автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы и алгоритмы исследования математических моделей регулярно и сингулярно возмущенных динамических систем

На правах рукописи

КОНЯЕВ ЮРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РЕГУЛЯРНО И СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

(05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тверь-2007

003055666

Работа выполнена в Тверском государственном университете

Научный консультант доктор физико-математических наук профессор АП Колесников

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук профессор И В Пузынин, доктор физико-математических наук профессор Е Б Кузнецов, доктор физико-математических наук профессор В Ф Сафонов

Ведущая ор1 анизация

Вычислительный Центр им Дородницына А А РАН, г Москва

Защита диссертации состоится 27 апреля 2007г в 14-00 На заседании Диссертационного совета Д212 263.04 в Тверском государственном университете по адресу 170000, г Тверь, ул Желябова, 33, ауд 52

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета Автореферат разослан 25 марта 2007г

Ученый секретарь

Диссертационного совета

Доктор технических наук, профессор

0/.

В Н Михно

Общая характеристика работы

Настоящая работа посвящена развитию известных и разработке новых качественных, приближенных аналитических и асимптотических методов и конструктивных алгоритмов, необходимых для проведения вычислительных экспериментов при исследовании различных линейных и нелинейных математических моделей (при наличии регулярных и сингулярных возмущений) на всех этапах математического моделирования, а также созданию новых математических моделей для некоторых классов прикладных задач Нумерация теорем в автореферате и диссертации совпадают Актуальность темы. В теории математического моделирования, одной из фундаментальных дисциплин современной науки, можно выделить два основных направления Это создание достаточно точных математических моделей и разработка эффективных методов и алгоритмов для их анализа.

Приближенные аналитические и асимптотические методы исследования математических моделей (в частности, в виде соответствующих дифференциальных уравнений) в настоящее время, когда точные методы анализа почти исчерпаны, стали неотъемлемой частью теории математического моделирования, позволяя выписывать приближенные решения достаточно сложных возмущенных задач, если известно решение соответствующей (обычно более простой) невозмущенной задачи

В истории науки создание каждой фундаментальной математической модели является событием Весьма характерна в этом плане эволюция модели Солнечной системы (в первом варианте геоцентрическая, а позднее гелиоцентрическая), решающей задачу определения планетных орбит

Другим известным примером является построенная Эйнштейном релятивистская модель движения, уточняющая классическую модель Ньютона при скоростях, близких к скорости света

На основе фундаментальных моделей строится множество прикладных моделей, описывающих эволюцию большого класса физических и социальных процессов, изучение которых сводится к анализу квазилинейных (или линейных) неавтономных моделей, реализуемых в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) вида

х = А(Пх + /(х,0 (*,7еДи) (1)

К классу моделей вида (1) относятся

1 Система уравнений движения бесконтактного гироскопа в переменном магнитном поле, которая после упрощения и линеаризации имеет вид.

* = (4,+а4,(0)*,(0<е<1),

2 Система уравнений колебаний двух связанных осцилляторов:

{х + а2х -2£у51Ш

,, (а.беД, офЬ% аЬ* 0, |а±Л| = 1)

у + Ь у-2ахсоМ, ' '

3. Уравнение Матье х + (8 + е0 со&1)х = 0,

м

описывающее при некоторых допущениях движение Луны, также может быть сведено к системе подобного кл асса.

Важнейшим аспектом качественного анализа неавтономных динамических систем, рассмотренных в диссертации, являются вопросы устойчивости Несмотря на большое количество работ по теории устойчивости, основы которой заложены в трудах Ляпунова А М, Четаева Н Г., Малкина И Г , Красовского Н Н , Меркина Д.Р. и ряда других авторов, ощущается определенный дефицит достаточно конструктивных критериев устойчивости

Основная грудность качественного исследования устойчивости неавтономных систем (1) связана с тем, что структура спектра {¿ДО}" матрицы A(t) не является определяющей при оценке решения исходной системы

Известные теоремы о приводимости систем вида (1) не всегда эффективны В частности, теорема Флоке-Ляпунова, гарантирующая возможность преобразования линейной однородной системы с периодической матрицей х = А(/)х с помощью невырожденной периодической замены х - P(t)y к эквивалентной системе с постоянной матрицей у = Су, не позволяет оценить решение исходной системы, так как алгоритм построения такой замены до сих пор неизвестен

Перечисленные и некоторые другие математические модели подробно исследованы в представленной работе с помощью предложенных диссертантом методов и приведены конструктивные критерии устойчивости решения соответствующих неавтономных динамических систем

Исследование некоторых моделей сводится к анализу многоточечных краевых или спектральных задач, связанных с построением функции Грина Например, при изучении положения моста (балки) на нескольких точках опоры, которое может быть сведерго к изучению регулярных (р=0) или сингулярно возмущенных (р> I ) многоточечных краевых задач для неавтономных систем вида

spx = A(t,s)x + f(t), x,f е R" («> 3),

т

j-i

(A(i,s) = ^Ak(t)ck, 0 = /, <t2 <■ <tm= 1), о

Fj -постоянные квадратные матрицы

Следует отметить, что основные проблемы, возникающие при решении таких задач, связаны с тем, что традиционное интегральное представление решения многоточечной краевой задачи с помощью аппарата функций Грина весьма громоздко и мало пригодно доя численной реализации, так как при ее

построении в многоточечк ом случае (п > 3) возникают принципиальные трудности

В диссертации предложен эффективный метод, позволяющий преодолеть указанные трудности и решать многоточечные краевые задачи без использования аппарата функции Грина

Термин сингулярность здесь отражает тот факт, что решение предельной (£ = 0) задачи в общем случае не удовлетворяет краевым условиям, что приводит к появлению (цри р > 1) особенностей решения, отражающих существование так называемых «пограничных слоев» в окрестностях точек, где заданы краевые условия.

Теория сингулярных возмущений берет начало с работ Лиувилля (1837), построившего асимптотик»/ фундаментальных решений для уравнения второго порядка

Дальнейшее развитие теория сингулярных возмущений нашла в работах Шлезингера (1907), Биркгофа (1908), Стеклова В А , его ученика Тамаркина Я Д (1917), ВазоваВ (1944), Коддингтона с Левинсоном (1952)

Заметный вклад в развитие теории сингулярных возмущений внесли работы современных математиков Ломова С А (1963), Фещенко С.Ф., Шкиля Н И , Николенко Л Д (1966)), Федорюка М Ф (1969), Сафонова В.Ф (1975), Жуковой Г С (1978) и ряда других авторов

В теории сингулярных возмущений получил также широкую известность метод пограничных функций, весьма эффективный при анализе нелинейных задач, в основе которого лежат работы Тихонова А Н (1948), Васильевой А Б (1951-1960), Бутузова В Ф (1966), Нефедова Н Н

Представленная работа посвящена решению перечисленных и некоторых других проблем, разработке качественных и приближенных аналитических методов и алгоритмов исследования неавтономных динамических модельных систем (при наличии регулярных и сингулярных возмущений), а также построению ряда новых математических моделей

Цель работы. Целью работы является рашитие известных и разработка новых конструктивных качественных приближенных аналитических и асимптотических методов и эффективных удобных для численной реализации алгоритмов исследования различных математических моделей при наличии регулярных и сингулярных возмущений на всех этапах моделирования, а также созданию достаточных конструктивных критериев устойчивости решения некоторых классов неавтономных линейных и квазилинейных модельных систем ОДУ, в частности, для разработанных диссертантом модельных систем с полиномиально периодической или нормальной матрицей

Методы исследования. В работе использованы современные методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории многоточечных крае вых задач, а также методы теории регулярных и сингулярных возмущений

Научная новизна основных результатов работы состоит в следующем:

1 Разработан эффективный метод и конструктивный алгоритм для нахождения собственных значений Х(е) и собственных векторов S(e) линейного возмущенного оператора А(е) при наличии предельного оператора Л(0) произвольной жордановой структуры. Существующие методы решения указанных спектральных задач малопригодны для численной реализации

Например, в своей работе Рид и Саймон (с 44) указывают на большую сложность вычисления собственных значений М^') «из-за контурных интегралов и деления двух степенных рядов», а Като (с 120) отмечает, что «вполне определенных формул, выражающих собственные векторы SU) оператора A(î ), как функции S нет »

Предложенный диссертантом метод и построенный на его основе алгоритм позволили достаточно просто и конструктивно решать большой класс задач математического моделирования возмущенных движений, возникающих, в частности, при изучении динамики различных гироскопических систем

2 В теории устойчивости доказан ряд классических теорем (например, в работах Ляпунова A M , Четаева Н.Г , Малкина И Г , Красовского H H и ряда других авторов) о приводимости, позволяющей с помощью невырожденной замены переходить от исходной системы к исследованию более простых эквивалентных систем ОДУ

Отметим, в частности, теорему Флоке-Ляпунова о возможности перехода от линейной системы с периодической матрицей к системе с постоянной матрицей с помощью невырожденной периодической замены Однако в теореме не указан алгоритм ее построения В диссертации сформулированы и доказаны асимптотические и конструктивные аналоги (или обобщения) теорем указанного класса, в том числе и для построенной соискателем новой модельной системы ОДУ с полиномиально периодическими коэффициентами (то есть с магрицей в виде степенных рядов с периодическими матричными коэффициентами)

3 Сформулированы и доказаны теоремы о достаточных условиях асимптотической устойчивости для определенных выше классов (1) неавтономных квазилинейных систем, являющихся обобщением известной теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению для квазилинейных систем с постоянной матрицей

4 Диссертантом выделен специальный класс моделей в форме неавтономных линейных и квазилинейных систем ОДУ с нормальной или «почти нормальной» матрицей, для которых с помощью метода унитарных преобразований получены достаточные критерии устойчивости решения, полностью определяемые структурой спектра нормальной матрицы.

5. Построено интегральное представление решения для моделей, представимых в виде многоточечных краевых (и как частного случая,

б

начальных) задач для линейных и квазилинейных (здесь мы имеем соответствующие интегральные уравнения) систем ОДУ без использования аппарата функций Грина, построение которых является достаточно сложной задачей, особенно для многоточечных задач Это позволяет рассматривать и изучать начальные и краевые задачи с единой точки зрения

Диссертантом приведен новый вариант доказательства далеко не тривиальной теоремы об однозначной разрешимости многоточечных краевых задач для линейных и квазилинейных систем ОДУ

6 Диссертантом разработан эффективный метод и достаточно простой алгоритм построения квазирегулярной асимптотики некоторых классов сингулярно возмущенных начальных и многоточечных задач для моделей в форме линейных систем ОДУ, при котором все особенности решения, отражающие структуру различных пограничных слоев выписываются в замкнутой аналитической форме, а остальные компоненты решения зависят от малого параметра регулярным образом Известные методы решения указанною класса задач неприменимы или малоэффективны

7. С помощью изложенного в п. 6 алгоритма исследован класс моделей сингулярно возмущенных задач на полуоси Доказано, чго структура погранслоя в этом случае определяется не только спектром предельного оператора, но и неограниченностью некоторых интегралов при ? —> °о, что обобщает ранее известные результаты Федоркжа М В

8. Для построения асимптотики собственных значений и собственных функций в моделях с линейными дифференциальными операторами (в отличие, например, от известных работ Левитана Б М и других авторов, в которых эта проблема решалась с помощью анализа соответствующих интегральных уравнений) разработан эффективный метод и соответствующий конструктивный (по существу алгебраический) алгоритм решения данной задачи с помощью дискретного аналога доказанной в диссертации теоремы 1 2 Это позволило создать новый алгоритм для решения ряда спектральных задач квантовой механики (включая и многоточечный случай), например, для оператора Штурма-Лиувилля и Дирака

9. С помощью разработанного диссертантом эффективного метода исследованы модели физических процессов, приводящие к сингулярно возмущенным начальным и краевым задачам для линейных систем ОДУ с одной и двумя подвижными особыми точками различной кратности

Это позволило создать новый алгоритм для описания структуры степенных и более сложных пограничных слоев Доказанные теоремы обобщают некоторые результаты Ломова С А Впервые построено точное решение сингулярно возмущенной задачи Коши для линейной системы с одной некратной подвижной особой точкой

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные диссертантом эффективные методы и конструктивные алгоритмы позволили решить ряд актуальных фундаментальных теоретических и прикладных задач теории математического моделирования (в теории устойчивости, в теории многоточечных краевых задач, в теории регулярных и сингулярных возмущений) и стали основой для создания программ расчета некоторых нетривиальных (в том числе и новых) неавтономных динамических математических моделей, а также для создания конкретных технических изделий, что нашло отражение в тексте диссертации и в ряде публикаций в центральных журналах

1 Доказаны нетривиальные теоремы об асимптотической приводимости (исходных моделей к более простым), связанные с изучением неавтономных динамических (в том числе и предложенных соискателем) линейных и квазилинейных систем ОДУ Получены достаточные критерии устойчивости решения указанных задач (что является обобщением известных результатов Ляпунова А М., Четаева Н.Г., Малкина И Г., Красовского Н Н и ряда других математиков и нашло практическое применение) На основе доказанных в диссертации теорем 4.1-411 созданы программы для расчета различных режимов работы уникальных гироскопических приборов

2 Для решение большого класса спектральных алгебраических задач, в частности, задачи определения собственных значений и собственных векторов регулярно возмущенного линейного оператора (в том числе и при наличии предельного оператора произвольной жордановой структуры) диссертантом разработаны эффективные алгоритмы построения соответствующих рядов по малому параметру, что обобщает классические результаты Реллиха, Като, Рида и Саймана, а также существенно упрощает решение ряда конкретных физических задач, рассмотренных в диссертации

3. С новых позиций рассмотрен класс моделей регулярных и сингулярно возмущенных многоточечных краевых (в том числе и начальных) задач для неавтономных линейных систем ОДУ. Для их решения построено интегральное представление без использования аппарата функций Грина, что позволило рассматривать и изучать начальные и краевые задачи с помощью одного нового интегрального представления.

