автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Развитие методов робастного и адаптивного управления в задачах компенсаций конечномерных возмущений

на правах рукописи

КРЕМЛЕВ Артем Сергеевич

РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ РОБАСТНОГО И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ КОМПЕНСАЦИЙ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

1 Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и

I обработка информации (в технических системах)

I

I

1

I

I Автореферат

I диссертации на соискание ученой степени

I

кандидата технических наук

Санкт - Петербург - 2005

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель: д.т.н., профессор Ушаков Анатолий Владимирович

Официальные оппоненты: д.т.н., профессор Шароватов В.Т. к.т.н., с.н.с. Ефимов Д.В.

Ведущая организация: ОАО "ЛОМО"

Защита состоится 17 мая 2005 г. в 17й часов на заседании диссертационного совета Д.212.227.03 в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49, СПбГУ ИТМО.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.

Автореферат разослан 13 апреля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Лямин А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предмет исследований диссертационной работы составляет синтез законов управления для компенсации внешних возмущений.

Разнообразие систем управления, на которых действует внешняя среда велико, как правило, возмущающее воздействие, действующее на системы, носит паразитное влияние и его необходимо компенсировать. Примерами технических систем, для которых возникает подобная проблема, являются: транспортные и манипуляционные роботы, токарные, фрезерные и шлифовальные станки -автоматы, прокатные станы, управляемые аэро - и космические объекты.

На сегодняшний день получено большое число алгоритмов управления при условии действия возмущений. Как правило, подходы к управлению при наличии возмущения предполагают использование интегральных регуляторов, повышение у системы порядка астатизма юга же встраивание известной модели возмущающего воздействия (комбинированные регуляторы) (В.А. Бесекерский, Е.П. Попов), что в подавляющем большинстве случаев является сильной идеализацией. Применение указанных подходов ограничивается классом измеряемых, ограниченных возмущений или же возмущений с известной моделью изменения параметров (класс априорно известных детерминированных возмущений).

Более гибкие возможности для компенсации возмущений обеспечивает метод, связанный с косвенной параметризацией возмущений, которая в свою очередь, основана на принципе внутренней модели. При этом метод, использующий принцип внутренней модели, как правило, основывается на гипотезе о возможности представления возмущения как выхода некоторой конечномерной динамической линейной системы. Сегодня случай, когда конечномерная линейная динамическая модель генератора возмущающего воздействия имеет известные матрицы ее описания уходит из рассмотрения. Приоритет отдается исследованию генераторов возмущений с матрицами описания, коэффициенты которых заданы не точно или неизвестны. (В.О. Никифоров, А.В.Ушаков, В.В. Григорьев, И.В. Мирошник, А.Л.Фрадков, А.В Лямип, Б.Р. Андриевский, А.Ю. Андреев, А.Г. Александров, А.А. Бобцов, Е. J. Davison).

С развитием методов теории адаптивных систем удалось найти более конструктивные решения в классе априорно неизвестных детерминированных возмущений. Слияние методов адаптивного и робастного управления указало путь к решению задачи компенсации возмущений, включающих в себя (содержащих) неизвестную ограниченную нерегулярную и неопределенную регулярную составляющие.

Особое значение имеют периодические функции, так как периодические возмущения характерны дня широкого класса технологического оборудования, совершающего циклические операции.

Если частота периодического возмущения известна (или несколько частот, в случае квазигармонического возмущения), то поставленная проблема имеет классическое решение с моделируемым возмущением для линейных систем и с использованием наблюдателей, обеспечивает асимптотическую оценку возмущения, так, что оно может быть аннулировано. Если частота неизвестна, то эта проблема представляет значительный интерес. Один из подходов решения этой задачи, основывается на предположении, что собственные числа матрицы состояния динамической модели возмущения являются взаимно простыми и комплексно сопряженными с нулевой вещественной частью. Делается допущение о том, что возмущение не измеряется и является внешним паразитным фактором, влияющим на объект управления. Следует отметить, что подобное представление модели возмущающего воздействия является достаточно популярным в современной теории управления (В.О. Никифоров, P. Tomei, A.R. Bakhshai, M. Bodson, S.C. Douglas, G. Damm, E. Davison, A. Isidori, C.D. Jonson, L. Marconi, R.Marino, M. Mojiri, R.Ortega, G. Santosuosso, A. Serrani, X. Xia, L.Hsu).

Из выше сказанного следует, что задача синтеза закона управления для компенсации внешних возмущений является актуальной проблемой современной теории систем автоматического регулирования.

Настоящая работа посвящена развитию методов робастного и адаптивного управления в задачах компенсаций конечномерных возмущений, разработке различных алгоритмов компенсации возмущений с неизвестными параметрами по выходу объекта и по измерениям состояния объекта.

Целью диссертационной работы является синтез адаптивных и робастных алгоритмов компенсации внешних возмущений для различных классов объектов управления. В работе были поставлены и решены следующие задачи:

- сравнительного анализа существующих методов компенсации внешних возмущений, определены наиболее перспективные методы;

- синтеза алгоритма компенсации смещенного гармонического возмущения с неизвестными параметрами по выходу;

- синтеза алгоритма компенсации конечномерного квазигармонического возмущения;

- синтеза алгоритма робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного возмущающего воздействия.

Методы исследования. В качестве основных методов исследования использовались классические подходы теории систем автоматического регулирования и подходы, базирующиеся на методах адаптивного и робастного управления. Достоверность результатов подтверждается аналитически, а также результатами моделирования.

Научная новизна работы:

- предложен новый алгоритм компенсации смещенного гармонического возмущения с неизвестными параметрами по выходу в линейных объектах и для строго минимально - фазовых линейных объектов;

- получено новое представление модели возмущающего конечномерного квазигармонического воздействия;

- представлены новые алгоритмы компенсации квазигармонического возмущения для линейных и нелинейных объектов;

- предложен новый алгоритм идентификации неизвестных частот квазигармонических возмущения;

- получен новый алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией в общем случае неограниченного неизвестного возмущающего воздействия.

