автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование нестационарных отрывных течений на параллельной вычислительной системе

Введение

Глава

Численное моделирование на многопроцессорной вычислительной системе З-О стационарных и нестационарных отрывных течений в кавернах

§ 1.1. Кинетически-согласованные разностные схемы

§ 1.2. Адаптация кинетически-согласованных разностных схем для расчета трехмерных течений вязкого теплопроводного газа на параллельные вычислительные системы

§ 1.3. Численное моделирование тепломассообмена в трехмерных кавернах

§ 1.4. Численное моделирование пульсаций давления в трехмерных выемках

Глава

Численное исследование нестационарных режимов некоторых задач внешнего обтекания

§ 2.1. Численное исследование влияния формы выемки на характеристики пульсационного течения газа

§ 2.2. Численное исследование нестационарного обтекания тел с выступающими носовыми частями

Вопросы течения и теплообмена в отрывных зонах вызывают постоянный интерес специалистов авиационной и космической техники. Причиной такого интереса является изобилие конструктивных элементов летательных аппаратов, при обтекании которых возникают отрывные течения.

Множество практически интересных задач аэродинамики являются нестационарными. Нестационарные режимы могут возникать в струйных, отрывных и донных течениях, в частности при обтекании поверхностей с выемками и при обтекании тел с выступающими носовыми частями (иглами).

При нестационарном обтекании происходят (возможно периодические) изменения не только параметров течения, но и положений скачков уплотнения, центров вихрей и других факторов, определяющих структуру течения. Важной характеристикой нестационарных течений является давление, т.к. именно высокие уровни колебаний (пульсаций) давления являются причиной усталостных повреждений элементов конструкций и выхода из строя аппаратуры летательных аппаратов. Нестационарные зоны отрыва характерны тем, что спектры пульсаций давления имеют дискретные составляющие, указывающие на наличие резонансных явлений в рассматриваемых зонах.

В стационарной отрывной зоне гармонические колебания параметров течения отсутствуют. Поэтому в спектре пульсаций давления дискретные составляющие не возникают. Этот спектр для турбулентного течения характеризуется "белым" шумом, возбуждаемым турбулентностью потока и отсутствием любых пульсаций для ламинарного течения.

Исследование причин возникновения пульсаций дает возможность разработки способов снижения их уровня, а в ряде случаев и предотвращения возникновения пульсаций.

Обтекание выемки (каверны) открытого типа (Ь/Н < 10.12) высокоскоростным потоком представляет большой интерес для инженерных приложений в аэрокосмической технике. Эта задача интересна по следующим причинам: во-первых, она включает в себя характерные черты других течений газа с отрывом и поэтому является хорошим вычислительным тестом и, во-вторых, имеет широкое практическое применение. Такие элементы конструкций летательных аппаратов довольно часто встречаются на практике. Они могут образовываться приборными, бомбовыми отсеками, отсеками шасси и вооружения, полостями отключенных двигателей управления, поперечно обтекаемыми щелями между плитками теплозащитного покрытия и др.

Наибольший интерес с практической точки зрения представляет определение изменения динамических и тепловых нагрузок, действующих на поверхность летательного аппарата, из-за наличия выемки. Для расчета теплообмена на стенках выемки необходима информация о всей структуре течения. Сложность численного решения соответствующих задач в значительной мере заключается в эффективном совместном расчете процессов, происходящих как в вязкой, так и в невязкой части потока.

Из экспериментальных исследований стационарного обтекания каверн отметим [58], [61], [62], из численных - [56] - [57], [53] - [55].

Выемки, взаимодействующие с потоком газа, при больших числах Рейнольдса внешнего потока могут генерировать интенсивные резонансные колебания давления. Частота, амплитуда и форма дискретных резонансных составляющих спектра пульсаций зависят от формы выемки и параметров набегающего потока.

Проведенные к настоящему времени многочисленные исследования, как экспериментальные и теоретические, так и численные, внесли определенный вклад в понимание особенностей возникновения и развития пульсаций течения в открытой выемке, обтекаемой сверхзвуковым потоком. Пульсации течения обычно обусловлены взаимодействием свободного сдвигового слоя, образующегося над выемкой, с внешним потоком, которое приводит к периодическому подводу и отводу массы к полости и из нее вблизи задней стенки выемки.

После того как удалось понять механизм колебаний, стало возможным избежать возникновения неустановившегося течения с опасными для конструкций колебаниями большой амплитуды. Для этого применяют скошенную заднюю кромку выемки или щиток вдоль ее передней или задней кромки.

Механизм возникновения пульсаций давления в выемке, обтекаемой сверхзвуковым турбулентным потоком исследовался как экспериментально [59] - [60], [63]—[69], так и численно [70]—[73], [79]. Для случая ламинарного обтекания выемки существенно меньше как экспериментальных [63], [64], так и расчетных [80] работ. Это связано со сложностью получения ламинарного пограничного слоя перед точкой отрыва в аэродинамических трубах. Ламинарное течение в выемке может быть реализовано, если размеры самой выемки будут небольшими (в [64] выемка имела размеры 3 мм глубины на 6 мм длины). Очевидно, что разместить измерительный датчик в слое смешения такой выемки практически невозможно (без искажения структуры самого потока).

Отметим, что механизмы генерации резонансных колебаний давления при ламинарном и турбулентном течении существенно отличаются.

Подробно физика возникновения пульсаций давления в открытых кавернах при ламинарном и турбулентном течении описана в начале § 2.1 главы 2 диссертации.

Численный метод, использованный автором, позволил воспроизвести механизм образования пульсаций давления при ламинарном обтекании выемки (см. рис.2.1.2, иллюстрирующий процесс образования отрывной зоны на передней кромке выемки).

В представленной диссертационной работе для сравнения результатов расчетов с данными экспериментальных исследований (по выемкам) автором использовался материал, предоставленный проф. А.Н.Антоновым [63], [64]. Эксперименты проводились в аэродинамических трубах и на аэробаллистической трассе. На аэробаллистической трассе в девяти точках траектории получали теневые фотографии поля течения около модели с экспозицией Ю-7 с, а в аэродинамических трубах - увеличенные

6 раз) теневые фотографии с экспозицией ~ Ю-0 с. В трубах измеряли пульсации давления с помощью миниатюрных микрофонов, а также вели скоростную киносъемку (250 — 500 тыс. кадр/с), которая позволяла определять скорость распространения возмущений с погрешностью ~ 15%, погрешность измерения уровней пульсаций давления составляла 2 — 3 дБ.

