автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение квазигидродинамических уравнений для математического моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости

и

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ Кафедра вычислительных методов

На правах рукописи

Жерякоа Андрей Валерьевич

ПРИМЕНЕНИЕ КВАЗИГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

05.13.18 - "Математические моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

1 5 ОПТ 7лпп

Москва, 2009

003479864

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов фахультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

старший научный сотрудник кандидат физико-математических наук Калачинская Ирина Станиславовна

Официальные оппонгкты:

доктор физико-математических наук профессор

Попов Виктор Юрьевич

старший научный сотрудник кандидат физико-математических наук Чурбанов Александр Георгиевич

Ведущая организация:

Институт Математического Моделирования РАН

Защита состоится «I! » 2009 г. в ' ^ часов минут на заседании

диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет ВМК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «_»__2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.43, доктор физико-математических наук, профессор

/О

Захаров Е.В.

Общая характеристика работы

Актуальность

Математическое моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости является актуальной задачей вычислительной гидродинамики. Численные алгоритмы для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости к настоящему времени широко развиты и реализованы в виде программных комплексов, как научного, так и коммерческого применения. Однако совершенствование численных методик нельзя считать завершенным, подтверждением чему служит неубывающее число журнальных публикаций и конференций по соответствующей тематихе. В частности, на современном этапе развития численных алгоритмов моделирования течений жидкости представляют трудности расчеты сильно нестационарных течений, течений, в который колебательный режим возникает спонтанно при изменении внешних параметров, течений под воздействием внешних сил (например, электромагнитного поля) и течений в областях со сложной геометрией.

Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов расчета вязких течений является использование квазигидродинамических (КГД) уравнений [1-4], отличающихся от уравнений Навье-Стокса дополнительными слагаемыми дивергентного вида с малым параметром в качестве коэффициента. При построении разностных схем, аппроксимирующих данную систему уравнений, эти дополнительные слагаемые проявляют себя как эффективные регуляризаторы, обеспечивая устойчивость численных алгоритмов. Тем самым КГД система может рассматриваться как система уравнений Навье-Стокса с регуляризатором специального вида. Ранее на ряде примеров было показано, что применение КГД уравнений открывает широкие возможности для построения новых эффективных численных методов для расчета нестационарных течений жидкости в переменных «скорость - давление».

Цель работы

Основные цели работы состоят в построении численных алгоритмов для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости, основанных на использовании КГД уравнений, а именно:

• Создание численного алгоритма расчета нестационарных течений полупроводниковых расплавов под действием внешнего электромагнитного поля.

• Обобщение численного алгоритма на неструктурированные треугольные сетки для моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости в областях со сложной геометрией.

• Создание соответствующего комплекса программ, реализующих данные алгоритмы, и апробация данного комплекса на тестовых задачах как стационарного, так и нестационарного типа.

• Использование построенного метода для численного моделирования течения воды в гидротехнических сооружениях (отстойниках).

Научная новизна работы

На основе предложенной ранее квазигидродинамической системы уравнений разработан новый алгоритм для численного моделирования нестационарных течений электропроводной жидкости под действием внешнего электромагнитного поля для двумерных расчетных областей в цилиндрической и декартовой системах координат.

Построены аппроксимации квазигидродинамических уравнений на неструктурированных треугольных сетках для двумерных расчетных областей. Предложен новый способ аппроксимации граничных условий с помощью фиктивных узлов для неструктурированных сеток. На основе предложенных аппроксимаций построены явные разностные схемы для расчета течения вязкой несжимаемой жидкости.

В отличие от традиционных схем в естественных переменных «скорость-давление», в данных алгоритмах не применяются разнесенные сетки и все переменные - скорости, давление и температура - задаются в одних и тех же пространственных узлах сетки. Данные алгоритмы используют центрально-разностные аппроксимации для всех пространственных производных, включая конвективные слагаемые. Устойчивость численного алгоритма обеспечивают дополнительные диссипативные члены, входящие в КГД уравнения и отсутствующие в традиционных уравнениях Навье-Стокса.

Научная и практическая значимость работы

Простроенные алгоритмы решения квазигидродинамической системы уравнений реализованы в виде комплекса программ, написанных на языке С++. Программы оптимизированы и оттестированы и могут использоваться для расчетов широкого круга стационарных и нестационарных задач.

На основе построенных алгоритмов проведено численное моделирование характерных тестовых стационарных и нестационарных течений, которые демонстрируют работоспособность и точность новых алгоритмов. Исследовано влияние внешнего электромагнитного поля на термокапиллярную конвекцию полупроводникового расплава как в плоской расчетной области, так и в осесимметричной. Показано, что влияние магнитного поля приводит к изменению структуры течения и демпфирует возникающие в потоке колебания. Проведено численное исследование течений в гидротехнических сооружениях, при котором выявлены

стационарные и колебательные режимы течения в зависимости от скорости втекания воды.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

• на V Международной Конференции по Математическому Моделированию. 30 сентября - б октября 2002 года, г. Дубна.

• на XIV Международной Конференции «Математика. Компьютер. Образование». 22 - 27 января 2007 года, г. Пущино.

в на XV Международной Конференции «Математика. Компьютер. Образование». 28 января - 2 февраля 2008 года, г, Дубна.

в на научном семинаре в лаборатории математического моделирования в физике кафедры вычислительных методов, факультет вычислительной математики и кибернетики, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова. 25 февраля 2009 года.

в на заседании кафедры вычислительных методов, факультет вычислительной математики и кибернетики, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова. 13 мая 2009 года.

