автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование, алгоритмы и программы управления манипуляторами

Артемова Александра Олеговна

Математическое моделирование, алгоритмы и программы управления манипуляторами

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 О МАЙ 2013

005060051

005060051

Артемова Александра Олеговна

Математическое моделирование, алгоритмы и программы управления манипуляторами

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре информационной безопасности и теории управления в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ульяновский государственный университет».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор,

Андреев Александр Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет», профессор кафедры высшей математики Логинов Борис Владимирович

доктор физико-математических наук, доцент, филиал ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» в г. Набережные Челны, профессор кафедры математического моделирования и информационных технологий в экономике, Павликов Сергей Владимирович

Ведущая организация:

ФГБУН Институт проблем управления

им. В.А.Трапезникова Российской академии наук

Защита состоится « 19 »

2013i

1330

часов на заседании диссертационного совета

Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», расположенном по адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная реки Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом на странице ВУЗа http://ppo.ulsu.ru и на странице Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и пауки Российской Федерации — http: //vak.ed.gov.ru.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д. 42, УлГУ, Отдел послевузовского и профессионального образования.

/9. utaj

Автореферат разослан

. 2013 г.

df

Ученый секретарь диссертационного совета / Волков М. А.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Широкое применение комплексных средств автоматизации технологических процессов, необходимость освобождения человека от проводимых в экстремальных условиях работ и другие производственные проблемы определили в конце XX века интенсивные исследования по созданию манипуляционных роботов, исполнительными устройствами которых служат манипуляторы (механические руки) 1'2'3>4'5. Дальнейшее развитие робототехники, создание эффективных методов расчета и проектирования робототехническихх систем продолжают стимулировать деятельность многих ученых и конструкторов разных школ в этой области науки и техники б|7.

Многочисленные работы посвещены описанию и моделированию на ЭВМ динамики движения манипулятора, разработке алгоритмов управления манипуляционными роботами в'9'10'11. Особенности исследований в этом направлении в настоящее время связаны с разработкой и созданием манипуляторов сложной конструкции, дистанционно- и автономно-управляемых манипуляторов с использованием встроенных процессоров, навигационных и других систем.

Это приводит к необходимости развития математического аппарата, разработки моделей и алгоритмов систем управления манипуляторами, которые более полно учитывают многозвенную структуру, нелинейность, нестационарность программных движений, запаздывание в цепи обратной связи и другие факторы.

Соответственно, тема диссертации, посвещенной исследованию этой проблемы, является актуальной.

Объектом исследования в настоящей диссертации являются манипуляторы, моделируемые в виде системы связанных твердых тел.

Предметом исследования выступают математические методы и модели построения управления манипуляторами, соответствующие алгоритмы и программы.

Цели и задачи диссертационной работы. Цель диссертационной работы состоит в математическом обосновании новых моделей управления движениями манипуляторов с разра-

1 Кулешов В. С. Динамика систем управления манипуляторами / В. С. Кулешов, Н. А. Лакота. - М.: Энергия, 1971. - 304 С.

2 Медведев В. С. Системы управления манипуляционных роботов / В. С. Медведев, А. Г. Лесков, А. С. Ющенко - М.: Наука, 1978. - 416 С.

3 Попов Е. П. Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы / Е. П. Попов, А. Ф. Верещагин, С. Л. Зенкевич. - М.: Наука, 1978. - 400 С.

4 Кулаков Ф. М. Супервизорное управление манипуляционными роботами - М.: Наука. - 448 С.

5 Черпоусько Ф. Л. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация / Ф. Л. Черноусько, Н. Н. Болотник, В. Г. Градецкий - М.: Физматлит, 1989. - 368 С.

6 Черноусько Ф. Л., Ананьевский И. М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами / Ф. Л. Черноусько, И. М. Ананьевский, С. А. Решмин - М.: Физматлит, 2006. - 326 С.

7 Матюхин В. И. Управление механическими системами - М.: Физматлит, 2009. - 320 С.

8 Крутько П. Д. Метод обратных задач динамики в теории конструирования алгоритмов управления манипуляционных роботов. Задача стабилизации / П. Д. Крутько, Н. А. Лакота // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1987. - Л'" 3. - С. 23-30; № 4. - С. 11-19

9 Крутько П. Д. Кинематические алгоритмы управления движением манипуляционных роботов / П. Д. Крутько, Е. П. Попов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1979. - № 4. - С. 77-86

10 Дружинин Э. И. Об устойчивости прямых алгоритмов расчета программных управлений в нелинейных системах / Э. И. Дружинин // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2007. - Т. 3. - № 4. - С. 14-20

11 Матюхин В. И. Управление движением манипулятора / В. И. Матюхин. - М.: ИПУ РАН, 2010. - 96 С.

боткой соответствующих алгоритмов и программ расчета их параметров, в построении моделей и программ управления конкретными манипуляторами.

Для достижения этой цели были поставлены и исследованы следующие задачи:

1. Математическое обоснование новых моделей управления движениями манипуляторов и других управляемых механических систем с учетом эффектов нелинейности, нестационарности, запаздывания.

2. Разработка новых типов управления для манипуляторов, моделируемых уравнениями Лагранжа и Виттенбурга-Лилова, численных методов, алгоритмов и программ их исследования и расчета параметров.

3. Разработка новых моделей управления дву- и трехзвенными манипуляторами, соответствующих программ определения их параметров, исследования качественных и количественных свойств процесса управляемого движения: устойчивости, области притяжения, точности, возможного запаздывания в цепи обратной связи.

Методы исследования. В диссертационной работе применялись методы математического моделирования управляемых систем, теории устойчивости, численные методы решения дифференциальных уравнений, методы теоретической механики, объектно-ориентированного и структурного программирования, имитационного моделирования.

Научная новизна. В диссертации обоснованы новые модели управления манипуляторами, которые обеспечивают нелокальную стабилизацию спектра их программных движений с учетом запаздывания в цепи обратной связи. Разработаны алгоритмы и программы расчета параметров таких управлений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новые методы моделирования стабилизирующих управлений для нелинейных управляемых систем.

2. Новые методы построения управлений для манипуляторов, .моделируемых в виде систем связанных твердых тел.

3. Алгоритмы и комплекс программ расчета параметров управления, обеспечивающих стабилизацию движений манипуляторов с учетом нелинейности, нестационарности и запаздывания.