4. Последний результат позволил создать новый алгоритм для построения квазирегулярной асимптотики решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач, когда особенности решения, отражающие структуру каждого пограничного слоя, выписываются в замкнутой аналитической форме, что является обобщением некоторых работ Лиувилля, Биркгоффа, Тамаркина и Ломова Это дало возможность создать эффективный алгоритм нахождения собственных значений и собственных функций спектральных задач для линейных

дифференциальных операторов (например, для задач Штурма-Лиувилля и Дирака), включая и многоточечный случай Известные асимптотические методы решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач неприменимы или мало эффективны

Достоверность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании качественных аналитических и численных методов, на сравнении с результатами полученными с помощью других методов Для теорем даны строгие и корректные доказательства Полученные результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах и конференциях В диссертационную работу включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту

Апробация работы. Результаты исследований, представленных в диссертации, многократно докладывались на семинаре Ломова С А (Московский энергетический институт (МЭИ)), Дубинского Ю А (МЭИ), Маргыненко Ю1. (МЭИ), на семинаре Васильевой А Б и Бугузова ВФ (Московский юсу дарственный университет (МГУ)), на семинаре Миллиошцикова В М (МГУ), Моисеева Е И (МГУ), на семинаре Жидкова Е П (РУДН), на заседании московской секции Академии нелинейных наук (руководитель академик РАН Матросов В М ), а также на Всероссийских и Международных семинарах и конференциях (Вторая Всероссийская конференция «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1990, Международное совещание «Сингулярные решения и возмущения в системах управления», Переславль-Залесский, 1993, 1995, 1997, Всероссийское Совещание «Теория и приложения методов малого параметра», Обнинск, 1996; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Самара, 1996, Международная конференция «Современные направления в компьютерной физике», Дубна, 1998, 2000, 2002, Международная конференция «Математическая физика Математическое моделирование и приближенные методы» Обнинск, 2000, Международная конференция, посвященная 80-летию Кудрявцева Л Д, Москва, 2003)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-39] , список которых приведен в конце автореферата и среди которых монография, статьи в научных журналах, груды конференций Тридцать работ из этого списка опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК России

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 203 страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, дополнения, заключения и списка литературы из 139 названий работ.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор работ, посвященный наиболее важным вопросам теории математического моделирования, а также возникающих при этом проблем теории устойчивости, теории регулярных и сингулярных возмущений, теории многоточечных краевых задач. Проведен сравнительный анализ с известными ранее публикациями и перечислены основные результаты, полученные автором

В первой главе «Общий метод исследования моделей регулярных и сингулярно возмущенных начальных и многоточечных задач» изложен метод построения единого интегрального представления решения начальных и многоточечных краевых задач для линейных систем ОДУ, а также алгоритм квазирегулярного асимптотического представления решения большого класса сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач для квазилинейных и линейных систем, в том числе для тихоновских систем с быстрыми и медленными переменными, а также для некоторых сингулярно возмущенных модельных задач с особенностями

Предложенный в диссертации алгоритм существенным образом опирается на новое простое интегральное представление решения многоточечных краевых задач (не требующее построения функции Грина) и позволяющее рассматривать начальные и краевые задачи с единой точки зрения Он описан в доказанных ниже теоремах

Теорема 1.1. (Многоточечный метод вариации произвольной постоянной) Краевая задача в R" (п > 3) [7, 9]

т

х = A(t)x + f(t), = Ойтйп),

i

(x,f б R", ДО,/(ОеС[0,1], 0 = /,< </„= 1) (11)

т

при условии det F * 0 (где F = Ф(г) - произвольная

i

фундаментальная матрица) однозначно разрешима и ее решение может быть представлено в виде.

x(í)^0(í)C + Yi0t(t)¡0-,(s)f(s)ds, (1 2)

где

С = F"

а ~ £fil>(í) }<&-' (s)f(s)ds ,

Ф» = л(1)Ф>, (к = Т^1), £Ф,(о = Ф(/)

I

Замечания. 1. Следует отметить, что при т-1 представление (12) совпадает с известным представлением Коши решения начальной задачи, а в

случае 2<т<п мы имеем интегральное представление решения различных вариантов краевых задач В частности, при т = п имеем Ф,=(Й(х)Д ,0), , Фж(*) = (0, ,0,£,(*)),

где {фу (/)}" фундаментальная система решений соответствующей однородной системы

2 Теорема 1 1 является конструктивной только при известной фундаментальной матрице Ф(7). Если же известна фундаментальная матрица для системы = В(1)ХУ и при этом разность матриц (А(0-В(0) достаточно мала по некоторой норме, тогда при условии <кп * 0

т

(^о = решение задачи (1 1) может быть сведено к решению

I

эквивалентного интегрального уравнения <

Х = ЧЧГ)С + £ЧЛ(Г)|Ч' '(^КЖО-Ж^х + А*)!*^, (1 3)

где С = А*)}* г

I 'I ]

Если в уравнении (1 3) оператор Ь, переводящий С[0,1] в себя, является сжимающим, что имеет место при достаточной малости нормы ¡|^(/)-В(/)|, тогда интегральное уравнение (1 3) и эквивалентная ему краевая задача (1 1) будут однозначно разрешимы

Покажем, что даже в случае самой простой двухточечной краевой задачи У + У = /{0, Д<0) = ог,, у{1) = а2 (14)

новое интегральное представление (1.2) в некотором смысле предпочтительнее известного

Я')= /<?(*, о А ^ +

о I

(ф|(0 = соз/, ф2(/) = вт/, / = 1)

sin(/-l)s.n* (0áJtS/)>

sinl sin/ sin(x-l)

(t <X<1),

sin 1

- функция Грина (алгоритм ее построения заметно усложняется при

исследовании многоточечных (п > 3) краевых задач), {<р} (01^

фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

Действительно, после несложных преобразований и без построения функций Грина, с учетом теоремы 1 1, получаем отличное от известного интегральное представление решения соответствующей векторной задачи / i z = Ф(ОС + ф,(/)|ф-'(л)Й(л)йЬ +ф2(/),

О I

, ч ( cosí (о sin Л ч Д, , ч

Фх (0 = л h Фг (0 = п Л <Р(0 = Z

^-sin/ О J ^0 cosí) i

z = (y,y), й(0 = (0,/(0)', а = (а1,а2У,

причем неравенство detF = sm?*0 Ф ктг) гарантирует однозначную разрешимость задачи (1.4)

В последнее время большой интерес вызвал класс моделей представленных так называемыми сингулярно возмущенными начальными и краевыми задачами, особенности решения которых характеризуются наличием пограничных слоев в начальных и краевых точках Для задач указанного типа диссертантом разработан конструктивный алгоритм построения квазирегулярной асимптотики их решения, когда особенности решения, отражающие структуру пограничных слоев, выписываются в замкнутой аналитической форме, а остальные компоненты решения зависят от малого параметра регулярным образом, что является обобщением результатов Лиувилля, Шлезингера, Биркгофа, Тамаркина, Ломова Новый алгоритм решения сингулярно возмущенных задач с различными особенностями изложен ниже в теоремах 1.2- 1 5 [3, 7, 9] Теорема 1.2. Сингулярно возмущенная многоточечная краевая задача в R" •

п

sx-A(t)x + f(t), = (15)

i

(ДО,ДО 6 с[0,1]; 0 = í, <U <...</„ = 1),

где матрица A(i) характеризуется простым ненулевым стабильным спектром

{V')};\ удовлетворяющим условиям-

ЯоДО^ЯоДО. МфО y,* = We[0,1])

Re¿o,(0 * 0, Re Д0„(0 > 0, te [0,1], ° 6)

Re^(0á 0, t е[£,1], 0 = 2,и-1),

ЯеДоДО^О, / е [0,/,], О =2,/7-1), t

Re J\ (s)ds <0, te [0,1] U (j = Ü),

имеет в случае det7V0 (17)

(Т = (Ги, ,Т„„),Т) = /*}5о(//) = (Ти> ,Т„М] = 1,п), ^(ОЖОЗД = Ло(0 = ¿щ{А<п(0, ,Яо»(/)),

единственное и равномерно ограниченное на отрезке [0,1] при £-->+0 решение, представимое в квазирегулярной форме

х{1,£) = 5. (/)(£ + +

1

+ 1>СЬ< + 0(^+'), где

о

Ф,0,£) = Аля {е"«'", *"•<">}; /

^Дг.е) = с"' (1.9)

/

о

Функции //<(/), ЛД/) и однозначно определяются с помощью описанного в диссертации при доказательстве теоремы простого конструктивного алгоритма, а постоянный вектор С - краевыми условиями с ученом неравенства (1 7)

Замечания. 1 Известные методы (например, метод погранфункций Васильевой А.Б ) для анализа модели указанной сингулярно возмущенной многоточечной краевой задачи неприменимы или мало эффективны.

2 Аналогичный результат получается в результате исследования более сложных классов сингулярно возмущенных краевых задач с быстрыми и медленными переменными [28]-

Ьх = Ап (с)х + Ап(0у + /, (0, (х,/,еГ;п> 3)

1 у = А21(ф + А21(Оу + /2{{); (*,/2еД"), (110)

У(0,е) = /.¿/ус(г,,*) = х°,(0 = < <*„ = !)

I

3 При изучении моделей сингулярно возмущенных задач на полуоси (теорема 1.5) структура погранслоя заметно усложняется и возникают дополнительные сингулярности, определяемые неограниченностью некоторых интегралов при г->+со [16]

4 Предложенным методом были исследованы некоторые классы сингулярно возмущенных линейных задач с нестабильным и с неограниченным спектром предельного оператора [20,25]

Таким образом в первой главе изучен большой класс сингулярно возмущенных краевых задач, особенности решения которых отражают наличие экспоненциальных пограничных слоев, и разработан алгоритм построения квазирегулярной асимптотики.

Во второй главе «Анализ регулярных и сингулярно возмущенных моделей, представленных многоточечными краевыми задачами со слабой и сильной нелинейностью» приведены доказательства теорем об однозначной разрешимости регулярных и сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач для нелинейных систем ОДУ и предложен итерационный алгоритм построения асимптотики, справедливый как при отсутствии, так и при наличии тождественных и нетождественных резонансов.

При изучении нелинейных краевых задач в /?" (и > 2)

* = С(х,/); = а (х,СеГ)

■ (2 1) (0 = 7, <.. </„ = 1, ( е [0,1])

представляет интерес вопрос о существовании их решения в окрестности какого-либо изолированного решения * = ?7(0 (г; = О(г;(0,0), что позволяет (после соответствующей замены х = у + т}(0) перейти к рассмотрению квазилинейной краевой задачи

У = А(1)у + /(у^У,^^у(^)=/3; (2 2)

I

(А(0 = СУ(7(1)Д) и /(у, 0 достаточно гладкие при /е[0,1], < к0 функции) и

п

записать (при выполнении условия ¿й ^ * 0; Р = где ф(')~

I

произвольная фундаментальная матрица соответствующей однородной системы) с учетом теоремы 1.1 эквивалентное интегральное уравнение

у = <Р(* [^-¿^¿Ф, С,) К' Ш(У, *)*] + 1 1

(2 3)

+(о К1 шм* - ¿оо

Теорема 2.1. Пусть для интегрального уравнения (2 3)

• Имеет место оценка. ||lOO|| ¡s С0 + С, ||/0,/)||, (i g[0,11,|I>J< А),

• Существует число R > 0 и непрерывная монотонно возрастающая на [О,/?] функция <р(г)> 0, такая что для функции /(>>,/) имеет место

неравенство: ||/(у, /)|| ^ ф(|у||), (t е [0,1 ] ||у|| < к0 ),

• Уравнение CQ+Ct<p(r) = r имеет хотя бы одно решение r0 е (О, R) и при О <г<г0 не имеет решения,

• Для любых у! и у2, принадлежащих шару Sr< <г0 < к для функций /(у, 0 справедлива оценка

¡Яу.^-Ду^фмЦу.-у^ (t е [0,1], j}_v!j < <к0,) причем С,М < 1 Тогда интефальное уравнение (2 3) и эквивалентная ему краевая задача (2 1 ) однозначно разрешимы в шаре

Здесь и ниже используются эвклидовы нормы для матриц и векторов и комбинированные нормы для векторных функций

Рассмотрим сингулярно возмущенную квазилинейную многоточечную краевую задачу

cy^AMy + ^fiyS), ^F^it^c)^ ¡3, (/и > 0) ; (2 4)

I

где A(t) и f(t, у) достаточно гладкие при /е[0,1], ||>| < kt функции, а спектр {Х0|(0)Г матрицы A(t) удовлетворяет неравенствам (1 6), и эквивалентное ей (с учетом (1 7)) интегральное уравнение-

Z - Ф(Г, £)С + £ Фк {t,E) )ф(5Г, *)( В(4 )Г +

1 " (2 5)

+ em~xh(z,s))ds = L(z) (у = S0(t)z, B(t) = -S-Q\t)S0{t),Kzj) = %\t)f{S0(t)z,t)) 0,{t,£) = dmg{e"\O, 0}, ,0„(t,£) = dtag{0, 0,ep"},

fifre) = s~l }я0у(5)Л, (j = йг), 0(t,s) = ¿ФД/.s) t i Для задач (2 4) в диссертации доказана теорема 2 2 аналог теоремы 2 1.