• на семинаре в Институте математического моделирования РАН. 1 октября 2009 года.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Текст изложен на 87 страницах, диссертация содержит 9 таблиц, 66 рисунков. Список литературы составляет 99 наименований.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дается характеристика работы и краткое изложение содержания по главам.

В первой главе приводится обзор современных методов решения уравнений Навье-Стокса и описаны трудности, возникающие при численном решении этих уравнений.

Во второй части главы дано краткое изложение нового подхода к описанию задач гидродинамики на основе квазигидродинамических

уравнении, а также численных методов их решения на прямоугольных сетках в декартовых и цилиндрических координатах.

КГД система в приближении Буссинеска может быть представлена в виде с!Ыи=с1мю (1)

¿¡¿Г+—<1п Лм +<А>[(й?®а)+(й® 5)] (2)

д( р р

~+с1п(1т )=(1Ы(аТ)+хДТ (3)

от

При этом величины П"х и т вычисляются по формулам

ш=г (4)

Здесь _ среднее значение плотности, и~и(х<0 - вектор

гидродинамической скорости, - давление, отсчитываемое от

гидростатического, ? ~Т(Х>') - отклонение температуры от ее среднего значения Т°= соШ, А - оператор Лапласа в пространстве К3. Температурный коэффициент расширения жидкости Р, динамическая вязкость г}, температуропроводность х и характерное время т считаются заданными

положительными постоянными. Вектор 8 - ускорение свободного падения.

Параметр г может быть вычислен по формуле г = т)/{рс'), где с, - скорость

звука в жидкости при температуре Т0. величина С* интерпретируется как пространственно-временной средний импульс единицы объема.

При проведении численных расчетов слагаемые с коэффициентом т рассматриваются как искусственные регуляризаторы, а величина г выбирается из условий точности и устойчивости разностной схемы.

В записи системы (1) - (4) использованы стандартные обозначения тензорного анализа. При вычислении дивергенции от несимметричного тензора Я свертка осуществляется по его первому индексу.

Во второй главе проводится моделирование термокапиллярной конвекции полупроводникового расплава. Такая задача возникает при получении кристаллов методом безтигельной зонной плавки в условиях невесомости, когда конвективное движение расплава определяется процессами термокапиллярной конвекции, или конвекцией Марангони.

Ламинарные режимы конвекции Марангони хорошо исследованы экспериментально и теоретически.

В первом параграфе рассматривается конвекция в прямоугольной каверне. Исследуется влияние электромагнитного поля различной интенсивности и направления. В безразмерном виде интенсивность магнитного поля представляется числом Гартмана, которое вычисляется по

ш

формуле На-—- —, где X - размер области, Н0 - напряженность с у Т}

магнитного поля, с - скорость света, с - электропроводность жидкости и л -динамическая вязкость.

Также в первом параграфе рассматривается влияние шага расчетной сетки на результаты моделирования.

Рис. 1. Линии тока для течения под действием магнитного поля в квадратной каверне для чисел Гартмана На=0, 50 и 100 соответственно

На рис. 1 изображены линии тока установившегося течения полупроводникового расплава при отсутствии магнитного поля, т.е. На=0, (слева), На=50 (в центре) и при На=100 (справа). Расчеты проводились для числа Марангони Ма=1000 и числа Прандтля Рг=0.018.

Во втором параграфе проводится исследование термокапиллярной конвекции в цилиндрическом образце. Моделирование проводилось в два этапа: сначала моделировалось нестационарное течение при отсутствии магнитного поля (то есть при числе Гартмана На~0) и затем после установления колебательного режима включалось магнитное поле.

Рис. 2. Линии тока для течения в цилиндрической области для чисел Гартмана На=0 и 50 соответственно

На рис. 2 изображены линии тока в установившемся колебательном режиме течения полупроводникового расплава при отсутствии магнитного поля, т.е. На=0, (слева) и при На=50 (справа). Расчеты проводились для числа Марангони Ма=10000 и числа Прандтяя Рг=0.018.

В результате моделирования было показано, что наличие электромагнитного поля приводит к заметному замедлению скорости конвекции и подавлению возникающих осцилляции, что совпадает с результатами, полученными в экспериментах и расчетах на основе системы Навье-Стокса.

Третья глава посвящена аппроксимации системы квазигидродинамических уравнений на неструктурированной треугольной сетке и построению алгоритма решения получившихся разностных уравнений.

Сетка строится в два этапа. Сначала аппроксимируется граница с помощью симметричного расположения узлов относительно границы, в результате чего часть узлов оказывается снаружи расчетной области, т.е. эти узлы являются фиктивными. Затем строится сетка внутри области исходя из принципа триангуляции Делоне, а число ее узлов выбирается достаточным для обеспечения нужной точности решения. На рис. 3 приведен фрагмент расчетной сетки, используемой для моделирования обтекания кругового цилиндра вблизи его границы.

Рис. 3. Треугольная сетка

Для построения разностной схемы используется ннтегро-интерполяционный метод. Все гидродинамические переменные - скорости, давление и температура - определяются в узлах сетки. Система уравнений интегрируется по контрольному объему, в качестве которого была использована так называемая ячейка Дирихле. Контур такой ячейки представляет собой ломанную, соединяющую точки пересечения серединных перпендикуляров, поэтому существенным условием построения сетки было то, что в результате сетка не должна содержать тупоугольных треугольников.

Производные по времени аппроксимируются с помощью метода Эйлера. Частные пространственные производные определяются на основе производных по направлению или с использованием формулы Грина (параграф 3.3).

