автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Комплекс программ для проведения вычислительного эксперимента в двумерных задачах электростатики и дифракции на кольцевых вырезах круглого волновода

На правах рукописи

Немцев Александр Николаевич

Комплекс программ для проведения вычислительного эксперимента в двумерных задачах электростатики и дифракции на кольцевых вырезах круглого волновода

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2003

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Сидельников Г.Л.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

Корсунов Н.И.

Кравченко В.Ф.

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

(Государственный университет)

Защита состоится 22 октября 2003 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.015.04 в Белгородском государственном университете по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан » СР^уЬл

'и! 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Савотченко С.Е.

о?-А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Среди многих практически важных задач электродинамики можно выделить класс задач, в которых зависимостью от некоторой координаты трехмерного объекта можно пренебречь. В частности, это могут быть достаточно длинные цилиндрические структуры, являющиеся неотъемлемыми элементами конструкции антенных решеток, волноводов, резонаторов и т.п.

Такие задачи достаточно полно и вполне строго могут быть решены в рамках приближения двумерных моделей.

В связи с этим актуальной является проблема унификации различных программно технологических средств, для решения двумерных задач электродинамики на основе строгой теории и адекватных численных методов.

Актуальность таких исследований в значительной степени обусловлена их тесной связью с решением многих проблем технической физики. В частности, расчет замедляющих структур линейных резонансных ускорителей, содержащих волноведущие системы, основан на решении двумерных задач дифракции и рассеяния собственных волн волновода на соосных кольцевых вырезах. При создании СВЧ приборов, с целью предупреждения и подавления электрического пробоя, всегда требуется уметь эффективно вычислять поля вблизи острых кромок и двугранных углов в резонансном диапазоне параметров поля и рассеивающей системы.

Цель и задачи исследования. Основной целью диссертационной работы было:

разработать информационно технологические средства и программный комплекс для исследования двумерных задач электростатики и дифракции.

В связи с этим были поставлены следующие задачи:

1. Разработать алгоритм и реализовать математическую модель двумерных задач электростатики в виде компьютерной программы.

2. Построить математическую модель одного класса двумерных задач дифракции, разработать алгоритм и реализовать его в виде комплекса компьютерных программ.

3. Провести численный эксперимент на основе разработанных математических моделей и численных алгоритмов.

4. Разработать дружественный пользовательский интерфейс, позволяющий задавать большое количество входных параметров.

Научная новизна работы характеризуется тем, что в ней впервые:

- метод дискретных особенностей распространен на тела с ребрами;

- проведена параметризация некоторых негельдеровских кривых,

¡'ОС. НАЦИОНАЛ! БИБЛИОТЕК; С.Петербург

03 ТООЙ, ,кт

позволяющая распространять на них метод дискретных особенностей;

- построена новая математическая модель дифракции собственных волн круглого волновода на кольцевых вырезах;

- подробно исследовано ядро интеграла, описывающего построенную модель;

— создан пакет программ, реализующий двумерную задачу электростатики;

- создан пакет программ, реализующий двумерную задачу дифракции собственных волн круглого волновода на кольцевых соосных вырезах;

- проведен численный эксперимент.

Практическая значимость работы. На примере двумерных задач электростатики и дифракции предложена и разработана последовательная технология создания пакета компьютерных программ для решения двумерных задач, сводимых к парным интегральным уравнениям, включающая все этапы разработки от постановки проблемы и дискретизации модели до визуализации результатов. Предложены способы визуализации с использованием цвета, что существенно упрощает интерпретацию численных результатов. Построены пакеты программ, позволяющие получать результаты в режиме реального времени.

Основные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель двумерных задач дифракции собственных волн круглого волновода на кольцевых вырезах;

- численный эксперимент- в задаче дифракции собственных волн круглого волновода на кольцевых вырезах;

-пакет, включающий программы реализации математических моделей двумерных задач электростатики и дифракции, собственных волн круглого волновода на кольцевых вырезах.

Личный вклад соискателя в построении и реализации математической модели и проведении вычислительного эксперимента является определяющим. Все результаты, представленные в диссертации, получены самим автором. При выполнении работы по теме диссертации автор принимал участие в постановке задач и непосредственно осуществлял их решение. Автором распространен метод дискретных особенностей на тела с ребрами, разработан и реализован комплекс программ для двумерных задач электростатики, исследовано ядро интеграла, описывающего математическую модель задачи дифракции на кольцевых вырезах круглого волновода, реализован пакет программ для этой задачи, проведен численный эксперимент.

Апробация и внедрение результатов работы. Результаты, изложенные в диссертации, неоднократно докладывались на

Всероссийских и региональных конференциях, обсуждались на внутриуниверситетских конференциях и семинарах. Разработанные пакеты программ апробированы в учебном процессе и на их основе создан специальный курс (присвоен гриф УМО при МГУ по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности 010400 - Физика).

Публикации. Основные положения и результаты диссертации отражены в 11 публикациях. В отраслевом фонде алгоритмов и программ по теме диссертационного исследования автором зарегистрированы три пакета программ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и библиографического списка из 123 наименований. Общий объем диссертации составляет 116 страниц машинописного текста. Работа содержит 45 рисунков и 17 приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность, сформулированы цель и задачи работы. Приведены основные положения, выносимые на защиту, научная новизна и практическая значимость работы, отмечена апробация работы. Сделан литературный обзор.

Первая глава «Плоские задачи математической физики, сводящиеся к решению сингулярных интегральных уравнений, и обзор методов их решения» содержит постановку двумерных задач электростатики, теории упругости, дифракции. В данной главе изложены некоторые аналитические методы решения плоских задач математической физики (электродинамики, теории упругости, аэродинамики и др.), сводимых к интегральным уравнениям или их системам.

Вторая глава «Плоская задача электростатики проводников. Обоснование интегрального подхода и программная реализация»

посвящена плоской задаче электростатики проводников, которая характеризуется однородным распределением зарядов на бесконечных цилиндрических проводниках (образующие цилиндров параллельны одному направлению).

