автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод ложных возмущений в обобщенной задаче на собственные значения

На правах рукописи

Макеева Ольга Викторовна

Метод ложных возмущений в обобщенной задаче на собственные значения

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г 4 188

Ульяновск — 2007

003174188

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ульяновского государственного педагогического университета им И Н Ульянова

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Логинов Борис Владимирович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Кузнецов Евгений Борисович

Защита состоится 14 ноября 2007 г в 14 00 на заседании Диссертационного совета КМ 212 117 07 в Мордовском государственном университете им Н П. Огарева по адресу 430000, г Саранск, ул Большевистская, 68, корп 1, ауд 225

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета им Н П Огарева

Автореферат разослан 1 октября 2007 г

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент

Шаманаев Павел Анатольевич

Ведущая организация Самарский государственный университет

кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Метод малого параметра находит многочисленные применения в вычислительной математике и является основой математического моделирования в различных задачах математической физики Наиболее интересные и трудные аспекты метода малого параметра возникли в теории нелинейных критических явлений, когда при переходе спектрального параметра через его критическое значение от известного тривиального решения ответвляются новые стационарные или периодические решения (А Пуанкаре, А М Ляпунов, Э Шмидт, Л Лихтенштейн, А Н Некрасов, Т Леви-Чивита, Д Стройк, Н Е Кочин, М М Вайнберг, М А Красносельский, В А Треногин, позднее В И Юдович, Ж Иоосс, Л Рекке, Б В Логинов, Н А Сидоров, Ю А Кузнецов) а также в задачах теории сингулярных возмущений для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной (А Н Тихонов, Коул, А Б Васильева, М И Вишик и Л А Люстерник, М М Хапаев, А X Найфэ, В Ф Бутузов)

В спектральной теории линейных операторов и, в частности, в различных задачах на собственные значения, метод малого параметра развивался начиная с работ Ф Реллиха (1937-1942) и оформился в направление — теория возмущений спектрального разложения линейных операторов В работах М К Гавурина (1951-1954) получены неулучшаемые оценки отклонений для собственных чисел и элементов возмущенного и невозмущенного оператора В работе В А Треногина (1966) применен метод диаграммы Ньютона в аналитической теории возмущений собственных чисел и элементов фред-гольмовых операторов В 1961-1962 гг М К Гавурин предлагает прием введения искусственного возмущения, при котором известные приближения к собственным числам и элементам линейного оператора становятся точными для возмущенного, с последующим применением итерационных методов определения соответствующих точных величин Эти идеи были им развиты для простых собственных значений самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве Позднее (1971) Ф Кунертом — для несамосопряженных операторов Предложенный метод был назван М К Гавуриным методом ложных возмущений В цикле работ Б В Логинова, Д Г Рахимо-

ва, Н А Сидорова JIB-метод был распространен на простые и кратные собственные значения оператор-функции спектрального параметра в банаховых пространствах1 При наличии обобщенных жордановых цепочек был предложен оператор ложного возмущения, позволяющий уточнять их известные приближения для линейной по спектральному параметру оператор-функции В — tA без учета ОЖЦ сопряженной оператор-функции

Выполненная работа относится к современным исследованиям по определению дискретного спектра линейных оператор-функций спектрального параметра итерационными методами с применением теории возмущений

Цель работы.

Построить оператор ложного возмущения симметрично использующий приближения ОЖЦ кратного собственного значения оператор-функции спектрального параметра и сопряженной к ней Предложить на этой основе итерационные процессы уточнения заданных приближений и дать приложения к задачам математического моделирования в математической физике

Методы исследования.

В диссертационной работе использованы методы теории ветвления и возмущений в линейном и нелинейном функциональном анализе, итерационных процессов вычислительной математики и моделирования в задачах математической физики

Достоверность результатов.

Достоверность результатов работы обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения

Научная новизна положений выносимых на защиту.

1 Предложены модели ложного возмущения для уточнения заданных приближений к собственному числу, собственным и обобщенным присоединенным элементам линейной оператор-функции спектрального параметра и сопряженной к ней

2 Построены итерационные процессы уточнения известных приближе-

'Logrnov В V , RaHumov D G , Sidorov n A Development of М К Gavunn's pseudoperturbation method//FieldsInstitute Communications 2000 V 25 P 367-381

ний

3 Для полиномиальных и аналитических оператор-функций спектрального параметра предложен процесс линеаризации, позволяющий применять ЛВ-метод линейного случая

4 ЛВ-методом проведено исследование обобщенных спектральных задач по Э Шмидту

5 Дано применение ЛВ-метода к уточнению чисто мнимых критических собственных значений при динамической бифуркации

6 Рассмотрены приложения к модельным задачам математической физики а) задаче Штурма-Лиувилля с одним и двумя смещениями для ОДУ и их систем, б) спектральным задачам Э Шмидта в теории электромагнитных колебаний (резонаторы без потерь), применение к уточнению корней полиномов

7 Исследованы связи ЛВ-метода с теорией аналитических возмущений и дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах с необратимым оператором при производной

Теоретическая и практическая значимость работы.

В работе с помощью методов теории ветвления и теории возмущений разработаны вычислительные схемы, позволяющие решать различные обобщения задач на собственные значения в теоретическом аспекте и приложениях к моделям задач математической физики

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по теории операторов, посвященной памяти А В Штрауса (Ульяновский государственный педагогический университет им И Н Ульянова 23-28 06 2001, Ульяновск),

на Н-ой и Ш-ей Международной научной школе "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (СВМО, Мордовский государственный университет им Н П Огарева, НИИ математики МГУ им Н П Огарева, РФФИ 1-13 07 2005 и 2007, Саранск), на ХШ-ой Международной конференции по прикладной и промышленной математике (CAIM-2005, Umv dm Pite§ti 14-16 10 2005, Pite§ti, Romania),

на 77-ой ежегодной конференции общества прикладной математики и механики (GAMM-2006, Tech Univ Berlin 27-31 03 2006, Berlin, Germany), на VII-ой Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (СВМО, Мордовский государственный университет им Н П Огарева, НИИ математики МГУ им Н П Огарева, РФФИ 17-20.05 2006, Саранск),

на Международной конференции "Тихонов и современная математика", секция "Функциональный анализ и дифференциальные уравнения "(МГУ им М В Ломоносова, РАН 19-25 06 2006, Москва),

на Международной конференции по логике, информатике, науковедению (УлГТУ 17-18 05 2007, Ульяновск),

на VIII-ой Международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященной памяти академика РАН П. Л Ульянова (Казанское математическое общество, НИИ математики и механики им Н Г Чеботарева, КГУ, РФФИ 27 06-04 07 2007, Казань)

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 22 работы, в том числе 16 статей и 6 тезисов, из них 3 статьи — в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК

Структура и объем работы.

Основная часть работы изложена на 142 страницах, состоит из введения, трех глав и заключения Приложения изложены на 34 страницах Библиография содержит 97 названий

Краткое содержание работы

Введение к диссертации содержит историческую справку, обосновывающую актуальность работы и обзор ее содержания

В п 1 1 первой главы приведены необходимые определения и сведения из теории обобщенных жордановых цепочек, из теории ветвления решений нелинейных уравнений В п 1 2 рассмотрены связи между обобщенными жордановыми цепочками (наборами) полиномиальной оператор-функции

спектрального параметра В — А(Л) = В - AAi - X2Ai — — Л® As, ОЖЦ

s

(ОЖН) сопряженной оператор-функции В*-А*(Л) = 5*-]Г]А А*к и ОЖЦ

fc=i

(ОЖН) их линеаризаций к линейным оператор-функциям спектрального параметра В п 1 3 при использовании метода диаграммы Ньютона получены достаточные условия разложения в ряды по целым степеням малого параметра собственных чисел А(е) = Ао + ц{е) и отвечающих им собственных элементов линейно возмущенной задачи на собственные значения А(е)у — \(e)Ry, А(е) = Ац — еА\ Этот результат является частным случаем проблемы Ф Реллиха — определения необходимых и достаточных условий разложимости соответствующих спектральных величин по целым степеням параметра возмущения Пункт 1 4 содержит применение линеаризации по спектральному параметру к задачам устойчивости стационарных разветвляющихся решений дифференциальных уравнений в банаховых пространен

ствах с фредгольмовыми операторами А~ — B(s)x — R{x,e), R(0,е) = О,

dsx da~lx

д»(0,0) = 0, В(е) = В + В1е + В2еЧ =В + С(е) и + +

+ A1^ = Bx + f(x,xW, ,xi-v,t),\\f(x,xm, .«('-«.iJlHodl®!!), ||х|| = max —» 0 Установленные здесь результаты обобщают кри-

терии, полученные в работах научного руководителя2.