4. Модели управления нелинейного типа, обеспечивающие стабилизацию программных движений дву- и трехзвенного манипуляторов, их численный анализ.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для теоретических и практических разработок в проектировании и конструировании манипуляционных роботов и робототехнических систем, в моделировании систем управления движениями манипуляторов.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов научных исследований обеспечивается строгостью используемого математического аппарата, соответствием теоретических и численно-экспериментальных результатов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. Всероссийский семинар «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Ульяновск. 9-12 июня, 2011 г.

2. XV Международная конференция «Моделирование динамических систем и исследование устойчивости». Киев, Украина. 25-27 мая, 2011 г.

3. 54-ая научная конференция МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Москва, 2011 г.

4. XII международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Москва, ИПУ РАН, 05-08 июня 2012 г.

5. X международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление». Казань, 12-16 июня 2012 г.

6. Международная конференция «Моделирование, управление и устойчивость (MCS-2012)». Севастополь, Украина, 10-14 сентября 2012 г.

7. 55-ая научная конференция МФТИ: Всероссийская научная конференция «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе», Научная конференция «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук в области физики и астрономии», Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Москва, 2012 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 17 печатных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах из списка ВАК.

Личный вклад автора. Постановка задачи осуществлена совместно с научным руководителем. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, приложения и библиографии. Текст диссертации изложен на 166 страницах, из них 102 страниц основного текста и 64 страницы приложения. Диссертация содержит 18 рисунков и 110 библиографических ссылок.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель, аргументирована научная новизна исследований и практическая значимость выводимых результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе рассматриваются задачи математического моделирования робототех-нических систем с конечным числом степеней свободы, приводимых к исследованию систем дифференциальных уравнений вида

x = X(t,x, и), (1)

где х = (Х%,Х2, ■ ■ ■ ,хп) £ Rn - вектор n-мерного линейного действительного пространства R", описывающий движение системы, и = (ub u2,..., ит) - вектор управления, создаваемого приводами или иными воздействиями, и 6 Rm — т-меному линейному действительному пространству Rm.

В соответствии с различными конструкционными назначениями исследуемых систем, могут быть поставлены различные задачи по отношению к управляемой системе (1). Для современных манипуляционных роботов актуальной представляется задача конструирования уни-верельной модели управления, обеспечивающей реализацию целого спектра программных его движений с заданными свойствами, на основе структуры обратной связи в виде измерительной и информационной подсистем, определяющих текущее состояние системы и задающих необходимое управляющее воздействие.

Одна из постановок такой задачи состоит в определении для программного закона движения х = я" (t) системы (1) управляющей функции и = u(t,x), обеспечивающей стабилизацию этого движения.

В соответствии с подходами теории устойчивости эти задачи математически удобно сформулировать следующим образом.

Пусть X (t, 0,0) = 0, X - вектор-функция, определенная и непрерывная в области R+ х Г х Rm, R+ = [0, +оо), Г = {х € R" : ||х|| < Я, Я = const > 0 или Я = +оо, (выше, здесь и далее () - операция транспонирования, ||zj| = (xf + ... + х£)2, ||u|| = (uf + ... + и^р).

Система (1) при и = 0 имеет решение 1 = 0, которое принимается за невозмущенное движение. Задача о стабилизации этого движения состоит в синтезе управляющего воздействия и, а именно, в построении и на основе мгновенной обратной связи в виде зависимости и = и (t, х), из некоторого класса управлений U = {и : R+ х Г —> Дт, u(t, 0) = 0}, при котором движение 1 = 0 для системы (1) является равномерно асимптотически устойчивым ',2.

Наиболее применяемыми в манипуляторах являются непрерывные и релейные управления с мгновенной обратной связью, т.е. в виде зависимости и = и (t, х), с дальнейшим учетом эффекта запаздывания 3,4

Движение системы (1) при управляющем воздействии и = ua(t,x), и0 € U, будет описы-

1 Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений / Н. Н. Красовский, И. Г. Малкин // Теория устойчивости движения. Доп. 4. — М.: Наука, 1966. - С. 475—514

2 Пятницкий Е. С. Синтез систем стабилизации программных движений нелинейных объектов управления / Е. С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. - 19S9. - N4. - С. 87-99; № 2. - С. 57-71

3 Пятницкий Е. С. Синтез управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции / Е. С. Пятницкий // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1987. - № 3. - С. 92-99

4 Матюхии В. И. Управление механическими системами / В. И. Матюхин - М.: Физматлит, 2009. - 320 С.

ваться системой уравнений

х = Х° ((, х), Х° {г, х) = Х (<, х, и0 (4,1)) , (2)

правая часть которой является непрерывной при непрерывном управлении, и разрывной при кусочно-непрерывном управлении.

Для системы (2) с разрывной правой частью удачным с точки зрения моделирования управляемых механических систем является ее доопределение на поверхности разрывов в соответствии с методом, предложенным в работах 112, а при необходимости могут быть также использованы доопределения системы уравнений (2) до соответствующей системы включения согласно 3.

В работе полагается, что правая часть (2) удовлетворяет в области своей непрерывности условию Липшица, решение х = 0 системы (2) является единственным.

В первом параграфе рассматривается задача о стабилизации невозмущенного движения х = 0 системы (1) или об асимптотической устойчивости нулевого решения (2) на основе векторной функции Ляпунова 4'5'6-7. Приводятся переформулировки теорем из 4>5>6'7 по отношению к системам (1) или (2). Дается развитие результатов из 11 для случая релейного управления и — и(Ь,х), для чего используется динамика уравнений с разрывной правой частью, построенная в работе 8.

В структуре обратной связи манипуляционной системы (1), как правило, возникает запаздывание в определении текущих параметров, в формировании управляющего сигнала и т.д.

Математическое моделирование такой системы приводит к необходимости применения функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа. К исследованию таких уравнений приводят также задачи использования ПИ и ПИД-регуляторов, управления при неполной обратной связи.

Постановка задачи о стабилизации систем, моделируемых функционально-дифференциальными уравнениями, и качественное исследование этих уравнений имеют значительное отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительно менее разработанной

1 Айзерман М. А. Основы теории разрывных систем I / М. А. Айзерман, Е. С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. - 1974. - Л'« 7. - С. 33-47

2 Айзерман М. А. Основы теории разрывных систем II / М. А. Айзерман, Е. С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. - 1974. - № 8. - С. 39-61

3 Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов - М.: Наука, 1985. - 224 С.

