автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование задач электродинамики и аэродинамики сингулярными интегральными уравнениями

На правах рукописи

РОМАНОВА Елена Геннадьевна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И АЭРОДИНАМИКИ СИНГУЛЯРНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

с

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ПЕНЗА 2007 0030-71436

003071496

Диссертационная работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Пензенский государственный университет" на кафедре "Высшая и прикладная математика"

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Бойков И. В.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Голованов О. А.; доктор технических наук, профессор Якимов А. Н.

Ведущая организация - государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования "Мордовский государственный университет"

Защита диссертации состоится 5/. ОТ 2007 г, в часов, на заседании диссертационного совета Д 212.186.04 в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Пензенский государственный университет" по адресу 440026, г Пенза, ул. Красная, 40.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в научной библиотеке государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Пензенский государственный университет" и на сайте http //www pnzgu ru

Автореферат разослан апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук,

профессор Смогунов В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения являются одним из основных математических аппаратов моделирования большинства задач теории упругости, аэродинамики, электродинамики, геофизики и теории трещин

В последнее время для исследования задач электродинамики разработаны новые модели, основанные на различных физических и математических идеях В частности, широко используются уравнения Гельмгольца, метод задачи Римана-Гильберта, краевые задачи математической физики и т. д Среди этих методов выделяется хорошими свойствами метод граничных интегральных уравнений, который позволяет не только уменьшш ь размерность задачи, но и свести ее к решению в ограниченной области (на границе области) Применение этого метода привело к интегральным уравнениям первого рода, которые, будучи некорректными, вызывают большие затруднения при численной реализации Этого недостатка лишены сингулярные и гиперсингулярные уравнения первого рода Поэтому в настоящее время одним из основных математических аппаратов являются сингулярные и гинерсингулярные интегральные уравнения

Численным методам решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений в задачах электродинамики посвящены работы Дмитриева В И, Захарова Е В, Лифанова И К, Назарчука 3 Т., Свешникова А. Г., Тихонова А. Н, Шестопалова В Н

Различные аспекты аналитических и численных методов решения сингулярных и I иперсингулярных интегральных уравнений изложены в работах Бойкова И В , Векуа Н П, Гахова Ф Д, Гохбсрга И Ц, Иванова В В , Лифанова И К , Михлина С Г , Мусхелешвили Н И , Пресдорфа 3. и др

Наряду с задачами электродинамики, сингулярные и гиперсингулярные уравнения являются также одним из основных аппаратов моделирования, который применяется для решения различных задач теории крыла Здесь необходимо указать на работы Белоцерковс-ього С М , Бисплингхоффа Р. П., Воробьева Н Ф , Голубева В В , Лаврентьева М А , Лифанова И К , Некрасова А. И , Эшли X и др

При этом, несмотря на большое число публикаций, посвященных как непосредственно приближенным методам решения сишулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, так и специальным классам сингулярных и гиперсингулярных интервальных уравнений в электродинамике и аэродинамике, остался неисследованным большой круг задач

• отсутствуют аналитические и численные методы решения ряда новых классов сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений теории волноводов,

• не исследованы модели и численные методы для ряда нелиней -ных задач аэродинамики,

• не исследованы численные методы решения нелинейных гиперсингулярных уравнений (одномерных и многомерных),

• не получены параллельные методы решения сингулярных и гиперсингулярных уравнений, чго представляется актуальным, так как при решении прикладных задач требуется обработка информации в режиме реального времени

Разработке, обоснованию и программной реализации численных алгоритмов решения этих проблем посвящена данная диссертация, что и определяет ее актуальность

Цель работы. Целью исследования являются моделирование структуры электромагнитною поля в нерегулярных волноводах, моделирование распределения воздушного потока вокруг крыла конечного размаха сингулярными и гиперсингулярными интегральными уравнениями и разработка численных алгоритмов решения этих уравнений Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи

• предложены и обоснованы численные алгоритмы решения линейных и нелинейных одномерных гиперсингулярных уравнений,

• предложены и обоснованы численные алгоритмы решения линейных и нелинейных мно1 омерных гиперсингулярных уравнений,

• разработаны и обоснованы вычислительные схемы решения новых классов сингулярных интегральных уравнений, моделирующих волновые процессы в нерегулярном волноводе,

• построена нелинейная математическая модель, описывающая распределение воздушного пошка вокруг крыла конечного размаха,

• разработаны и обоснованы численные алгоритмы решения нелинейного сингулярного интервального уравнения теории крыла,

• дана про1 раммная реализация полученных алгоритмов.

Методы исследовании. В работе использованы методы функционального анализа, краевых задач теории функций комплексного переменного, теории сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории дифракции и распространения электромагнитных волн, методы расчета электродинамических характеристик. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами математического моделирования тестовых задач

Научная новизна исследования состоит в следующем

• предложены и обоснованы численные алгоритмы решения нового класса сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений теории нерегулярных волноводов,

• предложена нелинейная математическая модель циркуляции воздушного потока вокруг крыла конечного размаха,

• предложены и обоснованы вычислительные схемы решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения теории крыла,

• предложены и обоснованы сплайн-коллокационные методики решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений (одномерных и мьогомерных);

• разработан пакет программ1 вычислительные алгоритмы решения гиперсингулярных интегральных уравнений, итерационные схемы решения линейных и нелинейных интегро-дифференциальных уравнений теории крыла, вычислительные схемы решения особого составного интегрального уравнения

Теоретическая и практическая ценность работы.