Практическая значимость и реализация результатов. Предложенные в диссертации подходы позволяют решить различные задачи управления в условиях действующего возмущения. Особое значение при этом имеют периодические функции, так как периодические возмущения характерны для широкого класса технологического оборудования, совершающего циклические операции (электроприводы различного вида и технологического применения, роботы -манипуляторы, транспортные роботы и т.д.).

Апробация работы. Работа выполнена на кафедре систем управления и информатики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики и поддержана грантом Минобразования России по фундаментальным исследованиям в области технических наук "Адаптивное и робасшое управление нелинейными возмущенными объектами с функциональными неопределенностями" (шифр гранта ТО - 3.2 - 1512). Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на 10-й Международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению ВОАС2004 (Санкт-Петербург, 2004 г.), на XXXII, XXXIII и XXXIV Научно-технических конференциях профессорского -преподавательского состава СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2003, 2004 и 2005 г.г.).

Публикации работы. По материалам диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, пять глав, заключение и список литературы, насчитывающий 51 наименований. Основная часть работы изложена 116 страницах машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассмотрены известные методы управления для компенсации возмущений:

- метод, основанный на синтезе прямых связей по возмущению;

- метод, основанный на принципе повышения порядка астатизма системы;

- метод, основанный на принципе внутренней модели;

-метод, основанный на принципе сильной обратной связи.

В первом методе предполагается, что внешняя среда, действующая на объект управления, измеряется, а возмущающее воздействие известно. Закон управления, вырабатываемый регулятором, в данном методе синтезируется из учета известного возмущения, с использованием прямых связей по возмущению.

В методе, основанном на принципе повышения у системы порядка астатизма, внешняя среда не измеряется, а возмущающее воздействие неизвестно. Модель внешней среды представляется в виде набора интегральных регуляторов, в предположении, что возмущающее воздействие можно разложить в ряд Тейлора и с учетом этого предположения синтезируется закон управления, и компенсируется возмущение.

Метод, использующий принцип внутренней модели, основывается на гипотезе о возможности представления возмущения как выхода некоторой конечномерной динамической линейной системы - так называемого генератора возмущений. Тогда для компенсации возмущения модель генератора должна быть соответствующим образом учтена (воспроизведена) в структуре регулятора.

Особенность метода, основанного на принципе сильной обратной связи, состоит в предположении, что внешняя среда не измеряется, а возмущение в свою очередь неизвестно, тогда существует такой параметр к регулятора, такой что при его увеличении значение выходной переменной уменьшается, и наоборот при уменьшении к увеличивается значение выходной переменной.

Во второй главе сформулированы постановка задачи и допущения на объект управления и модель возмущения.

Рассмотрен класс объектов вида:

где х в R" - вектор состояния, и ~ сигнал управления, у - регулируемая

переменная, 5 - неизвестное, в общем случае неограниченное возмущение, reRm - вектор неизвестных параметров объекта, f(x,r), g(x,r), d{x, г) и h{х) — вектор -функции и скалярная функция векторных аргументов. Различные классы объектов

х = Дх,г) + g{x,T)u + d(x,T)S, У = Кх),

(1) (2)

управления, для которых решен синтез алгоритмов адаптивной компенсации возмущения, определяются по дополнительным требованиям к /(х,т), g(x,т), с1(х,г) и Н(х) в разделах.

Допущения на возмущение <5 представлены в следующих гипотезах: Гипотеза 1.Возмущение 5 представило в виде:

<У = Д + 1', (3)

где Д = Д(/) - неизвестная функция времени (нерегулярная составляющая возмущения), а v = v(t) (регулярная составляющая возмущения) может быть представлена в качестве выхода линейного генератора конечной размерности. Гипотеза 2. Генератор регулярной составляющей имеет вид:

Х = ГХ, (4)

v = AГЖ. (5)

где хе ^ ~ вектор состояния генератора с начальным значением %(0); Г-qxqматрица постоянных коэффициентов, все собственные значения которой являются простыми и лежат на мнимой оси; А - постоянный вектор соответствующей размерности. Также будем считать, что пара (Аг,Г) является полностью наблюдаемой.

Гипотеза З.Размерность # командного генератора является известной, а коэффициенты матрицы Г и вектора А - неизвестными. Гипотеза 4. Вектор состояния % недоступен прямым измерениям.

Цель управления являлась разработка алгоритмов и подходов, обеспечивающих при любых начальных состояниях объекта выполнение условий (представленная формулировка соответствует случаю управлению по выходу, при замене в выражениях регулируемой переменной на вектор состояния получим управление по состоянию):

1. Экспоненциальную сходимость к компактному предельному множеству, если нерегулярная составляющая возмущения Д(?) * 0:

(б)

2. Асимптотическую сходимость, если нерегулярная составляющая возмущения Д(0 = 0:

ЦтИИ.

(7)

В третьей главе рассматривается проблема адаптивной компенсации смещенного гармонического возмущения = +сгзт(а)г+^), действующего на линейный объект. В частности решение этой проблемы для динамического управления с обратной связью по выходу (т.е. без измерения производных выхода или вектора состояния), с любыми начальными условиями системы и компенсатора, и для любых неизвестных постоянных значений ст0,ег, ф, а. Рассматривается линейный объект вида:

1 . . 0'

* х +

X = 0 . . 1

~а\

_-а0 0 . ■ 0

(и + *>) = Лс + + ,

у=[ 1 0 ... 0]* = йх.

(8) (9)

где х = д:(?) - неизмеряемый вектор переменных состояния, и - сигнал управления, у - регулируемая переменная величина, коэффициенты а,, , 0 <г < л -1 известны; полином д(р) = р" +ап_[р"~'1 +...+ я,/> + а0 - гурвицев; полином Ь(р) = />""'+ Ь^ р"2 л—+Ь1р + Ь0 не имеет корней на мнимой оси. Входное возмущение представлено в виде:

(10)

где амплитуда а > 0, частота а, фаза ф и сдвигом ст0 неизвестны.

Наряду с моделью вход-сосгояние-выход (8), (9) рассматривается модель в форме вход-выход

а(р)

(П)

Алгоритм компенсации в конечном виде представлен системой уравнений:

= $ + <1ю.

