автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Робастное управление гибридными стохастическими системами с использованием моментов высших порядков

На правах рукописи

РГ6 ОА

' :: : О

ПАКШИНА НАТАЛЬЯ АЛЕКСЕЕВНА

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ГИБРИДНЫМИ СТОХАСТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОМЕНТОВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Специальность 05.13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Н.Новгород - 2000

Работа выполнена в Нижегородском Государственном Техническом Университете.

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Максимов Ю.М.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Плющаев В.И.

доктор физико-математических наук, профессор Шалфеев В.Д.

Ведущая организация: Московский государственный авиационный институт (технический университет).

Защита состоится Ч " О'¿'ОТ д АЛ _ 2000 г. в ¿£1 часов на заседании диссертационного совета Д.063.85.02 Нижегородского государственного технического университета по адресу: 603600 г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24, НГТУ, корпус / . аудитория ¿"

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке университета.

Автореферат разослан »/¿г. /¿¿7.У 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета »

кандидат технических наук, доцент А.Г1. Иванов

ЪЯб.Т- т£. 4л /{£ Г)

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие реальные системы управления невозможно описать стандартными методами пространства состояний. Например, в многорежимных системах для определения состояния объекта в пространстве ]R" необходимо дополнительно знать режим функционирования из дискретного множества IN, от которого зависят параметры или структура объекта. Такие системы необходимо рассматривать в неоднородном пространстве IR" х IN. Полный вектор состояния будет содержать две компоненты: дискретную, которая описывает режим, и непрерывную, описывающую состояние объекта в данном режиме.

Системы такого вида являются гибридными по состоянию в отличие от дискретно-непрерывных систем, которые также называют гибридными. Когда дискретная компонента состояния изменяется случайным образом, эти системы в отечественной литературе часто называют системами случайной структуры, а в западной - системами со случайными скачками (random jump systems).

Примерами могут служить сложные производственные системы, склонные к отказам, энергетические системы, процессы наведения на цель, совершающую маневр уклонения от преследователя и т.д.

Широкое распространение получили модели, где дискретная составляющая вектора состояния описывается однородной марковской цепью с конечным числом состояний, а непрерывная - стохастическим дифференциальным или разностным уравнением, изменяющимся в зависимости от состояния этой цепи. Иными словами, система описывается семейством стохастических моделей с непрерывным или дискретным временем, между которыми происходят скачкообразные переходы в соответствии с изменением состояния однородной марковской цепи. В частности, как уже отмечалось, каждая из моделей семейства может описывать определенный режим объекта управления, а марковская цепь - процесс смены режимов. Данная работа ограничивается рассмотрением только этого класса моделей.

Для гибридных систем алгоритмы управления, получающиеся на основе обобщения традиционных подходов стохастической теории, сложны для реализации на практике даже на базе современной вычислительной техники. Альтернативой может служить робастный подход, который, в случае возможности его применения, позволяет получить простые и эффективные решения. Поэтому проблема робастного управления гибридными системами приобретает особую актуальность.

В рамках этой крупной проблемы можно выделить следующие откры-

тые задачи.

В гибридных системах, даже при условии линейности моделей отдельных режимов, закон распределения вектора состояния или выхода не будет нормальным (гауссовским). Поэтому при исследовании таких систем нельзя ограничиться только рамками среднеквадратического анализа. Непосредственное использование функции или плотности распределения приводит к необходимости решения уравнения типа Фоккера-Планка-Колмогорова. Более простым является подход, связанный с использованием стохастических моментов высших порядков. На базе этого подхода в диссертации разрабатываются методы анализа робастной устойчивости и синтеза робастного управления. При этом естественно ожидать алгоритмы управления, имеющие более гибкие свойства по 01й ношению к алгоритмам, полученным в рамках среднеквадратического исчисления.

Другая открытая проблема состоит в том, что во всех известных работах, касающихся робастности гибридных систем, предполагалось, что в момент скачкообразного изменения дискретной компоненты вектора состояния компонента, принимающая значения в непрерывном пространстве состояний, изменяется непрерывно. В то же время во многих реальных системах, в частности, в механических, более типичным является скачкообразное изменение этой компоненты. В данной работе условия робастности формулируются с учетом этой особенности.

Цель работы. Целью работы является разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения синтеза робастного управления гибридными стохастическими системи на основе стохастических моментов высших порядков с учетом возможных скачкообразных изменений непрерывной компоненты состояния при смене режимов.

Задачи диссертационной работы. Исходя из анализа существующих работ и результатов, достигнутых в научном коллективе, где работает соискатель, в данной работе были поставлены следующие задачи:

1. Разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения анализа робастной 2р-устойчивости гибридных стохастических систем.

2. Разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения анализа условий робастной абсолютной 2р-устойчивости гибридных стохастических систем.

3. Разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения синтеза робастного управления с обратной связью для гибридных стохастических систем, стабилизирующего систему до 2р-устойчипой.

Методы исследования. При выполнении диссертационпой работы использовались методы теории систем управления в пространстве состояний, теории матриц, включая теорию матричных уравнений, а также теория оптимального управления и теория случайных процессов.

Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводились в соответствии с планом работ по разделу "Транспорт" Межвузовской научно-технической программы "Конверсия и высокие технологии 1997-2000", а также поддержаны грантами Министерства образования Российской Федерации и Российского фонда фундаментальных исследований (проект N 98-01-00172).

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

• Разработаны метод и алгоритм анализа робастной 2р-устойчивости гибридных линейных стохастических систем с непрерывным и скачкообразным изменением состояния объекта в момент смены режима.

• Разработаны метод и алгоритм анализа условий робастной абсолютной 2р-устойчивости гибридных стохастических систем с непрерывным и скачкообразным изменением состояния объекта в момент смены режима.

