автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оптимальные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений

На правах рукописи

ЗАХАРОВА Юлия Фридриховна

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ И РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 05.13.18-"Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск, 2004

Работа выполнена в Пензенском государственном университете на кафедре "Высшая и прикладная математика".

Научный руководитель: -

доктор физико-математических наук, профессор Бойков Илья Владимирович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, Дерюгин Юрий Николаевич.

кандидат физико-математических наук, доцент, Гуляев Анатолий Васильевич.

Ведущая организация - Красноярский государственный технический университет.

Защита состоится 8 сентября 2004 г., в 15 часов 30 минут, на заседании диссертационного совета КМ.212.117.07 в Мордовском государственном университете им. Огарева по адресу: 430000, Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета им. Огарева

Автореферат разослан 7 июля 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

М.А. Борисов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Поскольку точные методы вычисления различного рода сингулярных интегралов в неограниченных областях возможны только в исключительных случаях, возникает необходимость приближенного вычисления регулярных и сингулярных интегралов на бесконечных многообразиях.

Актуальность разработки приближенных методов вычисления сингулярных интегралов связана как с необходимостью доведения до численных значений решений сингулярных интегральных уравнений, полученных с помощью некоторых приближенных методов, так и с тем обстоятельством, что и сингулярные интегралы различных типов находят широкое применение в многочисленных областях естествознания и техники: в операционном исчислении , в теории упругости , гравиразведке , ядерной физике , астрофизике .

Анализ численных методов решения сингулярных интегральных уравнений и вычисления сингулярных интегралов показал, что в этом направлении остается ряд нерешенных проблем. Во-первых, при конструировании вычислительных алгоритмов представляют значительный интерес оценки точности аппроксимации компактов, к которым принадлежат решения уравнений, конечными подпространствами. Во-вторых, практически отсутствуют численные методы вычисления сингулярных интегралов на бесконечных областях интегрирования. В-третьих, численные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений разработаны в значительно меньшей степени, чем численные методы решения одномерных и бисингулярных интегральных уравнений. В еще большей степени это относится к нелинейным многомерным сингулярным интегральным уравнениям.

В диссертации исследуются оптимальные методы восстановления функций, принадлежащих классам WJ([0,00),M), WJ"r((—оо, С>о)р,Л/), В^[0,оо), и вычисления регулярных слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов на тех же классах. Эти исследования требуют привлечения теории поперечников и кубатур.

Исследования по вычислению поперечников компактов, принадлежащих различным классам гладких функций, инициированы А.Н. Колмогоровым и продолжены К.И. Бабенко, И.В. Войковым, Е.Д. Глускиным, Р.С. Исмагиловым, Б.С. Кашиным, Н.П. Корнейчуком, В.Е. Майровым, Ю.И. Маковозом, СБ. Стечкиным, В.Н. Темляковым, В.М. Тихомировым и др.

В теории квадратурным и кубатурных формул имеется ряд научных направлений и развивающихся на из базе паучных школ. Здесь нужно отметить научные направления, созданные Н.С. Бахваловым, С.М. Никольским и Н.П. Корнейчуком, С.Л. Соболевым и их учениками.

Развитие оптимальных весовых кубатурных формул в первую очередь связано с именами В.И. Половинкина, М.В. Носкова и продолжено их учениками.

Большое число работ посвящено различным методам вычисления сингулярных интегралов. Эти методы развивались И.В Бойковым, В.В. Ивановым, И.К. Лифановым, Б.И. Мусаевым, Д.Г. Саникидзе, М.А. Шешко, К. Dicthelm, D. Elliott, D.F. Paget, E. Santi и др.

Здесь нужно выделить направление, связанное с построением оптимальных квадратурных и кубатурных формул вычисления сингулярных интегралов, развиваемое И.В. Бойковым и его учениками. Часть диссертации, посвященная вычислению интегралов, выполнена в рамках этого направления.

Для приближенного решения одномерных и полисингулярных интегральных уравнений разработано несколько методов, основаных на различных подходах. Здесь в первую очередь нужно указать на работы И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана, И.К. Лифанова, С.Г. Михлина, Б.И. Мусаева, Д.Г. Саникидзе, М.А. Шеш-ко, 3. Пресдорфа и их учеников и последователей.

Цель работы. Целью работы является: во-первых, вычисление поперечников классов функций с весами, определенных на Еч, во-вторых, построение оптимальных методов вычисления слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с фиксированной и переменной особенностями, рассматриваемых на бесконечных многообразиях, в-третьих, построение оптимальных методов вычисления регулярных интегралов с весом, рассматриваемых на бесконечных многообразиях и в-четвертых, построение проекционных методов вычисления многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Общая методика. При обосновании полученных результатов использовались методы теории приближения функций, функционального анализа, теория квадратурных и кубатурных формул, методы оптимизации, теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений. Построение пассивпых алгоритмов восстановления функций и вычисления интегралов основано на концепции оптимальности, гарантирующей получение наилучших результатов при наихудшей на взятом классе исходной информации. Эта концепция положена в основу построения оптимальных по порядку пассивных алгоритмов аппроксимации функций с особенностями, вычисления интегралов от функций с весами и вычисления сингулярных интегралов.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

- вычислены поперечники Колмогорова и Бабенко некоторых классов функций одной и нескольких переменных, определенных на бесконечных многообразиях;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления регулярных интегралов с весами, определенных на бесконечных областях интегрирования в одномерном и многомерном случаях;

- построены оптимальные по порядку методы вычисления одномерных и многомерных слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечных областях интегрирования;

- построены оптимальные по порядку методы вычислепия одномерных и многомерных слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с переменной особенностью на бесконечных областях интегрирования;

- построены проекциопные методы решения линейпых и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Научная и практическая ценность работы. Научная ценность работы заключается в построении оптимальных по порядку алгоритмов вычисления регулярных интегралов с весом, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с фиксированными и переменными особенностями на бесконечных областях интегрирования; построении алгоритмов восстановления функций в Д„, п — 1,2 одной и нескольких переменных, принадлежащих различным классам; построении проекционных методов решения многомерных сингулярных интегральных уравнений в ограниченных областях произвольной формы.

Полученные результаты находят применение при построении оптимальных методов вычисления интегралов с различными сингулярностями и решении интегральных уравнений.

Практическая ценность работы обусловлена тем, что построенные методы применимы к численному решению прикладных задач гидро- и аэродинамики, теории упругости и теории излучения, при решении которых необходимо вычисление сингулярных интегралов, регулярных интегралов с весом и решение многомерных сингулярных интегральных уравнений.

По предложенным алгоритмам разработан пакет прикладных программ вычисления регулярных и сингулярных интегралов (одномерных и многомерных) и решения линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений на различных классах функций на языке Паскаль.

Положения, выносимые на защиту. По результатам исследований можно сделать следующие выводы:

- построены поперечники Колмогорова и Бабенко классов функций ВД-оо;оо)р,М) и В^'((—оо;оо)р,М), р= 1,2,... при различных соотношениях параметров Айв;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления регулярных интегралов с весом на бесконечных областях интегрирования для функций из классов оо;оо)р,М) и оо;оо}р,М), р = 1,2,... при различных соотношениях параметров Айв;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления слабосингулярных интегралов с фиксированной и переменной особенностью на классе

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированной и переменной особенностью на классе

.((-оо; оо)", М),р=-1,2,...;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления гипсрсингу-лярных интегралов с фиксированной и переменной особенностью на классе

- построены и обоснованы проекционные методы решения линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на

- ежегодных научно-технических конференциях ПГУ (г.Пенза, 2001-2004 г.);

- VI международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (БО РАН, г. Уфа, 2001);

- международной конференции по вычислительной математике "1ССМ" (СО РАН, г. Новосибирск, 2002);

- II и III международных конференциях "Надежность и качество" (ПГУ, г. Пенза, 2001-2002);

- международном семинаре "Геометрия и анализ" (ПГПУ, г. Пенза, 2002);

- семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" (МордГУ, г. Саранск, 2004).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 14 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения. Текстовая часть изложена на 170 страницах (в том числе 13 стр. - список литературы), приложение составляет 27 страниц. Список литературы содержит 107 наименований.

Содержание работы. Во введении приводятся основные определения, постановки задач и обзор литературы по рассматриваемым направлениям.

В главе 1 в §1.1. вычисляются поперечники Колмогорова и Бабенко из класса И'д ([0, оо), М) и строятся сплайны аппроксимирующие функции этого класса. Результаты, полученные в данной главе, опубликованы в работе [1] из списка работ по теме диссертации.

