автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и метод коллокации в теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов

На правах рукописи

005017020

Лг-об

Фролов Александр Геннадьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ В ТЕОРИИ СЛАБОНАПРАВЛЯЮЩИХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 С ¿Хз"\2

КАЗАНЬ - 2012

005017020

Работа выполнена на кафедре прикладной математики федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент

Карчевский Евгений Михайлович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент

Желтухин Виктор Семенович,

доктор физико-математических наук, профессор

Смирнов Юрий Геннадьевич.

Ведущая организация: Московский государственный

университет имени М.В. Ломоносова.

Защита состоится 24 мая 2012 г. в 14 час. 30 мин. на заседании диссертационного Совета Д 212.081.21 в Казанском федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, дом 18, корп. 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского федерального университета.

Автореферат разослан с ¿3 » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

О.А. Задворнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи теории диэлектрических волноводов возникают при проектировании и анализе таких современных оптических волноводных структур, как оптические интегральные схемы и волоконно-оптические линии связи. В диссертации решаются скалярные задачи о собственных волнах неоднородных слабонаправляющих диэлектрических волноводов, находящихся в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде. В работах Р.З. Даутова, Е.М. Карчевского и С.И. Соловьева доказано существование поверхностных волн волноводов в однородной среде, изучены их свойства. Разработано большое количество численных методов, ориентированных на поиск поверхностных волн таких волноводов. Значительно слабее развиты методы расчета вытекающих волн. Е.М. Карчевским и С.И. Соловьевым для поиска вытекающих волн слабонаправляющего волновода с переменным в ограниченной области плоскости поперечного сечения показателем преломления сформулирована нелинейная спектральная задача для двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения. Одним из наиболее экономичных методов решения подобных задач является метод коллокации, сходимость которого в общем случае исследована Г.М. Вайникко. Численные методы для задачи о поверхностных волнах волновода в плоско-слоистой среде развиты относительно слабо, однако вопросы существования и свойства ее решения хорошо изучены A.S. Bonnet-Ben Dhia и N. Gmati. Для задачи о собственных волнах волновода в полупространстве известна лишь физическая постановка. В работах A.C. Ильинского, Ю.Г. Смирнова, Ю.В. Шестопалова, Е.В. Чернокожина исследованы близкие задачи о собственных волнах щелевых и полосковых линий.

Таким образом, актуальной проблемой является исследование в рамках единой математической модели свойств поверхностных и вытекающих собственных волн неоднородного слабонаправляющего диэлектрического волновода, находящегося в полупространстве. Важно доказать существование собственных волц. Дальнейшего развития требует применение метода двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений в сочетании с методом коллокации в задачах о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего диэлектрического волновода в плоско-слоистой среде, о вытекающих собственных волнах волновода в однородной среде и о поверхностных и вытекающих

собственных волнах волновода в полупространстве, так как известные вычислительные схемы, применяющиеся для решения этих задач, не имеют достаточно полного теоретического обоснования.

Цель и задачи работы состоят в исследовании свойств поверхностных и вытекающих собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода в полупространстве, доказательстве существования поверхностных волн такого волновода; разработке теоретически обоснованных и экономичных алгоритмов вычисления собственных волн неоднородных слабонаправляющих диэлектрических волноводов, находящихся в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде, их реализации в виде комплекса программ.

Методы исследований. В работе используются методы теории слабо сингулярных интегральных уравнений, спектральной теории фредгольмовых голоморфных оператор-функций, спектральной теории ограниченных самосопряженных операторов, теории проекционных методов решения линейных и нелинейных спектральных задач для фредгольмовых операторов.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и состоят в получении новой фомулировки задачи о собственных волнах неоднородного слабонаправляющего волновода в полупространстве; доказательстве существования решения этой задачи и установлении непрерывной зависимости постоянных распространения собственных волн от частоты электромагнитных колебаний; разработке и обосновании численных методов отыскания собственных волн неоднородных слабонаправляющих волноводов, находящихся в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде; реализации этих методов в виде комплекса программ.

Достоверность результатов работы обеспечивается строгими математическими доказательствами; сопоставлением полученных результатов с точными решениями задач, известными в простейших частных случаях.

Практическое значение. Разработанные подходы, методы, алгоритмы и программы могут быть использованы при расчете широкого класса оптических интегральных схем и волоконно-оптических линий связи, а также при решении других спектральных задач теории дифракции.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных научных конференциях ММЕТ (Киев, 2010 г.), «Дни дифракции» (Санкт-Петербург, 2011 г.), молодежных научных школах-конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, 2010 и 2011 гг.), Всероссийской молодежной научно-инновационной школе «Математика и математическое моделирование» (Саров, 2010 г.), Международном семинаре «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2009 г.), на семинаре «Математическое моделирование и математическая физика» кафедры прикладной математики КФУ (руководитель — Н.Б. Плещинский), на итоговых конференциях КФУ 2011 и 2012 гг., на итоговых научно-образовательных конференциях студентов КФУ 2009, 2010 и 2011 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе 3 статьи в изданиях из списка ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения, списка литературы и изложена на 185 страницах. Список литературы состоит из 97 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется цель работы, приводится обзор литературы по исследуемой теме, излагается содержание диссертации.

В первой главе исследуются спектральные задачи о собственных волнах слабонаправляющих диэлектрических волноводов в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде. В §1.1 приводятся постановки этих задач.

