автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Декомпозиция моделей многотемповых управляемых систем

На правах рукописи

Семенова Марина Михайловна

ДЕКОМПОЗИЦИЯ МОДЕЛЕЙ МНОГОТЕМПОВЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

05.13.18— математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

—

Ярославль — 2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и теории управления Самарского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Соболев Владимир Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кубышкин Евгений Павлович

доктор физико-математических наук, профессор Чернышов Карнелий Иссидорович

Ведущая организация: Самарский государственный аэрокосмический

университет им. С. П. Королева

Защита состоится 2006 г. в __час. на

заседании диссертационного совета К 212.002.04 при Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова

Автореферат разослан " " -асг^сЯ— 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Глызин С. Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Прикладное значение теории сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений достаточно велико, ее методы активно применяются для решения задач из различных разделов гидро-и электродинамики, динамики полета, радиотехники, экономики и других областей естествознания и техники. Основы этой теории и ее методов заложены в трудах А. Н. Тихонова, А. Б. Васильевой, JT. С. Понтрягина, H. Н. Боголюбова, Ю. А. Ми-грополъского, В. Р. Вазова, В. Ф. Вутузо-ва, В. М. Волосова, С. А. Кащенко, А. И. Климушева, H. Н. Красовского, К. И. Чернышова, А. И. Кобрина, Е. Ф. Мищенко, H. X. Розова, И. В. Новожилова, В. А. Тупчиева, О. Б. Лыковой, К. W. Chang, J. H. Chow, A. Erdelyi, N. Fenichel, J. W. Macki, R. E. O'Malley, F. Hoppensteadt, II. K. Khalil, J. J. Levin, N. Levinson.

Проблемы управляемости, наблюдаемости, устойчивости и стабилизиру-емости систем, моделирующих поведение каких-либо объектов возникают при решении задач из различных областей инженерии, физики и экономики. Развитие методов, основанных на математическом моделировании реальных процессов, повлекло создание математической теории управления, основоположниками которой можно считать JI. С. Понтрягина, H. Н. Красовского, В. И. Зубова, Р. Е. Калмана, П. Л. Фалба, Э. Б. Ли, Л. Маркуса, X. К. Квакернаака, Р. Сивана, А. А. Воронова, Я. Н. Ройтенбер-га, Е. В. Воскресенского. Исследованию свойств устойчивости, управляемости, наблюдаемости и стабилизируемое™ сингулярно возмущенных систем посвящены труды А. Б. Васильевой, М. Г. Дмитриева, Б. В. Викторова, А. А. Воронова, В. Г. Гайцгори, А. Л. Дончева, С. А. Кащенко, Е. П. Кубышкина, Г. А. Куриной, А. А. Первозванского, В. А. Плотникова, Е. С. Пятницкого, В. А. Соболева, К. И. Чернышова, Е. Н. Abed, M. D. Ardema, J. H. Chow, D. Cobb, W. В. Collins, A. H. Haddad, H. К. Khalil, P. V. Kokotovic, R. E. O'Malley, J. O'Reilly, B. Porter, P. Sannuti, M. Suzuki.

Настоящая работа посвящена исследованию таких свойств работоспособности сингулярно возмущенных управляемых систем как управляемость, наблюдаемость, устойчивость и стабилизируемость.

Цель работы:

— Понижение размерности задач управляемости и наблюдаемости управляемых многотемповых систем так, чтобы модель меньшей размерности с большой степенью точности отражала все свойства исходной системы.

— Получение достаточных условий управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенных систем.

— Получение достаточных условий устойчивости энергетической системы, состоящей из двух разнотипных электростанций.

— Получение достаточных условий локальной управляемости и локальной

наблюдаемости вблизи нуля однозвенного манипулятора с упругим сочленением.

— Получение достаточных условий стабилизируемости силового гироскопического стабилизатора.

— Получение достаточных условий управляемости технологического комплекса непрерывного действия.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

— Проведена декомпозиция задач устойчивости, управляемости и наблюдаемости для моделей линейных многотемповых систем.

— Предложен алгоритм расщепления задач управляемости и наблюдаемости нелинейных многотемповых систем.

— Получены достаточные условия управляемости и наблюдаемости многотемповых систем.

— Изучен случай, когда наличие свойств управляемости и наблюдаемости системы определяется наличием этих свойств у системы ¿-ого приближения данной системы.

— Исследованы такие свойства как устойчивость, управляемость, наблюдаемость и стабилизируемость следующих динамических моделей: энергосистемы из двух разнотипных электростанций, однозвенного манипулятора с упругим сочленением, силового гироскопического стабилизатора, непрерывного технологического комплекса.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации имеют теоретическую и практическую направленность. Методы, полученные в данной работе, являются развитием методов математического моделирования применительно к теории управляемости сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. Доказанные теоремы имеют прикладное значение и могут быть использованы при исследовании свойств устойчивости, управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости технических систем, уравнения движения которых заданы сингулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений. Результаты исследования таких моделей, как энергосистема из двух электростанций, манипулятор с упругим сочленением, гиростабилизатор, технологический комплекс, имеют практическую ценность.

Методы исследования. При обосновании теоретических и практических результатов использовались: методы теории математического моделирования; теория асимптотических методов; метод декомпозиции, основанный на теории интегральных многообразий; метод пространства состояний; численные методы решений дифференциальных уравнений; асимптотические и геометрические методы анализа. На защиту выносятся:

1. Алгоритмы понижения размерности задач управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенных систем.

2. Достаточные условия управляемости и наблюдаемости многотемповых систем.

3. Достаточные условия управляемости и наблюдаемости управляемых многотемповых систем в случае, когда наличие этих свойств определяется наличием таких свойств у системы k-ого приближения данной системы.

4. Достаточные условия устойчивости энергетической системы из двух разнотипных электростанций.

5. Достаточные условия локальной управляемости и локальной наблюдаемости в окрестности начала координат однозвенного манипулятора с упругим сочленением.

6. Достаточные условия стабилизируемости силового гироскопического стабилизатора.

7. Достаточные условия управляемости непрерывного технологического комплекса.

Апробация результатов работы осуществлялась на различных научных конференциях: Воронежский зимний симпозиум "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках", г. Воронеж (январь, 2000г.); VII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование", г. Дубна (январь, 2000г.); Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы в теории краевых задач. Понтря-гинские чтения- XI", г. Воронеж (май, 2000г.); Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление", г. Самара (июнь, 2000г.; июль, 2001г.; июнь, 2004г.; июнь, 2005г.); I, II Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, г. Сочи (октябрь, 2000г.), г. Йошкар-Ола (декабрь, 2001г.); VII, VIII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", г. Москва (май, 2002г., июнь, 2004г.); Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара (май, 2004г.).

Публикации. Основные результаты работы отражены в 15 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, 6 параграфов и 10 рисунков, заключения, изложенных на 94 страницах, списка литературы, включающего 132 наименования, и 3 приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, перечислены основные.резуль-таты, полученные в работе.

Глава 1 состоит из трех параграфов и содержит математический аппарат исследования двухтемповых систем. В первом параграфе в п. 1.1.1

рассматривается математическая модель линейной двухтемповой управляемой системы следующего вида

х 1 = Апxi -t- Al2x2 + Вги, ех2 = A2IXx + А22Х2 + В2и, (1)

где Х\ 6 К"1, х2 6 R"2, и S 3Rr — управляющие воздействия, хг, х2 — медленная и быстрая переменные, Ai} = Ay(i, е), Д = Bi(t,e), i,j = 1,2 — матричные функции; е — малый положительный параметр, е £ (0, ео]. i 6 R, точка обозначает дифференцирование по f.

Предполагается, что матрицы Ai}, A22(t, 0), Bi непрерывны и ограничены вместе с достаточным количеством производных по i и е при t 6 К, с € [0,£о] и, следовательно, для матриц Ay(i, е), B{[t, е) имеют место асимптотические разложения по малому параметру е с гладкими и ограниченными коэффициентами. Предполагается также, что собственные значения Aj = At(i), г = 1,ть2 матрицы А22(£,0) удовлетворяют неравенству Re А, < -ßi < 0.

