автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие численных методов для математического моделирования нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов

На правах рукописи

005536546 ,у _ //л-;/-

Какушкин Сергей Николаевич

РАЗВИТИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НАХОЖДЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ВОЗМУЩЕННЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

31 ОКТ 2013

Челябинск - 2013

005536546

Работа выполнена па кафедре прикладной математики и вычислительной техники ФГБОУ ВПО „Магнитогорский государственный университет".

Научный руководитель: доктор физико-математических паук.

профессор Кадчепко Сергей Иванович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО „Воронежский государственный

университет".

Защита состоится 8 ноября 2013 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при ФГБОУ ВПО „Южно-Уральский государственный университет" (НИУ). по адресу: 454080. г. Челябинск, пр. Ленина,76. ауд. 1001.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Уральского государственного университета.

Автореферат разослан -■- ^ октября 2013 г.

Ученый секретарь

ФГБОУ ВПО „Южно-Уральский государственный университет" (НИУ), зав. каф. экономико-математических методов и статистики Пашоков Анатолий Васильевич; доктор физико-математических паук, профессор. Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, зав. каф. математического моделирования Мустафипа Светлана Анатольевна.

диссертационного совета, доктор физ.-мат. паук, доцент

А. В. Келлер

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование задач нахождения значений собственных функцнй дискретных операторов приобретает большой интерес в связи с широкой областью использования краевых, начально-краевых и спектральных задач в науке и технике, например, задачи гидродинамической теории устойчивости, электрических колебаний в протяженной линии, сейсморазведки, идентификации композитных материалов, проблем неразрушаюгцего контроля, нелинейных эволюционных уравнений, редукции измерений за характеристику направленности антенны, обработка изображений (иконика), определение функций распределения истинных конфигураций тройных звезд и др.

Современные методы математического моделирования задач вычисления значений собственных функций возмущенных дискретных операторов основываются на составлении матрицы линейного оператора и нахождении собственных векторов этой матрицы. Суть метода А. М. Данилевского нахождения собственных векторов матрицы заключается в приведении векового определителя к нормальному виду Фро-бениуса. Согласно этому методу, переход от исходной матрицы А размера п х п к подобной ей матрице Фробениуса В1 осуществляется с помощью п — 1 преобразований подобий, последовательно преобразующих строки матрицы А, начиная с последней, в соответствующие строки матрицы В. В методе Крылова А. Н., для определения собственных векторов матриц необходимо решить систему линейных уравнений относительно коэффициентов характеристического полином;?. Однако, система уравнений может не иметь единственного решения при неудачном выборе начального вектора. Метод Леверрье, основанный на формулах Ньютона для сумм степеней корней алгебраического уравнения, весьма трудоемок, так как приходится подсчитывать высокие степени исходной матрицы.

'Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И. А. Мароа. - М.: Наука, 1966. -064 с.

2Фздцеев, Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д. К. Фаддеев, В. Н. Фадцеева. - М.: Гостехичдат, 1950. - 656 с.

3

ч

Идеи эффективного метода приближенного вычисления собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов, названного авторами методом регуляризованных следов (РС), были сформулированы в работе В. А. Садовничего и В. В. Дубровского3. При этом метод РС основан не на матричном представлении дискретных операторов, а на спектральных характеристиках невозмущенного оператора и спектре возмущенного оператора.

В диссертации теоретически обосновывается новый численный метод РС для вычисления значений собственных функций дискретных полуограниченных снизу операторов в узлах дискретизации. Приведены многочисленные примеры нахождения методом РС значений собственных функций при исследовании математических моделей гидродинамической теории устойчивости, электрических колебаний в протяженной линии и спектральных задач для возмущенного оператора Лапласа.

Рассмотрим дискретный полуограниченный снизу оператор Т и ограниченный оператор Р. заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н с областью определения в В. Предположим, что известны собственные числа {Ап}^! оператора Т, занумерованные в порядке неубывания их действительных величин, и ор-тонормированные собственные функции {«„(ж)}^, отвечающие этим собственным числам. Пусть собственные функции образуют базис в Н. Обозначим че-

рез ь'п кратность собственного числа Ап, а количество всех неравных друг другу

л лг. АП0 + 1 + Ап,,

лп, лежащих внутри окружности радиуса рщ =---с центром в начале координат комплексной плоскости, через по- Пусть ~~ собственные числа оператора Т + Р. занумерованные в порядке неубывания их действительных частей,

а {ип(х)}^=1 - соответствующие им собственные функции. Если для всех п > По,

2||Р||

выполняются неравенства дп = -р--г—г < 1, тогда то = ^ ип собственных

3СадоБничий, В. А. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных опе!>аторов / В.А. Садовничий, В.В. Дуб[ювский // Тр. семинара им. И.Г. Пет1Ювского. — М-: МГУ, 1994. - Вып. 17. - С. 244-218.