Вторая глава является основной в диссертации В п 2 1 предложены варианты моделей ложного возмущения

п р, п Рк п р,

Д.- Е в*. тй}> H'- Е io)4o}]+££(*>

г=1 j=l к=1 s=l î=l j=l

п pi п pi п рк

Dox= Е £<*• Е Е [<*. е- Е ЕММ«)]

г=1 i-l }=1 к=1 s=l

симметрично использующие приближения ОЖЦ кратного собственного значения линейной оператор-функции Лемма 2 1 позволяет определить системы элементов {7*о)*1г1 € -^î > {г«о^Гтп* 6 ¿-г, биортогональные к при-

2 Логинов В В , Русак Ю В , Макаров M Ю Об устойчивости стационарных и периодических решений

уравнений с вырожденным оператором при старшей производной / / Вестник Ульяновского государствен-

ного технического университета 2000 Вып 2 С 133-148

LogmovB V, RousakYu В Generahzed Jordan structure m the problem of the stability of bifurcatmg

solutions // Nonlinear Analysis TMA 1991 V 17 »3 P 219-231

ближенно заданным собственным элементам и ОЖЦ прямой -¡V^l^if' и сопряженной {фъо}1=Гя линейной оператор-функций спектрального параметра, построить оператор ложного возмущения, такой, что заданные приближения к собственному числу и ОЖЦ прямой и сопряженной оператор-функций ¡А—Aoj < е, < £> ll^-^o'll ^ г становятся точными

для их возмущений

(А0 - Ao^i - Do)<P$ = О, (А) - ЛоАх - D0)<p$ = Л^Г", в 1

(Al - AoAJ - D*0)4$ = О, (А*0 - AoAJ - = *

Соответствующая теорема 21 и ее следствие 2 1 отражают идею M К Гавурина — определение ложного возмущения

В п 2.2 приведено детальное исследование итерационных процессов вычисления точного собственного значения и ОЖЦ прямой и сопряженной линейной оператор-функции спектрального параметра с установлением скорости их сходимости Это метод Ньютона-Канторовича (теорема 2 2 (замечание 2 1 )) в его основном (модифицированном) варианте, имеющем квадратичную (линейную) скорость сходимости, итерационный процесс Ньютона-Канторовича с кубической сходимостью (теорема 2 3); итерационный процесс Эйткена-Стеффенсена с квадратичной скоростью сходимости, итерационный процесс M К Гавурина, обладающий сверхлинейной сходимостью (теорема 2 4.) Здесь же устанавливается, что вычисленные ОЖЦ биортого-нальны с точностью до О (s"), где е = А — Ао — разности между точным собственным значением и его приближением, v — номер итерации Далее предлагается итерационный процесс, использующий технику уравнения разветвления в корневом подпространстве Также показано, что используемый оператор Э Шмидта является регуляризатором рассмотренных итерационных процессов

Пункт 2 3 посвящен приложениям JIB-метода Рассмотрена одномерная задача со смещением и" + Au = 0, и(0) — 0, и(хо) ~ и(1), и е С2[(0, хд) и (xq, 1)] П С1 [0,1], 0 < хо < 1 и сопряженная к ней v" + Xv = 0, v(0) = О,

"(1) <- 0. ^tr^ - ^^ « ■^. * € С[(0, «о) и (®0,1)] л С[0,1],

О < Xq < 1 Найдены точные собственные значения и собственные функции Приведено условие существования ОЖЦ и формулы, определяющие присоединенные элементы Выполнена проверка биортогональности построенных

систем Показана реализация конструкции ЛВ-метода Проведены численные эксперименты по уточнению приближений, полученных аналитическими и графическими методами, выполнено сравнение временных затрат экспериментов Листинг программ вынесен в приложение 1

Далее следуют четыре одномерные задачи и"+Хи = 0 с двумя смещениями первого и второго рода по В А. Ильину и Е И Моисееву3 ы(0) = и(х\), и(х2) = и(1), и(0) — и(х\), и'(х2) — «'(1), «'(0) = и'(х1), и(х2) = и(1), «'(О) = «'(*!), и'{х2) = и'(1), и € С2[(0,жг) и (хъ х2) и (®2,1)] П Сх[0,1], 0 < х\ < х2 < 1 Для каждой задачи построена сопряженная, найдены точные собственные значения и собственные функции, приведены условия отсутствия присоединенных элементов, рассмотрен случай кратного собственного значения Для первой, из приведенных задач, проведен вычислительный эксперимент (приложение 2)

Рассмотрена возможность уточнения ЛВ-методом кратных корней полинома Хотя и считается, что прием замены алгебраического уравнения характеристическим уравнением матрицы Фробениуса нерационален, пример представляется нам интересным, так как здесь, попутно, установлены рекуррентные формулы суммирования и показано, что кратному корню многочлена отвечает собственное значение матричного оператора с жордановой цепочкой, длина которой равна кратности корня Проведен вычислительный эксперимент (приложение 3)

Изложен вариант дискретизации линейной оператор-функции, использующий абстрактную теорию разностных схем, с приложением к задаче Штурма-Лиувилля

В п 2 4 ЛВ-медот применен для определения чисто мнимого критического собственного значения при динамической бифуркации В банаховых пространствах Ег, Е2 рассматривается дифференциальное уравнение с1х

А— — Вх — Н(х, е) А, В Е\ Е% линейные (для простоты изложения ас

ограниченные) операторы, Щх, е) — определен и непрерывен в окрестности точки (0,0) е +К1, с производной Фреше Ях{х, е), причем, Щ0,0) = 0,

3ИльииВ А , Моисеев В И Нелокальные краевые задачи первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках // Дифференциальные уравнения 1987 Т 23 №7 С 1198-1207

Ильин В А , Моисеев В И Нелокальные краевые задачи второго рода для оператора Штурма-Лиувилля Ц Дифференциальные уравнения 1987 Т 23 №8 С 1422-1431

i?x(0,0) — 0 Рассматривается достаточно общий случай, когда Л-спектр <та[В) пересекает мнимую ось в точках ±.га кратности п, с соответствующими собственными элементами и3 — щ3 + iv,i3, т е Ви} = гаАи3, Вй3 = —гаАи-j Для сопряженных операторов B*v3 = —taA*v3, B*v} — гаА*ьь vi = vb + w2j> J ~ 1) >n Пусть существуют А -жордановы цепочки длин р3 Это означает существование элементов uf, и^ и v3k\ к — 1, ,pj, uf — и3, v^ — v} таких, что

(В - iaA)uf = Auf-1], (В + iaA)uf = - Лв**"4; (В* + iaA*)vf] = -A*v?-1}, (В* - taA*)vf1 = A*vf~l)

При этом, в силу леммы о биортогональности ОЖЦ, можно считать, что {Auf ,vf"+l l)) = 0зр6ы Требуется уточнить методом ложных возмущений известные достаточно хорошие приближения ао, u^q , v^ к критическому значению параметра а и ОЖЦ |а — qq| < е, - < е, jjvj^ — i^'q || < е Ha основе теоремы 2 1 определяется оператор ложного возмущения, обладающий требуемыми свойствами

(В-^А-Д^и, (B-iaoA-D^u^Au^,

(В*+гаоА*-Щ)у%=0, (B*-Ha0A*-DS)v$=-A'v%-1\ 3 -

Далее дается описание итерационного процесса Ньютона-Канторовича для определения критического значения параметра а и отвечающих ему ОЖЦ прямой и сопряженной задач