В нашем случае — линейная плотность распределения зарядов на кривой Ьк являющейся контуром сечения ¿-го проводника плоскостью, ортогональной направлению однородности. Отсюда следует

= к = 1,2,...,т. (1)

Необходимо найти равновесное распределение зарядов на проводниках, при котором поле внутри проводников отсутствует. Эта задача может быть сформулирована как внешняя краевая задача для уравнения Лапласа.

Для построения эффективного численного метода решения основной задачи электростатики проводников в двумерном случае более удобна другая математическая модель - а именно, модель, описывающая рассматриваемую физическую задачу на языке напряженности электрического поля и приводящая к интегральным уравнениям задачи.

Напряженность Е электростатического поля в точке наблюдения (х0, у0), созданного источником, расположенным в точке (х, у), определяется так:

_ (2>

где г'0 и Г - радиус-векторы точек (хо, уо) и (х, у), |г0 - ?| — расстояние

между точками (х0, у о) и (х, у).

При равновесном распределении зарядов поле внутри проводников отсутствует, поэтому в силу непрерывности тангенциальной

составляющей вектора Е получаем граничное условие на поверхности проводников:

к = 1,2.....т, (3)

где ~ КТ (хо IУ о )|(1() ~ тангенциальная составляющая

напряженности элекфосшичсского поля, созданного искомым распределением зарядов (расположенных на всех проводниках) в точке (хо, усЦеЬц на ком проводнике. Выражение для напряженности поля в точке (хо, уф выписываем, используя принцип суперпозиции и формулу (2):

Е(ъ)=Т. 'I (4)

1>=ир 2ле\г0 - г\ \г0-г\

где г - радиус-вектор точки (х(я), у(х)) еЬр, о-р--(Тр(х(.ч), у(х))=ар(.^), р - • 1,2, ..., т.

Граничное условие (3) приводит к системе интегральных уравнений

« ^ арШн (г0 -г,х01

-О, к = 1,2, ..., т, (5) (х0,у0) 6 1к

р-и.р 2яс\г0 - г| |г0~ где т'0 - единичный касательный вектор к кривой А,/с в точке (хо, у о).

Уравнения (1), (5) образуют замкнутую систему интегральных уравнений для единственности решения задачи электростатики.

Рассмотрим теперь схему реализации численного метода дискретных зарядов. Дана система из т заряженных кривых (1/, ..., Ьт}. Известен набор ..., цт}, где дк - заряд кривой I.¡¡. Требуется найти плотность распределения зарядов на каждой кривой.

Заменяем полный заряд дк, непрерывно распределенный на кривой ¿к, дискретным распределением - системой точечных зарядов д^, расположенных в точках (х^,; Ук,,)еЬь / - 1, ..., пц к = I, ..., т, где «¿-количество заряженных точек на кривой Суммарный заряд должен сохраняться:

ЪЯк,1=<1к. к = \,...,т. (6)

¡=1

Наряду с системой точек, в которых расположены заряды, выбираем систему точек (хр^; ур,су) еЬр, р-1, .... т и потребуем, чтобы в этих точках выполнялось граничное условие:

Мы имеем п1+...^пт неизвестных дискретных зарядов (ДЗ) дщ, удовлетворяющих системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (6) - (7). Как вопрос об их разрешимости, так и вопрос о сходимости дискретных распределений зарядов к точным распределениям (при неограниченном возрастании всех и*) связан с выбором взаимного расположения систем точек {(хк,; у^)} и {(хт\ уР,о3)}-

Для разомкнутых кривых и кривых с угловыми точками при численном решении задачи возникают трудности моделирования, связанные с неограниченным ростом плотности распределения зарядов при приближении к концам кривой и к углу, а на замкнутой кривой возникает проблема регуляризации дискретизированного уравнения, связанная с тем, что уравнений оказывается на одно больше, чем неизвестных.

Распределение зарядов будем искать следующим образом: каждую замкнутую кривую параметризуем на единичную окружность. Единичную окружность разделим на нечетное число равных частей точками <р(,

где /' ■- О, 1, .... 2пр и ДЗ поместим в точки грл = Потребуем

выполнения граничного условия в точках 'р.Оу ФО])> } — 0, 1,..., 2Пр, где ф0у - середина дуги между точками фу и ф;+].

Запишем получившуюся СЛАУ:

,- = 0, 1, ... 2«,. (8)

К.оу-1/1

Добавим еще уравнение из системы (6), соответствующее контуру 1,р.

2пр ¡--О

Замкнутому контуру 1.п соответствуют 2пр+1 уравнений, соответствующих точкам, в которых выполняется граничное условие, и одно уравнение, фиксирующее суммарный заряд на 1.р и 2пр+1 -неизвестных <//л,. Го есть неизвестных меньше, чем уравнений. Для разрешения этой проблемы введем еще одно неизвестное кр„р -

ре1-уляризирующий параметр Лифанова, тогда СЛАУ (3) примет вид:

Ьр.„р + Ь Е-у-- р ■ Якл =0, ) = 0, 1..... 2пр.

км УрЫ-гЦ

Теперь число неизвестных и число уравнений совпадают. Разомкнутые кривые /-, параметризуем на отрезок [-1,1]. Заряды помещаем в точки гл. I - гх(, где ti = со8——-/г, 1=1, ..., л5 —

2щ

нули полиномов Чебышева первого рода (Тп(ф.

Потребуем выполнения граничных условий в точках г, 0у = ,

где ¿о/— СОИ —Ж, 7 = 1, ..., пх — 1 — нули полиномов Чебышева

Ил-

второго рода (1]п.\(1)).

В результате получим систему:

ЕЕ—г--тг—чи

к=и=1

;0, 7=1..... и,-1.

