автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование отрывных течений жидкости и газа в окрестности шара

На правах рукописи

СЕМЁНОВ Михаил Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ОКРЕСТНОСТИ ШАРА

Специальность 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа Тверского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты-

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, доцент Шеретов Юрий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Елизарова Татьяна Геннадьевна

доктор физико-математических наук, профессор Климок Виктор Иванович

Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В Ломоносова

Защита состоится «¿£1» 2006 г. в 14 часов на заседании диссертаци-

онного совета Д 212.263.04 в Тверском государственном университете по адресу 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33, ауд. 52

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТвГУ

Автореферат разослан -Г » алЛгл л_2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.263.04, доктор технических наук, профессор

Михно В Н

А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Явления внешнего обтекания тел потоками жидкости или газа широко распространены в природе и технике (например, в авиации и космонавтике, судостроении, гидроэнергетике и т.д.). Исследования различных течений жидкости и газа с помощью компьютерного моделирования проводятся во многих отечественных и зарубежных научных центрах. К настоящему времени разработано достаточно много численных методов решения как полной системы Навье-Стокса, так и различных ее упрощенных форм. Однако каждый из алгоритмов ориентирован на определенный круг задач (двумерные течения, несжимаемая жидкость, дозвуковые или сверхзвуковые течения, турбулентность и т.д.). Многие из них используются без должного теоретического обоснования. Полученные результаты нуждаются в подтверждении с помощью других численных методик. Поэтому актуальной является проблема разработки новых эффективных и универсальных методов численного моделирования течений жидкости и газа. Необходимость решения этой проблемы связана также с появлением современных быстродействующих компьютеров (в том числе параллельных ЭВМ с распределенной памятью), открывающих новые возможности применения таких алгоритмов.

Среди новых численных алгоритмов все большую популярность приобретают алгоритмы, основанные на системах квазигазодинамических и квазигидродинамических (КГД) уравнений. Квазигазодинамическая система возникла как континуальный вариант так называемых кинетически согласованных разностных схем, предложенных в начале восьмидесятых годов в работах Б.Н.Четверушкина и Т.Г.Елизаровой. Квазигидродинамические уравнения и их основные модификации были получены в девяностые годы Ю.В.Шеретовым. В монографии1 и в последующих работах проведены теоретические исследования свойств КГД-систем. Эти системы отличаются от классических уравнений Навье-Стокса дополнительными диесипативными слагаемыми, зависящими от малого параметра. Использование дополнительной диссипации позволяет строить новые вычислительные алгоритмы с хорошими свойствами (сравнительная простота реализации, однородность, консервативность, возможность распараллеливания).

Реферируемая диссертация относится к актуальному и быстро растущему научному направлению - численному моделированию течений жидкости и газа на основе КГД-уравнений. В настоящее время опубликованы учебные пособия и монографии по этой тематике1-3. Защищено несколько кандидатских и докторских диссертаций в МГУ им. М В.Ломоносова, Институте математического моделирования РАН, Тверском государственном университете.

'Шерегов Ю В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квл-зигидродинамических и квазигазодинамичггких уравнений. Тверь- ТвГУ, 2000

2Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы газовой динамики М * Макс-Пресс,

3Елизарова Т Г. Математические модели и численные методы в динамике газа и окидкости М.: Физфак МГУ, 2005.

1999.

РОС НАЦИОНАЛЫ Я

К К Б Л МАТС1/1

Цель и задачи. Цель работы - численное моделирование дозвуковых осесим-метричных течений жидкости и газа в окрестности шара с помощью новых вычислительных алгоритмов, построенных на основе квазигидродинамических уравнений Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи-

1. Построить численные алгоритмы расчета осесимметричегких течений жидкости и газа в сферических координатах, базирующихся на квазигидродинамических уравнениях.

2. Разработать комплекс программ, реализующий указанные алгоритмы.

3. Выявить зависимости характерных параметров течений от входных данных

4. Провести анализ полученных результатов.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Новые алгоритмы расчета осесимметричных дозвуковых течений вязкой жидкости и вязкого сжимаемого теплопроводного газа в окрестности шара с условиями прилипания или проскальзывания на его поверхности.

• Зависимости основных параметров и картин течений от чисел Рейнольдса, Маха, Кнудсена в широких диапазонах их значений.

• Результаты вычислений на разных пространственно-временных сетках »сравнении как с известными аналитическими решениями, так и с имекнцимися экспериментальными и расчетными данными.

Методы исследования. В качестве основных математических моделей используются классическая система Стокса, система Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости и полная система Навье-Стокса Численные методы решения краевых задач для указанных систем строятся с помощью квазигидродинамических уравнений в соответствующих приближениях. Основные результаты получаются посредством вычислительного эксперимента

Достоверность полученных результатов подтверждается сходимостью численных решений при измельчении пространен венных сеток к известным аналитическим решениям, а также сопоставлением с имеющимися экспериментальными данными и расчетами других авторов. Предложенные алгоритмы построены с использованием квазигидродинамической системы, тщательно исследованной теоретически Ю В.Шеретовым.

Научная новизна обусловлена тем, что метод КГД-моделирования впервые применен к расчету осесимметрических дозвуковых течений сжимаемой и слабо-сжимаемой сплошной среды в сферических координатах вблизи шара с граничными условиями прилипания и проскальзывания Предшествующие КГД-алгоритмы строились в декартовых и цилиндрических координатах (работы Б Н.Четверушкина,

Т Г.Елизаровой, Ю.В Шеретова, И.С.Калачинской, Е.В Шильникова, А В Ключниковой, И А Широкова, М Е Соколовой, В.В.Серёгина и других авторов).