Ненулевая функция и е Ча называется собственной функцией общей задачи (А) о собственных волнах слабонаправляющего волновода в однородной среде, отвечающей собственным значениям а> > 0 и ¡3 € Л, если:

Здесь П — ограниченная область на плоскости К2, Г 6 С1,а — граница П, область Поо = К2 \ О; к2 — и}2е0ц0, е0 (¿¿о) — электрическая (магнитная) постоянная; п(х) = пж > 0 при х € Поо,

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

[Д + (fcV - /?2)] и = 0; X G fi U il

(1)

(2)

где Поо — постоянный показатель преломления окружающей среды; функция п(х) > По, при х efl, п е С1 (ft) П С (ft); UA — множество функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в ft и дважды непрерывно дифференцируемых в ft и ftOT, удовлетворяющих парциальным условиям излучения; Л — риманова поверхность функции Ъз.х(Р), где х(Р) = Vfc2nL ~ /?2; « — функция, аппроксимирующая в приближении слабонаправляющего волновода компоненты Hi и Нг комплексной амплитуды собственной волны.

Парциальные условия излучения, предложенные А.Г. Свешниковым, заключаются в том, что функция и должна быть представи-ма в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда, допускающего почленное дифференцирование до любого порядка:

оо

u=r Л aiH^(Xr)exp{il<p), r^Rv. (3)

l=-oo

Здесь Rq — такое положительное число, что ft целиком лежит в круге радиуса До; Я® — функция Ханкеля первого рода порядка I; г, — полярные координаты точки х.

Общей задаче (Л) удовлетворяют амплитуды ы, и поверхностных, и вытекающих собственных волн.

Ненулевая функция и € С/в называется собственной функцией задачи (J3) о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего волновода в однородной среде, отвечающей собственным значениям w > 0 и /3 > кпоо, если выполнены условия (1) и (2). Символом Uв обозначено множество вещественных функций непрерывных и непрерывно дифференцируемых в ft и 0,», дважды непрерывно дифференцируемых в ft и ft^, удовлетворяющих условию

и = ехр (-от) О I <т > 0, г —► оо. (4)

Ненулевая функция и € Uc, называется собственной функцией общей задачи (С) о собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве, отвечающей собственным значениям ш > О и /3 € Л, если:

[Д + (fc2«2 -(З2)] и = 0, xeftUft«,; (5)

ди+ ди~

u = 0, x2 = 0. (7)

Здесь fioo = {x G R2 : xx G R, x2 > 0} Uc — множество функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в П и Пю, дважды непрерывно дифференцируемых в SI и О«,, удовлетворяющих парциальным условиям излучения вида

оо

" = sin (M, r>Ro,x2> 0. (8)

í=-oo

Множество вещественных функций, удовлетворяющих тем же свойствам гладкости, но на бесконечности, имеющих асимптотику (4), обозначается символом Un.

Общей задаче (С) удовлетворяют амплитуды, и поверхностных, и вытекающих собственных волн волновода в полупространстве.

Ненулевая функция u € UD называется собственной функцией задачи (D) о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве, отвечающей собственным значениям ш > 0, ¡3 > кп0о, если выполнены условия (5)-(7).

Ненулевая функция и G UE, называется собственной функцией задачи (Е) о поверхностных волнах слабонаправляющего волновода в плоско-слоистой среде, отвечающей собственным значениям ш > 0 и /3 > кпоо, если:

[Д + (к2п2 — /?2)] и = 0, х&ПиП^; (9)

, . _ ■ ди+ ди~

, _ ди+ ди~

Здесь il«, = {x G R2 : хх G R, х2 ф 0} \ П; UE — множество вещественных, непрерывных и непрерывно дифференцируемых вЛи дважды непрерывно дифференцируемых вОиП» функций, удовлетворяющих условию

н < с ехр (-от), с, а > 0, г > Яо. (12)

Предполагается, что область il целиком лежит в нижней полуплоскости; показатель преломления п(х) = пао = const при x G Í2«,, х2 < 0, кроме того, п(х) = nt = const при ж G ft«,, х2 > 0, где nM > щ > 0.

В §1.2 доказывается теорема 1.1 о том, что в общей задаче (С) о собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве при фиксированном ш > 0 на главном листе

Л£ц = {/? €Е Л : -тг/2 < гщх(Р) <Зтг/2, 1т (Х(Р)) > 0}

поверхности Л собственные значения Р могут принадлежать лишь множеству

<3 = (/? 6 Л^ : кпао < Щ < кп+, 1т {х{0)) = о} , п+ - тахп(х). ' хеп

В §1.3 строятся интегральные представления собственных функций. Сначала доказывается лемма 1.1 о том, что любая собственная функция общей задачи (С) о собственных волнах волновода в полупространстве, отвечающая собственным значениям ш > 0, е Л, представляется в виде

и{х) = ! Ос{х,у)д2{у)и{у)<1у, х е Ж2, ^

!1

где Сс{х, у) — известная функция Грина задачи Дирихле для полуплоскости, д2(у) = к2(п2(у) — п^,).

Далее доказывается лемма 1.2 о том, что любая собственная функция задачи (Е), отвечающая собственным значениям ш > 0, и (3 > кпж, представляется в виде (13), где вместо фундаментального решения используется известная функция Грина задачи сопряжения Се{х, у). Из этого интегрального представления следует, в частности, что модуль градиента собственной функции экспоненциально убывает на бесконечности, а именно, удовлетворяет условию (12).

В §1.4 методами спектральной теории фредгольмовых голоморфных оператор-функций изучается задача (С). При х € Я равенство (13) представляет собой интегральное уравнение, которое трактуется как уравнение

ь = \{ш)Тс{из,Р)у (14)

в пространстве ¿^(П). Здесь

{Тс{и,(3))у(х) = ! Кс{ш,р-,х,у)у{у)ау, хбП, (15) п

V=pu, А,) = "У 2l>0'

К - поо

\ = к2(п2+-п2оо)>0, (16)

где ядро Кс = Gc(x, у)р[х)р(у) — слабо полярно.

