автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ устойчивости и синтез робастного управления гибридными стохастическими системами с запаздыванием

Введение

1. Обзор существующих результатов

1.1. История развития проблемы.

1.2. Особенности систем с запаздыванием

1.3. Устойчивость детерминированных дифференциальных уравнений с запаздыванием.

1.4. Устойчивость стохастических систем с запаздыванием

1.5. Гибридные системы с запаздыванием.

Актуальность темы. В настоящее время все больший интерес у исследователей вызывают процессы и системы, математические модели которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, параметры которых - случайные функции времени. Среди таких систем выделяют класс так называемых гибридных систем, отличительной особенностью которых является наличие в пространстве состояний двух компонент: дискретной и непрерывной. Примерами таких систем могут служить системы с возможными нарушениями (типа "отказ - восстановление"), многорежимные динамические системы, в которых смена режима определяется характером протекания некоторого внешнего случайного процесса (обнаружение цели), системы массового обслуживания. Поскольку одним из основных условий физической реализуемости процесса является его устойчивость, то изучение таких процессов привело к необходимости создания соответствующего направления в теории устойчивости.

Теоретические основы исследования устойчивости и управления гибридными системами были заложены в работах И.Я. Каца и H.H. Кра-совского [14], H.H. Красовского и Е.А. Лидского [22]. К настоящему времени изучению гибридных систем посвящено множество работ, из которых, не претендуя на полноту, отметим монографии Казакова И.Е. и Артемьева В.М. [11], Бухалева В.А. [5], Каца И.Я. [13], Mariton М [45].

Многие реальные процессы в природе и технике имеют последействие, т.е. их поведение определяется состоянием не только в текущий момент, но и в предшествующие. В других случаях, характерным является транспортное запаздывание. Примерами могут служить динамические системы, управляемые на значительном расстоянии (робот-луноход), системы с трубопроводами большой длины и т.п.

Типичной гибридной стохастической системой с запаздыванием является динамическая система массового обслуживания управляемая на расстоянии (энергосистемы, смесительные системы в химической технологии). В этих системах непрерывная компонента вектора состояния описывается дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом, а дискретная компонента, характеризующая режим работы системы, представляет собой марковскую цепь с конечным числом состояний.

Примеры показывают, что поведение решений систем без учета запаздывания, даже при малой его величине, может существенно отличаться от поведения решений тех же систем с запаздывающим аргументом. Это обстоятельство подчеркивает необходимость и принципиальную важность изучения систем с запаздыванием.

Системы с запаздыванием начали активно изучаться сравнительно недавно. В нашей стране первые работы в этом направлении связаны с именами Л.Э. Эльсгольца, А.Д. Мышкиса, Г.А. Каменского, С.Б. Нор-кина, H.H. Красовского, B.C. Разумихина и др. Существенный вклад в развитие теории внесли В.Б. Колмановский, В.Р. Носов, Л.Е. Шайхет, Д.Г. Кореневский, Д.Я. Хусаинов и ряд других ученых.

Среди работ, посвященных исследованию устойчивости и управления гибридными системами с запаздыванием, следует отметить работы зарубежных авторов Benjelloim К., Boukas Е.К., Yang H. [39], Benjelloun К., Boukas E.K. [40] и Cao Y.-Y., Lam J [56].

Недостатком данных работ является то, что достаточные условия стохастической устойчивости и законы управления, полученные авторами, зависят как от режима, так и от вероятностных характеристик смены режимов, поэтому их применение проблематично в условиях реально функционирующей системы управления. Определенным выходом из положения может служить применение робастного подхода к анализу и синтезу гибридных систем управления.

Цель работы. Целью данной работы является исследование робаст-ной устойчивости гибридных стохастических систем с запаздыванием, а также разработка методов и алгоритмов синтеза робастного управления гибридными системами с запаздывающим аргументом. Задачи диссертационной работы.

1. Анализ робастной устойчивости линейных гибридных стохастических систем с запаздыванием.

2. Анализ абсолютной робастной устойчивости нелинейных гибридных систем с запаздыванием с нелинейностью секторного типа (типа Лурье), т.е. робастной устойчивости при произвольной нелинейной функции из заданного класса.

3. Разработка методов и алгоритмов синтеза робастного управления линейными гибридными системами с запаздыванием.

Методы исследования. Основным методом исследования является второй метод Ляпунова с использованием функционалов Ляпунова -Красовского. Кроме того, использовались методы теории систем управления в пространстве состояний, теории стохастических дифференциальных уравнений и случайных процессов, некоторые разделы теории матриц, в частности, матричных уравнений и линейных матричных неравенств, а также теории оптимального управления.

Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводились в соответствии с планом научно-исследовательских работ Арзамасского филиала НГТУ, выполняемых в рамках единого заказ-наряда Министерства образования РФ, а также поддержаны грантами Министерства образования Российской Федерации и Российского фонда фундаментальных исследований.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие научные результаты:

• Достаточные условия робастной устойчивости линейных гибридных стохастических систем с запаздыванием.

• Достаточные условия абсолютной робастной устойчивости нелинейных гибридных стохастических систем с запаздыванием.

• Разработаны методы и алгоритмы синтеза робастного закона управления линейными гибридными стохастическими системами с запаздыванием.

• На базе полученного алгоритма в интегрированной системе инженерных и научных расчетов МАТЬАВ разработан программный комплекс, предназначенный для синтеза робастного управления гибридными стохастическими системами с запаздыванием.

Практическая ценность. Полученные результаты могут найти широкое применение при проектировании сложных технических систем, математическим описанием которых является гибридная стохастическая модель с последействием (системы управления летательных аппаратов, энергетические системы и др.); в проектах, связанных с медициной и микробиологией (математическое моделирование процессов иммунологии); в задачах механики наследственных сред, радиофизики, экономики и социологии.

Алгоритмы синтеза, полученные в диссертации приняты для использования в проведении расчетно-теоретических работ Арзамасским научно-производственным предприятием "ТЕМП-АВИА", что подтверждено актом о внедрении.

Апробация полученных результатов. Основные результаты работы были представлены на международной конференции "Системы, сигналы, управление, компьютеры" (88СС'98) (Дурбан, Южная Африка, сентябрь, 1998); на международном семинаре, посвященном 10-летию Самарского муниципального университета Наяновой "Нелинейное моделирование и управление" (г. Самара, октябрь, 1998); на Всероссийской научно - технической конференции, посвященной 30-летию АфНГТУ (г. Арзамас, 1998); на международной конференции "Процессы управле-ния'99" (Татранске Матлиаре, Словакия, 1999); на Европейской конференции по управлению (ЕСС99) (Карлсруе, Германия, сентябрь, 1999). Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 7 печатных работах.

Личным вкладом диссертанта в совместные работы является вывод результатов, разработка алгоритмов и программного обеспечения. Пак-шину П.В., как научному руководителю, принадлежат постановка задач и формулировка общего подхода к решению.

Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 60 названий, и занимает 110 машинописных страниц.

Основные результаты полученные в данной работе заключаются в следующем:

• Получены достаточные условия робастной устойчивости гибридных стохастических систем с запаздыванием, выраженные в виде связанной систем матричных уравнений Ляпунова - Сильвестра и систем линейных матричных неравенств.

• Решена задача анализа абсолютной робастной устойчивости нелинейных гибридных стохастических систем с запаздыванием. Достаточные условия робастной устойчивости данных систем при произвольной нелинейности секторного типа представлены в форме систем алгебраических уравнений и систем линейных матричных неравенств.

• Предложены методы синтеза робастного управления линейными гибридными стохастическими системами с запаздыванием. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение в системе МАТЪА] позволяющие синтезировать робастное управление гибридными системами с запаздыванием.

• Разработанные алгоритмы синтеза были успешно применены к решению технических задач, где невозможно применение традиционных методов.

Исходя из анализа полученных результатов определены основные направления дальнейших исследований:

1. В силу того, что дифференциальные системы с запаздывающим аргументом являются лишь одной из разновидностей общих дифференциальных систем с отклоняющимся аргументом, представляется актуальной задача получения аналогичных условий устойчивости для гибридных стохастических систем с отклоняющимся аргументом при произвольных величинах отклонений и произвольных интенсив-ностях переходов между режимами.

2. Исследование вопросов устойчивости для систем с переменными запаздываниями. В частности, с запаздываниями изменяющимися случайным образом по марковскому закону и, в более общем случае, с запаздываниями зависящими от времени.

- 102

3. Синтез оптимального робастного управления для гибридных стохастических систем с запаздыванием.

4. Исследование робастной устойчивости гибридными системами с запаздыванием во входном сигнале и синтез робастного запаздывающего управления.

5. Исследование условий разрешимости линейных матричных неравенств и условий разрешимости системы линейных матричных неравенств относительно постоянной положительно определенной матрицы.

- 100 -Заключение

В представленной диссертационной работе исследовалась задача анализа робастной устойчивости гибридных стохастических систем с запаздыванием и, на основе полученных результатов, синтеза робастного стабилизирующего управления этими системами.

Под гибридной стохастической системой с запаздыванием понимают систему, пространство состояний которой состоит из непрерывной и дискретной компонент. При этом динамика непрерывной компоненты описывается стохастическими дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, а динамика дискретной части цепью Маркова с дискретным числом состояний.

Под робастной устойчивостью понималась асимптотическая устойчивость в среднем квадратическом (АУСК) при произвольных величинах запаздываний и произвольных вероятностях перехода между режимами.