Асимптотическое представление решения сингулярно возмущенной квазилинейной задачи (2 4) может быть найдено с помощью итерационного алгоритма, удобного для численной реализации

Теорема 2.3. При выполнении условий теоремы 2 2 решение задачи (2 4)

т

со слабой нелинейностью (т = 1) в случае /(х,0 - может быть

о

ч

представлено в виде х(/,г:) = + где функции х{ч) =2^х1((,с)е>

а

удовлетворяют сингулярно возмущенным линейным краевым задачам

п

£Х(0) = А(1)х(0), £хю = ]£гух10)(г,,с) = а

ех(Ч) - +*/(*(,-!).0; ¿*„> =«; (я = о,ло

В третьей главе «Модели, представленные начальными и краевыми задачами с подвижной особой точкой» изучены типы регулярных (е - 0) и сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для линейных систем с одной и двумя подвижными особыми точками различной кратности (/ + гг)и' (1 - / + е)т3 х = А(0х + /(/)

(и, = 0,1,2; } = 1,2; щ + т2 > 1, г е [0,1]) (3 1}

В отличие от известных результатов Ломова С.А. предложенный в третьей главе метод позволяет выделить сингулярности решения исследуемых задач (при 0< е« 1), отражающих структуру степенных и более сложных пограничных слоев, в замкнутой аналитической форме, с учетом некоторых результатов для линейных систем ОДУ при наличии простых и кратных особенностей.

Это дает возможность сформулировать ряд теорем 3 1-3.6, позволяющих построить асимптотическое представление сингулярно возмущенных задач для систем вида (3 1)

Теорема 3.4. Точное решение задачи Коти

0 + ф = А(()х; х(0,е) = а; (г е [0,1]),

со

где ряд = сходится при |/| <1 + 2£(£> 0), а спектр {яп/}" матрицы А0

о

удовлетворяет условиям

о> *0,±1,±2, , О

может быть при достаточно малых с > 0 представлено в виде: х = 5(г:)Р(Г + е,г>)(1 +1 /Р-1 (£, (Е)а, где

Л0(£) = = Лш8{Лт{е\ Д0л(Ю},

+ £) , а матрицы 1\ (е), и Л „(/О однозначно

о

определяются с помощью простого алгоритма, описанного в диссертации

Замечания. 1 Особенности решения сингулярно возмущенной начальной задачи с одной подвижной особой точкой отражает наличие степенного погранслоя в окрестности точки / = 0.

2 Аналогичный результат (теорема 3 5), приведенный в диссертации, получен и для краевой задачи- (/ + е)х = Л(/)дс, Р,х(0,е) + Г2х(\,а)= а

3 Изучена также система с двумя подвижными точками (теорема 3.7) (Г + е)(1-1 + с)х = А(1)х, (/ е [0,1])

4. Исследованы и другие сингулярно возмущенные начальные и краевые задачи с особенностями разных типов [17].

Четвертая глава «Критерии устойчивости решения некоторых классов моделей неавтономных квазилинейных систем» посвящена исследованию устойчивости систем регулярно возмущенных дифференциальных уравнений с периодической матрицей

( "

х= х + /(х,0, х(0,с) = х°, (4 1)

V о )

аналогичных сингулярно возмущенных систем ( 00 \

£Х =

V О

х + £[(Х4), х(0„е) = х° (4 2)

и систем с полиномиально периодическои матрицей

Н'ТЛС)'* * + /(*,'). х«о) = х°, (43)

( /14(0-достаточно гладкие при />/„>1 Т-периодические (ихи)матрицы, А*,')-достаточно гладкая при < /?, / ^ /0 вектор-функция, /(0,/) = 0), которые описывают большой класс реальных физических процессов

Теорема 4.1 (Асимптотический аналог 1еоремы Флоке-Ляпунова).

Система (4 1) в случае, когда матрица А0 постоянна и её спектр Мо,}" удовлетворяет неравенствам

- Ао1 * ¡2щТ-1 О* к; = ? = 0,±1,±2, , может быть с помощью невырожденной при достаточно малых |б-|«1 Т-периодической замены л: = 5({,е)г преобразована к эквивалентной системе с почти постоянной диагональной матрицей-

2 = + = (4.4)

где матрица Q(t,s) = А(е) +cNtlG(t,£) является почти постоянной и

N _

диагональной, А(е) = ^Аке1', ||G(f,é:)j| = 0(l)> а матрицы (k = 0,N)

о

постоянны и диагональны

Теорема 4.2. Пусть в условиях теоремы 4 1 спектр матрицы А(е)

лежи г в левой полуплоскости

Re/L/гг) < -£ч<т0 <0, (0<q<N,j= T^N, cr0 > 0) и для достаточно гладкой функции /О,/) справедлива оценка ||/(*,/)|<С|*|иа; (а, С > 0, Г> 0).

Тогда тривиальное решение задачи (4 4) и эквивалентной задачи (4 1) асимптотически устойчиво

Рассмотрим класс моделей сингулярно возмущенных систем вида (4 2) в случае, если спектр К/О}" матрицы Л0(0 удовлетворяет условиям Ло,(0 ф ЛвдОХ (у ф к, j,k - 1,/ï, />0) Показана возможность приведения гаких систем с помощью невырожденного при достаточно малых ¡¿г| < 1 преобразования х = S0(t)H(t,e)z к эквивалентной системе с почти диагональной матрицей:

ez - (A(t,c) + eN+iG(t,e))z + eb(z,t,s); z(0,s) = z°, (4 5)

Л(*,*) = ХМ')«* = diag{Xl(t,s),

о

\3(t,s% = 0( 1), So(t)A0(t)S0(t) = A, (/) = diag{Xm(t),...,Aon{t)})

Для сингулярно возмущенных задач вида (4 2) доказн аналог теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению

Теорема 4.4. Пусть для спектра матрицы выполнены

условия теоремы 4 3, спектр (адс)}" матрицы A(t,s) удовлетворяет соотношениям

R eAjMZe'l-S+çW),

I

(,5>0, 0 <q<N, N>\; ¡ç(s)>ds<C, t> 0)

о

и для достаточно гладкой векторной функции f(x,t) справедлива оценка: - С\х\1+"(а,С > 0, t> (0.

Тогда при достаточно малых е > 0 тривиальное решение квазилинейной задачи (4 5) и эквивалентной ей задач и (4 2) асимптотически устойчиво.

В качестве прикладной модели рассмотрено квазилинейное уравнение колебаний электрического заряда <7 на пластинах конденсатора переменной емкости при наличии нелинейной э.д.с.

Lq + Rq + qC-\l) = q2f(t), q{0) = q\ где L = e2LQ - индуктивность, R = c2Ra- сопротивление, C(t) > 0 - переменная емкость, q2/(t)- нелинейная эдс, при этом С(/) и f(t) - достаточно гладкие Т-периодические функции Получены критерии устойчивости решения данного квазилинейного уравнения

Для нового класса задач вида (4.3) имеет место асимптотический аналог теоремы о приводимости

Теорема 4.5. Пусть матрица Ag(t) имеет простой спектр \ло/(/) j",

удовлетворяющий условиям Яоу(/) * Лик(1), (j = к, j,k = 1 ,п, t > /0 > 1)

Тогда существует невырожденная при достаточно больших t»1 полиномиально периодическая замена

ffj-П-

I

(5о'СИ(ОЗД = До (О = d,ag{^(t).....ЛЛ')}),

преобразующая систему (4 3) к эквивалентной системе с почти диагональной матрицей

г = (Л(/) +1 2G(t))z + b(z,t); z(t0) = z°; (4 6)

W+j

(A(0 = /"£a4(/V * =diag{Al(t), Д„(/)}),

0

где Т-периодические диагональные At(i) и «бездиагональные» Нkit)-матрицы однозначно определяются с помощью описанного в диссертации простого алгоритма, что позволяет записать асимптотическое представление при t —> +оо соответствующей однородной (f(x,t) зО) задачи

С помощью алгоритма, сформулированного в теореме 4.5, в диссертации построены асимптотические представления решения уравнений Бесселя t2x + tx + (t2-v2)x = 0 и Эрмита x-2tx + 2vx = 0.

Сформулируем условия устойчивости решения систем вида (4 3) Теорема 4.6. Пусть в условиях теоремы 4.5 спектр матрицы Л(г)

удовлетворяет соотношениям.

_ /

Re А, < S{t); (j = Гй); a(t) = j£(s)ife -> -оо, (i -» +оо);

А.

(где S(t) - некоторая мажорирующая функция)

Тогда тривиальное решение линейной однородной (Ь = о) системы (4 6) и эквивалентной ей однородной (/ = 0) системы (4 3) асимптотически устойчиво, при a(t)<C(t>t0)- устойчиво, а в случае КеЛу(/) > ¿>(0 a(t) -» +оо (i —> +оо) - неустойчиво

Теорема 4.7. Если в условиях теоремы 4.5 существует число q (0<<7</м), при котором спектр {/¡.¿.(f)}, матриц Л4(/) удовлетворяет соотношениям

ReA0(O*O, (p = 0,q-}, t>t0),

!

ReÀv{t) < -ô + (p{t\ (S> 0, jV(s)ifc<C, />i0),

'a

(где <p(t) - некоторая мажорирующая функция) и при этом векторная функция f(x,t) является достаточно гладкой и удовлетворяет неравенству

j|/(x,/)J S С|х| , (С, а > 0, />/„), тогда тривиальное решение

квазилинейной начальной задачи (4 6) и эквивалентной ей задачи (4.3) асимптотически устойчиво

Для анализа устойчивости решений достаточно большого класса моделей, представленных неавтономными линейными и квазилинейными системами с нормальной или «почти нормальной» матрицей был разработан эффективный «метод унитарных преобразований» [29], позволяющий (с учетом свойств нормальной матрицы) записать дифференциальное неравенство для квадрата нормы ее решения напрямую связанное со спектром матрицы неавтономной исходной системы, что заметно расширяет класс систем и конкретных задач, для которых стало возможным конструктивное исследование устойчивости их решения

Теорема 4.8. Тривиальное решение квазилинейной системы х = A(x,t)x с непрерывной (при t > 0,|*j < R ) нормальной матрицей À(x,t)

• асимптотически устойчиво, если ее спектр удовлетворяет условиям

_ /

Re A, < y{t\ (j = 1,n, |x| < R, t £ 0), a(t) = \y{s)ds -co, (< +co) ?

о

(где y(i) - некоторая мажорирующая функция),

• устойчиво привыполнении соотношения a(t)<C, (t >0,j = 1,п)

• неустойчиво в случае

Re А, (х, f) > И0, (j = hn, \x\<R, t>0), a(i)-»+<»,(?->+oo).