функций оператора Т 4- Р являются решениями системы нелинейных уравнений

то то £

^ $из(х)Щ(у) = X) + а(кр)(т0,х, у) + х, у), (1)

]=1 к=1

здесь а(кр\т0, х, у) = / Ар[КТ(х, гк, А) о Ргк}к о Кт(гк, у, \)<1\ - к-тые поправки

теории возмущений к „взвешенной" спектральной функции оператора Т + Р целого порядка р; Кт(х, у, А) - ядро резольвенты Я\(Т) оператора Т; операция „о" вводится по правилу (К о Р о 0)[х,у, А) = / К(х,г, \)Р^(г,у,Х)йг, а £^\т0,х,у) =

в

оо . .

2 ат'(то,х,у), \/£ € А' -- остатки сумм функциональных рядов Рэлея-Шредин-

т=(+1

гера.

Математическая модель нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов основывается на системе уравнений (1), так как правые части уравнений (1) явно выражаются через характеристики невозмущенного оператора Т и возмущающего оператора Р. а значения „взвешенных" поправок теории возмущений а^(то, х, у) вычисляются с помощью теории вычетов. Предельные абсолютные погрешности найденных значений произведений и„(х)й„(у) первых собственных функций оператора Т+Р в узлах дискретизации будут зависеть от того с какой точностью вычислены собственные числа{цп}п=1 оператора Т+Р и с какой

оо . .

точностью найдены суммы функциональных рядов ^адшс,!,!/) „взвешенных"

4=1

поправок теории возмущений.

Цель и задачи работы. Целью работы является разработка численного метода, позволяющего исследовать математические модели нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов, и создание пакета программ, позволяющего находить при вычислительном эксперименте численные значения собственных функций исследуемых задач.

Для достижения данной цели поставлены следующие задачи: 1. Построение математических моделей нахождения значений первых собственных функций задач Орра-Зоммерфельда, электрических колебаний в протяженной линии, спектральных задач для возмущенного оператора Лапласа.

2. Создание эффективных алгоритмов вычисления значений „взвешенных" поправок теории возмущений а^ (то,х,у) оператора Т + Р.

3. Разработка способов оценки сходимости метода и нахождение предельных абсолютных погрешностей вычисления значений первых собственных функций оператора Т + Р.

4. Разработка численного метода вычисления значений собственных функций ип(х) из произведений вида ип(х)11п(у).

5. Программная реализация алгоритма метода регуляризованных следов нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы функционального анализа, спектрального анализа линейных операторов, теории возмущений и вычислительной математики. В диссертационном исследовании основными являются методы, разработанные В. А. Садовничим, В. В. Дубровским и С. И. Кадченко. Для вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов использовалась модификация метода регуляризованных следов, полученная в работах С. И. Кадченко.

Научная новизна диссертации заключается в разработке математической модели нахождения значений собственных функции возмущенных самосопряженных операторов. Модель применима для широкого класса дифференциальных и интегральных операторов. Доказана сходимость сумм функциональных рядов Рэлея-Шредингера возмущенных дискретных операторов и получены оценки их остатков. Впервые получены формулы нахождения „взвешенных" поправок теории возмущений и оценки для них. Создан алгоритм вычисления значений собственной функции возмущенного самосопряженного оператора по значению произведения собственной функции возмущенного оператора и ей сопряженной. Разработан и реализован в виде пакета программ для ЭВМ алгоритм численного метода вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов.

Теоретическая значимость. Разработка математических моделей, в основе которых лежит новый метод нахождения значений собственных функций возмущен-

пых самосопряженных операторов, расширяет возможности в решении спектральных и краевых задач. Полученные в работе новые численные методы позволяют э<|>-фективно восстанавливать первые собственные функции краевых, начально-краевых и спектральных задач. Причем в их основе лежат неитерационные методы. Результаты диссертации могут быть использованы при дальнейших исследованиях в спектральной теории операторов и разработке модификации метода PC.

Практическая значимость. Результаты диссертации применимы к задачам линейной гидродинамической теории устойчивости, электрических колебаний в протяженной линии, сейсморазведки, идентификации композитных материалов, проблем неразрушающего контроля, нелинейных эволюционных уравнений, редукции измерений за характеристику направленности антенны, обработки изображений (икони-ка). определения функций распределения истинных конфигурации тройных звезд и другим задачам, приводящим к нахождению собственных функций возмущенных дискретных операторов. На основе результатов диссертации создан и зарегистрирован пакет программ позволяющий вычислять собственные функции задач, порожденных линейными дифференциальными и интегральными операторами.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию докладывались: на VI, VII Международных симпозиумах по фундаментальным и прикладным проблемам науки (Непряхино Челябинской области, ЮУрГУ, 2011, 2012 гг.); на Всероссийской конференции „Статистика. Моделирование. Оптимизация" (г. Челябинск, ЮУрГУ, 2011 г.); на Всероссийской научной конференции с международным участием „Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Стерлитамак, ГАНУ „ИПИ" Академии наук РБ, 2011 г.); на XLIX, L внутривузовских научных конференциях преподавателей МаГУ, (г. Магнитогорск, МаГУ, 2011, 2012 гг.); на IV, V Международных научных конференциях „Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования" (г. Воронеж. ВГУ. 2011. 2012 гг.); Spectral Theory and Differential Equations STDE-2012 International Conference (Kharkiv, B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of NASU, 2012 г.); на Всероссийской научно-практической конференции „Физико-

математические науки и образование" (Магнитогорск, МаГУ, 2012); на Научно-практической конференции с международным участием „Математические методы и информационные технологии в социально-экономической сферс/' (Уфа. ВЗФЭИ. 2012 г.); на Международной конференции „Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (г. Уфа. Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН. 2013 г.).