а

В параграфе 3.4 приведен алгоритм построения фиктивных узлов и построены аппроксимации граничных условий. В параграфе 3.5 описана аппроксимация уравнения Пуассона для давления, при которой уравнение Пуассона интегрировалось по контрольному объему, а частные производные определялись с помощью формулы Грина. В результате чего была получена система линейных алгебраических уравнений для давления с симметричной матрицей. Эта система уравнений решалась как итерационно методом наискорейшего спуска, так и методом Холецкого.

В четвертой главе проводится тестирование алгоритма, позволяющее оценить возможности численного моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости на неструктурированных треугольных сетках. Были рассмотрены следующие задачи: течение в каверне с подвижной крышкой, тепловая конвекция в квадратной области, тепловая конвекция в прямоугольной области при низких числах Прандтля, обтекание кругового цилиндра, течение в канале за обратным уступом. Полученные результаты сравниваются с данными экспериментов, численных расчетов, основанных на системе Навье-Стокса, и с результатами моделирования на основе КГД системы, но с использованием прямоугольных сеток.

На рис. 4 приведено распределение скорости в задаче обтекания кругового цилиндра для числа Рейнольдса ке=150 (число Рейнольдса рассчитывается по диаметру цилиндра). В данной задаче жидкость втекает слева с постоянной скоростью и свободно вытекает справа.

Рис. 4. Дорожка Кармана в задаче обтекания цилиндра

В данной главе показано, что для всех задач результаты проведенных расчетов полностью совпадают с аналогичными расчетами с использованием системы уравнений Навье-Стокса. При этом наряду со стационарными режимами течений предложенный метод позволяет рассчитывать и нестационарные режимы. Однако в отличие от системы Навье-Стокса, КГД уравнения позволяют проводить численные расчеты при помощи простых явных разностных схем на относительно грубых разностных сетках. Регуляризаторы, необходимые для стабилизации счета при больших числах Рейнольдса, Грасгофа или Марангони, обеспечиваются дополнительными

дивергентными членами с мальм параметром г. Этот параметр является естественным параметром регуляризации, выбор которого определяется конкретной решаемой задачей.

В последнем параграфе проводится исследование влияния шага по времени йг и параметра г на устойчивость построенного алгоритма на основе задачи о течении в каверне с подвижной крышхой. Исследование показало линейную зависимость максимального шага по времени тахЛл от параметра т, при котором алгоритм сходится.

В пятой главе решается задача о течении воды в гидротехнических и сооружениях, а именно в горизонтальных отстойниках гидроузлов, которые имеют сложный рельеф дна. Расчетная область в данной задаче представляет собой горизонтальный канал, дно которого имеет выступ в виде холма в начале и сужение в конце.

Рис. 5. Линии тока для нестационарного течения в канале

Вода с примесями втекает слева с постоянной скоростью и свободно вытекает справа. Сверху задается свободная граница.

Исследовалась структура течения при числах Рейнольдса Ке=10, 100 и 500. Результаты моделирования показали, что при числах Рейнольдса Яе=10 и 100 течение является стационарным, а при 11е=500 - нестационарным. На рис. 5 приведены линии тока для нестационарного течения при Ке=500. Проведено сравнение распределения осредненной скорости в вертикальном сечении в двух метрах после уступа с результатами натурного эксперимента. Сравнение показало совпадение профилей скорости, полученных в результате моделирования, с результатами натурного эксперимента с точностью 10%.

В заключения сформулированы основные результаты диссертации и , намечены пути дальнейшего развития данной работы.

Основные результаты

1. Построен алгоритм численного моделирования течения расплава в магнитном поле. Исследовано влияние магнитного поля на структуру и , скорость течения. Проведено моделирование плоских и осесимметричных течений расплава. Показано подавление колебаний течения с ростом напряженности магнитного поля.

2. Разработан численный алгоритм моделирования течений с использованием неструктурированных пространственных сеток. Проведена верификация алгоритма на серии тестовых расчетов, при , этом результаты сравнивались как с результатами натурных

экспериментов, так и с результатами численного моделирования на основе системы Навье-Стокса. Исследована точность и устойчивость алгоритма.

3. Проведено численное моделирование течений в гидротехнических сооружениях и получено, что с ростом скорости втекания воды в отстойник стационарное течение переходит в колебательное при скоростях потока соответствующих числу Рейнольдса Re=500.

4. Построенные алгоритмы решения квазигидродинамических уравнений реализованы в виде комплекса программ, допускающих дальнейшее дополнение и развитие.

Публикации

1. Т. G. Yelizarova, А. V. Zherikov, I. S. Kalatchinskaia, Yu. V. Sheretov. Numerical modeling of convective flows of the electrically conducting fluid. // V International Congress on Mathematical Modeling. 30 September - 6 October, 2002 Dubna, Russia, Book of Abstracts, VI, p. 265.

2. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С., Шеретов Ю. В. Численное моделирование конвективных течений электропроводной жидкости в каверне. // «Прикладная математика и информатика №13», М.: МАКС Пресс, 2003г. с. 63-81.

3. Жериков А. В. Математическое моделирование тепло-массообмена в процессе получения полупроводниковых материалов методом бестигельной зонной плавки. // «Сборник тезисов лучших дипломных работ 2004 года», МГУ ВМК, Москва, с. 19.

4. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С. Численное решение квазигидродинамических уравнений на треугольных сетках. // «Прикладная математика и информатика №24», МАКС Пресс, Москва, 2006г.

5. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С. Численное решение квазигидродинамических уравнений в области сложной формы. // «Дифференциальные уравнения», том 43, №9, с.1255-1263,2007 г.

6. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С. Численное решение квазигидродинамических уравнений на треугольных сетках. // «Математика. Компьютер. Образование: Сборник научных тезисов», выпуск 14. Под ред. Г. Ю. Ризниченко. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". С. 49.2007г.

7. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С. Численное решение квазигидродинамических уравнений на треугольных сетках. // «Математика. Компьютер. Образование: Сб. научных трудов. Том 2», выпуск 14. Под ред. Г. Ю. Ризниченко. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". С. 167-172.2007г.

8. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С. Моделирование течений жидкости в канале сложной формы на основе

квазигидроданамических уравнений. И «Математика. Компьютер, Образование: Сборник научных тезисов», выпуск 15. Под ред. Г. Ю. Ризниченко. - М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". С. 72.2008г.

9. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С. Моделирование течений жидкости в канале сложной формы на основе квазигидродинамических уравнений. // «Математика. Компьютер. Образование: Сборник научных трудов. Том 2», выпуск 15. Под ред. Г. Ю. Ризниченко. - М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". С. 159-166.2008г.

Цитируемая литература

[1] Шеретов Ю. В. Об одной новой математической модели в гидродинамике // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1996. С. 124-134.

[2] Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические уравнения как модель течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1997. С. 127-155.

[3] Шеретов Ю.В. О точных решениях квазигидродинамических уравнений. // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1998. С. 213-241.

[4] Шеретов Ю.В. О единственности решений одной диссипативной системы уравнений гидродинамического типа. // Математическое моделирование, 1994. Т. 6, № 10. С. 35-45.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 05.10.2009 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 527. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение.

Глава 1 Методы численного моделирования задач гидродинамики.

1.1 Система уравнений Навье-Стокса.

1.2 Квазигидродинамическая система.

1.3 Квазимагнитогидродинамическая система.

1.4 Метод решения КМГД системы в декартовых координатах.

1.5 Метод решения КМГД системы в цилиндрических координатах.

Глава 2 Моделирование термокапиллярной конвекции полупроводникового рас плава.

2.1 Введение.

2.2 Течение расплава в квадратной каверне.

2.3 Конвекция в цилиндрической области.

Глава 3 КГД-система на неструктурированных треугольных сетках.

3.1 Построение сетки.

3.2 Аппроксимация уравнений.

3.3 Аппроксимация частных производных.

3.4 Аппроксимация граничных условий.

3.5 Аппроксимация уравнения Пуассона.

3.6 Вычислительный алгоритм.

Глава 4 Апробация алгоритма.

4.1 Течение в каверне с подвижной крышкой.

4.2 Тепловая конвекция в квадратной области.

4.3 Тепловая конвекция при низких числах Прандтля.

4.4 Обтекание цилиндра.

4.5 Течение за обратным уступом.

4.6 Исследование влияния шага по времени А1 и параметра т на устойчивость.

Глава 5 Течение в канале с уступом.

5.1 Введение.

5.2 Постановка задачи.

5.3 Результаты.

Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости является актуальной задачей вычислительной гидродинамики. Многочисленные технические приложения, связанные с необходимостью расчета гидродинамических течений, требуют постоянного совершенствования и оптимизации разработанных ранее методов численного расчета. На современном этапе развития численных алгоритмов моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости представляют трудности расчеты нестационарных течений, течений, в который колебательный режим возникает спонтанно при изменении внешних параметров, течений под воздействием внешних сил (например, электромагнитного поля) и течений в областях со сложной геометрией. При этом сложности решения таких задач сильно возрастают при переходе к трехмерным течениям.

Большинство имеющихся в настоящее время программ расчета вязких течений основаны на использовании системы уравнений Навье-Стокса [21, 22, 23]. Несмотря на большой опыт решения этих уравнений, их численная реализация сопряжена с определенными трудностями, связанными с необходимостью построения устойчивых численных алгоритмов и с проблемами дискретизации области расчета [24, 25].

Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов расчета вязких течений является использование квазигидродинамических (КГД) уравнений, которые отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными диссипативными слагаемыми с малым параметром т в качестве коэффициента.

Успех решения задач гидродинамики также во многом зависит от качества используемых в расчетах сеток. Исследования гидродинамических течений в областях с криволинейной границей около тел сложной формы требуют применения специальных сеточных разбиений расчетной области. В последнее время большое распространение получили так называемые неструктурированные сетки, которые позволяют хорошо аппроксимировать границы области расчета и характерные особенности течений.

Цель работы состоит в создании численных алгоритмов расчета течений вязкой несжимаемой жидкости, основанных на квазигидродинамических уравнениях. Такие алгоритмы должны правильно моделировать как стационарные, так и нестационарные течения, должны легко обобщаться на неструктурированные треугольные сетки и легко распараллеливаться на несколько процессоров.

Конструирование вычислительного алгоритма подразумевает два этапа: первый - построение разностной схемы для математической модели, т.е. аппроксимация исходной системы дифференциальных уравнений системой разностных уравнений, и второй - построение эффективных методов для решения этих разностных уравнений.

Квазигидродинамическая система уравнений была введена в работе [26], а в работе [27] были предложены феноменологическая интерпретация и представление КГД системы в виде интегральных законов сохранения массы, импульса, момента импульса, полной энергии и энтропии для подвижного материального объема. Принципиальным и существенным отличием КГД подхода от теории Навье-Стокса явилось использование процедуры пространственно-временного осреднения для определения основных гидродинамических величин — плотности, скорости и температуры. Дополнительное сглаживание по времени явилось причиной возникновения в уравнениях дополнительных диссипативных слагаемых, которые формально отличают КГД систему от системы Навье-Стокса. В стационарном же случае эти системы отличаются друг от друга дивергентными членами второго порядка малости по числу Кнудсена. В работах [8, 26, 27] также было построено приближение Буссинеска для КГД системы.