1=1

в которой разомкнутому контуру Л, соответствуют иЛ неизвестных и и,-уравнений.

На участках большой плотности зарядов (вблизи физических особенностей проводников: острия, двугранные углы и т.п.) можно изменять плотность ДЗ путем выбора параметризации, повышая тем самым адекватность математической модели физическим требованиям задачи. Например, для

параметризации дуги (рис. 1) ее краям, Рис , Шраметризация вблизи где плотность зарядов нарастает, физических особенностей

следует сопоставить большее количество узлов II„.¡(1) и Тп(х), чем середине дуги.

Если система цилиндрических проводников находится в заданном внешнем электростатическом поле, то наша задача сводится к системе неоднородных уравнений, поскольку в интегральных уравнениях (5) следует

в правых частях вместо нуля поставить т0), где Ёв" - напря-

женность заданного внешнего поля в точке (хо, у о) еЬь к = 1,2, ..., т.

Выбор двух систем точек на контурах основан на строго доказанных результатах из теории сингулярных интегральных уравнений (СИУ).

После нахождения всех д^, можно вычислить поле Ё(г):

- пк Ои

'кл

р а

Г-г.

Ь=1ы2 ЖЕ *=1у=о2я£ Ь -И2'

(9)

где первое слагаемое означает суммирование по системе разомкнутых контуров, а второе •— по системе замкнутых.

Электростатический потенциал системы заряженных проводников,

однородных вдоль некоторого направления, можно аппроксимировать системой бесконечно тонких заряженных нитей, распределенных вдоль образующей поверхности каждого проводника. Ось ОЪ параллельна направлению однородности.

Разнос 1Ь потенциалов Г/д« между двумя точками (хА, уд) и (хц, Ун), не лежащими на контурах:

где гк 1 -- радиус-вектор линии (точки) в декартовой системе координат с осью.

Первый способ визуализации, принятый нами, состоит в рисовании двухцветных кругов, радиусы которых пропорциональны модулю величины заряда. Отрицательные заряды соответствуют зеленому цвету, а положительные - красному (рис.2, рис.3). Такой способ визуализации применим только для небольшого числа разбиений, так как при большом количестве дискретных зарядов они располагаются очень близко и круги сливаются. Такой подход даег возможность наглядно на небольшом количестве разбиений проверить правильность модели и отследить грубые ошибки в ее реализации.

га

Для более общего случая, с большим количеством дискретных зарядов, применим следующий подход. Всю кривую будем рисовать точками разного цвета. При этом цвет будем определять так: желтый поставим в соответствие нулевому заряду, красный - максимальному

(10)

Рис 2.

Рис. 3.

Представление ДЗ в виде двухцветных кругов разного радиуса

положительному заряду, зеленый - максимальному отрицательному заряду. Цвета остальных точек будем считать, исходя из пропорции. В результате мы получим гладкое непрерывное перетекание цвета (рис. 4, рис. 5), которое характеризует и знак, и размер заряда в каждой точке.

Рис. 4.

Рис. 5.

Визуализация зарядов непрерывным перетеканием цветов

Важной характеристикой поля являются силовые линии, для их построения необходимо воспользоваться формулой для определения напряженности поля.

Вектор напряженности определяет направление силовой линии в каждой точке пространства. Считая начальными точки на границе анализируемой области и (к йу

используя формулу — = —,

Ех Еу

построим силовые линии (рис. 6).

Формула (10) определяет подход для построения линий одинакового потенциала однородной системы линейных проводников. Координаты начальной точки определяются пользователем. Результат построения линий одинакового потенциала для двух окружностей и клина показан на рис. 7, рис. 8.

Рис. 6. Силовые линии

-----,-^ • м

1 чЧвйЯ*^(Г у*» }

,, .,. * _-----1—1

Рис. 7.

■з—V- » —т)—г—— Рис. 8.

Линии одинакового потенциала

7'ретъя глава «Дифракция пучка собственных волн круглого волновода на кольцевых соосных вырезах» содержит описание модели двумерной задачи дифракции собственных волн круглого волновода на кольцевых соосных вырезах и ее реализации. Пусть на конечной системе кольцевых вырезов круглого волновода рассеивается пучок (конечное число гармоник) собственных волн (рис. 9).

а1 Ь,

Го

гу^.

Рис. 9. Осевое сечение волновода

Для определенности будем считать, что в системе возбуждаются только волны П-типа, когда связанными и отличными от нуля оказываются только компоненты Е<р,Ег,Ег. Поставим краевую задачу

для компоненты Е9 электрического поля (задача Дирихле). Зависимость от времени характеризуется множителем ехр(-ш*). Требуемая функция и(г, г) е; Ер удовлетворяет уравнению Гельмгольца в цилиндрической

системе координат.

Требуется найти рассеянное на кольцах поле. Решение задачи ищем в виде

\u +u , r<r0, z&R,

«(r,z)=r 7 • ' d

[ и , r>r0, zeR,

где поле набегающей

волны м° = ^г/г0)е^ , р - целое положительное число,

/>=1

£|2 = k1 — Jj.lp / r0< И\р~ р-й нуль функции Бесселя 1-го порядка,

>0,1тку >0, а и подлежат определению; к = —,

где ю - круговая частота, с - скорость света в вакууме.

Для функции и выполняются граничные условия

(м°+гГ)! =и+1 =0, г = СЬ,

1г=Ц) I Г=Го

(И)

£=и1ч=(ач,Ьч), ЬкпЬч= 0, к, $ = 1, от,

9=1

условия сопряжения

(м° + м~)| = И

Ом0 аг^

-+—

дг дг

г=г0

дг

,zeLq, q = l,m,

(12)

r=r0

а также условия Майкснера на ребрах и условие излучения.

