автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Редукция задач управления и оценивания для сингулярно возмущенных систем

На правах рукописи

ОСИНЦЕВ Михаил Сергеевич

РЕДУКЦИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 ИДП 201

Самара — 2014

005548802

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева» (национальный исследовательский университет) (СГАУ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Филатов Олег Павлович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет», заведующий кафедрой «Уравнения математической физики»;

Блатов Игорь Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики», заведующий кафедрой «Высшая математика».

Ведущая организация: Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина».

Защита состоится 27 июня 2014 года в 12 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.215.05, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева» (национальный исследовательский университет) (СГАУ), расположенном по адресу: 443080, г. Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГАУ. Автореферат разослан 30 апреля 2014 г.

Соболев Владимир Андреевич.

д.т.н., доцент

Ученый секретарь диссертационного совета

С.В. Востокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одной из важнейших задач математического моделирования является построение новых простых математических моделей или упрощение существующих. Современный уровень развития вычислительных систем позволяет решать многие прикладные задачи с высокой точностью за достаточно малый промежуток времени. Однако, несмотря на огромное количество разработанных методов оптимизации вычислений, а также быстрое развитие вычислительной техники, во многих случаях скорость проведения необходимых расчетов остается недостаточной. Причиной тому могут служить ограничения, накладываемые на вычислительную систему по различным параметрам: весу, размерам, стоимости. Наличие этих ограничений связано с областью применения вычислительных систем. В авиационной и космической технике применение крупногабаритных компьютеров для проведения сложных вычислений является неприемлемым. При этом следует понимать, что объемы необходимых вычислений в основном зависят от вычислительной сложности используемого алгоритма для решений той или иной задачи, а также от размерности математической модели, которая описывает объект. На практике, достаточно точная математическая модель может состоять из десятков и даже сотен параметров, описывающих состояние объекта. Оперирование с такими моделями и решение практических задач на бортовом компьютере мобильных устройств невозможно, поэтому задача разработки быстрых вычислительных алгоритмов остается весьма актуальной.

Известно, что широкий круг процессов различной природы характеризуется существенным различием в скоростях изменения переменных, поэтому в качестве динамических моделей таких процессов используются дифференциальные системы, содержащие малый параметр при части производных. Использование сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений характерно для описания систем со слабой диссипацией энергии, таких как навигационные приборы и робототехнические устройства.

Решение задач управления и оценивания для таких систем в свою очередь приводит к необходимости решения сингулярно возмущенных дифференциальных систем Риккати высокой размерности. В связи с этим возникает необходимость в использовании значительных вычислительных ресурсов, что на практике нежелательно и не всегда возможно, особенно в авиационной и космической технике.

В диссертации предложен метод редукции таких задач, основанный на идеях теории интегральных многообразий. Истоки метода интегральных многообразий были заложены в работах Дж. Адамара, A.M. Ляпунова, А. Пуанкаре и О. Перрона. Основы теории были заложены Н. Н. Боголюбовым. Ю. А. Митропольским и Дж. Хейлом. В 1957-1970 годах К. В. Задирака, В. И. Фодчук и Я. С. Барис показали условия существования устойчивых, неустойчивых и условно устойчивых медленных интегральных многообразий. Асимптотические разложения и принцип сведения были получены В. А. Соболевым и В. В. Стрыгиным. Все эти результаты относятся к системам с пограничными слоями. Различные методы приближенного построения интегральных многообразий и некоторые критические явления рассматривались В. А. Соболевым, Е. А. Щепакиной и другими авторами.

В данной работе метод редукции динамических моделей развивается и применяется для понижения размерности сингулярно возмущенных систем в критических случаях.

Целью работы является разработка математического аппарата редукции динамических моделей с сингулярными возмущениями и применение этого аппарата для понижения размерности задач оптимального управления и оценивания для моделей манипуляционных роботов.

Для достижения данной цели в работе решаются следующий задачи:

1. Получить достаточные условия существования интегральных многообразий медленных движений для сингулярно возмущенных дифференциальных систем в критических случаях.

2. Для обоснования возможности редукции динамических моделей с сингулярными возмущениями исследовать устойчивость интегральных

многообразий медленных движений.

3. Изучить возможности приближенного построения в виде асимптотических разложений по степеням малого параметра интегральных многообразий медленных движений для рассматриваемого класса систем.

4. Исследовать задачи оптимального управления и оценивания для некоторых классов динамических моделей с сингулярными возмущениями.

5. Исследовать возможность применения метода редукции для понижения размерности математических моделей манипуляционных роботов и задач управления для некоторых классов таких устройств.