Практическая ценность. Построенные алгоритмы позволяют проводить расчеты течений как несжимаемых, так и сжимаемых сред в окрестности шара в широком диапазоне чисел Рейнольдса (от 0.01 до 100), Маха (от 0.01 до 0 7) и Кнудсена (Кп <01). Они могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с движением тел сферической формы в атмосфере или под водой (спускаемых летательных аппаратов, батискафов, масляных капель).

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены

на:

• Международной научной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003).

• Международной конференции "Параллельные вычисления в гидродинамике" (Москва, 2003).

• Научных семинарах кафедры математического анализа ТвГУ (рук. проф. Гусев А.И., проф. Шеретов В.Г., Тверь 2005, 2006)

Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. В совместных публикациях научному руководителю принадлежат постановки задач и теоретическое обоснование предложенного подхода. Автору принадлежат построенные вычислительные алгоритмы в сферических координатах для решения задач об обтекании шара жидкостью или газом, комплекс программ, анализ полученных результатов.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав основного текста, содержащих 9 параграфов, заключения, списка использованной литературы и изложена на 103 страницах. В тексте диссертации имеется 15 рисунков, отражающих результаты численного моделирования и их сопоставление с известными данными. Список литературы включает 47 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении приводятся исторические сведения, дается обоснование актуальности и новизны темы диссертационного исследования, формулируются цели и задачи работы. Приводится обзор содержания работы, дается характеристика полученных результатов.

В главе 1 предложен новый алгоритм расчета медленных изотермических течений вязкого газа вблизи шара Проведено сопоставление полученных результатов с аналитическими решениями системы Стокса, учитывающими эффекты скольжения на поверхности шара.

Для описания медленных изотермических течений вязкого газа около твердых тел обычно используется классическая система Стокса. Ее точное решение в задаче об обтекании шара радиуса Я внешним однородным потоком с условиями прилипания на поверхности, построенное Дж.Стоксом, адекватно описывает движения газа вблизи шара, если Яе 6 (0, 1] и Кп е (0, 0 01]. Здесь Яе = (1/аоЯ)/г/ и Кп = А/Я - числа Рейнольдса и Кнудсена соответственно Символом обозначена скорость набегающего потока, V - коэффициент кинематической вязкости, А - средняя длина свободного пробега молекул В диапазоне чисел Кнудсена от 0 01 до 0 1 для достижения совпадения с опытом возникает необходимость постановки граничных условий скольжения скорости на поверхности шара

Для классической системы Стокса дана постановка задачи об установившемся обтекании шара газом В качестве базовой при построении вычислительного алгоритма используется нестационарная система КГД-уравнений в приближении Стокса1. В сферических координатах (г, <р, в) без учета внешних сил она может быть записана в виде

13,,, 1 д, .ч

диг др п [ I д / а ч 1 д , . ч -яГ + = 21/ оуг) + —(вт0 авг) -

дЬ дг I г2дгк ' гвтвдв4 '

дщ 1 др п П д , 2 . , 1 д . . . , гдв 1г2дгк ' гвтвд8к '

| °0г ~ (3)

Г .1

Компоненты тензора скоростей деформаций д вычисляются по формулам

диг 1(\диг дщ щ\

= Ств = <Твг = 2\г~дв ~дт~ г/'

1 дщ иг «г 6

ам~т~8в+Т' а">~Т +

Неизвестными функциями в системе (1)-(3) являются компоненты вектора скорости иг = иг(г, щ = щ(г, в, Ь) и нормированное делением на постоянную плотность р давление р = р(г,<?,4). Составляющая скорости и^ полагается равной нулю, а зависимостью остальных макропараметров среды от угла (р пренебрегаем

Связь сферических координат (г, ip, в) с декартовыми (х, у, z) дается соотношениями i = г eos ¡p sin О, у — rsin<psm0, з = г cos б. Присоединим к (1)-(3) начальные условия

иГ(г, в, 0) = Ux cos в, ug(r, 0, 0) = -(/«, sin й, (4)

которые отвечают мгновенному помещению шара в однородный поток Добавим также граничные условия

Ur(R,e,t)= 0, ur(+oo,0,t) = í/^cosfl; (5)

ue(R,e,t) = ^i\^(R,e,t), u0(+oo,e,t) = -Ursine, (6)

Í Or

p(+oo,0,t)=poo; 0<e<7T, i^O. (7)

(гГ

Здесь ( - доля диффузно отраженных молекул, А средняя длина свободного пробега молекул. Появление дополнительного граничного условия дня давления связано с более высоким порядком системы (1)-(3) по сравнению с соответствующей нестационарной системой Стокса.

Приводится точное аналитическое решение этой задачи в стационарном случае. С его помощью при малых числах Рейнольдса найдена величина направленной вдоль оси oz силы, действующей на обтекаемую воздухом масляную каплю шарообразной формы При г — 0 система переходит в классическую систему Стокса, а построенное решение в пределе при г —» 0 - в соответствующее решение системы Стокса.

