автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Минимаксное параметрическое оценивание в линейных обобщенных неопределенно-стохастических регрессионных моделях

Введение

1. Минимаксное оценивание в конечномерных моделях

1.1. Основные обозначения и сокращения.

1.2. Описание модели.

1.3. Постановка задачи.

1.4. Существование минимаксной аффинной оценки.

1.5. Решение задачи минимаксного оценивания.

1.6. Задача минимаксного нелинейного оценивания.

1.7. Основные следствия.

1.7.1. Общая модель (невырожденный случай).

1.7.2. Регрессия с неопределенными параметрами.

1.7.3. Регрессия с ограниченными параметрами

1.7.4. Регрессия со случайными параметрами.

1.8. Выводы по главе.

2. Регуляризация минимаксных оценок

2.1. Основные понятия и предварительные замечания.

2.2. Свойства множества минимаксных операторов оценивания.

2.3. Регуляризация задачи минимаксного оценивания.

2.4. Свойства регуляризованных оценок при неточно решенной двойственной задаче

2.5. Выводы по главе.

3. Минимаксное оценивание в бесконечномерных моделях

3.1. Основные обозначения и вспомогательные результаты.

3.2. Постановка задачи минимаксного оценивания.

3.3. Задача оптимального оценивания.

3.4. Задача минимаксного оценивания.

3.5. Двойственная задача

3.6. Выводы по главе.

4. Оценивание в моделях частного вида

Выводы по главе.

В настоящей работе изучается проблема минимаксного оценивания по средне-квадратическому критерию в обобщенных линейных неопределенно-стохастических регрессионных моделях.

Практическое значение многомерных линейных регрессионных моделей хорошо известно [6,19,20,57]. Исследованию методов оптимальной идентификации указанных моделей посвящено значительное число статей и монографий, среди которых отметим лишь [1,21,37,58]. Проблема построения оптимальных алгоритмов фильтрации и оценивания изучалась в [5,18,44,75].

Все оптимальные методы оценивания основаны на предположении о том, что характеристики параметров, входящих в модель, и шумов наблюдений являются заданными. Кроме того, обычно предполагается, что параметры модели относятся к какому-либо определенному типу (например, неограниченные неслучайные, или случайные с заданной матрицей ковариаций). В работе [73] рассмотрены регрессионные модели, одновременно содержащие неограниченные неслучайные и случайные параметры, которые могут коррелировать с шумами наблюдений, причем распределения параметров и шумов могут вырожденными (обобщенные линейные модели). Частные случаи таких моделей изучались ранее в [1,21,58]. В [74] построен алгоритм оптимальной по среднеквадратическому критерию линейной идентификации указанных моделей. Бесконечномерные линейные регрессионные модели (в том числе обобщенные) рассматривались в работах [7-9,43,56,67].

При изучении задач оценивания параметры модели наблюдения обычно группируют по традиционным "физическим" признакам: параметры модели измеряемого полезного сигнала и случайные ошибки наблюдений рассматриваются отдельно. Тем не менее, более общим является описание модели, при котором разделение параметров проводится по типу априорной неопределенности в описании их характеристик: неслучайные полностью неопределенные параметры, неслучайные ограниченные параметры, случайные параметры с заданными средними и матрицей ковариаций, принадлежащей некоторому заданному множеству. Модели, содержащие указанные типы параметров, называемые в дальнейшем неопределенно-стохастическими, охватывают следующие частные случаи: модели с неслучайными неограниченными параметрами и случайными возмущениями (классические регрессионные модели) [1,19]; стохастические модели со случайными параметрами и возмущениями [19,36]; модели с неопределенными параметрами, содержащимися в заданных множествах, и с неопределенными ограниченными шумами [32,34]; модели со случайными параметрами и шумами с частично известными вероятностными характеристиками [94].

Для идентификации обобщенных линейных неопределенно-стохастических регрессионных моделей в данной работе применяется минимаксный подход.

