автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений

ВВЕДЕНИЕ.

Глава

КВАЗИГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ И КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.

§1. Классические модели гидродинамики.

1. Модели Навье-Стокса и Эйлера

2. Уравнения Больцмана и БГК

§2. Феноменологический вывод квазигидродинамических уравнений.

1. Мгновенные пространственные и пространственно-временные средние.

2. Интегральные законы сохранения

3. Переход к дифференциальным уравнениям

4. Два способа решения проблемы замыкания.

5. Квазигидродинамическая система уравнений

6. Физическая интерпретация параметра т и структура вектора плотности потока массы.

§3. Конечно-разностные выводы квазигидродинамической и квазигазодинамической систем уравнений.

1. Три взаимосвязанные системы - Навье-Стокса, квазигидродинамическая и квазигазодинамическая

2. Кинетический вывод квазигазодинамических уравнений.

§4. Баланс энтропии и интегральные законы сохранения для квазигазодинамических уравнений.

1. Теорема о балансе энтропии.

2. Теорема моментов и интегральные законы сохранения

3. ^-теорема для модельного кинетического уравнения

Глава

АНАЛИЗ СВОЙСТВ КГД-СИСТЕМ.

§1. Аналитическое исследование квазигидродинамических уравнений

1. Квазигидродинамическая система для плоских одномерных и двумерных нестационарных течений

2. Точные решения

3. Энтропийные свойства системы.

4. Массовые лагранжевы координаты.

5. Задача о неподвижной ударной волне.

6. Приближение ламинарного пограничного слоя

7. Асимптотический анализ добавочных членов

§2. Квазигидродинамическая модель течений вязкой несжимаемой жидкости.

1. Основная система уравнений

2. Теорема о диссипации энергии.

3. Закон Архимеда

4. Течения Куэтта и Пуазейля.

5. Нестационарные задачи Стокса, Рэлея и Озеена.

6. Течение в плоском канале с пористыми стенками

7. Приближение ламинарного пограничного слоя

8. Асимптотические оценки добавочных членов

9. Уравнение переноса тепла.

10. Анализ единственности классического решения

11. Линеаризованная система

§3. КГД-модель тепловой конвекции.

1. Квазигидродинамическая система в приближении Обербека-Буссинеска.

2. Течение в плоском вертикальном слое

3. Течение в плоском горизонтальном слое

4. Гравитационно-термокапиллярная конвекция.

§4. Некоторые свойства квазигазодинамической системы.

1. Асимптотический анализ добавочных членов в стационарном случае

2. Связь модельного кинетического уравнения с уравнением БГК

3. Задача о неподвижной ударной волне.

4. Проблема перехода к уравнениям для несжимаемой жидкости

5. Заключительные замечания.

Глава

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НА ОСНОВЕ

КГД—СИСТЕМ.

§1. Кинетически-согласованные разностные схемы и их модификации.

1. Кинетические алгоритмы.

2. Новые разностные схемы в эйлеровых координатах

3. Разностные схемы в лагранжевых координатах.

§2. Моделирование течений вязкого теплопроводного газа на основе квазигазодинамических уравнений

1. Расчет структуры неподвижной ударной волны.

2. Численное моделирование плоских и осесимметричных течений.

§3. Численное моделирование течений жидкости в каверне на основе квазигидродинамических уравнений.

1. Постановка задачи

2. Вычислительный алгоритм

3. Результаты расчетов.

§4. Численное моделирование конвективных течений

1. Постановка задачи

2. Течение в каверне с квадратным сечением

3. Гравитационная конвекция металлических расплавов

4. Конвекция Марангони в невесомости.

Глава

КВАЗИГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕЧЕНИЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНЫХ СРЕД.

§1. Квазигидродинамическая модель течений электропроводной вязкой несжимаемой жидкости

1. Основная система уравнений

2. Уравнение баланса энергии

3. КМГД-модель для квазинейтральной несжимаемой жидкости

4. Решение задачи Гартмана для КМГД-уравнений

§2. КМГД-системы для сжимаемых сред

1. КМГД-модель течений сжимаемой электропроводной среды. Приближение типа Обербека-Буссинеска

2. Решение задачи Гершуни-Жуховицкого

Растущие запросы авиационной и ракетно-космической техники, судостроения, энергетики, атомного и космического материаловедения, многих современных промышленных технологий, физики атмосферы, океанологии, экологического мониторинга требуют совершенствования традиционных и разработки новых методов физико-математического и компьютерного моделирования гидродинамических процессов. Внутренняя логика научного поиска, связанная с необходимостью более полного раскрытия механизмов многообразных и сложных гидро- и аэродинамических явлений (турбулентность, ударные волны и солитоны, погранслойные, отрывные, осциллирующие течения, самоорганизация и развитие фрактальных структур), также стимулирует широкие исследования в этой области.