Расщепляющее преобразование для данной модели имеет вид:

2/1 = - еНу2, у2 = х2 - Ьхх.

В результате такого преобразования получим систему блочно-диагонального вида

Vi = Л2/1 + Вги, eyi = Л2у2 + В2и, А{ = Ai(t,e), В{ = Bi(t,e), г = 1,2,

где Ах = + A15L, А2 — А22 - eLA12, В2 = В2~ еЬВъ Bt = Вх - НВ2. Первое уравнение в этой системе является медленным, а второе — быстрым. Функции L — L(t, е), Я = H(t,e) можно искать в виде асимптотических разложений по степеням малого параметра. В п. 1.1.2 сформулированы и доказаны следующие теоремы: Теорема 1. Если медленная и быстрая подсистемы блочно-диагональной системы управляемы на отрезке времени [io.ii]. то исходная система (1) управляема на этом отрезке.

Пусть матрицы-коэффициенты блочно-диагоналыюй системы непрерывно дифференцируемы в окрестности точки i* € [io.ii] соответственно до (щ — 1), (п2 — 1) порядков включительно. Пусть для медленной подсистемы определены матрицы Ki0, i = 1, ri[ следующим образом: KlQ = к- _ jWP«» _ К - А^К - Ai0) - Л(0) - Л<0)

Л20 — А-х а1--¡и > • ' • > ЛП1,0 — Л-х Anj-1,0--¿1 , /Ii — лп — /112

x(A<02))-14i)1 B[q) = B^-A^A^)"1^- Матрица К0 задана формулой:

Теорема 2. Если существует точка t* 6 [i0, ii] в которой выполняются следующие условия: 1) rank (К°) = Пх\

2) rank (В<0>,А%>В<°>.....

то существует такое е* > 0, что при всех е € (0, £*], е* ^ £о, система (1) управляема на отрезке [io)ii]-

Определение 1. Системой fc-oro приближения блочно-диагональной системы называется система вида

Ш = A1{k)(t,e)yi + Bm(t,е)и, еу2 - A2{k){t,£)у2 + ДадС*.<0", (2) к к Aiw(t,e) = ¿£'4W(i), Bm(t,s) = ¿е'Д"'«, г = 1,2. (=0 1=0 Теорема 3. Пусть в некоторой фиксированной точке t* € [io,£i] существуют миноры nroro порядка М^ ф 0 матриц управляемости

..., АцЦ)1 медленной и быстрой подсистемы систе-

мы (2), представимые в виде = екМ*+Ек+1М,(е), где ф 0, Mf е R, Mi{e) — скалярная непрерывная функция, г = 1,2. Тогда существует такое е* > 0, что система (1) управляема на отрезке [ioi^i] при всех е е (0, е*], г* <е0.

Пусть Vi(t,t0) — фундаментальная матрица системы у\ = Vi(t0, i0)

= I; V2(t,t0,£) — фундаментальная матрица системы ej/2 = (Лг0' +еА^)уг, ^(fo.io.e) — /; матрица А^ определена выше, Л20) — Л^1, = +(Л™)-,Л<°)Л(1°2). Матрица W{t0,t,) имеет вид

V 0 vi(t0, т, е) ) = ( ti Vi(k, T)B^v;{ta, T)dr i и(*0, ^дв/кл«», r,s)dr \ \ 1 fto т, е)ВгБУ({10х r)dT i /;; V2(i0, Г, e)B2B2'Vi(t0, г, e)dr J

Теорема 4. Если главные блоки Фп, Ф22(0) матрицы W положительно определены, то существует такое е* > 0, что при всех £ € (0,£*], е* ^ е0 система (1) является управляемой на отрезке [to,ii]-

В п. 1.1.3 получены достаточные условия наблюдаемости линейной автономной двухтемповой системы.

Во втором параграфе исследуются нелинейные двухтемповьге системы. В п. 1.2.1 рассматривается математическая модель нелинейной сингулярно возмущенной системы

i = f{x,y,e), еу =д(х,у,£). (3)

Здесь х е X с К"1, у G Y с Rnj — медленная и быстрая переменные, е — малый положительный параметр, е & (0,£о], i 6 R, f{x,y,£), g(x,yje) — векторные функции.

Предполагается,что для этой системы выполняются условия:

1) Уравнение д(х,у, 0) = 0 имеет изолированное решение у = Л0(х).

2) В области Q = {{х,у,е) : ¡|у - Л0(а;)|| ^ р,£ е (0,£-0]} функции /, д, hQ равномерно непрерывны и ограничены с достаточным числом частных производных по всем переменным.

3) Собственные значения Aj = А,-(a:),j = 1,п2 матрицы

В — Б{х) = h0(x)) удовлетворяют неравенству Re Xj ^ —2/3 < 0. В системе (3) производится замена переменных

х — v + eH(v,z,e), Я (и, 0, е)=0, у = z+h(x,e), (4)

в результате которой получена система блочно-треугольного вида v = F( v,e),

ez = Z(v,eH,z,£), Z(v,£H,0,e) = 0, (5)

где F(v, e) = /(и, e), e), Z(v, eff, z, e) = g{v + ell, z + h(v + sH, e), e) -g{v + eH,h{v + eЯ,е),е) - еЦ(г> + еЯ,е)[/(и + еЯ,г + Л(и + еЯ,£),е) -f(v + еЯ, + еЯ, е), е)].

Функции /i(x,e), H(v,z,e) можно искать в виде асимптотических разложений по степеням малого параметра е.

Аналогично производится декомпозиция моделей сингулярно возмущенных систем, линейных по быстрой переменной.

В п. 1.2.2 производится расщепление модели управляемой двухтемповой системы следующего вида

X,— f(x,y,£) + Bi(x,£)u,

£У = д(х,у,е) + В2(х,е)и. (6)

Здесь х 6 X С К"1, у £ Y С R"2 — медленная и быстрая переменные, и 6 U С Кг — управляющие воздействия, е — малый положительный параметр, е 6 (0,е0], ' £ /. 9 — векторные функции, В{, г = 1,2 — матричные функции соответствующих размерностей.

Предполагается, что для этой модели выполняются условия 1)-3) п. 1.2.1 и функции В{ равномерно непрерывны и ограничены с достаточным числом частных производных по всем переменным при е S (0, £0], f Е К. Производится замена переменных (4) и полагается, что функция Я линейна по z, т. е. H{v, z, е) — Ha(v, e)z. В результате получена модель следующего вида

v — F(v,e) + Bi(v,eH, е)и,

ez = Z(v,eH,z,E) + 7f2{v,eH,e)u, Z(v,sH,0,e) = 0. (7)

ЗдесьB2(v,еН,е) = Bi{v+£H,e)~e^{v+eH,£)Bl{v+eH,£), Bi(v,eH,z,e) = Bi{v+eH,e) — B2(v,ell,e), функции F(v,e), Z{v,eH, z,e) определены

При e = 0 : B20{v) =J?2(vf0,0) = B2{v,0) = Bm(v), B10(v) = Bi(v,0,0) = Bx(w, 0) - ^(v.z.tWw.O.O) = Bxo(t)) — Ha(v, 0)£2O(W)-

Далее рассматривается система (7) с начальными условиями г>(0) = 0, z(0) = 0, для которой справедливы тождества Z{v, 0,0,е) = 0, Z(0,0,Q,e) = 0. Линейная модель для системы (7) в окрестности начала координат имеет вид

v = A\v + Biu, и(0) = 0, ez = A2z + в2и, г(0) =0,

где Ai = е), Л2 - |f (0,0,0,е), Д = 51(0,0,е), В3 = Щ0г0,е). Имеет место следующее утверждение.

