автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы робастной оптимизации стратегий в линейных стохастических моделях

Введение

1 Минимаксная квадратическая оптимизация

1.1. Основные обозначения

1.2. Постановка задачи.

1.3. Существование решения

1.4. Двойственная задача.

1.4.1. Решение двойственной задачи.

1.4.2. Доказательство основных теорем.

1.4.3. Решение двойственной задачи с неточно заданными параметрами ограничений

2 Алгоритм решения задачи минимаксной квадратической оптимизации

2.1. Алгоритм решения прямой задачи.

2.2. Алгоритм решения двойственной задачи.

2.2.1. Алгоритм решения на многогранном множестве.

2.2.2. Алгоритм решения при неопределенности в ограничениях

2.2.3. Различные виды множеств неопределенности.

2.3. Регуляризация задачи минимаксной квадратичной оптимизации

3 Минимаксная оптимизация по квантильному критерию

3.1. Постановка задачи.

3.2. Решение задачи минимаксной оптимизации.

3.3. Алгоритм построения минимаксной стратегии.

4 Прикладная часть

4.1. Задача инвестирования в условиях неопределенности.

4.1.1. Постановка задачи инвестирования.

4.1.2. Решение задачи инвестирования.

4.1.3. Условие несмещенности в задаче инвестирования.

4.1.4. Численное моделирование различных задач.

4.1.5. Задача с критерием в виде функции полезности.

4.1.6. Операционные издержки.

4.2. Задача оптимизации производства.

4.3. Примеры решения задач квантильной оптимизации

4.4. Минимаксная задача оценивания бесконечномерного вектора по конечномерным наблюдениям.

4.4.1. Постановка задачи.

4.4.2. Решение задачи оценивания.

4.4.3. Модельные примеры.

4.5. Прогнозирование движения космического аппарата.

4.5.1. Общая постановка задачи.

4.5.2. Задача определения траектории движения КА.

4.5.3. Модельный пример.

Теоретическое и прикладное значение задачи математического программирования, т.е. проблемы отыскания оптимальной стратегии где — целевой функционал минимизации, X — множество допустимых стратегий, хорошо известно и не требует специального обоснования. Для решения задачи (0.1) в настоящее время разработаны эффективные вычислительные процедуры [15, 23, 34, 60, 81, 90, 93]. Заметим, что задача (0.1) возникает в случае, когда исходная оптимизируемая модель системы является детерминированной (т.е. не содержит случайных параметров). Если же исходная модель включает вектор £ случайных параметров с распределением то (0.1) обычно принимает вид

Если распределение Р£ известно, то задача (0.2) сводится к (0.1) и может быть решена стандартными методами. К виду (0.2) могут быть приведены многочисленные задачи, связанные с оцениванием параметров и идентификацией стохастических моделей [1, 12, 31, 81, 97, 105, 107, 109], оцениванием и оптимизацией стохастических процессов. Наиболее полные результаты получены для задачи идентификации и оптимизации линейной системы с гауссовским распределением Р£ и квадратичным критерием качества [5, 8, 22, 42, 44, 46, 50, 61, 78, 84, 85]. В последнее время были также развиты методы оптимизации стохастических систем по вероятностным и квантиль-ным критериям [38, 52, 89,101,105,119, 120]. В задачах оценивания и идентификации обычно предполагается, что множество X является подпространством, что несколько облегчает проблему и зачастую позволяет получить аналитическое решение задачи. В задачах оптимизации управления и принятия решений наличие ограничений X становится принципиально важным. К таким задачам относятся проблемы распределения ограниченных ресурсов [34, 39, 81], навигация и управление летательными аппаратами, обработка результатов летных испытаний [11, 52, 29, 32], планирования инвестиций [2, 80, 94], построение портфеля ценных бумаг [38, 79,102, 109, 110, 112, 120], факторный анализ систем [36], оптимизация производства и потребления в условиях неопределенности [43, 57] и многие другие практически важные задачи.

Указанные выше модели и методы оптимизации стохастических систем имеют один общий недостаток, связанный с предположением о том, что истинное распределение Р^ случайных факторов оптимизируемой модели известно априори. На практике обычно это предположение не выполнено, а мы можем в лучшем случае рассчитывать на выполнение включения Р^ £ V, где V — достаточно широкий класс х G argminS(i), хех

0.1) х е arg minQ^a;, Р^). хех

0.2) допустимых законов распределения. Для решения задачи стохастической оптимизации в указанных условиях используются два принципиально различных подхода: адаптивный и гарантирующий.

