автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы минимаксно-статической оптимизации и оценивания в линейно-квадратичных моделях

МЕТОДЫ МИНИМАКСНО-СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И ОЦЕНИВАНИЯ В ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫХ МОДЕЛЯХ

Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (авиационная и ракетно-космическая техника)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 НОЯ 2010

Москва, 2010

■ и

■

004612604

Работа выполнена на кафедре Теории вероятностей Московского авиационного института (государственного технического университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ¡Панков Алексей Ростиславович]

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Назин Александр Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент Горяинов Владимир Борисович

Ведущая организация: Государственный научно-исследовательский

институт авиационных систем (ГосНИИАС)

Защита состоится « 12 » ноября 2010 года в 10 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д 212.125.04 Московского авиационного института по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское ш., 4, Ученый совет МАИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета).

Автореферат разослан « » года.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д212.125.04, кандидат физико-математических наук М.В. Ротанина

Общая характеристика работы

Объект исследования. В диссертационной работе рассматриваются задачи условной минимизации дисперсии линейного стохастического функционала, которые можно представить в виде задачи квадратичной оптимизации с линейными ограничениями и неопределенными параметрами.

Актуальность темы. В связи с интенсивным развитием вычислительных систем, постановкой новых все более сложных задач управления, оптимизации, обработки информации и повышения надежности принимаемых управленческих решений существенно возрастают требования к точностным характеристикам результатов обработки данных.

Если на начальной стадии развития теории управления превалировали классические детерминированные модели, описываемые алгебраическими соотношениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных, интегральными соотношениями и другими аналогичными моделями, то дальнейшие теоретические исследования и результаты практического использования полученных методов и алгоритмов показали, что для адекватного описания реальных процессов необходимо использовать модели, органической частью которых являются неопределенные параметры и сигналы, значения и поведение которых заранее нельзя достоверно предсказать. Последнее привело к созданию стохастической теории управления и развитию сопутствующих вероятностно-статистических методов и алгоритмов обработки информации. Естественно, основные усилия были направлены на получение оптимальных по некоторым специальным критериям методов идентификации, фильтрации и управления (квантильный, вероятностный критерий, критерий «Value at Risk»).

Указанные критерии явно учитывают вероятностно-статистический характер решаемой задачи, а реализация оптимальных алгоритмов обработки информации предполагает наличие необходимого (достаточно большого) объема априорной информации о вероятностных характеристиках случайных параметров и возмущений, как в модели исследуемой системы, так и в модели, описывающей систему сбора и регистрации информации, необходимой для организации управления.

Основной проблемой в реализации оптимальных методов оценивания и управления, помимо их сложности, является отсутствие полной априорной информации о параметрах моделей и вероятностных характеристиках возмущений. Зачастую нет четкой информации о том, можно ли считать параметр модели случайным или следует трактовать его как неопределенный детерминированный. Но даже в случае, когда есть основания считать, что параметры модели являются случайными, у нас обычно нет достоверной информации о точных значениях их вероятностных характеристик (законов распределения, момент-ных характеристик, ковариаций с другими параметрами и т.д.). Более того, есть основания считать, что во многих задачах, для которых найдены оптимальные решения, условия реализации последних практически никогда не выполняются. Например, шумы наблюдений практически всегда содержат аномальные значения (выбросы), что не позволяет обоснованно использовать предположение об

их гауссовости. Кроме того, оптимальные методы оценивания и управления являются весьма чувствительными даже к незначительным отклонениям от принятых допущений, в условиях которых и бьши получены указанные методы.

В настоящее время сформировались два основных подхода к разработке методов исследования систем с априорной неопределенностью: минимаксный и адаптивный.

Суть минимаксного подхода состоит в том, что для обобщенных параметров модели формируется некоторое множество неопределенности их значений и характеристик, после чего задача оценивания и управления решается оптимальным образом в предположении, что реализован «наихудший» элемент указанного множества. При определенных условиях такое решение существует, а алгоритм его реализации обладает гарантирующими свойствами. Таким образом, задачи оценивания и управления при данном подходе решаются с помощью методов теории игр. Впервые в задачах классической математической статистики указанную идею в достаточно развитой форме реализовал А.Вальд. В силу плодотворности игрового (т.е. минимаксного) подхода, в дальнейшем были получены глубокие и разнообразные результаты по минимаксной параметрической и непараметрической статистике в работах A.A. Боровкова, С.М. Ермакова, И.А. Ибрагимова, A.B. Назина. Для указанного круга задач обычно параметры модели считаются неопределенными неслучайными и принадлежащими некоторым ограниченным областям конечномерного пространства, а модели - стохастическими с неизменными во времени вероятностными характеристиками, которые полностью или частично известны. При идентификации и оптимизации линейных регрессионных моделей использовались различные подходы к минимаксному оцениванию, связанные с разными способами описания возмущений. Так, в работах А.Б. Куржанского, М.Л. Лидова использовалась детерминированная модель возмущений с некоторым фиксированным множеством неопределенности, описывающим допустимые значения самих возмущений, а не их характеристик. В работах Б.Ц. Бахшияна, А.И. Матасова, В.Н. Соловьева неопределенные параметры модели считались неслучайными и неограниченными, а возмущения - стохастическими с частично известными xapaicre-ристиками. Проблема минимаксного оценивания случайных параметров в конечномерных статических моделях с априорной неопределенностью изучалась в работах А.И. Кибзуна, В.В. Малышева, В.Н. Соловьева, H.V. Poor, V.D. Vande Linde. В основном рассматривались линейные модели и линейные стратегии оценивания. Некоторые результаты для нелинейных моделей получены Ю.П. Пытьевым. Особое внимание при исследовании методов идентификации статистически неопределенных моделей в работах В.И. Мудров, В.Л. Кушко, ЯЗ. Цыпкин, П. Хубер, Е.И. Шапиро было уделено робастным методам оценивания, которые даже для линейной модели наблюдения реализуются в виде нелинейных алгоритмов, а минимаксные свойства оценок проявляются в асимптотике.

Второй подход к решению задач оценивания и управления в условиях априорной неопределенности, называемый обычно адаптивным, основан на восстановлении неизвестных вероятностных характеристик стохастических параметров модели, необходимых для построения оптимальных оценок и соответствующего управления. Данный подход исследован в работах Я.З. Цыпкина,

A.B. Назина, Б.Т. Поляка, JI. Льюнга, Дж. Саридиса. При определенных условиях оказывается, что такая оценка асимптотически эквивалентна (в некотором вероятностном смысле) оптимальной оценке, однако требует для своего построения существенно меньший объем априорной информации, что достигается за счет более полного и гибкого использования измерительной информации. Как правило, адаптивные алгоритмы фильтрации, идентификации и управления оказываются нелинейными, что существенно затрудняет анализ их неасимптотических свойств. Поэтому поведение адаптивных оценок для выборок конечного объема в практически важных случаях исследуется методами компьютерного статистического моделирования. Кроме того, желание построить теоретически обоснованный алгоритм адаптации требует обычно наложения довольно жестких условий на используемые модели (стационарность, устойчивость, независимость и однородность по распределению шумов, симметрия законов распределения и др.), что несколько ограничивает область обоснованного применения данного подхода на практике. С другой стороны, если для конкретной используемой модели удается строго обосновать процедуру адаптации, то получаемые оценки и стратегии управления могут быть существенно более эффективными, чем минимаксные (т.е. использующие только априорную информацию).

Представляется интересным как с теоретической, так и с прикладной точек зрения попытаться объединить два рассмотренных подхода с целью, с одной стороны, упрощения алгоритмов адаптации, а с другой стороны, повышения точности оценок и эффективности законов управления (по сравнению с чисто минимаксными стратегиями). Это возможно, например, если адаптационный процесс направлен не на восстановление недостающих характеристик модели, а на сужение априорных множеств неопределенности при неизменной общей структуре алгоритма минимаксной обработки информации. В настоящее время проблема адаптации минимаксных алгоритмов находится практически на начальной стадии исследования.

Теория квадратичного программирования достаточно полно разработана в предположении, что все параметры модели точно известны. Тогда решение может быть легко найдено, например, с помощью алгоритмов конического программирования второго порядка (SOCP), которые получили развитие в работах Ben-Tal A., El Ghaoui L., Nemirovski A., Oks M„ Oustry F., Lobo M. S., Vandenberghe L., Boyd S., Lebret H.). Однако на практике вместо неизвестных значений параметров обычно используют их оценки, построенные по статистическим данным. В этом случае решение задачи оптимизации существенно зависит от точности используемых оценок. Так, например, предположение о том, что ковариационная матрица стохастического параметра линейного функционала, входящая в выражение для критерия оптимизации, известна точно, представляется нереалистичным. Для учета указанного факта с целью уменьшения чувствительности решения к неопределенности в исходных данных представляется обоснованным модифицировать исходную задачу оптимизации и искать оптимальную стратегию для функционала, вычисленным при наихудших значениях неизвестных параметров.

Диссертационная работа лежит в указанном русле современных исследований в области минимаксно-статистической и адаптивной оптимизации. Множество прикладных задач, решаемых с помощью результатов исследований, и анализ эффективности предложенных методов по результатам численных экспериментов так же подтверждают актуальность выбранной проблематики.