• Разработаны методы и алгоритмы синтеза робастного 2р- стабилизирующего управления с обратной связью для гибридных стохастических систем с непрерывным и скачкообразным изменением состояния объекта в момент смены режима.

Практическая ценность. На основе предложенных алгоритмов разработано программное обеспечение в интегрированной среде МАТЬАВ для синтеза робастных регуляторов. Разработанный пакет программ был применен к синтезу робастных цифровых систем управления многорежимного летательного аппарата. Полученные результаты могут найти эффективное применение в практике проектирования систем управления летательных аппаратов, энергетических систем и других. Робастный подход дает наиболее простые и надежные технические решения. Предложенные формализованные процедуры синтеза робастного управления позволяют существенно сократить сроки проектирования подобных систем.

Апробация полученных результатов. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Третьей научно-технической Международной конференции "Процессы управления' 98" (Пардубице, Чехия, июнь 1998 г.); на V Международном семинаре "Устойчивость и

колебания нелинейных систем управления" (г. Москва, июнь 1998 г.); на Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 30-летию Арзамасского филиала Нижегородского государственного технического университета (г. Арзамас, ноябрь 1998 г.); на 12-й Международной конференции "Процессы управления' 99" (Татранске Матлиаре, Высокие Татры, Словакия, июнь 1999 г.); на Международной конференции по проблемам управления, посвященной 60-летию института проблем управления (г. Москва, июнь 1999 г.); на 14-м Всемирном конгрессе 1ЕАС (г. Пекин, июль. 1999 г.); на Шестом Санкт-Петербургском симпозиуме по теории адаптивных систем, посвященном памяти Я.З.Цыпкина (г. Санкт-Петербург, сентябрь 1999 г.); на 2-й Международной конференции "Управление колебаниями и хаосом" (г. Санкт-Петербург, июль 2000 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 4 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 67 названий, и занимает 107 машинописных страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе сделан обзор литературы по проблеме управления гибридными дискретными системами. Рассмотрены основные сферы применения и характерные примеры гибридных систем.

Под гибридной стохастической системой в данной работе будем понимать систему, описываемую конечным семейством непрерывных стохастических моделей, между которыми происходят случайные скачкообразные переходы в соответствии с изменением состояния однородной марковской цепи.

Случайное изменение режима динамической системы может происходить вследствие параметрических нарушений в отдельных блоках, выхода некоторых параметров из поля допуска, перерывов в поступлении информации. В результате система будет иметь различные структуры на неперекрывающихся отрезках времени. Существенно отметить, что случайный процесс изменения этих структур или, в частном случае, параметров представляет собой одну из компонент полного вектора состояния. Непрерывная составляющая этого вектора определяется состоянием объекта при различных его структурах и (или) параметрах.

Теоретические основы исследования устойчивости и управления гибридными системы были заложены в начале 60-х годов в работах Каца И.Я. и Красовского H.H., Красовского H.H. и Лидского Э.А. Эти статьи, значительно опередившие время, заложили фундаментальные математические основы.

В дальнейшем существенный вклад в исследование этого класса систем внесли такие ученые, как Милыптейн Г.Н., Казаков И.Е., Артемьев В.М. и Бухалев В.А., Sworder D.D., Wonham W.M., Mariton M., Siljak D.D., Chizeck H.J. и ряд других, список которых представлен в диссертации.

Теория гибридных систем начала интенсивно развиваться в последние годы в результате многочисленных инженерных задач в таких областях, как управление транспортными потоками, робототехника, процессы управления комплексом агрегатов и автоматизированные технологические процессы. Это быстро растущая область на стыке инженерных задач, вычислительной техники и теории управления.

Проведепный обзор литературы показывает, что гибридные системы заняли прочное место в современной теории автоматического управления. Однако прикладная теория робастной устойчивости гибридных систем развита пока недостаточно, и имеется целый ряд нерешенных задач, имеющих существенное теоретическое и практическое значение. На основе проведенного апализа в главе выделены задачи, которые предполагается решить в диссертации.

Вторая глава посвящена анализу робастной 2^>-устойчпвости гибрид-пых стохастических систем.

В работе рассматривается гибридная система управления, описываемая семейством стохастических дифференциальных уравнений

N

dx(t) = A(rt)x(t)dt + B{rt)u(t)dt + Y, <riAi(rt)x(t)du>i(t), (1)

/=i

где x(i) - n-мерный вектор состояния; u(i) - m-мерный вектор входных координат (управления); wi(t)(l = 1,2,..., iV) независимые стандартные винеровские процессы; = 1, 2,..., Лг) - положительные скаляры, которые характеризуют интенсивности компонент wi(l — 1,2, ...,7V); rt - цепь Маркова с дискретным пространством состояний ЕЧ = {1,2,..., и} и с матрицей вероятностей перехода Р(т) = [i^j(r)]j = exp(Qr), Pij(r) = P{r(t + т) = j\ r(t) = г} (i,j eN),Q = [9y]ï, qxi > 0, (i Ф j), qu = — Ei^jqij', A (г), В(г), Ai(i)(l = 1,2,..... N), (г E TN) - матрицы размеров n x n, n x m, и n x n .

Пусть t > to - момент скачкообразного перехода переменной г от

г (г - 0) = I к г (г) = ] ф г. В этот момент переменная х может также изменяться скачком, причем предполагается, что х(т) лпнейно зависит от своего значения перед скачком:

х(т) = Ф1;х(г — 0), (2)

где (г, з = 1,... ,1>, г ф ]) - постоянные матрицы размера п х п.

Несмотря на то, что система (3) является линейной по переменной х, закон распределения этой переменной не является гауссовским по причине зависимости от скачкообразно изменяющейся переменной г. Поэтому полный стохастический анализ и синтез таких систем должен базироваться либо на непосредственном использовании функций или плотностей распределения, либо па использовании моментов высших порядков.