При решении данной задачи мы получаем следующую систему

СИУ:

i-ilT=T+ / ^M-f^jdt =

A„ _(b„-a„ Ь„+а,л

_ 9 2

ЛI --

/«00 = -

2

I^il

2 dr

i0e(-l,l), A =6 -a ,

(/b.4

ze/.„

(13)

Выражение для амплитуды Фурье искомого поля выглядит так:

= . V/, ЛеЛ. (14)

Мы получили полное сингулярное интегральное уравнение

первого рода с характеристической частью в форме интеграла типа Коши с весом р - и регулярной частью в виде интеграла от

т

гельдеровской в квадрате [-1, 1]х[-1, 1] функции с тем же

весом.

Используя метод дискретных особенностей, решим это уравнение в том виде, в котором оно получено. Дискретизацию системы СИУ проведем но узлам полиномов Чебышева, используя интерполяционные квадратуры Гаусса.

Функции V (/) аппроксимируем полиномами Лагранжа 4 (?) с узлами в нулях полиномов Чебышева первого рода. СЛАУ относительно функций где у ~ ],т , для приближенного решения

СИУ с дополнительным условием имеет вид:

^'<4,7 '' (п„~Т) + £ £(2<1к((о"к •((1Пк)~

Д. .(Ьч-ая (П1г1) Ь^+а^

~2~~Т~

2

, ) = 1,пц-1,д = 1,т. (15)

1 пч -

•~2>/=0, ./ = и , ? = /,т. (16)

Приближенные значения функции С(Х) выражаются непосредственно через решения СЛАУ:

1 >» 1 "я е ^ 2 2 '-1

---, Лея.

2г Я

Для численного анализа задачи дифракции реализован пакет программ 1М(гас 1.0. Этот пакет позволяет исследовать весь спектр рассеянного ноля и построить график амплитуды Фурье любой гармоники, а также исследовать угловую зависимость излучения в дальней зоне. Параметры волновода (радиус, положение и ширина щели) задаются пользователем. Пользователь указывает также номер гармоники (пучка гармоник), возбуждающей колебания.

Пользователю предоставлена возможность просматривать графики для любых положительных значений оси абсцисс. Поскольку амплитуда Фурье на бесконечности убывает, реализована возможность масштабирования графиков, то есть пользователь может многократно растягивать или сжимать график по оси ОХ или ОУ.

Полученные графики можно сохранить в графическом файле, а также распечатать, не выходя из программы. Для детального анализа поля излучения в других точках можно сохранить в файле специального типа результаты вычисления, а затем использовать их при следующих сеансах работы.

Ниже приведены графики амплитуд Фурье рассеянного поля (рис.10, рис.11). На рис. 10 приведена амплитуда Фурье для волновода с

Рис.10. Рис.11.

Графики зависимости квадрата модуля амплитуды Фурье от длины волны.

радиусом 11=2 см, щель находится на интервале [1; 5] см, возбуждается волна второй гармоникой, Я-к=1. На рис. 11 изображена амплитуда Фурье для этого же волновода, но волна возбуждается при ГМс=4.

В заключении сформулированы выводы и основные результаты

работы:

1. Разработан универсальный программный комплекс для решения двумерных задач электростатики и дифракции, в котором последовательно, с необходимой подробностью описаны все этапы построения компьютерной модели.

2. Аппроксимация функции плотности заряда по методу дискретных особенностей распространена на тела с ребрами. Анализ

численных результатов свидетельствует об адекватности модели физическим представлениям.

3. Для визуализации результатов распределения плотности заряда

на системе проводников применена реализованная в Delphi технология с

перетекания цвета, позволяющая существенно более наглядно интерпретировать результаты вычислений.

4. На основе идеологии парных интегральных уравнений и метода дискретных особенностей построена численно-аналитическая модель дифракции собственных воли круглого волновода на кольцевых соосных вырезах.

5. На основе технологии, разработанной нами и представленной во 2-й главе диссертации, создан пакет программ, позволяющий эффективно вычислять амплитуду рассеянного поля с любой наперед заданной точностью.

6. Физический анализ результатов численных экспериментов свидетельствует об устойчивости вычислительной схемы и адекватности модели физическим представлениям.

7. Предложенная технология компьютерного визуального моделирования показала высокую степень дружественности разработанного графического интерфейса и эффективность работы программного комплекса с большим числом входных параметров.

Приложения содержат программный код основных процедур разработанных пакетов программ.

Осиовные публикации по теме диссертации:

1. Немцев Л.Н. Автоматизация составления, решения и трансформации числовых задач. Актуальные проблемы информатики и информационных технологий: Материалы IV Тамбовской межвузовской научной конференции - 2000 - С.53 -55.

2. Сиделышков Г.Л., Немцев А.Н. Моделирование двумерных задач электростатики на основе теории парных интегральных уравнений и метода дискретных особенное гей // Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках. Четвертая Всероссийская научная internet-конференция - 2002.- С.45-50.

3. Сидельников ГЛ., Немцев А.Н. Визуальное программирование

задач электростатики // Компьютерные учебные программы и инновации.- 2003- №2.- С.72-75.

4. Сидельников Г.Л., Немцев А.Н. Визуальное программирование задач электростатики (окончание) // Компьютерные учебные программы и инновации,- 2003 - №3.- С.72-76.

5. Немцев А.Н. Визуальные модели двумерных задач электростатики.-М.: ВНТИЦ,2002-№ 50200200510.

6. Немцев А.Н. Визуальные модели двумерных задач электростатики // Компьютерные учебные программы и инновации.-2003.- №4. — С.36.

7. Немцев А.Н. Пакет программ автоматизации составления, решения и трансформации числовых задач. - М.: ВНТИЦ, 2002-№50200200517.

8. Немцев А.Н. Пакет программ автоматизации составления, решения и трансформации числовых задач // Компьютерные учебные программы и инновации.- 2003.-№4 - С.20-21.

9. Сидельников Г.Л., Немцев А.Н. Интегральные модели двумерных задач электростатики в курсе математического моделирования на физико-математическом факультете Белгородского государственного университета // Научно-методические и практические аспекты подготовки специалистов в современном вузе: Сб. науч. тр. Международная науч,-метод. конф. - Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 2003. Направление 2, Ч.З.-С. 481-486.

