовых задачах и сравнении результатов с имеющимися данными, полученными на основе системы уравнений Эйлера, Навье-Стокса и метода прямого моделирования Монте-Карло.

Научная новизна. На основе предложенных ранее подходов КГД уравнения представлены в виде локальных законов сохранения для немоноатомного газа, то есть газа, обладающего внутренними степенями свободы. В этом случае выделение диссипативных слагаемых типа Навье-Стокса приводит к построению приближенной формулы для коэффициента объемной вязкости.

Построены аппроксимации КГД уравнений на неструктурированных (треугольных) сетках для двумерных расчетных областей в цилиндрической и декартовой системах координат. Разностные аппроксимации строятся в потоковой форме непосредственно для векторов плотности потока массы, теплового потока и тензора вязких напряжений, что соответствует записи КГД уравнений в виде законов сохранения. На основе предложенных аппроксимаций строятся явные разностные схемы для решения нестационарных задач газовой динамики.

' Елизарова Т.Г., Четверушкин Б. Н.//ЖВМиМФ. 1985. Т. 25, №10. С. 1526. 2 Шеретов Ю. В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических ур

Практическая ценность. Построенный алгоритм решения

квазигазодинамической системы уравнений реализован в виде программ, написанных на языке С# и снабжены комментариями. Программный комплекс имеет модульную структуру и допускает дальнейшее дополнение и развитие.

На основе построенных алгоритмов проведено численное моделирование характерных нестационарных течений, которые демонстрируют работоспособность и точность построенного алгоритма.

Проведено численное исследование задачи о возможности формировании ударной структуры в атмосфере кометы Хуакутаке (НуакШаке).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

— на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2004", секция "Физика", Физический факультет МГУ, 2004;

— на II Международной конференции "Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", Обнинск, 2004;

— на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005", секция "Физика", Физический факультет МГУ, 2005. (доклад признан лучшим в секции «физика»)

— на научном семинаре в Институте теплофизики экстремальных состояний РАН. Москва (14 июля, 2005 г).

— на научном семинаре в Институте математического моделирования РАН (отдел №6). Москва (23 августа, 2005 г).

Работа выполнена при подцержке гранта Президента РФ №НШ-1918.2003.1 и проекта РАН № 29.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Текст изложен на 119 страницах, диссертация содержит 61 иллюстрацию. Список литературы включает 70 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дается характеристика работы и краткое изложение содержания по главам.

В первой главе КГД уравнения, полученные на основе кинетической модели, представлены в виде законов сохранения для немоноатомного газа. Дифференциальная форма законов сохранения в обычных обозначениях имеет вид:

—+Л =0, д1

дри

ИГ

дЕ

+ <КуЦ„ ® и) + V/) = ¿¡у П,

0)

ы

+ Лу

+ <Ил/4 = (¡¡у(Пи),

где р, и, р, Т - плотность, скорость и давление газа, Е - полная энергия, -вектор плотности потока массы, П - тензор вязких напряжений, д - вектор теплового потока. Конкретный вид потоков системы (1) определяется из сопоставления системы КГД уравнений, основанных на кинетической модели, и системы КГД уравнений, записанной на основе законов сохранения (параграфы 1.1 - 1.3). Получившийся результат имеет ввд:

1. Чк-А.МР"®"]^)'

П=П„ +ти8[р(||-V) ^/Н-у^ув],

Слагаемые с индексом ЛГ5 соответствуют выражениям в системе уравнений Навье-Стокса. Выделение диссипативных слагаемых типа Навье-Стокса приводит к построению приближенной формулы для коэффициента второй (объемной) вязкости, входящей в тензор вязких напряжений Навье-Стокса (параграф 1.4). Эту формулу можно представить в виде:

■НН-

здесь м - динамическая вязкость, у- показатель адиабаты. Для одноатомного газа у = и = 0, в противном случае, при наличии колебательных и вращательных степеней свободы молекулы, и £ >0.

Параметр т характеризует масштаб временного сглаживания и может быть вычислен по формуле г = n/{Sc ■ р), где // - коэффициент динамической вязкости, Se - число Шмидта.

В последнем параграфе этой главы для стационарного случая показано, что КГД добавки имеют порядок малости 0(т2).

Во второй главе система КГД уравнений выписана в произвольной ортогональной системе координат, а также в декартовой и цилиндрической системах координат, которые в дальнейшем используются для построения разностных схем.

Третья глава посвящена аппроксимации системы КГД уравнений на треугольной сетке, построению и тестированию алгоритма решения получившихся разностных уравнений.

Сетка строится исходя из принципа триангуляции Делоне, а число ее узлов выбирается достаточным для обеспечения нужной точности решения. Для построения разностной схемы используется интегро-интерполяционный метод. Система КГД уравнений интегрируется по контрольной ячейке (см рис. 1). Контрольная ячейка ограничена контуром, соединяющим центры соответствующих треугольников сетки. Центры треугольников выбираются как точки пересечения медиан. Газодинамические величины определяются в узлах сетки.

Рис. 1. Сетка и контрольная ячейка

В обобщенном виде получившуюся явную по времени разностную схему можно записать в виде:

и, -тЯ^^к^н (2)

здесь

О, - значение и, на следующем слое по времени, е - базисный вектор, Ь - контур ячейки, по которой ведется интегрирование, ¿, -отрезки, из который состоит контур Ь, РкМ1- серединный узел отрезка п = (п„пу) - вектор нормали к контуру

1,51- площадь области, ограниченной контуром Ь, А/ - шаг по времени.

Частные производные, входящие в разностную схему (2), определяются на основе производных по направлению или с использованием формулы Грина (параграф 3.3).