(12)

[в = ц - к.£гу,

(13)

'0 1 0" "0"

где А0 = 0 0 1 ,4 = 0

0 0 0 1

, параметр 0 оценка 9 = со .

Закон управления О(Р)

и = —

а{р)

(Р + Р)Ъ{Р) (Р + Р)Ъ(Р)

(к,^ + к2£2 + к,х3),

(14)

где А, =а\, =3а,, *3 =3аг0 и а0 >0,/?>0.

В развитие алгоритма управления (12) - (13) для стабилизации системы (8), во втором разделе третьей главы представлена адаптивная компенсация по выходу смещенного гармонического возмущения для строго минимально-фазового объекта с неизвестными параметрами. В данном случае были выдвинуты следующие допущения: коэффициенты а,, Ьи 0</<п-1 неизвестны; полином

Ь(р) - р"~' + ЬпАр"'7 + • • • + Ьхр + Ь0 гурвицев и коэффициент Ьа> 0.

Рассмотрена передаточная функция: (р + ЩрЩр)

Ф (р):

а{р)<х{р) + ц{р + \)Ъ{рЖр)

(15)

где Р(р) = к,р2 + кгр + к,, а(р) = р1. Из теоремы Фрадкова о пассификации линейных систем известно, что существует число М > 0, для которого передаточная функция Ф(р) строго вещественно-положительная.

Алгоритм компенсации в конечном виде представлен системой уравнений:

(16)

V = ~кархгу + ка^х}у, в-Т)- карх2у,

(17)

"0 1 0' "0"

где А0 - 0 0 1 0

0 0 0 1

(18)

, параметр в оценка в = со2.

1

Закон управления и = -й> = ~ктх = - к2х2 - к3х3,

где кх = а„, = За*, къ = Заг0 и аг0 > 0.

Замечание 3.1 На практике параметр ¡л может быть настроен алгоритмом вида /г = ¿¡0 + |Л(г)сЙ, где Л(Г) выбирается

Л>0 при \у\ >е0, О

при \у\ < е0.

Параметр ц растет до тех пор, пока выходная переменная не попадет в заданный предел е0.

Представлены результаты моделирования, показывающие работоспособность синтезированных алгоритмов.

В четвертой главе была рассмотрена задача синтеза наблюдателя квазигармонического возмущения вида:

п л

р(() = С0 + £ А1 вш + £ В, сое со, *

(19)

(где С0, Аи...,Ап, Ви...,Вп, <у,,...,<в„ - неизвестные постоянные параметры; п - известное натуральное число) с последующей его компенсацией, для линейной и нелинейной динамических систем.

В первом разделе четвертой главы рассмотрен линейный объект управления вида:

х — Ах + Ьр (?) + Ьи,

(20)

где х - х(/) е Яр - измеряемый вектор переменных состояния; и е Л - сигнал управления; матрицы А, Ь предполагаются известными, причем пара (А,Ь) -полностью управляема; р (/) е Л - неизвестное, не измеряемое возмущение.

Предполагалось, что максимальные значения частот а>1 для квазигармонического сигнала (19) не превосходят некоторого известного числа П, т.е. для всех / = 1,и.

Сигнал вида (19) может быть представлен

где ^*eRm - вектор переменных состояния; число т. = (2п +1);

; / = со1(0, в, ,0,... ,0,,0),

(21) (22)

"0 1 0 . . 0" 0 "0"

0 0 1 . . 0 0 0

0 0 0 . . 1 0 0

0 0 0 . • I

вектор неизвестных параметров, компоненты которого при любом комплексном 5 удовлетворяют тождеству

- в у-' - в^ -... - 0,s s ф' + а?)■...■ (52 + а>1).

(23)

Лемма 4.1. Пусть функция p(t) является выходом следующей динамической системы:

4 = Г£=(Г0+д1Т)£,

(24)

(25)

где £ е #т - вектор переменных состояния системы (24), а вектор постоянных коэффициентов И - [А, Л2 ... йт_| йт]г удовлетворяет условиям: • невырожденности матрицы

Н = hj + h2T + Л3 Г2 +... + hmTmA; гурвицевост числителя передаточной функции

Ы*)

Ф)

(26)

где полином Ь(х), в силу структуры матриц Г0 и д имеет вид

= V"4 + Ат_^т-2 +... + V + \ ■ (28)

Тогда система (24), (25) эквивалентна системе (21), (22) и также как система (21), (22) может быть использована для генерирования функции вида (19).

Сначала полагая, что сигнал р измеряется, для оценки функции р используется алгоритм:

£ = Г0£ + дфт9 + рдр, (29)

Р = (30)

где £ = со1(£1,£2,...,^т)еЛт - оценка вектора £ модели (24); функция ф = со1(£2,£4,...,£шЧ) еЛ"; в = со101,в2,-К" - оценка вектора неизвестных параметров в = с,о\{ву,в2,...,в„)еЯ"; число р. > 0.

Реализуемый наблюдатель возмущения /з(Г), обеспечивающий компенсацию возмущающего воздействия имеет вид:

Ьт - Ьт

4 = Г0к + рд-~х) + дфтё-рдтг-Ах, (31)

о о о о

ут

= ? + (32)

о Ь

Ь • Ь

Х = -Кеф-у-Ах-Кеф~х, (33)

оо оо

0 = Х + Квф^г-х, (34)

О о

где вектор ф- со1(|2,|4,...,|„_,) = со1(|з,|5,...,|„) содержит только измеряемые переменные системы (31) - (32), Кв=К^> 0 - их я матрица постоянных коэффициентов.

Управление, обеспечивающее компенсацию возмущения имеет вид:

и = -/3(0 = -Лг|(0, (35)

где функция (¡и) формируется алгоритмом (32).

Во втором разделе четвертой главе рассмотрел нелинейный объект управления вида:

* = Д*)+*(*Х/>Ю + «(0). (36)

где х = х{{) е Яр - измеряемый вектор переменных состояния,р(г) ей -неизвестное, не измеряемое возмущение,« е Л - сигнал управления.

В отношении к функции р{() предполагается по аналогии с предыдущем разделом, что она ограничена и представлена в виде (24) - (25).