10. Немцев А.Н. Дифракция собственных волн круглого волновода на кольцевых вырезах. - М.: ВНТИЦ, 2003 .-№ 50200300570.

11.Nemzev A.N., Sidelnikov G.L. Visual programming Tasks of an electrostatics // The magazine Computing teaching programs and innovation. -2003.- №2 (http://ofap.ru/magazin e/eng/n2_2003/n2_st.html#2).

Подписано в печать 18.09 2003 Формат 60x80/16 l'apimiура limes Усл. и л 1,05. Тираж 100экз. Заказ№ 147. Орш инал-маке1 подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015 г. Нелюрод, ул. Победы, 85

Q.OOÎ-A

Р14 9 8 6 [Af&Ç

Введение

1 Плоские задачи математической физики, сводящиеся к решению сингулярных интегральных уравнений и обзор методов их решения

1.1 Плоская задача электростатики

1.2 Плоская задача теории упругости

1.3 Плоская задача дифракции на кольцевых вырезах круглого волновода

1.4 Обзор некоторых аналитических методов решения задач дифракции на открытых системах

2 Плоская задача электростатики проводников. Обоснование интегрального подхода и программная реализация

2.1 Формулировка задачи.

2.2 Дискретизация задачи. Основные уравнения

2.3 Метод решения задачи

2.4 Реализация численного метода

2.5 Визуализация решения

3 Дифракция пучка собственных волн круглого волновода на кольцевых соосных вырезах

3.1 Введение *

3.2 Формулировка задачи

3.3 Вывод сингулярных интегральных уравнений

3.4 Дискретизация модели

3.5 Реализация модели

Актуальность темы

Среди многих практически важных задач электродинамики можно выделить класс задач, в которых зависимостью от некоторой координаты трехмерного объекта можно пренебречь. В частности, это могут быть достаточно длинные цилиндрические структуры, являющиеся неотъемлемыми элементами конструкции антенных решеток, волноводов, резонаторов и т.п.

Такие задачи достаточно полно и вполне строго могут быть решены в рамках приближения двумерных моделей.

В связи с этим актуальной является проблема унификации различных программно технологических средств, для решения двумерных задач электродинамики на основе строгой теории и адекватных численных методов.

Актуальность таких исследований в значительной степени обусловлена их тесной связью с решением многих проблем технической физики. В частности, расчет замедляющих структур линейных резонансных ускорителей, содержащих волноведущие системы, основан на решении двумерных задачи дифракции и рассеяния собственных волн волновода на соосных кольцевых вырезах. При создании СВЧ приборов, с целью предупреждения и подавления электрического пробоя, всегда требуется уметь эффективно вычислять поля вблизи острых кромок и двугранных углов в резонансном диапазоне параметров поля и рассеивающей системы.

В настоящее время к наиболее употребительным аналитическим и численно-аналитическим методам исследования задач стационарной дифракции относятся методы, основанные на сведении исходных краевых задач к системе функциональных или интегральных уравнений типа Винера—Хопфа или сведении к граничной задаче Гильберта для кусочно-аналитической функции. Используемый при этом аппарат теории функции комплексного переменного и функционального анализа позволяет решать задачи, исследуемого класса, точно в рамках рассматриваемой физической модели. Однако сама физическая модель довольно часто содержит существенное упрощение, определяемою геометрией рассеивающей системы.

Так, эти методы эффективны при исследовании дифракционных явлений для структур с одиночной или периодически повторяющейся неоднородностью и малоэффективны при исследовании дифракции на структурах с конечным числом неоднородностей различного типа, а такие задачи нередки в практике СВЧ-приборостроения.

Несмотря на достигнутые успехи численного решения систем СИУ и доказательства сходимости решений, аппроксимирующих их СЛАУ [41-46, 108, 109] к точному решению, математическое обоснование численных методов решения ряда практически важных задач электродинамики, которые сводятся к системам сингулярных интегральных уравнений не всегда можно считать корректным, а часто такое обоснование просто отсутствует. К таковым можно отнести задачи дифракции и рассеяния электромагнитных волн на полуограниченных кусочно-однородных структурах открытого типа, рассеяние собственных волн на системе связанных резонаторов в волноведущих цилиндрических системах и др. Связано это с тем, что сингулярная часть таких уравнений, наряду с характеристической частью, определяемой ядром Коши, содержит слагаемое с ухудшенными свойствами гладкости [76, 77], когда сингулярность имеет место не только во внутренней точке промежутка интегрирования, но и на его концах. Для решения таких уравнений применение хорошо развитой теории полуобращения интегрального оператора не представляется столь же методически очевидным и обоснованным, как в случае решения полного сингулярного интегрального уравнения с гладкой частью и с характеристической частью в форме ядра Коши, поскольку именно и только, для последнего и используются формулы обращения, В связи с этим, регуляризация ядра и сведение сингулярных интегральных уравнений к системе интегральных уравнений Фредгольма, второго рода с хорошо развитой теорией и практикой их решения здесь оказывается невозможным.

К сказанному добавим, что математические модели, построенные на процедуре полуобращения интегрального оператора, оказываются неадекватными исходной физической модели в резонансном диапазоне.

Применение же таких точных методов, как метод Винера-Хопфа-Фока или метод задачи Римана-Гильберта, далеко не всегда оказывается рентабельным с точки зрения полученных результатов и приложенных усилий, так как требует проведения громоздких вычислений.

Таким образом, одной из актуальных проблем, является разработка математических моделей, максимально точно и полно учитывающих структурные особенности физических моделей и для которых численная реализация была бы гибкой к уже апробированным методам. При этом желательно, чтобы модели строились на основе методически простых и, в тоже время, аналитически строгих принципах, адекватно отражающих не только особенности электродинамических систем, но и специфику сингулярных интегральных уравнений.