Теорема 5. Рассмотрим модель (7) управляемого процесса в Rni+"2 с ограничивающим множеством U С Мг, содержащим внутри себя точку и = 0. Предположим, что: 1) F(0,e) = 0; 2) rank (¿Зь AiBu..., Л"1-1!?!) = rii; 3) rank (В2, А2В2,..., А'Г1В2) — щ. Тогда существует такое £* > 0, что при всех е Е (0, с*], е* ^ е0, область нуль-управляемости открыта в Rni+"2 (т.е. система (7) локально управляема вблизи нуля).

В п. 1.2.4 получены достаточные условия наблюдаемости нелинейных двух-темповых систем.

В п. 1.2.5 решается задача стабилизируемости системы, описываемой сингулярно возмущенным дифференциальным уравнением второго порядка. В третьем параграфе получены достаточные условия локальной управляемости и локальной наблюдаемости вблизи нуля для однозвекного манипулятора с упругим сочленением, проведено численное моделирование движения данного манипулятора.

Глава 2 содержит математический аппарат исследования многотемповых систем. Полученные результаты используются при изучении свойств следующих- динамических систем: энергосистемы из двух разнотипных электростанций, технологического комплекса, гироскопического стабилизатора. В первом параграфе рассматриваются модели линейных многотемповых систем вида

где х,- € К"1 — переменные состояния, соответствующие различным темпам движений, х0 — самая медленная переменная, хп — самая быстрая переменная, и 6 Кг — управляющие воздействия, А^, В1 — матрицы соответствующих размерностей, причем А^ = (£,£,,... ,£п)> В^ =

выше.

п

(8)

B¡(t,£!,...,£„); i,j = 0,n — матричные функции, e¡, í = l,n — малые положительные параметры, e¡ € (0, c'¡], e0 = li t G R, точка означает дифференцирование по t.

Предполагается, что матричные функции Ац, (Ann(t, 0,..., О))-1, B¡ обладают достаточным числом непрерывных и ограниченных частных производных по всем аргументам при t £ I, e¡ € [0, и собственные значения Aj = Aj(í), j = 1,п„ матрицы An„(t, 0,..., 0) удовлетворяют неравенству Re Aj ^ -2/Sj < 0.

При помощи n-линейных невырожденных преобразований система (8) приведена к блочно-диагональному виду: i

JJ ekz¡ ~ Aíz¡ + B¡u, i - 07ñ k=0

Сформулированы и доказаны следующие утверждения. Теорема 6. Если медленная и n-быстрых подсистем блочно-диагональной системы управляемы на отрезке [ío>íi]> то существуют такие е,- > 0, что исходная система (8) управляема при всех e¡ £ (0, £*], е* гС на отрезке времени [to, íi].

Предполагается, что матрицы-коэффициенты блочно-диагональной системы непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки t* £ ft,, íi] до (n¡ — 1)-ого порядка включительно, i = 0,п. Пусть для самой медленной подсистемы определены матрицы: ът _ ñ(o,o.....о) ьг — .....°)ñ<°'°.....0) ....."' ft- — .....

*М0 — Щ > Л20 — £>0 ---, . . . , ríngfl — Л0 J^no-1,0

<"<„„-,.о di '

Теорема 7. Если в некоторой точке V £ [í0, íij выполняются следующие условия: 1) rank (К10, К20,. •., Krlf¡¡0) — Щ',

2) rank ...............(Af-°.....°>)»<-»В<«-0.....°>) = n¡, i =

то существуют такие е* > 0, что при всех £¡ € (0, £*], е* < е? система (8) управляема на отрезке [to, ¿i].

Далее вводится определение системы ¿-ого приближения для блочно-диагональной системы и сформулирована и доказана следующая теорема. Теорема 8. Пусть в некоторой фиксированной точке t* G [ta, íj] существуют миноры п.-ого порядка М^1"'2.....1п) ф 0 матриц управляемости медленной и n-быстрых подсистем системы fc-oro приближения для блочно-диагональной системы, представимые в виде

А.....'»> = J2Íl£'iM''"h.....'л) + ■ ■ ■.е«). M!h,h.....1"} е R,

A j=1

jtfVi,h.-M Q^ Mí(ei,£2, ... ,e„) — скалярная непрерывная по всем аргументам функция, i — 0, п. Тогда существуют такие £* > 0, что система (8)

управляема на отрезке времени [£0, <1] при всех ер е (0, е*], е* < р = 1, п.

Пусть фундаментальная матрица однородной системы для блочно-диагональной системы — диагональная матрица, главные блоки которой ^о(Мо)> ■ • • I <о,£ь • • ■! £т>) ~ фундаментальные матрицы соответствующих однородных систем: ¿0 = Ао°'0'" "'0)г0, = .....0) -)- £1

хАГ.....0))ги и т. д., Ш-1 ^¿п = (А™.....с) + егАМ.....«О + £2А1°д.....0) + • ■ • +

.....ч)г»- При 1 = и-. У0(10^0) = /, И («о, «0,61) = /,..., К(М0>£1,

...,£„) — !. Симметрическая матрица имеет вид

( Фоо ФмЫ ... Ф0„(е1,...,е„)

Теорема 9. Если главные блоки Ф00, Фц(0),..., Ф„п(0,0,..., 0) матрицы IV положительно определены, то существуют такие е^ > 0, что система (8) является управляемой на отрезке [¿о,^] при всех £{ 6 (0, £*], е* ^ е?. Во втором параграфе рассматриваются нелинейные многотемповые модели вида ■

Дад = Мх0,х1,...,хп,е1,...,еп) + В{(х0,еи...,еп)и, i = {9)

к~0

где х1 е Х{ С К"' — переменные состояния, соответствующие различным темпам движения, и 6 £/ С !КГ — управляющие воздействия, /,■ — векторные функции, Д-, г = 0,п — матричные функции соответствующих размерностей, равномерно непрерывные и ограниченные с достаточным числом частных производных по всем переменным при t 6 К, 6 (0, е°], I — 1,п,с0 = 1.

Предполагается, что для системы (9) выполняются следующие условия:

1) Уравнение /п(х0, Ж1,..., хп, 0,..., 0) = 0 имеет изолированное решение

Хп = ку-М(х0,хи. ..,*„_!).

2) В области

П = {(х0, хи..., хп, еи ..., е„): ||х„ - .....0)(г0, ■ • •, аг«_х>Ц < Рп,

е,б(0,е?],/ = ТГЙ}_

функции Л*,0,0,/¡, г = 0,п равномерно непрерывны и ограничены с достаточным числом частных производных по всем переменным.

3) Собственные значения А,- = АДх0, хи..., хп_г), г = 1, п„ матрицы

хи ..., хп_ь к{°-0-"0)(х0, хи ..., г„_1),0,..., 0) 11

удовлетворяют неравенству 11е А; < —2^1 < 0. I1) Уравнение

/п-г{хо, II,..., хп_ь .....0)(х0, х,,..., хп_!), 0,..., 0) = О

имеет изолированное решение х„_1 = &^101'"'"'с'(х0,... , хп_2). 21) В области

= {(^0, • • • • • ,£п) • - - - - , ж„_2) II < рп-1,

е, б М], е] < с?, I = 1~п}

функции г = 0, п — 1 равномерно непрерывны и ограничены с

достаточным числом частных производных но всем переменным. З1) Собственные значения Ai = А((х0,..., х„_2), г = 1 , матрицы

... ,хп_2, е°г"Л 0,..., 0)

удовлетворяют неравенству Не А; < —2/?г < 0.

Здесь еоГ'0) - е°Г"0)(-о, • • -, *„-2), .....0) = .....0)(^0,.... ХП_2,

I"-1) Уравнение

Мхо,хи .....°>,..., Л<°'°.....°>(х0, XI, /4°'°.....0),. -., ЛГг -0)), 0,..., 0) = 0

имеет изолированное решение х1 = Л,°'0' '0>(х0). 2"-1) В области

Г2„_! = {(х0,х1,£1, ...,£„): [|Х1 - Л^0,0, ,0>(х0)|| < ри£1 € (0,£р_1],г = 1~п,

^Г1 < ^Г2 <•••<«?},

функции к}, з — 2, п, fi,i = 0,1, Л*0,0" ''0' равномерно непрерывны и ограничены с достаточным числом частных производных но всем переменным.