Цель работы. Целью работы является построение и апробирование новых методов поиска гарантирующих решений квадратичных задач условной оптимизации в условия неопределенности с использованием минимаксно-статистического и адаптивного подхода.

Метод исследования. В диссертационной работе использованы методы математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии для построения аналитического решения задачи условного квадратичного программирования и для описания его свойств.

С помощью результатов теории оптимизации, теории двойственности и теории игр построена процедура решения минимаксных задач.

С помощью результатов математической статистики, многомерного статистического анализа предложены процедуры нахождения робастных гарантирующих решений минимаксных задач.

Математические модели, методики и алгоритмы представлены в виде компьютерных программ в системе программирования МАТЬАВ.

Достоверность результатов. Достоверность результатов обеспечивается:

1. Строгостью постановок и доказательств утверждений.

2. Корректным использованием математических моделей и современных математических методов оптимизации.

3. Сравнением результатов численных расчетов, полученных с помощью итеративных алгоритмов, со значениями, полученными с использованием аналитических решений, если это возможно.

4. Рассмотрением конструктивных примеров, которые демонстрируют достоверность приведенных результатов.

Научная новизна. В работе получены новые результаты, касающиеся методов обработки информации и оптимизации систем, качество которых определяется с помощью квадратичного критерия. К таким результатам относятся:

1. Получено новое аналитическое представление решения сингулярной задачи квадратичного программирования. Для указанного аналитического представления решения найдены условия единственности и непрерывности.

2. Используя известные результаты теории минимакса и указанные выше результаты, доказано существование минимаксного решения задачи квадратичного программирования, а так же предложен эффективный алгоритм его вычисления.

3. Используя результаты многомерного статистического анализа, найдена гарантирующая верхняя грань для критерия оптимизации исходной задачи, что позволило построить адаптивную процедуру поиска решения.

4. Предложены конструктивные способы построения множеств неопределенности в виде доверительных множеств с фиксированной надежностью для параметров модели.

5. Для указанных множеств неопределенности найдены соответствующие минимаксно-статистические решения, для которых доказаны гарантирующие свойства.

6. Предложено новое решение задачи робастного оценивания параметров движения J1A, обладающее гарантирующими свойствами.

Практическая значимость. Результаты, предложенные в диссертации, использовались при разработке вычислительных алгоритмов обработки информации и построения оптимального управления различными системами, в которых качество управления определяется квадратичным критерием с линейными ограничениями в условиях неопределенности.

Решения, полученные с помощью предложенных численных алгоритмов, обладают высокой точностью и робастными свойствами относительно значений параметров системы за счет использования дополнительной априорной информации, что положительно сказывается на надежности таких управлений.

Кроме того, результаты работы нашли свое применение в решении задачи робастного оценивания параметров траектории ЛА.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных научных конференциях «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, 2007, 2008, 2009, 2010), « Математическое моделирование социальной и экономической динамики (MMSED)» (Москва, 2007, 2010), European Control Conference (ЕСС'2009), System Identification and Control Problems (SICPRO 2009), и др., а так же на научных семинарах в МАИ, ГосНИИАС.

Диссертационная работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №№05-08-17963, 09-08-00369), а так же в рамках Мероприятий 1.1 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (государственный контракт от 30.09.2009 г. №02.740.11.0471), 1.2.1 «Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук» (государственный контракт от 18.08.2009 года №11889), ФЦП «Проведение научных исследований целевыми аспирантами» (государственный контракт от 10.08.2009 г. Ж7674).

Публикации. Основные результаты работы диссертации опубликованы в трех статьях [1-3] в журналах, входящих в Перечень ВАК, а так же в трудах научных конференций [4-8]. Лично автором диссертации в статьях [1,3] приводятся все математические выкладки и расчеты при получении гарантирующих и минимаксно-статистических решений, а в статье [2] доказываются все основные утверждения, касающиеся решения задачи оценивания параметров движения ЛА.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (188 источников). Объем диссертации включает 113 машинописных страниц, включая 8 рисунков и 10 таблиц.

Содержание работы

Введение. Во введении обоснована актуальность исследуемых проблем, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, представлена структура диссертации, перечислены полученные в диссертации новые результаты. Кроме того в ведении декларируется общая постановка задачи квадратичного программирования с линейными ограничениями и указываются прикладные проблемы, решение которых сводится к решению исследуемых заданы.

Первая глава. Первая глава включает в себя результаты для детерминированной постановки задачи минимаксного программирования.

В первой части главы рассматривается постановка задачи квадратичного программирования с линейными ограничениями-равенствами, к которой, в частности, приводятся задачи оценивания параметров движения JIA и построения оптимального портфеля ценных бумаг (ЦБ).

Получены различные аналитические результаты, такие как условия существования, единственности и непрерывности аналитического решения указанных задач. В первой главе предложен алгоритм численного нахождения решений соответствующей минимаксной задачи.

Данные результаты находят свое развитие в решении регулярной задачи квадратичного программирования с ограничениями общего вида во второй части главы.

Пусть xs Rр - вектор стратегий оптимизации; Не Я1хр, ze R' - известные матричные параметры; W е R,Kp - симметричная неотрицательно определенная матрица, т.е. W = WT > 0.

Рассмотрим следующую задачу оптимизации:

ixTWx min,

(1)

Hx=z.

Пусть в условиях задачи (1) матрица W задана лишь с точностью до принадлежности некоторому априори заданному множеству W симметричных неотрицательно определенных матриц. В этом случае вместо (1) рассматривается задача минимаксной квадратичной оптимизации

(maxxTWx—»min,

* (2)

Нх-г.

Используя теорию псевдообращения матриц, можно получить общее аналитическое решение задачи (1). Далее всегда будем полагать, что система уравнений Hx-z разрешима, т.е. HH*z = z, где здесь и далее #+- псевдообратная матрица.

Лемма 1.1.

1) общее решение задачи (1) имеет еид

x(\V) = (l-(PWPyw)(Py + H*z)yy£R"; (3)

2) минимальное значение j(W) критерия оптимизации j[x,W) = xTWx не зависит от у и имеет вид

l{W) = j(x(W),W) = (H*z)T(W-W(P\VPyw)H*z, (4)

где

P = (I-H*H) (5)

- ортопроектор на ядро Кег(Н)матрицы Н.

На основе приведенного выше результата получено обобщение теоремы Прайса и указано всё множество решений, полученных в обобщенном методе наименьших квадратов.

Из соотношения (3) следует, что в общем случае задача (1) имеет бесконечно много решений. Следующее утверждение описывает критерий единственности решения указанной задачи.

Лемма 1.2.

Пусть HH*z = Z ■ Решение задачи (1) единственно тогда и только тогда,

когда

A(W,tf) = Ker(W)nKer(tf)={0}. (6)

Замечание 1.1. Таким образом, единственность решения задачи оптимизации (1) возможна лишь при rank(P) < rank(W) < р.

Замечание 1.2. Условие (6) очевидно выполнено, если Кег(Я) с Im(lV).

Замечание 1.3. Общее решение задачи (1) можно представить в виде x(W) = [l-{PWPyw)H*z + [l-{PWPyw)Py = xl+x2{y). (7)

Используя свойства оператора Р вида (5), можно показать, что х, ±х2(у), откуда следует, что при любых W,H решение (3) задачи (1) с минимальной нормой (нормальное решение) единственно и имеет вид

x(W) = (l-(PWPyw)H+z. (8)

Таким образом, если решение задачи квадратичного программирования единственно, то оно имеет вид (8).

Покажем теперь, что в условиях леммы 2 решение (3) задачи (1) непрерывно по матричной переменной W.

Лемма 1.3.

Пусть 2U - множество матриц, для каждой из которых выполняется (6). Тогда решение (3) задачи (1) непрерывно по W на W; оптимальное значение критерия (4) также непрерывно по W на W.

Из утверждений лемм 1.2 и 1.3 следует, что условие (6) необходимо и достаточно для существования, единственности и непрерывности по W оптимальной стратегии. Ниже будет показано, что в этом случае минимаксная стратегия является функцией от решения двойственной задачи, которое может быть найдено численно с использованием сходящегося итерационного алгоритма.

Рассмотрим теперь решение задачи квадратичного программирования в минимаксной постановке (2) при условии, что множество неопределенности W задано априори.

Теорема 1.1.

Пусть множество )Л> - выпуклый компакт симметричных неотрицательно определенных матриц, причем А(\У,Н) ={0} для любой матрицы IV еУУ. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) существует решение двойственной задачи

И^еА^т(9)

2) стратегия л = = -(Р\УР) является минимаксной на

множестве X;

Ъ)пара образует седловую точку критерия на ХхУУ;

4) гарантированное значение критерия J(x,W) на ХхУУ равно J=J(•C,W) = (Я+Z)T{W-ЩPWP)+W}(H+Z). (10)

Для доказательства теоремы 1.2 достаточно проверить выполнение условий известного результата теоремы о минимаксе.

Из п.1 утверждения теоремы 1.2 следует, что минимаксная стратегия вычисляется аналитически, если найдено решение двойственной задачи (9). Заметим, что в общем случае проблема (9) является задачей максимизации вогнутой функции многих переменных на произвольном выпуклом множестве неопределенности. В связи с этим решение задачи минимаксной оптимизации общего вида требует использования некоторого численного алгоритма решения двойственной задачи и, следовательно, всей задачи минимаксной оптимизации:

Приведенный ниже алгоритм базируется на теоретических положениях, приведенных в леммах 1.1 -1.3 и теореме 1.2.