Далее рассмотрена конечно-разностная аппроксимация обезразмеренной КГД-системы в приближении Стокса и построен явный численный алгоритм решения получающейся краевой задачи для системы разностных уравнений. Малый положительный параметр г связан с шагами сетки соотношением г — hT2 + h02 и выполняет роль искусственного регуляризатора. Разностная схема аппроксимирует исходную начально краевую задачу с первым порядком но времени и по пространству. Для приближенного решения поставленной выше стационарной задачи используется метод установления. Компоненты поля скорости в начальный момент времени определяются с помощью (4) Давление находится методом наискорейшего градиентного спуска путем решения соответствующей задачи для разностного уравнения Пуассона с помощью итерационного алгоритма.

В расчетной области G, = {(г. в) : 1 < г < ftM, 0 < в < п} использовались равномерные сетки размеров NT х JVfl-=100 х 20, 200 х 20, 400 х 20 Величина Rx полагалась равной 100 Числа Рейнольдса принимали значения 0.01, 0 1 и 1. Кроме тою, Кп = 0.01, 5 = 09 Рех-уляризирующий параметр ¡3 = 0.01 обеспечивал устойчивость вычислений с ишом по времени At = 0.001.

На рис 1 представлены распределения составляющих скорости вдоль луча 0 = 0 078. Как видно из графиков, расхождение с аналитическим решением незначительно. Сила сопротивления также хорошо согласуется с ее величиной, вычисленной аналитически. При уменьшении тага пространственной сетки распределения компонент «г и ид вдоль луча г > 1, в — 0 039 становятся ближе к их аналитическим значениям (см. рис. 2). При увеличении числа Рейнольдса от 0 01 до 1 точность схемы несколько уменьшается.

20 40 60 80 Г | 20 40 60 80 г

Рис 1 Распределения составляющих скорости иг и ид вдоль луча г > 1, & = 0 078 при Яе ~ 0 1, Кп — 0 01, Дх, = 100 на сетке 100 х 20: а) составляющая иг, Ь) составляющая ив

Рис. 2 Распределения составляющих скорости иг и щ вдоль луча г > 1, в = 0 039 при Ле = 0 1, Кп = 0.01, Я«; - 100 на сстке 400 х 40: а) составляющая иг, Ь) составляющая щ

—А. Бассет

• ■•■Р. Милликен

• Численное решение

"I. *

- -

"""..........

0 0.1 02 0.3 0.4 Кп

Рис 3 Зависимость величины Я/ = ^/(6ж^Яи^) от числа Кнудсена

На рис 3 покачана зависимость величины П/ /(втг/?Г), [до сила сопротиачгпии. ог чпе ш Кнудсоня. Точки омзечакл расчепшм значениям Порченные результаты хорошо согласуются с известными теоретическими и эмпирическими данными (форм\лы А.Бассета п РМилтшкена (ответственно).

В главе 2 на основе КТД-у равнений построен новый алтритч расчета осо-симметричных течений вязкой несжимаемой жидкости вблизи шара Проведено сопоставление полученных результатов с теоретическими и экспериментальными данными, а закже с известными числепиымп расчетами. В качестве основной математической модели используется классическая система уравнений Навье Стокса для вязкой несжимаемой жидкости.

Система КГД уравнений для неустановившихся течений слабос ж и маемой вязкой жи,цкости была выведена в монографии1 В сферических координатах беч учета внешних сил она вьилядит с дедующим образом:

(8)

(9)

(с«иг I г1)гие

(10)

г

Здесь

Ч'О — т[иг

дщ_ ! и^див ( 1'гщ ( ±др дг г дО г г дО,

ьгщ

г ' г дО

(11)

Неизвестными величинами и системе (8) (11) якляю1Си проекции вектора скоро» 'I и нг иг(г. 0./), не — ив{г 0J) и нормированное делением на постоянную плотность р давление р — р(г iKt) Малый положительный параметр т выполняет роль искусственного регулярикиора. Добавим к (8) (11) начальные >гловяя (4) и красные условия

Ur(fí.Oj)- 0. v,(\no,0.t) -UxíOb0: (12)

щ(Н,в,()-0. i4,(\x,0.t) ~-ижяпО. (13)

(R.0.1) 0, р(+-х..в.1.) рх; Q<0<iT.t>0. (14)

or

Поя« ionис допо пштедытю граничною условии дня давления снязано с более высок им порядком сис i см i.] по сравнению с сося iici t i in lomcñ нестационарной системой Навье Стокса. Точного аналитического решения задачи об обтекании шаря Д1Я уравнений Наш.е-Стокеа не найдено. Почтому при conocíявлении ре-з\лг.татов иснольtvioк я опытные данные и расчеты других авторов

Далее строится ра »постная схема аппроксимирующая начально краевую задачу ( первым порядком но времени и по íipoerpaiieiiiv Схема испо imvctch для приближенною решения аналоы нос явленной ja мчи ,|дя уравнений Паш,с Сгокса Давление вычисляете я методом наис корейтего гразиентного спуска путем решении краевой задачи для разнос тою уравнении Пуассона с помощью терацион-ного алюритма.

Численный алгоритм реаличован к виде программы в среде Delphi 7 П< пользовались равномерные сетки размеров Уг х Д'о 100 х 20, 200 х 20, 300 х .40 400 х 40. Г.00Х'10. 500x50. Величина принимала значения 10. 12, 15.20,25. ,40,100. Числа РеГшольдеа полагались равными 0.01, 0.1. 10, 12, 15, 20, 26. 5R.5, 50, 60. 65, 100. 118.

Па риг 4 показаны распределения проекций скорости vr и но вдоль луча г > 1. 0 — 0.078 при fíe — 0.1, П-х, — 100. Они приведены в сравнении с апало! нчнымп распределениями, полученными в результате проектирования точного решения системы Стокса на сетку. Как видно и i графиков, расхождение является незначительным Оно уменьшается с изме [ьчепиеч шагов сетки.