Рассмотрим функцию вида Ф(4)(1 + 4)"Л где Ф(4) € ТУ^О.оо^ЛГ). Для вычисления поперечников и, в дальнейшем, построения локальных сплайнов, разобьем всю полуось [0, С«) на три ч а [0^ 1]? [Т, ою).ч к у А в дальнейшем будем называть граничной. Основное требование, которому она должна удовлетворять - значение функции на интервале должно быть не больше погрешности восстановления функции на интервалах [0,1] и [1, Л]. В этом случае интервал не подлежит разбиению.

Интервал [0, А] разобьем узлами так, чтобы погрешность аппроксимации на каждом интервале £*+1] имела один и тот же порядок, зависящий только от класса функций и числа узлов разбиения. Обозначим общее число узлов разбиения через N. Отрезок [0,1] разобьем_на_равные интервалы Дд.1' = [¿¿,¿4+1],

"0

этом случае /г^' = — —.

27

,7 + 2^

7 =

(А-г)

. Очевидно, что шаг в

Отрезок [1,А] разобьем узлами <* = (~/г) , к = N1,1, с шагом —

+ На сегменты ** = ^ = (^ + 1)

7 + 2т

Теорема 1.1.1. Для класса VVJ([0, оо), М) справедливо соотношение: >5„(№д([0, оо),М)) х d„(WJ([0,oo),M)) х Сп~Т, где п - общее число используемых функционалов, С - константа, зависящая только от класса функций.

Пусть tk, к - О, N, описанные ранее узлы. Пусть Д* = [t*, tn+i], к — О, JV — 1. Обозначим через Ot, к = UjT нули полинома Чебышева первого рода степени г, наименее отклоняющегося от нуля на сегменте [—1,1]- Отобразим сегмент , £г] на сегмент Д* таким образом, чтобы точки Ci и перешли соответственно в точки и tt+i, к = О, N — 1.

Точки, являющиеся образами точек Ci—Сг при отображении сегмента [СьСг] на сегмент Д*. обозначим через Q, j — Т7г. По узлам и значениям функции в этих узлах строится интерполяционный полином степени г — 1, который

обозначим через РГ(Ф, Д*)(1 + 4)~Л , из которых при к = 0,N — 1 составлен

tebk

сплайн fN.

Оценивая сверху разность sup |/(t) — /jv(i)|, доказываем, что эта величина

/€И"

совпадает с величиной поперечника.

В §1.2. вычисляются поперечники Колмогорова и Бабенко и строятся сплайны для функций из класса WJ([0, оо)р, М).

Рассмотрим функцию вида f(tu..., tp) — ..., tp)(\ +tt -(-...+ tP)~\ где Ф(*ь ...,«,)€ И"([0, оо)",М), р>2.

Всю рассматриваемую область разобьем на три части: ill = [0,1]р, Г22 = [О,/4]p\i2i и Пз = ii\(ili U П2)- Точку А — (Ai,Ар) определим как граничную: значение функции f(tlt ...,tp) в области &з меньше погрешности аппроксимации в областях fii и Г22.

Область i2i разобьем на подобласти Д^1' следующим образом:

где к := 0, TVj — 1. В каждой области Д^ разместим кубы Д^' u, ребра которых равны /£>

Л{|) = *+1 * 1

ЛГХ М N1

Область Пг разобьем на подобласти Д[2' следующим образом:

......«I (№»*'*(*)'}•

где к :— N2 — 1,1, V = — . В каждой области Д^ разместим кубы ребра которых равны

(2) /Л^у ( N2 у _ (к + 1У-к° к ~\к) и+1У ~ 2 (* + 1)'*« '

Величины N1 и N2 получены в ходе доказательства.

Показано, что общее число кубов замощения Д^' ^ равно тгц = Л^. Аналогично оценивается общее число тпг кубов Дц .

Теорема 1.2.1. Для класса И^([0, оо)р, М) справедливо соотношение: <5п(;Улг([0,оо)р,М)) ж 4(^1(10, оо)р, М)) ж Сп~т/Р, где п - общее число используемых функционалов.

Оценка сверху поперечника Колмогорова основана на построении непрерывного локального сплайна, погрешность которого равна величине поперечника.

Построение непрерывного сплайна начинается с куба области Яг и

более подробно приводится в диссертации. Последним рассматривается куб Д{|1' и построенный таким образом сплайн обозначается через fn(ti,... ,tp) [?J.

Оценивая величину |/(t) — /jv(t)| доказываем, что погрешщность аппроксимации сплайном /„ совпадает с величиной поперечника.

В § 1.3. вычисляются поперечники Колмогорова и Бабенко и строятся сплайны > для функций из класса WJ,((—00,00)Р, М).

Рассмотрим множество функций вида /(£) — е~*1'1ф(£)(1 + |i|)~" где Ф(t) € WT((—оо, oo),Ai), а функция е-Л'''(1 + |{|)~* - является весовой (будем для краткости называть ее весом). В силу симметричности веса при получении оценок будем рассматривать лишь положительную бесконечную полуось.

Так как весовая функция + |i|)~* имеет достаточно сложный вид, то

при вычислении поперечников воспользуемся принципом приоритета веса: в зависимости от параметров s и А на некоторых участках полуоси преобладает множитель на других - множитель (1 + |t|)~*.

Множество значений 0 < А < оо делится на два подмножества некоторым граничным значением Агр, описанным в дисертации. В случае 0 < Л < Агр разобьем всю рассматриваемую полуось на три части: [0,1], [1,-А], [Л, оо); в случае; Агр < А < s - н а три ч [0, В\, [BfA], i\А, сю); в случае А > S - н а две части:

Теорема 1.3.1. Для класса WX,((—оо,оо),М) при 0 < А < Arp и s > г + 1 справедливо соотношение х ¿„(Ид,) ~ СгГТ, где п - общее

число используемых функционалов.

Для доказательства данной теоремы введем следующие обозначения: f* =

k __/JVi\7 __Г 1 1

—,при к = (Щь tk = b^Yj ,при к = Nul где N0 = {N + 1) [1+ л/rj'

-. Оценка снизу основана на построении

фупкшт "шапочек" по данным узлам и применении теоремы Борсука.

Построим непрерывный сплайн, реализующий сверху оценку поперечника Бабенко. Разобьем отрезок [0,1] на N0 равных сегментов = [<*,<*+1] точками

Ь = А к = с шагом /£> = А(»> = ЛГ0 = (ЛГ + 1) [1 - -1,

1»о Ло I 5.

зок [1, Л] - точками = > 1 = гЛа ~ г)' к ~ М = (ЛГ + 1) шагом Л*2', оцениваемым неравенством 1.1.1. Полученные сегменты обозначим,

отре-г

. с

соответственно, Д^2' = Пусть РГ(/,Д^) - полином, описанный в §1.1. и

приближающий функцию / на сегменте Д* = [¿ь<*+1], к = О, /V — 1. Построений таким образом сплайн обозначим через ¡ы- Получая оценку |/(£) — /лг(£)| завершаем доказательство теоремы.

Одновременно доказано следующее утверждение:

Теорема 1.3.1'. Оптимальным по порядку алгоритмом восстановления функций из компакта И^, в случае 0 < А < Агр и з > г + 1 является сплайн /¡у.

Аналогично теореме 1.3.1 доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.3.2. Для класса оо, оо), М) при Х^ < А < а спра-

ведливо соотношение <5п(№д а) х ,) х Сп~г, где п - общее число используемых функционалов.

Для доказательства данной теоремы введем следующие обозначения: =

^ -1, при Ь = ЛГ, ЛГ,, = 1п ^) ,при £ = 1,Л/з где 7 = и =

Г«2 (т-*/г)в_г/А'

N2 = N 6

' Nl ~ [(Д+1)1/7]' Ns = Ni + l> в - действительный нетривиальный корень уравнения еЛ' = (1 + t)'. При этом точка В является точкой перехода от одних узлов к другим и выражается формулой В = J —

1 = vin (^У Общее число узлов при этом можно описать следующим образом:

N = [N — N{) 4- (N3 — 1). По этим узлам также строится функция "шапочек" для получения оценки снизу поперечников Бабенко и локальный сплайн для получения оценки сверху.

Одновременно доказано следующее утверждение:

Теорема 1.3.2'. Оптимальным по порядку алгоритмом восстановления функций из компакта WJ, в случае l<A<s«s>r + l является сплайн /к-

В работе также доказана

Теорема 1.3.3. Для класса WJ, при А > s справедливо соотношение Sn(W^3) ж d„(W^t) х Сп~г, где п - общее число используемых функционалов. При доказательстве данной теоремы вводятся следующие обозначения:

tk = ln j, k = 1,ЛГ + 1, где v — и ПРИ данных обозначениях оно

также аналогично доказательству теоремы 1.3.1. Одновременно доказано следующее утверждение:

Теорема 1.3.3'. Оптимальным по порядку алгоритмом восстановления функций из компакта в случае А > s является сплайн /n.

