автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и оптимизация процесса олигомеризации α-метилстирола

На правах рукописи

В АЛИЕВА ЮЛИЯ АХНАФОВНА

Математическое моделирование

и оптимизация процесса олигомеризации а-метилстирола

05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Стерлитамак - 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и механики Стерлитамакской государственной педагогической академии и в лаборатории математической химии Института нефтехимии и катализа РАН

Ведущая организация: Башкирский государственный университет

Защита состоится 3 марта 2006 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу: г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии

Научный руководители:

д. ф.-м. н., профессор Спивак Семен Израилевич,

к. ф.-м. и., доцент

Мустафина Светлана Анатольевна.

Официальные оппоненты: д. т. н., профессор

Мухачева Элита Александровна,

к. ф.-м. н., доцент

Хусаинов Исмагильян Гарифьянович.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н., профессор

¿№¿>6А

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Использование физико-химической теории в сочетании с современными математическими методами и вычислительными машинами позволяет сократить сроки перехода от лабораторных установок непосредственно к промышленным аппаратам. Поэтому в настоящее время математическое моделирование промышленных процессов стало общепризнанным методом решения задач по повышению эффективности действующих и разработке новых технологических процессов и аппаратов.

Каталитические реакции играют важную роль во многих промышленных процессах. Методические основы моделирования каталитических процессов были заложены в работах отечественных ученых академика РАН Борескова Г.К. и чл.-корр. РАН Слинько М.Г., а также зарубежных исследователей Амундсона H.A. и Ариса Р. Они базировались на общей схеме математического моделирования, сформулированной академиком Самарским A.A. В основе этого метода лежит подход, заключающийся в расчленении сложного химико-технологического процесса на ряд составляющих (физических и химических), раздельное их изучение и последующий синтез общей математической модели из математических моделей отдельных частей сложного процесса.

Оптимизация процессов является одним из важнейших этапов математического моделирования. Одними из первых исследований по оптимизации химического реактора были работы Темкина М.И., Пыжева В.М., Борескова Г.К., Слинько М.Г., Денбига К., Нагиева Ф.М., Островского Г.М., Волина Ю.М. и др. При общей постановке задачи оптимизации должно быть найдено большое число оптимальных параметров процесса: температура, давление, состав реакционной смеси, скорость ее подачи, длительность отдельных этапов процесса и т.д.

На сегодняшний день остаются актуальными проблемы создания исчерпывающей точной математической формулировки задачи оптимального управления; отыскания соответствующего эффективного способа решения задачи; разработки программных комплексов, облегчающих проведение вычислительных экспериментов и инициирующих создание средств автоматического оптимального управления.

Решению этих проблем способствует математический аппарат теории оптимальных процессов. Центральным стержнем математической теории оптимального управления является так называемый «принцип максимума Понтрягина» и связанный с ним круг исследований, которые проведены коллективом математиков, возглавляемым академиком Л.С. Понтрягиным. Принцип максимума был доказан в работах JI.C. Понтрягина и его учеников Болтянского В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. __

В настоящее время принцип максимума нашел широкое применение в практике решения оптимальных задач, относящихся к области химической технологии, в работах Слинько М.Г., Островского Г.М., Волина Ю.В., Быкова В.И. и др. При этом поиск оптимальных управлений сводится, как правило, к решению многоточечной краевой задачи, что показано в работах Моисеева H.H., Лурье К.А., Бутковского А.Г. Численная реализация полученной задачи для построенной системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс, как правило, является сложным заключительным этапом конструирования оптимального решения.

Каталитический процесс олигомеризации а-метилстирола привлекает внимание исследователей тем, что его продукты являются ценным нефтехимическим сырьем и находят практическое применение в различных отраслях промышленности. В качестве катализаторов процесса олигомеризации а-метилстирола предлагаются различные гомогенные и гетерогенные кислотные контакты. В ходе реакции образуется большое количество побочных соединений, и в виду ее высокой экзотермичности при отсутствии соответствующего оптимального управления происходит коксование продуктов, что приводит действующий реактор в негодность. Поэтому актуальным является поиск оптимального управления процесса олигомеризации а-метилстирола с целью получения максимального выхода целевых продуктов.

Исследование выполнено в рамках реализации гранта РФФИ №0501-97908 «Математическое моделирование каталитических процессов и реакторов».

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов и комплексов программ компьютерного моделирования и оптимизации каталитического процесса олигомеризации а-метилстирола, позволяющих исследовать кинетическую и математическую модель процесса, учитывающую изменение числа молей реакционной смеси; определить основные параметры модели методом вычислительного эксперимента; провести оптимизацию процесса с учетом различных критериев качества; на основе полученных результатов оптимизации осуществить выбор технологической схемы процесса.

Научная новизна.

- Впервые исследована математическая модель каталитического процесса олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолитного катализатора, которая учитывает изменение числа молей реакционной смеси.

- Решена задача поиска оптимального температурного режима исследуемого процесса для различных критериев оптимизации с помощью метода принципа максимума Понтрягина, и найдены предельные показатели процесса.

- Разработан алгоритм численного решения задачи поиска оптимального температурного режима, который учитывает различные поста-

новки задачи оптимального управления, а также и позволяет решать прикладные задачи большой размерности.

- С помощью разработанных алгоритмов, реализованных в комплексе программ, проведен расчет реактора с перемешиванием периодического действия.

Практическая значимость. Разработанный программный комплекс позволяет автоматизировать этапы построения кинетической модели реакции, поиск оптимального управления для различных критериев оптимизации, а также расчет реактора, моделирование которого основано на простейшей гидродинамической модели идеального смешения, в частности, реактора периодического действия с перемешиванием. Уровень сервиса программного обеспечения доступен технологам.

Полученные оптимальные теоретические режимы могут быть использованы для следующего этапа технологической оптимизации каталитического процесса.

Программный продукт зарегистрирован в отраслевом фонде алгоритмов и программ Федерального агентства по образованию Российской Федерации (ОФАП ФАО РФ), Всероссийском научно-техническом информационном центре (ВНТИЦ).

Достоверность результатов обоснована применением в качестве исходных посылок основных законов сохранения и других фундаментальных физических и химических законов. Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными показывает их удовлетворительную согласованность. Работа программного комплекса протестирована на задачах оптимального управления с известными аналитическими решениями.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель процесса олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолитного катализатора.

2. Численные алгоритмы поиска оптимального температурного режима исследуемого процесса, построенные на основе принципа максимума Понтрягина.

3. Комплекс компьютерных программ реализации построенных алгоритмов.

4. Результаты вычислительного эксперимента по исследованию реактора с перемешиванием периодического действия.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на: XVI Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-16 Санкт-Петербург, 2003); III Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, 2003) (диплом I степени); III Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2003); Международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы» (Стер-

литамак, 2003); Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и приложения» (Саранск, 2004); Всероссийской научно-теоретической конференции «ЭВТ в обучении и моделировании» (Бирск, 2004); Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы химии, химической технологии и экологической безопасности» (Стерлитамак, 2004); Всероссийской конференции «Современные проблемы физики и математики» (Стерлитамак, 2004); IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов, молодых ученых по математике, физике, посвященной 95-летию БашГУ (Уфа, 2004); VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Весенняя сессия (Санкт-Петербург, 2005); научных семинарах физико-математического факультета США (Стерлитамак, 2002-2005); научных семинарах лаборатории математической химии Института нефтехимии и катализа РАН (Уфа, 2002-2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 статей и тезисов на научных конференциях, зарегистрированы 2 программных продукта.