Доказывается теорема 1.2 об эквивалентности задач (С) и (14). Она состоит в том, что если и б Uc является собственной функцией задачи (С), отвечающей некоторым собственным значениям w > О и ß £ Л, то v = ри принадлежит пространству Ь2(С1) и дает нетривиальное решение уравнения (14) при тех же самых значениях параметров oj и ß. С другой стороны, если при некоторых значениях и> и ß уравнение (14) имеет нетривиальное решение v £ то и = v/p

удовлетворяет равенству (13), принадлежит множеству Uc и является собственной функцией задачи (С), отвечающей тем же самым значениям и и ß.

Далее вводится оператор-функция параметра ß:

С(^Д) = /-ЛИ7с(о;,/?), (17)

где ш > 0 — фиксированный параметр, I — единичный оператор в 1*2(0,). Доказывается, что при ß € Л оператор С (и), ß) фредгольмов.

В §1.4 доказывается теорема 1.3. Она состоит в следующем. Регулярное множество оператор-функции С(uj, ß) не пусто, а именно, А™ \ G С р(С). Характеристическое множество оператор-функции C(ui,ß) может состоять лишь из изолированных точек, являющихся ее характеристическими значениями. Каждое характеристическое значение ß оператор-функции С (и, ß) непрерывно зависит от параметра и> > 0. Кроме того, с изменением и> > 0 характеристические значения оператор-функции C(u),ß) могут появляться и исчезать только на границе поверхности Л, т. е. в точках ß = ±knx и на бесконечности.

Изложение материала в этом параграфе начинается с формулировки известного утверждения об эквивалентности общей задачи (Л) о собственных волнах слабонаправляющего волновода в однородной среде и аналогичной (14) задачи вида

v = \(üj)TA(u>,ß)v. (18)

Далее формулируется аналогичное теореме 1.3 известное утверждение о свойствах решения задачи (18).

В §1.5 используется новый метод доказательства существования поверхностных волн слабонаправляющих волноводов. Он основан на сочетании трех эквивалентных формулировок для каждой из трех задач ((В), (£)) и (В)): исходной классической постановки (I), формулировки в виде спектральной задачи для интегрального оператора с симметричным слабо полярным ядром (II), вариационной формулировки задачи на всей плоскости или полуплоскости (III). Интегральные операторы с указанными свойствами являются самосопряженными и вполне непрерывными. Для доказательства положительной определенности этих операторов применяется формулировка (III) и эквивалентность постановок (I)-(III) для каждой задачи.

Такой подход конструктивен. В §1.5 задачи (В), (D) и (Е) сводятся к параметрическим линейным спектральным задачам для вполне непрерывных, самосопряженных, положительно определенных интегральных операторов в ограниченной области поперечного сечения волновода, а во второй главе предлагаются и исследуются конечномерные аппроксимации указанных операторов.

Параграф 1.5 начинается с изучения задачи (В) о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего волновода в однородной среде. Собственные функции и отвечают собственным значениям из > 0 и ß > feil«,. В этом случае вещественная часть числа х равна нулю, а мнимая часть положительна: х — гДе

<т = Л//?2 - > 0. (19)

Доказывается, что при выполнении этого условия ядро интегрального оператора а) является не только слабо полярным, но также симметричным и положительным. Этот оператор рассматривается как оператор Тд{сг), зависящий от параметра сг, а задача (18) при фиксированных а > 0 — как линейная спектральная задача определения характеристических чисел А и собственных функций v оператора Тв(сг):

v = ХТБ (а) v. (20)

Формулируется теорема 1.4 об эквивалентности задачи (В) и задачи (20). Эта теорема с учетом сделанных в §1.5 предположений, фактически, является частным случаем известного утверждения об эквивалентности задачи (А) и задачи (18).

Затем доказывается теорема 1.5 о существовании решений задачи (20), а именно о том, что для любого а > 0 оператор Тв(<т) является вполне непрерывным, самосопряженным и положительно определенным, следовательно, у этого оператора существует счетное множество положительных конечнократных характеристических чисел с единственной точкой накопления на бесконечности, а система собственных функций может быть выбрана ортонормированной. Кроме того, минимальное характеристическое число Ах(сг) простое (его кратность равна единице), соответствующая собственная функция Гх(х) не меняет знака в области П. Последнее утверждение теоремы 1.5 следующее: Ах(<т) —► 0 при а —> 0.

Минимальное характеристическое число Ах = Ах(<т) и отвечающая ему собственная функция «х при фиксированном а > 0 определяют собственную волну, которая в теории волноводов носит название основной. Следовательно, последние два утверждения теоремы 1.5 можно сформулировать так: у волновода, находящегося в однородной среде, при любой частоте ш > 0 существует ровно одна основная волна.

Теорема 1.5 обобщает хорошо известные результаты о существовании и свойствах поверхностных собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода кругового сечения с постоянным показателем преломления, находящегося в однородной среде, полученные методом разделения переменных.

Далее исследуется существование решений задачи (£>) о поверхностных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве. Доказывается, что при и> > 0 и /3 > кпона сводится к решению задачи вида

V = АТд (сг) V, (21)

где ядро интегрального оператора Тр выражается через функцию Грина для полуплоскости и является слабо полярным, симметричным и положительным. Формулируется теорема 1.6 об эквивалентности этой задачи исходной задаче (£>), если параметры сг и А связаны с ш и р равенствами (16) и (19). Эта теорема является частным случаем теоремы 1.2.