З"-1) Собственные значения А,- = А<(х0),г — 1,711 матрицы

^(хо.лГЛЛ?..........°\о,.. - ,0)

удовлетворяют неравенству Ие А; < — 2/Зп < 0. Здесь Л,0' "'0' = /4°.....0)(х0),

^,...,0) = А(0.-Л(Я.01 ^.....0)}) ____ ^.....0) ^ /г(0.....°>(х0, ..., еГ0)).

Далее в системе (9) производится гладкая замена переменных

п }

х0 — уд +

j=l *=l

n i

xi = v¡ + hi+^2 JJ £кЩ, i = l,n - 1,

J=¿+1 k=i+l

xn — vn -f- hnt

где hn = hn(x0,..., Xn-uEu ... ,en)\ Щ = //01(n0l t>i,eb... ,£„); /ii = ft,(u0

+61Щ ); Я? = Я?(ц> + «i + hi,v2,ei,...,e„), i - 0,1;

= ^(vo + e^o1 Н-е^аЯ^^ + Л! +e2/í12,ei,...,e)1); j-i 1 i-1 Í

Я/ = Я/(г>0 + X] П + Лх + Ц ПС*Я1> •' •' + Vb «i, ex,

Í=1 fc=l 1=2 k=2

£n), j = 3,n, г = 0,¿ - 1;

i I i l

ы = +«i+^+EII • • •

> 1Л-1 + fti-1 + £iH¡~i,£i>

t=i *=i <=2 *=2

.. .,£„), г = 3,п- 1. В результате такой замены получена модель следующего вида:

п

>о = ^о(г>о, <?п) + В0(г0) • • •, П £кЩ, £1.....еп)и,

va

к=1

sivi = Fi(v<hvi,e1,...,en) + Bl(v0,eiHl,...,Y[ekm,vl,eu

k=i

■ ■■>£«)«>

i П

Дад = ^(и0,«1,...,г;Ь£1,...,еп) + Д(1;0,е1Я01,...,Д£кЯ0п, (10)

«1,... .....£„)«, г = 2, п — 1,

п п

Д^ - ...,ип,£Ь...,£„) + Д^но^Я^,...,Д£*Я£,

*=1 4=1

£1,...,£п)и.

В п. 2.2.3 исследуется управляемость вблизи начала координат системы (10), при условии, что ^(0, £1,..., £„) =0, ^((0,0,..., 0, £ь ..., £„) ^ 0,

4 V '

1+1

I — 1,п. Линейная модель системы (10) в окрестности начала координат имеет вид

п

Де*^ = Ам + В{и, щ;(0) = 0, г = 07п, *=о

где Д = ...,0,еь.. .,еп), В1 = Д(0,..., 0,6!,... ,е„). Для системы (10) справедлива следующая теорема.

Теорема 10. Рассмотрим модель (10) управляемого процесса в Цп°+п1+~+"» с ограничивающим множеством и С Кг, содержащим внутри себя точку и = 0. Предположим, что 1) /^(О,^, ...,£„) = 0;

2) гапк {£?,-, = м,, г = 0,п. Тогда существуют такие

е* > 0, что при всех ер б (0,е*], е* < р = 1,п, область нуль-управляемости открыта в кяо+щ+-+п« (т. е. система (10) локально управляема в окрестности начала координат).

В третьем параграфе получены достаточные условия устойчивости энергетической системы из двух разнотипных электростанций; достаточные условия управляемости слабоуправляемых систем, описываемых системой дифференциальных уравнений второго порядка; достаточные условия управляемости непрерывным технологическим комплексом; достаточные условия стабилизируемости силового гироскопического стабилизатора.

В заключении перечислены основные результаты и выводы диссертации.

В приложении А приведены основные понятия, термины и теоремы теории автоматического управления и теории сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, использованные в данной диссертационной работе. В приложении В изучены такие свойства как управляемость, наблюдаемость, устойчивость и стабилизируемость трехтемповых систем. В приложении С исследуется управляемость некоторых линейных блочно-диагональных многотемповых систем. Основные результаты:

1. Произведена декомпозиция моделей многотемповых управляемых систем.

2. Получены достаточные условия управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенных управляемых систем.

3. Рассмотрен случай, когда наличие свойств управляемости и наблюдаемости многотемповой системы определяется наличием этих свойств у системы ¿-ого приближения данной системы.

4. Проведено исследование на наличие свойств управляемости, наблюдаемости, устойчивости и стабилизируемости ряда технических систем: энергосистемы из двух электростанций, однозвенного манипулятора, силового гиростабилизатора, непрерывного технологического комплекса.

5. Проведено численное моделирование движения однозвенного манипуля-

тора с гибким сочленением.

Список публикаций по теме диссертации.

1. Семенова М. М. Управляемость линейных сингулярно возмущенных систем / М. М. Семенова// Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. Тезисы докладов Воронежского зимнего симпозиума, Воронеж, 20-27 янв., 2000.— Воронеж, Воронежский государственный университет (ВГУ), 2000.- С. 202.

2. Семенова М. М. Декомпозиция и управляемость линейных сингулярно возмущенных систем/ М. М. Семенова // Тезисы докладов VII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", Дубна, 2330 янв., 2000.— Москва, Московский государственный унивеситет (МГУ), 2000,- С. 290.

3. Семенова М. М. Управляемость многотемповых систем/ М. М. Семенова // Нелинейное моделирование и управление: Материалы Международного семинара, Самара, 26-30 июня, 2000 — Самара, 2000 — С. 105-106.

4. Семенова М. М. Управляемость нелинейных сингулярно возмущенных систем / М. М. Семенова// Обозрение прикладной и промышленной математики, 2000, т. 7, вып. 2.— Москва. Научное изд-во: Теория вероятностей и ее применение (ТВП), 2000 - С. 413-414.

5. Семенова М. М. Декомпозиция задачи управляемости линейных многотемповых систем/ М. М, Семенова// Вестник у четно-экономического факультета,— 2000.— Вып. 2.— Самара: Изд-во Самарской государственной экономической академии, 2000.— С. 208-216.

6. Семенова М. М. Многомерная модель управления непрерывным технологическим комплексом/ М. М. Семенова// Вестник Самарской государственной экономической академии,— 2000,— N0. 2 —3(з_4),— Самара: Изд-во Самарской государственной экономической академии, 2000,— С. 303-305.

7. Семенова М. М. Понижение порядка системы в одной модели управления/ М. М. Семенова// Обозрение прикладной и промышленной математики.— 2001.— Т. 8, вып. 2.— Москва. Научное изд-во: Теория вероятностей и ее применение (ТВП), 2001 - С. 682.

8. Семенова М. М. Управляемость нелинейных многотемповых систем/ М. М. Семенова// Тезисы докладов VII Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, ИПУ РАН, 22-24 мая, 2002 - Москва, ИПУ РАН, 2002 - С. 175-176.

9. Семенова М. М. Декомпозиция многотемповых моделей управляемых систем/ М. М. Семенова// Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия.— 2002.— N0. 4(26).— Самара: изд-во "Самарский университет".— С. 13-22.

10. Семенова М. М. Декомпозиция задач управляемости и наблюдаемости для гибких роботов/ М. М. Семенова// Вестник Самарского государствен-

ного технического университета. Серия "Математическая". Дифференциальные уравнения и их приложения.'— 2003,— Вып. 22.— Самара, Самарский государственный технический университет.— С. 212-217.

11. Семенова М. М. Декомпозиция задач устойчивости линейных многотемповых систем/ М. М. Семенова// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской научной конференции, Самара, 2628 мая, 2004, часть 3.— Самара, Самарский государственный технический университет, 2004,- С. 192-194.

12. Семенова М. М. Управляемость и наблюдаемость манипуляторов/ М. М. Семенова// Тезисы докладов VIII Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, ИПУ РАН, 2-4 июня, 2004 - Москва, ИПУ РАН, 2004 - С. 165-166.