Теоретическая ценность заключается в следующем*

• предложены и обоснованы численные алгоритмы решения нового класса сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, моделирующих волновые процессы в волноводах,

• разработана нелинейная модель поведения крыла в стационарном потоке газа;

• разработаны и обоснованы вычислительные схемы решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения теории крыла,

• разработаны и обоснованы численные методики решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений (одномерных и многомерных),

• разработаны параллельные численные алгоритмы, дающие решение новых классов сингулярных и гиперсингулярных уравнений (линейных и нелинейных одномерных, линейных и нелинейных многомерных)

Практическая ценность работы заключается в разрабопсе и программной реализации вычислительных алгоритмов, позволяющих решить следующие прикладные задачи.

• моделирование структуры электромагнитною поля в Т-сочле-ненных и коаксиальном волноводах, вычисление входного сопротивления тонкой проволочной антенны,

• моделирование циркуляции воздушного потока вокруг крыла конечного размаха,

• решение линейных двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений

На защиту выносятся следующие положения:

• приближенные алгоритмы решения линейных и нелинейных, одномерных и многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений,

• вычислительные схемы решения составного особого интегрального уравнения, моделирующего задачи вычисления входного сопротивления тонкой проволочной атенны и задачи вычисления электромагнитного поля в коаксиальном гиротроне,

• алгоритмы приближенного решения волновых уравнений, описывающих распределение поля в Т-сочлененных волноводах,

• нелинейная математическая модель распределения воздушного потока вокруг крыла конечного размаха,

• итерационно-проекционные алгоритмы решения линейного и нелинейного уравнений теории крыла конечного размаха

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 9 статей.

Работа частично выполнена по заказу Федерального агентства по образованию (2005 г., регистрационный номер 0120 0502705).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях Пензенскою государственного университета (г Пенза, 2002, 2003, 2005 гг.), Международной конференции по вычислительной математике (г Новосибирск, 2004 г), международных симпозиумах "Надежность и качество" (г Пенза, 2001, 2005, 2006 гг ), Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г Саранск, 2006 г), Международной конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем" (г Пенза, 2006 г), на семинаре профессора Воскресенского Е В в Институте прикладной математики ГОУ ВПО "Мордовский государственный университет" им Н П Огарева (г Саранск, 2007 г )

Пакет программ решения гиперсингулярных интегральных уравнений, реализующих алгоритмы, разработанные в диссертации, зарегистрирован в "Отраслевом фонде алгоритмов и программ" (ОФАП). Выдано "Свидетельство об отраслевой регистрации разработки" за № 8023

Комплект программ "Приближенные алгоритмы решения аэродинамических задач" используется в производственной деятельности ОАО "Пензенский КБМ" (акт о внедрении прилагается)

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении показана актуальность проблемы, обоснованы и сформулированы цели, задачи исследования, обозначены его научная новизна и практическая ценность, основные положения, выносимые на защиту, а также приведены сведения о реализации и внедрении результатов, апробации работы и публикациях

Первая глава посвящена методам интегральных уравнений в электродинамике В этой главе дан сравнительный анализ математических методов, применяемых при моделировании задач в электродинамике. Особое внимание уделяется методу интегральных уравнений, так как он позволяет уменьшить размерность используемых уравнений Также рассматриваются и другие преимущества этого мегода и, в особенности, преимущества метода сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений

В связи с использованием гиперсингулярных интегральных уравнений в этой главе введены определения особых интегралов в смысле Коши, в смысле Адамара, в смысле Коши-Адамара.

В главе также дан обзор методов сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений в задачах уравнения теории крыла конечного размаха Указан обзор численных методов решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений Описан метод дискретных особенностей, особенно удобный для численного решения волновых задач

Вторая глава посвящена приближенным алгоритмам решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений с интегралами Адамара Разработка численных методик решения этих уравнений и определит математический аппарат, который применяется далее длч решения прикладных задач электро- и аэродинамики. Построены вычислительные схемы решения этих уравнений, доказывается однозначная разрешимость уравнений и оцениваегся погрешность в разных классах функций

В главе рассмотрены следующие ишегральные уравнения

a(t)x(t) + — f+ f A(/,t)*(x)rfx = /(0, (2)

n 4 _J,

где ie(-l, 1), p> I, p- целое число,

«ГьЫ*..*)-^ J--+

1 1

+ J J -=f(t\>h)> (3) -1 -1

a(t, x(t))+ — f ^biM + f /z(î,x)jc(x) Л = f{t) , (4)

* 4 (t-o^ 4

(5)

71 £ v(T,0

где/ = (?,,/2), x = (TlfT2), v^,0 = (Ti-ii)w(T2-/2)ft. = [-1,l]2

К уравнению (1) при yj -y2 ~ 1/2 приводятся, например, задачи определения плотности продольной и поперечной составляющих поверхностного тока на бесконечно протяженном тонком проводнике, задачи теории дифракции

Общая методика решения указанных уравнений рассмотрена на примере уравнения (2), где функции ait), b(t), h{t,x) и fit) имеют производные до г -1 о порядка по всем переменным wr>p-\.

Из приводимых выкладок с очевидностью следует, что предла-1аемый алгоритм применим к интегральным уравнениям на кусочно-гладких контурах.

Построена вычиспительная схема приближенного решения уравнения (2) Пусть tk=-\ + 2k/n, ¿ = 0,1, ,п, à.k=[tk,tk+1], tkj-tk+jh/ir+ 1), j = 1,2,.. ,r, £-0,1, .,n-\ и h~2jn В каждом сегменте Ак введен полином Lr{x, Ак), интерполирующий функ-

циго х(/) но узлам 1к], к = 0,1, , и-1,7 = 1, 2, .,г Полином имеет

г

вид 1Г (х,Ак) = х(1 к]) у/у (г), где у^Д/)- фундаментальный полином по узлам ¿ = 0,1, .,«-1,7=1,2, г Сплайн, составленный из полиномов Ь1 (х, Ак), к = 0,1, , п -1, обозначен через а„(/)

Каждому узлу ^ поставлен в соответствие сегмент ♦ * * *

Д^ = - qh , ¡¡д+И ], где Н (0 < А < к / (г + 1)) и # - специальным образом подобранные параметры.