Полувековой опыт компьютерного моделирования актуальных проблем механики жидкости и газа находит преломление в возрастающем числе попыток совершенствования как известных разностных схем, так и самих классических уравнений теоретической гидродинамики. Эффективность численного метода зависит не только от выбора теоретической модели и алгоритма решения задачи, но и от его программной реализации, учитывающей и использующей новые возможности вычислительной техники. В свою очередь, численный эксперимент оказывает обратное влияние на теоретические модели, создает предпосылки для физико-математических обоснований и обобщений. Нередко он позволяет пролить свет на тонкие эффекты, сопровождающие процесс, но не обнаруживаемые или не разрешаемые современными приборами. Такое взаимодействие приводит в итоге к созданию совершенных методов математического моделирования, адекватно учитывающих все стороны проблемы - физико-математическую, численную, машинную.

Истоки развиваемого в диссертации нового научного направления лежат в исследованиях, выполненных в восьмидесятые годы группой специалистов Института прикладной математики им. М.В.Келдыша АН СССР во главе с проф. Б.Н.Четверушкиным. Речь идет о численном моделировании газодинамических течений с помощью кинетически-согласованных разностных схем (КСРС). Конструкция КСРС опиралась на известную кинетическую модель, трактующую движение газа как совокупность циклически повторяющихся процессов бес-столкновительного разлета его атомов и последующей мгновенной релаксации к локально-равновесному состоянию. В 1984 г. Т.Г.Елизарова и Б.Н.Четверушкин выписали континуальный аналог КСРС -замкнутую систему уравнений, получившую название квазигазодинамической. Она отличалась от классической системы Эйлера дополнительными дивергентными слагаемыми, содержащими малый параметр т. При построении разностных схем величина т зависела от шага пространственной сетки, а добавочные члены интерпретировались как искусственные регуляризаторы. Уже первый опыт использования КСРС показал их эффективность в расчетах течений невязкого нетеплопроводного газа. Следующим шагом в развитии метода стало применение КСРС для численного моделирования задач, в которых влияние вязкости и теплопроводности является существенным. В частности, были рассчитаны колебания первого и второго рода, возникающие при обтекании сверхзвуковым газовым потоком цилиндрического тела с присоединенной к нему иглой.

В 1985 г. к этим исследованиям подключился автор. Были выписаны квазигазодинамические уравнения в инвариантной (тензорной) форме. С помощью усовершенствованных КСРС получены нестационарные течения, сопровождающиеся осцилляциями фронта ударной волны перед срезом резонансной трубки Гартмана, открытой навстречу набегающему сверхзвуковому потоку. В 1996 г. была введена еще одна базовая модель, за которой закрепилось название квазигидродинамической.

Цель данной диссертации - систематически изложить новый подход к математическому моделированию течений жидкости и газа, основанный на системах квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений (КГД-системах). Анализ показал, что обе системы описывают эволюцию надлежащим образом определенных локальных пространственно-временных средних гидродинамических величин -плотности, скорости и температуры. Предложен феноменологический путь их получения из интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии, момента импульса и энтропии в подвижном материальном объеме. При этом использованы две различные гипотезы замыкания. Представляют интерес выводы КГД-систем, опирающиеся на специальные конечно-разностные аппроксимации уравнений Навье-Стокса. Для квазигазодинамической системы существенно предположение об идеальности и политропности газа. Считается также, что на временном отрезке осреднения претерпевают заметные изменения все макроскопические параметры. Феноменологический вывод квазигидродинамической системы опирается на тождество

Гиббса, что позволяет использовать ее при моделировании течений широкого класса двухпараметрических сред. За физически бесконечно малое время в этом случае успевает измениться лишь скорость.

В диссертации показано, что для стационарных КГД-систем, представленных в безразмерной форме, дополнительные по сравнению с навье-стоксовскими слагаемые имеют второй порядок малости по числу Кнудсена Кп. Влияние этих членов незначительно, если Кп << 1. Однако их вклад становится существенным при числах Кнудсена, близких к единице, а также для сильно нестационарных течений. Теоретический анализ и результаты расчетов свидетельствуют о том, что квазигазодинамические уравнения целесообразно использовать для моделирования движений умеренно-разреженного идеального политропного газа, а квазигидродинамические - при исследовании течений неидеальных газов и ньютоновских жидкостей.