В работах [65, 66] выявлена нестационарная картина течения в окрестности выемки в основном с помощью теневых фотографий, выполненных с малой экспозицией ( 10~б с). Также метод теневых фотографий для выявления нестационарной структуры течения был использован в [63], [64] (как упомянуто выше) и в [69]. В работе [68] определены частоты дискретных составляющих в спектре давления трехмерной прямоугольной выемки.

В работах [63] - [64], [67] - [69], [71] были предложены эмпирические методы, позволяющие рассчитать частоты колебаний давления.

Согласно модели работы [67], при возникновении резонансных колебаний давления в выемке создается система с обратной связью. При этом сдвиговый слой рассматривался состоящим из последовательности вихрей, возникающей на передней кромке выемки. Вихри движутся по потоку с постоянной скоростью. При достижении задней стенки вихри создают акустические волны, при взаимодействии которых с передней стенкой генерируются новые вихри. Таким образом, происходит замыкание цепи обратной связи. Колебательный режим будет создаваться в том случае, если в системе с обратной связью происходит усиление возмущений, так как вследствие диссипации колебания будут затухать, если не будет их усиления. На основании этой модели находится эмпирическое соотношение, позволяющее рассчитать частоты колебаний течения в выемке.

С помощью эмпирических формул можно рассчитать частоты пульсаций давления, однако указанные эмпирические методики не дают возможности получить значения амплитуд колебаний и определить в каждый интересующий момент времени характеристики нестационарного поля течения. Полную картину течения можно установить только с использованием численного моделирования данной задачи.

В работе [70] был выполнен один из первых расчетов такого типа. Для моделирования дозвукового плоского обтекания выемки использовались уравнения Эйлера.

В работе [71] рассматривалось обтекание двумерной выемки сверхзвуковым потоком при Mqo = 1.5. Для численного решения использовались уравнения Навье-Стокса, замкнутые с помощью алгебраической модели турбулентности Себичи-Смита. Кроме того, был предложен простой линеаризованный метод расчета устойчивости сдвигового слоя.

В работе [72] представлен метод расчета неустановившегося сверхзвукового обтекания трехмерной выемки при числе Маха Мсо = 1.5 и при числе Рейнольдса Reh = 1.09 х 106. Проводилось численное интегрирование осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса. Влияние мелкомасштабной турбулентности учитывалось с помощью алгебраической модели Болдуина-Ломакса [74].

Численный расчет выявил колебательный характер течения в выемке. Рассчитанные значения частот гармонических составляющих колебаний давления удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Хотя рассчитанные амплитуды пульсаций давления в общем завышены по сравнению с измеренными, амплитуды гармоник согласуются друг с другом с точностью порядка 10 дБ.

В работе [73] был выполнен численный расчет для тех же параметров течения, что и [72], но для двумерного случая и с использованием к - е модели турбулентности. Результаты численного расчета (частоты и амплитуды гармоник колебаний давления, распределения среднего статического давления и суммарного уровня акустического давления) более близки к экспериментальным данным, чем в [72].

В работе [79] численно решаются уравнения Навье-Стокса в приближении тонкого слоя, замкнутые с помощью алгебраической модели турбулентной вязкости Болдуина-Ломакса [74].

В расчетах [71] - [73] достаточно точно получаются значения частот колебаний, среднего статического давления и суммарного уровня акустического давления. Однако во всех этих работах отмечается завышение амплитуд колебаний давления по сравнению с экспериментом. В упомянутых выше расчетных работах удается воспроизвести нестационарную картину течения для турбулентного режима течения. В [71] и [72] подчеркивалось, что если не использовать модель турбулентности, то есть моделировать ламинарный режим обтекания по тем же разностным алгоритмам, то колебаний в расчетах не возникает. Это означает, что в этих работах удалось рассмотреть только тот механизм возникновения пульсаций давления, который связан с мелкомасштабной турбулентностью набегающего потока. Пульсаций давления при ламинарном режиме течения в этом случае получить не удалось.

Кроме того, необходимо отметить, что указанные выше численные исследования были выполнены для сверхзвуковых течений, реализующихся при обтекании прямоугольных выемок. Влияние формы выемки на характеристики пульсаций давления не анализировалось.

Сравнение полученных расчетных значений в [72] и [73] показало, что пульса-ционное течение носит в основном двумерный характер, но вблизи боковых стенок чувствуется их влияние, и развивающееся вихревое течение является трехмерным.

Проблема применимости двумерной модели для расчета реальных газодинамических задач и, соответственно, упрощения численных расчетов представляется достаточно актуальной. В работе [62] рассматривается влияние трехмерности на стационарное отрывное течение в прямоугольной выемке. Установлен следующий эмпирический критерий применимости двумерной модели: при соотношении геометрических размеров выемки и толщины пограничного слоя

В/Ь)[Н/(Н + 8)] > 0.8-1.0 влияние боковых стенок становится незначительным и допустимо моделирование течения вблизи плоскости симметрии исследуемых выемок в 2-Б постановке (Ь - длина, В - ширина, Н - высота каверны, 6 - толщина пограничного слоя). В работе [62] также показано, что максимальное влияние трехмерность течения оказывает на теплообмен на дне выемки. Учитывая выводы [62], [63], [64], а также опыт проведенных работ по моделированию обтекания выемки [71] - [73], [53] - [55], можно сделать вывод о том, что допустимо использование двумерной модели, если требуется расчет скорости и давления, но при расчете теплообмена нельзя игнорировать влияние боковых стенок и необходима 3-Б постановка задачи.

Задача определения пульсаций давления в выемке имеет как самостоятельное значение (например, при определении акустических нагрузок на летательный аппарат, а также в задачах об аэроупругости), так и является важной при рассмотрении вопросов теплообмена.

Появление дискретных составляющих в спектре пульсаций может привести, как показывают экспериментальные данные [63], [64] к существенному изменению характеристик теплообмена при ламинарном характере течения в пограничном слое перед точкой отрыва. Здесь следует выделить следующие основные факторы, влияющие на изменение величины теплового потока:

1. При возникновении пульсаций давления в выемке происходит изменение структуры пограничного слоя - при определенных внешних условиях может осуществиться переход от ламинарного течения в пограничном слое к переходному течению. Это, как известно, приведет к усилению теплообмена в выемке, в особенности в районе точки присоединения.