В параграфе 3.5 проведено тестирование алгоритма на задаче о распаде сильного разрыва. В параграфе 3.6 решается задача о точечном взрыве (см. рис. 2). Обе задачи имеют автомодельное решение.

Рис. 2. Распределение плотности (слева) и картины течения (справа) для задачи

о точечном взрыве

В параграфе 3.7 рассматривается дозвуковове обтекание кругового цилиндра. При маленьких числах Рейнольдса Яе<20 в следе за цилиндром образуется стационарное течение (см. рис. 3). При Ле > 20 наблюдается дорожка Кармана (см. рис. 4).

X

X

Рис. 4. Распределение линий тока в автоколебательном процессе для числа

Рейнольдса Яе=50

В четвертой главе проведено исследование задачи о возможности формировании ударной структуры в атмосфере кометы Хуакутаке (Нуакгйаке). Комета рассматривается как двухядерное образование (см. рис. 5).

Рис. 5. Постановка задачи и область расчета

Моделирование газодинамического течения в атмосфере кометы, состоящей из водяного пара, представляет собой сложную задачу, основными аспектами которой являются значительный перепад плотности частиц и их температуры -вблизи ядра плотность окружающего газа составляет 3.3 10'7 кг/м3, температура около 200 градусов Кельвина, на расстоянии около 2 ООО км - соответственно, 1.4 10"13 кг/м3 и при температуре около 5 градусов Кельвина. Число Маха варьируется от 1 вблизи поверхности ядра до 50 вдали от ядра.

Рассматривается течение, образующееся в окрестности двух ядер кометы (рис.5). Считаем, что газ от обоих источников Л/, Яг расширяется изэнтропически на расстояния г„„г02от ядер кометы. Целью расчета является определение параметров второго ядра кометы Я: (плотности газа на его поверхности), при которых возможно образование ударной структуры, видимой на снимках астрономических наблюдений. Расчет проводится в цилиндрической системе координат.

Рис. 6. Сравнение распределений плотности для сечения г~0 для разных значений Р2 (слева) и сшивка численного решения для плотности с изэнтропическим

решением (справа)

На рис.6 (слева) приведено решение в зависимости от выбора плотности водяного пара, истекающего с поверхности второго ядра. Видно при малых значениях плотности ударная волна не образуется.

На рис.6 (справа) сшивается аналитическое и численное решение для оценки точности.

В пятой главе описана программная реализация построенных алгоритмов и приведена блок-схема программы.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации и намечены пути дальнейшего развития предложенного подхода.

Основные результаты

1. КГД уравнения записаны в виде законов сохранения для немоноатомного газа. Получено выражение для коэффициента второй вязкости.

2. Разработан алгоритм решения КГД уравнений для нестационарных течений вязкого сжимаемого газа на неструктурированных сетках для 2Д задач - декартовая и цилиндрическая геометрии.

• Построен алгоритм аппроксимации частных производных на треугольной сетке.

• Разностные аппроксимации строятся в потоковой форме в соответствии с видом КГД уравнений в форме законов сохранения.

• Устойчивость численных алгоритмов достигается путем добавления в коэффициенты при диссипативных слагаемых малого параметра, связанного с шагом пространственной сетки.

3. Проведено численное моделирование газодинамических течений:

• в декартовой системе координат (задача о распаде сильного разрыва, задача об обтекании кругового цилиндра)

• в цилиндрической системе координат (задача о точечном взрыве, задача моделирования течений в атмосфере кометы)

Задача о распаде сильного разрыва, задача о точечном взрыве и задача об обтекании кругового цилиндра демонстрирует точность и устойчивость предложенного алгоритма. Численное моделирование течений в атмосфере кометы позволяет определить условия для образования ударной структуры, видимой на снимках в астрономических наблюдениях.

4. Построенный алгоритм решения квазигазодинамической системы уравнений реализован в виде программ, написанных на языке С# и снабжены комментариями. Программный комплекс имеет модульную структуру и допускает дальнейшее дополнение и развитие.

Публикации

1. Серёгин В.В. Численное решение квазигазодинамических уравнений на треугольных сетках. Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2004" секция "Физика". Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ, 2004. С. 135-136.

2. Серёгин В.В. Использование неструктурированных сеток для решения квазигазодинамических уравнений. II Международная конференция "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Сборник тезисов. Обнинск, 2004, С. 72-74

3. Елизарова Т.Г., Серегин В.В. Численное решение квазигазодинамических уравнений на треугольных сетках // Вестник Московского университета, серия 3. Физ. Астрономия, 2005, №4, С. 15-18.

4. Елизарова Т.Г, Серегин В.В. Квазигазодинамические уравнения и аппроксимационная формула для объемной вязкости // Вестник Московского университета, серия 3. Физ. Астрономия, 2005, №6.

5. Серёгин В.В. Моделирование задачи о сильном точечном взрыве. Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005" секция "Физика". Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ, 2005, Т1, С. 96.

6. Серёгин В.В. Численное моделирование течений в атмосфере кометы. Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005" секция "Физика". Сборник тезисов. Т1. М.: Физич. ф-т МГУ, 2005, Т1, С. 97.

Лицензия ЛР № 020675 от 09.12.1997 г.

Подписано в печать^ Формат 60x84 1/16 Печать офсетная

И-83 Объем I пл. ' Т. /ОО_Заказ^З

Московский государственный строительный университет. Типография МГСУ. 127337, Москва, Ярославское ш., 26

■V

г 1,

г

PI 7 1 58

РНБ Русский фонд

2006-4 16274

Введение

1 КГД уравнения и их свойства

1.1 Кинетический вывод КГД уравнений.

1.2 Законы сохранения

1.3 Представление КГД системы в виде законов сохранения.

1.4 Вторая (объемная) вязкость.