С увеличением числа Рейнольдса происходит смена режима течения. Критическое чисто lie оказывается приблизительно равным 10, что согласуется с расчетами В.А.Гущина и П.В Мапошина. IIa рис 5, а показало ноле скорости при Я/' — 26. Их — 12, отвечающее режиму отрывного течения в сравнении с экспериментом из альбома Ван Дайка. IIa рис. 5, б представлены соотвстст вующис пиши уровня дав кчшя Видно хорошее совпадение экспериментальных и расчетных данных как по углу отрыва, гак и по дтине юны рециркуляционного течения. На рис б вос проиведена экспериментальная кривая зависимости коэффициента сопротивлении от числа Рейнольдса4. Точками показаны соответствующие рас-

4С'едов .1 И Механика сплошной среды М • Наука, 197G. Т 1.2

чспшр даниыр.

Таким обраюм пред гожрпгтыЙ а иоритм вдголнр >дои ютгюри'ггмьпо оипсыня-рт осесимметричнмр течтпя топкой ярсжимярмой жидкости в окрестности тиара Он является однородным, сравнительно прост в реалпчашт. Ре^льтаты раоче-тов хорошо coi ласукук-я с опыты ми данными и с расчетами др\'1их автором.

Численное решение I

Точное решение системы Сгокса|

20

Оэ -0 04

-0 05

-0 06

-О О7

-0 08

-Численное решение I

Точное решение системы Стоксэ|

u\

20 40 60 80

г ь

Рпс. 4. Распределения составляющих скорости и, и ufí вдоль луча > > ],# — () 078 при Hf — 01, н~ - НЮ

v» — -, - .гло -l eo -оло олв iso iso ь

Рпс 5 Поле скорости и линии уровня давления при Иг — 26. R^ — 12

W3 10г 10> 10е 11Г>

-1-------- * Шитер-ШмиЬ • Либствр 1324 « Аллан W0 ш1Ш

• Геяп —Т/цА miH&H 1S21 1928 глмшеииого ¡ka-

• >

\

—V=h R

ИГ* иг1

101 1Вв 1В3 104 10* 10' 10f

Рис 6 Закисимоси. коэффициент сопрогивлриия от чшлл Рейно':гьд(а

В главе 3 дана по<чановка задачи о пеоягшонарпоч лозел коном ооогчгм мот -ричиом оГпекаиип шлра 1а юм ли полных урмшкчшй Т1аш>е-Ст(жег1 в сферических координатах В качестве аппроксимирующей испольчуетгя полная квачиптд-родинамичеекая система уравнений1 В сферических координатах указанная КГД (игюма имеет вид

др I 8,, . 1 О , .

1н+7^{гр,и) + 7^ГвТо{яп0рщ)

д(р иг) 1 д , , , 1 д , , „.

р ив1 др I д . ,., . 1 д , , ., .

--;— 1 н ¥т{г ри'и'> 1 7^ГвТв{рщНгЫп0) 1

(16)

д(р ив) 1 д . . 1 д . „

д1 гл дг «их 0 д!)

ОЩ11г 1 др 10..,,,. 1 # ,

г г дв г2 дг г чт 0 дв

, ПСг-11^с1 I д 2 2 <9

+-;-+ ^ ж(г Рыгщ) + ^ ш{ри-в иеъпв) +

ч , «'в "г I "Л щ

I 72 ^«^«г) 1 Р-;-, (17)

им] I

.....-"'»11 ¿з^'Ч1^1

дг И"tir(WrUr + Щ+ Tsmë W[Sm9PUr^rUr + W9

Составляющие вектора w вычисляются по следующим формулам* / ди,. щ дщ 1 др\

( dug ut due щит \ др\

гр дв)

Здесь р — р(г, в, <) - плотность среды, й = и(г, 9, - скорость, р = р(г, в, I) - давление, е = е(г, (?, - удельная внутренняя энергия. Компоненты Пгт, П,«, П^, П&, П^, и тензора вязких напряжений и вектора теплового потока соответственно определяются по известным из теории Навье Стокса формулам. Присоединим также уравнения состояния идеального политропного газа

V = (Ш, е = с„Т, (19)

где й - газовая постоянная, с„ - удельная теплоемкость при постоянном объеме. Зависимость ?7 = г/(Т) выберем в виде

Ч = *.(£Г (20)

^Гс

Символом т]х обозначено известное значение коэффициента t¡ при температуре Too, ш - заданное число из промежутка [0 5, 1] Параметры т) и зз связаны соотношением

œ = M (21)

Здесь Ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении, Рт число Прандтля. Система (15) (18), дополненная выражениями (19) - (21), замкнута относительно неизвестных функций - плотности р, скорости и и давления р. Присоединяются также начальные условия

РМ,0)=РОО, (22)

Ur(r, в, 0) = Uoo COS в, щ{г, в, 0) = -Uac sin в, (23)

РМ,0) = Р«>, (24)

отвечающие мгновенному помещению шара в однородный поток Граничные усло-

вия имеют вид

р(+оо, в, t) = рх, р{+оо, в, t) = Ра,, ur{R, в, t) = 0, 1/г(+сх>, 0, t) = U«, cos в; 2-Е див

ue(R,9,t) = -yi \-£(R,6,t), u0{+oo,9,t) = -f/^sini

(25) (20)

(27)

(28)