В главе 2 строятся оптимальные по порядку весовые квадратурные и куба-турпые формулы вычисления регулярных интегралов. Результаты, полученные в данной главе, опубликованы в работах [2] - [б] из списка работ по теме дис-

сертации.

В §2.1 строятся оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси для функций из класса №^((—00, оо), М).

Будем рассмотривать интегралы с весом следующего вида

где Ф(£) 6 ^((О, оо), М), е А'(1 + £) ' - весовая функция, которые будем вычислять но квадратурным формулам

/ЛОЛ-Ёо, = (2.1.2).

о ¿=1

Вначале сделаем несколько общих замечаний относительно построения квадратурных формул.

Так же, как в главе 1 вводится значение Агр. В случае 0 < А < А,-р разобьем всю полуось на три части: [0,1], [1, Л], (Л,оо); в случае А^ < А < я - на три части: [0,В], [В,Л], [А, оо); в случае А > з - на две части: [0, Л], [А,оо), где В - нетривиальный корень уравнения е** = (1 + £)*, который может быть найден приближенными методами, А^, - граничное значение параметра А, которое определяется из условия В > А аналогично тому, как это было проделано в §1.3. Здесь А - граничная точка,- такая, что

где ЗДИ^М]. М)) - погрешность рассматриваемой квадратурной формулы (2.1.2) на классе ^([О, А),М).

Каждый из полученных интервалов в свою очередь разобьем узлами Ьк, общий вид которых зависит от соотношения параметров з, А и г, и отрезки 4£+1] обозначим, соответственно, Д*. Общее число узлов разбиения будем обозначать через N.

Будем рассматривать РГ(Ф, [а, Ь]) - полином, описанный в §1.1. и приближающий функцию Ф на отрезке [а, 6].

После этих общих замечаний приступим к рассмотрению конкретных квадратурных формул. Первый из рассмотренных случаев касается построения оптимальной по порядку квадратурной формулы на классе при 0 < А < Агр и N = N1 + N2 - 1, где

(ЛГ + 1)2<г+1>/'

2<г+1)/г + 7(г+1)/г

,N2 =

(ЛГ + 1)^г+1»/г

2(>-+1)/Г + 7(Г+1)/Г

Введем множество узлов ^ = —, при к — 0,7Уо, ^ = 1 + (-77) , при к =

лГо \ к /

-ХГ-Т Г+1

Ль 1, где 7 = ——.

А + з

Пусть Д* = [^1^+1)1 к = О, N. Построим квадратурную формулу

I -¡гит* " 51 "(ТТ7Г"+ ^ (2Д-3)-

Теорема 2.1.1. Среди всевозможных квадратурных формул вида (2.1.2.) формула (2.1.3.) является оптимальной по порядку на классе ИХ,((-оо,оо),М) при 0<А<Лгр«в>г + 1. Погрешность квадратурной

М1* I г \г

формулы (2.1.3) равна В* ~ Сп~г, где С = ■ , , {1 + с~Л/Ггт-г) , п - общее

7Г 'г! \ (в — г))

число функционалов, используемых в (2.1.3.). Рассмотрим теперь случай, когда Агр < А < а.

/ЛГ\т

Построим квадратурную формулу (2.1.3) при Д^ = [^,^+1], t|¡ — (— 1 —

1,при к = N,N1, = 1п ) , при к — 1,ЛГ3,

г + 1 г + 1 _г Г N 1 .. , ,

[(1-2(В + 1)-1Л)'/г (-Х + Г) 64 "

„ /лгу

В = — 1 = 1п Ц^г] ) ' граница смены узлов, нетривиальный корень

уравнения е^ — (1 + <)*.

Теорема 2.1.2. Среди всевозможных квадратурных формул вида (2.1.2.) формула (2.1.3') является оптимальной по порядку на классе 1УУ(-оо, оо), М) при Агр < А < в и имеет погрешность Н^ ж Сп~г, где С - константа, зависящая от параметров класса, п - общее число используемых функционалов.

Рассмотрим случай, когда А > в.

Построим квадратурную формулу (2.1.3) при = 4* — 1п ^

Теорема 2.1.3. Среди всевозможных квадратурных формул вида (2.1.2.) формула (2.1.3я) является оптимальной по порядку на классе И^ при А > в с погрешностью Нп ж СЛГ~Г, где С = Мгг/(2г~1г\). В §2.2 строятся квадратурные формулы вычисления интегралов на классе

Рассмотрим интеграл вида (2.1.1) при условии, что функция Ф(4) Е ВГ17[0, оо). Введем узлы € [0, оо], к = 1777, зависящие от соотношения параметров, определяющих класс функций. В явном виде узлы записаны в диссертации при рассмотрении каждого конкретного случая. Рассмотрим полином

Р«(Ф(0. [i4l ti+1])e-Ai'(l + tk)- , где Рт{Щ1), [ik, it+il) был описан в §1.1

t€[i»A+il

и действует на интервале [tk, tjt+i] на функцию

Для вычисления интеграла (2.2.1) будем использовать следующую квадратурную формулу:

N-1 '»+1

/тПГлГ* / Дп(*(0, + RN(f,tk)

о U + fr *=i ;к

Как и выше вводится значение Агр и исследуются различные сочетания параметров A, s и Агр.

При 0 < А < Агр на всей числовой полупрямой преобладающим является вес (! + «)-■

В этом случае введем узлы следующего вида: i*. = 0, к — 0, <* —

«аг

r(va + vi)+v0

°, к = ОТ, 1к = к = Ш, где N0 = N

1«1(фо + VI) + «о)] Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.2.1. На классе оо) в случае 0 < А < Агр по-

грешность квадратурной формулы (2.2.2) < (С + , где

Вге»0(г+1)-н- 2 2 г^г(г +1)

Вег'Щ Вег — 2' г (щ+гл)+ !;<,'

р = __===^===== (М. + Х^П+Н)

\/т(г + 1)(г(г;о + г,) + «в) \еу/В у/щ )' В случае А > в введем узлы следующего вида: <к = О, к = 0,4* = (рйо) ' ^ =

17Ж ** = = где ? = 1+ ЛГ0 = [АГ-ЬЯ], ЛГХ - [Ь ЛГ]. Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.2.2. Па классе В^[0,оо) в случае X > в погрешность квадратурной формулы (2.2.2)

Ллг[Вг^] < (С + Оу/Ы - ь//)е-^(г+1)лг,о(г+1), В случае Агр < А < я введем узлы следующего вида: 4 = 0, к — 0, =

, 1-^-1 , *г = ЮГ, «*=>«*,* = где ЛЬ, М,

Лг> Л^з - достаточно громозкие величины, получаемые в ходе доказательства и

2

зависящие от параметров класса и величины ЛГ, ЛГ4 = [ЬЛГ], ио = г^ —

Ве? — 2'

Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.2.3. Для класса оо) в случае Агр < А < в погрешность квадратурной формулы (2.2.2)

где а, /?, 7 и 5 - константы, зависящие только от параметров класса и приведенные в ходе доказательства.

В §2.3 строятся кубатурные формулы вычисления интегралов на классе В#[0,оо)».

Построим кубатурные формулы вычисления интегралов вида

■<p(tu...ytp)dti...dtp о b (l + h + ... + tr)>

1-Г

(2.3.1),

где функция 1р(гь..., 4р) 6 Вг,7([0, оо)**), р > 2, з > р.

Разобьем всю область П = [(^оо)1* на три области П2 и П3. Здесь

П2 = {я : 1 <хи...,хр < А], Пз = (-оо,оо)"\(П1 иП2). Введем следующие обозначения:

«о =1п

Be2

Vi =

Be2- 2

, N0 = N

Ms-2)

[i>i(s - 2) + t>0(r +1) n — [t)oNo(p+r)] + l, A — e"lNl - граничная точка, N - общее число подобластей, на которые будет разбита рассматриваемая область П.

В области i2i обозначим через Д° = Д01 иД®2 множество точек t = (ij,..., tp), таких что

Д01 - {t | (0 < d(t, Г) < е-"»«^-1))}, _

ДИ = < d(fi г) < e-«<,W,-t-i))}, k = 1,ЛГ0_1. Где d(t, Г) - расстоя-

ние от точки t до границы рассматриваемой области.

В области П2 обозначим через Д£ множество точек, удовлетворяющих условию {i | е"1^''-*-1' < d(t, Г) < е"1^1"*)}, к = l,A'i - 1. В каждой области А°к

разместим кубы ребра которых равны h°a = h°k = e4lWl_t).