Под робастным управлением понималось управление обеспечивающие АУСК при произвольных величинах запаздываний, структура которого остается постоянной на всех режимах, а параметры не зависят от вероятностных характеристик перехода между режимами.

1. Баркин А.И., Зеленцовский A.JL, Пакшин П.В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. М.: Из-д МАИ. 1992.

2. Бухал ев В. А. Анализ точности динамических систем со случайной структурой, описываемой условной марковской цепью // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1976. No. 2.

3. Бухалев В.А. Оптимальная фильтрация в системах со случайной скачкообразной структурой // Автоматика и телемеханика. 1976. No. 2.

4. Бухалев В.А. Оптимальное управление в системах со случайной скачкообразной структурой // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1992. No. 4.

5. Бухалев В.А. Распознавание, оценивание и управление в системах со случайной скачкообразной структурой. М.: Наука. Физматлит. 1996.

6. Бухалев В.А., Казаков И.Е. Адаптивная фильтрация сигналов при случайных интенсивностях изменений структуры динамической системы // Автоматикам телемеханика. 1984. No. 2.

7. Бюшгенс Г.С., Гоман М.Г., Загайнов Г.И., Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Метод функций Ляпунова в задачах синтеза управления постранственным движением самолета. Препринт М.: Институт проблем управления. 1992.

8. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Аэродинамика полета. Динамика продольного и бокового движения. М: Машиностроение, 1979.

9. Зеленцовский А.Л. Алгебраический критерий устойчивости решений систем линейных дифференциально разностных уравнений Ито // Динамика неоднородных сред. Сборник трудов. Вып. 14. М.: ВНИИСИ. 1989.

10. Зеленцовский А.Л., Сизиков В.И. Устойчивость решений систем управления линейных дифференциально разностных уравнений // Динамика неоднородных сред. Сборник трудов. Вып. 14. М.: ВНИИСИ. 1988.

11. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука. 1980.

12. Каменский Г.А. К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом. // ДАН СССР 120, 1958, N0.4. С.697-700.

13. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург: Изд во Уральской государственной академии путей сообщения, 1998.

14. Кац И.Я., Красовский Н.Н.: Об устойчивости систем со случайными параметрами.// Прикл. Математ. и Механ. 1960. Т.27. С.809-823.

15. Квакернак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления / Пер. с англ., Изд.: Мир. 1977.

16. Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Ободном способе построения функционалов Ляпунова для стохастических систем с последействием // Дифференициальные уравнения. 1993. Т.29. No.ll.

17. Колмановский В.Б., Шайхет JI.E. Метод построения функционалов Ляпунова для стохастических дифференциальных уравнений нейтрального типа // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. No.ll.

18. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев: На-укова Думка. 1989.

19. Красовский A.A. Системы управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

20. Красовский H.H. Оприменении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени. // Прикладная математика и механика. 1956. Т.20. No. 2. С. 315-327.

21. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. Гостехиздат, 1959.

22. Красовский H.H., Лидский Э.А.: Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами. Ч. I, II, III.// Автоматика и телемеханика. 1961. Т.22. С.1145-1150, С.1273-1278, С.1425-1431.

23. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Гостехиздат, 1951.

24. Нечаева И.Г., Хусаинов Д.Я. Об устойчивости линейных стохастических дифференциально функциональных систем // Вестник КГУ Моделирование и оптимизация сложных систем. Изд.: "Лы-бидь". 1990.

25. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. Устойчивость и управляемость летательных аппаратов. М: Машиностроение. 1965.

26. Пакшин П.В. Алгебраический критерий абсолютной устойчивости нелинейных стохастических систем с мультипликативными белыми шумами // Динамика неоднородных сред. Сборник трудов. Вып. 14. М.: ВНИИСИ. 1989.

27. Пакшин П.В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. М.: Физматлит, 1994.

28. Пакшин П.В., Яблонский Д.В. Абсолютная устойчивость нелинейных гибридных систем с запаздыванием //Известия РАЕН Математика. Математическое моделирование. Информатика и управление. Т.2. N0.2. Самара. 1998.

29. Разумихин B.C. Об устойчивости систем с запаздыванием //Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. No. 4. С. 500-512.

30. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969.

31. Хусаинов Д.Я., Кожеметов А.Т. Оценки устойчивости линейных стохастических систем // Укр. мат. журн., 1989. 41. No.9.

32. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники. Техническая кибернетика. 1991. Т. 32. С. 3-31.

33. Эльсгольц Л.Э. Сильная абсолютная устойчивость //Тр. семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М: Ун-т дружбы народов им. П. Лумумбы. 1967. No. 4. С. 273.

34. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Москва: Наука. 1971.

35. Anderson В.D.O. and Moore J.B. Linear Optimal Control. Englewood-Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1971.