В начале ХХ-го столетия, в цикле работ по линейным и нелинейным интегральным уравнениям, Э Шмидт ввел системы собственных чисел А& оператора В Н Н, с учетом их кратности, и собственных элементов j {V'fc}!0, удовлетворяющих соотношениям Bipk = \кфк, B*ipk ~ Ak<Pk и позволяющих распространить теорию Гильберта-Шмидта на несамосопряженные вполне непрерывные операторы в абстрактном сепарабельном гильбертовом пространстве Н4 Под названием s-чисел эта система нашла многие применения в вычислительной математике и теории некорректных задач В работах научного руководителя было предложено спектральное разложение линейных операторов в гильбертовом пространстве по спектру Шмидта и

4МогилевскийШ И О представлении вполне непрерывных операторов в абстрактном сепарабельном гильбертовом пространстве//Известия ВУЗов Математика 1958 №3(4) С 183-186

отмечено, что системы подобного вида встречаются в релятивистской квантовой теории Дирака и при исследовании некоторых проблем электромагнитных процессов

В п 2 5 определены две модельные задачи В задаче А, для двух линейных операторов В я А в гильбертовом пространстве Н введены Л-собственные значения и элементы Шмидта, определяемые равенствами В(р = ЛАф, В*ф — ЛА*ф Эти уравнения можно записать в прямой сумме пространств Н + Н в матричном виде и для каждого собственного значения Л определить (ввиду несимметричности матричного оператора) обобщенные жордановы цепочки к соответствующим собственным элементам Шмидта

гг

Аналогично определяются А* -собственные элементы Шмидта оператора В, отвечающие тем же собственным значениям Л Вф = АА*ф В*ф = АА<р, и можно определить обобщенные жордановы цепочки к соответствующим собственным элементам Шмидта сопряженной оператор-функции

где к — 1, ,р ОЖЦ существуют, если А — фредгольмова точка спектра линейной по А матричной оператор-функции В — АА и (АФ^, Ф^) = (А*^1', + = О ОЖЦ обрываются на р-ой паре жордано-

вых элементов , ф^}, если

(АФ®, ф«) = + (аф^\ фЫ) = | Д ^

Модельная задача В рассматривает задачу на собственные значения, возникающую в абстрактных системах типа Дирака при

.(IX . . / О А \

нестационарном ветвлении Л-^-= ВХ — К{Х,е), А = I ^ I,

В = ^ ^ в* J \ Xl / ' И ПРИВ0ДИМ^Ю к обобщенной задаче на спектр Шмидта Ви^к = —aAu^j., S^u^i = -аЛ'ищ, -B?4il = aAw^j.,

= -aA^, = f ] .V™ = ( V?i) J принадлежат прямой \ Us2k J \ Vs2k J

сумме гильбертовых пространств if + H, s = 1,2, к — I, , n

Для обеих задач дана модификация JIB-метода построены операторы ложного возмущения и описан итерационный процесс Ньютона-Канторовича

Рассмотрены прикладные задачи на спектр Шмидта Это модельная задача теории электромагнитных колебаний в резонаторах без потерь Собственными колебаниями резонатора без потерь называются решения краевой задачи для однородной системы уравнений Максвелла rot I?, div Ef=0, rot lf= — luislS, divi? = 0 относительно напря-

женностей электрического if и магнитного it полей при граничных условиях \n,t — 0, f п, н)[ =0 Построена сопряженная задача

^ L _5V -4ls -л rot £ = iujeH , divS = 0, rotfi = —icu/it , divH = 0 с граничными условиями n , ^ = 0, ^ n , "¿^ = 0, и на основе интегрального представления краевых задач теории поля5, связанных с оператором Гельмгольца, и техники теории потенциала, доказана фредгольмовость рассматриваемых задач Отмечены возможности применения метода ложных возмущений

Далее следует граничная задача со смещением для системы ОДУ и" +'Xv = 0, v" + Xu = Q, и(0) = 0, и(х0) = и( 1), v(l) = О, v(x0) = v(0), u,v £ С2 ([0; xq) U (xq, 1]) Л С1 [0,1], 0 < xq < 1, для которой построена сопряженная задача и"+Xv = 0, v" + Хй = 0, и{0) — 0, 2(1) — 0, й(хо+0) = и(х0 - 0), «'(¡со + 0) - й'(х0 - 0) = и'{ 1), v(0) = 0, v(l) = 0, v(x0 + 0) = v(®o-0), t7(®o+0)-e'(®o-0) = -v'(0), «>«€Св([0,®о)и(®о,13)ПС[0,1], 0 < хо < 1; вычислены точные собственные значения, собственные функции и доказано, что присоединенные элементы отсутствуют Вычислительный

эксперимент, иллюстрирующий ЛВ-метод, выполнен для xq = - (приложе-

¿1

ние4).

6АржаныхИ С Обращение волновых операторов Ташкент ФАН АН УзССР 1962 164 с

В классе функций и, ьеС2 ([0; х0) и (х0,1]) П Сг[0,1], 0 < го < 1 рассматривается задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений и" + и — гот, и" + и = —гаи со смещениями в граничных условиях и(0) = 0, и(хо) = ге(1), у(1) = 0, ь(х0) = г>(0) Данная система представляет собой пример спектральной задачи Э Шмидта, возникающей

при динамической ,

Линеаризованная задача имеет чисто мнимые простые корни ±?а Установлено, что решения существуют только при а > 1

Сопряженная задача в пространстве С2 ([0, жо) и (жо, 1]) П С[0; 1], 0<жо<1 имеет вид и"+и——гад, г)"+г)=гай с граничными условиями й(0)=0, ы(1)=0, й(хо+0)=й(хо—0), «'(аго+О)—й'(жо—0)=й'(1), «(0)=0, ?(1)=0, ь(хо+0)=-у(хц-0), д'(х0+0)-:й'{хо—0)=—гг'(0) Определены собственные функции прямой и сопряженной задач Проведен вычислительный эксперимент (приложение 5)

В главе 3 рассмотрены различные обобщения задач на собственные значения с последующим применением метода ложных возмущений В п 3 1. выполнена линеаризация задачи на собственные значения А(Ь)Х — 0, А(£) € Ь{Е\ —> Е2}, £ £ (а, Ь) в банаховых пространствах последовательностей 1Р{Е%), г = 1,2 По заданным приближениям к собственному числу Л и ОЖЦ 1р[о', , г = 1,. ,п, з ~ 1, ,рг построены их приближения для линеаризованной задачи и по схеме п 2 1 построены модели ложного возмущения с описанием итерационных процессов М К. Гавурина и Ньютона-Канторовича

В п. 3 2 предложены обобщения спектральных задач Э Шмидта. В модельной задаче С определены А -собственные значения и соответствующие

йх2

и{0,£) = 0, и(х$, £) = и(1,4),

v{l,t) =0|«(х0,0 = «(0.4)

им ОЖЦ для системы в операторов

В^^ХАфР, В2<рР = , В$<р™ = ХАф?\

В прямой сумме гильбертовых пространств Н — + Н данные равенства за-

2а

писываются в виде (В — АА)Ф^ = 0, где В и А (2в х 2в) — матрицы, соответственно, с операторами В%, В к. по побочной диагонали и операторами А*, А по главной диагонали, Ф^ — >¥>1^,Ф^КФ-Р,

Ввиду несимметричности линейной оператор-функции В — ЛА могут существовать ОЖЦ длины р

Модельная задача В является обобщенной задачей на собственные значения Шмидта полиномиальной оператор-функции спектрального параметра

В<р = А(Х)ф ~ ХАгф + Х2А2ф + 4- Х3А$ф, В*ф= А*{Х)1р = ХА\<р + Х2А&+ + с операторами В, Аг£ Ь(Н), г = 1 з Задача линеаризуется в пространстве Н = + Н в виде (В — АА)Ф^ = 0 Получены соотношения между ОЖЦ исходной задачи и ее линеаризации