к = 1 ,No и параллельны граням Д®, в каждой области Д£ - кубы Д^ ,

gA'it'i fev1 _ 1)

ребра которых равны h\ = —¡^---—к — 1 ,Ni и параллельны граням

Д[. Общее число кубов замощения области Д$ обозначим через пц. Очевидно, р-1

. Общее число кубов замощения области Д£ равно

что mi

JV|

m2 = 2" £ *=о

Ло к=о

Л-1

hi

1P-V

Полином, описанный в §1.1. и интерполирующий исходную функцию /(¿1,..., £р) в области Д по переменным обозначим через Рп(/, Д) и определим фор-

мулой: Р„(/,Д) =

В каждой из областей Д^ ^ = 0,1, функцию ..., будем аппроксимировать полиномом Рп{'Р, Д^ )- Локальный сплайн, определенный в области Й! и Пг и составленный из полиномов Р„(¥>, Дцз = 0,1, по принципу, описанному в §1.2., обозначим через ^„(¿ъ-■•Лр)-

Интеграл (2.3.1) вычисляется по кубатурной формуле вида

/.../л«,,.../

Теорема 2.3.1. Пусть П = [0, оо)р, р > 2. Тогда справедлива оценка

(1 + *! + ... + «„)' < £)(1п л^-^лг1"0^! ,

VI (з — 2)

, где N - общее чи-

М = СЛГ'е00^^-1», ЛГ0 = N , 0. ,

0 ' [п(з-2) + г0(г + 1)

ело узлов разбиения области, М - общее число функционалов, используемых

при построении кубатурной формулы.С, £> - константы, приведенные в ходе

доказательства.

В главе 3 строятся оптимальные весовые кубатурные формулы вычисления сингулярных интегралов. Результаты, полученные в данной главе, опубликовав ны в работах [7], [И] - [14] из списка работ по теме диссертации.

В §3.1 строятся оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления интегралов с фиксированной особенностью на классе И^д,((—оо,оо)'\ М). Рассмотрим сингулярный иптеграл следующего вида

/-/•^Ьгег-.-* <>->

где « = {«!,...,«р} е (-00,00)", р > 2, в = 1,2,..., А > 0, <рЦ) € И"-((-оо, оо)", М), г = 1,2,....

Формула (3.1.1) охватывает слабосингулярные (2« < р), сингулярные (2а — р) и гипсрсингулярные (2з > р) интегралы. В последних двух случаях мы предполагаем, что условия, налагаемые на функцию <р(Ь) таковы, что сингулярный и гиперсингулярный интегралы существуют.

Рассмотрим случай, когда интеграл (3.1.1.) является гиперюингулярным, т.е. 2з > р.

г+р г+р

Введем обозначения: V = -——, 7 --—, А = й + ьЪхМг - граничная

А ~Ь ¿9 г-Ьр — ¿з точка, N2 - величина, зависящая от общего числа используемых функциопалов и приведенная в диссертации.

Всю область П = (0; оо)р разобьем на три:

= {*. £ Ы < П2 = {*, £ Ы < и П3 = П\(П, и«0, где

1п(А +1)|, при любых з, 0 < А < е,

А

в > 1, е < А < 2«,

з

Г

3

, а > 1, А > 2«,

А

—, з — А > е. ь А

Область П1 покроем подобластями л!1) = |<, в (-^У < £ IЬк\ < в г® к '■= 0,^1-1. в каждой обла-

сти Д« разместим кубы Д^' ( , ребра которых равны . (X) „(к+ !)■>-& """' 7^-1 (1) 7(Ь +

* —д?-'14)0 этом - Л* - ° N1—•

Область Пг покроем подобластями

Д[2) = (г.С + иЫ-г^- < £ Ы + где к := N2 - 1,1. В каждой

I Л +1 *= 1 * }

области Д<2) разместим кубы , ребра которых равны

дСЧ = =

* к £ + 1 \ к)

Пусть Д = [ах, 61] х... х [ар, Ьр]. Обозначим через Р*'(/, Д) интерполяционный полином, описанный в §1.1 и действующий по ^-й переменной в кубе Д.

Полином, интерполирующий функцию /(¿1,...,4Р) в области Д по переменным обозначим через РГ(/,Д) и определим формулой: РГ(/,Д) =

В каждом из кубов Дц , з = 1,2, функцию <р{€) будем аппроксимировать интерполяционным полиномом Рг(<р, Д^ ( ). Локальный сплайн, определенный в области О1 и П2 и составленный из полиномов Рт(ир, Д^ ) обозначим через

МО-

Общее число Ш1 кубов

д!1» оценивается как т\ ж Аналогично шг ~

Щ.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1.1. Среди всевозможных кубатурных формул вида 7-7/(<1,• • •,у<Й1 ...сйр= £ ... £ ал...а^г 1пЦ.)+Л,, (3.1.4)

-00 -ОС Л-1 Л=1

где /(¿ь..., <р) = -5т-оптимальной по порядку при <р{Ь) €

(I, +... + Ц)'

Wr((—oo, oo)p, M) u2s > p является следующая

f m, e-MI<il+~+W)

j ... J f{tu...,tp)db...dtv=Y. J PT(v, ДГ)^-TWT,dh...dtp+

-oo —oo '(<? + ••. + $)'

m2 , e-A(|ii|+...+|i,|)

+ £ / Pr(y,At'). . • •.dtp + д^) (З.1.5.),

г lie Длг ~ Cri~Tlp, n - общее число используемых функционалов. Рассмотрим случай, когда интеграл (3.1.1.) является сингулярным, т.е. 2s =

Р-

Введем покрытие областей и Яг аналогичное приведенному в §3.1.1, при r+р г + р

этом v =--, 7 —-.

г + А' ' г

Теорема 3.1.2. Среди всевозможных кубатурных формул вида (3.1.4-) оптимальной по порядку при ip(t) € Wr((—оо, оо)р, М) и 2s = р является следующая

00 оо

/ ... / /(t!,..., („)&!... dtp =

—oo —oo N , ... е-А(|Ы+-+Ы)

= E / Aii') ' , . • • • dtp +

где х Сп~Т/р, п - общее число используемых функционалов.

В случае, когда интеграл (3.1.1.) является слабосингулярным справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1.3. Среди всевозможных кубатурных формул вида (3.1.4.) оптимальной по порядку при £ 1УГ((—оо, оо)р,М) ы 2в < р является следующая

00 оо

/ ... / f[tu...,tr)dtl...dt,*=

—00 —оо

= Е / fifo At0)) ,,2 , , ... dtp + At)

t=i/(., (.n + • • • + lP>

где Ян ж Сп~г!р, п - общее число используемых функционалов.

В §3.2 строятся оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления сингулярных интегралов с переменной особенностью для функций из класса ИХ,((-оо,оо)",М). Рассмотрим множество кубатурных формул вида

? ? д(в)Ф(ь.....

= £••.£ + (3.2.1),

¿1=1 ¿»=1

щ + ... + п„ = п, О < г < 00, где ф^,...,^) 6 И/г"-г((0,оо)р,М), 5(6) -характеристика, г = 1,2,..., р > 2, « > (г +1), А > О, „ ( (¿1 ~ п) \

- п)' +... + (<р - гр)2' • • ■' #1 - п)2 + • - - + (гр - тр)*) • Рассмотрим случай, когда з — р, т.е. данный интеграл является сингулярным.

Так же, как и в предыдущих параграфах, введем понятие граничной точки А = (А,..., А) и при получении оценок будем рассматривать не всю бесконечную область П* — (0, оо)р, а ее конечный элемент П = (О, А}р. Разобьем всю область П на две: О1 = {4,0 < тг«4, < 1} и Пг = Область П1 покроем областями

А*1> = {*'Т - - ' *= 5^ГТ с шагом Л*1) = Л(1) = Ж' К*~

ждую из данных областей разобьем кубами Д^, 3 — Т7р со сторонами, разными Л'1). Общее число этих кубов шх = 2РЩ. Область Пг покроем областями

АР - +

+ 1

к = 1,^2-1, V =

г + р- 3

^ -, с шагом Л<2) = ^ 1п ¡—^ +1 - М^) + 1. В дальнейшем при

V (2) V

получении оценок будем использовать тот факт, что ^ ^ < кк < Общее число т2 кубов замощения области Пг "12 ~

Обозначим ^(¿ь..., 4Р) = (фЦи..., 4Р) — Рт{ф, П)), где Рг(ф, П) - полином степени г, построений так же, как в §3.1.

Приведем теорему об оптимальной кубатурной формуле для случая, когда р = 2. Для р > 2 справедливо аналогичное утверждение.

Пусть т € Д,''\ д = 1,2. Обозначим через А']1 квадрат, являющийся объединением квадрата Д-'\ д = 1,2 со всеми квадратами, имеющими с ним хотя бы одну точку соприкосновения, а через М(т) - множество индексов всех квадратов,

А (»)

входящих в Д ■] .