4 Матросов В. М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова 1, 2 / В. М. Матросов // Дифференц. уравнения. - 1968. - Т. 4. - № 8. - С. 1374-1386; Т. 4. - № 10. - С. 1739-1752; 1969. - Т. 5. - № 7. - С. 1171-1185; Т. 5. - № 12. - С. 2129-2143

5 Васильев С. Н. Метод сравнения в анализе систем 1, 2 / С. Н. Васильев // Дифференц. уравнения. -1981. - Т. 17. - № 9. - С. 1562-1573; Т. 17. - № 11. - С. 1545-1554; 1982. - Т. 18. - № 2. - С. 197-205; Т. 18. - № 6. - С. 938-947

6 Маликов А. И. Вектор-функции Ляпунова в анализе свойств систем со структурными изменениями / А. И. Маликов, В. М. Матросов // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1998. - № 2. - С. 47-54

7 Андреев А. С. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости / А. С. Андреев, О. А. Перегудова // Доклады Академии наук. - 2005. - Т. 400. - № 5. - С. 621-624

8 Андреев А. С. Об устойчивости нулевого решения системы с разрывной правой частью / А. С. Андреев,

О. Г. Дмитриева, Ю. В. Петровичева // Научно-технический вестник Поволжья. - 2011. - № 1. - С. 15-20

является и теория управления такими системами, при этом линеаризация соответствующих уравнений оказывается значительно менее эффективной.

В §2 излагаются некоторые новые результаты по стабилизации систем, описываемых в виде функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием.

Переобозначив через |z| норму в R", введены: ft > 0 - заданное действительное число, С - банахово пространство непрерывных функций ip : [—h, 0] -» R" с нормой ||у|| = max(|v?(s) |, —h<s< 0). Для непрерывной функции х : [а — ft, /3] —> Rn (а,/3 G R, а < /?) и каждого t 6 [а, ¡3] функция xt € С задается равенством xt (s) = х (f + s) (—ft < s < 0), под x (i) понимается правосторонняя производная.

Рассмотрена управляемая система, описываемая общим векторным функционально-дифференциальным уравнением

x(t) = X(t,xuu), X(t, 0,0), (3)

где X : R+ х G х Rт —> Rn есть вектор-функция, определенная и непрерывная в области R+ х G х Rm, G = {<р € С : ||y>|| < Я, Я = const > 0 или Я = +оо.

Для системы (3) рассмотрена задача стабилизации в классе непрерывных и кусочно-непрерывных управляющих воздействий Uv = {и : R+ х G ->■ Rm, u(t, 0) = 0}. В этот класс могут быть включены как управления вида и = u(t,x (t — ft0 (t))), 0 < h0 (t) < ft, с запаздыванием, зависящим от времени, так и управления вида

о

и (t, it) = х (i) + J ft (t, s)x(t 4- s) ds. -h

Наиболее приемлемой с практической точки зрения является следующая постановка задачи о стабилизащш.

Управляющее воздействие и0 £ Ur является стабилизирующим, если нулевое положение равновесия системы

x(t)=X°(t,xt), X 0(t,xt)=X(t,xt,u°(t,xt)) (4)

является равномерно асимптотически устойчивым.

Исследуется задача о применении к поставленной задаче метода векторного функционала Ляпунова.

Для случая непрерывного управления и = и (i, ip) полагается, что правая часть (4) удовлетворяет условию Липшица вида

(t, <р,) -X°(t,v,)\<L (К) - Vl || (5)

при всех (i, tp2), (t, <pi) € R+ x К для каждого компактного множества К С G.

С целью обоснования применимости знакопостоянных функционалов Ляпунова вводится

понятие предельной системы вида

t

х (t) = X* (t, xt), X* (i, p) = ^ lim f X (t„ + r, dr. (6)

dt u-ioo J о

и посредством такого построения, как и в 1 определяется соответствующие динамические свойства системы (4).

Пусть V : R+ х Си —> Л*1, V = (V1, К2,..., , есть непрерывный векторный функционал Ляпунова и х = х (i), ха = <р - решение уравнения (4).

Вектор-функция V (i) = V (i, гг (а, представляет собой непрерывную функцию времени t > а. Верхней правосторонней производной от V вдоль решения х = х (<) уравнения (4) называется значение

V+ (t, xt) = (V1+ (f, xt), ■ ■ ■, Vk+ (t,xtj) ,

Vi+(t,xt) = lim sup-3- + г = 1,2,. .., fc.

Д£->0+ Ас

В работе также использован подход к вычислению производной, основанный на свойстве инвариантности производной от интегральных форм по некоторому классу кривых 2,3 с соответствующими определениями инвариантной производной и инвариантной дифферснцируемости.

Если векторный функционал V = V (f, ¡р) инвариантно дифференцируем в точке (t, ip) € х Сн, тогда V (£, ф) может быть определена по формуле

V* (i, = (v1* (t, («,?))',

у1* («. v) = ^ v) + suP ^ (t, V) ■ \yj=Xjlt,v) +av; (t, v), ¿ = 1,2,...,/:.

Дана соответствующая 4 трактовка теоремы об асимптотической устойчивости с векторным функционалом Ляпунова. Проведено следующее ее обобщение.

Пусть производная V* (t, tp) оценивается равенством вида

V' (f, <p)=Y (t, V (i, + W (t, V (i, </>)) (7)

При этом:

1 Андреев А. С. Об устойчивости нулевого решения системы с разрывной правой частью / А. С. Андреев, О. Г. Дмитриева, Ю. В. Петровичева // Научно-технический вестник Поволжья. - 2011. - № 1. - С. 15-20

2 Ким А. В. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием / А. В. Ким // Екатеринбург: Изд-во Уральс. ун-та, 1992.

3 Ким А. В. ¡-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения / А. В. Ким // Екатеринбург: УрО РАН, 1996. - 233 С.