В настоящей работе предложен принципиально новый подход к исследованию электростатических и дифракционных явлений. Этот подход позволяет применить к решению этих задач единообразный вычислительный алгоритмический аппарат. Развиваемый здесь численно-аналитический метод позволяет провести алгебраизацию и численное решение полученной системы СИУ прямыми методами. Т.е., прямыми в том смысле, что решается непосредственно та система СИУ, которая была выведена. Заметим, что наш подход не предусматривает какой бы то ни было предварительной (перед численной процедурой) обработки характеристических слагаемых систем СИУ, поэтому математическая модель оказывается адекватной всей задаче в целом.

Разработан универсальный программный комплекс для решения двумерных задач электростатики и дифракции, в котором последовательно, с необходимой подробностью описаны все этапы построения компьютерной модели.Аппроксимация функции плотности заряда по методу дискретных особенностей распространена на тела с ребрами. Анализ численных результатов свидетельствует об адекватности модели физическим представлениям.Для визуализации результатов распределения плотности заряда на системе проводников применена, реализованная в Delphi, технология перетекания цвета, позволяющая существенно более наглядно интерпретировать результаты вычислений.На основе идеологии парных интегральных уравнений и метода дискретных особенностей построена численно-аналитическая модель дифракции собственных волн круглого волновода на кольцевых соосных вырезах.На основе технологии, разработанной в 1 главе диссертации, создан пакет программ позволяющий эффективно вычислять амплитуду рассеянного поля с любой наперед заданной точностью.Физический анализ результатов свидетельствует об устойчивости вычислительной схемы и адекватности модели физическим представлениям.Предложенная технология компьютерного визуального моделирования показала высокую степень дружественности разработанного графического интерфейса и эффективность работы программного комплекса с большим числом входных параметров.

1. Архангельский А.Я. Delphi 6. Справочное пособие - Бином- 2001 -1024с.

2. Ахиезер Н.И. Лекции об интегральных преобразованиях. Харьков.: Изд. ХГУ, 1984.

3. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. - 242с.

4. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Некоторые сингулярные интегральные уравнения аэродинамики. // Дифференц. Уравнения.-1981.- T.XVII.- N9.- С. 1539-1547.

5. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. — М.: Наука, 1985. 253с.

6. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. -М.: Советское радио, 1966.

7. Вайнштейн Л.А, Теория дифракции и метод факторизации. М.: Советское радио, 1966.

8. Воскресенский Г.В. Журав С.М. Излучение из плоского волновода с фланцем. // Радиотехника и электроника.- 1976 Т.21- N7 - С. 13901395.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977.

10. Гахов Ф. Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978.

11. Гандель Ю.В. О парных рядах Фурье некоторых смешанных краевых задач математической физики. // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков: Вища школа, 1882.—N38.- С. 15—18.

12. Гандель Ю.В. О парных интегральных уравнениях, приводящих к сингулярному интегральному уравнению на системе отрезков. // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков: Вища школа, 1982.-№40- С.33-36.

13. Гандель Ю.В„ Полянская Т.Е. Обоснование метода дискретных особенностей для систем сингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся смешанные краевые задачи математической физики. // Харьковский Университет- Деп. Укр.- НИИНТИ- 1884 N720 -УК-84.

14. Гандель Ю.В. Метод дискретных особенностей в задачах электродинамики. //Вопросы кибернетики. М.: Наука, 1986.- С. 166183.

15. Гандель Ю.В., Полянская Т.С. Математические вопросы метода дискретных зарядов. Учебное пособие. Изд. ХГУ, 1991.

16. Гандель Ю.В., Полянская Т.С. О численном решении двумерных задач электростатики проводников // Вестн.Харьк.ун-та. Харьков, 1989-№334.- С.36-42.

17. Гандель Ю.В., Еременко С.В., Полянская Т.С. Математические вопросы метода дискретных токов. Учебное пособие. Изд. ХГУ, 1992.

18. Гандель Ю.В. Параметрические представления сингулярных интегральных преобразований и краевые задачи математической физики //Сб. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995 - С. 65-66.

19. Гандель Ю.В., Лифанов И.К. О приложении идей метода дискретных вихрей к задачам электродинимики // Научно-методические материалы по численным методам. М.: ВВИА им.проф.Н.Е.Жуковского, 1985. -C3-13.

20. Гандель Ю.В., Сидельников Г.Л. Материалы 4-й международной Крымской конференции "СВЧ-техника и спутниковый прием". Метод дискретных особенностей в задаче дифракции на плоском волноводе. 1994.- Т. 1.- С.64—57.

21. Гандель Ю.В., Сидельников Г.Л. Численно-аналитический подход в задаче дифракции электромагнитной волны на полуограниченном плоском волноводе с бесконечным фланцем.- Препринт. ХФТИ.— 1994.- 14с.

22. Гандель Ю.В., Сидельников Г.Л. Об одном подходе к решению задачи дифракции на плоском волноводе с бесконечным фланцем. Доклады Академии Наук Украины.- 1995- N11- С. 18-20.

23. Гандель Ю.В., Сидельников Г.Л. Математические модели для численного анализа дифракции на плоском волноводе с бесконечным фланцем.//Журнал Технической Физики 1995.- Т.65.- Вып.7.~ С. 143— 153.

24. Галстьян Б.А., Горностаева О.В. Проникновение длинноволнового электромагнитного излучения в плоский волновод с фланцем. // Журнал Технической Физики 1992 - Т.62 - Вып.5 - С.99-107.

25. В. Гофман, А.Хомоненко Delphi 5. СПб.: БХВ - Санкт-Петербург, 2000.- 800 е.: ил.

26. Гудмен Д.Ж. Введение в фурье-оптику. Изд-во Мир, М, 1970.

27. Дарахвелидзе П.Г., Марков Е.П., Котенок О.А. Программирование в Delphi5. СПб.:БХВ - Санкт-Петербург, 2000. - 784 е.: ил.

