автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Задачи оптимального управления в химической кинетике

На правах рукописи

ДИКУСАР ЭЛЬВИРА ВАСИЛЬЕВНА

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКЕ

Специальность 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (государственный университет) и Вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН

Научный руководители: д.ф.м.н. Абрамов А.П., д.п.н. Шомполов И.Г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор кандидат физико-математических наук, доцент

Ведущая организация: Институт Проблем Управления РАН

Защита диссертации состоится 30 июня 2005 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д.002.017.03 при Вычислительном Центре им. А.А.Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д. 42 в конференц -зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного Центра им. А.А. Дородницына РАН

Автореферат разослан^ мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Зубов Н.В. Мартынов В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта. Большую роль при проектировании систем управления играют программные траектории. Из известных методов решения указанных задач являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений); метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; принцип максимума.

В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Однако применение принципа максимума требует решения ряда принципиальных проблем, которые могут быть успешно преодолены по мере накопления опыта решения конкретных задач оптимального управления. Указанное обстоятельство связано с одной стороны со сложной формулировкой принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Сложность математического аппарата не позволяет надеяться в ближайшее время на упрощение формулировки принципа максимума. С другой стороны известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задач к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в таких задачах существует дополнительные алгебраические связи типа равенств и неравенств.

В свою очередь краевая задача требует решения трех основных проблем: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: решение в каждой расчетной точке задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций. Очень часто в принципе максимума возникает неединственность множителей Лагранжа, появляется вырожденный принцип максимума, а также возникает проблема момента схода с ограничения типа неравенств.

Совокупность указанных условий определяет геометрию оптимальной траектории или другими словами множество активных индексов для ограничений типа неравенств. Еще одна проблема связана с нерегулярностью принципа максимума. Это приводит к появлению меры, что означает, появление обобщенной функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений. Отсюда следует актуальность разработки методики решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Цель работы. Проанализировать известные подходы к решению задач оптимального управления общего вида по определению геометрии оптимальной траектории для ограничений типа неравенств. В рамках схемы Дубовицкого-Милютина сформулировать и качественно и численно решить задачи оптимального управления реакциями в химической кинетике. Провести качественный и количественный анализ различных постановок задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Методы исследования. В работе используется математический аппарат теории оптимального управления, схема Дубовицкого-Милютина, аппарат численных методов решения задач оптимального управления, качественные и численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также задачи нелинейного (линейного) программирования.

Научная новизна. Разработана методика качественного и численного анализа заданного класса задач оптимального управления в химической кинетике с фазовыми и смешанными ограничениями.

Обоснованность научных положений. Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны.

Практическая ценность. Результаты работы использовались в научных исследованиях и учебном процессе МФТИ, и в рамках фанта РФФИ (№ проекта 03-01-00678). Также результаты работы могут использоваться для качественного и численного анализа процессов в химических реакторах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах в МФТИ, ИСА РАН, ИЛУ РАН, ЦЭМИ РАН, ИММ РАН, ВЦ РАН, а также на научных конференциях в МФТИ и международных конференциях.

Личный вклад. В совместных работах [2], [3] автору принадлежат результаты в равных долях.

Структура и объем работ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и библиографического списка, содержит рисунков. Общий объем работы составляет страниц. Библиографический список включает наименований.

Содержание работы

Во введении дается обзор различных методов решения задач оптимального управления в химической кинетике.

В первой главе приводится постановка задачи Понтрягина. Найти минимум при наличии следующих ограничений:

Здесь R - произвольное множество пространства и; х - фазовый вектор; и - вектор управления. Правая часть f{x,u,t) непрерывно дифференцируема по переменным х и / и непрерывна по управлению, К(р) - гладкая функция от р; функционал J(p) - выпуклый по р. Рассмотрение поставленной задачи (1.1) в классе игольчатых вариаций приводит к известному принципу максимума Понтрягина Л.С. Минимум ищется в классе всех ограниченных измеримых по Лебегу функций u{t),ta,tx . При этом jc(/) будет абсолютно интегрируемой функцией.

Необходимо заметить, что принцип максимума Понтрягина Л. С. был доказан для задачи с интегральным функционалом и фиксированными начальными и краевыми условиями.