13. Семенова М. М. Декомпозиция многотемповых моделей линейных систем/ М. М. Семенова// Нелинейное моделирование и управление: тезисы доклада международного семинара, Самара, 22-25 июня, 2004.— Самара, 2004.- С. 47-48.

14. Семенова М. М. Управляемость и наблюдаемость манипуляторов с упругим сочленением/ М. М. Семенова// Сибирский журнал индустриальной математики.— 2004,— Т. VII, No. 1(17).— Новосибирск: Изд-во инта математики, 2004,— С. 109-113.

15. Семенова М. М. Декомпозиция систем с несколькими временными масштабами/ М. М. Семенова// Мехатроника, автоматизация, управление.— 2004 — No. 8 — М.: Изд-во "Новые технологии", 2004,— С. 6-11.

Отпечатано на ризографе

Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

Введение

1 Декомпозиция двухтемповых систем

1.1 Линейные модели.

1.1.1 Декомпозиция.

1.1.2 Управляемость.

1.1.3 Наблюдаемость.'.

1.2 Нелинейные модели.

1.2.1 Декомпозиция задач устойчивости

1.2.2 Декомпозиция задач управляемости

1.2.3 Управляемость. ф 1.2.4 Наблюдаемость.

1.2.5 Стабилизируемость. 1.3 Однозвенный манипулятор с упругим сочленением.

1.3.1 Уравнения движения.

1.3.2 Декомпозиция модели манипулятора.

1.3.3 Управляемость.

1.3.4 Наблюдаемость.

1.3.5 Составное управление.

2 Декомпозиция многотемповых систем

2.1 Линейные модели.

2.1.1 Декомпозиция задач управляемости

2.1.2 Управляемость. 2.2 Нелинейные модели.

2.2.1 Декомпозиция задач устойчивости

2.2.2 Декомпозиция задач управляемости 2.2.3 Управляемость.

2.3 Некоторые приложения.

2.3.1 Энергосистема из двух разнотипных станций.

2.3.2 Декомпозиция модели слабоуправляемой системы

2.3.3 Многомерная модель управления непрерывным технологическим комплексом.

2.3.4 Гироскопический стабилизатор

Теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений интенсивно развивается и ее методы активно применяются для решения задач из различных областей естествознания и техники. Это объясняется широким спектром приложений таких систем: гидродинамика, электроэнергетика, радиотехника, динамика полета, экономика и др. Сингулярно возмущенные системы могут быть получены естественным путем не только при моделировании, но и при исследовании объектов, которые совершают одновременно медленные и быстрые движения. Движение систем твердых тел представляет собой сложную композицию быстрых и медленных движений.

В теории автоматического управления модели, описываемые системами сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений возникают практически всегда. Примерами могут служить гироскопические, электромеханические и другие системы. В случае гироскопических систем имеют место быстрые — нутационные и медленные — прецессионные колебания, в случае электромеханических систем роль быстрых переменных играют переменные, описывающие электрические колебания, а медленных — переменные, описывающие механическую часть.

Настоящая работа посвящена изучению свойств сингулярно возмущенных систем — управляемость, наблюдаемость, устойчивость и стабилизируемость. Исследование проводится на основе декомпозиции математических моделей, отображающих свойства систем. Декомпозиция является одним из основных приемов для изучения сложных систем и состоит в расщеплении исходной задачи на ряд независимых задач меньшей размерности. Декомпозиция сингулярно возмущенных систем подразумевает частотное разделение движений на быстрые и медленные.

Сингулярно возмущенными называются системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при части производных, т. е. системы вида х = f{x,y,e), £У = где х Е R", у £ Rm, t G К, £ — малый положительный параметр, точкой обозначается дифференцирование по t. Сингулярно возмущенные системы с управлением — это системы вида х = f(x,y,u,e), еу = д(х,у,и,е), где и 6 Rr — вектор управляющих воздействий.

Исследованию сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений посвящены работы [6] - [11], [14], [17], [21], [22], [25], [26], [28], [29], [31], [32], [34], [41], [46],

48] - [50], [53], [78] - [83], [87], [90] - [92], [94], [96] - [98], [100] - [103], [107], [108], [112], [120], [121], [125]. Задачи управления с сингулярными возмущениями рассматривались в работах [1], [12], [13], [15], [16], [20], [23], [24], [37] - [39], [47], [51], [52], [78], [79], [86], [93], [99] - [102], [104] - [106], [109], [111], [114] - [119], [122] - [129], [131], [132]. Основы теории сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений и ее методов заложены в трудах А. Н. Тихонова [82], [83]; А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова [8], [9]; А. И. Климушева, H. Н. Красовского [31]; В. Р. Вазова [7]; J1. С. Понтрягина [53], [54]; H. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, О. Б. Лыковой [6], [46]; Е. Ф. Мищенко, H. X. Розова [48]; К. И. Чернышова [90]; J. Н. Chow [100]; R. Е. O'Malley [121]. В частности, вопросу декомпозиции линейных сингулярно возмущенных систем посвящены работы Е. Н. Abed [92]; L. Anderson [94]; P. V. Kokotovic [101]; В. Avramovic [95]; R. E. O'Malley, R. L. Anderson [121]. Среди отечественных исследователей изучению сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений посвящены работы Е. И. Геращенко, С. М. Геращенко [20]; С. А. Кащенко [29]; Н. В. Воропаевой, В. А. Соболева, В. В. Стрыгина, К. И. Чернышова [5], [17], [78], [80], [81]; А. А. Перво-званского, В. Г. Гайцгори [52]. Метод асимптотических разложений освещен в работах

A. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова [8], [9], [И]; F. Hoppensteadt [107], [108]; В. Р. Вазова [7]. Применение метода асимптотических разложений проиллюстрировано, например, в работах А. Б. Васильевой, М. Г. Дмитриева [12]; H. Н. Моисеева [49]; И. В. Новожилова [50]; А. А. Первозванского, В. Г. Гайцгори [52]; В. М. Гольдштейна, Ю. В. Михеева,

B. А. Соболева, Э. М. Фридман [21], [47]; P. V. Kokotovic, R. Е. O'Malley, P. Sannuti, V. R. Saksena, J. O'Reilly [118], [127]. Основы теории интегральных многообразий заложены в работах H. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [6]. Применение этого метода раскрыто, например, в работах Ю. А. Митропольского, О. Б. Лыковой [46]; P. V. Kokotovic [115] - [117] и других авторов. Метод сингулярных возмущений использован в трудах В. Porter [124] для синтеза регуляторов, стабилизирующих систему по принципу обратной связи. Приложения этого метода проиллюстрированы в книге

A. А. Первозванского и В. Г. Гайцгори [52]. P. V. Kokotovic, A. H. Haddad [116], а также J. Н. Chow [102] исследовали управляемость линейных автономных двухтемповых систем. Е. Н. Abed в своих работах [91] - [93] изучал такие свойства линейных автономных сингулярно возмущенных систем с несколькими малыми параметрами, как асимптотическая устойчивость и управляемость, сильная и слабая управляемость. D-управляемость и сильная D-управляемость таких систем изучена в работе X. Kekang, W. Zhenguan [111]. Управляемость некоторых линейных автономных разнотемповых систем и множества достижимости для них были изучены в работах М. Г. Дмитриева [23]; Г. А. Куриной [38], [39]. Расщепляющее преобразование для линейных неавтономных трехтемповых и многотемповых систем было построено, например, в работах Н. К. Khalil и P. V. Kokotovic [114], G. S. Ladde и D. D. Siljak [120], E. H. Abed [92],

B. А. Соболева, В. В. Стрыгина [81]. Управляемость линейных неавтономных сингулярно возмущенных систем исследовалась в работах P. Sannuti [128], P. V. Kokotovic и А. Н. Haddad [116]. Наблюдаемость линейных сингулярно возмущенных систем исследована в книге P. V. Kokotovic [117], а также в работах D. Cobb [104], S. H. Javid [109], J. O'Reilly [122].