2. Пульсации давления приводят к усилению теплообмена в градиентных течениях.

3. При возникновении достаточно мощных пульсаций давления может происходить срыв пограничного слоя в определенные моменты времени. Это приводит к уменьшению средней толщины пограничного слоя и, следовательно, к увеличению теплового потока.

При турбулентном характере течения в пограничном слое перед точкой отрыва, первые два фактора не влияют на характеристики теплообмена в выемке, однако, при определенных условиях, третий фактор может привести к усилению теплообмена у стенок выемки.

Другой пример возникновения нестационарного режима течения - это обтекание цилиндрических и конических тел с иглами. Для уменьшения лобового сопротивления и теплопередачи при больших скоростях набегающего потока на носовую часть некоторых современных летательных аппаратов устанавливаются иглы. Это приводит к образованию передней срывной зоны. Возникает довольно сложное по характеру отрывное течение, при этом в зависимости от геометрических размеров обтекаемого тела и параметров набегающего потока реализуются различные режимы обтекания: стационарный и нестационарный с механизмом колебаний различного типа. Для пульсационного режима обтекания необходимо определять амплитудно -частотные характеристики поля нестационарного течения, чтобы оценить пригодность конструкции с точки зрения прочности. Поскольку энергия колебаний почти полностью сосредоточена на одной частоте, зависящей от геометрии обтекаемого тела и параметров потока, очень важно знать, какой частоте соответствует этот максимум энергии.

Экспериментальному изучению обтекания тел с иглами посвящено достаточно много работ [63], [81] - [88]. В работах [81] - [84] были установлены границы области существования нестационарного режима и показано, что механизм возникающих пульсаций давления является расходным. Пульсации возникают вследствие нарушения баланса между количеством газа, поступающего в зону отрыва в месте присоединения потока, и количеством газа, покидающего ее.

В [81] дается объяснение механизма колебаний, основанное на теории течения идеальной жидкости. Когда набегающий на выступающую кромку тела поток может быть повернут в присоединенном коническом скачке уплотнения, осуществляется стационарный режим обтекания. Когда необходимый угол разворота потока больше, чем можно получить в присоединенном коническом скачке уплотнения, образуется сильный отошедший скачок уплотнения, который заставляет большую часть сдвигового слоя повернуть обратно в зону возвратного течения. В результате происходит увеличение области возвратного течения и возникает пульсирующий режим.

В работах [85] - [88] были получены данные по физической картине течения, пульсациям давления и конвективным тепловым потокам на поверхности тела при нестационарном обтекании конуса и иглы, установленных перед торцом цилиндра. На основании полученных данных делается вывод о существовании двух различных типов колебаний. Обнаружено, что при достаточно длинных иглах, установленных перед торцом цилиндра течение является стационарным. При уменьшении длины иглы до некоторого значения Ь (¿х < Ь < £0), возникает режим течения с пульсациями первого рода. Зона отрыва слабо изменяет свои размеры и имеет коническую форму. Пульсации отрывной зоны наблюдались на фотографиях по колебаниям скачка уплотнения, отходящего от зоны отрыва. Объем застойной зоны при этом меняется мало, ее граница становится то выпуклой, то вогнутой, положения точек отрыва и присоединения колеблются с небольшой амплитудой. При длине иглы Ь2 < Ь < Ьх наблюдается режим течения с пульсациями второго рода. Колебания этого типа обусловлены нестационарным взаимодействием внутренней ударной волны с отрывной областью, образующейся на игле. В течение одного периода колебаний отрывная область возникает, увеличивается и затем вновь изчезает, Этот процесс сопровождается движением головной и внутренней ударных волн, а также колебаниями давления и других параметров на теле с амплитудой, достигающей максимальных значений этих величин в точке торможения. Если же длина иглы становится меньше отхода ударной волны от тела, отрывная зона исчезает и пульсации не образуются. В ряде работ были развиты также эмпирические методики оценки частот и чисел Струхаля для данного вида течений (см. например [89]).

Численному исследованию обтекания затупленных тел с выступающей вперед иглой посвящено значительно меньшее число работ. В работах [90] - [92] на основе полных уравнений Навье-Стокса моделировалось обтекание тела с иглой при различных параметрах набегающего потока, однако во всех данных расчетах наблюдался стационарный режим обтекания (даже при параметрах течения, для которых экспериментально наблюдался колебательный режим [91], [92]). Нестационарный режим обтекания удалось моделировать в работах [93] - [95]. В [93] расчеты проводились в рамках модели идеального газа, при специальном выходе с начальных условий на изучаемый режим. В [94] приведены результаты расчета колебательного режима первого рода. Подход, использованный в [95], позволил провести расчеты в окрестности тела с иглой для нестационарного случая, причем в работе приведены результаты как для режима колебаний первого рода, так и для более сложного для моделирования и не встречавшегося до этого в расчетах режима колебаний второго рода.

При обтекании полых тел, также как и при обтекании тел с иглами, при определенных условиях возникают пульсационные режимы. Экспериментальные исследования обтекания полых тел были проведены в [96] - [98]. Численное моделирование нестационарных течений в окрестности полых тел проводилось в [99] - [102]. В [99], [100] для выхода на пульсационный режим течения использовалось задание неоднородного набегающего потока. Если же входной поток был однородным, то колебания с течением времени затухали и устанавливалась стационарная картина течения. В работах [101], [102] численно получен незатухающий режим при обтекании вогнутого тела [101] и полого цилиндра [102] однородным сверхзвуковым входным потоком. Полученные в расчетах [102] данные по числу Струхаля и среднему отходу ударной волны оказались близкими к экспериментальным данным [96].

Отметим что в работах [95] и [102] для моделирования колебательных режимов использовались кинетически-согласованные разностные схемы (КСРС). Автор считает представленную работу по численному моделированию нестационарного обтекания тел с выступающими носовыми частями (§ 2.2 диссертации) логическим продолжением работ [24], [25], [95] и [102], так как КСРС являлись основным численным методом в расчетах, представленных в диссертационной работе.

