автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе квазигидродинамических уравнений

X / /

/ / (. / I $ ,./ / л — .. ..

• .'7 Ч '// Л О

"СУ I V ч/ / /

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи УДК 519.633:532.51

А.В. КЛЮЧНИКОВА

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ОСНОВЕ КВАЗИГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

/Специальность ~ 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ/

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физжо-математических наук

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук

И.С. КАЛАЧИНСКАЯ

Научный консультант

доктор физико-математических наук,

профессор Т.Г. ЕЛИЗАРОВА

Москва, 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение..........................................................................................................3

Глава I. Методы численного моделирования задач гидродинамики............7

1.1. Обзор методов решения уравнений Навье-Стокса......................7

1.2. Квазигидродинамическая модель................................................14

Глава П. Методы численного решения КГД-системы..................................19

2.1. Общая схема решения..................................................................19

2.2. Разностная аппроксимация системы уравнений и явный метод решения уравнений переноса..........................................................22

2.3. Неявный метод решения уравнений переноса............................26

2.4. Метод решения уравнения Пуассона............................................32

2.5. Метод приближенной факторизации сопряженных градиентов . 35 Глава III. Апробация метода..........................................................................42

Введение................................................................................................42

3.1. Задача о течении жидкости в канале............................................44

3.2. Тепловая конвекция в квадратной области, вызванная горизонтальным градиентом температур........................................48

3.3. Тепловая конвекция при малых числах Прандтля........................52

3.3.1. Результаты расчетов для Я-Я случая..........................................53

3.3.2. Результаты расчетов для К-Б случая...........................56

3.4. Задача о конвекции Марангони....................................................58

Глава IV. Моделирование термокапиллярной конвекции в процессе

бестигельной зонной плавки в условиях невесомости..................................73

4.1. Введение........................................................................................73

4.2. КГД-система с учетом диффузии примеси..................................74

4.3. Постановка задачи..........................................................................76

4.4. Результаты расчетов......................................................................77

Заключение......................................................................................................85

Литература....................................................................86

Введение.

Актуальной задачей современной гидродинамики является численное моделирование конвективных течений несжимаемой жидкости, связанных с многочисленными техническими приложениями: тепловая гравитационная конвекция в расплавах, термокапиллярная конвекция при отсутствии гравитации (многие процессы космической технологии: направленная кристаллизация, бестигельная зонная плавка) и др.

Большинство алгоритмов для расчета таких течений строится на основе традиционных уравнений Навье-Стокса, однако, несмотря на большой опыт решения этих уравнений, их численная реализация встречается с значительными трудностями.

Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов для моделирования течений несжимаемой жидкости является использование квазигидродинамической (КГД) системы уравнений, которые отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными вязкими членами с малым параметром.

Цель работы состоит в создании численных алгоритмов решения квазигидродинамических уравнений и их апробация на характерных задачах о течении жидкости как стационарного, так и нестационарного типа, а также их сравнение с традиционными численными методами.

Опираясь на предложенные КГД-уравнения, в диссертации построены явные и неявные разностные схемы для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости. В отличие от традиционных схем, данные алгоритмы не требуют введения искусственной вязкости для обеспечения устойчивости счета при моделировании течений с большими скоростями. Роль регуляризирующих добавок в этих алгоритмах играют дополнительные диссипативные члены, входящие в КГД-уравнения и отсутствующие в традиционных уравнениях Навье-Стокса. Это позволяет использовать центрально-разностную

апгшроксимацию второго порядка точности для всех пространственных производных, включая конвективные слагаемые.

Построенный в диссертации алгоритм является удобным и эффективным способом численного расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в широком диапазоне параметров.

На основе построенных алгоритмов проведено численное моделирование стационарных и нестационарных режимов тепловой гравитационной конвекции, а также ряда режимов термокапиллярной конвекции, представляющих практический интерес.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, изложенных на 78 страницах, 53 иллюстраций и списка литературы, содержащего 50 наименований.

В первой главе приводится обзор современных методов решения системы уравнений Навье-Стокса, при этом особое внимание уделяется принципиальным трудностям, которые возникают при численном решении этих уравнений. Во втором параграфе этой главы дано сжатое изложение нового подхода к описанию задач гидродинамики - системы КГД уравнений.

Во II главе разработана разностная аппроксимация КГД-системы. Рассмотрены явный и неявный численные методы решения получившейся системы разностных уравнений. В первом параграфе этой главы приводится общая схема решения КГД-системы, обсуждаются преимущества и недостатки явного и неявного методов решения уравнений переноса, а также описывается методика представления результатов расчетов. В параграфе 2.2 описывается разностная аппроксимация системы уравнений и граничных

и С КА ТЧ

условии, приводится явный метод решения уравнении переноса. В третьем параграфе II главы излагается процесс построения неявного метода решения уравнений переноса. Параграф 2.4 посвящен методу решения уравнения Пуассона для давления, здесь изложен способ аппроксимации граничных условий для давления, обеспечивающий симметричность и положительную определенность матрицы краевой задачи. В пятом параграфе описывается

метод приближенной факторизации сопряженных градиентов для решения СЛАУ с симметричной положительно определенной матрицей.