4 Матросов В. М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова 1, 2 / В. М. Матросов // Дифференц. уравнения. - 1968. - Т. 4. - № 8. - С. 1374-1386; Т. 4. - № 10. - С. 1739-1752; 1969. - Т. 5. - № 7. - С. 1171-1185; Т. 5. - № 12. - С. 2129-2143

1. вектор-функция (или векторный функционал) V = (Vi, V2,..., Vk) является ограниченной, равномерно непрерывной на каждом множестве R+ х К, К С Сн - компакт;

2. аналогичное свойство в области R х Сн х Rk имеет функция W : R х Сн х Rk —» Rk, при этом W(t,<p,V(t,<p)) < 0;

3. функции Y : R х Rk —» Rk таковы, что система сравнения

V = Y(t,y) (8)

имеет предельную систему

у = У (t,y), y'eiV. (9)

и функциональная матрица ее линейного приближения удовлетворяет условию

||Ф (t, <о, Уо) II <М(К), det Ф (t, ¿о, Уо) >а(К)> 0.

Определяются предельные функционалы

V'(t,<p)= lim U(tk + t,:p), W*(t,ip)= lim W(tk + t,<p)

ifc-> + oo ijt->+oo

Доказана теорема.

Теорема 1. Допустим, что можно найти управляющее воздействие и = u(t,ip) и векторный функционал V : R+ х Снi —> Rk такие, что:

1- a1{\4,a\)<V{t,lp)<a2 (ll^ll);

2. производная V(t,<p) в силу (4) удовлетворяет равенству (7);

3. нулевое решение у = 0 системы сравнения (8) равномерно устойчиво;

4. для любой предельной совокупности

(F*, V, w', Y*, W) множество {V" (t, ip) = у' (г)} П {W' (t, <р, у' (t)) = 0} не содержит решений (6) кроме х = 0, где у" (t) - любое ненулевое решение (9).

Тогда управление и = u(t,ip) решает задачу о стабилизации системы (3).

Для случая кусочно-непрерывного управления и = u(t, tp) полагается, что функция X0 (f, ф) из (4) удовлетворяет условию (5) в каждой подобласти Di,, G = Uнепрерывности u(t,ip). Проведено доопределение системы (4) до включения

x(t)GF(t,xt). (10)

Как и в 1 построена топологическая динамика такого включения с определением соответ-

1 Павликов С. В. К методу функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью / С. В. Павликов, Г. А. Шепелев // Научно-технический вестник Поволжья. - 2011. - № 1. - С. 163-165

ствующих предельных включений

х (t) 6 F* (i, xt) ■

(П)

Допустим, что управления и = (и\ (t, <р) ,112 (t,ip),... ,ит (i, <^>)) являются кусочно-непре-

рывными, терпят разрыв на поверхности {ф](Ь, = 0} (.7 = 1,/), ф^ : Я+ х Ся —> Я есть ограниченные, равномерно непрерывные функции.

Теорема 2. Допустим, что можно найти управляющее воздействие и = и (¿, ^э) и векторный функционал V : Я+ х Ся, —> Я* такие, что:

3. нулевое решение х — 0 включения (11) равномерно асимптотически устойчиво относительно множества {ф* (<, х) = 0} и семейства предельных совокупностей {(F*,V*, W')}.

Тогда управление и = u(t, <р) решает задачу о стабилизации системы (1).

В третьем параграфе первой главы решается задача о стабилизации не вполне наблюдаемой линейной нестационарной системы.

Результаты первой главы применяются в следующих главах для построения алгоритмов управления манипуляторами.

Во второй главе исследуется задача об управлении манипуляторами, моделируемыми в виде системы связанных твердых тел. В первом параграфе принимается, что модель описывается уравнениями Лагранжа второго рода.

Пусть положение такой системы определяется п обобщенными координатами qi, <72, ■ • •, qn, q = (qi, ■ • • I Чп) — соответствующий вектор, кинетическая энергия системы представима в

где Л (¿, д) 6 Я™*" — матрица размерности п х п является в общем случае положительно определенной, В q) € Я" — матрица-столбец или вектор, С ({, д) — скалярная функция.

Примем, что движение системы под действием управляющих сил II и других обобщенных сил (внешних, сил взаимодействия точек системы, трения и т. д.) <2 = <3 д, д) описывается уравнениями Лагранжа

Подставив в уравнения движения представление для кинетической энергии (12), приведем

виде

Т = Т2+Т1 + Т0, T2(t,q,q) = iq'A(t,q)q, Г, (t, q, q) = В' (t, q) q, Ta (i, q) = С (i, q),

(12)

их к виду

а затем к системе уравнений второго порядка

A(t,q)q = Ql(t,q,q) + U, (14)

где вектор Qi включает в себя все недостающие системы уравнений (13): _ дТ0 _г.т 9В ЭА , ,г_л _

{ qTCq} = {qTC^q, qTC2q, ■ ■ ■, qTCnq} — n-мерный вектор соответственных квадратичных форм.

Пусть X — {(<7° (t) ,q° (i)) : [f, +oo) —» Л™} есть заданное множество программных движений в виде ограниченных трижды непрерывно-дифференцируемых функций q = q° (t) с ограниченными производными при t & [t, +оо).

Пусть (q° (i), q° (t)) — какое-либо выбраное движение, реализуемое управлением U = f/°(t), где

Ua (t) = А (г, q° (г)) if (i) - Qi (i, q° (t) , q° (t)) . (15)

Введем возмущения x = q — qo (t) и управляющие воздействия U (t,x,x) = U — U° (i). Пусть f = f (t,x) — есть некоторая вектор-функция, определяемая нелинейностью системы и структурой ее обратной связи, f = f (t,0) = 0, > fik = const >0 (к — l,n). Исследована задача построения управляющего воздействия вида

U = 4>{t,H{t)x + /),

где Ф (i, 7) есть некоторая вектор-функция, Ф (t, 0) = 0, Ф £ С1, Я-матрица, Н € Л™*", обеспечивающего стабилизацию выбранного программного движения системы(14). Для частного случая

U = В (Нх + /), Be Rnxn (16)

в качестве вектор-функции Ляпунова выбраны функции

V„+i = у/{Hx + f)'A(Hx + f).

Построена соответствующая система сравнения, найдены условия ее асимптотической устойчивости.

В соответствии с этими условиями составлены алгоритмы и программы нахождения параметров управляющего воздействия (16): матрицы Н управляющего сигнала и матрицы В

коэффициентов усиления.