В развитии подхода, представленного в предыдущем разделе, в разделе синтезирован алгоритм компенсации конечномерного квазигармонического возмущения по измерениям состояния для нелинейного объекта.

Все допущения и предположения, выдвигаемые относительно возмущения в предыдущем разделе, простираются и на этот раздел.

Наблюдатель квазигармонического возмущения в конечном виде имеет вид:

д = То{д + мЬтх) + дфт0-мЬт/(х), (37)

£ = д + щЪтх, (38)

Х = -КефЬтт-КвфЬтх, (39)

в = Х + КвфЬтх, (40)

где вектор ф = со1(£2, = со1(£3,£5, ■■,£„) содержит только измеряемые

переменные системы (37) - (38), К0=К% > 0 - пхп матрица постоянных коэффициентов, Ьтg(x) = 1.

Управление, обеспечивающее компенсацию возмущения имеет вид:

« = -р(/) = -А^( 0, (41)

где функция формируется алгоритмом (38).

Также следует отметить, что при помощи синтезируемого алгоритма компенсации конечномерного квазигармонического возмущения в четвертой главе решена задача идентификации неизвестных частот возмущения.

Представлены результаты моделирования, показывающие работоспособность синтезированных алгоритмов.

В пятой главе рассматривается синтез алгоритма робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного возмущения. При этом предполагалось, что измеряется только выходная переменная системы. Рассмотрен линейный стационарный объект вида:

Ах + + Ьи, (42)

у = стх, (43)

где х - х(<) - вектор переменных состояния; у - регулируемая переменная; и -сигнал управления; матрицы А,ц,Ь,с предполагаются известными, причем А -гурвицева; ф{1) - неизвестное, в общем случае неограниченное возмущение.

Наряду с моделью (42), (43) также рассматривается математическую модель "вход-выход":

Ар) АР)

где р-(11Л - оператор дифференцирования и полином А(р)- асимптотически устойчивый.

Полагается, что функция ф(() имеет не более чем экспоненциальный рост и отпосительно нее задана (известна) некоторая функция с одинаковой скорости роста <т(?) такая, что

'ф '<ка, (45)

где к - некоторое положительное неопределенное число. Закон управления:

(46)

где ф - текущая оценка функции <р.

Алгоритм компенсации в конечном виде представлен системой уравнений:

д = уа(гкг4г-...-кJm + klay)-ycrk1y =g + y&kiy.

(48)

(49)

где число т выбирается таким образом, что алгоритм (46) реализуем; у > О; а -функция одинаковой скорости роста |^|2; a(i) - известно для любого i = l,m-l; коэффициенты kt такие, что система (47) при уст = const - устойчива.

Теорема 5.1. Увеличение параметра У позволяет максимально приблизить оценку ф к функции <р.

Представлены результаты моделирования, показывающие работоспособность синтезированного алгоритма.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено исследование, связанное с проблемой компенсации возмущения. Были получены новые алгоритмы, развивающие известные методы синтеза управления в задачах компенсаций конечномерных возмущений. Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Решена задача компенсации смещенного гармонического возмущения с неизвестными параметрами по выходу в линейных объектах и для строго минимально - фазового линейного объекта на основе предложенных алгоритмов адаптивной компенсации.

2. Была поставлена и решена задача компенсации неизвестного конечномерного квазигармонического возмущения по измерениям состояния линейного стационарного объекта управления и нелинейного объекта управления. Новое представление модели возмущающего воздействия позволило построить его наблюдатель с дальнейшей компенсацией, а также при помощи этого алгоритма решить задачу идентификации неизвестных частот возмущения. Данный подход позволяет строить наблюдатели квазигармонических сигналов по косвенным, а не прямым измерениям.

3. Получен алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного, в общем случае неограниченного возмущающего воздействия. Возмущение имеет не более чем экспоненциальный рост (с известной степенью) или же его r-ая производная ограничена, а само число г известно.

- 6 5 6 2

Структура регулятора, представленного • содержит нестационарный фильтр, основа! связи, параметры которого выбираются из т\ переменной объекта.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМ

1. Bobtsov A.A., Kremlev A.S. Note tor ti тг sinusoidal disturbances with unknown parame J) 1 / Olympiad on automatic control. - Russia, Saint-1

2. Бобцов A.A, Кремлев A.C. Адаптивная иденшцшкация частоты смещенного синусоидального сигнала. // Известие ВУЗов, Приборостроение. Т.48, №3. - СПб. 2005.-С. 22-27.

3. Бобцов А.А, Кремлев A.C. Адаптивная компенсация гармонического возмущения с неизвестными параметрами по измерениям выходной переменной объекта. // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. № 12. - СПб. 2004 . - С. 30-35.

4. Бобцов А.А, Кремлев A.C. Синтез наблюдателя в задаче компенсации конечномерного квазигорманического возмущения. // Известия РАН, Теория и системы управления. №3. - М. 2005. - С. 5-11.

5. Бобцов А.А, Кремлев A.C., В.И. Цвикевич В.И. Синтез наблюдателя для конечномерного возмущения. II Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. Актуальные проблемы анализа и синтеза сложных технических систем. №11. -СПб. 2003.-С. 81-85.

Тиражирование и брошюровка выполнены в Центре «Университетские телекоммуникации». Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14. Тел. (812)233-46-69 Объем 1 п.л. Тираж 100 экз.

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОБЗОР МЕТОДОВ УПРАВЛЕНИЯ.

2. ОБОБЩЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

3. КОМПЕНСАЦИЯ СМЕЩЕННОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПО

ВЫХОДУ ОБЪЕКТА.

3.1. Компенсация смещенного гармонического возмущения с неизвестными параметрами в линейных объектах по выходу.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Решение задачи синтеза наблюдателя возмущения.

3.1.3. Решение задачи компенсация возмущения.

3.4. Пример электромеханического объекта управления.

3.2. Адаптивная компенсация по выходу смещенного гармонического возмущения для строго минимально-фазового объекта.

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Синтез закона управления.

3.2.3. Пример компенсации смещенного гармонического возмущения в строго — минимальном объекте.