Впервые на применение теоретико-игровых соображений в статистике было указано еще Вальдом [96]. Развитие Хьюбером идей Вальда привело к формированию целого раздела статистики, изучающего робастные процедуры оценивания [68]. В нашей стране первые постановки задач гарантирующей обработки измерений были связаны с именами H.H.Красовского [29], M.JI.Лядова [35] и В.М.Александрова [2]. Асимптотическая минимаксность в задачах статистического оценивания была исследована в монографии И.А.Ибрагимова, Р.З. Хасьминского [23]. Различные свойства асимптотически минимаксных оценок (в том числе для динамических систем) были изучены Б.Т. Поляком и 51.3. Цыпкином [54,69]. Апостериорные варианты минимаксных проблем фильтрации и оценивания исследовались A.B. Куржанским [25, 31] и И.Я. Кацем [27]. Дальнейшее развитие этого направления теории минимаксного оценивания связано с работами И.Б.Ананьева [4], Г.А.Тимофеевой [26], В.И.Ширяева [71]. Различные аспекты минимаксной техники, возникающие в задачах стохастического программирования, отражены в работах В.В. Малышева, М.Н. Красилыцикова, А.И.Кибзуна, Ю.С.Кана [22,38,76].

Одно из первых упоминаний о применении минимаксной техники к исследованию стохастических моделей, неопределенность которых описывается в терминах первых двух моментов, содержится в заметке [93]. Задача минимаксной фильтрации в дискретной модели Калмана для указанного типа неопределенности была решена С. Верду и Г.В.Пуром [94]. Задача минимаксной фильтрации при наличии неопределенного произвольно коррелированного случайного процесса в модели наблюдения исследовалась в работах Г.А.Голубева [13-16]. Случай неопределенности в динамики модели рассматривался К.Мартином, М.Минтцем [78], а также И.Б.Ананьевым [3]. Состояние теории минимаксной фильтрации стационарных процессов, неопределенность которых задается в терминах спектральных плотностей, изложено в монографии О.М.Куркина, Ю.Б. Коробочкина, С.А. Шаталова [33]. В модели регрессии с эллипсоидальными ограничениями на неслучайные параметры вид минимаксных оценок был получен А.Куксом и В. Ольманом [30]. На случай ограничений, заданных выпуклым симметричным компактом, этот результат был обобщен В.Б.Меласом [42]. Случай эллипсоидальных ограничений подробно изучен в работах Ф.Л. Черноусько [70] и А.Б. Куржанского [31,77]. Модели с неслучайной ограниченной помехой рассматривались в работах [81,91]. Линейные регрессионные модели при достаточно общих предположениях относительно ковариационной структуры случайных помех наблюдений были изучены В.Н. Соловьевым [62, 92]. Задача минимаксной фильтрации в динамических моделях, содержащих как неопределенные, так и случайные шумы, рассматривалась в работах M.JI. Лидова, П.Е. Эльясберга, А.И. Матасова, Б.Ц. Бахшияна [6,34,41,72]. Оптимальность линейных оценок в различных задачах гарантирующего оценивания была доказана А.И. Матасовым [39,40]. Для детерминированных динамических систем аналог фильтра Калмана в задаче минимаксной фильтрации был найден А.Б. Куржанским [31]. Для стохастических задач минимаксной фильтрации А.Р. Панковым в [53,83] был разработан метод условно-минимаксной фильтрации, основанный на поиске фильтров частного вида. Проблемы минимаксного оценивания в гильбертовом пространстве изучались в работах Ю.П.Пытьева [56], А. Г. Наконечного [44], А.В.Борисова, А.Р. Панкова [7,8]. В монографии А.М.Федотова [67] рассматривались некорректно поставленные задачи, приводящиеся к задачам минимаксного оценивания в модели бесконечномерной регрессии.

В настоящей работе для решения задачи минимаксной идентификации главным образом изучаются методы, использующие решение максиминной задачи, которая в дальнейшем именуется двойственной (по отношению к исходной минимаксной проблеме). Согласно одному из таких методов минимаксная оценка строится как оптимальная, рассчитанная для наименее благоприятного сочетания характеристик (распределения, матрицы ковариации и т.п.), присутствующих в модели. Обоснованность использования решения двойственной задачи в общих теоретико-игровых терминах была установлена в [95]. Там же был найден вариант теоремы о минимаксе, позволяющий утверждать, что при выполнении некоторого условия регулярности задача о поиске минимаксной стратегии сводится к решению максиминной проблемы. В работе [94] указанная техника была применена к решению задачи минимаксной фильтрации в дискретной модели Калмана. Сравнение методов минимаксной оптимизации, основанных на применении теорем о минимаксе и свойств сопряженных функций, было проведено в [62]. В [6,34] для решения задач гарантирующего оценивания в моделях, где помеха является суммой белого шума и произвольно коррелированного сигнала, использовалась техника сведения исходной минимаксной проблемы к эквивалентной задаче линейного программирования. В работах [41, 80] было показано, что задача минимаксного оценивания в непрерывной модели наблюдения приводится к так называемой проблеме моментов, для решения которой можно эффективно использовать методы выпуклого анализа и теории двойственности. В работах [28,79] был разработан подход к решению задач гарантирующего оценивания, основанный на оценке уровня неоптимальности алгоритмов, рассчитанных для приблизительных значений характеристик модели.

