автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Робастное управление с компенсацией возмущений

На правах рукописи

(

(

Имангазиева Алия Владимировна

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С КОМПЕНСАЦИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ

Специальность 05.13.01- «Системный анализ, управление и обработка информации» (промышленность, информатика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□□3465133

Астрахань - 2009

003465133

Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Астраханский Государственный Технический Университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Цыкунов Александр Михайлович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Садомцев Юрий Васильевич

кандидат технических наук Дианов Роман Сергеевич

Ведущая организация: Государственное образовательное

учреждение высшего профессионального образования «Санкт - Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики»

Защита состоится « 10 » апреля 2009 г. в 13 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 307.001.06 при Астраханском государственном техническом университете по адресу: 414025, г. Астрахань, ул. Татищева 16, гл. корп., ауд.305.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью организации, просим направлять по адресу: 414025, г. Астрахань, ул. Татищева 16, ученому секретарю диссертационного совета Д 307.001.06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Астраханского государственного технического университета.

Автореферат разослан « » марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

И.Ю.Квятковская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Задача компенсации параметрических и внешних неконтролируемых возмущений является одной из актуальных в современной теории автоматического управления. Существует большое количество методов синтеза систем управления, позволяющих осуществить обоснованный выбор структуры и параметров системы, которая бы компенсировала возмущения. К основным методам робастного управления параметрически неопределенными объектами относят: методы - оптимизации (целью синтеза является минимизация некоторых частотных норм передаточной функции замкнутой системы для заданного класса объектов управления); /, - оптимизация (решается задача о подавлении внешних возмущений для дискретных систем); ¿М/-подход (подход, использующий линейные матричные неравенства); метод Харитонова (робастная устойчивость гарантируется, если устойчивы четыре специальных полинома из данного семейства); ¡л-анализ (математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределенностей); вероятностный подход (для прямой проверки вероятностной устойчивости применяется метод Монте-Карло) и др. Появление новых и развитие известных методов построения робастных законов управления свидетельствует о том, что задача в полном объеме еще не решена.

Следует отметить, что большинство имеющихся методов синтеза предназначены для стационарных систем. Однако в реальных условиях работы .системы, параметры объекта управления в процессе эксплуатации изменяются в широких пределах. Кроме того, при создании систем управления динамическими объектами возникают дополнительные трудности, связанные с наличием запаздывания, нелинейности, нестационарности параметров объекта. Многие из существующих решений данных проблем получены в предположении, что вектор состояния полностью измеряем. В последнее время появляются работы, решения в которых базируется на использовании только скалярных входа и выхода объекта. Управление со скалярными входом и выходом позволяет уменьшить затраты на проектирование и разработку различных датчиков. На сегодняшний день среди полученных решений в классе задач по робастному управлению довольно мало работ со скалярными входом и выходом для нелинейных, нестационарных объектов с запаздыванием. Поэтому недостаточная изученность изложенных выше вопросов для случая линейных, нелинейных, нестационарных динамических объектов с запаздыванием и без него обуславливает актуальность диссертационной работы.

Целью работы является синтез алгоритмического обеспечения управляющих систем с использованием наблюдателей производных, позволяющего с заданной точностью компенсировать параметрические и внешние возмущения для различных типов непрерывных объектов управления.

Задачи диссертационной работы:

- решение задачи построения робастных систем стабилизации для управления стационарными линейными и нелинейными объектами.

- синтез и исследование робастных систем слежения за эталонным сигналом с компенсацией параметрических и внешних возмущений с заданной точностью для линейных и нелинейных стационарных объектов управления.

- построение робастных систем управления и обоснование их работоспособности для нестационарных объектов управления.

- разработка робастной структуры управления для линейных, нелинейных и нестационарных объектов с запаздыванием по состоянию.

Методы исследований. Использованные в работе методы базируются на основных понятиях теории автоматического управления. Основными методами являются общие методы теории автоматического управления, алгебры многочленов и теории матриц, теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Научная новизна работы:

- предложена алгоритмическая структура робастной системы стабилизации для линейных, нелинейных объектов, а также для систем с запаздыванием по состоянию, позволяющая компенсировать внутренние и внешние ограниченные возмущения.

- получена и обоснована алгоритмическая структура систем управления с эталонной моделью для стационарных линейных и нелинейных объектов с запаздыванием и без него. Синтезированные алгоритмы робастного управления позволяют управлять перечисленными типами объектов в условиях действия параметрических и внешних возмущений, обеспечивающие заданную динамическую точность в замкнутой системе.

- для нестационарного динамического объекта с запаздыванием по состоянию и без него решена задача робастного управления с эталонной моделью, удовлетворяющая условиям достижимости цели управления.

- синтезировано алгоритмическое обеспечение робастной системы управления курсом судна, позволяющее скомпенсировать действие параметрических и внешних неконтролируемых возмущений с заданной точностью. Практическая ценность работы.

Результаты работы могут быть использованы для разработки высокоэффективных автоматических систем управления, модели которых содержат запаздывания, а параметры известны неточно, либо могут изменяться в течение работы. При этом управляемые процессы могут характеризоваться функциональной неопределенностью. Для реализации предложенных алгоритмов не требуется большого количества измерительной аппаратуры.

Результаты работы использованы при синтезе автоматической системы управления углом рыскания судна. Практическое применение результатов диссертационной работы отображено в акте об использовании результатов в разработках по созданию авторулевых систем.

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертации докладывались на ХХ_ международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Ярославль, 2007 г.), 4-ой международной научно-технической конференции «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта» (г. Вологда, 2007 г), XXI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Саратов, 2008 г.). Публикации. Основные теоретические и прикладные результаты диссертационной работы изложены в 7 публикациях, в числе которых 2 статьи в ведущих рецензируемых изданиях, выпускаемых в РФ, в которых ВАК рекомендует публикацию основных научных результатов диссертации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных результатов работы, списка литературы и приложения. В приложении приведен акт об использовании результатов диссертационной работы. Работа изложена на 137 страницах основного текста, содержит 55 рисунков и 107 библиографических наименований. В начале каждой главы дается общая постановка задачи, а затем решаются сформулированные задачи для различных типов непрерывных объектов управления.

КРА ТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен краткий обзор методов робастного управления, обоснована актуальность темы, определена научная новизна и практическая ценность работы.

Первая глава посвящена решению задачи синтеза робастного управления стационарными объектами для систем стабилизации. Исследовался класс управляемых объектов, который в общем случае, может быть описан уравнением

а(р)Уи)=кк(Р)и{1)+ы(Р)у(1 - /ф})+¿1>">„ Ш)Т1 +ДО, (1)

М м

где и(0 - скалярные регулируемая переменная и управление, р = <1 / Л -оператор дифференцирования, (){р), Щр)~ нормированные дифференциальные операторы, degб(^>) = и, deg Я{р) = т, deg М(р) < п -1, время запаздывания /г(0 - ограниченная функция, к>0, <^,(.у(0) (1 < / < /г, 1 < j<q)- гладкие функции, удовлетворяющие условию Липшица, гу - неизвестные постоянные, / (?) - внешнее ограниченное возмущающее воздействие, п-т> 1.

Требуется определить закон изменения управляющего воздействия, для реализации которого не требуется измерения производиых регулируемой величины. Замкнутая система при этом должна обеспечить выполнение целевого условия

\y(t)\<S, (2)

начиная с некоторого момента времени Т, где 8 -некоторое, достаточно малое число.

Предположения I.

А. 1.1. Коэффициенты операторов Q(p), R(p), N(p), М(р) и величина к зависят от вектора неизвестных параметров ^еН, где S — известное множество возможных значений вектора % ;

А. 1.2. Время запаздывания hit) - ограниченная функция, удовлетворяющая ус-

dhit) , ,, ч „ повиям —— < 1, kit) > 0. dt

А. 1.3. Возмущающее воздействие fit) является ограниченной функцией времени, причем |/(i)| < А, где А —известная постоянная. А. 1.4. Известны порядки операторов Q(p) и R(p), degQ(p)=n, deg R(p) = m, degN(p)<n-\.

В данной главе решались задачи синтеза робастных систем стабилизации с компенсацией параметрических и внешних возмущений для

• линейного динамического объекта, т.е. когда в уравнении (1) полагалось, что N(p) = 0, ^(y(t)) = 0 ;

• линейного динамического объекта с запаздыванием по состоянию, т.е.. когда в уравнении (1) полагалось, что N{p) ф О, q>,j(y(t)) = 0 ;

• нелинейного динамического объекта, т.е. когда в уравнении (I) полагалось, что N(p) = 0, <p,j(y(t)) * 0 ;

• нелинейного динамического объекта с запаздыванием по состоянию, т.е. когда в уравнении (1) полагалось, что N(p) 0, <p((y(t)) * 0.