В III главе на основе КГД-системы проводятся численные расчеты ряда известных тестовых задач с использованием разработанных численных методов. В частности, рассмотрены как стационарные задачи (течение Пуазейля, тепловая конвекция, вызванная горизонтальным градиентом температур, конвекция Марангони), так и задача о тепловой конвекции при малых числах Прандгля, течение в которой в зависимости от величины параметра (числа Грасгофа) представляет собой либо стационарный, либо сложный колебательный режим. Полученные результаты сравниваются с данными численных расчетов рассматриваемых задач на основе системы Навье-Стокса. Первый параграф данной главы посвящен задаче о течении жидкости в канале. В параграфе 3.2 рассматривается стационарное конвективное движение жидкости в квадратной полости с двумя вертикальными изотермическими стенками. В третьем параграфе III главы рассмотрена тепловая гравитационная конвекция при малых числах Прандтля для двух различных типов условий на верхней границе. В параграфе 3.4 проводится рассмотрение термокапиллярной конвекции жидкости при отсутствии гравитации.

В IV главе КГД-система применяется для численного решения практической задачи, возникающей при получении кристаллов методом зонной плавки в условиях невесомости, когда конвективное движение расплава определяется процессами термокапиллярной конвекции, или конвекции Марангони.

Как показывает практика расчетов, КГД уравнения представляются удачной моделью для численного анализа конвективных течений в широком диапазоне параметров. КГД-систему можно эффективно использовать для расчета сложных нестационарных конвективных движений. Возможно использование построенных численных алгоритмов для решения ряда практических задач.

Основные результаты диссертации докладывались:

- на IV Международной конференции "МАТЕМАТИКА, КОМПЬЮТЕР, ОБРАЗОВАНИЕ" /г. Пущино, 1997 г./;

- на X Европейском и VI Российском симпозиуме "Физические науки в невесомости" /С. Петербург, 1997 г./;

- на семинаре в институте вычислительной математики РАН /8 октября 1998г./;

- на совместном заседании кафедры вычислительных методов и лаборатории математического моделирования в физике ф-та ВМиК МГУ /14 октября 1998 г./;

- на семинаре института проблем механики РАН под рук. В.И. Полежаева /22 декабря 1998 г./.

Тезисы по материалам IV главы приняты на 2nd International Symposium on Computational Technologies for Fluid/Thermal/Chemical Systems with Industrial Applications (ASME-PVP), Boston, August 1-5, 1999.

Работа поддержана грантом РФФИ 98-01-00155 «Новые подходы и численные алгоритмы для моделирования вязких течений газа и жидкости».

Материалы, представляющие содержание диссертации, с достаточной полнотой опубликованы в [46]-[50].

В заключение автор считает приятным долгом выразить признательность своему научному руководителю Калачинской Ирине Станиславовне и научному консультанту Елизаровой Татьяне Геннадьевне за постоянную поддержку в работе, внимательный ее разбор и ценные замечания и предложения по улучшению изложения материала.

Глава I. Методы численного моделирования задач гидродинамики.

1.1. Обзор методов решения уравнений Навье-Стокса.

Для описания течений вязкой несжимаемой жидкости широко применяется система уравнений Навье-Стокса [1]. В механике жидкости и газа математическое моделирование на основе уравнений Навье-Стокса является следуюпщм шагом вслед за моделированием на основе уравнений Эйлера и уравнений пограничного слоя. Впервые на основании соображений о взаимодействии молекул эти уравнения были получены Навье в 1822 г. и Пуассоном в 1829 г., а затем Сен-Венаном в 1843 г. и Стоксом в 1845 г. [2].

Эти уравнения могут быть записаны как в так называемых естественных переменных "скорость - давление", так и в переменных "функция тока - вихрь скорости". И у того, и другого подхода есть свои преимущества и свои недостатки. Рассмотрим кратко основные особенности этих двух подходов.

Система безразмерных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных в "консервативной" или "дивергентной" форме имеет вид [3]:

напряжений, р - безразмерное давление, и - вектор скорости, Ле - число Рейнольдса.

В плоском двумерном случае (и=(и,у)) система записывается в виде:

йЪгй = 0, ди _ ^

— + -V/? + ¿/М1ж,

- навье-стоксовскии тензор вязких

дх ду

(1.1а)

(1.16)

(1.1в)

Продифференцировав второе уравнение по х, а третье уравнение по у и сложив получившиеся уравнения, получим уравнение Пуассона для давления:

д2р д2р^д2(и2) | 2а2(г/у) д2(у2) ЭР 1 (д2Р д2РЛ дх2 ду2 ~ дх2 дхду ду2 д1 Яе

+

дх ду

2

У

(1.2)

где символом Р обозначена дивергенция скорости, т. е. Р = — + ~.