Квазигидродинамическая система уравнений расширяет возможности классической модели Навье-Стокса в случае описания течений вязкой несжимаемой жидкости. В области применимости уравнений Навье-Стокса дополнительная диссипация, входящая в КГД уравнения, слабо влияет на решение, но обеспечивает устойчивость численных алгоритмов.

Стоит отметить также, что КГД система отличается от других обобщений уравнений Навье-Стокса, которые в разное время предлагались в работах [28, 29, 30].

Опираясь на предложенные КГД уравнения, в диссертации построены явные разностные схемы для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости. В отличие от традиционных схем, данные алгоритмы не требуют введения искусственной вязкости для обеспечения устойчивости счета: при моделировании течений с большими скоростями роль регуляризирующих добавок в этих алгоритмах играют дополнительные диссипативные члены, входящие в КГД уравнения и отсутствующие в традиционных уравнениях Насье-Стокса.

В данной работе предлагаются методы решения квазигидродинамических уравнений, описывающих течение вязкой несжимаемой жидкости в двумерном случае, в областях простой и сложной формы с использованием прямоугольных и неструктурированных пространственных сеток.

В первой главе проводится обзор существующих методов решения системы Навье-Стокса и описаны трудности, возникающие при численном решении этих уравнений. Во второй части главы дано краткое изложение нового подхода к описанию задач гидродинамики на основе квазигидродинамических уравнений, а также численных методов их решения на прямоугольных сетках в декартовых и цилиндрических координатах.

В главе 2 КГД система применяется для моделирования термокапиллярной конвекции полупроводникового расплава. Такая задача возникает при получении кристаллов методом бестигельной зонной плавки в условиях невесомости, когда конвективное движение расплава определяется процессами термокапиллярной конвекции, или конвекцией Марангони.

В главе 3 строится аппроксимация КГД системы на неструктурированной треугольной сетке и описывается алгоритм решения получившихся разностных уравнений.

В главе 4 на основе построенного в главе 3 алгоритма проводятся численные расчеты ряда известных тестовых задач. Причем рассмотрены были как стационарные задачи, так и нестационарные. Полученные результаты сравниваются с данными численных расчетов рассматриваемых задач, основанных как на системе Навье-Стокса, так и на КГД системе, но при использовании прямоугольных сеток. Также в данной главе проведено численное исследование устойчивости предложенного алгоритма.

В пятой главе проводится моделирование прикладной задачи, а именно решается задача о течении в гидротехнических сооружениях горизонтальных отстойниках гидроузлов, которые представляют собой канал со сложным рельефом дна.

Как показывает практика расчетов, КГД уравнения представляются удачной моделью для численного анализа конвективных течений в широком диапазоне параметров. КГД систему можно эффективно использовать для расчета сложных стационарных и нестационарных течений.

Основные результаты диссертации докладывались:

- на V Международной Конференции по Математическому Моделированию, 30 сентября - 6 октября 2002 года, г. Дубна;

- на XIV Международной Конференции «Математика. Компьютер. Образование», 22 - 27 января 2007 года, г. Пущино;

- на XV Международной Конференции «Математика. Компьютер. Образование», 28 января - 2 февраля 2008 года, г. Дубна;

- на семинаре лаборатории математического моделирования в физике кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова, 25 февраля 2009 года;

- на заседании кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова, 13 мая 2009 года;

- на семинаре в Институте математического моделирования РАН, 1 октября 2009 года.

Работа поддержана грантами INTAS № 001-0617 "New ways of active control of flows in liquid systems with interfaces. Application to crystal growth, for zéro gravity or for terrestrial conditions", РФФИ № 01-01-00061 «Моделирование вязких течений на основе квази-газодинамических и квазигидродинамических уравнений», РФФИ № 05-07-90230 «Разработка программного обеспечения суперЭВМ для решения современных задач механики сплошной среды» и программы президиума РАН № 2.

Материалы, представляющие содержание диссертации, с достаточной полнотой опубликованы в [90-99].

В заключение автор считает приятным долгом выразить признательность своему научному руководителю Калачинской Ирине Станиславовне и научному консультанту Елизаровой Татьяне Геннадьевне за постоянную поддержку в работе, внимательный разбор и ценные замечания.

Заключение

Приведена оригинальная математическая модель для описания течений квазинейтральной сжимаемой электропроводной жидкости — КМГД-система. На ее основе построена упрощенная математическая модель - КМГД-система в безындукционном приближении Обербека - Буссинеска, пригодная для численного моделирования движений полупроводниковых расплавов в постоянном внешнем магнитном поле. Выписан алгоритм ее численного решения, представляющий собой явную по времени однородную конечно-разностную схему с искусственными регуляризаторами специального вида, которые обеспечивают высокую точность и устойчивость численного решения. Исследована сходимость разностного решения при сгущении пространственной сетки.

Выполнена серия численных расчетов термокапиллярных течений полупроводникового расплава в квадратной каверне при различных интенсивностях и направлениях магнитного поля. Проведено моделирование нестационарных течений в цилиндре при больших числах Марангони. Установлено, что магнитное поле заметно влияет на характеристики процесса, существенно замедляя конвективное движение жидкости и в случае малых чисел Марангони оттесняя его к свободной поверхности. При больших числах Марангони магнитное поле подавляет развитие неустойчивости течения. Под воздействием магнитного поля пограничный слой, образующийся вблизи свободной поверхности, становится более тонким. При горизонтальном направлении вектора Н0 интенсивность вихревого течения снижается меньше, чем в случае его вертикального направления. При этом течение становится многослойным.