В рамках адаптивного подхода имеющаяся измерительная информация используется для построения оценки Р^ 6 V неизвестного закона Pj, после чего решается задача (0.2), где Р^ заменено на При определенных условиях удается получить оценки стратегий, асимптотически эквивалентные оптимальным. Исследованию адаптивного подхода в задачах стохастической оптимизации посвящено значительное число работ, из которых отметим [82, 90]. Заметим, что алгоритмы адаптации зачастую сходятся достаточно медленно, что приводит к необходимости обработки больших массивов измерительной информации, получение которых на практике бывает невозможным или сопряжено с большими трудностями.

Гарантирующий подход основан на использовании игровых постановок задачи (0.2) и нацелен на построение минимаксной стратегии следующего вида: х G argmin sup (0.3) хех p^ev

Оптимальная в минимаксном смысле стратегия (0.3) является робастной в следующем смысле.

1) Она обладает гарантирующим свойством, так как для любого распределения zV выполнено где Р{ € V наихудшее распределение на классе V. Следовательно, она является нечувствительной к изменениям закона распределения Р^.

2) Данная гарантирующая стратегия является неулучшаемой, так как Ух Е X выполнено

Таким образом, робастная стратегия является неулучшаемой гарантирующей стратегией.

Одна из первых минимаксных задач — задача о наилучшем равномерном приближении функции многочленами — была поставлена еще П.Л. Чебышевым и интенсивно изучалась многими авторами [21, 27]. Эта задача по существу является частным случаем задачи отыскания максимина с распадающимися переменными, к которой могут быть сведены решения задач антагонистических игр [39, 56], поиск равновесия в бескоалиционных играх [58].

В работах В.Ф. Демьянова и В.В. Федорова [26, 91] исследовалась задача поиска максимина со связанными переменными. Стохастические минимаксные задачи рассмотрены в работах Ю.М. Ермольева [31], Е.А. Нурминского [59], С.К. Завриева [33]. Различные аспекты минимаксной техники, возникающие в задачах стохастического программирования, отражены также в работах В.В. Малышева, М.Н. Красилыцико-ва, А.И. Кибзуна, Ю.С. Кана [35, 52, 105].

Применение теоретико-игровых соображений в статистике впервые было предложено Вальдом [126]. Его идеи в дальнейшем были значительно развиты Хьюбером, что привело к формированию раздела статистики, изучающего робастные процедуры оценивания [92]. В нашей стране изучение задачи гарантирующей обработки измерений связано с именами Н.Н. Красовского [45], M.JI. Лидова [48] и В.М. Александрова [3]. Дальнейшее развитие минимаксного оценивания связано с именами Б.Т. Поляка и Я.З. Цыпкина [82, 93], А.В. Куржанского [42, 46], И.Я. Каца [41], И.В. Ананьева [4], Г.А. Тимофеевой [89], В.И. Ширяева [95].

Первые упоминания о применении минимаксной техники для стохастических моделей, неопределенность которых описывается в терминах первых двух моментов, содержатся в заметке В. Ванделинде [123]. Задача минимаксной фильтрации в дискретной модели Калмана с такого рода ограничениями была решена С. Верду и Г.В. Пуром [125].

В диссертации рассматриваются задачи минимаксной оптимизации по двум критериям: среднеквадратическому и квантильному. Если первая задача является достаточно хорошо изученной, то оптимизация по квантильному критерию подробно изучена применительно к моделям с полной априорной информацией [105, 119]. С целью создания методов синтеза стратегий, обладающих свойством робастности по отношению к возможным отклонениям реальных параметров модели от их номинальных значений, в последнее время была начата работа по созданию минимаксных аналогов квантильного критерия. В работе [101] получены важные результаты по минимаксной оптимизации с использованием этого критерия. Тем не менее эта задача все еще остается мало изученной, поэтому в диссертационной работе предпринята попытка восполнить имеющиеся теоретические и практические пробелы.

В ряде работ [20, 74, 101, 120, 125] класс распределений V .является параметрическим, т. е. задается в виде множества неопределенности на первые две моментные характеристики распределения Р^. Тогда задачу (0.3) можно представить в виде х G argminsupF(a;,?/), (0.4) y6Y где у, например, матрица вторых моментов, a Y — множество таких матриц, задающих класс распределений V.