Теорема 3.2.1. Среди всевозможных кубатурных формул вида (3.2.1.) оптимальной по порядку на классе оо)р, М) при в = р является фор-

мула

77 д(в)ф(1и12)е-*Ю> _

= £ 5 1 («1-Г,)2 + (е2-Г2)^^+

д(1)

В глава 4 обосновываются проекционные методы решения многомерных сингулярных интегралных уравнений. Результаты, полученные в данной главе, опубликованы в работах [8] - [10] из списка работ по теме диссертации.

В §4.1 обоснован проекционный метод приближенного решения линейных сингулярных интегральных уравнений вида

"Р(в)х(т)

(4.1.1)

где О - односвязное многообразие на плоскости Будем считать, что функции а(4), 6(<), /(<) и ^>(0) удовлетворяют условию Гельдсра с показателем а (0 < по всем переменным. Отметим, что результаты, полученные для уравнений вида (4.1.1) распространены на уравнения вида

а(г)х(г) +1

с (Г (<,Т))2

йт = №,

(4.1.2)

Необходимо отметить, что в данном параграфе рассматриваются двумерные сингулярные интегральные уравнения только для простоты обозначений. Из проделанных выкладок очевидно, что полученные результаты практически идентично распространяются на многомерные сингулярные интегральные уравнения любой конечной размерности.

Построим вычислительную схему приближенного решения уравнения (4.1.1) в предположении, что б - квадрат [—А, А]2, где А - некоторое вещественное число. Ниже будут описаны изменения, которые необходимо ввести в вычислительную схему в случае, когда б - односвязная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой:

Покроем область <7 квадратами Ды = 1+1], М = 0,^ + 1,

1к = -Л + к = 0,N + 2.

Наряду с квадратами Ды, к, I = 0,ЛГ — 1, введем прямоугольники Дц, к, I = 1, Лг, которые определяются специальным образом, описанным в диссертации.

Приближенное решение уравнения (4.1.1) будем искать в виде кусочно-постоянной функции равной константе х« в квадрате Ды, к,1 = 1, N.

Неизвестные значения хщ определяются из системы линейных алгебраических уравнений

а(1к,)хы + £ £+ хи<1ы{йд = /(¿и), М = 2.ЛГ-1 (4.1.3)

4=1 ¿=1

где Е Е' означает суммирование по прямоугольникам Ду, не имеющим общих граней с квадратом ДЫ) <ы = Цк,и), тц = (п,п),

Ч¥У> {

= (<* + + Лг), величины Лх и ¿^1 будут сшисаны ниже.

Система уравнений (4.1.3) однозначно разрешима в случае, если характеристики у?(6) обращаются в ноль на двух лучах, исходящих из полюса. Аналогично, если характеристики <^(в) обращаются в ноль на конечном числе лучей, исходящих из полюса или зависит от параметра то можно таким образом подобрать константы /¿1 и (для каждого случая свой набор), чтобы система уравнений (4.1.3) была однозначно разрешима.

Исследуя точность численного решения х%{иЛ2) уравнения (4.1.3), получаем, что

II«* - **11 < II** - + Н^х'-х^н < вм^га'2.

Таким образом доказано следующее утверждение.

Теорема 4.1.1. Пусть оператор К непрерывно обратим, функции <р(6) и f(x) принадлежат классу На, (0 < а < 1), характеристика <р(&) обращается в ноль на двух отрезках, выходящих из полюса.

Тогда существует такое Н (одно и то же для всех прямоугольников ды, к,1 — 1, ЛГ, используемых в вычислительной схеме (4.1.3),', что система уравнений (4.1.3) однозначно разрешима и справедлива оценка ||х*— х'ц|| < ЛММ~а, где х* и х^ - решения уравнений (4.1.1) и (4.1.3) соответственно.

В §4.2 обосновав проекционный метод приближенного решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений вида

<*,<*)) + / ^г)у))<1Г = Ш = М^]2-

Уравнение (4.2.1) будем рассматривать в предположении, что функция а(Ь,х) имеет вторую частную производную по второй переменной, а функция </?(', в, ж) имеет вторую частную производную по третьей переменной, причем эти производные по всем переменным удовлетворяют условию Гельдера с показателем а, 0<а<1.

Исследовать данное уравнение будем в банаховом пространстве X функций х(<1,..., и), удовлетворяющих условию Гельдера с показателем 0, (0 < 0 < а) по каждой переменной. Можно показать, что при выполнении приведенных выше условий производная Фреше оператора К(х) в точке хо равна

где через (¿¡(Ь, и) и (рз'(Ь, 6, и) обозначены, соответственно, производные по второй и третьей переменной функций а2(£, и <рз(4,0,«).

Предположим, что на начальном элементе х0 оператор К'(хо) непрерывно обратим в пространстве X. Приближенное решение уравнения (4.2.1) будем искать по итерационной схеме

х„+1 = хп - [К'(х0)]-1К(хп) (4.2.2)

Поскольку практическое применение итерационного процесса (4.2.2) затруднительно, возникает необходимость в построении эффективной вычислительной схемы. Для простоты обозначений будем полагать 1 = 2.

Будем искать приближенное решение уравнения (4.2.1) в виде кусочно-постоянной функции хлг((1,*2)) построение которой описано в предыдущем параграфе. Значения хц находятся из системы нелинейных алгебраических уравнений

*ы) + х;1 ¿,3(1Ц) =. /(«„), к,I = 2, /V — 1, (4.2.3)

1=2 з=2

где 1к1 = ({)fc.il), к = 24, 1

1к1 = {¿к +Ль и + /¡г), способ определения величин Ъ.\ и /¿г описан в дисертации. Матрицу, описывающую левую часть системы (4.2.3), обозначим через Кц.

В пространстве Яд/, М = (ЛГ —2)2, вычислим производную Фреше оператора Кц в начальном значении х° = {х°}, 1,] = 2, N — 1. Нетрудно видеть, что эта производная равна

а2(1к1,х°к1)2и + е' Е' к, I = 2, ЛГ — 1, (4.2.4)

1=2 }=2

Система уравнений (4.2.3) в операторной форме записывается уравнением Кк(хя) = /г/. Производную Фреше (4.2.4) оператора Кц(хн) в точке х° обозначим через Наряду с оператором введем оператор который определяется выражением

а&)гЫ + Е1 Е* + «&(*«)*«, к,1 = 2,N-2, (4.2.5)

«=2 3=2

Здесь ЕЕ' означает суммирование по прямоугольникам Ду, не имеющим общих граней с квадратом Дщ, * -

Параметры Лх и Л2 выбираются таким образом, что оператор К^(х°) будет непрерывно обратим в Ящ. При этом ^ и^ можно выбрать таким образом, что П^С*0)]-'!!*« будет достаточно мала.

Систему уравнений (4.2.3) будем решать модифицировалным методом Ньютона-Канторовича

хГ1 [ЯИ*0)]-1^**, (4.2.6)

Здесь --{хЗ}, к,1 = 2,ЛГ-1.

Доказано, что если выполнены следующие условия

1) в уравнении (4.2.1) функции а2(£,х), т,х), /(¿) удовлетворяют условию Гельдера с показателем а;

2) уравнение (4.2.1) имеет единственное решение х* па некоторой сфере Б(х', г);

3) функция т, х) при каждом фиксированном I и в некоторой окрестности точки х* имеет конечное число прямых, на которых она обращается в ноль

то система (4.2.3) в сфере 5(х*, г) имеет единственное решение х^, к которому сходится модифицированный метод Ньютона-Канторовича, причем справедлива оценка ||х* — < Лп~а.

Замечание. Эта теорема распространяется и на общие уравнения вида (4.2.1) при условии, что можно таким образом выбрать точки Ты, чтобы оператор (4.2.4) был обратим.

В приложении приводятся программы, зарегистрированные в Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ под номером ЕПСД 01.03524577.00704-01, а также используются в производственной деятельности Государственного научно-производственного предприятия "Рубин", о чем свидетельствует соответствующий акт о внедрении.

Цитированные работы по теме диссертации

1. Захарова Ю.Ф. Аппроксимация локальными сплайнами некоторых классов функций на бесконечных многообразиях // Деп. ВИНИТИ № № 1424-2000, 28.11.2000.

2. Захарова Ю.Ф. Оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси // Деп. ВИНИТИ № 1326-2001, 24.05.01.

3. Захарова Ю.Ф. Оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси // Труды конференции "Надежность и качество - 2001", Пенза, стр. 129-131.

4. Захарова Ю.Ф. Оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси. // Труды УГ-го международного семинара-совещания "Кубатурные формулы и их приложения", Уфа, БГПУ, ИМВЦ УНЦ РАН, 2001. С. 58-62.

5. Захарова Ю.Ф. Оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси // Вопросы математического анализа. Вып. 5, 2002, стр. 18-35.