В совместных работах постановка задачи принадлежит профессору Спиваку С.И. и доценту Мустафиной С.А. В остальном вклад авторов равнозначный. Результаты, выводимые на защиту принадлежат автору.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 3 приложений. Полный объем составляет 151 страницу, включая приложения на 24 страницах, 23 рисунка, 9 таблиц, библиографию.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и научная новизна диссертации, сформулирована цель и показана практическая значимость работы.

В первой главе проводится обзор литературы, посвященной математическому моделированию и оптимизации химико-технологических процессов.

В §1.1 сформулирована общая схема математического моделирования, рассмотрены основные группы параметров, определяющих состояние химико-технологического процесса в любой момент времени и перечислены различные типы математических моделей.

В §1.2 приводятся основные понятия химической кинетики и рассматривается последовательность построения кинетической модели, на основании которой записывается математическая модель химического процесса для нестационарного случая.

В §1.3 описывается этап теоретической оптимизации химического процесса на основе кинетической модели. Рассматриваются общая постановка задачи оптимального управления с различными критериями оптимизации, методы решения оптимизационных задач.

Обосновывается использование принципа максимума Понтрягина для решения задач оптимизации химико-технологических процессов. Ме-

тод позволяет находить оптимальное управление в виде кусочно-непрерывных функций. На его основе возможно построение эффективных численных алгоритмов оптимального управления.

Вторая глава посвящена математическому моделированию и постановке задачи оптимизации процесса олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолитного катализатора КаНУ.

В §2.1 описывается реакция олигомеризации а-метилстирола, исследование которой проводилось в лаборатории приготовления катализаторов Института нефтехимии и катализа РАН (г. Уфа). Общий вид реакции в присутствии цеолитного катализатора ИаНУ, в котором не учитываются промежуточные стадии, представлен на рис. 1, где введены следующие обозначения:

Х1 - а-метилстирол;

Х2 - 4-метил-2,4-дифенилпентен-1 (а-димер);

Х3 - 4-метил-2,4-дифенилпентен-2 (р-димер);

Х4 - 1,1,3-триметил-3-фенилиндан (циклический димер);

Х5 - тримеры.

ЯН, С)Нз

сн, с=сн,нр-с-сн=с-сн3

X,

+тримеры

Рис 1. Реакция олигомеризации а-метилстирола

Для наглядного представления динамики реакции олигомеризации а-метилстирола ее можно представить в виде графа (рис. 2).

Рис. 2 Схема реакции олигомеризации а-метилстирола

Процесс олигомеризации а-метилстирола привлекает внимание исследователей тем, что ее продукты являются ценным нефтехимическим сырьем: линейные димеры (а-димер и Р-димер) используются как раство-

ригели для лаков, диэлектрические жидкости, основа смазочных масел, материалы для получения фрикционных жидкостей, пластификаторы кау-чуков; циклический димер применяют в качестве реактивного топлива, пластификатора оргстекла и компонентов сцинтилляционных счетчиков ядерных излучений, а также в качестве смазочного или изоляционного материала, стойкого к радиолизу.

Экспериментально установлено, что реакцию надо начинать при температуре не ниже 60° С . При повышении температуры и увеличении количества катализатора в реакторе резко возрастает выход циклического димера и тримеров, которые постепенно становятся основными продуктами. Это объясняется тем, что превращение линейных димеров в циклический димер рассматривается как необратимый процесс.

В §2.2 рассматривается последовательность построения кинетической модели реакции олигомеризации а-метилстирола.

Согласно закону действующих масс, кинетические уравнения, соответствующие схеме химических превращений для реакции олигомеризации а-метилстирола (рис. 2), выражаются следующими уравнениями:

2Х1 <н>Х2, ш1(С>Т) = к1(Т)С12-к10(Т)С2,

2Х1 <+Х3, а>2{С,Т) = к2(Т)Сх2-ки(Т)Съ,

2Х1 ->Х4, ®з(С,7') = Аз(Г)С12,

Х2 х3, а>4(С,Т) = к4{Т)С2-кп(Т)Съ,

х2 -> х4, а>5(С,Т) = к5(Т)С2,

Х3 —> Х4, со6{С,Т) = к6{Т)Съ,

х1+х2->х5, щ(С,Т) = к1(Т)СхС2,

х1+х3->х5, ^(С,Г) = А8(Г)С1С3,

Х^ + Х4 —> , 09(С,Т) = к9(Т)С1С4,

где С = (С{,...,С5)~ вектор мольных концентраций веществ, кмоль/м3; <о] (С, Г) - скорость у -ой стадии, / = 1,9, м3/ (кмоль - ч) ; константы скоростей к5 (Т), 5 = 1,12, зависят от температуры Т, исходя из уравнения Аррениуса:

Е,

К(Т) = к°ге

Здесь к® - предэкспоненциальный множитель, (м3/ кмоль)1-'' ■ ч"1, d = 1,2- порядок реакции; Е$ - энергия активации стадии, ккал/кмоль; Т- абсолютная температура, К; Я -универсальная газовая постоянная, кал/(моль К).

Матрица стехиометрических коэффициентов уу, / = 1,5, ] = 1,9 , соответствующая кинетическим уравнениям, имеет вид:

0)2 щ щ ®6 ®7 Й)8 со9

-2 -2 -2 0 0 0 -1 -1 -1

1 0 0 -1 -1 0 -1 0 0

0 1 0 1 0 -1 0 -1 0

0 0 1 0 1 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1 1 1

г, -1 -1 -1 0 0 0 -1 -1 -1

Так как последняя строка матрицы ненулевая, то реакция протекает с изменением числа молей, что необходимо учитывать при разработке математического описания данного процесса.

5

Поскольку суммарная концентрация С = ^С, изменяется во вре-

1=1

мени, то уравнения суммарного материального баланса можно записать как

^,-щ. о)

с начальными условиями:

х,(0) = х,°, / = 13; С(0) = С0, где х, - концентрация / -го компонента в мольных долях.

Систему уравнений (1) замыкает условие нормировки по компонентам жидкой фазы

¿^ = 1- (2) <=1

Начальная мольная плотность жидкости С0 постоянна при любых температурах. Тогда, разделив (1) на С0, получим систему дифференциальных уравнений

= = (3)

Ш 7-1

/ = 1,5

(4)

С

где N = — — относительное изменение числа молей реакционной среды;

С0

6>,(С,Т)

WJ (х, Т) — —--приведенные скорости химических реакций, 1/ч;

Со

текущий момент времени, ч.