36. Benjelloun К., Boukas E.K. and Yang H.: Robust Stabilizability of Uncertain Liner Time-Delay Systems With Markovian Jumping

37. Parameters.// Transactions of the ASME. Joutnal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1996. V.118. P.776-783.

38. Benjelloun K., BoukasE.K.: Stochastic Stability of Liner Time-Delay System with Markovian Jumping Parameters.// Mathematical Problems in Engineering, 1997. V.3. P. 187-201.

39. Boukas E.K.: Control of Systems with Controlled Jump Markov Disturbances.// Control-Theory and Adv. Tech. 1993. V.9. P.577-595.

40. Boyd E., El Ghaoui E., Feron E. and Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in control and system theory. SI AM, 1994.

41. Grujic L.T., Petkovski D.B.: Robust absolutely stable Lurie systems.// Int. J. Control. 1987. Y.46. P.357-368.

42. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Stability of functional differential equations. London. Academic, 1986.

43. Mariton M. Jump linear systems in automatic control. Marcel Dekker, Inc., New York, 1990.

44. Mariton M., Bertrand P.: Output feedback for a class of linear systems with stochastic jump parameters.// IEEE Trans. Automat. Control, 1985. V.30. P.898-900.

45. Niculescu S. I. On some model transformations for stability regions analysis of linear systems with multiple delays // Proceedings of 14th World Congress of IFAC. China. 1999. P.93-98.

46. Pakshin P.V.: Optimal linear control of discrete-time systems with random jump parameters.// Problems of Control and Information Theory, 1982. V.ll. P.179-193.

47. Pakshin P.V.: Robust stability and stabilization of the family of jumping stochastic systems.// Nonlinear Analysis, Theory Methods & Apllications, 1997. V.30. P.2855-2866.

48. Pakshin P.V., Yablonskii D.V. Robust control of jumping stochastic systems with time-delay. // Proceedings of the International Systems, Signals, Control, Computers Conferens (SSCC'98). Durban, South Africa. 1998. P.412-416.

49. Pakshin P.V., Yablonskii D.V. A family of robust stabilizing controllers for hybrid stochastic systems with time-delay // Proceedings of the 12 Conference Process Control'99. Tatranske Matliare, High Tatras, Slovak Republic May 31 June 3, 1999.

50. Pakshin P.V., Yablonskii D.V. Robust stability and control of hybrid stochastic systems with time-delay. // Proceedings of the European Control Conference. Session DA-6, paper No.F736, Karlsruhe, Germany, 1999. P. 1-6.

51. Pierce D. and Sworder D.D. Bayes and minimax controllers for a linear system with stochastic jump parameters // IEEE Trans. Automatic Control. 1971. V. AC-16. P. 300-307.

52. Sworder D.D.: Feedback control of a class of linear systems with jump parameters.// IEEE Trans. Automat. Control, 1969. V.14. P.9-14.

53. Tang G.-Y., Fu P.-L. A suboptimal control approach of linear time-delay systems // Proceedings of 14th World Congress of IFAC. China. 1999. P.99-103.

54. Yong-Yan Cao, James Lam Stochstic stabilizability and Hoo control for markovian jump time delay systems //Proceedings of 14th World Congress of IFAC. China. 1999. P.235-240.

55. Yong-Yan Cao, James Lam, You-Xian Sun Robust control for uncertain systems with time-delay and jump parameters //Proceedings of 14th World Congress of IFAC. China. 1999. P.191-196.

56. Wang J., Shao H., Su H., Chu J. Robust stabilization of uncertain state-delayed systems via output feedback //Proceedings of 14th World Congress of IFAC. China. 1999. P.185-190.

57. Wonham W.M.: Random differential equations in control theory.// In: Probabilistic Methods in Applied Mathematics (Edited by A. T. Bharucha-Reid), 1970. V.2. P.131-212. Academic Press, New York.

58. Willems J.L. and Willems J.C. Robust stabilization of uncertain system // SIAM J. on Control and Optimization. 1983. V. 21. No. 21. P. 352374.

59. Согласовано Заместитель директора по научной работе Арзамасскош филиала НГТУ В.И. Поздяев ~ 1999 г.

60. Утверждаю Генеральный директор ^Арзамасскогоизводственного «ТЕ^1П-АВИА» В.Т. Лещев 1999 г.1. АКТо внедрении результатов диссертации Яблонского Д.В. «Анализ устойчивости и синтез робастного управления гибридными стохастическими системами с запаздыванием»

61. От Арзамасского филиала НГТУ Научный руководитель темы по разделу «Транспорт» программы «Конверсия и высокие технологии 1997-2000 гг.» д.ф.-м.н., профессор1. П.В. Пакшин

62. От ОАО Арзамасского Научно-производственного предприятия «ТЕМП-АВИА»1. Началтора ТО-Ю В.П. Ульяновшчальника отдела, к.т.н. ЬВ.И. Слащев