Для анализа робастной устойчивости рассмотрим автономную систему, которая получается из (1) при и = 0 :

N

= А(г()х(*)Л + £ (3)

;=1

Под робастной устойчивостью будем понимать устойчивость в смысле 2р системы (3) при заданных интенсивностях параметрических шумов ст;(7 = 1,.. .И) и произвольных интенсивностях перехода € ИМ).

Для решения задачи робастной устойчивости используем технику, впервые предложенную Р.У.Брокеттом и в дальнейшем существенно развитую А.И.Баркиным. Введем в рассмотрение вектор х^, компоненты которого представляют собой линейно независимые.произведения из р (р - натуральное число) элементов хх,..., хп, вектора х:

х^ — со1[а^, а1х{~1х2,. ■ ■, лг£].

Размерность этого вектора х^ равна числу линейно независимых форм степени р из п переменных и задается величиной в — ^ |. Масштабирующие множители а,- выбираются таким образом, чтобы выполнялось равенство

| ХМ |2=| х |2р

' п + р-2\

Определим 5X5 матрицы Аэд и й х с1 матрицы В у, где с/ = . ^

следующим образом: если х и у удовлетворяют обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям

х(*) - Ах(0, у(4) = Ви(«),

то хМ и у И также удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям

¿М = АмхМ(0, ум = Вму^Цг).' .

Если к дифференциальному уравнению (3) применить степенное преобразование, то получим

<ЬсМ(*) = Ар(г0хИ(4)Л + £ А,р(г1)хМ(«)<ги;/(0 (г £ ЕЧ), (4)

;=I

где А^) = (а, А,(г))ы, Ар(г) = [А(г) - | £ (СТ,А,(г))2]м + \

Обозначим через Н(г) = Нт(г) решение системы матричных уравнений Ар(г)Н(г) + Н(г)Ар(г) + Д,(Н(г')) + М(г) = 0, г 6 14, (5)

где М(г) = МГ(г) (г £ 1М) - положительно определенные матрицы,

А,(НО-))=ЕАГр(г)На)А/р(г). (=1

Определим для некоторого фиксированного к £ 14 матрицы М(г) согласно формуле

М(») = -(А^Н(к) + Н(к)Ар(г) + Д<(Н(*0), г £ К, (6)

где Н(&) - решение к-го уравнения в (5). Для систем без скачков переменной х (Фу = I), (г,] — 1,..., и) справедливо следующее утверждение

Теорема 1 Пусть все матрицы

Я« = А£(«) ® I +1 (8) А^г)'+ £ АГр(г) ® а£(» ), г £ (7)

гурвицевы и пусть существует по крайней мере один индекс к £ 14 и положительно определенная матрица М(/г) = ШТ(к) такая, что все матрицы М(г) (г £ IУ) из (6) положительно определены. Тогда гибридная система (3) робастно 2р-устойчива.

Следствие 1 Условия теоремы 1 эквивалентны существованию положительно определенного решения Н = Н7 системы линейных матричных неравенств

А^(г)Н + НАр(г) + Д,-(Н) < 0, х £ N. (8)

Следствие 2 Если параметрические неопределенности отдельных режимов отсутствуют (Д;(Н) = 0), то из робастной устойчивости в среднем квадратическом следует робастная 2р-устойчивость при любом р.

Для систем со скачками переменной х аналогичная теорема принимает следующий вид.

Теорема 2 Пусть все матрицы (1) гурвицевы и пусть существует такая положительно определенная матрица М(г) = Мт(г), (г 6 IN) что решение (5) удовлетворяет уравнениям

ВДФ,? - Н(г) = 0, г, j € М, 1ф j. (9)

Тогда гибридная система (3) при условии скачка (2) робастно 2р - устойчива.

Условия этой теоремы, аналогично предыдущей, эквивалентны существованию положительно определенного решения Н(г) = Ыг(г) (г £ IN) системы линейных матричных уравнений (9) и линейных матричных неравенств (8).

При численном решении системы матричных неравенств можно эффективно использовать интегрированную систему MATLAB с пакетом LMI TOOLBOX.

В третьей главе решается задача анализа абсолютной 2р устойчивости гибридных стохастических систем.

Рассмотрим нелинейную гибридную систему типа Лурье, описываемую семейством стохастических дифференциальных уравнений

N

dx(i) = [A(r,)x(i) + B(r4)u(i)]A + J2<7iMrt)x(t)dw,(t),

i-i

u(t) = /(y(t),r,), y(t) = CT(rt)x(t),

где u = f(y) - нелинейная векторная функция секторпого типа ненты которой имееют вид

и/ = Му) = //(у/), //(0) = 0, I = 1, ...,77i

и удовлетворяют ограничениям

0 < 11;У( < Ki(i)yJ, если rt — i, I — 1,..., т, i Е IN.

Остальные обозначения соответствуют принятым ранее.

(10)

, компо-(11)

В представленной главе ставится задача получить достаточные алгебраические условия 2р-устойчивости систем (10)-(12) при заданных ин-тенсивностях параметрических шумов <г;(/ = 1,.. .М) и произвольных иптенсивностях перехода <7у(г, .7 6

Для решения задачи используем специальный алгебраический метод решения уравнений Лурье в сочетании с преобразованием координат, описанным во второй главе. Применяя это преобразование, запишем дифференциальное уравнение для х^:

(1хЩ = Ар(г4)хМ(0Д + В(р){п)п^)сИ + £ (г е К),

/=1

(13)

где В(р)(г) = [В1М(г),. ..,ВтН(г)], В^г) = Вх(г),... ,Вт(г), - столбцы матрицы В (г),

и1

И _

11(4) <

(14)

и ® обозначает кронекерово произведение. Введем семейство Гамильто-повых матриц

е(0 =

бпС») с12(0 С21(«) -0*1(0

где

С21 (0 =

Сп(г) = Ар(г) - -В(р)(г)(К(г) ® 1)(С(р)(г))Г, . С12(г") = В(р)(г)(К(г) ® ^ЧГ^В^), "[М(г') + ¿2С(Р)(0Т(0(К(г) ® 1)(С(р)(г))Т],М(г) > 0, (г е И),

где Т(1) -диагональные положительно определенные матрицы. Собственные значения этих матриц распределены симметрично относительно мнимой оси. Это дает возможность определить полиномы с?; (А) из соотношений факторизации

с!е(;[А1- е(«)] ='й,-(А)(-1)Ч-(-А) (г € К).