Задачу (0.4) можно трактовать как задачу минимизации функции максимума f(x)=supF(x,y). (0.5)

У&У на множестве X. Поэтому естественной представляется попытка рассмотреть минимаксную задачу (0.4) как задачу математического программирования xGargmin f(x). (0.6) хех

Задачу (0.5), (0.6) обычно называют прямой задачей минимаксной оптимизации. Подавляющее число работ, связанных с использованием минимаксного подхода в оптимизации, посвящены исследованию теоретических и вычислительных аспектов решения именно прямой задачи [7, 23, 27, 31, 60, 91]. Успех в применении прямого метода определяется степенью сложности решения задачи (0.5). Если функцию f(x) удается найти аналитически, то поиск стратегии а; является стандартной проблемой математического программирования (обзор соответствующих результатов приведен ниже). Для задач квадратической и квантильной оптимизации, изучаемых в данной работе, явный вид функции f(x) найти не удается. Более того, оказывается, что функция f(x) — негладкая, поэтому ее численная оптимизация стандартными методами невозможна.

Для решения проблемы минимаксной оптимизации в данной работе предлагается использовать метод, основанный на использовании решения двойственной (по отношению к исходной минимаксной проблеме) задачи. Согласно этому подходу минимаксная стратегия строится как оптимальная, но рассчитанная для наихудшего распределения случайных параметров модели.

Двойственная задача оптимизации имеет вид: у € argmax inf F(x, у). уЕу хех

Тогда поиск стратегии х, при определенных условиях, сводится к решению задачи х € argmin F(x, у).

Систематическое использование двойственного подхода в задачах априорного минимаксного оценивания в условиях статистической неопределенности начато относительно недавно [72-74, 87, 88]. Показано, что при весьма общих условиях переход к двойственной задаче позволяет получить аналитические выражения робастных стратегий через решения двойственной задачи. Кроме того, такой метод решения позволяет строить эффективные численные алгоритмы нахождения оптимальных в минимаксном смысле стратегий.

Обоснованность применения метода перехода к двойственной задаче в задаче оценивания без ограничений в общих теоретико-игровых терминах была установлена в [124]. В этой же работе найден вариант теоремы о минимаксе, позволяющий утверждать, что при выполнении некоторых условий задача поиска минимаксной стратегии оценивания сводится к решению максиминной проблемы. В работе [125] эта техника была использована для решения задачи минимаксной фильтрации в дискретной модели Калмана. В [87] проведено сравнение методов оптимизации, основанных на применении теорем о минимаксе и свойств сопряженных функций. В работах [53, 111] показано, что задача минимаксного оценивания в непрерывной модели наблюдений может быть сведена к проблеме моментов, для решения которой можно использовать методы выпуклого анализа и теории двойственности.

Как указано выше, в общем случае решение прямой задачи оптимизации требует разработки специальных вычислительных методов.

Чаще всего встречающийся подход к построению численных методов для решений задачи (0.5) связан с использованием производной по направлению функции максимума (минимума). Эта формула в частных случаях была получена И.В. Гирса-новым и Б.П. Пшеничным, в общем случае она установлена Дж.М. Данскиным [24] и В.Ф. Демьяновым [26]. Наиболее полный обзор по данному вопросу дан в [28]. С использованием производной по направлению разработан ряд численных методов отыскания оптимальных минимаксных стратегий [23, 27, 60, 81, 96]. В качестве критики этих методов можно сказать, что все они применимы в основном для ограниченного множества допустимых стратегий.

Отдельно имеет смысл выделить стохастические квазиградиентные методы. Основная идея этих методов состоит в использовании вместо точных значений градиентов или их аналогов (для негладких функций) случайных направлений — стохастических квазиградиентов [31, 33, 59, 90, 97]. Стохастические квазиградиентные методы позволяют решать как задачи нелинейного, так и стохастического программирования с достаточно общими ограничениями. Основным недостатком стохастических квазиградиентных методов является медленная скорость сходимости итерационного процесса.

Другой метод решения минимаксных задач — это метод штрафных функций. В математическом программировании метод штрафных функций позволяет свести экстремальную задачу с ограничениями к последовательности безусловных задач оптимизации. Это дает возможность применить для решения исходной задачи хорошо изученные методы безусловной оптимизации. Развитие метода штрафных функций идет по двум направлениям. Первое направление состоит в уточнении возможностей метода в классическом математическом программировании; второе — в расширении класса решаемых задач, в том числе для решения минимаксных задач [7, 18, 91]. К достоинствам метода относятся его простота и универсальность, позволяющая использовать его в самых различных задачах. Однако, численная реализации метода штрафов представляет довольно сложную проблему, это связано со специфическим характером получающихся безусловных задач. В частности, при больших значениях параметра штрафа оптимизируемые функции имеют "овражный" вид. Методы преодоления возникающих трудностей существуют (см., например [91]), однако, полностью избавиться от них не удается.