В п 3 3 отмечены связи ЛВ-метода с теорией возмущений дискретного спектра и дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах с необратимым оператором при производной Вводится задача на собственные значения В(Ь, з)1р=(Ао^А1-Оо+зВа)<р=() При й = 0 собственным значением является I = Ао, при в = 1 — искомое собственное значение с соответствующими ОЖЦ К данному уравнению при достаточно малой норме ||£>о|| применяется теория аналитических возмущений и метод диаграммы

Ньютона Полагая Ь = ¿(в) = Ао + /¿(в) и дифференцируя по в, получаем

дх <М

задачу Коши (Л0 - - £>0 + = - АО®, ж(0) = <рг0, ис-

следование которой выполняется на основе теории разрешающих систем — аналога уравнения разветвления в корневом подпространстве

В приложениях, все программы, реализующие численное решение рассмотренных задач, выполнены с применением системы компьютерной математики Мар1е 9 5

Основные результаты диссертации

1 Следуя идее М К Гавурина, для линейной оператор-функции спектрального параметра построены модели ложного возмущения, симметрично использующие приближения к кратному собственному значению и обобщенным жордановым цепочкам, такие, что эти приближения становятся точными для возмущенной оператор-функции

2 На основе общей теории возмущений дискретного спектра фредгольмсь вых операторов, предложены итерационные процессы уточнения указанных приближений, с оценкой скорости их сходимости

3 Дано развитие ЛВ-метода в применении к спектральным задачам Э Шмидта с линейным вхождением спектрального параметра

4 Рассмотрены модификации ЛВ-метода для спектральных задач нелинейно зависящих от параметра на основе их линеаризации в виде матричных операторов

5 Даны иллюстрации ЛВ-метода с соответствующими численными экспериментами в применении к одномерным задачам с одним и двумя смещениями, для определения чисто мнимых критических собственных значений в задачах динамической теории ветвления, в спектральных задачах Э Шмидта с приложениями к модельным задачам теории электромагнитных колебаний, к граничной задаче со смещением для системы ОДУ, к пространственно одномерной динамической задаче со смещением, для уточнения корней алгебраических уравнений

6 Отмечена связь метода ложных возмущений с аналитическими возмущениями и дифференциальными уравнениями с необратимым оператором при производной

В перспективе предполагается детальное выполнение схем последнего пункта, а также, исследование спектральных разложений по спектру Э Шмидта и некоторых других прикладных задач математической физики, в частности, задач теории резонаторов, обладающих определенной групповой симметрией Результаты линеаризации полиномиальной оператор-функции спектрального параметра предполагается использовать для обобщения методов А Н Крылова, Леверрье, Д К Фаддеева

Соискатель выражает искреннюю благодарность научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору Борису Владимировичу Логинову за постановку задач и постоянное внимание к работе

Список работ, опубликованных по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК.

1 Логинов Б В , Макеева О В Об одной спектральной задаче Э Шмидта со смещениями в граничных условиях // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия Математика Самара СамГУ 2006 № 9 С 14-18

2 Логинов Б В , Макеева О В Метод ложных возмущений в применении к спектральным задачам Э Шмидта // Вестник СамГТУ Серия "Математическая" "Дифференциальные уравнения и их приложения" Самара СамГТУ 2007 № 1(5) июнь С 65-74

3 Макеева О В Фредгольмовость задачи о собственных колебаниях резонатора без потерь // Вестник СамГТУ Серия "Математическая" Самара СамГТУ 2007 № 1(5) июнь С 75-77

Публикации в других изданиях.

1 Логинов Б В, Макеева О В, Цыганов А В Уточнение приближенно заданных жордановых цепочек линейной оператор-функции спектрального параметра на основе теории возмущений // Межвуз сборник научных трудов "Функциональный анализ" Ульяновск УлГПУ 2003 Вып 38 С 53-62

2 Макеева О В К теореме Ф.Реллиха о возмущении линейной оператор-функции спектрального параметра // Прикладная математика и механика Сборник научных трудов Ульяновск. УлГТУ 2004 С 30-33

3 Макеева О В , Рахимов Д Г О методе ложных возмущений для аппроксимирующей оператор-функции в задачах на собственные значения // Вестник Ульяновского государственного технического университета Ульяновск УлГТУ 2005 С 17-19

4 КоноплеваИ В , Логинов Б В , Макеева О В Линеаризация по спектральному параметру в теории возмущений // Труды Средневолжского ма-тем об-ва 2005. Т 7 № 1. С 105-113

5 LogmovBV, MakeevaO V, FoliadovaE V On the sharpening of approximately given generalized Schmidt' eigenvalues of linear operator by pseudoperturbation method // Межвуз сборник научных трудов "Функциональный анализ" Ульяновск УлГПУ 2005 Вып 39 С 21-30

6 Макеева О В О жордановых цепочках полиномиальной оператор-функции спектрального параметра и ее линеаризации // Межвуз сборник научных трудов "Функциональный анализ" Ульяновск УлГПУ 2005 Вып 39 С 31-38

7 Макеева О В О методе ложных возмущений определения критических точек спектра при бифуркации Андронова-Хопфа // Межвуз сборник научных трудов "Функциональный анализ" Ульяновск УлГПУ 2005 Вып 39 С 39-43

8 MakeevaO V Pseudoperturbation method for the determination of spectral parameter critical value in abstract Dirac type systems at dynamic bifurcation // Межвуз сборник научных трудов "Функциональный анализ" Ульяновск УлГПУ 2005 Вып 39 С 44-51

9 LogmovBV, MakeevaO.V, FoliadovaE V Sharpening of spectral parameter critical value at dynamic bifurcation by pseudoperturbation method // 13ife conference on applied and industrial mathematics CAIM-2005 Abstracts Oct 14-16 2005 Pitegti, Romania P 25

10 Макеева О В Применение метода ложных возмущений к одномерной задаче Бицадзе-Самарского на собственные значения // Вестник Ульяновского государственного педагогического университета / сборник Ульяновск-УлГПУ 2006 Вып 2 С 58-61

11 LogmovBV, MakeevaO V, FoliadovaE V Pseudo-perturbation method for computation of E Schmidt eigenvalue // GAMM-2006 Tech Univ. Berlin 27-31 03 2006 Germany Book of Abstracts P 370

12 Loginov В V , Makeeva О V Pseudoperturbation method in some aspects of generalized eigenvalue problems // Труды Средневолжского матем об-ва 2006. Т 8 №1 С 83-91

13 Logmov В V, Makeeva О V Pseudoperturbation Method for the Computation of Discrete E Schmidt Spectrum // Int Conference 'Tikhonov and Contemporary Mathematics" Moscow MGU RAN 19-25 06 06 Abstracs of session "Functional Analysis and Differential Equations" P 166-167

14 Loginov В V, Makeeva О V , Foliadova E V Pseudo-perturbation Method for Computation of E Schmidt Eigenvalues // PAMM (Proc Appl Math Mech) 2006 V 6 Is 1 P 643-644

15. Loginov В V, Makeeva О V On some aspects of pseudoperturbation method in generalized eigenvalue problem // Сборник научных трудов "Механика и процессы управления" Ульяновск УлГТУ 2006 С 166-173

16 Макеева О В Метод ложных возмущений в задачах со смещениями в граничных условиях // Математические методы и модели в науке, технике, естествознании и экономике Т 4 // Труды международной конференции по логике, информатике, науковедению Ульяновск УлГТУ 2007 С 169-171

17 ЛогиновБВ, Макеева О В Дискретный спектр Э Шмидта одной краевой задачи со смещениями // Труды математического центра им Н И Лобачевского Т 35/ Казанское математическое общество Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // Материалы Восьмой Международной Казанской летней научной школы-конференции Казань Изд-во Казанского матем общ-ва, Изд-во КГУ 2007 С 154-155

18 Логинов Б В , Макеева О В Спектральная задача Э Шмидта о собственных колебаниях резонатора без потерь / / Труды математического центра им. Н И Лобачевского Т 35/Казанское математическое общество Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // Материалы Восьмой Международной Казанской летней научной школы-конференции Казань Изд-во Казанского матем общ-ва, Изд-во КГУ 2007 С 156-157

19 МаакееваО В Метод ложных возмущений в спектральных задачах Э Шмидта — Саранск Средневолжское математическое общество, 2007, препринт 105

Подписано в печать 09 Бумага типографская Печать оперативная

Формат бумаги 60x901/16 Усл. печ. л. 0.9 Тираж /00 экз. Заказ №

Ротапринт Ульяновского государственного педагогического университета имени И Н. Ульянова

432700, г Ульяновск, пл 100-летиясо дня рождения В И. Ленина, 4

Введение

1. Обобщенные жордановы цепочки в теории возмущений дискретного спектра линейных операторов

1.1. Некоторые определения и факты.