Построим матричный полином соответствующий с/,(Л), и обо-

значим за Н(г) матрицу, удовлетворяющую линейному алгебраическому уравнению

¿,-(С(г))

I 'о'

. Н(г) . 0

(15)

Для систем без скачков = I) справедливо следующее утверждение.

Теорема 3 Пусть матрицы А (г) (г 6 IN) гурвицевы, и существует по крайней мере один индекс k £ IN такой, что уравнение (15) ci = к имеет положительно определенное решение Н(к) = Н, и матрицы

M(i) = -[Afp)(i)H + HAw(0 + ^С(р)(г)Т(г)][(К(г) ® IjT"1^)]^)« + ^C(p)(i)T(i)]T], (16)

в(г) = М(г) - £ А^(г)НА;р(г), (г е IN) /=1

будут также положительно определены. Тогда гибридная система (10)-(12) устойчива в смысле 2р для данных 0\ (/ = 1,2,..., N) и произвольных q{j (i,j £ IN).

Аналогичное утверждение для систем со скачками принимает вид:

Теорема 4 Пусть матрицы Ар(г) (i € IN) гурвицевы, уравнение (15) имеет положительно определенное решение, удовлетворяющее (9), и матрицы

. 6(0 = М(<) - £ Aj£(t)H(»)A,р(г), г 6 IN /=1

положительно определены. Тогда гибридная система (10) - (12) при условии скачка (2) 2р-устойчива для заданных о\ (I — 1,2,..., N) и произвольных qij (i,j € IN).

Для анализа абсолютной 2р-устойчивости на основе этих теорем можно эффективно использовать LMI TOOLBOX из пакета MATLAB.

В четвертой главе решается ряд задач синтеза робастного управления гибридными системами.

Предполагая для простоты, что u(t) является скаляром, поставим задачу найти такой закон управления с обратной связью по состоянию

u(t) = e(xt,rt), (17)

который гарантирует робастную устойчивость гибридной системы (1) в том смысле, что эта система 2р-устойчива для заданных ai{l — 1,..., п) и произвольных q^ (i,j G IN).

Решение этой задачи для систем со скачками содержится в следующей теореме.

Теорема 5 Если существуют матрицы Н(г) > 0 (г £ IV), которые удовлетворяет уравнению (9) и линейным матричным неравенствам

^(н-ЧО) H-40Ft(0 К 0 /ion

Р(0Н-Ч») I J>0' ( }

где £,-(H-l(i)) = B^OR-^f - A,(i)Brl(i) - n~\i)ApT(i), М(г) = FT(i)F(i) > 0 и К(г) > 0 (г 6 IN) - прх пр и dx d симметричные матрицы, тогда система (1) при условии скачка (2) 2р-устойчива для произвольных qij(i,j 6 ]N) и заданных ст; (/ = l,...,iV). Робастное 2р-стабилизирующее управление для rt = г определяется формулой

ы

«(*) = е(х,г) = -"" х[Р-1]7^(-)"хЬ-;х']" . если ^ = (19)

Закон управления (19) предполагает, что переменная г( может быть точно измерена. В соответствующем алгоритме должно быть предусмотрено синхронное переключение управления в зависимости от изменения состояпия переменной т1 .

На практике эта переменная часто бывает недоступна для измерения, поэтому представляет существенный интерес получить закон управления, который вообще не использовал бы эту переменную. Решение этой задачи для систем без скачков дает следующая теорема.

Теорема 6 Если существует постоянная матрица Н > 0, которая удовлетворяет соотношениям

Е А.-[(Ар(0 - Вн(г)К)гН + Н(Ар(г) -¿=1

ВЫ(»')К) + Е А£(0Н(0А,р(.) + КГБ(г)К + М(*)] = 0, (20) г=1

К=[ЕА.8(г-)]-1ЕА,В^)Н, (21) ¿=1 1=1

(Ар(г)-Вм(г)КГН + Н(Ар(г)-

ВИ(|')К) + Е Аф(г)НА/р(г) < 0. г € 14, (22) (=1

где А,- > 0 и Е-^А; = 1, тогда система (1) - 2р-устойчива для произвольных <7,7(г,.7 £ Е4) и заданных (I — 1,..., ./V). Робастное 2р-стабилизирующее управление определяется формулой

ЧЧ- х[р-1)ГЕГ=1д.д{,;)х[р-1] • ^

Вместо вектора Xt во многих случаях бывает доступным для измерения вектор выхода у4. В главе определяется непереключаемый закон управления с обратной связью по выходу

«(*) = ЧЫ, (24)

который обеспечивает робастную 2р-устойчивость системы (1). Эта задача рассматривается для системы без скачков вектора х и по-прежнему для скалярного управления. Решение задачи является неоднозначным. Одно из решений дает следующее утверждение.