Результаты работы обсуждались на научном семинаре профессора Г. А. Свиридю-ка в Южно-Уральском Государственном университете (г. Челябинск), научном семинаре кафедры прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета под руководством профессора С. И. Кадченко.

Научные результаты, содержащиеся в работе соискателя „Нахождение собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методами регуляризованных следов" признаны Межрегиональным советом по науке и технологиям в качестве основы для подготовки и последующей защиты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук (№197 18.10.2012 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ, в том числе 6 статей в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. В работах [2] - [6] научному руководителю Кадченко С. И. принадлежит общая постановка задач, а диссертанту - все основные полученные результаты.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации 119 страниц. Список литературы содержит 127 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении представлена постановка задачи, обосновывается актуальность темы исследования, теоретическая и практическая значимость, описаны методы исследования, сформулированы цели, задачи и научная новизна диссертации. Кратко излагается содержание работы.

Первая глава состоит из четырех параграфов, в ней рассмотрены формулировки теорем и определения спектральной теории линейных операторов, которые используются в диссертации. В первом параграфе приведены основные определения и утверждения спектральной теории линейных операторов. Второй параграф содержит основные свойства дискретных и резольвентных операторов. Третий параграф описывает свойства дискретных операторов, позволяющие получить оценки сумм функциональных рядов Рэлея-Шредингера. В четвертом параграфе рассматривается метод регуляризованных следов нахождения собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов.

Вторая глава состоит из пяти параграфов и посвящена теоретическому обоснованию метода регуляризованных следов вычисления значений первых собственных функций возмущенных самосопряженных операторов. В первом параграфе получены оценки „взвешенных" поправок теории возмущений.

Теорема 1 (2.1.3).4 Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном. гильбертовом про-сгщтнстве Н. Если для всех п > По выполняются нерюенства

qn= 21И1 <!,

то для „взвешенных" поправок теории возмущений (то,х, у) оператора Т\Р справедливы, оценки:

\am(7n0>xi У)\ < С^тК'^то-

/ °° 1 \2 _

Здесь Smo = sup ( J2 Г\-П ) ' < Со Vi = 1, оо.

Лі 4 !=1 |Лт0 — Лі\ '

г/то

Используя Теорему 1 (2.1.3) доказывается сходимость сумм функциональных рядов Рэлея-Шредингера.

Теорема 2 (2.1.4). Если для всех п > по выполняются неравенства qn < 1,

оо . .

то функциональные ряды. ест(то, х, у) „взвешенных" поправок теории возму-

т=1

щений onejximopa Т + Р абсолютно сходятся.

4В скобках указана нумерация в диссертации

Используя Теорему 2 (2.1.4) получены оценки остатков сумм функциональных рядов Рэлея-Шредингера.

Теорема 3 (2.1.5). Если для всех п > щ выполняются неравенства д„ < 1, то для остатков сумм функциональных рядов Рэлея - Шредингера >х,у)

оператора Т + Р справедливы оценки:

1 Чпо

[ ОО 1 \2 _

Здесь 5то = вир ( £ -Г-п) , |«<(®)| < Со Уг = 1,оо.

Л( 4 і=1 |лт0 — іфтпй

Во втором параграфе получены формулы нахождения „взвешенных" поправок теории возмущений и приведены аналитические формулы нахождения первых четырех „взвешенных" поправок теории возмущений, не содержащие производных.

Теорема 4 (2.2.1). Если для всез;п > п0 выполняются первенства дп < 1, то „взвешенные", поправки теории возмущений а^ (то, х, у) для любых натуральных к, р и то можно найти по формулам:

то оо к

п=1 1=1 т=1

'¿дег^(п,з\,...,Зк+\) = <

о, У?т £ п, т = 1, к + 1;

т= 1

У!і3- = (Рьі,уі) - скалярное произведение; I- число совпадений ]„

п, т =

1, А; + 1.

В третьем параграфе приведена схема работы с системой нелинейных уравнений, для эффективного получения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов в у;ілах дискретизации.

Теорема 5 (2.3.1). ЕслиТ - дискретный полуог]хтиченный снизу оператор, аР - ограниченным оператор, действующие в сетиціабельном гильбертовом пространстве Н, с областью определения в Д и для всех напщмльныхп > По выполняются

неравенства < 1, то значение произведения собственной функцииип(х) и ей сопряженной йп(у), при любых значениях аргументов х, у € И, можно найти, по формулам,:

1 4

ип(х)йп(у) = — (хпУп(х)ип(у) + - а{^(п - 1 ,х,у)}) + £?}(п,х,у),

Рп к=1 У

где для 'ер [п^х,у) сщхюедливы оценки

\^{п,х,у)\ < V« € N. п = 17^.

-I Я,

/ °° 1 Л2 _

Здесь Бп — вир ( £ —-—) , < Со Уг = 1, оо, д = шахдп.