Отметим также эффективный численный метод Б.П. Пшеничного, называемый методом линеризации [23]. Применение этого метода для решения минимаксных задач описано в [62].

В заключении обзора численных методов решения задач негладкой оптимизации скажем об одном из последних методов математического программирования. Этот метод позволяет сводить исходной задачи (в том числе и минимаксные) к классам задач, называемым Semidefinite Programming [99] и Second-Order Cone Programming (SOCP) [100], которые являются обобщением задач линейного и квадратичного программирования. В основе решения этих задач лежит метод внутренней точки, разработанный Ю.Е. Нестеровым и А.С. Немировским [114].

Похожий способ решения минимаксных задач используется в работах M.JI. Лядова, А.И. Матасова и Б.Ц. Бахшияна, когда решение исходной задаче для некоторых специальных классов распределений V сводится к решению задач стандартного или обобщенного линейного программирования [11, 49].

Все описанные численные методы предназначены для решения прямой задачи (0.4), что не позволяет построить более эффективные численные методы, даже в том случае, когда двойственная задача обладает лучшими свойствами (гладкость, явный вид функции минимума и др.) по сравнения с исходной задачей. Поэтому в тех случаях, когда двойственная задача решается проще, возникает необходимость построения численных методов, основанных на переходе к двойственной задаче и ее решении. Построение таких методов — одна из основных задач диссертации.

В работе исследуются задачи, которые в силу их постановки обладают тем свойством, что двойственная задача оказывается проще прямой, а вычисление стратегии х (при условии, что двойственная задача решена) осуществляется либо аналитически, либо стандартными численными методами, поскольку в этом случае поиск х сводится к решению задачи линейного, квадратичного или SOCP программирования.

Для доказательства сходимости численных алгоритмов решения двойственной задачи была использована техника, разработанная У. Зангвиллом [34], получившим в общей форме необходимые и достаточные условия сходимости итерационных алгоритмов. Существуют также и другие способы доказательства сходимости, например, теория релаксационных процессов Любича и Майстровского [51], или теория фейе-ровских отображений [30, 31].

Одной из прикладных задач диссертации является обобщение задачи Маркови-ца [109], которая посвящена оптимизации инвестиционного портфеля ценных бумаг и является частным случаем задачи квадратичного программирования. Исследованию задачи Марковица посвящено значительное число работ [2, 38, 79, 101, 112, 120]. В модели Марковица предполагаются известными первые две моментные характеристики распределений PR случайных доходностей ценных бумаг и, кроме того, само распределение считается гауссовским. Обработка наблюдений показывает, что распределение доходностей не является гауссовским, а моментные характеристики могут быть вычислены лишь приближенно [94].

Оставаясь далее в рамках модели риска Марковица, в работе предполагается ослабить априорные предположения о виде распределения, рассмотрев класс распределений V = {Рд : т = E{i?} 6 М, V = соv{R, R} 6 V}.

Далее полученная задача решается в рамках минимаксного подхода с использованием среднеквадратического и квантильного критерия, основываясь на теоретических результатах, полученных в диссертации.

Основными задачами данной работы являются:

1) вывод условий существования робастных стратегий в задачах минимаксной квадратической оптимизации и минимаксной оптимизации по квантильному критерию;

2) создание общего подхода для получения минимаксных стратегий с использованием двойственной задачи;

3) разработка и исследование вычислительных алгоритмов построения указанных стратегий;

4) применение полученных результатов для решения прикладных задач.

Диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе рассматривается задача минимаксной квадратической оптимизации: изучается проблема оптимизации стратегий по критерию, который представляет собой точную верхнюю грань некоторого семейства неотрицательных квадратичных форм, при наличии ограничений в виде линейных равенств и неравенств. Получены условия существования минимаксных стратегий. Для решения проблемы минимаксной квадратической оптимизации в данной работе предлагается использовать метод, основанный на использовании решения двойственной задачи. Показано, каким образом можно использовать двойственное решение для нахождения минимаксной стратегии. Найдены достаточные условия, при которых возможен переход к двойственной задаче для многогранных множеств допустимых стратегий и множества, содержащего неопределенности в ограничениях. Приводится явный вид минимаксных стратегий для многогранного множества допустимых стратегий. Основным итогом первой главы следует считать теоремы, позволяющие строить минимаксные стратегии в задаче квадратической оптимизации через решение двойственной задачи.