Кинетически-согласованные разностные схемы, полученные в 1983 году [7], [8], в дальнейшем стали эффективным инструментом решения задач газовой динамики [9]-[16]. Их главное отличие от остальных алгоритмов заключается в следующем. Обычно при численном решении уравнений Эйлера и Навье-Стокса забывают, что сами эти уравнения являются следствием более полного уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения. В свою очередь КСРС получаются путем осреднения по скоростям молекул £ с сумматорными инвариантами 1, £2/2 дискретных моделей для одночастичной функции распределения.

Традиционные методы можно представить в виде цепочки: кинетическое уравнение Больцмана - осреднение уравнения Больцмана с сумматорными инвариантами (получение уравнений газовой динамики) - дискретизация уравнений газовой динамики. КСРС строятся на основе следующей последовательности: уравнение Больцмана - дискретная модель для функции распределения - осреднение дискретной модели с сумматорными инвариантами и получение КСРС. Таким образом, по сравнению с традиционными алгоритмами, в КСРС меняется порядок процедуры осреднения и дискретизации в цепочке, стартующей с уравнения Больцмана.

Связь уравнений газовой динамики с уравнением Больцмана хорошо известна. Поэтому попытки улучшить качество вычислительных алгоритмов газовой динамики, обращаясь непосредственно к кинетическим моделям осуществлялись и ранее 1. Например, в работе [17], на основе дискретной модели для функции распределения была построена разностная схема решения задач газовой динамики в лагранжевой системе координат. В работе [18] строилась схема достаточно близко примыкающая к алгоритму, описанному в [7], однако диссипативные члены в этом алгоритме в явном виде выражены не были. В работе [19] газодинамические параметры непосредственно определялись после решения уравнения Больцмана по конечно-разностной схеме. Получаемые на основе упомянутых выше подходов данные расчетов с одной стороны показывали их принципиальную применимость для нахождения газодинамических параметров, что, учитывая связь уравнений газовой динамики и уравнения Больцмана неудивительно, а с другой стороны качество расчетов, с учетом вычислительных затрат, уступало существующим на начало 80-х годов традиционным методам решения задач о течении идеалвного газа. В то же время, полученный в работах [7], [8], может быть по случайному стечению обстоятельств, алгоритм сразу же показал свою конкурентоспособность с традиционными подходами и вызвал серию дальнейших публикаций [9]-[16].

Следует отметить, что аналогичные схемы были получены в 1986 году в работе [20] и тоже послужили основой дальнейших исследований, касающихся моделирования течений невязкого газа, подробно описанных в обзоре [22].

Известны неоднократно предпринимаемые попытки получить описание поведения

1 Здесь идет речь о моделировании течений плотных газов. Для разреженных газов непосредственное использование кинетических моделей является традиционным. вязкого газа уравнениями, отличными от традиционных уравнений Навье-Стокса. Наиболее интересными с этой точки зрения представляются работы [5], [44], [45].

Следующим этапом в исследовании кинетически-согласованных разностных схем стало их использование для моделирования течений вязкого сжимаемого газа, бурно развивающейся и наиболее трудной для численного решения области газовой динамики [12], [23]-[26]. Правомерность использования КСРС для расчетов таких течений в значительной мере опиралась на интуитивные соображения, а также сравнения с экспериментальными данными и результатами расчетов по уравнениям Навье- Сток-са.

В последнее время на основе использования КСРС были получены результаты моделирования нестационарных течений вязкого сжимаемого газа [95], [102], [53], [30]-[33], [107]-[109], [113]-[115], течений умеренно разреженных газов [34]-[37], задач аэроупругости и аэроакустики [38]-[39]. Большинство расчетов было проведено на высокопроизводительных многопроцессорных ЭВМ, к архитектуре которых КСРС хорошо приспособлены.

Следует отметить, что расчеты нестационарных течений требуют детального пространственно-временного описания газодинамических полей, что в свою очередь приводит к большому объему вычислений. Рост производительности современных ЭВМ, в частности многопроцессорных вычислительных систем, в принципе, позволяет проводить такие расчеты не ограничиваясь случаем двумерного течения и применяя полную систему уравнений Навье-Стокса. Однако, хорошо известны трудности адаптации традиционных (последовательных) алгоритмов для решения уравнений математической физики к архитектуре многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью. Поэтому представляется чрезвычайно актуальной разработка параллельных численных алгоритмов и параллельных программ для реализации на многопроцессорных вычислительных системах.

Ниже излагается краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе приводятся результаты численного моделирования вязкого отрывного течения газа в трехмерных кавернах различных конфигураций. Рассматриваются стационарные течения, а также режимы при которых возникают нестационарные течения с пульсациями давления внутри каверны. В качестве вычислительного инструмента были выбраны многопроцессорные ЭВМ с распределенной памятью.

В § 1.1 дано краткое описание кинетически-согласованных разностных схем (КСРС), которые являлись основным численным алгоритмом для моделирования задач, приведенных в диссертационной работе.

В § 1.2 рассмотрены вопросы параллельной реализации вычислительного алгоритма на многопроцессорной вычислительной системе. Исследована реализация явных разностных схем на параллельной вычислительной системе. Рассмотрены особенности геометрического принципа распараллеливания для двумерных и трехмерных задач, для различных разностных шаблонов. Предложены варианты уменьшения простоя процессоров, а следовательно увеличения эффективности распараллеливания для расчетных задач, рассмотренных в данной главе.

В § 1.3 приводятся результаты численного моделирования стационарного сверхзвукового ламинарного обтекания вязким газом трехмерных каверн различных конфигураций (прямоугольной и Т-образной). Проведены сравнительные расчеты обтекания данных выемок для двух различных постановок температурных граничных условий (адиабатические или излучающие стенки каверны)

В § 1.4 представлены результаты численного моделирования нестационарного отрывного течения в прямоугольной трехмерной выемке, которая обтекалась сверхзвуковым ламинарным потоком вязкого теплопроводного газа. Исследованы условия при которых в выемке возникают резонансные колебания, характеризующиеся наличием в спектре частот пульсаций давления дискретных составляющих. Рассматривалось влияние числа Маха Мсо внешнего потока и геометрических размеров трехмерной выемки (длины I и ширины w) на амплитуды и частоты пульсаций давления, возникающих в каверне. Результаты 3-D численного эксперимента (среднее статическое давление, амплитудно-частотные спектры акустического давления) сравнивались с экспериментальными данными и с результатами 2-D расчета.