Привлекательная особенность квазигидродинамической системы заключается в возможности построения различных ее упрощенных форм: КГД-модели для несжимаемой изотермической жидкости, приближения типа Обербека-Буссинеска и других. Внутренняя непротиворечивость этих систем подтверждается наличием у них серии точных физически-адекватных решений. Заслуживают внимания предлагаемые обобщения КГД-уравнений на случай течений сжимаемых и несжимаемых вязких электропроводных сред.

С помощью КГД-систем в диссертационной работе построены новые консервативные и однородные разностные схемы. Проведены численные расчеты задач о поршне; структуре неподвижной ударной волны; течении несжимаемой жидкости в каверне с подвижной верхней крышкой; конвективных движениях жидкостей в прямоугольных полостях, подогреваемых сбоку (включая гравитационную конвекцию и конвекцию Марангони). Сравнение с экспериментальными данными, равно как и с результатами расчетов, полученными в рамках классических моделей, показало высокую эффективность предложенных алгоритмов.

Основные результаты диссертации были представлены на ряде международных и российских научных конференций [108], [112], [116], [119], [120], [124]—[126], [172]. Они докладывались и обсуждались также на семинарах в Институте математического моделирования РАН (1996); МГУ им. М.В.Ломоносова, физический факультет (1997); Вычислительном центре РАН (1998); Институте проблем механики РАН (1999). Значительная часть исследований выполнена при финансовой поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований NN 94-01-01526, 96-01-00976 и 98-01-00155.

Автор глубоко благодарен своим учителям - чл.-корр. РАН, проф. Б.Н.Четверушкину и д.ф.-м.н., проф. Т.Г.Елизаровой за многолетнюю поддержку и помощь в работе, а также признателен А.Н.Антонову, И.А.Граур, Д.Б.Гурову, И.С.Калачинской и А.В.Ключниковой за плодотворное сотрудничество.

Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах [118], [121]. Отметим еще, что рассмотренные здесь системы уравнений отличаются от квазигидродинамических моделей электронно-дырочной плазмы в полупроводниках, которые были исследованы в [158]—[161]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог, выделим наиболее существенные результаты настоящей диссертации.

• Дан последовательный феноменологический вывод предложенной автором квазигидродинамической системы уравнений. Обсуждена процедура формирования пространственно-временных средних гидродинамических величин, эволюцию которых описывает эта система.

• Предложены конечно-разностные выводы квазигидродинамической и квазигазодинамической систем.

• Для квазигазодинамической системы выведено уравнение баланса энтропии; доказано утверждение о неубывании полной термодинамической энтропии в адиабатически изолированных объемах; получены интегральные законы сохранения, а также аналог Я-теоремы для соответствующего модельного кинетического уравнения.

• Проведено аналитическое исследование квазигидродинамических уравнений: построено их точное решение, описывающее течение Ку-этта; выведено соотношение, выражающее второй закон термодинамики для отдельной лагранжевой частицы; введены массовые ла-гранжевы координаты; изучены свойства решений типа неподвижной ударной волны; построено приближение ламинарного пограничного слоя, совпадающее с классической системой Л.Прандтля; проведен асимптотический анализ добавочных членов в стационарном случае.

• Введена и исследована квазигидродинамическая модель течений вязкой несжимаемой жидкости. Доказана теорема о диссипации энергии; построена серия точных физически осмысленных решений; изучено влияние добавочных членов для течений в тонких капиллярах; выведено уравнение переноса тепла; проведен анализ единственности классического решения; выписан аналог системы Стокса.

• Для квазигидродинамических уравнений получено приближение типа Обербека-Буссинеска. Построены точные аналитические решения задач о конвекции жидкости в плоском вертикальном и горизонтальном слоях.

• Проведен асимптотический анализ добавочных членов в квазигазодинамической системе; исследованы свойства ее ударно-волновых решений. Проанализирована связь модельного кинетического уравнения с уравнением БГК в стационарном случае. Обсуждена проблема перехода к уравнениям для несжимаемой жидкости.

• С помощью квазигазодинамических уравнений построены новые разностные схемы для одномерных нестационарных течений газа в эйлеровых и лагранжевых координатах. Проведены тестовые расчеты задачи о поршне. В рамках квазигазодинамической модели численно исследована структура неподвижной ударной волны.

• На основе квазигидродинамической системы проведено математическое моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости в каверне. Численно исследованы стационарные и нестационарные конвективные течения в прямоугольных полостях, подогреваемых сбоку.