Преобразовав (3) с учетом (2), система (1) примет вид: (Ьс, _

Л N

с начальными условиями:

хг(0) = х,°, / = 13; Щ0) = 1. (5)

Функции Т), ^ (х, Т), / = 1,5, с учетом матрицы стехиометрических коэффициентов имеют вид:

(х, Т) = -2Ж, (х, Т) - 2^2 (х, Г) - 2^з (х, Г) - (х, Г) - Щ (х, Г) - (х, Г), (х, Г) = Щ (х, Г) - (х, 7") - (х, 7") - Ш, (х, Г), ^(х, Г) = Щ (х, Л + ¡Г4(х, Т) - (х, Г) - Щ(х, Т), /=4 (х, Г) = ^з (х, Т) + (х, Г) + (V, (х, Г) - Щ (х, Г), ^(х, Г) = Щ(х, Г) + Ж8(х, Г) + ^9(х, Г),

^ (х, Г) = -Ж, (х, Т)-Иг2 (х, Г) - (х, Г) - Щ (х, Т) - (х, Г) -1¥9 (х, Г).

Для единства обозначений вводится переменная х6= N .

Таким образом, полученная система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (4) с начальными условиями (5) является кинетической моделью реакции олигомеризации а-метилстирола.

В §2.3 формулируется постановка задачи оптимизации. В качестве управления рассматривается температура, так как она наиболее сильно влияет на динамику химико-технологического процесса, более всего - на протекание химической реакции.

Сформулируем следующую задачу оптимального управления. Определить оптимальный температурный режим (ОТР) процесса, описываемого системой (4) с начальными условиями (5), доставляющий экстремум выбранному критерию оптимальности. В качестве критерия могут выступать требования наибыстрейшего перевода процесса из одного состояния в другое (задача о быстродействии); задача максимизации выхода целевых продуктов (линейных димеров), либо максимизации выхода целевых про-

дуктов при минимуме выхода побочных продуктов (циклических димеров и тримеров) и др.

Значительное число оптимальных задач может быть сформулировано как задачи минимизации функционала

/= j<Po(x,T)dt. (6)

Подынтегральная функция <р0(х,Т) является положительной и ограниченной функцией для всех значений вектора х и Т.

Например, задача о быстродействии является частным случаем задачи с критерием в виде функционала (6), если в нем положить <р0(х,Т) = ]. Причем для критериев время продолжительности реакции

тк = № - № может быть как заданным, так и незаданным.

Область допустимых управлений может быть задана в виде совокупности типа равенств или неравенств. Поскольку исследуемая реакция экзотермична, то, исходя из технологических соображений, на выбор оптимального значения температуры наложены ограничения

Т^Т<Тг. (7)

В §2.4 задача поиска ОТР сформулирована в терминах принципа максимума Понтрягина.

Принцип максимума представляет собой совокупность необходимых условий оптимальности. Это означает, что решения задачи, удовлетворяющие всем требованиям принципа максимума, могут, вообще говоря, оказаться не оптимальными, и нужно в каждом отдельном случае дополнительным исследованием устанавливать, что найденное решение действительно оптимально. В случае линейной задачи оптимального управления Р.В. Гамкрелидзе доказал, что принцип максимума является также и достаточным условием оптимальности. Для нелинейных задач в работе КротоваВ.Ф. и Гурмана В.И.1 получены достаточные условия (принцип оптимальности Кротова), дающие возможность во многих случаях до конца решить вопрос об оптимальности найденного решения. Однако при решении прикладных задач использование данного принципа вызывает определенные трудности. Исследование достаточных условий оптимальности для нелинейных систем продолжается и в настоящее время в работах Зеликина М.И., Арутюнова A.B., Толстоногова A.A., Горнова А.Ю.

С другой стороны, если при решении практических задач из физических соображений ясно, что оптимальный режим существует, а управ-

1 Кротов В Ф., Гурман В.И Методы и задачи оптимального управления. -ка, 1973.

М.: Нау-

ление, удовлетворяющее условию принципа максимума, единственно, то это управление и будет оптимальным2.

При составлении вычислительных алгоритмов решения задачи оптимального управления учитывались различные задания начального и конечного состояния процесса. В этом случае могут возникать следующие постановки:

1) заданы все значения компонент вектора и вектора х^ соответственно;

2) заданы только некоторые значения компонент векторов х^ и х^ соответственно;

3) заданы лишь области возможных значений начального х(0) и конечного x(i) состояний, которые при этом ограничиваются соотношениями типа равенств или неравенств.

Согласно общей процедуре использования принципа максимума, оптимальная температура в каждый момент времени находится из условия максимума для функции Понтрягина (гамильтониана):

+ ij^^n (8)

где функции АД/) удовлетворяют системе сопряженных уравнений:

¡ = (9)

dt дх,

Недостаток граничных условий восполняется условиями трансверсальности, число которых равняется числу недостающих граничных условий для основной и сопряженной системы уравнений.

Таким образом, принцип максимума Понтрягина сводит решение задачи оптимального управления к решению двухточечной краевой задачи для систем основных и сопряженных уравнений с заданными граничными

значениями в начальной и конечной точке и соответственно.

В §2.5 составляется модель реактора с перемешиванием периодического действия (РИС-П) для процесса олигомеризации а-метилстирола. Так как реакция протекает с большим выделением тепла (в адиабатических условиях разогрев превышает 300° С ), то моделирование процесса необходимо осуществлять в реакторах с теплосъемом, используя в качестве хладоагента воду. Теплосъем можно осуществить двумя путями: с помощью внутреннего змеевика и/или внешнего кожуха

При разработке математической модели приняты допущения:

2 Федоренко Р П. Приближенное решение задач оптимального управления. - М.: Наука, 1978.-488 с.

- отсутствует градиент свойств реакционной среды во всем объеме реакционного пространства в данный момент времени, то есть реакционная среда однородна; поэтому процесс предполагается проводить при достаточном энергичном перемешивании(500...600 об/мин);

- общая масса в РИС-П постоянна; остальные характеристики (состав, температура) изменяются лишь во времени. Отсюда следует, что химический процесс в реакторе периодического действия может протекать лишь нестационарно; -

- реакция проводится для свежего катализатора, то есть не учитывается процесс дезактивации катализатора;

- процессы внутренней и внешней диффузии не тормозят протекание процесса. Это объясняется тем, что используется мелкодисперсный цео-литный катализатор с диаметром зерна ~ 0,1мм.

Математическое описание неизотермического процесса представляется системой уравнений материального и теплового балансов. При этом материальный баланс РИС-П представляется системой дифферециальных уравнений:

<Ь, Р,(^Т)-х,Рп(х,Т) „ . ~ , _ > *

(10)

<к N

а тепловой баланс РИС-П уравнением

+ (11)

со

с соответствующими начальными условиями:

х,(0) = х?, / = 13; N(0) = 1; 7X0) = Г°, (12)

где Тх - температура хладоагента, К; Ср - мольная теплоемкость реакционной смеси, ккал/(кмоль К); QJ - тепловые эффекты реакций, у = 1,9 , ккал/моль; Бх - удельная поверхность теплосъема, м2/м3; ах - коэффициент теплопередачи, ккал/(м2ч К).

В третьей главе обсуждаются вычислительные аспекты принципа максимума Понтрягина и анализируются различные подходы приближенного решения задач оптимального управления с помощью принципа максимума.

В §3.1 показано, как формируются граничные условия краевой задачи принципа максимума в зависимости от постановки задачи.