Во второй главе продолжено исследование и приведены результаты численного моделирования ряда нестационарных задач внешнего обтекания с образованием отрывных зон.

Численно исследуется в основном шум, возбуждаемый свободными пограничными слоями, образующимися в области отрывных течений. Рассматриваются нестационарные отрывные зоны, которые характеризуются тем, что в спектре пульсаций давления присутствуют дискретные составляющие. Таким образом, из многообразия задач, связанных с рассмотрением аэродинамических шумов, выделяется направление, связанное с генерацией пульсаций давления крупномасштабными вихревыми структурами.

Численно моделируются два основных механизма образования пульсаций давления в отрывных течениях:

- возникновение пульсаций давления при установлении обратной связи между источником колебаний и местом образования крупномасштабных вихрей; - расходный механизм образования пульсаций давления (при наличии передней срыв-ной зоны на лобовой части летательных аппаратов).

Характерным примером нестационарного отрывного течения, возникающего при установлении обратной связи, является обтекание выемки сверхзвуковым потоком. Возникающие при таком течении интенсивные пульсации давления в слое смешения вызывают нестационарные колебания во внешнем потоке.

Расходный механизм реализуется, например, при сверхзвуковом обтекании цилиндра с установленной перед ним иглой. Оси потока, цилиндра и иглы при этом должны совпадать. Процесс пульсаций давления при таком обтекании сводится к последовательному образованию, сильному увеличению и разрушению отрывной зоны, образующейся на игле перед торцом цилиндра.

В § 2.1 представлены результаты численных расчетов пульсационных течений в окрестности выемок различной формы в 2-D и r-z геометрии. Проведено подробное сравнение расчетных чисел Струхаля и амплитуд пульсаций давления в выемке с экспериментальными данными. Исследовано влияние угла наклона задней стенки выемки на характер течения. Рассмотрено влияние установки щитка на задней стенке выемки и высоты этой стенки на развитие колебательного режима.

В § 2.2 представлены результаты численного моделирования обтекания цилиндрических тел различной формы с установленными на них иглами. Для случая обтекания полого цилиндра с иглой было проведено исследование влияния чисел Маха и длины выступающей части иглы на уровень главной дискретной составляющей колебаний, а также на числа Струхаля. Было также проведено исследование влияния щитка, установленного под углом к оси иглы на характер обтекания.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты диссертации докладывались: на международной конференции "Parallel Computer Technologies", (г. Новосибирск, сентябрь 1991), на Всероссийских конференциях "Транспьютерные системы и их применение" Российской Транспьютерной Ассоциации (г.Домодедово, 1993-94 г.г.), на III Минском международном форуме по тепломассообмену (г. Минск, май 1996 г.), на 5-ом Российско-Японском Симпозиуме по вычислительной газовой динамике (г. Новосибирск, июнь 1996 г.), на научно-исследовательских семинарах Российско-Французского Центра им. A.M. Ляпунова в МГУ (1995-97 г.г.), на научно-исследовательском семинаре ИММ РАН и кафедры математического моделирования МФТИ под руководством проф. Е.И. Jle-ванова в Институте Математического Моделирования РАН. По материалам диссертации имеется 14 публикаций.

Автор выражает глубокую признательность профессору, д.ф.-м.н. Б.Н. Четве-рушкину и к.ф.-м.н. И.А. Граур, осуществлявшим научное руководство работой, также благодарит профессора, д.ф.-м.н. Т.Г. Елизарову за советы и замечания в процессе работы над диссертацией, профессора, д.т.н. А.Н. Антонова за консультации и предоставленный экспериментальный материал, а также к.ф.-м.н. М.А. Антонова, к.ф.-м.н. Е.В. Шильникова и И.В. Абалакина, с которыми автора связывает тесное творческое сотрудничество.

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Разработан алгоритм эффективного распараллеливания 3-Б задач на регулярной структуре массивной параллельной вычислительной системы типа двумерной решетки и тора.

2. Проведено численное моделирование на многопроцессорной вычислительной системе стационарного обтекания З-Б каверн сложных конфигураций сверхзвуковым потоком вязкого газа и нестационарного течения в З-Б прямоугольной каверне. Рассмотрено влияние трехмерности на характеристики пульсаций давления.

3. Проведено численное исследование пульсационных течений в окрестности выемок различной формы в 2-В и г-ъ геометрии. Рассмотрено влияние угла наклона задней стенки выемки, изменения высоты задней стенки и установки щитка на задней стенке выемки на характер течения в каверне.

4. Проведено численное моделирование обтекания цилиндрических тел различной формы с установленными на них иглами. В расчетах удалось получить нестационарный режим обтекания 2-ого рода. Исследовано влияние щитка, установленного под углом к оси иглы, на характер обтекания.

1. М.Н. Коган. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.

2. Г. Шлихтинг. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 712 с.

3. A.A. Самарский. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977, 653с.

4. A.A. Власов. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966.

5. К).Л. Климонтович. Статистическая теория открытых систем. М.: Янус, 1995.

6. O.A. Ладыженская. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Современные проблемы математики. М.: Физматгиз, 1961.

7. М.И. Волчинская, А.Н. Павлов, Б.Н. Четверушкин. Об одной схеме интегрирования уравнений газовой динамики.// Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, 1983, N 113, 21 с.

8. Т.Г. Елизарова, А.Н. Павлов. Б.Н. Четверушкин. Использование кинетической модели для вывода уравнений, описывающих газодинамические течения.// Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, 1983, N 144, 12с.

9. Т.Г. Елизарова. Б.Н. Четверушкин. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений.// Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша N 165, 1984.

10. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений.// ДАН СССР, 1984, т.279, N 1, с. 80-83.

11. Т.Г. Елизарова, А.Н. Павлов, Б.Н. Чет,верушкин. Применение кинетического алгоритма для расчета газодинамических течений.// Дифференциальные уравнения, 1985, т. 21, N 7, с. 1179-1185.

12. И.А. Граур. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Использование кинетических алгоритмов для расчета газодинамических задач, моделирующих вязкие течения.// Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша N 85, 1985.

13. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Кинетический алгоритм для расчета газодинамических течений.// Журнал вычислительной математики и математической физики, т.25, N 10, 1985, с.1526-1533.

14. Т.Г. Елизарова. Б.Н. Четверушкин. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений.// В кн. "Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах". М.: Наука, 1986, с.261-278.