А,- \г=1|А„-А,-|/ п>1

1-/п

В четвертом параграфе составлен алгоритм применения нового метода РС. В пятом параграфе описывается пакет программ, написанный в вычислительной среде Мар1е, созданный на основе алгоритма метода РС вычисления значений собственных функций возмущенных дискретных операторов.

Третья глава состоит из пяти параграфов и посвящена построению математических моделей нахождения значений собственных функций задач гидродинамической теории устойчивости и электрических колебаний. В первом параграфе рассматривается спектральная задача нахождения значений собственных функций возмущенного оператора Лапласа, заданного на прямоугольной области. Во втором параграфе рассматривается модель плоскопараллельного течения вязкой несжимаемой жидкости, линеаризованное уравнение малых возмущений которой имеет вид: (Т* + ио- /ЗТ0)<р = 0, где Т0 = + а2: 1}0 = гаК(иТ0 + /3 = гаПс - ком-

плексный спектральный параметр; а - волновое число, С/(у) - скорость основного течения вязкой жидкости в безразмерной форме. К задаче Орра-Зоммерфельда применяется метод РС. В третьем параграфе содержится описание алгоритма численного метода РС и программы нахождения значений первых собственных функций в узлах дискретизации задачи Орра-Зоммерфельда и приведены результаты численных расчетов. В четвертом параграфе рассматривается математическая модель электрических колебаниях в протяженной линии, собственные колебания которой

описываются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля: -у"(х,ц)+д(х)у(х,(л) = цу{х,ц),

2/(0,/х) - (р! +Р2»)У(0,И) = 0, у'{ 1, ц) + (р3 + Рф)у{1, /«) = 0,

где Р1 = —. Р2 = ——, Рз = -2-. Р4 = С и Ь - коэффициенты емкости и

Со' £ Со Ь

самоиндукции, рассчитанные на единицу длины провода.

В пятом параграфе описывается алгоритм численного метода РС и программа нахождения значений первых собственных функций в узлах дискретизации краевой задачи Штурма-Лиувилля.

В заключении представлены выводы по результатам исследований и соответствие диссертационной работы паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

В приложении 1 представлены численные расчеты вычисления значений собственных функций возмущенного оператора Лапласа при различных значениях возмущающего оператора.

В приложении 2 представлено свидетельство о регистрации электронного ресурса „Нахождение значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов".

Результаты, выносимые на защиту.

1. Математические модели нахождения значений первых собственных функций задач Орра-Зоммерфельда, электрических колебаний в протяженной линии и спектральных задач для возмущенного оператора Лапласа.

2. Метод нахождения „взвешенных" поправок теории возмущений дискретных операторов.

3. Способы оценки остатков сумм функциональных рядов Рэлея-Шредингера, используемые для нахождения предельных абсолютных погрешностей значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов.

4. Численный метод вычисления значений собственных функций ип(х) из произ-

ведений вида ип(х)Т1п(у).

5. Пакет программ для нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов в узлах дискретизации.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в научных журналах и изданиях, которые включены в перечень российских рецензируелта: научны,х журналов и изданий для опубликования основных научны,х результатов диссертаций:

[1] Какушкин, С. Н. Математическое моделирование спектральной задачи об электрических колебаниях в протяженной линии методом регуляризованных следов / С. Н. Какушкин ,// Вестник ЮУрГУ. Серия „Математическое моделирование и программирование". - 2013. Т. 6, №3. - С. 125 - 129.

[2] Кадченко, С. И. Нахождение первых четырех поправок теории возмущений дискретных полуограниченных снизу операторов с произвольной кратностью собственных значений / С. И. Кадченко. С. Н. Какушкин // Вестник ЮУрГУ. Серия „Математическое моделирование и программирование". - 2011. - №25 (242), вып. 9. - С. 16-21.

[3] Кадченко, С. И. Нахождение значений первых собственных функций возмущенных дискретных операторов с простым спектром /' С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Вестник ЮУрГУ. Серия „Математическое моделирование и программирование". - 2012. - №5 (264), вып. 11. - С. 25-32.

[4] Кадченко, С. И. Вычисление значений собственных функций дискретных полуограниченных снизу операторов методом регуляризованных следов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия. -2012. - №6 (97). - С. 13-21.

[5] Кадченко, С. И. Численные методы нахождения собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов / С. И. Кадченко,

С. H. Какушкин // Вестник ЮУрГУ. Серия „Математическое моделирование и программирование". - 2012. - №27 (286), вып. 13. - С. 45-57.

[6] Кадченко, С. И. Алгоритм нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Вестник ЮУрГУ. Серия „Математическое моделирование и программирование". - 2012. - №40 (299), вып. 14. - С. 71-76.

Другие, научные публикации:

[7] Какушкин, С. Н. Нахождение значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов [Электронный ресурс] / С. Н. Какушкин. - 45 Мб. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). Систем, требования: ПК Pentium, Windows 2000, Microsoft Internet Explorer 6.0. - Свидетельство о регистрации электронного ресурса. - М.: ОФЭРНиО ГАН„РАО".