Во второй главе рассматриваются численные методы решения задачи минимаксной квадратической оптимизации для двух видов множества допустимых стратегий. Подробно описывается алгоритм их реализации, обсуждаются способы решения вспомогательных задач математического программирования, возникающих при реализации алгоритма. Доказываются теоремы о сходимости итерационного процесса решения минимаксной задачи. При этом выясняется роль замкнутости отображений, задающих последовательность точек, вырабатываемую итерационным алгоритмом. Приводятся примеры различных множеств неопределенностей на моментные характеристики модели, при которых решение задачи значительно упрощается. Рассматривается возможность регуляризации исходной задачи для более широкого класса неопределенностей.

Третья глава посвящена задаче минимаксной оптимизации по квантильному критерию. Априорная информация о законе распределения случайного вектора исчерпывается заданием некоторых ограничений на моменты первого и второго порядков. Рассмотрен способ перехода от задачи квантильной оптимизации к минимаксной детерминированной задаче оптимизации специального вида. Подробно изучаются свойства оптимизируемого функционала в детерминированной задаче. Формулируется понятие минимаксной стратегии, для построения которой используется теория двойственности выпуклого программирования. В случае, когда множество допустимых стратегий задается ограничениями в виде линейных равенств и неравенств, для построения минимаксной стратегии найдена аналитическая зависимость от решения двойственной задачи. Исследована проблема существования и единственности минимаксной квантильной стратегии. На основе решения двойственной задачи разработан численный алгоритм, доказана его сходимость.

Четвертая глава содержит примеры решения минимаксных задач из экономики и обработки информации: задачи формирования инвестиционного портфеля ценных бумаг в условиях априорной неопределенности, задачи оптимизации модели производства, минимаксная задача оценивания бесконечномерного вектора по конечномерным наблюдениям. Приводятся численные расчеты для конкретных прикладных задач, подробно анализируются полученные результаты моделирования.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [64-73, 116-118].

Заключение

В диссертации решены задачи минимаксной оптимизации по двум критериям: среднеквадратическому и квантильному. Для решения проблемы минимаксной оптимизации в работе использован метод, основанный на решении двойственной (по отношению к исходной минимаксной проблеме) задачи. Согласно этому подходу минимаксная стратегия строиться как оптимальная, рассчитанная для наименее благоприятного сочетания случайных параметров модели. Переход к двойственной задаче позволил получить аналитические выражения робастных стратегий через решения двойственной задачи для многогранного множества допустимых стратегий. Кроме того, на его основе построены эффективные численные алгоритмы нахождения оптимальных в минимаксном смысле стратегий, что позволяет решать задачи, для которых применение прямых численных методов затруднено.

В диссертации решены следующие задачи:

1) поставлена и решена задача минимаксной квадратической оптимизации линейной стохастической модели, т.е. проблема минимизации точной верхней грани некоторого семейства квадратичных форм, получены условия существования минимаксных стратегий;

2) сформулирована и решена задача минимаксной оптимизации линейной стохастической модели по квантильному критерию;

3) получены условия разрешимости исходных минимаксных задач оптимизации через решение двойственной задачи;

4) разработаны численные методы построения стратегии, которая минимизирует критерий в условиях, когда первые две моментные характеристики случайных параметров модели известны лишь с точностью до принадлежности некоторым выпуклым компактным множествам;

5) разработанные методики применены для решения прикладных задач.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Постановка и решение задачи минимаксной квадратической оптимизации на основе двойственной задачи (теоремы 1.2, 1.3).

2) Численный метод решения задачи минимаксной квадратической оптимизации (алгоритмы 2.1 и 2.2), доказательство его сходимости (теоремы 2.2, 2.3).

3) Вид оптимальной стратегии в задаче минимаксной оптимизации по квантиль-ному критерию (теоремы 3.3, 3.4).

4) Численный метод решения задачи минимаксной оптимизации по квантильно-му критерию (алгоритм 3.1), доказательство его сходимости (теорема 3.5).

5) Постановка и решение минимаксной задачи оптимизации инвестирования по среднеквадратическому и квантильному критериям в условиях априорной неопределенности.

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

2. Александер Г.Дж., Бэйли Д.В., Шарп У.Ф. Инвестиции. М.: Инфра-М, 2001.

3. Александров В.М. Минимаксный подход к решению задачи обработки информации. Изв. АН СССР. Техн. киберн., № 5. с. 124-136, 1966.

4. Ананьев Б.И. Информационные множества для многошаговых статистически неопределенных систем. Тр. Матем. ин-та им. Стеклова, (Доп. вып. 2: Тр. ИММ УрО РАН), с. 1-15, 2000.

5. Андреева Е.А. Колмановский В.Б., Шайхет JI.E. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992.

6. Арсенин В.Я., Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задан. М.: Наука, 1979.