Формулируется также задача Блисса-Больца: требуется найти min J{p)

при наличии следующих ограничений:

где - гладкие функции по совокупности своих аргументов;

- некоторое открытое множество пространства запись означает, что является областью определения ограничения

- независимые; независимость ограничений означает, что в каждой точке для которых эти ограничения выполнены, градиенты

линейно независимы; - множество активных

индексов. Активным индексом точки x,u,t ueV(x,t) называется число у,Для которого выполнено соотношение 0,(x,u,t) = O\ на поверхности g = 0 ранг

g[ = dim g = r, ä г, размерность Ф - любая; минимум ищется в классе кусочно-непрерывных функций «(/).

Приводится также постановка канонической задачи Дубовицкого-Милютина: найти min./(p), если выполнены следующие ограничения

где - произвольное множество пространства - любое

натуральное число,

Предположения, при выполнении которых производится вариационное исследование задачи функции и их частные

производные по непрерывны по всем своим аргументам в некоторой

окрестности поверхности для всех точек

поверхности g — 0". Функции J,(p,<& - локально выпуклые по x,ultp,t , размерность вектор-функции (р = {(р^ - любая. Траектория x0(l),u0(t),t0,tl , исследуемая на экстремум, - измеримая и ограниченная. Непосредственно усматривается, что каноническая задача объединяет Понтрягинскую и Блиссовские постановки.

Ответ формулируется в виде интегрального принципа максимума /70в регулярном случае. Также указывается класс задач оптимального управления, сводящихся к канонической задаче Дубовицкого-Милютина. Кроме того, приводится каноническая задача Дубовицкого-Милютина с непрерывной зависимостью от времени при фиксированном правом конце по

Во второй главе рассматриваются вопросы численного интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Опыт численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений привел к выделению так называемых жестких уравнений, решение которых требует применения специальных методов.

Жесткость задачи является отражением того факта, что в рассматриваемом объекте протекают разнотемповые процессы. Выделение жестких систем уравнений в отдельный класс вызвано трудностями их численного интегрирования классическими явными методами. Работы по созданию численных методов ведутся в двух направлениях. Первое направление связано с применением неявных схем (Ваннер Г., Хайрэр Э., Федоренко Р.П. и др.). Другое направление связано с расширением границ применимости явных схем (Лебедев В.И., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дикусар В.В. и др.) Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностей уровней. Исследования этого явления показали, что трудности связанные с жесткостью системы ОДУ, описывающих траекторию наискорейшего спуска (Ракитский Ю.В., Устинов СМ., Черноруцкий И.Г. и

др.).

Одним из методов, расширяющих границы применимости явных разностных схем является введение управляющих параметров и выбор оптимальных весов.

В общем случае такой метод введения весовых функций для интегрирования жестких систем (по своей идее он примыкает к кругу идей Чебышева и аппроксимации Паде) состоит в следующем: ищется

(здесь /(х) = 1).

Для интегрирования жестких систем испольсуется метод вспомогательного уравнения. Сначала изучается скалярное обыкновенное дифференциальное уравнение, для которого формулируется задача Коши

где предполагается, что решение задачи существует и единственно.

Особенность задачи связана с большой константой Липшица Ь. В частном случае, когда правая часть непрерывно дифференцируема по условие Липшица существования и единственности решения с постоянной выполняется тогда и только тогда, когда производная по удовлетворяет неравенству:

Жесткие задачи характеризуются большим значением константы Ь. Для них применение классических явных методов приводит к неприемлемо малому значению шага интегрирования А, который ограничен неравенством: ИЬ<\.

Наряду с исходной задачей рассматривается другая задача Коши ¿ = -а^)г, = I е [О.Г],^?) > 0,г е Л1

У /(У,0 _ /М

г ~а{1)2 /2 (у, г, О

ЯУ'О /■/■„, л- ~а(О*

VI + а2('

Указанное представление приводит к формулировке новых задач Коши:

у = ИО) = Уо, 'е[0,Т],

м> = /2(у,г,0, ЧО) = г0, / е [О,Г]

Указанный прием распространяется на системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основная проблема интегрирования вспомогательного уравнения связана с оценкой экспоненты с большим значением отрицательного аргумента.

Явление жесткости весьма распространено в задачах химической технологии. В качестве примера рассматривается задача химической реакции, получившей имя "Е5" в коллекции задач Энрайта, Халла и Линдберга

Указанная задача решалась тремя методами. В первом методе применялась следующая разностная схема

,л+' 1 + ВЛу,я 1 + ВЬу3л'

у,„ Щ[Ау,„] " Уз

где а=--- . /?.[•] — явный метод Рунге-Кутта 4-го

1 + ВИу\ п + МСИу2 „ 4И

порядк& 1 + Вьух л + мСкуг „ т

Во втором случае использовал^ЙДявный.метод Рунге-Кутта с управляющими параметрами

к

У\ «I = + ,г.„г 2 ,2.4 ЧАУх , ~ Ву „У, „] 1 + (Л +В уЪп) И

Остальные переменные вычислялись по аналогичной

схеме.