Проведено сопоставление расчетных данных с аналогичными результатами, полученными с помощью классической МГД системы в безындукционном приближении. Показано, что предложенная математическая модель и метод ее численного интегрирования позволяют эффективно проводить расчеты течений электропроводной жидкости, обеспечивая высокую точностью даже на относительно грубых пространственных сетках.

Разработан новый численный алгоритм моделирования течений с использованием неструктурированных треугольных сеток с фиктивными узлами. Тестирование алгоритма было проведено на серии тестовых расчетов, а результаты сравнивались с результатами натурных экспериментов, результатами моделирования на основе системы Навье-Стокса и результатами моделирования КГД системы при использовании прямоугольных сеток.

Из результатов сравнения следует, что предложенный алгоритм решения системы квазигидродинамических уравнений на неструктурированных сетках позволяет находить решения, которые достаточно хорошо совпадают с соответствующими решениями системы на регулярных прямоугольных сетках и решениями системы Навье-Стокса. Таким образом, предложенная аппроксимация КГД системы может использоваться для численного моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости на нерегулярных треугольных сетках в областях сложной формы.

В работе также было проведено исследование точности при сгущении сетки и устойчивости предложенного алгоритма. Это исследование было выполнено для задачи о течении в каверне с подвижной крышкой. Показано, что для малых т имеет соотношение и оно не зависит ни от шага пространственной сетки, ни от числа Рейнольдса во всем рассмотренном диапазоне. Этот важный результат показывает, как надо выбирать шаг расчета по времени, обеспечивающий устойчивость расчета, и чем мы будем платить за увеличение точности схемы.

Кроме того показано, что с увеличением т устойчивость схемы сначала растет, но после достижения некоторого максимума т - резко падает. То есть, считать с большим параметром регуляризации нельзя по двум причинам — падает точность и пропадает устойчивость метода. Также в работе приведена эмпирическая формула зависимости максимального г от числа Рейнольдса и шага сетки в задаче о течении в каверне.

Построена математическая модель течения вязкой несжимаемой жидкости в канале сложной формы. Проведено численное моделирование возникающих течений при различных значениях числа Рейнольдса. При этом сравнение найденных скоростей с результатами эксперимента показало хорошую точность предложенного алгоритма. Данная задача имеет практическое значение при исследовании скорости и формы заиления гидротехнических отстойников.

Методы, разработанные в диссертации, могут быть использованы для моделирования различных сложных стационарных и нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости. Также разработанные комплексы прикладных программ могут быть использованы для обучения студентов.

1. Земсков B.C., Раухман М.Р., Шалимов В.П. Гравитационная чувствительность расплавов при выращивании кристаллов методами Бриджмена и бестигельной зоной плавки в условиях микрогравитации. // Космические исследования. 2001. Т. 39, N 4. С. 375-384.

2. Dold P., Croll A., Benz K.W. Floating-zone growth of silicon in magnetic field I. Weak static axial fields. // Journal of Crystal Growth. 1998. V.183. P. 545-553.

3. Dold P., Croll A., Benz K.W. Floating-zone growth of silicon in magnetic field II. Strong static axial fields. // Journal of Crystal Growth. 1998. V.183. P. 554-563.

4. Kaiser Th., Benz K.W. Floating-zone growth of silicon in magnetic field III. Numerical solution. // Journal of Crystal Growth. 1998. V.183. P. 564-572.

5. Fedoseyev A.I., Kansa E.J., Marin C., Ostrogorsky A.G. Magnetic field suppression of semiconductor melt flow in crystal growth: comparison of three methods for numerical modeling, http://uahtitan.uah.etu/alex/.

6. Феонычев А.И., Долгих Г.А. Эффекты постоянных и меняющихся во времени ускорений при выращивании кристаллов методом направленной кристаллизации на борту космических аппаратов. // Космические исследования. 2001. Т. 39, N 4. С. 390-399.

7. Шеретов Ю.В. Квазигидродинамическая модель течений электропроводной вязкой жидкости в электромагнитном поле. // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1997. С. 155-169.

8. Шеретов Ю.В. О точных решениях квазигидродинамических уравнений. // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1998. С. 213-241.

9. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2000.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2001.

11. Половин Р.В., Демуцкий В.П. Основы магнитной гидродинамики. М.: Энергоатомиздат, 1987.

12. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Ключникова А.В., Шеретов Ю.В. Использование квазигидродинамических уравнений для моделирования тепловой конвекции при малых числах Прандтля. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1998. Т. 38, N 10. С. 1732-1742.

13. Елизарова Т. Г., Шеретов Ю. В. Теоретическое и численное исследование квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. N 2.

14. Гуров Д. Б., Елизарова Т. Г., Шеретов Ю. В. Численное моделирование течений жидкости в каверне на основе квазигидродинамической системы уравнений. Математическое моделирование. 1996. Т. 8. N 7.

15. Семенов М. В., Шеретов Ю. В. Численное моделирование течений жидкости в окрестности шара. В сб. Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун., 2005.

16. Елизарова Т. Г. Лекции Математические модели и численные методы в динамике жидкости и газа. Подходы, основанные на системах квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений. Ч. 1, 2. М.: Физический факультет МГУ, 2005.

17. Елизарова Т. Г., Серегин В. В. Численное решение квазигазодинамических уравнений на треугольных сетках. Вестник Московского университета, серия 3. Физ. Астрономия, 2005, № 4.