6. Разработать комплекс программ для численного моделирования движений таких моделей под действием управляющий и внешних случайных воздействий и проведения численных экспериментов.

Методы исследования. В работе использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы теории интегральных многообразий, а также методы численного моделирования решений линейных стохастических дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе получены условия существования интегрального многообразия для нового класса дифференциальных систем с сингулярными возмущениями, которые возникают при решении задач оптимального управления и оценивания для систем с быстрыми и медленными переменными. Показано, что для таких систем возможно получить устойчивые интегральные многообразия медленных движений, при этом такие многообразия могут быть представлены в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра.

Решены задачи оптимального управления и оценивания для гибкого однозвенного манипулятора и манипулятора с гибким сочленением. Для этих систем построены фильтры Калмана-Бьюси и оптимальные линейно-квадратичные регуляторы меньшей размерности ¡[а основе метода теории интегральных многообразий. Проведено численное моделирование движений манипуляторов под действием управляющих воздействий и внешних случайных возмущений. Показано, что при использова-

нии метода теории интегральных многообразий размерность задач понижается, при этом точность работы фильтров и оптимальных регуляторов оказывается сравнимой с точностью исходных решений задач фильтрации и управления.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в работе утверждения о существовании и устойчивости медленных интегральных многообразий могут быть использованы для редукции широкого круга динамических моделей. При помощи полученных результатов возможно построение фильтров Калмана-Бьюси и оптимальных линейно-квадратичных регуляторов меньшей размерности, обеспечивающих решение задач управления и оценивания для манипуляционных роботов с необходимой точностью при значительно меньших затратах вычислительных ресурсов.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Метод редукции для динамических моделей с сингулярными возмущениями. Получение достаточных условий существования медленного интегрального многообразия и его устойчивости, и конструктивный метод приближенного построения в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра.

2. Редукция задач оптимального управления и оценивания для некоторых классов динамических моделей с сингулярными возмущениями в случае слабой диссипации энергии.

3. Редукция задач оптимального оценивания и управления для моделей гибкого однозвенного манипулятора и манипулятора с гибким сочленением.

4. Разработка комплекса программ для численного моделирования движений манипуляторов и сравнения работы фильтров Калмана-Бьюси и оптимальных линейно-квадратичных регуляторов для исходных и редуцированных систем.

Реализация работы. Результаты диссертационной работы нашли применение при выполнении научно-исследовательских работ:

• Грант РФФИ № 12-08-00069 «Развитие фундаментальных основ

исследования критических явлений в химических, оптических и медико-биологических системах».

• Грант РФФИ № 13-01-97002-р-поволжье-а «Развитие методов исследования нелинейных динамических моделей многотемповых управляемых процессов».

• Грант РФФИ № 13-08-97000-р-поволжье-а «Обоснование методов для решения теоретических задач планирования наблюдений, оптимизации законов наведения и отказоустойчивого гиросилового управления ориентацией маневрирующих спутников с оценкой эффективности их применения в национальных средствах контроля и природопользования».

• Грант РФФИ № 10-08-00154 «Моделирование критических явлений в химических и биологических системах».

• Программы №14 и №15 фундаментальных исследований Отделения энергетики, механики, машиностроения и процессов управления РАН

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на тринадцатой и четырнадцатой международных конференциях «Проблемы управления и моделирования в сложных системах» (Самара, 2011, 2012), на Всероссийской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2011), на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011), на Региональной научно-практической конференции, посвященной 50-летию первого полёта человека в космос (Самара, 2011), на Международной молодежной конференции «Королевские чтения» (Самара, 2011) на X Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (Казань, 2012), на Девятом симпозиуме «IFAC Symposium Advances in Control Education» (Нижний Новгород, 2012), на Третьей Международной конференции «Математическая физика и се приложения» (Самара, 2012), на

Международном научно-техническом форуме, посвященном 100-летию ОАО «Кузнецов» и 70-легию СГАУ «КОСМОС - 2012» (Самара, 2012), на Всероссийской научной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Г.И. Быков-цева «Актуальные проблемы математики и механики» (Самара, 2013), на XVI Международной конференции «Dynamical System Modeling And Stability Investigation» (Киев, 2013), на Одинадцатой Международной конференции « 11th International Conference on Vibration Problems» (Лиссабон, 2013), на Всероссийской школе-конференции молодых ученых «Управление большими системами» (Уфа, 2013).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы |1]-[17]. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5] в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных с научным руководителем работ в диссертацию вошли только принадлежащие Осинцеву М. С. результаты.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, 15 рисунков и списка литературы, содержащего 10G наименований. Объем диссертации составляет 120 страниц текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе рассматриваются сингулярно возмущенные дифференциальные системы в общем виде