Здесь рм и р„) - соответственно давление и плотность на бесконечности. Первое из равенств (27) представляет собой условие скольжения для вектора скорости на поверхности шара Первое из условий (28) характеризует отсутствие теплового потока на поверхности шара. Средняя длина свободного пробега молекул А вычисляется по формуле Д Чепмена

Система (15)-(28) приводится к безразмерному виду Затем строится разностная схема, аппроксимирующая уравнения Навье-Огокса с первым порядком по времени и по пространству Содержащие г члены в КГД-уравнсниях шрают роль искусственных регуляризаторов. Параметр т определяется по формуле 1 ¡са и обеспечивае1 условную устойчивость разнос-хной схемы Здесь са = т/тр/р ~ скорость звука, 7 = ср/с„ - показатель адиабаты, а регуляризиру-ющий коэффициент

Алгоритм был реализован на сетках размеров х И) -200 х 20, 300 х 30, 400 х 40 Величина йоо полагалась равной 25,30,50,100. Числа Рейнольде^ и -Маха принимали значения 1, 10, 15, 25, 56.5, 50, 75, 100 и 0.01, 0.1, 0.3, 0.0, 0.7 соответственно Газ считался одноатомным (7 = 5/3, Рг = 2/3). Показатель температурной зависимости ш = 0 5. РегуляризирующиВ параметр « = 05 обеспечивал устойчивость вычислений с шагом по времени = 0 0001 Заметим, чю с росюм числа Маха скорость сходимости алюритма значительно \ величивалась.

Put 7 Распределения составляющих скорости «г и щ вдоль луча г > 1, $ — 0 052 при Яе — 1, М — 0 01, Я^ — 25 на сетке 300 х 30 а) составляющая ur, b) составляющая щ

На рис 7 символами Cl и С2 помечены кривые, соответствующие результатам расчета течений на основе КГД-системы для несжимаемой жидкости при Re = 1 и полной КГД-системы при Re — 1, M = 0.01 соответственно. Как видно из графиков, совпадение практически полное, что и должно быть при малых числах Маха.

На рис. 8 представлены картина течения, а также линии уровня давления, плотности и температуры при Re — 30, M = 0.5.

с U'U'UAI'UUUllUllU -Ы4Л4*Л*-»Я М U I» IJ Ш Ы d

Рис. 8 Расчет при Re = 30, М = 0 5, Я<*, = 25 на сетке 200 х 30: а) картина течения, Ь) линии уровня p/peoi с) линии уровня плотности, d) линии уровня температуры

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационного исследования:

• Предложены новые алгоритмы расчета осесимметричных дозвуковых течений вязкой жидкости и вязкого сжимаемого теплопроводного газа в окрестности шара с условиями прилипания или проскальзывания на его поверхности. В качестве вспомогательных при построении указанных алгоритмов использованы различные варианты квазигидродинамических уравнений в сферических координатах.

• Все указанные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ Проведено его тестирование на характерных задачах.

• Выявлены зависимости основных параметров течения (плотности, скорости, давления, температуры, си ты сопротивления, дтины отрыпной зоны. величины угла отрыва потока, положения центров вихрей п тл) от чисел Рей-нольдса. Маха, Кнудсена в широких диапазонах их значений.

• Сопоставление результатов вычислений на разных просграпсгветю-врсчон-ных сетках как с изнеспплми ансышическими решениями, так и с имеющимися экспериментальными и расчетными данными показало их хорошую взаимосогласованное1! ь.

Таким образом, поставленные задачи решены. Результаты диссертационного исследования обеспечивают численное моделирование дозвуковых осеспмметрич-иых течений жидкости н газа, в окрестности шара

Публикации. Основные результаты диссертации опуб шкованы в следующих работах:

1. Semenov M.V., Sheretov Yu.V. Investigation of Gas Flows Round a Ball on the Base of Quasi Hydrodvnamic Equations in Stokes Approximation. Abstr. of Intern. Conf. "Kolmogorov and Contemporary Mathematics". Moscow State Univ., 2003. P. 756.

2 Sheretov Yu.V., Semenov M.V. Analysis of the Problem on the Plow Round a Ball on the Base of Quasi-IIydrodynamic Equations in Stokes Approximation. Pioc. of lutein. Conf. "Parallel Computational Fluid Dynamics". Moscow, 2003. P. 351-354.

3. Семенов M.B., Шеретав Ю.В. Численное моделирование медленных течений вязкого газа в окрестности шара // Применение функционального аналига в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2004. С 35-45.

4. Семенов М.В., Шеретов Ю.В. Численное моделирование осесимметричных течений жидкое хи в окрестности шара // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2005. С 133-146.

5. Семенов М.В., Шеретов Ю.В. Новый численпый алгоритм расчет осесимметричных течений жидкости в окрестности шара при умеренных числах Рейнольдса // Вестник ТвГУ. Серия "Прикладная математика". 2005. У' 2. С. 51-60.

6 Семенов MB., Шеретов Ю В Новый алгоритм расчета осесимметричных дозвуковых течений газа в окрестности шара // Применение функциональною анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2006 С 78-100.

V

л

Отпечатано ЗАО «Фаэтон» г, Тверь, ут Советская. 21 тел,- (4822) 34-21 -39. Тираж 100 экз. 25.04.06 г

XöoQ> А

аеиэ

89 19

ВВЕДЕНИЕ.

Ф Г л а в- а

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕДЛЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА И ЖИДКОСТИ В ОКРЕСТНОСТИ ШАРА.И

§1. Система Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости

§2. Аналитическое решение задачи об обтекании шара для системы Стокса.