Доказательство. С учетом непрерывности унитарного преобразования х - U(x,t)y (U'(x, t)A(x, t)U(x, t) = A(x,t) нужный результат сразу следует из дифференциального соотношения

= Re(xA(x,t)x) = Re(y'A(x,t)y) = Re J ,

I at J=!i

(ИФИ')|, ^o)

Следствие. Тривиальное решение линейной х - A(t)x или квазилиейной системы х = A(x,t)x с непрерывной кососимметрической (или косоэрмитовой) матрицей всегда устойчиво, так как указанные матрицы являются нормальными и имеют чисто мнимый спектр

Для квазилинейных х - (A(x,t) + B(x,t))x систем с нормальными матрицами имеет место некоторый аналог принципа суперпозиции

Теорема 4.9. Тривиальное решение квазилинейной системы х = (А(х,/) + В(х, t))x с непрерывными (при t>0, < R) нормальными матрицами A(x,t) и B(x,t)

• асимпгошчески устойчиво, если их спектр и удовлетворяет условиям

R еЯА(х,П<гЛ0, KcX„{x,t)<y8( t), (j = 1^ |*|<Л;/>0),

а(0 = + 7B(s))ds +0°),

(где yA(t), TB(t) - некоторые мажорирующие функции),

• устойчиво при a(i)<C (f>0,_/=l,w) и

• неустойчиво в случае, если

Re^Oc,*) < уAif), Re АЛ|(*,г) <yn(t)-

(у=йГ,Н<Л. />0), a(t) ->+оо, (i->+oo)

Пример 1. Квазилинейная система х = (£sin/ + А(х,/))х (где A(x,t)-

кососимметрическая матрица) имеет устойчивое тривиальное решение, что

доказано в работе (Руш Н., Абест П., Лалуа М Прямой метод Ляпунова в

теории устойчивости, М, Мир, 1980, см библиографию) с помощью метода

сравнения. Этот же результат сразу следует из теоремы 4.9 с учетом того,

что кососимметрическая матрица A(x,t) имеет чисто мнимый спектр и

справедливо соотношение i

Jsinri/r < 2, (/>0)

о

Пример 2. Тривиальное решение системы (см. монографию Руша, с 156)

х = А(Ох, до = к*

а,, (/) = -b + a cos2 bt, al2(t) = -b-a sin bt cos bt, a2l(t) = -b-asmbtcosbt, a22(t)--b+a sin2 bt

Л = ,

при Ъ<а<1Ь является неустойчивым, хотя спектр Я12 = ~(а-2Ь±л[аг -462)

матрицы является постоянным и лежит в левой полуплоскости

Поведение решения данной системы становится понятным, если матрицу системы записать (введя обозначение г — Ы) в виде суммы двух нормальных матриц А(т) = А0 + В(г),

0 В(т)~ ~1 + соь2 г -Соьшгсоьг"

^-Совтгсовг -1 + С„8т2г, Кососимметрическая матрица Л„ имеет чисто мнимый спектр, а спектр матрицы В{г) равен ЯЯ|=-1, Л„ =С0-1, (С0=а/Ь).

Таким образом, тривиальное решение исходной системы при а < Ь асимптотически устойчиво, при а = Ь устойчиво, а в случае а > Ь имеем неустойчивое тривиальное решение

Для квазилинейных неавтономных однородных систем с «почти нормальной» матрицей справедливо нижеследующее утверждение

Теорема 4.10. Тривиальное решение квазилинейной системы х = (А(х,0 + В(())х с непрерывной нормальной матрицей А(х,/) и произвольной непрерывной матрицей ВО)

• асимптотически устойчиво, если спектр матрицы А(х,г) и норма ||5(г)| удовлетворяют соотношениям

/

ЯеЛ/*,/) < КО, О = й, И < Я, I > 0), а(/) = + |Я(л)||)Л -> -со (/ -> +«,)

о

(где - некоторая мажорирующая функция) и

• устойчиво при а(1)<С (у = 1,и; 7 >0)

Для квазилинейных неавтономных неоднородных систем с нормальной матрицей справедливо утверждение, являющееся обобщением известной теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению для неавтономных систем с постоянной матрицей.

Теорема 4.11. Тривиальное решение квазилинейной системы х = А(х, ¡)х + /(х, /), (/(0,0 = 0) с непрерывной нормальной матрицей А(х,/) и непрерывной функцией двух переменных /(х, /) (при 7 > 0, |*| < Я )

асимптотически устойчиво, если спектр {Лу(дс,о|' матрицы A(x,t) удовлетворяет неравенствам RcÄl(x,t)<-S (8 > 0, |х| < R, />0,7 = 1,я), а для функции f(x,t) при достаточно малых |дг| и любом />0 справедлива оценка |/(x,0| < Cjx|'+", (я,С>0)

В пятой главе "Алгоритмы исследования математических моделей в форме неавтономных дифференциальных систем при наличии регулярных и сингулярных возмущений" составлены конструктивные алгоритмы численного исследования неавтономных модельных дифференциальных уравнений, описывающих_большой класс физических процессов и технических объектов

Рассмотрим конкретные физические примеры и соответствующие математические модели (более общие формы которых были изучены в предыдущих главах) и алгоритмы их решений, необходимые и удобные для численной реализации

Пример 1. Для анализа характеристик движения бесконтактного гироскопа воспользуемся результатами теоремы 4 1 и линеаризованной системой, описывающей движение проводящего симметричного твердого тела с неподвижным центром масс [6] при достаточно малых «1 (как при отсутствии, так и при наличии резонансных соотношений)

(in (A (-pit) - К/)-) х = ( +£ )*, (5 1)

\0 ОJ { P(t) r(t) J

где (/?(i) = (l-2')f2sin2 cot + 0,5/<y(£-l)sm2fttf),

КО = p(0~i2sin2 cot-, ^ = £ =я,/я,, £- = вг,#02/L

Ни -амплитуда колебаний магнитного поля, Q -частота нутационных колебаний тела, со-частота магнитного поля, 1к -моменты инерции тела относительно его осей (А = 1,2,3), величина, определяемая

поляризуемостью тела относительно его осей, £ - безразмерный малый параметр

С помощью простого и достаточно конструктивного алгоритма (изложенного в теоремах 41 и 42 ) можно привести систему (5 1) в нерезонансном случае ( Q * 2со ) к системе с почти диагональной матрицей

.у = (А0+£А, +0{£г))у, где

А 0=|П

1 ° •

О О J* 2 21,

ЧЛ-Л) 0 > . о (-/,),

что дает возможность сделать вывод об асимптотической устойчивости данного режима при < 1}

Вблизи резонанса £2 = 2со + ер по аналогичной схеме система (5.1) приводится к виду 2 = (гС, + 0(ь~г )г, где с А + Ф 0,25(1 -х~

' ((-0,25(1 -2% + <5)а> (-*«>) что позволяет записать условие устойчивости решения поставленной задачи

(у — 0 5)2 £2 2 2

в виде неравенства - .: '—г + ~—< 1 = 4/? /со ).

(4 + £)/4(3 + с) 4 + ?

Полученные соотношения явились основой при проектировании конкретного гироскопического устройства.

Пример 2. Уравнение движения Луны описывается при некоторых допущениях уравнением Матье [24] •

;с + (£+ £-0созО* = 0. (5.2)

После преобразования уравнения (5 2) (с учетом теоремы 4 1 ) к системе с почти диагональной или постоянной матрицей, получаем возможность выделить области устойчивости решения уравнения Матье (5 2) без использования традиционного аппарата рядов Фурье и определителей Хилла бесконечного порядка

Пример 3. С помощью изложенного в теореме 4 5 численного алгоритма найдена область устойчивости системы дифференциальных уравнений

I а + (И + ()Р + ,а + кир = 0

{/? - (А + *)аг + к2ха + к22Р = 0,

описывающей малые колебания оси гироскопа (на стадии его разгона) с переменным кинетическим моментом при наличии позиционных сил (здесь аир- углы отклонения оси гироскопа, И - определяется начальным

значением кинетического момента, слагаемые к„а + кК/3 и к21а + к22Р отражают наличие позиционных сил)

Обозначив х, = а, х2= Р, хъ=а, = /9 исходную систему запишем в векторной форме х - (А01 + А, )х, где

к к ук2, А22 у

ч: !И-. ¿.и-

Полученная система с помощью невырожденного преобразования может быть приведена к почти диагональному виду

7 = (Л0* + Л,+е2Г' +0(Г2))у, где Ло=йГмя{0,0,/,-/}; Л, ^ ,

и6» ¿м-г -V4

я <П

0 д

д = (к,2-к2,) + 1(ки+к22),

что позволяет записать критерий устойчивости малых колебаний оси гироскопа исследуемой модельной системы- кик22 > кп2, к12 = к2,

Эта модель была использована для составления комплекса программ расчета различных режимов движения гироскопа.

Пример 4. Результаты, полученные в теореме 4.1, позволили исследовать с помощью эффективного алгоритма процесс колебаний двух связанных осцилляторов, описываемый с помощью системы. \х + агх = 2£у$\Ш , , .

\ l2 „ (a,b&R,ct*b; ab*0, а±6=1), (5 3)

[y + b у ~2excost '

которая после замены

= X, х2 =х, х-, = У , х4 = у , 2,2 = X, + iaxt, г34 = х4 ± /Ах,

приводится к системе четвертого порядка

z = (A0+fi4,(?))z, (z = (z,,z2,z„z4)r), где A0=diag{ic¡-¡a,ib-ib},

( 0 é-x»,^

\а N0cost О

После периодического и невырожденного при достаточно малых гг>0 преобразования она может быть приведена к системе с поч ги диагональной матрицей •

у = (£л,г' +0(£3))v, Л,=0, Л2 =rfzag{v,,v2,v3,v4},

о

J_{_!___L

2a¿ l-(a + ¿>)2 1 -(a-bf позволяющей сразу сделать вывод о неустойчивости колебаний исходной системы

-1 л

, = -1 К

V, = V2 = -v3 = -V4 =—(, , L42

Пример 5. Положение балки на трех точках опоры в некоторых случаях может быть описано с помощью сингулярно возмущенного аналога модельного уравнения Валле-Пуссена -£2а(Г)х-ех + а(/)х = О, / е [0,2] *(/,,*) = «,, у = 1,2,3, а(/) = 0,5(1-/), (5 4)

или в векторной форме-з

ьу = А(0у, ^Г^Ж'*) = « = («рОг2>«з)7.

1 (5 5)

(у = ( Х,£Х,С2Х)Т\

' 0 1 о ^ '1 0 (Г

где Ж0 = 0 0 1 . 1 = 0 0 0

га(0 i в(/)у ч0 0

'о 0 о4 Го 0 о4

^2 = 1 0 0 ; F3 = 0 0 0

0 0, л 0

Матрица A(t) имеет спектр Л, =-1, Л, = a(t), Л, =1, удовлетворяющий условиям теоремы 1 2, что дает возможность (с учетом Т - Е, det Т - 1 ф 0 ) записать приближенное решение задачи (5 5) в квазирегулярной форме

y{t,s) = (0*' mt,s)\ + 0{en*x )

о

При этом явное представление матрицы.

Ф0,е) = diag{e-"*,e <'-'>'"">е<'-*>'» j полностью отражает структуру всех пограничных экспоненциальных слоев решения задачи (5 3) в iочках =0, = 1, t} = 2

Дискретный аналог алгоритма, изложенный в теореме 1 2 позволяет эффективно исследовать большой класс спектральных задач квантовой механики для линейных дифференциальных операторов

Пример 6. Спектральные задачи для оператора Штурма-Лиувилля

-y + q(t)y = ¿y; у(0) = у(?г) = 0, или для оператора Дирака:

(5 6) (5 7)

у - p(t)x = Лх; х + r(t)y = -Лу,

(sin а)дг(0) + (cos а)у(0) = 0, [(sin Р)х{л) + (cos Р)у(л) = 0, могут быть сведены к сингулярно возмущенным двухточечным краевым задачам и далее исследованы с помощью дискретного аналога метода, описанного в теореме 1 2

Действительно, введя обозначение Л~е2 задачу (5.6) запишем в виде £Z = (A0 + £2A2(t))z; F,z(0,e) + F2z(tv,s) = 0,

Го i -i о i о о о

, МО = ч(0

0 о

1 о

(5.8)

\ 0 о4

> F2 =

' 2 J 0,

, (z - (у, гуУ )

К аналогичному виду (Х^с1) можно привести и задачу (5 7) cz = (Д, +r.A,(t))z; F,z(0,e) + F2z(z,e) = О,

А0 =

-1 о}

о

, z = (y,x)T

(5.9)

F, =

cos a sin а

О

О

- Рг =

О О

^СОЭ Р БШ ¡5 ^

Нетривиальные решения задачи (5 8) могут существовать только при выполнении условия detF(£) = 0, где /•(е) = +

7 (us) = S„( Е + Y^Hk (/)cl) ехр(е' jjr Л, (л )екЛ),

: • Ч::

, а диагональные матрицы Ак = Pt(t),(k > 1)

бездиагонапьные матрицы

(it

dl

определяются с помощью простого итерационного алгоритма, при этом собственные значения Л(п) и собственные функции <p(t,X) спектраль-ной задачи для оператора Штурма-Лиувилля (5 6) имеют асимптотическое представление

Я(п) = 1 + Щ + оГ-i- II, (а = ~ Jg(f)cft),

1

лД7—L

I

Условие существования нетривиального решения задачи (5 9) определяется равенством <1е1 Г (с) = 0, где Р(е) - Г, 7(0,/г) + Рг2(к,с);

= S0(E+ £//»(/)*') ex /¿ЛД*)^),

I

i Л Г-/ o>

о о

■I I

> Ло =

о

а диагональные матрицы Л,(0 = Рд(0, (А & 1) и бездиагональные матрицы Нь (0 = - — Л0' Ра (г),

определяются с помощью простого итерационного алгоритма, что позволяет записать асимптотику собственных значений Л(п) и собственных векторных функций cp(t, Л) спектральной задачи для оператора Дирака (5 7)

Таким образом, с помощью итерационного, по существу алгебраического алгоритма получены (в отличие от ранее известного, смогри, например, работы Левитана Б М ) асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций спектральных задач квантовой механики для операторов Штурма-Лиувилля и Дирака

Следует отметить, что предложенный алгоритм может быть использован для асимптотического анализа и более сложных (в том числе и многоточечных п > 3) спектральных задач для линейных дифференциальных операторов

Кроме того, в диссертации (смотри дополнение) с помощью разработанного диссертантом конструктивного метода изучены некоторые модельные задачи теории регулярных возмущений и теории ветвления, для решения которых различные варианты изложенного в диссертации метода оказались весьма эффективными и позволили получить ряд новых результатов

В диссертации получены следующие результаты:

1. Разработан эффективный метод и конструктивные алгоритмы исследования ряда математических моделей, связанных с нахождением асимптотики спектра и собственных векторов линейного возмущенного оператора (для случая предельного оператора произвольной жордановой структуры), что дополняет отмеченные выше известные результаты Реллиха, Като, Рида и Саймона и нашло практическое применение.