Доказывается теорема 1.7 о существовании собственных волн волновода в полупространстве, а именно, о том, что для любого а > 0 оператор Тд(<т) является вполне непрерывным самосопряженным и

положительно определенным, и для этого оператора справедливы все утверждения, в точности повторяющие утверждения теоремы 1.5, кроме последнего, которое формулируется следующим образом: существует такое положительное число с, что А].(<т) —+ с > 0 при ст —> 0. Это утверждение означает, что у слабонаправляющего волновода в полупространстве при достаточно малых и> не существует поверхностных собственных волн. В этом заключается принципиальное отличие спектральных характеристик волновода в полупространстве от волновода в однородной окружающей среде, у которого при любой частоте и > 0 существует, по крайней мере одна поверхностная собственная волна (основная).

Завершается §1.5 исследованием задачи (Е) о поверхностных волна« слабонаправляющего волновода в слоистой среде. Доказывается, что при иг > 0, /3 > кп00> кщ интегральный оператор Те вида (15), где используется функция Грина задачи сопряжения, имеет слабо полярное, вещественное и симметричное ядро. Ставится задача: найти значения а > 0, А > 0 и ненулевые функции V € £2(П), удовлетворяющие равенству

V = ХТЕ (<Т, А) V. (22) Доказывается теорема 1.8 об эквивалентности задачи (22) и исходной задачи (Е), если параметры а и А связаны сши/3 равенствами (16) и (19). Далее фиксируется а > 0 и наряду с задачей (22) рассматривается следующая задача:

V = -уТЕ (а, А) V. (23)

Ясно, что если при некотором А > 0 существует значение 7 = А и ненулевая функция V £ Ь2(П), удовлетворяющие равенству (23), то тройка а, А, V есть решение задачи (22).

Доказывается теорема 1.9 о существовании решений задачи (23), а именно о том, что при а > 0, А > 0 оператор Те (<т, А) является вполне непрерывным, самосопряженным и положительно определенным, и, следовательно, у этого оператора существует счетное множество положительных конечнократных характеристических чисел с единственной точкой накопления на бесконечности, а система собственных функций может быть выбрана ортонормированной.

Далее вводятся в рассмотрение функции 7* = 7^А) параметра А > 0, где г = 1, 2,..., 7;(А) — характеристические числа опе-

ратора Те {(г, А), а > 0 есть фиксированный параметр. Приводятся результаты расчетов конкретных волноводов в слоистой среде, полученные в диссертации методом коллокации, показывающие, что в рассмотренных частных случаях сущестуют приближенные решения уравнений 7;(А) = Л.

Параграф 2.1 второй главы посвящен численному решению спектральных задач (20), (21) и (22). Строится правильная регулярная триангуляция ПЛ области О, вершины многоугольника П/, принадлежат Г (через к обозначается максимальный диаметр элементов триангуляции) Вводится сетка ЕЛ, состоящая из центров масс элементов триангуляции (их число обозначается ЛГ).

При фиксированных значениях параметров, от которых зависят интегральные операторы, приближенное решение задач (20), (21) и (22) разыскивается в виде кусочно-постоянной функции

N

= (24)

¿=1

где 4>},к{х) = 1, если а; € <^,л(х) = 0, если х <£ Значения и ¡к = определяются из уравнений

н г :

"а = А / у)с1у, г = 1,..., N. (25)

Множество характеристических чисел оператора Т обозначается через вр(Т). Через ер(7/,) обозначается множество чисел А/, = 1 где Цн — характеристическое число матрицы ТЛ с вещественными элементами

% = J К{Ъ,н,у)йу, Ь] = 1, - -., N.

Доказывается теорема 2.10, которая состоит в следующем. Пусть оператор Т определяется правой частью равенства (20) или (21) при фиксированном а > 0, либо равенства (22) при фиксированных А > 0 и а > 0. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если А0 6 Бр(Т), то существует такое семейство А/, € 8р(7\), что Ал —» Ао при к —* 0.

2. Если семейство чисел АЛ е вр(ТЛ) такое, что Ал А0 > 0 при Л —> 0, то А0 6 Бр(71).

3. Если п € С2(51), а характеристическое число Ао S sp(T) простое, то существует такое h > 0, что

|ЛЛ — Ло! <ch2, А 6(0, Л).

Доказательство теоремы основывается на применении известных лемм из монографии Г.М. Вайникко1), где рассмотрен более общий случай многомерных интегральных операторов с полярными ядрами. В приложении к диссертации эти леммы формулируются и (проще и подробнее) доказываются применительно к рассматриваемому в работе частному случаю.

В §2.2 задача (25) сводится к обобщенной алгебраической задаче на собственные значения для симметричных вещественных матриц. Приводятся расчетные формулы для вычисления интегралов матричных элементов метода коллокации. Особое внимание уделяется вычислению слабо сингулярных интегралов диагональных элементов. Они имеют логарифмическую особенность при совпадении аргументов, которая выделяется аналитически.

Приводятся результаты численного решения ряда конкретных задач спектральной теории диэлектрических волноводов. Полученные результаты сравниваются с известными точными решениями и результатами расчетов из работ других авторов, полученных другими методами. Рассчитываются поверхностные волны и таких волноводов в полупространстве и слоистой среде, для которых результаты расчетов не известны. Оценивается реальная скорость сходимости метода коллокации в зависимости от h. Во всех экспериментах демонстрируется второй порядок точности метода.