18. Елизарова Т. Г., Калачинская И. С., Шеретов Ю.В. Численное моделирование течений электропроводной жидкости во внешнем магнитном поле. // Журнал радиотехника и электроника. № 50(2). С 245-251. 2005

19. Елизарова Т. Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2007.

20. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

21. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

22. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Москва, 1976, Т. 1 и 2.

23. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

24. Самарский А. А, Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1989.

25. Шеретов Ю.В. Об одной новой математической модели в гидродинамике // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1996. С. 124-134.

26. Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические уравнения как модель течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1997. С. 127-155.

27. Климонтович Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса. Москва: Наука, 1990.

28. Климонтович Ю. Л. Статистическая теория открытых систем. Москва, 1995, Т.1.

29. Алексеев Б. В. Обобщенная больцмановская физическая кинетика. // Теплофизика высоких температур. 1997. Т. 35, № 1. С. 129-146.

30. Марченко М. П., Сенченков А. С., Фрязинов И. В. Математическое моделирование процесса роста кристаллов из раствора-расплава методом движущегося нагревателя // Математическое моделирование, 1992. Т. 4, № 5. С. 67-79.

31. Dold P., Benz K.W. Cryst. Res. Technol. 32(1). 1997. 51.

32. Никитин H. В., Никитин С. А., Полежаев В. И. Конвективные неустойчивости в гидродинамической модели роста кристаллов методом Чохральского. // Успехи механики. 2003. Т. 2. № 4. С. 63—105.

33. Марченко М. П., Сенченков А. С. Математическое моделирование процесса роста кристаллов из раствора-расплава методом движущегося нагревателя // Математическое моделирование, 1992. Т. 4, № 4. С. 35-43.

34. Любимова Т. П., Скуридин Р. В., Файзрахманова И. С. Влияние магнитного поля на гистерезисные переходы при выращивании кристаллов методом плавающей зоны // Письма в ЖТФ. Т. 33, № 17. С. 61-68. 2007

35. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Шеретов Ю.В., Широков И. А. Численное моделирование течений электропроводной жидкости во внешнем магнитном поле. // Ж. радиотехника и электроника, 2005, т. 50, N2, с. 245-251.

36. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980

37. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир. Т. 1. С 502. Т. 2. С. 552. 1991.

38. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука С 228. 1984

39. Gupta М.М., Kalita J.C. A new paradigm for solving Navier-Stokes equations: streamline-velocity formulation. // J. Comput. Phys., 207. P. 52-68. 2005

40. Белоцерковский O.M. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.:ФизМатЛит. 1994

41. Patankar S.V. Numerical heat transfer and fluid flow. Hemisphere Publishing Corporation. 1981

42. Ferziger J.H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. 2002.

43. Гончаров А.Л., Фрязинов И.В. Разностные схемы на девятиточечном шаблоне «крест» для решения уравнений Навье-Стокса. // Ж. Вычисл. Матем. и мат. Физики. 28. С 867-878. 1988

44. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Методы расчета нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесенных сетках. // Матеем. моделирование. 8(7). С. 81-108. 1996

45. Date A.W. Introduction to Computational Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 2005

46. Date A.W. Complete Pressure Correction Algorithm for Solution of Incompressible Navier-Stokes Equations on Nonstaggered Grid. // Numerical Heat Transfer B. N 29. P 441. 1996

47. Date A.W. Fluid Dynamic View of Pressure Checker Boarding Problem and Smoothing Pressure Correction on Meshed Collocated Variables. // Int. J. Heat Mass Transfer. N 46. P 4885-4898. 2003

48. Vasilyev O.V. High-order finite difference schemes on non-uniform meshes with good conservation properties. // J. Comput. Phys. N 157. P 746-761. 2000

49. Gresho P.M. Incompressible fluid dynamics: some fundamental formulation issues. // Annu. Rev. Flud Mech. N 23. P 413-453. 1991

50. Nagarajan S., Lele S.K., Ferziger J.H. A robust high-order compact method for large-eddy simulation. // J. Comput. Phys. N 191. P 392-419. 2003

51. Ковеня B.M., Яненко H.H. Методы расщепления в задачах газовой динамики. М.: Наука. 1981

52. Марчук Г. И. Методы расщепления. М.: Наука. 1988

53. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface. // Physics of Fluids. N 8(12). P. 2182-2189. 1965

54. Chorin A J. Numerical solution of Navier-Stokes equations. // Math. Comput. N 22. P 745-762. 1968

55. Temam R. Une methode d'approximations de la solution des e'quations de Navier-Stokes. // Bull. Soc. Math. France. N 98. PI 15-152. 1968

56. Ют J., Moin P. Application of a Fractional-Step Method to Incompressible Navier-Stokes Equations. // J. Comput. Phys. N 59. P 308-323. 1985

57. Hirt C.W., Cook J.L. The calculation of Three-Dimensional Hows Around Structures and Over Rough Terrain. // J. Comput. Phys. N 10. P 324-340. 1972

58. Orszag S.A., Israeli M., Deville M.O. Boundary conditions for incompressible flows.//J. Sci. Comput. N l.P 75-111. 1986

59. Blasco J., Codina R. Error estimtes for an operator-splitting method for incompressible flows. // Applied Numerical Mathematics. N 51. P 177. 2004

60. Thom A. An investigation of fluid flow in two dimensions. // Aerospace Research Center UK (1194). 1928.

61. Полежаев В.И., Грязнов В.JI. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных вихрь функция тока. ДАН СССР. № 219 (2). 1974

62. Люмкис Е.Д. Об увеличении шага во времени при интегрировании уравнений Навье-Стокса в переменных вихрь — функция тока. // Диф'ференц. Уравн. № 21(7). С 1205-1217. 1985