1.5 Теорема о балансе энтропии.

1.6 Предельный переход в стационарном случае. ф 2 КГД уравнения и системы координат

2.1 Система КГД уравнений в индексном виде.

2.2 Запись системы КГД уравнений в произвольной системе координат

2.3 КГД уравнения в декартовой системе координат.

2.4 КГД уравнения в цилиндрической системе координат.

3 Алгоритмы решения КГД уравнений на треугольных сетках

3.1 Построение сетки и выбор контрольного объема.

3.2 Аппроксимация КГД уравнений.

3.3 Аппроксимация частных производных. 3.4 Аппроксимация граничных условий.

3.5 Задача о распаде сильного разрыва.

3.5.1 Одномерный случай.

3.5.2 Двумерный случай

3.6 Задача о точечном взрыве.

3.7 Обтекание крзтового цилиндра

4 Численное моделирование течений в атмосфере кометы

4.1 Введение.

4.2 Константы (исходные данные).

4.3 Постановка задачи и граничные условия.

4.4 Результаты численного моделирования.

5 Комплекс программ

Численное моделирование течений вязкого сжимаемого газа является актуальной задачей вычислительной газодинамики. Многочисленные технические приложения, связанные с необходимостью расчета газодинамических течений, требуют постоянного совершенствования и оптимизации разработанных ранее методов численного расчета. Имеющиеся в настоящее время программы расчета вязких течений основаны на использовании системы уравнений Навье-Стокса (НС) [1, 2, 3]. Несмотря на большой опыт решения уравнений НС, их численная реализация сопряжена с определенными трудностями, связанных с необходимостью поятроения устойчивых численных алгоритмов и с проблемами дискретизации области расчета [4, 5]

Успех решения задач газовой динамики во многом зависит от качества используемых в расчетах сеток. Исследования газодинамических течений в областях с криволинейной границей около тел сложной формы требуют применения специальных сеточных разбиений расчетной области. В последнее время получили все большее распространение неструктурированные сетки. Такие сетки позволяют хорошо аппроксимировать границы области расчета и характерные особенности течений.

Конструирование вычислительного алгоритма подразумевает два этапа: первый - построение разностной схемы для математической модели, т. е. аппроксимация исходной системы дифференциальных и интегральных уравнений системой разностных уравнений, и второй - построение эффективного метода для решения этих разностных уравнений. Уравнения газовой динамики представляют собой выражение общих законов сохранения массы, импульса и энергии. Для записи этих уравнений используют два подхода: Эйлера и Лагранжа. Система дифференциальных уравнений газовой динамики в переменных Эйлера выглядит следующим образом [1, 3, 5, 6, 7]: др div j = О -Jp + div(j <g> u) = pF + div П д Г ( и< dt р[е + div и (j • F) + div Пи - div q где p - плотность; p - давление; u - скорость; j - плотность потока массы; П - тензор напряжений; F - внешняя сила; q - тепловой поток; е - внутренняя энергия.

При решении задач газовой динамики могут встречаться различные особенности, например разрывы решения - ударные волны и контактные разрывы. В этих случаях попытки осуществить расчет непосредственно по разностным схемам, полученным напрямую при аппроксимации исходных уравнений, оказываются неудачными. Например, для расчета ударной волны без явного выделения на сетке ее фронта применяется метод "размыва-ния"фронта за счет введения в систему разностных уравнений некоторых диссипативных членов, называемых псевдовязкостью или искусственной вязкостью (см, например, [5]). Они моделируют действие реальной вязкости, т. е. преобразуют кинетическую энергию в тепловую. В этом случае, уравнения газовой динамики будут такими же с заменой р + где со - искусственная вязкость.

Наиболее часто рассматривается линейная вязкость и = -fip ди дх' и квадратичная ди \

При решении задач газовой динамики для политропного газа, теплопроводность которого равна нулю, используют вязкость Неймана-Рихтмайера см., например, [7]), которую можно получить из квадратичной, положив ди А дх

Таким образом, псевдовязкость есть искусственный механизм, позволяющий осуществить сквозной расчет ударных волн без явного их выделения на сетке. Под областью фронта в этом случае понимается зона резкого изменения параметров течения. Ширина ударного перехода, обусловленная действием псевдовязкости, не имеет никакого отношения к реальной ширине фронта волны, которая составляет несколько длин свободного пробега молекул.

Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов расчета вязких течений является использование квазигазодинамических (КГД) уравнений, которые отличаются от НС-уравнений дополнительными диссипативными слагаемыми с малым параметром г, имеющим размерность времени, в качестве коэффициента. Использование дополнительной диссипации позволяет существенно оптимизировать вычислительные алгоритмы [8, 9, 10].

В квазигазодинамических уравнениях в качестве регуляризатора, который позволяет осуществлять сквозной расчет, выступает т (см. ниже), которое по порядку величины совпадает со средним временем свободного пробега атомов в газе.

Квазигазодинамическая система уравнений расширяет возможности классической модели Навье-Стокса в случае описания течений вязкого сжимаемого газа. В области применимости уравнений НС дополнительная диссипация, входящая в КГД уравнения, слабо влияет на решение, но обеспечивает устойчивость численных алгоритмов.

Отметим также, что КГД система отличается от других обобщений уравнений НС, которые в разное время предлагались в работах [11, 12, 13, 14, 15].

В данной работе предлагается метод решения квазигазодинамических уравнений, описывающих течение вязкого сжимаемого газа в двумерном случае, в областях сложной формы с использованием неструктурированных пространственных сеток.