Краевая задача принципа максимума неустойчива и имеет ряд специфических особенностей, затрудняющих применение стандартных численных методов решения краевых задач. Функция управления, определяемая из условия максимума гамильтониана, вообще говоря, нелинейно зависит от своих аргументов, и поэтому система основных и сопряженных дифференциальных уравнений, как правило, нелинейная даже в том случае, когда исходная система основных уравнений была линейной относительно управления и фазовых переменных. Кроме того, функция управления, вообще говоря, не всюду дифференцируема и даже может быть разрывной, что влечет за собой плохие аналитические свойства правых частей системы основных и сопряженных уравнений. Краевая задача существенно усложняется в тех случаях, когда возникают особые управления, при этом условие максимума функции Понтрягина неоднозначно определяет оптимальное управление на целом подынтервале интервала

или даже на всем интервале .

Указанные обстоятельства весьма затрудняют исследование вопросов существования, единственности, устойчивости решения краевой задачи принципа максимума, сходимости методов ее решения. При численном решении прикладных задач оптимального управления трудности, связанные с плохой сходимостью методов, с их неустойчивостью, обычно преодолеваются на основе учета специфики конкретно решаемой задачи, ее физического смысла и т.п.

В §§ 3 2, 3 3, 3.4 анализируются приближенные методы решения задач оптимального управления: метод Ньютона, метод последовательных приближений, метод квазилинеаризации.

В работе был использован метод последовательных приближений, суть которого заключается в сведении двухточечной краевой задачи к задаче Коши и минимизации функции конечного числа переменных.

На начальном этапе задаются значения всех без исключения неизвестных функций. Например, для задачи со свободным правым концом недостающие значения

я,а(0))=40),/=тд (13)

должны задаваться до некоторой степени произвольно и затем уточняться по соответствующим заданным значениям функций в конечной точке траектории.

На следующем этапе производится численное интегрирование системы дифференциальных уравнений (4), (9), при этом на каждом шаге интегрирования определяется оптимальная температура из условия максимума функции (8). Поиск оптимального управления осуществляется с помощью любого метода оптимизации функции одной переменной.

В результате находится некоторое решение системы уравнений (4), (9). Но в процессе численного интегрирования нужен контроль за степе-

нью приближения получаемой траектории к заданной конечной точке, полученной из условий трансверсальности

Л((Г<*>) = А(*>, / = 1Д

В зависимости от постановки задачи в качестве контроля можно использовать соотношения вида:

а) (И) если момент окончания интегрирования № задан;

б) г = тт^[Я^)-4к))2, (15)

' м

если № не определено.

В обоих случаях величина г может служить оценкой того, насколько удачно выбраны начальные приближения

. При этом величина г,

рассматриваемая как функция от , должна быть минимизирована выбором подходящей совокупности значений т.е. необходимо решить задачу отыскания минимума функции нескольких переменных:

шш г(Я(О(0>)) = 0, i = l~6.

Л,(/<°>)

Задача решается с помощью методов безусловной минимизации функции нескольких переменных. В результате решения задачи определяется оптимальное решение.

При решении задач минимизации использовались методы нулевого порядка (прямого поиска), в частности, метод конфигураций (метод Хука-Дживса), стратегия которых основана на использовании информации только о значениях целевой функции. Многие из этих методов не имеют строгого теоретического обоснования и построены на основе эвристических соображений. Поэтому вопросы сходимости методов прямого поиска еще мало изучены, а оценки сходимости обычно отсутствуют. В то же время, они достаточно просты в реализации, что предопределяет их широкое применение при решении прикладных задач оптимизации.

В §3.5 проводится сравнительная характеристика рассмотренных методов.

Методы Ньютона и квазилинеаризации требуют вычисления частных производных и составления громоздких систем алгебраических и дифференциальных уравнений, решение которых достаточно трудоемко и требует дополнительных аналитических выкладок.

В методе последовательных приближений значительной сложностью является вычисление значений функции г(А,(?(0))), так как для этого надо решить задачу Коши для системы 12 уравнений (4), (9) с начальными

f

условиями (5), (13). Задача усложняется в случае, когда № не определено. Тогда необходимо найти еще и минимальное значение функции /•(ЯД?(0))) относительно переменной t.

В четвертой главе проводится вычислительный эксперимент процесса олигомеризации а-метилстирола. Кинетические константы и энергии активации реакции были предложены лабораторией приготовления катализаторов ИНК РАН (г.Уфа). На основе вычислительных схем (§ 4.1), разработанных для задач с различными критериями оптимизации, был создан программный комплекс на языке Object Pascal в среде визуального программирования Borland Delphi 7.0, снабженный удобным пользовательским интерфейсом.

В § 4.2 приведены результаты решения задачи оптимизации для различных критериев оптимальности.

Изучается процесс олигомеризации а-метилстирола в изотермических условиях. Для этого решается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4) с начальными условиями *,(()) = 1,х,(0) = 0, / = 23; ЛГ(0) = 1

при различных постоянных температурах 100° С, 140° С (рис. 3, 4). Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными при 100°С показывает их удовлетворительную согласованность (рис. 3).

При 10% содержании катализатора и температурах 70-130° С реакция протекает, в основном, с образованием линейных димеров. Поэтому при решении задачи оптимизации на температуру накладываются ограничения в виде неравенств: 30°С < Т < 130°С.

Рассмотрим решение задачи о максимальном выходе линейных димеров. Критерий оптимальности х2(тк) + х3(тк) —> max, время продолжительности реакции тк не известно.

Результаты теоретической оптимизации представлены на рис. 5, 6. Расчетное время 20 ч, при этом произведено порядка 105 обращений к функционалу (15) и достигнуто минимальное значение функционала порядка 10~4 .

Оптимальная температурная кривая (рис. 5) представляет собой непрерывную функцию, и время продолжительности реакции тк = 2,5 (ч) . Предлагается следующий режим: реакцию начинать при температуре 90° С и в течение 0,3ч повышать ее до 124° С , затем в течение 2,2ч плавно опускать температуру до 70° С. При таком температурном режиме кривая концентрации а-димера проходит через максимум, затем убывает,

но не так значительно, как при изотермическом режиме 140°С (рис. 4). Концентрации остальных продуктов растут (рис. 6).

Рассмотрим поведение процесса при неоптимальном температурном режиме и сравним полученные результаты с оптимальными. Для этого выберем следующий режим: при достижении максимальной температуры 124° С будем удерживать ее постоянной до конца процесса. В этом случае концентрации побочных продуктов х^ и *5 значительно возрастают (рис. 7). Несмотря на то, что концентрация р-димера на выходе увеличилась, концентрация а-димера уменьшилась до 0,1 мольной доли. При этом суммарный выход линейных димеров при ОТР составляет 76%, а при неоптимальном - 55% (рис. 8).