Теорема 7 Если существуют постоянные матрицы Н > 0 и К, удовлетворяющие уравнениям

(Ар(г) - Ви(г)КСИ)г(г)Н + Н(Ар(г) -

Вм(г')КСМ(г)) + £ А^НА,^) + ы

СИ(г)Кт8(г)КСм(г) + М(г) = 0, г 6 К," ' ' (25)

Е(АР(0-В[р](г)КСИ(г))К(г-) + ¿=1

К(г)(Ар(г) - ВИ(«)КСМ(»))Г + £ А;р(г)Н(г)А£(г) + И« = 0, (26)

/=1

£ 3(г)КС(г)К(г)Сг(г) = £ Вт(0НК(г)СГ(г), г € М, (27) ¿=1 >=1

тогда гибридная система (1) 2р-устойчива для произвольных ^«¿(г,.? £ ИМ) и заданных а/ (I — 1,..., ДТ). Робастный закон управления с обратной связью по выходу имеет вид:

|у[р-Ц|2 " 1 }

Следствие Если параметрические неопределенности отдельных режимов отсутствуют, А/(г) = 0, I = 1, ...ЛГ, торобастное управление с обратной связью по выходу или по состоянию, стабилизирующее систему (1) в среднем квадратическом, одновременно обеспечвает робастную 2р-устойчивость этой системы для любого р.

Задачи синтеза робастных регуляторов сводятся к решению матричных квадратных уравнений и линейных матричных неравенств, что позволяет эффективно использовать программные средства интегрированной системы МАТЬАВ.

В пятой главе ни оснопе утверждений предыдущих глав разработаны алгоритм и программное обеспечение в интегрированной среде МАТЬАВ, которые позволяют синтезировать робастное управление гибридной стохастической системой.

Разработанное программное обеспечение было применено для синтеза робастного управления по каналу крена и каналу тангажа многорежимного сверхзвукового ЛА.

Моделирование показало высокое качество переходных процессов в синтезированной системе.

Было проведено сравнение нелинейных робастных регуляторов с линейными. Сравнительный анализ качества показал, что в рассмотренных задачах в большинстве случаев нелинейный регулятор обеспечивает возможность более плавного регулирования с малым разбросом показателей переходного процесса в зависимости от режима, в остальных случаях обеспечивались показатели аналогичные линейному регулятору.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

в Разработаны метод и алгоритм анализа робастпой 2р-устойчивостн гибридпых линейных стохастических систем.

в Разработаны метод и алгоритм анализа условий робастпой абсолютной устойчивости в смысле 2р гибридных нелинейных стохастических систем.

® Разработаны методы и алгоритмы синтеза робастного стабилизирующего управления с обратной связью для гибридных стохастических систем.

• На базе полученных алгоритмов в интегрированной системе инже-верпых и научных расчетов МАТЬАВ разработан пакет программ, предназначенный для синтеза робастных законов управления.

• Разработанное программное обеспечение применено для синтеза робастного управления многорежимного сверхзвукового летательного аппарата. Полученные законы управления рекомендуются для практической реализации в тех случаях, когда при заданном быстродействии требуется обеспечить процессы с минимальным перерегулированием.

На основании изложенного можно заключить, что поставлепная цель исследований достигнута.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Пакшина Н.А. Робастные нелинейные регуляторы гибридных стохастических систем // Материалы Всеросийской научпо-технической конференции. - Арзамас, 1998. С. 222-226.

2. Pakshina N.A. Robust absolute high moment stability of hybrid stochastic systems // Proc. 12 Conference Proccess Control'99. Slovak Republic, 1999. P. 269-272.

3. Pakshin P. V., Pakshina N.A. Robust nonlinear control of hybrid stochastic systems with state and feedback // Proc. 14th World Congress of IFAC. Beijing, 1999. V. L. P. 187-192.

4. Pakshin P,V., Pakshina N.A. Robust stability and control of complex stochastic systems with jumps of state vector // Proc. 2nd Internatial Conference Control of Oscillations and Chaos. Saint Petersburg, 2000. V.2. P. 253-256.

Подписано в печать 09.11.2000. Формат 60x84 '/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ 616.

Типография НГТУ. 603600, Нижний Новгород, ул. Мшпша, 24.

Введение

1. Состояние проблемы управления гибридными стохастическими системами

1.1. Сферы применения и характерные примеры гибридных систем

1.1.1. Электрическая цепь

1.1.2. Слежение за целью.

1.1.3. Робот-манипулятор.

1.2. Обзор состояния проблемы

1.3. Выводы.

2. Анализ робастной 2р-устойчивости линейных гибридных стохастических систем

2.1. Постановка задачи.

2.2. Предварительные результаты.

2.3. Алгебраические условия робастной 2р-устойчивости

2.4. Выводы.

3. Условия робастной абсолютной 2р-устойчивости

3.1. Постановка задачи

3.2. Предварительные результаты.

3.3. Алгебраические условия робастной абсолютной 2р- устойчивости

3.4. Выводы.

4. Робастное управление гибридными системами

4.1. Описание системы.

4.2. 2^>-стабилизирующее управление с полной обратной связью

4.3. 2р-стабилизирующее робастное управление с обратной связью по состоянию объекта.

4.4. Робастное управление с обратной связью по выходу объекта

4.5. Выводы.

5. Примеры синтеза робастных систем стабилизации многорежимного летательного аппарата

5.1. Пример модели бокового движения самолета.

5.2. Пример модели продольного движения самолета.

5.3. Выводы.

Актуальность темы. Многие реальные системы управления невозможно описать стандартными методами пространства состояний. Например, в многорежимных системах для определения состояния объекта в пространстве IRn необходимо дополнительно знать режим функционирования из дискретного множества IN", от которого зависят параметры или структура объекта. Такие системы необходимо рассматривать в неоднородном (гибридном) пространстве Ип х IN. Полный вектор состояния будет содержать две компоненты: дискретную, которая описывает режим, и непрерывную, описывающую состояние объекта в данном режиме.

Системы такого вида являются гибридными по состоянию в отличие от дискретно-непрерывных систем, которые также называют гибридными.

Когда дискретная компонента состояния изменяется случайным образом, эти системы в отечественной литературе часто называют системами случайной структуры, в западной обычно используется термин "системы со случайными скачками" (random jump systems). Примерами могут служить сложные производственные системы, склонные к отказам, энергетические системы, процессы наведения на цель, совершающую маневр уклонения от преследователя и т.д.