1. Приближение Стокса.

2. Постановка задачи об обтекании шара

3. Автомодельная замена переменных.

4. Решение проблемы интегрирования.

5. Сила сопротивления.

§3. Квазигидродинамическая система для слабосжимаемой ^ вязкой жидкости. Приближение Стокса.

1. КГД-система для слабосжимаемой вязкой жидкости

2. Теорема о диссипации энергии

3. Точные решения.

4. Приближение Стокса.

§4. Задача об обтекании шара для квазигидродинамической системы в приближении Стокса

1. Постановка задачи.

2. Автомодельная замена переменных.

3. Решение проблемы интегрирования. ф

§5. Расчёт медленных течений газа в окрестности шара

1. Постановка задачи.

2. Вычислительный алгоритм.

3. Метод решения разностного уравнения Пуассона для давления.

4. Результаты расчетов.

Глава

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ

ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ОБТЕКАНИИ ШАРА

ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ

§1. Система Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в сферических координатах. Постановка задачи об обтекании шара.

1. Исторические сведения.

2. Постановка задачи.

§2. Система КГД-уравнений для несжимаемой жидкости. Постановка нестационарной задачи об обтекании шара

1. Квазигидродинамическая система.

2. Вычислительный алгоритм.

3. Метод решения разностного уравнения Пуассона для давления.

4. Результаты расчетов и выводы.

Глава

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОГО СЖИМАЕМОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА В ОКРЕСТНОСТИ СФЕРЫ.

§1. Полная система уравнений Навье-Стокса.

§2. Постановка задачи и вычислительный алгоритм.

1. Постановка задачи.

2. Постановка задачи об обтекании шара для КГД-уравнений

3. Вычислительный алгоритм.

4. Результаты расчетов и выводы.

Явления внешнего обтекания тел потоками жидкости или газа широко распространены в природе и технике (например, в авиации и космонавтике, судостроении, гидроэнергетике и т.д.). Исследование различных течений жидкости и газа с помощью компьютерного моделирования проводится во многих отечественных и зарубежных научных центрах. К настоящему времени разработано достаточно много численных методов решения как полной системы Навье-Стокса, так и различных ее упрощенных форм. Однако каждый из алгоритмов ориентирован на определенный круг задач (двумерные течения, несжимаемая жидкость, дозвуковые или сверхзвуковые течения, турбулентность и т.д.). Многие из них используются без должного теоретического обоснования. Полученные результаты нуждаются в подтверждении с помощью других численных методик. Поэтому актуальной является проблема разработки новых эффективных и универсальных методов численного моделирования течений жидкости и газа. Необходимость решения этой проблемы связана с появлением современных быстродействующих компьютеров (в том числе параллельных ЭВМ с распределенной памятью), открывающих новые возможности применения таких алгоритмов.

Среди новых численных алгоритмов все большую популярность приобретают алгоритмы, основанные на системах квазигазодинамических и квазигидродинамических (КГД) уравнений. Квазигазодинамическая система возникла как континуальный вариант так называемых кинетически согласованных разностных схем, предложенных в начале восьмидесятых годов в работах Б.Н.Четверушкина и

Т.Г.Елизаровой. Квазигидродинамические уравнения и их основные модификации были получены в девяностые годы Ю.В.Шеретовым. В монографии [30] и в последующих работах проведены теоретические исследования свойств КГД-систем. Эти системы отличаются от классических уравнений Навье-Стокса дополнительными дисси-пативными слагаемыми, зависящими от малого параметра. Использование дополнительной диссипации позволяет строить новые вычислительные алгоритмы с хорошими свойствами (сравнительная простота реализации, однородность, консервативность).

Диссертация относится к актуальному и быстро растущему научному направлению - численному моделированию течений жидкости и газа на основе КГД-уравнений. В настоящее время опубликованы учебные пособия и монографии по этой тематике [7], [8], [30]. Защищено несколько кандидатских и докторских диссертаций в МГУ им. М.В.Ломоносова, Институте математического моделирования РАН, Тверском государственном университете.

Цель и задачи. Цель работы - численное моделирование дозвуковых осесимметричных течений жидкости и газа в окрестности шара с помощью новых вычислительных алгоритмов, построенных на основе квазигидродинамических уравнений. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построить численные алгоритмы расчета осесимметрических течений жидкости и газа в сферических координатах, базирующихся на квазигидродинамических уравнениях.

2. Разработать комплекс программ, реализующий указанные алгоритмы.

3. Выявить зависимости характерных параметров течений от входных данных.

4. Провести анализ полученных результатов.

Методы исследования. В качестве основных математических моделей используются классическая система Стокса, система Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости и полная система Навье-Стокса. Численные методы решения краевых задач для указанных систем строятся с помощью квазигидродинамических уравнений в соответствующих приближениях. Основные результаты получаются посредством вычислительного эксперимента.

Достоверность полученных результатов подтверждается сходимостью численных решений при измельчении пространственных сеток к известным аналитическим решениям, а также сопоставлением с имеющимися экспериментальными данными и расчетами других авторов. Предложенные алгоритмы построены с использованием квазигидродинамической системы, тщательно исследованной теоретически Ю.В.Шеретовым.