Цель работы состоит в создании численного алгоритма расчета течений вязкого сжимаемого газа, основанных на КГД уравнениях, на неструктурированных (треугольных) сетках; в написании комплекса программ, реализующий этот алгоритм; в апробации программ на тестовых задачах и сравнении результатов с имеющимися данными, полученными на основе системы уравнений Эйлера, Навье-Стокса и метода прямого моделирования Монте-Карло.

Построены аппроксимации КГД уравнений на неструктурированных (треугольных) сетках для двумерных расчетных областей в цилиндрической и декартовой системах координат. Разностные аппроксимации строятся в потоковой форме непосредственно для векторов плотности потока массы, теплового потока и тензора вязких напряжений, что соответствует записи КГД уравнений в виде законов сохранения. На основе предложенных аппроксимаций строятся явные разностные схемы для решения нестационарных задач газовой динамики.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты этого раздела изложены в [69].

3.7 Обтекание кругового цилиндра

Задача о поперечном дозвуковом обтекании кругового цилиндра потоком газа является объектом исследований многих авторов [53, 55, 56, 57]. Интерес к этой задаче вызван существованием нескольких режимов обтекания, отвечающих одним и тем же краевым условиям задачи. Рассматриваемая задача является хорошим тестом для проверки эффективности численного алгоритма.Задача обтекания цилиндра потоком вязкой несжимаемой жидкости содержит только безразмерное число Рейнольдса где щ - скорость набегающего потока, R - радиус цилиндра, /хо - Динамическая вязкость жидкости. Экспериментально установлено, что при Re < Re\(Re\ ^ 20) режим стационарного вязкого обтекания устойчив; при Re\ < Re < Re2(Re2 ~ 75) за цилиндром возникают регулярные периодические срывы вихрей и колебания потока. Число Rei является критическим числом Рейнольдса. Для характеристики безразмерной частоты возникающих колебаний вводят число Струхаля где Т - размерный период колебаний. Эту формулу можно переписать для безразмерного периода колебаний Т в виде

Эмпирически установлено, что в указанном интервале чисел Рейнольдса число Струхаля определяется зависимостью

3.2)

3.3)

3.4)

Постановка задачи

Рассматривается дозвуковое обтекание прямого кругового цилиндра вязким сжимаемым газом. При дозвуковом обтекании в качестве единицы скорости выберем Woo в соответствии с алгоритмом приведенным в [54]. В этом случае безразмерные коэффициенты вязкости и теплопроводности записываются следующим образом: и)

1 ( Ma2 f р\ 1 h а параметр регуляризации (искусственная вязкость) а—, в отличие от ранее рассматриваемых сверхзвуковых течений, входит только в параметр г

В [54] такой алгоритм был использован для расчета задачи о течении в канале. На выходной границе задавались так называемые "мягкие"граничные условия (равенство нулю производных) для плотности и компонент скорости, а давление поддерживалось постоянным: = 0, ^ = 0, ^ = 0 др - 1 (3.8) дх дп ' дп дх 7 Ма2' а на входной границе плотность, скорость и градиент давления поддерживаются постоянными.

Предложенный способ постановки граничных условий прост в реализации. Он позволяет избежать традиционно применяемого подхода, основанного на вычислении характеристик рассматриваемого течения в рамках уравнения Эйлера. Применим такой способ описания течения в задаче об обтекании цилиндра.

Задача об обтекании цилиндра рассматривается в двумерной декартовой системе координат, расчет проводится на треугольной сетке (рис. 3.21) с числом узлов 2018 и числом треугольных элементов - 3840. Сетка предоставлена Поляковым С.В. (институт математического моделирования РАН).

Риг. 3.21: Расчетная область и распределение узлов сетки

Расчетная область представляет собой прямоугольник 15 х 10. радиус цилиндра R — 1.

В качестве начального условия задается равномерный поток газа с плотностью ро — 1, давлением pq = 1/(7Ma2), числом Маха Ма — 0.1. скоростью вдоль оси х Uqx — 1 и скоростью вдоль оси у щу — 0. Расчет проводился для двух чисел Рейнольдса, в первом случае Re = 10, что соответствует стационарному случаю, а во втором - Re = 50. что соответствует автоколебательному режиму.

Условия на верхней и нижней границах области имеют вид др п Зр дп на левой границе = 0, ^ = = %=QJ (3.9) р= 1, ~ = -0.1, их = 1, иу = 0, (3.10) на правой границе

-0 дп р =

7 Ma2' на боковой поверхности цилиндра дих дп о, дп 0,

3.11) = 0, ^=0, = 0, = 0. (3.12)

Распределение линий тока для двух вариантов чисел Рейнольдса приведено на рис. 3.22, 3.23.

10 г

Рис. 3.22: Распределение плотности р и линий тока для числа Рейнольдса Re = 10

На рис. 3.24 представлена зависимость плотности р от безразмерного времени t для случая автоколебательного режима Re = 50.

Оценим период колебания. Из рис. 3.24 Т ~ 18, а расчет по формуле (3.3) дает Т ~ 12. Отличие периода, полученного в расчете, от периода, вычисленного по формуле (3.3), можно объяснить тем, что во-первых область выбрана недостаточно большой по сравнению с радиусом цилиндра и во-вторых эмпирическая формула для вычисления числа Струхаля (3.4) справедлива для изотермической жидкости, в то время как температура вязкого сжимаемого газа не является постоянной.