В качестве приближенного решения уравнения (2) взят сплайн хп((), составленный из полиномов Ьг(х, А^) со значениями х^ - х(1/у), к = 0,1, , п -1, 7 = 1,2, ., г, определяемыми из системы линейных алгебраических уравнений вида

* 4 я Й д, ^-'<7 »'

/2—1

Й(^,т)*л(т)«/т = /(*£), ¿ = 0,1,.. ,и-1, 7=1,2, . ,г, (6)

¡=0

где ^' означает суммирование по / * к - 1, к, к + 1

Было доказано, что полученная система (6) имеет единственное решение при надлежащем выборе параметров с/ и А*

Дана оценка погрешности предложенной вычислительной схемы Пусть Ьк = [Д_1> На построена гладкая функция ф(0, про* ✓ ч *

ходящая через точку х ), где х - решение исходного уравнения. Функция ф(7) была выбрана так, чтобы она удовлетворяла следующему условию

Г Ф(т)

а т=о (7)

В качестве ф(/) рассматривалась функция вида ф(/) = xr{t) + m(f),

г-1 J

где xr{t) ^ —x{s\thj )(t - t/.jf - отрезок ряда Тейлора в окрест-

5=0

ности точки tjg . Функция m{i) удовлетворяет условию (7) и доставляет наименьшее значение функционалу M(t^ )= f _lm(x)l (jx

Пусть уравнение (2) имеет единственное решение х (f) Система

уравнений (6) рассматривалась в пространстве Х^, N = гп векторов

л — ,..,, xpi ) с нормой |.т| = max j. Пользуясь методами функ-

к

ционального анализа, было доказано следующее утверждение, что если выполнены следующие условия

* Г

1) уравнение (1) имеет е;шнсгвенное решение х (l)eW На, а > 1/2 и г > р-1,

2) функции а(г), b(t), f (t) е Wr , h(f,x) е W'r,

3) существует функция фи)> такая, что )| < , то

существуют такие значения h*, q, для которых выполнены условия однозначной разрешимости Следовательно, система уравнений (6) имеет единственное решение x*{t) и справедлива оценка погрешно-

сти

<Ап-(г-Р+1)

XN

Аналогичные утверждения справедливы и для уравнений (1), (3),

(4), (5)

В третьей главе построены и обоснованы вычислительные схемы приближенного решения линейных сингулярных интегральных уравнений, моделирующих волноводные задачи Основное внимание здесь уделялось развитию метода интегральных уравнений применительно к новым классам электродинамических задач.

Анализ характера распределения волн в трактах, содержащих неоднородности (загибы, сочленения, диафрагмы, антенны и т д ), имеет большое значение, поскольку различные комбинации неоднород-ностей, включаемых в тракт, широко используются в волноведущей технике С другой стороны, различные неоднородности влияют на распределение электромагнитного поля в волноводе Они способствуют появлению в волноводе дополнительных волн высших типов, возникающих вблизи этих неоднородное!ей и искажающих картину поля

При исследовании волноводов с различными неоднородностями оказалось, чю аппаратом для моделирования волновых процессов в этих волноводах является новый класс сингулярных интегральных уравнений. Типичными представителями этого класса являются интегральные уравнения.

1 ь'[ £(oj_^ЕШ___IcthlfcO_

b_i [sin«/ft)-bin(itz/6) 2 2b

™sgn(r-0(e-'*|z-e -l)jd^Ae,kz+Be~lkz, \z\< Ы2, (8)

где неизвестная функция E(Q- электрическая составляющая электромагнитного поля; b - размер узкой стенки волновода, i ~ мнимая единица,

I Г ШЬшИ х{х) dx + Г dx +

ТС J x-t Tt J X — t

-1 -1

+-Jl-t2 sgn t dx = f(f), -\<t <1, (9)

n J x-t

где f(t) = A\fl -r2 sgn? + Bt, А и В - неизвестные константы, определяемые в работе и E'(QdC, - x(x)dx

Уравнения (8) и (9) моделируют процессы в Т-сочлененных волноводах.

Несмотря на важность этих задач, в теории волноводов до сих пор не разработаны аналитические и численные методы их решения Поэтому возникает необходимость в разработке и обосновании численных методов Этим вопросам посвящена данная глава, в которой предложены проекционный и проекционно-итерационный алгоритмы решения нового класса сингулярных интегральных уравнений

Уравнение (8) рассматривалось в классе комгшекснозначных функций, принадлежащих классу Яа( 1), 0<а<1 Обоснование предложенной вычислительной схемы численного решения (8) было проведено в пространстве X функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем р и нормой

' \h~hf и его подпространстве Xдг, состоящем из полиномов по узлам tJ', ; = 1, ,2М - 2

Приведем типичные результаты, полученные в данной главе

Пусть уравнение (8) имеет единственное решение х*(/) е На, 0 < а < 1. Тогда система приближенных уравнений имеет единшвенное решение л-д, (/), и при ряде дополнительных условий справедлива оценка погрешности || х* - дгдг ||с < 0(Ы -<Х+Р 1п3 Щ

Аналогичное утверждение справедливо и для уравнения (9)

Физическая интерпретация приближенных решений, полученных в результате численных расчетов, проводится для каждого типа волноводов и дифракционных отверстий в отдельности, следуя методологии, описанной в работах Левина Л, и не представляет принципиальных трудностей.