28. Захаров Е.М., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982 184с.

29. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. — М.: Высшая школа, 1991- 224с.

30. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984.

31. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния.

32. Канту М., Т. Гуч при участии Дж. Лема Delphi. Руководство разработчика: Пер с англ. К.: ВЕК+, М.:ЭНТРОП, М.:ДЕСС, 1999. -752с., ил.

33. Корнейчук А.А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов / В кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М.: Наука, 1964 - С.64-74.

34. Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. УМН, 1858 - Т.13-N21(80), 3.

35. Кэнту М. Delphi 4 для проффессионалов СПб: Издательство «Питер», 1999.- 1120 с.:ил3 8. Кэнту М. Delphi 6 для проффессионалов (+CD). -2002 1088с.

36. Левин Л. Теория волноводов. М.: Радио и связь, 1981 - 311 с.

37. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений. //ПММ, 1975.- Т.39- N4.- С.742-746.

38. Лифанов И.К. О сингулярных интегральных уравнениях с одномерными и кратными интегралами типа Коши. // ДАН СССР, 1978.- Т.239-N2.- С.265-268.

39. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей. // ПММ. 1979.- Т.43.- N1 .-С.184-188.

40. Лифанов И.К. О численном решении сингулярных интегральных уравнений. //Дифференц. уравнения.- 1981.-T.XVII.-N12.

41. Лифаиов И.К., Матвеев А.Ф. О сингулярном интегральном уравнении на системе отрезков. //Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков.: Вища школа, 1983- Вып. 40 - С. 104-110.

42. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО «Янус», 1995.

43. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. Теплицевы матрицы и сингулярные интегральные уравнения. // Вычислительные процессы и системы. /Под ред. Г.И. Марчука Вып. 7. - М.: Наука, 1990 - С.94-278.

44. Литвиненко Л.Н., Просвирнин С.Л. Спектральные операторы рассеяния в задачах дифракции волн на плоских экранах. Киев: Наук. Думка, 1984.

45. Люк К). Специальные математические функции и их аппроксимации-М.: Мир, 1980. »

46. Марченко В.А., Сологуб В.Г. Возбуждение кольцевого волновода диполем. // Радиотехника Вып.1.- 1965- С.3-13.

47. Масалов С.А. Расчет постоянных распространения Hoi-волны в кольцевом волноводе с конечной толщиной колец. //Радиотехника — Вып.2.— 1966.-С.88-92.

48. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974.

49. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения. //УМН.- 1948-Т.З.- Вып. 3/25/.- С.29-112.

50. Мусхелишвили Н.Н. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

51. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. — Киев: Наук. Думка, 1989.

52. Неганов В.А. Электродинамическая теория полосково-щелевых структур СВЧ. Изд. Саратовского университета, 1991.

53. Немцев А.Н. Автоматизация составления, решения и трансформации числовых задач. Актуальные проблемы информатики иинформационных технологий. Материалы IV-ой Тамбовской межвузовской научной конференции.- С.53-55.- 2000.

54. Немцев А.Н. Визуальные модели двумерных задач электростатики. — М. :ВНТИЦ, 2002.- № 50200200510.

55. Немцев А.Н. Визуальные модели двумерных задач электростатики. //Компьютерные учебные программы и инновации. 2003 .-№3.

56. Немцев А.Н. Пакет программ автоматизации составления, решения и трансформации числовых задач. М.: ВНТИЦ, 2002.- № 50200200517.

57. Немцев А.Н. Пакет программ автоматизации составления, решения и трансформации числовых задач. //Компьютерные учебные программы И инновации. 2003- №4.-С.20-21.

58. Нефедов Е.Н., Фиалковский А.Т. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах. — М.: Наука, 1972.-204с.

59. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. Под редакцией А.А. Самарского. М.: Наука, 1978 - 320с.

60. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука - 1967 - 460с.

61. Олвер Ф.Асимптотика и специальные функции. Под редакцией А.П. Прудникова. -М.: Наука, 1990.- 528с.

62. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. К.: Наук, думка, 1984.

63. Плещинский Н.Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными рядами. — Казань; Изд-во Казанского университета, 1987.- 155с.

64. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных интегральных уравнений. -М.: Мир, 1979.-493с.

65. Рапопорт И.М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. //ДАН УССР.- 1948.- Т.59.- N8.- С.1403-1406.

66. Самарский А.А., Гулин А.В.Численные методы. М.: Наука, 1989-432с.

67. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987 — 288с.

68. Сван Т. Delphi 4. Библиотека разработчика: Пер с англ. К.: М.: СПб.: Диалектика, 1998 - 672 е.: ил. — Парал. тит. англ.

69. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962 - 500с.

70. Справочник по специальным функциям / М. Абрамович, И. Стигал. — М.: Наука, 1979.-832с.

71. Стивене. Delphi. Готовые алгоритмы ДМК,- 2001.- 384 с.

72. Сидельников Г.Л. Численный анализ дифракции на волноводе с бесконечным фланцем. Тезисы докладов 4-й международной конференции им. ак. Кравчука Н.Ф. Киев, 1995 - С.220.

73. Сидельников Г.Л. Математическая модель для численного анализа дифракции электромагнитных волн на кольцевых вырезах цилиндрического волновода. Тезисы докладов 5-й международной конференции им. ак. Кравчука Н.Ф. Киев, 1996 - С. 293

74. Сидельников Г.Л., Немцев А.Н. Визуальное программирование задач электростатики. //Компьютерные учебные программы и инновации. -2003.- №2, 3.- С.72-75, С. 72-76.

75. Сологуб В.Г. Об одном методе исследования задачи о дифракции на конечном числе лент, расположенных в одной плоскости. // Докл. АН СССР. Сер. А.- 1975.- С.550-564.