Лишь небольшая часть из упомянутых работ посвящена минимаксному оцениванию сингулярных моделей (в которых ковариационная матрица помех наблюдения может быть вырожденной, случайные параметры являются произвольно коррелированными и т.п.). Для исследования таких моделей привлекают частные соображения, использующие специальную структуру рассматриваемого множества неопределенности [6,34,41,64]. Отметим, что метод двойственной задачи в сингулярных моделях уже неприменим, т.е. оптимальная оценка, построенная для наименее благоприятной матрицы ковариаций может не быть минимаксной [63].

В настоящей работе для построения минимаксных оценок в сингулярных конечномерных моделях используется метод регуляризации А.Н.Тихонова [11,65]. Ранее подобный метод использовался многими авторами для решения задач оптимальной фильтрации и оценивания в стохастических моделях, где случайный шум (в канале наблюдения) имеет вырожденную матрицу ковариаций [17,36]. В работе [3] минимаксный фильтр строился на основе регуляризованного критерия оценивания, однако существование предельного фильтра и его минимаксность в исходной модели не обсуждалась.

Исследование бесконечномерной задачи минимаксного оценивания в данной работе ведется в рамках стохастической модели (распределение случайных элементов считается известным с точностью до заданного математического ожидания и принадлежности ковариационного оператора некоторому множеству). Задачи минимаксного оценивания в бесконечномерных регрессионных моделях, содержащих неопределенные неслучайные параметры, изучались в работах А.М.Федотова [66,67] и Ю.В.Пытьева [56]. Задача минимаксного оценивания для стохастической модели при экстремальных ограничениях на ковариации случайных элементов решена А.В.Борисовым и А.Р. Панковым в [7], а также в [8] (для обобщенной линейной регрессионной модели).

Актуальность темы.

Относительно истинных значений параметров и шумов наблюдения зачастую имеется разнородная информация. Поэтому возникает необходимость рассматривать модели, в которых разделение параметров проводится по типу априорной информации, доступной относительно их характеристик.

Задача оптимального оценивания по среднеквадратическому критерию является хорошо изученной. Поэтому одним из наиболее общих и одновременно просто реализуемых алгоритмов минимаксного оценивания является метод, основанный на использовании решения задачи максимизации оптимального значения среднеквадра-тической ошибки (по множеству допустимых характеристик модели). Актуальной является проблема описания необходимых и достаточных условий, при которых оптимальная оценка, построенная для наименее благоприятного случая, является минимаксной.

Во многих сингулярных задачах минимаксного оценивания указанный метод двойственной (максиминной) задачи не применим. В связи с этим появляется необходимость построения общего метода, пригодного одновременно как для регулярных, так и для сингулярных моделей. Такой метод (по аналогии с задачей оптимального оценивания) можно получить на основе метода регуляризации Тихонова.

Основной прием, который позволяет обосновать приемлемость линейных процедур оценивания, основан на теореме о нормальной корреляции. Актуальной является проблема распространения указанного результата на задачу минимаксного оценивания случайных элементов.

Цель работы — исследовать задачу минимаксного оценивания для наиболее общего вида линейных регрессионных моделей, содержащих разнотипные параметры, без априорного предположения о невырожденности распределений случайных параметров. Для достижения указанной цели необходимо:

1) исследовать структуру алгоритма оценивания, использующего решение двойственной задачи;

2) построить общую процедуру минимаксного оценивания, пригодную как для регулярных, так и для сингулярных моделей;

3) обобщить известные результаты об оптимальном оценивании случайных элементов на случай минимаксной постановки проблемы оценивания;

4) получить алгоритмы оценивания для моделей частного вида.