7. Астафьев Н.Н., Еремин И.И. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976.

8. Афанасьев В.Н., Носов В.Р., Колмановский В.Б. Математическая теория конструирования систем управления М.: Высшая школа, 1989

9. Балакришнан А.В. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1974.

10. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

11. Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980.

12. Боровков А.А. Математическая статистика. Дополнительные главы. М.: Наука, 1984.

13. Брандин В.Н., Разоренов Г.Н. Определение траекторий космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978.

14. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

15. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

16. Вересков А.И., Мягков В.Н. Анализ приближенных решений задачи линейного программирования с размытыми параметрами. Экономика и математические методы, т. 31, в. 1, 1995.

17. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984.

18. Гермейер Ю.Б. К задаче отыскания максимина. Ж. вычисл. матем. и мат. физ., № 1. с. 39-54, 1970.

19. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.

20. Голубев Г.А., Муравлев О.В., Писарев В.Ф. Линейная рекуррентная фильтрация динамических процессов с дискретным временем при частичной информации о возмущающих процессах. Автоматика, и телемеханика, № 12. с. 49-59, 1989.

21. Голынтейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971.

22. Григорьев Ф.Н., Кузнецов Н.А., Серебровский А.П. Управление наблюдениями в автоматических системах. М.: Наука, 1986.

23. Данилин Ю.М., Пшеничный Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.

24. Данскин Дж.М. Теория максимина. М.: Сов. Радио, 1970.

25. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981.

26. Демьянов В.Ф. Минимакс: дифференцируемостъ по направлениям. JL: Изд-во ЛГУ, 1974.

27. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

28. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990.

29. Дмитриевский А.А. и др. Баллистика и навигация ракет. М.: Машиностроение, 1985.

30. Еремин И.И. Фейеровские отображения и задача выпуклого программирования Сиб. мат. журнал, т. 10, № 5, с. 1034-1047, 1969.

31. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976.

32. Жданюк Б.Ф. Основы стохастической обработки траекторных наблюдений. М.: Сов. радио, 1978.

33. Завриев С.К. Стохастические градиентные методы решения минимаксных задач. М.: Изд-во МГУ, 1984.

34. Зангвилл У. Нелинейное программирование. Единый подход. М.: Сов. радио, 1973.

35. Зверев А.И., Кибзун А.И., Малышев В.В. Обобщенный минимаксный подход в задаче оценивания. Изв. АН СССР. Техн. киберн., № 4, 1986.

36. Иберала К. Факторный анализ. М.: Статистика, 1980.

37. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

38. Кан Ю.С., Тузов Н.В. Минимизация квантили нормального распределения билинейной функции потерь. Автоматика и телемеханика, № 11, с. 82-92., 1998.

39. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М: Мир, 1964.

40. Кассам С.А., Пур Г.В. Робастные методы обработки сигналов. ТИИЭР, т. 73. № 3. с. 54-110, 1985.

41. Кац И.Я. Минимаксно-стохастические задачи оценивания в многошаговых системах. В кн. Оценивание в условиях неопределенности, с. 43-59., Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982.

42. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях. Автоматика и телемеханика, № 11, с. 79-87., 1978.

43. Кибзун А.И., Наумов А.В., Уланов С.В. Стохастический алгоритм управления летным парком авиакомпании, Автоматика и Телемеханика, № 8, 2000, с. 126136.

44. Колмановский В.В., Черноусько Ф.Л. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978

45. Красовский Н.Н. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем. Прикладная математика и механика, т. 28, 1, с. 3-14, 1964.

46. Куржанский А.Б. Управление и оценивание в условиях неопределенности. М: Наука, 1977.

47. Куржанский А.Б. Задача идентификации: теория гарантирующих оценок (обзор). Автоматика и телемеханика, № 4, с. 3-26, 1991.

48. Лидов М.Л. К априорным оценкам точности определения параметров по методу наименьших квадратов. Космич. исслед., т. 2, № 5, с. 713-718, 1964.

49. Лидов М.Л., Бахшиян Б.Ц., Матасов А.И. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания (обзор). Космич. исслед., т. 29, № 5, с. 659-684, 1991.

50. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

51. Любич Ю.И., Майстровский Г.Д. Общая теория релаксационных процессов для выпуклых функционалов. Успехи мат. наук, т. 25, № 1, с. 57-112, 1970.

52. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдений и управления летательных аппаратов. М: Машиностроение, 1989.

53. Матасов А.И. Введение в теорию гарантирующего оценивания. М.: МАИ, 1999.