Рассмотрено влияние запаздывания в цепи обратной связи таким образом, что управляющее воздействие имеет, папример, следующий вид

U = B{Hi{t-h,{t))) + }(x{t-h2{t))), ||A,(i)||<Ao, ИЫ*)||<Ао.

Для этого применяется векторный функционал (Vi,..., Vn)

VS = #(<,*(*)) (i = M),

K+1 = (Hi (t) + f(x (t))) A (t, x) (Hi (t) +f(x(t))) +

о 0

+ | dT^(Hi{t + s)+f(x(t + s)))'C(Hx(t + s) + f(x(t + s)))ds.

-h0 T

Составлена программа определения параметров управления, в том числе оценки tig.

При невыполнении условия (15) обосновано применение релейного управление вида

U = BA(Hx + f(t,x)), (17)

/ Л 4 ( в»9п((Я® + /)1) ^

sign ((Нх + /)2)

\1±п/ \sign((Hx + f)n) J

Матрица коэффициентов усиления В подбирается таким образом, что для некоторой матрицы М £ Япх" = const имеет место оценка

{Hi + f)TMHA3BA < -2гц\\Нх + /||, гц = const > 0. (18)

Разработаны соответствующие алгоритмы и программы нахождения параметров управления (17).

Показано, что учет запаздывания в этом случае может быть проведен путем построения соответствующего управляющего воздействия с насыщением.

Во втором параграфе рассмотрена задача построения управления для манипулятора, моделируемого в виде системы связанных твердых тел с ведущим телом, совершающим заданное движение. В третьем параграфе - свободной системы связанных твердых тел. При этом в качестве модельных уравнений используются уравнения Виттенбурга-Лилова

В качестве основных или промежуточных переменных используются относительные перемещения и угловые параметры, определяющие положение тел системы.

Разработаны соответствующие алгоритмы и программы построения и расчета параметров управления манипулятором при таком моделировании.

1 Виттенбург Й. Динамика системы связанных тел / Й. Виттенбург // М.: Наука, 1980. - 290 С.

2 Лилов Л. К. Моделирование систем связанных тел / Л. К. Лилов // М.: Наука, 1993. - 272 С.

В третьей главе обоснованы новые модели управления, обеспечивающие стабилизацию программных движений дву- и трехзвенных манипуляторов, разработаны соответствующие алгоритмы и комплекс программ их построения и численного анализа.

Эффективность этих моделей состоит в возможности обеспечения стабилизации спектра программных (нестационарных) движений со значительной областью притяжения, в оценке степени запаздывания сигналов в цепи обратной связи.

Приведем численый результат такого моделирования для двухвенного манипулятора на подвижном основании.

Схема манипулятора представлена на рисунке 1.

Манипулятор состоит из двух звеньев, связанных шарниром Первое звено при помощи шарнира 0\ связано с подвижным основанием. На конце второго звена в точке Оз укреплен схват, в котором находится перемещаемый груз. Оси шарниров параллельны друг другу.

Будем считать, что манипулятор перемещается в горизонтальной плоскости, функции Х\ (£) и Х2 (4) описывают положения центра масс основания.

Манипулятор управляется при помощи двух независимых приводов Дь расположенных в шарнирах и 02 соответствешю. Главные моменты относительно осей шарниров 01, 02 сил, создаваемые приводами £>1, И2 и приложенных к звеньям, соответственно равны Му, М2. Действие других сил, кроме реакции основания, не учитывается.

Пусть (д^ (4) (4)) - какое-либо программное движение манипулятора. Задача о стабилизации этого движения решается управлением вида:

о

А.

Рис. 1. Двухзвенный манипулятор на подвижном основании.

С/1 = -к! йг - й (4 - /») + С! 8Ш - (4 - к)))

и2 = -кг (¿12 - Я2 (* - Ь) + с2 БШ (<72 - ?2 -

Для случая, когда основание совершает движение по следующему закону:

XI (4) = соэ (24), х2 (4) = зш (24)

проведено чпслеппое моделирование при следующих параметрах системы:

= 20кг, т2 = Юкг, тз = 5кг, = 0,8м, /2 = 0,5м, С[ = 1,835, с2 = 2,8, кх = 319,407, к2 = 114,987, ql (0) = 0,5, 52 (0) = 0,5, 51 (0) = 0, д2 (0) = О, Л = 0.01.

При этом, в качестве программного выбрано следующее движение:

<?!(*) = 1,1 вт (1,24 + 1), ?;(<) = 1, Зет (1,6*+ 1,9), # («) = 1,32сов(1,2« + 1), й(4) = 2,08 сое (1,6*+ 1,9).

Стабилизация программного движения манипулятора представлена на рисунках 2-3.

1.5

1

0.5 0

-0.5

Рис. 2. Пунктирная линия на графике - программное движение, сплошная - зависимость

О 1 2 3 4 с

Рис. 3. Пунктирная линия на графике - программное движение, сплошная - зависимость 92 (£)•

Тем самым имеем численное подтверждение сходимости возмущенных движений манипулятора к программному.

В заключении перечислены ее основные результаты и сформулированы возможные приложения работы.

В приложении представлены исходные тексты программного комплекса.

Основные результаты диссертации

Настоящая диссертационная работа посвящена математическому обоснованию новых моделей управления движением манипуляторов с разработкой соответствующих алгоритмов и программ расчета их параметров. В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы построения новых моделей управления нелинейными управляемыми системами, в том числе, с учетом запаздывания в цепи обратной связи.

2. Построены новые модели управления манипуляторами и другими механическими системами, моделируемыми посредством уравнений Лагранжа второго рода и уравнениями Виттенбурга-Лилова для системы связанных твердых тел. Разработаны алгоритмы и комплекс программ расчета параметров таких управлений и численного анализа их эффективности.

3. Разработаны новые модели управления конкретными дву- и трехзвенными манипуляторами с соответствующими программами определения их параметров, их качественного и

количественного анализа, в том числе, области притяжения, оценки возможного запаздывания сигнала в цепи обратной связи, времени переходного процесса и других факторов.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю проф. Андрееву Александру Сергеевичу за постановку задач, детальное обсуждение результатов работы и всестороннюю поддержку.

Работа поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (Соглашение № 14.В37.21.0373), РФФИ (Проект № 11-01-00541).