Широкое распространение получили модели, где дискретная составляющая вектора состояния описывается однородной марковской цепью с конечным числом состояний, а непрерывная - стохастическим дифференциальным или разностным уравнением, изменяющимся в зависимости от состояния этой цепи. Иными словами, система описывается семейством стохастических моделей с непрерывным или дискретным временем, между которыми происходят скачкообразные переходы в соответствии с изменением состояния однородной марковской цепи. В частности, как уже отмечалось, каждая из моделей семейства может описывать определенный режим объекта управления, а марковская цепь - процесс смены режимов. Данная работа ограничивается рассмотрением только этого класса моделей.

Для гибридных стохастических систем алгоритмы управления, получающиеся на основе обобщения традиционных подходов стохастической теории, сложны для реализации на практике даже на базе современной вычислительной техники. Альтернативой может служить робастный подход, который, в случае возможности его применения, позволяет получить простые и эффективные решения. Поэтому проблема робастного управления гибридными системами приобретает особую актуальность.

В рамках этой крупной проблемы можно выделить следующие открытые задачи.

В гибридных системах, даже при условии линейности моделей отдельных режимов, закон распределения вектора состояния или выхода не будет нормальным (гауссовским). Поэтому при исследовании таких систем нельзя ограничиться только рамками среднеквадратического анализа. Непосредственное использование функции или плотности распределения приводит к необходимости решения уравнения типа Фоккера-Планка-Колмогорова. Более простым является подход, связанный с использованием стохастических моментов высших порядков. На базе этого подхода в диссертации разрабатываются методы анализа робастной устойчивости и синтеза робастного управления. При этом естественно ожидать алгоритмы управления, имеющие более гибкие свойства по отношению к алгоритмам, полученным в рамках среднеквадратического исчисления.

Другая открытая проблема состоит в том, что во всех известных работах, касающихся робастности гибридных систем, предполагалось, что в момент скачкообразного изменения дискретной компоненты вектора состояния компонента, принимающая значения в непрерывном пространстве состояний, изменяется непрерывно. В то же время во многих реальных системах, в частности, в механических, более типичным является скачкообразное изменение этой компоненты. В данной работе условия робастности формулируются с учетом этой особенности.

Цель работы. Целью работы является разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения синтеза робастного управления гибридными стохастическими системи на основе стохастических моментов высших порядков с учетом возможных скачкообразных изменений непрерывной компоненты состояния при смене режимов.

Задачи диссертационной работы. Исходя из анализа существующих работ и результатов, достигнутых в научном коллективе, где работает соискатель, в данной работе были поставлены следующие задачи:

1. Разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения анализа робастной 2р-устойчивости гибридных стохастических систем.

2. Разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения анализа условий робастной абсолютной 2р-устойчивости гибридных стохастических систем.

3. Разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения синтеза робастного управления с обратной связью для гибридных стохастических систем, стабилизирующего систему до 2р-устойчивой.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории систем управления в пространстве состояний, теории матриц, включая теорию матричных уравнений, а также теории оптимального управления и теории случайных процессов.

Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводились в соответствии с планом работ по разделу "Транспорт" Межвузовской научно-технической программы "Конверсия и высокие технологии 1997-2000", а также поддержаны грантами Министерства образования Российской Федерации и Российского фонда фундаментальных исследований (проект N 98-01-00172).

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

• Разработаны метод и алгоритм анализа робастной 2р-устойчивости гибридных линейных стохастических систем с непрерывным и скачкообразным изменением состояния объекта в момент смены режима.

• Разработаны метод и алгоритм анализа условий робастной абсолютной 2р-устойчивости гибридных стохастических систем с непрерывным и скачкообразным изменением состояния объекта в момент смены режима.

• Разработаны методы и алгоритмы синтеза робастного 2р- стабилизирующего управления с обратной связью для гибридных стохастических систем с непрерывным и скачкообразным изменением состояния объекта в момент смены режима.

• На основе предложенных алгоритмов разработано программное обеспечение в интегрированной среде МАТЬАВ для синтеза робастных регуляторов.

Практическая ценность. Разработанный пакет программ был применен к синтезу робастных цифровых систем управления многорежимного летательного аппарата. Полученные результаты могут найти эффективное применение в практике проектирования систем управления летательными аппаратами, энергетическими системи и т.д. Робастный подход дает наиболее простые и надежные технические решения. Предложенные формализованные процедуры синтеза робастного управления позволяют существенно сократить сроки проектирования подобных систем.

Апробация полученных результатов. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Третьей научно-технической Международной конференции "Процессы управления' 98" (Пардубице, Чехия, июнь 1998 г.); на V Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (г. Москва, июнь 1998 г.); на Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 30-летию Арзамасского филиала Нижегородского государственного технического университета (г. Арзамас, ноябрь 1998 г.); на 12-й Международной конференции "Процессы управления' 99" (Татранске Матлиаре, Высокие Татры, Словакия, июнь 1999 г.); на Международной конференции по проблемам управления, посвященной 60-летию института проблем управления (г. Москва, июнь 1999 г.); на 14-м Всемирном конгрессе 1ГАС (г. Пекин, июль 1999 г.); на Шестом Санкт-Петербургском симпозиуме по теории адаптивных систем, посвященном памяти Я.З.Цыпкина (г. Санкт-Петербург, сентябрь 1999 г.); на 2-й Международной конференции "Управление колебаниями и хаосом" (г. Санкт-Петербург, июль 2000 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 4 пе

- 9 чатных работах [28], [49], [48], [50].

Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации со стоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 67 названий, и занимает 107 машинописных страниц.

- 10

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ:

• Метод и алгоритм анализа робастной 2р-устойчивости гибридных линейных стохастических систем с непрерывным и скачкообразным изменением состояния объекта в момент смены режима.

• Метод и алгоритм анализа условий робастной абсолютной устойчивости в смысле 2р гибридных нелинейных стохастических систем с непрерывным и скачкообразным изменением состояния объекта в момент смены режима.