Методы исследования.

1. Для получения алгоритма оценивания, основанного на решении двойственной задачи, применяются методы линейной алгебры (псевдообращение матриц) и выпуклого анализа (теоремы о минимаксе, теория субдифференциала).

2. Для исследования регуляризации задачи минимаксного оценивания применительно к сингулярным моделям используются результаты из теории регуляризации (по Тихонову) оптимизационных задач.

3. Для получения минимаксного варианта теоремы о нормальной корреляции в бесконечномерном случае используются методы функционального анализа (теория оснащенного гильбертова пространства).

Научная новизна.

1. В работе рассматривается наиболее общий вид модели линейной регрессии, содержащей разнотипные параметры: неслучайные неограниченные, неслучайные ограниченные, случайные параметры с ограниченными моментами второго порядка и возможно вырожденными распределениями.

2. На основе метода регуляризации Тихонова и использования решения двойственной задачи разработан алгоритм минимаксного оценивания, применимый как для регулярных, так и для сингулярных моделей.

3. Исследована устойчивость алгоритма минимаксного оценивания по отношению к неточностям, связанным с решением двойственной задачи.

4. Решена задача минимаксного оценивания случайных элементов для случая, когда математическое ожидание является заданным, а ковариационный оператор принадлежит некоторому выпуклому множеству. Данный результат применен к решению задачи минимаксной фильтрации в непрерывной модели Калмана.

5. Полученные результаты применены к исследованию различных обобщенных линейных регрессионных моделей (в основном сингулярных).

Практическая значимость. Полученные результаты создают математическую основу для построения общих численных процедур минимаксного оценивания, применимых для широкого круга задач, возникающих при обработке сигналов и изображений, оценивании параметров движения летательных аппаратов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы обсуждались на научных конференциях и симпозиумах: "Бортовые интегрированные комплексы и современные проблемы управления" (Ярополец, 1998); Всероссийская конференция "научные чтения школы академика B.C. Пугачева" (Военный авиационный технический университет, 1999); 1-ая Международная конференция по проблемам управления (ИПУ РАН, 1999); 6-ой Международный симпозиум по теории адаптивных систем управления (С.-Петербург, 1999); "Идентификация систем и задачи управления" (ИПУ РАН, 2000); Международный симпозиум IFAC по теории нелинейных систем управления (С.-Петербург, 2001); 7-ая Международная конференция "Системный анализ и управление космическими комплексами" (Евпатория, 2002), а также на научных семинарах под руководством проф. А.И. Кибзуна (МАИ), проф. Б.М. Миллера (ИППИ РАН), проф. Б.Т. Поляка (ИПУ РАН).

Диссертация была поддержана грантами РФФИ №99-01-01088, №01-01-00416, №02-01-00361, Министерства Образования РФ №Т00-6.8-1294 и ISSEP №а00-204, № а2001-44.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях [47, 51,52] и в сборниках трудов научных конференций [46,48-50,84-89].

Структура диссертации. Диссертация содержит 4 главы. В первой главе рассматриваются конечномерные обобщенные неопределенно-стохастические регрессионные модели, их наиболее важные частные случаи, а также алгоритмы минимаксного оценивания, использующие двойственную задачу. Во второй главе для минимаксного оценивания в сингулярных конечномерных моделях применен метод регуляризации А.Н.Тихонова в комбинации с использованием решения двойственной задачи, исследованы вопросы, связанные с устойчивостью алгоритма оценивания по отношению к неточности решения двойственной задачи. Третья глава посвящена исследованию задачи минимаксного оценивания в бесконечномерной неопределенно-стохастической модели при достаточно общем предположении относительно множества допустимых ковариационных операторов. Четвертая глава содержит примеры, описывающие различные частные случаи, изучаемых в работе моделей, и соответствующие алгоритмы минимаксного оценивания.

Основные результаты данной главы сформулированы в примерах 4.6 и 4.7.