Алгоритм 1.1. Пусть (- номер итерации. Полагаем г := 0 и выбираем произвольно начальное приближение е И7.

1) По формуле (8) находим текущее приближение стратегии х1 =х(1¥1).

2) Находим решение задачи максимизации линейной функции:

^еАхвтоаЦх,^). (П)

3) Решаем задачу одномерной максимизации по переменной 8:

(12)

4) Находим очередное приближение по формуле:

шм=Щ+{ (13)

5) Если —7(И^)>0, то увеличиваем номер итерации /:= г +1 и переходим к пункту 1), иначе завершаем итерационный процесс.

Указанный алгоритм является модификацией известного метода условного градиента. Сходимость данного алгоритма сформулирована в виде следующей теоремы.

Пусть £2 - множество решений задачи двойственной оптимизации (9), а г(х, £2) = пип ||х - у|| - расстояние от х до выпуклого компакта £2.

Теорема 12.

Пусть выполнены условия теоремы 1.1.

10

Тогда возможны следующие варианты:

а) если итерационный процесс прекращается после конечного числа к итераций, то]¥1е£1,ах = х(\Ук) - искомая минимаксная стратегия;

б) в противном случае -»0 и х1- = Зс(Н^) —»х при ¡' —> °а.

Утверждение теоремы 1.2 получено с использованием известных результатов о применении метода условного градиента в задачах минимаксной оптимизации.

В некоторых практически важных частных случаях функционал У(дг) = тахлтИ6г удается вычислить аналитически, что, в свою очередь, позволяет найти минимаксную стратегию х непосредственно, т.е. не решая двойственную задачу (9). Теорема 1.3.

Пусть БфЪ, тогда решение задачи \tr\WG\-imax,

1 Г I, и ! <14)

пЦ^Уе я;*" : |[/ - V|| < £■}

! вид шах = = 1г[МЗ] +

УСУ

гдеУ/^У+е , ..--6>У

Рассмотрим множество неопределенности, заданное с помощью поэлементных ограничений:

= (15)

где \У и И7, — симметричные матрицы такие, что

={1УЦ} = {]У++]&_)( 2 и Д = {Д,.,} = (И^ - И"7) / 2 также неотрицательно определены.

В этом случае реализация алгоритма 1.1 существенно упрощается, так как задача (11) имеет аналитическое решение:

+л,)518п(^ф,)т}> (16)

причем также будет неотрицательно определенной матрицей.

Так же в работе рассмотрен аналогичный итерационный алгоритм решения минимаксной задачи квадратичного программирования с ограничениями общего вида

хе А^ттир./(л:,1У), X ={ле Я' : Ах = а,Вх<Ь}, Ц7)

хеХ УбП)

базирующийся на теории двойственности.

Вторая глава. Во второй главе представлены стохастические результаты диссертационной работы. В первой части главы найдена верхняя гарантирую-

щая граница для критерия задачи, с помощью которой найдено аналитическое выражение для адаптивного решения задачи (1).

Во второй части главы предложены конструктивные методы построения доверительных множеств для параметров модели с заданной надежностью. Так же найдены минимаксно-статистические решения, обладающие гарантирующими свойствами.

В задачах оптимального линейного оценивания и оптимизации инвестиционного портфеля, сводящихся, как было указано выше, к задаче (1), матрица Шявляется ковариационной матрицей случайного вектора параметров

оптимизируемой модели. Предположим, что матрица № неизвестна, но у нас имеется выборка объема п реализаций вектора в, построим вероят-

ностный аналог минимаксной стратегии, рассмотренной выше.

Далее будем предполагать, что вектор в имеет нормальное распределение IV) с неизвестными параметрами, причем IV е У\? и для любой матрицы из УУ выполняется условие (6)

Пусть У/п - выборочная оценка ковариационной матрицы № е УУ. Из результатов по статистическому оцениванию ковариационных матриц следует, что для любого х& Кег(\У) и п >2 статистика

(18)

хтЦ?х

имеет распределение (п -1) (хи-квадрат с г = п -1 степенью свободы). Отсюда немедленно следует, что при любом х<£ Кег(\У)

Р(хт\Ух<ф)) = Ч = 1-0, (19)

если

Фп М = ЯахтКх, Лп=(п-1)/4(п-1), (20)

а %2р{и-1) - квантиль уровня /? распределения £2(ге-1). Итак, для любой матрицы №е УУ и любого вектора хе Яр выполнено (19). Отсюда следует, что при каждом хе Я" ф„(х) - верхняя гарантирующая (с надежностью <7=1-/0) граница критерия ]{х,У/) = хтУ/х на множестве неопределенности УУ матриц ковариаций. Сразу заметим, что величина Хп, опреде-

ленная в (20), асимптотически совпадает с Лп=1/

, где и - кван-

тиль уровня q стандартного нормального распределения (т.е.%„/Лп -»1, п —»оо). Поэтому Яа 1, Л' —> °°.

В соответствии с идеологией гарантирующего подхода, изложенной выше, определим минимаксно-адаптивную стратегию х„ из условия минимизации верхней гарантирующей границы критерия

^еа^шш&М. (21)

Из выражения (20) для 0„(х) с учетом Яа> 0 при п> 2 следует, что

arg min (Hx) = arg min J{x,Wn).

xeX дех

В работе доказано, что задача (21) почти наверное имеет единственное решение.

Пусть хп =argmin/(x,H'n), а Jn = j(x,Wn), а IV0e VV - истинное неизвестное значение ковариационной матрицы. Обозначим так же uq - квантиль уровня <7 = 1-/? распределения N(0,1), 0</?<к1. Теорема 2.1.

Пусть хй = arg min J (х, Wa) - оптимальная стратегия, J0 = J (дг0, IV0) > 0.

xsX

Тогда VIV0 6 W

-*l-ß,n->°o. (22)

Следствие 1.

Так как почти наверное ] (^„.И'о) > 70, то из (22) следует, что

(

-, = т.е. величина-, " является га-

1-ияр{п-1)) 1-ияр/(п-1)

рантирующей с надежностью д верхней границей для значения критерия

J0=J(x0,W0).

Для получения минимаксно-статистического решения, использующего априорную информацию, наравне с предыдущим результатом, рассмотрим другой метод, который заключается в использовании доверительного множества с фиксированной асимптотической надежностью и размером, зависящим от объема выборки реальных данных, вместо априори заданного множества неопределенности задачи (2).

Используя результаты работы, связанные с оцениванием ковариационной матрицы по многомерной гауссовской выборке, можно показать, что

[I-1)/ 2—£->ЛГ(0Др), при »о, (23)

где I — единичный оператор в пространстве симметричных матриц размера (рхр).

Из (23) можно найти асимптотическое распределение спектральной нормы:

||/-Ктш;иу(п -1) / 2-^Л(р), (24)

где Л(р) — распределение наибольшего по модулю собственного значения случайной симметричной матрицы размера (рхр), распределенной по закону N(0,1^). Точный вид закона распределения А(р) известен.

Аналогично, для распределения квадрата фробениусовой нормы имеем

¡/-ir,,1-int,nfl2(« - О / при «->«, (25)

где j2(г) — распределение хи-квадратс г-р(р + \)/2 степенями свободы.

Наконец, асимптотическое распределение равномерной нормы, т.е. предельное распределение статистики

|/ - IL 1)/2 (26)

совпадает с распределением максимума из r = p(p + l)/2 независимых стандартных гауссовских случайных величин. Соответствующая квантиль уровня

(1+ '/¿П

ß такого распределения равна Ф~' —-— , где Ф"' (■) — функция, обратная к

\ 2 )

функции распределения стандартной нормальной величины.

Асимптотические распределения случайных величин (23)-(26) позволяют определить характерный размер доверительных множеств, построенных с помощью спектральной, фробениусовой и равномерной норм соответственно:

=(W£ КГ :||/ - W.^W.-"1! < , (27)

W2w = {W е Rf: ||/ - W'^WW-"2^ < , (28)

V^w={weRf^|j/-^,'2mi;-1':!||_<<5i,',)j. (29)

Здесь

где Aß(p) — квантиль уровня/? распределения А(р), а Zß{r) — квантиль уровня ß распределения хи-квадрат с г степенями свободы.

Поскольку множества (27)-(29) построены на основе статистических данных, будем их называть статистическими множествами неопределенности.

Все построенные выше статистические множества неопределенности являются асимптотическими доверительными областями надежности ß для матрицы W, т.е. LimPjWe VV'"*] = ß, где VVW - любая из областей, определенных

л-*» I J

соотношениями (27)~(29).

Используя свойства минимаксных стратегий, рассмотренные в первой главе, и свойства статистических множеств неопределенности, можно показать справедливость следующего утверждения. Теорема 2.2.

Пусть VV("' совпадает с множеством (27}-(29). Тогда 1) минимаксное решение

х„ е Arg min шах, J(x,W) ПО)

ЖХ iCeVV1"1 4 '

совпадает с решением задачи квадратичной оптимизации

*„eArgrmn7(x,W,,), (31)

где Wn — выборочная оценка ковариационной матрицы;

14

2_ л-1

.2 /

2) гарантированное значение критерия равно

Л = тт пих/ (дс.И') = (1 + ^)7М); (32)

3) стратегия хп является £п -оптимальной с вероятностью /3,т.е.