• Методы и алгоритмы синтеза робастного стабилизирующего управления с обратной связью для гибридных стохастических систем с непрерывным и скачкообразным изменением состояния объекта в момент смены режима.

• Программное обеспечение на основе предложенных алгоритмов в интегрированной среде МАТЬАВ для синтеза робастных регуляторов.

5.з. Выводы

В данной главе на основе утверждений предыдущих глав разработаны алгоритм и программное обеспечение в интегрированной среде MATLAB, которые позволяют синтезировать робастное управление гибридной стохастической системой. Разработанное программное обеспечение было применено для синтеза робастного управления по каналу крена и каналу тангажа многорежимного сверхзвукового J1A.

Использование робастного закона управления значительно упрощает процесс управления системой, так как в этом случае отпадает необходимость в усторйстве индикации режимов полета ДА, что, в свою очередь, ведет к значительному сокращению, технических, а следовательно и материальных затрат при использовании робастного закона в реальных системах управления.

Моделирование показало высокое качество переходных процессов в синтезированной системе.

Было проведено сравнение нелинейных робастных регуляторов с линейными. Сравнительный анализ качества показал, что в рассмотренных задачах нелинейное управление по качеству не уступает линейному. Можно утверждать,что в большинстве случаев нелинейный регулятор обеспечивает возможность более плавного регулирования с малым разбросом в зависимости от режима.

При отработке данного алгоритма наиболее трудоемким оказался процесс выбора весовых матриц состояния и управления. Если для линейных систем существует алгоритм вычисления таких матриц, разработанный Johnson C.D.[42], то для нелинейных систем эта задача является актуальной задачей на ближайшую перспективу.

Заключение

• Разработаны метод и алгоритм анализа робастной 2р-устойчивости гибридных линейных стохастических систем.

• Разработаны метод и алгоритм анализа условий робастной абсолютной устойчивости в смысле 2р гибридных нелинейных стохастических систем.

• Разработаны методы и алгоритмы синтеза робастного стабилизирующего управления с обратной связью для гибридных стохастических систем.

• На базе полученных алгоритмов в интегрированной системе инженерных и научных расчетов МАТЬАВ разработан пакет программ, предназначенный для синтеза робастных законов управления.

• Разработанное программное обеспечение применено для синтеза робастного управления многорежимного сверхзвукового летательного аппарата. Полученные законы управления рекомендуются для практической реализации в тех случаях, когда при заданном быстродействии требуется обеспечить процессы с минимальным перерегулированием.

Актуальной задачей на ближайшую перспективу в данном направлении является разработка метода и алгоритма выбора весовых матриц состояния и управления для нелинейных систем.

Другой актуальной задачей является разработка универсальных алгоритмов построения нижнеиндексных и верхнеиндексных 2р- преобразований матриц и векторов произвольного порядка.

1. Андриевский Б.Р. Анализ систем в пространсве состояний. Санкт-Петербург: ИПМаш РАН, 1997.

2. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления. Санкт-Петербург: Наука, 1999.

3. Артемьев В.М. Теория динамических систем со случайными изменениями структуры. Минск: Вышэйшая школа, 1979.

4. Баркин А.И. Оценка качества нелинейных систем регулирования. М.: Наука, 1982.

5. Баркин А.И. Оптимизация системы управления по неквадратичному критерию // Динамика неоднородных систем: Сборник трудов./ М.: ВНИИ Системных исследований. 1990. Вып.13. С. 15-19.

6. Баркин А.И., Зеленцовский А.Л., Пакшин П.В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. М.: Изд. МАИ, 1992.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

8. Брокетт Р. У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления / / Математические методы в теории систем /Под ред. Ю.И.Журавлева / М: Мир, 1979. С. 174-200.

9. Бухалев В.А. Оптимальная фильтрация в системах со случайной скачкообразной структурой // Автоматика и телемеханика. 1976. N0. 2.

10. Вонэм В. М. Стохастические дифференциальные уравнения в теории управления // Математика. 1973. Т. 17. N 4, 5.

11. Егоренков Д.Л., Фратков А.Л.,Харламов В.Ю. Основы математического моделирования с примерами на языке MATLAB. Санкт-Петербург: БГТУ,1996.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

13. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

14. Дарховский B.C., Лейбович B.C. Статистическая устойчивость и моменты выходного сигнала одного класса систем с изменениями структуры // Автоматика и телемеханика. 1971. N 10.

15. Забродин С.П., Потемкин В.Г., Титков А.И. Интегрированная система инженерных и научных расчетов MATLAB. Справочное пособие. М.: МИФИ, 1994.

16. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: Наука, 1975.

17. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. М.: Наука, 1977.

18. Казаков И.Е. Стохастические системы со случайной сменой структуры // Изв. АН. Техн. кибернетика. 1989. N 1. С. 58-78.

19. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука, 1980.

20. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург: Изд-во Уральской государственной академии путей сообщения, 1998.

21. Кац И.Я., Красовский H.H. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикладная математика и механика, i960. Т. 27. No. 5. С. 809-823.

22. Квакернак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления / Пер. с англ., Изд.: Мир. 1977.

23. Красовский A.A. Системы управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

24. Красовский H.H., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами. Части I-III // Автоматика и телемеханика. 1961. No. 9, 10,11. С. 1021-1025, 11411146, 1289-1294.

25. Леонов Г.А. Математические проблемы теории управления. Мотивация к анализу. Санкт-Петербург: ИПМаш РАН, 1998.

26. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир, 1967.

27. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 1987.

28. Пакшина H.A. Робастные нелинейные регуляторы гибридных стохастических систем // Материалы Всеросийской научно-технической конференции. Арзамас, 1998. С. 222-226.

29. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1979.

30. Потемкин В.Г. Система MATLAB. М.: Диалог-МИФИ, 1997.

31. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. М.: Машиностроение, 1972.

32. Угриновский В.А. О робастности линейных систем со случайно изменяющимися во времени параметрами // Автоматика и телемеханика. 1994. No. 4. С. 90-99.

33. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных воздействиях их параметров. М.: Наука, 1969.

34. Чаки Ф. Современная теория управления. М.: Мир, 1975.

35. Bar Shalom Y. Tracking methods in a multitarget environment. // IEEE Trans. Ant. Control, 1978, AC-23, P. 618.

36. Benjelloun K., Boukas E.K., Costa O.L.V. and Shi P. Design of robust controller for linear systems with Markovian jumping parameters // Mathematical problem in engineering, 1998. V. 4. P. 269-288.

37. Birdwell J.D. and Athans M. On the relationship between reliability and linear quadratic optimal control // Proc. 16th IEEE Conf. Decision Control. New Orleans, 1977. P. 129-134.

38. Boyd S., El Ghaoui E, Feron E. and Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in control and system theory. SIAM.PA, 1994. V. 15.

39. Blom H.A.P. and Bar Shalom Y. The interacting multiple model algorithm for systems with markovian switching coefficient. // IEEE Trans. Aut. Control, 1988, AC-33, P. 185.

40. Grujic L.T. and Petkovski D.B. Robust absolutely stable Lurie systems // Int. J. Control. 1987. No. 1. P. 357-368.

41. Ji Y. and Chizeck H.J. Jump linear quadratic gaussian control: steady-state solution and testable conditions // Control Theory and Advanced Technology. 1990. V. 6. No. 3. P. 289-319.

42. Johnson C.D. The 'unreachable poles' defect in LQR theory: analysis and remedy // Int. J. Control. 1988. V. 47. No. 3. P. 697-709.

43. Mariton M. Detection delays, false alarm rates and the reconfiguration of control systems // Int. J. Control. 1989. V. 49. No. 3. P. 981-992.

44. Mariton M. Jump linear systems in automatic control. New York: Marcel Dekker, 1990.

45. Mariton M., Sworder D.D. Maneuvering target tracking: imagin and non-imaging sensors // Control and dynamic systems /edited by Leon-des C.T./ 1992. V. 54. P. 483-517.

46. Moerder D.D., Halyo N., Broussard J.R. and Caglayn A.K. Application of precomputed control law in reconfigurable aircraft flight control system // J. of Guidance, Control and Dynmics. 1989. V. 12. NO. 3. P. 325-333.

47. Pakshin P.V. Robust stability and stabilization of the family of jumping stochastic systems // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 1997. P. 2855-2866.

48. Pakshin P.V., Pakshina N.A. Robust nonlinear control of hybrid stochastic systems with state and feedback // Proc. 14th World Congress of IFAC. Beijing, 1999. V. L. P. 187-192.

49. Pakshina N.A. Robust absolute high moment stability of hibrid stochastic systems // Proc. 12 Conference Proccess Control'99. Slovak Republic, 1999. P. 269-272.

50. Pakshin P.V., Pakshina N.A. Robust stability and control of complex stochastic systems with jumps of state vector // Proc. 2nd Internatial Conference Control of Oscillations and Chaos . Saint Petersburg, 2000. V.2. P. 253-256.

51. Rami M. and Ghaoui L. LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising in stochastic control // IEEE Trans. Automatic Control. 1996. V. 41. NO. 11. P. 1666-1671.

52. Ratner R.S. and Luenberger D.G. Performance-adaptive renewal policies for linear systems // IEEE Trans. Automatic Control. 1969. V. AC-14. P. 344-351.

53. Siljak D.D. Large-Scale Dynamic Systems: Stability and Structure. New York: North-Holland, 1978.

54. Siljak D.D. Reliable control using multiplex control systems // Int. J. Control. 1980. No. 31. P. 303.

55. Siljak D.D. Dynamic reliability of multiplex control systems // Proc. 8th IFAC World Congress. Kyoto, 1981. P. 110-115.

56. Sworder D.D. Feedback control of a class of linear systems with jump parameter // IEEE Trans. Automatic Control. 1969. No. 14. P. 9.

57. Sworder D.D. Control of systems subject to abrupt changes in character // Proc. IEEE. 1976. No. 64. P. 1219.

58. Sworder D.D. and Chou S.D. A survey of design methods for random parameter systems // Proc. 24th IEEE Conf. Decision Control. Fort Lauderdale. 1985. P. 894-899.

59. MATLAB. User's Guide. The Mahtworks Inc., 1995.

60. Willems J.L. Sability of higher order moments for linear stochastic systems // Ingenieur -Archiv. 1975. No. 44. P. 123-129.

61. An equivalence result for moment stability criteria for parametric stochastic systems and Ito equations // Int. J. Systems Sci. 1976. V. 7. No. 5. P. 577-590.

62. Willems J.L. and Willems J.C. Robust stabilization of uncertain system // SIAM J. on Control and Optimization. 1983. V. 21. No. 21. P. 352374.

63. Williams T.J. The development of reliability in industrial control systems // IEEE Micro. 1984. P. 66-80.

64. Wonham W.M. Random differential equations in Control theory //In Probabilistic Methods in Applied Mathematics (A.T. Bharucha-Reid, ed.). Academic Press, New York, 1970. V. 2. P. 131.- 107

65. Yaz E. Robust design of stochastic controllers for non-linear systems // IEEE Trans. Automatic Control. 1989. V. 34. P. 349-353.

66. Yaz E. Deterministic and stochastic robustness measures for discrete systems // IEEE Trans. Automatic Control. 1988. V. 33. No. 10. P. 952-955.

67. От Арзамасского филиала НГТУ Декан факультета АПЭР, к.т.н.

68. От ОАО Арзамасского Научно-производственного предприятия «ТЕМП-АВИА»1. О.Г.Гущин