- №18420 от 28.06.2012.

[8] Кадченко, С. И. Вычисление первых поправок теории возмущений дискретных операторов с кратным спектром / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Вестник МаГУ. Математика. - Магнитогорск: МаГУ, 2010. - Вып. 12. - С. 35-42.

[9] Кадченко, С. И. Нахождение собственных функции возмущенных самосопряженных операторов с кратным спектром методом регуляризованных следов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Фундаментальные и прикладные проблемы науки. Материалы IV международного симпозиума. - М.: РАН, 2011. -Т. 1.

- С. 12-15.

[10] Кадченко, С. И. Новый метод нахождения первых собственных функций дискретных операторов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин // Статистика. Моделирование. Оптимизация: сборник трудов Всероссийской конференции. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2011. - С. 128-131.

[11] Кадченко, С. И. Методика нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов / С. И. Кадченко, С. Н. Какушкин //

Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования „ПМТУММ - 2012": материалы V Международной конференции. - Воронеж: Пздательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 2012. - С. 147-149.

[12| Кадчепко, С. И. Численный метод нахождения собственных чисел и алгоритм вычисления значений собственных функций возмущенных дискретных операторов / С. II. Кадчепко, С. Н. Какушкип /7 Вестник МаГУ. Математика. -Магнитогорск: МаГУ. 2012. - Вып. 14. - С. 96-115.

[13] Кадчепко, С. II. Метод регуляршюшшиых следов / С. И. Кадчепко. С. Н. Ка-кушкип // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной научной конференции. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2013. - С. 47 - 54.

[14| Какушкип, С. Н. Алгоритм вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов / С. Н. Какушкип // Физико-математические пауки и образование: сборник трудов участников Всероссийской научно-практической конференции. - Магнитогорск: МаГУ. 2012. - Вып. 12. - С. 87-89.

[15| Какушкип, С. Н. Нахождение значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов [Электронный ресурс] / С. Н. Какушкип // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов "Наука и образование". - 2012. №0 (37) июнь. - Режим доступа: llttp://ofernio.п^/port•al/newspaper/ofernio/2012/C.doc

[1С] Какушкип, С. Н. Нахождение поправок теории возмущений к „взвешенной" спектральной функции возмущенного самосопряженного оператора / С. Н. Какушкип, С. И. Кадчепко // Физико-математические науки и образование: сборник трудов участников Всероссийской научно-практической конференции. - Магнитогорск: МаГУ. 2012. - Вып. 12. - С. 89-93.

|17| Какушкип, С. Н. Нахождение собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методами регуляризованных следов

г

/ С. Н. Какушкни, С. II. Кадченко, А. И. Кадченко // Фундаментальные и прикладные проблемы науки. Материалы VII Международного симпозиума. М.: РАН. 2012. Т. 1. С. 32 42.

[18] Какушкин. С. Н. Численный метод вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов / С. Н. Какушкин. С. И. Кадченко /./ Математические методы и информационные технологии в социально-экономической сфере: Сб. науч. тр. Уфа: Изд-во Аркапм. 2012. С. 53 55.

[19| Какушкин, С. Н. Численный метод нахождения значений собственных функций дискретных операторов методом регуляризованных следов / С. Н. Какушкин // Нелинейные уравнения и комплексный анализ. Уфа, 201-3. С. 33 35.

[20] Какушкин, С. Н. Математическое, моделирование, нахождения значений собственных функций задачи гидродинамической теории устойчивости Орра-Зоммерфельда методом регуляризованных следов / С. Н. Какушкин. С. И. Кадченко // Вестник ЮУрГУ. Серия „Компьютерные- технологии, управление, радиоэлектроника". 2013. Т. 13. №3. С. 30 36.

[21) Kadcheiiko. S. I. Firsts „weighted" correction of the perturbation theory for the perturbed self-adjoin operators finding / S. I. Kadchenko. S. N. Kakushkin // Spectral Theory and Differential Equations STDE-2012 International Conference: book of abstract, Kharkiv: B. Verkin Institute; for Low Temperature Physics and Engineering of NASU. 2012. P. 49 50.

Издается в авторекой редакции Подписано в печать 25.09.2013 г.

Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1.00. Уч.-изд. л. 1.00.

Тираж 100 экз. Заказ 341.

Издательство Магнитогорского государственного университета 455038, Магнитогорск, пр. Ленина, 114 Типография МаГУ

ФГБОУ ВПО „Магнитогорский государственный университет"

На правах рукописи

04201364334

Какушкин Сергей Николаевич

РАЗВИТИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НАХОЖДЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ВОЗМУЩЕННЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кадченко С. И.