а х° — оптимальная стратегия.

Выбор указанных доверительных множеств как множеств неопределенности в задаче (2) так же удобен тем, что соответствующий двойственный функционал (9) в этих случаях имеет аналитическое представление, рассмотренное ранее в первой главе.

Третья глава. Рассмотрим многомерную линейную модель наблюдения ук=а(тк)в+£к,к = 1,...,п, (33)

где ук ей" - результат к-ото наблюдения, ве Нр - вектор неслучайных неизвестных параметров, ¡г(г)бй"хр - известная функция времени, Тк - заданный момент времени к -ого наблюдения. Далее мы всегда будем полагать, что процесс - векторный гауссовский белый шум с параметрами

=0>СОУ{£,4'£,Л > гДе V-V1 >- О, т.е. симметричная положительно определенная матрица. В общем случае ковариационная матрица V известна лишь с точностью до принадлежности некоторому множеству 20 положительно определенных симметричных матриц размера (/пхт). Далее 20 будим называть множеством неопределенности для V.

УеШ^-МеЯтХт, \¥ = ШТ>0]. (34)

Обозначим К = со1[у1,...,уп], А = со1[я(г1),...,а(гв)], £ = со1[е^...,£„], где со1[л,,...,хв]...,**}. Тогда модель (34) принимает вид

У = А0+£, (35)

где £е Л"™ - гауссовский случайный вектор с параметрами = 0,

соу{^,£:} = 7 ® V.

По наблюдениям (35) требуется построить с.к. оптимальную линейную несмещенную оценку х вектора

х=ав, (36)

где ае - заданная неслучайная матрица.

Произвольная линейная по У оценка для х имеет вид 5 = РУ, где /-■е Л'*™ - оператор линейного оценивания.

Для оптимизации будем использовать с.к. критерий

= (37)

Если оценка х обладает свойствами несмещенности, то Е\х-П[}=- 0, откуда следует, что Р должен удовлетворять условию

FA = a, (38)

а критерий оптимизации с учетом (38) принимает вид

15

У^У)^^/®^*}. (39)

Необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения (38) при заданных А и а имеет вид

аА*А = а. (40)

В этом случае говорят, что х = ав допускает линейную несмещенную оценку по наблюдениям У вида (35).

Если матрица V известна точно, то оператор Р оптимального оценивания х по критерию ] вида (39) определяется из условия

Ре А^пшУ^.У), (41)

где 5 - множество решений (38), т.е. ^ = К1" : FA = a,aЛ+Л = a}.

В общем случае мы знаем лишь то, что У е 2П, поэтому вместо задачи (41) будем рассматривать её минимаксный вариант:

Ре А^пип|шми-[>(/®У)/:'*]]. (42)

С помощью результатов, полученных в работе, удалось найти решение задачи (42) в следующем виде

Уе АгетахУ(У), (43)

УеИТ — у ' 4 '

где ¿(V) имеет вид

/(У) = 1г[а(А*(/®У-1)А)а*]. (44)

Минимаксный оператор оценивания Р в (42) имеет вид

Г = (45)

где F(V) определяется выражением

Р = Р{У) = а(А'(1®¥-1)А)+А'(1®У~1), (46)

а V - решение (43); соответствующая минимаксная оценка х для л: имеет вид

Х = Р(У)У, (47)

Оценка х, приведенная в работе, является оценкой Гаусса-Маркова и дает решение задачи с.к. оптимального оценивания в модели (35), (36), с полной информацией.

Пусть движение центра масс ЛА на промежутке времени [0,Т] описывается линейной многомерной кинематической моделью вида

= .....т, (48)

где Я1- вектор декартовых координат центра масс ЛА в момент времени г в некоторой базовой системе координат {0,,

V» Ги - 0 0 ... 0 0 0 ... 0

0 0 ... 0 Го, •■• ¥Рг, 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 у/0, уи ... ш

где - некоторая полная система базисных функций на [0,7"], используе-

мая для аппроксимации закона движения ЛА, р1 - порядок разложения по / -ой координате, / = 1,2,3; г?={г?1,...,г?„] - вектор неизвестных параметров (коэффициентов разложения); р = р{ + р2 + рг.

Предполагается, что измерение параметров движения ЛА осуществляется комплексом из к > 1 внешне траекторных измерительных средств (ИС), с каждым из которых связана собственная система декартовых координат , Каждое ИС комплекса принадлежит к одному из сле-

дующих двух типов. ИС первого типа измеряет наклонную дальность г', азимут Р и угол места е', где / -номер ИС в комплексе. ИС второго типа измеряет наклонную дальность г' и косинусы направляющих углов а[, сс'1. Параметрическая модель наблюдения / -ого ИС имеет вид:

У/ =А,'б + Де;Л = и7\ / = 1.....к, (49)

где введены обозначения У,'= Л,''= //,' = /?,(2,')б'.Л',. Здесь

Ъ) - декартовы координаты ЛА в системе /-го ИС в момент времени ?; £)' =№¡(21} " связь декартовых и измеряемых координат в системе 1-го ИС, б,1 =^.(2;) + ДС>; - измерения /-ого ИС в момент времени /; Щ -N(0^) -вектор ошибок измерений /-го ИС в момент времени г, + и,- - опорное

Э1У.(2)

движение ЛА в системе /-гоИС, =—' , {/, - матрица перехода из ба-

ЪЪ

зовой системы координат к системами каждого ИС.

Очевидно, что модель (49) совпадает с исходной моделью (35) с точностью до обозначений.

Пусть модель опорного движения ЛА имеет вид 1^,= 25000,

• г2,=-19990+300Г, (50)

г3, =20000-10/,

где /е [0,250].

Представим модель (50) в векторном виде 21 — где "11 0 0 0 0"

Ч*( = 0 0 1 / 00, а г?={25000,0,-19990,300,20000,-10} - вектор 0 0 0 0 1 / опорных значений параметров модели.

Пусть вектор неизвестных возмущений параметров движения равен 0={50,2,50, -2,50,1}.

Измерительный комплекс из двух средств представлен на рис. 1.

ИС №1

-20 ООО

,ла

50 000

-<©ИС№2

Рис. 1. Комплекс из 2-х ИС и траектория ЛА (Вид со стороны оси г3).

Рис. 2. Траектория движения ЛА.

Измерительные средства проводят наблюдения с частотой 1 Гц.

В процессе паспортизации ИС было проведено N = 100,250,1000 наблюдений для построения доверительных областей указанных ковариационных матриц V, и У2 на уровне надежности /5 = 0,95, с помощью методов, изложенных во второй главе работы.

Для различных объемов выборки априорной информации были найдены минимаксно-статистические оценки в вектора неизвестных параметров модели движения летательного аппарата (для этого в соответствующей модели а = 1 -единичная матрица соответствующей размерности) и оценки траектории летательного аппарата в моменты измерений (рис. 2).

Полученные результаты оценивания показали, что разработанный алгоритм минимаксно-статистической обработки измерительной информации позволяет получить на требуемом уровне надежности высокоточные оценки как параметров модели движения летательного аппарата, так и его фазовой траектории на всем интервале наблюдения. Кроме того, результаты численных вычислений позволяют сделать следующие выводы:

— найденные минимаксно-статистические стратегии оказались близкими к оптимальной стратегии, построенной в условиях наличия полной априорной информации;

— для небольшого объема статистических данных гарантированное значение критерия заметно превышает оптимальное значение критерия, что объясняется довольно большим радиусом доверительной области, если надежность последней близка к единице;

— при увеличении объема выборки статистическое множество неопределенности «уменьшается», что приводит к сходимости минимаксных стратегий и соответствующего гарантированного значения критерия к их оптимальным значениям. Аналогичным свойством обладает и адаптивная стратегия.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Найдены необходимые и достаточные условия существования, единственности и непрерывности по параметрам модели решения сингулярной задачи квадратичного программирования. [1].

2. Предложены методы построения по эмпирическим данным статистических множеств неопределенности требуемого уровня надежности для ковариационной матрицы случайных параметров линейно-квадратичной модели [2,3].

3. Найдено аналитическое представление минимаксно-статистических стратегий в задаче квадратичной оптимизации для статистических множеств неопределенности специального вида [2,3].

4. Разработан алгоритм численного построения минимаксно-статистических стратегий для произвольных выпуклых компактных статистических множеств неопределенности [1].

5. Предложено новое решение задачи робастного оценивания параметров движения ЛА с использованием априорной информации, обладающее гарантирующими свойствами [2].

Публикации в журналах из перечня ВАК

[1] Игнащенко Е.Ю., Панков А.Р. Минимаксно-адаптивная оптимизация линейных статистически неопределенных моделей// Вестник МАИ, 2008, т. 15, № 2, с. 105-112.

[2] Игнащенко Е.Ю., Панков А.Р., Семенихин К.В. Минимаксно-статистический подход к повышению надежности обработки измерительной информации. // Автоматика и телемеханика, 2010, №02, с.76-92.

[3] Игнащенко Е.Ю., Панков А.Р., Семенихин К.В. Минимаксно-статистический подход к оптимизации линейных моделей в условиях априорной неопределенности. // Изв. РАН, ТиСУ, 2010, № 5, с. 32-40.