Заключение

Результаты, полученные в диссертационной работе, описывают решение следующих проблем минимаксного оценивания и фильтрации:

1) задача минимаксного аффинного оценивания по среднеквадратическому критерию в линейной обобщенной неопределенно-стохастической регрессии;

2) необходимое и достаточное условие разрешимости исходной минимаксной задачи оценивания через решение двойственной задачи;

3) задача минимаксного нелинейного оценивания по среднеквадратическому критерию в линейной обобщенной модели, содержащей неопределенные неслучайные параметры и случайный вектор с известным средним и ограниченной ковариацией;

4) построение единого алгоритма оценивания, пригодного как для регулярных, так и для сингулярных моделей, и основанного на решении двойственной задачи;

5) устойчивость алгоритма оценивания по отношению к неточности, связанной с решением двойственной задачи;

6) задача минимаксного оценивания для случайных элементов, неопределенность которых описывается в терминах двух моментных характеристик: математические ожидания известны, а ковариационный оператор принадлежит заданному множеству;

7) задача минимаксной фильтрации в непрерывной модели Калмана, неопределенность которой задается через дисперсионные функции возмущающих процессов.

Результаты, полученные в диссертационной работе, позволяют описать рамки применимости метода минимаксного оценивания, основанного на использовании решения двойственной задачи (см. гл. 1). Известные модели регрессий, изучаемые разными методами в различных областях статистики, теории фильтрации, регрессионного анализа, а также всевозможные их комбинации, можно теперь рассматривать как частные случаи обобщенной модели линейной неопределенно-стохастической регрессии (см. разд. 1.7).

Используя метод, основанный одновременно на решении двойственной задачи и регуляризации исходной модели, удалось сформулировать единый алгоритм минимаксного оценивания, пригодный как для регулярных, так и для сингулярных моделей. Благодаря методу Тихонова устойчивого решения оптимизационных задач при неточных данных, стало возможным доказать сходимость регуляризованных оценок, если двойственная задача на каждом шаге решается неточно (см. гл. 2).

Для стохастической бесконечномерной модели наблюдения удалось удалось установить факт о том, что линейная оценка является минимаксной, а гауссовское распределение является наименее благоприятным, если неопределенность модели формулируется в терминах ковариационных операторов (см. гл. 3). Этот результат применен к задаче минимаксной фильтрации в непрерывной модели Калмана (см. гл. 4).

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Вид минимаксной аффинной оценки в линейной обобщенной неопределенно-стохастической регрессионной модели (теорема 1.6).

2. Минимаксный вариант теоремы о нормальной корреляции для линейной обобщенной неопределенно-стохастической модели, не содержащей ограниченные неслучайные параметры (теорема 1.8).

3. Алгоритмы минимаксного оценивания, основанные на регуляризации и использовании двойственной задачи (теоремы 2.2, 2.5).

4. Вид минимаксной процедуры оценивания гильбертова случайного элемента (теоремы 3.3, 3.4).

5. Вид минимаксного фильтра в непрерывной модели Калмана при ограничениях на матрицы интенсивности процессов белого шума (пример 4.7).

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

2. Александров В.М. Минимаксный подход к решению задачи обработки информации. Изв. АН СССР. Техн. киберн., №5, с. 124-136, 1966.

3. Ананьев Б.И. Минимаксная линейная фильтрация многошаговых процессов с неопределенными распределениями возмущений. Автоматика и телемеханика., № 10, с.131-139, 1993.

4. Ананьев Б.И. Информационные множества для многошаговых статистически неопределенных систем. Тр. Матем. ин-та им. Стеклова, (Доп. вып. 2: Тр. ИММ УрО РАН), с. 1-15, 2000.

5. Балакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

6. Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980.

7. Борисов A.B., Панков А.Р. Проблемы минимаксного оценивания случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах. Автоматика и телемеханика, №6, с. 61-75, 1996.

8. Борисов A.B., Панков А.Р. Минимаксное линейное оценивание в обобщенных неопределенно-стохастических системах. I. Оценивание случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах. Автоматика и телемеханика, №5, с.102-111, 1998.

9. Васильев Ф.П. Численный методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1980.

10. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

11. Вахания H.H., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1985.

12. Голубев Г.А., Муравлев О.В., Писарев В.Ф. Линейная рекуррентная фильтрация динамических процессов с дискретным временем при частичной информации о возмущающих процессах. Автоматика и телемеханика, №12, с. 49-59, 1989.

13. Голубев Г.А., Муравлев О.В., Писарев В.Ф. Синтез минимаксных линейных фильтров минимальной размерности для динамических процессов с дискретным временем. Автоматика и телемеханика, №4, 1991.