В § 4.3 обсуждается выбор технологической схемы работы реактора с перемешиванием периодического действия. Теоретический оптимальный температурный режим для максимума выхода линейных димеров (рис. 5) показывает, что начальная температура должна быть достаточно

высокой, около 90° С. Температура окружающей среды в цехах равна примерно 30° С . Поэтому возможны два варианта ведения процесса. Первый подход - перед подачей в реактор подогреть сырье до температуры 90° С . Однако такой подход экономически не совсем целесообразен, так как потребует дополнительные энергетические затраты. Второй подход -начинать процесс при температуре Т^ = 30° С. Естественно, что все сложности такого варианта связаны с пуском реактора. На начальном этапе внутренний охлаждающий змеевик необходимо использовать в качестве подогревателя и только после «зажигания» процесса (температура «зажигания» при 10% содержании катализатора 68° С ) использовать его не-

реете; мдд- ж ■ |«чии);

Рис. 3. Концентрации реагентов при 100° С

посредственно для съема тепла и охлаждения реакционной массы. Поэтому на основании полученного оптимального температурного режима, предлагается следующее динамическое управление пуском реактора объемом Ур = 2,5м3: на начальном этапе процесса во внутренний змеевик (площадь поверхности =10л<2) подавать нагретый пар с температурой Тх = 130° С, а когда температура реактора поднимется до температуры 68° С , во внутренний змеевик и во внешний охлаждающий кожух (площадь поверхности кожуха 52 =7 м2) подавать воду с температурой ТХ=30°С.

Результаты решения задачи (10), (11) с начальными условиями (12)

представлены на рис.9, 10. При этом значения концентрации линейных димеров на выходе из реактора отличаются от теоретических значений в пределах ±3%.

1-о-мстаясароп; 2- а-дииер; У- р-дкмср; 4-щцц№Я11ЙЛВЙ]|; З^тршсрн;

Рис.5 Оптимальный температурный режим Рис 6 Оптимальная концентрация реагентов

1-а-ютпяврох; 2- ф-димер; 3- р-дянер; 4- циклический димер; 5-трнмсры;

Рис 4. Концентрации реагентов при 140° С

1 -а-мсгмж. шрая; 2- а-жоюр; 34- щаопносай дгасф; 5-^ршврн;

Рис 7. Концентрация реагентов при неопти- Рис 8. Суммарный выход линейных димеров

мальном температурном режиме ]Т,°С

1208040-

при оптимальном и неоптимальном температурном режиме

х, мольные доли

00

0.5

I

10

1.5

I

го

гв

1—■—I—1—I—1—11>ч 0£ 1.0 1.5 20 25

1-а-метстстярол; 2- а-днмер; 3- (Нщмер;

Рис 9 Температурный режим РИС-П Рис.10. Концентрация реагентов РИС-П

В § 4.4 описан разработанный программный комплекс: общие сведения, функциональное назначение, интерфейс программы и описание составляющих модулей.

В приложении I приведены теплофизические и кинетические параметры процесса олигомеризации а-метилстирола. В приложении II приведен текст программы. В приложении III - свидетельства о регистрации программных комплексов в ОФАП ФАО РФ и ВНТИЦ .

*

Основные результаты работы

1. На основе математической модели, построенной с учетом физико-химических закономерностей процесса, исследован промышленно значимый процесс олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолитно-го катализатора.

2. Осуществлена постановка задачи поиска оптимального температурного режима исследуемого процесса для различных критериев качества и различных граничных условий. С использованием принципа максимума Понтрягина искомая задача сведена к двухточечной краевой задаче.

3. Разработан алгоритм решения краевых задач, возникающих при использовании принципа максимума Понтрягина. Суть предложенного алгоритма состоит в сведении краевой задачи к задаче Коши и минимизации функции конечного числа переменных. Данный алгоритм носит универсальный характер. На его основе возможно решение задач оптимального управления более общего вида.

4. Разработан программный комплекс на языке Object Pascal в среде визуального программирования Borland Delphi 7.0, снабженный удобным пользовательским интерфейсом.

5. Проведен вычислительный эксперимент для каталитического процесса олигомеризации а-метилстирола, включающий:

• решение задачи оптимального управления для различных критериев оптимальности;

• сравнение полученных результатов с экспериментальными, полученными в изотермических условиях;

• моделирование процесса олигомеризации а-метилстирола в реакторе с перемешиванием периодического действия;

• выбор технологической схемы работы реактора с перемешиванием периодического действия по результатам теоретической оптимизации.

Основные публикации по теме диссертации

1. Мустафина С.А., ВалиеваЮ.А., Давлетшин P.C., БапаевА.В., Спивак С.И. Оптимальные технологические решения для каталитических процессов и реакторов // Кинетика и катализ. - 2005. - Т.46, №5. - С.749 -756.

2. Валиева Ю.А., Мустафина С.А., Спивак С.И. Теоретическая оптимизация процесса олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолита типа Y в NaH-форме // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11, вып. 2. - С. 375 - 376.

3. ВалиеваЮ.А., Мустафина С.А., Спивак С.И. Оптимизация каталитических процессов на основе принципа максимума Понтрягина // Вестник Башкирского университета. - 2004. - №4. - С. 3 - 6.

4. Мустафина С.А., ВалиеваЮ А., СпивакС.И. Расчет оптимальных режимных параметров реакции олигомеризации а-метилстирола на основе принципа максимума Понтрягина // Башкирский химический журнал. -Уфа: Гилем. - 2004. - Т. 11, №5. - С. 32-36.

5. Мустафина С. А., ВалиеваЮ.А., Бадаев A.B., СпивакС.И. Выбор технологической схемы реактора с перемешиванием на основе теоретической оптимизации химического процесса // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12, вып. 2. - С.444 - 446.

6. ВалиеваЮ А., Мустафина С. А., СпивакС.И. Моделирование и оптимизация процесса олигомеризации а-метилстирола // Дифференциальные уравнения и приложения: труды Средневолжского математического общества. - 2004. - Т. 6, №1. - С. 75 - 81.

7. Валиева Ю.А., Мустафина С.А., Спивак СИ. Теоретическая оптимизация процесса олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолита типа Y в NaH-форме // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11, вып. 2. - С. 375 - 376.

8. Валиева Ю А., Мустафина С. А., СпивакС.И. Расчет оптимальной температуры каталитических процессов на основе принципа максимума Понтрягина // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвузовский научный сборник. - Уфа: УГАТУ. - 2004. - С. 129 - 138.

9. ВалиеваЮ.А., Давлетшин P.C., Мустафина С.А. Оптимизация химических процессов на основе принципа максимума Понтрягина. - М.: ВНТИЦ, 2005. -№50200501522.

10. Давлетшин P.C., ВалиеваЮ.А., Мустафина С.А. Моделирование каталитического процесса гидрирования пинена в трубчатых реакторах. -М.: ВНТИЦ, 2005. - №50200501647.

11. Мустафина С. А., ВалиеваЮ.А., Никитин A.B., СпивакС.И. Расчет оптимальной температуры для процесса с распределенными параметрами // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-16: сборник трудов XVI Международной научной конференции. - Санкт-Петербург: Издательство Санкт-Петербургского государственного технологического университета. - 2003. - Т. 2. - С. 38 - 39.

12. Валиева Ю.А., Мустафина С.А, Спивак С.И. Численная реализация поиска оптимального температурного режима для простейших модельных схем // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. - Уфа: БашГУ. - 2003. - Т. 1. - Математика. - С. 19 - 23.