Список публикаций по теме диссертации

Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Андреев А. С. О математическом моделировании релейных управлений / А. С. Андреев, А. О. Артемова, Р. С. Габунов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011. Т. 18. - Выпуск 1. - С. 99-100.

2. Андреев А. С. Об управлении движением голопомной механической системы / А. С. Андреев, А. О. Артемова // Научно-технический вестник Поволжья. - 2012. - № 6. - С. 80-87.

3. Артемова А. О. Моделирование управляемого движения двузвенпого манипулятора на подвижном основании / А. О. Артемова // Научно-технический вестник Поволжья. -2012. - № 6. - С. 112-114.

4. Андреев А. С. Моделирование управляемого движения системы связанных твердых тел / А. С. Андреев, А. О. Артемова, Ю. В. Петровичева // Автоматизация процессов управления. - 2012. - № 4(30). - С. 47-54.

5. Артемова А. О. О методе векторных функционалов Ляпунова в управлении механическими системами / А. О. Артемова, Г. А. Шепелев // Научно-технический вестник Поволжья. - 2013. - 1. - С. 95—99.

6. Андреев А. С. Моделирование управляемого движения системы твердых тел с ведущим телом / А. С. Андреев, А. О. Артемова // Научное обозрение. - 2013. - № 4. - С. 184—193.

Прочие издания

7. Андреев А. С. Об управлении линейными нестационарными механическими системами с неполным выходом и учетом запаздывания в структуре обратной связи / А. С. Андреев, А. О. Артемова, Д. М. Бодунов // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 2011. - С. 66-71.

8. Авдонин В. В. Управление движением системы связанных твердых тел / В. В. Авдонин, А. О. Артемова, Ю. В. Петровичева // Материалы Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Ульяновск, 09-12 июня 2011 г.). Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2011. - С. 7-9.

9. Артемова А. О. Управление двухзвенным манипулятором / А. О. Артемова, Р. С. Габу-нов // Материалы Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Ульяновск, 09-12 июня 2011 г.). Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2011. - С. 39-41.

10. Андреев А. С. О моделировании управляемого движения системы связанных твердых тел / А. С. Андреев, А. О. Артемова, Ю. В. Петровичева // Труды XV международной конференции «Моделирование динамических систем и исследование устойчивости» (Киев, Украина, 25-27 мая 2011 г.). Киев, 2011. - С. 343.

11. Артемова А. О. Об управлении двузвенным манипулятором / А. О. Артемова // Труды 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Управление и прикладная математика. Том. 1. Москва: МФТИ, 2011. - С. 54-55.

12. Артемова А. О. Об управлении робототехнической системой / А. О. Артемова // Тезисы докладов XII международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 05-08 июня 2012 г.). Москва: Изд-во ИПУ РАН, 2012.-С. 31.

13. Артемова А. О. Математическая модель управляемого пространственного движения робототехнической системы / А. О. Артемова // Труды X международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление». Т. 3. Секция 3. Управление. Ч. 1. (Казань, 12-16 июня 2012 г.). Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2012. - С. 98-103.

14. Артемова А. О. Об управлении движением трехзвенного манипулятора / А. О. Артемова // Материалы международной конференции «Моделирование, управление и устойчивость (MCS-2012)» (Севастополь, Украина, 10-14 сентября 2012 г.). Таврический нац. ун-т имени В. И. Вернадского. Симферополь: ДИАЙПИ, 2012. - С. 78.

15. Артемова А. О. Моделирование робототехнической системы как управляемой системы связанных твердых тел / А. О. Артемова // Труды 55-й научной конференции МФТИ: Всероссийской научной конференции «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе», Научной конференции «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук в области физики и астрономии», Всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Управление и прикладная математика. Том 2. Москва: МФТИ, 2012. - С. 50-51.

16. Андреев А. С. Метод векторной функции Ляпунова в задаче об управлении систем с мгновенной обратной связью / А. С. Андреев, А. О. Артемова // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Сер. Математика и информационные технологии. Вып. 1(4) 2012 г. Ульяновск: УлГУ, 2012. - С. 15-18.

Артемова А. О. О моделировании управляемой Лаграпжевой системы / А. О. Артемова // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Сер. Математика и информационные технологии. Вып. 1(4) 2012 г. Ульяновск: УлГУ, 2012. - С. 19-25.

Подписано в печать 17.05.2013. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 0,83 Тираж 100 экз. Заказ № Б061а.

Салон цифровой полиграфии 81ШЕТ ИП Залялов М.И. / 432072, Ульяновск, пр-т Ульяновский, д.26, кв.179

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

04201360291 Артемова Александра Олеговна

Математическое моделирование, алгоритмы и программы управления манипуляторами

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор Андреев А. С.

Ульяновск - 2013

Содержание

Введение .................................... 4

Глава 1. Математическое моделирование манипуляторов и других управляемых систем ........................ 15

1.1. Моделирование управляемой системы с мгновенной обратной связью ................................... 16

1.2. Об управлении системами с запаздывающей обратной связью . . 32

1.3. Управление линейными нестационарными системами с неполным выходом и учетом запаздывания в структуре обратной связи . . 41

Глава 2. Моделирование движений манипуляторов........ 47

2.1. Моделирование движения систем, описываемых уравнениями Лагран-жа.................................... 47

2.2. Моделирование управляемого движения манипулятора как системы связанных твердых тел с ведущим телом, совершающим заданное движение............................ 57

2.3. Модель манипулятора в виде свободной системы связанных твердых тел................................. 72

Глава 3. Модели управления дву— и трехзвенными манипуляторами ..................................... 77

3.1. Модель для двузвенного манипулятора............... 77

3.2. Моделирование управляемого движения двухзвенного манипулятора на подвижном основании.................... 80

3.3. Моделирование управляемого движения трехзвенного манипулятора ................................... 83

3.4. Программный комплекс........................ 88

Заключение................................... 91

Литература................................... 92

Приложение А. Исходный код комплекса программ .......103

А.1. Исходные тексты блока расчета параметров управления.....103

А.2. Исходные тексты блока численных методов .........•. . . 116

А.З. Исходные тексты блока формул...................144

Введение

Широкое применение комплексных средств автоматизации технологических процессов, необходимость освобождения человека от проводимых в экстремальных условиях работ и другие производственные проблемы определили в конце XX века интенсивные исследования по созданию манипуляционных роботов, исполнительными устройствами которых служат манипуляторы (механические руки) [60, 61, 75, 82, 100]. Дальнейшее развитие робототехники, создание эффективных методов расчета и проектирования робототехническихх систем продолжают стимулировать деятельность многих ученых и конструкторов разных школ в этой области науки и техники [73, 99].