14. Голубев Г. А. Минимаксная линейная фильтрация динамических процессов с дискретным временем. Автоматика и телемеханика, №2, с. 72-81, 1984.

15. Голубев Г.А. Синтез минимаксных линейных фильтров по локальному и интегральному критериям. Автоматика и телемеханика, №4, с. 53-62, 1988.

16. Григорьев Ф.Н., Кузнецов H.A., Серебровский А.П. Управление наблюдениями в автоматических системах. М.: Наука, 1986.

17. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. М.: Наука, 1984.

18. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981.

19. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория планирования эксперимента. М.: Наука, 1987.

20. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975.

21. Зверев А.П., Кибзун А.И., Малышев В.В. Обобщенный минимаксный подход в задаче оценивания. Изв. АН СССР. Техн. киберн., №4, 1986.

22. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1977.

23. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

24. КацИ.Я., Куржанский A.B. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях. Автоматика и телемеханика, №11, с.79-87, 1978.

25. Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Модифицированный метод невязки в статистически неопределенной задаче оценивания. Автоматика и телемеханика, №2, с. 100109, 1994.

26. Кац И.Я. Минимаксно-стохастические задачи оценивания в многошаговых системах. В кн. Оценивание в условиях неопределенности, с. 43-59. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982.

27. Колмановский В.В., Матасов А.И. Об одном приближенном методе решения минимаксных задач фильтрации в системах с последействием. Автоматика и телемеханика, №6, с. 125-147, 1996.

28. Красовский H.H. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем. Прикладная математика и механика, т. 28, JVfil, с. 3-14, 1964.

29. Куке А., Ольман В. Минимаксная линейная оценка коэффициентов регрессии. Изв. АН Эст. ССР. Сер. физ.-мат., т. 21, №1, с. 66-72, 1972.

30. Куржанский А.Б. Управление и оценивание в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

31. Куржанский A.B. Задача идентификации: теория гарантирующих оценок (обзор). Автоматика и телемеханика, №4, с. 3-26, 1991.

32. Куркин О.М., Коробочкин Ю.Б., Шаталов С.А. Минимаксная обработка информации. М.: Энергоатомиздат, 1990.

33. Лидов M.JL, Бахшиян Б.Ц., Матасов А.И. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания (обзор). Космич. исслед., т. 29, №5, с. 659-684, 1991.

34. Лидов М.Л. К априорным оценкам точности определения параметров по методу наименьших квадратов. Космич. исслед., т.2, №5, с. 713-718, 1964.

35. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

36. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователей. М.: Наука, 1991.

37. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдений и управления летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1989.

38. Матасов А.И. Об оптимальности линейных алгоритмов оценивания гарантирующего оценивания. Часть I. Космич. исслед., т. 26, №5, с. 643-653, 1988.

39. Матасов А.И. Об оптимальности линейных алгоритмов оценивания гарантирующего оценивания. Часть II. Космич. исслед., г.26, л"-6, с.807-812, 1988.

40. Матасов А.И. Введение в теорию гарантирующего оценивания. М.: МАИ, 1999.

41. Мелас В.Б. О выборе плана эксперимента и метода оценивания при наличии априорных сведений о параметрах. В кн. Математические методы планирования эксперимента, с. 155-173. Новосибирск: Наука, 1981.

42. Мелешко В.И. Рекуррентное статистическое оценивание на основе псевдообратных операторов. Автоматика и телемеханика, №8, с. 101-110, 1976.

43. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариационных уравнений в гильбертовых пространствах. Киев: Изд-во КГУ, 1989.

44. Панков А.Р., Миллер Г.Б. Минимаксная линейная рекуррентная фильтрация неопределенно-стохастических последовательностей по интегральному критерию. Информационные процессы, т. 1, №2, с. 150-166, 2001.

45. Панков А.Р., Семенихин К.В. Минимаксная идентификация неопределенно-стохастической линейной модели. Автоматика и телемеханика, №11, с. 158-171, 1998.

46. Панков А.Р., Семенихин К.В. Методы параметрической идентификации многомерных линейных моделей в условиях априорной неопределенности. А.етпомо.тп-н-ка и телемеханика, № 5, с. 76-92, 2000.52.