о

Заключение

2 Сформулированы и доказаны (теоремы 4.1- 4 4) асимптотические аналоги теорем о приводимости (исходной модели к более простой) и аналог теоремы Флоке-Ляпунова о приводимости системы с периодической матрицей для неавтономных слабо возмущенных линейных и квазилинейных неоднородных систем ОДУ, что позволило сформулировать критерии устойчивости

3 Доказанные теоремы 4 1- 4 4 позволили изучить нетривиальную динамическую неавтономную модель, описывающую стационарное движение бесконтактного гироскопа в переменном магнитном поле и найти ранее неизвестную область устойчивости вблизи резонанса Построенная модель и ее численный анализ были использованы при создании конкретного технического устройства

4 На основе анализа движения гироскопа на стадии его разгона диссертантом была исследована новая математическая модель гироскопа в виде неавтономной линейной системы ОДУ с полиномиально периодической матрицей (представимой в виде степенных рядов с периодическими матричными коэффициентами), для которых доказаны соответствующие варианты теорем о приводимости к системе с почти диагональной матрицей (теоремы 4 5-47) Качественный и прибли-женный асимптотический анализ данной модели позволил установить область устойчивости указанного режима движения гироскопа Предложенная модель нашла практическое применение.

5 Изучен класс математических моделей, представленных в виде квазилинейных и линейных неавтономных систем ОДУ с нормальной или «почти нормальной» матрицей, для которых с помощью разработанного диссертантом конструктивного метода унитарных преобразований доказаны аналоги (теоремы 4 8-4 И ) известных георем об устойчивости решения для систем с постоянной матрицей Это позволило записать простые критерии устойчивости для указанного класса неавтономных квазилинейных систем

6 Построено специальное интегральное представление решения для большого класса математических моделей, приводящих к изучению многоточечных краевых (и как частного случая, начальных) задач для линейных и квазилинейных (здесь мы имеем соответствующее интегральное уравнение) систем ОДУ без использования аппарата функций Грина, построение которых достаточно сложно, особенно для многоточечных задач Это дало возможность рассматривать и изучать начальные и краевые задачи с единой точки зрения (теорема 1.1) Полученное представление позволило разработать новый вариант доказательства нетривиальных теорем 2.1-22 об однозначной разрешимости регулярных и сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач для квазилинейных и нелинейных систем ОДУ

7. Предложен эффективный метод построения квазирегулярной асимптотики для исследования математических моделей, представимых в виде сингулярно возмущенных начальных и краевых задач (теоремы 1 2 -1 4) При этом особенности решения, отражающие структуру каждого пограничного слоя, выписываются в замкнутой аналитической форме, а остальные компоненты решения зависят от малого параметра регулярным образом Для анализа сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач указанного класса другие методы неприменимы или мало эффективны Созданный диссертантом метод является обобщением идей Лиувилля, Биркюфа, Тамаркина, Ломова, внесших заметный вклад в теорию сингулярных возмущений. Разработан вычислительный конструктивный алгоритм для построения указанной асимптотики

8 С помощью дискретного аналога одного из алгоритмов, изложенного в первой главе диссертации (теорема 1 2), разработан эффективный метод и простой алгоритм построения асимптотики собственных значений и собственных функций для некоторых классов спектральных задач для линейных дифференциальных операторов (например, для известных в квантовой механике задач Штурма-Лиувилля и Дирака), включая и многоточечный случай, что обобщает известные ранее результаты Левитана Б М. и ряда других авторов

9 Для анализа математических моделей, возникающих при исследовании сингулярно возмущенных задач на полуоси диссертантом разработан метод и вычислительный алгоритм построения асимптотики решения. При этом доказано (теорема 1 5), что особенности решения в этом случае определяются не только спектром предельного оператора, но и неограниченностью некоторых интегралов при г -» °о, что дополняет или уточняет известные ранее результаты Федорюка М.В

10. Исследованы математические модели, приводящие к изучению сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для линейных систем ОДУ с одной и двумя подвижными особыми точками различной кратности и разработан (отличный от метода Ломова С.А ) конструктивный алгоритм для описания степенных пограничных слоев и пограничных слоев более сложной структуры Составленные программы для численных расчетов позволили построить точное решение сингулярно возмущенной задачи Коши для линейной системы с одной некратной подвижной особой точкой (теоремы 3 2-3 6)

то

Основные публикации

I Коняев Ю.А Асимптотическое представление периодических решений некоторых эллиптических уравнений порядка 2т в процессе т->°о. //Дифференциальные уравнения, 1978, №10, т 14, с 1900-1902

2. Коняев Ю А. О существовании периодических решений некоторых систем ОДУ с малым параметром при производной //ДАН СССР, 1982, т.264, № 1, с. 40-44

3 Коняев Ю А Общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для систем линейных ОДУ // Дифференциальные уравнения, 1984, т 20, №11, с 1999-2003

4 Коняев Ю А. Последовательный анализ периодических систем с малым параметром при производной при наличии чисго мнимых (в том числе и тождественно кратных) точек спектра предельного оператора //Дифференциальные уравнения, 1985, г 21, №6, с 1085-1089

5. Коняев Ю А О новом подходе к исследованию линейных сингулярно возмущенных задач при наличии тождественно кратных и мнимых точек спектра // Дифференциальные уравнения, 1985, т 21, №10, с 1811-1814

6 Коняев Ю А, Мартыненко Ю Г Об устойчивости стационарных вращений симметричного твердого тела в переменном магнитном поле //ПММ, 1987, т.51, вып 3, с 375-381.

7 Коняев Ю А Об одном методе исследования многоточечных краевых задач // СМЖ, 1992, т.ЗЗ, №6, с 87-93

8 Коняев Ю А Исследование некоторых классов регулярных и сингулярно возмущенных краевых задач // Математические заметки, 1992, т51, вып 2, с. 149-151

9 Коняев Ю.А Конструктивные методы исследования многоточечных краевых задач // Изв.ВУЗ Математика, 1992, №2, с 57-61

10. Коняев ЮА Об одном методе исследования некоторых задач теории возмущений // Математический сборник, 1993, т 184, №12, с.133-144

II Коняев Ю А. Сингулярно возмущенные краевые задачи при наличии нулевых точек спектра предельного оператора // СМЖ, 1994, т35, №1, с 118-123.

12. Коняев ЮА Контрастные решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач с особенностями // Математические заметки,

1994, т.56, вып.4, с 96-102

13. Коняев ЮА. Сингулярно возмущенные нелинейные краевые задачи при наличии тождественных и нетождественных резонансов. // Вестник МЭИ,

1995, №6, с 73-78

14. Коняев Ю А Начальные и краевые задачи с особенностями //Дифференциальные уравнения, 1996, т 32, №3, с 419-421

15. Коняев ЮА Асимптотика решений дифференциальных уравнений с полиномиально периодическими коэффициентами // Вестник МЭИ, 1996, №6, с 79-88.

16 Коняев Ю.А, Федоров Ю.С Асимптотический анализ некоторых классов сингулярно возмущенных задач ма полуоси // Математические заметки, 1997 т 62, вып. 1, с 111-117.

17 Коняев Ю А. Сишулярно возмущенные задачи с двойной особенностью. // Математические заметки 1997, т.62, вып.4, с 494-501

18 Коняев ЮА, Мартыненко ЮГ. Исследование устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений квазиполиномиального типа //Дифференциальные уравнения, 1998, т34, №10, с 1427-1429

19 Коняев ЮА Итерационный метод анализа нелинейных сингулярно возмущенных начальных и краевых задач. //Изв ВУЗ Математика, 1999. №3, с 38-45.

20 Коняев ЮА Структура решений сишулярно возмущенных начально-краевых задач с неограниченным спектром предельного оператора //Математические заметки, 1999, т 65, вып 6, с 831-835

21 Коняев Ю А. Об однозначной разрешимости некоторых классов нелинейных регулярных и сингулярно возмущенных краевых задач //Дифференциальные уравнения, 1999, т 35, №8, с 1028-1035

22. Коняев Ю А Спектральный метод исследования устойчивости некоторых классов неавтономных дифференциальных уравнений //Изв ВУЗ Математика, 2000, №5, с 51-61.

23 Коняев Ю.А. Метод расщепления в теории регулярных и сингулярных возмущений. //Изв ВУЗ Математика, 2000, №6, с 10-15

24 Коняев Ю А. О некоторых методах исследования устойчивости //Математический сборник, 2001, т 192, №3, с 65-82

25 Коняев Ю А. Об одном классе сингулярно возмущенных краевых задач с нестабильным спектром предельного оператора //Дифференциальные уравнения, 2001, т 37, №4, с.558-561

26. Коняев Ю.А Анализ сингулярно возмущенных задач методом расщепления // Математическое моделирование, 2001, №12, с 55-57

27. Дмитриев М Г, Коняев Ю А Асимптотика типа Биркгофа некоторых сингулярно возмущенных задач теории управления //Математическое моделирование, 2002, №3, с 27-29

28 Коняев Ю А Алгоритм построения квазирегулярного асимптотического представления решения сингулярно возмущенных линейных многоточечных краевых задач с быстрыми и медленными переменными. //Из ВУЗ Математика, 2002, №7, с. 14-21

29. Коняев Ю.А. Метод унитарных преобразований в теории устойчивости //Известия ВУЗ Математика 2002, №2, с 41-45

30 Коняев Ю А Новый алгоритм асимптотического анализа математических моделей с внутренними и краевыми погранслоями Тезисы докладов на 5-м Международном конгрессе по Математическому моделированию, Дубна, 2002, с 61

31 Коняев Ю А. Исследование модельных уравнений со степенным погранслоем (там же) с 62

32 Коняев Ю.А Асимптотическое представление решения уравнения Шредингера для релятивистского и нерелятивистского водородо-подобного атома (там же) с 63

33 Коняев Ю А , Мартынепко Ю Г , Панфилов Н Г Асимптотический аналог теорем о приводимисти некоторых классов неавтономных линейных систем //Дифференциальные уравнения, 2004, т 40 , №3, с 330-333

34 Коняев Ю А. Асимптотическое разложение определителя возмущенной матрицы //Математические заметки, 2004, вып I, июль, с 149-151

35 Коняев Ю А Асимптотические и аналитические методы решения некоторых классов прикладных модельных задач (монография) Москва, Изд-во РУДН, 2005, 160 с

36 Коняев Ю А , Ю Г , Панфилов Н Г Асимптотический анализ линейных периодических систем при наличии большого или малого параметра //Из ВУЗ Математика, 2005, №7, с 25-29

37. Коняев Ю А. Квазирегулярная асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши для линейных систем дифференциаольных матричных уравнений II Из ВУЗ Математика, 2005, №4, с 45-48

38 Коняев Ю А Построение точного решения некоторых сингулярно возмущенных задач для линейных ОДУ со степенным погранслоем //Математические заметки, 2006, т 79, вып 6, июнь, с. 950-954

39 Коняев Ю А Достаточные условия устойчивости решения некоторых классов ОДУ в критических случаях // Дифференциальные уравнения, 1990, т 26, №4, с.706-713

Отпечатано в ООО «Оргсервис—2000» Подписано в печать 12 02.07 Объем 2,06 п л Формат 60x90/16 Тираж 100 экз Заказ №06/03—4т 115419, Москва, Орджоникидзе, 3

Введение.

1. Общий метод исследования моделей регулярных и сингулярно возмущенных начальных и многоточечных задач.

1.1. Единое интегральное представление решения регулярных начальных и многоточечных задач

1.2. Построение квазирегулярной асимптотики решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач для линейных систем ОДУ.