^ = f(t,x,y,e),

îy , , (1)

где х € Rm и у 6 Rn - векторные переменные, t - переменная времени, а е - малый положительный параметр. Введем основные определения и выделим критические случаи, возникающие при рассмотрении задач, связанных с сингулярно возмущенными системами. Поверхность S

называется интегральным многообразием системы (1), если траектория системы, имеющая с S хотя бы одну общую точку, целиком лежит в S. Если любая траектория, начинающаяся в близи интегрального многообразия стремится к траектории на многообразии, то такое интегральное многообразие называется устойчивым.

Известны условия существования интегрального многообразия медленных движений в случае систем с пограничным слоем:

(Ai). Функции f : Rm х R" х R хТ0 Rm, д : Rm х Rn х R х 7q R" непрерывны и равномерно ограничены вместе с достаточным количеством частных производных по всем переменным.

(А2). Существует область G е Rm и достаточно гладкая функция h :G х R-t Rm такая, что д

g(t,x,h{x,t),0)=0, V(x,t)eGxR.

(A3). Собственные числа матрицы Якоби

B{t,x) = gs{t,x,ho{x,t),Q)

равномерно отделены от мнимой оси при всех {х, t)eGxR.

В задачах, которые рассмотрены в диссертации, условие (Аз) не выполняется, более того, эти задачи являются «вдвойне критическими». Во-первых, возникает необходимость исследования сингулярной сингулярно возмущенной системы, когда спектр матрицы B(t,x) имеет нулевые значения. Во-вторых, B(t,x) имеет собственные числа на мнимой оси. Тем не менее, оказалось возможным применить метод интегральных многообразий и в такой ситуации.

Далее речь идет о методе приближенного построения интегрального многообразия медленных движений в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра. Интегральное многообразие может быть представлено в виде ряда:

h(t, х, е) = h0{t, х) + ehi{t, х) + ... + ekhk{t, х) +..., (2)

где hk+i(t, х, е) - непрерывная ограниченная функция, a h0(t, х) является

решением вырожденного уравнения д(1,х,у, 0) = 0. Приводятся формулы для расчета к-того члена асимптотического разложения. Задача оптимального оценивания для уравнения Ланжевена

рассматривается в качестве простого примера, иллюстрирующего поведение решений сингулярно возмущенных систем в различных случаях.

Это уравнение является простейшим примером сингулярно возмущенной системы. При решении задачи оценивания возникает система сингулярно возмущенных уравнений Риккати для ковариационной матрицы фильтра Калмана-Бьюси. При различных предположениях о порядках величин коэффициентов в уравнении Ланжевена подробно исследуются три случая, в каждом из которых находится явный вид интегрального многообразия медленных движений. Наиболее интересным является третий случай, когда размерность медленного интегрального многообразия оказывается выше предполагаемой вследствие того, что рассматриваемая система уравнений Риккати является сингулярной сингулярно возмущенной. Для каждого случая было проведено численное сравнение результатов работы фильтров Калмана-Бьюси, построенных по полным уравнениям и уравнениям на интегральных многообразиях. Показано, что результаты работы фильтров на многообразиях с высокой точностью совпадают с результатами работы полных фильтров.

Вторая глава посвящена исследованию класса сингулярно возмущенных дифференциальных систем вида

где ж, / е Дт; г, д € Я"; А е Дпх", В € Дтхт; * 6 (-оо,оо), £ -

малый положительный параметр. Такая система рассматривается в критических случаях.

Доказана теорема существования интегрального многообразия медленных движений для систем вида (4). Доказана лемма об устойчивости

тх(г) + /х (г) + кх{1) = у/2 кт/1Ь{г)

(3)

— = А(г)х + №,х, г, г),

аъ

йг

е— = В^,£)г + д(их, г, г),

(4)

такого многообразия. Показано, что такое интегральное многообразие может быть построено в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра вида (2).

Далее рассмотрены задачи оптимального оценивания и оптимального линейно-квадратического управления для сингулярно возмущенной системы. Показано, что системы дифференциальных уравнений Риккати в этих задачах являются системами вида (4) и для них возможно построение устойчивых интегральных многообразий медленных движений.

По сути, приводится теоретическое обоснование предложенного метода редукции таких задач, заключающегося в том, чтобы заменять решение полных систем Риккати, возникающих при построении фильтров Калмана-Бьюси и оптимальных линейно-квадратичных регуляторов, решением на интегральном многообразии медленных движений.