15. Б.Н. Четверушкин. Н.Г. Чурбанова. Консервативные кинетические схемы для решения задач газовой динамики.// Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша N 78, 1986.

16. И.А. Траур, Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Моделирование сложных газодинамических течений на основе кинетических алгоритмов.// Дифференциальные уравнения, т.22, N 7, 1986, с.1165-1173.

17. В.В. Поткин. Кинетический анализ разностных схем для газовой динамики.// Журнал вычислительной математики и математической физики, т. 15, N 6, 1975, с.1492-1498.

18. D.I. Pullin. Direct simulation methods for compressible gas flow.// Journal of Сотр. Physics, v.34, 1980, pp.231-244.

19. R.D. Reitz. One-dimensional compressible gasdynamic calculations using the Boltzman equation.// Journal of Сотр. Physics, v.42, N 1, 1981, pp.103-105.

20. S.M. Deshpande. On the maxwellian distribution symmetric form and entropy conservation for Euler equations.// NASA Technical Paper 2583, 1986.

21. S.M. Deshpande. Kinetic theory based new upwind methods for inviscid compressible flow.// AIAA Paper N 86-0275, 1986.

22. S.M. Deshpande. Kinetic flux spliting schemes.// Сотр. dynamic review, Wiley, Chichester, 1995, pp.161-181.

23. И.А. Граур, Л.В. Дородницын, Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Кинетически-согласованные схемы газовой динамики с неполной коррекцией. //Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша N 5, 1987.

24. Т.Г. Елизарова. А.Н. Павлов, Б.Н. Четверушкин. Расчет обтекания тела с иглой на основе кинетически-согласованных разностных схем.// Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша N 113, 1986.

25. Т.Е. Елизарова. А.Н. Павлов. Б.Н. Четверушкин. Использование квазигидродинамической системы уравнений для расчета обтекания тела с иглой.// ДАН СССР, т.292, N 2, 1987, с.327-331.

26. Т.Г. Елизарова. Б.Н. Четверушкин. Кинетически-согласованные разностные схемы для моделирования течений вязкого теплопроводного газа.// Журнал вычислительной математики и математической физики, т.28, N 11, 1988, с.1695-1710.

27. B.N. Chetverushkin. T.G. Elizarova. Using kinetical-consistent finite difference schemes for calculation gas-dynamic separation flows.// I International symposium on experimantal and computational aerodynamics, ISAIF, Beijind, China, 1990, pp.6776.

28. И.А. Браур, Б.Н. Четверушкин. Численное моделирование турбулентного обтекания прямой ступеньки.// Математическое моделирование, т.2, N 11, 1990, с.32-44.

29. B.N. Chetverushkin. Solution of gas dynamic problems on massively parallel computer systems.// Proceedings of 2-nd European Сотр. Fluid Dynamic Conf. Studgard, Wiley, 1994.

30. B.N. Chetverushkin. Kinetically consistent finite difference schemes and simulation of unsteady flows.// Computational Fluid Dynamics 96, Proceedings of III ECCOMAS, Paris, Wiley, 1996.

31. B.N. Chetverushkin. A. Eerviex. Simulation of gas dynamic problems, Applied math, and computer science. // INRIA, French-Russian A.M. Liap uiiov Institute, 1997, pp.l-9.

32. И.В. Абалакин, Б.Н. Чегпверушкин. Применение кинетически-согласованных разностных схем для моделирования течений умеренно разреженных газов.// Математическое моделирование, т.4, N 11, 1992, с.91-105.

33. И.В. Абалакин, Б.Н. Чегпверушкин. Применение кинетически-согласованных разностных схем как модели для описания течений умеренно разреженных газов.// Математическое моделирование, т.5, N 5, 1993, с.19-35.

34. I.V. Abalakin, B.N. Chetverushkin. Using kinetically consistent finite difference schemes for the prediction of moderately rarefied gas flows.// Proceedings of 2-nd European Сотр. Fluid Dynamic Conf., Studgard, Wiley-Addison, 1994, pp.61-70.

35. T.G. Elizarova, I.A. Graur, J.-C. Lengrand, A. Chpoun. Rarefied gas flow simulation based on quasigasdynamic equations.// AIAA, 1995, v.33, N 12, pp.2316-2324.

36. A.N. Antonov, A.V. Alecsandrov, Т.К. Kozubskaya. Simulation of acoustic wave propagation within unsteady viscous compressible flows on parallel distributed computer memory systems.// Parallel CFD 97, Preprint, Manchester, 1997.

37. И.В. Абалакин, Б.Н. Четверушкин. О расширении возможности газодинамического описания с помощью кинетически-согласованных разностных схем.// Математическое моделирование, т.6, N 7, 1994, с.3-14.

38. А.В. Лукшин, Б.Н. Четверушкин. К теории кинетически-согласованных разностных схем.// Математическое моделирование, т.7, N 11, 1995, с.109-125.

39. И.В. Абалакин, Б.Н. Четверушкин. Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений.// Математическое моделирование, т.8, N 8, 1996, с.17-36.

40. Ю.В. Шеретов. Квазигазодинамические уравнения как модель течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды.// В сб. "Применение функционального анализа в теории приближений", Тверь, 1997.

41. Ю.Л. Климонтович. О необходимости и возможности единого описания кинетических и гидродинамических процессов.// Теоретическая математика и физика, т.92, N 2, 1992, с.312-330.

42. Б.В. Алексеев, В.В. Полев. Расчет структуры ударной волны о помощью уравнений газовой динамики высокой точности.// Механика и электродинамика, Ин-т механики МГУ, 1990, с.37-43.

43. И.В. Абалакин, А.В. Жохова, Б.Н. Четверушкин. Кинетически- согласованные разностные схемы на нерегулярных сетках.// Математическое моделирование, т.9, N 7, 1997, с.44-53.

44. B.C. Владимиров. Математическая теория односкоростного переноса нейтронов.// Труды математического института АН СССР, 1961.

45. Л.В. Дородницын. Б.Н. Четверушкин. Об одной неявной схеме для моделирования дозвукового течения газа.// Математическое моделирование, т.9, N 5, 1997, с.108-119.

46. P. Тетат. Navier-Stokes equations.// Theory and numerical analysis, Amsterdam, North-Holland Publishing Company, 1974.