• Предложены квазигидродинамические модели течений электропроводных сред (как в сжимаемом, так и в несжимаемом случае). Изучены их диссипативные свойства; построены точные аналитические решения для задач Гартмана и Гершуни-Жуховицкого.

Таким образом, в диссертации получен ряд законченных теоретических и численных результатов, которые в совокупности можно квалифицировать как новое перспективное научное направление, связанное с математическим моделированием актуальных задач гидродинамики.

Интерес к этому направлению в последнее время возрастает. Обстоятельный обзор результатов, полученных с помощью кинетически-согласованных разностных схем и квазигазодинамической системы, представлен в недавно вышедшей монографии Б.Н.Четверушки-на [167]. Численному моделированию в рамках КСРС стационарных и нестационарных течений газа в кавернах различных конфигураций посвящена диссертация Л.В.Косарева [168]. В [169] предложен метод декомпозиции области течения разреженного газа для совместного решения уравнения Больцмана и квазигазодинамической системы. Опубликованы работы автора [170], [171] с подробным анализом свойств квазигазодинамических уравнений. В обзорной статье [128] представлены результаты теоретического и численного исследования КГД-систем.

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. Т. 1, 2.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

4. Липман Г.В., Рошко А. Элементы газовой динамики. М.: ИЛ, 1960.

5. Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Мир, 1965.

6. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1991. Ч. 1, 2.

7. Слезкин H.A. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат, 1955.

8. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

9. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамики. М.: Наука, 1978.

10. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1981.

11. Берд Г.А. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981.

12. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Болъцмана. М.: Мир, 1978.

13. Ланфорд О.Э., Гринберг У., Полевчак Я., Цфайфель П.Ф., Эрнст М.Х., Черчиньяни К., Кэфлиш Р.Э., Шпон Г. Неравновесные явления: уравнение Болъцмана. М.: Мир, 1986.

14. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

15. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. М.: ИЛ, 1960.

16. Бобылев A.B. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Болъцмана и Ландау. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1987.

17. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.

18. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982.

19. Алексеев Б.В., Гришин А.М. Физическая газодинамика реагирующих сред. М.: Высшая школа, 1985.

20. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М.: Наука, 1989.

21. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972.

22. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массопереноса. М.: Наука, 1984.

23. Тарунин E.JI. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Иркутский гос. ун-т, 1990.

24. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

25. Белоносов С.М., Черноус К.А. Краевые задачи для уравнений Навъе-Стокса. М.: Наука, 1985.

26. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.

27. Дородницын A.A. Избранные научные труды. М.: ВЦ РАН, 1997. Т. 2.

28. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

29. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990. Т. 1, 2.

30. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980.

31. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982.

32. Белоцерковский О.М. Вычислительная механика: современные проблемы и результаты. М.: Наука, 1991.

33. Белоцерковский О.М. Численный эксперимент в турбулентности: от порядка к хаосу. М.: Наука, 1997.

34. Шокин Ю.И., Яненко H.H. Метод дифференциального приближения: применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985.

35. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М.: Наука, 1990.

36. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. М.: Наука, 1985.

37. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука,

38. Великович А.Jl., Либерман М.А. Физика ударных волн в газах и плазме. М.: Наука, 1987.

39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973.

40. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

42. Половин Р.В., Демуцкий В.П. Основы магнитной гидродинамики. М.: Энергоатомиздат, 1987.

43. Вулис Л.А., Генкин А.Л., Фоменко Б.А. Теория и расчет маг-нитогазодинамических течений. М.: Атомиздат, 1971.

44. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.

45. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

46. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

47. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

48. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.

49. Сивухин Д.В. Общий курс физики: механика. М.: Наука, 1979.

50. Сивухин Д.В. Общий курс физики: термодинамика и молекулярная физика. М.: Наука, 1979.

51. Сивухин Д.В. Общий курс физики: электричество. М.: Наука, 1979.

52. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант: к решению парадокса времени. М.: Прогресс, 1994.

53. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1976.

54. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971.

55. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики. М.: МФТИ, 1997.

56. Шмыглевский Ю.Д. Аналитические исследования динамики газа и жидкости. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

57. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. М.: ЯНУС, 1995. Т. 1.

58. Алексеев Б.В. Обобщенная болъцмановская физическая кинетика. М.: МИТХТ им. М.В.Ломоносова. 1997. Ч. 1, 2.

59. Карякин Н.И., Быстров К.Н., Киреев П.С. Краткий справочник по физике. М.: Высшая школа, 1969.