Научная новизна обусловлена тем, что метод КГД-моделирова-ния впервые применен к расчету осесимметрических дозвуковых течений сжимаемой и слабосжимаемой сплошной среды в сферических координатах вблизи шара с граничными условиями прилипания и проскальзывания. Предшествующие КГД-алгоритмы строились в декартовых и цилиндрических координатах (работы Б.Н.Четверушкина, Т.Г.Елизаровой, Ю.В.Шеретова, И.С.Калачинской, Е.В.Шильникова, А.В.Ключниковой, И.А.Широкова, М.Е.Соколовой, В.В.Серёгина и других авторов).

Практическая ценность. Построенные алгоритмы позволяют проводить расчеты течений как несжимаемых, так и сжимаемых сред в окрестности шара в широком диапазоне чисел Рейнольдса (от 0.01 до 100), Маха (от 0.01 до 0.7) и Кнудсена (Кп < 0.1). Они могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с движением тел сферической формы в атмосфере или под водой (спускаемых летательных аппаратов, батискафов, масляных капель).

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на:

• Международной научной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003).

• Международной конференции "Параллельные вычисления в гидродинамике" (Москва, 2003).

• Научных семинарах кафедры математического анализа ТвГУ (рук. проф. Гусев А.И., проф. Шеретов В.Г., Тверь 2005, 2006)

В главе 1 приводится аналитическое решение системы Стокса в задаче об медленном обтекании шара вязким газом с условием скольжения для скорости на его поверхности. Рассмотрено построение точного физически адекватного решения аналогичной задачи для КГД-системы в приближении Стокса. Построен алгоритм расчета поставленной задачи. Проведено сопоставление полученных результатов с аналитическими решениями системы Стокса.

В главе 2 на основе КГД-уравнений построен новый алгоритм расчета осесимметричных течений вязкой несжимаемой жидкости вблизи шара. В качестве основной математической модели использована классическая система уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. Проведено сравнение полученных результатов с теоретическими и экспериментальными данными, а также с известными численными расчетами.

В главе 3 предложен алгоритм расчета осесимметричных течений вязкого сжимаемого теплопроводного газа вблизи шара для полных уравнений Навье-Стокса в сферических координатах. В качестве аппроксимирующей используется полная квазигидродинамическая система уравнений.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, профессору кафедры математического анализа ТвГУ, доктору физико-математических наук Ю.В.Шеретову за помощь при написании диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог, выделим наиболее существенные результаты диссертационного исследования.

• Предложены новые алгоритмы расчета осесимметричных дозвуковых течений вязкой жидкости и вязкого сжимаемого теплопроводного газа в окрестности шара с условиями прилипания или проскальзывания на его поверхности. В качестве вспомогательных при построении указанных алгоритмов использованы различные варианты квазигидродинамических уравнений в сферических координатах.

• Все указанные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ в среде Delphi. Проведено его тестирование на характерных задачах.

• Выявлены зависимости основных параметров течения (плотности, скорости, давления, температуры, силы сопротивления, длины отрывной зоны, величины угла отрыва потока, положения центров вихрей и т.д.) от чисел Рейнольдса, Маха, Кнудсена в широких диапазонах их значений.

• Сопоставление результатов вычислений на разных пространственно-временных сетках как с известными аналитическими решениями, так и с имеющимися экспериментальными и расчетными данными показало их хорошую взаимосогласованность.

Таким образом, поставленные во введении задачи решены и цель диссертационного исследования достигнута. В диссертации проведено численное моделирование осесимметричных дозвуковых течений жидкости или газа для низких и умеренных чисел Рейнольдса. Созданные алгоритмы позволяют решать многие прикладные задачи. Представляется перспективным обобщение предложенных алгоритмов на случай трёхмерных пространственных нестационарных течений.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. Т 1, 2.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

4. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой оюидкости. М.: Гостехиздат, 1955.

5. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1991. Ч. 1, 2.

6. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике о/сидкостей. М.: Мир, 1967.

7. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы газовой динамики. М.: Макс-Пресс, 1999.

8. Елизарова Т.Г. Математические модели и численные методы в динамике газа и жидкости. М.: Физфак МГУ, 2005.

9. Emerson D.R., Barber R.W. Analytical Solution of Low Reynolds Number Slip Flow Past a Sphere: Technical Report DL-TR-00-001. Daresbury Laboratory, 2000.

10. Taneda S. Experimental Investigation of the Wake Behind a Sphere at a Low Reynolds Numbers //J. Phys. Soc. Japan. 1956. V. 11, № 10. P. 1104-1108.

11. Magarvey R.H., Bishop R.L. Transitional Ranges for Three-Dimensional Wakes // Can. J. Phys. 1961. V. 39. P. 1418-1422.

12. Nakamura I. Steady Wake Behind a Sphere // Phys. of Fluids. 1976. V. 19. P. 5-8.

13. Ван-Дайк M. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986.

14. Sakamoto H., Haniu H. Study a Vortex Shedding from Spheres in a Uniform Flow // J. Fluids Eng. 1990. V. 112. P. 386-392.

15. Jenson V.G. Viscous Flow Rounds a Sphere at Low Reynolds Numbers (<40) // Proc. Roy. Soc. 1959. V. 245, Ser. A. P. 346-366.

16. Shirayama S., Kuwahara K. Flow Past a Sphere: Topological Transitions of the Vorticity Field // AIAA-90-3105, 1990.

17. Гущин B.A., Матюшин П.В. Численное моделирование пространственных отрывных течений около сферы // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 1997. Т. 37, № 9. С. 1122-1137.