Параграф 2.3 посвящен решению методом коллокации нелинейных спектральных задач (14) и (18). Пусть частота ш > 0 фиксирована. Тогда общие задачи о собственных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде и полупространстве имеют вид

А(ш,Р)и = (1-\{ш)Т(ш,0))и = О; (26)

где А — соответствующая фредгольмова, голоморфная по /3 G Л оператор-функция. Оператор Т аппроксимируется точно так же, как описано в первом параграфе второй главы. Приближением по методу

14'air.;kko G. Multidimensional weakly singular integral equations. Springer, 1993. 159 p.

коллокации к решению задачи (26) называется решение нелинейной алгебраической спектральной задачи

Ак{ш,Р)ик = О,

где Ah(w,/3) — матрица с элементами, нелинейно зависящими от /3: a¡j = Síj - A(w) J К(и, /3; y)dy, i,j = 1,..., N. (27)

Характеристическое множество оператору-функции A{ui, /3) обозначат ется символом <т(Л). Через а(Ан) обозначается множество характеристических чисел /?/, € Л матрицы

Доказывается теорема 2.11, которая заключается в следующем. Пусть частота ш > О фиксирована; оператор-функция T(ai, (3) параметра /3 G Л определена равенством вида (15) с ядром, выражающимся через соответствующую функцию Грина; пусть А{о>,/3) — соответствующая оператор-функция параметра /3 6 Л определенная равенством (26). Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если /Зо G (J{А), то существует такое семейство /3/, € cr(Ah), что /3h /30 при h —* 0.

2. Если семейство /Зд 6 гт(А/,) такое, что /3Л —> /?0 е Л при h —*0, то /30 6 а(А).

3. Пусть семейство /3^ € Л и семейство нормированных векторов uh такие, что уЗл е a{Ah), Ah(u,ph)uh = 0 и /Зл -> /30, uh щ при Л —* 0. Тогда /30 € а(Л) и А(ш, /30)«о = 0, ||uo|U2(íj) = 1.

Здесь через Eh обозначено пространство сеточных функций со значениями в точках коллокации и максимум-нормой, рд — соответствующий проектор.

Доказательство этой теоремы опирается на известные результаты Г.М. Вайникко о сходимости проекционных методов решения нелинейных спектральных задач для фредгольмовых операторов.

В §2.4 описываются численные эксперименты поиска методом коллокации вытекающих собственных волн волноводов, находящихся в однородной среде и полупространстве. Для решения нелинейных конечномерных спектральных задач применяется метод обратных итераций с невязкой. Приводятся результаты расчета дисперсионных кривых и линий уровня вытекающих собственных волн однородных и неоднородных волноводов различных сечений. Исследуется

сходимость метода коллокации в зависимости от Л путем сравнения решений, полученных при разных Л, с известными точными решениями и решениями, полученными на больших сетках. Эксперименты показывают, что метод имеет второй порядок точности.

В §2.5 описывается комплекс программ на языке МаЫаЬ, который реализует предложенные методы и алгоритмы. Программы позволяют строить дисперсионные кривые и находить амплитуды поверхностных и вытекающих собственных волн слабонаправляющих волноводов, находящихся в однородной среде, полупространстве и слоистой среде. Работоспособность программ демонстрируется в широком диапазоне значений физических и расчетных параметров.

Основные результаты диссертации

1. Сформулирована нелинейная спектральная задача для фред-гольмовой голоморфной оператор-функции, содержащей двумерный слабо сингулярный интегральный оператор, эквивалентная общей задаче о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах слабонаг правляющего волновода в полупространстве. Доказано, что для всех значений частоты электромагнитных колебаний характеристическое множество может состоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристическими значениями. Установлено, что характеристические значения непрерывно зависят от частоты и могут появляться и исчезать лишь на границе области голоморфности оператор-функции.

2. Сформулированы параметрические задачи на собственные значения для интегральных операторов с симметричными, слабо полярными ядрами, эквивалентные задачам о поверхностных собственных волнах волноводов в однородной среде, полупространстве и плоскослоистой среде. Доказано, что для всех допустимых значений параметров у задачи о поверхностных волнах волновода в полупространстве существует счетное множество решений.

3. Разработан метод коллокации численного решения спектральных задач для двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений: линейных, эквивалентных задачам о поверхностных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде; и нелинейных, эквивалентных общим задачам о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах слабо-

направляющих волноводов в однородной среде и полупространстве. Доказана сходимость метода коллокации решения линейных и нелинейных задач.

4. Метод коллокации реализован в виде комплекса программ на языке Matlab. Показана практическая эффективность предлагаемого метода. Численными экспериментами подтвержден теоретический результат о том, что метод имеет второй порядок скорости сходимости при вычислении простых характеристических чисел линейных задач; продемонстрировано, что метод имеет такую же скорость сходимости и при решении нелинейных задач.

Публикации по теме диссертации

В рецензируемых журналах из списка ВАК

1. Фролов, А.Г. Численное решение задачи о распространении электромагнитных волн в слабонаправляющих волноводах [Текст] / Е.М. Карчевский, А.Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки — 2011 — №1(17). - С. 47-57.

2. Фролов, А.Г. Собственные волны слабонаправляющего волновода в полупространстве [Текст] / Е.М. Карчевский, А.Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2012. — №1(21). — С. 22-30.

3. Фролов, А.Г. Метод коллокации для спектральных задач теории диэлектрических волноводов [Текст] / А.Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2012. — №2(22). — С. 3-15.

В других изданиях

4. Фролов, А.Г. Математическая модель диэлектрического волновода [Текст] / Е.М. Карчевский, Э.Р. Миниахметов, А.Г. Фролов // Супервычислешш и математическое моделирование, XI международный семинар, 5-9 апреля 2009 г.: тезисы. — Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2009. — С. 75-76.