Вначале решалась более простая задача, задача стабилизации для линейного объекта без запаздывания

Q(p)y(t) = kR(p)u{t) + f(t). (3)

После известной параметризации уравнение объекта преобразовывалось в эквивалентное уравнение относительно выхода y(t)

Qa (p)y(t) = *(Н + m и + + Шт + т, (4)

М(р) М{р) М(р)

где М(Л), 5(A)- нормированные гурвицевы полиномы порядков «-1 и п-т-1 соответственно, degN,(p) = n-l, degN1(p) = п, degQm = n-m, y{t)~затухающая функция, мажорируемая экспонентой. Таким образом, уравнение (4) приводилось к виду

Q.(p)At) = Mt) + mt), (5)

где <р«) = (к- то + к^-и + к^-у + к+ МО-М(р) М(р) М(р)

Выбирался полином Т{Х) так, чтобы выполнялось следующее равенство

ЦЛ) 1

-, т.е. deg Т(р) = n-m-l. Закон изменения u(t) задавался в виде

u(t) = T(pHt), (6)

в случае доступности измерения п - m -1 производных управляющего воздействия v(t), или

u{t) = T(p)v(t), (7)

если измерению недоступны эти производные, где v(t) - оценка сигнала, получаемая с наблюдателя

ç = F0ç(t) + B0(v(0 -v{t)), 'v(t) = Lç(t). (8)

Здесь ç(t) e R"~"',F0 - матрица в форме Фробениуса с нулевой нижней строкой, b Ъ

L = [1,0,...,0], Bl = —,...,—— . Параметры bl,...,bi n выбирались так, чтобы

L-" V""" \ матрицы F=F0 + fiL была гурвицевой, Вт Подставляя (7) в (5), получалось

QSp)y{t)=/щрмо+m+трмо - m ■ w

Уравнение (9) преобразовывалось к виду

(P + aJy(t) = j3v(t) + <P(tl (Ю)

где <p{t) = -^—<p(t) + P{v{t)-v(t)). ПР)

Вводился вспомогательный контур

(Р + а,„Ы) = М0 (И)

и составлялось уравнение для рассогласования Ç(t) = y(t) - y(t)

(P + amK(t) = <P{ О- (12)

Если измерению были доступны n-m-l производные сигнала v(/) и первая производная регулируемой величины y(t), то управляющее воздействие v(/) формировалось следующим образом

v(t) = -^{p + aJÇ(')- (13)

Достоинством работы являлся тот факт, что для реализации приведенного закона управления не требовалось измерения производных регулируемой переменной. В этом случае вместо (13), сигнал v(r) формировался в виде

(15)

где ¿¡{t) — оценка, получаемая с наблюдателя

C(t) = L2z(t),

где z(t) е R2, матрицы F0 и В0 такие же, как F0 и В0 в (8).

Далее рассматривались линейная система с запаздыванием по состоянию, нелинейная система с запаздывание по состоянию и без него. В каждом из этих случаев применялась предложенная выше структура управления, выделялся сигнал несущий всю информацию о присутствующем запаздывании, нелиней-ностях, параметрических и внешних возмущениях, а затем осуществлялась компенсация этого сигнала. В общем случае для семейства объектов (1) замкнутая система имела вид

О. у.: Q(p)y(t) = Щр)и(1) + N(p)y(t - h{t)) + tt (у(0К + /(О,

Ы >=1

Закон управления: u(t) = Tg, Т = [/„,/,...,/1П]1],

где /„,/,,...,/„_„_, коэффициенты полинома Т(А), НаблюдательХ: g = F0g(i) + B0(v(t)-v{t)), v(t) = Lg(t), geR"-"', (16)

Вспомогательный контур: (p + am)y(t) = /3 v(f), ¿¡(t) = y(t) -y{t), Наблюдатель 2: ¿(/) = + C(t) = MO, z e R*>

v(0 = ~cz. c = [l,aj.

Утверждение 1. Пусть выполнены условия предположений А.1.1-А.1.4, тогда для любого 8 > О в (2) существуют числа р > О, Т > 0 такие, что для р<рам t>T для системы (16) выполнено целевое условие (2) и все переменные в системе ограничены.

Были приведены числовые примеры систем стабилизации для рассмотренных классов стационарных объектов управления, произведено моделирование на ЭВМ. Результаты моделирования подтвердили теоретические выводы и показали работоспособность систем управления в условиях постоянно действующих внешних и параметрических возмущений.

Вторая глава посвящена решению задачи синтеза робастных систем управления для динамических объектов с эталонной моделью. Использование эталонной модели позволяет рассматривать процесс управления как слежение за эталонным сигналом. Исследовалась задача робастного управления объектами без измерения производных регулируемой переменной.

Для объектов, описываемых уравнением (1), необходимо сформировать закон управления таким образом, чтобы выходная переменная объекта с некоторой точностью отслеживала траекторию выхода эталонной модели

¡AO-yJOjoS при 1>Т, (17)

где ym{t) - выход эталонной модели, ¿ — некоторое, достаточно малое число, Т> 0.

Исследовался класс управляемых объектов, который в общем случае, может быть описан уравнением (1). Требуемое качество переходных процессов в нашем объекте задавалось уравнением эталонной модели

Q.(p№) = k„g(t), (18)

где g(t) - скалярное ограниченное задающее воздействие, ym{t)-ограниченный скалярный выход, кт>0, degQm(p) = п -т. Помимо предположений А. 1.1-A.L4 требовалось выполнения следующих предположений А.2.1. Задающее воздействие g(t) является ограниченной функцией времени. А.2.2. Полиномы R(À), Qm{X)> К,(-4 -гурвицевы, где Л - комплексная переменная в преобразовании Лапласа.

В данной главе решались задачи синтеза робастных систем слежения за эталонным сигналом с компенсацией параметрических и внешних возмущений для

• линейного динамического объекта, т.е. когда в уравнении (1) полагалось, что N(p) = 0, <рц (y(t)) = 0 ;

• линейного динамического объекта с запаздыванием по состоянию, т.е. когда в уравнении (1) полагалось, что N(p) * 0, <рп(y(t)) = 0;

• нелинейного динамического объекта, т.е. когда в уравнении (I) полагалось, что N(p) = 0, <Ру(у(0) * о ;

• нелинейного динамического объекта с запаздыванием по состоянию, т.е. когда в уравнении (1) полагалось, что N(p) Ф 0, <ptj(y(t)) ф 0.

Для решения задачи слежения за эталонным сигналом формировалось уравнение ошибки e(t)= y(t)-ym(t) путем вычитания (18) из (4)

6. („МО +Шт+ко _

М(р) М(р) М(р) к

Затем уравнение приводилось к виду (5), где сигнал <p(t) принимал следующий

вид lp{t) = (Л -P)u{t) + + к^у + k^jp-f(t) + ky(t) -kmg(t).

M(p) M (p) M(p)

Закон управления задавался в виде (6), (7), в котором оценка сигнала v(r) формировалась наблюдателем (8). Вспомогательный контур имел вид (II), а

сигнал v(/) формировался в виде (13), (14), в котором оценка сигнала Ç(t) измерялась наблюдателем (15).

Далее рассматривались линейная система с запаздыванием по состоянию, нелинейная система с запаздывание по состоянию и без него. В каждом из этих случаев применялась предложенная выше структура управления. Однако этого еще было недостаточно для реализации закона управления. Требовалось учесть наличие нелинейности и запаздывающей составляющей. Было доказано, что предложенная схема управления позволяет отслеживать эталонный сигнал с заданной точностью и компенсировать возмущения. В общем случае для семейства объектов (1) замкнутая система имела вид

О. у- : QipMt) = kR(p)u(t) + N(p)y{t — h(t)) + ±£ р">,(у(0)^. + ДО,

j.1

P'y(s) = yl(s), / = 1,...,й, se[4(/);0], Закон управления: u(t) = Tç, Т = [/D,/,...,/n ra t],

где /„,/,,..., /„_,„_, коэффициенты полинома Т(Я), Наблюдатель1: ç = F0ç(t) + B0(v(t)-v(t)), v{t) = Lç{t), çeR'-\ ' (19) Вспомогательный контур : (p + aa)y(t) = f3v(t), Ç{t) = e(t) — e{t), Наблюдатель 2: i{t) = Taz(t) + ~Ba{Ç(t)-Ç{t)), Ç(t) = L2z{t), zeR2,

v(/) = ™cz, c = [l,aj.

Утверждение 2. Если выполнены условия предположений A.l.l-A.1.5, А.2.1, А.2.2, тогда для любого i>0 в (19) существуют числа ¡л > О, Т > 0 такие, что

для р. < //0 и t>T для системы (19) выполнено целевое условие (17) и все переменные в системе ограничены.

Были рассмотрены числовые примеры систем с эталонной моделью для стационарных объектов управления, произведено моделирование на ЭВМ. Результаты моделирования подтвердили теоретические выводы и показали работоспособность систем управления в условиях априорной неопределенности и действии внешних возмущений.

В третьей главе предложено решение задачи робастного управления нестационарными динамическими объектами с компенсацией возмущений. Рассматривался следующий класс нестационарных объектов, динамические процессы которых описывались уравнением

Q(p,t)y(0 = kR(p,t)u(t) + G(p,t)y{t - h(t)) + ±±р"ч<р„(у(0)Т;+№,

'=i j-I (20)

Р'у(0) = у„ i = 0,...,;z —1,

где y(t), u(t)~ скалярные регулируемая переменная и управление, p = d/dt- оператор дифференцирования, Q(p,t) = р" +ql(t)p"~l +...+qn(t), R(p,t) = р'" + r^t)p'"' + +...+ rn{t) дифференциальные операторы порядков пит соответственно, f(t)- внешнее возмущающее воздействие, к> 0, п - т > 1, у, - начальные условия.

Для указанного класса систем решалась задача слежения за эталонным сигналом параметрически неопределенными объектами в условиях действия возмущений. Проектируемая система управления должна была обеспечить выполнение целевого условия (17), где требуемое качество переходных процессов в нашем объекте задавалось уравнением эталонной модели (18). Помимо предположений А. 1.2-А. 1.3 требовалось выполнения следующих предположений Предположения 3.

A.3.J. Коэффициенты qt(/), г (í) операторов Q{p,t), R(p,t) такие, что q¡ = qi(¡ + +Aqj(t), i = 1,и, r = r0 + Ar(í), j = 1,т, где A<7,(í)> Ar(Z) - ограниченные функции, удовлетворяющие условиям |А^(/)| < е], |ДгД0| < £¡ ■

А.3.2. Компоненты q¡a, rJ0 и величина к зависят от вектора неизвестных параметров % е Н, где Н - известное ограниченное множество возможных значений вектора cf.