Предложенный алгоритм позволяет рассчитывать нестационарные дозвуковые течения вязкого сжимаемого газа в областях сложной формы. X

Рис. 3.23: Распределение плотности р и линий тока в автоколебательном процессе для числа Рейнольдеа Re = 50 t

Рис. 3.24: Распределение плотности р в зависимости от безразмерного времени t

Рис. 3.20: Распределение плотности р и линий тока » автоколебательном процессе для числа Рейнольдса Re = 50 для моментов времени 1,2,3,4 на рис. 3.24

Рис. 3.2С: Распределение температуры и линий тока в автоколебательном процессе для числа РейнОльдса Не = 50 для моментов времени 1,2,3,4 на рис. 3.24

Глава 4

Численное моделирование течений в атмосфере кометы

4.1 Введение

25 марта 1996 комета Хуакутаке (Hyakutake) прошла на необычно малом расстоянии от Земли. Наблюдения проводились в двух обсерваториях - на 105 см телескопе в Обсерватории Пик дю Миди (Observatoire du Pic du Midi(OPMT)) рис. 4.1, Франция, Пиринеи, и в обсерватории Ла Палма, Канарские острова, Испания (La Palma, Canary Islands, Spain), на 2.56 м. телескопе (Nordic Optical Telescope(NOT)) рис. 4.2.

Ядро этой кометы имеет в поперечнике размер около 2 км и в основном состоит изо льда, с поверхности которого происходит интенсивное испарение молекул H20 в окружающее пространство. При наблюдениях излучения кометы было зарегистрировано наличие градиента плотности за ядром кометы, который по своей структуре напоминает ударную волну в нейтральном газе. Эта структура представляет собой самую большую ударную волну в нейтральном газе, наблюдаемую в солнечной системе.

Для объяснения этого необычного для атмосферы кометы явления был предпринят целый ряд попыток численного моделирования газодинамического течения в окрестности ядра кометы [62]. Среди прочих моделей рассматривалась возможность существования второго, меньшего по размеру, ядра в кометном образовании, с которого также испаряются молекулы во

Рис. 4.1: Observatoire du Pic du Midi(OPMT)

Ряс. 4.2: Nordic Optical Telescope (NOT) ды [61]. Взаимодействие таких встречных сферических потоков в принципе может приводить к образованию неподвижной относительно ядра кометы ударной волны.

Моделирование газодинамического течения в атмосфере кометы представляет собой достаточно сложную задачу, основными аспектами которой являются значительный перепад плотности частиц и их температуры -вблизи ядра плотность окружающего газа составляет 3.3 • 10-7кг/м3, температура около 200 градусов Кельвина, на расстоянии около 2 ООО км

1 о . 3 соответственно, 1.4 • 10 кг/м и при температуре около 5 градусов Кельвина. Макроскопическая скорость молекул варьируется от 300 м/с - что составляет число Маха равным 1 вблизи поверхности ядра, до скорости порядка 800 м/с , или 50 Ма - вдали от ядра. При этом, если рассматривать структуру кометы как двухядерное образование, в области взаимодействия струй на оси между ядрами кометы эта скорость падает до нуля. Из имеющейся литературы известно, что в области взаимодействия струй может образовываться как стационарное, так и нестационарное течение.

Большой перепад плотностей в задаче приводит к тому, что вдали от ядер кометы течение является достаточно разреженным, и применение макроскопических, или моментных уравнений для его описания может оказаться проблематичным. Эти зоны течения следует моделировать с помощью кинетических подходов - например, метода Монте-Карло. В тоже время области течения вблизи ядер и в зоне возможного существования ударной волны представляют собой достаточно плотный газ, и должны описываться уравнениями Навье-Стокса. Сопряжение моделей Монте-Карло и Навье-Стокса представляет собой отдельную достаточно сложную проблему и при решении данной задачи не проводилось.

Дополнительную трудность в рассматриваемой проблеме представляет собой учет молекулярных характеристик водяного пара - вязкости и теплопроводности, которые определяют собой структуру ударной волны. Как известно, молекула воды представляет собой, после водорода, одно из самых распространенных веществ в природе, и в тоже время одну из сложнейших молекул в плане своих физических свойств. Эта молекула имеет колебательные степени свободы и три вращательных степени свободы, причем моменты вращения в разных плоскостях отличаются друг от друга в три раза. При низких температурах наблюдается резонанс между колебательными и вращательными степенями свободы, что приводит к сильно немонотонной зависимости сечения столкновения молекул от кинетической энергии. Отражением этого является тот факт, что зависимость вязкости от температуры для молекулы водяного пара при температурах ниже 50 градусов Кельвина практически неизвестна. Это затрудняет численное моделирование задачи как в рамках моментных уравнений, так и методами кинетической теории.

Тем не менее, феномен ударной волны за ядром кометы, состоящей из молекул воды, вызвал большой интерес среди ученых, и моделирование возможных процессов в кометном образовании было проведено в рамках уравнений Эйлера и Навье-Стокса. Были получены некоторые результаты на основе метода Монте-Карло. В этих работах было получено, что в атмосфере кометы возможно формирование образования типа стационарной ударной волны, однако множество приближений, использованных в этих моделях, требуют их дальнейшей верификации и уточнения. В частности, в проведенных ранее расчетах не наблюдался наклон ударной волны, ясно видный на фотографиях, а в ряде расчетов ударной волны была искривлена в противоположном относительно наблюдениям, направлении. Моделирование на основе уравнений Навье-Стокса показало наличие двух ударных волн, расположенных перпендикулярно оси симметрии. Метод Монте-Карло демонстрирует достаточно большие осцилляции и точность соответствующих расчетов нуждается в дополнительной проверке.

Поэтому актуальной и интересной задачей представляется численное моделирование течения в атмосфере кометы на основе КГД уравнений, которые ранее зарекомендовали себя как эффективный метод расчета течений сжимаемого газа, применимый в широком диапазоне чисел Кнз'дсена и Маха. В частности было показано, что КГД уравнения хорошо описывают струйные течения и достаточно точно моделируют структуру ударной волны [29, 30, 31].