В третьей главе рассмотрены задачи оптимального оценивания и управления для реальных систем. Рассмотрена математическая модель гибкого однозвенного манипулятора, изображенного на рисунке 1:

Мд + Ос[ + Кд = НРи,

где

' 3 от " 6 от " , К = 0 от'

0 I 0 2Сш 0 ьР-

; ш = с^ [шх • • • ш„],

где 3 - полный момент инерции манипулятора; Ь - коэффициент вязкого трения, возникающего в приводе; (, и/ - векторы, состоящие из коэффициентов затухания и собственных частот гибких мод, а и — управляющее воздействие.

Также рассмотрена математическая модель манипулятора с гибким сочленением, изображенного на рисунке 2:

Ы\ + м9к 1 + с(<?1 - Чт) + к(<п - Ят) = О,

■Лп9т - с(д'х - дт) - к{дг - дт) = и. 11

1

<¿{0)

где — угол поворота звена, дт - угол поворота вала двигателя, ./т - момент инерции двигателя, установленного в основании; Л - момент инерции звена; М, I - масса и длина звена соответственно; к - жесткость гибкого сочленения, с - коэффициент затухания вязкого трения, а и — управляющее воздействие.

Для задач оценивания для этих систем построены фильтры Калмана-Бьюси на основе метода интегральных многообразий. Проведено численное моделирование движения систем и показано, что точность полученных фильтров меньшей размерности согласуется с точностью полных фильтров. Однако, для расчета фильтров на многообразии требуется значительно меньшее количество вычислительных ресурсов.

Для задач оптимального управления построены оптимальные регуляторы на основе интегральных многообразий. Проведено численное моделирование движения систем под действием управляющих воздействий. Показано, что на практике возможно применение регуляторов меньшей размерности, так как траектории движения объектов под действием полных управлений и управлений на интегральных многообразиях совпадают с высокой точностью.

Дополнительно рассмотрена нестационарная модель простейшего

Рисунок 1 — Однозвенный гибкий манипулятор

Рисунок 2 Манипулятор с гибким сочленением

кривошипно-шатунного механизма и построен оптимальный регулятор меньшей размерности для такой системы. Показано, что такой оптимальный регулятор обеспечивает движение механизма по траектории, близкой к оптимальной.

Заключение содержит основные результаты и выводы, полученные в работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты и выводы диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Разработан метод редукции для динамических моделей с сингулярными возмущениями. Получены достаточные условия существования медленного интегрального многообразия и его устойчивость, и конструктивный метод приближенного построения в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра.

2. Метод редукции применен для понижения размерности задач управления для некоторого класса динамических систем с сингулярными возмущениями в случае слабой диссипации энергии.

3. Исследованы задачи оптимального управления и оценивания для гибких манипуляционных устройств. Показано, что разработанный подход может быть применен для редукции моделей в этих задачах.

4. Разработан комплекс программ для численного моделирования движений манипуляторов и сравнения работы фильтров Калмана-Бьюси и оптимальных линейно-квадратичных регуляторов для исходных и редуцированных систем.

5. Проведено численное моделирование движения указанных систем и численное сравнение результатов работы полных фильтров Калмана-Бьюси и оптимальных линейно-квадратичных регуляторов и аналогичных систем, построенных на основе метода редукции.

6. Показано, что полученный метод редукции позволяет не только понизить размерность задачи, но и значительно уменьшить количество вычислительных операций для решения задач управления и оценивания.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, входящих в перечень ВАК.

1. Осинцев, М. С. Редукция задач оптимального управления гибкими манипуляционными системами / М. С. Осинцев // В мире научных открытий. - 2013. - № 10 (46). С. 203 217.

2. Осинцев. М. С. Понижение размерности задачи оптимального оценивания для уравнения Ланжевена / М. С. Осинцев // Вестник Самарского Государственного Университета (естественнонаучная серия). — 2012. № 2(93). С. 40 53.

3. Осинцев, М. С. Понижение размерности задач оптимального оценивания для динамических систем с сингулярными возмущениями / М. С. Осинцев, В. А. Соболев /',/ Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014. — Т. 54, № 1. — С. 50-64.

Osintsev, М. S. Reduction of Dimension of Optimal Estimation Problems for Dynamical Systems with Singular Perturbations / M. S. Osintsev, V. A. Sobolev // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2014. - Vol. 54, No. 1. - PP. 45—58.

4. Осинцев, M. С. Понижение размерности задач оптимального оценивания и управления для систем твердых тел с малой диссипацией / М. С. Осинцев, В. А. Соболев // Автомат, и телемех. — 2013. - № 8. -С. 121-137.