А.3.3. Оператор R(p,t) устойчив и для любого фиксированного t полином Л(Л, í) - гурвицев, где X - комплексная переменная в преобразовании Лапласа. А.3.4. Известны порядки дифференциальных операторов Q{p,t) и R(p,t), dsgQ(p,t) - п, deg R(p, t) = m, полином Qm(A) - гурвицев.

В данной главе рассматривались задачи синтеза робастных систем управления с компенсацией параметрических и внешних возмущений для

• линейного нестационарного динамического объекта, т.е. когда в уравнении (20) полагалось, что G(pj) = 0, $,(>'(?)) = 0;

• линейного нестационарного динамического объекта с запаздыванием по состоянию, т.е. когда в уравнении (20) полагалось, что

(fe/)*0, я,(Х0) = 0;

• нелинейного динамического объекта в условиях нестационарности, т.е. когда в уравнении (20) полагалось, что G(p;t) * 0, <ptj (y(t)) * 0 ;

Сначала рассматривался объект управления, динамические процессы в котором описывались уравнением

Q{p,t)y(t) = kR(p,t)u(t)+f(t), (21)

Операторы Q(p,t) и R(p,t) представлялись в виде Q(p,t) = Q0(p) + AQ(pj),

/?(/?,/) = !^{р)+М(р, /), где £>0(р), Иа{р) ~ дифференциальные операторы с постоянными неизвестными коэффициентами, зависящими от вектора неизвестных параметров £еН, Д0(/?,/) и АЯ(р,1) нестационарные операторы, коэффициенты которых являлись ограниченными непрерывными функциями времени, &д(р,0 = Ад,(0р"'' +...+Ад,Х0, = +...+Аг,«, &%&{р) = п, degД0(р,1)=п-1, degR0(p) = m, degД^?(^>,í) =/и-1. Тогда параметризованное уравнение принимало вид

М(р) кМ(р) кМ(рУ М{р) кМ(р)

(22)

где M (Л), 5(Я) - гурвицевы полиномы степеней п — 1 и п-т-1 соответственно, degNt(р) = п - 2, deg N2(p)-n-l, e(t)- экспоненциально затухающая функция, определяемая начальными условиями. Вычитая (18) из (22), получалось уравнение относительно ошибки e(f) = y(t) -ym(t),

QSp)e{t) = ku(t) + + ~r\y(t)

M(p) M(p) M(p)

+ ^Bl[AR{p,t)u(.t)]+ + e(t)-kmg(t).

M{p) M(p)

Закон управления u(t) задавался в виде (7) в случае доступности измерения нового управляющего воздействия v(t), v[t) = av(t), где а > 0. В случае невозможности измерения производных сигналов v(r), управление формировалось в виде (7), где производные сигнала v(t) измерялись наблюдателем (8). Выбирался стационарный дифференциальный линейный оператор Т(р) такой, что выполнялось условие T(p)/Qm(p) = l/(p + am), am > 0. Тогда уравнение (23) преобразовалось к виду (10), где сигнал cp{t) принимал следующий вид

Цр)М(р) Т(р)М(р) Т(р)М(рУ*У ' J1

+ -Т( SiZ\ [àR(P,t)u(t)]+ m + -±^(E(t) _ kag(t)) + (ка - Mt).

T(p)M(p) T(p)M{p) Т{р)

В функции <p(t) сконцентрировалась вся неопределенность объекта управления и внешних возмущений. Вводился вспомогательный контур (11), управляющее воздействие v{t) формировалось в виде (13). В случае невозможности измерения производных сигнала Ç(t), формировалось управляющие воздействия в виде (14), где оценки производных этого сигнала измерялись наблюдате-

лям (15). Для работоспособности системы управления показано было, что все сигналы в замкнутой системе ограничены.

Далее рассматривались линейная система с запаздыванием по состоянию, нелинейная система с запаздывание по состоянию и без него. В каждом из этих случаев применялась предложенная выше структура управления. Требовалось учесть наличие нелинейности и запаздывающей составляющей при нестационарности параметров объекта (20). Было доказано, что предложенная схема управления обеспечивает слежение за эталонным сигналом с заданной точностью.

В общем случае для семейства объектов (20) справедливо утверждение 2. с заменой первого уравнения замкнутой системы (19) на уравнение (20).

Были приведены числовые примеры систем с эталонной моделью для рассмотренных нестационарных объектов управления, произведено моделирование на ЭВМ. Результаты моделирования подтвердили теоретические выводы и показали работоспособность систем управления в условиях нестационарности параметров при наличии запаздывания, нелинейности.

В четвертой главе на основе проведенных теоретических исследований, описанных в предыдущих главах, было разработано алгоритмическое обеспечение робастной системы управления курсом судна, позволяющее компенсировать параметрические и внешние неконтролируемые возмущения с заданной точностью. При синтезе управления использовалась математическая модель, приведенная в работе авторов С.П.Дмитриева и А.Е.Пелевина «Задачи навигации и управления при стабилизации судна на траектории»

X = РХ + П(Х)Х + Си + ЫУ, (24)

где матрица динамики, учитывающая линейные члены, П(Х)Х - вектор нелинейных членов, С - матрица управления, IV - векторный белошумный процесс единичной интенсивности, в - матрица возмущений.

В вектор состояния X = (Уу, , <7, у/, /,т)Т при стабилизации судна на траектории включены боковая относительная скорость движения судна К [м ■ с"'], угловая скорость рыскания со_ [с"'], боковое отклонение от траектории 1][м\, угол рыскания ц/ [рад], приведенные сила / [м-с~г] и момент т [с""] ветрового воздействия. В модели № =(ъ/„щ,аг,а,)Т — вектор возмущений, где н1,(г = 1,2)-независимые, порождающие белые шумы единичной интенсивности, а, - угол волнового склона.

Управлением являлся и=<5-угол перекладки руля, выходом - у= К-угол курса судна, ут =Р~ курсовой угол участка траектории, Ф) = !//(()=у-уп- угол рыскания.

Целью управления было построение системы с эталонным сигналом, обеспечивающее выполнение целевого условия

начиная с некоторого момента времени Т, где 3 - некоторое достаточно малое число.

Для судна, описываемого уравнением (24), была решена задача слежения за эталонным сигналом (режим маневрирования) в горизонтальной плоскости с учетом бокового отклонения 77 [м]. Здесь регулируемой величиной являлась ошибка слежения за эталонным сигналом (угол рыскания) судна.

В работе С.П.Дмитриева и А.Е.Пелевина отмечено, что сила и момент волнового воздействия выражаются через угол волнового склона . В исследовании применялась модель возмущений, приведенная в работе авторов И.К.Бородая, Ю.А.Нецветаева «Мореходность судов»

а.=х\ ~У\> ¿.=Х2-У2> где хпу, описывались системой дифференциальных уравнений

*,=*2> У>=Уг>

х2 = -а,*2 - а2х1 + с г, у2 = -Ь,у2 - Ь2у, + Ь2х,+ Ь,х2,

причем сг = ■1,85^.л/йГ~, а{ = 0,6©,,, а2 = 1,1^., Ь, - л/2сок-, Ь2 = агт.

5,3g

Здесь - частота волнения, о)п - частота кажущегося волнения, А3% - высота волны 3% обеспеченности, g - ускорение силы тяжести,

2 л -

= —-частота, соответствующая периоду Т, =1,0867', где Т - характерное

значение периода волн, принимаемое при визуальной оценке степени волнения в баллах, Т - средний период волн.

При трехбалльном волнении система дифференциальных уравнений, описывающая угол волнового склона а, имела вид

=*2> У,=У2>

х2 = -0,936л:2 - 2,68*, + 0,25^, у2 = -2,2- 2,43 у, + 2,43*, + 2,21*,.

Синтезированная система управления курсом судна была исследована на ЭВМ. Результаты моделирования в МаЙаЬ (пакет БтшНпк) показали, что синтезированная робастная система управления курсом судна позволяет удерживать его на траектории с заданной точностью, компенсируя действие внешних ограниченных возмущений и неопределенность, связанную с непостоянством внешних условий, неотраженных в модели; например, это может быть изменение загрузки судна, глубины под килем, изменение скорости хода в пределах ограниченного интервала, частоты кажущегося волнения и т.п.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложен принцип построения робастных систем управления использующий два наблюдателя производных и вспомогательный контур для различных типов объектов управления. Данный способ построения позволяет скомпенсировать параметрические и внешние воздействия с заданной точностью.

2. Синтезированы робастные системы стабилизации по выходу линейных, нелинейных объектов управления с запаздыванием по состоянию и без него, позволяющие скомпенсировать действие параметрических и внешних неконтролируемых возмущений. Обоснована работоспособность полученных систем.

3. Предложена алгоритмическая структура робастной системы стабилизации управления для нестационарного объекта с запаздыванием по состоянию и без него.

4. Синтезировано алгоритмическое обеспечение робастной системы управления с эталонной моделью для линейного объекта с неизвестным запаздыванием по состоянию и без него с использованием наблюдателей.

5. Получена алгоритмическая структура робастной системы слежения за эталонным сигналом с компенсацией возмущений для нелинейного объекта управления с запаздыванием по состоянию и без него.

6. Предложена структура системы управления с эталонной моделью для нестационарного динамического объекта с запаздыванием по состоянию и без него в условиях априорной неопределенности.

7. Синтезировано алгоритмическое обеспечение робастной системы управления курсом судна, решена задача автоматического удержания судна на заданной траектории (режим маневрирования) с заданной точностью.