Публикации в других изданиях

[4] Панков А.Р., Игнащенко Е.Ю. Адаптивный алгоритм минимаксного оценивания траектории движения ЛА// 13-я Международная научная конференция «Системный анализ, управление и навигация ЛА». М.: МАИ-Принт, 2008, с. 263-265.

[5] Pankov A., Siemenikhin К., Ignastchenko Е. Sample-Based Minimax Linear-Quadratic Optimization // Proceedings of the European Control Conference (ECC-2009), Budapest, Hungary, 2009, pp. 3221-3226.

[6] Панков A.P., Игнащенко Е.Ю. Адаптивный алгоритм минимаксного оценивания траектории движения ЛА// 13-я Международная научная конференция «Системный анализ, управление и навигация ЛА». М.: МАИ-Принт, 2008, с. 263-265.

[7] Панков А.Р., Игнащенко Е.Ю. Методика повышения надежности результатов оценивания параметров движения ЛА// 14-я Международная научная конференция Системный анализ, управление и навигация ЛА». М.: МАИ-Принт, 2009, с. 103-104.

[8] Pankov A.R., Platonov E.N. and Ignastchenko E.Yu. Minimax-Optimal Portfolio Selection by Probability Criterion under Uncertainty// SicPRO'2009, Moscow, Russia, 2009

Подписано в печать:

24.09.2010

Заказ № 4223 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение.

1 Список сокращений и обозначений.

2. Проблемы оптимизации, управления и обработки информации.

3. Математические методы обработки информации в неопределенно-стохастических моделях.

3.1. Минимаксный подход.

3.2. Адаптивный подход.

4. Минимаксные методы оптимизации неопределенно-стохастических систем.

5. Постановка задачи.

5.1. Задача оценивания параметров в модели линейной регрессии.

5.2. Задача Марковица и Тобина-Марковица.

Глава 1. Минимаксная оптимизация.

1.1. Задачи квадратичного программирования с ограничениями в виде линейных уравнений.

1.2. Оптимальные стратегии.

1.2.1. Обобщенный метод наименьших квадратов.

1.2.2. Аналитическое решение задачи квадратичного программирования.

1.2.3. Обобщенная теорема Прайса.

1.3. Единственность решения задачи квадратичного программирования.

1.4. Непрерывность решения при выполнении условия его единственности.

1.5. Минимаксные стратегии.

1.5.1. Лемма о минимаксе.

1.5.2. Теорема о сходимости.

1.5.3. Теорема о существовании решения двойственной задачи.

1.6. Алгоритм численного решения минимаксной задачи.

1.6.1. Обоснование алгоритма численного решения минимаксной задачи.

1.7. Некоторые случаи аналитического решения минимаксной задачи.

1.7.1. Обобщенная гельдерова норма.

1.7.2. Построение функции максимума в задаче минимаксной оптимизации.

1.7.3. Множество неопределенности, заданное с помощью поэлементных ограничений.

1.8. Постановка задачи квадратичного программирования с ограничениями общего вида.

1.9. Методы решения задачи квадратичного программирования с ограничениями общего вида.

Глава 2. Минимаксно-статистическая'оптимизация.

2.1. Верхняя доверительная граница для критерия.

2.2. Статистические свойства адаптивной оценки.

2.3. Построение доверительных множеств параметров модели.

2.3.1. О распределении некоторых функций ковариационной матрицы.

2.3.2. Построение доверительных множеств в виде окрестности фиксированной матрицы.

2.3.3. Построение доверительных множеств в виде поэлементных ограничений.

Глава 3. Минимаксно-статистический подход к повышению надежности обработки информации.

3.1. Задача оценивания параметров движения.

3.1.1. Теорема Гаусса-Маркова.

3.1.2. О задаче оценивания при неизвестной систематической погрешности ошибок.

3.1.3. Постановка задачи оценивания параметров движения ЛА.

3.1.4. Минимаксное решение задачи оценивания параметров.

3.1.5. Численный алгоритм.

3.1.6. Априорный синтез множества неопределенности.

3.1.7. Минимаксно-статистическое оценивание закона движения ЛА.

3.1.8. Численный пример.

3.2. Задачи синтеза оптимальной стратегии инвестирования.

3.3. Задача квадратичной оптимизации с ограничениями.общего вида.

3.4. Прочие примеры.

3.4.1. Пример 1.

3.4.2. Пример 2.

3.4.3. Пример 3.

3.4.4. Пример 4.

3.4.5. Пример 5.

3.4.6. Пример 6.

3.4.7. Пример 7.

3.4.8. Пример 8.

1 Список сокращений и обозначений.

ИП — Инвестиционный портфель

ИС — Измерительное средство

ЛА — Летательный аппарат

ОМП — Обобщенный минимаксный подход

ОМНК — Обобщенный метод наименьших квадратов

ЦБ — Ценные бумаги

Основные обозначения.

К'' — /?-мерное вещественное евклидовое пространство с соответствующим скалярным произведением и нормой (х) —> ппп — задача минимизации функции /(.*) на допустимом множестве аргум X ментов Х€. X •,

А+ — псевдообратный оператор по Муру-Пенроузу [61] к оператору А; ?г[А] — след матрицы (сумма её диагональных элементов); уес[ А] — операция векторизация матрицы [121];

А\[р =тах||Аг||, Ца||2 =лДг[АА*] , ЦаЦ^ =тах|д^.| — спектральная, фробениусова и равномерная (чебышевская) нормы матрицы а соответственно;

ЩУ'1'— множество всех симметричных неотрицательно определенных матриц размера рхр

I — единичная матрица соответствующего размера; 1т( А) — образ оператора А; Кег(А) — ядро оператора А.

2П — множество симметричных неотрицательно определенных матриц. V/ >У (И^^У)— матрица У/ —V является положительно (неотрицательно) определенной.

М[£], — математическое ожидание и ковариационная матрица случайного вектора

-—>L обозначает сходимость по распределению последовательности случайных элементов к элементу £ с распределением L; п —~—означает сходимость к случайной величине с вероятностью 1. arg min /(я) и arg max/(х) —множество точек, соответственно, глобального макси

X хеХ мума и минимума функции f (х) на множестве X .

Результаты работы нашли свое применение в третьей главе в задачах оценивания параметров движения ЛА и построения оптимальной структуры ИП ЦБ.

В задаче оценивания параметров движения ЛА предложен конкретные вид алгоритма решения минимаксной задачи и указаны способы построения доверительных множеств неопределенности, построенных с помощью априорной информации (например по результатам паспортизации ИС).

Для задач финансовой математики удалось совместить минимаксные и адаптивные решения, получив стратегии инвестирования с гарантирующими свойствами и с надежностью, увеличивающейся с объемом используемой информации.

Полученные результаты численных вычислений позволяют сделать следующие выводы:

Найденные минимаксно-статистические стратегии оказались близкими к оптимальной стратегии, построенной в условиях наличия полной априорной информации; для небольшого объема статистических данных гарантированное значение критерия заметно превышает оптимальное значение критерия, что объясняется довольно большим радиусом доверительной области, если надежность последней близка к единице; наихудшая на статистическом множестве неопределенности ковариационная матрица может существенно отличаться от истинной (неизвестной) ковариации; при увеличении объема выборки статистическое множество неопределенности «уменьшается», что приводит к сходимости минимаксных стратегий и соответствующего гарантированного значения критерия к их оптимальным значениям. Аналогичным свойством обладает и адаптивная стратегия. предложенные алгоритмы позволяют эффективно синтезировать минимаксные стратегии, определять наихудшие параметры модели и вычислять гарантированное значение критерия.

Заключение.

В работе рассмотрено решение минимаксной задачи квадратичного программирования. Для обоснования актуальности задач квадратичного программирования представлены различные математические проблемы, в решение которых используются результаты работы. Так же приведен подробный обзор литературы по минимаксному программированию.

В первой главе работы рассматривались сингулярные задачи минимаксного программирования. В разделе 1.2.2 для построения оптимальных стратегий минимаксной задачи с помощью методов выпуклого программирования и теории псевдообращения вырожденных матриц получено аналитическое решение задачи квадратичного программирования с ограничениями в виде линейных равенств и изучены его свойства. С помощью аналогичных методов в п. 1.2.3 получено обобщение теоремы Прайса - построено множество всех решений ОМНК.

В разделе 1.3 и 1.4 Сформулированы условия, накладываемые на параметры модели, единственности и непрерывности аналитического решения. Указанные свойства играют важную роль в исследовании проблемы существования и единственности минимаксных стратегий в сингулярной задаче квадратичного программирования.

В разделе 1.5.3 на основе известного более общего результата по минимаксной оптимизации получено утверждение о существовании решения минимаксной задачи.

Далее изучены аналитические свойства минимаксных решений и в п. 1.6 предложен итерационный алгоритм их численного определения. Изложены соображения о построении алгоритма, сформулировано и доказано утверждение о сходимости итерационной процедуры.

Отдельно рассмотрены случаи, когда возможен аналитический синтез минимаксных стратегий, основанный на специальном выборе множеств неопределенности параметров модели. Доказан результат об аналитическом представлении минимаксной стратегии в случае множества неопределенность, построенного с помощью обобщенной гёльдеровой нормы.

В п. 1.8 и 1.9 полученные ранее результаты обобщены на примере минимаксных задач квадратичного программирования с ограничениями общего вида. Представлен результат о существовании минимаксных стратегий и предложен численный алгоритм для их нахождения.