4.2 Константы (исходные данные)

Газодинамические процессы в окрестности ядра кометы характеризуются следующими величинами:

Н20 - газ, истекающий от ядер тН2о = 2.99 ■ 10-26кг - молярная масса газа

7 = 4/3- показатель адиабаты [23] и) — 1.1 - показатель степени в законе вязкости

Рг = 0.72 - число Прандтля [23]

Sc = 0.72 - число Шмидта [23]

R = 461.76J К'1 kg'1 - газовая постоянная для Н20

2о = 9.1510-5 - значение динамической вязкости при температуре То = 300АГ.

Из результатов астрономических наблюдений следует: Ri = 2000 т - радиус ядра 1 R2 = 1000 т - радиус ядра 2

S1S2 = 1875 km - расстояние между центрами ядер 1 и 2

Т\ = Т2 = 160 АГ - температура на поверхности ядер М\ = М2 = 1 - числа Маха потоков на поверхности ядер Qi — 1.77 • 1029с-1 - расход массы для первого ядра Q2 = 0.3 • 1029с-1 - расход массы для второго ядра

Истечение газа в область низкого давления происходит со скоростью звука с = л/т77Г. В окрестности каждого ядра эта скорость равна с = Ci = y/nRTi, с = С\— С2 — 313.86 м/с

Отсюда, зная расход Qi и радиус каждого ядра Ri, найдем значения плотности газа на поверхности ядер

Pi = (4Л)

Qi тн2о AitRfM-tCi

Pi =3.35. 10~7кг/м3 (4.2) p2 = 1.33. Ю-7 кг/м3 (4.3)

4.3 Постановка задачи и граничные условия

Рассмотрим течение, образующееся в окрестности двух ядер кометы (рис. 4.3). Будем считать, что газ от источников расширяется изэнтропически [2] на некоторое расстояние 201,202 от ядер кометы. Будем проводить расчет в области взаимодействия струй. Целью расчета является определение параметров второго ядра кометы (плотности газа р2 на его поверхности или его радиуса R2), при которых возможно образование ударной структуры, видимой на снимках астрономических наблюдений (рис. 4.1, 4.2).

Рис. 4.3: Постановка задачи

Рассмотрим область расчета (см. рис. 4.3). Поставим граничные условия при г — zqi и z — zq2i исходя из предположении об изэн тропи чес ком расширении газа. Для этого рассмотрим два сечения одного и того же потока А и А[, где г = 1, 2 - номер ядра. Для этих сечений справедливы изэнтропические формулы:

4-1)

4.2)

Р Pi

4.3)

4.4)

1 + ум,2 1 + ум2'

4.5) где А - площадь сечения, М - число Маха, р - давление, р - плотность, Т -температура.

Число Маха M(R) найдем из (4.1), решая методом дихотомии [58].

R = у/т2 + = у/ zq2 + г2 (4.6)

Т.е. Л/(Я) = М(г). Зная М(г), можем найти р, р, Т по формулам (4.2)-(4.4). Скорость и найдем из формулы

Ur = М • с = My/-yRT (4.7)

Откуда,

VV + г2 zo

Ulr = Miy/lRTi ulz = Mi УтВД-

Vz0г + г2

И2г = -М2/уВД у ? 2 (4.8)

V^O + И

H2Z = M2y/iRT2

Z о y/zj- + г2

В качестве условий на правой г = ^ol и левой z = 2о2 границах расчетной области будем использовать значения плотности Р\,Р2 (4.2), давления Pi,P2 (4.3) и компоненты скоростей Uir,itiz, u2r,u2z (4.8).

Ниже приведены графики граничных условий на сторонах вдоль оси г расчетной области.

На нижней границе области расчета г = 0 ставится условие симметрии, а на верхней границе г = tq - условие сноса.

4.4 Результаты численного моделирования

Для численного моделирования воспользуемся алгоритмом, рассмотренном в главе 3, задачу будем решать в цилиндрической системе координат [70]. Ось 2: направим вдоль линии, соединяющей центры ядер (см. рис. 4.3).

Была проведена серия расчетов, представленная таблицей 2, с разными размерами областей и значений плотности газа, истекающего из ядра 2. онноахэхэахооэ всГСв ojodoxa и oxoadou вгг */} вевл олэ^попзмэхэи qxoodoMQ :g-р "DHj

000009

009 оннэахэхэахооэ BdfB oxodoxa и oxoadaa Biif d вевл олэ'тснвмэхэи эинэ1гяв'17' "DHj

000009

00000900000» i—'—1—'—i—1

60-эг о

01-31 oi-эг оннэахэхэахооэ ^dtB oxodoxa и oxoadaa BL-tf d тзеел олэШснвмэхои qxooHxoiqj :p f "ohj ооооо»ооооог i—----■—г—

1-31 i-as г л i ооооо»ооооог Г tl-з»

Рис. 4.7: Скорость истекающего газа UT для первого и второго ядра соответственно

Заключение

1. КГД уравнения записаны в виде законов сохранения для немоноатомно-го газа. Получено выражение для коэффициента второй вязкости.

2. Разработан алгоритм решения КГД уравнений для нестационарных течений вязкого сжимаемого газа на неструктурированных сетках для 2Д задач - декартовая и цилиндрическая геометрии.

• Построен алгоритм аппроксимации частных производных на треугольной сетке.

• Разностные аппроксимации строятся в потоковой форме в соответствии с видом КГД уравнений в форме законов сохранения.

• Устойчивость численных алгоритмов достигается путем добавления в коэффициенты при диссипативных слагаемых малого параметра, связанного с шагом пространственной сетки.