13. Валиева Ю.А., Давлетшин P.C., Мустафина С. А., СпивакС.И. Вычислительный эксперимент и этапы оптимизации каталитических процессов // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казанское математическое общество. Лобачевские чтения - 2003: Материалы третьей Всероссийской молодежной научной школы-конференции. - Казань: Издательство Казанского математического общества. - 2003. - Т. 21. -С. 84-86.

14. Валиева Ю А., Мустафина С А., Спивак С.И. Численная реализация принципа максимума Понтрягина на примере оптимизации реакции олигомеризации а-метилстирола // ЭВТ в обучении и моделировании: сборник научных трудов Всероссийской научно-теоретической конференции в 2-х частях. - Бирск: БирГПИ. - 2004. - Ч. 1. - С. 133 - 138.

15. Валиева Ю А., Мустафина С.А., Спивак С И Расчет оптимальной температуры каталитической реакции олигомеризации а-метилстирола // Современные проблемы химии, химической технологии и экологической безопасности: Материалы Всероссийской научно-практической конференции. - Уфа: Гилем. - 2004. - С. 290 - 295.

16. Валиева Ю.А., Мустафина С.А., Спивак С И. Кинетическая модель и оптимизация реакции олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолита типа У в ШН-форме // Современные проблемы физики и математики: Труды Всероссийской конференции. - Уфа: Гилем. - 2004. - Т. 1.-С. 192-196.

17. Валиева Ю.А., Мустафина С.А., Спивак СИ. Определение теоретического оптимального режима химической реакции на основе кинетической модели // IV Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ. - Уфа: РИО БашГУ. - 2004. - С. 15.

Подписано в печать Формат 60 х 84шб-Гарнитура «Times». Печать оперативная. Усл. печ л 1,00. Тираж 100 экз. Заказ №<76/£6 Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

'2726

Введение

Список обозначений

Глава 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

§ 1.1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в задачах химической технологии.

§ 1.2. Основные понятия химической кинетики. Кинетическая модель реакции.

§ 1.3. Теоретическая оптимизация химико-технологических процессов

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ОЛИГОМЕРИЗАЦИИ а-МЕТИЛСТИРОЛА

§ 2.1. Реакция олигомеризации а-метилстирола.

§ 2.2. Построение кинетической модели реакции олигомеризации а-метилстирола.

§ 2.3. Постановка задачи теоретической оптимизации процесса | олигомеризации а-метилстирола.

§ 2.4. Применение принципа максимума для поиска оптимального температурного режима процесса олигомеризации аметилстирола.

§ 2.5. Математическая модель реактора идеального смешения периодического действия.

Глава 3. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА

§ 3.1. Вычислительные аспекты принципа максимума

Понтрягина

§ 3.2. Метод Ньютона.

§ 3.3. Метод последовательных приближений.

§ 3.4. Метод квазилинеаризации.

§ 3.5. Анализ методов приближенного решения задачи оптимального управления.'

Глава 4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ЗАДАЧИ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО РЕЖИМА ПРОЦЕССА ОЛИГОМЕРИЗАЦИИ сс-МЕТИ Л СТИР О Л А

§ 4.1. Вычислительные схемы для различных постановок задачи поиска оптимального температурного режима процесса олигомеризации а-метилстирола.

§ 4.2. Вычислительный эксперимент.

§ 4.3. Выбор технологической схемы для процесса олигомериза-ции си-метилстирола в реакторе с перемешиванием периодического действия

§ 4.4. Описание программного комплекса.

Актуальность темы исследования. Использование физико-химической теории в сочетании с современными математическими методами и вычислительными машинами позволяет сократить сроки перехода от лабораторных установок непосредственно к промышленным аппаратам. Поэтому в настоящее время математическое моделирование промышленных процессов стало общепризнанным методом решения задач по повышению эффективности действующих и разработке новых технологических процессов и аппаратов.

Каталитические реакции играют важную роль во многих промышленных процессах. Методические основы моделирования каталитических процессов были заложены в работах отечественных ученых академика РАН Борескова Г.К. и чл.-корр. РАН Слинько М.Г. [70, 71], а также зарубежных исследователей Амундсона H.A. и Ариса Р. [1, 2]. Они базировались на общей схеме математического моделирования, сформулированной академиком Самарским A.A. [67]. В основе этого метода лежит подход, заключающийся в расчленении сложного химико-технологического процесса на ряд составляющих (физических и химических), раздельное их изучение и последующий синтез общей математической модели из математических моделей отдельных частей сложного процесса.

Оптимизация процессов является одним из важнейших этапов математического моделирования. Одними из первых исследований по оптимизации химического реактора были работы Темкина М.И., Пыжева В.М., Ворескова Г.К., Слинько М.Г., Денбига К., Нагиева Ф.М., Островского Г.М., Волина Ю.М. и др. При общей постановке задачи оптимизации должно быть найдено большое число оптимальных параметров процесса: температура, давление, состав реакционной смеси, скорость ее подачи, длительность отдельных этапов процесса и т.д.

На сегодняшний день остаются актуальными проблемы создания исчерпывающей точной математической формулировки задачи оптимального управления; отыскания соответствующего эффективного способа решения задачи; разработки программных комплексов, облегчающих вычислительный эксперимент и инициирующих создание средств автоматического оптимального управления.

Решению этих проблем способствует математический аппарат теории оптимальных процессов. Центральным стержнем математической теории оптимального управления является так называемый „принцип максимума Понтрягина" и связанный с ним круг исследований, которые проведены коллективом математиков, возглавляемым академиком J1.C. Понтряги-ным. Принцип максимума был доказан в работах JI.C. Понтрягина и его учеников Болтянского В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. [5, 7, 62].

В настоящее время принцип максимума нашел широкое применение в практике решения оптимальных задач, относящихся к области химической технологии, в работах Островского Г.М., Волина Ю.В., Слинько М.Г., Быкова В.И. и др. [33, 77]. При этом поиск оптимальных управлений сводится, как правило, к решению многоточечной краевой задачи, что показано в работах Моисеева Н.Н. [49], Островского Г.М. [56], Лурье К.А. [47], Бутковского А.Г. [10]. Численная реализация полученной задачи для построенной системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс, как правило, является сложным заключительным этапом конструирования оптимального решения.

Каталитический процесс олигомеризации о;-метилстирола привлекает внимание исследователей тем, что его продукты являются ценным нефтехимическим сырьем и находят практическое применение в различных отраслях промышленности. В качестве катализаторов олигомеризации а-метилстирола предлагаются различные гомогенные и гетерогенные кислотные контакты. В ходе реакции образуется большое количество побочных соединений, и в виду ее высокой экзотермичности при отсутствии соответствующего оптимального управления происходит коксование продуктов, что приводит действующий реактор в негодность. Поэтому актуальным является поиск оптимального управления процесса олигомеризации а-метилстирола с целью получения максимального выхода целевых про-дутков.

Исследование выполнено в рамках реализации гранта РФФИ №05-0197908 „Математическое моделирование каталитических процессов и реакторов" .