Задача вычисления входного сопротивления тонкой проволочной антенны и задача вычисления электромагнитного поля в коаксиальном гиротроне для случая ТМ-волны были сведены к исследованию особого составного интегрального уравнения, содержащего одновременно интегралы с гиперсингулярными, сингулярными и логарифмическими особенностями

&с + Ях =

я

-1

где а, Ъ, с - некоторые константы, не все из которых равны нулю. Приближенное решение характеристического уравнения Бх- /

ик(1)~ полиномы Чебышева второго рода Используя метод ортогональных мног очленов, было получено следующее утверждение

Пусть в характеристическом уравнении Бх- / функция /"(Ое На(1), 0<а<1 на (-1,1) Тогда система приближенных уравнений имеет единственное решение х* (/) и справедлива оценка погрешности ||л* -л* !](•; < 0(п ~а~31п п), где х*(()- решение уравнения Бх -- /,а х*(г)~ решение системы приближенных уравнений

Обоснование приближенной схемы для полного уравнения (10) при условии, что /"'(0<=Яа0)> д4К(х,1)/д>2т д21 е #аа(1) , маяо

отличалось от предложенных выше схем Для этого использовалась теорема И Ц Гохберга, утверждающая, что добавление вполне непрерывного оператора приводит лишь к малым возмущениям решения

Обоснование сущес1вования разрешимости уравнений и оценки близости точного и приближенного решения во второй и третьей главах были проведены на основе современных методов функционального анализа и, в частности, общей теории приближенных методов Канторовича Л В

Четвертая глава посвящена построению численных алгоритмов решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения Пран-дгля, широко встречаемого в аэродинамике

находилось в

виде функции хп0) = - Г

где

В этой главе получено уравнение, описывающее поведение крыла конечного размаха в стационарном потоке газа В результате выведено нелинейное сингулярное интсгро-дифференциальное уравнение

-Г (0 = nb(l)V

cos arctg -

* 1 Vr'(т) , f « i 'ггхх),л

:tg- — — d с+ sin arctg— —-~н1х

4nK J. x-t 4nV J x-t

xctg

(

\\>(t)- arctg

1 ϣI1)

M

4izV

dx

xsin

+ - arctg — - [ —^dx 2 4nV J x-t

sec

oc(0

(H)

Неизвестная функция Г'(0 описывает циркуляцию воздушного потока вокруг крыла Если считав угол а(1) очень малым и поло-

f 1 'г Г'(О, 1 'гГ'Ю,

жить arctg---- —-------ах, а также считать выраже-

4nV J x-t

ние в фигурных скобках равным единице, то получаем линейное уравнение Прандтля

/v +

"(0

—+ 440-arctg——

2 4nV

1 'г Г'(г)

гм/у

-dx

= 0. (12)

Для получения начального приближения для уравнения (11) исследованы вычислительные схемы решения уравнения Прандтля (12)

Приближенное решение краевой задачи (11) с граничными условиями Г(-7) = Г(/) - 0 при 1 = 1 находилось в виде функции

Г„(/) = л/Т-?? У," 0акЦк(О, коэффициенты которой определялись из системы уравнений в операторной форме КпТп=0 Полученная система уравнений решена методом простой итерации,

где в качестве начального приближения Г® (I) бралось решение линейного уравнения (12) Метод простой итерации в операторной форме записан в виде

Cfi ={KV)\Knrn (13)

где т- номер итерации Было показано, что при дополни i ельных ограничениях метод последовательных приближений (13) сходится

Поэтому, если функции а(0, Ч'(0 удовлетворяют условию Гельдера Яр, то уравнение КпТп - 0 имеет единственное решение Г* (/) и справедлива оценка погрешности || Г* (г) - Г* (i) ||= ln ri).

Решение модельных примеров показало, с одной стороны, высокую эффективность изложенного алгоритма, а с другой стороны, указало на то, что даже незначительной нелинейностью нельзя пренебрегать

В заключении обобщены основные результаты теоретических и практических исследований.

В приложении к диссертации приведены пакеты программ, реализующих алгоритмы, предложенные в работе, в частности, даны тексты следующих программ

• решение нелинейного гиперсингулярного интегрального уравнения,

• решение линейных двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений;

• решение составного особого интегрального уравнения;

• решение линейного интегро-диффереициального уравнения Прандтля,

• решение нелинейного сингулярного интегро-дифференциаль-ног о уравнения теории крыла конечного размаха

Кроме того, в приложении даны результаты численного моделирования следующих прикладных задач1

• распределение электромагнитного поля в нерегулярных волноводах,

• распределение воздушного потока вокруг крыла конечного размаха.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1 Предложены вычислительные схемы решения линейных и нелинейных, одномерных и многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений

2. Разработаны алгоритмы приближенного решения некоторых задач теории волноводов, моделируемых одномерными сингулярными интегральными уравнениями

3 Предложены вычислительные схемы решения составного особого интегрального уравнения, моделирующего задачи вычисления входного сопротивления тонкой проволочной антенны, и задачи вычисления электромагнитного поля в коаксиальном гиротроне

4 Предложены численные алгоритмы приближенного решения волновых уравнений, описывающих распределение поля в Т-сочле-ненных волноводах

5 Разработана нелинейная математическая модель распределения воздушного потока вокруг крыла конечного размаха

6 Доказана сходимость итерационно-проекционных методов решения линейного и нелинейного уравнений теории крыла конечного размаха

7 Разработаны пакеты программ моделирования волновых процессов в нерегулярных волноводах и циркуляции воздушного потока вокруг крыла конечного размаха.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1 Романова, Е Г Коллокационный метод решения гиперсннгу-лярных интегральных уравнений /ИВ Бойков, Е Г' Романова // Известия вузов Поволжский регион - 2006 - № 5 - С 42-50

2 Романова, Е. Г Применение метода дискрехных особенностей к приближенному решению некоторых волноводных задач /ИВ Бойков, Е Г Романова Р Известия вузов Поволжский регион - 2006 -№6 -С 159-169

Публикации в дру1 их изданиях

3 Романова, Е Г Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений первого рода /ИВ Бойков, Е Г Романова // Надежность и качество тр Межд>нар симп - Пенза Изд-во Пенз гос ун-та, 2001 -С 109-110