3. Проведено численное моделирование газодинамических течений:

• в декартовой системе координат (задача о распаде сильного разрыва, задача об обтекании кругового цилиндра)

• в цилиндрической системе координат (задача о точечном взрыве, задача моделирования течений в атмосфере кометы)

Задача о распаде сильного разрыва, задача о точечном взрыве и задача об обтекании кругового цилиндра демонстрирует точность и устойчивость предложенного алгоритма. Численное моделирование течений в атмосфере кометы позволяет определить условия для образования ударной структуры, видимой на снимках в астрономических наблюдениях.

4. Построенный алгоритм решения квазигазодинамической системы уравнений реализован в виде программ, написанных на языке С# и снабженных комментариями. Программный комплекс имеет модульную структуру и допускает дальнейшее дополнение и развитие.

Пути дальнейшего развития Изложенные в диссертации методы и программы могут в дальнейшем использоваться при моделировании сложных нестационарных течений вязкого сжимаемого газа. В частности, предложенные алгоритмы могут быть развиты в следующих направлениях.

1. Модульная структура алгоритма позволяет изменять только необходимые части без изменения структуры и переписывания всей программы заново. В частности можно изменить алгоритм построения контрольного объема, для этого нужно изменить только функцию Geometry из класса Function.

2. Благодаря тому, что алгоритм реализован с использованием явной по времени схемы для численного решения, он естественным образом может быть адаптирован к современным параллельным вычислительным системам.

3. Возможно обобщение предложенного алгоритма на трехмерные тет-раэдальные сетки.

4. Переспективным направлением является использования метода сгущения сетки и принципа построения квазиравномерных сеток [64]. Квазиравномерные сетки позволяют аппроксимировать бесконечную область конечным числом ячеек. Интересным вопросом является применение этого метода к треугольным ячейкам.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Москва, Наука, 1986.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Москва: Наука, 1987.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Москва, 1976, Т. 1 и 2.

4. Самарский А.А. Теория разностных схем М., Наука, 1989.

5. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М., Наука, 1980.

6. Шеретов Ю.В. Математичеккое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений Тверь, 2000.

7. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М., Наука, 1978.

8. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений // Докл. АН СССР. 1984. Т. 279, N 10. С. 80-83.

9. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. Москва: МГУ, 1999.

10. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Теоретическое и численное исследование квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41, N 2. С. 239-255.

11. Слезкин Н.А. О дифференциальных уравнениях движения газа // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77, N 2. С. 205-208.

12. Валландер С.В. Уравнения движения вязкого газа // Докл. АН СССР. 1951. Т. 58, N 1. С. 25-27.

13. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. Москва: Наука, 1990.

14. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем.

15. Алексеев Б.В. Обобщенная болъцмановская физическая кинетика // Теплофизика высоких температур. 1997. Т. 35, N 1. С. 129-146.

16. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Инвариантный вид системы квазигазодинамических уравнений и ее связь с уравнениями Навье-Стокса Препринт № 230. Москва: ИПМ им. Келдыша АН СССР, 1987

17. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетический алгоритм для расчета газодинамических течений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25, N 10. С. 1526-1533.

18. Траур И.А. Метод квазигазодинамического расщепления для решения уравнения Эйлера // Журнал математической математики и математической физики. 2001. Т. 41, N 10. С. 1583-1596.

19. Антонов А.Н., Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н., Шеретов Ю.В. Численное моделирование пулъсационных режимов при сверхзвуковом обтекании полого цилиндра // Журнал вычислительной математики и вычислительной физики. 1990. Т. 30. N 4. С. 548-556.

20. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений. Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука, 1986, с.261-278.

21. Шеретов Ю.В. Теорема об энтропии для квазигазодинамических урав--нений // Препринт Л* 131. Москва: ИПМ им. Келдыша АН СССР, 1980

22. Елизарова Т.Г., Соколова М.Е. Численный алгоритм расчета сверхзвуковых течений, основанный на квазигазодинамичских уравнениях. Вестник Московского университета, серия 3. Физика. Астрономия, 2004, No 1, с.10 15.

23. Bird G.A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows. Oxford, Clarendon Press,1994.

24. Жданов B.M., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах Москва: "Наука", 1989

25. Физико-химические процессы в газовой динамике. Справочник. Ред. Г. Г. Черный, С. А. Лосев, т 1.1995, т.2 2002. ftp://www.kintech.ru/dda/cwb31b2.zip

26. Лифшиц Е.М., Питавский Л.П. Физическая кинетика. Москва, Физ-матлит, 2002.

27. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекульрная теория жидкости и газов. Из-во иностранной литературы, Москва, 1961.

28. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Ершова Е.Е. Подавление вихревых возмущений в потоке релаксирующего молекулярного газа. VII Забаба-хинские научные чтения. Снежинск, 8-12 сентября 2003г.

29. Mate B.,Graur I.A., Elizarova Т., Chirokov I., Tejeda G., Fernandez J.M., Montero S. Experimental and numerical investigation of an axisymmetric supersonic jet. Journal of Fluid Mechanics, 10 Janiary 2001, vol.426, pp.177 197.

30. Graur I.A., Elizarova T.G., Rarnos A., Tejeda G., Fernandez J.M., Montero S. A Stady of shock waves in expanding flows on the basis of spectroscopic experiments and quasi-gas dynamic eqvations. Journal of Fluid Mechanics, 2004, vol.504, pp.239 270.

31. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Наука, Москва, 1991. т.2.

32. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва: Наука, 1977.

33. Поздняк Э.Г., Шишкин Е.В. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. Москва: Изд-во МГУ, 1990.

34. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Москва: Эдиториап, 1998.

35. Тихомиров Д.В. Тензорно-индексное представление квазигазодинамической системы уравнений и разностная аппроксимация. Вестник Московского университета, серия 3. Физика. Астрономия, 2005, JVM.