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов и комплексов программ компьютерного моделирования и оптимизации каталитического процесса олигомеризации ометилстирола, позволяющих исследовать кинетическую и математическую модель процесса, учитывающую изменение числа молей реакционной смеси; определить основные параметры модели методом вычислительного эксперимента; провести оптимизацию процесса с учетом различных критериев качества; на основе полученных результатов оптимизации осуществить выбор технологической схемы процесса.

Научная новизна.

- Впервые исследована математическая модель каталитического процесса олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолитного катализатора, которая учитывает изменение числа молей реакционной смеси.

- Решена задача поиска оптимального температурного режима исследуемого процесса для различных критериев оптимизации с помощью метода принципа максимума Понтрягина, и найдены предельные показатели процесса.

- Разработан алгоритм численного решения задачи поиска оптимального температурного режима, который учитывает различные постановки задачи оптимального управления, а также и позволяет решать прикладные задачи большой размерности.

- С помощью разработанных алгоритмов, реализованных в комплексе программ, проведен расчет реактора с перемешиванием периодического действия.

Практическая значимость. Разработанный программный комплекс позволяет автоматизировать этапы построения кинетической модели реакции, поиск оптимального управления для различных критериев оптимизации, а также расчет реактора, моделирование которого основано на простейшей гидродинамической модели идеального смешения, в частности, реактора периодического действия с перемешиванием.

Полученные оптимальные теоретические режимы могут быть использованы для следующего этапа технологической оптимизации каталитического процесса.

Программный продукт зарегистрирован в отраслевом фонде алгоритмов и программ Федерального агентства по образованию Российской Федерации (ОФАП ФАО РФ), Всероссийском научно-техническом информационном центре (ВНТИЦ).

Достоверность результатов обоснована применением в качестве исходных посылок основных законов сохранения и других фундаментальных физических и химических законов. Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными показывает их удовлетворительную согласованность. Работа программного комплекса протестирована на задачах оптимального управления с известными аналитическими решениями.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель процесса олигомеризации ометилстирола в присутствии цеолитного катализатора.

2. Численные алгоритмы поиска оптимального температурного режима процесса, построенные на основе принципа максимума Понтрягина.

3. Комплекс компьютерных программ реализации построенных алгоритмов.

4. Результаты вычислительного эксперимента по исследованию реактора с перемешиванием периодического действия.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 3 приложений. Полный объем составляет 151 страниц,

Основные результаты работы сводятся к следующим:

На основе математической модели, построенной с учетом физико-химических закономерностей процесса, исследован промышленно значимый процесс олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолитного катализатора.

Осуществлена постановка задачи поиска оптимального температурного режима исследуемого процесса для различных критериев качества и различных граничных условий. С использованием принципа максимума Понтрягина искомая задача сведена к двухточечной краевой задаче.

Разработан алгоритм решения краевых задач, возникающих при использовании принципа максимума Понтрягина. Основа содержания предложенного алгоритма состоит в сведении краевой задачи к задаче Коши и минимизации функции конечного числа переменных. Данный алгоритм носит универсальный характер. На его основе возможно решение задач оптимального управления более общего вида.

Разработан программный комплекс на языке Object Pascal в среде визуального программирования Borland Delphi 7.0, снабженный удобным пользовательским интерфейсом.

Проведен вычислительный эксперимент для каталитического процесса олигомеризации а-метилстирола, включающий: решение задачи оптимального управления для различных критериев оптимальности; сравнение полученных результатов с экспериментальными, полученными в изотермических условиях; моделирование процесса олигомеризации а-метилстирола в реакторе с перемешиванием периодического действия; выбор технологической схемы работы реактора с перемешиванием периодического действия по результатам теоретической оптимизации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Арис Р. Анализ процессов в химических реакторах.—JL: Химия, 1976.— 328 с.

2. Арис Р. Оптимальное проектирование химических реакторов.—М.: Иностр. лит., 1963.—238 с.

3. Аттетков A.B., Галкин C.B., Зарубин B.C. Методы оптимизации.— М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.-433 с.

4. Веллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи—М.: Мир, 1968.

5. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления.— М.: Наука, 1969 408 с.

6. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами.— М.: Наука, 1973.— 280 с.

7. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин JI.C.// ДАН СССР.— 1956. — Т.110, № 1.—С.159.

8. Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии.— М.: Химия, 1975.— 575 с.

9. Бут Э.Д. Численные методы.— М.: Физматгиз, 1959.

10. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.— М.: Наука, 1965.— 380 с.

11. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла — М.: Металлургия, 1972.— 439 с.

12. Быков Б.И. Моделирование критических явлений в химической кинетике.—М.: Наука, 1988.— 264 с.

13. Быков Б.И., Журавлев Б.М. Моделирование и оптимизация химико-технологических процессов.— Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002.— 298 с.

14. Быков В.И., Кытманов A.M., Лазмаи М.З. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов.—Новосибирск: Наука, 1991.— 233 с.

15. Балиева Ю.А., Давлетшип P.C., Мустафина С.А. Оптимизация химических процессов на основе принципа максимума Понтрягина. — М.: ВНТИЦ, 2005. №50200501522.

16. Балиева Ю.А., Мустафина С.А., Бадаев A.B., Спивак С.И. Выбор технологической схемы реактора с перемешиванием на основе теоретической оптимизации химического процесса // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2005.— Т. 12, вып. 2.—С.444-446.

17. Валиева ЮА., Мустафипа СЛ., Спивак С.И. Моделирование и оптимизация процесса олигомеризации а-метилстирола // Дифференциальные уравнения и приложения: Труды Средневолжского математического общества. 2004 — Т. 6, № 1-С.75-81.

18. Валиева Ю.А., Мустафипа С.А., Спивак С.И. Оптимизация каталитических процессов на основе принципа максимума Понтрягина // Вестник Башкирского университета. — 2004.— № 4.—С.3-6.

19. Валиева Ю.А., Мустафипа С.А., Спивак С.И. Расчет оптимальных режимных параметров реакции олигомеризации а-метилстирола на основе принципа максимума Понтрягина // Башкирский химический журнал Уфа: Гилем. - 2004. - Т. 11, №5.-С.32-36.

20. Валиева Ю.А., Мустафипа С.А., Спивак С.И. Расчет оптимальной температуры каталитических процессов на основе принципа максимума Понтрягина // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвузовский научный сборник — Уфа: УГАТУ. — 2004—С. 129-138.

21. Вант-Гофф Я. Избранные труды по химии.—М.: Наука, 1984.— 178 с.

22. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. — М.: Московский университет, 1974.— 374 с.

23. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1980 — 520 с.

24. Васильев В.В., Баранов B.JI. Моделирование задач оптимизации и дифференциальных игр.— Киев: Наук, думка, 1989.— 296 с.

25. Васильков Ю.В., Василькова H.H. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. — М.: Финансы и статистика, 1999.- 256 с.

26. Вержбицкий В.М. Основы численных методов.— М.: Высш.шк., 2002.— 840 с.

27. Волин Ю.М., Островский Г.М., Слинъко М.Г. // Кинетика и катализ. 1963.—№ 5.—С.798.

28. Горбань А.Н. Обход равновесия. Уравнения химической кинетики и их термодинамический анализ.— Новосибирск: Наука, 1984.— 226 с.