1.2. О жордановых цепочках полиномиальной оператор-функции спектрального параметра и ее линеаризации.

1.3. Об одном частном случае теоремы Ф. Реллиха.

1.4. Применение линеаризации по спектральному параметру к устойчивости разветвляющихся решений.

2. Метод ложных возмущений для уточнения приближенно заданных жордановых цепочек в моделях линейных спектральных задач

2.1. Построение моделей ложного возмущения.

2.2. Итерационные процессы вычисления собственного значения и обобщенных жордановых цепочек и их регуляризация

2.2.1. Итерационный процесс Ньютона-Канторовича

2.2.2. Итерационный процесс Ньютона-Канторовича с кубической сходимостью

2.2.3. Итерационный процесс Эйткена-Стеффенсена

2.2.4. Итерационный процесс М. К. Гавурина.

2.2.5. О биортогональности вычисленных ОЖЦ.

2.2.6. О регуляризации итерационных процессов

2.3. Применение метода ложных возмущений.

2.3.1. Одномерная задача со смещением.

2.3.2. Одномерная задача с двумя смещениями.

2.3.3. О применении метода ложных возмущений к решению алгебраических уравнений.

2.3.4. О методе ложных возмущений для аппроксимирующей оператор-функции

2.4. Метод ложных возмущений определения критических точек спектра динамической бифуркации.

2.5. Метод ложных возмущений и спектр Э. Шмидта.

2.5.1. Модельная задача А.

2.5.2. Модельная задача В.

2.5.3. Реализация метода ложных возмущений.

2.6. Прикладные задачи на спектр Шмидта.

2.6.1. Модельные задачи теории электромагнитных колебаний в резонаторах без потерь.

2.6.2. Граничная задача со смещениями для системы ОДУ

2.6.3. Пространственно одномерная динамическая задача со смещением.

3. Метод ложных возмущений в различных обобщениях задач на собственные значения

3.1. Линеаризация по спектральному параметру и метод ложных возмущений.

3.2. Обобщение спектральных задач Э. Шмидта.

3.2.1. Модельная задача С и ее применение.

3.2.2. Модельная задача Б и ее применение

3.3. Связь метода ложных возмущений с аналитическими возмущениями и с дифференциальными уравнениями с вырождением

Методы малого параметра имеют существенное значение в вычислительной и прикладной математике, математическом моделировании. Прежде всего, они возникли в регулярных задачах механики, когда главная часть дифференциального выражения вместе с краевыми и начальными условиями представляет собой обратимый оператор в некотором функциональном пространстве. Затем появились задачи, преимущественно в нелинейных явлениях, когда главная часть нелинейного уравнения — линеаризованный оператор, не имеющий обратного. Задачи такого рода относятся к теории ветвления решений нелинейных уравнений, представителем которых явилась задача о фигурах равновесия вращающейся жидкой массы (К. Якоби, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, Л. Лихтенштейн, Л. Н. Сретенский), а также, задачи по теории волн на поверхности тяжелой жидкости (А. И. Некрасов, Т. Леви-Чивита, Д. Стройк, Н. Е. Кочин). Однако, первая задача такого рода была рассмотрена еще Л.Эйлером — задача о малых изгибах прямолинейного стержня под действием постоянной нагрузки. С возникновением функционального анализа, такие задачи стимулировали исследования по спектральной теории линейных операторов, зависящих от одного или нескольких малых параметров (Ф. Реллих [92], Т. Като [78], Б. Секефальви-Надь [95]). Наиболее полное исследование дискретного спектра фредгольмовых операторов, аналитически зависящих от малого параметра, методом диаграммы Ньютона, выполнено в работе В. А.Треногина [71]. М. К. Гавуриным [12]-[15] были получены неулучшаемае оценки в теории возмущений. Начиная с 50-ых годов прошлого века, ведутся исследования по теории сингулярных возмущений, когда малый параметр является сомножителем главной части дифференциального выражения (А. Н. Тихонов, Коул, А. Б. Васильева, М. И. Вишик и JI. А. Люстерник, М.М.Хапаев, В. Ф. Бутузов, В. А. Треногин).

М.К.Гавурин [16], [17] предложил, основанный на теории возмущений, метод вычисления собственных чисел и векторов линейных операторов, названный методом ложных возмущений. Идея этого метода состоит в построении оператора ложного возмущения Dq , такого, что известные приближения к собственным числам и элементам становятся точными для возмущенного оператора. В работе [16] рассматриваются самосопряженные операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Результаты М.К.Гавурина были развиты Ф.Кунертом для простых собственных чисел несамосопряженных операторов. Обзор его работ содержится в [79].Дальнейшее развитие метода ложных возмущений в спектральной теории линейных операторов в банаховых пространствах содержится в работах Б.В.Логинова и Н.А.Сидорова [45], [46]; Б.В.Логинова и Д. Г. Рахимова [41], [42]. Обзор, полученных здесь результатов, представлен в [89]. В [42], [89] был предложен оператор ложного возмущения, позволяющий уточнять обобщенные жордановы цепочки (ОЖЦ) для линейной по спектральному параметру оператор-функции Aq — tA\ без учета ОЖЦ сопряженной оператор-функции. Задача уточнения приближенно заданных собственных чисел, собственных элементов и обобщенных жордановых цепочек прямой и сопряженной задач оператор-функции спектрального параметра в общем случае оставалась нерешенной.

Данная работа посвящен изучению этого общего случая и его приложений в различных спектральных задачах теоретического характера, а также, в модельных задачах вычислительной и прикладной математики.

Первая глава (п. 1.1.) содержит необходимые определения и сведения аппарата обобщенных жордановых цепочек, а также, теории ветвления решений нелинейных уравнений. Необходимость последних вызвана используемыми в работе методами исследования уравнения разветвления в задаче о ветвлении собственных значений, собственных элементов и ОЖЦ фред-гольмовых оператор-функций спектрального параметра.

В п. 1.2. рассмотрены возможности линеаризации полиномиальной оператор-функции спектрального параметра, исследованы соотношения между ОЖЦ оператор-функции и ее линеаризации.

Пункт 1.3. посвящен одному частному случаю теоремы Ф. Реллиха. Методом диаграммы Ньютона установлены некоторые условия, гарантирующие разложения в ряды по целым степеням малого параметра собственных чисел А(е) = Ао + fi(e) и соответствующих собственных элементов задачи на собственные значения А(е)у = X(e)Ry, А(е) = Aq — еА\ — линейная оператор-функция малого параметра.

Пункт 1.4. содержит применеиие линеаризации по спектральному параметру к задачам устойчивости стационарных разветвляющихся решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с фредгольмоdx выми операторами А— = В(е)х — R(x,e), R(0,e) = 0, Де(0,0) = О,

IX i»

В(е) = B + B1£ + B2s2 + . = В + С(Е) и + +

Аг^ = Вх + Нх,^,.,^-1^, \\f(x,xu,.)x^\t)\\ = о(\\х\\), ||я|| = 0^ах 1 lk(fc)|| 0. Установленные здесь результаты обобщают критерии, полученные в работах [44], [90].