Магнитогорск - 2013

Содержание

Введение 4

1 Дискретные операторы. Регуляризованные следы операторов 20

1.1 Основные понятия........................................20

1.2 Дискретные операторы ..................................25

1.3 Свойства дискретных операторов........................30

1.4 Метод регуляризованных следов вычисления собственных чисел возмущенной спектральной задачи..........37

2 Метод нахождения значений первых собственных функций возмущенных самосопряженных операторов 41

2.1 Функциональные ряды „взвешенных" поправок теории возмущений...................... 41

2.2 Нахождение „взвешенных" поправок теории возмущений............................. 49

2.3 Вычисление значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов........... 54

2.4 Алгоритм нахождения значений собственных функций возмущенных операторов методом регуляризованных следов ........................ 60

2.5 Описание пакета программ „Нахождение значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов" ..... 62

3 Математические модели задач нахождения значений

собственных функций 69

3.1 Спектральная задача для возмущенного оператора Ла-

пласа ............................ 69

3.2 Математическая модель плоскопараллельного течении вязкой несжимаемой жидкости............. 76

3.3 Алгоритм нахождения значений собственных функций задачи Орра-Зоммерфельда............ 80

3.4 Математическая модель электрических колебаний в протяженной линии ................... 86

3.5 Алгоритм вычисления значений собственных функций задачи Штурма-Лиувилля................ 88

Заключение 92

Список литературы 94

Приложение 1. Результаты вычисления значений собственных функций возмущенного оператора Лапласа . . . 113 Приложение 2. Свидетельство о регистрации пакета программ „Нахождение значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов" ............... 118

Введение

Постановка задачи. Рассмотрим задачу о нахождении собственных функций оператора Т + Р:

(т + р)и =

/ш,

где Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н с областью определения в £). Предположим, что известны собственные числа {Лтг}^11 оператора Т, занумерованные в порядке неубывания их действительных величин, и ортонорми-рованные собственные функции {г;тг(аг)}^=1з отвечающие этим собственным числам. Пусть собственные функции {^(ж)}^ образуют базис в Н. Обозначим через ип кратность собственного числа Ап, а количество всех неравных друг другу Ап, лежащих внутри

окружности 1щ радиуса рПо = --- с центром в начале ко-

£

ординат комплексной плоскости, через по- Пусть - собствен-

ные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке неубывания их действительных частей, а {«п^)}^! ~ соответствующие им собственные функции. Если для всехп > по, выполняются неравенства 2\\Р\\

~ Г\- Г ^ т0ГДа линейный оператор Т+Р является дискретным и внутри окружности ТПо находится одинаковое количество собственных значений операторов Т и Т + Р (см., напр. [92], гл. 5,

По

§ 4, лемма 3). При этом то = ^ ип собственных функций оператора

п=1

Т + Р являются решениями системы нелинейных уравнений [85]:

то то Ь

з=1 ¿=1 к=1

(0.1)

Здесь

= 1 \р[КТ{х,гк,Х) о Ргк]к о КТ{гк,у,Х)<1\

т

по

к-тые поправки теории возмущений к „взвешенной" спектральной функции оператора Т + Р целого порядка р; Кт(х, у, Л) - ядро резольвенты 11\(Т) оператора Т; операция „о" вводится по правилу

(К о Р О у, Л) = J к(х, г, \)Р2(Э(г, у,

С 1 00 м

а ж, г/) = X) ат (то, х,у), № Е N - остатки сумм функ-

т=£+1

циональных рядов Рэлея-Шредингера.

Правые части уравнений (0.1) явно выражаются через характеристики невозмущенного оператора Т и возмущающего оператора Р, а „взвешенные" поправки теории возмущений а£\то, х, у) вычисляются с помощью теории вычетов.

Система уравнений (0.1) позволяет разработать новый численный метод нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов. Идея метода, названного авторами методом регуляризованных следов (РС)[36], впервые была высказана В. А. Садовничим и В. В. Дубровским в работе [85] и состоит в следующем. Составим систему нелинейных уравнений (0.1) относительно шо произведений щ(х)щ(у) = 1,шо) собственных функций возмущенного оператора Т + Р. Собственные числа ¡лп возмущенного оператора Т+Р, стоящие в левой части составленной системы уравнений (0.1) могут быть найдены известными методами, к примеру, по простым формулам, полученным в работе С. И. Кадченко [37]. Определитель системы (0.1) является определителем Вандермонта,

отличным от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.

Предельные абсолютные погрешности найденных значений произведений ип(х)йп(у) первых собственных функций оператора Т+Р в узлах дискретизации будут зависеть от того с какой точностью

вычислены собственные числа оператора Т + Р и с какой

00 , .

точностью найдены суммы функциональных рядов ^ а:^ (гао, х, у)

к=1

„взвешенных" поправок теории возмущений.

Чтобы метод можно было применять для численных расчетов необходимо:

1. Построение математических моделей нахождения значений первых собственных функций задач Орра-Зоммерфельда, электрических колебаний в протяженной линии, спектральных задач для возмущенного оператора Лапласа.

2. Создание эффективных алгоритмов вычисления значений „взвешенных" поправок теории возмущений а^\гпо,х^у) оператора Т + Р.

3. Разработка способов оценки сходимости метода и нахождение предельных абсолютных погрешностей вычисления значений первых собственных функций оператора Т+Р.

4. Разработка численного метода вычисления значений собственных функций ип(х) из произведений вида ип(х)йп(у).

5. Программная реализация алгоритма метода регуляризованных следов нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов.