29. Горбань А.Н., Быков В.И., Яблонский Г.С. Очерки о химической релаксации.— Новосибирск: Наука, 1986.— 320 с.

30. Григорьева Н.Г., Доюемилев У.М., Кутепов Б.И., Павлов М.Л., Ха-зипова А.Н. Димеризация а-метилстирола в присутствии цеолита Y в NaH-форме // Химическая промышленность.— 2002.— № 11.— С.4-6.

31. Григорьева Н.Г., Хазипова А.Н., Балаев A.B., Кутепов Б.И., Губай-дуллип И.М. Кинетическая модель олигомеризации а-метил стирола в присутствии цеолита NaHY // Кинетика и катализ.— 2003.— Т.З, № 11.- С.89-92.

32. Давлетшип P.C., Валиева Ю.А., Мустафина С.А. Моделирование каталитического процесса гидрирования пинена в трубчатых реактко-рах. М.: ВНТИЦ, 2005. - №50200501647.

33. Денисов Е.Т. Кинетика гомогенных химических реакций.— М.: Высш. шк., 1988 — 391 с.

34. Закошанский В.М. Механизм образования димеров си-метил стирола и орто-, паракумилфенолов // Катализ в промышленности.— 2005.— № 1.- С.3-11.

35. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами.— М.: Наука, 1978.— 463 с.

36. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления тепловыми и диффузионными процессами // ЖВМиМФ.— 1963.— Т. 3, вып. 9 — С.98-110.

37. Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств.— М.: Высш.шк., 1991.— 400 с.

38. Кахаиер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение.— М.: Мир, 1998.— 575 с.

39. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления.—М.: Наука, 1973.

40. Левеншпилъ О. Инженерное оформление химических процессов.—М.: Химия, 1969 624 с.

41. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики.— М.: Наука, 1975.— 478 с.

42. Марчук Г.И. Математическое моделирование химических реакторов.— Новосибирск: Наука, 1984.— 168 с.

43. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем.—М.: Наука, 1971.-424 с.

44. Мудрое А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль—Томск: МП "Раско", 1992 — 272 с.

45. Мустафииа С.А., Валиева Ю.А., Балаев A.B., Спивак С.И. Математическое описание прямоточного теплообменника для каталитического процесса олигомеризации ск-метилстирола // Труды Средневолжского математического общества. — 2005.— Т. 7, № 1.—С.129-131.

46. Мустафииа С.А., Валиева Ю.А., Давлетшин P.C., Валаев A.B., Спивак С. И. Оптимальные технологические решения для каталитических процессов и реакторов // Кинетика и катализ.— 2003. — Т. 46, № 5. — С.749-756.

47. Мустафина С.А., Валиева Ю.А., Спивак С.И. Теоретическая оптимизация процесса олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолита типа У в ЫаН-форме // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004 — Т. 11, вып. 2.-С.375-376.

48. Островский Г.М., Бережинский Т.А. Оптимизация химико-технологических процессов. Теория и практика.— М.: Химия, 1984.— 240 с.

49. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации сложных химико-технологических схем.— М.: Химия, 1970.— 328 с.

50. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации химических реакторов.— М.: Химия, 1967.— 248 с.

51. Островский Г.М., Волин Ю.М. Моделирование сложных химико-технологических схем.— М.: Химия, 1975.— 312 с.

52. Патент РФ 2090502 // Б.И., 1997, №26.

53. Патент США 5502241 //РЖХим, 1992, 17Н81П.

54. Патент РФ 2026871 // Б.И., 1995, №2.

55. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.—М.: Физматгиз, 1961.-382 с.

56. Пригожин П., Дэфей Р. Химическая термодинамика.—Новосибирск: Наука, 1966.-509 с.

57. Радчепко Я.А., Чесноков A.A., Павлик Б.Б. и др. Смазочные материалы для фрикционных передач // ХТТМ.— 1993— №7—С. 14.

58. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложениями программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие.— М.: Высш. шк., 1998.— 383 с.

59. Рид Р., Шервуд Т., Праусниц ДЖ.М. Свойства газов и жидкостей.— JL: Химия, 1982.-591 с.

60. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры.—М.: Физматгиз, 1997.—320 с.

61. Самахов A.A., Зайдман Н.М., Чиоюик М.Д., Буянов P.A. Об изменении активности катализаторов в процессе эксплуатации.— Новосибирск: Наука, 1976.— 160 с.

62. Слинъко М.Г. Кинетическая модель как основа математического моделирования каталитических процессов // Теоретические основы химической технологии — 1976 — Т. 10, № 1 — С.137-146.

63. Слинъко М.Г. Моделирование химических реакторов.— Новосибирск: Наука, 1968. 256 с.

64. Слинъко М.Г. Пленарные лекции конференции по химическим реакторам: "Химреактор -Iм, "Химреактор -13".— Новосибирск: ИК СО РАН Наука, 1996.-180 с.

65. Снаговский Ю.С., Островский Г.М. Моделирование кинетики гетерогенных каталитических процессов.—М.: Химия, 1976.—248 с.

66. Спивак С.И., Губайдуллин И.М., Ваймап Е.В. Обратные задачи химической кинетики: Учебное пособие.—Уфа: РИО БашГУ, 2003.—110 с.

67. Типиус К.Н. Пластификаторы. — М., JL: Химия, 1964.—916 с.

68. Федорепко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления.—М.: Наука, 1978.—488 с.

69. Фан Л.Ц., Вань Ч.С. Дискретный принцип максимума. Пер. с англ.1. S -М.: Мир, 1967.- 180 с.

70. Физическая химия: Учеб. для хим. спец. вузов / А.Г. Стромберг, Д.П. Семченко — М.: Высш. шк., 2003.— 527 с.

71. Химия. Большой энциклопедический словарь / И.Л. Кнунянц — М.: Большая Российская энциклопедия, 2000.— 792 с.

72. Царева З.М., Орлова Е.И. Теоретические основы химической технологии. — Киев: Вища школа, 1986.— 272 с.

73. Цирлин A.M., Балакирев B.C., Дудников Е.Г. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов. — М.: Энергия, 1976.— 350 с.

74. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач. —Киев: АН УССР, 1963. 348 с.

75. Эмануэль Е.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. —М.: Высшая школа, 1984. — 464 с.

76. Яблонский Г.С., Быков В.И, Горбань А.Н. Кинетические модели каталитических реакций. —Новосибирск: Наука, 1983.— 256 с.

77. Яблонский Г.С., Быков В.И, Елохин В.И. Кинетика модельных реакций гетерогенного катализа. —Новосибирск: Наука, 1984.— 224 с.

78. Bykov V.I., Kytmanov A.M., Lazman M.Z. Elimination methods in polynomial computer algebra. — Kluwer Academic Publishers, The Netherlands. 1998. — 252 p.

79. Chaudhuri В., Sharma M.M. Some novel aspects of the dimerization of /?-methylstyrine with acidic ion-exchange resins, clay, and other acidicmaterials as catalysts // Ind. Eng. Chem. Res. — 1989.— vol.28, №12 —1. P. 1757.