4 Романова. Е Г Применение метода дискретных особенноеiей к приближенному решению некоторых задач теории волноводов / И В Бойков, Е Г Романова//Деп в ВИНИТИ Per. № 1192.2002 -12 с

5 Boikov, I V. Approximate solution of a gipersingular integral equations /1 V Boikov, E G Romanova // International Conference on Computation Mathematics Part first Novosibirsk, 2004 -P 411-417

6 Романова. E Г Приближенное решение нелинейного сингулярного интегро-дпфференциального уравнения крыла конечного размаха /ИВ Бойков, Е Г Романова // Надежность и качество гр Междунар симп -Пенза Изд-во Пенз гос. ун-та, 2005 - С 114-119

7 Романова, Е Г. Приближенные методы решения нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений /ИВ Бойков, Е Г Романова // Труды Средне-Волжского матем общества - Саранск Изд-во Саран гос ун-та, 2006 - Т 2 - С 82-87

8 Романова, Е Г Приближенное решение интегрального уравнения теории волноводов /ИВ Бойков, Е Г Романова // Надежность и качество тр Междунар симп - Пенза Изд-во Пенз гос ун-та, 2006.-Т 1 -С 280-282

9 Романова, Е Г Коллокационный метод решения линейных гиперсингулярных интегральных уравнений // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем тр I Междунар конф - Пенза, 2006 - С 44-47

Романова Елена Геннадьевна

Численное моделирование задач электродинамики и аэродинамики сингулярными интегральными уравнениями

Специальность 05 13 18-Математическоемоделирование, численные методы и комплексы программ

Редактор Т В Веденеева Технический редактор Н А Въялкова Корректор Н А Сидельникова Компьютерная верстка Р Б Бердниковой

ИД № 06494 от 26 12 01 Сдано в производство 26 04 07 Формат 60x84'/16 Бумага писчая Печать офсетная Уел печ л 1,16 _Заказ № 284 Тираж 100_

Издательство Пензенского государственного университета 440026, Пенза, Красная, 40

Введение

1 Обзор методов. Вспомогательные утверждения

1.1 Метод интегрального уравнения в электродинамике.

1.2 Гиперсингулярные интегралы и гиперсингулярные интегральные уравнения.

1.3 Обзор приближенных методов решения сингулярных и гиперсингулярных уравнений.

2 Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений

2.1 Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений первого рода.

2.2 Кол локационный метод решения одномерных линейных гиперсингулярных интегральных уравнений.

2.3 Линейное уравнение (двумерный случай).

2.4 Коллокационный метод решения одномерных нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений.

2.5 Приближенное решение нелинейного гиперсингулярного интегрального уравнения.

3 Применение численных методов решения сингулярных интегральных уравнений к моделированию задач электродинамики

3.1 Применение метода дискретных особенностей к приближенному решению задач теории волноводов.

3.1.1 Е - плоскостной Т - сочлененный волновод.

3.1.2 Линейный Т - волновод.

3.2 Приближенное решение составного особого интегрального уравнения

3.2.1 Характеристическое уравнение.

3.2.2 Оценка погрешности.

4 Численные методы решения особых интегральных уравнений крыла

4.1 Приближенное решение нелинейного интегродифференциального уравнения крыла конечного размаха.

4.1.1 Вывод уравнения.

4.1.2 Решение уравнения Прандтля.

4.1.3 Приближенное решение нелинейного уравнения крыла конечного размаха.

Актуальность работы

Сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения являются одним из основных математических аппаратов моделирования большинства проблем теории аэродинамики и электродинамики. Этим объясняется активное развитие численных методов решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, начиная со второй половины XX столетия. Несмотря на то, что имеется много публикации и статей, посвященных приближенным методам решения этих уравнений, остались нерешенными следующие задачи:

• не получены аналитические и численные методы решения ряда новых классов сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений теории волноводов;

• не разработаны модели и численные методы для ряда нелинейных задач аэродинамики;

• не разработаны численные методы решения нелинейных гиперсингулярных уравнений (одномерных и многомерных);

• не разработаны параллельные методы решения сингулярных и гиперсингулярных уравнений, что представляется актуальным, так как при решении прикладных задач требуется обработка информации в режиме реального времени.

Разработке, обоснованию и программной реализации численных методов решения перечисленных проблем посвящена данная диссертация, что и определяет ее актуальность.

Цель работы

Целью исследования является моделирование ряда задач электродинамики и аэродинамики сингулярными и гиперсингулярных интегральных уравнениями и разработка численных методов, положенных в основу этого моделирования. Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:

• предложены и обоснованы численные методы решения линейных и нелинейных гиперсингулярных одномерных уравнений;

• предложены и обоснованы численные методы решения линейных и нелинейных гиперсингулярных многомерных уравнений;

• разработаны и обоснованы численные методы решения нового класса сингулярных интегральных уравнений, моделирующих волновые процессы в нерегулярном волноводе;

• построена нелинейная математическая модель, описывающая распределение воздушного потока вокруг крыла конечного размаха;

• разработаны и обоснованы численные методы решения нелинейного сингулярного интегрального уравнения теории крыла;

• дана программная реализация полученных алгоритмов.

Методы исследования

В работе использованы методы функционального анализа, краевых задач, теории функций комплексного переменного, теории сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории дифракции и распространения электромагнитных волн, методы расчета электродинамических характеристик. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами математического моделирования тестовых задач.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложены вычислительные схемы решения линейных и нелинейных, одномерных и многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений.

2. Разработаны алгоритмы приближенного решения некоторых задач теории волноводов, моделируемых одномерными сингулярными интегральными уравнениями.