Процесс математического моделирования состоит из трех основных этапов: создания математической модели, разработки на ее ос-

нове алгоритмов вычислений и написания пакетов программ, позволяющих проводить на ЭВМ вычислительные эксперименты. В диссертации разработан новый метод вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов в узлах дискретизации, который лежит в основе математических моделей, позволяющих находить значения собственных функций спектральных задач для широкого класса операторов. Для проверки метода написаны пакеты программ в среде „Maple", использованные в численных расчетах. При сравнении метода PC с известными методами Крылова А. Н. и Данилевского А. М., показана его высокая эффективность.

Актуальность темы диссертации. Современные методы математического моделирования задач вычисления значений собственных функций возмущенных дискретных операторов основываются на составлении матрицы линейного оператора и нахождении собственных векторов этой матрицы. Суть метода А. М. Данилевского нахождения собственных векторов матрицы заключается в приведении векового определителя к нормальному виду Фробениуса. Согласно методу А. М. Данилевского, переход от исходной матрицы А размера пхпк подобной ей матрице Фробениуса В осуществляется с помощью 71—1 преобразований подобий, последовательно преобразующих строки матрицы А, начиная с последней, в соответствующие строки матрицы В. Сложности метода А. Н. Крылова связаны с решением системы линейных уравнений относительно коэффициентов характеристического полинома. При этом начальный вектор задается произвольно, что при неудачном его выборе может привести к тому, что система уравнений не будет иметь единственного решения.

Теория регуляризованных следов позволяет разработать численный метод основанный не на матричном представлении дискретных операторов, а на спектральных характеристиках невозмущенного оператора. При этом для нахождения значений собственных функций используются простые алгебраические формулы.

Толчком к развитию теории следов линейных операторов послужил фундаментальный результат линейной алгебры: инвариантность относительно выбора базиса матричного следа линейного оператора и совпадение его со спектральным следом. Большое количество задач современной теории операторов в гильбертовом пространстве появились в результате поиска аналогов инвариантного следа для операторов, заведомо не имеющих следа в обычном смысле. Вначале конечномерный результат перенесли на случай ядерных операторов, а именно, было доказано (см. [14]), что если оператор А -ядерный, то для любой пары {Ф}п=г) ортонормированных

базисов верно равенство

+оо +оо

<рп) = Фп) (0.2)

71= 1 П=1

и также верно равенство, известное как теорема В. Б. Лидского [46]:

+оо

(рп) = ^ Ап, (0.3)

п=1 п

где {Атг} - все собственные числа оператора А. Если А не имеет собственных чисел, то в правой части (0.3) стоит 0.

Классическая теория завершается этими результатами, так как здесь максимально охвачен весь класс операторов со следом. Далее начинается теория регуляризованных следов (РС) линейных операторов.

Первые результаты, являющиеся началом этой теории, были получены в 1947-52 годах И.М. Лифшицем (финальная работа серии статей - [48]), рассмотревший задачу о вычислении следа оператора F(L + А) — F(L), где L - невозмущенный эрмитов оператор, А -конечномерный оператор возмущения, F(x) - некоторая (принадлежащая достаточно широкому классу) функция. Там же был найден физический смысл формул регуляризованных следов: И. М. Лиф-шиц с помощью полученной формулы посчитал изменение свободной энергии кристалла при внедрении в него чужеродной примеси.

Началом теории PC дискретных операторов стала работа И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [13], в которой для оператора Штурма-Лиувилля

-у" + q{x)y = А у, у\0) = 0, у'(-к) = 0, (0.4)

7Г

q(x) 6 С1 [0,7г], при условии f g(x)dx = 0, была получена формула

о

00 1 п=О

где цп - собственные числа оператора (0.4), Ап =■ п2 - собственные числа того же оператора с g (ж) = 0.

Формула (0.5) послужила началом теории, которая началась с исследования конкретных операторов, а, затем, в общем виде охватила изучение регуляризованных следов дискретных операторов. В статьях [4], [12], [25], [26], [75] активно развивается абстрактное направление спектрального анализа. Сильный результат для конечномерных возмущений получен в [74], где были охвачены некоторые классы неограниченных возмущений. Наиболее интенсивно в этом направлении работают В.А. Садовничий и его ученики [1], [5], [6],

[9], [21] - [24], [52], [53], [64] - [70], [73], [76] - [78], [82], [89] - [91], [96], Муртазин Х.Х [3], [58] - [60], Хасанов A.B. [104].

Постановка задачи обобщения понятия следа для дискретных операторов ставится следующим образом: доказать соотношение

+оо

<рп) - {Афп, фп)) = О, (0.6)

п=1

аналогичное формуле (0.2) при расходимости ряда из матричных элементов оператора. Однако, без существенных уточнений в постановке вопроса формулы (0.2) и (0.6) эквивалентны. Это очевидно, так как, если ряд из матричных элементов расходится в некотором базисе {</?n}i£Lij то существует такая перенумерация векторов этого базиса, которую можно принять за другой базис {фп}™=1, так, что ряд (0.6) расходится. Следовательно, для любых пар базисов равенство (0.6) не выполняется для различных неядерных операторов А. Таким образом, разумная постановка основной задачи принимает вид: указать класс операторов А и соответствующий класс пар базисов ({<Аг}п^=ъ (^nj^Li), Для которых верна инвариантность следа в смысле (0.6).