5. Фролов, А.Г. Задача о собственных волнах оптического волновода [Текст] / А.Г. Фролов // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета 2009 года: сборник тезисов. — Казань: Казан, гос. ун^г, 2009. — С. 92-93.

6. Фролов, А.Г. Собственные волны градиентного волновода [Текст] / А.Г. Фролов // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета 2010 года: сборник тезисов. — Казань: Казан, гос. ун-^г, 2010. — С. 99-100.

7. Frolov, A. Natural modes of weakly guiding optical fiber [Электронный ресурс] / A. Frolov, E. Karchevskiy // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kyiv, Ukraine, September 6-8, 2010. — Proceedings, Kyiv, Ukraine, 2010. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). - IEEE Catalog Number: CFP10761-CDR. -ISBN: 978-1-4244-5860-5.

8. Фролов, А.Г. Собственные волны градиентного диэлектрического волновода [Текст] / А.Г. Фролов // Труды Математического центра имени Н.И.Лобачевского: Материалы Девятой молодёжной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2010»; Казань, 1-6 октября 2010 г. — Казань: Казан, мат. о-во, 2010. — Т.40. — С. 353-357.

9. Фролов, А.Г. Метод коллокации для решения спектральных задач теории диэлектрических волноводов [Текст] / А.Г. Фролов // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского университета 2011 года: сборник тезисов. — Казань: Казан, ун^г, 2011. - С. 104-105.

10. Frolov A. Generalized modes of optical fiber [Текст] / Frolov, A. Generalized modes of optical fiber / A. Frolov, E. Karchevskiy // Proceedings of the International Conference Days on Diffraction' 2011. Saint Petersburg, May 30 - June 3, 2011. — IEEE, 2011. — IEEE Catalog No.: CFP11489-PRT. — P. 67-71.

11. Frolov, A. Generalized modes of optical fiber [Текст] / A. Frolov, E. Karchevskiy // Days on Diffraction' 2011. Int. Conf. Saint Petersburg, May 30 - June 3, 2011: Abstracts. Universitas Petropolitava. — P. 35-36.

12. Фролов, А.Г. Метод коллокации поиска постоянных распространения слабонаправляющего диэлектрическго волновода [Текст] / А.Г. Фролов // Труды Математического центра имени Н.И.Лобачевского: Материалы Десятой молодёжной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2011»; Казань, 1-5 ноября 2011 г. — Казань: Казан, мат. о-во, 2011. — Т.44. — С. 324-327.

13. Фролов, А.Г. Метод коллокации для поиска собственных волн диэлектрического волновода [Текст] / А.Г. Фролов // Исследования

по прикладной математике и информатике. — Казань: Изд-во Казан, федерал, ун-та, 2011. — Вып. 27. — С. 171-178.

Подписано в печать 16.04.12 Бумага офсетная. Печать ризографическая. Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman». Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 116/4

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательства Казанского университета

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел. 233-73-59, 292-65-60

61 12-1/862

Федеральное государственное автономное иирс^зательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

На правах рукописи

ФРОЛОВ Александр Геннадьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ В ТЕОРИИ СЛАБОНАПРАВЛЯЮЩИХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, доцент Е.М. Карчевский

КАЗАНЬ — 2012

Оглавление

Введение ..........................................................................3

Глава 1. Задачи о собственных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде, полупространстве и слоистой среде . 31

§1. Постановки задач........................................................31

§ 2. Локализация собственных значений....................................43

§ 3. Интегральные представления собственных функций..................47

§ 4. Дискретность характеристических множеств и зависимость характеристических значений (3 от параметра ш............................55

§ 5. Существование поверхностных волн ..................................62

Глава 2. Метод коллокации решения спектральных задач для двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений..............80

§1. Метод коллокации решения линейных задач................81

§ 2. Численное решение задач о поверхностных волнах..................86

§3. Метод коллокации решения нелинейных задач................119

§ 4. Численное решение задач о вытекающих волнах....................123

§ 5. Программный комплекс..................................................142

Приложение...................................161

Литература....................................173

Введение

Для оптоэлектроники последние годы характерны изучением и техническим освоением миниатюрных интегральных оптических схем (при изготовлении которых используются нано-материалы [43]) вместо классических электрических [21] и бурным развитием оптических телекоммуникационных технологий передачи данных на большие расстояния [52]. В проектировании и анализе современных оптических волноводных структур важную роль играет математическое моделирование и применение средств вычислительной техники [84]. На этом пути возникают задачи теории диэлектрических (оптических) волноводов [54].

Задачи о собственных волнах диэлектрических волноводов являются задачами поиска частных решений уравнений Максвелла в виде бегущих волн в неограниченных областях, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах раздела сред и соответствующим условиям на бесконечности [18], [53]. В диссертации задачи о собственных волнах диэлектрических волноводов, находящихся в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде, решаются в скалярном приближении слабонаправляющих волноводов [54]. Несмотря на относительную простоту, это приближение широко используется при математическом моделировании оптических волноводов (см., напр., [9], [18], [30], [35], [36], [54]).

Наиболее полная информация получена о решениях относительно простой задачи о собственных волнах волновода кругового поперечного сечения с постоянным показателем преломления, находящегося в однородной окружающей среде [54]. Хорошо изучены свойства поверхностных собственных волн такого волновода. Собственные функции задачи (амплитуды собственных волн) в этом случае отвечают ко-

нечному числу собственных значений (постоянных распространения), принадлежащих ограниченному интервалу вещественной оси. Отличительными особенностями поверхностных собственных волн являются экспоненциальное убывание на бесконечности их амплитуд и симметричность соответствующего дифференциального оператора.