60. Барон Н.М., Квят Э.И., Подгорная Е.А., Пономарева A.M., Равдель А.А., Тимофеева З.Н. Краткий справочник физико-химических величин. Л.: Химия, 1967.

61. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1945.

62. Наберухин Ю.И. Структурные модели жидкостей. Новосибирск: НГУ, 1981.

63. Поткин В.В. Кинетический анализ разностных схем для газовой динамики // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1975. Т. 15, N 6. С. 1492-1498.

64. Reitz R.D. One-Dimensional Compressible Gas Dynamic Calculations Using the Boltzmann Equation //J. Comput. Phys. 1981. V. 42, N 1. P. 108-123.

65. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Решение уравнений Эйлера и Навъе-Стокса на основе операторного расщепления кинетического уравнения // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272, N 3. С. 555-559.

66. Deshpande S.M., Mandal J.С. Kinetic Theory Based New Upwind Methods for Inviscid Compressible Flow // Theor. and Appl. Mech. Sofia: Bulgarian Acad. Sci., 1988. V. 19, N 3. P. 32-38.

67. Kaniel S. A Kinetic Model for Compressible Flow Equations // Indiana Univ. Math. J. 1988. V. 37, N 3. P. 537-563.

68. Backer M., Dressier K. A Kinetic Method for Strictly Nonlinear Conservation Low: Preprint N 165 Univ. Kaiserslautern, 1989. 22 p.

69. Волчинская М.И., Павлов A.H., Четверушкин Б.Н. Об одной схеме интегрирования уравнений газовой динамики: Препринт N 113. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1983. 12 с.

70. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений // Докл. АН СССР. 1984. Т. 279, N 1. С. 80-83.

71. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетический алгоритм для расчета газодинамических течений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1985. Т. 25, N 10. С. 1526-1533.

72. Лукшин A.B. Разностные аналоги уравнения Болъцмана и уравнения макроскопической динамики // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, N 7. С. 1202-1208.

73. Елизарова Т.Г., Павлов А.Н., Четверушкин Б.Н. Применение кинетического алгоритма для расчета газодинамических течений // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, N 7. С. 1180-1185.

74. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений // Математическое моделирование: процессы в нелинейных средах. М.: Наука, 1986. С. 261-278.

75. Елизарова Т.Г., Павлов А.Н., Четверушкин Б.Н. Использование квазигазодинамической системы уравнений для расчета обтекания тела с иглой // Докл. АН СССР. 1987. Т. 292, N 2. С. 327-331.

76. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы для моделирования течений вязкого теплопроводного газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1988. Т. 28, N 11. С. 1695-1710.

77. Антонов А.Н., Елизарова Т.Г., Павлов А.Н., Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование колебательных режимов при обтекании тела с иглой // Мат. моделирование. 1989. Т. 1, N 1. С. 14-23.

78. Траур И.А., Четверушкин Б.Н. Численное моделирование турбулентного обтекания прямой ступеньки // Мат. моделирование. 1990. Т. 2, N И. С. 32-44.

79. Дородницын Л.В. Кинетически-согласованные разностные схемы для моделирования реагирующих течений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1993. Т. 33, N 12. С. 1864-1878.

80. Elizarova T.G., Graur I.A., Lengrand J.С., Chpoun A. Rarefied Gas Flow Simulation Based On Qusig as dynamic Equations / / AIAA J. 1995. V. 33, N 12. P. 2316-2324.

81. Lengrand J.С., Chpoun A., Graur I.A., Elizarova T.G. Supersonic Rarefied Gas Flow Around a Perpendicular Disk: R 95-6. Meudon: Laboratoire D'Aerothermique du CNRS, 1995. 24 p.

82. Лукшин A.B., Четверушкин Б.H. К теории кинетически-согласованных разностных схем // Мат. моделирование. 1995. Т. 7, N 11. С. 109-125.

83. Антонов М.А., Траур И.А., Косарев Л.В., Четверушкин Б.Н. Численное моделирование пулъсационного режима обтекания выемки // Мат. моделирование. 1995. Т. 7, N 11. С. 3-15.

84. Антонов М.А., Траур И.А., Косарев Л.В., Четверушкин Б.Н. Численное моделирование пульсаций давления в трехмерных выемках // Мат. моделирование. 1996. Т. 8, N 5. С. 76-90.

85. Абалакин И.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений // Мат. моделирование. 1996. Т. 8, N 8. С. 17-36.