Естественной идеей выбора базисов дискретных операторов, является спектральная формулировка следа (0.3): в качестве первого базиса берется базис из собственных векторов оператора А, а для определения второго базиса оператор „расщепляется" в сумму двух: А = Aq + В, причем предполагается подчиненность оператора В оператору Ло, и формула (0.6) будет иметь вид:

+со +оо

5~2{{А<рп, ipn) - (Афп, Фп)) = - fin + (Bipn, срп)) = 0, (0.7)

п=1 п=1

где {фп}п=1 ~ базис из собственных векторов оператора А с собствен-

ными числами {/¿н}^^ 1 ~ базис из собственных векторов

оператора Ао с собственными числами

На протяжении долгого времени обычным результатом, получаемым разными авторами для следов дискретных операторов, было то, что формула (0.5) для возмущенного оператора не имела вида (0.7). В работе [17] Л. А. Дикий дал другое доказательство для первой формулы Гельфанда-Левитана, показав, что формула (0.5) фактически и есть формула (0.7).

Впервые идеи нового метода приближенного вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов (метода РС) были сформулированы в работе [85]. Идея метода состоит в следующем. Составим систему нелинейных уравнений вида

По По оо

Е^ = Е+Еак\по), р=т^ (о-в)

к=1 к=1 к=1

относительно щ первых собственных чисел {^п}п=1 оператора Т +

Р. Здесь 4Р)Ы = -Уг^ / А^-1[РРл(Т)

2ттЫ г

¿п о

к

¿X - к-тые поправ-

ки теории возмущений оператора Т + Р целого порядка р, Я\{Т) - резольвента оператора Т. Выразим симметрические многочлены

По _

р = 1, щ от щ переменных через правые части системы урав-

к=1

нений (0.8). Получим многочлен степени щ со старшим коэффициентом равным единице, используя теорему Виета. Остальные коэффициенты могут быть найдены со сколь угодно большой точностью, к примеру, по формулам Ньютона. Корнями полученного многочлена будут собственные числа {цп}п=1 оператора Т + Р. Так как комплексные корни многочлена со старшим коэффициентом, равным единице, непрерывно зависят от его коэффициентов, то решая приближенно подходящим способом это уравнение, можно найти его

корни {^п}п=1 с достаточной точностью.

Предельные абсолютные погрешности первых собственных чисел оператора Т+Р будут зависеть от того, как точно вычислены суммы

оо , .

числовых рядов ^ а^' (щ) поправок теории возмущения оператора к=1

Т + Р. В этой же работе В. А. Садовничий и В. В. Дубровский получили оценки поправок теории возмущений дискретного

полуограниченного снизу оператора Т:

в случае, когда существует такое натуральное число йо, что оператор ^Дх(Т)^ является ядерным. Здесь ёПо = АПо+1 — Это позволи-2||р||

ло при —-—- < 1 и условии ограниченности оператора Р записать нелинейные уравнения

к=1 к=1 к=1 п°

¿р > во, Р =

для нахождения первых щ собственных чисел {^п}п=1 возмущенного оператора Т + Р. При этом было показано, что ряды поправок

оо . . . .

теории возмущений ^ (щ) сходятся, а а^ (щ) явно вычисля-

к= 1

ются через характеристики операторов Т и Р с помощью теории вычетов.

Так как поправки теории возмущений вычисляются для

большого класса операторов, область применения этого метода гораздо шире, чем других известных методов. Замечательным обстоятельством является применение этого метода для нахождения собственных чисел дифференциальных операторов в частных производных.

В. В. Дубровский и В. В. Распопов в работе [31], опираясь на результаты исследований С. И. Кадченко [32] - [34], обобщили методики применения метода РС к некоторых задачам гидродинамической теории устойчивости на случай полуцелых регуляризованных следов.

Хотелось бы отметить, что с краевыми задачами теории гидродинамики вязкоупругих сред тесно связаны работы Г.А. Свиридюка и его учеников [94] - [95].

Различные результаты в теории следов были получены методами теории возмущений дискретных операторов, отраженные в работах М. Г. Крейна, В. А. Садовничего, В. А. Любишкина, В. В. Дубровского [42], [79], [80], [81], [83], [84].

Дальнейшее развитие метод регуляризованных следов получил в серии работ С. И. Кадченко (см., например, [36]- [32]), где были получены простые, вычислительно эффективные формулы нахождения собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов. Естественным продолжением этих работ является вопрос об использовании метода РС для вычисления значений собственных функций дискретных полуограниченных снизу операторов в узлах дискретизации.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы функционального анализа, спектрального анализа линейных операторов, теории возмущений и вычислительной математики. Основными методами в работе являются методы, разработанные В. А. Садовничим, В. В. Дубровским и С. И. Кадченко. Для вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов использовалась модификация метода регуляризо-

ванных следов, полученная в работах С. И. Кадченко.

Научная новизна диссертации заключается в разработке математической модели нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов. Модель применима для широкого класса дифференциальных и интегральных операторов. Доказана сходимость и получены оцен