Глава II посвящена синтезу минимаксного подхода и методов статистической обработки информации для построения робастных решений с гарантирующими свойствами.

Для построения адаптивно-минимаксных стратегий с помощью статистических методов по результатам наблюдений построены верхние доверительные границы заданной надежности критерия оптимизации. Так же исследованы статистические свойства адаптивных оценок. Показано, что полученные адаптивные стратегии и соответствующие значения критерия являются сильно состоятельными оценками неизвестных стратегий и оптимального значения критерия с гарантирующими свойствами.

Далее предложены способы построения доверительных областей по априорной информации с фиксированной надежностью. Для указанных доверительных множеств решены соответствующие минимаксные задачи. Показано, что полученные стратегии обладают не только гарантирующими, но также и адаптивными свойствами, т.е. их точность растет с объемом априорной информации.

1. Ahmed N.U. Optimization and identification of systems.governed by evolution equations on Banach spaces.- London: Longman Scientific and Technical, 1989.

2. Anderson B.D.O., Moor J.B. Optimal filtering. -New Jersey.: Prentice Hall, 1989.

3. Basar Т., Bernhard P. H-optimal control and related minimax design problems. A game theoretic approach- Boston: Birkhauser, 1991.

4. Belitser E. Minimax estimation in regression and random censorship models // PhD Thesis, Universiteit Utrecht, 1997.

5. Bogler P.L., Bensoussan A. Stochastic control by functional* tracking a maneuvering target using input estimation // ШЕЕ Trans., v.AES-23, 1987, pp.298-310.

6. Borisov A.V., Pankov A.R. Conditionally-minimax filtering and control in infinite dimensional stochastic systems // Proceed. 34-Th IEEE CDC, New Orleans, USA, 1995, v.l, pp. 87-92.

7. Borisov A.V., Pankov A.R. Conditionally-minimax filtering for infinite-dimensional nonlinear stochastic systems // Proceed. 3-d Europ. Control Conf., Roma, Italy, 1995, v.3, pp.21542158.

8. Catlin D. Estimation of random states in general linear models // IEEE Trans. Autom. Contr., 1991, v. AC-36, n.2, pp. 248-252.

9. Chan Y.T. et al. A Kalman filter based tracking scheme with input estimation // IEEE Trans., v. AES-15, 1979, pp.237-244.

10. Cowan C.F.N., Grant P.M: Adaptive filters.- New Jersey.: Prentice Hall, 1985.

11. El Ghaoui L., Oks M., and Oustry F. Worst-case value-at-risk and robust optimization: a conic programming approach // Operations Res. 2003. V. 51. No. 4.

12. Garulli A., Tesi A., Vicino V. (eds.) Robustness in identification and control. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

13. Goldfarb D., Iyengar G. Robust portfolio selection problems// Mathematics of Operations Research. 2003. V. 28. No. 1. P. 1-38.

14. Goszczynski J.A. Practical aspects of identification of the aerodynamic characteristics// Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2006, v. 44, No. 1, pp. 31-50.

15. Iliff, К. W.; Maine, R. E. Practical aspects of modeling aircraft dynamics from flight data. Technical Memorandum.- NASA, USA, 1984.

16. Iliff K.W. Aircraft parameter estimation. NASA Technical Memorandum.- NASA, USA, 1987.

17. James M.R., Baras J.S., Elliott R.J. Optimal feedback risk-sensitive control and differential games for continuous-time nonlinear systems // Proceed. 32-ND IEEE CDC, 1993.

18. James M.R., Baras J.S., Elliott R.J. Risk-sensitive control and dynamic games for partially observed discrete-time systems // IEEE Trans. Autom. Contr., 1994, v. AC-39, n.4, pp. 780792.

19. Jategaonkar R V., Thielecke F. Aircraft parameter estimation a tool for development of aerodynamic databases// Sadhana, 2000, v. 25, No 2, pp. 119 -135.

20. Kassam S.A., Poor H.V. Robust techniques for signal processing: a survey // Proceed. IEEE, 1985, v. 73, pp. 433-481.

21. Klein V., Morelli E.A. Aircraft System Identification: Theory and Practice. AIAA Education Series, 2004. -484 pp.

22. Kreiss J.-P. On adaptive estimation in stationary ARMA processes// Ann. Statist., 1987, v.15, n.l, pp. 112-133.

23. Kumar P.R., Varaiya P. Stochastic systems: estimation, identification and adaptive control.- New Jersey : Prentice Hall, 1986.

24. Li L., Luo Z.-Q., Davidson Т., Wong M., Bosse E. Robust filtering via semidefinite programming with applications to target tracking // SLAM J. Optimization. 2002. V. 12. № 3.

25. Ljung L. Issues in system identification // Linkoping University, Report Lith-ISY- 11125,1991.

26. Markowitz H. Portfolio selection: efficient diversification of investment. N-Y.: J. Wiley & Sons, 1987.

27. Matasov A. I. Estimators for uncertain dynamic systems. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998.

28. Michaud, R. O. Efficient Asset Management: a practical guide to stock portfolio management and asset allocation. Financial Management Association survey and synthesis series. HBS Press, 1998

29. Miller В. M., Rudinovich E. Ya. Kalman filter for controlled hybrid systems// Systems and control letters. 2003, vol. 50, pp. 39-50.

30. Miller B.M., Rubinovich E.Ya. Regularization of a generalized Kalman filter // Math. Сотр. Simul., 1995, v.33, pp.87-108.

31. Miller G., Pankov A. and K. Siemenikhin. Minimax filter for statistically uncertain stochastic discrete-continuous linear system // Proceed, of the ECC-2007, Kos, Greece, July 2 -5, 2007, pp. 3926-3933.

32. Miller G.B., Pankov A.R. Minimax control in statistically uncertain stochastic differential system//l 1-я Международная, конференция по проблемам управления МКПУ (ИПУ РАН), 2006, Россия, Москва, стр. 249-255.

33. Miller В.М., Stepanyan K.V., Avrachenkov К.Е., Miller G.B. Flow control as a stochastic optimal control problem with incomplete information Problems of Information Transmission. 2005. T. 41. № 2. C. 150-170.

34. Muellerschoen R.J., Bar-Sever Y.E., Bertiger W.I., Stovers D.A. Decimeter Accuracy. NASA's Global DGPS for High-precision Users// GPS World, 2001,No. 1, pp. 14-20.

35. Mullen G.J. Aircraft parameter identification using MATLAB.- GOA Report No. 0011, College of Aeronautics, Bedford, UK, 2000.

36. Pankov A., Siemenikhin K., Ignastchenko E. Sample-based minimax linear-quadratic optimization // Proc. Europ. Control Conf. (ECC-2009), Budapest, Hungary, 2009.

37. Pankov A.R. , Platonov E.N. and Ignastchenko E.Yu. Minimax-Optimal Portfolio Selection by Probability Criterion under Uncertainty// SicPRO'2009, pp, Moscow, Russia, 2009

38. Pankov A.R., Borisov A.V. A solution of the filtering and smoothing problems for uncertain-stochastic dynamic systems // Int. J. Contr., 1994, v. 60, n.3, pp.- 413-423.

39. Pankov A.R., Borisov A.V. Optimal filtering in stochastic discrete-time systems with unknown inputs // IEEE Trans.Autom.Contr., 1994, v. AC-39, n.12, pp.2461-2464.

40. Pankov A.R., Bosov A.V. Conditionally-minimax algorithm of nonlinear system state estimation//IEEE Trans. Autom. Contr., 1994, v. AC-39, n.8, pp.1617-1620.

41. Pankov A.R., Miller G.B. Minimax filter for statistically indeterminate stochastic differential system// Proceed, of the 16th IFAC World Congress, Prague, 2005, paper code Fr-A07-TO/2.

42. Pankov A.R., Miller G.B. Linear-quadratic stochastic optimal control problem with incomplete information and uncertain noise statistics// The 45th IEEE CDC-06, San Diego, CA, USA, 2006, p. 4381-4386.

43. Pankov A.R., Platonov E.N., Siemenikhin K.V. Estimation of random elements under uncertainty via dual optimization // Труды международной конференции "Идентификация систем и задачи .управления!', ИПУ РАН, Москва, Россия, 2000, pp. 1236-1244.

44. Pankov A.R., Platonov E.N., Siemenikhin K.V. On minimax identification: method of dual optimization // Proceed: 39th IEEE Conference on Decision and Control, Sydney Australia, 2000, pp. 4759-4764.

45. Pankov A.R., Platonov E.N., Siemenikhin K.V. Recursive nonlinear filtering by minimax criterion // Proceed, of the 5th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (NOLCOSvC)l), St. Petersburg, Russia, July 4-6, 2001, pp. 697-702.

46. Pankov A.R., Semenikhin K.V. Regularized estimation procedures for statistically indeterminate singular linear models// Proceed. 41-st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, Nevada, USA, 2002, pp. 2625-2626.

47. Pankov A.R., Siemenikhin K.V. Minimax estimation for singular linear multivariate models with mixed uncertainty// Journal of Multivariate Analysis, 2007, № 1, vol. 98, pp. 145176, Elsevier, USA

48. Pankov A.R., Siemenikhin K.V. Minimax parameter estimation for singular linear multivariable models with mixed uncertainty//Proceed. Of the 16-th IFAC World Congress, Prague, 2005, paper code Fr-M07-TO/5.