3. Предложены вычислительные схемы решения составного особого интегрального уравнения, моделирующего задачи вычисления входного сопротивления тонкой проволочной антенны, и задачи вычисления электромагнитного поля в коаксиальном гиротроне.

4. Предложены численные алгоритмы приближенного решения волновых уравнений, описывающих распределение поля в Т-сочлененных волноводах.

5. Разработана нелинейная математическая модель распределения воздушного потока вокруг крыла конечного размаха.

6. Доказана сходимость итерационно-проекционных методов решения линейного и нелинейного уравнений теории крыла конечного размаха.

7. Разработаны пакеты программ моделирования волновых процессов в нерегулярных волноводах и циркуляции воздушного потока вокруг крыла конечного размаха (Приложения).

Заключение

В заключении обобщены основные результаты теоретических и практических исследований.

1. Абрамов Б.Д. О редукции краевых задач теории переноса нейтронов к сингулярным интегральным уравнениям / Б.Д. Абрамов, А.Ф. Матвеев.- Препринт ИТЭФ. М. - 1987. - № 46. - 32 с.

2. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. - 351 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. - 632 с.

4. Бейтмен Г. Высший трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи.- М.: Наука, 1974. 296 с.

5. Белоцерковский С.М. Исследования по аэродинамике современных несущих поверхностей: Дис. д-ра тех. наук М.; 1955.

6. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. - 244 с.

7. Белоцерковский С.М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / С.М. Белоцерковский, И.К. Лифанов. М.: Наука, 1985. -256 с.

8. Бисплингхофф Р. Аэроупругость / Р. Бисплингхофф, X. Эшли, Р. Хал-фмэн. М.: ИЛ, 1959. - 800 с.

9. Боголюбов А.Н. Применение метод конечных элементов в волноводных задачах дифракции / А.Н. Боголюбов, А.Л. Делицын, A.B. Лавренова // Радиотехника, 2004. № 12. - С. 20-26.

10. Бойков И.В. Приближенное решение интегральных уравнений Фредголь-ма с интегралами в смысле главного значения Коши-Адамара // Функциональный анализ и теория функции. Казань: Изд-во КГУ, 1970. -Вып.7 - С. 3-23.

11. Бойков И. В. О применении метода механических квадратур к приближенному решению нелинейных сингулярных интегральных уравнений / / Функциональный анализ и теория функции. Сб. Казань: Изд-во КГУ, 1970. - С. 3-12.

12. Бойков И. В. Об одном методе приближенного решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений // Функциональный анализ и теория функции. Сб. Казань: Изд-во КГУ, 1970. - С. 13-21.

13. Бойков И. В. О приближенном решении нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур // Сб. аспирант, работ. Точные науки. Казань: Изд-во КГУ, 1970. - С. 61-72.

14. Бойков И. В. О приближенном решении некоторых типов интегральных уравнений с особенностями // Сб. аспирант, работ. Точные науки. Казань: Изд-во КГУ, 1970. - С. 73-81.

15. Бойков И. В. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений // ДАН СССР, 1972. Т. 203. - №3. - С. 511-514.

16. Бойков И. В. Приближенное решение интегро-дифференциальных уравнений с интегралом в смысле Адамара // Ученые записки Пенз. политехи. ин-т. Пенза: Изд-во Пенз. политехи, ин-т- Вып. 4, 1973. - С. 42-61.

17. Бойков И.В. Принцип компактной аппроксимации в возмущенном методе Галеркина // ДАН СССР, 1974. Т. 215. - №1. - С. 11-14.

18. Бойков И.В. О приближенном нахождении всех решений функциональных уравнений // ДАН СССР, 1974. Т. 217. - N 6. - С. 1241 - 1244.

19. Бойков И. В. Приближенные методы решения задач гравиметрии / / Вопросы теории и методики гравитационных измерений на движущемся основании. Сб.- Москва: Институт физики Земли АН СССР, 1976. С. 112-121.

20. Бойков И. В. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений и их приложения // Применение вычисл. методов в научно-техн. иссл. Межвуз.сб. Пенза: Изд-во Пенз. политехи, ин-т. -Вып. 2. - 1980. С. 3 - 18.

21. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Изд-во Саратовского ун-та, 1983 г. -с.

22. Бойков И. В. Оптимальные методы вычислений в задачах автоматического регулирования. Пенза: Изд-во ППИ, 1983. - 508 с.

23. Бойков И. В. Аналитические методы идентефикации динамических систем. Пенза: Пенз. политехи, ин-т, 1992. - 112 с.

24. Бойков И. В. Восстановление финитных функций // Измерительная техника, 1997. №6.

25. Бойков И. В. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И.В. Бойков, Н.Ф. Добрынина, Л.Н. Домнин. Пенза: Изд-во Пенз. гос. тех. ун-та, 1996. - 187 с.

26. Бойков И. В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. 316 с.

27. Бойков И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных уравнений. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. 359 с.

28. Бойков И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений первого рода / И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Надежность и качество: Тр. Междунар. симп. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2001. - С. 109-110.

29. Бойков И.В. Применение метода дискретных особенностей к приближенному решению некоторых задач теории волноводов/ И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Деп. в ВИНИТИ. Рег. N 1192, 2002. 12 с.

30. Бойков И.В. Приближенное решение нелинейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения крыла конечного размаха / И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Надежность и качество: Тр. Междунар. симп. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. - С. 114-119.

31. Бойков И.В. Приближенные методы решения нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений / И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Труды Средне-Волжского математ. общества. Саранск: Изд-во Саран, гос. ун-та, 2006. - Т. 2. - С. 82-87.

32. Бойков И.В. Приближенное решение интегрального уравнения теории волноводов / И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Надежность и качество: Тр. Междунар. симп. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. - Т. 1. - С. 280-282.

33. Бойков И.В. Коллокационный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Известия вузов. Поволжский регион. 2006. - № 5. - С. 42-50.