Многочисленные работы посвещены описанию и моделированию на ЭВМ динамики движения манипулятора, разработке алгоритмов управления мани-пуляционными роботами [42, 58, 59, 74]. Особенности исследований в этом направлении в настоящее время связаны с разработкой и созданием манипуляторов сложной конструкции, дистанционно- и автономно-управляемых манипуляторов с использованием встроенных процессоров, навигационных и других систем.

Это приводит к необходимости развития математического аппарата, разработки моделей и алгоритмов систем управления манипуляторами, которые более полно учитывают многозвенную структуру, нелинейность, нестационарность программных движений, запаздывание в цепи обратной связи и другие факторы.

Эти проблемы свойственны и для других управляемых механических систем.

Математические модели многих современных механических систем представляют собой нелинейные системы дифференциальных уравнений высокой размерности. Основной подход к анализу моделей таких систем связан с идеей

декомпозиции. Декомпозиция позволяет свести исследование модели сложной системы к исследованию моделей подсистем меньшей размерности или более

простой структуры.

Известный подход к идее декомпозиции для решения задач управления механическими системами широко представлен работами учёных научных школ Ф. JI. Черноусько [99, 100] и Е. С. Пятницкого [84-87]. Полагается, что для управляемых механических систем специальный выбор управления может за конечное время привести систему в движение при режиме полной компенсации динамического взаимовлияния между подсистемами, т. е. при режиме декомпозиции. В работах Е. С. Пятницкого было предложено решать задачи синтеза универсальных управлений механическими системами вида на основе принципа декомпозиции, который, во-первых, позволяет полностью устранить перекрёстные связи между подсистемами, а, во-вторых, обеспечивает движение системы в соответствии с заданной целью управления. Решение этой задачи было достигнуто при помощи релейных управлений

1/г = -кгsign (qi - vt(t)), г = 1,2,..., п

и использования функции Ляпунова энергетического типа

1 71

V(t, q, q) = - alk(t, q) {qt - v^t)) (qk - vk{t,)) , i,k=l

где функции Vi(t), i = 1,2,... ,n определяют движение отдельных подсистем в режиме декомпозиции.

Функционирование декомпозированной системы происходит в скользящем режиме [86, 87], который характеризуется тем, что движение системы происходит вдоль поверхности переключения управления и сопровождается частыми переключениями управления. Таким образом, движение системы состоит из двух фаз:

1. фаза достижения (система движется к заданному многообразию и достигает его за конечное время);

2. фаза скольжения (система движется вдоль многообразия).

В дальнейшем подход Е. С. Пятницкого для задач стабилизации программных движений был развит в работах В. И. Матюхина [71-74] и др. В работе [71] получены условия существования и устойчивости движений манипуляционных роботов в режиме декомпозиции при учете динамики исполнительных органов. Построено множество движений манипулятора, которые могут быть реализованы в режиме компенсации взаимовлияния между его звеньями.

На основе принципа декомпозиции решена задача о переводе управляемой лагранжевой системы из произвольного начального состояния в заданное терминальное состояние за конечное время. Достижение этой цели сводится к двум этапам. В ходе первого этапа с использованием релейных управлений проводится понижение фазовой скорости до малых значений, допускающих декомпозицию системы. Иными словами, в фазовом пространстве системы при малых скоростях исходная система сводится к совокупности п управляемых подсистем второго порядка. На следующем этапе методами теории дифференциальных игр для каждой подсистемы строится управление, которое приводит данную подсистему в требуемое состояние.

Релейные законы управления обладают рядом преимуществ, таких, как простота реализации, возможность достижения цели управления за конечное время и т.д. Но на практике эти законы обнаруживают ряд существенных недостатков, к которым относятся значительные энергетические потери, обусловленные использованием максимальных по модулю значений управляющих воздействий, а также высокочастотные колебания компонент вектора состояния системы, которые приводят к нежелательным вибрациям механических элементов систем управления. Это обусловлено тем, что вследствие несовершенства устройств переключения управления и наличия запаздывания в структуре обратной связи при движении системы в скользящем режиме возникают биения (чаттер), сопровождающиеся быстрыми переключениями управления, что и приводит к возникновению высокочастотной немоделируемой динамики в си-

стеме. Поэтому важным является построение классов разрывных управлений,

свободных от недостатков релейных законов.

Было предложено [99] использовать управления с кусочно-постоянными коэффициентами, что позволило решить задачу о приведении системы в терминальное состояние за конечное время. В этих работах для обоснования алгоритма изменения коэффициентов обратной связи использовалась скалярная функция Ляпунова энергетического типа. Так, в частности, разработан метод управления на основе кусочно-линейной обратной связи, когда вектор управляющих сил имеет вид

и = - д*) - ад,

где а, (3 - кусочно-постоянные функции времени, которые увеличиваются через определённые промежутки времени по мере приближения системы к терминальному состоянию (д*,0). При этом, несмотря на неограниченное увеличение коэффициентов а, /3, управляющие силы остаются ограниченными. Такой метод управления обеспечивает перевод системы в заданное состояние за конечное время и эффективен не только при наличии неконтролируемых возмущающих сил, но и при неопределённости матрицы кинетической энергии. Этот подход широко представлен в монографии [99], где на основе различных вариантов декомпозиции было предложено решение задач синтеза управлений движением нелинейных механических систем. С помощью этого подхода были решены

некоторые задачи об управлении движением двухзвенников.

В монографии [81] была исследована проблема синтеза разрывных управлений движениями механических систем общего вида в условиях изменяющихся параметров системы, неполной информации о геометрических и массо-инерци-онных характеристиках систем, наличия некоторого неопределенного запаздывания в структуре обратной связи, действия неконтролируемых возмущений. В частности, была решена задача о стабилизации программного движения механической системы, описываемой уравнением вида

Н{1,д)д + ¡(1,д,д) = и,

путем построения релейного управления

и (г) = A'sig п (</(£) - д0(г) + С-1 (<*(«) - 9о(«))) •

Этот закон управления позволил за конечное время вывести систему из начальной области в режим декомпозиции, обеспечивающий экспоненциальную стабилизацию программного движения. Условия стабилизации в [81] записаны в виде ограничений на векторные и матричные нормы матриц и векторов, описывающих правую часть системы в отклонениях. Основное отличие этого результата от известных результатов Е. С. Пятницкого, В. И. Матюхина [99], полученных на основе скалярной функции Ляпунова энергетического типа, состоит в нахождении явной оценки области начальных возмущений и отсутствии ограничений

на производные матрицы кинетической энергии.