49. Pankov A.R., Siemenikhin K.V. Minimax estimation in generalized linear uncertain-stochastic model// Proceed. 37-th IEEE CDC, Tampa, USA, 1998, v.3, pp. 2902-2903.

50. Soloviov V.N. Minimax estimation and the least squares method // Stochastics and stoch. reports, 1993, v. 42, pp. 209-223.

51. Spall J.C. (ed.) Bayesian analysis of time series and dynamic models, N.-Y.: Marcel Dekker, 1988.

52. Toutenburg H. Prior information in linear models. Chichester: J.Wiley & Sons, 1984.

53. Vande Linde V.D. Robust properties of solutions to linear-quadratic estimation and control problems // IEEE Trans. Autom. Contr., 1977, v. AC-22,

54. Verdu S., Poor H.V. On minimax robustness: a general approach and applications// IEEE Trans. Inform. Theory, 1984, v. 1T-30, pp. 328-340.

55. Yaz I., Вакке V., Yaz E. Receding window observer and dynamic feedback control of discrete infinite-dimensional systems // Proceed. 30-Th. IEEE CDC, Brighton, UK, 1991, pp. 3031-3032.

56. Young M.R. A minimax portfolio selection rule with linear programming solution.// Management Science, 1998, V.44, № 11.

57. Zhou K., Doyle J., and Glover K. Robust and optimal control. N.Y.: Prentice-Hall, 1996.

58. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

59. Ананьев Б.И. Об информационных множествах для многошаговых статистически неопределенных систем, Тр. ИММ, 6, № 2, 2000, 290-306.

60. Ананьев Б.И. Минимаксная линейная фильтрация многошаговых процессов с неопределенными распределениями возмущений // АиТ. 1993. № 10.

61. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Наука, 1963.

62. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.

63. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.

64. Бажинов И.К., Почукаев В.Н. Оптимальное планирование навигационных измерений. М.: Машиностроение, 1976.

65. Баклицкий В.К., Юрьев А.Н. Корреляционно-экстремальные методы навигации. М.: Радио и связь, 1982.

66. Барабанов А.Е. и др. Адаптивная фильтрация при неизвестной интенсивности возмущений и шумов измерений// АиТ, 1992, № 11, с. 93.

67. Барабанова Л.П. О коэффициенте чувствительности спутниковой навигационной системы// Известия РАН. ТиСУ, 2007, № 2, с. 144-151.

68. Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М.:Наука,1980.

69. Бахшиян Б.Ц., Соловьев В.Н. Применение теоремы двойственности к задаче оптимального гарантирующего оценивания //Космич. исслед.,1990, т.90, № 2.

70. Богуславский И.А. Полиномиальная аппроксимация для нелинейных задач оценивания и управления. М.: Физматлит, 2006.

71. Богуславский И.А. Прикладные задачи фильтрации и управления. М.: Наука; 1983.

72. Богуславский И.А. Автономная навигация летательного аппарата по информации об углах визирования// Вестник компьютерных и информационных технологий, 2005, №3.

73. Богуславский И.А., Мирошичев Н.Я. Алгоритм для нелинейной идентификации параметров самолета посредством тестовых маневров// Вестник компьютерных и информационных технологий, 2008, №3.

74. Борисов A.B., Панков А.Р. Минимаксное линейное оценивание в обобщенных неопределенно-стохастических системах. 1. Оценивание случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах // Автоматика и телемеханика, 1998, № 5, с.102-111.

75. Борисов A.B., Панков А.Р. Проблемы минимаксного оценивания случайных элементов в гильбертовых пространствах // АиТ, 1996, № 6, с. 61-76.

76. Боровков А. А. Математическая статистика (дополнительные главы).М.: Наука, 1984.

77. Босов A.B., Панков А.Р., Овсянко Д.Е. Алгоритмы нелинейной фильтрации процессов в линейных системах случайной структуры // Космич. исслед., 1996, т.34, №6, с. 641650.

78. Брандин В.Н., Васильев A.A., Худяков С.Г. Основы экспериментальной космической баллистики. М.: Машиностроение, 1978.

79. Булычев Ю.Г. Елисеев A.B. Алгоритмы обработки измерений при кусочно-непрерывной помехе// Известия РАН. ТиСУ, 2007, № 2, с. 57-64.

80. Булычев Ю.Г., Елисеев A.B. Математические аспекты определения движения летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 2000.

81. Вальд А. Статистические решающие функции.-В кн. Позиционные игры. М.:Наука, 1967.

82. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным.М.: Наука, 1979.

83. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

84. Г. Крамер. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

85. Гирко B.JI. Спектральная теория случайных матриц // УМН. 1985. Т. 40. № 1.

86. Гнеушев А.Н. Система оценки скорости транспортных средств по контурным признакам в режиме реального времени// Известия РАН. ТиСУ, 2005, № 1, с. 133-143.

87. Гребнев О.Н., Корсун О.Н. Синтез управления летательным аппаратом на основе методов идентификации/ЛЗестник компьютерных и информационных технологий, 2008, №6.

88. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии.М.:Финансы и статистика, 1981.

89. Демин Н.С., Жадан Л.И. Некоторые адаптивные варианты фильтра Калмана-Быоси для дискретных систем // Адаптация и обучение в системах управления и принятия решений. Новосибирск: Наука, 1982.

90. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. М.: Наука, 1984.

91. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента. М.:Наука, 1987.

92. Ершов A.A. Стабильные методы оценки параметров (обзор) // АиТ, 1979,№ 8, с.66-100.

93. Ершов A.A., Липцер Р.Ш. Робастный фильтр Калмана в дискретном времени // АиТ, 1978, № 3, с. 60-69.

94. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М.: Сов. радио, 1978.

95. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование.М.:Сов.радио,1973.

96. Зверев А.И., Кибзун А.И., Малышев В.В. Обобщенный минимаксный подход в задаче оценивания// Изв. АН СССР, Техн. киберн., 1986, № 4.

97. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания.М.:Наука, 1977.

98. Иванов Н.М., Лысенко Л.Н. Баллистика и навигация космических аппаратов. М.: Дрофа, 2004.

99. Иванов Ю.П., Синяков А.Н., Филатов И.В. Комплексирование информационно-измерительных устройств летательных аппаратов. Л.: Машиностроение, 1984.

100. Игнащенко Е.Ю. , А.Р. Панков, К.В. Семенихин. Минимаксно-статистический подход к оптимизации линейных моделей в условиях априорной неопределенности. // Изв. РАН. ТиСУ. 2010. № 5.

101. Игнащенко Е.Ю., А.Р. Панков, К.В. Семенихин. Минимаксно-статистический подход к повышению надежности обработки измерительной информации. // Автоматика и телемеханика №02 2010, М.: «Наука», с.76-92

102. Игнащенко Е.Ю., Панков А.Р. Минимаксно-адаптивная оптимизация линейных статистически неопределенных моделей// Вестник МАИ, 2008, т. 15, № 2, с. 105-112.

103. Инсаров В.В., Щербенев А.К. Алгоритмы оценивания фазовых координат в многоканальных мультиструктурных системах управления подвижными объектами//Вестник компьютерных и информационных технологий, 2006, №3.

104. Казаринов Ю.Ф., Фомин В.Н. Линейно-квадратическая задача стохастического управления // АиТ, 1990, № 8 (ч.1), 1992, № 5 (ч.2).

105. Конкин Ю.В. Разработка системы определения координат летательного аппарата на основе совмещения радиолокационной и картографической информации// Автореф. канд. дисс. (05.13.01), РГРУ, Рязань, 2007.

106. Корсун 0;Н., Зиновьев A.B., Лысюк О.П., БагнюкЕ.С. Алгоритм оценивания постоянной составляющей погрешности измерения воздушной скорости при учете скорости ветра//Вестник компьютерных и информационных технологий, 2008, №9.

107. Корсун О.Н., Попов A.A. Формирование подходов к разработке математических моделей самолетов по данным летных испытаний// Вестник компьютерных и информационных технологий, 2007, №6.

108. Красильщиков М.Н., Себряков Г.Г. Управление и наведение беспилотных маневренных летательных аппаратов на основе современных информационных технологий. М.: Физматлит, 2003. http://www.twirpx.com/aboutyfaq/downloading/

109. Куржанский А.Б Задача идентификации: теория гарантирующих оценок (обзор) // АиТ, 1991, №4, с. 3-26.

110. Лебедев A.A., Бобронников В.Т., Красильщиков М.Н., Малышев В.В. Статистическая динамика и оптимизация управления ЛА. М.: Машиностроение, 1985.

111. Леондес К.Т. Фильтрация и управление в динамических системах.М.: Мир, 1980.

112. Лидов М.Л. Алгоритм оценивания параметров движения в задаче с немоделируе-мыми ускорениями // ДАН СССР, 1988, т.300, № 1.

113. Лидов М.Л. К задачам гарантирующего оценивания // Космич. исслед., 1991, т.29, №6.

114. Лидов М.Л., Бахшиян Б.Ц., Матасов А.И. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания (обзор) // Космич. исслед., 1991, т.29, № 5.

115. Липкин И.А. Спутниковые навигационные системы. М.: Вузовская книга, 2001.

116. Льюнг Л. Идентификация систем. М.:Наука,1991.

117. Магнус Я., Нейдекер X. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. М.: Физматлит, 2002.