47. И.В. Абалакин. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Неявные кинетически-согласованные схемы для расчета стационарных задач газовой динамики. Препринт Всесоюзного Центра Математического Моделирования РАН, 1990, N 36.

48. А.Е. Дуйсекулов. Т.Г. Елизарова. Использование многопроцессорных вычислительных систем для реализации кинетически-согласованных схем газовой динамики./ / Математическое моделирование, т.2, N 7, 1990, с. 139-147.

49. Л.Ю. Бирюкова. Б.Н. Четверушкин. О возможности реализации квазигидродинамической модели полупроводниковой плазмы на многопроцессорных вычислительных системах.// Математическое моделирование, т.З, N 6, 1991, с.61-71.

50. И.А. Траур, Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Численное моделирование обтекания каверн сверхзвуковым потоком вязкого сжимаемого газа.// Инженерно-физический Журнал, т.61, N4, 1991, с. 570-577.

51. M.А. Антонов. И.А. Граур, Т.Г. Елизарова. Численное исследование сверхзвукового ламинарного обтекания выемок различной формы.// Препринт ВЦММ РАН, 1992, N 21, 22с.

52. М.А. Антонов. И.А. Граур. Исследование турбулентного отрывного обтекания выемки.// Математическое моделирование, т.5, N 5, 1993, с.92-105.

53. Д. Брандейс. Отрывное течение в выемке обтекаемой сдвиговым потоком.// Аэрокосмическая техника, 1983, т.1, N 2, с.45-53.

54. W.L. Hankey, J.S. Shang. Numerical solution supersonic turbulent flow over a compression ramp. // AIAA J., Vol.13, N 6, 1975, pp.1368-1374.

55. M. Хан. Экспериментальное исследование отрывного течения в выемке, обтекаемой гиперзвуковым потоком.// РТК, 1969, т.7, N 6, с.22-31.

56. В. Саройя. Экспериментальное исследование пульсаций, возникающих при обтекании мелких выемок.// РТК, 1977, т.5, N 7, с.109-120.

57. M. Samimy, H.L. Pétrit, A.L. Addy. A shidy of compressible turbulent reattaching shear layers. // AIAA Paper 85-1646, 1985 (AIAA Journal, 1986, N 2).

58. A.F. Charwat, J.N. Roos, F.C. Dewey, J.A. Hitz. An investigation of separated flows Part 1. The Pressure Field. // Journal of Aeronautic Sciences, Vol.28, N6, 1961, pp.513-527.

59. A.H. Батов, К.И. Медведев. Экспериментальное исследование характеристик течения и теплообмена в двумерных и трехмерных выемках. //В сб. НИИТП: Общие вопросы ракетного двигателестроения, 1992, с. 117-128.

60. А.Н. Ант,оное, В.М. Купцов, В.В. Комаров. Пульсации давления при струйных и отрывных течениях. М.: Машиностроение, 1990, 271 с.

61. А.Н. Антонов, А.Н. Вишняков, С.П. Шалаев. Экспериментальное исследование пульсаций давления в выемке, обтекаемой дозвуковым или сверхзвуковым потоком газа.// Журнал прикладной механики и технической физики, СО АН СССР, N2, 1981, с. 89-98.

62. М.Г. Морозов. Акустическое излучение полостей, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа.// Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, N2, 1960.

63. М.Г. Мо-розов. Самовозбуждение колебаний при сверхзвуковых отрывных течениях.// Инженерно-физический Журнал, т.27, N5, 1974.

64. J.E. Rossiter. Wind-tunnel experiment on the flow over rectangular cavities at subsonic and transonic speeds.// British Aeronautical Research Council, London, England, R&M No.3438, Oct.1964.

65. H.H. Heller, D.B. Bliss. The physical mechanism of flow-induced pressure fluctuations in cavities and concepts for their suppression.// AIAA Paper 75-491, March 1975.

66. R.L. Clark, L.G. Kaufman, A. Macinlaitis. Aero-acoustic measurements for Mach 0.6 to 3.0 flows past rectangular cavities.// AIAA Paper, 80-0036, Jan.1980.

67. C.J. Borland,. Numerical prediction of the unsteady flowfield in an open cavity.// AIAA Paper 77-673, 1977.

68. W.L. Hankey, J.S. Shang. Analyses of pressure oscillations in an open cavity.// AIAA J., Vol.18, N8, 1980, pp.892-898.

69. Д. Ризетта. Численный расчет сверхзвукового обтекания трехмерной выемки.// Аэрокосмическая техника, 1989, N7, с.55-64.

70. S.H. Shih, A. Hamed and J.J. Yeuan. Unsteady supersonic cavity flow simulations using coupled к £ and Navier-Stokes equations.// AIAA J., Vol.32, N10, 1994, pp.2015-2021.

71. B.S. Baldwin. H. Lomax. Thin layer approximation and algebraic for separated turbulent flows.// AIAA Paper 78-257, Jan. 1978.

72. С.И. Ткаченко. Неотражающие граничные условия в расчетах дозвуковых течений с токовым слоем.// Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, 1987, N160.

73. В.Н. Гаврилюк, Б.П. Герасимов, С.А. Семушин. Об одной постановке дозвуковых граничных условий для расчета стационарных двумерных течений сжимаемого газа.// Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, 1987, N31.

74. G. W. Hedstrorn. Nonreflecting boundary conditions for nonlinear hyperbolic systems.// J. of Сотр. Phys. v.30, N2, 1979, pp. 222-237.

75. D.H. Rudy. J. С. Strikwerda. A nonreflecting outflow boundary condition for subsonic Navier-Stokes calculations.// J. of Сотр. Phys. v.36, N1, 1980, pp. 55-71.

76. C.J. Tarn, P.D. Orkwis. P.J.Disimile. Algebraic turbulence model simulations of supersonic open-cavity flow physics.// AIAA J., Vol.34, N11, 1996, pp.2255-2260.

77. S. Kuchi-ishi, M. Nishida. Numerical study of a supersonic cavity flow.// 21st Int.Symp. on Shock Waves, Australia, Jule 20-25, 1997.