В работе Б.З. Каценеленбаума [34] на основе анализа характеристического уравнения, полученного методом разделения переменных, было доказано существование другого типа собственных волн цилиндрического диэлектрического волновода кругового поперечного сечения с постоянным вещественным показателем преломления. Они получили название вытекаюших. Вытекающие собственные волны имеют экспоненциально возрастающие на бесконечности амплитуды. При рассмотрении задач о вытекающих собственных волнах возникают несамосопряженные дифференциальные операторы, а соответствующие постоянные распространения являются комплексными.

Важно отметить, что, как было доказано в работе [34], постоянные распространения собственных волн указанных двух типов непрерывно зависят от радиуса волновода, показателей преломления волновода и окружающей среды, частоты электромагнитных колебаний. С их изменением собственные волны могут трансформироваться из одного типа в другой.

Несколько десятилетий значительные усилия исследователей были направлены на построение алгоритмов расчета поверхностных собственных волн. Разработано большое количество методов, приспособленных для областей специальной формы. Так, для расчета диэлектрических волноводов неоднородного заполнения с поперечным сечением, близким к круговому, широкое применение нашли лучевой метод, метод нормальных волн и асимптотические методы [17], [54]. Известно точное решение задачи о собственных волнах однородного диэлектрического волновода эллиптического поперечного сечения,

полученное методом разделения переменных [41].

Для расчета волноводов с произвольным контуром поперечного сечения применялся метод коллокации (в дифференциальной постановке) [80], [81], вариационные методы [5], [9], [10] и различные модификации метода частичных областей [5], [6], [15], [38], [58], [87], [93].

Для решения задач о поверхностных собственных волнах диэлектрических волноводов с неоднородным заполнением применялся метод конечных разностей [1], [22], [50], [51].

В работах [23], [42], [79] для расчета поверхностных собственных волн диэлектрических волноводов с постоянным показателем преломления применялись граничные интегральные уравнения, построенные на основе формулы Грина. Теоретического обоснования этого метода в указанных работах проведено не было.

Основное внимание исследователей прежде всего было направлено на построение алгоритмов, анализ и интерпретацию полученных численных результатов. Важные и сложные вопросы существования решений, сходимости применяемых численных методов либо не рассматривались, либо оставались исследованными недостаточно подробно.

Наибольшего прогресса при численном решении задач о поверхностных собственных волнах линейных изотропных волноводов в однородной окружающей среде, по-видимому, удалось достичь Р.З. Дау-тову и Е.М. Карчевскому на пути применения и обоснования метода точных нелокальных граничный условий [18]. Этот метод оказался чрезвычайно эффективным и при исследовании существования решений указанных задач.

В работах С.И. Соловьева [94], Е.М. Карчевского и С.И. Соловьева [56] предложен другой метод исследования разрешимости этих задач, основанный на специальных вариационных постановках на всей плоскости. Эти постановки позволили применить для анализа методы спектральной теории вполне непрерывных операторов. Благода-

ря работам Р.З Даутова, Е.М. Карчевского [18], С.И. Соловьева [94], Е.М. Карчевского и С.И. Соловьева [56] можно утверждать, что теория разрешимости задач о поверхностных собственных волнах линейных изотропных волноводов в однородной окружающей среде построена с исчерпывающей полнотой.

Однако, многие важные для приложений вопросы, связанные с анизотропией, нелинейностью сред, распространением электромагнитных волн в неоднородных неограниченных областях, вытеканием энергии в окружающую среду остаются еще относительно слабо изученными.

Достаточно эффективные и универсальные алгоритмы решения задач дифракции в бесконечных областях основаны на переходе к интегральным уравнениям [88], [39], [37], [48]. Такой подход позволяет, в частности, точно учесть поведение решений задач дифракции на бесконечности. Он применим для нелинейных и анизотропных сред. Разработке и обоснованию численных методов решения интегральных уравнений теории дифракции посвящено большое количество работ (см., напр., [4], [ИЦ14], [24], [26], [27], [37], [40], [45], [46], [48], [69]).

Применительно к спектральной теории диэлектрических волноводов метод интегральных уравнений значительное развитие получил в работах Ю.Г. Смирнова и его учеников (см. [53] и цитированную там литературу). Для задач о поверхностных собственных волнах нелинейных волноводов получены постановки в виде спектральных задач для нелинейных интегральных операторов. Доказано существование их решений методом сжимающих отображений и обоснованы итерационные методы приближенного1 решения.

В монографии Р.З. Даутова и Е.М. Карчевского [18] методом интегральных уравнений для ряда общих задач о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах линейных волноводов, получены результаты о качественных свойствах спектра, разработаны и обоснованы численные алгоритмы решения спектральных задач для волново-

дов с постоянным показателем преломления, основанные на аппроксимации граничных интегральных уравнений методом Галеркина.

В этом контексте необходимо упомянуть и о близких спектральных задачах теории дифракции — задачах о собственных волнах щелевых и полосковых линий. В работах A.C. Ильинского, Ю.Г. Смирнова, Ю.В. Шестопалова, Е.В. Чернокожина (см. [28], [91] и цитированную там литературу) указанные задачи формулируются как задачи поиска характеристических чисел фредгольмовых голоморфных оператор-функций, полученные на основе метода интегральных уравнений. В работах этих авторов анализируются качественные свойства характеристического множества: локализация, дискретность, существование характеристических чисел. Исследования опираются на общую теорию нелинейных спектральных задач, развитую в работах [16], [33]. Предлагаются и исследуются проекционные методы расчета волноведущих структур. При обосновании численных методов используются результаты [2], [3] о проекционных методах решения нелинейных спектральных задач для фредгольмовых операторов.