Третий метод связан с введением дополнительных дифференциальных уравнений.

Все три метода дают практически один и тот же результат.

Другой пример связан с процессом термоинициированной гомополяризации стинола в массе, имеющей важное промышленное значение при синтезе целого ряда полимерных материалов.

Система ОДУ, описывающих процесс полимеризации, имеет следующий

' — ¿,*3 (¿2*1 к&)х1г

Ш Ск2

—— = ¿8*3*4 — (¿9*3 + к-,х2)х2,

т

<л

—— = + ¿3*1 )*3 - (¿з + к6)х4 - ¿8*з*4,

ш

сЬсь _ ,

^ — л4*з*4, <&6 _ , ,

—- Л)0*4*7 + л4*з*8 -

[(¿5 + 2£6 )*4 + ¿8*з + ¿10*5 ¿5*8 ]*б >

(2АГ4х3 + А:6х6)х61

= ¿6*8 ~ 2[(^5 + 2Аб)*4 + + КйХь\Х% + ¿8*3*4 +

+ (¿5 + 2К)Х1 + 2к10ХЛХ} + *б) + (¿9*2 + *3*|)*3,

^1 = Л

Л

~Г = (¿9*2 + *з*|)*з ~ 0.5*,*?,

ш

где ¿( — кинетические параметры, определяющие скорости протекания отдельных элементарных реакций процесса и зависящие от температуры.

Соответствующие температуре величины параметров ока-

зываются равными

При этих значениях система (5.18) является жесткой, так как спектральный радиус матрицы Якоби превышает величину 104 , а интегрирование требуется проводить на больших промежутках времени / = 105-10б, определяемых физикой процесса.

Интегрирование системы проводилось явным методом Рунге-Кутта 4-го порядка с управляющими весами. Выбор схемы очевиден на примере первого уравнения

*1,л+1 = *1,л + 7~ 577-^[¿Л.л ~ (^2Х1,п + ¿3*3 л)*1,/Л>

1 + а, п

где а, =(2*Л,„)г +(2*2*1л)1 + (*Л„)2-

В третьей главе рассматривается две последовательные реакций первого порядка:

А-+В-+С

Если не происходит изменения числа молей или этим изменением можно пренебречь, процесс описывается системой уравнений

где х — мольная доля исходного вещества (вещество А);

. ' у — мольная доля промежуточного вещества (вещество В); ! — текущая длина реактора.

Константы скорости первой (&,) и второй (к2) реакций зависят от температуры и по формуле Аррениуса:

Длину реактора будем считать фиксированной.

Требуется выбрать такой температурный режим и{1), чтобы мольная доля промежуточного вещества на выходе из реактора приняла

максимальное значение. На ограничений не накладываем. Величины

считаем заданными

Область допустимых значений и задана следующими неравенствами: О < И„,„ < и < !/„.,

Задача А.2. Рассматривается две последовательные реакции

Необходимо найти распределение температур «(/) и конечное время г, такие, чтобы значение *3(/,) было максимальным. Концентрации продуктов обозначены через х!,х2,х3 (х,(/|) и лг2(г,) не фиксированы).

Теорема 1 (существования). Найти ттУ; £

1. х = ¿7,(х,Г)м + х(0) = *„,*(«) = х,

2. я(*,и,О = аг(дс,Ом + ^(^,О = 0

3. < + /^(д:,/) = О

4. ф,1)£0,г(х,1) = 0

Будем предполагать, что иеи{С)с.Ё1',и(() - замкнуто и выпукло для любых измеримо по ( и содержится в некотором шаре, т.е. |£/(Г)|<С0;

- выпуклы по - непрерывна по измерима

по для правой части дифференциальных уравнений выполнено неравенство Филиппова А.Ф. {х,ах{х,())и + Ь^)<С(\х^ +1) . а^х^Ь^х,^ удовлетворяют условию Липшица по х, а^х^Ь^х,^ - измеримы по

Пусть в сформулированной задаче выполнены указанные предположения. Предположим, что существует хотя бы одна пара (х,й) , удовлетворяющая условиям задачи. Тогда существует пара (:с0,м0) , доставляющая абсолютный минимум в указанной задаче.