4. КОМПЕНСАЦИЯ КОНЕЧНОМЕРНОГО КВАЗИГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ПО

ИЗМЕРЕНИЯМ СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТА.

4.1. Компенсация конечномерного квазигармонического возмущения по измерениям состояния линейного объекта.:.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Модельные предпосылки.

4.1.3. Расчет управления, синтез наблюдателя квазигармонического возмущения и идентификатора неизвестных частот у квазигармонического возмущения.

4.1.4. Пример компенсации конечномерного квазигармонического возмущения по измерениям состояния линейного объекта.

4.2. Компенсация конечномерного квазигармонического возмущения по измерениям состояния нелинейного объекта.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Модельные предпосылки.

4.2.3. Расчет управления, синтез наблюдателя квазигармонического возмущения и идентификатора неизвестных частот квазигармонического возмущения.

4.2.4. Пример нелинейной системы (хаотическая система Дуффинга).

5. АЛГОРИТМ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ ПО ВЫХОДУ

С КОМПЕНСАЦИЕЙ НЕИЗВЕСТНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ.

5.1. Постановка задачи.

5.2 Синтез алгоритма управления.

5.3 Пример электромеханического объекта управления, построенного на основе электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения.

Предмет исследований диссертационной работы составляют синтез законов управления для компенсации внешних возмущений. Задача синтеза закона управления для компенсации внешних возмущений является фундаментальной проблемой современной теории систем автоматического регулирования. На сегодняшний день получено большое число алгоритмов управления при условии действия возмущений (см., например, обзор методов представленных в монографии [21]). Как правило, подходы к управлению при наличии возмущения предполагают использование интегральных регуляторов, повышение у системы порядка астатизма или же встраивание известной модели возмущающего воздействия (комбинированные регуляторы), что в подавляющем большинстве случаев является сильной идеализацией [5, 14 - 16, 42]. Однако, применение указанных подходов ограничивается классом измеряемых, ограниченных возмущений или же возмущений с известной моделью изменения параметров (класс априорно известных детерминированных возмущений).

С развитием методов теории адаптивных систем удалось найти более конструктивные решения в классе априорно неизвестных детерминированных возмущений [20, 21, 24]. Слияние методов адаптивного и робастного управления указало путь к решению задачи компенсации возмущений, включающих в себя (содержащих) неизвестную ограниченную нерегулярную и неопределенную регулярную составляющие [19, 21, 22]. На сегодняшний день, с использованием методов адаптивного и робастного управления, разработан ряд схем, позволяющих в условиях влияния ограниченного внешнего возмущения получать любые точностные показатели в задачах стабилизации движения [18, 47, 49].

Особый интерес имеют задачи управления по выходу, как линейными, так и нелинейными объектами. Так, например, в работах [20, 21, 49] получен алгоритм компенсации внешнего возмущения для линейной системы. При этом предполагалось, что измеряется только выход системы, а возмущение является неизвестным и содержит две компоненты: ограниченную нерегулярную составляющую и регулярную составляющую, линейный генератор которой имеет известную размерность, но неопределенные параметры. Также относительно генератора регулярной составляющей было выдвинуто предположение о том, что собственные значения матрицы его описания являются простыми, и лежат на мнимой оси.

Большинство известных подходов связано с косвенной параметризацией возмущений, которая в свою очередь, основана на принцип внутренней модели [1, 7, 20, 21, 26, 35, 37, 41]. При этом методы, использующие принцип внутренней модели, как правило, основываются на гипотезе о возможности представления возмущения как выхода некоторой конечномерной динамической линейной системы. В классической теории управления модель генератора полагается точно известной, что в большинстве случаев является идеализацией. Сегодня случай, когда конечномерная линейная динамическая модель генератора возмущающего воздействия имеет известные матрицы ее описания уходит из рассмотрения. Приоритет отдается исследованию генераторов возмущений с матрицами описания, коэффициенты которых заданы не точно или неизвестны (см., например, работы [19 - 21, 30, 31, 33, 40, 43, 44, 46, 47, 49, 51]).

Особое значение имеют периодические функции, так как периодические возмущения характерны для широкого класса технологического оборудования, совершающего циклические операции.

Диссертационная работа организована следующим образом:

В первой главе рассмотрены известные методы управления для компенсации возмущений.

Во - второй главе сформулированы постановка задачи и допущения на объект управления и модель возмущения.

В третьей главе рассматривается проблема адаптивной компенсации периодического возмущения w(t) = сг0 + сг sin(tf>f + ф)> действующего на линейный объект. В частности решение этой проблемы для динамического управления с обратной связью по выходу (без измерения производной выхода и измерения вектора состояния), с любыми начальными условиями системы и компенсатора, и для любых неизвестных постоянных значений сг0, а ,ф, со гарантирующей устойчивость с ограничением по входному каналу.

Если частота известна, то поставленная проблема имеет классическое решение с моделируемым возмущением для линейных систем и с использованием наблюдателей, обеспечивает асимптотическую оценку возмущения, так, что оно может быть аннулировано [5, 16]. Если частота неизвестна, то эта проблема представляет значительный интерес. Имеется ряд работ посвященных управлению в условиях неизвестной частоты возмущающего воздействия [33, 40, 43, 44, 46, 49, 50] в случае гармонического возмущения без адаптивного шума. В частности в работе [46] представлены и проанализированы два подхода (прямой и косвенный): тогда как прямой подход локален в начальных условиях с частотной ошибкой, а косвенный дает возможность для больших начальных условиях, с другой стороны только прямой подход гарантирует строгую компенсацию возмущения.

В разделе 3.1 развивается подход представленный в работах [44, 45]. В работе [44] предлагается компенсатор размерности (2п+6). Алгоритм наблюдателя сложен в реализации и для его построения требуется много вычислений, а также знание нижней границы параметра со. В развитие подхода [44], в разделе 3.1 предлагается компенсационный регулятор размерности (п+4), обладающей простой структурой (в сравнение с [44]) и не предусматривающий при своем построении знания нижней границы параметра со.