118. Малышев В.В. Куршин В.В. Навигация авиационного потребителя с использованием цифровых карт. Эл. журнал «Труды МАИ», №12, 2008г.

119. Малышев В.В. (ред.) Спутниковые системы мониторинга. М.: Изд-во МАИ, 2000.

120. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1987.

121. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами.М.: Машиностроение 1987.

122. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдений и управления летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1989.

123. Маршалл А., Оушн И. Неравенства: Теория мажорирования и её приложения, г. Москва, Мир, 1983 г.

124. Матасов А.И. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантированного оценивания//Космич. исслед., 1988, т.26, № 5 (ч. 1), № 6 (ч.2).

125. Мелас М.Б. О выборе плана эксперимента и метода оценивания при наличии априорных сведений о параметрах.- В кн. Математические методы планирования эксперимента. Новосибирск: Наука, 1981, с. 155-173.

126. Миллер Г.Б., Панков А.Р. Минимаксная фильтрация в линейных неопределенно-стохастических дискретно-непрерывных системах// Автоматика и телемеханика, 2006, № 3, с. 77-93.

127. Миллер Г.Б., Панков А.Р. Оптимизация управления в линейных стохастических дифференциальных системах с неопределенными параметрами возмущений// Информационные процессы, т. 6, № 2, с. 131-143.

128. Михайлов М.В. Метод определения ориентации космических аппаратов по измерениям асинхронных приемников GPS-ГЛОНАСС// Вестник компьютерных и информационных технологий, 2009, №6.

129. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений. М.: Радио и связь, 1983.

130. Назин A.B. Информационный подход к задачам оптимизации и адаптивного управления дискретными стохастическими системами // Диссертация д.ф.-м.н., ИПУ РАН, 1995.

131. Назин A.B. Информационный подход к задачам оптимизации и адаптивного управления дискретными стохастическими системами // Диссертация д.ф.-м.н., ИПУ РАН, 1995.

132. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.

133. Панков А.Р. Рекуррентная условно-минимаксная фильтрация процессов в разностных нелинейных стохастических системах// Изв. АН СССР, сер. Технич. киберн., 1992, № 3, с.63-70.

134. Панков А.Р. Стратегии управления в* линейной стохастической системе с негаус-совскими возмущениями // АиТ, 1994, № 6, с. 74-83.

135. Панков А.Р., Борисов A.B. Минимаксные процедуры статистического оценивания в гильбертовых пространствах//Докл. РАН, 1995, т.345, № 6, с. 727-729.

136. Панков А.Р., Босов A.B. Конечномерные алгоритмы оценивания состояний нелинейных стохастических систем // Вестник МАИ, 1995, т.2, вып. 2, с. 44-51.

137. Панков А.Р.', Босов A.B. Робастное рекуррентное оценивание процессов в стохастических системах // АиТ, 1992, № 9, с.102-109.

138. Панков А.Р., Игнащенко Е.Ю. Адаптивный алгоритм минимаксного оценивания траектории движения ЛАII 13-я Международная научная конференция «Системный анализ, управление и навигация ЛА». М.: МАИ-Принт, 2008, с. 263-265.

139. Панков А.Р., Игнащенко Е.Ю. Методика повышения надежности результатов оценивания параметров движения ЛА// 14-я Международная научная конференция Системный анализ, управление и навигация ЛА». М.: МАИ-Принт, 2009, с. 103-104.

140. Панков А.Р., Миллер Г.Б. Минимаксная линейная рекуррентная фильтрация неопределенно-стохастических последовательностей по интегральному критерию // Информационные процессы, т.1, № 2, 2001, с. 150- 166.

141. Панков А.Р., Миллер Г.Б. Фильтрация случайного процесса в статистически неопределенной линейной стохастической дифференциальной системе// Автоматика и телемеханика, 2005, № 1, с. 59-71.

142. Панков А.Р., Платонов E.H. Гарантирующие решения задачи квадратичного программирования с неточно заданными параметрами и их приложения в инвестировании // Изв. РАН. ТиСУ. 2003. № 1.

143. Панков А.Р., Платонов E.H. Гарантирующие решения задачи квадратичного программирования с неточно заданными параметрами и их приложения в инвестировании// Известия РАН. Теория и системы управления, 2003, №1, с. 161-171.

144. Панков А.Р., Платонов E.H., Семенихин К.В. Гарантированное вероятностное оценивание в линейных статистически неопределенных моделях// Вестник компьютерных и информационных технологий, 2006, № 9, с. 8-13.

145. Панков А.Р., Платонов E.H., Семенихин К.В. Минимаксная квадратическая оптимизация и ее приложения к планированию инвестиций // АиТ. 2001. № 12.

146. Панков А.Р., Платонов E.H., Семенихин К.В. Минимаксная квадратическая оптимизация и ее приложения к планированию инвестиций// Автоматика и телемеханика, № 12, 2001, с. 55-73.

147. Панков А.Р., Попов А. С. Минимаксное оценивание движения летательного аппарата в условиях априорной стохастической неопределенности// Труды МАИ, сер. Техническая кибернетика, № 7, 2002.

148. Панков А.Р., Попов A.C. Минимаксная идентификация нелинейной динамической системы наблюдения//Автоматика и телемеханика, 2004, № 2, с. 148-156.

149. Панков А.Р., Попов A.C. Минимаксное оценивание движения летательного аппарата в условиях априорной стохастической неопределенности // Труды 2-й Международной конференции "Идентификация систем и задачи управления", Москва, 2003, с. 2268-2277.

150. Панков А.Р., Семенихин К.В. Гарантирующее оценивание в обобщенных неопределенно стохастических линейных моделях// Труды Международной конференции по проблемам управления, ИПУ РАН, Москва, 1999, т.1, с.300-302.

151. Панков А.Р., Семенихин К.В. Методы параметрической идентификации многомерных линейных моделей в условиях априорной неопределенности // Автоматика и телемеханика, 2000, № 5, с. 76-92.

152. Панков А.Р., Семенихин К.В. Минимаксная идентификация обобщенной неопределенно-стохастической линейной модели // Автоматика и телемеханика, 1998, № 11,с.158-171.

153. Панков А.Р., Семенихин К.В. Минимаксная параметрическая идентификация обобщенных линейных моделей // Труды 6-го Междунар. симпозиума по теории адаптивных систем управления, С.-Петербург, 1999,т.2, с.131-134.

154. Панков А.Р., Семенихин К.В. О минимаксном оценивании в сингулярных неопределенно-стохастических моделях// Автоматика и телемеханика, № 9, 2002, с. 40-57.

155. Петров А.И., Харисов В.Н. (ред.) ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования. М.: Радиотехника, 2005.

156. Поваляев Е., Хуторной С. Системы спутниковой навигации ГЛОНАСС и GPS (ч. 14)// Инженерная микроэлектроника, 2002, № 1-3.

157. Покотило В.Г. Оптимальные измерители и асимптотические свойства минимаксных оценок // Диссертация д.ф.-м.н., ИК АН Украины,1992.

158. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1980.

159. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979.

160. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М.: Физматлит, 2002.

161. Рао С. Линейные статистические методы и их применение. М.: Наука, 1968.

162. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

163. Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления .М.: Наука, 1980.

164. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980.

165. Семенихин К.В. Минимаксное оценивание случайных элементов по среднеквадра-тическому критерию // Изв. РАН. ТиСУ. 2003. № 5.

166. Сивашко А.Б. Оценка динамических характеристик самолета по информации бортовых устройств регистрации в спокойной атмосфере// Новости науки и технологий, 2007, т. 6, №2, с.35-40.

167. Скиба Г. Г., By H. X. Методика идентификации аэродинамических коэффициентов по значениям аэродинамических характеристик// Наукоёмкие технологи, 2006, №1.

168. Солдаткин В.М. Методы и средства измерения аэродинамических углов летательных аппаратов. Казань: Изд-во КГТУ, 2001.

169. Соловьев В.Н. Двойственные алгоритмы оптимального гарантирующего оценивания и усеченный метод наименьших квадратов// Космические исследования, 1994, т.32, № 1, с.3-11.

170. Соловьев В.Н. Двойственные экстремальные задачи и их применение к задачам минимаксного оценивания // УМН. 1997. Т. 52. № 4.

171. Соловьев В.Н. Минимаксно-байесовское оценивание на классах распределений с ограниченными вторыми моментами // Успехи мат. наук, 1996, № 2, с. 171-172.

172. Соловьев В.Н. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантирующего оценивания при наличии случайных ошибок измерений// Космические исследования, 1995, т.ЗЗ, №2, с. 122-124.

173. Тихонов А.Н., Уфимцев М.В. Статистическая обработка результатов экспериментов//Изд-во МГУ, 1988.

174. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Наука, 1978.

175. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука, 1984.

176. Хеннан Э. Многомерные временные ряды.М.:Наука,1979.

177. Хубер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984.

178. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1984.

179. Шапиро Е.И. Стабильное решение задачи нелинейной фильтрации при негауссов-ских ошибках измерений// Изв. АН СССР, Техн. киберн., 1984, № 4, с.127-133.

180. Шарп У. Александер Г., Бейли Д. Инвестиции. М.: Инфра-М, 2001.

181. Яценков B.C. Основы спутниковой навигации. М.: Горячая линия Телеком, 2005.