1.3. О существовании «контрастных» решений линейных сингулярно возмущенных задач

1.4. Асимптотический анализ некоторых сингулярно возмущенных задач на полуоси.

2. Анализ регулярных и сингулярно возмущенных моделей, представленных многоточечными краевыми задачами со слабой и сильной нелинейностью.

2.1. Об однозначной разрешимости некоторых классов нелинейных многоточечных краевых задач

2.2. Условия существования единственного и равномерно ограниченного на отрезке [ОД] при £ —> +0 решении сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач со слабой и сильной нелинейностью.

2.3. Итерационный метод построения асимптотического разложения решения сингулярно возмущенной краевой задачи со слабой нелинейностью

3. Модели, представленные начальными и краевыми задачами с подвижной особой точкой

3.1. Системы линейных ОДУ с аналитическими коэффициентами при наличии простых и кратных особенностей

3.2. Изучение сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для систем дифференциальных уравнений с одной и двумя подвижными точками

3.3. Сингулярно возмущенные начальные и краевые задачи с особенностями разных типов.

4. Критерий устойчивости решения некоторых классов моделей неавтономных квазилинейных систем

4.1. Регулярно возмущенные системы с периодическими коэффициентами.

4.2. Исследование сингулярно возмущенных систем с периодическими коэффициентами.

4.3. Анализ модельных дифференциальных уравнений с полиномиально периодическими коэффициентами.

4.4. Система ОДУ с нормальной матрицей.

5. Алгоритмы исследования математических моделей в форме неавтономных дифференциальных систем при наличии регулярных и сингулярны возмущений.

5.1. Модельные задачи при наличии регулярных возмущений.

5.2. Исследование устойчивости модельных систем с полиномиально периодическими коэффициентами

5.3. Различные варианты решения физических задач при наличии сингулярных возмущений

6. Дополнение. Некоторые вопросы теории регулярных возмущений.

6.1. Решение спектральных задач в конечномерном случае

6.2. Альтернатива методу диаграмм Ньютона в задачах теории ветвления

Настоящая работа посвящена развитию известных и разработке новых качественных и приближенных аналитических (в том числе и асимптотических) методов и конструктивных алгоритмов, необходимых для проведения вычислительных экспериментов при исследовании различных математических моделей (при наличии регулярных и сингулярных возмущений) на предварительном и завершающем этапах математического моделирования, а также созданию новых математических моделей для некоторых классов прикладных задач.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Приближенные аналитические и асимптотические методы исследования математических моделей (в частности, в виде соответствующих дифференциальных уравнений) в настоящее время, когда точные методы анализа почти исчерпаны, стали неотъемлемой частью теории математического моделирования, позволяя выписывать приближенные решения достаточно сложных возмущенных задач, если известно решение соответствующей (обычно более простой) невозмущенной задачи. При исследовании устойчивости неавтономных динамических систем (несмотря на достаточно большое количество работ) ощущается определенный дефицит достаточно конструктивных критериев устойчивости. Здесь наиболее известны работы Ляпунова A.M., Четаева Н.Г., Малкина И.Г., Красовского H.H., Меркина Д.Р. и ряда других авторов.

Вместе с тем исследование большого класса физических и технических задач сводится к анализу квазилинейных (или линейных) неавтономных модельных систем вида x = A(t)x + f(x,t) (x,feR").

Здесь можно отметить систему уравнений движения бесконтактного гироскопа в переменном магнитном поле, которая после упрощения и линеаризации имеет вид: х = (А0+ sAx(t))x;(0 < s < 1) ; систему уравнений движения гироскопа на стадии его разгона + (h + t)ß + kua + kl2ß = 0 ß - {h + t)à + k2]a + k22ß = О, где Ct и ß- углы отклонения оси гироскопа); систему уравнений колебаний двух связанных осцилляторов: х + а2х = 2sys'mt ,2 (a,beR; a*b; ah*0; \a±b\ = \). y + b2y = l£XQOSt, 'II'

Известное модельное уравнение Матье x+(ö+e0 cos t)x = 0, описывающее при некоторых допущениях движение Луны, также может быть сведено к указанной линейной системе.

Более подробный анализ указанных систем приведен в тексте работы. Отметим далее, что даже для анализа линейной однородной системы с постоянной возмущенной матрицей

00 x = A(s)x\ (А(е) = ^Алек;0<е <£0 <1) о в случае, если известны характеристики невозмущенного s - 0 решения, определяемого спектром |яоу}" матрицы А0 ), нет достаточно эффективного алгоритма анализа ее возмущенного решения. Это связано с тем, что методы теории регулярных возмущений (смотри, например, монографии Реллиха, Като [27], Рида и Саймона [76]) еще весьма громоздки и неудобны для анализа и численной реализации. Например, в известной работе Рида и Саймона [76, с.44] указывается на большую сложность вычисления собственных значений Я(е) возмущенного оператора Л(е) из-за контурных интегралов и деления двух степеных рядов», а в монографии Като [27, с. 120] отмечается, что «вполне определенных формул, выражающих собственные векторы S (s) оператора А(е), как функции £ нет.».

При анализе устойчивости неавтономных линейных систем появляются трудности иного характера. Известно, что структура спектра {¿j(t)}" матрицы A(t) не определяет поведение решения однородной системы х = A(t)x и это весьма затрудняет исследование подобных систем.

Отметим также, что известная теорема Флоке-Ляпунова [78, 108], гарантирующая возможность преобразования линейной однородной системы с периодической матрицей х = A(t)x с помощью невырожденной периодической замены x = P{t)y к эквивалентной системе с постоянной матрицей у = Су не способствует анализу исходной системы, так как алгоритм построения такой замены до сих пор неизвестен.

Другие вопросы приходится решать при исследовании регулярных (р=0) и особенно возмущенных (р> 1) для многоточечных краевых задач неавтономных систем вида:

Gpx = A(i,£)x + f(t); x,f g R" (n> 3) m

FjX(tj,s) = a; (1 < m < n); (0 < s < s0 < 1) j=i oo

A(t,£) = YM0ek; 0 = /, <t2 <---<tm =1), 0

Fj - постоянная квадратная матрица. Следует отметить, что традиционное интегральное представление решения многоточечной краевой задачи для регулярной (р = 0) системы: m

Fjxit^œ, (xtfeR") j=i с помощью известного аппарата функций Грина весьма громоздко и мало пригодно для численной реализации, так как при построении функции Грина в многоточечном случае («> 3) возникают принципиальные трудности.

Термин сингулярность здесь означает, что решение предельной (£ = 0) задачи в общем случае не удовлетворяет краевым условиям, что приводит к появлению (при наличии малых сингулярных возмущений (/?>1)) особенностей решения, отражающих существование так называемых «пограничных слоев» в окрестностях точек, где заданы краевые условия.

Отметим некоторые основные результаты теории сингулярных возмущений, которая берет начало с работ Лиувилля (1837), построившего асимптотику фундаментальных решений для уравнения: е2/+(r(t) + e2q(t))y = 0, (r(t)>0) ввиде: I

Pi {U е) = (Фо! (0 + еф,, (0+.)sin(e о t

Ф2 (t, е) = (ф02 (/)+8ф12 (0+.) cos(e о

Шлезингер (1907) и Биркгоф (1908) решили аналогичную задачу для дифференциального уравнения n-го порядка. Дальнейшее развитие теория сингулярных возмущений нашла в работах Стеклова В.А., его ученика Тамаркина Я.Д. (1917), Вазова В. (1944), Коддингтона с Левинсоном (1952).

Заметный вклад в развитие теории сингулярных возмущений внесли работы современных математиков Ломова С.А. (1963), Фещенко С.Ф., Шкиля Н.И., Николенко Л.Д. (1966), Федорюка М.Ф. (1969), Сафонова В.Ф. (1975), Жуковой Г.С. (1978) и ряда других авторов.

В теории сингулярных возмущений получил также широкую известность метод пограничных функций, весьма эффективный при анализе нелинейных задач, в основе которого лежат работы Тихонова А.Н. (1948), Васильевой А.Б. (1951-1960), Бутузова В.Ф. (1966), Нефедова H.H.

Решению перечисленных проблем и разработке качественных и приближенных аналитических методов исследования неавтономных математических моделей динамических систем, в том числе и при наличии регулярных и сингулярных возмущений, посвящена диссертация.

Цель работы. Целью работы является развитие известных и разработка новых конструктивных качественных приближенных аналитических и асимптотических методов и эффективных алгоритмов исследования различных математических моделей при наличии регулярных и сингулярных возмущений на предварительном этапе математического моделирования, в частности, для построения квазирегулярной асимптотики решения большого класса малоизученных сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач (когда особенности решения, отражающие структуру внутренних и краевых пограничных слоев, выписываются в замкнутой аналитической форме) для линейных и квазилинейных систем ОДУ, а также созданию достаточных конструктивных критериев устойчивости решения некоторых классов неавтономных линейных и квазилинейных модельных систем ОДУ, в частности, для построенных диссертантом модельных систем с полиномиально периодической, нормальной или «почти нормальной» матрицей.

Основные результаты работы.

1. Разработан эффективный метод и конструктивный алгоритм для нахождения собственных значений и собственных векторов линейного возмущенного оператора при наличии предельного оператора произвольной жордановой структуры [55]. Следует отметить, что существующие методы и алгоритмы решения указанных спектральных задач (как отмечалось в ранее опубликованных монографиях Реллиха

1946), Като (1972) [27], Рида и Саймона (1982) [76]) еще достаточно громоздки и молопригодны для численной реализации. Продвинуться вперед в данном направлении помог предложенный диссертантом метод и построенный на его основе алгоритм, позволившие, в частности, достаточно просто и конструктивно решать большой класс задач в теории регулярных возмущений (и теории ветвления), возникающих при изучении ряда конкретных задач в теории гироскопов.

2. В теории устойчивости известен ряд классических теорем (например, в работах Ляпунова A.M., Четаева Н.Г., Малкина И.Г., Красовского H.H. и ряда других авторов) о приводимости, позволяющей с помощью невырожденной замены переходить к исследованию более простых эквивалентных систем ОДУ. Отметим, в частности, теорему Флоке-Ляпунова о возможности перехода от линейной системы с периодической матрицей к системе с постоянной матрицей с помощью невырожденной периодической замены, однако алгоритм ее построения до сих пор неизвестен. В диссертации сформулированы и доказаны асимптотические и конструктивные аналоги (или обобщения) теорем указанного класса, в том числе и для построенной соискателем новой модельной системы ОДУ с полиномиально периодической матрицей (то есть с матрицей в виде степенных рядов с периодическими матричными коэффициентами) [113,124,128].

3. Сформулированы и доказаны достаточные условия асимптотической устойчивости для определенного выше класса неавтономных квазилинейных систем, являющихся обобщением известной теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению для квазилинейных систем с постоянной матрицей [128].

4. Диссертантом выделен специальный класс неавтономных линейных и квазилинейных систем ОДУ с нормальной или «почти нормальной» матрицей, для которых с помощью метода унитарных преобразований получены достаточные критерии устойчивости решения, полностью определяемые структурой спектра нормальной матрицы [113,132].

5. Построено специальное интегральное представление решения для большого класса многоточечных краевых (и как частного случая, начальных) задач для линейных и квазилинейных (здесь мы имеем соответствующие интегральные уравнения) систем ОДУ без использования аппарата функций Грина, построение которых является достаточно сложной задачей, особенно для многоточечных задач [39, 53, 31]. Это позволяет рассматривать и изучать начальные и краевые задачи с единой точки зрения с помощью одного общего интегрального представления. Диссертантом приведен новый вариант доказательства далеко не тривиальной теоремы об однозначной разрешимости многоточечных краевых задач для линейных и квазилинейных систем ОДУ [118].

6. Диссертаном разработан эффективный метод и достаточно простой алгоритм построения квазирегулярной асимптотики некоторых классов сингулярно возмущенных начальных и многоточечных задач для модельных линейных систем ОДУ, при котором все особенности решения, отражающие структуру различных пограничных слоев выписываются в замкнутой аналитической форме, а остальные компоненты решения зависят от малого параметра регулярным образом [39, 118]. Известные методы решения указанного класса задач неприменимы или малоэффективны.

7. С помощью изложенного в п. 6 алгоритма исследован класс сингулярно возмущенных модельных задач на полуоси [114]. Доказано, что структура погранслоя в этом случае определяется не только спектром предельного оператора, но и неограниченностью некоторых интегралов при / -> да, что обобщает ранее известные результаты Федорюка М.В

8. Для построения асимптотик собственных значений и собственных функций спектральных задач для линейных дифференциальных операторов (в отличие, например, от известных работ Левитана Б.М. и других авторов, в которых эта проблема решалась с помощью анализа соответствующих интегральных уравнений) диссертантом разработан эффективный метод и соответствующий конструктивный (по существу алгебраический) алгоритм решения данной задачи с помощью дискретного аналога доказанной в диссертации теоремы 1.2 для сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач (включая и случай п>Ъ). Это позволило создать новый алгоритм для решения ряда спектральных задач квантовой механики, например для оператора Штурма-Лиувилля и Дирака [128].