Теорема 2. Решение задач А. 1 и А.2 существует и единственно.

Доказательство теоремы опирается на сформулированную теорему 1.

Теорема 3. В задачах АЛ и А.2 существует особый режим.

В четвертой главе рассматривается задача оптимального режима химического реактора для получения окиси этилена и задача оптимального режима периодического фьюминг-процесса.

Реактор для получения окиси этилена представляет собой ряд параллельных металлических трубок диаметром 1-2 см и длиной Ь=5-6 м, внутри которых находится порошковый неподвижный катализатор. На вход контактного аппарата поступает смесь этилена и воздуха при некоторой начальной температуре. Смесь непрерывно прогоняется через трубки, причем на поверхности порошкового катализатора происходят две реакции, протекающие одновременно. Одна из них - реакция получения полезного продукта, окиси этилена, а вторая реакция - побочная и нежелательная -реакция горения этилена. Обе реакции идет с выделением тепла, в связи с чем необходимо поддерживать внутреннюю температуру реактора не выше заданной. Это достигается с помощью холодильника, распределенного по длине трубки. Математическая модель реакции имеет следующий вид.

Задача А.З.

Здесь х - общая степень превращения, г - полезная степень превращения, и кг - константы скоростей реакции (определяются по формулам задачи АЛ), Т - температура, и - температура холодильника, т — иремя реакции, которое пропорционально длине трубки.

Требуется выбрать величину и начальное значение температуры чтобы получить максимальное количество полезного продукта на выходе реактора при не фиксированы).

Теорема 4. Решение задачи А.З существует и единственно.

Фьюмингование шлаков является распространенным процессом, предназначенным для извлечения полезных металлов из металлургических шлаков. Наиболее распространенный процесс заключается в продувке через расплавленный сплав, содержащий окислы извлекаемых металлов, смеси тонкодисперсного пылеугля с воздухом. Оптимальное ведение процесса фьюмингования имеет целью сократить время извлечения из шлака содержащегося в нем цинка.

Ход процесса фьюмингования приближенно описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений.

Задача А. 4.

здесь - массовая концентрация окиси цинка в шлаке, - концентрация восстановителя в зоне реакции, - температура шлаковой ванны, -макроскопическая константа скорости реакции (определяется аналогично

)-ЪМО-агкху-Ь2у,

— = Ьуиг(1)-щщ{!)-Ь<кху-а,Т, ш

х(0) = д:0,Г(0) = Г0,>.(0) = Л.

|>

задаче А1), и, - скорость потока угольной пыли, и2 - скорость расхода воздуха; остальные величины являются константами. Граничные условия имеют вид - свободны.

Требуется определить минимум /, при заданных граничных условиях. Теорема 5. Решение задачи А.4 существует и единственно. Теорема 6. В задаче А.4 существует особый режим.

В приложении приведены результаты численных и аналитических расчетов для поставленных задач.

Заключение

1. Предложены явные и полуявные схемы для численного интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Проведен качественный анализ структуры оптимального управления в реакторе для двух последовательных реакций первого порядка.

3. Для всех постановок задач доказано существование особых режимов.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решения сформулированных задач.

5. Для решения краевых задач использовался метод продолжения решения по параметру.

6. Приведенные примеры расчетов показали эффективность разработанной методики.

Список публикаций

1. Дикусар Э.В. Оптимальное управление в процессах химической технологии. В книге «Нелинейная динамика и управление», Выпуск 3, М. ФИЗМАТЛИТ, 2003, стр. 217-224

2. Дикусар В.В., Дикусар Э.В. Оптимальное управление температурным режимом при двух последовательных реакциях первого порядка. В сборнике «Вопросы моделирования и анализа в задачах принятия решений», М. ВЦ РАН, 2003, стр. 126-132

3. Дикусар Э.В., Кошька М., Фигура А. Оптимальное управление в задачах химической кинетики. В сборнике «Вопросы моделирования и анализа в задачах принятия решений», М. ВЦ РАН, 2003, стр. 133-139

4. Дикусар Э.В. Методы регуляризации решений в задачах химической кинетики. Тезисы доклада на Международной конференции: Методы решений некорректных задач и вопросы регуляризации. М. МГУ, 2004 (октябрь-ноябрь 2004) 1 стр.