78. D.J. Maull. Hupersonic flow over axially symmetric spiked bodies.// Journal of Fluid

79. Mechanics, v.8, part 4, Aug. 1960, pp. 584-594.

80. C.J. Wood. Hypersonic flow over spiked cones.// Jour, of Fluid Mech., 1962, v.12, p.4.

81. W.A. Mair. Experiments on separation of boundary layers on probes in front of blunt-nosed bodies in a supersonic air stream.// Philos. Mag., 1952, v.43, N 342.

82. B.C. Авдуевский, В.К. Грецов. К.И. Медведев. Устойчивость течений с передними срывными зонами.// Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, N 1.

83. А.Н. Антонов. В.К. Грецов. Исследование нестационарного отрывного обтекания тел сверхзвуковым потоком.// Известия Академии Наук СССР, Механика Жидкости и Газа, 1974, N 4, с.93-99.

84. А.Н. Антонов. В.К. Грецов, С.П. Шалаев. Нестационарное сверхзвуковое обтекание тел с установленной впереди иглой.// Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, N 5, с.118-124.

85. А.Н. Антонов, В.К. Грецов. Экспериментальное исследование характеристик нестационарных отрывных зон, возникающих в сверхзвуковом потоке на игле со щитком.// Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, N 4, с.98-104.

86. В.И. Мышенков. Численное исследование отрывного течения перед цилиндром с иглой.// Известия АН СССР, МЖГ, 1981, N 6, с.162-166.

87. В.М. Пасконов, H.A. Черанева Численное исследование отрывных ламинарных течений вязкого газа при сверхзвуковом обтекании тел с передними иглами.// Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, N 2, с. 126-131.

88. Ю.М. Давыдов. Г.П. Коробицын, В.Г. Постников. Обтекание затупленных тел с иглами и кавернами.// Инженерно-физический Журнал, 1979, т. 37, N 4, с. 712-716.

89. W.L. Hankey, J.S. Shang, R.E. Smith. Flow oscillations of spike tipped bodies.// AIAA Paper, N 62, 1980, pp.9-21.

90. A.B. Забродин. В.А. Черкашин. Расчет сверхзвукового обтекания тел с выступающей иглой.// Препринт ИПМ АН СССР, 1980, N 73, 44 с.

91. А.Н. Антонов. Т.Г. Елизарова. А.Н. Павлов. Б.Н. Четверушкин. Математическое моделирование колебательных режимов при обтекании тела с иглой, Математическое моделирование, 1989, т.1, N 1, с.13-23.

92. А.Н. Антонов, С.П. Шалаев. Экспериментальное исследование нестационарного течения в полостях, обтекаемых сверхзвуковым потоком, Изв. АН СССР, МЖГ, 1979, N 5, с. 180-183.

93. M. Shigemi, H. Коуата, Y. Aihara. A note on the oscillating shock wave. Some experiments with a resonance tube, Trans. Japan Soc. Aero- Space Sei. 1976, v. 19, N 44, pp. 70-80.

94. Ю.Б. Елисеев, А.Я. Черкез. Об эффекте повышения температуры торможения при обтекании газом глубоких полостей, Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, N 3, с. 8-18.

95. Я.А. Ваграменко, В.Н. Ляхов, В.М. Устинов. Пульсирующий режим при нате-кании стационарного неоднородного потока на преграду, Изв. АН СССР, МЖГ, 1979, N 5, с.64-71.

96. В.Т. Гринъ. Н.Н. Славлнов, Н.И. Тилляева. Об устойчивости обтекания цилиндрических каналов и полостей сверхзвуковым потоком идеального газа с головной ударной волной, Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, N 4, с. 114-121.

97. Р.А. Бастианон. Нестационарное решение для поля течения около вогнутых тел, Ракетная техника и космонавтика, 1969, т. 7, N 3, с. 178-180.

98. А.Н. Антонов. Т.Г. Елизарова, Ю.В. Шеретов, Б.Н. Четверушкин. Численное моделирование пульсационных режимов при сверхзвуковом обтекании полого цилиндра, Инженерно-физический Журнал, 1990, т.30, N 4, с.548-556.

99. А.Е. Дуйсекулов, Т.Г. Елизарова, Л.В. Косарев, Т.А. Семенова. Об одном примере реализации разностной схемы на параллельной вычислительной системе.// Препринт ВЦММ АН СССР, 1991, N 6, 22с.

100. А.Е. Дуйсекулов, Т.Е. Елизарова, Л.В. Косарев. Программный комплекс для реализации задач газовой динамики на транспьютерных системах.// Материалы семинара "Вычислительные системы на базе транспьютеров и параллельные вычисления", Москва, 1992, с.69-78.

101. Т.Г. Елизарова, Л.В. Косарев. Численное моделирование трехмерных течений вязкого газа на параллельной вычислительной системе.// Тезисы конференций "Транспьютерные системы и их применение" Российской Транспьютерной Ассоциации, Домодедово, 1993, 1994.

102. И.А. Граур, Т.Е. Елизарова, Л.В. Косарев, Б.Н. Четверухикин. Численное моделирование тепломассообмена в трехмерных кавернах.// Математическое моделирование, т.6, N5, 1994, с.37-54.

103. М.А. Антонов, И.А. Траур, Л.В. Косарев, Б.Н. Четверушкин. Численное моделирование пульсационного режима обтекания выемки.// Математическое моделирование, т.7, N11, 1995, с.3-15.

104. М.А. Антонов, И.А. Траур. JJ.B. Косарев, Б.Н. Четверушкин. Численное моделирование пульсаций давления в трехмерных выемках.// Математическое моделирование, т.8, N5, 1996, с.76-90.

105. М.А. Антонов, И.А. Граур, J1.B. Косарев, Б.Н. Четверушкин. Численное моделирование тепломассообмена в трехмерных кавернах.// Материалы III Минского международного форума по тепломассообмену, Минск, 20-24 мая 1996г., т.IX, ч.2, с.18-25.

106. A.H. Антонов. И.А. Граур, Л.В. Коса/рев. Б.Н. Четверушкин. Численное исследование нестационарных течений в окрестности выемок различной формы.// Сборник научных трудов Военно-Воздушной Академии им. Жуковского, 1997.

107. МГТУ "СТАНКИН" ИММ РАН, Москва, 1998, с.4-36.

108. А.Н. Антонов, М.А. Антонов, И.А. Граур, Л.В. Косарев, Б.Н. Четверушкин. Численное исследование нестационарного обтекания тел с выступающими носовыми частями.// Математическое моделирование, 1998, т.10, N 11, с.37-46.