В разделе 3.2 предлагается новый алгоритм адаптивной компенсации периодического возмущения w(t) = cr0 +<7sin(<y£ + ф), действующего на линейный строго минимально-фазовый объект управления. Как отмечалось ранее, при неизвестной частоте со проблема представляет значительный интерес. В данном разделе развиваются подходы, представленные в работах [44, 45] и разделе 3.1. Предлагаемый в разделе 3.2 компенсатор имеет размерность равную 4, что ниже по сравнению с регуляторами, предложенными в [44, 45] и разделе 3.1. Также следует отметить, что в отличие от работ, в данном разделе предполагается, что объект управления может быть неустойчивым, а его параметры неизвестны (в разделе 3.1 и в [44, 45] рассматривались устойчивые объекты с известными параметрами).

В четвертой главе рассматривается задача синтеза наблюдателя скалярного квазигармонического возмущения п п вида p(t) = С0 + X Л sin + X В tcos (где С0, А1}.,Ап, Вх,.,Вп,

1 ы сох,.,соп - неизвестные постоянные параметры; п - известное натуральное число) с последующей его компенсацией, представленного в виде конечномерной линейной динамической системы с неизвестными матрицами ее описания. Предполагается, что собственные числа матрицы состояния динамической модели возмущения являются взаимно простыми и комплексно сопряженными с нулевой вещественной частью. Делается допущение о том, что возмущение не измеряется и является внешним паразитным фактором, влияющим на объект управления. Следует отметить, что подобное представление модели возмущающего воздействия является достаточно популярным в современной теории управления. В частности, можно выделить ряд работ [30, 31, 40, 43, 46, 51], посвященных проблеме идентификации параметров сигналов, с моделями у которых собственные числа являются взаимно простыми и комплексно сопряженными с нулевой вещественной частью.

В разделе 4.1 рассматривается линейный объект управления, подверженный влиянию внешнего неизвестного возмущения. Предлагается алгоритм синтеза наблюдателя генератора внешнего квазигармонического возмущающего воздействия, обеспечивающий асимптотическую сходимость сигнала оценки к истинному значению возмущения. Используя информацию, поступающую с наблюдателя, выбирается управление, обеспечивающее компенсацию возмущающего воздействия. При синтезе наблюдателя используются только измерения переменных состояния объекта управления, но не возмущения. В сравнение с известными аналогами данный подход позволяет:

• также как и в работах [19 - 21, 47, 49] компенсировать с нулевой ошибкой квазигармонические возмущения вида п п p(t) = С0 + ^ At sin coj + ]>] Bt cos coj, что, в свою очередь, усиливает i=l i=l результаты представленные в [33, 40, 44, 51] (в работах [33, 40, 44, 51] был рассмотрен случай компенсации возмущений и синтеза наблюдателей для сигналов вида p(t) = C0 + Asin(cot + р), где параметры С0, А, со > 0 и ф являются неизвестными);

• синтезировать регуляторы и наблюдатели меньшей размерности, в сравнение с алгоритмами, представленными в работах [19 - 21, 43, 47, 49];

• строить наблюдатели квазигармонических сигналов по косвенным, а не прямым измерениям как в работах [30, 31, 46, 51] (в данном разделе предполагается, что возмущение, действующее на линейный объект, не измеряется, а измеряется вектор переменных состояния).

В развитии подхода, представленного в разделе 4.1, в разделе 4.2 синтезирован алгоритм компенсации конечномерного квазигармонического возмущения по измерениям состояния для нелинейного объекта. Все допущения и предположения, выдвигаемые относительно возмущения в разделе 4.1 простираются и на этот раздел. Затем по аналогии с разделом 4.1 синтезируется наблюдатель генератора внешнего квазигармонического возмущающего воздействия и, используя информацию, поступающую с наблюдателя, выбирается управление, обеспечивающее компенсацию возмущающего воздействия. При синтезе наблюдателя используются только измерения переменных состояния объекта управления, но не возмущения.

Также следует отметить, что при помощи синтезируемого алгоритма компенсации конечномерного квазигармонического возмущения в четвертой главе решается задача идентификации неизвестных частот возмущения.

В пятой главе рассматривается синтез алгоритма робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного возмущения. При этом предполагалось, что измеряется только выходная переменная системы (без измерения производной выхода и измерения вектора состояния объекта управления). В отличие от работ [20, 21, 49] и предыдущих разделов, рассматривается компенсация неизвестного возмущение, которое в общем случае может быть неограниченным, что в свою очередь является несомненным развитием упомянутых методов. Алгоритм основан на принципе, использующем сильные обратные связи.

Также следует отметить, что предлагаемый в пятой главе подход к решению проблемы компенсации неограниченного неизвестного возмущения, может быть использован при решении задач адаптивного управления по выходу линейным неопределенным объектом. Новизна научных решений:

Предложенные в диссертации подходы позволяют синтезировать алгоритмы адаптивной компенсации внешних возмущений для широких классов как линейных, так и нелинейных объектов. В основе синтеза алгоритмов лежит использование нового класса наблюдателей возмущения, позволяющих компенсировать внешнее возмущение. Также представлен алгоритм, основанный на принципе сильной обратной связи для компенсации намоделированно го возмущения. Полученные алгоритмы превосходят известные аналоги, по таким параметрам как размерность и простота реализации синтезируемых регуляторов, использование априорной информации возмущения и объекта управления [20, 21, 40 ,44, 45, 47, 49, 51]. Практическая значимость:

Предложенные в диссертации подходы позволяют решить различные задачи управления в условиях действующего возмущения. В качестве примеров в диссертации обсуждается конкретное применение полученных алгоритмов для компенсации возмущений в реальных объектах (мехатроннный поворотный стол [22, 23] и электромеханический объект управления, построенный на основе электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения [13]). Апробация работы:

• доклад на XXXII научной и учебно-методической конференции СПбГУИТМО, посвященной 300-летию Санкт-Петербурга, 3-8 февраля 2003 года (Бобцов А.А., Кремлев А.С., Цвикевич В.И. Синтез наблюдателя для конечномерного возмущения [12]).

• доклад на XXXIII научной и учебно-методической конференции СПбГУ ИТМО, 3-6 февраля 2004 года (Бобцов А.А., Кремлев А.С. Адаптивная компенсация гармонического возмущения с неизвестными параметрами по измерениям выходной переменной объекта [10]).