В п. 2.1. главы второй предложены варианты моделей ложного возмущения, симметрично использующие приближения ОЖЦ кратного собственного значения линейной оператор-функции. Лемма 2.1. позволяет определить системы элементов £ Щ, ^ биортогональ-ные к приближенно заданным собственным элементам и ОЖЦ прямой и сопряженной {ФмУГ-т^ линейной оператор-функций спек X ^íl /С X трального параметра и определить два вида оператора ложного возмущения, такого, что заданные приближения к собственному числу и ОЖЦ прямой и сопряженной оператор-функций становятся точными для их возмущений (теорема 2.1., следствие 2.1.). Далее методами теории ветвления строится "определитель полноты "обобщенного жорданова набора п

7, §30.3], имеющий точное собственное значение К = p¿-кратным i корнем (К — корневое число, равное сумме длин ОЖЦ), к которому в п. 2.2. применяются различные итерационные процессы вычисления точного собственного значения и отвечающих ему ОЖЦ. Это метод Ньютона-Канторовича (теорема 2.2. (замечание 2.1.)) в его основном (модифицированном) варианте, имеющем квадратичную (линейную) скорость сходимости; итерационный процесс Ныотона-Канторовича с кубической сходимостью (теорема 2.3.); итерационный процесс Эйткена-Стеффенсена с квадратичной скоростью сходимости; итерационный процесс М. К. Гавурина, обладающий сверхлинейной сходимостью (теорема 2.4.). Здесь же устанавливается, что вычисленные ОЖЦ биортогональны с точностью до 0(£и), где е = А — До — разности между точным собственным значением и его приближением, и — номер итерации. Далее предлагается итерационный процесс, использующий технику уравнения разветвления в корневом подпространстве. Также показано, что используемый оператор Э. Шмидта является регуляризатором рассмотренных итерационных процессов.

Пункт 2.3. посвящен приложениям ЛВ-метода. Это одномерная задача со смещением (Бицадзе-Самарского [5]) и" + Хи = 0, и(0) = О, и{хо) = и{ 1), для которой вычислены точные собственные значения и ОЖЦ и проведены вычислительные эксперименты по их уточнению методом ложных возмущений. Листинг программ вынесен в приложение 1. Далее следуют четыре одномерные задачи с двумя смещениями первого и второго рода по В. А. Ильину и Е. И. Моисееву [25], [26]. Приводится иллюстрация метода ложных возмущений (приложение 2). Рассмотрен пример уточнения ЛВ-методом кратных корней полинома. Хотя и считается, что прием замены алгебраического уравнения характеристическим уравнением матрицы Фробениуса нерационален, пример представляется нам интересным, так как здесь, попутно, установлены рекуррентные формулы суммирования и показано, что кратному корню многочлена отвечает собственное значение матричного оператора с жордановой цепочкой, длина которой равна кратности корня. Проведен вычислительный эксперимент (приложение 3). Изложен вариант дискретизации линейной оператор-функции, использующий абстрактную теорию разностных схем [73], [74], с приложением к задаче Штурма-Лиувилля.

В п. 2.4. ЛВ-медот применен для определения чисто мнимого критического собственного значения при динамической бифуркации.

В цикле работ начала ХХ-го столетия по линейным и нелинейным интегральным уравнениям [93] Э. Шмидт ввел системы собственных чисел Хк оператора В : Я Н, учитывая их кратности, и собственных элементов {ipk}i°, {фк}Т, удовлетворяющих соотношениям Bipk = Хифк, В*фк = Хк^Рк и позволяющих обобщить теорию Гильберта-Шмидта на несамосопряженные вполне непрерывные операторы в абстрактном сепа-рабельном гильбертовом пространстве Я [21], [56]. Под названием s-чисел эта система нашла многие применения в вычислительной математике и теории некорректных задач [19]. В статьях [40], [33] было предложено спектральное разложение линейных операторов в гильбертовом пространстве по спектру Шмидта и отмечено, что системы подобного вида встречаются в релятивистской квантовой теории Дирака [57], [32] и при исследовании некоторых проблем электромагнитных процессов [10]. Отметим работу текущего года [6] в которой спектр Э. Шмидта применяется в современных физических теориях.

В п.2.5. определены две модельные задачи на спектр Э.Шмидта. В задаче А для двух линейных операторов В и А в гильбертовом пространстве H введены Л-собственные значения и элементы Шмидта, определяемые равенствами Bip = ХАф, В*ф = ХА*(р. Модельная задача В рассматривает задачу на собственные значения, возникающую в абстрактных системах типа Дирака [32], [64] при нестационарном ветвлении и приводимую к обобщенной задаче на спектр Шмидта. Для обеих задач дана модификация JIB-метода: построены операторы ложного возмущения и описан итерационный процесс Ньютона-Канторовича. Рассмотрены прикладные задачи на спектр Шмидта. Это модельные задачи теории электромагнитных колебаний в резонаторах без потерь, для которых доказана фредгольмовость обобщенных собственных значений Э. Шмидта. Граничная задача со смещением для системы ОДУ u"+Xv—0, v"+Xu=0; w(0)=0, w(£o)—'и{1), и(1)=0, î;(a;o)=v(0), для которой вычислены точные собственные значения и собственные функции. Доказано, что присоединенные элементы отсутствуют. Вычислительный эксперимент, иллюстрирующий ЛВ-метод, выполнен для случая xq=- (приложение 4). Рассмотрена пространл ственно одномерная динамическая задача со смещением, сводящаяся к системе дифференциальных уравнений и" + и = iav, v" + v = —iau со смещениями в граничных условиях и(0) = 0, и(хо) = и( 1), г;(1) = 0, = v(0). Проведен вычислительный эксперимент по иллюстрации Л Вметода (приложение 5).

В главе3, в п. 3.1. рассмотрены различные обобщения задач на собственные значения с последующим применением метода ложных возмущений. В п. 3.1. выполнена линеаризация задачи на собственные значения A(t)X = 0, A{t) G L{E\ —> Е2}, t E (a, b) в банаховых пространствах последовательностей 1Р(Е{), i = 1,2. По заданным приближениям к собственному числу Л и ОЖЦ ? Ф{о ' г ~ 1, • • •, ™ ) s = 1,Pi построены их приближения для линеаризованной задачи и по схеме п. 2.1. построены модели ложного возмущения с описанием итерационных процессов М. К. Гавурина и Ньютона-Канторовича.

В п. 3.2. предложены обобщения спектральных задач Э. Шмидта. В модельной задаче С определены А-собственные значения и соответствующие им ОЖЦ для системы s операторов Bi,B2,.-,Bs. Модельная задача D является обобщенной задачей на собственные значения Шмидта полиномиальной оператор-функции спектрального параметра.

В п. 3.3. отмечены связи JlB-метода с теорией возмущений дискретного спектра и дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах с необратимым оператором при производной. Предложены общие схемы модификации ЛВ-метода.

В приложениях, все программы, реализующие численное решение рассмотренных задач, выполнены с применением системы компьютерной математики Maple 9.5.

Всюду ниже формулы, теоремы, леммы, следствия и замечания имеют сквозную нумерацию внутри каждой главы: первая цифра соответствует номеру главы, вторая — номеру утверждения.

Заключение

1. Следуя идее М. К. Гавурина, для линейной оператор-функции спектрального параметра построены модели ложного возмущения, симметрично использующие приближения к кратному собственному значению и обобщенным жордановым цепочкам, такие, что эти приближения становятся точными для возмущенной оператор-функции.

2. На основе общей теории возмущений дискретного спектра фред-гольмовых операторов предложены итерационные процессы последующего уточнения указанных приближений с оценкой скорости их сходимости.

3. Дано развитие ЛВ-метода в применении к спектральным задачам Э. Шмидта с линейным вхождением спектрального параметра.

4. Рассмотрены модификации ЛВ-метода для спектральных задач нелинейно зависящих от параметра на основе их линеаризации в виде матричных операторов.

5. Даны иллюстрации ЛВ-метода с соответствующими численными экспериментами в применении к одномерным задачам с одним и двумя смещениями; для определения чисто мнимых критических собственных значений в задачах динамической теории ветвления; в спектральных задачах Э. Шмидта с приложениями к модельным задачам теории электромагнитных колебаний, к граничной задаче со смещением для системы ОДУ, к пространственно одномерной динамической задаче со смещением; для уточнения корней алгебраических уравнений.