86. Дородницын Л.В., Корнилина М.А., Четверушкин Б.Н., Яко-бовский М.В. Моделирование газовых течений при наличии химически активных компонентов // Журн. физ. химии.1997. Т. 71, N 12. С. 2275-2281.

87. Давиташвили Т.Д., Елизарова Т.Г., Криадо Ф., Меладзе Г.В., Схиртладзе Н.М. О сходимости кинетически-согласованных разностных схем газовой динамики: Препринт. М.: Диалог1. МГУ, 1999. 35 с.

88. Павлов А.Н. Применение кинетических моделей для расчета газодинамических течений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1988.

89. Елизарова Т.Г. Кинетически-согласованные разностные схемы газовой динамики: Дис. . докт. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1989.

90. Граур И.А. Кинетически-согласованные разностные схемы для расчета течений вязкого теплопроводного газа: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1989.

91. Дуйсекулов А.Е. Применение многопроцессорных вычислительных систем для решения задач газовой динамики: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1991.

92. Шеретов Ю.В. Численное моделирование сверхзвуковых течений газа на основе квазигазодинамических уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МФТИ, 1991.

93. Дородницын JI.B. Кинетически-согласованные алгоритмы моделирования сверхзвуковых течений реального газа: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1992.

94. Антонов М.А. Численное и экспериментальное исследование сверхзвукового обтекания выемки // Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: ИММ РАН, 1994.

95. Жохова A.B. Кинетически-согласованные разностные схемы для расчета газодинамических течений на криволинейных сетках и на сетках нерегулярной структуры // Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1998.

96. Ключникова A.B. Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе квазигидродинамических уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1999.

97. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Инвариантный вид системы квазигазодинамических уравнений и ее связь с уравнениями Навъе-Стокса: Препринт N 230. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1987. 18 с.

98. Антонов А.Н., Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н., Шеретов Ю.В. Расчет пульсационных режимов, возникающих при сверхзвуковом обтекании резонансной трубки: Препринт N 91. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1989. 24 с.

99. Антонов А.Н., Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н., Шеретов Ю.В. Численное моделирование пулъсационных режимов при сверхзвуковом обтекании полого цилиндра // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1990. Т. 30, N 4. С. 548-556.

100. Шеретов Ю.В. Уравнения Навъе-Стокса как асимптотика обобщенной квазигазодинамической системы: Препринт N 46. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990. 12 с.

101. Шеретов Ю.В. Теорема об энтропии для квазигазодинамических уравнений: Препринт N 131. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1990. 21 с.

102. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. О свойствах решений типа ударной волны для квазигазодинамических уравнений: Препринт N 156. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1990. 15 с.

103. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Инвариантный вид и асимптотические свойства обобщенной квазигазодинамической системы // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1991. Т. 31, N 7. С. 1042-1050.

104. Траур И.А., Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Расчет структуры неподвижной ударной волны на основе квазигазодинамических уравнений: Препринт N 42. М.: Всесоюз. центр мат. моделирования РАН, 1992. 20 с.

105. Шеретов Ю.В. Теорема о диссипации энергии и точные решения системы квазигидродинамических уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1994. Т. 34, N 3. С. 483491.

106. Шеретов Ю.В. О единственности решений одной диссипа-тивной системы гидродинамического типа // Мат. моделирование. 1994. Т. 6, N 10. С. 35-45.

107. Elizarova T.G., Graur I.A., Sheretov Yu.V. Quasi-Gas-Dynamic Equations and Computer Simulation of Rarefied Gas Flows // Proc. of the 19-th Intern. Symp. on Shock Waves. Berlin: Springer-Verlag, 1995. V. 4. P. 45-50.

108. Гуров Д.Б., Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Численное моделирование течений жидкости в каверне на основе квазигидродинамической системы уравнений // Мат. моделирование. 1996. Т. 8, N 7. С. 33-44.

109. Шеретов Ю.В. Новая математическая модель течений сплошной среды // Ученые записки. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1996. Т. 1. С. 32-33.

110. Шеретов Ю.В. Об одной новой математической модели в гидродинамике // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1996. С. 124134.

111. Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические уравнения как модель течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1997. С. 127-155.

112. Шеретов Ю.В. Квазигидродинамическая модель течений электропроводной вязкой жидкости в электромагнитном поле // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1997. С. 155-169.

113. Шеретов Ю.В. О точных решениях квазигидродинамических уравнений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1998. С. 213-241.

114. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Ключникова А.В., Шере-тов Ю.В. Расчет конвективных течений на основе квазигидродинамических уравнений // Проблемы математической физики. М.: Диалог-МГУ, 1998. С. 193-208.

115. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Ключникова А.В., Ше-ретов Ю.В. Использование квазигидродинамических уравнений для моделирования тепловой конвекции при малых числах Прандтля // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1998. Т. 38, N 10. С. 1732-1742.

116. Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические модели течений сплошной среды // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти C.JI. Соболева. Тез. докл. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1998. Ч. 2. С. 132-133.

117. Шеретов Ю.В. Теоретическое и численное исследование систем уравнений квазигидродинамического типа // Тез. докл. всероссийск. научн. конф. "Фридмановские чтения". Пермь: Пермский гос. ун-т, 1998. С. 48.

118. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Теоретическое и численное исследование квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2001. Т. 41, N 2. С. 239-255.

119. Слезкин Н.А. О дифференциальных уравнениях движения газа // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77, N 2. С. 205-207.

120. Валландер С.В. Уравнения движения вязкого газа // Докл. АН СССР. 1951. Т. 78, N 1. С. 25-27.

121. Климонтович Ю.Л. О необходимости и возможности единого описания кинетических и гидродинамических процессов //

122. Теор. и мат. физика. 1992. Т. 92, N 2. С. 312-330.

123. Алексеев Б.В. Обобщенная болъцмановская физическая кинетика // Теплофизика высоких температур. 1997. Т. 35, N 1. С. 129-146.

124. Толстой Д.М. Скольжение ртути по стеклу // Докл. АН СССР. 1952. Т. 85, N 6. С. 1329-1332.

125. Виноградов Г.В., Синицын В.В. Вязкостные свойства Na-смазок и влияние пристенного эффекта на их течение // Докл. АН СССР. 1952. Т. 86, N 3. С. 573-576.

126. Jastrzebski Z.D. Entrance Effects and Wall Effects in an Extrusion Rheometer During the Flow of Concentrated Suspensions II Industr. Eng. Chem. Fundamentals. 1967. V. 6, N 3. P. 445-454.

127. Дерягин Б.В., Федякин H.H. Скольжение жидкостей в капиллярах 11 Докл. АН СССР. 1968. Т. 182, N 6. С. 13001302.

128. Трилисский К.К., Фройштетер Г.Б., Смородинский Э.Л., Грищук В.И. О пристенном эффекте при течении пластичных дисперсных систем // Коллоидный журн. 1973. Т. 35, N 6. С. 1109-1116.

129. Гориславец В.М., Дунец А.А. Исследование реологических свойств концентрированных суспензий приналичии пристенного эффекта // Инж. физ. журн. 1975. Т. 29, N 2. С. 273-282.

130. Грынь В.И. О точных решениях уравнений Навъе-Стокса // Прикладн. математика и механика. 1991. Т. 55, вып. 3. С. 373-381.

131. Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // Журн. прикладн. механ. и технич. физики. 1966. N 3. С. 69-72.

132. Кирдяшкин А.Г. Термокапиллярная и термогравитационная конвекция в горизонтальном слое жидкости // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости. Свердловск, 1983. С. 126-151.

133. Bird G.A. Definition of Mean Free Path for Real Gases // Physics of Fluids. 1983. V. 26, N 11. P. 3222-3223.

134. Alsmeyer H. Density Profiles in Argon and Nitrogen Shock Waves Measured by the Absorption of an Electron Beam // J. Fluid Mech. 1976. V. 74, N 3. P. 497-513.

135. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Структура ударной волны в одноатомном газе при степенных потенциалах взаимодействия // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1982. N 6. С. 179-183.

136. Ghia U., Ghia K.N., Shin С.Т. High-Re Solutions for Incompressible Flow Using the Navier-Stokes Equations and a Multigrid Method II 3. Comput. Phys. 1982. V. 48, N 3. P. 387-411.

137. Kershaw D.S. The Incomplete Cholesky-Conjugate Gradient Method for the Iterative Solution of Systems of Linear Equations // J. Comput. Phys. 1978. V. 26, N 1. P. 43-65.

138. Библиотека программ для решения сеточных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984.

139. Вабищевич П.Н., Макаров М.М., Чуданов В.В., Чурбанов А.Г. Численное моделирование конвективных течений в переменных "функция тока, вихрь скорости, температураПрепринт N 28. М.: ИММ РАН, 1993. 20 с.

140. De Vahl Davis G., Jones LP. Natural Convection in a Square Cavity: a Comparison Exercise // Int. J. Numer. Meth. in Fluids. 1983. N 3. P. 227-248.