54. Мелас В.Б. О выборе плана эксперимента и метода оценивания при наличии априорных сведений о параметрах. В кн. Математические методы планирования эксперимента. Новосибирск: Наука, с. 155-173, 1981.

55. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимизации. М.: Наука, 1987.

56. Моргенштерн О., Нейман Дж. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

57. Наумов А.В. Двухэтапная задача квантильной оптимизации бюджета госпиталя. Теория и системы управления, № 2, 1996, с. 87-90.

58. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1991.

59. Нурминский Е.А. Численные методы решения детерминированных и стохастических минимаксных задач. Киев. Наукова думка, 1979.

60. Нурминский Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. М.: Наука, 1991.

61. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.

62. Панин В.М. Метод линеаризации для задачи непрерывного минимакса. Кибернетика, № 2. с. 75-78, 1981.

63. Панков А.Р. Стратегии управления в линейной стохастической системе с негаус-совскими возмущениями. Автоматика и телемеханика, № 6. с. 74-83, 1994.

64. Панков А.Р., Платонов Е.Н. Минимаксные алгоритмы оценивания случайных процессов и полей. // Тезисы докладов Международной конференции "Бортовые и интегрированные комплексы и современные проблемы управления", с. 17-18, Ярополец, 8-11 июня 1998.

65. Панков А.Р., Платонов Е.Н. Алгоритмы оценивания случайных процессов и полей с использованием минимаксного критерия качества. // Пугачевские чтения, Академия им. Жуковского, М., 1999.

66. Панков А.Р., Платонов Е.Н. Гарантирующие решения задачи квадратичного программирования с неточно заданными параметрами и их приложения в инвестировании. Известия РАН. Сер. Теория и системы управления, № 1, с. 138-148, 2003.

67. Панков А.Р., Платонов Е.Н., Семенихин К.В. Задача гарантирующего оценивания для неопределенно-стохастической модели эффективностей. // Proceedings of 2nd International Conference "Tools for Mathematical Modeling", СПб, 1999.

68. Панков А.Р., Платонов Е.Н., Семенихин К.В. Минимаксная квадратическая оптимизация и ее приложения к планированию инвестиций. Автоматика и телемеханика, № 12, с. 55-73, 2001.

69. Панков А.Р., Платонов Е.Н., Семенихин К.В. Минимаксная оптимизация инвестиционного портфеля по квантильному критерию. Автоматика и телемеханика, № 7, 2003 (в печати).

70. Панков А.Р., Семенихин К.В. Минимаксная идентификация неопределенно-стохастической линейной модели. Автоматика и телемеханика, № 11, с. 158-171, 1998.

71. Панков А.Р., Семенихин К.В. Методы параметрической идентификации многомерных линейных моделей в условиях априорной неопределенности. Автоматика и телемеханика, № 5. с. 76-92, 2000.

72. Панков А.Р., Семенихин К.В. О минимаксном оценивании в сингулярных неопределенно-стохастических моделях. Автоматика и телемеханика, № 9. с. 76-92, 2002.

73. Пантелеев А.В. Семенов В.В. Синтез оптимальных систем управления при неполной информации. М.: Май, 1992

74. Первозванский А.А. Оптимальный портфель ценных бумаг на нестационарном неравновесном рынке. Экономика и математические методы, т. 35. N2 3, 1999.

75. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Инфра-М, 1994.

76. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1980.

77. Поляк Б.Т., Цыпкин А.З. Адаптивные алгоритмы оценивания (сходимость, оптимальность, устойчивость). Автоматика и телемеханика, № 3. с. 71-84, 1979.

78. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982.

79. Пытьев Ю.П. Методы анализа и интерпретации данных. Изд-во: МГУ, 1990.

80. Ришел Р., Флеминг У. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.

81. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

82. Соловьев В.Н. Двойственные экстремальные задачи и их применение к задачам минимаксного оценивания. Успехи матем. наук, т. 52. № 4. с. 49-86, 1997.

83. Соловьев В.Н. К теории минимаксно-байесовского оценивания. Теория вероятн. и ее примен., т.44, №4, с.738-756, 1999.

84. Тимофеева Г.А. Задачи квантильного управления и обобщенные доверительные множества в условиях неполной информации. Изв. РАН. Теория и системы управления, № 6. с. 48-54, 2002.

85. Урясьев С.П. Адаптивные алгоритмы стохастической оптимизации и теории игр. М.: Наука, 1990.

86. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.

87. Хьюбер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984.

88. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1984.

89. Ширяев А.Н. Основы финансовой стохастической математики. М.: Фазис, 1998.