6. Отмечена связь метода ложных возмущений с аналитическими возмущениями и дифференциальными уравнениями с необратимым оператором при производной.

В перспективе предполагается детальное выполнение схем последнего пункта, а также исследование спектральных разложений по спектру

Э. Шмидта и некоторых других прикладных задач математической физики, в частности при решении задач теории резонаторов, обладающих определенной групповой симметрией. Результаты линеаризации полиномиальной оператор-функции спектрального параметра предполагается использовать для обобщения методов А. Н. Крылова, Леверрье, Д. К. Фаддеева.

Соискатель выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Борису Владимировичу Логинову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Аржаных И. С. Интегральные уравнения основных задач теории поля и теории упругости. Ташкент: АН УзССР. 1954.

2. Аржаных И. С. Обращение волновых операторов. Ташкент: ФАН. АН УзССР. 1962. 164 с.

3. Аржаных И. С., Гугнина В. И. Распространение методов Крылова, Ле-веррье и Фаддеева на полиномиальные матрицы // Труды ин-та математики им. В. И. Романовского. АН УзССР. Ташкент. 1962. Вып. 24. С. 33-67.

4. БайковВ.А., ГазизовР. К., ИбрагимовН. X. Методы возмущений в групповом анализе. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1989. Т. 34. С. 85-147.

5. БицадзеА.В. К теории нелокальных краевых задач // Доклады АН СССР. 1984. Т. 277. №1. С. 17-19.

6. Богданов А. Ю., БогдановЮ. И., ВалеевК.Л. Информация Шмидта и запутанность квантовых систем // Вестник МГУ. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2007. №1. С. 37-49.

7. ВайнбергМ. М., ТреногинВ.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1969. 524 с.

8. ВайниккоГ. М., Карма О. О. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1974. Т. 14. №6. С. 1393-1408.

9. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М.: Радио и Связь. 1988. 440 с.

10. Власов А. А. Макроскопическая электродинамика. М.: ГТИ. 1955.

11. ВольманВ.И., Пименов Ю. В. Техническая электродинамика. М.: Связь. 1971. 488 с.

12. Гавурин М. К. О собственных числах операторов, зависящих от параметра // ДАН СССР. 1951. Т. 76. №6. С. 769-770.

13. Гавурин М. К. О собственных числах операторов, зависящих от параметра // Вестник МГУ. 1952. №9. С.77-95.

14. Гавурин М. К. Об оценках собствен пых чисел и векторов возмущенного оператора // ДАН СССР. 1954. Т. 90. №0. С. 1093-1095.

15. Гавурин М. К. О точности прилиженных методов разыскания собственных чисел интегральных операторов ,// ДАН СССР. 1954. Т. 97. №1. С. 13-15.

16. Гавурин М. К. О методе ложных возмущений для нахождения собственных значений /7 Жури, вычисл. математики и мат. физики. 1961. Т.1. №5. С. 751-770.

17. Гавурин М. К. О плохо обусловленных системах линейных алгебраических уравнений // Жури, вычисл. математики и мат. физики. 1962. Т. 2. №3. С. 387-397.

18. Гавурин М. К. Лекции но методам вычислений. М.: Наука. 1971.

19. Годунов С. К., Антонов А. Г., Кирилкж О. П., Костин В. И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. М.: Наука. 1988.

20. ГугиинаВ. И. Дополнение к теореме И.С.Аржаных о полиномиальных матрицах // Доклады АН УзССР. 1961. №1. С. 3-6.

21. ГурсаЭ. Курс математического анализа. Т. 3. 4.2. Интегральные уравнения. ОНТИ. М. 1935.

22. Давиденко Д. Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений // Украинский матем. журнал. 1953. Т. 5. №2. С. 196-206.

23. Давиденко Д. Ф. О применении метода вариации параметра к построению итерационных формул повышенной точности для определения численных решений нелинейных интегральных уравнений // ДАН СССР. 1965. Т. 162. №3. С. 499-502.

24. ЗагускинВ.Л. Справочник по численным методам решения уравнений. М.: Физматгиз. 1960. 216 с.

25. Ильин В. А., Моисеев В. И. Нелокальные краевые задачи первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. №7. С.1198-1207.

26. Ильин В. А., Моисеев В. И. Нелокальные краевые задачи второго рода для оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. №8. С. 1422-1431.

27. Ильинский А. С., СлепянГ. Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. Изд-во МГУ. 1983. 232 с.

28. Ким-ТянЛ.Р., Логинов Б. В., Макаров М.Ю. Устойчивость разветвляющихся решений бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной // Труды Средневолжского матем. об-ва. 2004. Т. 6. №1. С. 82-95.

29. КоноплеваИ. В., Логинов Б. В., Макеева О. В. Линеаризация по спектральному параметру в теории возмущений // Труды Средневолжского матем. об-ва. 2005. Т. 7. № 1. С. 105-113.

30. КошляковН. С., ГлинерЭ. Б., СмирновМ.М. Уравнения в частных производных в математической физике. М.: Высшая школа. 1970. 712 с.

31. Кузнецов А. О. Об одной модификации метода Ньютона и ее использовании для уточнения собственных векторов линейных операторов //

32. В сб. "Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей". Ташкент: ФАН. АН УзССР. 1987. С. 196-201.

33. Левитан Б. М., СаргсянИ.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука. 1970.

34. Логинов Б. В. О нахождении собственных чисел и фундаментальных элементов Шмидта вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве // Доклады АН УзССР. 1965. № 1. С. 5-8.

35. Логинов Б. В. Уравнение разветвления в корневом подпространстве: групповая симметрия и потенциальность // Межвуз. сборник научных трудов "Функциональный анализ". Ульяновск: УлГПУ. 1994. Вып. 35. С.16-28.

36. Логинов Б. В., Макеева О. В. Об одной спектральной задаче Э.Шмидта со смещениями в граничных условиях // Вестник Сам ГУ — Естественнонаучная серия. Математика. Самара: Сам ГУ.2006. X2 9. С. 14-18.

37. Логинов Б. В., МакееваО.В. Метод ложных возмущений в применении к спектральным задачам Э. Шмидта // Вестник СамГТУ. Серия "Математическая". Самара: СамГТУ. 2007. №. 1(5). С. 65-74.

38. Логинов Б. В., Поспеев В. Е. О собственных числах и векторах возмущенного оператора // Известия АН УзССР. 1967. №6. С. 29-35.

39. Логинов Б. В., Рахимов Д. Г. Об уточнении собственных значений и собственных векторов аналитической оператор-функции методом ложных возмущений // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. 1977. №1. С.12-20.

40. Логинов Б. В., Рахимов Д. Г. О методе ложных возмущений при наличии обобщенных жордановых цепочек // Дифференциальные уравнения и их приложения. Ташкент: Фан. 1979. С. 113-125.

41. Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления // В сб. "Прямые и обратные задачи для уравнений с частными производными". Ташкент: Фан. 1978. С. 133-148.

42. Логинов Б. В., Сидоров А. Н. Вычисление собственных чисел и векторов ограниченных операторов методом ложных возмущений // Матем. заметки. 1976. Т. 19. № 1. С. 4-12.

43. Логинов Б. В., СидоровА. Н. О вычислении собственных чисел и собственных векторов линейной оператор-функции методом ложных возмущений // Известия АН УзССР. Физ.-мат. 1977. №5. С. 26-29.

44. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука. 1964.

45. Макеева О. В. К теореме Ф.Реллиха о возмущении линейной оператор-функции спектрального параметра // Прикладная математика и механика: Сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ. 2004. С.30-33.

46. Макеева О. В. О жордановых цепочках полиномиальной оператор-функции спектрального параметра и ее линеаризации // Меж-вуз. сборник научных трудов "Функциональный анализ". Ульяновск: УлГПУ. 2005. Вып. 39. С. 31-38.