8. Для систем стабилизации и слежения за эталонной моделью для различных объектов приведены числовые примеры и произведено моделирование в среде Matlab. Результаты моделирования показали, что синтезированная структура управления обеспечивает заданную динамическую ошибку, компенсируя действие внутренних и внешних возмущений.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных

ВАК РФ

1. Имангазиева A.B. Робастное управление линейным динамическим объектом / Имангазиева A.B., Цыкунов A.M. // Вестник АГТУ. 2007. №1. С. 1925.

2. Имангазиева A.B. Робастное управление линейным динамическим объектом с запаздыванием по состоянию / Имангазиева A.B., Цыкунов A.M. // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. № 12. С.2-6.

3. Имангазиева A.B. Робастное управление линейным динамическим .объектом с компенсацией возмущения / Имангазиева A.B., Цыкунов A.M. // Труды XX международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», Т.2. - Ярославль, 2007, с. 107-111.

4. Имангазиева A.B. Робастное управление нелинейным динамическим объектом в условиях действия возмущений / Имангазиева A.B., Цыкунов A.M. // Труды 4-ой международной научно-технической конференции «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта», Вологда, 2007, с. 8186.

5. Имангазиева A.B. Компенсация возмущений в задаче стабилизации судна на траектории в условиях неопределенности. / Имангазиева A.B. // Труды XXI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», Т.2. - Саратов, 2008, с. 173-176.

6. Имангазиева A.B. Алгоритм робастного управления нелинейным динамическим объектом с запаздыванием по состоянию / Имангазиева A.B. // Вестник АГТУ. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2009. №1. С. 137-141.

7. Имангазиева A.B. Робастное управление нестационарным динамическим объектом с компенсацией возмущений / Имангазиева A.B., Цыкунов A.M. // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2009. №2.

Подписано в печать Формат 60x90/16. Гарнитура Times New Roman.

Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № i59

Отпечатано в типографии издательства ФГОУ ВПО «АГТУ». 414025, Астрахань, Татищева, 16.

Введение.

Глава 1. Робастное управление для систем стабилизации со скалярными входом и выходом

1.1. Система стабилизации для линейного динамического объекта.

1.2. Компенсация возмущений при стабилизации линейного динамического объекта с запаздыванием по состоянию.

1.3. Робастное управление нелинейным динамическим объектом.

1.4. Стабилизация нелинейного динамического объекта с запаздыванием по состоянию.

1.5. Моделирование полученных систем на ЭВМ.

1.6. Выводы.

Глава 2. Робастное управление динамическими объектами с эталонной моделью со скалярными входом и выходом

2.1. Управление линейным динамическим объектом в задаче слежения за эталонным сигналом.

2.2. Компенсация возмущений для линейного динамического объекта с запаздыванием по состоянию.

2.3. Робастное управление нелинейным динамическим объектом с эталонной моделью.

2.4. Система с эталонной моделью для нелинейного динамического объекта с запаздыванием по состоянию.

2.5. Моделирование полученных систем на ЭВМ.

2.6. Выводы.

Глава 3. Робастное управление нестационарным динамическим объектом с компенсацией возмущений

3.1. Управление нестационарным динамическим объектом в задаче слежения за эталонным сигналом.

3.2. Система с эталонной моделью для нестационарного динамического объекта с запаздыванием по состоянию.

3.3. Компенсация возмущений в системе эталонной моделью для нелинейного динамического объекта с запаздыванием по состоянию.

3.4. Моделирование полученных систем на ЭВМ.

3.5. Выводы.

Глава 4. Алгоритмическое обеспечение робастиой системы управления курсом судна

4.1. Управление движением судна в современных системах судовождения.

4.2. Математическая модель судна.

4.3. Постановка задачи.

4.4. Модель возмущений.

4.5. Решение задачи.

4.6. Робастное управление курсом судна.

4.7. Результаты численного исследования системы управления курсом судна.

4.7.1. Результаты моделирования при трехбалльном волнении.

4.7.2. Результаты моделирования робастной системы управления.

4.8. Выводы.

Основные результаты работы.

Современный период развития теории управления характеризуется постановкой и решением задач, учитывающих неточность наших знаний об объектах управления и действующих на них внешних возмущений. Задачи синтеза регулятора и оценивания состояния с учетом неопределенности в модели объекта и характеристиках входных воздействий являются одними из центральных в современной теории управления. Их важность обусловлена прежде всего тем, что практически в любой инженерной задаче конструирования системы управления присутствует неопределенность (или ошибка) в модели объекта (математическая модель объекта, полученная на основе теории или в результате идентификации, отличается от реальной технической системы) и в знании класса входных возмущений.

Интенсивное развитие процессов автоматизации проектирования систем автоматического управления, обусловленное развертыванием высокопроизводительных вычислительных комплексов в проектно-конструкторских организациях, перемещение центра тяжести процесса проектирования от аппаратного обеспечения к алгоритмическому и программному обеспечению приводят к необходимости разработки нового методологического обеспечения, включая соответствующие вычислительные технологии [43]. Успех в решении поставленных задач расчета и проектирования зависит от многих факторов, основными из которых являются: степень адекватности математической модели объекта; степень эффективности численных методов ТАУ, используемых в алгоритмическом обеспечении; наличие высококачественного программного обеспечения; от того, насколько успешно используется творческий потенциал исследователя-проектировщика.

Однако проектировщик часто не располагает полной информацией о моделях объектов, т.е. последние содержат неопределенности и, таким образом, имеют место информационные ограничения, например, при проектировании новых технологических процессов, объектов техники и др. Поэтому в современной теории автоматического управления актуальна задача управления неопределенными объектами.

В литературе по теории автоматического управления возникновение неопределенности в системе часто связывают с действием возмущений. В частности, параметрическую неопределенность в системе обычно называют параметрическим возмущением (возмущением параметров) и относят к так называемым внутренним возмущениям, имея в виду, что существуют внешние возмущения, действующие на систему извне [9]. Функционирование реальных управляемых объектов происходит в условиях действия внешних возмущений, которые сильно влияют на критерий качества системы управления. Учет влияния внешних возмущений, действующих на систему, привел к постановке и решению задач синтеза систем автоматического управления, функционирующих при наличии внешних возмущений.

Компенсация внешних возмущений - одна из актуальных задач современной теории автоматического управления [4, 9, 31]. Это объясняется тем, что большинство объектов управления подвержены действию внешних воздействий, которые недоступны для измерения в силу технологических особенностей или в связи с отсутствием измерительных устройств. Кроме того, параметры объекта управления изменяются во времени, что требует изменения параметров управляющего устройства с целью сохранения качественных показателей системы, которые естественно в этом случае изменяются.

Традиционный метод управления динамическим объектом в условиях неопределенности объекта при типовых внешних воздействиях состоит в устранении с течением времени этой неопределенности и последующем: синтезе системы при известном объекте. Это осуществляется путем идентификации объекта и возмущений, а также использовании оценок параметров объекта для формирования управления, обеспечивающего требуемую динамическую точность.

Естественно предположить, что параметры или характеристики объекта, а также внешние воздействия принадлежат некоторым фиксированным множествам, «размеры» которых характеризует уровень неопределенности. При наличии неопределенности возникает задача управления не единственным объектом, а семейством объектов, принадлежащих заданному множеству и подверженных воздействию семейства внешних возмущений.

Задачи создания систем управления, свойства которых мало изменялись бы при небольших отклонениях их параметров от расчетных, возникали уже в начале развития теории автоматического управления. Если методы классической теории автоматического управления основаны на предположении, что все характеристики управляемого процесса известны заранее и поэтому возможно использование закона управления, заданного в явной форме, то в условиях неопределенности задача обеспечения требуемого качества управления обеспечивается применением методов робастного управления. Основная принципиальная идея по синтезу робастного управления состоит в том, чтобы единственным регулятором обеспечить устойчивость замкнутой системы не только для номинального (без учета ошибок модели) объекта, но и для любого объекта, принадлежащего множеству «возмущенных» объектов; определяемых классом неопределенности.

Отдельные элементы синтеза робастных систем использовались в инженерной практике уже давно [15, 32], поскольку часто отсутствовал какой-либо другой путь преодоления проблемы «априорной неопределенности». Однако это были чисто эвристические методы, не претендующие на теоретическую строгость и, как выяснилось, справедливые для определенного числа случаев. Сейчас синтез робастных систем приобретает черты строгого метода решения корректно поставленной математической задачи, где четко описаны исходные данные, сформулирован критерий и ограничен класс систем, в котором отыскивается результат [36].

За последние 20 лет в теории автоматического управления произошли революционные изменения. Возникли такие новые концепции, как робастность, Нп - оптимальное управление, 1Х -подход, //-анализ и синтез, LMI- техника и т.д. Им соответствует новый математический аппарат и новый взгляд на тео5 рию линейных систем.

Среди основных методов робастного управления параметрически неопределенными объектами могут быть указаны следующие:

1. методы Нт -оптимизации [27]; при этом целью синтеза является минимизация (максимизация) некоторых частотных норм передаточной функции замкнутой системы для заданного класса объектов управления;

2. /, -оптимизация [104]; решается задача о подавлении внешних возмущений;

3. LMI - подход [68]; подход, использующий линейные матричные неравенства;

4. метод Харитонова [47]; робастная устойчивость гарантируется, если устойчивы четыре специальных полинома из данного семейства;

5. [л-анализ [72]; создан математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределенностей;

6. вероятностный подход [99]; в частности, для прямой проверки вероятностной устойчивости применяется метод Монте-Карло.

Приведем краткий обзор методов робастного управления параметрически неопределенными объектами.