9. С помощью разработанного диссертантом эффективного метода [115, 139] изучены сингулярно возмущенные начальные и краевые задачи для линейных модельных систем ОДУ с одной и двумя подвижными особыми точками различной кратности. Это позволило создать новый алгоритм для описания структуры степенных и более сложных пограничных слоев. Доказанные теоремы обобщают некоторые результаты Ломова С.А. Впервые построено точное решение сингулярно возмущенной задачи Коши для линейной системы с одной некратной подвижной особой точкой [139].

Практическая значимость работы состоит в том что разработанные диссертантом эффективные методы и конструктивные алгоритмы позволили решить ряд актуальных фундаментальных теоретических проблем (в теории устойчивости, в теории многоточечных краевых задач, в теории регулярных и сингулярных возмущений) и стали основой для создания программ расчета некоторых нетривиальных (в том числе и новых) неавтономных динамических математических моделей, а также для расчета конкретных технических изделий, что нашло отражение в тексте диссертации и в ряде публикаций в центральных журналах [31 - 62, 111 -121,128- 139].

1. Доказаны нетривиальные теоремы об асимптотической приводимости (исходной системы к более простой) большого класса неавтономных динамических (в том числе и разработанных сисоискателем) линейных и квазилинейных модельных систем ОДУ, что является обобщением [113, 130, 128] известной теоремы Флоке-Ляпунова. Получены достаточные критерии устойчивости решения указанных теорем (что является обобщением некоторых результатов Ляпунова A.M., Четаева Н.Г., Малкина И.Г., Красовского H.H. и ряда других математиков) и нашло практическое применение при расчете ряда гироскопических приборов [42,124].

2. При решении большого класса спектральных алгебраических задач для определения собственных значений и собственных векторов регулярно возмущенного линейного оператора (в том числе и при наличии предельного оператора произвольной жордановой структуры) разработаны эффективные алгоритмы для построения соответствующих рядов по малому параметру [55], что является обобщением известных классических результатов Реллиха, Като, Рида и Саймана, а также существенно упростило решение ряда конкретных физических задач, рассмотренных в диссертации.

3. С новых позиций рассмотрен класс регулярных и сингулярно возмущенных многоточечных краевых (в том числе и начальных) задач для неавтономных линейных модельных систем ОДУ. Для их решения построено специальное интегральное представление без использования аппарата функций Грина (построение которых весьма громоздко, особенно в многоточечном случае), что позволило рассматривать и изучать начальные и краевые задачи с помощью одного нового интегрального представления [39, 53, 31,118].

4. Последний результат позволил создать новый алгоритм для построения квазирегулярной асимптотики решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач, когда особенности решения, отражающие структуру каждого пограничного слоя, выписываются в замкнутой аналитической форме [31, 39-41, 57, 58, 111, 112, 114, 115, 117, 118, 120], что является обобщением некоторых работ Лиувилля, Биркгоффа, Тамаркина и Ломова. Это дало возможность создать эффективный дискретный алгоритм нахождения собственных значений и собственных функций спектральных задач для линейных дифференциальных операторов (например, для задач Штурма-Лиувилля и Дирака), включая и многоточечный случай. Известные асимптотические методы решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач неприменимы или мало эффективны.

Достоверность полученных результатов основана на корректности постановок задач, на использовании современных аналитических и асимптотических методов, на сравнении с результатами, полученными с помощью других методов. Для теорем даны строгие доказательства. Полученные результаты неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах и конференциях. В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту.

Апробация работы. Результаты исследований, представленных в диссертации, многократно докладывались на семинаре Ломова СЛ. (МЭИ), Дубинского Ю.А.(МЭИ), Мартыненко Ю.Г. (МЭИ), на семинаре Васильевой А.Б. и Бутузова В.Ф. (МГУ), на семинаре Миллионщикова В.М. (МГУ), Моисеева Е.И. (МГУ), на семинаре Академии нелинейных наук (руководитель академик РАН Матросов В.М.), а также на Всероссийских и Международных семинарах и конференциях (Вторая Всероссийская конференция «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1990; Международное совещание «Сингулярные решения и возмущения в системах управления», Переславль-Залесский, 1993, 1995, 1997; Всероссийское Совещание «Теория и приложения методов малого параметра», Обнинск, 1996; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Самара, 1996; Международная конференция «Современные направления в компьютерной физике», Дубна, 1998, 2000, 2002; Международная конференция «Математическая физика. Математическое моделирование и приближенные методы» Обнинск, 2000; Международная конференция, посвященная 80-летию Кудрявцева Л.Д., Москва, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 115 научных работах, среди которых монография, статьи в научных журналах, труды конференций. Тридцать работ из этого списка опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК России.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на ¿страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, дополнения, заключения и списка литературы из 139 названий.

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. Разработан эффективный метод и конструктивные алгоритмы исследования ряда математических моделей, связанных с нахождением асимптотики спектра и собственных векторов линейного возмущенного оператора (для случая предельного оператора произвольной жордановой структуры), что дополняет отмеченные выше известные результаты Реллиха, Като, Рида и Саймона и нашло практическое применение.

2. Сформулированы и доказаны (теоремы 4.1 - 4.4) асимптотические аналоги теорем о приводимости (исходной модели к более простой) и аналог теоремы Флоке-Ляпунова о приводимости системы с периодической матрицей для неавтономных слабо возмущенных линейных и квазилинейных неоднородных систем ОДУ, что позволило сформулировать критерии устойчивости.

3. Доказанные теоремы 4.1- 4.4 позволили изучить нетривиальную динамическую неавтономную модель, описывающую стационарное движение бесконтактного гироскопа в переменном магнитном поле и найти ранее неизвестную область устойчивости вблизи резонанса. Построенная модель и ее численный анализ были использованы при создании конкретного технического устройства.

4. На основе анализа движения гироскопа на стадии его разгона диссертантом была исследована новая математическая модель гироскопа в виде неавтономной линейной системы ОДУ с полиномиально периодической матрицей (представимой в виде степенных рядов с периодическими матричными коэффициентами), для которых доказаны соответствующие варианты теорем о приводимости к системе с почти диагональной матрицей (теоремы 4.5 - 4.7). Качественный и приближенный асимптотический анализ данной модели позволил установить область устойчивости указанного режима движения гироскопа. Предложенная модель нашла практическое применение.

5. Изучен класс математических моделей, представленных в виде квазилинейных и линейных неавтономных систем ОДУ с нормальной или «почти нормальной» матрицей, для которых с помощью разработанного диссертантом конструктивного метода унитарных преобразований доказаны аналоги (теоремы 4.8 - 4.11) известных теорем об устойчивости решения для систем с постоянной матрицей. Это позволило записать простые критерии устойчивости для указанного класса неавтономных квазилинейных систем.

6. Построено специальное интегральное представление решения для большого класса математических моделей, приводящих к изучению многоточечных краевых (и как частного случая, начальных) задач для линейных и квазилинейных (здесь мы имеем соответствующее интегральное уравнение) систем ОДУ без использования аппарата функций Грина, построение которых достаточно сложно, особенно для многоточечных задач. Это дало возможность рассматривать и изучать начальные и краевые задачи с единой точки зрения (теорема 1.1). Полученное представление позволило разработать новый вариант доказательства нетривиальных теорем 2.1 - 2.2 об однозначной разрешимости регулярных и сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач для квазилинейных и нелинейных систем ОДУ.

7. Предложен эффективный метод построения квазирегулярной асимптотики для исследования математических моделей, представимых в виде сингулярно возмущенных начальных и краевых задач (теоремы 1.2 -1.4). При этом особенности решения, отражающие структуру каждого пограничного слоя, выписываются в замкнутой аналитической форме, а остальные компоненты решения зависят от малого параметра регулярным образом. Для анализа сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач указанного класса другие методы неприменимы или мало эффективны. Созданный диссертантом метод является обобщением идей Лиувилля, Биркгофа, Тамаркина, Ломова, внесших заметный вклад в теорию сингулярных возмущений. Разработан вычислительный конструктивный алгоритм для построения указанной асимптотики.

8. С помощью дискретного аналога одного из алгоритмов, изложенного в первой главе диссертации (теорема 1.2), разработан эффективный метод и простой алгоритм построения асимптотики собственных значений и собственных функций для некоторых классов спектральных задач для линейных дифференциальных операторов (например, для известных в квантовой механике задач Штурма-Лиувилля и Дирака), включая и многоточечный случай, что обобщает известные ранее результаты Левитана Б.М. и ряда других авторов.

9. Для анализа математических моделей, возникающих при исследовании сингулярно возмущенных задач на полуоси диссертантом разработан метод и вычислительный алгоритм построения асимптотики решения. При этом доказано (теорема 1.5), что особенности решения в этом случае определяются не только спектром предельного оператора, но и неограниченностью некоторых интегралов при {-> од, что дополняет или уточняет известные ранее результаты Федорюка М.В.

10. Исследованы математические модели, приводящие к изучению сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для линейных систем ОДУ с одной и двумя подвижными особыми точками различной кратности и разработан (отличный от метода Ломова С.А.) конструктивный алгоритм для описания степенных пограничных слоев и пограничных слоев более сложной структуры. Составленные программы для численных расчетов позволили построить точное решение сингулярно возмущенной задачи Коши для линейной системы с одной некратной подвижной особой точкой (теоремы 3.2-3.6).

1. Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметра. УМН, 1971, вып.2, с.101-114.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1984.

3. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера.М., Издательство Московского Университета, 1983, 392с.

4. Барашков A.C. Регулярное разложение решений сингулярно возмущенных уравнений. Изв. ВУЗ Математика, 1984, №9, с.6-9.

5. Бобочко В.Н., Ломов С.А. Внутренний погранслой в линейной задаче. Труды МЭИ, 1980, вып.499, с.57-60.

6. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., ИЛ, 1954.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М., Наука, 1972, 232с.

8. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М., Наука, 1987, 256с.

9. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Наука, 504с.

10. Бутузов В.Ф. Васильева А.Б. Об асимптотике решений типа контрастной структуры. Математические заметки, 1987, т.42, №6, с.831-841.

11. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., Наука, 1969, 528с.

12. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига, Зинатне, 1978, 189с.

13. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., Наука, 1973, 272с.

14. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М., Издательство МГУ, 1978, 108с.

15. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М., Высшая школа,1990, 208с.

16. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. Мат. анализ. Итоги науки и техники. Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1982, т.20, с.3-77.

17. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Определение структуры обобщенного решения нелинейных задач оптимального управления. ДАН СССР, 1980, т.250, №3, с.525-528.

18. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Мир, 1968, 464с.

19. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М., Наука, 1984, 320с.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1967.

21. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М., Наука, 1986, 256с.

22. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М., Л. 1950.

23. Джакалья Г.Б.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М., Наука, 1973, 320с.

24. Елисеев А.Г. Теория сингулярных возмущений для систем дифференциальных уравнений в случае кратного спектра предельного оператора. Изв. АН СССР, 1984, т.48, №5, с.999-1042, №6, с.1171-1196.

25. Жукова Г.С. Асимптотическое интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Воронеж, Издательство ВГУ, 1988, 200с.

26. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М., Наука, 1989, 336с.

27. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., Мир, 1972, 740с.

28. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г. Асимптотическое решение слабо нелинейной системы. Дифференциальные уравнения, 1977, т.13, №6, с.1008-1013.

29. Коддингтон Е.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., ИЛ, 1958, 476с.

30. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М., Мир, 1972, 276с.

31. Коняев Ю.А. Построение регуляризованной асимптотики для нелинейной задачи Коши. Тезисы докладов 1-й Всесоюзной конференции по асимптотическим методам. Фрунзе, 1975, с.317-320.

32. Коняев Ю.А. Построение регуляризованной асимптотики для линейных систем с многочленной сингулярностью спектра. Труды МЭИ, вып.357, 1978, с.51-55.

33. Коняев Ю.А. Асимптотическое представление периодических решений некоторых эллиптических уравнений порядка 2т в процессе т —» со. Дифференциальныеуравнения, 1978,т.14,№10,с. 1900-1902.

34. Коняев Ю.А. Общий метод асимптотического интегрирования начальных и краевых задач для систем с многочленной сингулярностью. Тезисы докладов на 2-й Всесоюзной конференции по асимптотическим методам, Алма-Ата, 1979,с.67-69.

35. Коняев Ю.А. Об условиях разрешимости краевых задач. Сб. Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Тула, Издательство ТПИ, 1980, с.99-101.

36. Коняев Ю.А. Развитие метода регуляризации для решений начальных и краевых задач с многочленной сингулярностью. Сб. Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев, Издательство КГУ, 1980, с.87-98.