47. Макеева О. В. О методе ложных возмущений определения критических точек спектра при бифуркации Андронова-Хопфа // Меж-вуз. сборник научных трудов "Функциональный анализ". Ульяновск: УлГПУ. 2005. Вып. 39. С. 39-41.

48. Макеева О. В. Применение метода ложных возмущений к одномерной задаче Бицадзе-Самарского на собственные значения // Вестник Ульяновского государственного педагогического университета / сборник. Ульяновск: УлГПУ. 2006. Вып. 2. С. 58-61.

49. Макеева О. В. Фредгольмовость задачи о собственных колебаниях резонатора без потерь // Вестник СамГТУ. Серия "Математическая". Самара: СамГТУ. 2007. №.1(5). С. 75-77.

50. Макеева О. В. Метод ложных возмущений в спектральных задачах Э.Шмидта — Саранск: Средневолжское математическое общество, 2007, препринт № 105.

51. Макеева О. В., Рахимов Д. Г. О методе ложных возмущений для аппроксимирующей оператор-функции в задачах на собственные значения // Вестник Ульяновского государственного технического университета. Ульяновск: УлГТУ. 2005. С. 17-19.

52. Могилевский Ш. И. О представлении вполне непрерывных операторов в абстрактном сепарабельном гильбертовом пространстве // Известия ВУЗов. Математика. 1958. №3(4). С. 183-186.

53. МоттН. Ф., СнеддонИ.Н. Волновая механика и ее приложения. М.: ИЛ. 1970.

54. НаймаркМ. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1975.

55. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1974. 544 с.

56. Ортега Дж. М., Рейнболдт В. К. Итерационные методы решения нелинейных уравнений со многими переменными. М.: Мир. 1975. 558 с.

57. Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений. М.: ИЛ. 1963. 220 с.

58. ПустылышкЕ. И. Об одном представлении линейных вполне непрерывных операторов, действующих в пространстве Банаха // Известия ВУЗов. Математика. 1960. №2(15). С. 149-153.

59. Русак Ю. Б. Некоторые соотношения между жордановыми наборами аналитической оператор-функции и сопряженной к ней // Известия АН УзССР. Сер. физ.-мат. 1978. №2. С. 15-19.

60. Саргсян И. С. Разложение по собственным функциям одномерной системы Дирака // ДАН СССР. 1966. Т. 166. С. 1292-1295.

61. Сидоров Н. А. Вычисление собственных значений и собственных векторов линейных операторов на основе теории возмущений // Дифферент уравнения. 1978. Т. 14. №8. С. 1522-1525.

62. СидоровН. А, Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та. 1982. 312 с.

63. Сидоров А. Н., Треногин В. А. Об одном подходе к проблеме регуляризации на основе возмущений линейных операторов // Матем. заметки. 1976. Т. 20. №5. С. 747-752.

64. Слепян Г. Я. К расчету собственных электромагнитных колебаний тел вращения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1977. Т. 17. №3. С. 776-780.

65. СливаВ. В. О движении собственных значений диссипативного пучка операторов // Матем. заметки. 1993. Т. 53. №4. С. 153-155.

66. ТихоновА. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1978. 736 с.

67. Треногин В. А. Возмущение собственных значений и собственных элементов линейных операторов // ДАН СССР. 1956. Т. 167. №3. С. 519520.

68. Треногин В. А. Периодические решения и решения типа перехода в абстрактных уравнениях реакции-диффузии // Вопросы квантовой теории ДУ. Новосибирск. Наука. СО АН СССР. 1988. С. 134-140.

69. Треногин В. А. Приближения на семействах банаховых пространств и разрешимость линейных уравнений // ДАН СССР. 1971. Т. 201. №6. С. 1288-1291.

70. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.:Наука. 1980. 495 с.

71. Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М.: Эдиториал УРСС. 1999. 222 с.

72. HrynivR., Lancaster P. On the perturbation of analytic matrix functions // Integral Equations and Operator Theory. 1999. V.34. P. 325-338.

73. KarasozenB., KonoplevaL, LoginovB. Hereditary symmetry of resolving systems for nonlinear equations with Fredholm operators // Nonl. Anal. Appl.: to V. Lakshmikantham on his 80-th Birthday. Kluwer Acad. Publ. Dordrecht. V. 2. 2002. P. 617-644.

74. KatoT. On the convergence of the perturbation method I; II // Progr. Theor. Thys. 1949. V.4. P. 514-523; 1950. V.5. P. 95-101,207-212.

75. Kuhnert F. Die Pseudoperturbation method // Math. Forschungsberichte. 1971. Bd. 26. S. 1-119.

76. LoginovB. V. Determination of the branching equation by its symmetry-Andronov-Hopf bifurcation // Nonlinear Analysis. TMA. 1997. V.28. № 12. P. 2033-2047.

77. LoginovB. V., Konopleva I. V. On the regularization of pseudoperturbation method for the sharpening of approximately given Jordan chains // Proc. Appl. Math. Mech. 2003. V.3. P. 143-144.

78. Loginov В. V., Makeeva О. V. Pseudoperturbation method in some aspects of generalized eigenvalue problems // Труды Средневолжского матем. об-ва. 2006. Т. 8. №1. С. 83-90.

79. LoginovB.V., MakeevaO.V. On some aspects of pseudoperturbation method in generalized eigenvalue problem // Сборник научных трудов "Прикладная математика и механика". Ульяновск: УлГТУ. 2007. С. 166-173.

80. Loginov В. V., Makeeva О. V., FoliadovaE. V. On the sharpening of approximately given generalized Schmidt' eigenvalues of linearen operators by pseudoperturbation method // Межвуз. сборник научных трудов

81. Функциональный анализ". Ульяновск: УлГПУ. 2005. Вып. 39. С. 2130.

82. LoginovB.V., MakeevaO.V., Foliadova E. V. Pseudo-perturbation method for computation of E. Schmidt eigenvalue // GAMM-2006. Tech. Univ. Berlin. 27-31.03 2006. Germany. Book of Abstracts. P. 370.

83. LoginovB.V., MakeevaO.V., Foliadova E. V. Pseudo-perturbation Method for Computation of E. Schmidt Eigenvalues // PAMM (Proc. Appl. Math. Mech.) 2006. V. 6. Is 1. P. 643-644.

84. LoginovB.V., RakhimovD.G., SidorovN.A. Development of M. K. Gavurin's pseudoperturbation method // Fields Institute Communications. 2000. V.25. P. 367-381.

85. Loginov В. V., Rousak Yu. B. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions // Nonl. Anal. TMA. 1991. V. 17. №3. P. 219-231.

86. MakeevaO.V. Pseudoperturbation method for the determination of spectral parameter critical value in abstract Dirac type systems at dynamic bifurcation // Межвуз. сборник научных трудов "Функциональный анализ". Ульяновск: УлГПУ. 2005. Вып. 39. С. 44-51.

87. Reilich F. Störungstheorie der Spektralzerlegung. I-V // Mathematische Annallen. 113(1936). S. 66-619; 113(1936). S. 667-685; 116(1939). S. 555570; 117(1940). S. 356-382; 118(1942). S.462-484.

88. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teilen 1-3 // Mathematische Annallen. 1905-1908. Bd. 63-65.

89. Stummel F. Discrete konvergenz linearer Operatoren //I. Mathematische Annallen. 1970. B. 190. №1. S. 45-92; II. Mathematische Zeitschrift. 1971. Bd. 120. №3. S. 231-264.

90. Szokefalvi-Nagy B. Perturbations des transformations autoadjoints dans l'espace de Hilbert // Comm. Math. Helv. 1946-1947. №19. P. 347-366.

91. Varhelyi A. On the improved Newton method for the solving of nonlinear real equations // Ann. Univ. sci. Budapest. Sec. computator. 1982. V. 3. P. 85-91.

92. Yudovich V. I. Investigation of autooscillations of continua arising at the loosing of stability of stationary regime // Prikl. Mat. Mekh. 1972. 36(3). P. 450-459; English transl. in. J. Appl. Math. Mech. 1972. 36.