В 1980-е годы возникла так называемая Ню - теория (Дойл [72], Гловер

80], Френсис [78], Зеймс [106]); она объединила частотные методы и методы пространства состояний и позволила по-новому формулировать оптимизационные задачи. Эта же постановка позволила рассматривать задачи с неопределенностью (робастное управление), в которых частотная характеристика объекта имеет неопределенность, ограниченную в Нх -норме.

Пусть на вход устойчивой системы х = Ах + Bw, у = Сх подается гармонический сигнал. Тогда установившийся сигнал на выходе будет равен y = H(jco)w(t), H(s) = C(sI - A)~l В. Здесь я-оператор дифференцирования. Мерой того, насколько амплитуда этого сигнала мала, может служить величина

6) т.е Н9 - норма передаточной функции.

В случае, когда в системе присутствует управление и х = Ах + Вы + Dw, у = Сх, задача Нх -оптимизации заключается в выборе ре1улятора в форме обратной связи по состоянию и = Кх, который минимизирует Нп -норму передаточной функцииН(s)замкнутой системы, т.е minf/rC-sOL, Ж» = С (si - (А + ВК))'1 Д в предположении, что К - стабилизирующий регулятор. Решение данной задачи в работе [36] рассматривается в частотной области и в пространстве состояний.

Таким образом, Ню -норма передаточной функции есть энергия выхода системы при подаче на вход сигнала с единичной энергией. Если выходом является ошибка, а входом возмущение, то минимизируется энергия ошибки для наихудшего случая входного возмущения. В скалярном случае норма такой функции конечна и равна максимальному значению амплитудно-частотной характеристики.

Появившиеся в начале 80-х годов новые постановки задач синтеза систем управления, сводящиеся к задаче Нл - оптимизации [75, 106] и учитывающие неопределенности в системе, информация о которых минимальна, получили свои первые решения к середине 80-х годов на базе сразу нескольких подходов

78, 84, 105]. Однако эти работы имели скорее теоретическое значение, поскольку процедуры синтеза регуляторов были достаточно трудоемкими и громоздкими. Порой процедуры синтеза приводили к курьезным результатам. Так, для системы второго порядка оптимальный -регулятор имел десятый порядок [33]. Таким же важным первоисточником для сегодняшнего уровня понимания проблемы является статья Дойла и Стейна [75], которая положила начало проблеме грубого или робастного управления для модели, заданной в условиях неопределенности.

Многие работы, опубликованные после 1984 года, развивали так называемый «подход 1984», предложенный Дж.Дойлом [73], в котором на основе теории ганкелевской аппроксимации Гловера [79] дана процедура в пространстве состояний решения проблемы Нх -оптимизации для случая конечномерных линейных систем. В рамках этого подхода процедура синтеза Нт -субоптимального управления была похожа на процедуру Н2 - оптимального управления. Применяя этот подход, удалось сформулировать принцип разделения в Нх -теории управления, аналогичный хорошо известному принципу разделения в LQG-теории. Было показано, что при определенных условиях Н2 -теория управления является предельным случаем Нх -теории. Была существенно упрощена процедура нахождения субоптимальных регуляторов [80]. Выявлено, что степень регулятора для объекта порядка п не превосходит п [86].

Уравнение Лурье-Риккати занимает важное место в теории оптимальных систем. Задача нахождения положительно-определенного решения уравнения Лурье-Риккати является самостоятельной проблемой. В настоящее время разработан ряд эффективных численных методов ее решения, основанных на различных подходах. Однако отсутствие аналитического решения затрудняет анализ уравнения Лурье-Риккати и тесно связанной с его решением оптимальной системы. В работе [10] на основании современных достижений в области алгебры частных приводятся некоторые аналитические зависимости для уравнения Лурье-Риккати, точнее, осуществляется параметризация его матричных коэффициентов.

В 1989 году на основе ряда ключевых результатов в фундаментальной работе [74] была сформулирована новая концепция подхода к решению задачи Н-оптимизации, получившая название «2-Риккати подхода». Суть подхода заключалась в том, что оптимальная задача заменялась субоптимальной.

В рамках «2-Риккати подхода» искомый оптимальный регулятор в форме наблюдателя определяется на основе решения двух многомерных уравнений Лурье-Риккати для фильтрации (восстановление состояния) и оптимального управления в смысле минимума Нл — нормы замкнутой системы. Здесь для построения регулятора (обеспечивающего, помимо стабилизации объекта, некоторое заданное значение у (> уЫа), где под у понимается уровень терпимости того факта, что решение не является оптимальным) необходимо попутно решать два независимых обобщенных уравнения Риккати. Поэтому такой подход получил название «2-Риккати подход».

Регуляторы, синтезированные с использованием этого критерия оптимальности, обеспечивают устойчивость замкнутой системы и минимальную чувствительность к возмущениям.

Метод «2-Риккати подхода» сочетает в себе классическую теорию автоматического управления и метод пространства состояний, а именно: постановка задачи производится в частотной области, а ее решение осуществляется с использованием метода пространства состояний. Кроме того, данный подход позволяет разработчикам в процессе проектирования задавать требуемые характеристики качества и робастной устойчивости замкнутой системы.

После создания Нх -теории для стационарных непрерывных систем эта теория была распространена и на другие классы систем. Так, в работе [82] описано решение задачи Нх -оптимизации для линейных дискретных систем, а в статье [94] сформулирована и решена задача Нх - оптимизации для нестационарных систем. Однако практическое применение нестационарной теории затруднено отсутствием эффективных алгоритмов решения нестационарных уравнений Риккати.

Явные успехи линейной Ню -теории управления привлекли внимание специалистов по нелинейной теории управления. В рамках нелинейной теории появились постановки задач, аналогичные задачам в линейной теории. Получены и числовые алгоритмы их решений [61, 101]. Однако, как показали результаты практического применения нелинейной Нл — теории [71], она представляет собой пока теоретический интерес. Нх -теория рассмотрена также и с игровой точки зрения [64, 85].

Помимо Нт -теории и робастности, новое решение получил ряд других разделов теории управления.

В работе [36] отмечено, что задачей о подавлении произвольных ограниченных внешних возмущений стали интересоваться еще в середине прошлого века. В 40-е гг. так называемой проблемой о накоплении возмущений занимался Булгаков [11]. Однако, основное внимание тогда уделялось проблеме анализа - каково максимальное отклонение, вызываемое произвольными ограниченными внешними возмущениями, что, по сути, являлось задачей программного оптимального управления, поскольку внешние возмущения рассматривались как управление. Собственно задача об оптимальном подавлении произвольных ограниченных возмущений была сформулирована в работе Е.Д. Якубовича [56] и для некоторых частных случаев решена в [2, 56, 103]. Полное решение было построено в работах Барабанова и Граничина [3] и позже, - Далеха и Пирсона [70]. Впоследствии она получила название /, -оптимизации.

Если о присутствующем в системе возмущении известно лишь то, что оно ограничено, то стабилизация такой системы и минимизация со - нормы выхода (состояния) приводит к задаче -оптимизации [36]. Тем не менее, методы 1Х -оптимизации имеют ряд существенных недостатков. Отметим лишь достаточно большой порядок получающихся оптимальных регуляторов и асимптотический характер оценок. В работе [29] предлагается иной подход к данной проблематике, основанный на методе инвариантных множеств, в частности инвариантных эллипсоидов. Инвариантные множества довольно широко используются в различных задачах теории гарантированного оценивания, фильтрации и минимаксного управления в динамических системах при наличии неопределенностей. Принципиальными в этом направлении можно считать работы Швеппе [98], Бертсекаса [65, 66], Куржанского[25] и Черноусько [53]. Отметим, что инвариантные множества во многих случаях оказываются удобным аппроксимациями, например, областей достижимости динамических систем; это позволяет их широко использовать в задачах анализа. Также задача о подавлении возмущений рассмотрена в работе [4, 17, 31, 44]. Например, в [31] рассматриваются задачи приведения различных классов неопределенных объектов, подверженных влиянию внешних возмущений, к специальным каноническим формам, для которых в дальнейшем будут разработаны алгоритмы робастного управления. В подавляющем большинстве случаев приведение к канонической форме представляет собой нетривиальную теоретическую задачу, для решения которой предлагается использовать наблюдатели специального вида. Основная особенность предлагаемых наблюдателей состоит в том, что возможная параметрическая неопределенность как самого объекта управления, так и генератора внешнего возмущения не сказывается на структуре или параметрах наблюдателя, а находит свое отражение в неопределенности параметризованной модели возмущения. i Новый математический аппарат, оказавшийся чрезвычайно удобным, связан с линейными матричными неравенствами. Эти неравенства возникли еще в 1960-е годы в ряде задач управления (Якубович [56]); позже выяснилось (Бойд [68]), что они представляют собой общий метод анализа и синтеза линейных систем. Наличие эффективных программ решения линейных матричных неравенств сделало этот аппарат весьма эффективным с вычислительной точки зрения. Так, например, в [9] исследование условий разрешимости и построение формульных представлений всего множества возможных эквивалентных решений опирается на специально разработанный аппарат, включающий формирование и использование так называемых проматриц (проблемных матриц) и метод канонизации произвольных матриц, разделяющий для выполнения исследований линейно-зависимые и линейно-независимые строки и столбцы этих матриц.

Необходимо упомянуть, что техника линейных матричных неравенств (LMI) [95], популярная в последнее время, использовалась и для подавления возмущений [58, 95]. Примером может служить статья [58], в которой авторы решают задачи анализа и синтеза при ограниченных возмущениях для непрерывных систем.