Osintsev, М. Dimensionality reduction in optimal control and estimation problems for systems of solid bodies with low dissipation / M. Osintsev, V. Sobolev // Automation and Remote Control. - 2013. V. 74, Issue 8. PP. 1334 1347.

5. Соболев, В. А. Редукция задач динамики, управления и оценивания для систем твердых тел с малой диссипацией / В. А. Соболев, М. С. Осинцев // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. №4 (часть 5). С. 2499 2501.

Статьи и тезисы в других изданиях:

6. Осинцсв, М. С. Понижение размерности задачи оптимального оценивания для систем твердых тел с малой диссипацией ,/' М. С. Осинцев // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тезисы докладов / Издательство «Универс групп». - Самара. 2011. С. 83 84.

7. Осинцев, М.С. Понижение размерности задачи оптимальной фильтрации для гибкого манипулятора / М. С. Осинцев ; под ред. чл.-корр. РАН И.В. Воловича и д.ф.-м.н., проф. В.П. Радченко /'/ Третья международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: Материалы конф. / СамГТУ. - Самара. - 2012. — С. 218-219.

8. Осинцев, М. С. Понижение размерности задачи оценивания для манипулятора с гибким сочленением / М. С. Осинцев // Управление большими системами: материалы X Всероссийской школы-конференции молодых ученых / УГАТУ. - Уфа. - 2013. - Т. 1. - С. 70-73.

9. Осинцев, М. С. Фильтр Калмана-Бьюси меньшей размерности для сингулярно возмущенной системы / М. С. Осинцев // Аналитическая механика, устойчивость и управление: Труды X Международной Чета-евской конференции / Изд-во Казан, гос. техн. ун-та. — Казань. — 2012.

Т. 3. С. 205- 214.

10. Соболев, В. А. Понижение размерности задач оценивания для систем твердых тел с малой диссипацией / В.А. Соболев, М.С. Осинцев ; под ред.: акад. Е.А. Федосеева, акад. H.A. Кузнецова, проф. В.А. Вит-тиха. // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды XIII Международной конференции / Самарский научный центр РАН. Самара. 2011. С. 209- 214.

11. Соболев, В. А. Редукция задач динамики, управления и оценивания для систем твердых тел с малой диссипацией / В. А. Соболев, М. С. Осинцев // X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Программа заседаний / Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского. — Нижний Новгород. - 2011. - С. 172.

12. Соболев, В. А. Редукция задач оптималыюй фильтрации для систем твердых тел с малой диссипацией / В. А. Соболев, М. С. Осинцев // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов XII Международной конференции / Изд-во ИПУ РАН. — Москва. - 2012. С. 292-294.

13. Соболев, В. А. Редуцированный фильтр Калмана-Бьюси для гибкого манипулятора / В. А. Соболев, М. С. Осинцев ; под ред.: акад. Е.А. Федосеева, акад. Н.А. Кузнецова, проф. В.А. Виттиха // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды XIV Международной конференции / Самарский научный центр РАН. Самара. 2012. С. 663 668.

14. Osintsev, М. S. Slow integral manifolds and order reduction in optimal estimation and control problems for a flexible-joint manipulator / M. S. Osintsev, V. A. Sobolev // Dynamical system modelling and stability investigation: XVI International Confercncc: Modelling and stability: Abstracts of conf. reports / Bier ни к Ктвського нацюнального ун-ту ¡MCHi Т. Шевченка. Kiev, Ukraine. 2013. pp. 341 342.

15. Osintsev, M. Slow Integral Manifolds in Control and Graduate Education in Samara / M. Osintsev, V. Sobolev // Proceedings of the 9th IFAC Symposium Advances in Control Education / IFAC. — Nizhny Novgorod. — 2012. — pp. 45-50.

16. Osintcev, M. S. System order reduction for flexible-link manipulators control problems / M. S. Osintcev, V. A. Sobolev : Z. Dimitrovova et al. (eds.) // Proceedings of the 11th International Conference on Vibration Problems / ICOVP. - Lisbon, Portugal. - 2013. - pp. 199-200.

17. Sobolev, V. Global Invariant Manifolds in a Problem of Kalman-Bucy Filtering for Gyroscopic Systems / V. Sobolev, M. Osintsev //' Global and Stochastic Analysis: An International Journal. 2011. Vol. 1. № 1. pp. 102-124.

Подписано в печать 24 апреля 2014 года. Формат 60x84 1/16. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета 443086, г. Самара, СГАУ, Московское шоссе, 34