18. Kairo V., Tezduyar T. 3D Computation of Unsteady Flow Past a Sphere with a Parallel Finite Element Metod // Comp. Methods Appl. Mech. Eng. 1998. V. 151. P. 267-276.

19. Johnson T.A., Patel V.C. Flow Past a Sphere up to a Reynolds Number of 300 // J. Fluid Mech. 1999. V. 378, № 1. P. 19-70.

20. Lee S. A Numerical Study of Unsteady Wake Behind a Sphere in a Uniform Flow at Moderate Reynolds Numbers // Computers and Fluids. 2000. V. 29. P. 636-667.

21. Tomboulides A.G., OrszagS.A. Numerical Investigations of Transitional Weak Turbulent Flow Past a Sphere // J. Fluid Mech. 2000. V. 416. P. 47-73.

22. Emerson D.R., Barber R.W. Numerical Simulation of Low Reynolds Number Slip Flow Past a Confined Microsphere: Technical Report DL-TR-01-001. Daresbury Laboratory, 2001.

23. Гущин B.A., Матюшин П.В. Классификация реэюимов отрыв-пых течении э/сидкости около сферы при умеренных числах Рейнолъдса. Математическое моделирование. Проблемы и результаты. М.: ФМ, 2003. С. 199-235.

24. Constantinescu G., Chapelet M., Squires К. Turbulence Modelling Applied to Flow Over a Sphere // AIAA J. 2003. V. 41, № 9. P. 1733-1742.

25. Шеретов Ю.В. О единственности решений одной диссипатив-ной системы гидродинамического типа // Мат. моделирование. 1994. Т. 6, № 10. Р. 35-45.

26. Шеретов Ю.В. Об одной новой математической модели в гидродинамике // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 1996. С. 124-134.

27. Гуров Д.Б., Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Численное моделирование течений эюидкости в каверне на основе квазигидродинамической системы уравнений // Мат. моделирование. 1996. Т. 8, N 7. С. 33-44.

28. Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические уравнения как модель течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 1997. С. 127-155.

29. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Ключникова A.B., Шеретов Ю.В. Использование квазигидродинамических уравнений для моделирования тепловой конвекции при малых числах Прандт-ля // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1998. Т. 38, № 10. С. 1732-1742.

30. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь: ТвГУ, 2000.

31. Fedoseyev A.I. A Regularization Approach to Solving the Navier-Stokes Equations for Problems with Boundary Layer // Comput. Fluid Dynamics J. 2001. Special Number. P. 317-324.

32. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Шеретов Ю.В., Шильни-ков Е.В. Численное моделирование отрывных течений за обратным уступом // Прикладная математика и информатика: Труды факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова. М.: Макс-Пресс, 2003. № 14. С. 85-118.

33. Елизарова Т.Г., Милюкова О.Ю. Численное моделирование течения вязкой несоюимаемой оюидкости в каверне // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2003. Т. 43, № 3, С. 453-466.

34. Шеретов Ю.В. Математические модели гидродинамики: Учебное пособие. Тверь: ТвГУ, 2004.

35. Ключникова A.B. Численное моделирование течений вязкой несжимаемой оюидкости на основе квазигидродинамических уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1999.

36. Широков И.А. Численное моделирование течений умеренно-разреэюенного газа на основе квазигидродинамических уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: Институт мат. моделирования РАН, 1999.

37. Соколова М.Е. Численное моделирование сверхзвуковых и дозвуковых течений вязкого газа на основе квазигидродинамических уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2004.

38. Серёгин В.В. КГД-уравнения и алгоритмы их решения на неструктурированных сетках: Дис. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2005.

39. Шеретов Ю.В. Анализ задачи об обтекании шара для квазигидродинамических уравнений в приближении Стокса // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2003. С. 177-186.

40. Шеретов Ю.В. О существовании и единственности обобщенного решения стационарной краевой задачи для квазигидродинамических уравнений в приблиоюении Стокса. Материалы юбилейной научн. конф. 'Российской математике триста лет'. Тверь: ТвГУ, 2003. С. 86-94.

41. Шеретов Ю.В. Эллиптичность по Петровскому и по Дуглису-Ниренбергу стационарной квазигидродинамической системы в приближении Стокса // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2005. С. 124-131.

42. Semenov M.V., Sheretov Yu.V. Investigation of Gas Flows Round a Ball on the Base of Quasi-Hydrodynamic Equations in Stokes Approximation. Abstr. of Intern. Conf. "Kolmogorov and Contemporary Mathematics". Moscow State Univ., 2003. P. 756.

43. Sheretov Yu.V., Semenov M.V. Analysis of the Problem on the Flow Round a Ball on the Base of Quasi-Hydrodynamic Equations in Stokes Approximation. Proc. of Intern. Conf. "Parallel Computational Fluid Dynamics". Moscow, 2003. P. 351-354.

44. Семенов M.B., Шеретов Ю.В. Численное моделирование медленных течений вязкого газа в окрестности шара // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2004. С. 35-45.

45. Семенов М.В., Шеретов Ю.В. Численное моделирование осе-симметричных течений жидкости в окрестности шара // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2005. С. 133-146.

46. Семенов М.В., Шеретов Ю.В. Новый численный алгоритм расчета осесимметричных течений жидкости в окрестности шара при умеренных числах Рейнольдса // Вестник ТвГУ. Серия "Прикладная математика". 2005. № 2. С. 51-60.

47. Семенов М.В., Шеретов Ю.В. Новый алгоритм расчета осе-симметричных дозвуковых течений газа в окрестности шара // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2006. С. 78-100.