В конце 80-х среди специалистов по теории управления и разработчиков реальных систем управления возросло понимание того фундаментального обстоятельства, что поскольку после изучения практически любого реального объекта управления (идентификации его параметров) остается неизбежной некоторая "остаточная" неопределенность относительно его параметров, порождаемая хотя бы ограниченностью времени проведения экспериментов, то это, в сущности, означает, что вместо управления одним фиксированным объектом приходится иметь дело с некоторым классом объектов. Следовательно, при исследовании устойчивости соответствующей замкнутой системы необходимо анализировать устойчивость некоторого класса динамических систем, т.е. проводить анализ робастной устойчивости. Этим вопросам были посвящены работы [89, 96, 97].

Задачи робастной устойчивости [35] в неявной форме рассматривались еще в работах П.Л. Чебышева и А.А. Маркова [55]. Тесно к этой задаче примыкают исследования по Д-разбиению, где, по существу, найдено полное решение для одно- и двухпараметрических возмущений параметров [30]. Имеются классические результаты по абсолютной устойчивости, т.е. устойчивости семейства нелинейных систем [37, 49, 50]. Современная постановка проблемы принадлежит Фаэдо [76], который дал обобщение критерия Раусса на случай интервальной неопределенности коэффициентов характеристического уравнения. Критерий Фаэдо дает достаточное условие робастной устойчивости. Еще один ранний результат по робастной устойчивости приведен в книге Заде и Дезоера [16].

Появились и другие постановки задач робастного управления, в которых неопределенность может быть задана иначе — либо как параметрическая, либо как ограниченная в матричной норме при описании в пространстве состояний. При этом были найдены многие красивые решения отдельных задач: например, задача о робастной устойчивости интервального полинома допускает очень простой ответ (теорема Харитонова).

Пусть P(s) - интервальный полином вида

P(s) = {P(s) = aQ + axs +. + ansn,ai <at <at, i = 0,n, a0 >0, an >0}, параметрами которого являются сами коэффициенты полинома, изменяющиеся в параллелепипеде. Здесь s-оператор дифференцирования. А также введем в рассмотрение четыре полинома, составленные в крайних значениях коэффициентов, чередующихся парами (два нижних значения - два верхних):

Px(s) = q0 + axs + a2s2 + a3s3 + ., P2(s) = a0 + axs + a2s2 + a3s3 + P3(s) — a0 + axs + a2s2 + a3s3 + ., P3(s) = a0 + axs + a2 s2 + a3s3 +.

Эти полиномы называются полиномами Харитонова. Теорема (Харитонов) [47]

Для робастной устойчивости интервального семейства (4) необходимо и достаточно, чтобы все полиномы Харитонова были устойчивы.

Итак, в предположении, что характеристический полином системы зависит от параметров; условие робастной устойчивости сводится к проверке гурвице-вости этого полинома при всех допустимых значениях параметров. Этот результат через несколько лет вызвал за рубежом огромный поток работ, посвященных интерпретации, приложениям и обобщениям теоремы Харитонова [13, 67]. В настоящее время опубликовано несколько книг, специально посвященных проблеме робастной устойчивости полиномов [83, 59, 62]. На русском языке имеется обзор [36].

Развитие теории в [13, 67] шло в основном по пути, указанному теоремой Харитонова. После появления теоремы Харитонова казалось, что обобщение на случай интервальных матриц должно последовать немедленно, и такие работы действительно появились. Однако они оказались ошибочными; были построены контр-примеры, показывающие, что устойчивость всех вершин или ребер семейства не обеспечивает робастной устойчивости. Позже было доказано [88], что эта задача NP- сложная. Переход к робастной квадратичной устойчивости (линейное матричное неравенство) и методы решения последнего предложены в [95, 69].

Формула для комплексного радиуса устойчивости матриц получена Хин-риксеном и Причардом [81]. Для вещественного радиуса устойчивости в течение долгого времени существовали лишь оценки снизу; наконец, в 1995 году эта проблема была разрешена совместными усилиями шести авторов [93].

Также был создан математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределенностей-//-анализ. Понятие структурного сингулярного числа (/j) матрицы было введено Дойлом [15]; основанная на этом техника // - анализа (включающая верхние и нижние границы для jU, критерий робастной устойчивости и алгоритмы вычисления оценок для /л может быть найдена в книге [76] и ряде статей, например [77]. В //—анализе система приводится к стандартной М- А-конфигурации, где все неопределенности А включены в цепь искусственной обратной связи, а М — номинальная замкнутая система (включающая номинальный объект, регулятор и обратную связь). Матричная неопределенность A(s) имеет некоторую структуру (в ней могут быть блоки, отвечающие вещественной или комплексной параметрической или матричной неопределенности, частотной неопределенности). Число /л(М) определяется как обратное к минимальной норме А заданной структуры, при которой матрица I + MA становится вырожденной. Для вычисления ju(M) существуют численные методы, основанные на верхних и нижних границах для ju(M). Общий критерий робастной устойчивости для М - А - конфигурации дается в теореме [2], обобщающей теорему о малом коэффициенте усиления.

Теория робастной устойчивости опирается на минимаксный подход, требующий сохранения устойчивости при любой допустимой неопределенности. Очень часто целесообразен не минимаксный, а вероятностный подход к роба-стности. Неопределенность можно считать случайной, а систему робастно устойчивой, если она сохраняет устойчивость с вероятностью, близкой к единице. Такой подход к анализу робастной устойчивости стал весьма популярным в последние годы. Для этих целей Стенгел иРэй [99] применили метод Монте-Карло.

Суть вероятностного подхода к проблеме робастной устойчивости заключалась в следующем: рассматривались полиномы P(s\<f), зависящие от параметров % , где (5-известное множество неизвестных параметров % ); полагалось, что задана плотность вероятности <f е Е и, затем для оценки вероятности устойчивости при заданной плотности pig) применялся метод Монте-Карло.

Такой вероятностный подход имеет ряд преимуществ. В частности, можно применить метод Монте-Карло для прямой проверки вероятностной устойчивости. Вероятностный радиус устойчивости часто оказывается заметно большим, чем детерминированный. Подход, связанный с вероятностной аппроксимацией условий устойчивости предложен в [63]. Из работ, посвященных вероятностным методам синтеза, можно отметить [91, 92].

Таким образом, к настоящему времени в теории робастных систем управления получены интересные и конструктивные результаты. Тем не менее, это направление в теории управления требует своего дальнейшего развития, создания новых алгоритмов и методов расчета.

Априорная неопределенность не единственная трудность, с которой сталкиваются разработчики при проектировании систем управления технологическими процессами. При создании систем управления динамическими объектами часто возникают и дополнительные трудности, связанные с наличием запаздывания, нелинейности, нестационарности параметров объекта. Ограничения, вызывающие наличие избыточного запаздывания, неминимально-фазовости, высокого порядка объекта ухудшают динамические свойства замкнутой системы управления. Робастное управление, представленное в работах А.А. Бобцова, В.Н. Букова, В.О. Никифорова, Б.Т. Поляка, A.M. Цыкунова, П.С. Щербакова позволяет учитывать запаздывание, нелинейности, нестационарность объекта управления.

Более детальное исследование характера управляемых динамических процессов, встречающихся в прикладных задачах, выводит на первый план проблему нелинейности объекта управления [28]. При этом во многих случаях нелинейность является существенным свойством. Для практики неприменимы пренебрежение нелинейностью, либо приближенная линеаризация. Решение задачи управления нелинейным неопределенным объектом, определило новое направление в теории управления.

Выше упоминалось о ситуации, когда линеаризация объекта управления приводила к весьма существенным количественным ошибкам. Следует также учесть, что при составлении модели объекта неизбежно возникают ошибки связанные с наличием запаздывания. Увеличение масштабов технологических установок, наряду с нелинейностью и неопределенностью, вносит явление запаздывания в динамические процессы, протекающие в них. В данном случае, динамика процесса такова, что ее будущее зависит не только от настоящего, но и от прошлого. При этом математические модели, соответствующих технологических процессов, определяются дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом [1, 28, 87].

Выделение объектов с последействием в отдельный класс вызвано, прежде всего, большой сложностью их исследования по сравнению с объектами, не содержащих временного запаздывания. Практика в изобилии доставляет задачи управления различными объектами с запаздыванием по состоянию при наличии той или иной степени неопределенности. Но вопросы построения робастного управления такими объектами рассматривались недостаточно, а методы, разработанные для объектов без запаздывания, требуют дополнительного рассмотрения с целью их использования при разработке робастных систем управления с запаздыванием. К тому же, при разработке систем автоматического управления необходимо учитывать то, что большинство технологических объектов функционируют в условиях внешних неконтролируемых возмущений. Тогда, применение схем робастного управления, разработанных в идеальных условиях, ведет к ухудшению показателей качества переходного процесса, а иногда и к потере устойчивости.

Следует отметить, что большинство имеющихся методов синтеза предназначены для стационарных систем [31]. Однако в реальных условиях работы системы, параметры объекта управления в процессе эксплуатации изменяются в широких пределах. Для таких систем автоматического управления актуальна задача синтеза регуляторов, обеспечивающих работоспособность системы при возможных изменениях параметров объектов управления.

При разработке систем управления нелинейными и нестационарными объектами, функционирующими в условиях априорной неопределенности, как правило, используются методы адаптивного, робастного управления, нечеткой логики и нейросетевых регуляторов [23, 27, 28, 34, 51]. В последнее время широкое распространение получили методы робастного управления динамическими объектами, в которых желаемая динамика выхода объекта задается с помощью явной или неявной эталонной модели [4, 31]. Робастный подход позволяет обеспечить приемлемое, в смысле некоторого критерия, качество замкнутой системы даже при наличии структурной неопределенности модели объекта, действии внешних возмущений [1, 4, 31, 52] , нестационарности [6, 22, 51] параметров объекта, запаздывании [18, 44].