76. Тейксейр С., Пачеко К. Borland Delphi 6. Руководство разработчика. Вильяме 2002 - 1120 с.

77. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гостехиздат.-1948.

78. Уфимц'ев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. -М.: Изд-во Сов. Радио, 1962.

79. Федоров Н.Н. Основы электродинамики. М.: Высшая школа, 1980— 399с.

80. Фок В.А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики. Математический сборник. -T.14(56)-N.l-2.- С.3-49 1944.

81. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракция.- Пер. с нем. Изд-во "Мир", М. 1864.

82. Хоменко А., Гофман В. Delphi 7. В подлиннике. -BHV-2003 1216 с.

83. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев,- Наукова думка, 1986.

84. Численные методы теории дифракции. Сб. статей. Пер. с англ. М.: Мир, 1982.- 200с. /Математика. Новое в зарубежной науке. Вып. 29./

85. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана—Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. — Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1971.

86. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции. — Киев: Наукова Думка, 1984.-396с.

87. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Рудь JI.A. Волноводные неоднородности. Киев: Наук, думка, 1986- 216с. /Резонансное рассеяние волн: в 2 Т.: Т.2./

88. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А., Сиренко Ю.К. Дифракционные решетки. — Киев: Наук, думка, 1986.— 232с. /Резонансное рассеяние волн: в 2 Т.: Т.1./

89. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. Харьков: Изд.-во Харьковского университета, 1973.-278с.

90. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. -Киев: Наук. Думка, 1983-252с.

91. Янке, Эмде, Леш. Специальные функции. М: Наука, 1977 - 344 с.Литература на иностранных языках.

92. Chu L.J, Journ. Appl. Phys.- 1940.- V.ll.- P.603.

93. Elliot D. The classical collocation method for singular integral equations. SIAM J. Numer. Anal.- 1982.- V.19.- N2.- P.P 816-832.

94. Elliot D. Rates of convergence for the method of classical collocation forлsolving singular integral equations. SIAM J. Numer. Anal 1984.- V.21.-N1.-P.P 136-148.

95. Gandel Yu. V., Zaginailov G.I. A numerical method to solve wide wariety of diffraction problems. Proceedings ofISAP'92. V.I. Sapporo. Iapan-1992.-P.P 226-228.

96. Gandel Yury, Mrozova Nataly Mathematical Models of Diffraction and Radiation Problems for Planar Waveguide- with Impedance Flange. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. MMET'96. Proceedings Lviv. Ukraine.- 10-13 September.-P.P. 88-91.

97. Jones D.S. A simplifying technique in the solution of diffraction problems. Quart. J. Math.- 1962.-N2.-P. 189.

98. Keller J.B. Geometrical theory of diffraction. Journ. Opt. Soc. Am.- 1956-52.-P. 116.

99. Keller J.B. Journ. Opt. Soc. Am.- 52.- 116.- (1962).

100. Kottler P. Ann. Phys. (4).- T1 457.- (1923).

101. Lifanov 1,1„ Lifanov I.K, Boundary value Problems and singular integral equations with one-dimentional and multiple integrals. Sov. J. Numer. Anal. Modelling. -1991.-V.6.-N1.-P.P. 43-60.

102. Lifanov I.K. Singular Integral Equations and Discrete Vortices. Utrecht-1996.- 475p.

103. Matsushima Aldra and Italtura Tokuya Numerical Analysis of Electromagnetic Scattering from Strip Gratings by Using Singular Integral Equations. // Зарубежная радиоэлектроника-N4- 1996 С. 37-66.

104. Matsushima Akirft and Itakurft Tokuya Singular integral equation approach to electromagnetic scattering from a finite periodic array of conducting strips. // J. Electro. Waves Applic. Vol.5.- 1991- P.P. 5-562.

105. Matsushima Akira and Itakura Tokuya Scattering of an arbitrary plane wave by an infinite strip grating loaded with a pair of dielectric slabs. // J. Electro. Waves Applic.-Vo 1.7.- 1993.-P.P 791-809.

106. Meixner. J The behaviour of electromagnetic fields at edges. New York University Research Report. No. EM-72-(1954).

107. Nemzev A.N., Sidelnikov G.L. Visual programming Tasks of an electrostatics. //The magazine Computing teaching programs and innovation. -2003.-№2.

108. Noble B. The Wiener-Hopf Techniques. Pergamon.— London 1958.

109. Rawlins A.D. and Meister E. Speck Diffraction by an Acoustically Transmissive or an Electromagnetically Dielectric half-plane. Mathematical Methods in the Applied Sciences.- Vol. 14.- P. 387-402 (1991).

110. Seshadri S.R. IRE Transactions on microwave theory and techniques.-1962.-P.573-578

111. Tab J, Park and Hyo J, Eom PROCEEDINGS OF ISAP'92. SAPPORO. JAPAN. An asymptotic Series Solution for the Flanged-Waveguide Radiation.- P.P 609-612.

112. Winer N., Hopf E. Uber erne Klasse singularer Integralgleichungen. Berlin.- 1931.

113. Yee H.Y., Felsen L.B., Keller J.B. Ray theory of reflection from the open end of a waveguide. SIAM J. Appl. Math.- 1968.- 16- N2.- P.P 268-300.Литература в электронных периодических изданиях

114. Немцев А.Н. Визуальные модели двумерных задач электростатики. //Компьютерные учебные программы и инновации. 2003- №3-http://www.informika.ru/text/magaz/innovat/n32003/n32003.html

115. Немцев А.Н. Пакет программ автоматизации составления, решения и трансформации числовых задач. //Компьютерные учебные программы и инновации. 2003 - №4. http://www.informika.ru/text/magaz/innovat/ n42003/n42003 .html

116. Сидельников Г.Л., Немцев А.Н. Визуальное программирование задач электростатики. //Компьютерные учебные программы и инновации. -2003- №2 http://www.ofap.ni/magazine/n22003/n2st.html#2