Для нелинейных двухтемповых систем вопросы устойчивости с использованием функции Ляпунова квадратичного типа рассмотрены следующими авторами — А. И. Кли-мушевым и H. Н. Красовским [31], F. Hoppensteadt [107], J. H. Chow [100], A. Saberi и

H. КЬаЫ [126]. Расщепляющее преобразование для нелинейных сингулярно возмущенных систем без управления можно найти в работах Н. В. Воропаевой и В. А. Соболева [17], [130]. Управляемость некоторых сингулярно возмущенных систем была изучена Р. ЗаптШ [129]. Декомпозиция и управляемость систем, описывающих движение ма-нипуляционных роботов и некоторых механических и электрических объектов, освещены в работах Е. П. Кубышкина и М. Ю. Гарнихиной [19]; В. И. Матюхина [43], [44]; Е. С. Пятницкого, Н. В. Дунской [55] - [59].

Однако, в вышеуказанных работах в достаточной степени не изучены многотемповые системы и их свойства: во-первых, не описана общая методика понижения размерности моделей многотемповых управляемых систем; во-вторых, не исследованы свойства управляемости и наблюдаемости многотемповых систем.

Актуальность настоящей работы определяется возможностью понижения размерности моделей управляемых многотемповых систем и связана с развитием задач исследования таких свойств систем как устойчивость, управляемость, наблюдаемость и стаби-лизируемость. Модели, исследованные в работе — энергосистема из двух разнотипных электростанций, однозвенный манипулятор с упругим сочленением, непрерывный технологический комплекс, силовой гироскопический стабилизатор, имеют практическую ценность.

Целью работы является: понижение размерности моделей управляемых многотемповых систем; получение достаточных условий управляемости, наблюдаемости, устойчивости и стабилизируемое™ таких систем; получение достаточных условий устойчивости энергетической системы из двух разнотипных электростанций; получение достаточных условий локальной управляемости и локальной наблюдаемости вблизи нуля однозвенного манипулятора с упругим сочленением; получение достаточных условий стабилизируемое™ силового гироскопического стабилизатора; получение достаточных условий управляемости непрерывного технологического комплекса.

Объектом исследования в данной работе являются модели, которые описываются сингулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений. Предметом исследования данной диссертационной работы являются основные свойства управляемых многотемповых систем — управляемость, наблюдаемость, устойчивость и стабилизируемость.

К основным методам исследования относятся методы теории математического моделирования; метод декомпозиции, основанный на теории интегральных многообразий быстрых и медленных движений, асимптотические методы, метод пространства состояний, численные методы решений дифференциальных уравнений, асимптотические и геометрические методы анализа.

В числе информационных источников диссертационной работы использованы, во-первых, научные источники в виде данных и сведений из книг, журналов, сборников трудов научных конференций и семинаров, во-вторых, результаты собственных расчетов. Научная новизна работы состоит в следующем:

I. Предложен алгоритм понижения размерности моделей нелинейных многотемповых управляемых систем.

2. Проведена декомпозиция моделей управляемых многотемповых систем.

3. Получены достаточные условия управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенных систем.

4. Получены достаточные условия устойчивости энергетической системы, состоящей из двух разнотипных электростанций.

5. Получены достаточные условия локальной управляемости и локальной наблюдаемости однозвенного манипулятора с упругим сочленением.

6. Получены достаточные условия стабилизируемости силового гироскопического стабилизатора.

7. Получены достаточные условия управляемости непрерывного технологического комплекса.

Практическая значимость работы заключается в применении полученных в ней достаточных условий для исследования на наличие свойств управляемости, наблюдаемости, устойчивости и стабилизируемости моделей следующих многотемповых систем: энергосистемы из двух электростанций, однозвенного манипулятора, гироскопического стабилизатора, непрерывного технологического комплекса.

Апробация результатов, полученных в настоящей диссертационной работе, осуществлялась на различных научных конференциях: Воронежский зимний симпозиум "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках", г. Воронеж (январь, 2000г.); VII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование", г. Дубна (январь, 2000г.); Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения- XI", г. Воронеж (май, 2000г.); Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление", г. Самара (июнь, 2000г.; июль, 2001г.; июнь, 2004г.; июнь, 2005г.); Первый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, г. Сочи (октябрь, 2000г.); Второй Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, г. Йошкар-Ола (декабрь, 2001г.); VII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", г. Москва (май, 2002г.); Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара (май, 2004г.); VIII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", г. Москва (июнь, 2004г.).

Результаты исследований опубликованы в 15 печатных работах [63] - [77]. В первой главе рассматриваются двухтемповые управляемые системы и изучаются такие их свойства как управляемость, наблюдаемость и стабилизируемость. Получены достаточные условия управляемости и наблюдаемости однозвенного манипулятора с упругим сочленением, проведено численное моделирование движения данного манипулятора.

Во второй главе анализируются многотемповые управляемые системы. Изучены математические модели следующих систем: энергетической системы из двух разнотипных электростанций, силового гироскопического стабилизатора, технологического комплекса непрерывного действия. Для этих систем на основе декомпозиции исследуются свойства управляемости, наблюдаемости, устойчивости и стабилизируемости.

Полученные результаты позволяют проводить исследование моделей технических и экономических систем на наличие таких свойств как устойчивость, управляемость, наблюдаемость и стабилизируемость, которые являются основными условиями работоспособности системы.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Предложен алгоритм расщепления моделей управляемых нелинейных многотемповых систем. Рассмотрен случай понижения размерности моделей систем, линейных по быстрым переменным.

2. Проведена декомпозиция моделей управляемых сингулярно возмущенных систем.

3. Получены достаточные условия управляемости и наблюдаемости многотемповых систем.

4. Изучен случай, когда наличие свойств управляемости и наблюдаемости данной системы определяется наличием этих свойств у системы к-ого приближения данной системы.

5. Исследована задача устойчивости систем, описываемых сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями второго порядка. Получены условия, при выполнении которых задача устойчивости исходной системы сводится к задаче устойчивости на медленном интегральном многообразии.

6. Получены достаточные условия устойчивости энергетической системы, состоящей из двух ГЭС.

7. Получены достаточные условия управляемости технологическим комплексом, состоящим из агрегатов непрерывного действия.

8. Рассмотрена задача прецессионного движения силового гироскопического стабилизатора. Исследованы свойства управляемости, устойчивости и стабилизируемости этой системы вблизи начала координат.

9. Исследованы свойства локальной управляемости и локальной наблюдаемости вблизи начала координат, а также проведено численное моделирование движения однозвенного манипулятора с упругим сочленением.

Полученные результаты позволяют проводить исследование основных свойств работоспособности технических систем, динамика которых представляет собой сложную композицию быстрых и медленных движений.

Заключение

В настоящей работе проведено исследование моделей систем, описываемых сингулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений и изучены такие их свойства, как управляемость, наблюдаемость, устойчивость и стабилизируемость. Решен ряд прикладных задач с использованием метода декомпозиции, основанного на теории интегральных многообразий, асимптотических методов и методов математической теории управления.

1. Акуленко Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления/ Л. Д. Аку-ленко; М.: Наука, 1987. — 368 с.

2. Афанасьев В. Н. Математическая теория конструирования систем управления/ В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов; М.: Высшая школа, 1989. — 488 с.

3. Барис Я. С. Исследование ограниченных решений линейных нерегулярно возмущенных систем методом интегральных многообразий/ Я. С. Барис, В. И. Фод-чук// Украинский математический журнал. — 1969. — Т. 21, N0. 3. — С. 287 -300.

4. Барис Я. С. Исследование ограниченных решений нелинейных нерегулярно возмущенных систем методом интегральных многообразий/ Я. С. Барис, В. И. Фод-чук// Укр. матем. журн. 1970. - Т. 22, N0. 1. - С. 3 - 11.

5. Богатырев С. В. Разделение быстрых и медленных движений в задачах динамики систем твердых тел и гироскопов/ С. В. Богатырев, В. А. Соболев// Прикладная математика и механика (ПММ). — 1988. — Т. 52, N0. 1. — С. 47 54.

6. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний/ Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский; М.: Наука, 1974. — 503 с.

7. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений/ В. Вазов; М.: Мир, 1968. — 464 с.

8. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной/ А. Б. Васильева// Успехи математических наук. — 1963. — Т. 18, N0. 3. С. 15 - 86.

9. Васильева А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных систем/ А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов; М.: Наука, 1973. — 272 с.

10. Васильева А. Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях/ А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов; М.: Изд-во МГУ, 1978. 106 с.

11. И. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений/ А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов; М.: Высшая школа, 1990. — 208 с.

12. Васильева А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления/

13. A. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев. — Итоги науки и техники. Сер. "Математический анализ". Т. 20. М.: ВИНИТИ. - 1982. - С. 3 - 78.

14. Викторов Б. В. Особенности поведения систем управления с резко отличными темпами составляющих движения/ Б. В. Викторов// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1967. — N0. 5. — С. 190 195.

15. Волосов В. М. К вопросу о дифференциальных уравнениях с малым параметром при старшей производной/ В. М. Волосов// Доклады АН СССР. — 1950. — Т. 73, N0. 5. С. 873 - 876.

16. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем/ А. А. Воронов; М.: Наука, 1985. — 351 с.

17. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость/ А. А. Воронов; М.: Наука, 1979. 336 с.

18. Воропаева Н. В. Конструктивный метод расщепления нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных систем/ Н. В. Воропаева, В. А. Соболев// Дифферент уравнения. 1995. - Т. 31, N0. 4. - С. 569 - 578.

19. Габасов Р. Качественная теория оптимальных процессов/ Р. Габасов, Ф. М. Кириллова; М.: Наука, 1971. — 508 с.

20. Геращенко Е. И. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем/ Е. И. Геращенко, С. М. Геращенко; М.: Наука, 1975. — 295 с.

21. Гольдштейн В. М. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем/

22. B. М. Гольдштейн, В. А. Соболев; Новосибирск: Ин-т математики АН СССР, Сибирское отделение, 1989. — 153 с.

23. Градштейн И. С. Применение теории устойчивости А. М. Ляпунова к теории дифференциальных уравнений с малыми множителями/ И. С. Градштейн// Математический сборник. 1953. - Т. 32(74), N0. 2. - С. 263 - 286.

24. Дмитриев М. Г. Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления/ М. Г. Дмитриев// Дифференц. уравнения. — 1985. — Т. 21, N0. 10. С. 1693 - 1698.

25. Дмитриев М. Г. Использование прямой схемы для решения линейно-квадратичной задачи оптимального управления с сингулярным возмущением/ М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина, X. О. Овезов// Известия РАН. Теория и системы управления. — 1996. N0. 4. - С. 62 - 68.

26. Забрейко П. П. Принцип сведения для метода последовательных приближений и инвариантные многообразия/ П. П. Забрейко, Н. М. Исаков// Сибирский математический журнал. 1979. - Т. 20, N0. 3. - С. 539 - 547.

27. Задирака К. В. Исследование сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений/ К. В. Задирака. — Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т. 2. — Киев: Изд-во АН УССР. — 1963. — С. 205 -212.

28. Калман Р. Очерки по математической теории систем/ Р. Калман, П. Фалб, М. Ар-биб; М.: Мир, 1971. 400 с.

29. Картвелишвили Н. А. Идеализация сложных динамических систем/ Н. А. Карт-велишвили, Ю. И. Галактионов; М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976. — 272 с.

30. Кащенко С. А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием/ С. А. Кащенко// Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35, N0. 10. С. 1343 - 1355.

31. Квакернаак X. Линейные оптимальные системы управления/ X. Квакернаак, Р. Сиван; М.: Мир, 1977. 652 с.

32. Климушев А. И. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных/ А. И. Климушев, Н. Н. Красовский// ПММ. 1961. - Т. 25, N0. 4. - С. 680 - 694.

33. Кобрин А. И. Применение теории сингулярно возмущенных уравнений для исследования гироскопических систем/ А. И. Кобрин, Ю. Г. Мартыненко// Докл. АН СССР. 1976. - Т. 230, N0. 1. - С. 52 - 55.

34. Ковалев А. М. Критерий управляемости и достаточные условия стабилизируемое™ динамических систем/ А. М. Ковалев// ПММ. —1995. — Т. 59, вып. 3. — Москва, 1995. С. 401 - 409.

35. Кононенко Л. И. Асимптотические разложения медленных интегральных многообразий / Л. И. Кононенко, В. А. Соболев// Сибирский математический журнал. 1994. - Т. 35, N0. 6. - С. 1264 - 1268.

36. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа/ М. А. Красносельский, П. П. Забрейко; М.: Наука, 1975. — 511 с.

37. Красовский Н. Н. Теория управления движением/ Н. Н. Красовский; М.: Наука, 1968. 476 с.

38. Крейн С. Г. О сингулярных возмущениях в задачах оптимального управления/ С. Г. Крейн, Г. А. Курина. — Устойчивость движения. Аналитическая механика. Управление движением. — М.: Наука. — 1981. — С. 170 178.

39. Курина Г. А. О полной управляемости одного класса линейных сингулярно возмущенных систем/ Г. А. Курина// Дифференц. уравнения. — 1985. — Т. 21, N0. 8. С. 1444 - 1446.

40. Курина Г. А. О полной управляемости разнотемповых сингулярно возмущенных систем/ Г. А. Курина// Математические заметки. — 1992. — Т. 52, N0. 6. — С. 56-61.

41. Ли Э. Б. Основы теории оптимального управления/ Э. Б. Ли, Л. Маркус; М.: Наука, 1972. 576 с.

42. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений/ С. А. Ломов; М.: Наука, 1981. 398 с.

43. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения/ А. М. Ляпунов; М.-Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1950. — 472 с.

44. Матюхин В. И. Универсальные законы управления механическими системами/ В. И. Матюхин; М.: МАКС Пресс, 2001. 252 с.

45. Матюхин В. И. Устойчивость движения манипулятора при постоянно действующих возмущениях/ В. И. Матюхин// Автоматика и телемеханика. — 1994. — N0. И. С. 124-134.

46. Меркин Д. Р. Гироскопические системы/ Д. Р. Меркин; М.: Наука, 1956. — 299 с.

47. Митропольский Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной механике/ Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова; М.: Наука, 1973. — 512 с.

48. Михеев Ю. В. Асимптотический анализ цифровых систем управления/ Ю. В. Михеев, В. А. Соболев, Э. М. Фридман// Автоматика и телемеханика. — 1988. — N0. 5. С. 83-88.

49. Мищенко Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания/ Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов; М.: Наука, 1975. — 247 с.

50. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики/ Н. Н. Моисеев; М.: Наука, 1981. 400 с.

51. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления/ А. А. Первозван-ский; М.: Наука, 1986. 616 с.

52. Первозванский А. А. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация/ А. А. Первозванский, В. Г. Гайцгори; М.: Наука, 1979. — 344 с.

53. Понтрягин Jl. С. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных/ Л. С. Понтрягин// Известия АН СССР. Сер. "Математическая". 1957. - Т. 21, No. 5. - С. 605 -626.

54. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов/ Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко; М.: Наука, 1976. — 392 с.

55. Пятницкий Е. С. Критерий полной управляемости классов механических систем с ограниченными управлениями/ Е. С. Пятницкий// Прикладная математика и механика. 1996. - Т. 60, No. 5. - Москва, 1996. - С. 707 - 718.

56. Пятницкий Е. С. Синтез иерархических систем управления механическими и электрическими объектами на принципе декомпозиции I/ Е. С. Пятницкий// Автоматика и телемеханика. — 1989. — No. 1. — С. 87 97.

57. Пятницкий Е. С. Синтез иерархических систем управления механическими и электрическими объектами на принципе декомпозиции II/ Е. С. Пятницкий// Автоматика и телемеханика. — 1989. — No. 2. — С. 57 70.