• доклад на 10th International Olympiad on Automatic Control, Russia, Saint-Petersburg, May 26 - 28, 2004 (Bobtsov A.A., Kremlev A.S. Note to robust adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown parameter [32]).

• доклад на XXXIV научной и учебно-методической конференции СПбГУ ИТМО, 2-4 февраля 2005 года (Бобцов А.А., Кремлев А.С. Адаптивная компенсация по выходу смещенного гармонического возмущения для строго минимально-фазового объекта).

Публикации работы:

По материалам диссертации опубликовано 5 работ ([9 - 12, 32]). Структура и объем работы:

Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 51 наименований. Основная часть работы изложена 116 страницах машинописного текста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено исследование, связанное с проблемой компенсации возмущения в различных объектах управления. В первой главе произведен анализ существующих методов управления. Во - второй главе рассматривалась обобщенная постановка задачи, в которой рассматривались различные классы объектов управления, для которых был решен синтез алгоритмов адаптивной компенсации возмущения, с учетом приведенных допущений (гипотезы 1 - 4) на возмущения и выполнение цели управления. Основные результаты диссертации заключаются в следующем: В третьей главе решена задача компенсации смещенного гармонического возмущения с неизвестными параметрами по выходу в линейных объектах и для строго минимально - фазового линейного объекта на основе предложенных алгоритмов адаптивной компенсации. Полученные результаты превосходят решения, представленные в работах [44, 45], так как в отличие от [44]:

• неизвестен диапазон значений частоты со (в работе [44] известна нижняя граница со);

• структура данного регулятора является простой в сравнении с [44];

• размерность регулятора, полученного в разделе 3.1 равна п + 4, а в разделе 3.2-4, что ниже, чем у аналогов [44] (размерность регулятора в [44] 2п + 6,);

Также следует отметить, в разделе 3.2, в отличие от аналогов предполагается, что объект управления может быть неустойчивым и его параметры неизвестны (в работе [44] и разделе 3.1 полагается, что система асимптотически устойчива и параметры объекта известны).

В четвертой главе рассматривался линейный стационарный объект управления (раздел 4.1) и нелинейный объект управления (раздел 4.2), подверженный влиянию внешнего неизвестного возмущения конечномерного квазигармонического возмущения. Была поставлена и решена задача компенсации возмущения. Для решения этой проблемы в главе синтезирован наблюдатель возмущения в предположении его конечномерности и квазигармоничности. Новое представление модели возмущающего воздействия позволило построить его наблюдатель с дальнейшей компенсацией, а также при помощи этого алгоритма решить задачу идентификации неизвестных частот возмущения. В отличие от работ [33, 40, 44] рассматривался общий случай квазигармонических возмущений: в работах [33, 40, 44] был рассмотрен случай компенсации возмущений и синтеза наблюдателей для сигналов вида p(f) = С0 + A sin {cot + ф), где параметры С0, А, со> 0 и (р являются неизвестными. В сравнение с результатами [19 - 21, 43, 47, 49] данный подход позволяет строить регуляторы, представленные уравнениями (4.37) - (4.40) и (4.68) - (3.71), имеющее размерность Зп +1, что положительно отличается от размерностей регуляторов рассмотренных в [19 - 21, 43, 47, 49]. В частности в работах [20, 47, 49] предложены схемы синтеза регуляторов имеющие размерность An + 2, а в [43] размерность наблюдателя достигает 5п~1. В отличие от работ [30, 31, 46, 51] данный подход позволяет строить наблюдатели квазигармонических сигналов по косвенным, а не прямым измерениям как в работах.

В главе 5 рассматривался синтез алгоритма робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного возмущения. В отличие от предыдущих глав, в пятой главе предложен алгоритм управления линейным объектом с компенсацией неизвестного, в общем случае неограниченного возмущающего воздействия. При этом предполагалось, что измеряется только выходная переменная системы, а возмущение имеет не более чем экспоненциальный рост (с известной степенью) или же его г-ая производная ограничена, а само число г известно. Структура регулятора, представленного уравнениями (5.31), (5.32), является линейной и содержит нестационарный фильтр, основанный на принципе сильной обратной связи, параметры которого выбираются из требований предъявляемых к выходной переменной объекта.

1. Андреев А.Ю. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.-424 с.

2. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке МАТЬАВ.СПб.: Наука, 1999.-467 с.

3. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Управление хаосом: методы и приложения. Часть 1. Методы // АиТ. 2003, №5. С. 3-45.

4. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Управление хаосом: методы и приложения. Часть 2. Приложения // АиТ. 2004, №4. С. 1-37.

5. Бесекерский В.А., Попов Е.П.Теория систем автоматического регулирования. Москва: Наука, 1972. 768 с.

6. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения. // Известия РАН. Теория и системы управления. 2003. №2. С. 93-97.

7. Бобцов А.А. Алгоритмы адаптивного управления нелинейными динамическими объектами с неопределенностями по входу. // Известия РАН. Теория и системы управления. 2003. №1. С. 35-39.

8. Бобцов А.А., Ефимов Д.В. Робастная стабилизация нелинейной системы по выходу с компенсацией возмущения. // Изд. "Новые технологии". Мехатроника, автоматизация, управление. 2004. №2. С. 6-9.

9. Бобцов А.А., Кремлев А.С. Адаптивная идентификация частоты смещенного синусоидального сигнала. // Известие ВУЗов, Приборостроение. 2005. №3. С. 22-27.

10. Ю.Бобцов А.А., Кремлев А.С. Адаптивная компенсация гармонического возмущения с неизвестными параметрами по измерениям выходной переменной объекта. // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2004 .№ 12. С. 30-35.

11. П.Бобцов А.А., Кремлев А.С. Синтез наблюдателя в задаче компенсации конечномерного квазигорманического возмущения. // Известия РАН, Теория и системы управления. 2005. №3. С. 5-11.

12. Бобцов А.А., Кремлев А.С., В.И. Цвикевич В.И. Синтез наблюдателя для конечномерного возмущения. // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2003. №11. С. 81-85.