6. Захарова Ю.Ф. Весовые кубатурные формулы. // Труды УГ-го международного семинара "Кубатурные формулы и их приложения", Уфа, БГПУ, ИМ-ВЦ УНЦ РАН, 2002. С. 61-68.

7. Захарова Ю.Ф. Приближенные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечной области. // Труды международной конференции по вычислительной математике, СОРАН, Новосибирск, 2002. Том 1. С. 182-188.

8. Бойков И.В., Захарова Ю.Ф. Приближенные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений // Деп. ВИНИТИ № 1539-2002,13.09.02.

9. Бойков И.В., Захарова Ю.Ф. Об одном приближенном методе решения многомерных сингулярных интегральных уравнений // Труды конференции "Надежность и качество - 2002", Пенза, стр. 185 -187

10. Бойков И.В., Захарова Ю.Ф. Приближенные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений // Вопросы математического анализа. Красноярск, ИПЦ КГТУ, Вып. 6, 2003, стр. 30-50

11. Захарова Ю.Ф. Кубатурные формулы вычисления интегралов с фиксированной особенностью для функций из класса Труды УГГ-го международного семинара "Кубатурные формулы и их приложения", Красноярск, 2003.

12. Захарова Ю.Ф. Приближенное вычисление регулярных и сингулярных интегралов // Труды Среднсволжского математического общества, 2003. Т. 5, № 1, стр. 292-299.

13. Захарова Ю.Ф. Весовые кубатурные формулы на числовой оси // Труды международного семинара-совещания, Харьков, 2003.

14. Захарова Ю.Ф. Оптимальные методы вычисления многомерных весовых сингулярных интегралов с фиксированной и переменной особенностью в неограниченной области интегрирования - Саранск: Средневолжское математическое общество, 2004, препринт № 66.

Захарова Юлия Фридриховна

Оптимальные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений

Специальность 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

Сдано в производство 22.06.04 Формат 60x84 1/16. _Объем 1.5 печ. л. Заказ 114 . Тираж 100 экз.

Отпечатано в Частной типографии Тугушева 440400, г. Пенза, ул. Московская, 74, к. 220, тел.: 56-37-16

Р13 О 5 1

Содержание.

Введение.

1. О сновные определения . 1 о

2. Постановка задачи

3. Классы функций.

4. Обзор методов построения поперечников и локальных сплайнов.

5. Обзор методов: вычисления интегралов с весом и сингулярных интегралов

6. Обзор методов решения сингулярных уравнений.

7. Обозначения, используемые в диссертации.

Глава 1. Вычисление поперечников и построение локальных сплайнов функций из некоторых классов.

1.1. Вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко и построение сплайнов для функций из класса [0, сю), М)

1.2. Вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко и построение сплайнов для функций из класса WJ([0, оо)р,М)

1.3. Вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко и построение сплайнов для функций из класса W[s((—оо,оо),М)

Глава 2. Оптимальные весовые квадратурные и кубатурные формулы вычисления регулярных интегралов.

2.1. Оптимальные весовые квадратурные формулы на классе H^)S((-oo, оо), М) .:. бб

2.2. Квадратурные формулы вычисления интегралов на классе [0, оо) . .—.

2.3. Кубатурные формулы вычисления интегралов на классе В*п[0,оо)р.

Глава 3. Оптимальные весовые кубатурные формулы вычисления сингулярных интегралов.

3.1. Оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления интегралов с фиксированной особенностью для функций из класса W{s((—oo,oo)p,M)

3.1.1. Случай гиперсингулярных интегралов

3.1.2. Случай сингулярных интегралов

3.1.3. Случай слабосингулярных интегралов.

3.2. Оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления сингулярных интегралов с переменной особенностью для функций из класса оо, оо)р, М)

Глава 4. Проекционные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений

4.1. Проекционный метод приближенного решения линейных сингулярных интегральных уравнений вида a(t)x(t) + J ip(t,S)x(T)dT = /(£)

4.2. Проекционный метод приближенного решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений вида a(t,X(t))+dr=т. ш

Актуальность темы. Поскольку точные методы вычисления различного рода сингулярных интегралов в неограниченных областях возможны только в исключительных случаях [83]1 [84]2, возникает необходимость приближенного вычисления регулярных и сингулярных интегралов на бесконечных многообразиях.

Актуальность разработки приближенных методов вычисления сингулярных интегралов связана как с необходимостью доведения до численных значений решений сингулярных интегральных уравнений, полученных с помощью некоторых приближенных методов, так и с тем обстоятельством, что и сингулярные интегралы различных типов находят широкое применение в многочисленных областях естествознания и техники: в операционном исчислении [46]3, в теории упругости [79]4, гравиразведке [87]5, ядерной физике [71]6, астрофизике [93]7.

Анализ численных методов решения сингулярных интегральных уравнений и вычисления сингулярных интегралов показал, что в этом направлении остается ряд нерешенных проблем. В частности, во-первых, при конструировании вычислительных алгоритмов представляют значительный интерес оценки точности аппроксимации компактов, к которым принадлежат решения уравнений, конечными подпространствами. Во-вторых, практически отсутствуют численные методы вычисления сингулярных интегралов на бесконечных областях интегрирования. В-третьих, численные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений практически отсутствуют, за исключением единичных работ, в частности, работы [74]8, посвященной обоснованию метода моментов для сингулярных интегральных уравнений на плоскости Е2 и не существует обоснованных методов для конеч

1См. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1980.

2См. Пыхтеев Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1982.

3См. Диткин В.А., Прудникова А. Интегральные преобразование и операционное исчисление. М., Физматгиз, 1961.

4См. Общий курс физики. Часть I. // Под ред. Чертова К.И. М., Наука, 1978 г.

5См. Соболев СЛ. Уравнения математической физики (учебник для мех.-маг. факультетов гос. университетов). М., Наука, 1996.

См. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М., Агомиздат, 1974.

7См. Чиндрасекар С. Перенос лучистой энергии. М., Изд-во иностр. лит., 1953.

8См. Михлин С.Г., Раднева Р.К. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений // Изд. ВУЗов, Математика. 1974. №5. С. 158-162. ных областей интегрирования произвольной формы. Проекционные методы решения нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений также до сих пор не рассматривались.

Цель работы. Целью работы является: во-первых, вычисление поперечников классов функций с весами и построение локальных сплайнов, погрешность которых зависит только от числа узлов, определенных на Е2, во-вторых, построение оптимальных методов вычисления слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с фиксированной и переменной особенностями, рассматриваемых на бесконечных многообразиях, в-третьих, построение оптимальных методов вычисления регулярных интегралов с весом, рассматриваемых на бесконечных многообразиях и в-четвертых, построение проекционных методов решения многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Общая методика. При обосновании полученных результатов использовались методы теории приближения функций, функционального анализа, теория квадратурных и кубатурных формул, методы оптимизации, теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений. Построение пассивных алгоритмов восстановления функций и вычисления интегралов основано на концепции оптимальности, гарантирующей получение наилучших результатов при наихудшей на взятом классе исходной информации. Эта концепция положена в основу построения оптимальных по порядку пассивных алгоритмов аппроксимации функций с особенностями, вычисления интегралов от функций с особенностями и вычисления сингулярных интегралов.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

- вычислены поперечники Колмогорова и Бабенко некоторых классов функций одной и нескольких переменных, определенных на бесконечных многообразиях;

- построены локальные сплайны для функций одной и нескольких переменных, определенных на бесконечных многообразиях;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления регулярных интегралов с весами, определенных на бесконечных областях интегрирования в одномерном и многомерном случаях;

- построены оптимальные по порядку методы вычисления одномерных и многомерных слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечных областях интегрирования;

- построены оптимальные по порядку методы вычисления одномерных и многомерных слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с переменной особенностью на бесконечных областях интегрирования;

- построены проекционные методы решения линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Научная и практическая ценность работы. Научная ценность работы заключается в построении оптимальных по порядку алгоритмов вычисления регулярных интегралов с весом, а также слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегралов с фиксированными, и переменными особенностями на бесконечных областях интегрирования; построении алгоритмов восстановления функций одной и нескольких переменных различных классов; построении проекционных методов решения многомерных сингулярных интегральных уравнений в ограниченных областях произвольной формы.

Полученные результаты находят применение при построении оптимальных методов вычисления интегралов с различными сингулярностями и решении интегральных уравнений.

Практическая ценность работы обусловлена тем, что построенные методы применимы к численному решению прикладных задач гидро-и аэродинамики, теории упругости и теории излучения, при решении которых необходимо вычисление сингулярных интегралов, регулярных интегралов с весом и решение многомерных сингулярных интегральных уравнений.

По предложенным алгоритмам разработан пакет прикладных программ вычислений регулярных и сингулярных интегралов (одномерных и многомерных) и решений линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений на различных классах функций на языке Паскаль.