На сегодняшний день среди полученных решений в классе задач по роба-стному управлению довольно мало работ по управлению со скалярными входом и выходом линейными, нелинейными, нестационарными объектами с запаздыванием. Поэтому недостаточная изученность изложенных выше вопросов для случая линейных, нелинейных, нестационарных динамических объектов с запаздыванием и без него обуславливает актуальность диссертационной работы.

Целью работы является синтез алгоритмического обеспечения управляющих систем с использованием наблюдателей производных, позволяющего с заданной точностью компенсировать параметрические и внешние возмущения для различных типов непрерывных объектов управления. Задачи диссертационной работы.

1. Решение задачи построения робастных систем стабилизации для различных типов динамических объектов управления: линейных стационарных с запаздыванием и без него, а также для некоторых классов нелинейных объектов.

2. Синтез и исследование робастных систем слежения за эталонным сигналом с компенсацией параметрических и внешних возмущений с заданной точностью для линейных и нелинейных стационарных объектов управления.

3. Построение робастных систем управления и обоснование их работоспособности для нестационарных объектов управления.

Методы исследований.

Использованные в работе методы базируются на основных понятиях теории автоматического управления. Основными методами являются методы функций Ляпунова, общие методы теории автоматического управления, алгебры многочленов и теории матриц, теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, а также результатах работы [52]. Научная новизна работы.

1. Предложена алгоритмическая структура робастной системы стабилизации по выходу линейного объекта с запаздыванием по состоянию и без него с использованием наблюдателей, позволяющая скомпенсировать действие параметрических и внешних возмущений с заданной точностью.

2. Синтезирована робастная система стабилизации по выходу нелинейного динамического объекта и доказана ее работоспособность.

3. Решена задача робастной стабилизации нелинейного объекта с запаздыванием по состоянию в условиях априорной неопределенности с использованием наблюдателей.

4. Получена и обоснована алгоритмическая структура контура управления для неопределенных объектов с запаздыванием по состоянию и без него, удовлетворяющая условиям достижимости цели управления в задаче робастного слежения за эталонной моделью.

5. Предложено решение задачи робастного управления с эталонной моделью нелинейным объектом с запаздыванием по состоянию в условиях априорной неопределенности.

6. Для нестационарного динамического объекта с запаздыванием по состоянию и без него решена задача робастного управления с эталонной моделью, удовлетворяющее условиям достижимости цели управления.

7. Синтезировано алгоритмическое обеспечение робастной системы управления курсом судна, позволяющее скомпенсировать действие параметрических и внешних неконтролируемых возмущений с заданной точностью. Практическая ценность работы.

Результаты работы могут быть использованы для разработки высокоэффективных автоматических систем управления, модели которых содержат запаздывания, а параметры известны не точно, либо могут изменяться в течение работы. При этом управляемые процессы могут характеризоваться функциональной неопределенностью. Техническая реализация предложенных алгоритмов проста и не требует большого количества измерительной аппаратуры.

Результаты работы использованы при синтезе автоматической системы управления курсом судна, математическая модель которого взята из работы [21]. Практическое применение результатов диссертационной работы отображено в акте об использовании результатов в разработках по созданию авторулевых систем.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритмы робастной стабилизации и управления с эталонной моделью линейным динамическим объектом с запаздыванием и без него, позволяющие скомпенсировать действие возмущений.

2. Алгоритмы робастной стабилизации и управления с эталонной моделью нелинейным динамическим объектом с запаздыванием и без него с использованием наблюдателей.

3. Алгоритмы управления с эталонной моделью нестационарным динамическим объектом с запаздыванием и без него в условиях действия возмущений.

Диссертационная работа состоит из 4 глав и приложения. В начале каждой главы дается общая постановка задачи, а затем решаются сформулированные задачи для различных типов непрерывных объектов управления.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложен принцип построения робастных систем управления использующий два наблюдателя производных и вспомогательный контур для различных типов объектов управления. Данный способ построения позволяет скомпенсировать параметрические и внешние воздействия с заданной точностью. Кроме того, уравнения замкнутой системы имеют меньший порядок по сравнению с аналогичной системой.

2. Синтезированы робастные системы стабилизации по выходу линейных, нелинейных объектов управления с запаздыванием по состоянию и без него, позволяющие скомпенсировать действие параметрических и внешних неконтролируемых возмущений. Обоснована работоспособность полученных систем.

3. Предложена алгоритмическая структура робастной системы стабилизации управления для нестационарного объекта с запаздыванием по состоянию и без него.

4. Синтезировано алгоритмическое обеспечение робастной системы управления с эталонной моделью для линейного объекта с неизвестным запаздыванием по состоянию и без него с использованием наблюдателей.

5. Получена алгоритмическая структура робастной системы слежения за эталонным сигналом с компенсацией возмущений для нелинейного объекта управления с запаздыванием по состоянию и без него.

6. Предложена структура системы управления с эталонной моделью для нестационарного динамического объекта с запаздыванием по состоянию и без него в условиях априорной неопределенности.

7. Синтезировано алгоритмическое обеспечение робастной системы управления курсом судна, решена задача автоматического удержания судна на заданной ЭВМ судовождения траектории (режим маневрирования) с заданной точностью.

8. Для систем стабилизации и слежения за эталонной моделью для различных объектов приведены числовые примеры и произведено моделирование на ЭВМ. Результаты моделирования подтвердили теоретические выводы и показали хорошую работоспособность систем управления в условиях постоянно действующих внешних и параметрических возмущений.

1. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB — СПб.: Наука, 1999.

2. Барабанов А.Е. Оптимальное управление неминимально-фазовым дискретным объектом с произвольным ограниченным шумом // Вестн. ЛГУ, сер. мат. 1980. Т.13. С. 119-120.

3. Барабанов А.Е., Граничин О.Н. Оптимальный регулятор для линейных объектов с ограниченным шумом // Автом. и телемех. 1984. №5. С. 39-46.

4. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. №2. С. 93-97.

5. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления неопределенным объектом без измерения производных регулируемой переменной. // Автоматика и телемеханика. 2003. №8. с.82-96.

6. Бобцов А.А., Наговицына А.Г. Адаптивное управление по выходу 'линейными нестационарными объектами. // Автоматика и телемеханика. 2006. №12. с. 163-173.

7. Бородай И.К., Нецветаев Ю.А. Мореходность судов.- Л.: Судостроение, 1982.-288 с.

8. Брусин В.А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. 1995.-№4. с.119-128.

9. Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. Калуга: Издательство научной литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006.-720 с.

10. Буков В.Н., Сельвесюк Н.И. Аналитический синтез робастных регуляторов на основе параметризации уравнения Лурье-Риккати. // Автоматика и телемеханика. 2007. №2. с. 6-16.

11. П.Булгаков Б.В. О накоплениях возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами // Докл. АН СССР. 1946. Т.5, вып.5. С. 339- 342.

12. Власенко А.А., Стражмейстер В.А. Судовая электроавтоматика. М.: Транспорт, 1983.-368 с.

13. Джури Е.Н. Робастность дискретных систем. Обзор // АиТ. 1990. №5. С. 12-21.

14. Дмитриев С.П., Пелевин А.Е. Задачи навигации и управления при стабилизации судна на траектории. СПб.: ГНЦ РФ-ЦНИИ «Электроприбор», 2004.-160 с.

15. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. М.: Физматлит, Наука, 1997. 352 с.

16. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970.

17. Имангазиева А.В., Цыкунов A.M. Робастное управление линейным динамическим объектом // Вестник АГТУ. 2007. №1. С. 19-25.

18. Имангазиева А.В., Цыкунов A.M. Робастное управление линейным динамическим объектом с запаздыванием по состоянию. // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2007. № 12. С.2-6.

19. Имангазиева А.В., Цыкунов A.M. Робастное управление линейным динамическим объектом с компенсацией возмущения. // Труды xx международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», Т.2. Ярославль, 2007, с. 107-111.

20. Имангазиева А.В. Компенсация возмущений в задаче стабилизации судна на траектории в условиях неопределенности. // Труды xxi международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», Т.2. Саратов, 2008, с. 173-176.

21. Имангазиева А.В. Алгоритм робастного управления нелинейным динамическим объектом с запаздыванием по состоянию// Вестник АГТУ. 2009. №1. С. 19-25.

22. Ключарев А.Ю., Цыкунов A.M. Синтез системы адаптивного управления объектом с запаздыванием по состоянию со скалярным входом-выходом // Вестник Астраханского государственного технического университета. — 1998. № 1.-С. 146-153.

23. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука. 1981. С. 448.

24. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

25. Лукомский Ю.А., Корчанов В.М. Управление морскими подвижными объектами. СПб.:Элмор, 1996.-318 с.

26. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков A.JI. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука. 2000.-549 с.

27. Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных возмущений с помощью инвариантных эллипсоидов. // Автоматика и телемеханика. 2007. №3. с. 106-125.

28. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. Л.:ЛКВВИА, 1949.

29. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб.: Наука, 2003.-282 с.

30. Орурк И.А. Новые методы синтеза и некоторых нелинейных динамических систем. М.: Наука, 1965. - 208 с.

31. Отчет Института,проблем управления №231-91/01. Исследование новых принципов автоматизации управления и контроля посадочными режимами Л. А. 1991.

32. Паршева Е.А., Цыкунов A.M. Адаптивное управление объектом с запаздывающим управлением со скалярным входом-выходом // Автоматика и телемеханика. -2001. №1. С. 142-149.

33. Поляк Б.Г., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники, серия Техническая кибернетика. ВИНИТИ. М., 1991. С. 3-31.

34. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М. Наука, 2002.-303 с.

35. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970.

36. Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1997.

37. Проспект НИИ Севморгеологии навигационно-управляющего комплекса «Мореход». 1998.