90. Ширяев В.И. Синтез управления линейными системами при неполной информации. Известия РАН. Техническая кибернетика, № 3. с. 229-237, 1994.

91. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев, Наукова думка, 1979.

92. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Сов. радио, 1979.

93. Basar Т., Bernhard Р. Ноо-optimal control and related minimax design problem. A game theoretic approach. Boston, Birkhauser, 1991.

94. Boyd S., Vandenberghe L. Semidefinite programming. SI AM Review, 38(1), P. 49-95.

95. Boyd S., Lebret H., Lobo M., Vandenberghe L. Second-order cone programming: interior-point methods and engineering applications. Linear Algebra and its Application, 284, P. 193-228.

96. El Ghaoui L., Oks M., Oustry F. Worst-case value-at-risk and robust asset allocation: a semidefinite programming approach. Technical report MOO/59, ERL, University of California, Berkeley, 2000.

97. Elton E.E., Gruber H.J. Modern portfolio theory and investment analysis. N;-Y.: J. Wiley k Sons, 1987.

98. Kendall M.G. The analysis of economic time-series. Journal of the Royal Statistical Society, vol. 96, 1953.

99. Grinold R.C., Kahn R.N. Active Portfolio Management. Chicago: Probus Publ. Co, 1995.

100. Kibzun A.I., Kan Yu.S. Stochastic programming problems with probability and quantile functions. Chichester, N.Y., John Wiley & Sons, 1996.

101. Kurzhanski А.В., Tanaka M. On a unified framework for deterministic and stochastic treatment of identification problems. Laxenburg: IIASA, 1989.

102. Ljung L. Issues in system identification. Report LiTH-ISY-I-125, Linkoping University, Sweden, 1990.

103. Lobo M.S., Fazel M., Boyd S. Portfolio optimization with linear and fixed transaction costs and bounds on risk. Submitted to Operations Research, Oct 2002.

104. Markowitz H.M. Portfolio selection. Journal of Finance, vol. 7, No 1, 1952.

105. Markowitz H.M. Portfolio selection: efficient diversification of investment. N.Y., J. Wiley & Sons, 1959.

106. Matasov A.I. Estimators for Uncertain Dynamic Systems. Kluwer Academic Publishers, Dordreht, 1998.

107. Merton R.C. On the microeconomic theory of investment under uncertainty. Handbook Math. Econom. vol. 2, 1982.

108. Mills T.C. The Econometric Modeling of Financial Time Series. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

109. Nesterov Y., Nemirovsky A. Interior point polynomial methods in convex programming: Theory and application. SIAM, Philadelphia, PA, 1994.

110. Pankov A.R., Borisov A.V. Conditionally-minimax filtering and control in infinite dimensional stochastic systems. // Proceeding of the 34-th IEEE Conference on Decision and Control, New Orleans, USA, vol. 1, pp. 87-92, 1995.

111. Pankov A.R., Platonov E.N., Siemenikhin K.V. On Minimax Identification: Method of Dual Optimization. // Proceedings of the 39-th IEEE Conference on Decision and Control (CDC'2000), pp. 4759-4764, Sydney, Australia, December, 12-15, 2000.

112. Puelz A. Value-at-Risk based portfolio optimization. Stochastic Optimization: Algorithms and Applications (S. Uryasev and P.M. Pardalos, Editors), Kluwer Academic Publishers, Dordreht, 2001.

113. Uryasev S., Rockafellar R.T. Conditional Value-at-Risk: Optimization approach. Stochastic Optimization: Algorithms and Applications (S. Uryasev and P.M. Pardalos, Editors), Kluwer Academic Publishers, Dordreht, 2001.

114. Taylor S. Modeling of Financial Time Series. New York: Wiley, 1986.

115. Tong H. Nonlinear Time Series. Oxford: Oxford Univ. Press, 1990.

116. Vandelinde V.D. Robust properties of solutions to linear-quadratic estimation and control problems. IEEE Trans. Automat. Control, vol.AC-22, No 1, pp. 138-139, 1977.

117. Verdu S., Poor H.V. On minimax robustness: A general approach and applications. IEEE Trans. Inform. Theory, vol.IT-30, No 2, pp. 328-340, 1984.

118. Verdu S., Poor H.V. Minimax linear observers and regulators for stochastic systems with uncertain second order statistics. IEEE Trans. Automat. Control, vol.AC-29, No 6, pp. 499-511, 1984.

119. Wald A. Statistical Decision Functions. New York, Wiley, 1950.

120. Young M.R. A minimax portfolio selection rule with linear programming solution. Management Science, vol. 44, No 11, 1998.