58. Пятницкий Е. С. Синтез систем стабилизации программных движений нелинейных объектов управления/ Е. С. Пятницкий// Автоматика и телемеханика. — 1993. No. 7. - С. 19 - 37.

59. Пятницкий Е. С. Стабилизация управляемых механических и электромеханических систем/ Е. С. Пятницкий, Н. В. Дунская// Автоматика и телемеханика. — 1988. No. 12. - С. 40 - 51.

60. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление/ Я. Н. Ройтенберг; М.: Наука, 1978.- 552 с.

61. Ройтенберг Я. Н. Гироскопы/ Я. Н. Ройтенберг; М.: Наука, 1975. — 592 с.

62. Румянцев В. В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных/ В. В. Румянцев, А. С. Озиранер; М.: Наука, 1987. — 253 с.

63. Семенова М. М. Управляемость многотемповых систем/ М. М. Семенова// Нелинейное моделирование и управление: Материалы Международного семинара, Самара, 26-30 июня, 2000. Самара, 2000. - С. 105 - 106.

64. Семенова М. М. Управляемость нелинейных сингулярно возмущенных систем/ М. М. Семенова// Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2000.

65. Т. 7, вып. 2. — Москва. Научное изд-во: Теория вероятностей и ее применение (ТВП), 2000. С. 413-414.

66. Семенова М. М. Декомпозиция задачи управляемости линейных многотемповых систем/ М. М. Семенова// Вестник у четно-экономического факультета. — 2000. — Вып. 2. — Самара: Изд-во Самарской государственной экономической академии, 2000. С. 208 - 216.

67. Семенова М. М. Понижение порядка системы в одной модели управления/ М. М. Семенова// Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2001.

68. Т. 8, вып. 2. — Москва. Научное изд-во: Теория вероятностей и ее применение (ТВП), 2001. С. 682.

69. Семенова М. М. Декомпозиция многотемповых моделей управляемых систем/ М. М. Семенова// Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. — 2002. — N0. 4(26). — Самара: изд-во "Самарский университет", 2002. С. 13 - 22.

70. Семенова М. М. Декомпозиция многотемповых моделей линейных систем/ М. М. Семенова// Нелинейное моделирование и управление: тезисы докладовмеждународного семинара, Самара, 22 25 июня, 2004. — Самара, 2004. — С. 47 - 48.

71. Семенова М. М. Управляемость и наблюдаемость манипуляторов с упругим сочленением/ М. М. Семенова// Сибирский журнал индустриальной математики.2004. — Т. VII, N0. 1(17). — Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 2004. — С. 109-113.

72. Семенова М. М. Декомпозиция систем с несколькими временными масштабами/ М. М. Семенова// Мехатроника, автоматизация, управление. —2004. — N0. 8. — М.: Изд-во "Новые технологии", 2004. — С. б 11.

73. Соболев В. А. Интегральные многообразия, сингулярные возмущения и оптимальное управление/ В. А. Соболев// Украинский математический журнал. — 1987.- Т. 39, N0. 1. С. 111 - 116.

74. Соболев В. А. Сингулярные возмущения в линейно-квадратичной задаче оптимального управления/ В. А. Соболев// Автоматика и телемеханика. — 1991. — N0. 2. С. 53 - 64.

75. Соболев В. А. Сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение с фред-гольмовым оператором при производной/ В. А. Соболев, К. И. Чернышов// Дифферент уравнения. 1989. - Т. 25, N0. 2. - С. 247 - 258.

76. Стрыгин В. В. Разделение движений методом интегральных многообразий/ В. В. Стрыгин, В. А. Соболев; М.: Наука, 1988. 256 с.

77. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных/ А. Н. Тихонов// Математический сборник. — 1952. — Т. 31, N0. 3. С. 575 - 586.

78. Тихонов А. Н. Дифференциальные уравнения/ А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников; М.: Наука, 1985. — 231 с.

79. Филатов А. Н. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний/ А. Н. Филатов, Л. В. Шарова; М.: Наука, 1976.

80. Формальский А. М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами/ А. М. Формальский; М.: Наука, 1974. — 368 с.

81. Хапаев М. М. Условия управляемости сингулярно возмущенных систем, содержащих сингулярные управления/ М. М. Хапаев// Доклады АН СССР. — 1991. — Т. 320, N0. 2. С. 300 - 302.

82. Чанг К. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи: Теория и приложения/ К. Чанг, Ф. Хауэс; М.: Мир, 1988. 247 с.

83. Черноусько Ф. Л. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления/ Ф. Л. Черноусько, В. Б. Колмановский. — Итоги науки и техники. Серия "Математический анализ". Т. 20. М.: ВИНИТИ. - 1977. - С. 101 - 166.

84. Черноусько Ф. JI. Оптимальное управление при случайных возмущениях/ Ф. JI. Черноусько, В. Б. Колмановский; М.: Наука, 1978. — 351 с.

85. Чернышов К. И. Метод стандартного расщепления сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений/ К. И. Чернышов// Доклады АН СССР. — 1990. — Т. 311, No. 6. С. 1311 - 1316.

86. Abed Е. Н. Multiparameter singular perturbation problems: Iterative expansion and asymptotic stability/ E. H. Abed// System and Control Lett. — 1985. — No. 5. — P. 279 282.

87. Abed E. H. Decomposition and stability of multiparameter singular perturbation problems/ E. H. Abed// IEEE Automat. Contr. 1986. - V. 31, No. 10. - P. 925 -933.

88. Abed E. H. Controllability of multiparameter singularly perturbed systems/ E. H. Abed, R. I. SilvarMadriz// ISR Technical Reports for 1988, TR 88-73. 1988.- Vol. VIII, No. 10. P. 137 - 140.

89. Anderson L. Decomposition of two-time-scale linear systems/ L. Anderson// Proc. JACC, 1978. P. 153 - 163.

90. Avramovic B. Area decomposition of electromechanical models of power systems/ B. Avramovic, P. V. Kokotovic, J. R. Winkelman, J. H. Chow// Automatica. — 1980.- No. 16. P. 637 - 648.

91. Campbell S. L. Singular perturbation of avtonomous linear systems/ S. L. Campbell, N. J. Rose// SIAM J. Math. anal. -1979. No. 10. - P. 542 - 551.

92. Chang K. W. Singular perturbations of initial value problems over finite interval/ K. W. Chang, W. A. Coppel// Arch. rat. mech. anal. 1969. - No. 32. - P. 268 -280.

93. Chen С. C. A simple criterion for global stabilizability of a class of nonlinear singularly perturbed systems/ С. C. Chen, J. G. Hsien// Int. J. control. —1994. — No. 59. — P. 583 591.

94. Chen С. C. Criterion for global exponential stabilisability of a class of nonlinear control systems via integral manifold approach/ С. C. Chen// IEE Proc.-Control Theory Appl. Vol. 147, No. 3, May 2000. 2000. - P. 330 - 336.

95. Chow J. H. Asymptotic stability of a class of nonlinear singularly perturbed systems/ J. H. Chow// J. Franklin inst. 1978. - No. 306. - P. 275 - 278.

96. Chow J. H. Eigenvalue placement in two-time-scale systems/ J. H. Chow, P. V. Kokotovic// Proc. IFAC Symp. on large scale systems/ Udine, Italy, 1976. — P. 321 -326.

97. Chow J. H. Preservation of controllability in linear time invariant perturbed systems/ J. H. Chow// Int. J. control. 1977. - No. 25. - P. 697 - 704.

98. Dragan V. Uniform controllability for systems with two-time-scales/ V. Dragan, A. Ha-lanay// Rev. roum. math, purres et appl. 1992. - V. 37, No. 8. - P. 673 - 681.

99. O'Reilly J. Full order observers for a class of singularly perturbed linear time varying systems/ J. O'Reilly// Int. J. control. 1979. - No. 30. - P. 745 - 756.

100. Suzuki M. Stabilizing feedback controllers for singularly perturbed linear constant systems/ M. Suzuki, M. Miura// IEEE Trans, autom. control. — 1976. — No. 21. — P. 123 124.