Решения задач в указанных работах разыскивались в классах функций, удовлетворяющих на бесконечности парциальным условиям излучения. Парциальные условия излучения были введены А.Г. Свешниковым в работе [49]. Применение этих условий в задачах о собственных волнах слабонаправляющих диэлектрических волноводов позволяет разыскивать наряду с поверхностными и вытекающие собственные волны [18], [31], [77], [89].

Вытекающие собственные волны диэлектрических волноводов играют важную роль в анализе эффектов излучения и преобразования волн, возникающих в задачах о стыковке [86] и изгибе волноводов [97], а также в задачах излучения при анизотропии волноводов [92], [85].

В связи с этим в последнем десятилетии начали разрабатываться универсальные методы, предназначенные для расчета вытекающих волн. Так, в работе [72] для поиска вытекающих волн диэлектриче-

ских волноводов с постоянным показателем преломления применялся метод граничных интегральных уравнений. Интегральные представления решений, основанные на формуле Грина, в сочетании с методом конечных элементов использовались для расчета вытекающих собственных волн неоднородных диэлектрических волноводов в статье [73]. Доказательства сходимости предлагаемых методов в этих работах проведено не было.

Ранее подход, основанный на сочетании метода конечных элементов и интегрального представления решений вне области поперечного сечения волновода с использованием соответствующей функции Грина, применялся в статье [71] для поиска поверхностных собственных волн волноводов в плоско-слоистой среде. Важно отметить, что в этой работе не было проведено исследования сходимости метода, однако, было доказано существование решения задачи и изучены свойства собственных волн.

Известна физическая постановка задачи о поверхностных волнах слабонаправляющего волновода в плоско-слоистой среде (состоящей из двух слоев) в предположении о том, что показатель преломления слоя, в котором находится волновод, сильно отличается в большую сторону от показателя преломления второго слоя [9]. Это предположение приводит к задаче о собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве [9].

В работе Е.М. Карчевского и С.И. Соловьева [55] для исследования собственных волн неоднородных слабонаправляющих волноводов, удовлетворяющих парциальным условиям излучения, использовалось двумерное слабо сингулярное интегральное уравнение по области поперечного сечения волновода. В частном случае поверхностных волн соответствующий оператор самосопряженный. Это позволило доказать непустоту его спектра. Доказано, что характеристическое множество общей задачи о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах может состоять лишь из изолированных точек соотвеству-

ющей оператор-функции, являющихся ее характеристическими значениями, непрерывно зависящими от неспектральных параметров.

Построенное в [55] уравнение может быть использовано и для численного решения задачи, например, методом коллокации. Это один из наиболее эффективных с точки зрения экономии вычислительных ресурсов методов решения линейных и нелинейных спектральных задач для многомерных интегральных уравнений [96].

Подводя итог, можно утверждать, что наибольшего прогресса в задачах о собственных волнах неоднородных слабонаправляющих волноводов удалось достичь при анализе поверхностных волн волноводов в однородной среде (доказано существование поверхностных волн, изучены их свойства, теоретически обоснован численный метод их поиска [18], [56]). Теоретически обоснованные методы расчета вытекающих волн волноводов, находящихся в однородной среде, могут быть разработаны на основе известной нелинейной спектральной задачи для двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения [55]. Численные методы для задачи о поверхностных волнах волновода в плоско-слоистой среде развиты относительно слабо, однако вопросы существования и свойства ее решения хорошо изучены [71]. Для задачи о поверхностных волнах волновода в полупространстве известна лишь физическая постановка [9]. Постановка задачи о вытекающих собственных волнах волновода в полупространстве не известна, но эта задача может быть сформулирована аналогично задачам о собственных волнах щелевых и полосковых линий [28], [91].

Таким образом, проблемы исследования математических моделей спектральной теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов являются весьма актуальными. Прежде всего, целью диссертационной работы является получение новой формулировки задачи и исследование в рамках единой математической модели свойств поверхностных и вытекающих собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода, находящегося в полупространстве. Ак-

туальным является исследование вопросов существования решения этой задачи.

Актуальной является проблема разработки теоретически обоснованных общих методов вычисления собственных волн всех известных типов неоднородных слабонаправляющих диэлектрических волноводов, находящихся в однородной среде, полупространстве и плоскослоистой среде. Актуальной является проблема реализации этих методов в виде комплексов программ, тестирование и анализ эффективности методов.

В настоящей работе сформулирована нелинейная спектральная задача для двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения, удобная для теоретического исследования и численного решения общей задачи о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах неоднородного слабонаправляющего диэлектрического волновода, находящегося в полупространстве. Установлена эквивалентность этой задачи исходной спектральной задаче для уравнения Гельмгольца. Исследованы вопросы локализации и дискретности спектра.

Задачи о поверхностных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде эквивалентным образом сведены к параметрическим линейным спектральным задачам для интегральных операторов с симметричными, положительными, слабо полярными ядрами. Доказано существование решения задачи о поверхностных волнах волновода в полупространстве, проанализированы его свойства.

Построен и теоретически обоснован метод коллокации численного решения спектральных задач для двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений: линейных, эквивалентных задачам о поверхностных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде; и нелинейных, эквивалентных общим спектральным задачам о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах слабонаправляющих волноводов в од-

нородной среде и полупространстве.

Создан комплекс программ в системе МаШЬ. Решен ряд конкретных задач теории диэлектрических волноводов, пр