36. Попов И.В., Поляков С.В. Построение адаптивных нерегулярных треугольных сеток для двумерных многосвязных невыпуклых областей/ / Матем. моделирование. Т. 14, № 6, с. 25. 2002

37. Карамзин Ю.Н., Поляков С.В., Попов И.В. Разностные схемы для параболических уравнений на треугольных сетках Известия высших учебных заведений. Математика. 2003, N1(488), С. 53-60

38. Боровиков С.Н., Иванов И.Э., Крюков И.А. Построение тетраэдриза-ции Делоне с ограничениями для тел с криволинейными границами // ЖВМиМФ, 2005, Т.45, т., с. 1408-1425

39. Боровиков С.Н., Иванов И.Э., Крюков И.А. Построение нерегулярных треугольных сеток на криволинейных гранях на основе триангуляции Делоне // Мат. моделир., 2005, Т.17. №8, с. 31-45

40. Пушкина И.Г., Тишкин В.Ф. Адаптивные расчетные сетки из ячеек Дирихле для решения задач математической физики: методика построения, примеры. Матем. моделирование. Т. 12, К0- 3, с. 97. 2000

41. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 2, М.: "Высшая школа", 1981.

42. Кестенбойм Х.С., Росляков Г.С., Чудов Л.А. Точечный взрыв. Методы расчета. Таблицы М.: "Наука", 1974.

43. Стулов В.П. Лекции по газовой динамике М.: "физматлит", 2004.

44. Самарский А.А., Колдоба В.А., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках Минск, 1996

45. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамические уравнения М.: "МаксПресс", 2004г.

46. Арделян Н.В. Об использовании итерционных методов приреализа-ции неявных разностных схем двумерной магнитной гидродинамики на нерегулярных сетках // ЖВМ и МФ, 1993, Т. 23, №6, с. 1417-1426.

47. Жмакин А.И., Фурсенко А.А. Об одной монотонной разностной схеме сквозного счета. Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1973, т.20, №4, с. 1021 1030.

48. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованнй алгоритм для расчета газодинамических течений на треуголных сетках // Математическое моделирование, 1998г, Т. 10, Л* 4, с. 51-60

49. Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Моделирование нестационарных газодинамических течений // Математическое моделирование, 2002г, Т. 14, Л* 4, с. 35-44.

50. Handbook of Computational Fluid Mechanics. Ed. R. Peyret. Academic Press. A Harcourt Science and Technology Company, 2004

51. Ковеня В.М. Алгоритмы расщепления в методе конечных объемов для решения задач аэрогидродинамики // Труды Международной конференции RDAMM-2001, Том 6, Ч. 2, 2001, С. 356-364.

52. Ларина И.Н., Рыков В.А. Расчет обтекания кругового цилиндра газом при малых числах Кнудсена // ЖВМиМФ, 2005г, Т. 45, № 7, с. 13041320.

53. Елизарова Т.Г., Соколова.М.Е., Шеретов Ю.В. Квазигазодинамические уравнения и численное моделирование течений вязкого газа // ЖВМиМФ, 2005, т.45, No 3. с.544 555.

54. Белоцерковский О.М., Опарин A.M. Численный эксперимент в турбулентности. От порядка к хаосу Москва: Наука, 2004.

55. Wu М.-Н., Wen Ch.-Yu., Yen R.-H., Weng M.-Ch., Wang M.-Ch. Experimental and numerical study of the separation angle for flow around a circular cylinder at low Reynolds number // J. Fluid Mech., vol.515, pp. 233-260, 2004

56. Ван-Дайк M. Альбом течений жидкости газа Москва: Мир, 1986

57. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: "Наука", 1978. С. 139

58. J.F. Crifo, G.A. Lukianov, A.V. Rodionov, G.O. Khanlarov, V.V. Zakharov. Comparison between Navier-Stokes and Direct Monte-Carlo Simulations of the Circumnuclear Coma. // Icarus N156, p.249-268, 2002.

59. J.F. Crifo, A.V. Rodionov. The Dependence of the Circumnuclear Coma Structure on the Properties of the Nucleus. // Icarus N148, p.464-478, 2000.

60. Rodionov A.V., Jorda L., Jones G.H., Crifo J.F., Colas F., Lecacheux J. Comet Hyakutake gas Arcs: First Observational Evidence of Standing Shock Waves in a Cometary Coma. // Icarus, 136, 232 267, 1998

61. Rodionov A.V., Crifo J.F., Szego K., Lagerros J., Fulle M. An advanced physical model of cometary activity // Planetary and Space Science 50, 983-1024, 2002

62. Калиткин H.H., Альшин А.Б., Альшина E.A, Рогов Б.В. Вычисления на квазиравномерных сетках М.: "Физматлит", 2005 г.

63. Серёгин В.В. Численное решение квазигазодинамических уравнений на треугольных сетках. Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2004"секция "Физика". Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ, 2004. С. 135-136.

64. Елизарова Т.Г., Серегин В.В. Аппроксимация квазигазодинамических уравнений на треугольных сетках // Вестник Московского университета, серия 3. Физ. Астрономия, 2005, №4, С.15-18.

65. Елизарова Т.Г., Серегин В.В. Квазигазодинамические уравнения и ап-проксимационная формула для объемной вязкости // Вестник Московского университета, серия 3. Физ. Астрономия, 2005, №6.

66. Серёгин В.В. Моделирование задачи о сильном точечном взрыве. Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005"секция "Физика". Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ, 2005, Т1, С. 96.

67. Серёгин В.В. Численное моделирование течений в атмосфере кометы. Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005"секция "Физика". Сборник тезисов. Tl. М.: Физич. ф-т МГУ. 2005, Т1, С. 97.