34. Бойков И.В. Применение метода дискретных особенностей к приближенному решению некоторых волноводных задач / И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Известия вузов. Поволжский регион. 2006. - № 6. - С. 159-169.

35. Бойкова А.И. Об одном классе интерполяционных полиномов // Оптимальные методы вычислений и их применение. Пенза: Изд-во Пенз. гос. тех. ун-та, 1996. С. 141-148.

36. Вайникко Г.М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г.М. Вайникко, И.К. Лифанов, Л.Н. Полтавский М.: Наука, 2001. - 508 с.

37. Вайнштейи Л. А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Изд-во "Советское радио", 1966. - 430 с.

38. Васильев E.H. Алгоритмизация задач дифракции на основе интегральных уравнений. -Прикладная электродинамика. Сб. научно-методических статей. М.: Высшая школа, 1977, с. 94-128

39. Веку а Н.П. Интегральные уравнения Фредгольма с интегралами в смысле Адамара // Тр. Матем. института АН ГССР, 1939. Вып.7. - С. 113— 146.

40. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. - 380 с.

41. Вентцелъ Э.С. Метод компенсирущих нагрузок в задачах теории тонких пластинок и оболочек. / Э.С. Вентцель, К.Е. Джан-Темиров, A.M. Трофимов, Е.В. Ниголына. Харьков: Изд-во ХВВКИУРВ, 1992. - 91 с.

42. Воробьев Н.Ф. Аэродинамика несущих поверхностей в установившемся потоке газа. Новосибирск: Наука, 1985. - 240 с.

43. Ганделъ Ю.В., Кононенко A.C. Вестник Харьковского нацианального университета. Сер. Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления. 2005. - Т.41. - № 661. - С. 83-88.

44. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 508 с.

45. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640 с.

46. Гахов Ф.Д. Уравнения типа свертки / Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский. М.: Наука, 1978. - 296 с.

47. Голубев В.В. Лекции по теории крыла. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 480 с.

48. Гохберг И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман. М.: Наука, 1971. - 352 с.

49. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: Физматлит, 1962. - с.ИОО.

50. Гур-Милънер С. И. Новый метод дискретных особенностей для определения аэродинамических сил, действующих на тонкую несущую поврхность // Тр. ЛКИ, 1974. Вып. 91. - С. 89-94.

51. Гусейнов А. И. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений / А.И. Гусейнов, Х.Ш. Мухтаров. М.: Наука, 1982. - 414 с.

52. Дмитриев В.И. Диифракция плоского электромагнитного поля на идеально проводящей полосе, погруженной в слойную среду / В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров // Изв. АН СССР, Физика Земли. 1967. - №5 - С. 62-70.

53. Дмитриев В.И. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода / В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров // Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968. -С. 49-54.

54. Дмитриев В.И. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики / В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. - 167 с.

55. Джишкариани A.B. К решению сингулярных интегральных уравнений коллокационными методами // Журнал вычислительной математики и математической физики 1981. - Т.21. - №2. - С. 355-362.

56. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. - 508 с.

57. Захаров Е.В. Численный анализ дифракции радиоволн / Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов. М.: Радио и связь, 1982.

58. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968, - 287 с.

59. Ивашка В.П. Исследовапие волноводов методом сингулярного интегрального уравнения / В.П. Ивашка, В.К. Шугуров // Литов. физ. сб. -1979. Т. 19. - № 2. - С. 203-210.

60. Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. - 304 с.

61. Канторович JI.B. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Аки-лов. М.: Наука, 1977. - 750 с.

62. Колтон Д. Метод интегральных уравнений в теории рассеяния. Д. Кол-тон, Р. Кресс М.: Мир, 1987. - 311 с.

63. Красносельский М.Г. Приближённое решение операторных уравнений / М.Г. Красносельский, Г.М. Вайникко и др. М.: Наука, 1969. - 456 с.

64. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1935. 111 с.

65. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. Л.: ГИТТЛ, 1950. - 280 с.

66. Купрадзе В Д. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости /В.Д. Купрадзе, Т.Г. Гечелиа, М.О. Башелейншвили, Т.В. Баргуладзе. М.: Наука, 1976. 664 с.

67. Лаврентьев М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы. В кн.: Труды ГАЦИ, т.118, 1932. - С. 3-56.

68. Левин Л. Теория волноводов. М.: Радио и связь, 1981. - 311 с.

69. Лерер A.M. Математическиое моделирование распространения собственных волн в цилиндрических решетках при помощи импедансных граничных условий / A.M. Лерер, В.В. Махно, А.А. Ячменов // Радиотехника и электроника. 2006. -Т. 51. - № 1. - С. 46-53.

70. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей // ПММ. 1979. - Т. 43. -т. - С. 184-186.

71. Лифанов И.К. К расчету безотрывного и отрывного обтекания тел / И.К. Лифанов, A.A. Михайлов // Труды ВВИА им. Н.Е. Жуковского. 1986. - вып. 1313. - С. 137-145.

72. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО "Янус", 1995. - 520 с.

73. Лифанов И.К. Гиперсингулярные интегральные уравнения и теория проволочных антенн / И.К. Лифанов, A.C. Ненашев // Дифференциальные уравнения. 2005. - Т.41. - № 1. - С. 121-137.

74. Лифанов И.К. К решению составных особых интегральных уравнений // Успехи современной радиоэлектроники. 2006. - № 8. - С. 62-67.

75. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимация. -М.: Изд-во "Мир", 1980. с. 608.

76. Марчук Г. И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г.И. Марчук, В.И. Агошков. М.: Мир, 1981.

77. Машковцев Б.М. Теория волноводов / Б.М. Машковцев, К.Н. Цибизов, Б.Ф. Емелин. М.: Наука, 1966. - 351 с.