Защищяемые положения. По результатам исследований можно сделать следующие выводы:

- построены поперечники Колмогорова и Бабенко классов функций W^s({-oo-,oo)p,M) и В^((—оо;оо)р, М), р —1,2,. при различных соотношениях параметров Л и s;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления регулярных интегралов с весом на бесконечных областях интегрирования для функций из классов W£s((—оо; оо)р, М) и оо; оо)р, М), р = 1,2,. при различных соотношениях параметров Лиз;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления слабосингулярных интегралов с весом на классе оо; оо)р, М), р — 1,2,. с фиксированной и переменной особенностью;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с весом на классе оо; оо)р, М), р = 1,2,. с фиксированной и переменной особенностью;

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления гиперсингулярных интегралов с весом на классе оо; оо)р, М), р = 1,2,. с фиксированной и переменной особенностью;

- построены и обоснованы проекционные методы решения линейных и нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Краткое содержание работы. Работа посвящена оптимальным методам вычисления регулярных и сингулярных интегралов на бесконечных многобразиях и решения многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения. Во введении приводятся основные определения и используемые классы функций, постановка задачи, а также обзор основных методов по

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. - М.: Наука, 1965.- 407 с.

2. Бабенко К.И. Несколько замечаний о приближении функций многих переменных // Математический сборник. -1971.- Т.86. № 4.- С. 179-180.

3. Бабенко К.И. О некоторых задачах теории приближения и численного анализа // Успехи математических наук. -1985 Т.40. -№ 1. - С. 3-28.

4. Бахвалов Н.С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики / / Журнал вычислительной математики и математической физики, 1970. Т.10. - N 3. - С.555 - 568.

5. Бахвалов Н.С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций // Журнал вычислительной математики и математической физики.-1971.-T.11.N4.-C. 1014-1018.

6. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. - 244 с.

7. Белоцерковский С.М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях/ С.М. Белоцерковский , И.К. Лифанов. -М.: Наука, 1985. 256 с.

8. Бойков И.В. О приближенном решении нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур // Сб. аспирант, работ. Точные науки. Казань: Изд-во КГУ, 1970.-С. 61-72.

9. Бойков И.В. О приближенном решении некоторых типов интегральных уравнений с особенностями // Сб. аспирант, работ. Точные науки. Казань: Изд-во КГУ, 1970.- С. 73-81.

10. Бойков И.В. О применении метода механических квадратур к приближенному решению нелинейных сингулярных интегральных уравнений // Функц. анализ и теория функций. Сб.- Казань: Изд-во КГУ, 1970.- С. 3-12.

11. Бойков И.В. Об одном методе приближенного решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений // Функц. анализ и теория функций. Сб.- Казань: Изд-во КГУ, 1970.- С. 13-21.

12. Бойков И.В. О приближенном решении сингулярных интеграль-. ных уравнений// ДАН СССР, 1972.- Т. 203.- N 3.- С. 511-514.

13. Бойков И.В. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений// Матем. заметки, 1972.- Т. 12.- N 2.- С. 177-186.

14. Бойков И.В. Об одном прямом методе решения сингулярных интегральных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1972.- Т.12.- N 6.- С. 1381-1390.

15. Бойков И.В. Приближенное решение интегро-дифференциальных уравнений с интегралом в смысле Адамара // Ученые записки Пенз. политехи, ин-т.- Пенза: Изд-во Пенз. политехи, ин-т.- Вып. 4, 1973.- С. 42-61.

16. Бойков И.В. Принцип компактной аппроксимации в возмущенном методе Галеркина// ДАН СССР, 1974.- Т. 215.- N 1.- С. 11-14.

17. Бойков И.В. Приближенные методы решения задач гравиметрии // Вопросы теории и методики гравитационных измерений на движущемся основании. Сб.- Москва: Институт физики Земли АН СССР, 1976. С. 112-121.

18. Бойков И.В. О приближенном решении особых интегральных уравнений гравиметрии// Исслед. по динамич. гравиметрии. Сб.-Москва: Институт физики Земли АН СССР, 1977.- С. 118-152.

19. Бойков И.В. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений и их приложения // Применение вы-числ. методов в научно-техн. иссл. Межвуз.сб. Пенза: Изд-во Пенз. политехи, ин-т.- Вып. 2, 1980. С. 3-18.

20. Бойков И.В. Оптимальные методы вычислений в задачах автоматического регулирования.- Пенза: Изд-во Пенз. политехи, ин-т, 1983.- 96 с.

21. Бойков И.В. Аналитические методы идентификации динамических систем.- Пенза: Изд-во Пенз. политех, ин-т, 1992.- 112 с.

22. Бойков И.В. Асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов// Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях: Межвуз.сб.науч.тр.-Пенза:Пенз.политехн.ин-т,1982.-Вып.4-С.З-10.

23. Бойков И.В. Оптмальные по точности алгоритмы вычисления интегралов // Оптимальные методы вычисления и их применение: Межвузовский сборник научных трудов. Пенза: Пензенский политехнический ин-т, 1987. Вып. 8. - С. 4 - 22.

24. Бойков И.В. О вычислении сингулярных интегралов, встречающихся в задачах гравиметрии // Методы обработки гравиметрической информации.-Москва: Институт физики Земли АН СССР-1978.-С.71-90.

25. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Пенза: Пензенский государственный технический ун-т, 1995. Ч 1,2.

26. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф., Домнин JT.H. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. унта, 1996.- 188 с.

27. Бойков И.В.,Руденко А.К. Об оптимальных квадратурных формулах для вычисления сингулярных интегралов// Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях: Межвуз.сб.науч.тр.-Пенза:Пенз.политехн.ин-т,1979.-Вып.1-С.21-30.

28. Бойков И.В. Приближенное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений/ И.В. Бойков, И.И. Жечев // Сб.аспирант, работ. Точные науки. Казань: Изд-во Казан, гос. унта, 1972.- С. 169-174.

29. Бойков И.В. К приближенному решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений 1 линейные уравнения] / И.В. Бойков, И.И. Жечев // Дифференциальные уравнения, 1973.-Т.9.- N 8 .- С. 1493-1502.

30. Бойков И.В. Некоторые вопросы приближенного решения нелинейных операторных уравнений методом Ньютона-Канторовича // Сб. аспир. работ. Точные науки, изд-во КГУ, Казань, 1970. С. 82-94.

31. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции . М.: ГИФМЛ, 1959.- 628 с.

32. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. - 380 с.

33. Ворович И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости/ И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1974. - 456 с.

34. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1967, 576 с.

35. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1963.- 640 с.

36. Гахов Ф.Д. Уравнения типа свертки/Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский . М.: Наука, 1978. - 296 с.

37. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Вып. 1. М.: ГИФМЛ. - 1958. - 439 с.

38. Глускин Е.Д. Об одной задаче о поперечниках // Доклады АН СССР, 1974. Т.219. - N 13. - С.527 - 530.

39. Гохберг И.Ц. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов/ И.Ц. Гохберг, Н.Я. Крупник.- Кишинев: Штинца, 1973.- 426 с.

40. Гохберг И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения/ И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман. М.: Наука, 1971. - 352 с.

41. Гусейнов А.И. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений/ А.И. Гусейнов, Х.Ш. Мухтаров . -М.: Наука, 1982. 414 с.

42. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений приближенными проекционными методами // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1979. Т. 19.- N 5. - С. 1149-1161.

43. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений коллокационными методами // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1981. Т. 21.- N 2. - С. 355-362.

44. Диткин В.А., Прудникова А. Интегральные преобразование и операционное исчисление. М., Физматгиз, 1961.

45. Дудучава Р.В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложение к задачам механики. Тбилиси: Мецниереба, 1979. - 137 с.

46. Жечев И.И. Приближенное решение систем нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования// Nature. Пловдив, 1973.- Т. 6.- N 1.-С. 19-25.

47. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968. - 287 с.

48. Иванов В.В. Об оптимальных алгоритмах численного решения сингулярных интегральных уравнений// Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа.-Москва: Наука,1972.-С.209-219.

49. Исмагилов Р.С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими полиномами // Успехи математических наук, 1974. Т.79. - N 1. - С. 161 - 178.

50. Какичев В. А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных.- Тюмень: Тюменский гос. ун-т, 1973.- 124с.

51. Кашин Б.С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Изв. АН СССР. Серия математическая, 1977. Т. 41. - N 1. - С. 334 - 351.

52. Колтон Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс М.: Мир, 1987. - 311 с.

53. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения.-М.: Наука, 1976. 320 с.

54. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. 352 с.

55. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальным задачам теории квадратур. Добавление к книге: Никольский С.М. Квадратурные формулы. -Москва: Наука,1974.- 136 с. 100. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения.-М.: Наука, 1984. 352 с.

56. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов.- М.: Наука, 1967. 498 с.

57. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения.- Л.: ГИТТЛ, 1950.- 280 с.

58. Купрадзе В.Д. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости/ В.Д. Купрадзе, Т.Г. Гечелиа ,М.О. Башелейншвили , Т.В. Баргуладзе , М.: Наука, 1976. - 664 с.

59. Курпель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений.- Киев: Наукова думка, 1968 210 с.

60. Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы // Тр. ЦАГИ, 1932. Т. 118. - С. 3 - 56.

61. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. - 448 с.

62. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент М.: ТОО "Янус", 1995. - 520 с.

63. Лифанов И.К. Обоснование численного метода "дискретных вихрей" решения сингулярных интегральных уравнений/ И.К. Лифанов , Я.Е. Полонский // Прикладная математика и механика, 1975. Т. 39.- N 4. - С. 742-746.

64. Лебедев В.И., Бабурин О.В. О вычислении интегралов в смысле главного значения, весов и узлов кадратурных формул Гаусса // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1965. Т. 5.- № 3. С. 454 - 462.

65. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений Киев: Наукова думка, 1980. - 264 с.

66. Майоров В.Е. Дискретизация задачи о поперечниках // Успехи математических наук, 1975. Т.ЗО. - N 6. - С. 179 - 180.

67. Маковоз Ю.И. Об одном приеме оценки снизу поперечников множеств в банаховом пространстве // Математический сборник, 1972. Т. 87. - N 1. - С. 136 - 142.

68. Маковоз Ю.И.,Шешко М.А. Об оценке погрешности квадратурной формулы для сингулярного интеграла// Известия АН БССР.-Сер.физ.-мат.наук.-1977.-К6.-С.36-41.

69. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1974.

70. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами// Труды АН Тадж. ССР. Душанбе, 1963. -Т. 1. - 126 с.

71. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. - 254 с.

72. Михлин С.Г., Раднева Р.К. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений // Изд. ВУЗов, Математика. 1974. №5. С. 158-162.

73. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

74. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 612 с.

75. Никольский С.М. Квадратурные формулы // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1952. Е. 16. С. 181-196.

76. Никольский С.М. Квадратурные формулы.-Москва: Наука,1979.-224 с.

77. Общий курс физики. Часть I. // Под ред. Чертова К.И. М., Наука, 1978 г.

78. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М: Мир, 1979. - 494 с.

79. Половинкин В.И. Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул // Сибирский математический журнал. 1971. № 1. С. 177196.

80. Половинкин В.И. Ассимпотически наилучшие весовые квадратурные формулы: Статья деп. в ВИНИТИ. Рег.№ 7938. 1984. 24 с.

81. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1980.

82. Пыхтеев Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1982.

83. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Изд. Ростовского университета, 1984.

84. Соболев C.J1. Введение в теорию кубатурных формул.- М.: Наука, 1974. 808 с.

85. Соболев C.JI. Уравнения математической физики (учебник для мех.-мат. факультетов гос. университетов). М., Наука, 1996.

86. Стечкин С.Б. О наилучших приближениях заданных классов функций любыми полиномами // Успехи математических наук, 1954. Т.9. - N 1. - С.133- 134.

87. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной. М.: Наука, 1986. - 111 с.

88. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики // Под ред. К.И.Бабенко. М.: Наука, 1979. - 196 с.

89. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория приближений// Успехи математических наук, 1960. Т.15. - N 13. - С.81 - 120.

90. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения// Труды Тбилисского математического института АН Груз.ССР, 1958.- Т. 23.- С. 3-158.

91. Чиндрасекар С. Перенос лучистой энергии. М., Изд-во иностр. лит., 1953.

92. Чикин Л.А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений // Ученые записки Казанского государственного университета.- 1953.-т.113,-К.10.-С.57-105.

93. Atkinson К.Е. The Numerical Evaluation of the Cauchy Transform on Simple Closed Curves // Society for Industrial and Applied Mathematics. Journal on Numerical Analysis, 1972. - V. 9. - P. 284-299.

94. Golberg M.A. A Superconvergence Result For the Generalized Airfoil Equation with Application to the Flap Problem / M.A. Golberg, M. Lea , G. Miel// Journal of Integral Equations, 1982. V. 5.- ь 2. -P. 175-186.

95. Hadamard J. Theorie des equations aux derivees partielles lineaires hyperboliques et du probleme de Cauchy // Acta Math.,1908.-V.31.-P.331-380.

96. Jen E. Cubic splines and approximate solution of singular integral equations/E. Jen, R.P. Srivastav // Math. Сотр., 1981.- V. 37.- N 156.- P. 417-423.

97. Junghanns P. Kollokationverfahren zur naherungsweisen Losung singularer Integralgleichungen mit unstetegen Koeffizienten // Math. Nachr., 1981.- V. 102.- P. 17-24.

98. Junghanns P. Numerical analysis for one dimensional Cauchy singular integral equations/ P. Junghanns, B. Silbermann // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000.- V. 125.- N 1-2 .P. 395-421.

99. Kolmogoroff A. Uber die beste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionen klasse // Analysis Mathematica. Vol. 37. -1936. P. 107-117.

100. Michlin S.G. Singulare Integraloperatoren/ S.G. Michlin, S. Prossdorf. Berlin: Acad. - Verl., 1980. - 514 p.

101. Prossdorf S. Approximation Methods for Solving Singular Integral Equations. Berlin, 1981.- Preprint.- P. - Math. -12/81.- 31 p.

102. Prossdorf S. A Finite Element Collocation Method for Singular Integral Equations/ S. Prossdorf, G. Shmidt // Math. Nachr., 1981. V. 100. - P. 33-60.

103. Prossdorf S. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations/ S. Prossdorf, B. Silbermann.- Berlin.: Acad. Verl., 1991-544 p.

104. Ramm AG. Theory and Applications of Some New Classes of Integral Equations.- Berlin: Springer- Verlag, 1980. 343 p.

105. Wiener N. Uber eine Klasse Singularer Integralgleichungegen / N. Wiener, E. Hopf // Berlin: Sitz. Acad. Wiss., 1931.- P. 696-706.Цитированные работы по теме диссертации

106. Захарова Ю.Ф. Аппроксимация локальными сплайнами некоторых классов функций на бесконечных многообразиях // Деп. ВИНИТИ № 1424-2000, 28.11.2000.

107. Захарова Ю.Ф. Оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси // Деп. ВИНИТИ № 1326-2001, 24.05.01.

108. Захарова Ю.Ф. Оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси // Труды конференции "Надежность и качество -2001", Пенза, стр. 129-131.

109. Захарова Ю.Ф. Оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси. // Труды VI-го международного семинара-совещания "Кубатурные формулы и их приложения", Уфа, БГПУ,ИМВЦ УНЦ РАН, 2001. С. 58-62.

110. Захарова Ю.Ф. Оптимальные весовые квадратурные формулы на числовой оси // Вопросы математического анализа. Вып. 5, 2002, стр. 18-35.

111. Захарова Ю.Ф. Весовые кубатурные формулы. // Труды VI-го международного семинара "Кубатурные формулы и их приложения", Уфа, БГПУ, ИМВЦ УНЦ РАН, 2002. С. 61-68.

112. Захарова Ю.Ф. Приближенные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечной области. // Труды международной конференции по вычислительной математике, СОР АН, Новосибирск, 2002. Том 1. С. 182188.

113. Бойков И.В., Захарова Ю.Ф. Приближенные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений // Деп. ВИНИТИ № 1539-2002, 13.09.02.

114. Бойков И.В., Захарова Ю.Ф. Об одном приближенном методе решения многомерных сингулярных интегральных уравнений / / Труды конференции "Надежность и качество 2002", Пенза, стр. 185 - 187

115. Бойков И.В., Захарова Ю.Ф. Приближенные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений // Вопросы математического анализа. Красноярск, ИПЦ КГТУ, Вып. 6, 2003, стр. 30-50

116. Захарова Ю.Ф. Кубатурные формулы вычисления интегралов с фиксированной особенностью для функций из класса ВдД—оо, оо)р // Труды Труды VII-го международного семинара "Кубатурные формулы и их приложения", Красноярск, 2003.

117. Захарова Ю.Ф. Приближенное вычисление регулярных и сингулярных интегралов // Труды Средневолжского математического общества, 2003. Т. 5, № 1, стр. 292-299.

118. Захарова Ю.Ф. Весовые кубатурные формулы на числовой оси // Труды международного семинара-совещания, Харьков, 2003.

119. Захарова Ю.Ф. Оптимальные методы вычисления многомерных весовых сингулярных интегралов с фиксированной и переменной особенностью в неограниченной области интегрирования Саранск: Средневолжское математическое общество, 2004, препринт № 66.