13. Лямин А.В., Михайлов С.В., Никифоров В.О., Рюхин В.Ю., Чежин М.С. Исследование моделей объектов управления и среды функционирования. СПб.: СПбГИТМО(ТУ). 2000.С. 75-80 с.

14. М.Мирошник И.В.Теория автоматического управления. Линейные системы. СПб: Питер. 2005. 336 с.

15. Мирошник И.В., Бобцов А.А. Линейные системы автоматического управления. СПб.: СПбГИТМО (ТУ). 2001. 245 с.

16. Мирошник И.В., Никифоров В.О. Синтез линейных систем автоматического управления. СПб: СПбГИТМО (ТУ). 2000. 80 с.

17. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Бобцов А. А. Адаптация пространственного движения нелинейных динамических систем// 6-й Санкт Петербургский симпозиум по теории адаптивных cncTeM(SPAS'99).1999. С.115-119.

18. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными механическими системами. СПб.: Наука. 2000. -549 с.

19. Никифоров В.О. Адаптивная стабилизация линейного объекта, подверженного внешним детерминированным возмущениям // Известия РАН. Теория и системы управления. 1997. №2. С. 103-106.

20. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. СПб. 2001. 259 с.

21. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб.: Наука. 2003. 282 с.

22. Никифоров В.О., Дроздов В.Н. Адаптивное управление мехатронным поворотным столом. 4.1 // Мехатроника, автоматизация и управление, 2002. №4. С. 18-21.

23. Никифоров В.О., Дроздов В.Н. Адаптивное управление мехатронным поворотным столом. 4.2 // Мехатроника, автоматизация и управление, 2002. №5.С. 8-12.

24. Никифоров В.О. ,Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб.: СПбГИТМО(ТУ). 2002. -232 с.

25. Полушин И.Г., Фрадков А.Л., Хилл Д.Д. Пассивность и пассификация нелинейных систем. Обзор. // АиТ. 2000. N 3. С. 3-37.

26. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. // В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков. Л.: Машиностроение. 1972. 451.

27. Фрадков А.Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта. // Сиб. мат. журн. 1976. №2. С. 436-446.

28. Фрадков А.Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта. // АиТ. 1974. № 12. С. 96-103.

29. Bastin G. and Gevers М. Stable adaptive observers for nonlinear timevarying systems. // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 33, July 1988.P. 650-658.

30. Bobtsov A.A., Lyamin A.V. A problem of on-line continuous-time estimation of parameters of polyharmonic function. // Proc. 2nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos" St-Petersburg, 2000. P 388-389.

31. Bobtsov A., Lyamin A., Romasheva D. Algorithm of parameter's identification of polyharmonic function. // 15 th IF AC World Congress on Automatic Control. Barcelona, Spain, 2002. P. 1356-1361.

32. Bobtsov A.A., Kremlev A.S. Note to robust adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown parameter. // BOAC'2004, 10th International Olympiad on automatic control. Russia, Saint-Petersburg. 2004. P. 12-16.

33. Bodson M., Douglas S.C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies. // Automatica. 1997. V. 33. P. 22132221.

34. Boyd S., Sastry S. Necessary and sufficient conditions for parameter convergence in adaptive control. // Automatica. 1986. Vol. 33 P. 629-639.

35. Davison E. The robust control of a servomechanism problem for linear time-invariant multivariable systems. // IEEE Transactions on Automatic Control. 1976. Vol. 21. №1. P. 35-47.

36. Fradkov A.L., Druzhinina M.V. Reduced order shunt nonlinear adaptive controller // Proc. 4th European Control Conference, Brussels, 1-4 July 1997. P. 764-771.

37. Fradkov A., Hill D. Exponential feedback passivity and stabilizability of nonlinear systems. // Automatica. 1998. Vol.34, N.6. P. 697-703.

38. Francis D. A. and Wonham W. M. The internal model principle for linear multivariable regulators. // Appl. Math. Opt. 1975. Vol. 2. P. 77-83.

39. Guo B.-Z., Han J.-Q. A linear tracking-differentiator and application to the online estimation of the frequency of a sinusoidal signal. // in Proc. 2000 IEEE Int. Conf. Control Applications, Anchorage, AK. 2000. P. 9-13.

40. Hsu L., Ortega R., Damm G. A globally convergent frequency estimator. // IEEE Transactions on Automatic Control. 1999. Vol. 46. P. 967-972.

41. Jonson C.D. Accommodation of external disturbances in linear regulator and servomechanism problems. // IEEE Transactions on Automatic Control. 1971. Vol. 16. № 6. P 635-644.

42. Kokotovic P., Murat A. Constructive nonlinear control: a historical perspective. // Automatica. 2001. Vol.37, N.5. P 637-662.

43. Marino R. and Tomei P. Global Estimation of n Unknown Frequencies. // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002. V. 47. P. 1324-1328.

44. Marino R., Santosuosso G. and Tomei P. Robust adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown frequency. // Automatica. 2003. V. 39, №10. P. 1755-1761.

45. Marino R., Tomei P. Adaptive observers with arbitrary exponential rate of convergence for nonlinear systems. // IEEE Trans. Automat. Contr. July 1995. Vol.40. P. 1300-1304.

46. Mojiri M., Bakhshai A. R. An Adaptive Notch Filter for Frequency Estimation of a Periodic Signal. // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. V. 49. P. 314-318.

47. Nikiforov V.O. Adaptive compensation of external disturbances. // в кн. Fradkov A.L., Stotsky A.A. (eds.) Control of Complex systems. Preprint 125. -St.Petersburg, IPME. 1995. P. 34-40.

48. Nikiforov V.O. Adaptive nonlinear tracking with complete compensation of unknown disturbances. // European Journal of Control. 1998. N 4. P. 132-139.

49. Nikiforov V.O. Adaptive servocompensation of input disturbances. // 13th IF AC World Congress. San-Francisco, USA. 1996. Vol. К. P.175-180.

50. Serrani A., Isidori A., Marconi L. Semiglobal nonlinear output regulation with adaptive internal model. // IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. V. 46. P. 1178-1194.

51. Xia X. Global frequency estimation using adaptive identifiers. // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002. V. 47. P. 1188-1193.