Дикусар Эльвира Васильевна

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ

Автореферат

Подписано в печать 16 05 05 Формат 60*90 Печать офсетная Уел печать л 1 2 тираж 70 экз

Московский физико-технический институт

(государственный университет) 141700,г Долгопрудный,Институтский пер 9

ПНЮ/1 2005

1. Предложены явные и полуявные схемы для численного интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.2. Проведен качественный анализ структуры оптимального управления в реакторе для двух последовательных реакций первого порядка.3. Для всех постановок задач доказано существование особых режимов.4. Доказаны теоремы существования и единственности решения сформулированных задач.5. Для решения краевых задач использовался метод продолжения решения по параметру.6. Приведенные примеры расчетов показали эффективность разработанной методики.

1. Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

2. Р.В. Гамкрелидзе, Г.Л. Харатишвили, Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах. Известия АН СССР, сер. матем., т.ЗЗ, No.4, 1969, с. 781-839.

3. К.Ш. Цискаридзе, Экстремальные задачи в банаховых пространствах. Автореферат кандидатской диссертации. Тбилиси, Тбилисский государственный университет, 1973.

4. А.П. Афанасьев, В.В. Дикусар, A.A. Милютин, С.В. Чуканов, Необходимое условие в принципе максимума. М.: Наука, 1990.

5. В.П. Аноров, Принцип максимума для процессов с ограничениями общего вида. I, II. Автоматика и телемеханика, 1967, N3, с.5-15, N4, с. 5-17.

6. A.M. Тер-Крикоров, Некоторые линейные задачи теории оптимального управления с фазовыми ограничениями. ЖВМ и МФ, N1, 1975, с. 55-66.

7. A.A. Милютин, Оптимальное управление. Лекции для студентов МГУ. М.: МГУ, 1972.

8. А.Ф. Филиппов, О некоторых вопросах теории оптимального регулирования. Вестник МГУ, сер. мат., мех., астрон., физика, химия, 1959, N2, с. 25-32.

9. Б.Ш. Мордухович, Существование оптимальных управлений. В сб. Современные проблемы математики. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1976, т.6, с. 207-261.

10. В.В. Дикусар, A.A. Милютин, Качественные и численные методы в принципе максимума.

11. В.И. Шалашилин, Е.Б. Кузнецов, Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация, М.: УРСС, 1999.

12. Ю.В. Ракитский, С.М. Устинов, И.Г. Черноруцкий, Численные методы решения жестких систем, М.: Наука, 1979.

13. В.И. Лебедев, Функциональный анализ и вычислительная математика, М.: Физ-матлит, 2000.

14. B.B. Дикусар, Методы теории управления при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, Минск, 1994, т.ЗО, N 12, с.2116-2121.

15. Э. Хайрер, Г. Ваннер, Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи, М.: Мир, 1999.

16. Р.П. Федоренко, Введение в вычислительную физику, М.: МФТИ, 1994.

17. А.Р. Данилин, Сингулярно возмущенные задачи оптимального управления, Автореферат докторской диссертации, Екатеринбург, 2000.

18. А.И. Задорин, Разностные схемы для нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром в ограниченных и неограниченных областях, Автореферат докторской диссертации, Новосибирск, 2000.

19. Н.В. Воропаева, В.А. Соболев, Декомпозиция многотемповых систем, Самара, РАЕН, 2000.

20. А.П. Афанасьев, В.В. Дикусар, A.A. Милютин, C.B. Чуканов, Необходимое условие в оптимальном управлении, М.: Наука, 1990.

21. A.A. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова, Вычислительные методы для инженеров, М.: Высш. шк., 1994.

22. К. Декер, Я. Вервер, Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений, М.: Мир, 1988.

23. Е.А. Гребеников, Ю.А. Митропольский, Ю.А. Рябов, Введение в резонансную аналитическую динамику, М.: Янус-К, 1999.

24. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, М.: Наука, 1986.

25. Э. Хайрер, С. Нерсет, Г. Ваннер, Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: Мир, 1990.

26. G. Kjell, Control of Error and Convergence in ODE Solvers, Lund, 1992.

27. A.B. Васильева, В.Ф. Бутузов, H.H. Нефедов, Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах, Фундаментальная и прикладная математика, 1998, т.4, вып. 3, с. 799-852.

28. Н.Х. Розов, В.Г. Сушко, Д.И. Чудова, Дифференциальные уравнения с вырождающимися коэффициентами при старшей производной, Фундаментальная и прикладная математика, 1998, т.4, вып. 3, с. 1063-1098.Глава 3.