37. Коняев Ю.А. Асимптотика фундаментальной матрицы некоторых сингулярно возмущенных уравнений. Сб. Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Тула, Изд-воТПИ,1981,с.6-11.

38. Коняев Ю.А. О существовании периодических решений некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной. ДАН СССР, 1982, т.264, №1, с.40-44.

39. Коняев Ю.А. Общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1984, т.20, №11, с.1999-2003.

40. Коняев Ю.А. Последовательный анализ периодических систем с малым параметром при производной при наличии чисто мнимых (в том числе и тождественно кратных) точек спектра предельного оператора. Дифференциальныеуравнения, 1985,т.21,№6,с. 1085-1089.

41. Коняев Ю.А. О новом подходе к исследованию линейных сингулярно возмущенных задач при наличии тождественно кратных и мнимых точек спектра. Дифференциальные уравнения, 1985,т.21,№10,с.1811-1814.

42. Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г. Об устойчивости стационарных вращений симметричного твердого тела в переменном магнитном поле. ПММ, 1987, т.51, вып.З, с.375-381.

43. Коняев Ю.А. Исследование многоточечных сингулярно возмущенных задач. Тезисы докладов на Всесоюзном совещании «Методы малого параметра», Нальчик, 1987, с.79.

44. Коняев Ю.А. Асимптотическое интегрирование нелинейных систем. Тезисы докладов на Всесоюзной конференции «Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации», М.,1988,с.50.

45. Коняев Ю.А. Исследование многоточечных краевых задач. Сб. Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Изд-во Илим АН Кирг. ССР, 1988, вып.21, с.212-221.

46. Коняев Ю.А. Теория возмущений в прикладных задачах. М., Изд-во МЭИ, 1990, 60с.

47. Коняев Ю.А. Асимптотический аналог теоремы Флоке -Ляпунова. Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации». М., 1991.

48. Коняев Ю.А. Аналитические методы решения некоторых классов бисингулярных задач. Тезисы докладов 3-й Всесоюзной конференции по асимптотическим методам. Бишкек (Фрунзе), 1991, с.63.

49. Коняев Ю.А. Исследование некоторых классов регулярных и сингулярных краевых задач. Математические заметки, 1992, т.51, вып.2, с.149-151.

50. Коняев Ю.А. Построение контрастных решений сингулярно возмущенных задач. Тезисы докладов научной школы «Современные методы в теории краевых задач». Воронеж. 1992.

51. Коняев Ю.А. Конструктивные методы исследования многоточечных краевых задач. Изв. ВУЗ. Математика, 1992, №2 (357), с.57-61.

52. Коняев Ю.А. Новый алгоритм исследования задачи Штурма-Лиувилля. Тезисы докладов научной школы «Теория функций. Дифференциальные уравнения и математическое моделирование». Воронеж, 1992.

53. Коняев Ю.А. Об одном методе исследования многоточечных краевых задач.СМЖ,1992,т,33,№6,с.87-93.

54. Коняев Ю.А. О точных оценках приближенных решений сингулярно возмущенных начальных и краевых задач. Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и специальные функции». Самара, 1992.

55. Коняев Ю.А. Об одном методе исследования некоторых задач теории возмущений. Математический сборник. 1993, №12 (184), с.133-144.

56. Коняев Ю.А. Асимптотическое решение сингулярно возмущенной задачи Коши и многоточечных краевых задач. Тезисы докладов Международного совещания «Сингулярные решения и возмущения в системах управления». Переславль-Залесский, 1993.

57. Коняев Ю.А. Сингулярно возмущенные краевые задачи при наличии ненулевых точек спектра предельного оператора. Сибирский математический журнал, 1994, т.35, №1, с.118-123.

58. Коняев Ю.А. Контрастные решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач с особенностями. Математические заметки, 1994, т.56, вып.4, с.95-102.

59. Коняев Ю.А. Об одной нелинейной спектральной задаче. Тезисы докладов Вторых Математических чтений МГСУ, 1994, с.41.

60. Коняев Ю.А., Федоров Ю.С. О некоторых сингулярно возмущенных задачах на полуоси. Тезисы докладов Вторых Математических чтений МГСУ, 1994, с.39.

61. Коняев Ю.А. Анализ сингулярно возмущенных задач с одной и двумя подвижными особыми точками. Тезисы докладов Вторых Математических чтений МГСУ, 1994, с.42.

62. Коняев Ю.А. Сингулярно возмущенные задачи с погранслоем смешанного типа. Тезисы докладов Третьих Математических чтений МГСУ, 1995.

63. Ланкастер П. Теория матриц. М., Наука, 1978, 280с.

64. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., Наука, 1981, 400с.

65. Ломов С.А. Степенной пограничный слой в задачах с сингулярным возмущением. Изв. АН СССР, серия матем., 1966, т.30, №3, с.525-572.

66. Ломов С.А., Елисеев А.Г. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач. УМН, 1988, т.43, вып.З (261), с.3-53.

67. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М., Изд-во МГУ, 1965, 554с.

68. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М., Наука, 1975, 248с.

69. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М., Наука, 1981, 400с.

70. Мягкова М.П. Асимптотическое решение краевой задачи. Труды МЭИ, 1971, вып.89, с.83-86.

71. Найфе А. Введение в методы возмущений. М., Мир, 1984, 536с.

72. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М., Наука, 1978, 376с.

73. Прохоренко В.И. Построение приближенных и точных решений сингулярно возмущенной задачи Дирихле. Труды МЭИ, 1989, вып.192, с.73-77.

74. Разумейко Б.Г. Об асимптотическом поведении решения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром. Дифференциальные уравнения, 1971,т.7,№11,с.1998-2006.

75. Раппопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев, Изд-во АН УССР, 1964, 292с.

76. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.Т.4, М., Мир, 1982, 300с.

77. Рожков В.И., Панфилов Н.Г. Краевая задача для линейных систем с малым параметром при производной. Дифференциальные уравнения,1978,т.14,№10,с.1806-1813.

78. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М., Наука, 1971, 288с.

79. Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1977, т.235, №6, с.1274-1276.

80. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Изв. АН СССР, серия математ., 1979, т.43, №3, с.628-653.

81. Тауфер И. Решение граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1981, 144с.

82. Территин X.JI. Асимптотическое разложение решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Сб. Математика, 1957, т.1, №2, с.29-59.

83. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. Математ. сб., 1952, т.31 (73), №3, с.576-586.

84. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980, 496с.

85. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика. УМН, 1970,т.25, вып.4 (154), с.123-156.

86. Тупчиев В.А. Асимптотика решений краевой задачи для системы дифференциальных уравнений первого порядка с малым параметром при производной. ДАН СССР, 1962, т.143, №6, с.1296-1299.

87. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М., Наука, 1970, 564с.

88. Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов математиков. Изд-во ЛГУ, 1980, 200с.

89. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983, 352с.

90. Фещенко C.B., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев, Наукова Думка, 1966, 252с.

91. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент, ФАН, 1974, 214с.

92. Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М., Мир, 1969.

93. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. М., Высшая школа, 1988, 184с.

94. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970, 720с.

95. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М., Мир, 1989, 656с.

96. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. М., Мир, 1988, 248с.

97. Чезаре Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1964.

98. Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Киев, Выща Школа,1989, 288с.

99. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М., Наука, 1972, 720с.

100. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М., Наука, 1985, 126с.

101. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969, 528с.

102. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М., Наука, 1970, 672с.

103. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М., Наука, 1988, 432с.

104. Васильева А.Б., Никитин А.Г., Петров А.П. Асимптотический метод исследования контрастных структур и его приложение к теории гидромагнитного динамо. Математическое моделирование, 1995, т. 7, №2, с.61-71.

105. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М., Наука, 1977, 304с.

106. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976, 576с.

107. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., Наука, 1984, 832с.

108. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М., Л., ОНТИ, 1935, 386с.

109. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М., Наука, 1987, 304с.

110. Коняев Ю.А. Краевые задачи с двойной особенностью. Тезисы докладов Второй международной конференции «Сингулярные решения и возмущения в системах управления». Переславль-Залесский, 1995, с.54.

111. Коняев Ю.А. Сингулярно возмущенные нелинейные краевые задачи при наличии тождественных и нетождественных резонансов. Вестник МЭИ, 1995, №6, с.73-78.

112. Коняев Ю.А. Начальные и краевые задачи с особенностями. Дифференциальные уравнения, 1996, т.32, №3, с.419-421.

113. Коняев Ю.А. Асимптотика решений дифференциальных уравнений с полиноминально периодическими коэффициентами. Вестник МЭИ, 1996, №6, с.79-88.

114. Коняев Ю.А. Федоров Ю.С. Асимптотический анализ некоторых классов сингулярно возмущенных задач на полуоси. Математические заметки, 1997, т.62, вып.1, c.l 11-117.

115. Коняев Ю.А. Сингулярно возмущенные задачи с двойной особенностью. Математические заметки, 1997, т.62, вып.4, с.494-501.

116. Коняев Ю.А. Итерационный метод анализа нелинейных сингулярно возмущенных начальных и краевых задач. Изв. ВУЗ. Математика, 1999, №3, с.38-45.

117. Коняев Ю.А. Структура решения сингулярно возмущенных начально краевых задач с неограниченным спектром предельного оператора. Математические заметки, 1999, т.65, вып.6, с.831-835.

118. Коняев Ю.А. Об однозначной разрешимости некоторых классов нелинейных регулярных и сингулярно возмущенных краевых задач. Дифференциальные уравнения, 1999, т.35, №8, с.1028-1035.

119. Коняев Ю.А. Метод расщепления в теории регулярных и сингулярных возмущений. Изв. ВУЗ. Математика, 2000, №6, с.10-15.

120. Коняев Ю.А. Об одном классе сингулярно возмущенных краевых задач с нестабильным спектром предельного оператора. Дифференциальные уравнения, 2001, т.37, №4, с.558-561.

121. Коняев Ю.А. Анализ сингулярно возмущенных задач методом расщепления. Математическое моделирование, 2001, №12, с.55-57.

122. Дмитриев М.Г. Коняев Ю.А. Асимптотика типа Биркгофа некоторых сингулярно возмущенных задач оптимального управления. Математическое моделирование, 2002, №3, с.27-29.

123. Коняев Ю.А. Алгоритм построения квазирегулярного асимптотического представления решения с/в линейных многоточечных краевых задач с быстрыми и медленными переменными. Изв. ВУЗ. Математика, 2002, №7, с. 14-21.

124. Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г. Исследование устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений квазиполиномиального типа. «Дифференциальные уравнения», 1998, т.34, №10, с.1427-1429.

125. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа. М.Н.,1979.

126. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.Н., 1967.

127. Морозов В.М., Каленова В.И. Оценивание и управление в нестационарных линейных системах. М., Изд-во МГУ, 1988.

128. Магницкий В.А. Достаточные методы анализа нестационарных управляемых систем. М., Н.,1992.

129. Коняев Ю.А. Достаточные условия устойчивости решений некоторых классов ОДУ в критических случаях. «Дифференциальные уравнения», 1990, т.26, №4, с. 709-712.

130. Коняев Ю.А. О некоторых методах исследования устойчивости. Математический сборник, 2001, т. 192, №3, с. 65-82.

131. Коняев Ю.А. Алгоритм построения квазирегулярного асимптотического представления решения сингулярно возмущенных линейных многоточечных краевых задач с быстрыми и медленными переменными. Изв. ВУЗ, Математика, 2002, №7, с. 27-29.

132. Коняев Ю.А. Метод унитарных преобразований в теории устойчивости. Изв. ВУЗ, Математика, 2002, №2, с. 41-15.

133. Коняев Ю.А. Асимптотическое представление решения уравнения Шредингера для релятивистского и нерелятивистского водородоподобного атома. Тезисы докладов на 5-м Международном конгрессе по Математическому моделированию, Дубна, 2002, с. 63.

134. Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г., Панфилов Н.Г. Асимптотический аналог теорем о приводимости некоторых классов неавтономных линейных систем Дифференциальные уравнения, 2004, т. 40 , №3, с. 330-333.

135. Коняев Ю.А. Асимптотическое разложение определителя возмущенной матрицы. Математические заметки, 2004, вып. 1, июль, с. 149-151.

136. Коняев Ю.А. Асимптотические и аналитические методы решения некоторых классов прикладных модельных задач (монография). Москва, Изд-во РУДН, 2005,160 с.

137. Коняев Ю.А., Панфилов Н.Г. Асимптотический анализ линейных периодических систем при наличии большого или малого параметра. Изв. ВУЗ, Математика, 2005, № 7, с. 25-29.

138. Коняев Ю.А. Квазирегулярная асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши для линейных систем дифференциальных матричных уравнений, Изв. ВУЗ, Математика, 2005, №4, с. 45-48.

139. Коняев Ю.А. Построение точного решения некоторых сингулярно возмущенных задач для линейных ОДУ со степенным погранслоем. Математические заметки, 2006, т. 79, вып. 6, июнь, с. 950-954.