38. Проспект НПФ «Навис» программного модуля авторулевого. 1998.

39. Сахаров В.В. Расчет оптимальных регуляторов судовых автоматических систем. Л.: Судостроение, 1983.

40. Справочник по теории корабля. В трех томах. Т.2. Статика судов. Качка судов. // Под редакцией Я.И. Войткунского.- Л.: Судостроение, 1985.- 440 с.

41. Теория автоматического управления. Изд. 2-е / под редакцией А.В. Нетушила. М.: Высшая школа, 1983. - 432 с.

42. Терновая Г.Н., Цыкунов A.M. Робастное управление линейным объектом с запаздыванием с использованием фильтров высокого порядка // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион, 2005. С. 7-10.

43. Тетюев Б.А., Березин С.Я. Системы автоматического управления движением судна по курсу. Л.: Судостроение, 1990.-254 с.

44. Ткаченко А.Н. Судовые системы автоматического управления и регулирования. Л.гСудостроение, 1984. -288 с.

45. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. Т.1, вып. 11. С. 2086-2088.

46. Цыкунов A.M. Алгоритмы скоростного градиента для систем с запаздыванием// АиТ- 1987.- №3.- С.97-106.

47. Цыкунов A.M. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости в теории адаптивных систем// АиТ 1983, №1- С. 122-129.

48. Цыкунов A.M. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости в теории адаптивных систем Фрунзе: Илим, 1990.

49. Цыкунов A.M. Робастное управление нестационарными объектами// АиТ.- 1996, №2.- С. 117-125.

50. Цыкунов A.M. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // АиТ. 2007. №7. С. 103-115.

51. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

52. Фуртат И.Б., Цыкунов A.M. Синтез адаптивного управления по выходу для систем с запаздыванием на основе модифицированного алгоритма высокого порядка // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2006. №8. С. 15-17.

53. Честнов В.Н. Синтез робастных регуляторов многомерных систем при параметрической неопределенности на основе круговых частотных неравенств// АиТ. 1999. №3. С. 229-238.

54. Якубович Е.Д. Решение задачи оптимального управления для линейных дискретных систем // Автом. телемех. 1975. №9. С. 73-79.

55. Якушенков А.А., Антоненко В.А., Кошевой А.А., Федуков Б.К., Карпенко В.М. Результаты разработки и судовых испытаний комплексной системы автоматизации судовождения «Бирюза» // В кн.: Навигация и управление судном.-Л.: Транспорт, 1986.-С.З-18.

56. Abedor J., Nagpal K., Poola K. A linear matrix inequality approach to peak-to-peak gain minimization // Int. J. Robust and Nonlinear Control. 1996. V.6. P. 899-927.

57. Ackermann J. Robust control: systems with uncertain physical parameters. New York: Springer-Verlag, 1993.

58. Atassi A.N., Khalil H.K. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. V. 4. №. P. 6721687.

59. Ball J.A., Helton J.W., Walker M.L. Я-infinity Control for Nonlinear

60. Systems with Output Feedback // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 38, №4,62.^^nish B.R. New tools for robustness of linear systems. New York:1. MacMillan, 1995.

61. Barmish B.R., Polyak B.T. A new approach to open robustness problems based on probabilistic prediction formulae // Proc. 13th World Congress of IF AC. 1996., San Francisco CA. V. H. P. 1-6.

62. Basar Т., Bernhard P. //-infinity Optimal Control and Related Minimax Design Problems, Dynamic Game Approach, Systems and Control: Foundations and Applications. -Birhauser, 1991.

63. Bertsekas D.P., Rhodes I.B. On the minimax reachability of target sets and target tubes // Automatica. 1971. V.7. P. 233-247.

64. Bertsekas D.P., Rhodes I.B. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty // IEEE Trans. Autom. Control. 1971. V.16. P.117-128.

65. Bhattacharyya S.P. Robust stabilization against structured perturbations. N.Y.: Springer, 1987.

66. Boyd S., El Ghaoui L., Ferron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

67. Calafiore G., Polyak B.T. Stochastic algorithms for exact and approximate feasibility of robust LMIs // IEEE Trans. Autom. Control. 2001. V.46, Noll. P.1755-1759.

68. Dahleh M., Pearson J.B. /, optimal feedback controllers for MIMO discrete systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1987. V.32. No.4. P.314-322.

69. Dorato P. U-parameter design example: Robust Flight Control for Wind-Shear Protection // Proceeding of the 29-nd Conf. On Dec. And Control. 1990. Vol.1.

70. Doyle J.C. Analysis of feedback systems with structured uncertainties // IEE Proc. 1982. Pt. D. V. 129. P. 242-250. '

71. Doyle J.C. Lecture notes in advances in multivariable control. ONR/ Hneywell, Workshop, Minneapolis, MN, 1984.

72. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solutions to standard H2 and Hrr contol problems // IEEE Transactions on Automatic Control, AC-34, №8, 1989.

73. Doyle J.C., Stein G. Multivariable Feedback Design: Consepts for a Classical / Modern Synthesis // IEEE Trans. Auto. Control. 1981. Vol. AC-26. N1.

74. Faedo S. Un nuova problema di stabilita per le equazione algebriche a coefficienti reali // Ann. Scuola Norm. Super. Piza, Ser.sci. fis. e mat. 1953. V. 7, No. 1-2. P. 53-63.

75. Feuer A., Morse A.S. Adaptive control of single-input, single-output linear systems //IEEE Trans.on Automatic Control. 1978. Vol. 23. № 4. P. 557-569.

76. Frensis B.A. A Course in Hm -Control Theory. Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol.88, Springer-Verlag, Berlin etc., 1987.

77. Glover K. All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their Lm -error bounds. // Int. J. Control, v. 39, 1984.

78. Glover K., MacFarline D. Robust Controller Design Using Normalised Coprime Factor Plant Descriptions // LNCIS. Vol.138. NY: Springer-Verlag, 1990.

79. Hinrichsen D., Pritchard A. Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation // Syst. Control Lett. 1986. V.8. P. 105-113.

80. Iglesias P.A., Glover K. State-spase approach to descreet-time Hm control //1.ternational Journal of control, v.54, №5, 1991.

81. Kogan J. Robust stability and convexity. London. Springer-Verlag, 1995.

82. Kwakernaak H.A. Polinomial Approach to Minimax Frequency Domain of Multivariable Feedback Systems//Int. J. Contr. 1986, №1.

83. Limebeer D.J., Anderson B.J.O., Khargonekar P.P., Green M.A. A game theoretic approach to Hx -control for time varying systems // SIAM J. Contr.

84. And Opt. Vol.30. №2. 1992.

85. Limebeer D.J., Halikias G.D. A controller degree bound for Нш -optimal control problems of the second kind // Int. J. Contr. And Opt. Vol. 26, 1988.

86. Mahmoud N.A., Khalil H.K. Robust control for a nonlinear servomechanism problem // Int.J. Control. 1997. Vol. 66. NO 6. P. 779-802.

87. Nemirovskii A.A. Several NP -hard problems arising in robust stability analysis // Math. Contr. Sig. Syst. 1994, No.6. P. 99-105.

88. Ogata K. Modern control engineering. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1990.

89. Packard A., Doyle J.C. The complex structured singular value // Automatica. 1993. V.29. P. 71-109.i

90. Polyak B.T., Shcherbakov P.S. Random spherical uncertainty in estimation and robustness // IEEE Trans. Autom. Control. 2000. V.45, Noll. P.2145-2150.

91. Polyak B.T., Tempo R. Probabilistic robust design with linear quadratic regulators // Syst. Control Lett. 2001. V.43. P. 343-353.

92. Qiu L., Bernhardsson В., Rantzer A., Davison E.J., Young P.M., Doyle J.C. A formula computation of the real stability radius // Automatica. 1995. V.31, No.6. P. 879-890.

93. Ravi R., Nagral K.M., Khargonekar P.P. Hm -Control of linear time varing systems: a state-space approach // SIAM J. Contr. And Opt. Vol. 29, j 6, 1988.

94. Recent advances in robust control / Eds. P. Dorato, R. Yedavalli. New York: IEEE Press, 1990.

95. Robust control / Ed. P. Dorato. New York: IEEE Press, 1987.136

96. Robustness of dynamic systems with parameter uncertainties / Eds. M. Mansour et al. Monte Verita: Birkhauser, 1992.

97. Shweppe F.C. Uncertain Dynamic Systems. N.J.: Prentice Hall, 1973.

98. Stengel R.F., Ray L.R. Stochastic robustness of linear time invariant control systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1991. V.36. P.82-87.

99. Tempo R., Bai E.W., Dabbene F. Probabilistic robustness analysis: explicit bounds for the minimum number of samples // Syst. Control Lett. 1997. V.30. P. 237-242.

100. Van der Schaft A.J. Nonlinear State Space IIm -control Theory, in Essay an Control: Perspectives in the Theory and Applications. Birhauser, 1993.

101. Velagic J., Vukic Z., Omerdic E. Adaptive Fuzzy Ship Autopilot For Track-Keeping.//Proceeding of the IF AC Conference of Maneuvering and Control Marine Craft (MCMC'2000), Aalborg, Denmark,23-25 August 2000.- P. 129134.

102. Vidyasagar M. Control systems synthesis: a factorization approach. Boston, MA:MIT Press, 1985.

103. Vidyasagar M. Optimal rejection of persistent bounded disturbances // IEEE Trans. Autom. Control. 1986. V.31. P.527-535.

104. Young N.J. The Nevanlinna-Pick Problem for Matrixvalued Functions // J. of Operator Theory. 1986. Vol.15.

105. Zames G. Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses // IEEE Trans. Auto. Control. 1981. Vol. AC-26. j2.

106. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal contol. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.