В [81] была решена также задача о стабилизации программного движения системы при помощи кусочно-непрерывного управления вида

и (г) = аК (д(г) - д0(г) + с-1 (д(г) - «7о(*))) ■

Построен алгоритм изменения кусочно-постоянной функции а(£), который позволил за конечное время вывести систему в режим декомпозиции, обеспечивающий экспоненциальную устойчивость.

На основе принципа декомпозиции в [81] решена задача о стабилизации программного движения механической системы с неизвестной матрицей инерции. Исследована задача о стабилизации программного движения механических систем с учетом динамики исполнительных механизмов при помощи релейных управлений. Получены соответствующие ограничения на матричные и векторные нормы.

С помощью принципа декомпозиции может быть решена задача слежения для механических систем общего вида. Существуют различные подходы к постановке и решению задач об отслеживании траекторий механических систем. Так, например, известна следующая постановка задачи [6, 99], рассматриваемая

8

в работах И. М. Ананьевского, С. А. Решмина. Рассматривается механическая система, динамика которой подчиняется уравнениям Лагранжа второго рода, с действующими обобщёнными силами, которые разделяются на заданные силы, реализующие программное (номинальное) движение, управляющие силы и возмущения, подчинённые ограничениям. Требуется построить такой закон изменения управляющих сил и указать такую область допустимых начальных отклонений, что любая траектория возмущённой управляемой системы с начальной точкой из этой области через конечное время выйдет на номинальную траекторию и будет двигаться вдоль неё, каковы бы ни были возмущения, удовлетворяющие заданным ограничениям. Поставленная задача слежения решена на основе принципа декомпозиции и построении релейных управлений в работах И. М. Ананьевского и С. А. Решмина [6, 99].

В реальных управляемых системах в структуре обратной связи естественным образом возникает запаздывание. Как показано в [43] на простых примерах для управления с нелинейной обратной связью наличие запаздывания может оказать дестабилизирующее действие.

Задача управления с учетом запаздывания представляет собой математически более сложную задачу. Основным методом ее решения может являться метод функций и функционалов Ляпунова. В настоящее время вопросам управления с запаздыванием посвящено сравнительно небольшое количество работ.

Рассмотрим постановку задачи слежения для механических систем, описываемых нестационарными нелинейными уравнениями, при действии релейного управления с запаздыванием. Известен [45] метод решения этой задачи, основанный на теории "замороженных коэффициентов, который заключается в предположении, что параметры системы и сама отслеживаемая траектория изменяются достаточно медленно, чтобы этим изменением можно было пренебречь. Такой подход, развитый в работах М. С. Ефремова, А. Е. Полякова и В. В. Стрыгина, не позволяет решать задачи слежения для механических си-

стем, параметры которых изменяются со временем, и отслеживать быстрые движения таких систем. Кроме того, этот подход накладывает жесткие ограничения на спектр матриц, описывающих механическую систему.

Эффективные способы построения управления в системе с запаздывающей обратной связью на основе функционалов Ляпунова предложены в работах [21, 78]. Они существенно развивают результаты из [5].

Для широкого класса современных машин и приборов, включая многие самодвижущиеся аппараты - летающие, плавающие, катящиеся и шагающие по поверхности, - механическая модель задается в виде твердого тела и системы связанных твердых тел, соединенных посредством связей и упругих приспособлений. Движение тела и системы тел, как и движение любой механической системы, удовлетворяет основным теоремам и принципам механики. Но так как они представляют частный вид общей механической системы, целесообразно получить вид их уравнений движения, удобный для теоретического анализа и численного моделирования на ЭВМ. Такое удобство может состоять как в описании движения в переменных, не имеющих особенностей (как, например, в случае углов Эйлера), так и в эффективном представлении уравнений движения для численного интегрирования. Многие ученые разных стран ведут исследования в этой области, как в направлении вывода удобных алгоритмов составления уравнений движения, так и в решении различных прикладных задач. Из многочисленных публикаций можно выделить монографии [40, 64].

Систематическое изложение методики составления искомых уравнений при помощи графов, что позволяет широко применять ЭВМ, дано в монографии [40].

Матричные уравнения Й. Виттенбурга и Л. К. Лилова [40, 64] составлены применительно к задаче программирования уравнений движения сложных механических систем.

В работах Ф.Л.Черноусько выполнены исследования по разработке мобильных роботов в виде многозвенных механизмов, имитирующих движение змей и

червей. Проведен подробный математический анализ представленных моделей с непосредственными решениями необходимых оптимизационных задач. Механизмы такого типа могут использоваться как мобильные роботы.

Цели и задачи диссертационной работы. Цель диссертационной работы состоит в математическом обосновании новых моделей управления движениями манипуляторов с разработкой соответствующих алгоритмов и программ расчета их параметров, в построении моделей и программ управления конкретными манипуляторами.

Для достижения этой цели были поставлены и исследованы следующие задачи:

1. Математическое обоснование новых моделей управления движениями манипуляторов и других управляемых механических систем с учетом эффектов нелинейности, нестационарности, запаздывания.

2. Разработка новых типов управления для манипуляторов, моделируемых уравнениями Лагранжа и Виттенбурга-Лилова, численных методов, алгоритмов и программ их исследования и расчета параметров.

3. Разработка новых моделей управления дву- и трехзвенными манипуляторами, соответствующих программ определения их параметров, исследования качественных и количественных свойств процесса управляемого движения: устойчивости, области притяжения, точности, возможного запаздывания в цепи обратной связи.

Научная новизна. В диссертации обоснованы новые модели управления манипуляторами, которые обеспечивают нелокальную стабилизацию спектра их программных движений с учетом запаздывания в цепи обратной связи. Разработаны алгоритмы и программы расчета параметров таких управлений.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для теоретических и практических ра