63. Вабищевич П.Н. неявные разностные схемы для нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока вихрь. //Дифференц. Уравн. № 20(7). С 1135-1144. 1984

64. Мажорова О.С., Попов Ю.П. Об одном алгоритме численного решения двумерных уравнений Навье-Стокса. // Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва. № 37. С 24. 1979

65. Мажорова О.С., Попов Ю.П. О методах численного решения уравнений Навье-Стокса. // Ж. Вычисл Матем. и Мат. Физики. № 20(4). С 1005-1020. 1980

66. Булеев Н.И., Тимухин Г.И. О численном решении уравнений гидродинамики для плоского потока вязкой несжимаемой жидкости. // Изв. АН СССР. Сер. Техн. Наук. № 3(2). С 14-24. 1969

67. Rubin S.G., Khosla Р.К. Navier-Stokes calculation with a coupled strongly implicit method. // Computer & Fluids. N 9. P163-180. 1981

68. Ермаков C.B., Мажорова О.С., Попов Ю.П. Математическое моделирование задач электрофоретического разделения биосмесей. Ч. II // Дифференц. Уравн. № 28(12). С 2129-2137. 1992

69. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов. ДАН СССР. № 124(3). 1959

70. Morinishi Y., Lund T.S., Vasilyev O.V., Moin P. Fully conservative higher order finite difference schemes for incompressible flow. // J. Comput. Phys. N 143. P 90-124. 1998

71. Arakawa A. Computational design for long-term numerical integration of the equation of fluid motion: Two dimensional incompressible flow. // J. Comput. Phys. N l.P 119-143. 1966

72. Рождественский Б.Л., Моисеенко Б.Д., Сидорова B.K. Условия численного моделирования предельных режимов течений вязкой жидкости. // Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва. № 14. 1979

73. Елизарова Т.Г., Черверушкин Б.Н. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений. // Доклады АН СССР. № 279 (1). С80-83. 1984

74. Елизарова Т.Г., Черверушкин Б.Н. Кинетический алгоритм для расчета газодинамических течений. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. Т. 25(10), С. 1526-1533. 1985

75. Черверушкин Б.Н. Кинетически схемы и квазигазодинамическая система уравнений. // М.: МАКС-ПРЕСС. 2004

76. Шеретов Ю.В. О единственнсти решений одной диссипативной системы уравнений гидродинамического типа. // Мат. Моделир. Т 6. № 10. С.35-45. 1994

77. Sparrow Е.М., Chunk W. PC solutions for heat transfer and fluid flow downstream of an abrupt, asymmetric enlargement in a channel. // Numerical Heat Transfer, 1987, 12, 19-40.

78. Hackmann L.P., Raithby G.D. Strong A.B. Numerical predictions of flows over backward-facing steps. // Int. J. for Numerical Methods in Fluids, 1984, 4(8), 711-724.

79. Elizarova T.G., Kalachinskaya I.S., Sheretov Yu.V. Separating Flow Behind a Back-Step. Part I. Quasi-Hydrodynamic Equations and Computation of a Laminar Flow. // http://arxiv.org/abs/math-ph/0407053v1

80. Elizarova T.G., Shilnikov E.V., Weber R., Hureau J. Separated flow behind a backward-facing step. Part II. Experimental and numerical investigation of a turbulent flow. // http://arxiv.org/abs/math-ph/0410023v1

81. Creuse E., Mortazavi J. Simulation of low Reynolds number flow control over a backward-facing step using pulsed inlet velocities. // Applied Mathematics Research eXpress, 4:133-152, 2004.

82. Armaly B.F., Durst F., Pereira J.C.F., Schonung В. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow. // J. of Fluid Mechanics, 1983, 127, 473-496.

83. Erturk E., Dursun B. Numerical solutions of 2-D steady incompressible flow in a driven skewed cavity. // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 2007; Vol 87: pp 377-392

84. Erturk E., Corke Т. C. and Gokcol C. Numerical solutions of 2-D steady incompressible driven cavity flow at high Reynolds numbers. // Int. J. Numer. Meth. Fluids 2005; 48:747-774

85. Кудинов П. И. Численное моделирование гидродинамики теплообмена в задачах с конвективной неустойчивостью и неединственным решением. // Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. Днепропетровск. 1999.

86. Ключникова А. В. Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе квазигидродинамических уравнений. // Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. Москва. 1998.

87. Boivin S., Саугё F., Herardc J.M. A finite volume method to solve the Navier-Stokes equations for incompressible flows on unstructured meshes. // Int. J. Therm. Sci., vol. 39, pp. 806-825. 2000.

88. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С., Шеретов Ю. В. Численное моделирование конвективных течений электропроводной жидкости в каверне. // «Прикладная математика и информатика №13», МАКС Пресс, Москва, 2003г. с. 63-81.

89. INTAS №001-0617 "New ways of active control of flows in liquid systems with interfaces. Application to crystal growth, for zéro gravity or for terrestrial conditions". 2003.

90. Жериков A. В. Математическое моделирование тепло-массообмена в процессе получения полупроводниковых материалов методом бестигельной зонной плавки. // «Сборник тезисов лучших дипломных работ 2004 года», МГУ ВМК, Москва, с. 19.

91. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С. Численное решение квазигидродинамических уравнений на треугольных сетках. // «Прикладная математика и информатика №24», МАКС Пресс, Москва, 2006г.

92. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С. Численное решение квазигидродинамических уравнений в области сложной формы. // «Дифференциальные уравнения», том 43, №9, с.1255-1263, 2007 г.