141. Numerical Simulation of Oscillatory Convection in Low-Pr Fluids. A GAMM-Workshop // Notes on Numer. Fluid Mech. Braunschweig: Vieweg, 1990. V. 27.

142. Behnia M. Synthesis of Finite Difference Methods // Numerical Simulation of Oscillatory Convection in Low-Pr Fluids. Braunschweig: Vieweg, 1990. P. 265-272.

143. Behnia M., De Vahl Davis G. Fine Mesh Solutions Using Steam-function- Vorticity Formulation // Numerical Simulation of Oscillatory Convection in Low-Pr Fluids. Braunschweig: Vieweg, 1990. P. 11-18.

144. Ben Hadid H., Roux B. Buoyancy-Driven Oscillatory Flows in Shallow Cavities Filled with a Low-Prandtl Number Fluid // Numerical Simulation of Oscillatory Convection in Low-Pr Fluids. Braunschweig: Vieweg, 1990. P. 25-34.

145. Biringen S., Danabasoglu G., Eastmen Т.К. A Finite-Difference Method with Direct Solvers for Thermally-Driven Cavity Problems // Numerical Simulation of Oscillatory Convection in Low-Pr Fluids. Braunschweig: Vieweg, 1990. P. 35-42.

146. Ohshima H., Ninokata H. Numerical Simulation of Oscillatory Convection in Low Prandtl Number Fluids Using AQUA

147. Code // Numerical Simulation of Oscillatory Convection in Low-Pr Fluids. Braunschweig: Vieweg, 1990. P. 90-97.

148. Ohnishi M., Azuma H., Doi T. Computer Simulation of Oscillatory Marangoni Flow // Acta Astrounautica. 1992. V. 26, N 8-10. P. 685-696.

149. Roux В., Ben Hadid H., Laure P. Hydrodynamical Regimes in Metallic Melts Subject to Horizontal Temperature Gradient // Eur. J. Mech. B: Fluids. 1989. V. 8, N 5. P. 375-396.

150. Николаева В.А., Рыжий В.И., Четверушкин Б.Н. Алгоритм решения квазигидродинамической модели электронной плазмы в двумерных полупроводниковых структурах: Препринт N 190. М.: ИПМ. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1986. 28 с.

151. Бирюкова Л.Ю., Четверушкин Б.Н. О возможности реализации квазигидродинамической модели полупроводниковой плазмы на многопроцессорных вычислительных системах // Мат. моделирование. 1991. Т. 3, N 6. С. 61-71.

152. Melnik R.V.N. Semi-Implicit Finite-Difference Schemes with Flow Correction for Quasi-Hydrodynamic Models of Semiconductor Devices // Engineering Simulation: An Intern. J. of Electrical, Electronic and other Phys. Systems. 1995. V. 12. P. 856-865.

153. Melnik R.V.N., Melnik K.N. Modelling of Nonlocal Physical Effects in Semiconductor Plasma Using Quasi-Hydrodynamic Models // Computational Techniques and Applications. Proc. CTAC-97. Adelaide: World Scientific, 1998. P. 441-448.

154. Deshpande S.M., Kulkarni P.S., Ghosh A.K. New Developments in Kinetic Schemes // Comput. Math. Appl. 1998. V. 35, N 1-2. P. 75-93.

155. Елизарова Т.Г., Широков И.А. Макроскопическая модель течений газа с поступательно-вращательной неравновесностью // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1999. Т. 39, N 1. С. 141-153.

156. Широков И.А. Численное моделирование течений умеренно-разреженного газа на основе квазигазодинамических уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: ИММ РАН, 1999.

157. Graur I.A., Elizarova T.G., Lengrand J.С. Numerical Computation of Shock Wave Configurations in Underexpanded Jets: R 99-2. Orleans: Laboratoire D'Aerothermique du CNRS, 1999. 25 p.

158. Граур И.А. Алгоритмы численного решения квазигазодинамических уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1999. Т. 39, N 8. С. 1356-1371.

159. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. М.: МГУ, 1999.

160. Косарев Л.В. Численное моделирование нестационарных отрывных течений на параллельной вычислительной системе: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: ИММ РАН, 1999.

161. Ярчук Л.В. Квазигазодинамический подход к методу декомпозиции области моделирования течений разреженных газов: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1999.

162. Шеретов Ю.В. Некоторые свойства квазигазодинамических уравнений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2000. С. 134-149.

163. Шеретов Ю.В. Теорема о балансе энтропии для квазигазодинамических уравнений // Моделирование сложных систем. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2000. Вып. 3. С. 30-34.