78. Миттра Р. Аналитические методы теории волноводов / Р. Миттра, С. Ли. М.: Мир, 1974. - 323 с.

79. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Мир, 1966. - 707 с.

80. Назарчук З.Т. Идеально проводящий криволинейный экран в поле Н— поляризованной электромагнитной волны // Радиотехника и электроника. 1981. - Т. 26. - № 4. - С. 701-708.

81. Назарчук 3. Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. Киев.: Наукова думка, 1989. - 256 с.

82. Натансон И.П. Конструктивная теория функции. М.-Л.: ГИФМЛ, 1949. - 688 с.

83. Неганов В.А. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линии передачи для объемных интегральных схем.СВЧ // Доклады АН СССР. 1988. - Т. 299. - № 5.- С.1124-1128.

84. Неганов В.А. Сингулярные интегральные уравнения как метод физической регуляризации некорретных электродинамических задач радиотехники и связи // Успехи современной радиоэлектроники. 2005. - № 12.- С. 16-24.

85. Некрасов А.И. Теория крыла в нестационарном потоке. М.: Изд. АН СССР, 1947. - 260 с.

86. Нобл Б. Метод Винера Хопфа. - М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 278 с.

87. Обломская Л. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах. // ЖВМ и МФ, 1968. Т.8, 2 - С. 417-426.

88. Панасюк В. В. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции / В.В. Панасюк, М.П. Саврук, З.Т. Назарчук. -Киев.: Наукова думка, 1984. 344 с.

89. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979.- 494 с.

90. Пыхтеев Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Ко-ши специального вида. Новосибирск. Сиб. отделение: Наука, 1982. - 128 с.

91. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Л. М.: ГИТТЛ, 1948. - 400 с.

92. Романова Е.Г. Коллокационный метод решения линейных гиперсингулярных интегральных уравнений // Аналитические и численные методымоделирования естественнонаучных и социальных проблем: Тр. I Меж-дунар. конф. Пенза, 2006. - С. 44-47.

93. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев.: Наукова думка, 1981. - 324 с.

94. Саврук М.П. Численный анализ в плоских задачах теории трещин. -Киев.: Наукова думка, 1989. 248 с.

95. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

96. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов-н/Д.: Изд-во Ростовского ун-та, 1984. - 208 с.

97. Самко С. Г. Приложения гиперсингулярных интегралов к многомерным интегральным уравнениям первого рода / С.Г. Самко, С.М. Умархаджи-ев // Тр. Матем. института АН СССР, 1985. Вып. 172. - С. 299-312.

98. Тихонов А.Н. Методы решения некорретных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Наука, 1986.

99. Фелъд Я.Н. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых металлических поверхностях // Радиотехника и электротехника. 1975. - Т.20. -М.-С. 28-38.

100. Фок В.А. Проблемы дифракции и распростронения электромагнитных волн. М.: Сов. радио, 1970. - 518 с.

101. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. М.: Изд-во "Мир", 1980. - 280 с.

102. Шестопалов В. П. Метод задачи Римана Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. - Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1971. - 400 с.

103. Шестопалов В.П. Дифракционная электроника. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1976. - 231 с.

104. Эшли X. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов / X. Эшли, М. Лэндал. М.: Машиностроение, 1969. - 129 с.

105. Anfinogenov A.Y. On numerical solution of integral equations of planar and spatial diffraction / A.Y. Anfinogenov, I.I. Lifanov // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1992, V. 7. P. 387-404.

106. Atkinson K.E. The Numerical Evaluation of the Cauchy Transform on Simple Closed Curves // Society for Industrial and Applied Mathematics. Journal on Numerical Analysis. 1972. - V. 9. - P. 284-299.

107. Boikov I. V. Approximate solution of a gipersingular integral equations / I.V. Boikov, E.G. Romanova // International Conference on Computation Mathematics. Part first. Novosibirsk, 2004. P. 411-417.

108. Capobianco M.R. On the Numerical Solution of a Nonlinear Integral Equation of Prandtl's Type/ M.R. Capobianco, G. Criscuolo, P. Junghanns // Birkhauser Verlag. Vol. 160, 2005, - P. 53-79.

109. Ioakimidis N.I. On the uniform convergence of Gaussian quadrature rules for Cauchy principal value integrals and their derivatives // Math. Comput. 1985. - 44, N 169. - P. 191-198.

110. К ay a A.C. On the solution of integral equations with strongly singular kernels / A.C. Kaya, F. Erdogan. Quarterly of applied mathematics. - V. XLV. - № 1. - 1987. - P. 105-122.

111. Muller C. Grundprobleme der mathemanischen Theorie electromagnetischer Schwingungen.-B.-G.-H., 1957, p. 344.

112. Multhopp H. Die Berechnung der Auftriebverteilung von Tragflügeln // Luftfahrtforschung. Ed XV. N4, 1938, P. 153-169.

113. Paget D.F. The numerical evaluation of Hadamard finite-part integrals // Numer. Math. 36, N 4, 1981, - P. 447-453.

114. Prossdorf S. A Finite Element Collocation Method for Singular Integral Equations / S. Prossdorf, G. Shmidt // Math. Nachr. 1981. -V. 100. - P. 33-60.

115. Theocars P.S. Numerical solution of Cauchy type singular integral equation. / P.S. Theocars, N.I. Ioakamidis // Athens: Academy of Athens publ., 1977. 65 p.

116. Tsamasphyros G. On the convergence of some quadrature rules for Cauchy principal value and finite-part integrals / G. Tsamasphyros, P.S. Theocaris // Computing. 31, N 2, 1983, - P. 105-114.

117. Wiener. K. Uber die Losing der Integraleichung von Romanovsky mit der Methode der lanfenden Funkstionalkorrecturen // Univ. Halle-Wittenberg. Math. Nachrishten. 1969, - V.18 - N 6, P.787 - 789.