дх ду

Таким образом, при первом подходе уравнение для давления является следствием уравнений количества движения. Разностная аппроксимация этого уравнения обладает следующей особенностью, которая впервые была рассмотрена в Лос-Аламосской лаборатории (Харлоу и Уэлч [1965] [3]) при разработке известного метода маркеров и ячеек. Эта особенность состоит в том, что при численном решении уравнения (1.2) нужно рассчитывать члены, содержащие Р, хотя из уравнения неразрывности (1.1а) следует, что Р=0. Это вызвано тем, что из-за несовместимости граничных условий или из-за недостаточной степени точности итерационного решения уравнения Пуассона конечно-разностный аналог Р оказывается отличным от нуля. Члены уравнения (1.2), содержащие Р, можно было бы приравнять нулю, не меняя порядка аппроксимации, однако так как уравнение Пуассона решается итерационным методом, то ошибка будет накапливаться. При решении уравнения Пуассона для давления на границе ставятся условия второго рода, т. е. для нахождения давления необходимо решить краевую задачу Неймана. Величина градиента давления находится из уравнений (1.1). Поэтому численное решение задачи Неймана для давления при использовании естественных переменных вызывает некоторые трудности, что является одним из недостатков первого подхода.

Кроме того, как уже было отмечено, возникают проблемы с выполнением уравнения неразрывности.

Для скорости на границе ставятся естественные граничные условия, определяемые конкретной задачей. Простота постановки граничных условий

для скорости - важное преимущество использования уравнений Навье-Стокса в переменных "скорость ~ давление". Также достоинством этого подхода является естественность его обобщения на трехмерный случай.

Перейдем теперь к рассмотрению второго подхода. При этом для простоты изложения ограничимся плоским двумерным случаем. Из уравнений количества движения (1.16) и (1.1в) можно исключить давление, продифференцировав первое из них по у, а второе по х, и вычтя второе из получившихся уравнений из первого с учетом уравнения неразрывности (1.1а). Определяя в двумерном случае вихрь скорости как

с»-«

дх ду

получаем уравнение переноса вихря:

ас з(<) _ 1 (д2с , а2<гЛ

dt дх ду Re

^âc2 ду2

(1.4)

Определяя функцию тока ^соотношениями:

д¥ д¥

-~ = и, — = -у, (1.5)

ду дх

уравнение (1.3) можно записать как уравнение Пуассона для функции тока: д2¥ д2¥

Очевидно, что при таком подходе из самого определения функции тока следует, что уравнение неразрывности выполняется точно, в отличие от случая использования естественных переменных.

Процедура численного решения заключается в нахождении вихря на новом шаге по времени из уравнения (1.4), затем нахождении новой функции тока итерационным методом ю уравнения Пуассона (1.6) с новой правой частью, последующем расчете новой скорости по формулам (1.5) и повторе этого цикла до достижения заданной степени точности.

При реализации указанного подхода возникают трудности с постановкой граничных условий для вихря скорости. Например, при

решении задачи в замкнутой области для нахождения функции тока ставится граничное условие первого рода: функция тока на границе полагается равной нулю. Заметим, что при этом из уравнений (1.5) следует, что производные функции тока также должны обращаться в ноль, что делает задачу (1.6) переопределенной. В то же время условия на границе для уравнения (1.4) оказываются неопределенными. Задание граничных условий для вихря представляет большую сложность. Аналитического выражения граничных условий на твердой стенке для вихря не существует, они получаются различными способами [3] исходя из разностной аппроксимации уравнения (1.6) на границе с учетом соотношения (1.5).

При обобщении на трехмерный случай вектор вихря скорости

определяется как С, - V х V, соответственно уравнение переноса вихря становится векторным. Вместо функции тока, т. е. такой функции, что изолиния W = const представляет собой линию тока, которой для пространственного течения не существует, для соленоидального векторного поля (т. е. удовлетворяющего уравнению неразрывности) вводится векторный потенциал ¥: V = V х¥. При определении ¥ возникает дополнительная степень произвола. Если потребовать выполнения условий соленоидальности вектора ¥, то этот вектор будет удовлетворять векторному уравнению Пуассона - А¥ = £. Следовательно, на каждом шаге по времени надо решать три уравнения Пуассона. Таким образом, обобщение на трехмерный случай представляет собой значительную сложность.

Дополнительный ряд трудностей, возникающих при построении численных алгоритмов решения системы уравнений Навье-Стокса, в значительной мере связан с моделированием течений с большими скоростями. Это связано как с необходимостью использования очень подробных сеток для разрешения пограничных слоев, так и с проблемами построения специфических аппроксимаций или введением регуляризаторов специального вида для обеспечения устойчивости счета.

Однако, система уравнений Навье-Стокса широко использовалась и используется при решении многих практических задач из различных областей, например металлургии (движение жидких металлов по трубам и каналам), теории смазки подшипников (движение вязкой жидкости в тонкой пленке между валом и подшипником), кристаллохимии (выращивание полупроводниковых кристаллов из расплавов). Поэтому, несмотря на указанные проблемы, накоплен большой опыт ее численного решения. Перечислим некоторые наиболее эффективные и широко используемые в настоящее время подходы, используемые для решения практических задач.

Достаточно простым в реализации и эффективным алгоритмом решения двумерных плоских и осесимметричных задач является неявный метод переменных направлений [3], построенный для уравнений, записа